Τύποι σφαλμάτων. Σφάλματα. Πολυσημα ντικότητα Ελλιπή. Τυχαιότητα Συστηματικά. Συλλογισμός. Λάθος Μέτρηση. Επαγωγικά Σφάλματα Παραγωγικά σφάλματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τύποι σφαλμάτων. Σφάλματα. Πολυσημα ντικότητα Ελλιπή. Τυχαιότητα Συστηματικά. Συλλογισμός. Λάθος Μέτρηση. Επαγωγικά Σφάλματα Παραγωγικά σφάλματα"

Transcript

1 1 Αβεβαιότητα

2 Αβεβαιότητα Σε πολλές εφαρμογές θα πρέπει να λυθούν προβλήματα χρησιμοποιώντας όχι πλήρη, λεπτομερή και επακριβή δεδομένα Η Αβεβαιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη ικανοποιητικής πληροφορίας να φθάσουμε σε μια απόφαση Η αβεβαιότητα αυξάνει σε μια βάση γεγονότων ή σε μια βάση κανόνων MYCIN & PROSPECTOR είναι παραδείγματα έμπειρων συστημάτων που χειρίζονται αβεβαιότητα 2

3 Τύποι σφαλμάτων Σφάλματα Πολυσημα ντικότητα Ελλιπή Λάθος Μέτρηση Τυχαιότητα Συστηματικά Συλλογισμός νθρώπινο λάθος Σφάλματα Εξοπλισμού ψευδώς Αρνητική Ψευδώς θετική Ακρίβεια λανθασ μένης Επαγωγικά Σφάλματα Παραγωγικά σφάλματα ανθασμένηαναξιόπισ Έξοδος τη Όχι Έξοδος 3

4 Τύποι σφαλμάτων σε γεγονότα Πολυσημαντικότητα (ambiguity) Αποτυχία να διακρίνει μεταξύ των περιπτώσεων και πιθανοτήτων Ελλιπής (incompleteness) Αποτυχία να περιγράψει πλήρως τις απαραίτητες πληροφορίες Εσφαλμένη (incorrectness) Η πληροφορία είναι εσφαλμένη Ψευδώς θετική Δέχεται μια υπόθεση ότι είναι αληθινή ενώ δεν είναι αληθής Ψευδώς αρνητική Δέχεται μια υπόθεση ότι είναι ψευδής ενώ είναι αληθής 4

5 Τύποι σφαλμάτων σε γεγονότα Ανακριβής (imprecision) Όχι αρκετά κοντά στην αλήθεια Όχι ακριβής (inaccuracy) Δεν είναι σωστή Αναξιόπιστος (unreliability) Μερικές φορές σωστό μερικές όχι Τυχαία λάθη (random error) Τα αίτια μπορεί να προβλέπονται ή να είναι άγνωστα Συστηματικά λάθη (systematic error) Ένα λάθος εισάγεται συνέχεια από κάποιο bias 5

6 Παραδείγματα σφαλμάτων Παράδειγμα Τύπος σφάλματος Αιτία Γύρνα τέρμα τη βαλβίδα Πολυσημαντικότητα Ποιά βαλβίδα? Γύρνα τη βαλβίδα 1 Ελλιπής Πώς να τη γυρίσω? Γύρνα τη βαλβίδα 1 να κλείσει Εσφαλμένη Το σωστό είναι να είναι ανοιχτή Η βαλβίδα έχει κολλήσει Θετικά εσφαλμένη Η βαλβίδα δεν έχει κολλήσει Η βαλβίδα δεν έχει Αρνητικά εσφαλμένη Η βαλβίδα έχει κολλήσει κολλήσει Γύρνα τη βαλβίδα 1 στο 5 Ανακριβής Το σωστό είναι 5.4 6

7 Παραδείγματα σφαλμάτων Παράδειγμα Τύπος σφάλματος Αιτία Γύρνα τη βαλβίδα 1 στο 5.4 Γύρνα τη βαλβίδα 1 στο 5.4 ή 6 ή 0 Η τιμή της βαλβίδας 1 είναι 5.4 ή 5.5 ή 5.1 Η τιμή της βαλβίδας 1 είναι 7.5 Η βαλβίδα 1 δεν είναι κολλημένη γιατί ποτέ προηγουμένως δε είχε κολλήσει Η έξοδος είναι κανονική και επομένως η βαλβίδα 1 είναι 7 σε καλή κατάσταση Ανακριβής Ακριβής είναι 9.2 Αναξιόπιστη Τυχαίο σφάλμα Σφάλμα εξοπλισμού Statistical fluctuation Συστηματικό σφάλμα Λάθος calibration Εσφαλμένη επαγωγική συλλογιστική Εσφαλμένη παραγωγική συλλογιστική Η βαλβίδα είναι κολλημένη Η βαλβίδα είναι κολλημένη σε ανοικτή θέση

8 Αβεβαιότητα στους κανόνες Μια βάση κανόνων εμπεριέχει αβεβαιότητα που οφείλεται σε 8 Επαγωγικοί κανόνες Ο επαγωγικός συλλογισμός πηγαίνει από το παράδειγμα σε γενικευμένους κανόνες. Ευρεστικούς κανόνες (Heuristic rules) Υπάρχουν κανόνες που είναι βασισμένοι στην εμπειρία Όχι μονοτονικούς συλλογισμούς (Non-monotonic reasoning) Όταν επιπρόσθετη πληροφορία δείχνει ότι οι προηγούμενοι συλλογισμοί ήταν εσφαλμένοι, όλα τα συμπεράσματα που είχαν εξαχθεί πριν την εύρεση του συγκεκριμένου λάθους θα πρέπει να εξεταστούν ξανά Κανόνες που βασίζονται σε λάθη Εάν η βαλβίδα είναι σε καλή κατάσταση, τότε η έξοδος είναι κανονική Η έξοδος είναι κανονική και επομένως η βαλβίδα είναι σε καλή κατάσταση

9 Πηγές αβεβαιότητας Ατελής γνώση της περιοχής εφαρμογής Η υπάρχουσα θεωρία μπορεί να είναι ασαφής και ελλιπής Ατελή δεδομένα για κάθε περίπτωση Τα δεδομένα μπορεί να είναι ανακριβή ή αναξιόπιστα Τα δεδομένα μπορεί να είναι προσεγγιστικά Οι ειδικοί χρησιμοποιούν μη λεπτομερείς μεθόδους Όταν οι λεπτομερείς μέθοδοι είναι άγνωστες Όταν οι λεπτομερείς μέθοδοι είναι μη πρακτικά εφαρμόσιμες 9

10 Πηγές αβεβαιότητας Αξιοπιστία της πληροφορίας Ελλιπής πληροφορία Πληροφορία από πολλές διαφορετικές πηγές Μη ακριβής αναπαράσταση γλωσσών 10

11 Αντιμετώπιση της αβεβαιότητας Ποιοτικές προσεγγίσεις Αντιμετωπίζουν την ελλιπή πληροφορία Χρησιμοποιούν τη λογική ή κανόνες εξαρτώμενους από τα συμφραζόμενα για τη συμβολική αναπαράσταση Ποσοτικές προσεγγίσεις Είναι βασισμένες σε αριθμητικές αναπαραστάσεις και χρησιμοποιούν θεωρία πιθανοτήτων και άλλες μεθόδους λογικής για τη διαχείριση της αβεβαιότητας μέσα από διαδικασία συλλογισμού 11

12 Αναπαράσταση αβεβαιότητας 12 Προβλήματα Είναι δύσκολο να ποσοτικοποιήσουμε τις αλληλεπιδράσεις των πιθανοτήτων Ο καθορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος απαιτεί πληροφορία που δεν έχουμε Είναι δύσκολο να καθορίσουμε επακριβώς τι σημαίνει πολύ, λίγο, πάρα πολύ ψηλός κ.τ.λ. Εφαρμόζοντας θεωρία πιθανοτήτων, απαιτούμε από τους μηχανικούς να περιγράψουν με ακρίβεια ποσότητες που δεν έχουν συγκεκριμένη τιμή. Οι πιθανότητες είναι δύσκολο να υπολογίζονται, να βελτιώνονται και μπορεί να απαιτούν πολύ δύσκολους υπολογισμούς

13 Θεωρίες για την αβεβαιότητα Κλασσική θεωρία πιθανοτήτων Νόμος Bayes Shannon θεωρία βασισμένη σε πιθανότητες Υποσυνθήκη Πιθανότητες Demster-Shafer θεωρία - συναρτήσεις πεποίθησης Ασαφής λογική Zadeh 13

14 Κλασσική θεωρία πιθανοτήτων Αναφέρεται σε ιδανικές καταστάσεις όπως ρίψη ζαριού, νομίσματος και χαρτιών. Όπου υπάρχουν προκαθορισμένες πιθανότητες βασισμένες στην παραδοχή ότι όλοι οι αριθμοί έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν Η πιθανότητα, P, ορίζεται ως ο λόγος των σωστών απαντήσεων προς τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων v 14 Αν Ε είναι ένα γεγονός, η άνευ συνθηκών πιθανότητα (unconditional probability) Ρ(Ε) να συμβεί το γεγονός εκφράζεται με έναν πραγματικό αριθμό για τον οποίο ισχύουν: q 0 Ρ(Ε) 1 q Ρ(Ε) = 1 αν Ε είναι ένα σίγουρο γεγονός Ρ(Ε) + Ρ(Ε) = 1 (όπου με Ε συμβολίζεται η άρνηση του γεγονότος Ε)

15 Πιθανότητα γεγονότων Σε ένα παιχνίδι υπάρχει ένα σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων το οποίο σχηματίζει το χώρο του παραδείγματος. Για ένα ζάρι ο χώρος είναι is {1,2,3,4,5,6} Ρίχνοντας ένα ζάρι (προσπάθεια) δημιουργείται ένα αποτέλεσμα το {1}.Το οποίο ονομάζεται γεγονός Εάν ρίξουμε δύο ζάρια θα έχουμε ένα σύνθετο γεγονός {2,5} 15

16 Παράδειγμα δένδρου γεγονότων Start H T H T H T HH H T TH T T H T H HH HT T T H TT 16

17 Θεωρία πιθανοτήτων Τρία αξιώματα για τις πιθανότητες axiom1 : 0 P( E) 1 axiom2 : i P( E i ) 1 anditscorollary P( E) P( E ) 1 axiom3 : P ( E1 E2) P ( E1) P ( E2) 17

18 Πιθανότητες υπό συνθήκη Υποδηλώνει την πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα Η δεδομένης της ισχύος μόνο του γεγονότος Ε. Συμβολίζεται με P(H E) και ορίζεται μέσω του πηλίκου της πιθανότητας να συμβούν ταυτόχρονα τα Η και Ε προς την πιθανότητα του Ε P H E P H P E E 18 Ιδιότητες Προσθετική Ιδιότητα: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) Πολ/στική Ιδιότητα για δύο ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) Ρ(Β) Πολ/στική Ιδιότητα για δύο μη ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) Ρ(Β Α)

19 Νόμος Bayes Κάτω από μία περισσότερο υποκειμενική αντιμετώπιση της πιθανότητας που επιτρέπει τη χρήση εκτιμήσεων αντί συχνοτήτων εμφάνισης γεγονότων, ο νόμος του Bayes επιτρέπει τον υπολογισμό πιθανοτήτων υπό συνθήκη με χρήση άλλων πιθανοτήτων που είναι ευκολότερο να υπολογιστούν. Η απλούστερη εκδοχή του νόμου του Bayes (Bayes' rule): P H E P E H P E P( H ) Πιο εύκολο να χρησιμοποιηθεί, συγκριτικά με την σχέση της πιθανότητας υπό συνθήκη 19

20 Νόμος Bayes Αν Η μία ασθένεια και Ε ένα σύμπτωμα που σχετίζεται με αυτήν, τότε για τον υπολογισμό της πιθανότητας υπό συνθήκη απαιτείται πληροφορία που συνήθως δεν είναι διαθέσιμη: 20 Πόσοι άνθρωποι στον κόσμο πάσχουν από την Η και ταυτόχρονα εμφανίζουν το σύμπτωμα Ε. Πόσοι εμφανίζουν απλά το σύμπτωμα Ε. Στο νόμο του Bayes: Ένας γιατρός μπορεί να δώσει μία εκτίμηση για το πόσοι ασθενείς που έπασχαν από την ασθένεια Η εμφάνιζαν το σύμπτωμα Ε (εκτίμηση για την ποσότητα P(E H)). Αντίθετα, το κλάσμα των ασθενών με σύμπτωμα Ε που πάσχουν από την ασθένεια Η, δηλαδή ο όρος P(Η Ε), τις περισσότερες φορές είναι αδύνατο να εκτιμηθεί. To P(H) μπορεί να υπολογιστεί από στατιστικά στοιχεία για τον συνολικό πληθυσμό Το P(E) από στατιστικά στοιχεία του ίδιου του γιατρού.

21 Γενική Σχέση του Νόμου του Bayes Η πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα Η δεδομένης της ισχύος των γεγονότων Ε 1, Ε 2,..., E k : P H E E E k P E E PE v Πρόβλημα χρήσης: για m πιθανές ασθένειες και n δυνατά συμπτώματα από τα οποία εμφανίζονται τα k, απαιτούνται (mn) k +m+n k τιμές πιθανοτήτων, αριθμός υπερβολικά μεγάλος. v Απλούστερη περίπτωση: αν τα διάφορα γεγονότα Ε θεωρούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τότε απαιτούνται μόνο mn+m+n τιμές πιθανοτήτων E k H E 2 E k P( H )

22 Χρήση του νόμου Bayesian για λήψη αποφάσεων Χρησιμοποιείται για ανάλυση δένδρου αποφάσεων στις κοινωνικές επιστήμες και στις επιχειρήσεις Το PROSPECTOR έμπειρο σύστημα χρησιμοποιεί Bayesian decision making. Χρησιμοποιήθηκε για να καθορίσει τις κατάλληλες περιοχές για εξόρυξη 22

23 Παράδειγμα Bayesian για λήψη No Oil P(O )=0.4 αποφάσεων Oil P(O)=0.6 Πιθανότητες Εκ των προτέρων Υποκειμενική γνώμη για τη θέση - P(Hi) -Test +Test -Test +Test P(- O ) P(+ O ) P(- O) P(+ O) =0.9 =0.1 =0.2 =0.8 Υπο συνθήκη Σεισμολογικά αποτελέσματα P(E Hi) P(-^O ) P(+^O ) P(-^O) =0.36 =0.04 =0.12 P(+^O) =0.48 Συνδυασμένη P(E^H)= P(E Hi) P(Hi) 23 Αρχικό δένδρο πιθανοτήτων για εύρεση πετρελαίου

24 Παράδειγμα Bayesian για λήψη αποφάσεων Πιθανότητες Χωρίς συνθήκη No Oil P(O -) =(.9)(.4)/0.48 =3/4 -Test P(-)=0.48 Oil P(O -) =(.2)(.6)/0.48 =1/4 +Test P(+)=0.52 No Oil P(O +) =(.1)(.4)/0.52 =1/13 Oil P(O +) =(.8)(.6)/0.52 =12/13 Εκ των υστέρων P(Hi E)= P(E Hi) P(Hi)/P(E) P(-^O ) P(-^O) P(+^O ) =0.36 =0.12 =0.04 P(+^O) =0.48 Συνδυασμένη P(E^H)= P(Hi E) P(E) Αναδιατεταγμένο δένδρο πιθανοτήτων για εξερεύνηση πετρελαίου 24

25 Παράδειγμα Bayesian για λήψη Εξερεύνηση πετρελαίου αποφάσεων πετρέλαιο, επιτυχή $1,250,000 έξοδα γεώτρησης -$200,000 Σεισμολογική έρευνα -$50,000 Το αναμενόμενο κέρδος είναι το ποσό που προκύπτει ακολουθώντας την ενδεικνυόμενη ενέργεια Εφαρμόζεται ανάστροφη επαγωγή (backward induction). Το αναμενόμενο κέρδος από ένα γεγονός-κόμβο είναι το άθροισμα των κερδών επί τις αντίστοιχες πιθανότητες 25

26 Παράδειγμα Bayesian Decision Making P(-)=0.48 A P(+)=0.52 Γεγονότα Αποτελέσματα + or - D Quit Drill Quit Drill E Ενέργεια Quit or Drill -$50, No Oil P(O -) =3/4 B Oil P(O -) =1/4 No Oil P(O +) =1/13 C Oil P(O +) =12/13 Γεγονός Oil or No Oil -$250,000 $1,000,000 -$50,000 -$250,000 $1,000,000 Κέρδος Αρχικό δένδρο απόφασης για εξερεύνηση πετρελαίου

27 Παράδειγμα Bayesian Decision Making P(-)=0.48 A $446,000 P(+)=0.52 Γεγονός Αποτελέσματα + or - -$50,000 D Quit Drill Quit Drill E $903,846 Ενέργεια Quit or Drill No Oil P(O -) =3/4 B $62,500 Oil P(O -) =1/4 No Oil P(O +) =1/13 C $903,846 Oil P(O +) =12/13 Γεγονός Oil or No Oil -$50,000 -$250,000 $1,000,000 -$50,000 -$250,000 $1,000,000 Κέρδος Πλήρες δένδρο απόφασης για εξερεύνηση χρησιμοποιώντας με αναστροφή επαγωγή 27

28 Παράδειγμα Bayesian Decision Making Το δένδρο απόφασης είναι ένα παράδειγμα υποθετικού συλλογισμού ή καταστάσεων Τι Εάν. Περιγράφει τη διαδρομή που οδηγεί στη βέλτιστη στρατηγική Περιγράφει πως η αβεβαιότητα αναπαράγεται διαμέσου ενός δένδρου και πως η πιθανότητα σε έναν κόμβο επηρεάζεται από τις πιθανότητες στους άλλους κόμβους 28

29 Πώς το MYCIN χειρίζεται την αβεβαιότητα Το MYCIN χρησιμοποιεί τους συντελεστές βεβαιότητας για να χειριστεί την αβεβαιότητα. Αυτό βέβαια δεν είναι το ίδιο με τη χρήση της θεωρίας πιθανοτήτων Θα θέλαμε να υπολογίσουμε P(di E) χρησιμοποιώντας υπο συνθήκη πιθανότητες P(di si). Ο νόμος του Bayes δίνει μια μέθοδο πως να το κάνουμε εάν Εάν γνωρίζουμε όλες τις P(si di) και 29 Υποτίθεται ανεξαρτησία για τον υπολογισμό των κοινών πιθανοτήτων των συμπτωμάτων

30 MYCIN βασισμένη σε κανόνες προσέγγιση Το MYCIN είναι βασισμένο σε κανόνες. Τα συμπεράσματα συνδέουν τις ενδείξεις με τις υποθέσεις που εκφράζονται ως κριτήρια απόφασης IF: Ο ασθενής έχει σημάδια και συμπτώματα s1 ^ ^sk και ισχύουν οι συνθήκες t1^ ^tm THEN: συμπεραίνουμε ότι ο ασθενής έχει την ασθένεια di με βεβαιότητα c. c ανήκει στο διάστημα [-1, +1] 30 Η τιμή 1 εκφράζει απόλυτη βεβαιότητα για το ψευδές της πρότασης. Η τιμή +1 απόλυτη βεβαιότητα για την αλήθεια της πρότασης. Η τιμή 0 εκφράζει άγνοια.

31 Συντελεστές βεβαιότητας Η ιδέα ήταν να χρησιμοποιηθούν κανόνες παραγωγής για να προσεγγίσουμε τον υπολογισμό της P(di s1 ^ ^sk) και να έχουμε μια προσέγγιση που να δείχνει αθροιστική απόδειξη. Αυτή η μέθοδος αντικατοπτρίζει τη διαδικασία συλλογισμού που ακολουθεί ένας ειδικός Εφαρμόζοντας έναν τέτοιο κανόνα το αποτέλεσμα είναι η συσχέτιση του βαθμού βεβαιότητας με ένα συμπέρασμα CF(di, s1^ ^sk ^ t1^ ^tm) = c * min (CF(s1),,CF(sk), CF(t1), CF(tm ) ) 31

32 Συντελεστές βεβαιότητας v Πρωτοεισήχθησαν στο έμπειρο σύστημα Mycin για να προσδώσουν κάποιο βαθμό βεβαιότητας στα συμπεράσματα των διαφόρων κανόνων if γεγονός then υποθετικό συμπέρασμα με βεβαιότητα CF v Εκτός από τη βεβαιότητα που συνοδεύει τον κανόνα, είναι δυνατό να ορισθούν τιμές βεβαιότητας και στην τιμή του γεγονότος του κανόνα: if πυρετός CF then γρίπη CF 0.8 Η τελική βεβαιότητα του κανόνα είναι το γινόμενο των βεβαιοτήτων: 0.7x0.8=0.56 v Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα γεγονότα στο αριστερό τμήμα του κανόνα τα οποία συνδέονται με AND (ή OR) τότε ως συντελεστής βεβαιότητας του αριστερού 32 τμήματος θεωρείται η μικρότερη (ή η μεγαλύτερη) τιμή CF

33 Συντελεστές βεβαιότητας v Αν η βεβαιότητα κάποιου υποθετικού συμπεράσματος είναι ήδη CF p και η ενεργοποίηση ενός άλλου κανόνα συνάγει το ίδιο υποθετικό συμπέρασμα με βεβαιότητα CF n, τότε η συνολική βεβαιότητα του υποθετικού συμπεράσματος καθορίζεται από τα πρόσημα των CF p και CF n βάσει των παρακάτω σχέσεων: q Αν CF p και CF n > 0, τότε: CF = CF p +CF n (1-CF p ) = CF p +CF n CF n CF p q Αν CF p και CF n < 0, τότε: CF = CF p +CF n (1+CF p ) = CF p +CF n +CF n CF p q Αν CF p και CF n ετερόσημα, τότε: Συμπερασματικά: Παρακάμπτεται το πρόβλημα του υπολογισμού όλων των απλών και των υπό συνθήκη πιθανοτήτων που απαιτεί η χρήση του νόμου του Bayes. Αντί για συχνότητες εμφάνισης γεγονότων που πρέπει να μετρηθούν, χρησιμοποιούνται συντελεστές βεβαιότητας που έχουν εκτιμηθεί από ειδικούς. Οι υπολογισμοί κατά το συνδυασμό βεβαιοτήτων είναι απλούστεροι, λόγω της παραδοχής της ανεξαρτησίας των γεγονότων. Πρέπει να αποφεύγεται η ταυτόχρονη χρήση κανόνων που αναστρέφουν τη σχέση αιτίας-αποτελέσματος. Π.χ. if A then B και if Β then Α 33

34 Συντελεστές βεβαιότητας Για να υπολογιστούν οι συντελεστές βεβαιότητας χρησιμοποιείται μόνο η πληροφορία από τον κανόνα. Προκειμένου να χρησιμοποιηθεί η αθροιστική απόδειξη, όταν εξαρτάται από τμηματικές αποδείξεις τις βάζουμε όλες μαζί σε έναν κανόνα από το να έχουμε πολλαπλούς κανόνες Όταν υπάρχει εξάρτηση από δύο αποδείξεις E1 & E2 θα μπορούσαν να μπούνε σε έναν κανόνα If E1 and E2, then H με βεβαιότητα c από το να έχουμε δύο κανόνες If E1, then H με βεβαιότητα c If E2, then H με βεβαιότητα c 34

35 MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Οι συνθήκες ενός κανόνα μπορεί να ικανοποιούνται με ποικίλους βαθμούς βεβαιότητας If η συνθήκη 1 ισχύει με βεβαιότητα x1 και η συνθήκη m ισχύει με βεβαιότητα xm Then προκύπτει το συμπέρασμα 1 με βεβαιότητα y1 και το συμπέρασμα n με βεβαιότητα yn Όπου η βεβαιότητα που είναι συσχετισμένη με κάθε συμπέρασμα είναι μια συνάρτηση των συνδυασμένων βεβαιοτήτων. 35

36 MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Τα ακόλουθα δεδομένα αποθηκεύονται σε μια δομή εγγραφών που συσχετίζεται με τον κόμβο για τον ORGANISM-1 GRAM = (GRAMNEG 1.0) MORPH = (ROD.8) (COCCUS.2) AIR = (AEROBIC.6) 36

37 MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Για να υπολογίσουμε τη βεβαιότητα και από τις 3 συνθήκες του ακόλουθου κανόνα που ικανοποιούνται από τα τα δεδομένα: IF 1) the stain of the organism is gramneg, and 2) the morphology of the organism is rod, and 3) the aerobicity of the organism is aerobic THEN υπάρχει μια ισχυρή ένδειξη (0.8) ότι η τάξη του μικροοργανισμού είναι enterobacteriaceae. Η βεβαιότητα ότι οι ανεξάρτητες συνθήκες ισχύουν είναι 1.0, 0.8, & 0.6 αντίστοιχα. Η βεβαιότητα του συνδυασμού τους παίρνεται από τη μικρότερη των ανεξάρτητων βεβαιοτήτων

38 MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Το συμπέρασμα είναι ότι η οικογένεια του μικροοργανισμού είναι enterobacteriaceae με έναν βαθμό βεβαιότητας ίσο με 0.6 * 0.8 = 0.48 Η 0.6 εκφράζει το βαθμό βεβαιότητας των συνδυασμένων συνθηκών, ενώ η τιμή 0.8 εκφράζει το βαθμό βεβαιότητας στην εφαρμογή του κανόνα. Αυτοί οι βαθμοί βεβαιότητας ονομάζονται συντελεστές βεβαιότητας (CFs). Στη γενική περίπτωση, CF(ενέργεια) = CF(υπόθεση) * CF(κανόνας) 38

39 Συντελεστές βεβαιότητας σε σχέση με τις υπο συνθήκη πιθανότητες Οι Συντελεστές βεβαιότητας CF συσχετίζονται με μια υπόθεση που δεν ανταποκρίνεται με την πιθανότητα της υπόθεση που δίνει δεδομένου των ενδείξεων, εάν χρησιμοποιήσετε το απλό πιθανοτικό μοντέλο του νόμου του Bayes. Δυο υποθέσεις κατατάσσονται σε μια διάταξη χρησιμοποιώντας τους συντελεστές βεβαιότητας σε αντίστροφη σειρά χρησιμοποιώντας τις υποσυνθήκη πιθανότητές τους 39

40 Συντελεστές βεβαιότητας σε σχέση με τις υπο συνθήκη πιθανότητες Το μοντέλο του MYCIN υποθέτει ότι η πεποίθησή μας για μια συνδυασμένη υπόθεση d1^d2 όσο είναι μεγαλύτερη είναι η πεποίθησή μας για μικρότερη υπόθεση Ενώ ο βαθμός της αρνητικής πεποίθησης θα έπρεπε να είναι τόσο μεγαλύτερη όσο συσχετίζεται με ισχυρότερη υπόθεση Αυτό υποθέτει ότι d1 και d2 είναι ανεξάρτητες. Εάν είναι αμοιβαία αποκλεισμένοι τότε P(d1^d2 e) = 0 ανεξάρτητα από τους βαθμούς της πεποίθησής μας για τα d1 ή d2. 40

41 Χρήση των Συντελεστών βεβαιότητας Οι συντελεστές βεβαιότητας CFs χρησιμοποιούνται στο MYCIN για να Καθοδηγούν το πρόγραμμα στο συλλογισμό του Έτσι ώστε ο υπάρχον στόχος να είναι περιορισμένος στο χώρο αναζήτησης εάν οι συντελεστές βεβαιότητας ανήκουν στο διάστημα [0.2, -0.2] Για να αξιολογήσουν τις υποθέσεις μετά από τη θεώρηση των ενδείξεων Αυτό θα μπορούσε να μην δίνει την ίδια αξιολόγηση εάν χρησιμοποιούνταν υπο συνθήκη πιθανότητες 41

42 Επιτυχία του MYCIN Το MYCIN ήταν επιτυχημένο παρά όλες τις κριτικές επειδή Οι διαδικασίες συλλογισμού ήταν μικρές Οι υποθέσεις ήταν απλές Τα προβλήματα του MYCIN έδειξαν την δυσκολία δημιουργίας ενός χρήσιμου συστήματος βασισμένου σε μη λεπτομερείς συλλογισμούς δεν ήταν απλά ένα υποσύνολο της θεωρίας πιθανοτήτων 42

43 Δίκτυα Πιθανοτήτων (Bayesian Probability Networks) v Αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης των πιθανοτήτων που εμφανίζεται όταν ο χειρισμός της αβεβαιότητας γίνεται αυστηρά κατά Bayes. v Βασίζονται στην παρατήρηση ότι στον πραγματικό κόσμο τα διάφορα γεγονότα δεν αλληλεπιδρούν όλα το ένα με το άλλο αλλά μερικώς. Δηλαδή μπορεί να οριστούν ομάδες από γεγονότα που αλληλεπιδρούν, δηλαδή δεν είναι απαραίτητο να υπολογίζονται οι πιθανότητες όλων των συνδυασμών γεγονότων. Κανόνες στα δίκτυα πιθανοτήτων: if γεγονός then υποθετικό συμπέρασμα q Διασυνδέονται μεταξύ τους με το υποθετικό συμπέρασμα του ενός να αποτελεί το γεγονός κάποιου άλλου. q Δύο ή περισσότεροι κανόνες μπορεί να καταλήγουν στο ίδιο υποθετικό συμπέρασμα κάτω όμως από διαφορετικές παραδοχές. q43 Απαγορεύεται η ύπαρξη βρόχων μέσα στο δίκτυο.

44 Δίκτυα Πιθανοτήτων (Bayesian Probability Networks) Ειδικός μηχανισμός επιτρέπει την αλλαγή της ροής της πληροφορίας (πιθανοτήτων) στο δίκτυο των κανόνων, χωρίς όμως να γίνεται ταυτόχρονη χρήση κανόνων που αντιστρέφουν την σχέση αιτίας-αποτελέσματος. 44

45 Δ Δίκτυα Συμπερασμού (Inference Networks) Παραλλαγή των δικτύων πιθανοτήτων. v Οι κανόνες υποδηλώνουν μία "χαλαρή" συνεπαγωγή: i if γεγονός then υποθετικό συμπέρασμα με βαθμό ισχύος S Μία περίπτωση υλοποίησης Δικτύων Συμπερασμού είναι με τη χρήση των μεγεθών της λογικής επάρκειας και της λογικής αναγκαιότητας σε συνδυασμό με την ποσότητα εύνοια γεγονότος. q Εύνοια Γεγονότος (Odds - Ο): ΕΕκφράζει τη σύγκριση μεταξύ πιθανοτήτων να συμβεί και να μην συμβεί ένα γεγονός. q Λογική Επάρκεια (Logical Sufficiency LS): Εκφράζει πόσο πιθανότερο είναι να συνδεθεί ένα γεγονός Ε με Pτην αλήθεια ενός υποθετικού συμπεράσματος Η, παρά με την άρνηση του Η (συμβολίζεται E O E Η) 1 P E q Λογική Αναγκαιότητα (Logical Necessity LN) Εκφράζει το πόσο πιθανότερο είναι να συνδεθεί η απουσία ενός γεγονότος Ε με την αλήθεια του PE H OH E υποθετικού συμπεράσματος Η παρά με την άρνηση του Η. LS P E H OH LN P P E H E H O H OH E 45

46 Δίκτυα Συμπερασμού (Inference Networks) Στα δίκτυα συμπερασμού οι κανόνες περιέχουν και αρχικές τιμές πιθανότητας. Η γενική μορφή τους είναι: E ( LS, LN ) H P H o ( ) P o (H) είναι η πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα Η όταν απουσιάζει οποιασδήποτε ένδειξη για την ισχύ του γεγονότος Ε. Αν κατά τη διάρκεια του συμπερασμού γίνει γνωστή η ύπαρξη του γεγονότος Ε τότε και η πιθανότητα του Η αλλάζει σε P(H E). Ο βαθμός αλλαγής καθορίζεται από το βαθμό ισχύος του κανόνα, δηλαδή τις τιμές LS, LN. Όλες οι αλλαγές προωθούνται μέσα στο δίκτυο των κανόνων από κόμβο σε κόμβο, ανάλογα και με τις συσχετίσεις που υπάρχουν. 46

47 Παράδειγμα Δικτύου Συμπερασμού (Inference Networks) X Y ( LS14, LN10.5 ) ( LS, LN ) p ( Y ) Z o p ( ) 0.2 o P o (Y) και P o (Z) είναι οι αρχικές τιμές πιθανότητας για τα Υ και Ζ αντίστοιχα, χωρίς να υπάρχει οποιασδήποτε γνώση για το Χ. Έστω ότι η τιμή του Χ γίνεται γνωστή. Μετά από πράξεις, η τελική μορφή του δικτύου: 47 X Y ( LS14, LN10.5 ) ( LS, LN ) P( Y X ) P Y 0.1 Y P Y O Y X LS1 OY 4* P Y/X P Y/X 1 PY/X O * Z Z P( Z X ) 0.252

48 Προσέγγιση Dempster-Shafer Βασίζεται σε λογισμό με αριθμητικές τιμές πεποίθησης (belief), δηλαδή πίστης για την ισχύ κάποιου υποθετικού συμπεράσματος για το οποίο υπάρχουν κάποιες ενδείξεις (γεγονότα). Δεν απαιτείται η συλλογή όλων των απλών και των υπό συνθήκη πιθανοτήτων. 48

49 Προσέγγιση Dempster-Shafer Βασικά Στοιχεία v Πλαίσιο διάκρισης (frame of discernment): το σύνολο U των διακριτών και αμοιβαία αποκλειόμενων προτάσεων ενός τομέα γνώσης. π.χ. αν εξετάζεται η ασθένεια κάποιου, το U αντιπροσωπεύει όλες τις πιθανές διαγνώσεις, δηλαδή τα υποθετικά συμπεράσματα. v Pow(U): Το σύνολο των υποσυνόλων του U (δυναμοσύνολο) Αν U={A, B, C} είναι το σύνολο των πιθανών ασθενειών τότε το σύνολο: Pow(U) = { {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} } υποδηλώνει τις πιθανές διαγνώσεις για μια περίπτωση ασθένειας. q Κάθε στοιχείο του Pow(U) αντιστοιχεί σε διαζευγμένες προτάσεις. Π.χ. {Α, Β} σημαίνει "ασθένεια Α ή Β". q Στοιχεία του U που δεν ανήκουν σε ένα στοιχείο του Pow(U), (π.χ. η ασθένεια C στο {Α, Β}), κάνουν σαφή την άρνηση του αντίστοιχου υποθετικού συμπεράσματος. q Το κενό υποσύνολο {} αντιστοιχεί στην περίπτωση που όλα τα υποθετικά συμπεράσματα είναι ψευδή (null hypothesis). 49

50 ΠΠροσέγγιση Dempster-Shafer v Η βασική κατανομή πιθανότητας (basic probability assignment - bpa) είναι μία απεικόνιση: m: Pow(U) [0,1] δηλαδή το μέτρο της πεποίθησης που υπάρχει για το κατά πόσο ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα που εκφράζεται με το συγκεκριμένο στοιχείο του U. q Υποκειμενική ποσότητα που δε μοιράζεται στα επιμέρους στοιχεία κάθε στοιχείου του Pow(U). q Π.χ. αν m({a, B})=0.3, τότε αυτή η πεποίθηση δε μοιράζεται στα {Α} και {Β} αλλά αφορά το {Α, Β}. q Για το στοιχείο {} ισχύει m({})=0 q Δεδομένου ότι το αληθές υποθετικό συμπέρασμα βρίσκεται κάπου μέσα στα στοιχεία του Pow(U), ισχύει: q Η ποσότητα m(x) εκφράζει το πόσο ισχυρή είναι η πεποίθηση για το ότι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του U ανήκει στο X αλλά όχι σε κάποιο από τα τυχόν υποσύνολα του X. v Η συνολική πεποίθηση (belief) ότι ένα στοιχείο του U ανήκει στο Χ καθώς και στα τυχόν υποσύνολα του Χ συμβολίζεται με Bel(X) XPow ( ) 1 ( U m X ) 50 Bel ( X ) m( Y) Y X

51 Προσέγγιση Dempster-Shafer Αν m 1 και m 2 δύο ανεξάρτητες εκτιμήσεις (βασικές κατανομές πιθανότητας) που αποδίδουν κάποιο βαθμό πεποίθησης στα στοιχεία του Pow(U), τότε αυτές συνδυάζονται σε μία τρίτη εκτίμηση m 3 =m 1 m 2 με τρόπο που ορίζεται με τον κανόνα D-S: m (A) m m (A) APow U ) 1 (X) X, YU:XY A 1 2 (Y) ( (X) ( Y) m m m m X, YU:XY

Κεφάλαιο 13. Αβεβαιότητα. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 13. Αβεβαιότητα. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 13 Αβεβαιότητα Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κυριότερες πηγές αβεβαιότητας: Αβέβαιη Γνώση Ανακριβή δεδοµένα (imprecise data).

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αβεβαιότητα Με τον όρο αβεβαιότητα (uncertainty) εννοείται η έλλειψη ακριβούς

Διαβάστε περισσότερα

Αβέβαιη Γνώση. Κυριότερες πηγές αβεβαιότητας:

Αβέβαιη Γνώση. Κυριότερες πηγές αβεβαιότητας: Αβεβαιότητα Σε πολλές εφαρμογές θα πρέπει να λυθούν προβλήματα χρησιμοποιώντας όχι πλήρη, λεπτομερή και επακριβή δεδομένα Η Αβεβαιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη ικανοποιητικής πληροφορίας να φθάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα

Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα Στα προβλήματα του πραγματικού κόσμου οι αποφάσεις συνήθως λαμβάνονται υπό αβεβαιότητα (uncertainty), δηλαδή έλλειψη επαρκούς πληροφορίας. Οι κυριότερες πηγές αβεβαιότητας είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι Ροµ οτικοί Πράκτορες Αβεβαιότητα Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Πράκτορες χαρακτηριστικά στοιχεία είδη πρακτόρων αυτόνοµοι

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (# 252) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ 9 η ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΛΙΓΗ ΘΕΩΡΙΑ Στην προηγούμενη διάλεξη μάθαμε ότι υπάρχουν διάφορες μορφές έρευνας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic)

Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic) Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic) Ασάφεια: έννοια που σχετίζεται με την ποσοτικοποίηση της πληροφορίας και οφείλεται κυρίως σε μη-ακριβή (imprecise) δεδομένα. Π.χ. "Ο Νίκος είναι ψηλός": δεν προσδιορίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 24. Κατηγοριοποίηση. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 24. Κατηγοριοποίηση. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 24 Κατηγοριοποίηση Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κατηγοριοποίηση Προσδιορισµός της κατηγορίας στην οποία ανήκει ένα αντικείµενο.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Στατιστική

Αναλυτική Στατιστική Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση: γιατί;

Μηχανική Μάθηση: γιατί; Μηχανική Μάθηση Μηχανική Μάθηση: γιατί; Απαραίτητη για να μπορεί ο πράκτορας να ανταπεξέρχεται σε άγνωστα περιβάλλοντα Δεν είναι δυνατόν ο σχεδιαστής να προβλέψει όλα τα ενδεχόμενα περιβάλλοντα. Χρήσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Αβεβαιότητα Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Δράση υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια σημεία. Η έννοια του μοντέλου. Έρευνα στην εφαρμοσμένη Στατιστική. ΈρευναστηΜαθηματικήΣτατιστική. Αντικείμενο της Μαθηματικής Στατιστικής

Κύρια σημεία. Η έννοια του μοντέλου. Έρευνα στην εφαρμοσμένη Στατιστική. ΈρευναστηΜαθηματικήΣτατιστική. Αντικείμενο της Μαθηματικής Στατιστικής Κύρια σημεία Ερευνητική Μεθοδολογία και Μαθηματική Στατιστική Απόστολος Μπουρνέτας Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Αναζήτηση ερευνητικού θέματος Εισαγωγή στην έρευνα Ολοκλήρωση ερευνητικής εργασίας Ο ρόλος των

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Πιθανοτική Συλλογιστική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Αβεβαιότητα πεποιθήσεων πράκτορας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Ανάλυση Διακριτών Επιλογών

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Ανάλυση Διακριτών Επιλογών Ανάλυση Διακριτών Επιλογών Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος Πάτρα, 2017 Περιεχόμενα Αθροιστικά μοντέλα Εξατομικευμένα μοντέλα Μοντέλα Διακριτών Μεταβλητών Θεωρία Μεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Αθήνας Μεθοδολογία της έρευνας και Ιατρική στατιστική

ΤΕΙ Αθήνας Μεθοδολογία της έρευνας και Ιατρική στατιστική ΤΕΙ Αθήνας Μεθοδολογία της έρευνας και Ιατρική στατιστική Ενότητα 3: Έλεγχοι υποθέσεων - Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Οι ερευνητικές υποθέσεις Στην έρευνα ελέγχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο. Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα;

Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο. Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Χωρίς να αλλάξουμε τον τύπο των a,b,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams Αλέκα Σεληνιωτάκη Ηράκλειο, 26/06/12 aseliniotaki@csd.uoc.gr ΑΜ: 703 1. Περίληψη Συνεισφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανολογική Ανάλυση Αποφάσεων. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Πιθανολογική Ανάλυση Αποφάσεων. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Πιθανολογική Ανάλυση Αποφάσεων Αβεβαιότητα Known knowns Ποσοτικοποιήσιμη Πιθανότητα Known unknowns Εκτίμηση ενδεχομένου Unknown unknowns Αρνητική επίδραση Ρίσκο Black Swan Πιθανολογική Προσέγγιση Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 8 Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αναπαράσταση Γνώσης Σύνολο συντακτικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Έλεγχοι Υποθέσεων Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Ενότητα 2: Έλεγχοι Υποθέσεων Διαστήματα Εμπιστοσύνης ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 2: Έλεγχοι Υποθέσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Μάθημα 5 ο Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2016-2017 Διευρυμένη Υπολογιστική Νοημοσύνη (ΥΝ) Επεκτάσεις της Κλασικής ΥΝ. Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Rule Based systems Συστήματα Βασισμένα σε κανόνες

Rule Based systems Συστήματα Βασισμένα σε κανόνες Rule Based systems Συστήματα Βασισμένα σε κανόνες Τμήματα ενός έμπειρου συστήματος βασισμένου σε κανόνες Βάση Γνώσης (Κανόνες) Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Χώρος Εργασίας (Γεγονότα) Μηχανισμός Επεξήγησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη

Πληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη Πληροφορική 2 Τεχνητή νοημοσύνη 1 2 Τι είναι τεχνητή νοημοσύνη; Τεχνητή νοημοσύνη (AI=Artificial Intelligence) είναι η μελέτη προγραμματισμένων συστημάτων τα οποία μπορούν να προσομοιώνουν μέχρι κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών

Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών Στο data file Worldsales.sav (αρχείο υποθετικών πωλήσεων ανά ήπειρο και προϊόν) Analyze Descriptive Statistics Frequencies Επιλογή μεταβλητής Revenue Πατάμε στο

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική Ι. Δείκτες αξιολόγησης διαγνωστικών μεθόδων Θετική-Αρνητική Διαγνωστική Αξία ROC καμπύλες

Βιοστατιστική Ι. Δείκτες αξιολόγησης διαγνωστικών μεθόδων Θετική-Αρνητική Διαγνωστική Αξία ROC καμπύλες Βιοστατιστική Ι Δείκτες αξιολόγησης διαγνωστικών μεθόδων Θετική-Αρνητική Διαγνωστική Αξία ROC καμπύλες Διαγνωστικές εξετάσεις Κλινικές ή εργαστηριακές Αναγνώριση ατόμου ως πάσχον από ένα νόσημα πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Πολυκριτήρια Ανάλυση Αποφάσεων

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Πολυκριτήρια Ανάλυση Αποφάσεων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες. Χρησιμότητα Πιθανότητα Προσδοκώμενο κέρδος Δένδρα αποφάσεων Ανάλυση ευαισθησίας Πιθανότητα υπό όρους Μεταβλητές κατάστασης

Βασικές έννοιες. Χρησιμότητα Πιθανότητα Προσδοκώμενο κέρδος Δένδρα αποφάσεων Ανάλυση ευαισθησίας Πιθανότητα υπό όρους Μεταβλητές κατάστασης Ανάλυση αποφάσεων Βασικές έννοιες Χρησιμότητα Πιθανότητα Προσδοκώμενο κέρδος Δένδρα αποφάσεων Ανάλυση ευαισθησίας Πιθανότητα υπό όρους Μεταβλητές κατάστασης Χρησιμότητα - Utility Επιτρέπει την σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Οικονόμου Παναγιώτης.

Οικονόμου Παναγιώτης. Οικονόμου Παναγιώτης panawths@gmail.com poikonomou@teilam.gr Οικονόμου Παναγιώτης 1 Παπαγεωργίου. 2 Αθήνα-Ελλάδα χρόνου 460 π.χ.? Ένας νεαρός άνδρας σκεπτόμενος το ενδεχόμενο γάμου, ζητά από τον Σωκράτη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

AYTONOMOI ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ

AYTONOMOI ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ AYTONOMOI ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ 2012-2013 ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΑΜ: 2007030001 ΑΚΡΙΒΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ BAYES ΣΕ ΑΡΘΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη συγκεκριμένη εργασία προσπαθήσαμε να στήσουμε ένα δίκτυο Bayes διακριτών

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Ποιότητας Έργων 2 η Διάλεξη. Μεταπτυχιακό πρόγραμμα στη Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων

Διοίκηση Ποιότητας Έργων 2 η Διάλεξη. Μεταπτυχιακό πρόγραμμα στη Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων 1 Διοίκηση Ποιότητας Έργων 2 η Διάλεξη Μεταπτυχιακό πρόγραμμα στη Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων 2 Περιεχόμενα της 2 ης Διάλεξης Στοιχεία και Τεχνικές Ποιοτικού Ελέγχου Σύνοψη Διακύμανση και Ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για τη συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Μάθημα 6 ο Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2017-2018 Διευρυμένη Υπολογιστική Νοημοσύνη (ΥΝ) Επεκτάσεις της Κλασικής ΥΝ. Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα

Διαβάστε περισσότερα