2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

Transcript

1 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται. Άρα οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι τα για τα οποία () = 0 ( ) ( ) ( ) = 0 = 0 ή = 0 ή = 0 = ή = ή = () > 0 ( ) ( ) ( ) > 0 ( ) ( )( ) ( ) > 0 ( ) ( ) > 0 < ή > Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον + () () ր ց ց ր τ.µ τ.ε

2 .i) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () = + + β) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης + + = 0 α) D = R, όπου και παραγωγίζεται. () = 6 + = ( + ) = ( ) Το πρόσηµο της και η µονοτονία της παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί Και επειδή η είναι συνεχής στο, είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) Η εξίσωση () = 0 συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R το σύνολο τιµών της (R ) = ( ()) Αλλά και () = () = + + () () + ր = = + (), ր + Οπότε (R ) = R Επειδή, όµως, 0 (R ) θα υπάρχει ρ R ώστε (ρ) = 0, το οποίο ρ θα είναι µοναδικό, αφού γνησίως αύξουσα.

3 .ii) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση g() = + β) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης + = 0 α) D = R, όπου και παραγωγίζεται. g g () = = ( ) Το πρόσηµο της g, η µονοτονία της g και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον g ( ) = g () = ( ) ( ) + = + + = + = + = 0 β) Η εξίσωση g() = 0 g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ] g ((, ]) = ( Είναι g(), g( )] = (, ] g() = = Επειδή 0 (, ), κατά το Θ. Ενδιαµέσων τιµών, η εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (, ] g συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ] g ([, ]) = [g(), g( )] = [0, ] Άρα η εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [, ], την = g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, + ) g ([, + )) = ([g(), Είναι + g () g () ր ց ր g() = + g() ) = [0, + ) + = + + τ.µ 0 τ.ε Άρα η εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [, + ) την = Τελικά, εξίσωση g() = 0 έχει ακριβώς δύο άνισες ρίζες.

4 .iii) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση h() = β) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης = 0 α) D h = R, όπου και παραγωγίζεται: h () = 6 6 = 6( ) Το πρόσηµο της h, η µονοτονία της h και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + h () h () ր ց ր τ.µ τ.ε h(0) = 0 0 = h() = = = β) Η εξίσωση h() = 0 h συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, 0] h ((, 0]) = ( Είναι h(), h(0)] = (, ] h() = = Άρα η εξίσωση h() = 0 δεν έχει ρίζα στο διάστηµα (, 0] h συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [0, ] h ([0, ]) = [h(), h(0)] = [, ] Άρα η εξίσωση h() = 0 δεν έχει ρίζα στο διάστηµα [0, ] h συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, + ) h ([, + )) = [h(), h()) = [, + ) Είναι h() = = + Άρα η εξίσωση h() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [, + ) Τελικά, εξίσωση h() = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα

5 5.i) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση, () = e, > συνεχής στο (, ) σαν πολυωνυµική. συνεχής στο (, + ) σαν σύνθεση συνεχών () = = = () και Άρα συνεχής στο και στο D = R. () = + + e = e = 0 e =, < () = Η παράγωγος στο δεν ενδιαφέρει. e, > Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + () 0 + () ց ր ց 0 τ.ε τ.µ

6 6.ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση +, < g() = +, g συνεχής στο (, ) σαν πολυωνυµική. g συνεχής στο (, + ) σαν πολυωνυµική. g() = g() = + + ( + ) = + = + = 0 ( + ) = + = + = 0 g() = + = + = 0 Άρα g συνεχής στο και στο D g = R., < g () = Η παράγωγος στο δεν ενδιαφέρει, > Το πρόσηµο της g, η µονοτονία της g και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον + g () 0 + g () ց ց ր ολ. ελάχ.. g() = + = 8 + =

7 7.i) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () = e Πεδίο ορισµού D = R () = e, R Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + () 0 + () ց ր ολ.ελάχ.ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () =, > 0 Για κάθε > 0 είναι () = ( ) = (e ln ) = e ln (ln) = ( + ln) () = 0 + ln = 0 ln = = e - () > 0 + ln > 0 ln > > e - Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον e - + () 0 + () ց ր ( e ) e Ολ. ελάχ

8 8 5. Να βρείτε τις τιµές των α, β R, για τις οποίες η συνάρτηση () = α + β + παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σηµεία = και =. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. Πεδίο ορισµού D = R Για κάθε R είναι () = α + β. Τοπικό ακρότατο στο =, κατά Fermat, ( ) = 0 Τοπικό ακρότατο στο =, κατά Fermat, () = 0 α ( ) + β( ) = 0 α β = 0 () α + β = 0 α + β = 0 () Λύνουµε το σύστηµα των (), () και βρίσκουµε α = και β = 0 Η συνάρτηση γίνεται () = + και η παράγωγος () = Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον + () () ր ց ր ( ) = ( ) ( ) + = + + = () =. + = + = τ.µ τ.ε

9 9 6. Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 00 το τετράγωνο χρειάζεται τη µικρότερη περίφραξη. Έστω, y οι διαστάσεις του τυχαίου ορθογωνίου µε εµβαδόν 00 m. y = 00 y = 00 Περίµετρος = + y = ( + y) = ( + 00 ) Έτσι, ορίζεται η συνάρτηση Π() = ( + 00 ), > 0. Π () = ( + 00 ) = ( 00 ) = 00 Το πρόσηµο της Π, η µονοτονία της Π και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον Π () 0 + Π() ց ր 80 ελάχιστο Η συνάρτηση Π() παρουσιάζει ελάχιστο για = 0, οπότε y = 00 0 = 0 = Άρα το οικόπεδο µε τη µικρότερη περίµετρο είναι το τετράγωνο. m, 7. Με συρµατόπλεγµα µήκους 80 m θέλουµε να περιφράξουµε οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν. Έστω, y οι διαστάσεις του τυχαίου ορθογωνίου µε περίµετρο 80 m. + y = 80 + y = 0 y = 0 Εµβαδόν = y = (0 ) = 0 Έτσι, ορίζεται η συνάρτηση E() = + 0, > 0 Ε () = + 0 Το πρόσηµο της E, η µονοτονία της E και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον E () + 0 E() ր 00 ց µέγιστο Η συνάρτηση Ε() παρουσιάζει µέγιστο για = 0, οπότε y = 0

10 0 8. Μία ώρα µετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η µείωση της θερµοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T() =, 0 < <. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας ως προς να γίνει µέγιστος. Ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας ως προς είναι T () = Πρέπει να βρούµε, για ποια τιµή του η συνάρτηση T () παρουσιάζει µέγιστο. Τ () = 6 = = Το πρόσηµο της Τ, η µονοτονία της Τ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 Τ () + 0 Τ () ր ց µέγιστο T ( ) = ( ) = = 8 6 = 8 = Η συνάρτηση Τ () παρουσιάζει µέγιστο για =

11 9. ίνεται το τετράγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήµατος µε πλευρά cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓ, i) να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του ii) να βρείτε το έτσι, ώστε το εµβαδόν Ε() του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο. i) (ΒΖ) = (ΒΓ) (ΖΓ) = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΒΕΖ : (ΕΖ ) = Θ + ( ) E() = + + E() = +, 0< < ii) E () = = ( ) Το πρόσηµο της E, η µονοτονία της E και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 E () 0 + E() ց ր ελάχιστο Η συνάρτηση Ε() παρουσιάζει ελάχιστο για =. A Η E() Ε Γ Ζ B

12 0. Το κόστος της ηµερήσιας παραγωγής µονάδων ενός βιοµηχανικού προϊόντος είναι Κ() = ευρώ, για 0 05, ενώ η είσπραξη από την πώληση των µονάδων είναι Ε() = 0 ευρώ. Να βρεθεί η ηµερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται µέγιστο. Το κέρδος είναι Ρ() = Ε() Κ() Ρ() = 0 Ρ() = Ρ () = Το πρόσηµο της Ρ, η µονοτονία της Ρ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον Ρ () Ρ() ց ր ց τ.µ Ρ(0) = 000 Ρ(0) = = = = 800 > Ρ(0) Άρα το Ρ(0) = 800 είναι το µέγιστο του κέρδους, το οποίο συµβαίνει όταν η ηµερήσια παραγωγή είναι = 0µονάδες

13 B Οµάδας. ίνεται η συνάρτηση () = ηµ +, [0, π] i) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ = i) () = συν έχει ακριβώς µία ρίζα στο (0, π) () = 0 συν = 0 συν = = π () > 0 συν > 0 συν > 0 < < π Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον (0) = ηµ0 0 + = ( π ) = ηµ π π + = π + > 0 (π) = ηµπ π + = π < 0 Άρα η έχει µέγιστο ( π ) και ελάχιστο (π). ii) H εξίσωση γράφεται ηµ = ηµ + = 0 () = 0 ([0, π ] ) = [(0), ( π )] = [, π + ] και επειδή το 0 δεν ανήκει σ αυτό, η εξίσωση () = 0 δεν έχει λύση στο διάστηµα [0, ( [ π, π] ) = [(π), ( π )] = [ π, π + ] και επειδή το 0 ανήκει σ αυτό, η εξίσωση () = 0 έχει λύση στο διάστηµα [ π, π], µοναδική αφού γνησίως φθίνουσα. 0 π () + 0 () ր ց τ.µ π π ]

14 . i) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση () = ln + και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσηµό της. ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση φ() = ln + + iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g() = ln και h() = + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο στο οποίο έχουν κοινή εφαπτοµένη. i) συνεχής στο D = (0, + ) () = + > 0, άρα γνησίως αύξουσα, χωρίς ακρότατα. Προφανής ρίζα είναι η =, αφού () = ln + = 0. Είναι και µοναδική λόγω της µονοτονίας. Για κάθε < () <() () < 0 Για κάθε > () >() () > 0 ii) φ συνεχής στο Dφ = (0, + ) φ () = (ln + ) + = (ln + + ) = (ln + ) = () Το πρόσηµο της φ, η µονοτονία της φ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον iii) Οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των g() = h() 0 + φ () = () 0 + φ () ց 0 ր ελάχιστο C g, C h είναι οι ρίζες της εξίσωσης ln = + ln = + ln + + = 0 φ() = 0 Προφανής ρίζα είναι η =, αφού φ() = ln + + = 0 και όπως προκύπτει από τον πίνακα του ii), είναι µοναδική. g () = (ln ) = ln + g () = ln + = h () = ( + ) = + h () = + = Άρα είναι g () = h () και g() = h() = 0, εποµένως οι C, C έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο Κ(, 0) g h

15 5.i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > 0 ισχύει α) α) Αρκεί να αποδείξουµε ότι e > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση () = β) e > + e > + + e, 0 () = e Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + () + () ր Για κάθε > 0 () > (0) 0 e > e 0 e > 0 β) Αρκεί να αποδείξουµε ότι e > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση g() = e, 0 α ) Για κάθε > 0 είναι g () = e > 0 στο (0, + ) g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 g g() > g(0) e e > > 0 0 e 0 0

16 6.ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > 0 ισχύει α) συν > α) Αρκεί να αποδείξουµε ότι συν + β) ηµ > 6 > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση () = συν +, 0 Για κάθε > 0 είναι () = ηµ + > 0 (από την ηµ < ) Άρα γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 β) () >(0) συν + συν + Αρκεί να αποδείξουµε ότι ηµ + 6 > συν0 + > 0 > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση g() = ηµ + 6 0, 0 Για κάθε > 0 είναι g () = συν + g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 g g() > g(0) ηµ + 6 ηµ + 6 > ηµ > 0 α ) > 0 στο (0, + ) 0

17 7.iii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > 0 ισχύει α) ( + ) ν > + ν, ν N µε ν β) ( + ) ν > + ν + α) ( ) ν ν, ν N µε ν Αρκεί να αποδείξουµε ότι ( + ) ν ν > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση () = ( + ) ν ν, 0,. Για κάθε > 0 είναι () = ν( + ) ν ν () = ν[( + ) ν ] > 0 αφού + > άρα γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Για κάθε > 0 () >(0) ( + ) ν ν > ( + 0 ) ν ν. 0 ( + ) ν ν > 0 β) Αρκεί να αποδείξουµε ότι ( + ) ν ν( ν ) ν > 0 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση g() = ( + ) ν ν( ν ) ν, 0 Για κάθε > 0 είναι g () = ν( + ) ν ν ν(ν ) g () = ν[( + ) ν (ν )] άρα g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) g α ) > 0 στο (0, + ) Για κάθε > 0 g() > g(0) ( + ) ν ν( ν ) ν > ( + 0 ) ν ν. 0 ( + ) ν ν( ν ) ν > 0 ( ) ν ν 0

18 8. Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R ισχύει ( ) + 6() = + 6 +, τότε η δεν έχει ακρότατα ( ) + 6() = ( ( ) + 6() ) = ( ) Έστω ότι η έχει ακρότατο ( ο ). Τότε, από Θ. Fermat, θα ήταν ( ο ).= 0 () 6 ( ) () + 6 () = ( ) () + () = Η (), για = ο ( ο ) ( ο ) + ( ο ) = 0 = o + που είναι άτοπο o + + () () 5. Στο διπλανό σχήµα έχουµε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων, g σ ένα διάστηµα [α, β]. Το σηµείο ξ (α, β) είναι το σηµείο στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) µεταξύ των C, C g παίρνει τη µεγαλύτερη τιµή. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των C, στα σηµεία Α(ξ, (ξ)), Β(ξ, g(ξ)) είναι παράλληλες. O α ξ β Έστω Α() = () g(), (α, β) η συνάρτηση που εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση απόσταση των C, C g. ίνεται ότι η Α() παρουσιάζει µέγιστο στο ξ (α, β), οπότε, κατά το Θ. Fermat, θα είναι Α (ξ) = 0. Αλλά Α () = () g () Α (ξ) = (ξ) g (ξ) 0 = (ξ) g (ξ) (ξ) = g (ξ) Άρα, οι εφαπτόµενες των είναι παράλληλες. C, C g g(ξ) y (ξ) C g στα σηµεία Α(ξ, (ξ)), Β(ξ, g(ξ)) Α Β

19 9 6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () = ( α ) ( β ) ( γ ) µε α < β < γ έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά µέγιστα. Πεδίο ορισµού D = R σαν πολυωνυµική (αν εκτελεστούν οι πράξεις ) Προφανώς είναι (α) = (β) = (γ) = 0 Με Θ. Rolle στο διάστηµα [α, β], υπάρχει ξ (α, β) ώστε ( Με Θ. Rolle στο διάστηµα [β, γ], υπάρχει ξ (β, γ) ώστε ( ξ ) = 0 () ξ ) = 0 () Είναι () =( α) ( β ) ( γ ) +( α ) ( β) ( γ ) + ( α ) ( β ) ( γ) = ( α) ( β) ( γ)[.] Προφανώς είναι (α) = (β) = (γ) = 0 () Από τις (), (), (), η έχει πέντε ρίζες α, ξ, β, ξ, γ και δε µπορεί να έχει και άλλες, διότι η είναι 6 ου βαθµού και άρα η είναι 5 ου. Οπότε () = ( α) ( ξ ) ( β) ( ξ ) ( γ) Το πρόσηµο της, η µονοτονία της και τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στον α ξ β ξ γ + () () ց ր ց ր ց ր τ.ε τ.µ τ.ε τ.µ τ.ε

20 0 7. Με ένα σύρµα µήκους m κατασκευάζουµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς m και ένα τετράγωνο πλευράς y m. i) Να βρείτε το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Για ποια τιµή του το εµβαδόν γίνεται ελάχιστο. i) Είναι + y = y = Ε() = Ε τρ + Ε τετρ = = = = + ( ) ( ) 6 [( + 9) + 6), 0 < < ii) Ε () = 6 [( + 9) ] = [( 8 + 9) ] Ε () = 0 ( + 9) = 0 = = ρ + 9 Το πρόσηµο της Ε, η µονοτονία της Ε και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 ρ Ε () 0 + Ε() ց ր ελάχιστο

21 8. ίνεται η συνάρτηση () = και το σηµείο Α ( 9, 0). i) Να βρείτε το σηµείο Μ της C που απέχει από το σηµείο Α τη µικρότερη απόσταση. ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ. i) Πεδίο ορισµού D = [0, + ), ενώ παραγωγίζεται στο (0, + ) Έστω Λ(, ) το τυχαίο σηµείο της C. Τότε (ΛΑ ) = ( 9 ) = = + ( 0 ) Έτσι ορίζεται η συνάρτηση g() = g () = , 0, που εκφράζει το (ΛΑ ) Το πρόσηµο της g, η µονοτονία της g και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 + g () 0 + g() ց ր ελάχιστο To ελάχιστο της g, άρα και του (ΛΑ ), άρα και του (ΛΑ) συµβαίνει για =. Εποµένως το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(, ), δηλαδή το Μ(, ) ii) Έστω ε η εφαπτοµένη της Τότε λ ε = () Αλλά () = λ = A M Εποµένως 0 9 λε = = C στο Μ () = =, οπότε ε λ = λ = ( ) = ε ΑΜ A M

22 9. Όπως γνωρίζουµε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισµού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ηµικύκλια. Αν η περίµετρος του στίβου είναι 00 m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου µέρους να γίνει µέγιστο. Έστω και y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Το µήκος των δύο ηµικυκλίων είναι π, άρα π + y = 00 E() = (00 π) E() = π + 00, 0 < < 00 π E () = π +00 y = 00 π Το πρόσηµο της E, η µονοτονία της E και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον E() 0 00 π E () + 0 E() ր ց + Το εµβαδόν Ε() γίνεται µέγιστο, όταν = 00 π, οπότε y = 00 π 00 π µέγιστο = = 00

23 0. Η ναύλωση µιας κρουαζιέρας απαιτεί τη συµµετοχή τουλάχιστον 00 ατόµων. Αν δηλώσουν ακριβώς 00 άτοµα, το αντίτιµο ανέρχεται σε 000 το άτοµο. Για κάθε επιπλέον άτοµο το αντίτιµο ανά άτοµο µειώνεται κατά 5. Πόσα άτοµα πρέπει να δηλώσουν συµµετοχή, ώστε να έχουµε τα περισσότερα έσοδα; Έστω 00 το πλήθος των ατόµων που δηλώνουν συµµετοχή. Τα επί πλέον των 00 άτοµα είναι 00. Η έκπτωση ανά άτοµο είναι ( 00)5 Άρα, κάθε άτοµο θα πληρώσει 000 ( 00)5 = = Τα έσοδα θα είναι Ε() = (500 5) = Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της Ε παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί Ε () + 0 Ε () ր ma ց Άρα, θα έχουµε τα περισσότερα έσοδα, όταν δηλώσουν συµµετοχή 50 άτοµα.

24 . Έστω Ε το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήµατος. Υποθέτουµε ότι, τη χρονική στιγµή t = 0 είναι r = 5 cm και r ότι για t > 0 η ακτίνα r αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό 0,05 cm/sec, ενώ η ακτίνα µε σταθερό ρυθµό 0,0 cm/sec. Να βρείτε : i) πότε θα µηδενιστεί το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα µεγιστοποιηθεί το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου. Έστω r r (t) οι συναρτήσεις που εκφράζουν τις ακτίνες και Ε(t) το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου. ίνονται r r (0) = 5 r i) r (t) = 0,05, r (t) = 0,0 Ε(t) = π r (t) π r (t) Ε(t) = 0 π r (t) π r (t) = 0 r (t) r (t) = r (t) = 0 r (t) r (t) = r (t) () r (t) = 0,05 r (t) = (0,05t) r (t) = 0,05 t + c Η () 0,05 t + = 0,0 t + 5 0,0 t = t = 00 ii) Ε(t) = π r (t) π r (t) για t = 0 είναι r (0) = 0, c, δηλαδή = c εποµένως r (t) = 0,05 t + () Οµοίως r (t) = 0,0 t + 5 () Ε (t) = π r (t) r (t) π r (t) r (t) = π (0,0 t + 5) 0,0 π (0,05 t + ) 0,05 = π [0,006 t + 0,0 0,005 t 0,05] = π [ 0,0009 t + 0,005] Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της Ε παρουσιάζονται στον πίνακα t 0 55,6 + Ε (t) + 0 Ε (t) ր ma ց Άρα, το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου θα µεγιστοποιηθεί όταν t 55,6

25 5. Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα κανάλι του οποίου η κάθε διατοµή ΑΒΓ φαίνεται στο διπλανό σχήµα. i) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της διατοµής ΑΒΓ είναι ίσο µε Ε = ηµθ( + συνθ) ii) Για ποια τιµή του θ το εµβαδόν της κάθετης διατοµής µεγιστοποιείται; i) Φέρνουµε τα ύψη Κ, ΓΛ του ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓ. Κ = ηµθ ΑΚ = ΒΛ = συνθ Γ = ΚΛ = ΚΑ + ΑΒ + ΒΛ = συνθ + + συνθ = συνθ + Ε(θ) = (ΑΒ + Γ ) Κ = ( + συνθ + ) ηµθ = ηµθ( + συνθ) ii) Ε (θ) = [συνθ ( + συνθ) + ηµθ ( ηµθ) ] = [συνθ + συν θ ηµ θ] = [συνθ + συν θ ( συν θ) ] = [συνθ + συν θ + συν θ ] = [ συν θ + συνθ ] ιακρίνουσα = + 8 = 9 συνθ = ± 9 = ± = ή Δ Κ Δ m θ θ m Α Α m m B m B θ θ Λ Γ m και επειδή θ οξεία, θα είναι συνθ = άρα θ = π Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της Ε παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί θ 0 π/ + Ε (θ) + 0 Ε (θ) ր ma ց Άρα, το εµβαδόν της κάθετης διατοµής µεγιστοποιείται όταν θ = π Γ

26 6. Ένας κολυµβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα 00 t µακριά από το πλησιέστερο σηµείο Α µιας ευθύγραµµης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται 00 t µακριά από το σηµείο Α. Κ 00 t Α Μ Σ 00 t Υποθέτουµε ότι ο κολυµβητής µπορεί να κολυµπήσει µε ταχύτητα t/s και να τρέξει στην ακτή µε ταχύτητα 5 t/s. i) Να αποδείξετε ότι για να διανύσει τη διαδροµή ΚΜΣ του διπλανού σχήµατος ii) i) χρειάζεται χρόνο Τ() = + 5 Για ποια τιµή του ο κολυµβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του; Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΚΜ : ΚΜ = Άρα Τ() = Τ ΚΜ + Τ ΜΣ = Χρόνος Χρόνος ii) Τ () = Τ () = Τ ΚΜ = Τ ΜΣ = 00 + διάστηµα ταχύτητα = 00 + διάστηµα ταχύτητα = διάστηµα ταχύτητα = = = 0 5 = = 9 ( 00 + ) 5 = , 0< <00 6 = =. 00 = 00 = 75 t Το πρόσηµο της Τ, η µονοτονία της Τ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον T () 0 + T () ց min ր Άρα, ο ζητούµενος ελάχιστος χρόνος συµβαίνει όταν = 75 t.

27 7. Ένας εργολάβος επιθυµεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόµο που συνδέει δύο εργοστάσια E, Ε Σ - Ε E, τα οποία βρίσκονται σε απόσταση km και εκπέµπουν καπνό µε παροχές Ρ και 8Ρ αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε µια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση από το εργοστάσιο E πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση. (Παροχή καπνού µιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέµπεται από την καπνοδόχο στη µονάδα του χρόνου). Έστω ρ () η συνάρτηση που εκφράζει την πυκνότητα του καπνού από το E και ρ () αντίστοιχα από το E. Θα είναι ρ () = cp Άρα ρ () = cp + c8p ( ) ρ () = cρ ( ) = cρ και ρ () = c8p ( ) = cρ, όπου c σταθερά + c8ρ ( ), 0 < < + c8ρ ( ) ( ) ( ) + 6cρ ( ) ρ () = 0 cρ + 6cρ ( ) = 0 8 ( ) = 0 = ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = = Το πρόσηµο της ρ, η µονοτονία της ρ και τα ακρότατα παρουσιάζονται στον 0 ρ () 0 + ρ () ց min ր Άρα, ο εργολάβος πρέπει να χτίσει το σπίτι σε απόσταση km από το εργοστάσιο E.