ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Διπλωματική Εργασία του Σκαρπέντζου Γεωργίου (ΑΕΜ: 346) Επιβλέποντες καθηγητές: ΚΟΛΕΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΠΗΛΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ Πάτρα, Σεπτέμβριος 2014

2 Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Αναλυτικά Προγράμματα και Διδακτική, Υποκατεύθυνση: Διδακτική Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών» του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 2

3 Ευχαριστίες Αισθάνομαι την ανάγκη να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όλους, όσους με παρότρυναν, συμβούλεψαν και βοήθησαν στη δημιουργία της παρούσης διπλωματικής εργασίας. Καταρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Επίκουρο Καθηγητή κ. Μαρκόπουλο Χρήστο τόσο για την γνωστική βοήθεια, όσο και για την καθοδήγηση την οποία προσέφερε, σε όλη την διάρκεια της εκπόνησης αυτής της διπλωματικής εργασίας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω την Καθηγήτρια κ. Κολέζα Ευγενία για την προσφορά της όλο αυτό το χρονικό διάστημα που διήρκησε το πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών. Θέλω να ευχαριστήσω την Μαριάνθη και την Ισμήνη για την κατανόηση που επέδειξαν όλες εκείνες τις στιγμές, που η εκπόνηση της διπλωματικής μου εργασίας με κράτησε μακριά τους. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την Κατερίνα για την ουσιαστική βοήθειά της κατά την πραγματοποίηση του ερευνητικού μέρους της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 3

4 Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία, αφού πραγματοποιείται μια βιβλιογραφική ανασκόπηση στην διδασκαλία των μαθηματικών και στην σημασία των δραστηριοτήτων και των πολλαπλών αναπαραστάσεων σε αυτές, παρουσιάζεται μία πρόταση διδασκαλίας για τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων της γ γυμνασίου με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων και του εκπαιδευτικού λογισμικού προσομοίωσης modellus. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετήσει την συνεισφορά της παρούσας πρότασης διδασκαλίας στην επίτευξη των επιμέρους στόχων του αναλυτικού προγράμματος σπουδών. Η αποδελτίωση των γραπτών δοκιμασιών της ομάδας των μαθητών που συμμετείχαν στην ερευνητική εφαρμογή της διδασκαλίας υποδεικνύει πως επιβεβαιώνεται τόσο η δυσκολία των μαθητών να μεταφράσουν τις αναπαραστάσεις όσο και το γεγονός ότι η συγκεκριμένη διδασκαλία βοήθησε τους μαθητές να κατακτήσουν τη νέα γνώση επιτυγχάνοντας την βαθιά κατανόηση τόσο των διαφορετικών αναπαραστάσεων, όσο και των μεταξύ τους συνδέσεων. Η παρούσα εργασία ολοκληρώνεται με αναφορά τόσο στα εμπόδια που παρουσιάστηκαν, όσο και σε πρόταση για περαιτέρω έρευνα. Abstract The following thesis, after a literature review of the teaching of mathematics and the significance of the mathematical activities with or without the use of multiple representations, presents a teaching proposal for the systems of linear equations of the high schools third grade, by using multiple representations and educational software for simulations modellus. The objective of this thesis is to study the contribution of this teaching proposal as far as the achievement of curriculum s goals are concerned. The answers of the tests for the student group that have participated in the application of the experimental teaching proposal mentioned above, indicates the confirmation of the difficulty that students have to translate the representations, as well as the confirmation that the teaching proposal have helped students to achieve deep understanding of the different representations and the correlations among them. This thesis completes with a reference to the obstacles that appeared and suggestion for further research. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 4

5 Περιεχόμενα Περίληψη... 4 Abstract... 4 Περιεχόμενα Εισαγωγή Οι δραστηριότητες και η διδασκαλία των Μαθηματικών Σχεδιασμός της διδασκαλίας και μαθηματικά Κατηγοριοποίηση δραστηριοτήτων Επιλογή και δόμηση κατάλληλων δραστηριοτήτων Η χρήση της τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Πρακτική εφαρμογή της χρήσης της τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Τα πλεονεκτήματα της χρήσης τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Τα μειονεκτήματα της χρήσης τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Συμπεράσματα Η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην διδασκαλία των μαθηματικών Η έννοια της αναπαράστασης στις μαθηματικές δραστηριότητες Η μέθοδος των πολλαπλών αναπαραστάσεων Η μέθοδος των πολλαπλών αναπαραστάσεων με την χρήση τεχνολογίας Γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους Η εξίσωση Το σύστημα Το γραμμικό σύστημα και οι αναπαραστάσεις του στο σχολικό βιβλίο Προτάσεις διδασκαλίας του γραμμικού συστήματος 2x Η τροχιά μάθησης και διδασκαλίας της έννοιας του γραμμικού συστήματος Η προϋπάρχουσα γνώση Η πρόταση διδασκαλίας Εισαγωγή Μέθοδος Εκπαιδευτικό λογισμικό Πρόταση διδασκαλίας Αποτελέσματα Αποτελέσματα πρώτης δοκιμασίας Αποτελέσματα δεύτερης δοκιμασίας Σύγκριση αποτελεσμάτων Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 5

6 6.5.3 Συμπεράσματα Συμπεράσματα Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα Βιβλιογραφία Παράρτημα Διερευνητική δοκιμασία στην επίλυση γραμμικού συστήματος pre - test Φύλλο εργασίας Διερευνητική δοκιμασία στην επίλυση γραμμικού συστήματος post - test Οδηγίες για το λογισμικό Modellus Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 6

7 1. Εισαγωγή Σε μια εποχή που η τεχνολογία έχει εισβάλλει επιβλητικά, με διάφορες εκφάνσεις, σε πολλές λειτουργίες της καθημερινότητας, η εκπαίδευση δεν θα μπορούσε να παραμείνει ανεπηρέαστη. Η χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή και η ύπαρξη ελεύθερων και συνεχώς αναπτυσσόμενων εκπαιδευτικών λογισμικών δίνει ακόμα μεγαλύτερες δυνατότητες στην διδασκαλία πολλών μαθημάτων, ένα εκ των οποίων είναι το μάθημα των μαθηματικών. Η ποικιλία των εκπαιδευτικών λογισμικών εγγυάται την ύπαρξη του κατάλληλου λογισμικού για κάθε είδος δραστηριότητας. Η δημιουργία δραστηριοτήτων με στοιχεία προσομοίωσης, πολλαπλών αναπαραστάσεων και δυναμικών συνδέσεων γίνεται εφικτή με την χρήση της τεχνολογίας. Η δημιουργία, ωστόσο, μιας δραστηριότητας με συγκεκριμένους εκπαιδευτικούς στόχους, παραμένει μια ιδιαιτέρως σύνθετη διαδικασία. Η επιλογή του κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού δεν εγγυάται από μόνη της, την επιτυχία της δραστηριότητας. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να αφουγκραστεί το κοινωνικόπολιτισμικό περιβάλλον την ομάδας, να γνωρίζει την προϋπάρχουσα γνώση και τις εμπειρίες των μαθητών και πράττοντας σύμφωνα με παιδαγωγικές πρακτικές να δομήσει την δραστηριότητα με τέτοιον τρόπο, ώστε ο μαθητής κονστρουκτιβιστικά να μετασχηματίσει την υπάρχουσα γνώση του και να κατανοήσει την νέα. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια πρόταση διδασκαλίας του συστήματος γραμμικών εξισώσεων, σύμφωνα με την ύλη της γ γυμνασίου, με την μέθοδο των πολλαπλών αναπαραστάσεων και με την χρήση του δυναμικού λογισμικού προσομοιώσεων modellus. Για να δομηθεί σωστά η πρόταση διδασκαλίας ερευνήθηκε τόσο το θεωρητικό υπόβαθρο της χρήσης της τεχνολογίας στην διδασκαλία των μαθηματικών, όσο και η χρήση των πολλαπλών αναπαραστάσεων. Όπως έχει ήδη αναδειχθεί από τη βιβλιογραφία οι μαθητές παρουσιάζουν συγκεκριμένες δυσκολίες να μεταφράζουν σωστά τις εξωτερικές αναπαραστάσεις, να κατανοούν τις μεταξύ τους συνδέσεις και να μεταβαίνουν από μια μορφή αναπαράστασης σε μια άλλη (Sherin 2000, Superfine, Canty and Marshall 2009, Galbraith and Haines 2010, Gagatsis and Shiakalli 2010, Bossé, Adu-Gyamfi and Cheetham 2011 & 2012). Η επιτυχής μετάφραση των διαφορετικών αναπαραστάσεων τόσο στα γραμμικά συστήματα όσο και σε αντίστοιχες έννοιες αποτελεί πρωτεύοντα στόχο του Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 7

8 αναλυτικού προγράμματος σπουδών. Η ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να μεταβαίνουν από μια αναπαράσταση σε μια άλλη και η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων βοηθάει τους μαθητές να κατανοήσουν καλύτερα την διδασκόμενη έννοια καθώς επίσης και να αποκτήσουν μεγαλύτερη ευελιξία στην επίλυση προβλημάτων (Webb, Gold and Qi 1990, Ainsworth 1999, Knuth 2000, Bodemer 2006, Panasuk and Beyranevand 2010). Η χρήση, κατά τη διδασκαλία, δραστηριοτήτων που περιέχουν πολλαπλές αναπαραστάσεις βοηθάει τους μαθητές να εξοικειωθούν τόσο με τις διαφορετικές μορφές των αναπαραστάσεων όσο και με τις υπάρχουσες συσχετίσεις μεταξύ αυτών. Στη συνέχεια της παρούσας εργασίας μελετήθηκε, αναλυτικά η τροχιά μάθησης και διδασκαλίας της έννοιας του γραμμικού συστήματος καθώς και διάφορες προτάσεις διδασκαλίας της ενότητας αυτής (Στέας 2003, Σταθόπουλος 2007) συμπεριλαμβανομένης και της επίσημης πρότασης του αρμόδιου ινστιτούτου πολιτικής του υπουργείου παιδείας. Υπάρχουν αρκετές προτάσεις διδασκαλίας του συστήματος γραμμικών εξισώσεων με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων, από τις οποίες άλλες δεν εμπεριέχουν τη χρήση τεχνολογίας (Cengage learning, Σταθόπουλος 2007) ενώ άλλες που έχουν χρήση τεχνολογίας (Στέας 2003, Μιχαήλ 2010) κάνουν χρήση μόνο των αναπαραστάσεων της γραφικής παράστασης και του τύπου χωρίς να παρουσιάζουν την αναπαράσταση του πίνακα τιμών. Σε άλλες περιπτώσεις (Μπαταγιάννη 2010) παρουσιάζονται οι προαναφερόμενες αναπαραστάσεις καθώς ο πίνακας τιμών με την γραφική αναπαράσταση να είναι αυτή που αποδίδεται με την χρήση τεχνολογίας. Η προτεινόμενη από αυτή την εργασία διδασκαλία διαφοροποιείται από τις προϋπάρχουσες, στην ταυτόχρονη απόδοση πολλαπλών αναπαραστάσεων (γραφική αναπαράσταση, κινούμενη εικόνα, πίνακα τιμών, τύποι, λεκτικό ) με χρήση λογισμικού προσομοίωσης. Με βασικό στόχο την επιβεβαίωση ή μη της δυσκολίας των μαθητών να συνδέουν διαφορετικές αναπαραστάσεις καθώς και την αποτελεσματικότητας της προτεινόμενης διδασκαλίας, η διδασκαλία εφαρμόστηκε σε μια ομάδα δεκαοκτώ μαθητών και δύο γραπτές διερευνητικές δοκιμασίες, μία πριν (pre-test) και μία μετά (post-test) μέσα από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων τους, υπέδειξαν τον βαθμό αποτελεσματικότητας της παρούσας πρότασης. Το ερευνητικό ερώτημα της παρούσας εργασίας είναι να μελετηθεί μέσω του pre-test εάν επιβεβαιώνονται οι αναφερόμενες στη βιβλιογραφία δυσκολίες των μαθητών να μεταφράζουν και να Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 8

9 συνδέουν διαφορετικά είδη αναπαραστάσεων (Sherin 2000, Superfine, Canty and Marshall 2009, Galbraith and Haines 2010, Gagatsis and Shiakalli 2010, Bossé, Adu- Gyamfi and Cheetham 2011 & 2012) καθώς επίσης μέσω του post-test να μελετηθεί εάν η παρούσα πρόταση διδασκαλίας με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων βοηθάει στην κατανόηση της διδασκόμενης έννοιας και βελτιώνει τις επιδόσεις των μαθητών. Διάφορες παράμετροι αποδείχτηκαν ιδιαίτερα σημαντικές για την εξέλιξη της παρούσας εργασίας και ενδεικτικά θα αναφερθούν κάποιες από αυτές. Αξιοσημείωτη ήταν η θετική στάση με την οποία οι μαθητές αντιμετώπισαν μια διδασκαλία διαφορετική από τις συνηθισμένες, γεγονός που επηρέασε ουσιαστικά την πορεία της έρευνας και την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων από αυτήν. Πολύ μεγάλη σημασία, με αρνητική ωστόσο χροιά, για την εξέλιξη της παρούσας εργασίας, αποδείχτηκε η παλαιότητα των εργαστηρίων υπολογιστών αρκετών σχολείων της Πάτρας. Η αδυναμία εγκατάστασης του απαραίτητου λογισμικού για την πραγματοποίηση της παρούσας διδασκαλίας είχε ως αποτέλεσμα την επίσκεψη πολλών σχολείων έως ότου να βρεθεί κάποιο με ένα στοιχειώδες εργαστήριο υπολογιστών στο οποίο θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί η διδασκαλία. Γεγονός που μπορεί μόνο να προβληματίσει για την πραγματική δυνατότητα της χρήσης ΤΠΕ στην εκπαίδευση, ένας τομέας για τον οποίο έχουν πραγματοποιηθεί πολλές ώρες σεμιναρίων. Τέλος, η βοήθεια για να πραγματοποιηθεί η έρευνα, που δόθηκε από διευθυντές και καθηγητές, κάτω από αντικειμενικά δύσκολες συνθήκες, είναι πραγματικά αξιομνημόνευτη. Οι εμπλεκόμενοι εκπαιδευτικοί, στο σύνολό τους, βοήθησαν με κάθε τρόπο και επέδειξαν πρωτοφανές ενδιαφέρον τόσο για την εξέλιξη της παρούσας έρευνας όσο και για τα αποτελέσματά της. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 9

10 2. Οι δραστηριότητες και η διδασκαλία των Μαθηματικών 2.1 Σχεδιασμός της διδασκαλίας και μαθηματικά Ο επιτυχημένος σχεδιασμός της διδασκαλίας των μαθηματικών είναι για κάθε εκπαιδευτικό μια απαιτητική και χρονοβόρα διαδικασία. Ο εκπαιδευτικός καλείται να προσδιορίσει τους στόχους με βάση τις μεγάλες ιδέες και τις ουσιαστικές ερωτήσεις του αντίστοιχου θεματικού πεδίου, καλείται να σχεδιάσει σωστά την αξιολόγηση με χρήση αυθεντικών δραστηριοτήτων, οι οποίες βάζουν τον μαθητή σε ρόλο και τον οδηγούν στην χρήση επιχειρημάτων και αιτιολόγησης. Καλείται επίσης να σχεδιάσει την διδασκαλία λαμβάνοντας υπόψη του την προγενέστερη γνώση των μαθητών και την μαθησιακή τροχιά της έννοιας που θέλει να διδάξει (Κολέζα, 2012). Στη συνέχεια πρέπει να εφαρμόσει στην τάξη, σε ένα καθόλα δυναμικό περιβάλλον, την προσχεδιασμένη διδασκαλία με τέτοιο τρόπο ώστε να συμφωνεί με τις παιδαγωγικές πρακτικές. Με τον όρο παιδαγωγική ορίζουμε μια δομημένη διαδικασία με την οποία ένας πολιτιστικά πιο έμπειρος ομόλογος ή δάσκαλος χρησιμοποιεί πολιτιστικά εργαλεία για να μεσολαβήσει ή να καθοδηγήσει έναν αρχάριο σε καθιερωμένους, σχετικά σταθερούς τρόπους γνώσης μέσα σε ένα συγκεκριμένο, θεσμικό πλαίσιο, με τέτοιο τρόπο ώστε οι γνώσεις και δεξιότητες που αποκτά ο αρχάριος να οδηγούν σε αλλαγές, οι οποίες σχετικά διαρκούν, στη συμπεριφορά του, δηλαδή, τη μάθηση (Hardman, 2008). Η διδασκαλία των μαθηματικών όπως αυτή εξελίχθηκε ιστορικά επηρεάστηκε από ερωτήματα που διατυπώθηκαν από εκπαιδευτικούς και ερευνητές σχετικά με το πώς μπορούν να διδαχθούν καλύτερα τα μαθηματικά, πως τα παιδιά θα ενθαρρυνθούν παροτρυνθούν να δείξουν ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, πως πραγματικά μαθαίνουν μαθηματικά τα παιδιά και ποια είναι η αξία των μαθηματικών (Nellisen, 1993). Η διδασκαλία των μαθηματικών βασίστηκε σε διάφορες θεωρίες όπως για παράδειγμα την μηχανιστική, την στρουκτουραλιστική και την εμπειρική, ενώ τελικά η ρεαλιστική διδακτική των μαθηματικών είναι αυτή που ακολουθείται περισσότερο. Η μηχανιστική διδακτική έχει τον δάσκαλο ως κεντρικό πρόσωπο ο οποίος καθοδηγεί βήμα προς βήμα τους μαθητές δίνοντας έμφαση στην επανάληψη και την απομνημόνευση, ανατροφοδοτώντας άμεσα με σκοπό την ελαχιστοποίηση των λαθών. Κατά την στρουκτουραλιστική διδασκαλία ο συλλογισμός βασίζεται σε Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 10

11 δεδομένες μαθηματικές δομές με κεντρικό πρόσωπο τον δάσκαλο και περιορισμένη διαδραστικότητα μεταξύ των δομών που αναπτύσσονται. Κατά την εμπειρική διδακτική η διδασκαλία πρέπει να είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τις εμπειρίες και τα ενδιαφέροντα του μαθητή και πραγματοποιείται μέσω αυθόρμητων συζητήσεων. Σύμφωνα με την ρεαλιστική διδακτική των μαθηματικών η διδασκαλία πραγματοποιείται σε ένα πλαίσιο οικείο και ρεαλιστικό για αυτόν που το επεξεργάζεται. Το περιβάλλον είναι τέτοιο ώστε να προσελκύει τους μαθητές, να δίνει νόημα στη μάθηση και να μπορεί να αναγνωριστεί στην θεωρία. Η διδασκαλία περιλαμβάνει έννοιες που αλληλοεπηρεάζονται και κατασκευάζονται νοητικά μέσω μιας μάθησης απαραίτητα διαδραστικής. Ο μαθητής πρέπει να είναι ικανός να αναγνωρίζει μαθηματικές έννοιες μέσα σε συγκεκριμένες ρεαλιστικές καταστάσεις, και να είναι ικανός να μεταφράζει μία κατάσταση από την φυσική στην μαθηματική γλώσσα. Η εκμάθηση των μαθηματικών εννοιών σύμφωνα με τα ρεαλιστικά μαθηματικά είναι μια κατασκευαστική διαδικασία, η οποία ούτε μεταδίδεται, ούτε παρουσιάζεται (Nelissen, 1993). Η γνώση είναι αποτέλεσμα παρατήρησης, εμπειρίας και αλληλεπίδρασης. Οι βάσεις των ρεαλιστικών μαθηματικών βρίσκονται στη δουλειά του H. Freudenthal και η θεωρία της ρεαλιστικής διδακτικής των μαθηματικών, μπορεί να περιγραφεί με τα εξής βασικά στοιχεία: την θεωρία των επιπέδων του Van Hiele, την διδακτική φαινομενολογία του Freudenthal και την προοδευτική μαθηματικοποίηση του προβλήματος. Τα επίπεδα μάθησης Van Hiele είναι τα εξής: το πρώτο επίπεδο είναι το επίπεδο στο οποίο η σκέψη είναι ενσωματωμένη στη διδακτική δραστηριότητα. Το δεύτερο επίπεδο είναι το επίπεδο όπου η δράση γίνεται αντικείμενο συζήτησης και διαπραγμάτευσης και το τρίτο επίπεδο της τυπικής γνώσης όπου οι σχέσεις από μόνες τους αποτελούν αντικείμενο σκέψης. Για επιτευχθεί η μάθηση σε κάποιο επίπεδο πρέπει πρώτα να έχει ολοκληρωθεί η μάθηση στο προηγούμενο επίπεδο. Η μετάβαση των μαθητών από το ένα επίπεδο στο αμέσως επόμενο γίνεται σε πέντε φάσεις: πληροφοριών, εξερεύνησης, έκφρασης, ελεύθερου προσανατολισμού και ολοκλήρωσης (Πιπίνος, 2006). Με τον όρο διδακτική φαινομενολογία του Freudenthal εννοείται η εξερεύνηση πραγματικών καταστάσεων και φαινομένων από όσο το περισσότερο διαφορετικές οπτικές γωνίες με σκοπό ο μαθητής να έρθει σε αντιπαράθεση με πάγιες και λανθασμένες αντιλήψεις και να επανα-εφεύρει τη γνώση. Με τον όρο προοδευτική μαθηματικοποίηση του προβλήματος γίνεται αναφορά σε Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 11

12 δύο έννοιες, στην οριζόντια μαθηματικοποίηση κατά την οποία το πρόβλημα μεταφράζεται και μοντελοποιείται μαθηματικά και στην κάθετη μαθηματικοποίηση κατά την οποία το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με χρήση μόνο μαθηματικών εργαλείων (Πιπίνος, 2006). Τα μαθηματικά είναι λοιπόν μια διαδικασία ανακάλυψης όπου ο μαθητής εντάσσει τις εμπειρίες του σε ένα μαθηματικό πλαίσιο και ο εκπαιδευτικός πρέπει να δομήσει τη διδασκαλία τους λαμβάνοντας υπόψη πολλές παραμέτρους. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό ο εκπαιδευτικός να κατανοήσει σε βάθος τη μαθηματική δομή της έννοιας καθώς και την ιστορική πορεία της εξέλιξης της, να συμπεριλάβει το κοινωνικο-πολιτισμικό πλαίσιο εφαρμογής της έννοιας και να ενσωματώσει στη διδασκαλία τις βασικές παρανοήσεις των μαθητών. Γνωρίζοντας τις συνηθέστερες παρανοήσεις των μαθητών ο εκπαιδευτικός μπορεί να δομήσει την διδασκαλία με τέτοιο τρόπο, ώστε να προκαλέσει τους μαθητές να βρεθούν αντιμέτωποι με αυτές και να τις μετασχηματίσουν επιτυγχάνοντας την βαθιά κατανόηση των εννοιών. Η βαθιά κατανόηση των εννοιών επιτυγχάνεται σύμφωνα με τον Wiggins όταν ο μαθητής μπορεί να εξηγήσει, να ερμηνεύσει και να εφαρμόσει (Κολέζα, 2011). Γενικότερος στόχος όλων αυτών, είναι ο μαθητής μόνος του να κατασκευάσει ο ίδιος τη γνώση. Οι βασικές αρχές της θεωρίας κατασκευής της γνώσης, όπως αναφέρονται από τη Μ. Χιονίδου (1999), είναι οι εξής: α) Μαθαίνουμε δρώντας. Η γνώση περνάει από μια κατάσταση ισορροπίας σε μια άλλη μέσα από μεταβατικές φάσεις κατά τη διάρκεια των οποίων οι προηγούμενες γνώσεις αποδεικνύονται λανθασμένες, β) Κάθε άτομο δημιουργεί τις δικές του αναπαραστάσεις και δεν υπάρχει μια μοναδικά «σωστή αναπαράσταση» της γνώσης, γ) Η μάθηση συμβαίνει μέσα σε ένα κοινωνικό πλαίσιο. Η δημιουργία λεκτικής διαμάχης μεταξύ μαθητών και μαθητριών μπορεί να διευκολύνει την απόκτηση της γνώσης και δ) Το άτομο πρέπει να αναστοχάζεται και να προσπαθεί να συνειδητοποιήσει με βάση μια μεταγνωστική και συναισθηματική ενεργοποίηση με ποιο τρόπο άλλαξαν οι αντιλήψεις του. Ορισμένες πολύ σημαντικές διαστάσεις που απορρέουν από τις παραπάνω αρχές είναι η συνεργατικότητα, ο στοχασμός, η ενεργός συμμετοχή και η προσωπική συνάφεια (Ράπτης και Ράπτη, 1998). (Φερεντίνος, 2001). Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 12

13 Σημαντικό να τονιστεί εδώ είναι η ανάγκη διαχωρισμού της έννοιας γνώση από την έννοια πληροφορία. Με την έννοια γνώση αναφερόμαστε στην γνώση κατανόηση η οποία «χαρακτηρίζεται από ποιοτικές ιδιότητες: 1. Είναι εσωτερικά δομημένη. Η οργάνωση της απαιτεί μια ιεράρχηση των επιμέρους γνώσεων πληροφοριών έτσι ώστε αυτό που προηγείται να αποτελεί προϋπόθεση για τα όσα έπονται. 2. Είναι συνθετική. Δεν αποτελεί συρραφή ανεξάρτητων πληροφοριών, αλλά δίκτυο αλληλοσυνδεόμενων γνώσεων. Εμφανίζεται με τη μορφή μιας ολοκληρωμένης κατασκευής και όχι σε αποτέλεσμα ταξινόμησης πληροφοριών. 3. Είναι απαραίτητα κριτική. Είναι αληθής κάτω από συγκεκριμένες προϋποθέσεις και αντικειμενική 4. Συνοδεύεται πάντα από μια μέθοδο, η οποία εκφράζει τις λογικές σχέσεις που επιτρέπουν την παρακολούθηση και διατύπωση των διαδοχικών φάσεων ενός συλλογισμού.» (Κολέζα, 1997). Θεμέλια της παιδαγωγικής προσέγγισης στην διδασκαλία των μαθηματικών είναι τα χαρακτηριστικά της παιδαγωγικής προσέγγισης του Βιγκότσκι σύμφωνα με την οποία η διαπαιδαγώγηση μέσω του σχολείου είναι ένας θεσμικά οργανωμένος εκπολιτισμός, δηλαδή μια συστηματική διαδικασία αφομοίωσης των πολιτιστικών δομών κατανόησης και τρόπων σκέψης. Οι μαθητές κατασκευάζουν τη γνώση και για να επιτευχθεί η βαθιά κατανόηση, είναι απαραίτητη η ενεργητική συμμετοχή τους. Η νοητική τους ανάπτυξη συνδέεται άμεσα με το κοινωνικό πολιτισμικό πλαίσιο, και η σκέψη τους συνδέεται άμεσα με τις εμπειρίες. Η γλώσσα (σημασίες σύμβολα) αποτελεί το νοητικό εργαλείο που έχει τον διαμεσολαβητικό ρόλο στην μετάβαση από τον εμπειρικό στον θεωρητικό τρόπο σκέψης. Όσον αφορά τα μαθηματικά η γνώση επιτυγχάνεται μέσα από την ενεργητική προσπάθεια των μαθητών, οι οποίοι μαθαίνουν αλληλεπιδρώντας και όχι μέσω παθητικής απομνημόνευσης ορισμών και θεωρημάτων. 2.2 Κατηγοριοποίηση δραστηριοτήτων Η κατηγοριοποίηση των δραστηριοτήτων οι οποίες εντάσσονται σε ένα πλάνο διδασκαλίας πραγματοποιείται με διάφορους τρόπους. Η ποικιλία των Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 13

14 κατηγοριοποιήσεων οφείλεται στο γεγονός ότι η ίδια η χρήση των δραστηριοτήτων στην εκπαιδευτική διαδικασία είναι πολυδιάστατη. Οι σωστά επιλεγμένες δραστηριότητες μεταξύ των άλλων βοηθούν στην μάθηση, στην κατανόηση νέων εννοιών, στην απόκτηση ικανοτήτων και δεξιοτήτων, στην αξιολόγηση της μαθησιακής πορείας των μαθητών και αποτελούν μέσο ανατροφοδότησης για τον καθηγητή που ελέγχει κατά πόσο οι αρχικοί στόχοι που είχαν τεθεί επετεύχθησαν. Κατά τον Wiggins οι δραστηριότητες που επιλέγονται πρέπει να είναι σχετικές με τις εμπειρίες των μαθητών και πρέπει να παρακινούν τους μαθητές τόσο να ερμηνεύσουν όσο και να εξηγήσουν, με τελικό στόχο οι μαθητές να φτάσουν στην κατανόηση των εννοιών. Σύμφωνα με τον Wiggins οι μαθητές έχουν κατανοήσει, όταν μπορούν να εξηγήσουν, δηλαδή να συγκρίνουν, να συσχετίσουν, να καταλήξουν σε «ορισμούς», να διατυπώσουν «θεωρίες», να επιλύσουν προβλήματα και να εξηγήσουν τη λύση τους, να υποστηρίξουν την σκέψη τους, να εξηγήσουν αλγόριθμους, να εξηγήσουν τρόπους γραφής, να ερμηνεύσουν, δηλαδή να αναλύσουν λειτουργικά και κριτικά μια κατάσταση ή ένα γεγονός, να δώσουν μια προσωπική διάσταση στις ιδέες και στα γεγονότα. Ένας μαθητής έχει κατανοήσει ένα γεγονός, ένα φαινόμενο ή μια έννοια αν μπορεί να παραθέσει διαφορετικές ερμηνείες, να δει τα πράγματα από διάφορες οπτικές στην προσπάθεια του να βρει το νόημα ακόμα και μπαίνοντας στη θέση του άλλου (ενσυναίσθηση). Για τον έλεγχο της κατανόησης προτείνεται η τελική αξιολόγηση να περιέχει μια δραστηριότητα η οποία θα είναι αυθεντική, θα βάζει το μαθητή σε ρόλο και θα οδηγεί το μαθητή σε χρήση επιχειρημάτων (Κολέζα, 2011). Η κατηγοριοποίηση των δραστηριοτήτων κατά τους Kalantzis και Cope σύμφωνα με το ρόλο τους στην εκπαιδευτική διαδικασία πραγματοποιείται στα παρακάτω επίπεδα (Kalantzis & Cope 2005). Βιώνοντας το «γνωστό» (σχετίζεται με προϋπάρχουσα γνώση) Βιώνοντας το «νέο» (αναφέρεται στην εμβάπτιση των μαθητών σε νέες εμπειρίες) Εννοιολόγηση με ονοματοποίηση (εισάγουν μαθητές στους ορισμούς εννοιών και στις διαδικασίες) Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 14

15 Εννοιολόγηση με θεωρητικοποίηση (μαθητές συνδέουν έννοιες που έχουν μάθει δημιουργώντας ένα θεωρητικό πλαίσιο. Βοηθάει οι μαθητές να κινηθούν από το ειδικό στο γενικό) Αναλύοντας λειτουργικά (παρακινεί μαθητές να σκεφτούν για τη λειτουργία, το σκοπό των εννοιών και των θεωριών με τις οποίες ασχολούνται) Αναλύοντας κριτικά (παρακινεί μαθητές να σκέφτονται και να ερευνούν τις συνέπειες των εννοιών και των θεωριών) Εφαρμόζοντας άμεσα (μαθητές εφαρμόζουν κατάλληλα ότι έχουν μάθει) Εφαρμόζοντας δημιουργικά (μαθητές προβαίνουν στη σύνθεση ανόμοιων ιδεών ή εφαρμόζουν ότι έχουν μάθει με διαφορετικό τρόπο) Κατά τον Gras οι δραστηριότητες ταξινομούνται στις εξής κατηγορίες Υπολογιστική, Τεχνική, Μεταφραστική, Ομαδοποίηση, Επενδυτική ή Μεταφορά, Λογική, Προβλεπτική, Ευρετική, Κριτική και Δημιουργική ενώ κατά τον Swan η ταξινόμηση γίνεται στις κατηγορίες: ταξινόμηση μαθηματικών αντικειμένων, ερμηνεία πολλαπλών παραστάσεων, αξιολόγηση μαθηματικών καταστάσεων, δημιουργία προβλημάτων και ανάλυση συλλογισμών και λύσεων (Κολέζα, 1993). Η κατηγοριοποίηση των δραστηριοτήτων κατά τον Webb πραγματοποιείται ανάλογα με την γνωστική απαίτηση των δραστηριοτήτων σε τέσσερις κατηγορίες (Webb, 2002) Ανάκληση και Αναπαραγωγή (Recall and Reproduction) o Βασικοί μαθηματικοί υπολογισμοί o Αναπαράσταση διαγραμμάτων o Διαδικασίες ρουτίνες Δεξιότητες Έννοιες (Skill Concepts) Νοητική επεξεργασία πέρα από ανάκληση γνώσεων o Αναγνώριση μοτίβων o Αναγνώριση αιτίου αποτελέσματος o Οργάνωση Αναπαράσταση Ερμηνεία δεδομένων Στρατηγική Σκέψη (Strategic Thinking) Βαθειά κατανόηση, γνωστικές απαιτήσεις αφαιρετικές και σύνθετες o υποστήριξη ιδεών με λεπτομέρειες και παραδείγματα o χρήση κατάλληλης γλώσσας o ανάπτυξη επιστημονικού μοντέλου Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 15

16 o εφαρμογής έννοιας σε διαφορετικά πλαίσια Εκτεταμένη Σκέψη (Extended Thinking) Πολύ σύνθετα, υψηλές γνωστικές απαιτήσεις, πραγματοποίηση συνδέσεων o εφαρμογή μαθηματικού μοντέλου για διαφώτιση προβλήματος o ανάλυση σύνθεση πληροφοριών από διαφορετικές πηγές o σχεδίαση μαθηματικού μοντέλου για επίλυση πρακτικής-αφαιρετικής κατάστασης Η επιλογή του τρόπου κατηγοριοποίησης των δραστηριοτήτων από τον εκπαιδευτικό είναι μια διαδικασία υποκειμενική. Με τις υπάρχουσες κατηγοριοποιήσεις σε κάποιες περιπτώσεις να αλληλεπικαλύπτονται και κάποιες κατηγορίες να είναι πρακτικά ίδιες και να αλλάζει μόνο η ονομασία τους, είναι έκδηλη η πολυπλοκότητα της διαδικασίας της κατηγοριοποίησης. Σε κάθε περίπτωση, οποιαδήποτε κατηγοριοποίηση και εάν επιλέξει ο εκπαιδευτικός είναι απαραίτητη η επιλογή δραστηριοτήτων με τέτοιο τρόπο, ώστε να εμφανίζονται στην διδασκαλία οι περισσότερες κατά το δυνατόν κατηγορίες δραστηριοτήτων. Με αυτόν τον τρόπο ο μαθητής θα εξασκείται πολύπλευρα και θα μαθαίνει να λειτουργεί και να αποδίδει σε διαφορετικά περιβάλλοντα και κάτω από διαφορετικές συνθήκες. Ιδιαίτερης σημαντικότητας, για παράδειγμα, είναι οι δραστηριότητες που παρακινούν τον μαθητή να μετατοπιστεί μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας παρατηρώντας τις διάφορες αναπαραστάσεις, κατανοώντας τις μεταξύ τους συσχετίσεις και επιτυγχάνοντας έτσι, την βαθιά κατανόηση. Κατά τον Gras η κατηγορία αυτή των δραστηριοτήτων ονομάζεται μεταφραστική καθώς ο μαθητής ουσιαστικά μεταφράζει μια μορφή σε μια άλλη. Κατά τον Swan οι δραστηριότητες αυτές ανήκουν στην κατηγορία των δραστηριοτήτων με ερμηνεία πολλαπλών παραστάσεων. Αν και διαφορετική ονομασία, είναι ουσιαστικά η ίδια κατηγορία δραστηριοτήτων. Για παράδειγμα ο μαθητής σε μια δραστηριότητα που δίνεται γραμμένη στη φυσική γλώσσα, μεταφράζει τη φυσική αυτή γλώσσα σε μαθηματική με σκοπό να πετύχει την προσέγγιση του προβλήματος από μαθηματική σκοπιά με χρήση κατάλληλων μαθηματικών εργαλείων. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 16

17 2.3 Επιλογή και δόμηση κατάλληλων δραστηριοτήτων Η επιλογή των κατάλληλων δραστηριοτήτων και η σειρά με την οποία θα τοποθετηθούν είναι μια διαδικασία αρκετά δύσκολη και πολύ σημαντική για το τελικό αποτέλεσμα της διδασκαλίας. Είναι απαραίτητο μέσω κατάλληλων δραστηριοτήτων να δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να μοιράζονται με την υπόλοιπη ομάδα τις γνώσεις που ήδη έχουν με σκοπό πάνω σε αυτές να δομηθούν τελικά οι νέες έννοιες και να κατακτηθεί η νέα γνώση. Είναι επίσης απαραίτητη η χρήση δραστηριοτήτων που παρακινούν τους μαθητές να αναλύσουν τόσο λειτουργικά, δηλαδή να σκεφτούν για τη λειτουργία, το ρόλο και το σκοπό εννοιών και θεωριών, όσο και κριτικά, δηλαδή να εμβαθύνουν και να παρέχουν αιτιολογημένα επιχειρήματα. (Οι δραστηριότητες πρέπει να οδηγούν τους μαθητές να εφαρμόσουν ότι έχουν μάθει για τις έννοιες και τις θεωρίες με τις οποίες ασχολούνται καθώς επίσης και να συνθέσουν ανόμοιες ιδέες ή να εφαρμόσουν δημιουργικά, δηλαδή να εφαρμόσουν σε διαφορετικά πλαίσια ή/και με διαφορετικούς τρόπους. Η δραστηριότητα «είναι μια διδακτική κατάσταση που δημιουργείται γύρω από ένα πρόβλημα, είναι δηλαδή μια κατάσταση - πρόβλημα» (Κολέζα, 1997). Σύμφωνα με τον Βανδουλάκη (2008) όταν οι μαθητές καλούνται να εργασθούν πάνω σε μια δραστηριότητα, καλούνται να προσδιορίσουν το πρόβλημα, να εικάσουν για το αποτέλεσμα, να πειραματιστούν με τη βοήθεια παραδειγμάτων, να συνθέσουν συλλογισμό, να διατυπώσουν μια λύση, να ελέγξουν τα αποτελέσματα και να αξιολογήσουν την ορθότητά τους σε συνάρτηση με το αρχικό πρόβλημα. Σύμφωνα με τον Mayer (1998) η επιτυχία ή μη της αντιμετώπισης μιας δραστηριότητας πρόβλημα εξαρτάται από τρεις συνιστώσες, στις οποίες η διδασκαλία μπορεί να παρέμβει και μπορεί να τροποποιήσει. Οι τρεις αυτές συνιστώσες είναι: οι γνωστικές δεξιότητες, οι μεταγνωστικές δεξιότητες και η βούληση. Οι γνωστικές δεξιότητες είναι οι βασικές δεξιότητες, οι μεταγνωστικές αναφέρονται στις στρατηγικές επίλυσης, ενώ η βούληση αφορά τα κίνητρα με βάση το ενδιαφέρον, την αυτόαποτελεσματικότητα και την απόδοση. Η δραστηριότητα εκτός των άλλων πρέπει να έχει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά έτσι ώστε να πετύχει το στόχο της που δεν είναι άλλος από το να βοηθήσει τον μαθητή αλληλεπιδρώντας μαζί της να κατανοήσει μια νέα έννοια. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 17

18 «Ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά μιας να μελετηθεί εάν η παρούσα πρόταση διδασκαλίας με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων βοηθάει στην κατανόηση της διδασκόμενης έννοιας και βελτιώνει τις επιδόσεις των μαθητών δραστηριότητας που έχει ως στόχο την κατασκευή νέας γνώσης, είναι τα παρακάτω: 1. Η εκφώνηση να γίνεται εύκολα κατανοητή ώστε ο μαθητής να μπορεί να διαβλέψει τη μορφή μιας απάντησης στο πρόβλημα. Αυτό είναι ανεξάρτητο της ικανότητάς του να προτείνει τη σωστή απάντηση. Η απάντηση, συχνά, δεν είναι προφανής, αλλά με βάση τις γνώσεις του ο μαθητής μπορεί να εμπλακεί σε μια διαδικασία αναζήτησης διεξόδου. 2. Προκειμένου να λυθεί ένα πρόβλημα απαιτείται να κατασκευαστεί η γνώση που αποτελεί το τελικό προϊόν της διαδικασίας μάθησης 3. Το δίκτυο των εμπλεκόμενων εννοιών σε μια δραστηριότητα πρέπει να είναι ευρύ, αλλά πάντα μέσα στο πλαίσιο των δυνατοτήτων των μαθητών 4. Η διατύπωση του προβλήματος πρέπει να είναι αρκετά ανοικτή ώστε να αφήνει περιθώρια διερεύνησης και διαδικασίες διαισθητικής προσέγγισης. 5. Να δίνεται η δυνατότητα στους μαθητές, μόνοι τους ή στα πλαίσια της ομάδας, να διατυπώνουν και να επεξεργάζονται ενδιάμεσες προτάσεις.» (Βανδουλάκης κ.α. 2008). Η προσέγγιση των βασικών χαρακτηριστικών της δραστηριότητας όπως αναφέρθηκε παραπάνω (Βανδουλάκης κ.α. 2008) είναι παρόμοια με την προσέγγιση των βασικών χαρακτηριστικών των δραστηριοτήτων που έδωσε η Κολέζα (1997). Η δραστηριότητα πρέπει είναι κατασκευασμένη στοχοκεντρικά, δομημένη πάνω στην κονστρουκτιβιστική θεώρηση και ο μαθητής πρέπει να επεξεργάζεται τη δραστηριότητα και να συμμετέχει στην εκπαιδευτική διαδικασία με χρήση κατάλληλων μαθηματικών εργαλείων. Σύμφωνα με την κονστρουβιστική προσέγγιση της διδασκαλίας και άρα και της δόμησης των δραστηριοτήτων η μάθηση είναι μια υποκειμενική διαδικασία οικοδόμησης εννοιών πάνω σε ήδη υπάρχουσες γνώσεις. Οι μαθητές έχουν από μόνοι τους γνώσεις και η δραστηριότητα και γενικότερα η διδασκαλία πρέπει να οικοδομήσει νέες γνώσεις πάνω σε αυτές. Ο δάσκαλος έχει ένα συμβουλευτικό και υποστηρικτικό ρόλο, ενώ ο μαθητής έχει ενεργό ρόλο στην οικοδόμηση της γνώσης. Η οικοδόμηση της γνώσης πραγματοποιείται με τον Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 18

19 μετασχηματισμό της προϋπάρχουσας γνώσης και η τροποποίηση των γνώσεων είναι αυτή που οδηγεί στην βαθιά κατανόηση και τελικά στη μάθηση. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 19

20 3. Η χρήση της τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Είναι δεδομένο ότι, όπως σε πολλές λειτουργίες της καθημερινότητας, έτσι και στην εκπαίδευση η τεχνολογία έχει δώσει νέες διευρυμένες δυνατότητες. Η συνεχής αλληλεπίδραση των μαθητών με διάφορες εκφάνσεις της τεχνολογίας και η εξοικείωση που αυτοί δείχνουν με την χρήση της, οδηγούν στην αναγκαιότητα της εισαγωγής της και στις διαδικασίες της διδασκαλίας. Η αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών στην διδασκαλία των Μαθηματικών έχουν τονιστεί αρκετά τον τελευταίο καιρό, ωστόσο η εκπαιδευτική κοινότητα είναι ακόμα σε πρώιμα στάδια όσον αφορά στην δημιουργία κατάλληλων διδακτικών πρακτικών. Δημιουργείται αναπόφευκτα η ανάγκη ο εκπαιδευτικός να επαναπροσδιορίσει την εκπαιδευτική διαδικασία, με τρόπο πρωτόγνωρο και απαιτητικό, μεταβαίνοντας από την τυπική διδασκαλία των αναλυτικών προγραμμάτων στην κατασκευή κατάλληλων δραστηριοτήτων με χρήση εκπαιδευτικών λογισμικών, οι οποίες να είναι σύμφωνες με τα αναλυτικά προγράμματα (Ferrara et al, 2006). Η χρήση της τεχνολογίας στην εκπαιδευτική διαδικασία δίνει νέες δυνατότητες στους εκπαιδευτικούς, εφόσον αυτή πραγματοποιηθεί σωστά και κατόπιν κατάλληλης επιμόρφωσης. Η χρήση της τεχνολογίας πρέπει να είναι αποτέλεσμα ολοκληρωμένης προετοιμασίας, πρέπει να είναι σύμφωνη με παιδαγωγικές πρακτικές και να πραγματοποιείται σε άρτια εξοπλισμένους χώρους. Η ύπαρξη εξοπλισμένων σχολικών εργαστηρίων αποτελεί τροχοπέδη ιδίως στα σχολεία της περιφέρειας, ακόμα και για τους πιο αποφασισμένους εκπαιδευτικούς. 3.1 Πρακτική εφαρμογή της χρήσης της τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Η χρήση της τεχνολογίας στην εκπαιδευτική διαδικασία δεν πρέπει να είναι μια απλή επίδειξη, αλλά απαιτεί μετασχηματισμό τόσο των μαθηματικών όσο και της παιδαγωγικής στάσης (Ferrara et al, 2006). Ο μαθητής πρέπει μέσα από διάδραση, με παρατήρηση και λειτουργώντας κριτικά να φτάσει στη γενίκευση και να καταφέρει να επανα ανακαλύψει την μαθηματική έννοια που κρύβεται στις δραστηριότητες. Ιδιαίτερη σημαντική για την ενσωμάτωση της τεχνολογίας στην εκπαιδευτική Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 20

21 διαδικασία και στο πρόγραμμα σπουδών είναι η κατανόηση και η επινόηση τρόπων με σκοπό την προώθηση της διαδικασίας με την οποία μαθητής και το τεχνολογικό κατασκεύασμα αμοιβαία συγκροτούνται στην πράξη. Ο μαθητής μορφοποιεί το τεχνολογικό κατασκεύασμα για συγκεκριμένη χρήση και ταυτόχρονα ο μαθητής διαμορφώνεται μέσα από την αλληλεπίδραση μαζί του (Mayer, 1998). Το υποκείμενο λοιπόν αλληλεπιδρά με μια δραστηριότητα που έχει περιγραφεί και επικυρωθεί από μαθηματική σκοπιά χωρίς απαραίτητα αυτό να πραγματοποιείται με τυπικό μαθηματικά λόγο. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται οι ασυνέχειες μεταξύ μαθηματικής αφαίρεσης με την διαμεσολάβηση του υπολογιστή και τις νόρμες του αναλυτικού προγράμματος σπουδών των μαθηματικών. Με την έννοια της αφαίρεσης εννοείται η απομόνωση βασικών χαρακτηριστικών ομοειδών αντικειμένων και τον σχηματισμό της λογικής έννοιας στην οποία υπάγονται τα αντικείμενα (Ainsworth, 2008). Η διαδικασία της αφαίρεσης των μαθηματικών ιδιοτήτων είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη στη δημιουργία των δραστηριοτήτων (Ferrara et al, 2006). Ο εμπλεκόμενος καθηγητής λειτουργεί υποστηρικτικά αφήνοντας τον μαθητή να αλληλεπιδράσει με την δυναμική δραστηριότητα και τους συμμαθητές του. Ο καθηγητής πρέπει να διαχειριστεί τη συζήτηση παροτρύνοντας τους μαθητές να εξηγήσουν φαινόμενα και να προβλέψουν διαδικασίες. Είναι επίσης σημαντικό να δώσει έμφαση στην σειρά των βημάτων που ακολουθούν οι μαθητές για την ολοκλήρωση της δραστηριότητας καθώς η διαδοχή των βημάτων δίνει πολλές φορές περισσότερες πληροφορίες από ότι η ολοκλήρωση της δραστηριότητας καθεαυτή. 3.2 Τα πλεονεκτήματα της χρήσης τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Η χρήση της τεχνολογίας στην εκπαίδευση όταν αυτή πραγματοποιείται με τρόπο άρτιο και σύμφωνο με τις παιδαγωγικές πρακτικές δίνει δυνατότητες σε έναν καταρτισμένο εκπαιδευτικό να εξελίξει την διδασκαλία των μαθηματικών. Ο κάθε μαθητής καλείται ατομικά ή σε κάποιες περιπτώσεις δραστηριοτήτων ομαδικά να αλληλεπιδράσει ερευνητικά με τον υπολογιστή με σκοπό την κατανόηση της μαθηματικής έννοιας. Επειδή ο κάθε μαθητής ή η ομάδα μαθητών εργάζεται και αλληλεπιδρά με την δραστηριότητα ξεχωριστά η διδασκαλία τελικά προσαρμόζεται Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 21

22 στον ρυθμό μάθησης και στις ιδιαιτερότητες κάθε μαθητή ή ομάδας μαθητών αντίστοιχα. Η εξοικείωση και η θετική στάση των μαθητών απέναντι στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές συμβάλλουν στη δημιουργία θετικών στάσεων και για τα Μαθηματικά. Η δυναμικότητα των εκπαιδευτικών λογισμικών δίνει δυνατότητες στην διδασκαλία που οι κλασικές μέθοδοι δεν μπορούσαν να παρέχουν. Για παράδειγμα η δυνατότητα δημιουργίας γραφικών παραστάσεων και η μετατόπιση τους πάνω στο επίπεδο μεταδίδει στους μαθητές εικόνες που ο εκπαιδευτικός με τη χρήση του κλασικού πίνακα θα έχανε πολύ χρόνο για να το επιτύχει. Επιπλέον παράδειγμα αποτελεί η δημιουργία γεωμετρικών σχημάτων και η εύκολη μετατροπή τους με σκοπό την καλύτερη κατανόηση των ιδιοτήτων τους. Η δυναμικότητα αυτή βοηθάει τους μαθητές να ελέγξουν τις υποθέσεις τους, να συγκρίνουν, να κατηγοριοποιήσουν, να γενικεύσουν και τελικά να κατανοήσουν μαθηματικές έννοιες. Τα οφέλη της δυναμικότητας των εκπαιδευτικών λογισμικών δεν σταματούν εκεί, καθώς δίνουν τη δυνατότητα της πολλαπλής αναπαράστασης μιας μαθηματικής σχέσης και της σύνδεσης των αναπαραστάσεων αυτών άμεσα, εποπτικά και δυναμικά. Με την χρήση των υπολογιστών στην διδασκαλία ο μαθητής γίνεται το κέντρο της διδασκαλίας. Του παρέχεται η δυνατότητα της δοκιμής, της επανάληψης και της συνεχούς αναζήτησης. Ο νέος τρόπος μάθησης του κεντρίζει περισσότερο το ενδιαφέρον και του υποκινεί την έμφυτη θέληση για ανακάλυψη. Στον μαθητή παρέχεται επαναπροσδιορισμένη γνώση με τρόπο βιωματικό, στοιχείο που τον κάνει να ενεργοποιείται, να αυτενεργεί και να εξελίσσει την κριτική του σκέψη. Ο μαθητής τελικά μαθαίνει από αυτήν την αλληλεπίδραση και από τα λάθη του και μέσα από μια κονστρουκτιβιστικη διαδικασία κατακτά την έννοια και κυρίως μαθαίνει πώς να μαθαίνει. 3.3 Τα μειονεκτήματα της χρήσης τεχνολογίας στην διδασκαλία των Μαθηματικών Η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στην διδασκαλία δίνει σίγουρα νέες δυνατότητες στον εκπαιδευτικό, εμπεριέχει ωστόσο και κάποια εμπόδια. Η διδασκαλία με δραστηριότητες που απαιτούν ηλεκτρονικό υπολογιστή συνεπάγεται Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 22

23 την ανάγκη ύπαρξης σε κάθε σχολείο σύγχρονα εξοπλισμένου εργαστηρίου και το κόστος για κάτι τέτοιο είναι αρκετά μεγάλο. Το κόστος μπορεί να γίνει ακόμα μεγαλύτερο για σχολεία των αστικών κέντρων, εάν αναλογιστεί κανείς ότι σε ένα σχολείο με πολλά τμήματα ένα μόνο εργαστήριο ηλεκτρονικών υπολογιστών δεν είναι αρκετό. Πως θα μπορούσε άλλωστε να δομηθεί ένα πλάνο διδασκαλίας για μια ενότητα με χρήση μόνο ηλεκτρονικών υπολογιστών όταν ο εκπαιδευτικός δεν είναι σίγουρος εάν θα μπορέσει να έχει πρόσβαση στο εργαστήριο υπολογιστών τις συγκεκριμένες ημέρες και ώρες που έχει προγραμματιστεί η διδασκαλία της ενότητας καθώς το εργαστήριο υπολογιστών το μοιράζονται όλοι οι καθηγητές του συλλόγου διδασκόντων του σχολείου, με λογική προτεραιότητα να έχουν οι καθηγητές πληροφορικής. Στην πρώτη φάση της μετάβασης από την κλασική διδασκαλία στην διδασκαλία με χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών ο εκπαιδευόμενος έχει εκτός από το να κατανοήσει τις μαθηματικές έννοιες, να εξοικειωθεί και με το υπολογιστικό περιβάλλον και το αντίστοιχο εκπαιδευτικό λογισμικό. Το εκπαιδευτικό λογισμικό, το οποίο μπορεί και να μεταβάλλεται από ενότητα σε ενότητα. Σε κάθε περίπτωση ο εκπαιδευόμενος πρέπει να κατέχει βασικές γνώσεις για τη χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Μπορεί μεν η πλειοψηφία των μαθητών να γνωρίζει να χρησιμοποιεί ηλεκτρονικό υπολογιστή, ωστόσο κάποιοι, έστω και λίγοι, μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι στη χρήση ηλεκτρονικό υπολογιστή και αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη σε μια εκπαιδευτική διαδικασία, γεγονός που δυσκολεύει το έργο του εκπαιδευτικού. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές από μόνοι τους δεν μπορούν να καταλάβουν το μαθησιακό επίπεδο και τις εμπειρίες του μαθητή, ούτε μπορούν να αντιληφθούν τις κοινωνικές ιδιαιτερότητες της ομάδας. Για όλα αυτά υπεύθυνος είναι ο εκπαιδευτικός του οποίου ο ρόλος παραμένει σημαντικός. Δεν πρέπει να παραλείψουμε εδώ τις δυσκολίες και το κόστος που επιφέρει η απαραίτητη επιμόρφωση των εκπαιδευτικών όλων των βαθμίδων με σκοπό την άρτια και σύμφωνη παιδαγωγικά χρήση της τεχνολογίας με σκοπό την επίτευξη των διδακτικών στόχων της εκάστοτε ενότητας. Η χρήση της τεχνολογίας στην διδασκαλία από εκπαιδευτικούς που δεν έχουν επιμορφωθεί ενδελεχώς ή δεν την χρησιμοποιούν κατάλληλα και σύμφωνα με παιδαγωγικές πρακτικές μπορεί να επιφέρει επιπρόσθετα εμπόδια μειονεκτήματα. Εκπαιδευτής και εκπαιδευόμενος Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 23

24 είναι δυνατόν να εγκλωβιστούν σε μια μηχανιστική διαδικασία κατά την οποία η γνώση απλά παρουσιάζεται ή μεταδίδεται και δεν κατακτάται. Μαθητής και μέσο δεν αλληλεπιδρούν με αποτέλεσμα ο μαθητής να μετατραπεί σε ένα παθητικό δέκτη της πληροφορίας, ο οποίος χάνει την επικοινωνία με την ομάδα και την φυσική παρουσία των μελών της. Αξιοσημείωτο είναι να τονιστεί εδώ, ότι σε μια εκτεταμένη στροφή της εκπαίδευσης προς τη χρήση των νέων τεχνολογιών, όπως γίνεται σε κάθε δομική μετατροπή του εκπαιδευτικού συστήματος, κάποιοι μαθητές θα επωμιστούν το βάρος να δοκιμάσουν πρώτοι το σύστημα αυτό. Μέσα από την αλληλεπίδραση αυτή των μαθητών με το νέο σύστημα και την όποια ανατροφοδότηση προκύψει το σύστημα τελικά θα μετασχηματιστεί ή σε μια ακραία περίπτωση θα απορριφθεί. 3.4 Συμπεράσματα Όπως οτιδήποτε το οποίο εφαρμόζεται σε μια δυναμική ομάδα και ιδίως νέων μαθητών έτσι και η εφαρμογή της τεχνολογίας στην διδασκαλία πρέπει να γίνεται με πολλή προσοχή και με απόλυτο σεβασμό στις ιδιαιτερότητες και στα ερεθίσματα της ομάδας στην οποία εφαρμόζεται. Πρέπει να πραγματοποιείται σωστά και λειτουργικά, σύμφωνα με τις παιδαγωγικές πρακτικές και με βασικό σκοπό την επίτευξη των στόχων του αναλυτικού προγράμματος. Από την μία η χρήση της τεχνολογίας δίνει σημαντικά εργαλεία στον εκπαιδευτικό και πολλές νέες δυνατότητες για την διδασκαλία, από την άλλη ωστόσο η μη σωστή εφαρμογή της μπορεί να επιφέρει τα αντίθετα, μη επιθυμητά αποτελέσματα και η διδασκαλία να χάσει την ουσία της. Ο μαθητής θα παύσει να μαθαίνει βιωματικά αλληλεπιδρώντας με κατάλληλα δομημένες δραστηριότητες και θα του μεταδίδεται ξερή, «μασημένη» γνώση, με την μόνη διαφορά ότι σε αυτό θα συμμετέχει και η τεχνολογία. Η μετάβαση του σχολείου του σήμερα σε ένα σχολείο εξοικειωμένο με την διδασκαλία με χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή δεν θα είναι μια εύκολη διαδικασία αλλά απαιτεί ένα καλά οργανωμένο μακροχρόνιο πλάνο. Απαιτεί αποφασισμένο εκπαιδευτικό προσωπικό με διάθεση να επιμορφωθεί ουσιαστικά και να εξελιχθεί προσαρμοζόμενο στις νέες αυτές τάσεις που το περιβάλλον επιβάλλει. Απαιτεί επίσης ουσιαστική αναδιοργάνωση και εκσυγχρονισμό των εργαστηρίων υπολογιστών των σχολείων. Μέχρις ότου όλα αυτά να αποφασιστούν και να πραγματοποιηθούν η διδασκαλία με χρήση νέων τεχνολογιών θα αποτελεί εργαλείο των λίγων. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 24

25 4. Η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην διδασκαλία των μαθηματικών 4.1 Η έννοια της αναπαράστασης στις μαθηματικές δραστηριότητες Με τον όρο αναπαράσταση αναφερόμαστε στην αντιπροσώπευση μιας οντότητας από μια άλλη μέσω κάποιας αντιστοίχησης (Γραββάνη, 2006). Η αλληλεπίδραση του μαθητή με μία κατάλληλη αναπαράσταση τον βοηθά να φτάσει σε βαθύτερη κατανόηση. Όταν οι αναπαραστάσεις γίνουν περισσότερες από μία τότε η βοήθεια ή μη από την χρήση των αναπαραστάσεων γίνεται περισσότερο πολύπλοκη. Υπάρχει ένα σύνολο ιδιοτήτων που κατά την διδασκαλία με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων επηρεάζει την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας. Η πιο συνηθισμένη προσέγγιση στην μελέτη της αποτελεσματικότητας των αναπαραστάσεων είναι η επιλογή ακουστικής ή οπτικής μορφής καθώς και η επιλογή κειμένου ή εικόνας. Η διδασκαλία με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων και η ωφέλεια ή μη από αυτήν είναι αποτέλεσμα συνύπαρξης πολλών διαφορετικών παραμέτρων, όπως είναι ο σχεδιασμός, οι παιδαγωγικές λειτουργίες που εμπεριέχονται στις πολλαπλές αναπαραστάσεις καθώς και το γνωστικό εργαλείο που χρησιμοποιεί ο μαθητής για να αλληλεπιδράσει με τις αναπαραστάσεις. Υπάρχει ποικιλία για τους τρόπους, με τους οποίους ο σχεδιασμός των πολλαπλών αναπαραστάσεων επηρεάζει τόσο την διδασκαλία όσο και την επιτυχία ή μη της έκβασης της (Ainsworth, 2006). Σύμφωνα με τον ορισμό του Palmer (1997) η έννοια της αναπαράστασης περιλαμβάνει τις ακόλουθες πέντε ενότητες: α. την ολότητα που αναπαρίσταται, β. την ολότητα που αναπαριστά, γ. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση που αναπαρίστανται, δ. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες κάνουν την αναπαράσταση και τέλος, ε. την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες (Γραββάνη 2006). Τα θέματα της αναπαράστασης και της οπτικοποίησης των μαθηματικών εννοιών αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως θεμελιώδη, με τους ερευνητές να συμφωνούν όλο και περισσότερο για τις θετικές επιπτώσεις τους στην ανάπτυξη της κατανόησης, της επικοινωνίας, της μαθηματικής αιτιολόγησης και της επίλυσης προβλήματος. (Πατσιομίτου κ.α., 2009) Μπορούν να Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 25

26 ενταχθούν δύο είδη αναπαραστάσεων, οι εσωτερικές νοητικές και οι εξωτερικές σημειωτικές. (Γαγάτσης κ.α. χ.χ.) Ο όρος εσωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε νοητικούς σχηματισμούς που οικοδομούν οι μαθητές (σημαινόμενο). Ο μαθητής με τον δικό του τρόπο και πάντα με βάση τις δικές του προσωπικές εμπειρίες μέσα από ενεργητική προσπάθεια χτίζει την έννοια στον μυαλό του. Ενώ εξωτερικές αναπαραστάσεις είναι «οι παρατηρήσιμες ενσωματώσεις των εσωτερικών εννοιολογικών δομών των μαθητών» (Γαγάτσης κ.α. χ.χ.). Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις (σημαίνον) περιλαμβάνουν λεκτικό, σύμβολα, εικόνες, πίνακες, διαγράμματα, γραφικές παραστάσεις και φυσικά μοντέλα. Κατά την εξέταση λοιπόν της αποτελεσματικότητας μιας αναπαράστασης πρέπει να εξεταστούν και τα δύο είδη πληροφοριών που παρέχονται στην αναπαράσταση, δηλαδή τόσο το σημαίνον όσο και το σημαινόμενο. Υπάρχει ένα σύνολο παραμέτρων στον σχεδιασμό διδασκαλίας με τη χρήση πολλαπλών εξωτερικών αναπαραστάσεων που πρέπει να μελετηθεί. Πρώτη παράμετρος είναι ο αριθμός των αναπαραστάσεων, ο οποίος σε ένα σύστημα πολλαπλών αναπαραστάσεων είναι τουλάχιστον δύο αναπαραστάσεις οι οποίες είτε δίνονται όλες εξαρχής στον μαθητή, είτε δίνονται διαδοχικά κατά την αλληλεπίδραση του μαθητή με την δραστηριότητα ανάλογα με τις γνωστικές της απαιτήσεις. Δεύτερη παράμετρος είναι ο τρόπος με τον οποίο οι πληροφορίες διανέμονται. Σε ένα σύστημα πολλαπλών αναπαραστάσεων υπάρχει ποικιλία τρόπων με τους οποίους οι πληροφορίες κατανέμονται στις διάφορες αναπαραστάσεις. Σημαντικό ρόλο έχει εδώ η πολυπλοκότητα κάθε αναπαράστασης καθώς και ο πλεονασμός των πληροφοριών μεταξύ των αναπαραστάσεων (Ainsworth, 2006). Με την έννοια του πλεονασμού των πληροφοριών αναφερόμαστε στην ύπαρξη κάποιας πληροφορίας σε τουλάχιστον δύο αναπαραστάσεις. Σε μια ειδική περίπτωση θα μπορούσαν οι αναπαραστάσεις να μην έχουν καμία αλληλοεπικάλυψη προσφέροντας καθεμία διαφορετικές πληροφορίες και σε μια άλλη ειδική περίπτωση θα μπορούσαν όλες οι αναπαραστάσεις να παρέχουν τις ίδιες ακριβώς πληροφορίες με την διαφορά να έγκειται στις υπολογιστικές τους ιδιότητες. Τρίτη παράμετρος είναι η μορφή του συστήματος αναπαραστάσεων. Η μορφή της αναπαράστασης μπορεί να είναι εικόνα ή εικόνες, κείμενο, κινούμενες εικόνες, ήχος, εξισώσεις, πίνακες, διαγράμματα και γραφικές παραστάσεις. Όταν γίνεται αναφορά στην μορφή μιας αναπαράστασης μπορεί να γίνει αναφορά σε πολλές Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 26

27 διαφορετικές πτυχές των αναπαραστάσεων όπως το επίπεδο αφαίρεσης ή την δυναμικότητα της αναπαράστασης. Η δυσκολία στην μελέτη μιας δραστηριότητας με πολλαπλές αναπαραστάσεις είναι ότι πρέπει να μελετηθεί ο συνδυασμός των αναπαραστάσεων και όχι η καθεμία αναπαράσταση χωριστά. Το πλήθος των συνδυασμών των αναπαραστάσεων με διαφορετικές μορφές είναι εύκολα κατανοητό ότι είναι αρκετά μεγάλο. Τέταρτη παράμετρος που πρέπει να μελετηθεί και μόνο στην περίπτωση που δεν δίνονται ταυτόχρονα όλες οι αναπαραστάσεις, είναι η σειρά των αναπαραστάσεων. Σε αυτό το σημείο προκύπτουν δύο ζητήματα. Το πρώτο είναι η σειρά με την οποία δίνονται οι αναπαραστάσεις και επόμενο ζήτημα είναι σε ποιο σημείο της δραστηριότητας δίνεται καθεμία από τις αναπαραστάσεις. Εξίσου σημαντική παράμετρος είναι η υποστήριξη τη μετάφρασης από μια αναπαράσταση σε μια άλλη, δηλαδή πόσο ενεργός είναι ο ρόλος του αυτοματοποιημένου περιβάλλοντος στην υπόδειξη των σχέσεων μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων (Ainsworth, 2006). Η ερμηνεία, λοιπόν, των εξωτερικών αναπαραστάσεων δεν είναι απόλυτη, αλλά είναι αποτέλεσμα των νοητικών αναπαραστάσεων κάθε ατόμου, όπως αυτές προκύπτουν από τις προηγούμενες γνώσεις και εμπειρίες του. Άρα η δόμηση και η αλληλεπίδραση με μια αναπαράσταση δεν είναι μια διαδικασία με μονοσήμαντα αποτελέσματα που εξαρτώνται από την αναπαράσταση και μόνο (Mayer, 1998). Η πολυπλοκότητα της διαδικασίας εσωτερίκευσης της εξωτερικής αναπαράστασης από τον μαθητή μπορεί να οδηγήσει σε μια «αντίληψη» της αναπαράστασης και της δραστηριότητας από τον μαθητή διαφορετική από αυτή που ο καθηγητής είχε προβλέψει. Όσο πιο πλούσιες είναι οι εσωτερικές αναπαραστάσεις για μία μαθηματική έννοια, τόσο μεγαλύτερη και βαθύτερη κατανόηση ο μαθητής μπορεί να πετύχει. Συνοπτικά, ο όρος «αναπαράσταση» ή «σύστημα αναπαράστασης» περιλαμβάνει τα εξής (Goldin & Janvier, 1998; Goldin, Στης Γραββάνη, 2006, σελ.22): α. Εξωτερικές φυσικές ενσωματώσεις, δηλαδή, οποιαδήποτε δομημένη φυσική κατάσταση ή σύνολο καταστάσεων εξωτερικών προς το άτομο, οι οποίες μπορούν να περιγραφούν με τη χρήση των μαθηματικών ή να θεωρηθούν ως ενσωματώσεις μιας μαθηματικής έννοιας. Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 27

28 β. Εξωτερικές γλωσσικές ενσωματώσεις, όπου δίνεται έμφαση στα συντακτικά και σημασιολογικά δομικά χαρακτηριστικά της γλώσσας που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μαθηματικών προβλημάτων και τη συζήτηση των μαθηματικών. γ. Τυπικές μαθηματικές κατασκευές ή συστήματα κατασκευών, που αναπαριστούν καταστάσεις μέσω της χρήσης συμβόλων, τα οποία συνήθως υπακούουν σε συγκεκριμένα αξιώματα ή είναι σύμφωνα με ακριβείς ορισμούς. Όταν αναφερόμαστε σε σύμβολα ή σημεία, εννοούμε τα τεχνητά σημεία που χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν κάτι. Το σύμβολο επιλέγεται αυθαίρετα ανάμεσα σε πολλές πιθανές επιλογές, για να υποδηλώσει κάτι άλλο. Η έμφαση βρίσκεται σε ένα περιβάλλον προβλήματος εξωτερικό προς το υποκείμενο. δ. Εσωτερικές γνωστικές αναπαραστάσεις, την ύπαρξη των οποίων συμπεραίνουμε με βάση τη συμπεριφορά. Πρόκειται για εσωτερικές, γνωστικές διαμορφώσεις των υποκειμένων. Συνεπώς, εννοούμε ατομικές εσωτερικές αναπαραστάσεις, για αναπαραστάσεις μαθηματικών ιδεών, όπως είναι το «εμβαδό», οι «συναρτήσεις» κ.λ.π. Περιλαμβάνονται, επίσης, συστήματα γνωστικής αναπαράστασης με μια ευρύτερη έννοια, ως κατασκευές που υποβοηθούν την περιγραφή των διαδικασιών μάθησης και επίλυσης προβλήματος στα μαθηματικά. Ο τύπος και οι λειτουργίες της δραστηριότητας ανάλογα με της απαιτήσεις της μαθηματικής έννοιας που διδάσκεται βελτιώνει σημαντικά την κατανόηση από την πλευρά του μαθητή (Kieran, 2006). Μία από τις λειτουργίες της δραστηριότητας που πρέπει να ληφθεί υπόψη είναι ο βαθμός στον οποίο οι διαφορετικές εξωτερικές αναπαραστάσεις μειώνουν την προσπάθεια από την πλευρά του μαθητή που απαιτείται με σκοπό την επίλυση ισοδύναμων προβλημάτων. Για την επίλυση μιας δραστηριότητας είναι σημαντικό να μελετηθεί κατά πόσο η χρήση μιας δραστηριότητας χρειάζεται μικρή ή μεγάλη προσπάθεια όσον αφορά το υπολογιστικό και το γνωστικό κομμάτι. Άλλη λειτουργία της αναπαράστασης είναι ο περιορισμός των συμπερασμάτων που μπορεί να εξάγει για την έννοια που αναπαριστά. Το κείμενο επιτρέπει την ύπαρξη ασαφών πληροφοριών, ενώ ένα διάγραμμα ή μια γραφική παράσταση δίνουν περισσότερο συγκεκριμένες πληροφορίες. Όσον αφορά τους γνωστικούς στόχους που εμπεριέχονται στη διδασκαλία με χρήση εξωτερικών αναπαραστάσεων είναι σίγουρο πως οι μαθητές βρίσκονται αντιμέτωποι με σύνθετους στόχους όταν καλούνται να διαδράσουν με μια Μαθηματικός M.Sc. Σελίδα 28