ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Λεωνίδας Γ. Ιωσηφίδης. Επιβλέπων: Πολυχρόνης Μωυσιάδης Καθηγητής Α.Π.Θ.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Αριθμοί Ramsey ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Λεωνίδας Γ. Ιωσηφίδης Επιβλέπων: Πολυχρόνης Μωυσιάδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2009

2

3 Αριθμοί Ramsey ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Αριθμοί Ramsey ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Λεωνίδας Γ. Ιωσηφίδης Επιβλέπων: Πολυχρόνης Μωυσιάδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 20η Δεκεμβρίου 2009 Π. Μωυσιάδης Ι. Αντωνίου Ν. Φαρμάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος

4 Λ. Γ. Ιωσηφίδης.. Λεωνίδας Γ. Ιωσηφίδης Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Δημήτριος Λ. Ιωσηφίδης, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ. 4

5 Αριθμοί Ramsey ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι αριθμοί Ramsey είναι μέρος της θεωρίας γραφημάτων, που λόγω της ανάπτυξής τους, τελικά εξελίχθηκαν σε θεωρία. Οι αριθμοί αυτοί πρωτοεμφανίστηκαν από τον ίδιο τον Ramsey το Στη συνέχεια, τη σκυτάλη πήρε ο Erdös, που κατάφερε να κατασκευάσει μια αναδρομική ανισότητα, για να φράξει από πάνω τους αριθμούς αυτούς. Από τότε μέχρι τώρα, έχουν γίνει πολλές προσπάθειες, για να υπολογιστούν οι αριθμοί αυτοί αλλά μόλις 9 αριθμοί έχουν υπολογιστεί. Παρόλη την ανάπτυξη των υπολογιστών και της δύναμής τους, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε και άλλους αριθμούς. Ωστόσο, για πολλούς από αυτούς έχουμε ικανοποιητικά φράγματα. Δεν είναι τυχαίο πως στη θεωρία Ramsey έχουμε πολλά ανοιχτά προβλήματα. Η προσπάθεια υπολογισμού αυτών των αριθμών είχε ως συνέπεια να αναπτυχθούν και κάποιες άλλες ενότητες της θεωρίας γραφημάτων. Στο πρώτο κεφάλαιο, αναφέρω κάποιες βασικές έννοιες στη θεωρία γραφημάτων, που είναι απαραίτητες για τη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναφέρονται και αποδεικνύονται κάποιοι γνωστοί αριθμοί Ramsey και τα φράγματα τους, ενώ το τρίτο έχει να κάνει με κάποιες γενικεύσεις και παρατηρήσεις του πρώτου μη τετριμμένου αριθμού Ramsey και γίνεται επαλήθευση μέσω υπολογιστή. Στο τέταρτο κεφάλαιο, αναφέρονται οι πολλαπλοί αριθμοί Ramsey σε γραφήματα (k). Στο πέμπτο κεφάλαιο, κάνουμε λόγο για δύο βασικά θεωρήματα, του Schur και του Turan, γενικεύσεις τους και εφαρμογές τους στους αριθμούς Ramsey. Είναι θεωρήματα που δημιουργήθηκαν για τον υπολογισμό των αριθμών Ramsey. Στο έκτο κεφάλαιο, κάνουμε λόγο για την probabilistic μέθοδο, μια σχετικά καινούργια μέθοδο, που είχε πρωτοεφαρμόσει ο Erdös. Στο έβδομο και τελευταίο κεφάλαιο, αποδεικνύονται κάποιοι γενικοί αρθμοί Ramsey και για κάποιους από αυτούς γίνεται επαλήθευση μέσω υπολογιστή. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Θεωρία γραφημάτων, Αριθμοί Ramsey, Θεώρημα Schur, Θεώρημα Turan, Probabilistic μέθοδος. 5

6 Λ. Γ. Ιωσηφίδης ABSTRACT Ramsey numbers are part of the theory of graphs which, by reason of their development, finally evolved as a theory. These numbers were first developed by Ramsey himself, in After that, Erdös took up the baton, and succeeded in constructing a retrospective inequality in order to bound these upper numbers. Since then up to the present day, many attempts have been made to calculate these numbers, but so far, only 9 of them have been calculated. Despite developments in computers and their power, we haven t been able to calculate the remaining numbers. However, for many of these numbers we do have satisfactory bounds. It is not accidental that the Ramsey theory has many open-ended problems. Efforts to calculate these numbers have resulted in the development of certain other units in the theory of graphs. In the first chapter, I refer to certain basic meanings in the theory of graphs which are essential for what follows. In the second chapter, certain known Ramsey numbers and barriers are referred to and proved, while the third chapter has to do with certain generalisations and observations on the first apparent Ramsey number, which is verified by means of a computer. In the fourth chapter, the multiple Ramsey numbers are referred to in graphs (k). In the fifth chapter we discuss two basic theorems, those of Schur and Turan, their generalizations and applications of the Ramsey numbers. These are theorems which were devised to calculate the Ramsey numbers. In the sixth chapter we discuss the probabilistic method, a relatively new method which was developed by Erdös. In the seventh and final chapter, certain general Ramsey numbers are proved and for some of these verification is given by means of a computer. KEY WORDS Theory graph, Ramsey numbers, Schur theorem, Turan theorem, Probabilistic method. 6

7 Αριθμοί Ramsey ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ABSTRACT ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Σελίδα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1.1 Βασικές έννοιες Πράξεις μεταξύ γραφημάτων Πίνακες συνδέσεων Ορισμοί στα χρωματικά γραφήματα ακμών ΑΡΙΘΜΟΙ RAMSEY 2.1 Εισαγωγή Αρχικό Πρόβλημα Γενίκευση Ορισμός αριθμών Ramsey και βασικές ιδιότητες Φράγματα των αριθμών Ramsey Προσδιορισμός των αριθμών Ramsey ΜΙΑ ΠΙΟ ΙΣΧΥΡΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΤΟ R(3, 3) ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ 3.1 Εισαγωγή

8 Λ. Γ. Ιωσηφίδης 3.2 Γενίκευση του θεωρήματος Greenwood και Gleason Εφαρμογές του θεωρήματος Επαλήθευση μέσω υπολογιστή ΠΟΛΛΑΠΛΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ RAMSEY 4.1 Εισαγωγή Ύπαρξη και φράγματα των πολλαπλών αριθμών Ramsey Προσδιορισμός πολλαπλών αριθμών Ramsey ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΠΛΗΡΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 5.1 Θεώρημα Schur Εφαρμογές του θεωρήματος Schur Θεώρημα Turan Γενίκευση του θεωρήματος Turan Ένα γεωμετρικό πρόβλημα ΒΑΣΙΚΗ PROBABILITY ΜΕΘΟΔΟΣ 6.1 Εισαγωγή Πρώτα θεωρήματα Ασυμπτωτικές εκτιμήσεις των αριθμών Ramsey ΔΙΑΦΟΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ RAMSEY 7.1 Εισαγωγή Ειδικοί αριθμοί Ramsey Αποδείξεις μέσω υπολογιστή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 8

9 Αριθμοί Ramsey ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1.1 Βασικές έννοιες Γράφημα (graph) G είναι ένα σύνολο p κορυφών ( vertices ) V(G) = {v 1,v 2,, v p }, εφοδιασμένο με ένα σύνολο q ακμών (edges) E(G)={x 1,x 2,, x q }, όπου x i ={u i,v i }, με u i, v i, i=1, 2,, q, στοιχεία του V(G). Το πλήθος των ακμών ενός γραφήματος G συμβολίζεται με ε(g). Στην εικόνα 1.1, το αριστερό γράφημα έχει 6 κορυφές, τις α, β, γ,δ, ε και ζ. Η κάθε ακμή συμβολίζεται με δύο γράμματα, τα γράμματα των κορυφών που συνδέει, π.χ. αδ, βε, γδ κ.ο.κ.. Δηλαδή V(G) = {α, β, γ, δ, ε, ζ} και E(G)={αβ, αδ, αε, βε, γδ, γζ}. Οι κορυφές που συνδέονται με ακμή ονομάζονται γειτονικές (adjacent) ή άμεσα συνδεόμενες (directly connected) ή άκρα της ακμής x. Δύο γραφήματα τα οποία φαινομενικά δεν είναι ίδια, αλλά έχουν το ίδιο σύνολο κορυφών και το ίδιο σύνολο ακμών ονομάζονται σημασμένα (labeled) και θεωρούνται ίδια. α λ β μ ζ κ ε δ γ π ν Εικόνα 1.1. Περάδειγμα 2 σημασμένων γραφημάτων 6 κορυφών και 6 ακμών. Τα δύο γραφήματα είναι ισόμορφα αφού με αντιστοίχηση των κορυφών τους, αυτά ταυτίζονται. Η αντιστοίχηση αυτή είναι α κ, β μ, γ λ, δ ν, ε ξ, ζ π. ξ 9

10 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Γραφήματα τα οποία έχουν την ιδιότητα να γίνονται ταυτόσημα με κατάλληλη σήμανση, ονομάζονται ισόμορφα. Παίρνουμε, τώρα, ένα γράφημα με p κορυφές και q ακμές. Το γράφημα αυτό θα συμβολίζεται με G(p, q). Σε αυτό το γράφημα δίνουμε τους εξής ορισμόυς: Δύο κορυφές v, u ενός γραφήματος G ονομάζονται διαδοχικές ή άμεσα συνδεδεμένες αν η ακμή {u, v} E(G). Μία ακολουθία διαδοχικών κορυφών μαζί με τις ακμές που τις συνδέουν, δηλαδή μια ακολουθία της μορφής v 1 {v 1, v 2 }v 2 {v 2, v 3 } v 3 {v 3, v 4 } v n {v n-1, v n }, λέγεται περίπατος ή άλυσος (walk or chain). Ένας περίπατος του οποίου όλες οι ακμές είναι διαφορετικές, ονομάζεται διαδρομή (trail). Ένας περίπατος του οποίου όλες οι κορυφές (άρα και οι ακμές) είναι διαφορετικές, ονομάζεται μονοπάτι (path). Αν οι κορυφές που αποτελούν την αρχή και το τέλος ενός περιπάτου, διαδρομής ή μονοπατιού ταυτίζονται, δηλαδή αν v 1 = v n, τότε έχουμε αντίστοιχα κλειστό περίπατο, κλειστή διαδρομή ή κύκλος (cycle). Μήκος περιπάτου, διαδρομής, μονοπατιού ή κύκλου λέγεται το πλήθος των ακμών του. Ένα μονοπάτι μήκους n συμβολίζεται με P n, ενώ ένας κύκλος μήκους n συμβολίζεται με C n. Το συντομότερο μονοπάτι που συνδέει δύο κορυφές ονομάζεται γεωδαισιανή. Το μήκος της γεωδαισιανής δύο κορυφών α και β ονομάζεται απόσταση (distance) των α, β και συμβολίζεται με d(α, β). Το μήκος της μακρύτερης γεωδαισιανής στο G, δηλαδή το μέγιστο των αποστάσεων, ονομάζεται διάμετρος d(g). Αν για κάθε ζεύγος κορυφών α, β V(G) υπάρχει περίπατος που ξεκινά από το α και τελειώνει στο β, τότε το γράφημα ονομάζεται συνδετικό. Σε αντίθετη περίπτωση ονομάζεται μη-συνδετικό ή ασυνδετικό. 10

11 Αριθμοί Ramsey α β θ γ δ η ζ ε Εικόνα 1.2. Παράδειγμα περιπάτου: β, ζ, η, γ, ζ, η μήκους 5. Παράδειγμα μονοπατιού: ε, α, δ, θ μήκους 3. Παράδειγμα κύκλου α, δ, θ, α μήκους 3. Η γεωδαισιανή των β και γ είναι το μονοπάτι β, ζ, γ μήκους 2, ενώ η διάμετρος των β και γ είναι 3 ( β, η, ζ, γ). Αν κάθε κορυφή του G συνδέεται άμεσα με οποιαδήποτε άλλη κορυφή του G, τότε το γράφημα αυτό ονομάζεται πλήρες γράφημα και συμβολίζεται με Κ ν, όπου ν το πλήθος των κορυφών του γραφήματος. Σε αυτό το γράφημα υπάρχουν όλες οι δυνατές ακμές που μπορεί να έχει ένα γράφημα. Αν καμία κορυφή του G δεν συνδέεται άμεσα με καμιά άλλη κορυφή, τότε το G ονομάζεται πλήρως ασυνδετικό και συμβολίζεται με A ν. Σε ένα τέτοιο γράφημα δεν υπάρχει καμιά ακμή. Έστω δύο γραφήματα G 1 και G 2, με V 1 και V 2 το σύνολο των κορυφών τους. Το γράφημα G με σύνολο κορυφών V(G) = V 1 V 2 και με σύνολο ακμών τέτοιο ώστε να μην υπάρχει ακμή που να συνδέει δύο κορυφές του V 1 ή του V 2, ονομάζεται διγράφημα ή διμερές γράφημα. Αν τώρα συμβαίνει κάθε κορυφή του V 1 να συνδέεται με κάθε κορυφή του V 2 τότε το γράφημα ονομάζεται πλήρες διγράφημα και συμβολίζεται με Κ m,n, όπου m το πλήθος των κορυφών του συνόλου V 1 και n το πλήθος των κορυφών του συνόλου V 2. Το πλήθος των ακμών που ένα από τα άκρα τους είναι η κορυφή α, ονομάζεται βαθμός (degree) της κορυφής α και συμβολίζεται με δ(α). 11

12 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Ο ελάχιστος βαθμός των κορυφών ενός γραφήματος G συμβολίζεται με δ(g) και ο μέγιστος με Δ(G). Ισχύει προφανώς ότι δ(g) Δ(G). Θεώρημα 1.1( Euler). Σε κάθε γράφημα G(p, q) με κορυφές v i, ( i = 1, 2,..., p) και q ακμές ισχύει p δ(v i) = 2q. i=1 Το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών δείνει το πλήθος των ακμών δύο φορές, διότι κάθε ακμή υπολογίστηκε έτσι δύο φορές, όσα είναι και τα άκρα του. Αν ισχύει δ(g) = Δ(G) = k, τότε το G ονομάζεται κανονικό γράφημα τάξης k. Αν k = 3, τότε το γράφημα ονομάζεται κυβικό γράφημα. 1.2 Πράξεις μεταξύ γραφημάτων Έστω δύο γραφήματα G = (V, E) και H = (U, F). Ορίζουμε την ένωση γραφημάτων G H = (V U, E F) και την τομή G H = (V U, E F). Αν G H =, τότε τα γραφήματα G και Η ονομάζονται ξένα. Το Η είναι υπογράφημα του G ή το G υπεργράφημα του Η, αν και μόνο αν ισχύει U V και F E και συμβολίζουμε Η G. Αν U V είναι ένα υποσύνολο κορυφών του G, συμβολίζουμε με G[U] το υπογράφημα του G, που έχει σύνολο κορυφών το U και σύνολο ακμών Ε U που περιέχει όλες τις ακμές του Ε που έχουν και τα δύο άκρα τους στο U. Το γράφημα αυτό ονομάζεται του G επί του U. Ένα γράφημα του G = (V, E) με σύνολο κορυφών το ίδιο το V, αλλά με σύνολο ακμών γνήσιο υποσύνολο του E, ονομάζεται υπογράφημα ζεύξης. Αν U είναι υποσύνολο των κορυφών του G = (V, E), τότε το φέρον υπογράφημα επί του V U συμβολίζεται απλούστερα με G H. Δηλαδή το γράφημα G U προκύπτει από το G με διαγραφή των κορυφών που περιέχονται στο U μαζί με όλες τις ακμές που ένα από τα άκρα τους περιέχονται στο U. Αν το U είναι μονοσύνολο, τότε 12

13 Αριθμοί Ramsey συμβολίζουμε με G v και είναι το γράφημα που προκύπτει από το G με διαγραφή της κορυφής v μαζί με τις ακμές που έχουν ένα άκρο τους την κορυφή v. Έστω F ένα υποσύνολο του [V] 2 και G = (V, E), τότε συμβολίζουμε με G F το γράφημα (V, E F) που προκύπτει με διαγραφή των ακμών του Ε που περιέχονται στο F. Επίσης συμβολίζουμε με G + F το γράφημα (V, E F) που προκύπτει με την προσθήκη ακμών του F που δεν περιέχεται στο Ε. Αν F μονοσύνολο, δηλαδή F ={ x }, συμβολίζουμε αντίστοιχα με G x και G + x, τα γραφήματα που προκύπτουν αντίστοιχα από τη διαγραφή ή προσθήκη αντίστοιχα της ακμής x. Έστω G = (V, E) και Η = (U, F) δύο ξένα γραφήματα. Θα συμβολίζουμε με G*H τη συνένωση των G και H, δηλαδή το γράφημα που προκύπτει από την ένωση G H, με την προσθήκη όλων των ακμών που συδέουν τις κορυφές του G με τις κορυφές του Η. Συμπλήρωμα G του γραφήματος G = (V, E), είναι το γράφημα (V, E), όπου E=[ ] 2 V E, που περιέχει όλα τα 2-σύνολα του V που δεν περιέχονται στο Ε. Αποδεικνύεται πως αν ένα γράφημα G είναι μη-συνδετικό, τότε το G είναι συνδετικό. Ένα γράφημα που δεν περιέχει κανένα κύκλο ονομάζεται δένδρο (tree). Αν κάποιο γράφημα G είναι ισόμορφο με το αυτοσυμπληρωματικό. G, τότε αυτό ονομάζεται α α ε β ε β δ δ γ γ Εικόνα 1.3: Παράδειγμα 2 συμπληρωματικών γραφημάτων, τα οποία όμως δεν είναι ισόμορφα. 13

14 Λ. Γ. Ιωσηφίδης 1.3 Πίνακες συνδέσεων Σε κάθε σημασμένο γράφημα G με κορυφές V(G) = {v 1, v 2,, v p }, ορίζουμε έναν pxp πίνακα A = (a i,j ), με την εξής ιδιότητα: a i,j 1, αν οι κορυφές v, i v j είναι διαδοχικές = 0, σε κάθε άλλη περίπτωση Ο πίνακας αυτός, ονομάζεται πίνακας συνδέσεων και ορίζεται μονοσήμαντα για κάθε γράφημα. Για το δεξιό γράφημα της εικόνας 1.3., ο πίνακας σύνδεσης, θεωρώντας ότι α 1, β 2, γ 3, δ 4, ε 5, είναι ο A= Ο πίνακας αυτός είναι πολύ χρήσιμος, αφού έχει πολλές ιδιότητες και επιπλέον είναι ένας τρόπος για να δουλέψουμε τα γραφήματα σε υπολογιστή. Κάποιες ιδιότητες του πίνακα αυτού αναφέρονται παρακάτω. Για τον πίνακα συνδέσεων Α ενός γραφήματος με p κορυφές, ισχύουν: (1) a i,i = 0, για κάθε i = 1, 2,..., p. (2) a i,j = a j,i, με κάθε i, j = 1, 2,,p. (3) A 1 = δ = (δ(v 1 ), δ(v 2 ),, δ(v p )) και 1 Α = δ. Αν Α 1 και Α 2 ειναι οι πίνακες συνδέσεων των γραφημάτων G 1 και G 2 αντίστοιχα, και υπάρχει πίνακας P, για τον οποίο ισχύει Α 2 =ΡΑ 1 Ρ, τότε τα γραφήματα G 1 και G 2 είναι ισόμορφα. 14

15 Αριθμοί Ramsey Θεώρημα 1.2. Έστω Α ο πίνακας συνδέσεων του γραφήματος G. Το στοιχείο (i, j) του πίνακα Α m δίνει το πλήθος των διαφορετικών περιπάτων μήκους m που συνδέουν τις κορυφές v i και v j. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή. Για m = 1, η πρόταση ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι η πρόταση ισχύει για όλα τα m n. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για m = n +1. Έστω Α = (a i,j ), A n = (b i,j ) και Α n+1 = (c i,j ), με i, j = 1, 2,, p. Λόγω της σχέσης Α Α n =A n+1, ισχύει c p = a b i,j i,k k,j k=1 Υπολογίζουμε τώρα το πλήθος των περιπάτων μήκους n + 1, που συνδέουν δύο τυχαίες κορυφές v i και v j. Υπάρχουν a i,k τρόποι για να πάμε από την κορυφή v i στην κορυφή v k, όπου το a i,k παίρνει την τιμή 1, αν οι κορυφές i και k συνδέονται και την τιμή 0, αν δεν συνδέονται. Στη συνέχεια, για να πάω από τη κορυφή k στην κορυφή j σε n βήματα, αυτό γίνεται με b k,j τρόπους. Έτσι για να πάω από τη κορυφή i στην k σε 1 βήμα και μετά από την κορυφή k στην κορυφή j σε m βήματα, αυτό γίνεται με a i,k b k,j τρόπους, με βάση την πολλαπλασιαστική αρχή. Αυτό, όμως, μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε κορυφή k. Με βάση την προσθετική αρχή καταλήγουμε στο ζητούμενο. Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι οι παρακάτω προτάσεις. Λήμμα 1.1. Έστω Α ο πίνακας συνδέσεων του γραφήματος G που έχει p > 2 κορυφές. Το G είναι συνδετικό αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του πίνακα Α + Α 2 + Α Α p-1 είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 1. Θεώρημα 1.3. Έστω Α ο πίνακας συνδέσεων του γραφήματος G που έχει p > 2 κορυφές. Το γράφημα G περιέχει κύκλους C 3 αν και μόνο αν κάποιο από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του πίνακα Α 3 δεν είναι μηδέν. Το (i, i) στοιχείο του πίνακα Α 3 δίνει το πλήθος των διαφορετικών περιπάτων μήκους 3 που συνδέουν τις κορυφές v i και v i. Άρα, ουσιαστικά, αν το (i, i) στοιχείο του πίνακα Α 3 δεν είναι μηδέν, αυτό σημαίνει πως υπάρχει κύκλος μήκους τρία (C 3 ). 15

16 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Θεώρημα 1.4. Έστω Α ο πίνακας συνδέσεων του γραφήματος G που έχει p > 2 κορυφές. Το γράφημα G περιέχει Tr(A 3 )/6 κύκλους C 3. Από την απόδειξη του θεωρήματος 1.2, καταλαβαίνουμε πως αν μια κορυφή v i περιέχεται σε κάποιον κύκλο C 3, μαζί με κορυφές v j και v k, τότε ο πίνακας A 3 θα έχει στη θέση (i, i) τον αριθμό 2, για κάθε κύκλο που ανήκει. Αυτό γιατί ο Α 3 μετράει τις διαδρομές v i v j v k v i και v i v k v j v i που στην ουσία πρόκειται για τον ίδιο κύκλο. Έτσι, ο κάθε κύκλος μήκους 3 που περιέχει η κορυφή v i μετριέται δύο φορές στη θέση (i, i). Επίσης, παίρνωντας το ίχνος του πίνακα Α 3, ο ίδιος κύκλος υπολογίζεται άλλες 3 φορές, 1 για κάθε κορυφή που περιέχει. Άρα, συνολικά ο κάθε κύκλος υπολογίζεται 6 φορές. Εφαρμογή 1.1. Ας επανέλθουμε στον πίνακα Α του παραπάνω παραδείγματος. Θα εξετάσουμε πρώτα αν το γράφημα είναι συνδετικό. Για αυτό το σκοπό θα υπολογίσουμε τον πίνακα Α + Α 2 + Α 3 + Α 4. Με τη βοήθεια του Mathematica βρήκαμε ότι o πίνακας αυτός είναι ο Επειδή κανένα στοιχείο του πίνακα αυτού δεν είναι μηδενικό, το γράφημα είναι συνδετικό. Θα εξετάσουμε τώρα την ύπαρξη ή όχι κύκλων μήκους 3 (C 3 ). Για το σκοπό αυτό, με τη βοήθεια του mathematica, θα υπολογίσουμε τον πίνακα Α 3. Αυτός είναι ο 16

17 Αριθμοί Ramsey Το ίχνος του πίνακα αυτού είναι 6. Άρα υπάρχει 6/6=1 κύκλος μήκους 3. Στη συγκεκριμμένη περίπτωση φαίνονται και οι κορυφές του κύκλου. Αυτές είναι οι 1, 3 και 5, όπως φαίνεται και από το γράφημα. Εφαρμογή 1.2. Ο πίνακας συνδέσεων ενός γραφήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την εύρεση κύκλων μήκους 4. Εδώ η διαδικασία είναι πιο πολύπλοκη από ότι στη περίπτωση των κύκλων μήκους 3. Έστω Α ο πίνακας συνδέσεων ενός γραφήματος. Υπολογίζουμε τον πίνακα Α 4. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου μας δειχνουν σε πόσους κλειστούς περίπατους μετέχει η κάθε κορυφή. Πρέπει να βρούμε πόσοι από αυτούς τους περίπατους δεν είναι (κλειστές) διαδρομές για να τους αποκλείσουμε. Διακρίνουμε δύο τέτοιες περιπτώσεις: Α) περίπατοι της μορφής v i v j v i v j v i και v i v j v i v k v i, όπου v i, v j, v k κορυφές του γραφήματος. Το πλήθος αυτών των περιπάτων υπολογίζεται με τη βοήθεια του πίνακα Β = Α 2. Συγκεκριμμένα, για την i κορυφή του γραφήματος, υπολογίζουμε την παράσταση s i = b, όπου p το πλήθος των κορυφών του 2 i,i γραφήματος. Αυτός ο αριθμός μας δείχνει το πλήθος τέτοιων περιπάτων που περιέχουν την κορυφή i, διότι το πλήθος των διαδρομών v i v j v i είναι b i,i και λόγω της πολλαπλασιαστικής αρχής προκύπτει το ζητούμενο. Β) περίπατοι της μορφής v i v j v k v j v i. Το πλήθος αυτών των περιπάτων υπολογίζεται πάλι με τη βοήθεια του πίνακα Β = Α 2. Το πλήθος τους μας το υποδεικνύει η παράσταση s ' i p = b. j=1 j i i,j Έτσι το πλήθος των κλειστών περιπάτων που είναι κλειστά μονοπάτια είναι και περίεχουν την κορυφή i. Στη συνέχεια υπολογίζω την παράσταση b + 2 i,i p j=1 j i b i,j 17

18 Λ. Γ. Ιωσηφίδης l i = (4) α i,i - 2 b i,i - p bi,j που δείχνει το πλήθος των κύκλων μήκους 4 που περιέχουν την j=1 j i κορυφή i. Ο αριθμός όμως αυτός μετράει 2 φορές τον κάθε κύκλο, ως εξής: v i v j v k v m v i και v i v m v k v j v i. Άρα πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμό l i με 2. Η παράσταση p l i i=1 L= 8 μας δείχνει το πλήθος των κύκλων μήκους 4 και αυτό διότι κάθε τέτοιος κύκλος υπολογίστηκε 4 φόρες, όσες και οι κορυφές του κύκλου. Εφαρμογή 1.3. Θα ασχοληθούμε με το δεξιό γράφημα της σχήματος 1.3. Θα εξετάσουμε την ύπαρξη ή όχι, κύκλων μήκους 4, με τη μέθοδο που περιγράφτηκε παραπάνω. Ο πίνακας Α 2 είναι Επομένως s 1 = 9, s 2 = 1, s 3 = s 4 = s 5 = 4 και άρα ' s1 = 3, ' s2 = 1, l 1 = 0, l 2 = 0, l 3 = 0, l 4 = 0, l 5 = 0. Άρα το γράφημα δεν έχει κύκλους μήκους 4. ' s3 = 3, ' s4 = 2, ' s5 = 3 Θα δούμε τώρα τι γίνεται με το αριστερό γράφημα της εικόνας 1.3. Ο πίνακας συνδέσεων του γραφήματος είναι A= Ενώ, με τη βοήθεια του Mathematica πήραμε και τους ακόλουθους πίνακες 18

19 Αριθμοί Ramsey Είναι και A= s 1 = 1, s 2 = 9, s 3 = s 4 = s 5 = 4, ' s1 = 2, A= ' s2 = 2, ' s3 = 3, ' s4 = 2, ' s5 = 3. Έτσι l 1 = 0, l 2 = l 3 = l 4 = l 5 = 2. Άρα L = 1, δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένας κύκλος μήκους 4, που περιέχει τις κορυφές 2, 3, 4, 5 και αυτό φαίνεται και από τους αριθμούς l i Ορισμοί στα χρωματικά γραφήματα ακμών. Ονομάζουμε χρωματικό γράφημα ακμών, τα γραφήματα στα οποία κάθε ακμή έχει κάποιο χρώμα. Οι παρακάτω ορισμοί αναφέρονται σε γραφήματα όπου όλες οι ακμές έχουν χρωματιστεί με i το πλήθος χρώματα. Ονομάζουμε γράφημα (2), το πλήρες χρωματικό γράφημα ακμών, με ν κορυφές, όπου κάθε ακμή έχει χρωματιστεί με 1 από τα 2 χρώματα. Ομοίως ονομάζουμε γράφημα (i) το πλήρες γράφημα όπου όλες οι ακμές έχουν χρωματιστεί με i το πλήθος χρώματα. Σε ένα γράφημα (2), ορίζουμε τους χρωματικούς βαθμούς κάθε κορυφής ως προς τα χρώματα. Αν σε κάποια κορυφή γραφήματος υπάρχουν κ ακμές με το χρώμα 1 και λ ακμές με το χρώμα 2, τότε οι χρωματικοί βαθμοί της κορυφής είναι (κ, λ). Προκύπτει, άμεσα, ότι το άθροισμα των χρωματικών βαθμών μιας κορυφής ισούται με p 1, όπου p το πλήθος των κορυφών του τριγώνου. Επίσης, το άθροισμα όλων των 19

20 Λ. Γ. Ιωσηφίδης χρωματικών βαθμών κάθε κορυφής ισούται με του πλήρους γραφήματος με p κορυφές. p :2, όσες δηλαδή είναι και οι ακμές 2 Ορίζουμε τον μέγιστο χρωματικό βαθμό κορυφής, δ τον μεγαλύτερο από τους κ και λ, δηλαδή δ =max{κ,λ}. Ορίζουμε τον μέγιστο χρωματικό βαθμό γραφήματος, Δ τον μεγαλύτερο αριθμό από τους μέγιστους χρωματικούς βαθμούς κορυφης, δηλαδή Δ = max{δ 1, δ 2,...,δ ν}. Εύκολα αποδεικνύεται ότι p ' p 3 Δ. Χρωματικά τρίγωνα σε γράφημα (i), ονομάζονται τα υπογραφήματα Κ 3 όπου και οι 3 ακμές του είναι του ιδίου χρώματος. Γενικά, ονομάζουμε χρωματικό κύκλο μήκους k σε γράφημα (i), το κύκλο μήκους k, όπου όλες οι ακμές έχουν το ίδιο χρώμα. Σε ένα γράφημα (i) ορίζουμε i σε πλήθος πίνακες συνδέσεως Α 1, Α 2,..., Α i, έναν για κάθε χρώμα. Για αυτούς τους πίνακες ισχύει Α 1 + Α Α i = J I, όπου J ο p x p πίνακας, όπου όλα τα στοιχεία του είναι μονάδες και ο Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας. Για τους πίνακες αυτούς ισχύουν όλες οι ιδιότητες που έχουν προαναφερθεί, αφού ο καθένας μόνος του αποτελεί και έναν πίνακα συνδέσεως ενός απλού γραφήματος. β γ δ α η ε ζ Εικόνα 1.4. Ένα γράφημα (3) με 7 κορυφές. 20

21 Αριθμοί Ramsey Ας δούμε όλους αυτούς τους ορισμούς με βάση το γράφημα της εικόνας 1.4. Τα χρώματα που χρησιμοποιούμε είναι μαύρο, κόκκινο, μπλε και με αυτή τη σειρά θα χρησιμοποιηθούν στους ορισμούς. Οι χρωματικοί αριθμοί της κορυφής α είναι (2, 1, 3). Ο μέγιστος χρωματικός της βαθμός είναι 3 (μπλε), ενώ ο μέγιστος χρωματικός βαθμός του γραφήματος είναι πάλι 3, αλλά δεν προέρχεται μόνο από την κορυφή α. Υπάρχει χρωματικό τρίγωνο (χρώματος μπλε ), το α, γ, ε, α. Παράλληλα υπάρχει και χρωματικός κύκλος μήκους 5 (χρώματος κόκκινο) με κορυφές τα α, β, ε, η, ζ, α. Ενώ οι κορυφές α, γ, δ, ε, α ορίζουν χρωματικό κύκλο χρώματος μπλε, μήκους 4. Οι πίνακες συνδέσεως είναι οι A1 = , A2 = , A3 =

22 Λ. Γ. Ιωσηφίδης 22

23 Αριθμοί Ramsey ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΡΙΘΜΟΙ RAMSEY 2.1. Εισαγωγή Αρχικό Πρόβλημα Πρόβλημα 2.1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ομάδα 6 ατόμων υπάρχουν πάντα τρία άτομα που είτε γνωρίζονται μεταξύ τους είτε δεν γνωρίζονται. Θεωρούμε ότι τα 6 άτομα είναι οι κορυφές ενός γραφήματος G. Αν δύο άτομα γνωρίζονται, τότε υπάρχει ακμή που ενώνει τις αντίστοιχες κορυφές, αλλιώς δεν υπάρχει. Κατασκευάζουμε τα γραφήματα G και G. Οι ακμές του G δηλώνουν ποια άτομα δεν γνωρίζονται μεταξύ τους. Παίρνουμε τυχαία μια κορυφή, την α. Είναι σίγουρο (από την αρχή του Dirichlet) ότι σε ένα από τα δύο γραφήματα ο βαθμός αυτής της κορυφής θα είναι τουλάχιστον 3. Θα εξετάσουμε την περίπτωση που είναι 3 και ότι αυτό συμβαίνει στο γράφημα G. Έστω ότι η κορυφή α συνδέεται με τις β, γ και δ, όπως φαίνεται στην εικόνα Τότε, αν μεταξύ αυτών των κορυφών υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή το πρόβλημα λύθηκε. Αλλιώς στο γράφημα G οι κορυφές αυτές θα συνδέονται όλες μεταξύ τους, άρα και πάλι το πρόβλημα λύθηκε. α β ζ γ ε δ Εικόνα 2.1. Γράφημα 6 κορυφών στο οποίο φαίνεται η ύπαρξη τριγώνου σε αυτό ή στο συμπληρωματικό του. 23

24 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Το παραπάνω πρόβλημα θεωρείται το κλασσικότερο παράδειγμα πάνω στους αριθμούς Ramsey. Παράλληλα βλέπουμε πως ένα πρόβλημα λύνεται με τη βοήθεια της θεωρίας γραφημάτων, αφού αυτή βοηθάει στην οπτικοποίηση κάποιων προβλημάτων. Στην ουσία το πρόβλημα ζητούσε να αποδείξουμε πως «σε κάθε γράφημα G, έξι κορυφών, είναι σίγουρο οτι υπάρχει τρίγωνο είτε στο G είτε στο G» Γενίκευση Το προηγούμενο παράδειγμα είχε να κάνει με τρίγωνα σε γραφήματα. Τα αμέσως επόμενα ερωτήματα που δημιουργούνται είναι αν το παραπάνω συμπέρασμα μπορεί να ισχύσει και σε γραφήματα με πέντε κορυφές, πόσες πρέπει να είναι οι κορυφές ενός γραφήματος ώστε να είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει πλήρες υπογράφημα με 4 κορυφές (ή 5 ή 6 και περισσότερες κορυφές) είτε στο γράφημα είτε στο συμληρωματικό του γράφημα. Παρόλο που τα παραπάνω ερωτήματα φαίνονται απλά για να απαντηθούν ή για να αποδειχτούν, ωστόσο αυτό δεν είναι πάντοτε τόσο εύκολο. Στις επόμενες ενότητες του κεφαλαίου αυτού θα δούμε σε ποια ερωτήματα μπορούμε να απαντήσουμε Ορισμός αριθμών Ramsey και βασικές ιδιότητες Ορισμός 2.1. Ονομάζουμε clique (κλικ) ενός απλού γραφήματος G ένα υποσύνολο των κορυφών του, τέτοιο ώστε αυτές οι κορυφές μαζί με τις αντίστοιχες ακμές που τις συνδέουν, να αποτελούν ένα πλήρες γράφημα. Ας δούμε τώρα τον ορισμό των αριθμών Ramsey. Ορισμός 2.2. Ονομάζουμε αριθμό Ramsey r(s, t) τον ελάχιστο αριθμό κορυφών που πρέπει να έχει ένα γράφημα, έτσι ώστε, είτε το γράφημα να περιέχει ένα clique τάξης s, είτε το συμπληρωματικό του να περιέχει ένα clique τάξης t. Θα δώσουμε τώρα έναν ισοδύναμο ορισμό των αριθμών Ramsey με τη βοήθεια 24

25 Αριθμοί Ramsey των γραφημάτων (i). Ορισμός 2.3. Ονομάζουμε αριθμό Ramsey r(s, t) τον ελάχιστο αριθμό κορυφών που πρέπει να έχει ένα γράφημα (2), έτσι ώστε, είτε το γράφημα να περιέχει ένα clique τάξης s και χρώματος 1, είτε να περιέχει ένα clique τάξης t και χρώματος 2. Ο Ramsey το 1930 απέδειξε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι καλώς ορισμένοι για κάθε τιμή των s, t. Ο καθορισμός όμως των αριθμών αυτών είναι δύσκολος για κάθε s και t, με εξαίρεση λίγων περιπτώσεων. Ας δούμε τώρα κάποιες ιδιότητες που έχουν αυτοί οι αριθμοί. Θεώρημα 2.1. Για τους ακέραιους αριθμούς s και t, ισχύει r(s, t) = r(t, s) Ας πάρουμε ένα γράφημα με r(s,t) κορυφές. Τότε το γράφημα αυτό θα έχει είτε ένα clique τάξης s, είτε το συμπληρωματικό του θα έχει ένα clique τάξης t. Τότε, αν θεωρήσουμε το συμπληρωματικό του γράφημα ως προτεύων γράφημα, θα έχει είτε ένα clique τάξης t, είτε το συμπληρωματικό του θα περιέχει ένα clique τάξης s. Επομένως r(s, t) r(t, s) Όμοια αποδεικνύουμε ότι r(s, t) r(t, s) Συνεπώς ισχύει r(s, t) = r(t, s) Άμεση συνέπεια του ορισμού των αρθμών Ramsey είναι το ακόλουθο πόρισμα. Πόρισμα 2.1. Κάθε γράφημα n κορυφών, με n r(s, t), περιέχει ένα clique τάξης s ή το συμπληρωματικό του περιέχει ένα clique τάξης t. Εύκολα αποδεικνύονται οι σχέσεις r(1, t) = r(s, 1) = 1 (2.1) και r(2, t) = t, r(s, 2) = s (2.2) 25

26 Λ. Γ. Ιωσηφίδης 2.3. Φράγματα των αριθμών Ramsey Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι αριθμοί Ramsey είναι ξεκάθαρο ότι για τους φυσικούς αριθμούς n m ισχύει r(n, n) r(n, m) r(m, m) Στη προσπάθεια να προσδιοριστούν οι αριθμοί Ramsey, βρέθηκαν κάποια άνω και κάτω φράγματα των αριθμών αυτών. Τα πλέον γνωστά φράγματα είναι αυτά των Erdös και Szekeres (1935) και Greenwood και Gleason (1955). Θεώρημα 2.2. (Erdös και Szekeres) Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς k 2 και m 2 ισχύει r(k, m) r(k, m - 1) + r(k - 1, m) (2.3) Επιπλέον, αν οι αριθμοί r(k, m 1) και r(k 1, m) είναι ταυτόχρονα άρτιοι τότε το ίσον στην ανισότητα δεν ισχύει. Έστω ένα γράφημα με r(k, m 1) + r(k 1, m) κορυφές και έστω α μια κορυφή του γραφήματος. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (1) η κορυφή α να μην συνδέεται με ένα σύνολο S, με τουλάχιστον r(k, m 1) κορυφές (2) η κορυφή α να συνδέεται με ένα σύνολο Τ, με τουλάχιστον r(k 1, m) κορυφές. Παρατηρούμε ότι τα ενδεχόμενα (1) και (2) είναι ασυμβίβαστα, διότι το άθροισμα των κορυφών με τις οποίες συδέεται η κορυφή α, με τις κορυφές με τις οποίες δεν συνδέεται, είναι ίσο με r(k, m 1) + r(k 1, m) 1. Στην πρώτη περίπτωση, το υπογράφημα G[S] περιέχει είτε ένα clique με k κορυφές, είτε ένα clique με m 1 κορυφές που δεν συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι, το υπογράφημα G[S {α}] περιέχει ένα clique με m κορυφές που δεν συδέονται μεταξύ τους. Στη δεύτερη περίπτωση, το υπογράφημα G[T] περιέχει είτε ένα clique με k 1 κορυφές, είτε ένα clique με m κορυφές που δεν συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι, το γράφημα G[T {α}] περιέχει ένα clique με k κορυφές. Από τη στιγμή που μόνο ένα από τα ενδεχόμενα (1) και (2) ισχύουν η απόδειξη έχει 26

27 Αριθμοί Ramsey τελειώσει. Ας υποθέσουμε ότι οι αριθμοί r(k, m 1) και r(k 1, m) είναι και οι δύο άρτιοι. Τότε ορίζουμε το γράφημα G με r(k, m 1) + r(k 1, m) 1 κορυφές. Το γράφημα αυτό έχει περιττού πλήθους κορυφών. Έτσι, υπάρχει κορυφή α με βαθμό περιττό αριθμό. Σε αυτή τη περίπτωση, το σύνολο Τ, της παραπάνω απόδειξης, μπορούμε να το πάρουμε ώστε να έχει r(k 1, m) 1 κορυφές. Η απόδειξη τώρα παραμένει ίδια με την προηγούμενη. Δηλαδή, σε αυτή τη περίπτωση r(k, m) r(k, m - 1) + r(k - 1, m) - 1 Πόρισμα 2.2. Για k = m το θεώρημα 2.2 δίνει r(k, k) 2 r(k, k-1) Η σχέση (2.3) είναι αφετηρία πολλών άλλων σχέσεων. Κάποιες από αυτές φαίνονται στα επόμενα θεωρήματα. Θεώρημα 2.3. Για τους φυσικούς αριθμούς k και l ισχύει k+l r(k, l) 2 (2.4) Θα αποδείξουμε την παραπάνω πρόταση με χρήση επαγωγής ως προς k + l. Για k + l = 2, δηλαδή k = l = 1, η σχέση (2.4) ισχύει. Έστω ότι ισχύει για κάθε k + l n. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για n + 1. Πράγματι, από τη σχέση (2.3) παίρνουμε r(k, l) r(k, l - 1) + r(k - 1, l) k+ l 1 k+ l k+ l = 2 Πόρισμα 2.3. Για k = l παίρνουμε ότι 2k k r(k, k) 2 = 4 Μπορούμε να πετύχουμε κάλυτερο κάτω φράγμα από τη σχέση (2.3). Το παρακάτω 27

28 Λ. Γ. Ιωσηφίδης θεώρημα μας το επιβεβαιώνει. Θεώρημα 2.4. (Greenwood και Gleason) Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς k 2 και m 2 ισχύει k+m-2 r(k, m) (2.5) k-1 Η απόδειξη θα γίνει με τη χρήση της τέλειας επαγωγής στο k + m. Για k + m = 4, δηλαδή k = m = 2 η σχέση (2.4) ισχύει, δίοτι r(2, 2) = 2 και k+ m 2 2 = = 2. k 1 1 Υποθέτουμε ότι η σχέση (2.5) ισχύει για όλους τους ακεραίους k και m με την ιδιότητα 4 k + m < s + t. Από το θεώρημα 2.2 και την υπόθεση της επαγωγής προκύπτει ότι r(s, t) r(s, t 1) + r(s 1, t) s+ t 3 s+ t 3 + s 1 t 2 s+ t 2 = s 1 Συνεπώς η σχέση (2.5) ισχύει για όλες τις τιμές των k και m. 2k-2 Πόρισμα 2.4. Ισχύει r(k, k) k-1 Από το θεώρημα 2.4. για k = m προκύπτει ο ζητούμενος τύπος. Θεώρημα 2.5. Αν οι αριθμοί m και n i είναι θετικοί ακέραιοι, τότε r(m, n1+ n2 1) r(m, n 1) + r(m, n 2) 1 Έστω G i ένα γράφημα με r(m, n i ) 1 κορυφές, τέτοιο ώστε να μην περιέχει 28

29 Αριθμοί Ramsey υπογράφημα Κ m και α(g i ) n i 1. Τότε το γράφημα G = G 1 G 2 δεν περιέχει K m και επιπλέον, α(g) n 1 + n 2 2, και το ζητούμενο αποδείχτηκε. Πόρισμα 2.5. Ισχύει r(n, 2m 1) 2r(n, m) Προσδιορισμός αριθμών Ramsey Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με τον προσδιορισμό κάποιων αριθμών Ramsey. Ήδη ξέρουμε ότι r(1, t) = r(s, 1) = 1 και r(2, t) = t, r(s, 2) = s. Θεώρημα 2.6.(Greenwood and Gleason) r(3, 3) = 6 Ήδη από την αρχή της ενότητας αυτής δείξαμε ότι r(3, 3) 6, αφού κάθε γράφημα ή το συμπληρωματικό του, με 6 κορυφές περιέχει τρίγωνο. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει γράφημα με 5 κορυφές που να μην περιέχει ούτε αυτό, αλλά ούτε το συμπληρωματικό του τρίγωνο. Ένα τέτοιο γράφημα είναι το αριστερό γράφημα στην εικόνα 2.2. Άρα r(3, 3) = 6. Μια άλλη διατύπωση του θεωρήματος 2.6. είναι η εξής: Σε κάθε γράφημα έξι κορυφών όπου κάθε ακμή χρωματίζεται με δύο χρώματα υπάρχει τουλάχιστον ένα τρίγωνο, όπου και οι τρεις ακμές τους έχουν το ίδιο χρώμα. Αυτή η εκφώνηση ήταν θέμα στο διαγωνισμό Putman το 1953, αλλά ήταν ήδη γνωστή από την εθνική ολυμπιάδα της Ουγγαρίας το Θεώρημα 2.7. r(3, 4) = 9. 1 ος τρόπος 29

30 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Εικόνα 2.2. Στο αριστερό γράφημα 5 κορυφών δεν υπάρχει τρίγωνο, αλλά ούτε και στο συμπληρωματικό του, άρα r(3, 3) 6. Στο δεξιό γράφημα 8 κορυφών για τον ίδιο λόγω φαίνεται ξεκάθαρα ότι r(3, 4) 9. Από το θεώρημα 2.2. παίρνουμε ότι r(3, 4) r(2, 4)+r(3, 3) =4+6 =10 Επειδή όμως οι αριθμοί r(2, 4) και r(3, 3) είναι άρτιοι, προκύπτει ότι r(3, 4) 9. Αρκεί να βρούμε ένα γράφημα με 8 κορυφές που να μην περιέχει τρίγωνο, αλλά και το συμπληρωματικό του να μην περιέχει ένα πλήρες γράφημα με τέσσερις κορυφές. Ισοδύναμα να βρούμε ένα γράφημα (2) που να μην περιέχει κόκκινο τρίγωνο ή μαύρο πλήρες γράφημα τάξης 4. Ένα τέτοιο απλό γράφημα είναι το δεξιό γράφημα στην εικόνα 2.2. Άρα r(3, 4) = 9. 2 ος τρόπος Εδώ θα αποδείξουμε το θεώρημα χρησιμοποιώντας ένα γράφημα (2) 9 κορυφών, με χρώματα ακμών, το μαύρο και το κόκκινο. Θα ξεκινήσουμε, υποθέτωντας, ότι το γράφημα αυτό δεν έχει κόκκινο τρίγωνο και θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι έχει ένα μαύρο K 4. Αν κάποια κορυφή έχει κόκκινο χρωματικό βαθμό 4, τότε ή θα σχηματιστεί κόκκινο τρίγωνο ή μαύρο Κ 4. Άρα ο χρωματικός βαθμός για την κάθε κορυφή στο χρώμα κόκκινο θα είναι το πολύ τρία. Αλλά, επειδή έχουμε περιττού πλήθους κορυφών, κάποια κορυφή πρέπει να έχει άρτιο χρωματικό βαθμό στο χρώμα κόκκινο. Δηλαδή, υπάρχει κορυφή που έχει χρωματικό βαθμό 2 στο χρώμα κόκκινο, ισοδύναμα, υπάρχει κορυφή που έχει βαθμό 6 στο χρώμα μαύρο. Σε αυτές τις έξι κορυφές θα δημιουργηθεί κάποιο μονοχρωματικό τρίγωνο. Ο,τι χρώματος και αν είναι, το ζητούμενο αποδείχτηκε. 30

31 Αριθμοί Ramsey Εικόνα 2.3. Γράφημα 13 κορυφών στο οποίο φαίνεται ότι r(3,5) 14 Θεώρημα 2.8. r(3, 5) = 14. Από το θεώρημα 2.2. παίρνουμε ότι r(3, 5) r(2, 5)+r(3, 4) =5+9 =14 Αλλά υπάρχει γράφημα (2) με 13 κορυφές που να μην περιέχει κάποιο τρίγωνο, αλλά και το συμπληρωματικό του να μην περιέχει κάποιο πλήρες υπογράφημα 5 κορυφών. Για την απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος, θα χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι συμβολισμοί. G : το πλήθος των κορυφών του G. Ν(S): το σύνολο των κορυφών του G, που συνδέονται άμεσα με τις κορυφές του S, όπου S G. N[S] = S N(S). IS: ένα ανεξάρτητο σύνολο κορυφών και k-is ένα ανεξάρτητο σύνολο k κορυφών 31

32 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Θεώρημα 2.9.(Kery , Kalbfleisch ) r(3, 6) = 18 Από το γράφημα της εικόνας 2.4. προκύπτει ότι υπάρχει γράφημα 17 κορυφών που να μην περιέχει clique τάξης 3 και δεν περιέχει και ένα 6-IS. Άρα r(3, 6) 18. Θα δείξουμε τώρα ότι σε κάθε γράφημα 18 κορυφών που δεν περιέχει clique τάξης 3, θα περιέχει ένα υπογράφημα 6-IS. Θα αποδείξουμε 3 ιδιότητες αυτού του γραφήματος. Ιδιότητα 1: Το G είναι ένα 5-κανονικό γράφημα Επειδή το γράφημα G δεν περιέχει τρίγωνα, έπεται ότι deg(u) 5, για κάθε κορυφή u του γραφήματος, διότι, διαφορετικά, στο N(u) θα υπάρξει τουλάχιστον ένα τρίγωνο ή ένα 6-IS. Υποθέτουμε ότι deg(u) < 5. Έστω H = G N[u]. Συνεπώς H 13. Αν H 14 = r(3, 5), τότε το υπογράφημα Η περιέχει ένα 5 IS, που μαζί με την κορυφή u αποτελούν ένα 6-IS. Άρα H = 13 και το γράφημα H είναι ένα 4 κανονικό γράφημα. Έστω t N(u) και t 1, t 2, t 3 N(t) \ {u}. Οι κορυφές t 1, t 2, t 3 είναι ένα 3-IS, όπως και το Ν(u) \ {t}. Η κάθε κορυφή t i συνδέεται με 3 κορυφές του Η. Αν συνδέεται και με κάποια κορυφή του Ν(u) \ {t}, τότε deg(t i ) 6, άτοπο. Εικόνα 2.4. Γράφημα στο οποίο φαίνεται ότι r(3, 4) 9. Ιδιότητα 2: Για κάθε κορυφή u υπάρχουν ακριβώς 4 μη γειτονικές κορυφές p i του u τέτοιες ώστε N( p ) N( u) = 1 και 8 μη γειτονικές κορυφές q i του u τέτοιες ώστε 32 i Nq ( ) Nu ( ) = 2. Επιπλέον οι κορυφές p i μοιράζονται 4 διακεκριμμένες γειτονικές i

33 Αριθμοί Ramsey κορυφές του u και τα q i 8 διακεκριμμένα ζευγάρια γειτονικών κορυφών του u. Έστω ότι οι κορυφές u και v δεν είναι γειτονικές. Θα αποδείξουμε ότι 1 N(v) N(u) 2. Αν N(v) N(u) = 0, τότε η u είναι ανεξάρτητη από το Ν(u), συνεπώς το σύνολο {u} Ν(v) είναι ένα 6-IS. Επομένως, N(v) N(u) 1. Ας υποθέσουμε ότι N(v) N(u) 3. Έστω H = G N[u, v]. Τότε H 9 = r(3, 4), άρα υπάρχει ένα 4 IS που μαζί με τις u και v αποτελούν ένα 6 IS. Δηλαδή 1 N(v) N(u) 2. Θέτουμε H = G N[u]. Τότε υπάρχουν ακριβώς 20 ακμές που συνδέουν κορυφές του Η και του Ν[u], διότι η κάθε κορυφή του Ν(u) έχει 4 γειτονικές κορυφές από το σύνολο Η. Έστω x το πλήθος των κορυφών του Η που συνδέεται με 2 κορυφές του Ν[u], τότε υπάρχουν 12 x κορυφές που συνδέονται με 1 ακριβώς κορυφή του Ν[u]. Πρέπει 2x + (12 - x) = 20, δηλαδή x = 8. Τώρα, ας υποθέσουμε ότι οι κορυφές p 1 και p 2 συνδέονται με την ίδια κορυφή v Ν(u). Τότε το σύνολο {p 1, p 2 } (N(u)\{u}) είναι ένα 6 IS, άτοπο. Έτσι, δεν υπάρχουν 2 κορυφές από τις p 1, p 2, p 3, p 4 που να συνδέονται μ την ίδια κορυφή του N(u). Τέλος, έστω ότι οι κορυφές q 1, q 2 V(H) συνδέονται με το ζευγάρι {x, y} Ν(u). Τότε οι κορυφές x και y έχουν 3 κοινές κορυφές, άτοπο. Ιδιότητα 3: Οι κορυφές σχηματίζουν έναν κύκλο μήκους 4. Ονομάζουμε τις κορυφές του G με τον ακόλουθο τρόπο. Έστω Ν(u) = {t, s 1, s 2, s 3, s 4 } και έστω ότι οι ακμές s 1 p 1, s 2 p 2, s 3 p 3, s 4 p 4 είναι οι μόνες ακμές μεταξύ των p i και Ν(u). Τονίζουμε σε αυτό το σημείο ότι καμία κορυφή p i δεν συνδέεται άμεσα με την κορυφή t διότι η u έχει ακριβώς μία κοινή γειτονική κορυφή με την p i. Τις κορυφές q i τις ονομάζουμε τώρα ως εξής: Ν(t) = {t 1, t 2, t 3, t 4 } και τις υπόλοιπες w 1, w 2, w 3, w 4. Δηλαδή V(G) = {u, t, s 1, s 2, s 3, s 4, w 1, w 2, w 3, w 4, t 1, t 2, t 3, t 4 }. Κάθε s i κορυφή συνδέεται με την κορυφή u, με μία κορυφή p i, με ακριβώς δύο κορυφές w i και (αναγκαστικά) με μία κορυφή t i. Επιπλέον δεν μπορούν να υπάρχουν δύο κορυφές s i, ας πούμε s 1 και s 2 που να ενώνονται με δύο κορυφές w i, ας πούμε w 1 και w 2, γιατί τότε οι κορυφές s 1 και s 2 θα έχουν τρεις κοινές γειτονικές κορυφές, τις u, w 1 και w 2. Ομοίως, καμία κορυφή w i δεν συνδέεται με περισσότερες από δύο κορυφές των s i, γιατί τότε το ζευγάρι {u, w i } θα είχε παραπάνω από 3 κοινές κορυφες. 33

34 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Τώρα, υποθέτουμε ότι δύο κορυφές από τις s i, ας πούμε οι s 1 και s 2 συνδέονται με την κορυφή w 1. Παρατηρούμε ότι καμία από τις κορυφές p 1, p 2, s 1, s 2, w 1 δεν συνδέονται με το ανεξάρτητο σύνολο {t, s 3, s 4 }. Έτσι, για να αποφευχθεί ένα 6 IS πρέπει οι κορυφές { p 1, p 2, s 1, s 2, w 1 } να σχηματίζουν έναν κύκλο μήκους 5. Άρα οι κορυφές p 1 και p 2 πρέπει να συνδέονται. Συμμετρικά, πρέπει οι ακμές p 2 p 3, p 3 p 4, p 4 p 1 να σχηματιστούν και μάλιστα με αυτόν τον τρόπο ώστε να μην σχηματίζουν τρίγωνο. Άρα, οι τέσσερις κορυφές p i σχηματίζουν έναν κύκλο μήκους 4. Τέλος, από την ιδιότητα 2, πρέπει κάθε κορυφή p i να συνδέεται με τουλάχιστον μία κορυφή t i, διότι αλλιώς η p i δεν θα είχε κοινή γειτονική κορυφή με την t. Λόγω πάλι της ιδιότητας 2, δύο κορυφές p i δεν μπορούν να συνδέονται με την ίδια κορυφή t i, διότι τότε ή θα σχηματίζονταν τρίγωνο ή οι κορυφές p i θα είχαν τουλάχιστον 3 κοινές γειτονικές κορυφές. Ας υποθέσουμε ότι η κορυφή p i συνδέεται με την t i για κάθε i = 1, 2, 3, 4. Υπάρχουν ακριβώς τέσσερις ακμές που συνδέουν τις κορυφές p i με τις w i. Υποθέτουμε ότι οι ακμές αυτές είναι οι p 1 w 1, p 2 w 2, p 3 w 3, p 4 w 4. Επίσης οι κορυφές u και w 1 έχουν ακριβώς 2 γειτονικές κοινές κορυφές, οι οποίες πρέπει να είναι από το σύνολο {s 2, s 3, s 4 }. Ομοίως, οι κορυφές t και w 1 πρέπει να έχουν δύο κοινές κορυφές, οι οποίες πρέπει να είναι από το σύνολο {t 2, t 3, t 4 }. Παρατηρούμε ότι η w 1 δεν μπορεί να συνδεθεί ταυτόχρονα με τις κορυφές s i και t i, με i 3, δίοτι σε μία τέτοια περίπτωση οι κορυφές w 1 και p i θα είχαν τρεις κοινές γειτονικές κορυφές. Άρα η w 1 συνδέεται με τις s 3 και t 3. Λόγω συμμετρίας, υποθέτουμε, ότι η w 1 συνδέεται με τις s 2 και t 4. Παίρνουμε την κορυφή s 2. Όπως έχουμε πει η κάθε κορυφή s i συνδέεται με ακριβώς μία κορυφή t i. Η s 2 δεν μπορεί να συνδεθεί με τις t 2, t 3 και t 4 επειδή σχηματίζεται τρίγωνο σε κάθε περίπτωση. Αναγκαστικά θα συνδεθεί με την t 1. Σε αυτή τη περίπτωση όμως οι κορυφές s 2 και p 1 έχουν 3 κοινές κορυφές, τις p 2, w 1 και t 1. Συνεπώς η πρόταση αποδείχτηκε. Θεώρημα r(4, 4) = 18 34

35 Αριθμοί Ramsey Εικόνα 2.5. Από το γράφημα 17 κορυφών προκύπτει ότι r(4, 4) 18 Από το θεώρημα 2.2. παίρνουμε ότι r(4, 4) r(3, 4)+r(4, 3) =9+9 =18 Αλλά υπάρχει γράφημα (2) με 17 κορυφές που να μην περιέχει κάποιο Κ 4 αλλά ούτε και το συμπληρωματικό του, το οποίο φαίνεται στην εικόνα 2.5. Αυτοί είναι οι πιο γνωστοί αριθμοί Ramsey που εύκολα αποδεικνύονται. Αναφέρω και τους άλλους αριθμούς Ramsey που έχουν υπολογιστεί μέχρι και σήμερα. r(3, 7) = 23 (Graver and Yackel ) r(3, 8) = 28 r(3, 9) = 36 r(4, 5) = 25 (Radziszowski and McKay ) Για τους υπόλοιπους αριθμούς Ramsey έχουν εκτιμηθεί κάποια άνω και κάτω φράγματα, τα οποία φαίνονται στον πίνακα Α του παραρτήματος. Ας δούμε τώρα μια εφαρμογή του αριθμού r(3, 3) = 6. 35

36 Λ. Γ. Ιωσηφίδης Εφαρμογή 2.1. Δίνονται 6 άρρητοι αριθμοί. Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν 3 από αυτούς, έτσι ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο από αυτούς να έχουν άθροισμα άρρητο αριθμό. Ο κάθε ένας από αυτούς τους αριθμούς συμβολίζεται με μια κορυφή ενός γραφήματος (2). Αν το άθροισμα 2 αριθμών είναι άρρητος αριθμός, τότε η ακμή που τα ενώνει είναι χρώματος κόκκινο, ενώ αν είναι ρητός μπλε. Σύμφωνα με το θεώρημα 2.6 υπάρχει χρωματικό τρίγωνο. Αυτό που πρέπει να αποδείξουμε είναι ότι το τρίγωνο είναι κόκκινου χρώματος. Έστω ότι το τρίγωνο είναι μπλε χρώματος με κορυφές τους αριθμούς x, y και z. Τότε η παράσταση 1 A= x+y y+z z+x 2 (( ) + ( ) ( )) πρέπει να είναι ρητός αριθμός. Αλλά Α = y που είναι άρρητος αριθμός. Συνεπώς το τρίγωνο πρέπει να είναι κόκκινου χρώματος. Αντίστοιχο αποτέλεσμα βγαίνει και για 18 άρρητους αριθμούς. 36

37 Αριθμοί Ramsey ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΙΑ ΠΙΟ ΙΣΧΥΡΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΤΟ R(3,3)=6 ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ 3.1. Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχολήθουμε κυρίως με μια γενίκευση του θεωρήματος 2.6 (r(3, 3) = 6) και θα δούμε πως με αυτή τη γενίκευση μπορούμε να πετύχουμε μια άλλη απόδειξη του θεωρήματος 2.7 (r(3, 4) = 9). Εδώ θα γίνει και επαλήθευση μέσω υπολογιστή, με τη βοήθεια του προγράμματος Mathematica Γενίκευση του θεωρήματος Greenwood και Gleason Το θεώρημα Greenwood και Gleason κάνει λόγο για την ύπαρξη τουλάχιστον ενός χρωματικού τριγώνου σε ένα γράφημα (2) έξι κορυφών. Εμείς θα αποδείξουμε το γενικότερο συμπέρασμα με τρεις τρόπους. Για τον τρίτο τρόπο θα χρησιμοποιήσουμε το λήμμα 3.1. Λήμμα 3.1. Σε κάθε γράφημα (2) πέντε κορυφών, είτε θα υπάρχει ένα χρωματικό τρίγωνο, είτε θα υπάρχουν δύο χρωματικοί κύκλοι μήκους 5 (C 5 ). Θα ξεκινήσουμε την απόδειξη υποθέτωντας ότι στο γράφημα (2), πέντε κορυφών δεν υπάρχουν ισοχρωματικά τρίγωνα. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιηθούν είναι το μαύρο και το κόκκινο. Έστω ότι κάποια κόρυφη έχει χρωματικό βαθμό 3. Τότε υπάρχει ισοχρωματικό τρίγωνο με κορυφές, τις 3 από αυτές τις κορυφές. Συνεπώς, κάθε κορυφή έχει χρωματικό βαθμό ίσο με δύο, για κάθε χρώμα. Ας πάρουμε μια κορυφή, την α. Η α συνδέεται με μαύρο χρώμα με δύο άλλες κορυφές, ας πούμε με τις β και ε. Οι β και ε δεν συνδέονται με μαύρο χρώμα, διότι, διαφορετικά θα δημιουργούνταν μαύρο τρίγωνο. Υποθέτουμε ότι η β συνδέεται με τη κορυφή γ με μαύρο χρώμα. Τότε, η κορυφή δ πρέπει να συνδέεται με τις γ και ε με μαύρο χρώμα, διότι, διαφορετικά κάποια από τις άλλες κορυφές θα είχαν χρωματικό βαθμό τουλάχιστον 3 στο μαύρο 37

38 Λ. Γ. Ιωσηφίδης χρώμα. Άρα δημιουργείται ένας μαύρος κύκλος μήκους 5. Όμοια αποδεικνύουμε ότι υπάρχει και ένας κόκκινος κύκλος μήκους 5. Πόρισμα 3.1. Οι δύο κύκλοι μήκους 5 στο παραπάνω γράφημα είναι διαφορετικού χρώματος, συνεπώς, οι δύο κύκλοι δεν έχουν κοινή ακμή. Θεώρημα 3.1. Σε ένα γράφημα (2) 6 κορυφων, υπάρχουν τουλάχιστον 2 χρωματικά τρίγωνα (όχι ότι και τα δύο τρίγωνα έχουν απαραίτητα το ίδιο χρώμα). Εδώ θα χρησιμοποιηθούν δύο χρώματα, μαύρο και κόκκινο. 1 ος τρόπος Αυτός ο τρόπος είναι κατασκευαστικός και στηρίζεται στην εξέταση περιπτώσεων ως προς τον βαθμό των κορυφών και τον χρωματισμό κάποιων ακμών. 1 η περίπτωση Δ =5 Τότε η πρόταση είναι σχεδόν προφανής, όπως δηλώνει η εικόνα 3.1. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι ότι η κορυφή Α συνδέεται με τις υπόλοιπες με κόκκινο χρώμα. Αν υπάρχουν 2 κόκκινες ακμές που συνδέουν κάποιες από τις Β, C, D, E και F, τότε το ζητούμενο αποδείχθηκε. Αν υπάρχει μόνο 1 κόκκινη ακμή που συνδέει δύο κορυφές, τότε σχηματίζεται ένα μαύρο τρίγωνο με κορυφές τις υπόλοιπες 3. Αν δεν υπάρχει κόκκινη ακμή τότε το ζητούμενο είναι προφανές, αφού σχηματίζονται τουλάχιστον 2 μαύρα τρίγωνα. 2 η περίπτωση Δ =4 Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι ότι η κορυφή Α συνδέεται με τις B, C, D και Ε με κόκκινο χρώμα και με την F με μαύρο χρώμα, όπως φαίνεται στην είκόνα Αν μεταξύ των κορυφών B, C, D και Ε υπάρχουν τουλάχιστον 2 ακμές με κόκκινο χρώμα, τότε σχηματίζονται τουλάχιστον 2 κόκκινα τρίγωνα. Αν μεταξύ των Β, C, D και E υπάρχει μία ακμή με κόκκινο χρώμα και οι υπόλοιπες ακμές μαύρες τότε πάλι 38

39 Αριθμοί Ramsey A B F C E D Εικόνα 3.1. Γράφημα (2 έξι κορυφών) στο οποίο υπάρχει κορυφή με χρωματικό βαθμό 4. σχηματίζονται τουλάχιστον 2 χρωματικά τρίγωνα. Αν όλες οι ακμές είναι μαύρες, τότε πάλι σχηματίζονται τουλάχιστον 2 χρωματικά τρίγωνα (μαύρα). 3 η περίπτωση Δ =3 Από το Θεώρημα του Ramsey (r(3,3)=6), γνωρίζουμε ότι υπάρχει σίγουρα ένα χρωματικό τρίγωνο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι κόκκινο με κορυφές τις Α, Β και C. Επειδή Δ =3 διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: α) η κορυφή Α να συνδέεται με τις D, E και F με μαύρο χρώμα και β) να δυνδέεται με δύο από αυτές με μαύρο χρώμα και με την άλλη με κόκκινο. 3 α περίπτωση: οι ακμές ΑD, AE, AF είναι μαύρου χρώματος Σε αυτή τη περίπτωση σχηματίζεται και δεύτερο χρωματικό τρίγωνο σε 3 από τις 4 κορυφές Α, D, E και F, όπως φαίνεται στην είκονα

40 Λ. Γ. Ιωσηφίδης A B F C E D Εικόνα 3.2. Γράφημα (2) 6 κορυφών που αναφέρεται στη περίπτωση 3.α. 3 β περίπτωση: οι ακμές AE, AF είναι μαύρου χρώματος και η ΑD κόκκινου χρώματος. Αν οι ακμές BD ή CD είναι κόκκινου χρώματος ή η FE μαύρου χρώματος τότε σχηματίζεται χρωματικό τρίγωνο. Άρα οι BD και CD είναι μαύρου χρώματος και η FE κόκκινου χρώματος, όπως φαίνεται στην είκονα 3.4. A B F C E D Εικόνα 3.3. Γράφημα (2) 6 κορυφών που αναφέρεται στη περίπτωση 3.β. 40

41 Αριθμοί Ramsey A B F C E D Εικόνα 3.5. Γράφημα (2) 6 κορυφών που αναφέρεται στη περίπτωση 3.β, όπου οι ακμές BD και CD είναι μαύρου χρώματος και η FE κόκκινου χρώματος. Στη συνέχεια διακρίνω δύο περιπτώσεις, ως προς το χρώμα της ακμής ED. Α) Έστω ότι η DE είναι κόκκινου χρώματος, τότε πρέπει η DF να είναι μαύρου χρώματος, για να μην σχηματιστεί χρωματικό τρίγωνο με κορυφές D, E, F, όπως φαίνεται στην είκονα 3.6. Όμως, αν μία από τις ακμές CF και BF είναι μαύρες τότε σχηματίζεται μαύρο τρίγωνο ( CDF ή BDF ), άρα πρέπει να είναι και οι δύο κόκκινες. Έτσι, όμως, σχηματίζεται κόκκινο τρίγωνο, το BCF. A B F C E D Εικόνα 3.6. Γράφημα (2) 6 κορυφών που αναφέρεται στη περίπτωση 3.β.Α στο οποίο φαίνεται γιατί σχηματίζεται χρωματικό τρίγωνο. 41

42 Λ. Γ. Ιωσηφίδης A B F C E D Εικόνα 3.7. Γράφημα (2) 6 κορυφών που αναφέρεται στη περίπτωση 3.β.Β στο οποίο φαίνεται γιατί σχηματίζεται χρωματικό τρίγωνο, χρωματίζοντας τις ακμές BE και CE. B) Έστω ότι η DE είναι μαύρου χρώματος. Τότε πρέπει η DF να είναι κόκκινου χρώματος, όπως φαίνεται στην είκονα 3.7. Όπως και στην Α περίπτωση υπάρχει πρόβλημα με τον χρωματισμό των ακμών BE και CE. Άρα σε κάθε περίπτωση σχηματίζονται σίγουρα 2 χρωματικά τρίγωνα. 2 ος τρόπος Αυτός ο τρόπος στηρίζεται σε διπλό μέτρημα των διχρωματικών γωνιών. Συγκεκριμμένα, παίρνουμε μια τυχαία κορυφή στο γράφημα. Με βάση αυτήν θα σχηματίζονται είτε 0 είτε 4 *1 = 4 είτε 3 * 2 = 6 διχρωματικές γωνίες, δηλαδή ζευγάρια ακμών που έχουν κοινή κορυφή και είναι διαφορετικού χρώματος. Άρα θα έχουμε συνολικά το πολύ 6 * 6 = 36 διχρωματικές γωνίες. Επειδή όμως τα χρώματα είναι δύο, ακριβώς 2 τέτοιες γωνίες αντιστοιχούν σε ένα διχρωματικό τρίγωνο. Συνεπώς, θα έχουμε το πολύ 18 μη χρωματικά τριγωνα και το λιγοτερο = 2 χρωματικά τρίγωνα. 3 ος τρόπος Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το λήμμα 3.1. Έστω ότι το γράφημα (2) 5 κορυφών έχει δύο χρωματικούς κύκλους μήκους 5. Έστω ότι ο ένας κύκλος που είναι μαύρος έχει διαδοχικές κορυφές τις α, β, γ, δ και ε, ενώ ο κόκκινος κύκλος έχει διαδοχικές κορυφές τις α, γ, ε, β και δ. Προσθέτουμε μια έκτη 42

43 Αριθμοί Ramsey κορυφή. Τότε αποδεικνύεται απλά ότι ή θα δημιουργηθουν 2 κόκκινα τρίγωνα ή 2 μαύρα τρίγωνα ή 2 ισοχρωματικά τρίγωνα διαφορετικού χρώματος. Όπως και να έχει δημιουργούνται δύο ισοχρωματικά τρίγωνα. Έστω τώρα ότι στο γράφημα (2) πέντε κορυφών υπάρχει ισοχρωματικό τρίγωνο, έστω μαύρου χρώματος με κορυφές τις α, β και γ. Προσθέτουμε μια έκτη κορυφή. Τότε στο γράφημα (2) πέντε κορυφών, στο οποίο δεν περιέχεται η κορυφή α, θα υπάρχουν είτε ένα ισοχρωματικό τρίγωνο (και η πρόταση αποδείχτηκε), είτε δύο χρωματικοί κύκλοι μήκους 5. Στην τελευταία περίπτωση αν εντάξουμε στο γράφημα και την κορυφή α, είναι σίγουρο ότι θα δημιουργηθεί και άλλο ισοχρωματικό τρίγωνο, για το λόγο που περιγράφεται και στην προηγούμενη περίπτωση. Η παραπάνω πρόταση αποτελεί μια πιο ισχυρή πρόταση του θεωρήματος Ramsey, αφού το θεώρημα αυτό μας επιβεβαιώνει την ύπαρξη δύο χρωματικών τριγώνων. Αποδεικνύεται απλά ότι το ελάχιστο πλήθος χρωματικών τριγώνων σε γράφημα (2) 6 κορυφών είναι 2. Αυτό φαίνεται στην είκονα 3.8. στο οποίο σχηματίζονται ακριβώς δύο χρωματικά τρίγωνα ABC και BCE. A B F C E D Εικόνα 3.8. Γράφημα (2) 6 κορυφών στο οποίο υπάρχουν ακρίβως δύο χρωματικά τρίγωνα. 43