Κύματα (Βασική θεωρία)

Transcript

1 Κύματα (Βασική θεωρία) Λεεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) 10 Δεκεμβρίου 015 1

2 1 Βασικά στοιχεία Κύμα ονομάζεται οποιαδήποτε διαταραχή διαδίδεται μέσα στο χώρο Τα ηεκτρομαγνητικά κύματα είναι τα μόνα κύματα που δεν απαιτούν την ύπαρξη μέσου διάδοσης αά διαδίδονται ακόμα και μέσα στο κενό Επομένως τα ηεκτρομαγνητικά κύματα δεν είναι μηχανικά κύματα Κατά τη διάδοση ενός κύματος έχουμε μεταφορά ενέργειας και ορμής από ένα σημείο του χώρου σε ένα άο αά όχι μεταφορά ύης Αυτό που διαδίδεται είναι η διαταραχή μέσα στο μέσο και όχι το ίδιο το μέσο Εγκάρσια κύματα ονομάζονται τα κύματα στα οποία η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι κάθετη στην ταχύτητα ταάντωσης των σημείων του μέσου Ημιτονοειδή ή αρμονικά κύματα Κωστής Λεεδάκης Μηχανικό κύμα είναι ένα κύμα για τη διάδοση του οποίου απαιτείται η ύπαρξη ενος εαστικού μέσου μέσα στο οποίο διαδίδεται το κύμα * Πηγή ενός κύματος ονομάζεται το σημείο του χώρου ή το αντικείμενο που δημιουργεί τη διαταραχή Ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι η σταθερή ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα μέσα στο μέσο Έτσι, ο τύπος που μας δίνει την ταχύτητα διάδοσης είναι ο τύπος της ευθύγραμμης ομαής κίνησης: = x t Διαμήκη κύματα ονομάζονται τα κύματα στα οποία η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι παράηη στην ταχύτητα ταάντωσης των σημείων του μέσου ονομάζονται τα κύματα στα οποία η κίνηση της πηγής (και επομένως και των σημείων του μέσου) είναι απή αρμονική ταάντωση *Επομένως τα κύματα χωρίζονται με τον τρόπο αυτό σε δύο κατηγορίες Στα μηχανικά και στα ηεκτρομαγνητικά κύματα Η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού κύματος εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου Επομένως τααντώσεις που εκτεούνται στο ίδιο μέσο, θα έχουν και την ίδια ταχύτητα διάδοσης Με αυτό τον τρόπο τα κύματα χωρίζονται σε δύο νέες κατηγορίες σύμφωνα με την κατεύθυνση στην οποία εκτεείται η ταάντωση των σημείων του μέσου σε σχέση με την κατεύθυνση της διάδοσης Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά, ενώ τα διαμήκη, στα στερεά, στα υγρά και στα αέρια Μία οποιαδήποτε περιοδική διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο ονομάζεται περιοδικό κύμα Αυτά τα κύματα, όσο περίποκα κι αν είναι στην κυματομορφή τους, μπορούν να προσεγγιστούν από έναν αριθμό αρμονικών κυμάτων που δίνει το ίδιο, ή περίπου το ίδιο αποτέεσμα Σείδα από 7

3 Περίοδος (T ) του κύματος ονομάζεται ο χρόνος που κάνει ένα σημείο του μέσου ώστε να εκτεέσει μία πήρη ταάντωση * Μήκος κύματος () ονομάζεται η εάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του μέσου που τααντώνονται με την ίδια φάση * Κωστής Λεεδάκης Μήκος κύματος () ενός κύματος, ονομάζεται η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μίας περιόδου Περίοδος (T ) ενός κύματος ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται ώστε να διαδοθεί το κύμα σε απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος Συχνότητα (f) ενός κύματος ονομάζεται το αντίστροφο της περιόδου ενός κύματος Η συχνότητα μας δείχνει πόσο γρήγορα τααντώνεται το μέσο και εκφράζει τον αριθμό των κορυφών (ή των πυκνωμάτων) του κύματος που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου στη μονάδα του χρόνου είναι η εξίσωση: Η θεμειώδης εξίσωση της κυματικής = f Η εξίσωση αυτή, μπορεί να προκύψει από τη σχέση της ταχύτητας του κύματος, αν εφαρμόσουμε σε αυτήν τους ορισμούς: του μήκους κύματος, της περιόδου και της συχνότητας: = x t = T = f Η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μπορεί να προκύψει από την εξίσωση της ταάντωσης ως εξής: Ας θεωρήσουμε πως η πηγή τααντώνεται με την εξίσωση: y = ηµ(ω t) Τότε θα έχουμε ότι κάθε σημείο του μέσου ακοουθεί την ίδια ταάντωση με διαφορά στο χρόνο ως: y = ηµ[ω (t t 0 )] όπου t 0 ο χρόνος που κάνει το κύμα να φτάσει στη θέση x Για αυτό το χρόνο θα έχουμε = x t = = x 0 t 0 0 = t 0 = x Με αυτό τον τρόπο, η εξίσωση ταάντωσης σε κάθε θέση x του κύματος γίνεται y = ηµ[ω (t x )] = ηµ[π T (t x )] = ηµ[π ( t T x )] = T y = ηµ[π( t T x )] *Αυτός ο ορισμός αμβάνει υπόψιν την ταάντωση των σημείων του μέσου Αυτός ο ορισμός αμβάνει υπόψιν τη διάδοση του κύματος Όταν δύο ή περισσότερα κύματα διαδίδονται μέσα στο ίδιο μέσο, τότε, αυτό που μένει σταθερό σε αυτή την εξίσωση είναι η ταχύτητα διάδοσης Αντίθετα, όταν ένα κύμα αάζει μέσο διάδοσης, αυτό που μένει σταθερό είναι η συχνότητα του κύματος Ο όρος π( t T x ) ονομάζεται φάση του κύματος Εάν το κύμα διαδίδεται προς την αρνιτική κατεύ- θυνση του άξονα x x ο όρος γίνεται π( t T + x ) Σείδα 3 από 7

4 Κωστής Λεεδάκης Ταάντωση ενός σημείου του μέσου Εάν στην εξίσωση του κύματος βάουμε ένα σταθερό x = τότε, η εξίσωση που προκύπτει είναι μιά εξίσωση ταάντωσης που περιγράφει την κίνηση του σημείου x του μέσου y = ηµ[π( t T )] = y = ηµ( π T (t T )) = y = ηµ[ π T (t )], t > Όπως βέπουμε το αποτέεσμα είναι μια εξίσωση ταάντωσης με καθυστέρηση στο χρόνο ίση με t 1 = Αν θέουμε να τη σχεδιάσουμε ή να τη χρησιμοποιήσουμε με οποιοδήποτε τρόπο*, δε θα πρέπει να ξεχνάμε ότι η εξίσωση ισχύει για t > t 1 Το πρώτο πράγμα που κάνουμε για να σχεδιάσουμε αυτή την εξίσωση ταάντωσης, είναι να υποογίσουμε το χρόνο t 1 στον οποίο το κύμα φτάνει στη θέση Έπειτα ο σχεδιασμός της εξίσωσης ταάντωσης του σημείου είναι τυπική διαδικασία: y(m) + T + T + T 4 + 3T 4 t(s) Αρχική φάση (π) στην πηγή Αν η πηγή μας ξεκινούσε να τααντώνεται τη στιγμή t 0 = 0 με εξίσωση y = ηµ(ωt + π) τότε η ταάντωσή της θα ξεκινούσε να εκτεείται προς την αρνητική φορά του άξονα y y Αυτό σημαίνει πως θα είχαμε μια εξίσωση κύματος της μορφής: y = ηµ[π( t T x ) + π] και μια ταάντωση για κάθε σημείο του μέσου με εξίσωση: y = ηµ[ π T (t ) + π], t > Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας ταάντωσης δίνεται παρακάτω: y(m) + T + T + T 4 + 3T 4 t(s) *Αυτή η εξίσωση είναι μια τυπική εξίσωση ταάντωσης Μπορούμε από αυτήν να βρούμε την ταχύτητα ταάντωσης των σημείων του μέσου, την επιτάχυνση κπ Σείδα 4 από 7

5 Κωστής Λεεδάκης Στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος Εάν στην εξίσωση του κύματος βάουμε μια σταθερή τιμή στο χρόνο t = t 1 τότε, η εξίσωση που προκύπτει είναι μια ημιτονοειδής εξίσωση της απομάκρυνσης του κάθε σημείου x του μέσου για εκείνη τη χρονική στιγμή Η εξίσωση αυτή αν τη σχεδιάσουμε, μας δίνει το στιγμιότυπο του κύματος (Δηαδή, πώς φαίνεται το κύμα εκείνη τη χρονική στιγμή - μια φωτογραφία του εγκάρσιου κύματός μας) Η εξίσωση που προκύπτει είναι της μορφής: y = ηµ[π( t 1 T x )] = Τα σημαντικότερα πράγματα που πρέπει να έχουμε στο μυαό μας πριν σχεδιάσουμε μια τέτοια εξίσωση είναι από πού θα ξεκινήσουμε και που θα τεειώσουμε (πότε θα σταματήσουμε να σχεδιάζουμε ημίτονα) Σε αυτό, θα μας βοηθήσει το στρεφόμενο διάνυσμα αν έχουμε στο μυαό μας πως το μηδέν των αξόνων αντιστοιχεί στο πού βρίσκεται η πηγή τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, και το γεγονός ότι τα επόμενα σημεία από την πηγή, κάνουν αυτό που έκανε η πηγή όο και πιο πριν Έτσι, σχεδιάζουμε τη φάση της πηγής σαν γωνία στο στρεφόμενο διάνυσμά μας, και αρχίζουμε να το ``ξετυίγουμε'' Τα σημεία του άξονα Ox προκύπτουν με τη μέθοδο των τριών χρησιμοποιώντας την διαφορά φάσης της πηγής ως εξής: Σε γωνία φάσης π το κύμα διανύει απόσταση Σε γωνία φάσης π το κύμα διανύει απόσταση x π x = π = x = 1 Για παράδειγμα, αν έχουμε ένα κύμα στο οποίο η πηγή αρχίζει να τααντώνεται χωρίς αρχική φάση και ζητάμε για δεδομένο μήκος κύματος και δεδομένο πάτος το στιγμιότυπο του κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά τη χρονική στιγμή t 1 = 11T, εργαζόμαστε ως εξής: Ο χρόνος 11T είναι T T και επομένως για τη φάση της πηγής έχουμε: Σε χρόνο T η φάση της πηγής αυξάνεται κατά π Σε χρόνο 11T η φάση της πηγής αυξάνεται κατά φ φ T = π 11T = y(m) φ = 11π 3 = 1π 3 π 3 = 4π π 3 φ = 11π 3 π x(m) Οι αποστάσεις στον άξονα x προκύπτουν με την μέθοδο των τριών και προσθέτοντας τα κατάηα 4 ή Πχ, η πρώτη απόσταση που σημειώνεται εδώ βρίσκεται με την εξής μέθοδο: Όταν η φάση της πηγής μεταβάεται κατα π το κύμα διαδίδεται κατα Όταν η φάση της πηγής μεταβάεται κατα π το κύμα διαδίδεται κατα x Έπειτα προσθέτουμε τα κατάηα 4 και Επίσης, μετά που τεειώνουμε το ``ξετύιγμα'' ξέρουμε πως στα επόμενα σημεία δεν έχει φτάσει ακόμα το κύμα και επομένως η απομάκρυνσή τους θα είναι μηδενική Σείδα 5 από 7

6 Κωστής Λεεδάκης Φάση (φ)* του κύματος ονομάζεται ο όρος που περιέχεται μέσα στο ημίτονο της συνάρτησης που περιγράφει την απομάκρυνση των διάφορων σημείων του μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο Άν δηαδή η εξίσωση του κύματος είναι της μορφής y = ηµ[π( t T x )], τότε η φάση του κύματος είναι η φ = π( t T x ) Άν η εξίσωση του κύματος είναι της μορφής y = ηµ[π( t T x ) + π], τότε η φάση του κύματος είναι η φ = π( t T x ) + π Φάση και χρόνος Αν θεωρήσουμε ένα συγκεκριμένο σημείο του μέσου που τααντώνεται όγω του κύματος, τότε η φάση του σημείου, έχει κάποιο νόημα μόνο εφόσον το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Για ένα συγκεκτιμόνο σημείο = 3 στο οποίο το κύμα έχει φτάσει και η πηγή, που θεωρείται οτι βρίσκεται στο x = 0 και αρχίζει να τααντώνεται την t = 0 χωρίς αρχική φάση, η γραφική παράσταση της φάσης του σα συνάρτηση του χρόνου θα έχει τη μορφή : φ(rad) φ = π t T 3π π x = 3T 5T t(sec) 3π Οι παραπάνω τιμές, προκύπτουν βάζοντας τα δεδομένα μας στην εξίσωση της φάσης Έπειτα, ξέρουμε πως η φάση θα αρχίσει να έχει νόημα όταν γίνει μηδέν (αφου πιό πριν δεν έχει φτάσει το κύμα) και έτσι υποογίζουμε το πρώτο σημείο ϕ = 0 = π( t T 3 ) = 0 = t = 3T Ομοίως, ξέρουμε πως εάν περάσει χρόνος μιας επιπέον περιόδου, η φάση του σημείου θα αυξηθεί κατα π Προσοχή: Εάν η πηγή μας είχε αρχική φάση π τότε, η φάση του σημείου θα άρχιζε να έχει νόημα από τη στιγμή που θα γινόταν π και έπειτα και η γραφική μας παράσταση, θα ήταν μετατοπισμένη προς τα πάνω κατα π *Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να τονίσουμε πως η φάση από μόνη της δεν έχει καμία φυσική σημασία Αυτό πού έχει φυσικό νόημα είναι η μεταβοή της φάσης Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να θεωρήσουμε ισοδύναμη εξίσωση με συνημίτονο αντί για ημίτονο και έτσι η φάση θα διέφερε κατα π Οι μεταβοές της φάσης όμως θα ήταν οι ίδιες είτε από στιγμή σε στιγμή είτε από θέση σε θέση Αυτό που θα κάνουμε εμείς, είναι να θεωρούμε ότι η φάση βρίσκεται μέσα στο ημίτονο και οτι η τιμή της στην πηγή του κύματος τη στιγμή που αυτό αρχίζει να δημιουργείται ανήκει στο διάστημα φ [0, π) Η κιση της φραφικής παράστασης ϕ = f(t) μας δίνει τη γωνιακή συχνότητα Σείδα από 7

7 Κωστής Λεεδάκης Φάση και θέση Αν θεωρήσουμε μια συγκεκριμένη στιγμή t 1 της διάδοσης ενός κύματος χωρίς αρχική φάση, τότε η φάση του κάθε σημείου x του μέσου θα δίνεται από την εξίσωση: φ = π( t 1 T x ) Εάν για παράδειγμα η χρονική στιγμή t 1 είναι η στιγμή 3T τότε το κύμα θα έχει διαδοθεί μέχρι τη θέση x = t 1 = 3T = 3 Την ίδια στιγμή εαν η πηγή άρχισε να τααντώνεται τη στιγμή μηδεν από την θέση μηδέν με θετική αρχική ταχύτητα ταάντωσης, η φάση της θα έχει γίνει φ = φ 0 + ω t 1 = 0 + π 3T T = 3π Έτσι η γραφική παράσταση της φάσης της ταάντωσης του μέσου σα συνάρτηση της θέσης στο μέσο, θα είναι*: φ(rad) 3π φ = 3π π x Προσοχή: Εάν η πηγή μας είχε αρχική φάση π τότε, η φάση της πηγής ξεκινάει απο π και έπειτα και η γραφική μας παράσταση, θα ήταν μετατοπισμένη προς τα πάνω κατα π Στο μακρυνότερο σημείο στο οποίο θα είχε φτάσει το κύμα η φάση θα ήταν επίσης π 3 x(m) Διαφορά φάσης και χρόνος Αν θεωρήσουμε ένα συγκεκριμένο σημείο x 0 στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, τότε μεταξύ δύο χρονικών στιγμών t 1 και t, η φάση μεταβάεται κατά φ = φ φ 1 = π( t T x 0 ) π(t 1 T x 0 ) = φ = π t T Αυτό σημαίνει πως για ένα συγκεκριμένο σημείο του κύματος, η φάση της ταάντωσής του, αυξάνεται όσο αυξάνεται ο χρόνος Προσοχή: Για να έχει νόημα να μιήσουμε για φάση, θα πρέπει το κύμα να έχει φτάσει στο σημείο Διαφορά φάσης και θέση Αν θεωρήσουμε δύο σημεία του μέσου που τααντώνονται και x σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t 1, τότε, (εφόσον σε αυτά τα σημεία έχει φτάσει το κύμα) η διαφορά φάσης που παρουσιάζουν μεταξύ τους είναι φ = φ φ 1 = π( t 1 T x ) π(t 1 T ) = φ = π x Αυτό σημαίνει πως σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή, η φάση της ταάντωσής του κάθε σημείου, είναι τόσο μεγαύτερη, όσο μικρότερη είναι η απόστασή του απο την πηγή *Η κιση της φραφικής παράστασης ϕ = f(x) ισούται με π Σείδα 7 από 7