Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί Ενότητας Στόχος της 3ης Ενότητας είναι η εξοικείωση του φοιτητή με την έννοια της εκτιμητικής. Διάκριση των εκτιμητριών ανάλογα με τα κριτήρια της Αμεροληψίας, Συνέπειας, Αποτελεσματικότητας, Επάρκειας, μέγιστης Πιθανοφάνειας). Εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης ενός και δύο δειγμάτων. 4

5 Περιεχόμενα Ενότητας Σημειακές εκτιμήτριες Είδη εκτιμητριών (Αμεροληψία, Συνέπεια, Αποτελεσματικότητα, Επάρκεια, κριτήριο Πιθανοφάνειας) Εκτίμηση Διαστήματος Διαστήματα εμπιστοσύνης ενός δείγματος Επιλογή μεγέθους δείγματος Διαστήματα εμπιστοσύνης δύο δειγμάτων Λυμένες Ασκήσεις 5

6 Εκτιμητική - Η συνάρτηση F(x) ή f(x) εμπεριέχει τη συνολική στοχαστική πληροφορία για τη τυχαία μεταβλητή Χ. Γνώση της F(x) ή f(x) σημαίνει : γνώση της συναρτησιακής της μορφής γνώση των τιμών των παραμέτρων της π.χ. στην εκθετική κατανομή γνώση του λ (μονοπαραμετρική περίπτωση) στην κανονική κατανομή γνώση των μ, σ (διπαραμετρική περίπτωση) Φυσική θεώρηση του στοχαστικού φαινομένου οδηγεί πολλές φορές είτε στον προσδιορισμό, είτε σε μια τεκμηριωμένη παραδοχή της συναρτησιακής μορφής Ο υπολογισμός των παραμέτρων απαιτεί τη συλλογή και επε-ξεργασία παρατηρήσεων στατιστικών δεδομένων 6

7 Υπολογισμός πιθανοτήτων X, f ( x,ϑ ) στατιστικός πληθυσμός συλλογή στατιστικών δεδομένων σημείο αναφοράς Samplg επεξεργασία δεδομένων - εκτίμηση του ϑ Εκτιμητική υπολογισμός πιθανοτήτων μέσω της f (x, ϑ) - λήψη αποφάσεων στατιστικός πληθυσμός πληθυσμός με τη στενή έννοια διάρκεια ζωής υλικών μέχρι θραύσης λόγω κόπωσης όγκος κυκλοφορίας, ύψος βροχόπτωσης, ισχύς σεισμού κ.λ.π. 7

8 Συλλογή στατιστικών δεδομένων Συλλογή στατιστικών δεδομένων Α π ο γ ρ α φ ή Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α αντιπροσωπευτική χρονοβόρα ανέφικτη σε μεγάλους (άπειρους) πληθυσμούς ( x, x,,x ) : Δείγμα τάξης πληθυσμός δείγμα ε π α γ ω γ ή 8

9 Δειγματοληψία Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α Τ υ χ α ί α Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α Κ α τ ε υ θ υ ν ό μ ε ν η Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α Ο αναλυτής τοποθετεί υποκειμενικά κριτήρια επιλογής. Η ποιότητα των αποτελεσμάτων εξαρτάται από την ικανότητά του Μέτρηση της αβεβαιότητας προβληματική Κάθε άτομο του πληθυσμού έχει την ίδια πιθανότητα να συμπεριληφθεί στο δείγμα Μέτρηση της αβεβαιότητας εφικτή 9

10 Τυχαία δειγματοληψία ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ( X, f ( x,ϑ ) ) ( x, x,, ) x ( x, x,, ) x. Δείγμα τάξεως. Δείγμα τάξεως Οι θέσεις.,.,,. του δείγματος αντιστοιχούν σε τυχαίες μεταβλητές Χ,, Χ ( X,, ) X Το δείγμα καλείται τυχαίο αν οι Χ,, Χ είναι ανεξάρτητες και η κατανομή τους ισούται με τη κατανομή του πληθυσμού. 0

11 Συνεχεια τυχαίας δειγματοληψίας f ( x ) f ( x ) f (, ϑ ) X X x και ( x ) f ( x x,, x ) f ( x ) f ( x ) [ f ( x, ) ], X X f ϑ Οι προϋποθέσεις αυτές ισχύουν αν η επιλογή είναι τυχαία και γίνεται επανάθεση. Στη πράξη αρκεί να ισχύει / N < <, όπου το μέγεθος του δείγματος και Ν το μέγεθος του πληθυσμού Ισχύει πάντα σε άπειρους πληθυσμούς!

12 Το βασικό πρόβλημα της εκτιμητικής Το βασικό πρόβλημα της εκτιμητικής είναι, με βάση ένα ( τυχαίο) δείγμα, να προσδιορίσει κατά βέλτιστο τρόπο τις παραμέτρους, ή να δώσει ένα διάστημα που να περιέχει τα με καθορισμένη πιθανότητα. ϑ ϑ Ο προσδιορισμός της παραμέτρου εκτίμηση ϑ ϑ καλείται σημειακή κατασκευή ενός διαστήματος που περιέχει την καλείται εκτίμηση κατά διάστημα ϑ

13 Σημειακές εκτιμήτριες Κάθε συνάρτηση των τιμών του δείγματος που δεν περιέχει άγνωστα μεγέθη, δηλ. Στατιστικό δείγματος ˆ καλείται ε κ τ ι μ ή τ ρ ι α προφανώς η Θˆ Θ του ϑ ( X, X, ) g, είναι τυχαία μεταβλητή X! Συμβολισμοί ϑ : υπό εκτίμηση παράμετρος ˆΘ : εκτιμήτρια της ϑ ϑˆ : πεδίο τιμών της ˆΘ, ( εκτίμηση ) Υπάρχουν προφανώς άπειρες επιλογές για την Θˆ! π.χ. προκειμένου να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή μ μιας κανονικά κατανεμημένης μεταβλητής Χ Ν ( μ, σ ) έχουμε μεταξύ άλλων τις επιλογές : 3

14 Τι ισχύει στην κανονική κατανομή Στην κανονική κατανομή ισχύει : μέση τιμή διάμεσος πιθανότερη τιμή µ m τ 3, 3.5, 3.5, Έστω δείγμα τάξης 9 : ( 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 6.5 ) δειγματικός μέσος : X X 9 ( 39.5 ) δειγματική διάμεσος : ˆ m 4 δειγματική πιθανότερη τιμή : τˆ 3,5 4

15 Κριτήρια επιλογής εκτιμητριών Κριτήρια επιλογής καλών εκτιμητριών αποτελούν οι εξής ιδιότητες : Α μ ε ρ ο λ η ψ ί α - u b a s e d e s s Σ υ ν έ π ε ι α - c o s s t e c y Α π ο τ ε λ ε σ μ α τ ι κ ό τ η τ α - e f f c e c y Ε π ά ρ κ ε ι α - s u f f c e c y Εκτός ολίγων περιπτώσεων, μόνο μερική κάλυψη των παραπάνω ιδιοτήτων 5

16 Αμεροληψία Παράδειγμα ˆϑ ˆϑ 4 E ϑ N ˆϑ 3 { Θˆ } Lm Σ ˆ ϑ ϑ N N ˆϑ ˆϑ 5 πλήθος δειγμάτων τάξης Εκτίμηση μέσης τιμής μ της Χ, δηλ. ϑ µ Αν Δειγματικός μέσος : Θˆ X E µ { Θˆ } E { X } E { X } µ ˆ Δειγματική διασπορά : Θ S ( X X ) X όχι αμερόληπτη, αλλά η διαφορά μικρή για μεγάλα 6

17 Παράδειγμα Έστω ( x, x x ), 3 τυχαίο δείγμα από κάποιο πληθυσμό. Ποιές από τις παρακάτω εκτιμήτριες είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες του μέσου μ του πληθυσμού ; Θˆ 0 ( X + X + X ) 7 3 E { Θ } [ µ + µ + 7 µ ] µ ˆ 0 Θˆ 7 ( 6 X + X X ) 3 E { Θ } [ 6 µ + µ µ ] µ ˆ 7 Θˆ 3 3 ( X + X + X ) 3 E { Θ } [ µ + µ + µ ] µ ˆ 3 3 ˆ 9 ( X + X + X ) Θ E { Θ } [ µ + µ + 5µ ] µ µ ˆ

18 Συνέπεια ˆ ϑ Είναι ευνόητο, ότι μεγαλώνοντας το επιθυμούμε η εκτίμηση καλύτερα τη παράμετρο, δηλ. ϑ Lm Θˆ Παράδειγμα : Είναι ο δειγματικός μέσος συνεπής x; ϑ ϑ ϑˆ > να προσεγγίζει ϑˆ VAR { x } VAR X VAR { X } VAR { X } VAR { X } 0 f Θˆ f x µ x 8

19 Αποτελεσματικότητα ˆΘ E { } ϑ { ˆ } Έστω με ˆ και Θ VAR Θ σ και ˆΘ E { ˆ } ϑ VAR { Θˆ } σ με Θ και Η εκτιμήτρια αν σ < σ ˆΘ καλείται πιο αποτελεσματική από την ˆΘ Παράδειγμα : X X + X είναι αμερόληπτη με σ σ x X X + X 3 + X 3 είναι αμερόληπτη με σ σ x 3 9

20 Επάρκεια Η ιδιότητα μιας εκτιμήτριας να χρησιμοποιεί όλη τη στατιστική πληροφορία του δείγματος καλείται ε π ά ρ κ ε ι α. Παράδειγμα : ( ) Δίδεται δείγμα τάξεως 3, δηλ. x, x x, 3 Προφανώς η εκτιμήτρια επαρκής, ενώ η X X + X X 3 + X X 3 + X είναι. του προηγούμενου παρα- δείγματος δεν είναι 0

21 Μέθοδος μέγιστης πιθανοφανειας F s h e r ( maxmum lkelhood method ) Σκεπτικό : βασικά θα μπορούσε να έλθει οιοδήποτε δείγμα. Το γεγονός ότι ήλθε το συγκεκριμένο δείχνει ότι έχει μεγάλη πιθανότητα εμφάνισης. ϑ Καθορισμός του, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα εμφάνισης του συγκεκριμένου δείγματος.! L f ( x, ϑ ) Σ υ ν ά ρ τ η σ η ( L k e l h o o d ) Π ι θ α ν ο φ ά ν ε ι α ς Προσδιορισμός του ϑ από τις σχέσεις : L ϑ l L 0 ή ϑ 0 ;,, 3,...,κ όπου κ, το πλήθος παραμέτρων ϑ ϑ

22 Για να υπολογιστεί το ποσοστό ελαττωματικών p ενός πληθυσμού εξαρτημάτων, επιλέγεται δείγμα τάξης 6 : Να βρεθεί η MLE του p. Παράδειγμα ( K, K, E, K, E, K ) Έχουμε, L ( p ) ( p ) p ( p) p ( p ) l L 4 l ( p ) + l p l L p 4 p p ( ) + 0 pˆ 6 3 Γενικά : pˆ κ πλήθος ελαττωματικών

23 Για να υπολογιστεί η αξιοπιστία ενός εξαρτήματος επιλέγεται δείγμα τάξεως 7 και έστω, Παράδειγμα t, ; t 3,0 ; t 6,3 ; t 3 4 0, t 5 5, ; t 6, 4 ; t 7 7, οι χρόνοι ωφέλιμης ζωής που παρατηρήθηκαν. Να υπολογιστεί ο MLE (maxmum lkelhood estmator) για την παράμετρο λ, με την υπόθεση ότι οι χρόνοι ωφέλιμης ζωής είναι εκθετικά κατανεμημένοι. 3

24 t e L λ λ Έχουμε : t L l l λ λ 5,04 35,3 7 ˆ 0 l t L λ λ ( ) ( ) 04 5, t e t F t R Relablty αξιοπιστία ˆ Συνέχεια παραδείγματος 4

25 Υπολογίστε με την ΜΜΠ εκτιμήτρια για τη μέση τιμή και τη διασπορά κανονικά κατανεμημένου πληθυσμού. Έχουμε : ( ) ) ( σ µ π σ x e x f συνάρτηση πυκνότητας πληθυσμού ),, ( ),, ( σ µ σ µ x f x L ( ) x e µ π σ ( ) l l µ σ σ π x L σ Παράδειγμα 3 5

26 ( ) ( ) 0 l µ σ µ x L ( ) x x x M L ˆ 0 µ µ Η εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της μέσης τιμής κανονικού πληθυσμού ισούται με τον δειγματικό μέσο x ( ) 0 l + x x L σ σ σ ˆ Μ x x L σ μη αμερόληπτη Η εκτιμήτρια ΜΠ της διασποράς κανονικού πληθυσμού είναι διάφορη της δειγματικής διασποράς. Συνέχεια παραδείγματος 3 6

27 Η εκτιμήτρια Θˆ είναι τυχαία μεταβλητή. Έτσι κάθε δείγμα οδηγεί σε διαφορετική ϑ σημειακή εκτίμηση για τη παράμετρο. ( ) f Θˆ E { } ϑ Έστω ϑˆ η συνάρτηση πυκνότητας της και ˆΘ VAR { ˆ } Θ σ Εκτίμηση διαστήματος Θˆ f ( ϑ ˆ ) Θ ˆ Θˆ (αμεροληψία) ˆ ϑ, ˆ, ˆ ϑ ϑ3 : ϑˆ ϑˆ { Θ } ϑ E ˆ εκτιμήσεις με βάση διαφορετικά δείγματα Πιθανότητα Θˆ ϑ είναι 0! ϑˆ 3 7 ϑˆ

28 Συνέχεια εκτίμησης ( ) ϑ, ϑ P α ( ϑ, ϑ ) : διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου - α, δηλ. ( ϑ ϑ ϑ ) α μεγαλύτερη εμπιστοσύνη μεγαλύτερο διάστημα P ϑ ( ϑ Θˆ ϑ ) α f ( ˆ ϑ ) ϑˆ ˆ d Τυποποίηση της Θˆ, δηλ : ϑ Ζ Θ Θˆ ϑ σ Θˆ 8

29 Προϋποθέσεις P ( ) Θˆ Θˆ ϑ ϑ ϑ P κ α κ α σ Θˆ κρίσιμη τιμή αν μη συμμετρικό κ α ( Θˆ κ σ ϑ Θˆ + κ σ ) P α Θˆ α Θˆ ϑ ϑ ( ) Προϋποθέσεις για την κατασκευή του διαστήματος ϑ, ϑ : κ κ α α γνώση των τιμών,, δηλ. γνώση της κατανομής f ˆΘ ( ϑˆ ) γνώση της τυπικής απόκλισης γνώση των τιμών του Θˆ σ Θˆ της εκτιμήτριας Δ ε ί γ μ α 9

30 Διαστήματα εμπιστοσύνης μέσης Σαν σημειακή εκτιμήτρια επιλέγεται ο δειγματικός μέσος : Θ ˆ Χ Γνωρίζουμε ότι : E { Χ } µ και VAR { Χ } αμεροληψία τιμής Για την κατασκευή του διαστήματος ξεχωρίζουμε τις εξής περιπτώσεις : X σ Κανονικός πληθυσμός, διασπορά γ ν ω σ τ ή f Χ μένη μεταβλητή ( ) x Ν µ, σ f ( x) Ν µ, σ Χ Ζ Χ µ σ είναι κατανεμημένη κατά Ν ( 0, ). κ κ α α και η τυποποιη- Οι κρίσιμες τιμές υπολογίζονται από τον Πίνακα της κανονικής 30

31 Κανονικός πληθυσμός, διασπορά ά γ ν ω σ τ η Η διασπορά του πληθυσμού εκτιμάται μέσω της δειγματικής διασποράς : Διασπορά άγνωστη S σ ( Χ Χ ) Το μέγεθος X µ ακολουθεί την κατανομή S t u d e t με - βαθμούς ελευθερίας. T σ μονοπαραμετρική κατανο-μή, με παράμετρο το f Τ ( t ) t

32 Η κατανομή S t u d e t είναι συμμετρική με { } 0 και VAR Κατανομή Studet { T } E T Για μεγάλα, η κατανομή S t u d e t τείνει στην Ν ( 0, ) Τα εκατοστιαία σημεία συμβολίζονται με, t p, εκατοστιαίο σημείο βαθμοί ελευθερίας 3

33 Μη κανονικοί πληθυσμοί Mη κανονικοί πληθυσμοί, μεγάλα δείγματα Επίκληση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος δίδει : X N µ, σ, βασικά για > Η διασπορά του πληθυσμού σ εκτιμάται μέσω της δειγματικής διασποράς S, εφόσον είναι άγνωστη κ Οι κρίσιμες τιμές α υπολογίζονται από τους Πίνακες της α κανονικής, δεδομένου ότι για μεγάλα, η κανονική κατανομή προσεγγίζει ικανοποιητικά την κατανομή Studet κ 33

34 Κεντρικό οριακό θεώρημα Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ,..Χ έχουν την ίδια κατανομή και είναι ανεξάρτητες με { } και Ε Χ µ τότε η τυχαία μεταβλητή { } VAR Χ σ Χ Χ Είναι για μεγάλα ( ) κατανεμημένη κατά N µ, σ Στη πράξη η κανονική κατανομή προσεγγίζει την f x ( x ) για σχετικά μικρά 34

35 Παράδειγμα Η ημερήσια συγκέντρωση διαλυμένου οξυγόνου ενός ποταμού μετριέται 30 φορές και ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται x,5 mg / l. Από προηγούμενη εμπειρία είναι γνωστό ότι η διασπορά της ημερήσιας συγκέντρωσης είναι 4. (mg/l) και ότι η ημερήσια συγκέντρωση ακολουθεί κανονική κατανομή. ) Να υπολογιστούν διαστήματα εμπιστοσύνης επιπέδου 95 % και 99% για τη μέση ημερήσια συγκέντρωση. Έστω μ η μέση ημερήσια συγκέντρωση. 35

36 Συνέχεια παραδείγματος,5 ±,96 4, 30 0,733 [,79 ; 3. ] 5 0,99,5 ±,58 4, 30 0,965 z 0,005 z 0, 995 µ, 58 [,56 ; 3, ] 49 μεγαλύτερη εμπιστοσύνη μεγαλύτερο διάστημα 36

37 ) Δεκαπλασιασμός του δείγματος Πως επιδρά στα αποτελέσματα δεκαπλασιασμός του δείγματος ; 95 % : 99 % : 4,,5 ±, ,,5 ±, [,8 ;,75 ] [, ;,8 ] όπως αναμένετο, μεγαλύτερα δείγματα οδηγούν σε μικρότερα διαστήματα ) Αν θεωρήσουμε ότι η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, η δε τιμή 4, αποτελεί εκτίμησή της, πως μεταβάλλονται τα αποτελέσματα ( 30) ; Δεδομένου ότι η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, η μεταβλητή Χ µ s ακολουθεί κατανομή Studet με 9 - βαθμούς ελευθερίας 37

38 Πίνακας κατανομής Studet Οι κρίσιμες τιμές προσδιορίζονται τώρα από τον Πίνακα της κατανομής Studet. Έχουμε : 95 % : t 9 ; 0,975,045 4,,5 ±, [,75 ; 3, 8 ] 0, % : t 9 ; 0,995,756 4,,5 ±, [,49 ; 3,55 ], 03 Παρατηρούμε, ότι τα διαστήματα είναι μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα του ), δεδομένου ότι η άγνοια της διασποράς εισάγει επιπρόσθετη αβεβαιότητα 38

39 Άγνωστη κατανομή συγκέντρωσης ) Ποια η διαδικασία, αν η κατανομή της συγκέντρωσης θεωρηθεί άγνωστη ; Δεδομένου ότι 30 ή 300, με καλή προσέγγιση μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα αποτελέσματα ), ) ή ) ανάλογα με το αν η διασπορά είναι γνωστή ή όχι. 39

40 Γνωρίζουμε ότι αν Χ,Χ,,Χ τυχαίο δείγμα από έναν Ν (μ, σ ) πληθυσμό, τότε, το μέγεθος ( ) S χ σ ~ ( ) α σ χ α α χ S P,, ( ) α σ χ α χ α S P,, ( ) ( ) α χ σ α α χ S S P,, Διαστήματα εμπιστοσύνης διασποράς κανονικού πληθυσμού 40

41 Διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου -α Άρα το διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου - α, δίδεται : χ ( ) S ( ), α ; χ, S α Όπου οι κρίσιμες τιμές χ προσδιορίζονται από τους Πίνακες της κατανομής χ ( χ-τετράγωνο) 4

42 Μετρήθηκε η διάρκεια ζωής Χ 5 λαμπτήρων και υπολογίστηκε τυπική απόκλιση S, 6h διασπορά του πληθυσμού, αν Χ Ν ( μ, σ ). Έχουμε : Παράδειγμα Να εκτιμηθεί διάστημα εμπιστοσύνης 95% για την ~ ( ) S 4 (, 6 ) χ, α 39, 37, 56 χ 4 ; 0,975 ( ) S 4 (, 6 ) χ µ, α, 4 4, 95 χ 4 ; 0,05!,56 σ 4,95 4

43 Διάστημα εμπιστοσύνης αναλογίας (ποσοστού) πληθυσμού Έστω p η αναλογία (ποσοστό) ενός πληθυσμού που έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Ορίζουμε : Χ μέλος πληθυσμού έχει την ιδιότητα 0 μέλος πληθυσμού δεν έχει την ιδιότητα Προκειμένου για τυχαίο δείγμα τάξης έχουμε, Χ X κ πλήθος μελών με την ιδιότητα στο δείγμα E { X } 0 P { Χ 0 } + P { Χ } p E { Χ } p για,,, VAR { } { } { } Χ Ε Χ Ε Χ p ( p) 43

44 Δειγματική αναλογία { X } p p E Ο δειγματικός μέσος αποτελεί αμερόληπτη εκτιμήτρια του ποσο-στού, και συμβολίζεται στη περί-πτωση αυτή με pˆ δειγματική αναλογία VAR { } p ( p ) X VAR X σ 44

45 Για μεγάλα δείγματα η μεταβλητή, { } ( ) ( ) 0, ˆ ˆ ˆ ˆ N p p p p p E p p Ζ σ σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα. Οπότε το διάστημα επιπέδου - α καθορίζεται ως, ( ) ( ) + p p p p p p ˆ ; ˆ κ α κ α p p ˆ ( ) ( ) + p p p p p p ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ κ α κ α όπου οι κρίσιμες τιμές προσδιορίζονται από τον Πίνακα της κανονικής κατανομής., δεδομένου ότι το p άγνωστο Τιμή μεταβλητής για μεγάλα δείγματα 45

46 Από μια μεγάλη παρτίδα εξαρτημάτων, παίρνουμε τυχαίο δείγμα τάξης 50 και ελέγχουμε την ποιότητά τους επί καθημερινής βάσης. α) Αν η αναλογία των ελαττωματικών προϊόντων ισούται, με 0,, υπολογίστε διάστημα που θα περικλείει το 90 % των δειγματικών αναλογιών. Ρ Ρ κ p κ α Παράδειγμα 3 pˆ p κ α α p ( p ) p ( p ) p ( p ) pˆ p + κ α α α Ρ κ 0,95 0, 0,8 0, 0,8 0,,65 ˆ 0,, p + [ 0,07 ; 0, 93 ] 0,9 46

47 Παράδειγμα 3 ερώτημα β β) Έστω ότι σε ένα τυχαίο δείγμα βρήκαμε 6 ελαττωματικά. Υπολογίστε διάστημα εμπιστοσύνης 90% για την αναλογία των ελαττωματικών του πληθυσμού. Έχουμε : Ρ κ α pˆ p κ α α pˆ ( pˆ ) Ρ pˆ Θέτοντας, κ pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) p pˆ + κ α α α 6 pˆ 0, ; pˆ 0, ,,65 0, 0,88 50 ; 0, +,65 0, 0,88 50 [ 0,044 ; 0,96 ] 0,

48 Όπως γνωρίζουμε, το σφάλμα δειγματοληψίας εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος. Έτσι η ακρίβεια μιας εκτίμησης επηρεάζεται άμεσα από την εκάστοτε τάξη του δείγματος. Εκτίμηση μέσης τιμής Δεδομένου ότι, ( ) κ σ ; x + κ σ x α α το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι, d εύρος διαστήματος κ α Επιλογή μεγέθους δείγματος d σ x κ α κ α σ σ 4 κ α d ελάχιστη τάξη δείγματος, που εξασφαλίζει με πιθανότητα -α, εύρος διαστήματος d Η διασπορά σ, αν άγνωστη, πρέπει να εκτιμηθεί, είτε από συνο-πτικές πληροφορίες, είτε με κάποιο προκαταρκτικό μικρό δείγμα σ 48

49 Εκτίμηση αναλογιών Έχουμε, όπου pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ κ α ; pˆ + κ α d κα pˆ ( pˆ ) max pˆ pˆ Δεδομένου ότι ( ) 0, 5 d d 0, 5 κ α κ α κ α d! Ελάχιστη τάξη δείγματος, που με πιθανότητα -α, εξασφα-λίζει εύρος διαστήματος d d 49

50 Παράδειγμα 4 και 5 Ένας υποψήφιος αγοραστής ενδιαφέρεται για το μέσο ύψος πωλήσεων κάποιου καταστήματος. Έστω ότι η τυπική απόκλιση για παρόμοια καταστήματα είναι 45. Πόσες ημέρες πρέπει να παρατηρήσει, αν επιθυμεί ακρίβεια εκτίμησης ± 50 και επίπεδο εμπιστοσύνης 0,99 ; Έχουμε, κ, ,995 4 κ α d σ 55,76 56 ημέρες 00 Για να εκτιμηθεί η αναλογία ελαττωματικών με ακρίβεια ±0, 05 εμπιστοσύνης 99 %, υπολογίστε τη τάξη του απαιτούμενου δείγματος και επίπεδο κ α d,575 0,

51 Διαστήματα εμπιστοσύνης για διαφορές μέσων τιμών Y Y,..., Y Έστω X, X,..., X και, m δύο τυχαία δείγματα, τάξης και m αντίστοιχα, από δύο ανεξάρτητους πληθυσμούς. Έστω µ x, σ x και µ Υ, σ Υ οι μέσες τιμές και αποκλίσεις των πληθυσμών. Θεωρούμε ότι τα δείγματα είναι μεγάλα, ώστε να ισχύει το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Εκτίμηση διαφοράς μέσων τιμών µ x µ y Η εκτιμήτρια Χ Υ είναι κατανεμημένη κατά Ν µ x µ y, σ x + σ y m 5

52 Διαστήματα εμπιστοσύνης για διαφορά αναλογιων Διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου - α pˆ x pˆ y ± κ α pˆ x ( ) ( ) pˆ pˆ pˆ x + y m y Αντίστοιχοι τύποι ισχύουν και για αθροίσματα ( ) x y x + y ; pˆ pˆ pˆ + pˆ x y x y 5

53 Για ένα τύπο βερνικιού ο χρόνος στέγνωσης (ώρες) παρατηρήθηκε σε 9 περιπτώσεις και τα αποτελέσματα έχουν ως εξής : 6,7 7,0 6,8 7,5 α) Δώστε μια αμερόληπτη εκτίμηση για την μέση τιμή του χρόνου στέγνωσης. Αποδείξτε ότι η εκτιμήτρια που χρησιμοποιήσατε είναι α μ ε ρ ό λ η π τ η Ο δειγματικός μέσος μέσης τιμής επειδή : Ε X X 8,0 7,3 6,6 { Χ } Ε Χ Χ µ µ Άσκηση 7, 6,0 είναι αμερόληπτη εκτιμή-τρια της αμερόληπτη εκτίμηση : x 9 9 x

54 Απάντηση ερωτήματος β β) Με την υπόθεση ότι ο χρόνος στέγνωσης ακολουθεί κανονική κατανομή Ν ( μ, 0,5 ) εκτιμήστε διάστημα εμπιστοσύνης 95 % x κ α σ ; x + κ α σ Έχουμε : x 7 ; σ 0,5 ; 9 ; κ α κ κ 0,05 0, 975,96 Π ί ν α κ α κ α ν ο ν ι κ ή ς ( Δ ι α σ π ο ρ ά γ ν ω σ τ ή ) 0,5 0,5 7,96 ; 7 +, ( 6,673 ; 7,37 ) 0,37 54

55 Απάντηση ερωτήματος γ γ) Ποια η πιθανότητα σε ένα άλλο δείγμα επίσης τάξης 9, ο δειγματικός μέσος του χρόνου στέγνωσης να είναι : ακριβώς 7 ώρες τουλάχιστον 7,5 ώρες P ( Χ 7 ) 0, δεδομένου ότι X συνεχής τυχαία μεταβλητή P ( Χ 7,5 ) P ( x < 7,5 ) Φ 7,5 µ σ 3 Χ ~ Ν ( ) µ, σ, µ, σ χαρακτηριστικά πληθυσμού Υποθέτοντας ότι µ X 7 : P 0,5 ( Χ 7,5 ) Φ Φ ( 3 ) 0,5 0, ,

56 Ασκηση Σ ένα έλεγχο κυκλοφορίας, όπου μετρούνται οι ταχύτητες οχη-μάτων, επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την μέση ταχύτητα. Από μια προκαταρκτική μελέτη βρίσκουμε ότι η τυπική απόκλιση της ταχύτητας είναι 3,58 km/h. α) Στα πλαίσια τυχαίου δείγματος τάξεως 50, βρείτε το επίπεδο εμπιστοσύνης διαστήματος ± km / h γύρω από τη μέση τιμή Γενικά : Χ ± σ 3, 58 κ α 50 56

57 Απάντηση ασκησης ερωτημα α κ α σ 3, 58 α 50 κ κ κ α α 50 3,58 3, 4 0,9997 3,4 α 0,9997 α 0, ,

58 Απάντηση άσκησης ερωτήμα β β) Υπολογίστε τη τάξη του δείγματος που απαιτείται, ώστε το διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου 99% να κυμαίνεται Έχουμε γύρω από τη μέση τιμή. α 0,99 α 0,005 κ κ α κ α σ α α κ σ,58 ± km / h (,58 3,58 ) 85,58 3, 58 γ) Τι επίπτωση θα είχε στα αποτελέσματα, αν θεωρούσαμε ότι η διασπορά σ 3,58 του πληθυσμού δεν ήταν γνωστή αλλά αποτελούσε επίσης εκτίμηση. Ουδεμία, δεδομένου ότι οι τάξεις δείγματος είναι μεγάλες ( Studet κανονική) 58

59 Άσκηση 3 Για να εκτιμηθεί η αναλογία των γυναικών στα ανώτερα διοικητικά στελέχη επιχειρήσεων, επελέγη τυχαίο δείγμα τάξης 400. α) Αν το πλήθος των γυναικών στο δείγμα ανέρχεται σε 0, δώστε διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου 95% για την ζητούμενη αναλογία Σημειακή εκτίμηση αναλογίας : pˆ κ ,05 ( pˆ ) pˆ pˆ ± κ α 0,05 ± κ 0, 975 0,05 0,95 400,96 ( κανονική κατανομή, δεδομένου ότι ) [ 0,05 ± 0,04 ] [ 0,086 ; 0,074 ] 59

60 Απάντηση ασκησης 3 ερώτημα β β) Να υπολογιστεί το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, ώστε το εύρος του διαστήματος επιπέδου 95% να είναι < 0% της δειγματικής εκτίμησης. Έχουμε : κ α pˆ ( pˆ ) Ε 4 Ε pˆ ( pˆ ) < 4 κ α κ α Ε Ε 0, 0,05 ( ),96 ( 0, 0,05 )

61 Άσκηση 4 Σώμα κινείται πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών εκτελώντας βήματα πλάτους cm. Η πιθανότητα να κινηθεί προς τα δεξιά είναι / 5, προς τα αριστερά 4 / 5. Αν ξεκινά από το 0, ποια η πιθανότητα μετά από 00 βήματα να βρίσκεται στο διάστημα [ -8, +8 ]. Έστω Υ η θέση του σώματος, όπου Υ 00 Χ και Χ + κίνηση προς δεξιά κίνηση προς αριστερά Π ι θ : / 5 Π ι θ : 4 / 5 Έχουμε : Ε { Χ } + ( ) VAR { Χ } Ε { Χ } Ε { Χ } 5 + ( )

62 Απάντηση άσκησης 4 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα : Y ~ Ν 00 ( ) 3 6, Υ ~ Ν µ Υ σ Υ ( 60, 64 ) P ( 8 Υ 8 ) P Ζ Ν ( 0, ) P ( 4 Ζ ) Φ ( ) Φ ( 4 ) 0 6

63 Άσκηση 5 Σε πρόσφατη μελέτη ελέγχου μόλυνσης θαλασσίων περιοχών, σε δείγμα 588 ψαριών της Μεσογείου, βρέθηκαν μολυσμένα από κάποια παράσιτα. Στον Ατλαντικό ωκεανό, από 3 που εξετάστηκαν βρέθηκαν μολυσμένα τα 6. Συγκρίνετε την αναλογία των παρασίτων στις δύο θάλασσες χρησιμοποιώντας διάστημα εμπιστοσύνης 90 % και ερμηνεύστε το αποτέλεσμα. ˆ ˆ Έχουμε : p 0,36 ; p 0, Μεσόγειος Ατλαντικός pˆ pˆ ± κ α ( ) ( pˆ pˆ pˆ p ˆ + m ) 63

64 Απάντηση άσκησης 5 [ ] 0,36 0,64 0, 0,79 0,36 0, ± κ + 0, ,64 (κανονική) [ ] 0,5 ± 6,84 0 [ 0,08 ; 0, ] Η διαφορά pˆ pˆ πάντα θετική ( p > p ) μεγαλύτερη πυκνότητα παρασίτων στην Μεσόγειο 64

65 Άσκηση 6 Στα πλαίσια γενικής αξιολόγησης αξιοπιστίας δίσκων μνήμης ηλεκτρονικών υπολογιστών, μετρήθηκε και η διάρκεια καλής λειτουργίας 60 δίσκων και υπολογίστηκαν τα ακόλουθα στατιστικά : x 76 ώρες και s 5 ώρες α) Εκτιμήστε την πραγματική μέση τιμή της διάρκειας καλής λειτουργίας με διάστημα εμπιστοσύνης 90 % Δεδομένου ότι το δείγμα είναι μεγάλο, παρόλο που η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, θεωρούμε ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κανονική κατανομή (Studet Kανονική) x ± κα s , [.76 ;.808 ] κ 0,95,645 45,66 65

66 Απάντηση άσκησης 6 β) Αν οι απαιτήσεις καλής λειτουργίας είναι µ 700 ωρών, πως ερμηνεύεται το αποτέλεσμα ; Η ελάχιστη απαιτούμενη μέση τιμή μ 700, εμπεριέχεται στο διάστημα, οπότε με εμπιστοσύνη 90% θεωρούμε το αποτέλεσμα ικανοποιητικό. γ) Αν τα παραπάνω δειγματικά στατιστικά συγκεντρώθηκαν από δείγμα τάξης 5, πως αλλάζουν τα αποτελέσματα α) και β). Τώρα η διαφορά Studet από Κανονική μπορεί να αποδειχθεί σημαντική x ± κα Studet με 5-4 βαθμούς ελευθερίας s 76 ± t0,95 ; 4,7 5 5 [.76 ± 73,6 ] [.688 ; 836 ] Με βάση το διάστημα αυτό, η αξιοπιστία του δίσκου δεν κρίνεται ικανοποιητική, δεδομένου ότι το κάτω άκρο του διαστήματος είναι μικρότερο από την επιθυμητή τιμή µ

67 Άσκηση 7 Μελετάται η απόδοση ενός καινούργιου αλγόριθμου για τη λύση διαφορικών εξισώσεων. Ένα τυχαίο δείγμα χρόνων επίλυσης τάξης 5 έδωσε : x 0,8 και s, 64 Υπολογίστε διαστήματα εμπιστοσύνης επιπέδου 95% για τη μέση διάρκεια επίλυσης και για τη διασπορά της διάρκειας επίλυσης. Διάστημα μέσης τιμής x ± S,505 κ 0,8 ±,96 [ 0, 403 ;, ] α 5 κ,96 (κανονική) 0, 409 0,975 67

68 Διάστημα διασποράς Απάντηση άσκησης 7 χ ( ) S ( ) ; α ; χ S ; α 5,64 ; χ 5,64 χ 5 ; 0,975 5 ; 0, 05 [,6 ; 3,56 ] 7,4 3,4 68

69 Άσκηση 8 Ένα προϊόν έχει μέσο βάρος 0,638 kg και τυπική απόκλιση 0,0 kg. Υπολογίστε διάστημα που να περικλείει το βάρος κιβωτίου 00 προϊόντων, επιπέδου 99%. Έστω Υ η τυχαία μεταβλητή του βάρους του κιβωτίου και Χ,,,.., 00 οι τυχαίες μεταβλητές του βάρους των προϊόντων. Έχουμε Υ 00 X ( µ ; 00 σ ) Υ ~ Ν 00 x x 638 και από το κεντρικό οριακό θεώρημα : 0, ( 0,0) ~ ( ( ) ) Ν 63,8 ; 0, επειδή : E { Υ} E { } Ε{ Χ} Χ µ x VAR { } { } Υ VAR Χ VAR{ Χ} µ VAR{ X } σ x ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 69

70 Απάντηση άσκησης 8 Ζητάμε όρια y ε, yµ ώστε : P ( y y y ) 0, 99 ε µ y 63,8 63,8 ε y P Ζ µ 0, 0, κ κ 0, 995 κ α 0,005 Από Πίνακες κανονικής κατανομής έχουμε : 0,99 y ε 63,8,58 y 0, yµ 63,8,58 yµ 0, [ 63,49 ; 64,] ε 63,8 63,8 + 0,3 0,3 70

71 Άλυτες ασκήσεις 7

72 Άλυτες ασήσεις 7

73 Τέλος Ενότητας 73

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ 10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 3: Χρήσιμες Κατανομές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο Στατιστική ΙI Ενότητα : Εκτίμηση Διαστήματος Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Aν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική ΙΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1 Εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα 12 η Διάλεξη 1 ο Παράδειγμα (1) Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 25kg Το βάρος του καλαμποκιού που συσκευάζεται ανά τσουβάλι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 6: Συσχέτιση και παλινδρόμηση εμπειρική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιμήτριες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Εκτιμήτριες. μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας

Εκτιμήτριες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Εκτιμήτριες. μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας Εκτιμήτριες Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Εκτιμήτριες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας κριτήρια αμεροληψίας και συνέπειας 9 άλυτες ασκήσεις 6 9 7.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Δειγματοληπτική διαδικασία Διδάσκων: Νίκος Ανδρεαδάκης ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Στατιστική Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Ανάλυση διακύμανσης Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Διαστήματα εμπιστοσύνης Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Β: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία για την εκτίμηση ποσοστού Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

7. Εκτιμήσεις Τιμων Δεικτων

7. Εκτιμήσεις Τιμων Δεικτων Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Mathematics and Statistics in Biology WINTER SEMESTER (1 st ) School of Biology Aristotle

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Εκτίμηση παραμέτρων (μέρος 2 ο ) Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ

Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Dafia maga Κόστος πειράματος Περιορισμοί σε χρόνο χώρο, κ.λπ. Προστασία σπάνιων ειδών. Μπορεί να κρίνουμε ότι τελικά δεν αξίζει τον κόπο..!!!! Ακρίβεια (αξιοπιστία) Αμεροληψία

Διαβάστε περισσότερα