Πρόβλημα 1 «Φασίνα» Εύρεση εκτέλεσης εργασιών με τον μικρότερο συνολικό χρόνο

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 2 /4/206 Πρόβλημα «Φασίνα» Εύρεση εκτέλεσης εργασιών με τον μικρότερο συνολικό χρόνο Έστω ότι θέλουμε να καθαρίσουμε το σπίτι. Για λόγους μείωσης πολυπλοκότητας θεωρούμε ότι θέλουμε να καθαρίσουμε συγκεκριμένα ) την κουζίνα, 2) το καθιστικό και 3) το μπάνιο. Η μέτρηση του χρόνου θα γίνεται σε λεπτά. Η διάρκεια καθαρισμού για καθένα από τους παραπάνω χώρους είναι η εξής: α) κουζίνα: 0 λεπτά β) καθιστικό: 20 λεπτά γ) μπάνιο: 30 λεπτά Ο χρόνος προετοιμασίας από τη μία εργασία στην άλλη φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος προετοιμασίας i --> j j ΚΑΘ ΚΟΥ ΜΠΑ ΚΑΘ 2 i ΚΟΥ 4 3 ΜΠΑ 0 0 Να βρείτε τη σειρά εκτέλεσης εργασιών με τον μικρότερο συνολικό χρόνο. Πρόβλημα 2 Memory Paging Επιλογή εφαρμογών με το μεγαλύτερο συνολικό interactivity που θα μείνει στη μνήμη Έστω ότι ένας χρήστης έχει εκκινήσει 5 εφαρμογές στον υπολογιστή του. Η διαθέσιμη μνήμη του υπολογιστή του είναι συνολικά 500 Mb. Για κάθε εφαρμογή, στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η αντίστοιχη ποσότητα μνήμης που απαιτεί και το interactivity αυτής, δηλαδή το πόσο συχνά καλείται από το χρήστη. APPLICATINS Α/Α Memory (Mb) Interactivity

2 Θέλουμε να επιλέξουμε τις εφαρμογές με το μεγαλύτερο συνολικό interactivity που μπορούν να μείνουν στη μνήμη του υπολογιστή του χρήστη και να θεωρηθεί πρόβλημα δυναμικού προγραμματισμού. Πρόβλημα 3 Εύρεση βέλτιστης λύσης Να βρείτε τη βέλτιστη λύση για την εξής συνάρτηση max f(x), όπου f(x) x + log2x 4x 2, x>0. Πρόβλημα 4 Εύρεση βέλτιστης λύσης Περιγραφή προβλήματος Να βρείτε το max " # $%# & + log (-. - / ), όπου x 2 R, x > 0. Για να βρούμε τη βέλτιστη λύση, αρκεί να βρούμε το min της -f(x), δηλαδή της: " # $%# & log (-. - / ) Επίλυση προβλήματος Η βέλτιστη λύση βρίσκεται δείχνοντας τα εξής: α) 4 -., - / 0 β) -., - / εφικτό σημείο γ) f κυρτή α) 9: ; <, ; > (Επειδή στα δικά μας προβλήματα θέλουμε πραγματικά και (μάλλον) όχι μιγαδικά x x > 0 x, x οµόσηµοι. ) αποτελέσματα, λόγω του λογαρίθμου, πρέπει να είναι 2 2 ) Για τα ακρότατα βρίσκουμε το διάνυσμα κλίσης (gradient) 4?4?-.,?4?- / " # $%# & -., " # $%# & - / και μηδενίζουμε το διάνυσμα αυτό δηλαδή λύνουμε το σύστημα: " # $%# & 0 -. " # $%# & " # $%# & / - / -. - / -. " /# $

3 Απλούστερα γράφεται: 2x x e Κατ' αρχήν Τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος το οποίο ονομάζουμε (με κάποιο όνομα) εδώ f : f( x) e x 2x Χρησιμοποιούμε δυαδική αναζήτηση για την εύρεση ρίζας της: " /#. # 0 x : " / > 0 x ¼: " $ & - 4 < e 4 < 0 Θεώρημα Bolzano: Έστω η συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα και. Αν είναι τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε: δηλαδή η έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοικτό διάστημα Συνεπώς, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει μία ρίζα της f στο (0, ). Ισχύει e Μέθοδος Newton-Raphson (N-R): Έστω η συνάρτηση συνεχής και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα. Αν για κάποιο είναι και το βρίσκεται "κοντά" σε ρίζα της τότε η ρίζα είναι το όριο της ακολουθίας: Θεωρούμε μία τυχαία τιμή (κοντά στη ρίζα) για το x και εφαρμόζουμε τη μέθοδο NR, οπότε βρίσκουμε:

4 f( x ) f (0.5) n x x fʹ( x0) fʹ(0.5) f( x ) f ( ) n x x fʹ( x ) fʹ( ) κλπ Επαν/ψη i xi Η μέθοδος σταματάει τις επαναλήψεις όταν συμβεί i x x k + i όπου k είναι το πλήθος των ακριβών δεκαδικών ψηφίων που θέλουμε (δηλαδή: η ακρίβεια). β) ; <, ; Είναι πράγματι εφικτό σημείο γ) f κυρτή Ο Εσσιανός είναι θετικά ημιορισμένος (positive semi-definite) πίνακας. Όμως θα χρησιμοποιήσουμε όχι τον ορισμό, αλλά ιδιότητες από μάθημα. Ιδιότητα: Εάν f, f 2 είναι κυρτές, τότε και η f + f 2 είναι κυρτή συνάρτηση. Από μάθημα: " # $%# & είναι κυρτή. -logx είναι κυρτή -logx 2 είναι κυρτή Άρα e D $%D & log (x. x / ) e D $%D & log x. log x /, η οποία είναι κυρτή. 2ος τρόπος Για να δούμε το είδος του, δηλαδή αν είναι τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο ή σαγματικό (saddle) θα βρούμε την Εσσιανή ορίζουσα ως εξής:

5 Βρίσκουμε όλες τις δεύτερες παραγώγους: 4 FG 4.. I / 4 I- F I- G, (J, K, 2) M# $ M# $ 4 /. 4./ 4 // M# & M# & N # $ # $ M# $ M# & N # $ # & N # & # & Βρίσκουμε την Εσσιανή ορίζουσα: # $ " # $%# &. # $ " # $%# & +. # $ # $ " # $%# &. # & " # $%# # & " # $%# &. # & " # $%# & +. # & P(Q -., - / / 4 /. 4./ 4 // // 4./ / " # $%# & +. # $ & * " # $%# & +. # & & (" # $%# & ) / RS $TS& # $ & + RS$TS& # & & +. # $ & # & Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι: i. Η έχει τοπικό μέγιστο στο αν και στο. ii. Η έχει τοπικό ελάχιστο στο αν και στο. iii. Η έχει σαγματικό σημείο στο αν στο. iv. Δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη φύση του σημείου αν στο. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να βρούμε άλλον τρόπο μελέτης της συμπεριφοράς της στο. Άρα βρισκόμαστε στην περίπτωση ii) αφού όλα είναι θετικά και συνεπώς έχουμε τοπικό ελάχιστο.