ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής

2 Το παρόν πραγματεύεται τη μίξη και τη διασπορά ρύπων σε ποτάμια, αρδευτικά κανάλια, σε σωλήνες και γενικά σε ροή που περιορίζεται από στερεές επιφάνειες, που σε μια διεύθυνση έχουν μεγάλο μήκος, σχετικά με τις άλλες δυο διαστάσεις. Για παράδειγμα, πολλές φορές από ατύχημα μπορεί να πέσουν ξαφνικά σε ένα ποτάμι επικίνδυνοι τοξικοί ρύποι. Έναποτάμιμπορείναέχειμήκοςπχ150 χιλιόμετρα, ενώ η τυπική διατομή μπορεί να έχει 100 μέτρα πλάτος και μερικά μέτρα βάθος. Μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε πως αραιώνουν οι ρύποι μέσα στο ποτάμι και πως μπορούμε να προβλέψουμε τη συγκέντρωση όχι μόνο πλησίον του ατυχήματος, αλλά και αρκετά χιλιόμετρα μακριά.

3 Ποταμός Έβρος και κυριώτεροι παραπόταμοι Για παράδειγμα, σε απόσταση 100 χιλιομέτρων από το σημείο του ατυχήματος μπορεί να υπάρχει υδροληψία για πόσιμο νερό, οπότε χρειάζεται να μπορούμε να προβλέψουμε: πότε θα φθάσει η «κηλίδα» του ρύπου, ώστε να σταματήσει η υδροληψία πως θα εξελίσσεται η συγκέντρωση των ρύπων στο σημείο υδροληψίας πότε θα είναι ασφαλής η επανάληψη της υδροληψίας EΒΡΟΣ ΑΡ ΑΣ ΕΡΥΘΡΟΠΟΤΑΜΟΣ ΤΟΥΝΤΖΑΣ ΕΡΓΙΝΗΣ

4 Τρεις περιοχές μείξης σε ένα ποταμό λόγω της εκροής ρύπων σε ένα σημείο του ποταμού. (Α) Η αρχική ορμή και ανωστική ροή προσδιορίζουν τη μείξη. (Β) Η τύρβη και το εγκάρσιο πεδίο ταχυτήτων προσδιορίζουν τη μείξη, μετά την εξασθένιση της επιρροής της αρχικής ορμής και της άνωσης. () Μετά την πλήρη εγκάρσια μείξη, επικρατεί η «μονοδιάστατη διαμήκης διασπορά».

5 Αυτό που συμβαίνει μπορεί να περιγραφεί από τρία στάδια: Α) Στο Α στάδιο η αρχική ορμή και η άνωση της εκροής καθορίζουν το βαθμό αραίωσης. Έχουμε ροή φλέβας ή πλουμίου. Τυπικά μπορούμε να θεωρήσουμε, ότι σταματά σε απόσταση ίση περίπου με δυο φορές το πλάτος του ποταμού. Αυτό συμβαίνει γιατί η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα και της εξωτερικής επιφάνειας του κώνου ρύπανσης είναι περίπου 0.5, και μετά την απόσταση αυτή το πλούμιο φθάνει στις δυο όχθες του ποταμού. Συνεπώς, για έναν ποταμό με τυπικό πλάτος 100 m, το πρώτο στάδιο μπορεί να εκτείνεται έως 00 m.

6 B) Καθώς αραιώνουν τα απόβλητα, η επίδραση της αρχικής ορμής και άνωσης επίσης μειώνεται, οδηγώντας σ ένα δεύτερο στάδιο στο οποίο τα απόβλητα αναμιγνύονται εγκάρσια στον ποταμό, κυρίως λόγω της τύρβης. Για να επιτευχθεί η ικανοποιητική αυτή εγκάρσια μείξη, απαιτείται αρκετή διαδρομή των ρύπων. Το στάδιο αυτό εκτείνεται από μια απόσταση διπλάσια του πλάτους έως μια απόσταση το τετράγωνο του πλάτους (μερικοί συγγραφείς θεωρούν τυπικά φορές το πλάτος του ποταμού). Για το παράδειγμά μας, το στάδιο αυτό εκτείνεται από τα 00 m έως τα 10 Km.

7 ) Τελικά όταν ολοκληρωθεί η εγκάρσια μίξη στον ποταμό, η «κηλίδα» των ρύπων μεταφέρεται από τη ροή του ποταμού, ενώ το μήκος της κηλίδας αυξάνει με την απόσταση. Αυτή η αύξηση του μήκους της κηλίδας που παρασύρεται από τη ροή, έχει σαν προφανή συνέπεια την μείωση της συγκέντρωσης

8 Στο Γ στάδιο, η αναλυτική επίλυση της εξίσωσης διάχυσης με οριακές συνθήκες την 3D γεωμετρία του πυθμένα και των οχθών σε μήκος δεκάδων χιλιομέτρων είναι αδύνατη. Η λύση της εξίσωσης διάχυσης με αριθμητική προσομοίωση σε Η/Υ είναι σήμερα δυνατή, αλλά δεν βοηθά στην εμβάθυνση στο φαινόμενο και στην εύκολη πρόβλεψη των συγκεντρώσεων. Στη συνέχεια μελετάται η τεχνική με την οποία το πολύπλοκο αυτό πρόβλημα της διάχυσης στο Γ, μακρινό από την πηγή στάδιο μπορεί να προσεγγισθεί από τη λύση μιας μονοδιάστης εξίσωσης διάχυσης για τη συγκέντρωση των ρύπων, όπου η μόνη διάσταση που εμφανίζεται είναι η απόσταση κατά μήκος του άξονα του ποταμού, η μόνη συγκέντρωση είναι η μέση συγκέντρωση σε μια διατομή εγκάρσια στη ροή, και όπου εμφανίζεται ένας «τεχνητός» συντελεστής «διάχυσης» Κ, που τον ονομάζουμε συντελεστή διαμήκους διασποράς.

9 ιασπορά σε περίπτωση στρωτής ροής και μοριακής διάχυσης ιασπορά σε περίπτωση τυρβώδους διάχυσης

10 Υποθετικό διάγραμμα από στιγμιαία διάθεση ρύπων σε ομοιόμορφη ροή σε τετραγωνικό αγωγό, σε μια διατομή στη θέση x=0, και μετακίνηση των ρύπων στο χρόνο t στη θέση x=ut. Το σχήμα αυτό ισχύει για την τελείως θεωρητική (και μη υπαρκτή) περίπτωση που η κατανομή της ταχύτητας είναι η ίδια (θεωρούμε δηλαδή ότι δεν μηδενίζεται η ταχύτητα στα στερεά όρια). Ο συντελεστής διάχυσης είναι μηδενικός.

11 Σχηματικό διάγραμμα που δείχνει το συνδυασμό των επιδράσεων της εγκάρσιας διατμητικής ταχύτητας και της εγκάρσιας διάχυσης στη διαμήκη διασπορά του ρύπου.

12 Η διαμήκης ταχύτητα μεταβάλλεται παραβολικά εγκάρσια του αγωγού. Υποθέτουμε ότι οι ρύποι απελευθερώνονται στιγμιαία σε μια επιφάνεια κάθετη στον άξονα της ροής. Οι ρύποι κινούνται κατά μήκος του ποταμού με μικρότερη ταχύτητα κοντά στις στερεές επιφάνειες του αγωγού από ότι στο κύριο ρεύμα και ως αποτέλεσμα, αυτό που αρχικά ήταν ένα ευθύγραμμο τμήμα ρύπων μετατρέπεται ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα σε παραβολή. Η διάχυση(μοριακή αν η ροή είναι στρωτή, αλλιώς τυρβώδης διάχυση) προκαλεί μερική τοπική αύξηση του πλάτους του «νέφους» ήτης«κηλίδας» των ρύπων τόσο κατά μήκος όσο και κατά πλάτος του αγωγού.

13 Εάν υπολογίσουμε κατά μήκος του αγωγού τη μέση εγκάρσια συγκέντρωση, θα διαπιστώσουμε ότι η εγκάρσια διατμητική ταχύτητα και η διαμήκης τυρβώδης διάχυση προκαλούν την εξάπλωση της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης κατά μήκος του αγωγού. Το «φαινομενικό» αυτό γεγονός της εξάπλωσης της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης κατά τη διεύθυνση της ροής, το ονομάζουμε διαμήκη διασπορά.

14 Ηδιαμήκης(μοριακή ή τυρβώδης) διάχυση προκαλεί πολύ μικρό μέρος της κατά μήκος εξάπλωσης της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης κατά μήκος του αγωγού, ενώ η κύρια συνεισφορά στην εξάπλωση αυτή προέρχεται από την εγκάρσια διατμητική ταχύτητα.

15 Οι ίδιες διαδικασίες συνεχίζουν να πραγματοποιούνται και στο μακρινό πεδίο. Η εγκάρσια διατμητική ταχύτητα αυξάνει τη βαθμίδα της εγκάρσιας συγκέντρωσης. Αυτή η βαθμίδα της εγκάρσιας συγκέντρωσης προωθεί την εγκάρσια ανάμιξη. Ο ρυθμός της διαμήκους διασποράς αντικατοπτρίζει την ισορροπία μεταξύ της διατμητικής ταχύτητας, η οποία τείνει να εξαπλώνει την κηλίδα κατά μήκος του αγωγού, και της εγκάρσιας ανάμιξης, η οποία τείνει να δημιουργήσει ομοιόμορφη εγκάρσια συγκέντρωση από το ένα πλαϊνό τοίχωμα ως το άλλο. Συνεπώςεάνοβαθμόςτηςεγκάρσιαςανάμιξηςείναιπολύυψηλός (π.χ. σε στενό ελικοειδή αγωγό) ή η εγκάρσια ταχύτητα είναι σχεδόν σταθερή, τότε ο βαθμός της διαμήκους διασποράς είναι χαμηλός. Αντιστρόφως, εάν ο βαθμός της εγκάρσιας ανάμιξης είναι μικρός ή η εγκάρσια ταχύτητα είναι πολύ ανομοιόμορφη (π.χ. σε πλατύ αγωγό με ανομοιόμορφα βάθη), τότε ο βαθμός της διαμήκους διασποράς είναι υψηλός.

16 Μέσες εγκάρσιες συγκεντρώσεις που μετρήθηκαν σε δέκα διαφορετικές τοποθεσίες κατάντη ενός σημείου στιγμιαίας έγχυσης συντηρητικής ουσίας σε πειραματική διάταξη του Α Εργαστηρίου Υδραυλικής του Δ.Π.Θ. Το σύνολο του ρύπου μεταφέρεται εξολοκλήρου ως κηλίδα ή «νέφος» κατάντη του ποταμού και έχει την τάση να διαχέεται κατά μήκος ολόκληρου του καναλιού.

17 ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΘΕΩΡΙΑ G.I.TAYLOR Ο Taylor ξεκίνησε με το προφίλ της ταχύτητας για στρωτή ροή σε σωλήνα. Συνειδητοποίησε πως αν δυο σωματίδια μεταφέρονται στη ροή, π.χ. ένα στο κέντρο και ένα κοντά στο τοίχωμα, τότε ο βαθμός της μεταξύ τους απομάκρυνσης, που προκλήθηκε από τη διαφορετική ταχύτητα που μεταφέρονται από τη ροή (advective velocity), θα ξεπεράσει κατά πολύ αυτόν που προκλήθηκε από τη μοριακή διάχυση.

18 Συνειδητοποίησε επίσης ότι, αν υπήρχε αρκετός χρόνος, καθένα μόριο θα περιπλανιόταν τυχαία σε όλη τη διατομή του σωλήνα, εξαιτίας της μοριακής διάχυσης και θα δοκίμαζε τυχαία όλες τις ταχύτητες της διατομής της ροής. Επομένως αν ήταν διαθέσιμο ένα επαρκές χρονικό διάστημα, η ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέσο χρόνο κάθε ξεχωριστού μορίου, θα ήταν ίση με τη μέση στιγμιαία ταχύτητα όλων των μορίων στη διατομή.

19 Η ταχύτητα κάθε σωματιδίου ρύπου είναι βασικά εκείνη της γραμμής της ροής πάνω στην οποία βρίσκεται, δηλαδή είναι συνάρτηση της θέσης που βρίσκεται στη διατομή. Λόγω της μοριακής διάχυσης κάθε σωματίδιο κινείται τυχαία μπρος πίσω στη διατομή και ύστερα από αρκετό χρόνο μπορούμε να περιμένουμε ότι η θέση του είναι ανεξάρτητη από την αρχική του θέση. Έτσι μπορούμε να φανταστούμε ότι η κίνηση ενός μεμονωμένου μορίου είναι το σύνολο μιας σειράς ανεξάρτητων βημάτων τυχαίου μήκους. Αν υιοθετήσουμε σύστημα συντεταγμένων, κινούμενο με τη μέση ταχύτητα της ροής, τότε τα τυχαία βήματα σύμφωνα με αυτό, είναιεξίσουπιθανάναείναιπρος τα πίσω όπως και μπροστά, αφού η μέση κίνηση είναι μηδέν.

20 Θεωρούμε τη D ροή του σχήματος, μεταξύ δύο παράλληλων στερεών τοιχωμάτων, που βρίσκονται σε απόσταση, έτσι ώστε όλες οι γραμμές ροής να είναι παράλληλες στα τοιχώματα. Θεωρώντας πως η ροή μεταφέρει ένα ρύπο με συγκέντρωση (x,y), η εξίσωση διάχυσης γράφεται στην περίπτωση ροής σε μια διεύθυνση: + u = D + t x x y

21 Ισχύει για τη μέση τιμή στη διατομή της ταχύτητας και της συγκέντρωσης: 1 u = udy 0 1 = u' ( y ) = u( y ) u (y) = (y) - (x) Οπότε με αντικατάσταση έχουμε για στρωτή ροή: dy ' ( + ') + ( u + u ') ( + ') = D[ ( + ') + ] t x x y 0 + u = D + t x x y

22 Κάνοντας τον μετασχηματισμό: Η αντικατάσταση που έγινε στο σύστημα ξ,t επιτρέπει να εξετάσουμε τη ροή ως παρατηρητές κινούμενοι με τη μέση ταχύτητα. Στο κινούμενο σύστημα η μόνη παρατηρούμενη ταχύτητα είναι η u. Έτσι η τροποποιημένη εξίσωση δεν περιέχει τη μέση ταχύτητα. ut, t x = = τ ξ ] ' ) ' ( [ ) ' ( ' ) ' ( y D u + + = ξ ξ τ προκύπτει:

23 ] ' ) ' ( [ ) ' ( ' ) ' ( y D u + + = ξ ξ τ Σταεισαγωγικάσχόλιαείπαμεπωςορυθμόςτηςεξάπλωσηςτου νέφους παράλληλα στη διεύθυνση ροής εξαιτίας του προφίλ της ταχύτητας, υπερβαίνει σημαντικά εκείνον εξαιτίας της μοριακής διάχυσης. Συνεπώς, μπορούμε να αγνοήσουμε τον όρο της διαμήκους διάχυσης: ' ' ' ' ' y D u u = ξ ξ τ τ

24 τ + ' + u' + u' = D τ ξ ξ ' ' y Η παραπάνω εξίσωση, εξακολουθεί να είναι μια δύσχρηστη εξίσωση, επειδή το u μεταβάλλεται συναρτήσει του y. Mια γενική διαδικασία για την αντιμετώπιση διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές δεν είναι διαθέσιμη και δεν μπορεί να βρεθεί η γενική της λύση. Ο Taylor (1953) βρήκε τη λύση με έναν θαυμαστό τρόπο: Παρέλειψε τρεις από τους τέσσερις πρώτους όρους (ως αμελητέους), καταλήγοντας στην παρακάτω εύκολη στη λύση εξίσωση για το (y): ' ' u ' = D, με = 0 για y = ξ y y 0,

25 ' ' u ' = D, με = 0 για y = ξ y y 0, Η απόδειξη ότι οι τρεις πρώτοι όροι είναι αμελητέοι παρουσιάζεται στο βιβλίο Fiser et al (1979, p. 84). Ο atwin (1970) έδειξε ότι για διάχυση σε κυλινδρικό σωλήνα διαμέτρου, οι παραπάνω τρεις όροι είναι αμελητέοι περίπου σε χρόνο 0.4 /D μετά την έκχυσή του. Συνεπώς η παραπάνω εξίσωση και οι λύσεις που προκύπτουν, εφαρμόζεται (για την περίπτωση στρωτής ροής) με καλή ακρίβεια για t>0.4 /D. Η εξίσωση δείχνει ότι το προφίλ της συγκέντρωσης στη διατομή (y), εξαρτάται από μια απλή ισορροπία ανάμεσα στη διαμήκη μεταφορά των ρύπων (αριστερό σκέλος) και στη διαχεόμενη μεταφορά των ρύπων στη διατομή.

26 ' ' u ' = D, με = 0 για y = ξ y y 0, Η λύση της εξίσωσης είναι: ' ( y) = 1 D x y y u' dydy ' (0) Η μεταφορά μάζας ρύπων, σε σχέση με τον κινούμενο άξονα συντεταγμένων, δίνεται από τη σχέση: = 1 M u' ' dy = u y y u dydydy 0 = ' ' D x Σημειώνουμε τώρα ένα βασικό συμπέρασμα: Η συνολική μεταφορά μάζας ρύπων κατά τη διεύθυνση ροής του ρεύματος είναι ανάλογη προς την κλίση της συγκέντρωσης κατά τη διεύθυνση ροής.

27 = 1 M u' ' dy = u' y y u' dydydy 0 D x Εξαιτίας αυτού του αξιοσημείωτου αποτελέσματος είμαστε σε θέση να ορίσουμε ένα μακροσκοπικό συντελεστή «διασποράς» των ρύπων Κ, σε αναλογία με τον συντελεστή μοριακής διάχυσης: M = K x Ο συντελεστής διασποράς Κ εκφράζει την ιδιότητα διάχυσης των ρύπων λόγω της κατανομής της ταχύτητας και είναι γενικά γνωστός ως «συντελεστής διαμήκους διασποράς». Το Κ παίζει τον ίδιο ρόλο για όλη τη διατομή όπως το D, o συντελεστής μοριακής διάχυσης, σε μικροσκοπική κλίμακα. K = 1 D y y u' u' dydydy

28 Έτσι μπορούμε να γράψουμε μια μονοδιάστατη εξίσωση διάχυσης για τις μέσες τιμές συγκέντρωσης ρύπων στη διατομή, ηοποίαγια το κινούμενο σύστημα συντεταγμένων είναι: = K τ ξ Για να επιστρέψουμε στο σταθερό σύστημα συντεταγμένων, πρέπει να εισάγουμε ξανά τον όρο που περιέχει τη μέση ταχύτητα ροής, οπότε λαμβάνουμε: + u = K t x x Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως «μονοδιάστατη εξίσωση διασποράς», και χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση της διασποράς ρύπων σε ροές στο περιβάλλον, όπως είναι αυτές των ποταμών και των εκβολών.

29 t + u x = K x Η εξίσωση αυτή δεν επιχειρεί να προσομοιώσει τη διακύμανση της συγκέντρωσης του ρύπου σε εγκάρσια τομή. Οι επιδράσεις της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης (εγκάρσιας και κατακόρυφης) εμπεριέχονται στον συντελεστή διαμήκους διασποράς Κ. Συνεπώς, η τιμή του Κ εξαρτάται από τις υδραυλικές ιδιότητες του καναλιού, οι οποίες καθορίζουν τον βαθμό της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης. Η εξίσωση αυτή μπορεί να ονομασθεί το μοντέλο του Fick για τη διαμήκη διασπορά.

30 t + u x = K M ( x, t) = exp A 4π K t x ( x ut) 4Kt Εάν τα u και Κ θεωρηθούν σταθερά, τότε η επίλυση της εξίσωσης για μια στιγμιαία σημειακή πηγή ρύπων είναι η παραπάνω. Όπου Μ=μάζα του ρύπου που εισάγεται στο σημείο x=0 και t=0 και A=εμβαδόν της εγκάρσιας τομής του καναλιού. Η παραπάνω λύση δίνει, ότι η κατανομή της μέσης (σε μια διατομή) συγκέντρωσης των ρύπων είναι μια κανονική κατανομή. Δηλαδή δημιουργείται μια κηλίδα ρύπων, όπου η μέση συγκέντρωση ακολουθεί κανονική κατανομή. Ηκηλίδαέχειτυπικό μήκος περίπου 6σ (όπου σ η τυπική απόκλιση της διαμήκους κατανομής της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης), κινείται με τη μέση ταχύτητα u, και συνεχίζει να αυξάνει σε μήκος σύμφωνα με την εξίσωση με dσ /dt=k.

31 Η εξέλιξη της αρχικής συγκέντρωσης συντηρητικού ρύπου κατάντη μιας στιγμιαίας έγχυσης ρύπων από σημειακή πηγή σε «άπειρο» ρεύμα σε στρωτή ροή, που κινείται με ταχύτητα u σε τρεις χρονικές στιγμές t1, t, t3. Η διάχυση οφείλεται στη μοριακή διάχυση, με συντελεστή μοριακής διάχυσης D.

32 x x 1 x erf σ σ /σ exp( x / σ dx σ π Τιμές της συνάρτησης λάθους (error function, erf) ολοκληρώματος της κανονικής κατανομής. και του

33 ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ M ( x, t) = exp A 4π K t ( x ut) 4Kt Ένα χαρακτηριστικό της παραπάνω εξίσωσης είναι ότι η μορφή του διαγράμματος της συγκέντρωσης στο χώρο (δηλ. η κατανομή της συγκέντρωσης συναρτήσει της απόστασης σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή t) ακολουθεί το προφίλ «καμπάνας» του Gauss (βλέπε αρχείο excel). Ελάχιστοιόμωςέχουνμετρήσειπροφίλτηςσυγκέντρωσηςπουνα είναι τύπου Gauss και οι περισσότεροι βρίσκουν προφίλ ασύμμετρα με απότομη αρχή και επίμηκες τελείωμα (δηλ. παρουσιάζουν αρνητική ασυμμετρία). Υπάρχουν δύο λόγοι για τους οποίους τα πειραματικά δεδομένα δεν είναι τύπου Gauss:

34 Μέσες εγκάρσιες συγκεντρώσεις που μετρήθηκαν σε δέκα διαφορετικές τοποθεσίες κατάντη ενός σημείου στιγμιαίας έγχυσης συντηρητικής ουσίας σε πειραματική διάταξη του Α Εργαστηρίου Υδραυλικής του Δ.Π.Θ. Πρόκειται για δειγματοληψία χρονικών προφίλ ρύπου (συγκέντρωση συναρτήσει χρόνου σε ορισμένα σημεία) και για τον λόγο αυτό παρατηρείται αρνητική ασυμμετρία.

35 M ( x, t) = exp A 4π K t ( x ut) 4Kt Πρώτον, η πρακτικότητα της δειγματοληψίας διευκολύνει τη μέτρηση των χρονικών προφίλ ρύπου (συγκέντρωση συναρτήσει χρόνου σε ορισμένο σημείο) σε σχέση με τα χωρικά προφίλ (συγκέντρωση συναρτήσει απόστασης σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή). Η παραπάνω λύση μας δίνει χωρικά προφίλ τύπου Gauss αλλά ασύμμετρα χρονικά προφίλ. Η ασυμμετρία αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι η διαμήκης διασπορά λαμβάνει χώρα μέσα στο χρόνο που απαιτείται για να διέλθει το νέφος του ρύπου από το σημείο δειγματοληψίας. Ως εκ τούτου, η ασυμμετρία στα χρονικά προφίλ ρύπου δεν αποτελεί απόδειξη της ανεπάρκειας της παραπάνω εξίσωσης.

36 Μέσες εγκάρσιες συγκεντρώσεις που μετρήθηκαν σε δέκα διαφορετικές τοποθεσίες κατάντη ενός σημείου στιγμιαίας έγχυσης συντηρητικής ουσίας σε πειραματική διάταξη του Α Εργαστηρίου Υδραυλικής του Δ.Π.Θ. Οι μετρήσεις γίνονταν ως εξής: σε κάθε θέση (π.χ. Θέση 1m) τοποθετούνταν ο αισθητήρας και κατέγραφε το προφίλ της συγκέντρωσης συναρτήσει του χρόνου του διερχόμενου «νέφους».

37 ( ) M x ut ( x, t) = exp A 4π K t 4Kt Ο Taylor σε θεωρητική και πειραματική εργασία του πάνω στη ροή σε αγωγούς (Taylor 1953, 1954) υποδεικνύει ότι σε ορισμένο σημείο κατάντη της πηγής αποκαθίσταται ισορροπία μεταξύ της εγκάρσιας διατμητικής ταχύτητας (η οποία προωθεί τη διαμήκη διασπορά) και της εγκάρσιας διάχυσης (η οποία παρεμποδίζει τη διαμήκη διασπορά). Πέραν του σημείου αυτού συμβαίνουν δύο πράγματα: η διαμήκης διακύμανση της μέσης συγκέντρωσης του ρύπου σε εγκάρσια τομή αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο. η όποια ασυμμετρία προκαλείται από τη διατμητική ταχύτητα στη μεταφορική ζώνη ή από την αρχική κατανομή του ρύπου, αρχίζει να μειώνεται σταδιακά και κατ επέκταση η χωρική κατανομή του ρύπου γίνεται κατανομή Gauss. Η ζώνη στην οποία η διακύμανση αυξάνεται γραμμικά είναι γνωστή ως ζώνη ισορροπίας.

38 Προβλέψεις του μοντέλου του Fick στο πως μεταβάλλονται η διακύμανση (δηλαδή το «πλάτος» της κηλίδας του ρύπου) και η ασυμμετρία της κατανομής της συγκέντρωσης της κηλίδας με το χρόνο. Στη μεταφορική ζώνη, η διακύμανση αυξάνεται μη γραμμικά με το χρόνο και η ασυμμετρία αυξάνεται ταχέως. Στη ζώνη ισορροπίας, η διακύμανση αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο και η ασυμμετρία αρχίζει να φθίνει αργά. Στη ζώνη Gauss, η ασυμμετρία έχει μειωθεί σημαντικά και η κατανομή της συγκέντρωσης του ρύπου δίνεται με ικανοπιητική ακρίβεια από την παραπάνω εξίσωση.

39 M ( x, t) = exp A 4π K t ( x ut) 4Kt Ο Fiscer et al (1979) υποστηρίζει ότι η Εξίσωση διασποράς ισχύει για x >. 5L x όπου Lx το μήκος της μεταφορικής ζώνης Ο Denton (1990) υποστηρίζει ότι ισχύει Για το λόγο αυτό πολλά πειραματικά αποτελέσματα δεν εμφανίζουν κατανομές τύπου Gauss, επειδή η ασυμμετρία κατά τη διάρκεια της μεταφορικής ζώνης δεν είχε τον απαιτούμενο χρόνο (ή μήκος από το σημείο έγχυσης των ρύπων). Η εξίσωση εφαρμόζεται αποκλειστικά εφόσον αποκατασταθεί η ισορροπία μεταξύ των επιδράσεων της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους διάχυσης. για x > 5L x

40 Το μήκος L x της μεταφορικής ζώνης προσεγγίζεται από τη σχέση όπου = L x V x = L t = a = L x VxL = a k το μήκος της μεταφορικής ζώνης, μέση ταχύτητα της εγκάρσιας τομής χαρακτηριστικό εγκάρσιο μήκος σταθερά z t Συνεπώς, σε ένα συμμετρικό αγωγό είναι όπου b είναι το πλάτος αγωγού, ενώ σε φυσικούς ποταμούς L t = 0. 7b L t = b /

41 Εκτιμήσεις του μήκους της μεταφορικής ζώνης Αναφορά Λείοι αγωγοί Lx k a = V L x z t Σχόλια Fiscer (1973) 0, Ανασκόπηση αριθμητικών πειραμάτων Fiscer (1967) 0,3 Εργαστηριακός αγωγός, εγκάρσια γραμμική πηγή Tsai και Holley (1978) 0,4-0,5 Αριθμητικά πειράματα Sayre (1968) 0,5 Αριθμητικά πειράματα Fiscer (1968) 0,6 Έγχυση σε όχθη atwin (197) 1 Θεωρητική ανάλυση Τραχείς αγωγοί (1990) 1,4 Αριθμητικά πειράματα, 5% νεκρές ζώνες Valentine (1978) 1,6 Εργαστηριακός αγωγός, 4% νεκρές ζώνες Valentine (1978),8 Εργαστηριακός αγωγός, 5% νεκρές ζώνες Valentine και Wood (1979b) > 3 Αρδευτικό κανάλι, 8-1% νεκρές ζώνες Valentine και Wood (1979b) > 10 Αρδευτικό κανάλι, 7-38% νεκρές ζώνες

42 Το μοντέλο του σταθερού συντελεστή διασποράς προβλέπει ότι ο ρύπος αναμιγνύεται πλήρως εγκάρσια του αγωγού μέσα σε απόσταση L z = ub k z για εκβολή σε κάποια όχθη L z ub = k z για πηγή στο κέντρο του ποταμού Όπου b το πλάτος του ποταμού, η μέση εγκάρσια ταχύτητα και συντελεστής εγκάρσιας διασποράς. k z = u

43 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΟΥ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΤΡΩΤΗΣ ΡΟΗΣ Θεωρούμε δυο παράλληλες πλάκες απείρου μήκους, οι οποίες βρίσκονται μεταξύ τους σε απόσταση. Η επάνω πλάκα κινείται με ταχύτητα U σε σχέση με την κάτω και ο χώρος ανάμεσά τους είναι γεμάτος με κάποιο ρευστό. Για ευκολία θεωρούμε πως η επάνω πλάκα κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα U/ και η κάτω προς τα αριστερά με ταχύτητα U/.

44 Για στρωτή ροή η κατανομή της ταχύτητας ανάμεσα στις δύο πλάκες δίνεται από τη σχέση u ( y ) = Uy / Προφανώς η μέση ταχύτητα είναι μηδενική, οπότε u = Uy (

45 Υποθέτουμε ότι μια κηλίδα από ρύπους εκχύνεται ανάμεσα στις πλάκες κι ότι παρήλθε χρόνος μεγαλύτερος του /D από τη στιγμή της έκχυσης. Τότε το προφίλ της συγκέντρωσης δίνεται από την εξίσωση Οπότε με αντικατάσταση προκύπτει: Δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή (-/), αφού ο όρος που την περιέχει, κατόπιν ολοκλήρωσης στο επόμενο βήμα κατά τον υπολογισμό του Κ μηδενίζεται. + = y y dydy u x D y 0 0 (0) ' ' 1 ) ( ' ' ' 1 ) ( ' 3 3 / / + = + = y y U x D dydy Uy x D y y y

46 Υπολογίζουμε τον συντελεστή διαμήκους διασποράς από την ' ' 1 ) ( ' 3 3 / / + = + = y y U x D dydy Uy x D y y y 10 ' ' ' / 1 / / 3 3 / / D U dy y y Uy D U dy u x K = + = = x K M = = dy u M 0 ' '

47 H ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ TAYLOR ΓΙΑ ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ Ο Taylor (1953) ανέλυσε τη διασπορά μιας κηλίδας ρύπων σε στρωτή ροή μέσα σε σωλήνα. Η κατανομή της ταχύτητας είναι: u( r ) = uo(1 r / α ) όπου α είναι η ακτίνα του σωλήνα και u o η μέγιστη ταχύτητα στον άξονα. Με ολοκλήρωση μπορεί να δειχθεί ότι η μέση ταχύτητα είναι u o /. u = Σε κυλινδρικές συντεταγμένες η εξίσωση διάχυσης γίνεται: t r + uo α x r 1 r r x 1 = D + + Σε ένα σύστημα συντεταγμένων κινούμενο με την μέση ταχύτητα u o /, και παραβλέποντας τους όρους /x και /t, όπως προηγουμένως (είναι μικροί μπροστά στους άλλους) και θέτοντας Ζ=r/α, προκύπτει (

48 Ολοκληρώνοντας δύο φορές και χρησιμοποιώντας την οριακή συνθήκη ότι /Z=0 για Ζ=1, έχουμε: Και ο συντελεστής διαμήκους διασποράς Κ προκύπτει από: Όπου με νέα ολοκλήρωση και για εμβαδόν Α=πα, θα πάρουμε: ' 1 ' 1 Z Z Z x Z D uo + = α cos 1 8 ' 4 t x Z Z D uo + = α = = A da u x A x A M K ' ' / 1 / 19 / D uo K α =

49 K = α uo / 19D Να σημειωθεί το εκ πρώτης όψεως παράδοξο αποτέλεσμα ότι ο συντελεστής διαμήκους διασποράς Κ είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το συντελεστή μοριακής διάχυσης D. Για αλατισμένο νερό D=10-5 cm /sec. Σαν παράδειγμα, για ροή σε σωλήνα μήκους cm, ακτίνας mm, με ταχύτητα στον άξονα της ροής 1cm/sec, βρίσκουμε συντελεστή Κ=0 cm /sec, τιμή που είναι μεγαλύτερη από φορές του μεγέθους του D. Η εξίσωση διασποράς που χρησιμοποιήθηκε ισχύει για χρόνους από την έγχυση μεγαλύτερους από 0.4α /D=1600 sec, κατά τη διάρκεια του οποίου μια κηλίδα ρύπων θα διένυε 800cm. Έτσι η διασπορά κατά τα πρώτα 800 cm δεν περιγράφεται από τη μονοδιάστατη εξίσωση διασποράς.

50 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΗανάλυσητουTaylor για τη διαμήκη διασπορά σε αγωγούς σε στρωτή ροή, επεκτείνεται στην τυρβώδη ροή και γίνεται άμεσα ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό. Συμβολίζουμε με u(y) τη μέση (χρονικά) τυρβώδη ταχύτητα στο σημείο y και u τη μέση ταχύτητα στη διατομή και την απόκλιση u, από τις σχέσεις: u = 1 udy 0 u' ( y ) = u( y ) u Η άνω παύλα πάντα θα δηλώνει μέση τιμή οποιουδήποτε μεγέθους στη διατομή. Θεωρούμε πάλι πως η ροή μεταφέρει ένα ρύπο με μέση (χρονικά) συγκέντρωση στο σημείο x,y ίση με (x,y) και με συντελεστή μοριακής διάχυσης D, τότε η μέση συγκέντρωση σε οποιαδήποτε διατομή της ροής και η απόκλιση από τη μέση: = 1 (y) = (y) -c dy 0

51 η εξίσωση διάχυσης γίνεται: + u = D + t x x y ' ( + ') + ( u + u ') ( + ') = D[ ( + ') + ] t x x y Στην τυρβώδη ροή το προφίλ της ταχύτητας είναι ελαφρώς διαφορετικό από εκείνο της στρωτής ροής για τον ίδιο αγωγό και ο συντελεστής εγκάρσιας τυρβώδους μείξης στη διατομή θα παίξει το ρόλο της μοριακής διάχυσης σε στρωτή ροή.

52 H επέκταση της θεωρίας του Taylor για τυρβώδη ροή έγινε πρώτα από τον ίδιο τον Taylor το 1954 για την περίπτωση μακρύ ευθύγραμμου σωλήνα. Ο Taylor επεσήμανε το τεκμηριωμένο πειραματικό αποτέλεσμα ότι όλες οι τυρβώδεις ροές αγωγών έχουν παρόμοια προφίλ ταχύτητας u = uo τ 0 f ( Z) = uo u * f ( Z ) ρ όπου το τ 0 είναι η διατμητική τάση στο τοίχωμα του αγωγού. Η ποσότητα (τ 0 /ρ) 1/ = u * είναι συνήθως γνωστή ως διατμητική ταχύτητα και χρησιμοποιείται συχνά σε αναλύσεις τυρβωδών ροών. Για ροή σε σωλήνα ακτίνας R (k=σταθερά von Karman=0.4) * u.30 * z uy ( ) = u ulog10 k k R Για ανοιχτό αγωγό βάθους d z u = u σε =0.3 R * u.30 * z uy ( ) = u+ + ulog10 k k d z ( u = u σε = 0.368) d

53 Θεωρώντας τη ροή μάζας q των ρύπων ανάλογη με τη ροή ορμής, βρίσκουμε τον συντελεστή τυρβώδους διάχυσης ε: q ε = / r τ = ρu / r = df Ολοκληρώνοντας την εξίσωση της διάχυσης σε κυκινδρικές συντεταγμένες u ' = ε ξ ' r 1 ' + r r Βρίσκουμε το (r) και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας ξανά βρίσκουμε το K. ΗλύσηTaylor (1954) για τον συντελεστή τυρβώδους διαμήκους διασποράς Κ σε ένα κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R δίνει: K = 10.1R u* H διατμητική ταχύτητα u* συνδέεται με την μέση ταχύτητα και με τον συντελεστή τριβής f(διάγραμμα Moody) από τη σχέση f u* = u αζ / dz u *

54 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ Η ροή του νερού σε ευθύγραμμο αγωγό σταθερού βάθους (κανάλι) και μεγάλου πλάτους είναι ένα παράδειγμα ροής, όπου η τύρβη είναι ομογενής και σταθερή, επειδή ο αγωγός είναι ομοιόμορφος. Αν τα πλευρικά τοιχώματα έχουν μεγάλη απόσταση μεταξύ τους, το πλάτος ροής δεν παίζει κανένα ρόλο και περιμένουμε πως η σημαντική κλίμακα μήκους είναι το βάθος. Μιαμάζαρύπωνπουεκχύνεταιστιγμιαίασεένασημείοτηςροής, θα δημιουργήσει μία κηλίδα που θα μεγαλώνει μέχρι να καλύψει το βάθος του καναλιού, οπότε η κηλίδα και θα συνεχίσει να μεγαλώνει κατά τις διευθύνσεις του μήκους και του πλάτους. Μια ικανοποιητική προσέγγιση για την περίπτωση αυτή είναι η αποδοχή ενός σταθερού συντελεστή τυρβώδους μίξης.

55 Έχει δειχθεί πειραματικά, ότι η ένταση της τύρβης σε οποιαδήποτε διατμητική ροή με στερεά τοιχώματα είναι ανάλογη με τη διατμητική τάση στο τοίχωμα. Με βάση τη διαστατική ανάλυση, η διατμητική ταχύτητα μπορεί να εκφραστεί όπως προηγουμένως u*=(τ 0 /ρ) 1/ όπου τ 0 η διατμητική τάση στον πυθμένα του καναλιού και ρ η πυκνότητα του ρευστού. Σε ομοιόμορφη ροή ανοικτού αγωγού η διατμητική τάση στον πυθμένα μπορεί να εκτιμηθεί από την ισορροπία δυνάμεων, οπότε έχουμε u* = g d S όπου S είναι η κλίση του καναλιού, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και d είναι το βάθος της ροής

56 Εκτιμάται, ότι υπάρχει ένας συντελεστής τυρβώδους μείξης για κάθετη μίξη και ένας άλλος για εγκάρσια και διαμήκη, καθώς η παρουσία των οριζόντιων ορίων στην επιφάνεια και στον πυθμένα σημαίνει, ότι η τύρβη δεν θα είναι ισότροπη. Ο Elder θεώρησε μια ροή σ ένα ανοικτό αγωγό μεγάλου πλάτους, όπου η κατανομή των ταχυτήτων μπορεί να προσεγγισθεί από το λογαριθμικό προφίλ ταχυτήτων του Von Karman u' = ( u*/ κ )(1+ ln y') όπου κ είναι η σταθερά του Von Karman, που συνήθως έχει τιμή 0.4, y =y/d, και u' = u( y) u

57 Μια ισορροπία δυνάμεων παράλληλα με το τοίχωμα του αγωγού, δίνει du τ = ρεv = τ0 (1 y ') dy όπου τ 0 είναι η διατμητική τάση στον πυθμένα, ενώ το ε v είναι ο κατακόρυφος συντελεστής τυρβώδους διάχυσης, που από συνδυασμό των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει: ε v = κy '(1 y ') du* = κdu *( y / d)[1 ( y / d)] Παρατηρούμε ότι o κατακόρυφος συντελεστής τυρβώδους διάχυσης δεν είναι μια σταθερά (όπως ο συντελεστής μοριακής διάχυσης), αλλά μεταβάλλεται με την απόσταση από το στερεό όριο y. Η μέση τιμή (ως προς y) του κατακόρυφου συντελεστή τυρβώδους διάχυσης είναι: E =ε = v 0.067du *

58 Ο συντελεστής διαμήκους διασποράς Κ προκύπτει: 0, 404 K = du* 3 κ O Elder έλαβε σαν τιμή της σταθεράς von Karman κ=0,41 και έτσι προέκυψε το γνωστό αποτέλεσμα K = 5,93 du* Οι επιδράσεις της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης (εγκάρσιας και κατακόρυφης) εμπεριέχονται στο συντελεστή διαμήκους διασποράς Κ. Συνεπώς, η τιμή του Κ εξαρτάται από τις υδραυλικές ιδιότητες του καναλιού, οι οποίες καθορίζουν το βαθμό της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης

59 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΜΕΙΞΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ Στη συνέχεια μελετάμε τον τρόπο με τον οποίο τα προηγούμενα αποτελέσματα μπορούν να εφαρμοστούν στον υπολογισμό των ρυθμών μίξης σε αληθινά ρεύματα και ποταμούς.

60 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΙΞΗ Στα προηγούμενα δείξαμε ότι ο συντελεστής κατακόρυφης μίξης (μείξη κατά την κάθετο στον πυθμένα του αγωγού) υπολογίζεται από το προφίλ της ταχύτητας. Ο λογαριθμικός νόμος για το προφίλ της ταχύτητας οδηγεί σ έναν συντελεστή κάθετης μίξης (όπου τώρα συμβολίζουμε με z τον άξονα τον κάθετο στον πυθμένα του καναλιού): εv = κdu *( z / d)[1 ( z / d)] Ημέσητιμή(ως προς z) του κατακόρυφου συντελεστή τυρβώδους διάχυσης είναι: ε ν = 0,067du *

61 Κατακόρυφος συντελεστής τυρβώδους διάχυσης: E =ε = v 0.067du * Από διαστατική ανάλυση προκύπτει, ότι ο χρόνος που απαιτείται ώστε να φθάσει ο ρύπος από την επιφάνεια στον πυθμένα δίνεται από την εξίσωση: T v = d 4ε v Όπου d=το βάθος ροής

62 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΙΞΗ Η περισσότερη θεωρητική και εργαστηριακή έρευνα πάνω στη διαμήκη διασπορά σε ανοικτούς αγωγούς έχει γίνει σε επίπεδη (διδιάστατη) διατμητική ροή, στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται με το βάθος αλλά όχι με την εγκάρσια απόσταση, γιατί οι ανοικτοί αγωγοί θεωρήθηκαν ότι είχαν «άπειρο» πλάτος. Η προσέγγιση αυτή της διαμήκους διασποράς πρέπει να χρησιμοποιείται με προσοχή στους φυσικούς ποταμούς. Στη συνέχεια εστιάζουμε στα αποτελέσματα της εγκάρσιας διατμητικής ταχύτητας, λαμβάνοντας υπόψη ότι η κάθετη διατμητική ταχύτητα επιδρά σχετικά πολύ λίγο στη διαμήκη διασπορά των περισσοτέρων ποταμών. Στην παράγραφο αυτή αναφερόμαστε στα αποτελέσματα για ευθύγραμμα ορθογωνικά κανάλια.

63 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΙΞΗ Από πειραματικά αποτελέσματα σε ορθογωνικά κανάλια προκύπτει, ότι ο αδιάστατος συντελεστής εγκάρσιας μίξης ε t /du* παίρνει τιμές από Έναςπροσεγγιστικόςμέσοςόροςτων πειραματικών αποτελεσμάτων είναι: ε 0,15du t *. Για πρακτικούς σκοπούς μπορούμε να πούμε ότι σε ευθύγραμμα ορθογωνικά κανάλια το αποτέλεσμα που δίνεται από την προηγούμενη εξίσωση είναι πιθανό να είναι σωστό με ένα όριο λάθους της τάξης του ±50%.

64 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΙΞΗ ΣΕ ΦΥΣΙΚΑ ΚΑΝΑΛΙΑ Τα φυσικά κανάλια διαφέρουν από τα ομοιόμορφα ορθογωνικά σε: Το βάθος μπορεί να μεταβάλλεται ακανόνιστα το κανάλι μπορεί να παρουσιάζει καμπυλότητα μπορούν να υπάρχουν διάφορες ανωμαλίες στα πλευρικά τοιχώματα, όπως προεξοχές εδάφους Κανείς απ αυτούς τους παράγοντες δεν φαίνεται να έχει μεγάλη επίδραση στο βαθμό της κάθετης μίξης, ενώ η εγκάρσια μίξη επηρεάζεται σημαντικά από τις ανωμαλίες του καναλιού επειδή είναι ικανές να δημιουργήσουν μεγάλη ποικιλία εγκάρσιων κινήσεων

65 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΙΞΗ ΣΕ ΦΥΣΙΚΑ ΚΑΝΑΛΙΑ Οι μαιανδρισμοί και άλλες ανομοιομορφίες στα πλαϊνά τοιχώματα είναι συνηθισμένες σε πολλά φυσικά υδατορεύματα και έχουν μεγάλη επίδραση στην εγκάρσια μίξη. Διάφορες εργαστηριακές μελέτες έδωσαν κάποια ένδειξη της επίδρασης των εγκάρσιων ανωμαλιών στα πλευρικά τοιχώματα. Παρατηρήθηκαν για το ε t /du* τιμές της τάξης του στην περίπτωση αυτή. Όσο πιο μεγάλη είναι η εγκάρσια ανομοιομορφία, τόσο πιο γρήγορη είναι πιθανότατα η εγκάρσια μίξη.

66 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΙΞΗ ΣΕ ΦΥΣΙΚΑ ΚΑΝΑΛΙΑ Γενικά, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι τιμές του ε t /du* σε ευθύγραμμα, ομοιόμορφα κανάλια ποικίλουν γενικά από Οι καμπύλες και οι ανωμαλίες στα πλευρικά τοιχώματα αυξάνουν τον συντελεστή, έτσι ώστε οι τιμές του ε t /du* σε φυσικά ρεύματα, σπάνια να είναι κάτω από 0.4. Αν το ρεύμα περιελίσσεται αργά και οι ανωμαλίες στα πλευρικά τοιχώματα είναι μέτριες, το ε t /du* έχει βρεθεί πως παίρνει τις τιμές , τιμές που για πρακτικούς σκοπούς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε.

67 ο αδιάστατος συντελεστής εγκάρσιας μίξης για ευθύγραμμα, ομοιόμορφα κανάλια ε t /du* = 0.4 για καμπύλες και ανωμαλίες στα φυσικά τοιχώματα για μεγαλύτερες ανωμαλίες και καμπύλες όπου d=το βάθος ροής u*= ηδιατμητικήταχύτητα Από διαστατική ανάλυση προκύπτει, ότι ο χρόνος που απαιτείται ώστε να φθάσει ο ρύπος την απέναντι όχθη δίνεται από τη σχέση: T t = L 4ε t όπου L= το πλάτος του αγωγού