qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

Transcript

1 qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc 014 vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

2 Προαπαιτούμενα 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι;. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι; Δώστε παραδείγματα. 3. Πώς γίνεται η πρόσθεση i) ομόσημων ρητών αριθμών; ετερόσημων ρητών αριθμών; 4. Αν οι αριθμοί, είναι αντίθετοι, τότε Να ερμηνεύσετε τη σχέση 6. Πώς γίνεται απαλοιφή μιας παρένθεσης i) όταν η παρένθεση έχει μπροστά της το πρόσημο ; όταν η παρένθεση έχει μπροστά της το πρόσημο ; 7. Πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός i) ομόσημων ρητών αριθμών ετερόσημων ρητών αριθμών 8. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι; Δώστε παραδείγματα. 9. Αν οι αριθμοί, είναι αντίστροφοι, τότε Η επιμεριστική ιδιότητα: 11. Πώς προσδιορίζουμε το πρόσημο σε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων; 1. Να ερμηνεύσετε την ισότητα Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσματα κάνοντας απαλοιφή παρενθέσεων. i) B Υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων. i) a 3 b 3 a b B 3 1 a a b 3 b i C x, υπολογίστε την τιμή της παράστασης A x x 1 x Αν Υπολογίστε τα γινόμενα. i) A 3 5 4

3 B Αν οι αριθμοί a, b είναι αντίθετοι και οι x, y είναι αντίστροφοι, υπολογίστε την τιμή της παράστασης A a 5 b x 3 y 3x. 18. Υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων i) A B i C : Γράψτε τις ιδιότητες των δυνάμεων. 0. Εξηγείστε το νόημα του συμβολισμού a για a 0 και ν φυσικό αριθμό. 1. Ποιο είναι το πρόσημο των παρακάτω αριθμών; , 1, 1, 1, 1,,,, Να γράψετε υπό μορφή μιας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις: (i) a a ( a a a (i a b (iv) x (v) 10 : 5 (vi) 3 10 : 10 (v 5 5 a (vi a a 3. Απλοποιήστε τα παρακάτω κλάσματα i) i Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: i) A B 5. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: 10 7 i) A B 3 : 3 3

4 3 4 i C iv) D Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: 1 i) i x x1 A, αν a) x 0 b) x 1 c) x 1 x 1 x B 3 x 6 x, αν x 1x x x 1 C 3 5 3, αν a) x 0, b) x 1 c) x Εξισώσεις - Ανισώσεις 7. Τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση και τι αλγεβρική παράσταση; Δώστε ένα παράδειγμα από κάθε είδος. 8. Γράψτε την επιμεριστική ιδιότητα. 9. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να γράψετε απλούστερα τις αλγεβρικές παραστάσεις: i) A x x B x 3x 30. Αν x y 9 i, υπολογίστε την τιμή της παράστασης A x 1 1 y x 31. Διατυπώστε με λόγια : Αν, τότε 3. Διατυπώστε με λόγια : Αν, τότε 33. Διατυπώστε με λόγια : Αν, τότε 34. Διατυπώστε με λόγια : Αν και 0, τότε. C x 1 3x 3 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις 35. x x x x 39. x x x 4. 3 x 4 5 4

5 43. x x x x x x 7 x x x 46. 3x 5 x x 1 1 x 51. x 1 1 x 5. x 3 x x 54. x 1 x x 3 x 1 4x x 3 x x 4 4x x x x 3 x 1 x x 1 x 7x Δίνονται οι παραστάσεις A 5x 1 και B 9 4x. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) A 6 B 3 i A B 6. Αν A x 1 3 και B 5 3 x, να λύσετε τις εξισώσεις: i) A B A B Δίνονται οι παραστάσεις A 3 x και B 4x 11. Να υπολογίσετε την τιμή του x αν : i) A B Οι παραστάσεις A, B είναι αντίθετες i Η παράσταση A είναι κατά 4 μεγαλύτερη της B iv) Η παράσταση B είναι διπλάσια της A. 64. Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 3. Ο Β πρέπει να πάρει 4 περισσότερα από τον Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 65. Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 3. Ο Β πρέπει να πάρει τετραπλάσιο ποσό από Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 66. Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 30. Ο Β πρέπει να πάρει το μισό ποσό από αυτό που θα πάρει ο Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 67. Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 30. Ο Β πρέπει να πάρει το 50% του ποσού που θα πάρει ο Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 68. Μια μητέρα είναι σήμερα 4 χρόνια μεγαλύτερη από την κόρη της. Δίνεται ότι σε 7 χρόνια η ηλικία της κόρης θα είναι ίση με τα /5 της ηλικίας της μητέρας. i) Αν συμβολίσουμε με x, τη σημερινή ηλικία της κόρης τότε, τη σημερινή ηλικία της μητέρας, πρέπει i να τη συμβολίσουμε με., την ηλικία της κόρης μετά 7 χρόνια πρέπει να τη συμβολίσουμε με., την ηλικία της μητέρας μετά 7 χρόνια πρέπει να τη συμβολίσουμε με.. 5

6 iv) Να σχηματίσετε τη σχετική εξίσωση και να βρείτε τις σημερινές ηλικίες της μάνας και της κόρης. 69. Ένας πατέρας είναι σήμερα 4 ετών και ο γιος του 9 ετών. Μετά πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου; 70. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η γωνία Γ είναι διπλάσια της Β ενώ η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β. Αν ονομάσουμε x το μέτρο της γωνίας Β, i) να συμπληρώσετε τα κενά με τη βοήθεια του x :... Να υπολογίσετε το μέτρο των τριών γωνιών Ένας μαθητής αγόρασε με έκπτωση 10% ένα τετράδιο και πλήρωσε,7. Ποια ήταν η τιμή του τετραδίου πριν την έκπτωση; 7. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α της κορυφής του είναι κατά 30 ο μικρότερη από τις γωνίες της βάσης. i) Αν x τότε A... Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου. 73. Να υπολογίσετε τον αριθμό x που αν προστεθεί στους αριθμητές των κλασμάτων 3 και 7 3, προκύπτουν δυο ίσα κλάσματα. 74. Για μια εκδρομή ενός τμήματος της Β Τάξης Γυμνασίου ζητήθηκε το ποσό των,5 ανά άτομο. Επειδή 6 μαθητές δεν συμμετείχαν τελικά, οι υπόλοιποι χρειάστηκε να πληρώσουν 3,5 ανά άτομο. Πόσους μαθητές έχει συνολικά το τμήμα; (Υπόδειξη: Αν ονομάσουμε x το πλήθος των μαθητών του τμήματος, τότε το συνολικό ποσό που ζητήθηκε αρχικά θα είναι, 5x. Επειδή 6 άτομα δεν συμμετείχαν, το πλήθος αυτών που τελικά συμμετείχαν θα είναι x 6. Το συνολικό ποσό που τελικά ζητήθηκε από αυτούς θα είναι 3,5 x 6. Το αρχικό ποσό και το τελικό ποσό είναι ίσα.) 75. Ένας λογαριασμός 5 εξοφλήθηκε με 13 κέρματα των 0,0 και 0,30. Πόσα κέρματα από κάθε είδος δόθηκαν; 76. Η τιμή του γεύματος σε ένα εστιατόριο επιβαρύνεται με δημοτικό φόρο 5%. Το εστιατόριο προσφέρει έκπτωση 10% σε κάθε γεύμα. Στο πελάτη προσφέρονται δυο επιλογές: Επιλογή Α: Στο ποσό του λογαριασμού να γίνει έκπτωση κατά 10% και στο νέο ποσό να επιβληθεί ο δημοτικός φόρος. Επιλογή Β: Στο ποσό του λογαριασμού να επιβληθεί πρώτα ο δημοτικός φόρος και στο νέο ποσό να γίνει η έκπτωση 10%. Υπάρχει συμφέρουσα επιλογή για τον πελάτη; (Υπόδειξη: Δοκιμάστε με μια ενδεικτική τιμή π.χ. 100 ) 6

7 77. Μια μαθήτρια έγραψε σε δυο διαγωνίσματα Μαθηματικών 13 και 17 αντίστοιχα. Πόσο πρέπει να γράψει στο τρίτο διαγώνισμα ώστε να πετύχει μέσο όρο 16; 78. Ένας μαθητής σε τρία διαγωνίσματα Μαθηματικών πέτυχε μέσο όρο 15. Ο βαθμός του δεύτερου διαγωνίσματος ήταν κατά 4 μονάδες μεγαλύτερος του πρώτου διαγωνίσματος και κατά 1 μονάδα μικρότερος του βαθμού του τρίτου διαγωνίσματος. i) Αν συμβολίσουμε με x το βαθμό του δεύτερου διαγωνίσματος, συμβολίστε με τη βοήθεια του x τους βαθμούς των δυο άλλων διαγωνισμάτων. Υπολογίστε τους βαθμούς των τριών διαγωνισμάτων. 79. Διατυπώστε με λόγια τις παρακάτω προτάσεις: i) Αν, τότε και Αν και 0, τότε και i Αν και 0, τότε και 80. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις στον άξονα των αριθμών 81. x 6 8. x x x x x x x x x x x 93. x x x Να υπολογίσετε και να παραστήσετε σε άξονα τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: Ποιες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; i) 3x 18 και 4x 1. 7x 4 17 και 3x 5 10 i 6x 1 4x 1 και 3 5x 1 x iv) 3x 1 x x 1 και x 3 x 97. Αν για την πλευρά a ενός τετραγώνου ισχύει ότι, 30m a, 40m, να υπολογίσετε μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται η περίμετρός του. 98. Η πλευρά a ενός ισοπλεύρου τριγώνου μετρήθηκε και βρέθηκε κατά προσέγγιση μεταξύ,50m και,55m. Να υπολογίσετε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται η περίμετρός του. 7

8 99. Η αντοχή μιας γέφυρας είναι μέχρι 8 τόνους. Ένα φορτηγό βάρους 3 τόνων πρέπει να φορτωθεί με σωλήνες βάρους 00kg ο καθένας. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός σωλήνων που επιτρέπεται να μεταφέρει το φορτηγό ώστε να περάσει με ασφάλεια τη γέφυρα; 100. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 7 cm και x cm αντίστοιχα ενώ ένα ορθογώνιο έχει πλευρές x+ cm και 3 cm αντίστοιχα. Για ποιες τιμές του x το εμβαδόν του τριγώνου δεν υπερβαίνει το εμβαδόν του ορθογωνίου; 101. Ορθογώνιο έχει πλευρές x cm και 5 cm αντίστοιχα, η περίμετρός του είναι μεγαλύτερη από 0 cm και το εμβαδόν μικρότερο από 30 cm. Υπολογίστε τις δυνατές ακέραιες τιμές του x. Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 10. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; 103. Συμπληρώστε τα κενά: i) Αν a x, τότε... a a σ. 4 Εφαρμογές 1,,3,4. Ασκήσεις 1,, 5, 6, 7, 8, 1,13, Τι ονομάζεται άρρητος αριθμός; 106. σ.47 Εφαρμογή Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα 108. Διατυπώστε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος σ.18 Εφαρμογές 1,, 3, σ.130 Ερώτηση Κατανόησης 111. Ασκήσεις 1,, 3, 4, 5, 8, σ.50 Πρόβλημα Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες. i) 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81, , 144, 169, 196, 5, 56, 89 8

9 i 34, 361, Να υπολογίσετε τους θετικούς αριθμούς x όπως στα παραδείγματα: Αν x τότε x. Αν x 11 τότε x i) x 1, x 5, x 16, x 8, x x, x, x Υπολογίστε το x όπως στο παράδειγμα: Αν x, τότε 5 x. Αν x 3 3 x, τότε i) x 3, x 3, x x, x 3, x Υπολογίστε τις παραστάσεις 117., 3, 4, , 3, 4, Με τη βοήθεια της σχέσης, να γράψετε στην απλούστερη δυνατή μορφή τους παρακάτω άρρητους: 8, 1, 18, 0, 4, 7, 8, 5 3, (Παράδειγμα: ). 10. Με τη βοήθεια της σχέσης υπολογίστε τους ρητούς αριθμούς: Παράδειγμα: Αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 9

10 3 4 1, Αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ,5 1, Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ του σχήματος 3 3 i) Αν ΑΒ=1, υπολογίστε το μήκος ΑΓ Σχήμα 1 10

11 Αν ΑΓ= 3, υπολογίστε το μήκος ΑΒ i iv) Αν ΑΓ=5, υπολογίστε το μήκος ΑΒ. Αν το εμβαδόν είναι 5τ.μ, υπολογίστε το μήκος ΑΒ και το μήκος ΑΓ 15. Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, ΓΔ είναι το ύψος. Σχήμα i) Αν ΑΒ=, να υπολογίσετε το ΓΔ και το εμβαδόν του ΑΒΓ. Αν η περίμετρος του ΑΒΓ είναι 1, να υπολογίσετε το ΓΔ και το εμβαδόν του ΑΒΓ. i Αν 3, να υπολογίστε το ΑΓ. 16. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, ΓΔ είναι το ύψος. i) Αν ΑΓ=5 και ΑΔ=4, υπολογίστε το ΓΔ. Σχήμα 3 Αν ΓΔ= και ΑΔ=3, υπολογίστε το ΑΓ. i Αν ΓΔ=x, ΑΒ= x και ΑΓ=, υπολογίστε την τιμή του x. 11

12 iv) Αν το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 16τμ. και το ΑΒ είναι διπλάσιο του ΓΔ, υπολογίστε το ύψος ΓΔ και την περίμετρο του ΑΒΓ. 17. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Β=90 ο φέρνουμε το ύψος ΒΔ. Σχήμα 4 i) Αν ΑΒ=6 και ΑΓ=10, υπολογίστε το ΒΓ, το εμβαδόν του ΑΒΓ και το ύψος ΒΔ. Αν ΑΒ= 5 x, ΒΓ= 5 x και ΑΓ=5, υπολογίστε την τιμή του x. i iv) Αν ΑΒ=15, ΒΓ=0 και ΑΔ=9, υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του ΑΒΓ. Αν ΒΔ=, ΑΔ=1 και ΔΓ=4, υπολογίστε τα ΑΒ, ΒΓ, το εμβαδόν του ΑΒΓ και την περίμετρο του ΑΒΓ με ακρίβεια χιλιοστού. 18. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ είναι το ύψος του. Σχήμα 5 i) Αν ΑΒ=13 και ΒΔ=5, υπολογίστε το ΑΔ. Αν επιπλέον το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 84, υπολογίστε το ΒΓ και το ΑΓ. 19. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ είναι το ύψος του 1

13 Σχήμα 6 i) Αν ΑΒ=0, ΑΓ=15 και ΔΓ=9, υπολογίστε (α) το ύψος ΑΔ (β) το ΒΔ (γ) το εμβαδόν του ΑΒΓ. Να εξετάσετε αν το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Στο παρακάτω σχήμα, το ύψος ΑΔ=1cm, ΔΒ=16cm, ΔΓ=9cm. i) Υπολογίστε τα μήκη των ΑΒ και ΑΓ. Σχήμα 7 i Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ και του ΑΒΓ. Να εξετάσετε αν το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 131. Με τη βοήθεια του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να δώσετε τους ορισμούς των,,. 13

14 Σχήμα Εξηγείστε γιατί για κάθε οξεία γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις 1 και Σχεδιάστε μια οξεία γωνία ω τέτοια ώστε i) εφω=3/ i ημω=/3 συνω=1/ 134. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος Σχήμα 9 i) αν ημω=3/5 και γ=6, υπολογίστε την πλευρά α, την πλευρά γ, το συνω, την εφω, το ημφ, το συνφ και τέλος, την εφφ. αν συνω=1/13 και α=6, υπολογίστε την πλευρά β, την πλευρά γ, το ημω, την εφω, το ημφ, το συνφ και τέλος, την εφφ. 14

15 i αν εφω= 3 και β=3, υπολογίστε την πλευρά γ, την πλευρά α, το ημω, το συνω, το ημφ, το συνφ και τέλος, την εφφ Αν η κλίση του δρόμου ΑΓ είναι 5% και η απόσταση ΑΓ είναι 400m, υπολογίστε το ύψος ΒΓ. Σχήμα Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ του ορθογωνίου τριγώνου Γ 0 ΑΒΓ, αν η γωνία Α ισούται με 30 και η πλευρά ΒΓ με 4m. Α m Β Δίνεται ότι 30 1 Σχήμα Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο, να υπολογίσετε την τιμή του x, τα μήκη των πλευρών του και το εμβαδόν του. Δίνεται ότι 30 1 Σχήμα 1 H συνάρτηση y ax 138. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y ax είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων Δυο ανάλογα ποσά x, y συνδέονται με μια σχέση της μορφής y ax 15

16 140. Κλίση της ευθείας y ax ονομάζεται η ποσότητα a y, x 0. x 141. Οι μισθοί των εργαζομένων μιας επιχείρησης μειώθηκαν κατά 30%. Αν οι αρχικές τιμές των μισθών πριν τη μείωση- ονομαστούν x ( ) και οι τελικές τιμές μετά τη μείωση- ονομαστούν y ( ): i) να γράψετε τη σχέση των ποσών x, y. να εξηγήσετε γιατί τα ποσά x, y είναι ανάλογα και να υπολογίσετε το σταθερό λόγο. i να συμπληρώσετε τα κενά: (α) Αν x 400, τότε y... (β) Αν y 350, τότε x... iv) Σε χαρτί μιλιμετρέ επιλέξτε την κατάλληλη κλίμακα (ή με χρήση του Geogebra) και σχεδιάστε τη σχετική γραφική παράσταση. 14. Στο παρακάτω σχήμα, i) υπολογίστε την κλίση της ευθείας υπολογίστε τον τύπο της συνάρτησης i εξετάστε αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο B 1, 6 Σχήμα Στο παρακάτω σχήμα, i) υπολογίστε την κλίση της ευθείας γράψτε τον τύπο της ευθείας. i εξετάστε αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο K 1, 6 16

17 Σχήμα Στο παρακάτω σχήμα, i) υπολογίστε την κλίση της ευθείας υπολογίστε τον τύπο της i εξετάστε αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο K 1, Η συνάρτηση y ax είναι ευθεία παράλληλη της y ax Δίνονται οι συναρτήσεις y x, y x 1 και y x 1 i) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα τιμών και σχεδιάστε τις ευθείες x 0 1 y x y y x 1 x 1 Παρατηρήστε ότι οι ευθείες που προκύπτουν είναι παράλληλες και υπολογίστε την κατακόρυφη μετατόπισή τους σε σχέση με την y x 17

18 i Ποια είναι τα σημεία τομής καθεμιάς με τους άξονες συντεταγμένων; 147. Σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων τις συναρτήσεις y x 1 και 1 y x 1. (Αν η σχεδίασή σας είναι προσεκτική, οι δυο ευθείες θα τέμνονται κάθετα) Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης y x 3 x y Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης y 1 x 3 3 x y Περιγραφική Στατιστική 150. Τι λέγεται πληθυσμός, μεταβλητή, τιμές της μεταβλητής, μέγεθος ενός δείγματος; 151. Τι λέγεται συχνότητα μιας τιμής, σχετική συχνότητα μιας τιμής; 15. Τι λέγεται μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων; 153. Τι λέγεται διάμεσος ενός συνόλου παρατηρήσεων; Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 154. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν το εμβαδόν ενός i) τετραγώνου i iv) παραλληλογράμμου ορθογωνίου τριγώνου v) τραπεζίου 155. Να συμπληρώσετε τα κενά: i) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς είναι ίσο με Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές, είναι ίσο με i iv) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με v) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με 18

19 156. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 6cm και 8cm. Υπολογίστε: i) το εμβαδόν του την υποτείνουσά του Υπολογίστε τα εμβαδά των παρακάτω σχημάτων. (Θεωρείστε ότι τα τετραγωνάκια έχουν πλευρά 1cm) Σχήμα Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4cm. Αν η μια κάθετη πλευρά του είναι 4cm, να υπολογίσετε την άλλη κάθετη πλευρά και την υποτείνουσά του Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται σε ορθογώνιο. (Να γράψετε αρχικά τις κατάλληλες εξισώσεις παραστάσεις: για παράδειγμα... και στη συνέχεια να κάνετε τους κατάλληλους υπολογισμούς) ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΤΟΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΕΜΒΑΔΟΝ 3m 5m 4m 6m 5m 30m 160. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος είναι 16cm. Να υπολογίσετε: i) το ύψος ΒΕ το εμβαδόν του τραπεζίου. 90, 10cm και 19

20 Σχήμα Αν το εμβαδό του τραπεζίου στο παρακάτω σχήμα είναι 18cm, υπολογίστε τα μήκη των βάσεων Σχήμα 17 Εγγεγραμμένες γωνίες 16. Πότε μια γωνία xay λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο (Ο,ρ); 163. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας είναι το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες Σωστό ή Λάθος; i) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του αντίστοιχου τόξου της i Κάθε επίκεντρη γωνία είναι ίση με την αντίστοιχή της εγγεγραμμένη. iv) Κάθε επίκεντρη γωνία είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης εγγεγραμμένης 167. σελ.176 εφαρμογή σελ Ερωτήσεις Κατανόησης 1,,3, σελ. 178 Ασκήσεις. 1, 6, Σωστό ή Λάθος; 0

21 i) Αν y είναι το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας και x το μέτρο της αντίστοιχης εγγεγραμμένης, τότε τα y ποσά y, x είναι ανάλογα με x. Αν y είναι το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας και x το μέτρο του αντίστοιχου τόξου, τότε τα ποσά y, x i y είναι ανάλογα με 1 x. Αν y είναι το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας και x το μέτρο του αντίστοιχου τόξου, τότε τα ποσά y y, x είναι ανάλογα με x Στο παρακάτω σχήμα το τόξο έχει μέτρο 80 και η γωνία 110. Να υπολογίσετε: i) το τόξο i iv) τη γωνία το τόξο τη γωνία 17. Στο παρακάτω σχήμα το τόξο έχει μέτρο 60 και η γωνία 80. Να υπολογίσετε: i) το τόξο i iv) τη γωνία το τόξο τη γωνία 173. Σε ημικύκλιο διαμέτρου 6cm δίνεται σημείο του Γ, έτσι ώστε 10. 1

22 Δικαιολογείστε ότι i) i iv) To τρίγωνο ΓΟΒ είναι ισόπλευρο Υπολογίστε To ΓΒ v) To AΓ Σχήμα Στο παρακάτω σχήμα η διάμετρος AB του κύκλου είναι ίση με cm και το τόξο ΒΓ ίσο με 60 ο. i) Να δικαιολογήσετε ότι η γωνία Γ είναι ορθή. Να υπολογίσετε τη γωνία Α και τη γωνία Β. i Αν ΒΓ=1cm, vα υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. Γ ο 60 A O B Σχήμα Στο παρακάτω Σχήμα 0, η διάμετρος AB του κύκλου είναι ίση με cm και το τόξο ΒΓ ίσο με 60 ο. i) Να δικαιολογήσετε ότι η γωνία Γ είναι ορθή. Να υπολογίσετε τη γωνία Α και τη γωνία Β. i Να δικαιολογήσετε ότι το τρίγωνο ΟΓΒ είναι ισόπλευρο και να υπολογίσετε το μήκος κάθε πλευράς του. iv) Αν ΒΓ=1 cm, να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. v) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ vi) Υπολογίστε το ύψος του ΑΒΓ από την κορυφή Γ.

23 Γ ο 60 A O B Σχήμα 0 Κανονικά Πολύγωνα 176. Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό; 177. Η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού -γώνου ισούται με ˆ Η γωνία του κανονικού πολυγώνου είναι ˆ 180 ˆ 179. Υπολογίστε (α) την κεντρική γωνία και (β) τη γωνία ενός κανονικού ν-γώνου, αν 3, 4, 5, 6, Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει τη κεντρική γωνία του ίση με: 30, 60 o, 10 o, 45 o 181. Σχεδιάστε έναν κύκλο ακτίνας 4cm και εγγράψτε σε αυτόν: i) ένα ισόπλευρο τρίγωνο και (στον ίδιο κύκλο) ένα κανονικό εξάγωνο ένα τετράγωνο και (στον ίδιο κύκλο) ένα κανονικό οκτάγωνο i ένα κανονικό εξάγωνο και (στον ίδιο κύκλο) ένα κανονικό δωδεκάγωνο Σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις, υπολογίστε τη γωνία του κανονικού πολυγώνου. Μήκος κύκλου Εμβαδόν κυκλικού δίσκου L 18. Ο λόγος της περιμέτρου κάθε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός, ίσος με L ή L Μια κυκλική λίμνη έχει περίμετρο 65,94m. Να υπολογίσετε τη διάμετρό της Ένας τεχνίτης μέτρησε τη περίμετρο μιας κυκλικής αυλής και την βρήκε 5m ενώ τη διάμετρο τη μέτρησε 9m. Είναι αξιόπιστες αυτές οι μετρήσεις; 3

24 186. Στο παρακάτω σχήμα οι χορδές ΑΡ και ΒΡ είναι 4cm και 3cm αντίστοιχα και το ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου διαμέτρου ΑΒ. i Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Α. Σχήμα Περιπατητής ξεκινά από το σημείο A ενός πάρκου με σταθερή ταχύτητα v 5 km / h και ακολουθεί τη διαδρομή ΑΒΓΔΕΖΔΓΗΑ. Αν η κυκλική διαδρομή ΑΗΓΒ έχει ακτίνα 1km, το μονοπάτι ΓΔ έχει μήκος 1, 5km και η κυκλική διαδρομή ΔΖΕ έχει ακτίνα 0, 5km, να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο που απαιτείται για να ολοκληρωθεί η διαδρομή (να γράψετε το αποτέλεσμα σε μορφή ΩΩ:ΛΛ:ΔΔ) Αθλητής τρέχει με ταχύτητα 10 km / Σχήμα h σε στίβο όπως στο παρακάτω σχήμα. Υπολογίστε το χρόνο που θα χρειαστεί για να 10 πλήρεις στροφές. Δίνονται το μήκος A 00m και οι διάμετροι των ημικυκλικών διαδρομών 50m (να γράψετε το αποτέλεσμα σε μορφή ΩΩ:ΛΛ:ΔΔ). 4

25 Σχήμα Στο παρακάτω σχήμα A 45 και cm. i) Δικαιολογείστε ότι η επίκεντρη γωνία BO 90 Υπολογίστε την ακτίνα και το μήκος του κύκλου L L 1 1 Σχήμα Ένα αυτοκίνητο με τροχούς ακτίνας 5cm κάνει σε μια διαδρομή κατά την οποία οι τροχοί του κάνουν 1000 πλήρεις περιστροφές. Πόσο διάστημα (σε km ) διάνυσε το αυτοκίνητο; 19. Δυο κύκλοι έχουν ακτίνες AB cm και A 3cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το λόγο των περιμέτρων των δύο κύκλων Μια συρμάτινη κυκλική στεφάνη ακτίνας 1m θερμαίνεται και η περίμετρός της αυξάνεται λόγω διαστολής κατά 5%. Πόσο είναι το ποσοστό αύξησης της ακτίνας της; 194. Μια συρμάτινη κυκλική στεφάνη με περίμετρο 68mm ψύχεται και η περίμετρός της μειώνεται λόγω συστολής κατά 5%. Πόσο είναι το ποσοστό μείωσης της ακτίνας της; 195. E 196. Αν AB 8cm και A 10cm, υπολογίστε 5

26 i) τα εμβαδά των δυο κυκλικών δίσκων του σχήματος το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου Aν το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 78, 5cm, να υπολογίσετε την ακτίνα του Λυγίζουμε ένα εύκαμπτο σύρμα μήκους 43,96cm, ενώνουμε τα δυο άκρα του και σχηματίζουμε έτσι ένα κυκλικό στεφάνι. Πόσο είναι το εμβαδόν του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου; 199. Το τετράγωνο του παρακάτω σχήματος έχει πλευρά a 4cm. i) Υπολογίστε την κεντρική γωνία. Αν 90, υπολογίστε i Αν iv) Σχήμα 5, υπολογίστε το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ. την ακτίνα ΕΓ του περιγεγραμμένου κύκλου. 00. Το τετράγωνο του παρακάτω σχήματος έχει πλευρά a 4cm. Υπολογίστε: i) την ακτίνα του κύκλου τα εμβαδά του τετραγώνου και του κυκλικού δίσκου i το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου 6

27 Σχήμα Το τετράγωνο του παρακάτω σχήματος έχει πλευρά a cm. Υπολογίστε: i) την κεντρική γωνία ΑΟΔ τη διάμετρο ΑΓ του περιγεγραμμένου κύκλου. i την περίμετρο του τριγώνου ΑΟΔ iv) το εμβαδόν του τετραγώνου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. v) το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας. Σχήμα 7 0. E E Σωστό ή Λάθος; i) Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου, τότε το μήκος του θα διπλασιαστεί. Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου, τότε το εμβαδόν του θα τετραπλασιαστεί. i Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου, τότε το εμβαδόν του θα τετραπλασιαστεί iv) Αν η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου μειωθεί στο μισό, τότε το εμβαδόν του θα μειωθεί στο μισό. 7

28 04. Ένας μεταλλικός κυκλικός δίσκος διαμέτρου 1m θερμαίνεται με αποτέλεσμα να διασταλεί. Αν η διάμετρος αυξηθεί λόγω διαστολής κατά %, υπολογίστε : i) το εμβαδόν του δίσκου πριν τη διαστολή i το εμβαδόν του δίσκου μετά τη διαστολή το ποσοστό αύξησης του εμβαδού. 05. Ένας μεταλλικός κυκλικός δίσκος εμβαδού 45,16cm ψύχεται με αποτέλεσμα να συσταλεί. Αν η εμβαδόν ελαττωθεί λόγω συστολής κατά 4%, υπολογίστε : i) την ακτίνα του δίσκου πριν τη συστολή i την ακτίνα του δίσκου μετά τη συστολή το ποσοστό μείωσης της ακτίνας. 06. Μια κυκλική αυλή ακτίνας 10m πρέπει να πλακοστρωθεί με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 30cm. Να εξετάσετε αν 400 πλακάκια είναι αρκετά για την πλακόστρωση. 07. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς a 4cm και τον εγγεγραμμένο σε κύκλο O,. i) Υπολογίστε την κεντρική γωνία του ΑΟΒ Αιτιολογείστε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και υπολογίστε την πλευρά του. i Αν 4cm, υπολογίστε το ύψος ΑΗ. iv) Αν OH cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ v) Υπολογίστε το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου. vi) Υπολογίστε το μήκος L του κύκλου και την περίμετρο του κανονικού εξαγώνου και τη διαφορά τους L. Σχήμα 8 8

29 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 08. Αν L, τότε Αν E, τότε..., Αν E, τότε..., Αν s, τότε s..., t... t 1. Αν 1 E, τότε...,..., Αν, τότε..., Αν, τότε...,... 9