1, X 2, X v. Οι τυχαίες µεταβλητές

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1, X 2, X v. Οι τυχαίες µεταβλητές"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ. Κυριότεροι τύποι δεδοµένων. Έστω λοιπόν ένας πληθυσµός στα άτοµα του οποίου καταγράφουµε τις τιµές που παίρνει ένα (ή περισσότερα) συγκεκριµένο χαρακτηριστικό (π.χ. το µηνιαίο εισόδηµα, χρώµα µατιών, ύψος, ηλικία κ.λ.π.). Έτσι έχουµε µία τυχαία µεταβλητή Χ και αν από τον πληθυσµό θεωρήσουµε ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους ν θα πάρουµε ν ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές X...,, X, X. Οι τυχαίες µεταβλητές διακρίνονται ανάλογα µε το είδος των τιµών που µπορούν να πάρουν σε ποσοτικές και ποιοτικές.. Μία τυχαία µεταβλητή θα λέγεται ποσοτική (quanttate) αν παίρνει µόνο αριθµητικές τιµές όπως π.χ. ο αριθµός των παιδιών µιας οικογένειας. a. Αν το σύνολο των τιµών που παίρνει µία ποσοτική τυχαία µεταβλητή είναι πεπερασµένο ή αριθµήσιµο τότε θα µιλάµε για διακριτή (dscrete) τυχαία µεταβλητή. b. Αντίθετα, αν µία τυχαία µεταβλητή µπορεί να πάρει, θεωρητικά τουλάχιστον, κάθε τιµή ενός διαστήµατος ( α, β) µε α < β +, θα λέγεται συνεχής (contnuous).. Οι ποιοτικές ή κατηγορικές (qualtate, categorcal) τυχαίες µεταβλητές χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι οι τιµές τους µπορούν απλώς να ταξινοµηθούν σε κατηγορίες και δεν εκφράζουν απαραίτητα κάτι το µετρήσιµο (π.χ. το χρώµα των µατιών, η υγεία (κακή, µέτρια ή καλή) κλπ) a. Ο απλούστερος τύπος ποιοτικών τυχαίων µεταβλητών είναι αυτές που παίρνουν µόνο δύο τιµές (π.χ. το φύλο ενός ατόµου) και λέγονται διχοτοµικές (dchotomous).

2 58 ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Έστω Χ µία τυχαία µεταβλητή (χαρακτηριστικό) που αφορά τα άτοµα ενός πληθυσµού και X...,, X, X ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους ν. Για ένα συγκεκριµένο δείγµα θα συµβολίζουµε µε x...,, x, x τις τιµές του χαρακτηριστικού για τα ν άτοµα του δείγµατος και µε τιµές από τα x..., y y..., y,, k ( ), x, x. k τις k διαφορετικές µεταξύ τους Συχνότητα (frequency) της τιµής y θα λέγεται το πλήθος των x, x,.., x που είναι ίσα µε (relate frequency) δηλαδή y, ενώ σχετική συχνότητα f θα λέγεται το αντίστοιχο ποσοστό, f k j j,,,..., k. Συνήθως οι ποσότητες y,, f, για ένα δείγµα,,..., k συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα που ονοµάζεται πίνακας συχνοτήτων.

3 59 Παράδειγµα : Σε ένα δείγµα 0 οικογενειών από µία περιοχή της Αθήνας, το επάγγελµα του πατέρα, ο µηνιαίος µισθός του πατέρα και ο αριθµός παιδιών της οικογένειας δίνονται στον πιο κάτω Πίνακα. Οικογένει α εδοµένα ενός δείγµατος 0 οικογενειών. Επάγγελµα Πατέρα εργάτης οδηγός εργάτης δηµ. υπάλληλος δηµ. υπάλληλος δηµ. υπάλληλος δάσκαλος ιερέας οδηγός εργάτης δάσκαλος εργάτης εργάτης δηµ. υπάλληλος ιερέας δάσκαλος εργάτης δηµ. υπάλληλος δάσκαλος δηµ. υπάλληλος Μηνιαίος Μισθός πατέρα Αριθµ. παιδιών Οικογένειας 0 0

4 60 Πίνακας συχνοτήτων για το επάγγελµα πατέρα 5 Εργάτης οδηγός δηµ. υπάλληλος δάσκαλος ιερέας Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Σύνολο 0.0 Πίνακας συχνοτήτων για το Μηνιαίο µισθό Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Σύνολο 0.00 Πίνακας συχνοτήτων για τον αριθµό παιδιών 5 0 Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι I Ι Ι Ι Ι I Ι Ι Ι Ι Σύνολο 0.0

5 6 Στην περίπτωση ποσοτικών τυχαίων µεταβλητών εκτός των ποσοτήτων, f χρησιµοποιούνται συνήθως και οι λεγόµενες αθροιστικές συχνότητες (cumulate frequences) N, καθώς και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες (cumulate relate frequences) F οι οποίες δίνουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες του y. Αν τα µεγέθους δηλ., y, yk είναι διατεταγµένα κατά αύξουσα σειρά y..., y L yk είναι φανερό ότι y N + + L+,,,..., k, F f + f + L+ f,,,..., k, N, N N,,,..., k, f F, F F f,,,..., k.

6 6 Παράδειγµα : (συνέχεια του Παραδείγµατος ) Συµπληρώνοντας τους Πίνακες µε τις αντίστοιχες αθροιστικές και αθροιστικές σχετικές συχνότητες παίρνουµε: Πίνακας συχνοτήτων και αθρ. συχνοτήτων για το Μισθό y f N F Πίνακας συχνοτήτων και αθρ. συχνοτήτων για αριθµό παιδιών

7 6 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Παρουσίαση ποιοτικών δεδοµένων: Για τη γραφική παράσταση ποιοτικών δεδοµένων χρησιµοποιούνται κυρίως δύο είδη διαγραµµάτων: το ραβδόγραµµα (barchart) και το κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων (pechart). a. Στο ραβδόγραµµα, οι κατηγορίες της τυχαίας µεταβλητής παριστάνονται στον οριζόντιο άξονα σαν ισοµήκη διαστήµατα (µε κενά συνήθως µεταξύ τους) ενώ οι αντίστοιχες συχνότητες ή σχετικές συχνότητες στον κατακόρυφο. Σχήµα : Ραβδόγραµµα Συχνοτήτων για τα δεδοµένα του Παραδείγµατος.

8 6 Σχήµα :Ραβδόγραµµα Σχετικών Συχνοτήτων για τα δεδοµένα του Παραδείγµατος. Σηµείωση: Μερικές φορές σε ένα ραβδόγραµµα συχνοτήτων ο ρόλος των δύο αξόνων είναι δυνατόν να αντιστραφεί όπως φαίνεται και στο επόµενο σχήµα Σχήµα : Ραβδόγραµµα Συχνοτήτων για το επάγγελµα (Παράδειγµα ).

9 65 b. Τα κυκλικά διαγράµµατα χρησιµοποιούν για την παράσταση των δεδοµένων ένα κύκλο χωρισµένο σε κυκλικά τµήµατα Σχήµα : Κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων για το επάγγελµα (Παράδειγµα ). Κάθε κυκλικό τµήµα αναφέρεται σε µία κατηγορία του χαρακτηριστικού και έχει τόξο συχνότητας ή σχετικής συχνότητας, δηλαδή α ανάλογο της αντίστοιχης 60 o α 60 f,,,..., k.

10 66. Παρουσίαση ποσοτικών δεδοµένων: Όταν τα δεδοµένα είναι ποσοτικά και το πλήθος k των διαφορετικών τιµών που πήραµε από το δείγµα είναι µικρό τότε αφού γίνει η πινακοποίηση των δεδοµένων σε ένα πίνακα συχνοτήτων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για την γραφική τους παράσταση είτε ένα διάγραµµα συχνοτήτων (lne dagram) είτε ένα κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων. a. Το κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων σχηµατίζεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο, όπως για τα ποιοτικά χαρακτηριστικά Σχήµα 5: Κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων για τον αριθµό παιδιών (Παράδειγµα ). b. Το διάγραµµα συχνοτήτων µοιάζει µε το ραβδόγραµµα µε µόνη διαφορά ότι αντί να χρησιµοποιούµε συµπαγή ορθογώνια, υψώνουµε σε κάθε y µία κάθετη γραµµή µε µήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα

11 67 Σχήµα 6: ιάγραµµα συχνοτήτων για τον αριθµό παιδιών (Παράδειγµα ). Σηµείωση: Οι κορυφές των κατακόρυφων γραµµών ενώνονται µεταξύ τους σχηµατίζοντας το λεγόµενο πολύγωνο συχνοτήτων (frequency polygon) Σχήµα 7: Πολύγωνο συχνοτήτων για τον αριθµό παιδιών (Παράδειγµα ).

12 68 Σχήµα 8: Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων για τον αριθµό παιδιών (Παράδειγµα ). c. Για µικρά σύνολα δεδοµένων, µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει και το λεγόµενο σηµειόγραµµα (dot dagram) στο οποίο οι παρατηρήσεις παριστάνονται µε τελείες στις αντίστοιχες θέσεις ενός οριζόντιου άξονα. Παράδειγµα : Οι χρόνοι (σε mn) που χρειάστηκαν οι µαθητές µιας τάξης για να λύσουν ένα πρόβληµα µαθηµατικών ήταν,, 9, 8,, 5, 5, 6,,, 7,, 7,,,, 0, 7, 7, 9, 0,. Το αντίστοιχο σηµειόγραµµα φαίνεται στο επόµενο σχήµα:

13 69 Παράδειγµα : Ο αριθµός των ηµερών που επέζησαν οι πρώτοι 6 ασθενείς µετά από µεταµόσχευση καρδιάς στο Stanford ήταν 5,, 6, 6, 6, 6. Tα δεδοµένα αυτά παριστάνονται σε ένα σηµειόγραµµα όπως παρακάτω Το σηµειόγραµµα αυτό δείχνει γενικά µικρή διάρκεια ζωής µετά από µεταµόσχευση καρδιάς µε µία τιµή µάλλον µεγάλη (ακραία τιµή (outler)). Σηµείωση: Είναι φανερό ότι σε περίπτωση µεγάλου πλήθους δεδοµένων η κατασκευή του σηµειογράµµατος γίνεται αρκετά επίπονη.

14 70 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Το πιο συνηθισµένο µέσο περιγραφής ποσοτικών δεδοµένων είναι το ιστόγραµµα (hstogram). Αυτό αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια των οποίων το ύψος διαλέγεται µε τέτοιο τρόπο ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου να είναι ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα της τιµής στην οποία αναφέρεται. Για διακριτά δεδοµένα, ως άκρα των βάσεων των ορθογωνίων διαλέγονται συνήθως τα µεσαία σηµεία µεταξύ των διαδοχικών y Σχήµα 9: Ιστόγραµµα Συχνοτήτων για τον αριθµό παιδιών (Παράδειγµα ). Αξίζει να σηµειωθεί ότι λόγω του τρόπου σχηµατισµού του ιστογράµµατος συχνοτήτων, το συνολικό εµβαδόν όλων των ορθογωνίων είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν.

15 7 Με παρόµοιο τρόπο σχηµατίζεται το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων, µε συνολικό εµβαδόν ίσο µε. Σχήµα 0: Ιστόγραµµα Σχετικών Συχνοτήτων Με ανάλογο τρόπο σχηµατίζονται και τα ιστογράµµατα αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Σχήµα : Ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων

16 7 Σηµειώσεις: Οι µέθοδοι παρουσίασης ποσοτικών δεδοµένων που αναφέρθηκαν παραπάνω µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην πράξη µόνο όταν ο αριθµός των διαφορετικών παρατηρήσεων είναι σχετικά µικρός. Στην αντίθετη περίπτωση είναι απαραίτητο να ταξινοµηθούν τα δεδοµένα σε µικρό πλήθος οµάδων και να θεωρούνται όµοιες όλες οι παρατηρήσεις που ανήκουν στην ίδια οµάδα. Έτσι µπορούµε να πάρουµε τις συχνότητες (απόλυτες ή σχετικές) και αθροιστικές συχνότητες των διαφόρων οµάδων και να προχωρήσουµε σε πινακοποίηση και γραφική παράσταση των δεδοµένων. Σχήµα : Ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

17 7 Παράδειγµα 5: Η συγκέντρωση (σε µ gr / cm ) ενός συγκεκριµένου ρύπου σε δείγµατα αέρος που πάρθηκαν από 57 πόλεις των ΗΠΑ δίνεται από τον πίνακα Συγκέντρωση ( µ gr / cm ) ρύπου στον αέρα 57 πόλεων των ΗΠΑ Πηγή: Statstcal Abstract of the Unted States 970, σελ. 7. Αν πινακοποιήσουµε τα δεδοµένα µας µε βάση τις διαφορετικές τιµές των παρατηρήσεων έχουµε

18 7 Πίνακας συχνοτήτων y Συχνότη τα Σχετική Συχνότη τα Αθροιστι κή Συχνότη τα Αθρ. Σχετ. Συχνότη τα

19 75 Το αντίστοιχο ιστόγραµµα συχνοτήτων, όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα δεν είναι καθόλου πληροφοριακό για τη φύση των δεδοµένων. Σχήµα : Ιστόγραµµα Συχνοτήτων Οµαδοποιώντας τις παρατηρήσεις σε διαστήµατα πλάτους 0 παίρνουµε τον επόµενο Πίνακα και σχήµα, τα οποία είναι πολύ περισσότερο κατατοπιστικά για την κατανοµή των δεδοµένων µας.

20 76 Πίνακας συχνοτήτων για τα (οµαδοποιηµένα) δεδοµένα Κλάση Κάτω όριο Ανω όριο Σχετική Συχνότ. Αθροιστ. Συχνότ. Αθρ. Σχετ. Συχνότητα Σχήµα : Ιστόγραµµα Συχνοτήτων Σηµείωση: Είναι φανερό από το προηγούµενο παράδειγµα ότι η αυθαίρετη οµαδοποίηση µπορεί να οδηγήσει σε παραπλανητικά συµπεράσµατα για τα δεδοµένα που διαθέτουµε.

21 77 ΣΤΑ ΙΑ ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Πρώτα επιλέγουµε τον αριθµό q των οµάδων ή διαστηµάτων ή κλάσεων. Ο αριθµός αυτός συνήθως ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή σύµφωνα µε την πείρα του. Υπάρχει όµως και ένας τύπος που µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως οδηγός. Αυτός είναι γνωστός ως τύπος του Sturges και ορίζεται ως εξής: όπου q είναι ο αριθµός των κλάσεων και ν το µέγεθος του δείγµατος. q +. log0 Το δεύτερο βήµα είναι ο προσδιορισµός του πλάτους των κλάσεων (ίδιο για όλες τις κλάσεις). Το πλάτος (c) υπολογίζεται διαιρώντας το εύρος (R) του δείγµατος δια του αριθµού των διαστηµάτων. ηλαδή, c R q όπου το εύρος R max{ x,,,..., } mn{ x,,,..., } ορίζεται ως η διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από την µεγαλύτερη.

22 78 Σηµείωση: Οι στρογγυλοποιήσεις που πιθανόν θα χρειαστούν πρέπει να γίνουν προς τα επάνω ώστε τα q διαστήµατα πλάτους c να καλύψουν όλες τις διαθέσιµες παρατηρήσεις. Το τρίτο βήµα είναι ο καθορισµός των διαστηµάτων. Το πρώτο διάστηµα διαλέγεται συνήθως έτσι ώστε να περιέχει τη µικρότερη παρατήρηση και το τελευταίο να περιέχει τη µεγαλύτερη. Σηµείωση: Η επιλογή του σηµείου αρχής του πρώτου διαστήµατος να γίνεται έτσι ώστε καµιά από τις παρατηρήσεις µας να µη συµπίπτει µε άκρο του διαστήµατος για να αποφεύγονται αµφισβητήσεις σχετικά µε το διάστηµα στο οποίο βρίσκεται κάθε παρατήρηση.

23 79 Παράδειγµα 5 (συνέχεια): Από τα δεδοµένα βρίσκουµε για τον αριθµό των κλάσεων q +. log ενώ το εύρος των παρατηρήσεων είναι R Άρα R 67 c q 7 Θεωρούµε σαν αρχή του πρώτου διαστήµατος το 9.5 (οπότε καµία παρατήρηση δεν πέφτει σε άκρο διαστήµατος) θα έχουµε τον επόµενο πίνακα Κάτω όριο Πίνακας συχνοτήτων των δεδοµένων του Πίνακα.. Ανω όριο Κέντρο y Σχετική Συχνότ Αθροιστ Συχνότ Αρθ. Σχετ. Συχνότητα Για το ιστόγραµµα συχνοτήτων, κατασκευάζουµε ορθογώνια παραλληλόγραµµα που έχουν βάσεις τα διαστήµατα των κλάσεων και ύψος τέτοιο, ώστε το εµβαδόν κάθε ορθογωνίου να ισούται µε την συχνότητα των παρατηρήσεων στην αντίστοιχη κλάση.

24 80 Ενώνοντας τα µέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων (και προσθέτοντας δύο ακόµη υποθετικές κλάσεις µε συχνότητα µηδέν δεξιά και αριστερά των πραγµατικών κλάσεων) σχηµατίζουµε το πολύγωνο συχνοτήτων. Σηµείωση: Προφανώς το εµβαδόν που περικλείεται κάτω από την πολυγωνική γραµµή και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των συχνοτήτων, δηλαδή µε το συνολικό αριθµό παρατηρήσεων. Σχήµα 5: Ιστόγραµµα συχνοτήτων (και πολύγωνο συχνοτήτων)

25 8 Σχήµα 6: Ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικό διάγραµµα (oge plot) Σηµείωση: Είναι δυνατό πολλές φορές δύο ιστογράµµατα που έχουν κατασκευαστεί από τις ίδιες παρατηρήσεις να δίνουν διαφορετικές εντυπώσεις. Οι διαφορές αυτές προκύπτουν συνήθως από το διαφορετικό αριθµό (και εύρος) κλάσεων που επιλέγονται για τα δεδοµένα. Η διαφορά που φαίνεται στα ιστογράµµατα των Σχηµάτων και 7 οφείλεται στο ότι στο µεν πρώτο ιστόγραµµα έχουν κλάσεις πλάτους 0 η κάθε µία ενώ στο δεύτερο 7 κλάσεις πλάτους 0 η κάθε µία. Σχήµα 7: Ιστόγραµµα Συχνοτήτων για τα δεδοµένα του Παραδείγµατος

26 8 ΦΥΛΛΟΓΡΑΦΗΜΑΤΑ (stem-leaf plots) Η κατασκευή ενός φυλλογραφήµατος γίνεται µε βάση τα παρακάτω βήµατα: Επιλέγουµε πρώτα τα stems (οδηγούντα ψηφία), και τα leaes (επόµενα ψηφία). Καταγράφουµε τα stems και τα leaes. ιατάσσουµε τα stems κατ αύξουσα τάξη γράφοντάς τα κατακόρυφα. Γράφουµε τα leaes στην ίδια γραµµή που βρίσκεται το αντίστοιχό τους stem. Ελέγχουµε αν έχουµε καταγράψει όλα τα leaes (ο αριθµός τους είναι φυσικά ίσος µε το συνολικό αριθµό παρατηρήσεων). Παράδειγµα 6: Ας υποθέσουµε ότι έχουµε τις εξής τιµές: Στρογγυλοποιώντας τα δεδοµένα στον πλησιέστερο ακέραιο και θεωρώντας σαν stem τις δεκάδες και leaf τις µονάδες παίρνουµε εδοµένα Ακέραιοι stems leaes εκάδες 9 0 Μονάδες

27 8 Παράδειγµα 5 (συνέχεια): Για τα δεδοµένα του Παραδείγµατος 5 έχουµε το παρακάτω φυλλογράφηµα. εκάδες Φυλλογράφηµα Μονάδες ιατάσσοντας κατ αύξουσα τάξη τα ψηφία (µονάδες που αντιστοιχούν σε κάθε δεκάδα), έχουµε το διατεταγµένο φυλλογράφηµα. εκάδες ιατεταγµένο φυλλογράφηµα Μονάδες Σηµείωση: Είναι φανερό ότι, η µορφή ενός φυλλογραφήµατος επηρεάζεται δραστικά από την επιλογή των stems.

28 8 Παράδειγµα 6: Η βαθµολογία 70 µαθητών σε ένα τεστ νοηµοσύνης (IQ) δίνεται από τον επόµενο πίνακα. Πίνακας Βαθµολογίας σε IQ test 70 µαθητών ιαλέγοντας σαν stem τις 0δες έχουµε το φυλλογράφηµα ιατεταγµένο φυλλογράφηµα (stem 0άδα) stems 9 * 0* * * * leaes

29 85 ιαλέγοντας σαν stem τις 5δες έχουµε το επόµενο φυλλογράφηµα ιατεταγµένο φυλλογράφηµα (stem 5άδα) stem 9 * o 9 0 * o 0 * o * o * o leaes o *: πρώτη πεντάδα (0-) : δεύτερη πεντάδα (5-9) Σηµείωση: Τα φυλλογραφήµατα είναι στην πραγµατικότητα τα ιστογράµµατα µε στραµµένους τους άξονές τους κατά o 90. Το πλεονέκτηµα του φυλλογραφήµατος σε σχέση µε το ιστόγραµµα είναι ότι διατηρεί τις αρχικές παρατηρήσεις.

30 Σχήµα 8: Φυλλογράφηµα και Ιστόγραµµα (stem0άδα) 9 * o 9 0 * o 0 * o * o * o Σχήµα 9: Φυλογράφηµα και Ιστόγραµµα (stem5άδα)

31 87 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ιακρίνονται κυρίως σε δύο βασικές κατηγορίες: τα µέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (locaton measures, central tendency measures) τα µέτρα διασποράς ή µεταβλητότητας (measures of arablty, measures of arance, dsperson measures). Α) ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Η ΘΕΣΗΣ Τα µέτρα κεντρικής τάσης είναι χρήσιµα για την περιγραφή της θέσης της κατανοµής από την οποία προέρχονται τα δεδοµένα. Θα ορίσουµε αρχικά τα µέτρα της κατηγορίας αυτής για την περίπτωση µη οµαδοποιηµένων δεδοµένων δηλαδή όταν διαθέτουµε τις πρωτογενείς παρατηρήσεις x, x,..., x ή ισοδύναµα τις διαφορετικές µεταξύ τους παρατηρήσεις, y, y k και τις αντίστοιχες συχνότητες. y...,. Μέση Τιµή (mean, mean alue) ή δειγµατική µέση τιµή (sample mean) λέγεται το άθροισµα των τιµών των παρατηρήσεων του δείγµατος δια του πλήθους των παρατηρήσεων δηλαδή x x.

32 88 Όταν χρησιµοποιούµε πίνακα συχνοτήτων, η µέση τιµή προκύπτει από τις ισοδύναµες εκφράσεις x k y k k f y. Παράδειγµα 7: Αν τα βάρη (σε kgr) 0 κοτόπουλων ενός ορνιθοτροφείου ήταν,,,,,,,, 6, η µέση τιµή του δείγµατος θα είναι x 5 /0. 5. Στον παρακάτω Πίνακα φαίνεται ο τρόπος υπολογισµού του δειγµατικού µέσου µε χρήση πίνακα συχνοτήτων y 6 5 y

33 89 (*) Ο δειγµατικός µέσος χρησιµοποιείται ευρύτατα ως αριθµητικό περιγραφικό µέτρο αφού είναι πολύ απλός στον υπολογισµό και για ένα σύνολο δεδοµένων καθορίζεται µονοσήµαντα. Έχει όµως τα µειονεκτήµατα να επηρεάζεται από. πιθανές ακραίες τιµές (π.χ. αν x τότε x 00) x,,,..., 00 και. να µην αντιστοιχεί πάντοτε σε λογική τιµή της τυχαίας µεταβλητής που εξετάζουµε (αν στο Παράδειγµα. υποθέσουµε ότι τα δεδοµένα αφορούν αριθµό παιδιών από δείγµα 0 οικογενειών τότε οι οικογένειες θα έχουν κατά µέσο όρο.5 παιδιά). δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την περιγραφή ποιοτικών χαρακτηριστικών.. Κορυφή (mode) ή επικρατούσα τιµή M 0 ενός συνόλου παρατηρήσεων ορίζεται η παρατήρηση µε τη µεγαλύτερη συχνότητα. Παράδειγµα 7 (συνέχεια): Από τον δεδοµένα είναι φανερό ότι M 0.

34 90. ιάµεσος (medan) δ ενός δείγµατος είναι η τιµή που χωρίζει το δείγµα σε δύο ίσα µέρη έτσι ώστε ο αριθµός των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες από το δ να είναι ίσος µε τον αριθµό των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ίσες από το δ. Έτσι αν διατάξουµε τις ν παρατηρήσεις x, x,..., x x L x και συµβολίσουµε µε ( ) () ( ) το αντίστοιχο διατεταγµένο δείγµα, τότε η διάµεσος δ ορίζεται από τη σχέση x δ x( x( r) r) + x( r+ ) αν αν ν r r. Παράδειγµα 7 (συνέχεια): Το διατεταγµένο δείγµα είναι,,,,,,,,,6 Οπότε, αφού ν 0 5 (για r5), έχουµε δ x (5) + x (6). Σηµείωση: Η διάµεσος είναι απλή στον υπολογισµό και δεν επηρεάζεται από ακραίες τιµές, δεν µπορεί όµως να χρησιµοποιηθεί για ποιοτικές τυχαίες µεταβλητές.

35 9. Ποσοστηµόρια (quantles): Το α-στο ποσοστηµόριο p α ( 0 <α < ) ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι η τιµή για την οποία το α 00% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες ή ίσες του p ακαι ( α)00% µεγαλύτερες ή ίσες του α p. Αν το 00 α β είναι ακέραιος (,,...,99) β τότε τα αντίστοιχα ποσοστηµόρια λέγονται εκατοστηµόρια (percentles). Συνήθως εξετάζουµε το 0 ο, 0ο,..., 90ο εκατοσστηµόρια τα οποία λέγονται δεκατηµόρια (decles) δεκατηµόριο αντίστοιχα). ( ο,ο,..., 9ο Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν επίσης τα τεταρτηµόρια (quartles) που αντιστοιχούν σε α 0.5, 0.50, Το p 0. 5 συµβολίζεται µε Q και λέγεται πρώτο τεταρτηµόριο ενώ το p 0. 75µε Q και λέγεται τρίτο τεταρτηµόριο. Είναι προφανές ότι το δεύτερο τεταρτηµόριο p συµπίπτει µε τη διάµεσο δ των παρατηρήσεων. Παράδειγµα 8: Για τις παρατηρήσεις,5,,, 6,,, (ν8), το Q θα πρέπει να αφήνει παρατηρήσεις του διατεταγµένου δείγµατος αριστερά και 6 δεξιά του. Εποµένως θα πρέπει να πάρουµε Q (+ ) /. 5. Όµοια Q (+ 5) /. 5.

36 9 Παρατήρηση: Οι ορισµοί που δόθηκαν παραπάνω για τα διάφορα µέτρα θέσης δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν όταν τα δεδοµένα δεν δίνονται ακριβώς, αλλά υπό µορφή πινάκων συχνοτήτων στους οποίους έχει γίνει οµαδοποίηση. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουµε ότι οι τιµές στην κάθε κλάση κατανέµονται οµοιόµορφα οπότε οι παρατηρήσεις που ανήκουν σε αυτήν µπορούν να αντιπροσωπευθούν από την κεντρική τιµή της κλάσης (ηµιάθροισµα των άκρων της). Με βάση αυτή την παρατήρηση έχουµε τους επόµενους τύπους για τα πέντε µέτρα θέσης.. Μέση τιµή. Αυτή γράφεται στη µορφή x k y k f y όπου y η κεντρική τιµή της κλάσης και, f η αντίστοιχη συχνότητα και σχετική συχνότητα.. Κορυφή. Στα οµαδοποιηµένα δεδοµένα, επειδή οι αρχικές παρατηρήσεις δεν είναι διαθέσιµες δεν µπορούµε να καθορίσουµε την παρατήρηση µε τη µεγαλύτερη συχνότητα. Αντί αυτής λοιπόν θεωρούµε την επικρατούσα κλάση, δηλαδή την οµάδα µε τη µεγαλύτερη συχνότητα και υπολογίζουµε γραφικά τη κορυφή M 0 από το ιστόγραµµα όπως στο σχήµα

37 9 Σχήµα 0: Γραφικός προσδιορισµός της κορυφής. Από το σχήµα είναι φανερό ότι: Μ 0 L + EZ και αν συµβολίσουµε µε c : το πλάτος των κλάσεων (διαφορά µεταξύ της µεγαλύτερης συχνότητας + και της συχνότητας της προηγούµενης κλάσης) (διαφορά µεταξύ της µεγαλύτερης συχνότητας και της συχνότητας της επόµενης κλάσης) θα έχουµε: Εποµένως: AB, Γ, B c Γ. EZ AB ΒΓ AB+ Γ + c

38 9 και η κορυφή M 0 θα δίνεται από τον τύπο: M 0 L + c +.. ιάµεσος. Αρχικά υπολογίζουµε τη µεσαία κλάση δηλαδή το διάστηµα στο οποίο ανήκει η διατεταγµένη παρατήρηση µε σειρά ( +) / (αν το ν είναι άρτιος µας ενδιαφέρουν οι παρατηρήσεις µε σειρά / και ( +) / ) και ας συµβολίσουµε µε L το κάτω όριό της. Ο γραφικός υπολογισµός της διαµέσου δ βασίζεται στο ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων (βλ. Σχήµα ) και γίνεται ως εξής: Από το µέσο του τµήµατος OH φέρνουµε παράλληλη µε τον άξονα των παρατηρήσεων και από το σηµείο όπου αυτή συναντά το αθροιστικό διάγραµµα φέρνουµε παράλληλη µε τον άξονα των συχνοτήτων. Το σηµείο τοµής της τελευταίας µε τον οριζόντιο άξονα είναι η διάµεσος δ των παρατηρήσεων. Από το σχήµα είναι φανερό ότι και αν συµβολίσουµε : c το πλάτος των κλάσεων δ L + EZ : τη συχνότητα της κλάσης µε κάτω όριο L N L (αθροιστική συχνότητα της κλάσης µε άνω όριο το L ) θα έχουµε

39 95 AB, c AE N, c c c ΒΓ. Εποµένως EZ AE AB BΓ N c και η διάµεσος δ θα δίνεται από τον τύπο N δ L + c. Σχήµα : Γραφικός προσδιορισµός διαµέσου

40 96. Ποσοστηµόρια. ουλεύοντας όπως και στη διάµεσο µπορούµε να δείξουµε ότι το α-στο ποσοστηµόριο p α δίνεται από τον τύπο p α α N L + c, όπου: c: το πλάτος των κλάσεων L : το κάτω όριο της κλάσης που περιέχει την διατεταγµένη παρατήρηση µε σειρά [ α ν] : η συχνότητα της κλάσης µε κάτω όριο το L N L (αθροιστική συχνότητα της κλάσης µε άνω όριο το L ) Ειδικά για το πρώτο ( α 0. 5 ) και τρίτο ( α Q Q L έχουµε τους τύπους L N + N + c, c. ) τεταρτηµόριο

41 97 Παράδειγµα 9: Η βαθµολογία των 8 µαθητών µιας τάξης σε ένα τεστ δίνεται στον επόµενο πίνακα Βαθµολογία 8 µαθητών µιας τάξης σε ένα τεστ Το αντίστοιχο διατεταγµένο φυλλογράφηµα είναι Φυλλογράφηµα των δεδοµένων (stems0αδες, leaesµονάδες) stems leaes από όπου µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι Επίσης M 0, δ, Q (9+ 0) / 9. 5, Q. 8 x 8 x

42 98 Οµαδοποιώντας τα δεδοµένα σε q +. log οµάδες παίρνουµε τον επόµενο πίνακα 5 6 Κάτω όριο Άνω όριο Κεντρική Τιµή y Συχνότητα 6 0 Αθροιστ. y Συχνότητ N οπότε α) x y k β) Για την κορυφή έχουµε L 8.5, 6, 6, και ο τύπος (.) δίνει Μ γ) Για τη διάµεσο έχουµε L 8.5, 6, N και ο τύπος (.) δίνει δ

43 99 δ) Για το πρώτο τεταρτηµόριο είναι L 8.5, 6, M και ο τύπος (.) δίνει 7 Q ε) Για το τρίτο τεταρτηµόριο έχουµε L.5,, N + 0 και ο τύπος (.5) δίνει 0 Q Σηµείωση: Όλες σχεδόν οι προσεγγιστικές τιµές που βρίσκονται µε βάση τα οµαδοποιηµένα δεδοµένα είναι αρκετά κοντά στις αντίστοιχες ακριβείς τιµές.

44 00 Β) ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Παράλληλα λοιπόν µε τα µέτρα θέσης κρίνεται απαραίτητη και η εξέταση κάποιων µέτρων µεταβλητότητας, δηλαδή µέτρων που εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιµών µίας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα κεντρικής τάσης. Τέτοια µέτρα λέγονται µέτρα διασποράς ή µεταβλητότητας (measures of arablty, measures of arance, dsperson measures) και τα περισσότερο συνηθισµένα από αυτά είναι τα επόµενα:. Εύρος Κύµανση: Το απλούστερο από τα µέτρα διασποράς είναι το εύρος (Range) R που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη παρατήρηση. Σηµείωση: Όταν τα δεδοµένα είναι ταξινοµηµένα σε κατανοµή συχνότητας, το εύρος προκύπτει σαν διαφορά µεταξύ του κατώτερου ορίου του πρώτου διαστήµατος και του ανώτερου ορίου του τελευταίου διαστήµατος.. Ενδοτεταρτηµοριακή και Ηµιενδοτεταρτηµοριακή απόκλιση: Η ενδοτεταρτηµοριακή απόκλιση ή ενδοτεταρτηµοριακό εύρος (nterquantle deaton, nterquantle range) είναι η διαφορά του πρώτου τεταρτηµορίου Q από το τρίτο τεταρτηµόριο Q. a. Στο µεταξύ τους διάστηµα περιλαµβάνεται το 50% των τιµών του δείγµατος. b. Εποµένως όσο µικρότερο θα είναι αυτό το διάστηµα, τόσο µεγαλύτερη θα είναι η συγκέντρωση των τιµών και άρα µικρότερη η διασπορά των τιµών.

45 0 c. Το µισό της διαφοράς Q Q είναι το ηµιενδοτεταρτηµοριακό εύρος ή απόκλιση (semnterquantle deaton, sem-nterquantle range) και συµβολίζεται µε Q, Q Q Q. Το Q µετριέται µε τις ίδιες µονάδες της µεταβλητής και δεν εξαρτάται από όλες τις τιµές, αλλά µόνο από εκείνες που περιλαµβάνονται στον υπολογισµό των Q και Q.. Μέση Απόκλιση. Ως (δειγµατική) µέση απόκλιση (mean deaton) ορίζεται το µέγεθος MD x x Όσο µεγαλύτερη είναι η µέση απόκλιση, τόσο περισσότερο απέχουν οι τιµές της µεταβλητής από τη µέση τιµή. Σηµείωση: Όταν τα στατιστικά δεδοµένα δίνονται µε τη µορφή πινάκων συχνοτήτων, τότε η µέση απόκλιση δίνεται από τον τύπο MD k y x. (*) Ο ίδιος τύπος ισχύει και για οµαδοποιηµένα δεδοµένα, αν στη θέση των y χρησιµοποιήσουµε την κεντρική τιµή των αντίστοιχων κλάσεων.

46 0. ιασπορά ή ιακύµανση. Το πιο διαδεδοµένο µέτρο διασποράς είναι η δειγµατική διασπορά ή διακύµανση (arance) που ορίζεται από τη σχέση x x s ) (. Αυτή ισοδύναµα γράφεται στη µορφή x ν x x ν x s ) (. Στις περιπτώσεις δεδοµένων που δίνονται µε τη µορφή πινάκων συχνοτήτων η διασπορά µπορεί να υπολογισθεί από τον τύπο k x y s ) ( ή ισοδύναµα, ) ( x ν y y ν y s k k k. Σηµείωση: Ο ίδιος τύπος ισχύει και για οµαδοποιηµένα δεδοµένα, αρκεί στη θέση των y να χρησιµοποιήσουµε την κεντρική τιµή των αντίστοιχων κλάσεων.

47 0 5. Τυπική απόκλιση. Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς είναι η τυπική απόκλιση (standard deaton) και συµβολίζεται µε s s ( x x) Όταν τα δεδοµένα δίνοντάι σε µορφή πινάκων συχνοτήτων η τυπική απόκλιση θα δίνεται από τη σχέση. s k k y y, Σηµείωση: Ο ίδιος τύπος θα ισχύει και για οµαδοποιηµένα δεδοµένα, αρκεί στη θέση των y να χρησιµοποιήσουµε την κεντρική τιµή των αντίστοιχων κλάσεων. Σηµείωση: Αν το ιστόγραµµα των δεδοµένων µοιάζει µε το σχήµα της κανονικής κατανοµής (καµπάνα του Gauss) τότε ) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα µε άκρα τα σηµεία s x±, ) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα µε άκρα τα σηµεία x± s, ) το 99% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα µε άκρα τα σηµεία x± s, ) ισχύει προσεγγιστικά η σχέση R s.

48 0 Παράδειγµα 0: Σε δύο δείγµατα 8 οικογενειών είχαµε τον εξής αριθµό παιδιών: είγµα Ι 0 είγµα ΙΙ Τα σηµειογράµµατα των δύο δειγµάτων είναι τα εξής: Με βάση τα δεδοµένα αυτά µπορούµε να συµπληρώσουµε τους Πίνακες Συχνοτήτων

49 05 Υπολογισµός των µέτρων διασποράς για το δείγµα Ι. y 0 y x y x y ( x) y ( y x) Υπολογισµός των µέτρων διασποράς για το δείγµα ΙΙ. 5 y 6 0 y x y x y ( x) 6 6 y ( y x) είγµα Ι: / MD, R 0 9, s 6/ 7 8.7, Q ( Q Q ) / ( ) /, s. 95. είγµα ΙΙ: 0 / 8. 5 MD, R 0 9, s 68/ 7 9.7, Q ( Q Q ) / (6 5) /.5, s. Παρατήρηση: Με µοναδική εξαίρεση το εύρος R, όλα τα µέτρα διασποράς του δευτέρου δείγµατος είναι µεγαλύτερα από τα αντίστοιχα του πρώτου.

50 06 ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΑ (box-plot) Αρχικά υπολογίζουµε τα δύο τεταρτηµόρια Q και Q και τη διάµεσο δ (Q ). Μετά κατασκευάζουµε ένα ορθογώνιο µε την κάτω βάση στο Q και την άνω βάση στο Q Το µήκος των βάσεων του ορθογωνίου λαµβάνεται αυθαίρετα. Η διάµεσος παριστάνεται σαν ένα ευθύγραµµο τµήµα µέσα στο ορθογώνιο παράλληλο µε τις βάσεις. Στη συνέχεια διακεκοµµένες γραµµές εκτείνονται από τα µέσα των βάσεων του ορθογωνίου µέχρι τις οριακές (adjacent) τιµές που προκύπτουν ως εξής: o Η άνω τιµή ορίζεται ως η µεγαλύτερη παρατήρηση, η οποία είναι µικρότερη ή ίση από το Q +.5 ( Q Q ) Q Q. + o Η κατώτερη οριακή τιµή ορίζεται ως η µικρότερη παρατήρηση η οποία είναι µεγαλύτερη ή ίση από το Q.5 ( Q Q ) Q Q. o Εάν υπάρχουν ακόµη παρατηρήσεις που βρίσκονται έξω από το εύρος των δύο οριακών τιµών, αυτές καλούνται εξωτερικές τιµές και παριστάνονται µε κάποιο ιδιαίτερο σύµβολο (π.χ. * ή ).

51 07 Παράδειγµα : Ας θεωρήσουµε τα δεδοµένα του Παραδείγµατος... Τότε τα τεταρτηµόρια είναι 9. 5 Q, Q και η διάµεσος δ. Η άνω οριακή τιµή είναι η µεγαλύτερη παρατήρηση που είναι µικρότερη ή ίση από Q +.5 ( Q Q ) +.5 ( 9.5) 5.75 δηλαδή το 5. Όµοια η κάτω οριακή τιµή είναι η µικρότερη παρατήρηση που είναι µεγαλύτερη ή ίση από το Q.5 ( Q Q ) ( 9.5) 5.75 δηλαδή το 6. Με βάση τα στοιχεία αυτά µπορούµε να σχεδιάσουµε το θηκόγραµµα του Σχήµατος. Είναι φανερό ότι για τα δεδοµένα αυτά υπάρχουν επίσης τρεις εξωτερικές τιµές προς τα άνω (οι τιµές 5,7 και ). Αναγράφοντας και τις παρατηρήσεις αυτές στο σχήµα συµπληρώνεται η κατασκευή του θηκογράµµατος των δεδοµένων του Πίνακα.. Σχήµα : Θηκόγραµµα

52 08 Παρατήρηση: Τα θηκογράµµατα είναι αρκετά χρήσιµα σε περίπτωση που έχουµε να συγκρίνουµε ταυτόχρονα διάφορους πληθυσµούς (διάφορα σύνολα παρατηρήσεων-δειγµάτων) Σχήµα

53 09 Γ) ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Για ένα σύνολο (συνήθως θετικών) παρατηρήσεων, ο λόγος της δειγµατικής τυπικής απόκλισης προς τη δειγµατική µέση τιµή, δηλαδή το πηλίκο CV s x λέγεται συντελεστής µεταβλητότητας (coeffcent of araton). Συνήθως εκφράζεται και σαν ποσοστό, δηλαδή CV τυπικήαπόκλιση µέσητιµή τυπικήαπόκλιση 00% µέσητιµή. Ο συντελεστής µεταβλητότητας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για συγκρίσεις οµάδων τιµών Αυτές εκφράζονται είτε σε διαφορετικές µονάδες µέτρησης, είτε εκφράζονται στην ίδια µονάδα µέτρησης αλλά έχουν εντελώς διαφορετικές µέσες τιµές. Είναι δηλαδή ένα µέτρο της σχετικής µεταβλητότητας των τιµών και όχι της απόλυτης µεταβλητότητας όπως είναι τα άλλα µέτρα διασποράς που έχουµε αναφέρει. Γενικά θα δεχόµαστε ότι ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές εάν ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Προφανώς ο συντελεστής µεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος από τις χρησιµοποιούµενες µονάδες µέτρησης των τιµών των διαφόρων µεταβλητών.

54 0 Παράδειγµα : Έστω ότι για τους µηνιαίους µισθούς 0 υπαλλήλων µιας εταιρείας Α είχαµε µέσο όρο 600 Ευρώ και τυπική απόκλιση 75 Ευρώ, ενώ για τους µισθούς 0 υπαλλήλων µιας δεύτερης εταιρείας Β είχαµε µέσο όρο 500 δολάρια και τυπική απόκλιση 70 δολάρια. Για να συγκρίνουµε την οµοιογένεια των µισθών στις δύο εταιρείες χρησιµοποιούµε τον συντελεστή µεταβλητότητας και όχι τις τυπικές αποκλίσεις (οι οποίες άλλωστε εκφράζονται και σε διαφορετικές µονάδες µέτρησης). Έτσι για την εταιρεία Α έχουµε CV A 75 00% 600.5% ενώ για την εταιρεία Β είναι 70 CV B 00% %. 500 Βλέπουµε δηλαδή ότι παρόλο που η τυπική απόκλιση των µισθών στην εταιρεία Α είναι µεγαλύτερη από την τυπική απόκλιση των µισθών στην εταιρεία Β, ο συντελεστής µεταβλητότητας δείχνει ότι ο βαθµός διασποράς των µισθών της Α είναι µικρότερος από το βαθµό διασποράς των µισθών στη Β.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που γεννιούνται κατά την σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III): I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης,

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Τι ονοµάζεται συνάρτηση Συνάρτηση (functon) είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς

Κεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Φεβρουάριος 2010 Περιγραφική Στατιστική 1. εδοµένα Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο δεδοµένων (data set): NUM1

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή.

Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή. ΠΕΜΠΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Χρησιµότητα των διαγραµµάτων Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων µπορεί να γίνει όχι µόνο µε πίνακες, αλλά και µε διαγράµµατα ή γραφικές απεικονίσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Οδηγός Επιβίωσης 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαφοριός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Στατιστιή Οδηγός Επιβίωσης Περιλαμβάνει: Ερωτήσεις Θεωρίας Όλες τις Αποδείξεις Χρήσιμο Τυπολόγιο ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Ευστρατία Μούρτου

Δρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 2009-2010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δρ. Ευστρατία Μούρτου Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2000-2001 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Το τµήµα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Ενιαίων Λυκείων του

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 015-016 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Σε αυτή την ενότητα, όπως και στις επόμενες, όταν θα αναφερόμαστε σε δεδομένα από έναν πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τιμές, x, x,, x, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων αποτελεί σηµαντικό στάδιο κάθε Στατιστικής έρευνας. Απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, διότι,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1 υπάρχουν 154 υποψήφιοι που έχουν συµµετάσχει στις εξετάσεις των ετών 01 και 02. Για αυτούς γίνεται στο Κεφάλαιο 6 ξεχωριστή συγκριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί πίνακες. Δημιουργία κλάσεων

Στατιστικοί πίνακες. Δημιουργία κλάσεων Στατιστικοί πίνακες Δημιουργία κλάσεων Τι είναι οι κλάσεις; Κλάσεις είναι ημιανοικτά διαστήματα της μορφής [α i, b i ), τα οποία είναι ταυτόχρονα και διαδοχικά, έτσι ώστε να μην υπάρχει κάποια τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα