LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE"

Transcript

1 LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE Ime i prezime: Broj indeksa:

2 UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka sa radom pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku opisa svake vežbe nalazi se teorijski uvod sa kojim studenti moraju biti upoznati tokom izrade vežbe. 3. Prilikom merenja pratiti redosled stavki u uputstvu, a za sve nejasnoće obratiti se predmetnom asistentu. 4. Izmereni podaci, izračunate vrednosti i grafici se popunjavaju u prostoru namenjenom u te svrhe u ovom priručniku. 5. U tabelama se pored kolona u kojima se beleže izmereni podaci, popunjavaju i kolone u kojima se unose srednja vrednost i greške merenja. Neka su izmerene vrednosti v = 0 ms, v =. 4 ms, v 3 = ms, v 4 =. 33 ms, v 5 = ms. Srednja vrednost se računa: v + v + v3 + v4 + v v sr = = =.096 ms broj merenja 5 U narednoj koloni se upisuju vrednosti apsolutnih grešaka Δ v, tj. razlike izmerenih vrednosti i srednje vrednosti: Δv = v v =.096 ms Δv Δv Δv Δv = v = v 3 = v = v 4 5 sr v v v v sr sr sr sr = ms =.34 ms = ms =.346 ms U sledećoj koloni upisuje se relativna ili procentualna greška δ v(%). Relativna greška predstavlja odnos apsolutnih grešaka sa srednjom vrednošću predstavljen u procentima: Δv Δv Δv3 δ v = 00% = 9.88 %, δ v = 00% =.74 %, δ v3 = 00% =.3 %, v v v sr Δv4 Δv5 δ v4 = 00% =. %, δ v5 = 00% = 8.5 %. v v sr sr sr sr U poslednjoj koloni se upisuje standardna devijacija σ : σ v = ± ( Δv ) + ( Δv ) + ( Δv ) + ( Δv ) + ( Δv ) 3 broj merenja 4 5 = = (.096) (.346) =.67 ms

3 3 Kada su završena merenja i računanja popunjena tabela treba da izgleda ovako: R. broj v ( ms ) v sr ( ms ) Δv ( ms ) δ (%) σ ( ms ) Na kraju, u prostoru predvidjenom za to, se upisuju izračunate vrednosti: v = v ± ms =.096 ±.67 ms ( ) ( ) sr σ v VAŽNE NAPOMENE:. Prilikom bilo kakvog računanja neophodno je dimenzije (jedinice) izmerenih vrednosti prebaciti u osnovne, tj. minute u sekunde, grame u kilograme itd.. Nakon što je vežba odrađena i izračunati su svi potrebni podaci, vežba se podnosi predmetnom asistentu na pregled. Tek kada asistent proveri rezultate i overi vežbu, smatra se da je student uspešno završio vežbu. 3. Neophodno je da student overi svih šest vežbi kako bi u indeksu dobio potpis predmetnog asistenta. 4. Bez odrađenih vežbi i potpisa predmetnog asistenta u indeksu ne može se izaći na polaganje ispita iz Fizike! v v

4 4. VEŽBA a) ODREĐIVANJE UBRZANJA ZEMLJINE TEŽE POMOĆU MATEMATIČKOG KLATNA Teorijski uvod Sva tela koja padaju sa relativno male visine u odnosu na površinu Zemlje kreću se, ako se zanemari trenje vazduha, konstantnim ubrzanjem g. Ovo ubrzanje je poznato pod nazivom ubrzanje Zemljine teže ili gravitaciono ubrzanje. Sila koja izaziva ovo ubrzanje naziva se sila teže, težina tela ili sila gravitacije i može se izraziti r r r r na sledeći način Q = mg. Vektori Q i g imaju isti pravac i smer i orijentisani su prema centru Zemlje. Pod matematičkim klatnom se podrazumeva telo zanemarljive mase i dimenzija obešeno o neistegljivu nit, koje može da osciluje pod dejstvom sile Zemljine teže. Period oscilovanja metematičkog klatna izračunava se po obrascu l T = π, g gde je l dužina klatna, a g ubrzanje Zemljine teže. Iz ovog izraza dobija se da ubrzanje Zemljine teže iznosi l g = 4π, T odakle se može uočiti linearna zavisnost između dužine klatna i kvadrata perioda oscilovanja klatna. Uputstvo za rad:. Izmeriti rastojanje od vrha konca do vrha gornje tangencijalne površine kuglice (l ) i rastojanje od vrha konca do donje tangencijalne površine (l ). Naći srednju vrednost l i l kao l = ( l + l ) / i nju koristiti u daljem radu.. Izvesti kuglicu iz ravnotežnog položaja (voditi računa da se ne jave eliptične oscilacije klatna) i meriti τ - vreme trajanja 30 oscilacija. 3. Postupak ponoviti 5 puta za različite vrednosti broja oscilacija (između 30 i 50). l 4. Izračunati ubrzanje Zemljine teže pomoću obrasca g = 4π u koji treba T zameniti vrednosti perioda oscilovanja matematičkog klatna koje se izračunavaju korišćenjem obrasca T = τ n, gde je τ - vreme za koje telo izvrši n oscilacija i n - broj oscilacija. Dobijene podatke uneti u tabelu. Iznad tabele napisati vrednost dužine klatna l.

5 5 l = m Red. br. merenja n τ (s) T (s) (m/s g ) g (m/s ) sr ) Δ g (m/s δ (%) σ (m/s g ) g g = ( g ± ) ms = ( ± ) ms sr σ g 5. Postupak iz tačaka. i. ponoviti za 5 različitih dužina klatna i podatke uneti u tabelu: Za n = 30 Red. br. merenja l (cm) l (cm) l (cm) τ (s) T (s ) a zatim naći ubrzanje Zemljine teže sa grafika l = f (T ), B O nacrtanim pomoću podataka iz prethodne tabele, A T (s)

6 6 O T (s) pri čemu se za izračunavanje ubrzanja Zemljine teže koristi sledeća radna formula: l OB g = 4π = 4π = cms. T OA

7 7 b) ODREĐIVANJE JUNGOVOG MODULA ELASTIČNOSTI ŽICE Teorijski uvod Sva tela pod uticajem sila, pored promene brzine, mogu promeniti svoj oblik i dimenzije, tj. mogu se deformisati. Deformacije mogu biti potpuno elastične i potpuno plastične. Potpuno elastična deformacija je ona kod koje se po prestanku dejstva sile telo vraća u prvobitni oblik i dimenzije. Ako to nije slučaj, deformacija je potpuno plastična. Realna tela su negde između ova dva granična slučaja. Eksperimentalno je pokazano da je kod elastičnih tela napon (količnik sile i površine na koju ona deluje) - σ proporcionalan relativnoj deformaciji - δ σ = Eδ, odnosno F S Δl = E, l gde je F sila koja deluje normalno na poprečni presek žice, S površina poprečnog preseka žice, l dužina žice, Δ l povećanje dužine žice prilikom istezanja (apsolutno istezanje žice). Koeficijent proporcionalnosti E naziva se modul elastičnosti i njegova vrednost zavisi od vrste materijala, a navedeni izraz predstavlja matematički oblik Hukovog zakona za elastičnu deformaciju tela. Ovaj zakon se može predstaviti i u obliku: Δ l = kf, gde je k koeficijent koji zavisi od vrste materijala, prečnika i dužine žice, pa se za Jungov modul elastičnosti dobija: F l l E = =, S Δl S k pri čemu za žicu prečnika d i dužine l, opterećenu tegom mase m, sila iznosi F = mg, a površina poprečnog preseka S = πd 4. Uputstvo za rad: a) Izmeriti metrom dužinu žice - l od tačke A do tačke B, kada je o kuku () okačen samo teg za početno zatezanje žice (3). Na slici je prikazan uređaj za određivanje modula elastičnosti žice. b) Mikrometarskim zavrtnjem izmeriti prečnik žice - d ( d = 0. 5 mm ).

8 8 LEGENDA: - metalna žica - kuka za kačenje tegova 3- teg za zatezanje žice (500 g) 4- komparator 5- disk 6- zavrtanj za fiksiranje komparatora A- tačka učvršćenja žice B- tačka oslanjanja Merenje Δ l i određivanje k : a) O teg (3) okačiti najmanji teg, sačekati par minuta, a zatim očitati pokazivanje komparatora, odnosno apsolutno istezanje žice. Na isti način odrediti apsolutno istezanje i za druga, veća opterećenja. Izvršiti 5 ovakvih merenja. Na raspolaganju su tegovi masa 50, 500 i 000 g. Izmerene vrednosti uneti u tabelu: r. br. m (kg) F (N) Δ l (m) 3 4 5

9 b) Na osnovu dobijenih rezultata nacrtati grafik l = f ( F ) težina tega po modelu Δ, gde je F = mg 9 B O A F (N) i odrediti koeficijent pravca k tako dobijene prave. Koristeći vrednosti iz tabele nacrtati grafik: O F (N)

10 0 c) Na osnovu tako određene vrednosti koeficijenta k, izračunati Jungov modul elastičnosti E po obrascu: l l l OA E = = = = Nm. S k S tgα S OB

11 . VEŽBA a) ODREĐIVANJE MOMENTA INERCIJE TELA POMOĆU TORZIONOG KLATNA Teorijski uvod Moment inercije tela je veličina koja ima isti fizički smisao pri rotacionom kretanju kao masa pri translatornom. Dakle, što je veća vrednost momenta inercije tela, isto telo će biti teže zarotirano (što je veća masa tela, teže će biti pokrenuto). Međutim, kretanje tela koje rotira zavisi ne samo od njegove mase, već i od rasporeda mase tela u odnosu na osu rotacije. Ako je telo homogeno (gustina tela je ista u svakom njegovom delu), moment inercije se može izračunati pomoću formule: I = r dm = r ρdv, gde je r-rastojanje od ose rotacije, ρ -gustina tela, dm-elemenat mase i dv-elemenat zapremine. Gore navedena formula se može iskoristiti za izračunavanje momenta inercije homogenih tela pravilnog oblika. U narednoj tabeli se mogu videti neke vrednosti momenata inercije izračunatih kada se osa rotacije preklapa sa težišnom osom datih tela: disk, cilindar I = mr sfera I = mr 5 prsten I = mr Dosadašnja razmatranja su važila kada se osa rotacije poklapa sa težišnom osom tela koje rotira. Međutim, kada telo rotira oko bilo koje ose da bi se izračunao moment inercije tela mora se primeniti Štajnerova teorema: Moment inercije tela oko neke ose jednak je zbiru momenta inercije tela oko paralelne ose koja prolazi kroz centar mase ( I 0 ) i proizvodu mase tela i kvadrata rastojanja među dvema osama ( md ). I = I 0 + md. Na kraju, ako je telo nepravilnog oblika, moment inercije je teško izračunati, a ponekad i nemoguće, pa se moment inercije tada odredjuje eksperimentalno.

12 a) Određivanje torzione konstante žice. Prečnik cilindričnog tega iznosi d = 4, cm.. Na donji kraj žice koja visi sa vrha drvenog rama pričvrstiti cilindrični teg pomoću zavrtnja. Kazaljka cilindričnog tega treba da bude okrenuta prema posmatraču. 3. Oko cilindričnog tega omotati nekoliko puta konac sa tasovima i krajeve prebaciti preko kotura. 4. Tasove opteretiti tegovima od po 0 g. Dolazi do pomeranja cilindra. Na gornjem kraju drvenog rama nalazi se pokretni crni točak sa graduisanom skalom. Pomeranjem točka dovesti kazaljke do ponovnog poklapanja i očitati položaj na skali. Očitana vrednost na skali predstavlja ugao upredanja α. 5. Merenje ponoviti sa vrednostima tegova: 0, 30, 50, 60, 80 i 00 g, a rezultate uneti u tabelu: Redni broj m (g) α ( 0 ) Q = mg (N) g = 9. 8 ms -ubrzanje Zemljine teže. Na osnovu tabele nacrtati grafik α = f ( Q ), i sa njega odrediti torzionu konstantu žice. M c = α Qd = α [rad] 80 = π o Qd α [ o ] o 80 d = π OA. OB

13 3 b) Određivanje momenta inercije tela c = Nm.. Skinuti cilindrični teg i tasove i na donji kraj žice pričvrstiti pomoću zavrtnja priloženo telo nepravilnog oblika, čiji moment inercije treba odrediti.. Telo izvesti iz ravnotežnog položaja pomoću točka na ramu i hronometrom izmeriti vreme trajanja 30 oscilacija. Merenje ponoviti 5 puta. Znajući torzionu konstantu žice c (koja je određena u prvom delu vežbe) i period oscilovanja T, odrediti moment inercije priloženog tela I: ct I =. 4π R.br τ ( ) T = τ 30 / 30 ( s) I ( kgm ) I sr ( kgm ) Δ I ( kgm ) δ (%) ( kgm ) s ( ) kgm I = ±. I σ I

14 4 b) ODREDJIVANJE MOMENTA INERCIJE TELA PRIMENOM ŠTAJNEROVE TEOREME Uputstvo za rad: LEGENDA: - nožice za nivelaciju postolja, - postolje, 3- stezač, 4- metalna žica, 5- uzorak, 6- otvor na stezaču, 7- ručica, 8- držač, 9- zavrtanj, 0- valjak.. Sa uzorka 5 skinuti jedan valjak 0 i pomoću nonijusa (šublera) izmeriti njegov unutrašnji ( D ) i spoljašnji prečnik ( D ) i visinu valjka (H). Masa valjka je m = 50 g.. Na osnovu izmerenih vrednosti izračunati vrednost momenta inercije I 0 valjka u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase valjka normalno na njegovu težišnu osu: m I 0 = ( D + D +.33H ) = kgm Postaviti valjak na uzorak 5 tako da oba valjka budu podjedanko udaljena od zavrtnja Izmeriti rastojanje d od zavrtnja na valjku do držača Uzorak 5 izvesti iz ravnotežnog položaja tako da počne da osciluje u horizontalnoj ravni i meriti vreme trajanja 30 oscilacija. 6. Vreme trajanja 30 oscilacija izmeriti za 5 različitih vrednosti d.

15 5 R. broj τ 30 ( s) d (cm) d ( cm ) T = τ 30 / 30 ( s) T ( s ) Zavisnost T = f ( d ) prikazati na grafiku. U preseku dobijene prave sa d -osom očitati apsolutnu vrednost x. Na narednoj slici prikazan je postupak određivanja x. Izračunati moment inercije šipke I x u odnosu na osu oscilovanja koja se poklapa sa pravcem žice: I x = x m I 0 = kgm ( ).

16 6 3. VEŽBA a) PROVERAVANJE BOJL-MARIOTOVOG ZAKONA Teorijski uvod Pri proučavanju gasova uglavnom se koristi model idealnog gasa, pa se i zakoni o kojima će biti reči odnose na tu aproksimaciju. Kod idealnog gasa smatra se da je zapremina molekula zanemarljiva u odnosu na zapreminu suda u kome se gas nalazi. Osim toga, dejstvo međumolekularnih sila se zanemaruje, a sudar između molekula gasa i zidova suda smatra savršeno elastičnim. Ponašanje idealnih gasova se može opisati pomoću nekoliko zakona. To su Bojl-Mariotov, Gej-Lisakov, Šarlov, Avogadrov i Daltonov zakon. Bojl-Mariotov zakon glasi: pri konstantnoj temperaturi zapremina date količine gasa obrnuto je srazmerna pritisku, ili proizvod pritiska i zapremine određene količine gasa pri stalnoj temperaturi je konstantan i može se matematički izraziti pv = const. ( T = const., m = const.) Na p-v dijagramu ovaj zakon se predstavlja jednostranom hiperbolom koja se naziva izoterma. V (m 3 ) Gej-Lisakov zakon: V = V0 ( + γ t), ( p = const.), gde je V 0 zapremina gasa na 0 o C, V zapremina gasa na t o C, a γ termički koeficijent zapreminskog širenja gasa koji za sve gasove iznosi /73 K -. Na V-t dijagramu ovaj proces je prikazan pravom koja se naziva izobara. Šarlov zakon: p = p0 ( + γ t), ( V = const.), gde je p 0 pritisak gasa na 0 o C, p pritisak gasa na t o C. Na p-t dijagramu ovaj proces je prikazan pravom koja se naziva izohora.

17 7 Avogadrov zakon: u jednakim zapreminama idealnih gasova, na istoj temperaturi i pritisku, nalazi se isti broj molekula (atoma). Daltonov zakon: u smeši gasova koji međusobno ne reaguju hemijski, svaki gas deluje sopstvenim pritiskom nezavisno, kao da drugi gasovi nisu prisutni, ili ukupni pritisak u sudu jednak je zbiru parcijalnih pritisaka prisutnih gasova. Uputstvo za rad:. Najpre je potrebno izjednačiti nivoe žive u sve tri cevi manometra. U tom cilju potrebno je odvrnuti slavinu S i štipaljku A držati otvorenom. (Ukoliko se ne postigne izjednačenje nivoa žive u sve tri cevi, što odgovara nultom podeoku, potrebno je za trenutak pumpom P povećati pritisak u cevi (), kako bi se živa zatalasala i postigla određen nivo. Tada se u cevi (3) iznad žive nalazi V 0 = 8 cm 3 vazduha pod atmosferskim pritiskom.. Zatvoriti štipaljkom A cev (3). 3. Pomoću pumpe P povećati pritisak vazduha u cevi (3), pomeranjem nivoa žive u njoj za oko 0 mmhg. 4. Zavrnuti slavinu S i sačekati nekoliko minuta da se vazduh, zagrejan usled kompresije, ohladi do temperature okoline. 5. Očitati vrednosti promena zapremine ΔV i promene pritiska Δp. ΔV očitavati na desnoj skali uz cev (3), a Δp kao razliku nivoa h i h u cevima () i (3). Tada su nove vrednosti zapremine i pritiska: V = V 0 ΔV i p = p a + Δp. 6. Postupak merenja ponoviti 5 puta, pri čemu pritisak u cevi () treba povećati za po 0 mmhg.

18 8 7. Rezultate merenja uneti u tablicu: R. br h (mmhg) h (mmhg) ΔV (m 3 ) Δp= h - h (mmhg) Δp (Pa) p (Pa) V (m 3 ) pv (J) (pv) sr (J) Δ(pV) (J) δ pv (%) σ pv (J) pv = (( pv ) ± σ ) J = ( ± ) J sr pv Potrebne konstante: Atmosferski pritisak iznosi: P a = Pa Veza između mmhg i Pa: mmhg = 33.3 Pa 8. Nacrtati grafik p = f (V). V (m 3 )

19 b) ODREĐIVANJE ODNOSA c p /c v ZA VAZDUH 9 Teorijski uvod Specifična toplota nekog tela je količina toplote potrebna da se zagreje kg mase toga tela za o C. Gasovi znatno povećavaju svoju zapreminu pri zagrevanju, pa postoje dve različite okolnosti pod kojima se može odrediti njihova specifična toplota. U prvom slučaju gas se može zatvoriti u sud stalne zapremine i time sprečiti njegovo širenje pri zagrevanju. Specifična toplota gasa određena pod ovakvim okolnostima, zove se specifična toplota pri konstantnoj zapremini c v. U drugom slučaju se gas može zagrevati tako, da se pri tome širi zadržavajući stalni pritisak p. Na ovaj način se dobija specifična toplota gasa pri stalnom pritisku c p. Na nekom gasu se može vršiti ekspanzija ili kompresija pri stalnoj temperaturi- izotermna promena za koju važi pv = const. Promena stanja gasa bez razmene toplote sa okolinom naziva se adijabatska promena, tj. adijabatska ekspanzija κ ili kompresija, za koje važi pv = const, gde je κ = c p cv adijabatska konstanta. Ovakva adijabatska promena se vrši kada je gas toplotno izolovan od okoline. U tom slučaju nema nikakve razmene toplote između gasa i okoline te se energija gasa ne menja. Uputstvo za rad:. U balonu se nalazi CaCl koji služi za sušenje vazduha.. Pumpom ubaciti vazduh u balon tako da pritisak u balonu bude veći od atmosferskog za 3-5 cm Hg i zatvoriti slavinu (pritisak ne sme biti veći jer može doći do prskanja balona). 3. Sačekati par minuta da se temperatura vazduha u balonu izjednači sa okolinom. Izjednačavanje temperature se može konstatovati po pritisku koji ostaje stalan pri izjednačavanju temperature. 4. Pročitati razliku nivoa žive u manometru.

20 0 5. Otvoriti staklenu slavinu 5 sekunde, što je dovoljno da se pritisak u balonu izjednači sa atmosferskim. 6. Posle zatvaranja slavine sačekati neko vreme da se temperature ponovo izjednače (živa u manometru prestane da se penje). 7. Pročitati razliku nivoa žive u manometru. 8. Postupak iz tačaka. do 7. ponoviti 5 puta. 9. Rezultate uneti i tabelu: Redni br. merenja h (mm) h (mm) κ = c p c v κ sr Δκ δ κ (%) σ κ k = k sr ± σ k = ( ± ) 0. Odrediti odnos c p cv primenom obrasca: κ = h /(h -h ).

21 4. VEŽBA a) ODREĐIVANJE TOPLOTE ISPARAVANJA TEČNOSTI Teorijski uvod Kada se nekoj tečnosti dovodi toplota, njena će temperatura rasti pri čemu se dovedena toplota troši na povišenje temperature tečnosti. Ako se toplota dovodi tečnosti i dalje, kad ona počne da ključa, njena temperatura se više neće povećavati dok tečnost potpuno ne ispari. Sada se toplota više ne troši na zagrevanje, već samo na isparavanje tečnosti (promenu agregatnog stanja). Količina toplote koju je potrebno dovesti jedinici mase nekog tečnog tela da bi se isto prevelo iz tečnog u gasovito stanje na temperaturi ključanja i na normalnom pritisku naziva se toplota isparavanja. Pri kondenzovanju kg pare u tečnost oslobađa se količina toplote koja je jednaka toploti isparavanja. Toplota kondenzovanja je ona količina toplote koja se oslobodi pri kondenzovanju jedinice mase gasovitog tela na temperaturi kondenzovanja u tečnost, pri čemu tečnost ostane na temperaturi kondenzovanja tj. ključanja. Toplota isparavanja se može odrediti pomoću kalorimetra. Ako se para tečnosti, na temperaturi ključanja, uvede u kalorimetar sa nižom temperaturom, nastaće kondenzovanje pare. Pri tome će se osloboditi ista količina toplote, koja je utrošena na isparavanje tečnosti. Merenjem mase kondenzovane tečnosti i oslobođene toplote može se naći koliko toplote se oslobodilo u kalorimetru pri kondenzovanju kg tečnosti, što predstavlja toplotu isparavanja tečnosti. Ukupna količina toplote oslobođene u kalorimetru biće Q = M ( t t), gde je M -toplotni kapacitet kalorimetra, t -temperatura vode u kalorimetru pre upuštanja pare i t -temperatura vode u kalorimetru posle upuštanja pare. Od ove količine toplote treba oduzeti količinu toplote Q koju preda kalorimetru kondenzovana tečnost mase m, usled rashlađivanja do temperature vode u sudu, pošto ista ne ulazi u definiciju toplote isparivanja. Prema tome je Q' = mct ( t 3 t), gde je c T -specifična toplota kondenzovane tečnosti, t 3 -temperatura ključanja tečnosti. Toplota isparavanja tečnosti q će prema tome biti Q Q' M ( t t) mct ( t3 t ) q = =, m m pri čemu treba uzeti da je toplotni kapacitet kalorimetra M = 600 J / K, a specifični toplotni kapacitet vode c = 486, 8 J / kgk.

22 Opis aparature Kalorimetar A ima unutrašnji sud u koji su smešteni kondanzator i mešalica (Sl. ). Kondenzator ima u donjem delu proširenje N u kome se skuplja kondenzovana tečnost. Jedan kraj kondenzatora vezan je gumenim crevom za cev iz koje dolazi para. Drugi kraj kondenzatora završava se slobodno i održava vezu sa atmosferom. Sud B služi za isparavanje tečnosti a isparena tečnost se povremeno nadoknađuje iz suda C po principu spojenih sudova, otvaranjem štipaljke F. Zagrevanje tečnosti se vrši električnim grejačem D. Zatvarač E služi za upuštanje pare u kalorimetar. Kada je zatvarač u donjem položaju on naleze na cev i sprečava ulaz pare u kalorimetar, a istovremeno je preko cevi otvoren izlaz u atmosferu. U gornjem položaju zatvarača E otvara se ulaz pari u kalorimetar a zatvara izlaz u atmosferu. Termometar T 3 pokazuje temperaturu ključanja tečnosti. Pregrada S-S štiti kalorimetar od toplotnih uticaja iz suda B. Postupak pri merenju: Sl. Aparatura za određivanje toplote isparavanja tečnosti. Izmeriti temperaturu vode u kalorimetru (t ).. Uključiti ispravljač mrežnog napona u strujnu mrežu. 3. Kada zagrevana voda dostigne t 60 C otvoriti ventil za izlaz pare. 4. Paru kondenzovati 30 minuta i za to vreme stalno mešalicom mešati vodu u kalorimetru. Takođe izmeriti temperaturu pare (ključanja tečnosti) t Po isteku 30 minuta aparaturu isključiti prekidačem na ispravljaču iz mreže.

23 3 6. Nastaviti mešanje mešalicom dok temperatura vode u kalorimetru ne dostigne maksimum. To je temperatura t. 7. Zatvoriti ventil za izlaz pare i otkačiti crevo za dovod pare u kalorimetar. 8. Izvaditi poklopac kalorimetra, zajedno sa kondenzatorom i kondenzovanu tečnost isipati u menzuru. Izmeriti masu kondenzovane tečnosti m. 9. Odrediti toplotu isparavanja tečnosti prema datoj relaciji. NAPOMENA: Obavezno zatvoriti štipaljku za dovod vode u grejani lonac! Rezultate merenja, kao i traženu vrednost toplote isparavanja vode upisati u tabelu: t ( o C) t ( o C) t 3 ( o C) m (kg) q (J) Tabela

24 4 b) ODREĐIVANJE NEPOZNATE TEMPERATURE TERMOPAROM Teorijski uvod Temperatura je fizička veličina koja određuje stepen zagrejanosti nekog tela, a instrumenti za njeno merenje nazivaju se termometri. U suštini, svaki termometar kao princip rada koristi temperaturnu zavisnost neke fizičke veličine: zapremine, dužine, pritiska, boje... U okviru ove vežbe će biti opisano kako se za određivanje temperature tela može iskoristiti zavisnost elektromotorne sile spoja dva metala od temperature spoja, odnosno okoline u kojoj se on nalazi. Pri dodiru dva različita metala dolazi do njihovog naelektrisavanja na mestu dodira, pri čemu su količine naelektrisanja na jednom i drugom metalu jednake, ali suprotnog znaka. Ovaj efekat je otkrio Volta, pa je po njemu i dobio naziv. Razlika potencijala između metala je kontaktni napon (ili dodirni napon) i njegova vrednost zavisi od vrste metala koji se dodiruju i od temperature na mestu dodira. Prema veličini kontaktnog napona i polaritetu naelektrisanja na njima, metali mogu da se poređaju u tzv. Voltin naponski niz: (+) Rb K Na Al Zn Sn Cd Pb Sb Bi Hg Fe Cu Ag Au Pt (-). Pri dodiru dva metala iz niza, pozitivno će se naelektrisati metal koji je bliži (+) kraju Voltinog niza. Na primer, olovo u dodiru sa bakrom postaje pozitivno, a bakar negativan. Međutim, olovo u dodiru sa cinkom postaje negativno. Ukoliko su metali u nizu dalje jedan od drugog, utoliko je i međusobna razlika potencijala veća. Ukoliko se niz metala spoji redom A, B, C, D (Sl. ), onda se na krajevima tog stuba javlja razlika potencijala koja zavisi samo od prirode metala koji se nalaze na krajevima A i D, a ne zavisi od toga koji se provodnici (B i C) nalaze između njih u stubu. Zebekov efekat Sl. Šematski prikaz niza metala na čijim se spojevima javlja razlika potencijala Ako se od dva metala formira zatvoreno kolo kao na Sl., usled Voltinog efekta, dolazi do razdvajanja naelektrisanja na spojevima i, tako da se svaki od spojeva ponaša kao izvor elektromotorne sile. Budući da se u kolu ne odvijaju nikakvi hemijski procesi, kao i da u kolu ne postoje dodatni izvori elektromotorne sile, po zakonu održanja energije posmatrano kolo mora da bude u stanju električne ravnoteže, odnosno kroz ovo kolo ne protiče struja. Do ovog zaključka se može doći i polazeći od činjenice da su elektromotorne sile, koje se javljaju na spojevima, istog

25 5 intenziteta ali da su suprotno orijentisane, pa je ukupna elektromotorna sila jednaka nuli i kroz kolo ne protiče struja. Sl. Zatvoreno kolo nastalo spajanjem dva različita metalna provodnika U suštini, u slučaju spoja dva različita metala dolazi do razdvajanja naelektrisanja, pri čemu se ova naelektrisanja ne kreću, već su samo razdvojena. Ako u takav spoj vežemo galvanometar, on će pokazivati nulu. Međutim, ukoliko su temperature spojeva metala (t za spoj, odnosno t za spoj ) različite, kroz kolo počinje da teče struja i to od spoja više temperature odnosno višeg potencijala, ka spoju niže temperature odnosno nižeg potencijala. Kretanje nosilaca naelektrisanja, odnosno proticanje električne struje pokazuje galvanometar, a elektromotorna sila je, u ovom slučaju, posledica pretvaranja toplotne energije u električnu. Pojava se naziva termoelektrični efekat, a ovakvo zatvoreno kolo sastavljeno od dva različita metala čiji spojevi imaju različite temperature, naziva se termoelement, termopar ili termospreg. Sama elektromotorna sila se naziva termoelektromotorna sila (obično je vrlo mala, reda veličine V), a struja termostruja. Ovu pojavu je otkrio nemački fizičar Zebek 8. godine, po kome je i efekat dobio ime. Veliki broj izvedenih eksperimenata je pokazao da je termoelektromotorna sila složena funkcija temparature, kao i da zavisi od prirode metala. Pokazalo se, takođe, da postoje spojevi kod kojih je termoelektromotorna sila u dovoljno širokom opsegu temperatura srazmerna razlici temperatura spojeva. Takvi su, npr. parovi metala Fe Cu, Pt Fe, Bi Cu. Za njih, dakle, važi: ( t t ) = CΔ t, E = C () gde je C konstanta za dati par metala, koja predstavlja promenu termoelektormotorne sile termoelementa pri promeni temperaturne razlike spojeva za o C. Ovakvi termoelementi su pogodni za merenje temperature, pri čemu se jedan spoj termoelementa nalazi na konstantnoj temperaturi t, koja je poznata, a drugi u sredini čija se temperatura, t, meri. Merenje temperature termoelementom je veoma precizno, jer se termoelektromotorna sila može izmeriti sa velikom tačnošću, pa se tako termoelement može koristiti i kao instrument za baždarenje drugih termometara. Merenjem termoelektromotorne sile E određuje se temperaturna razlika Δ t, a zatim se izračunava nepoznata temperatura t :

26 6 t = t + Δ t, () ukoliko je poznata temperatura jednog spoja (sredine) t. Za merenje temperature, umesto termoelektromotorne sile meri se jačina struje koja protiče kroz kolo u koje je vezan termoelement, pri čemu su jačina struje i (koja se meri osetljivim ampermetrom), termoelektromotorna sila i razlika temperatura spojeva termoelementa povezani Omovim zakonom: E C I = = Δ t, (3) R R gde je R ukupni otpor u kolu, tj. otpor termoelementa i galvanometra. Iz ove relacije se vidi da je zavisnost jačine struje od temepraturne razlike linearna. Termoelementi imaju nekoliko prednosti u odnosu na druge vrste termometara. Na primer, ukoliko se napravi spoj teško topivih metala pomoću njih se može izmeriti tepmeratura i do 000 o C, dok, ukoliko se napravi spoj izuzetno malih dimanzija, moguće je izmeriti temperature i na nepristupačnim mestima i vrlo malim telima. Recimo, dodirna površina žice i tela čija se temperatura meri može biti jako malo, ukoliko se jedan spoj napravi u vidu duge i tanke igle. Na taj način se u biologiji meri temperatura insekata, kada se igla ubode u njihovo telo. Ista procedura se može primeniti i za merenje temperature unutrašnjih organa drugih živih organizama, kao i u medicini za merenje temperature kože, mišića i drugih tkiva. Osim toga, nasuprot živinim termometrima, žice od koji se prave termoelementi imaju vrlo mali toplotni kapacitet. Opis aparature Šema eksperimenta je prikazana na Sl. 3. Sastoji se od termoelementa od gvozdene i bakarne žice, dva termometra, dva staklena suda, mikroampermetra, električnog rešoa, vode i leda. Metod merenja Da bi pomoću termoelementa mogla da se određuje temperatura nekog tela, on se prvo mora kalibrisati. Taj postupak se izvodi na sledeći način. Jedan spoj termoelementa i termometar T se stavljaju u sud sa vodom na sobnoj temperaturi t (ili u sud u kome se nalazi mešavina vode i leda na 0 o C), a drugi spoj i termometar T u drugi sud sa vodom koji se zagreva na električnom rešou. Termoelement i mikroampermetar μa se vezuju u strujno kolo prema šemi sa Sl. 3. Pre početka merenja treba proveriti nulu mikroampermetra, tako što se oba spoja termoelementa stavljaju u sud sa vodom na sobnoj temparaturi, jer su tada temperature spojeva jednake, a termoelektromotorna sila jednaka nuli. Ukoliko mikroampermetar registruje struju u kolu, potrebno je namestiti njegovu kazaljku na nulti podeok skale, ili očitati jačinu struje i kasnije, u toku merenja, sve merene vrednosti struje računati od te vrednosti.

27 7 Sl. 3 Zatvoreno kolo nastalo spajanjem dva različita metalna provodnika Nakon podešavanja nule mikroampermetra, spoj termoelementa se vraća u sud sa vodom i uključuje se električni rešo. Merenje se svodi na istovremeno čitanje temperature t na termometru T i jačine struje I na ampermetru. Merenje se ponavlja više puta, tako što se vrši čitanje vrednosti jačine struje pri svakom porastu o temperature Δ t = ( 5 8 ) C, sve dok temperatura vode u sudu ne dostugne vrednost o ( ) C. Pre svakog čitanja jačine struje potrebno je skloniti sud sa rešoa i sačekati par minuta da se temperatura vode, odnosno spoja termoelementa, stabilizuje. Dobijeni rezultati se unose u tabelu i crta se zavisnost jačine struje od temperaturne razlike. Ova zavisnost je, što se iz ranije iznetog može zaključiti, prava linija (Sl. 4) i naziva se kalibraciona linija termopara. Zadatak vežbe Određivanje nepoznate temperature. Izvršiti kalibraciju termopara na način opisan u metodama merenja.. Posle izvršenog postupka kalibracije, spoj termoelementa se stavlja u sud sa vodom čiju temperaturu t x treba odrediti i pročita se jačina struje I x na mikroampermetru. 3. Naći tu vrednost jačine struje na grfiku (Sl. 3) i sa njega očitati vrednost temperaturne razlike Δ tx koja joj odgovara. 4. Tražena temperatura t x je tx = t + Δtx. 5. Nepoznatu temperaturu vode izmeriti i običnim (živinim) termometrom i tu vrednost upotrebiti za određivanje i analizu grešaka merenja.

28 Redni broj t ( o C) t ( o C) I (μa) Δ t =t t ( o C) Tabela 8 Na osnovu tabele nacrtati grafik I = f ( Δt ), i sa njega odrediti nepoznatu temperaturu vode. Sl. 4 Određivanje nepoznate temperature sa grafika eksperimentalno dobijenih vrednosti

29 9 Sl. 5 Eksperimentalno dobijena zavisnost struje u kolu od promene temperature. t x o x = = t + Δ t = t + OC = + ( C) C. o

30 5. VEŽBA 30 a) ODREĐIVANJE BRZINE ZVUKA U VAZDUHU Teorijski uvod Kada se dva talasa iste talasne dužine prostiru istim pravcima, ali suprotnim smerovima javlja se poseban slučaj interferencije i kao rezultat ovakve superpozicije obrazuje se stojeći talas. Duž pravca prostiranja stojećeg talasa se naizmenično ređaju čvorovi (mesta gde se dva talasa međusobno maksimalno kompenzuju i, u idelnom slučaju, u čvoru stojećeg talasa nema rezultujućih oscilacija) i trbusi (mesta gde se oscilacije dva talasa maksimalno pojačavaju i daju maksimalne amplitude stojećeg talasa) na stalnom međusobnom rastojanju od polovine talasne dužine. Mesta gde se nalaze čvorovi i trbusi stojećeg talasa ne menjaju svoj položaj u prostoru, tj. ostaju na istom mestu. U specijalnom slučaju kada talas posle drugog odbijanja padne u fazu sa prvobitnim talasom nastaje samopojačavanje talasa pri njihovoj interferenciji. Tada stojeći talas dobija izraziti oblik i velike amplitude, a takav slučaj se naziva rezonancija. Štap ili vazdušni stub u cevi ograničene dužine se naziva rezonatorom. Kada nastupi specijalni slučaj da talas posle dva odbijanja pada u u fazu sa prvobitnim talasom javiće se izraziti stojeći talasi sa velikim amplitudama što odgovara procesu rezonancije, pa otuda i potiče naziv rezonancije, odnosno rezonatora. U slučaju kada je rezonator vazdušni stub zatvoren na jednom kraju, ovakav specijalni slučaj rezonancije javiće se onda kada je dužina rezonatora jednaka celom neparnom umnošku četvrtine talasne dužine stojećeg talasa. Ako dužinu rezonatora označimoa sa l, važiće: λ c l = +, ( n + ) = ( n ) 4 4 ν gde je n = 0,,,, c brzina prostiranja talasa i ν frekvencija talasa. Pri tome je iskorišćena činjenica da je brzina zvuka povezana sa talasnom dužinom i frekvencijom relacijom: c = λν. Pošto je n bilo koji ceo broj, onda se u jednom rezonatoru može javiti više slučajeva rezonancije. U ovom slučaju brzina zvuka se određuje merenjem talasne dužine iz uslova rezonancije zvučne viljuške poznate frekvencije i vazdušnog stuba u cevi. Ako se postigne prva rezonancija (osnovni harmonik) pri dužini λ vazdušnog suba l, a sledeća pri dužini l imamo da je = l l, pa je, na osnovu prethodne relacije; c = ν l l, ( )

31 gde je ν rezonantna frekvencija, koja je jednaka frekvenciji zvučne viljuške. Metod merenja a) Dovesti pokretni klip u krajnji levi položaj, odnosno što bliže kraju A cevi. Udarcem gumenog čekića pobuditi na oscilovanje zvučnu viljušku, a zatim je prineti kraju A cevi. b) Držeći jednom rukom zvučnu viljušku na gore opisani način, drugom rukom sporo pomerati klip udesno sve dok se prvi put ne čuje pojačan zvuk, koji pokazuje da je došlo do rezonancije zvučnih oscilacija vazduha u cevi i zvučne viljuške. Tada se izmeri dužina vazdušnog stuba l, koja je jednaka rastojanju od kraja A cevi do klipa. Ovaj postupak ponoviti najmanje 5 puta i sve vrednosti upisati u tebelu. c) Ponoviti postupak pod a), a zatim nastaviti sa laganim pomeranjem klipa udesno dok se ne čuje pojačan zvuk ali na većem rastojanju nego pri merenju l. To je dužina l, čije se merenje vrši na potpuno isti način kao i za l. d) Nakon upisivanja rezultata merenja u tabelu, za svaku kombinaciju l i l, korišćenjem obrasca c = ν ( l l ), izračunati vrednosti brzine zvuka u vazduhu, a zatim pristupiti određivanju grešaka merenja. 3 Slika. Prikaz aparature za određivanje brzine zvuka u vazduhu u cevi zatvorenoj na jednom kraju R.br l ( m) l ( m) c ( m s) c sr ( m s) c( m s) ( ) m / s c = ±. Δ δ (%) ( m / s ) C σ C

32 3 b) ODREĐIVANJE KOEFICIJENTA LINEARNOG ŠIRENJA ČVRSTIH TELA Teorijski uvod Tokom zagrevanja ili hlađenja tela, dolazi do promene njihovih dimenzija. Ukoliko se ostale dimenzije mogu zanemariti u odnosu na dužinu, imamo pojavu linearnog širenja. Telo, čija je početna dužina l o na temperaturi t o, nakon zagrevanja do temperature t dostigne dužinu l. Veza između dužine l i početne dužine l 0 je data relacijom: l = l0 ( + αδ t), gde je Δ t = t t temperaturni interval, a α koeficijent linearnog širenja, koji pokazuje promenu dužne tela od datog materijala pri promeni temperature za jedan Celzijusov ili Kelvinov stepen (/ o C). Ukoliko se ne može zameriti promena površine poprečnog preseka nekog tela, onde je veza između krajnje i početne vrednosti površine data relacijom: S = S0 ( + βδ t), gde je β koeficijent površinskog širenja datog materijala. Analogno, pri promeni zapremine nekog tela tokom zagrevanja važi veza: V = V0 ( + γδ t), gde je γ koeficijent zapreminskog širenja datog materijala. Veza između datih koeficijenata je: β=α, γ=3α. Uputstvo za rad:. Epruvetu napuniti do /3 vodom i izmeriti temperaturu sipane vode.. Spustiti uzorak u epruvetu. 3. Epruvetu sa ispitivanim uzorkom uvesti u grejač. 4. Pomeriti osovinu indikatora naviše, postaviti indikator nad epruvetom i opustiti osovinu u udubljenje na čelu uzorka. Nosač zafiksirati zavrtnjem. 5. Podesititi položaj strelice na skali indikatora (za prvo merenje najbolje je strelicu postaviti na nulu). 6. Uključiti aparaturu u strujnu mrežu pritiskom na prekidač. Pri ključanju vode u epruveti ispitivani uzorak prima temperaturu vode. Povećanje dužine uzorka određuje se otklonom strelice indikatora od prvobitnog položaja. Za svaki od uzoraka demonstrirati vežbu. 7. Koeficijent linearnog širenja čvrsog tela odrediti iz formule l = l 0 ( + αδt). Potrebne konstante: Dužina uzorka na sobnoj temperaturi je l 0 = 60 mm Temperatura ključanja vode je t = 00 C. NAPOMENA: Jedan podeok na kružnoj skali iznosi 0.0 mm.

33 33 6. VEŽBA PRIMENA ZAKONA GEOMETRIJSKE OPTIKE I PRINCIP RADA OPTIČKIH INSTRUMENATA Teorijski uvod Svetlost je elektromagnetni talas čija brzina zavisi od električnih i magnetnih osobina sredine kroz koju se prostire. Ljudsko oko može da registruje talasne dužine svetlosti u opsegu od 380 do 760 nm. Kada je talasna dužina svetlosti mnogo manja od dimenzija objekta, zakoni kojima se opisuje kretanje svetlosti mogu se formulisati preko geometrijskih zakona i ova grana optike se naziva geometrijskom optikom. Osnovni zakoni geometrijske optike jesu:. zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti. zakon nezavisnog prostiranja svetlosnih zraka 3. zakon odbijanja svetlosti 4. zakon prelamanja svetlosti.. U homogenim sredinama zraci se prostiru duž pravih linija. Zakon ne važi kada svetlost nailazi na male otvore i prepreke, tada se primenjuju zakoni talasne optike.. Svetlosni zraci ne utiču jedni na druge u mestima njihovog ukrštanja. Ovo ne važi za laserske zrake. Pre formulisanja trećeg i četvrtog zakona neophodno je uvesti neke pojmove. Pri prelasku svetlosti iz jedne u drugu sredinu, na granici te dve sredine, deo svetlosti se odbija ili reflektuje, a deo se prelama u drugu sredinu. Svetlost koja pada na granicu dve sredine predstavljena je upadnim zrakom (), dok je odbijena svetlost predstavljena reflektovanim zrakom (). Svetlost koja je prešla u drugu sredinu se

34 34 predstavlja prelomnim zrakom (3). Uglovi predstavljeni na slici su uglovi koje pravci zraka zaklapaju sa normalom na graničnu površinu dve sredine i to su: upadni ugao θ, reflektovani ugao θ i prelomni ugao θ. 3. Zakon odbijanja za svetlosni zrak koji pada na graničnu površinu dve sredine različitih optičkih gustina glasi da je upadni ugao jednak odbojnom uglu. Upadni, odbojni zrak i normala na graničnu povrčinu leže u istoj ravni. 4. Indeks prelamanja neke sredine predstavlja odnos brzine prostiranja svetlosti u vakuumu i nekoj sredini: cvakuum n =. csredina Zakon prelamanja (Snelijus-Dekartov zakon) glasi da kada svetlost pada na graničnu površinu dve transparentne sredine, indeksa prelamanja n i n (kao na slici), sinusi upadnog i prelomnog ugla se odnose kao: n = θ. sinθ n sin

35 35 Uputstvo za rad: NAPOMENA: NIKAKO NE USMERAVATI LASERSKI SNOP KA OČIMA!!!. Postaviti magnetnu tablu na radnu površinu stola.. Uključiti laser preko adaptera u struju. Dugme on/mode/off na laserskoj kutiji reguliše broj zraka koji izlazi iz kutije. 3. Na magnetnu tablu postaviti podlogu F tako da su nule na podlozi okrenute ka kraćim stranama table. 4. Na podlogu F staviti ravno ogledalo (RO) tako da se ivica duže strane poklapa sa pravcem na podlozi koji spaja nule (0-0). 5. Pritiscima na dugme laserske kutije obezbediti da iz kutije izlazi samo jedan laserski zrak i usmeriti ga na površinu ogledala tako da zrak udara u mesto gde se seku ravan ogledala i pravac (90-90) na podlozi. 6. Kakav je odnos upadnog i odbijenog zraka? (Zaokružite tačana odgovor) a) upadni ugao je veći, b) odbijeni je veći, c) jednaki su, d) ne važi nijedan od tri gore ponudjena odgovora. 7. Sa podloge skloniti ravno ogledalo i postaviti sabirno sočivo () tako da se njegova duža osa poklapa sa pravcem (0-0). Usmeriti svih pet laserskih zraka ka sočivu tako da su paralelni pravcu (90-90). Ponoviti postupak za rasipno sočivo (5). Kako se ponašaju zraci posle prolaska kroz jedno, a kako posle prolaska kroz drugo sočivo? 8. Skloniti sočiva sa podloge i na nju staviti konkavno ogledalo KO na isto mesto na kome su bila postavljena sočiva. Usmeriti laserske zrake ka ogledalu tako da su paralelni sa pravcem (90-90). Tačka u kojoj se seku odbijeni zraci se naziva žiža, a rastojanje do ogledala žižna daljina f. Izmeriti žižnu daljinu. f = cm. Zakrivljena površina ogledala se može shvatiti kao deo velikog kružnog prstena čiji je poluprečnik R i naziva se poluprečnikom krivine ogledala. Poluprečnik krivine datog konkavnog ogledala je

36 36 R = f = cm. 9. Skloniti ogledalo sa podloge. Na podlogu staviti sočivo PS tako da mu se ravna strana poklapa sa pravcem (0-0). Lasersku kutiju postaviti tako da zraci padaju prvo na ravnu stranu i namestiti da kutiju napušta samo jedan zrak. Neka zrak pada na ravan sočiva PS u tački gde se seku pravci (0-0) i (90-90) pod proizvoljno odredjenim upadnim uglom θ. Mogu se zapaziti upadni, odbojni i prelomni zrak. Izmeriti prelomni ugao θ. Na osnovu jednačine () i znajući da je indeks prelamanja vazduha n, izračunati indeks prelamanja materijala sočiva. θ = 0 θ = 0 n = 0. Okrenuti sočivo PS tako da se ravna površina i dalje poklapa sa pravcem (0-0), ali da je sada zakrivljena strana okrenuta ka laserskoj kutiji. Neka laserski zrak po prolasku kroz zakrivljenu stranu sočiva pada na ravan kraj u tački preseka pravaca (0-0) i (90-90). Može se zapaziti da zrak napušta sočivo na drugom kraju. Održavajući uslov da zrak sve vreme na ravan kraj sočiva pada u istoj tački, rotirati lasersku kutiju do momenta dok zrak ne napušta sočivo sa druge strane. Nastala pojava naziva se totalna refleksija, a upadni ugao za koji se ona prvi put primećuje naziva se graničnim uglom totalne refleksije. Izmeriti njegovu vrednost. α g 0 =. Na podlogu postaviti sočivo OV tako da mu se duža osa poklapa sa pravcem (90-90). Jedan laserski zrak usmeriti ka kraćoj strani sočiva pod nekim proizvoljnim uglom. Pojava totalne refleksije se koristi pri izradi optičkih vlakana. Optička vlakna jesu dielektrične niti kružnog preseka koja se sastoje od dva sloja, unutrašnjeg-jezgra i spoljašnjeg-omotača vlakna. Indeks prelamanja jezgra je nešto veći od indeksa prelamanja omotača. Svetlosni zraci koji ulaze u jezgro vlakna pod malim uglom, nailaze na optički redju sredinu na granici jezgra i omotača, pod uglom koji je veći od graničnog usled čega dolazi totalne refleksije. Pojednostavljeni prikaz rada optičkog vlakna može se videti pri prostiranju zraka kroz sočivo OV.. Skloniti podlogu F i umesto nje staviti podlogu A. Na mestu obeleženom u te svrhe staviti sočivo. Ka sočivu usmeriti pet zraka normalno na sočivo. Posle prelamanja zraci se seku u žutoj mrlji. Ovime je predstavljen model normalnog oka. 3. Umesto sočiva staviti sočio. Prelomljeni zraci se seku ispred žute mrlje (kratkovidost). Korekcija se vrši dodavanjem rasipnog sočiva 5.

37 37 4. Skloniti sočiva i staviti sočivo 3. Prelomljeni zraci se seku iza žute mrlje (dalekovidost). Korekcija se vrši dodavanjem sabirnog sočiva Skloniti sočiva i umesto njih postaviti plankonveksno sočivo PK. Linija koja prolazi kroz sredinu sočiva se naziva glavnom optičkom osom. Ka sočivu usmeriti tri laserska zraka sa najvećim mogućim medjusobnim udaljenjem. Primetiti da se zraci ne seku u istoj tački. Zatim ka sočivu usmeriti tri zraka sa najmanjim mogućim medjusobnim udaljenjem. Zraci se seku u istoj tački. Primećena pojava se naziva sferna aberacija i posledica je nesavršenosti optičkih sredstava. Naime, što su zraci koji padaju na sočivo dalje od optičke ose, tj. bliže ivicama sočiva, zakoni geometrijske optike su sve manje primenljivi. 6. Na magnetnu tablu staviti podlogu D (šemu Keplerovog teleskopa). Staviti odgovarajuća sočiva. Ka sočivim usmeriti tri laserska zraka. Zaklanjanjem jednog od laserskih zraka utvrditi da li teleskop daje uspravan ili obrnut lik. Keplerov teleskop daje lik. 7. Na tablu staviti podlogu C (šema Galilejevog telskopa) i preko nje odgovarajuća sočiva. Ka sočivima usmeriti tri zraka i na isti način kao iz prethodnog koraka utvrditi da li teleskop daje uspravan ili obrnut lik. Galilejev teleskop daje lik. 8. Na tablu staviti podlogu B (šema analognog fotoaparata). Staviti odgovarajuće sočivo. Usmeriti tri zraka ka sočivu. Zraci se usmeravaju sočivom i padaju na film. Umesto filma kod digitalnih aparata nalaze se senzori koji intenzitet svetlosti pretvaraju u električne impulse.

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE. za generaciju 2013/14.

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE. za generaciju 2013/14. LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE za generaciju 03/4. UNIVERZITET U NIŠU UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka rada pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA. za generaciju 2015/16.

LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA. za generaciju 2015/16. LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA za generaciju 015/16. SPISAK LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE 1. VEŽBA - a) Određivanje ubrzanja Zemljine teže pomoću matematičkog klatna b) Određivanje Jungovog modula

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Fizička mehanika i termofizika, junski rok

Fizička mehanika i termofizika, junski rok Fizička mehanika i termofizika, junski rok 5.7.2001. 1. Po strmoj ravni, nagibnog ugla α, kotrlja se bez klizanja masivni šuplji cilindar, mase M i poluprečnika R. Po unutrašnjosti cilindra se kreće pas.

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Obrada rezultata merenja

Obrada rezultata merenja Obrada rezultata merenja Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem.

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem. 4. Magnetski fluks i Faradejev zakon magnetske indukcije a) Magnetski fluks Ako je magnetsko polje kroz neku konturu površine θ homogeno (kao na lici 5), tada je fluks kroz tu konturu jednak Φ = = cosθ

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) II deo Miloš Marjanović Bipolarni tranzistor kao prekidač BIPOLARNI TRANZISTORI ZADATAK 16. U kolu sa slike bipolarni

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα