Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg

Transcript

1 Γραφήματα

2 Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων Μελέτη χημικών συνθέσεων Μελέτη δομών Παγκοσμίου Ιστού (World Wide Web-WWW) Μελέτη διασύνδεσης υπολογιστικών συστημάτων Εύρεση συντομότερης διαδρομής μεταξύ πόλεων σε συγκοινωνιακό δίκτυο Χρονικός προγραμματισμός διαγωνισμών Ανάθεση καναλιών/συχνοτήτων

3 Γραφήματα ; Διακριτές δομές Αποτελούνται από κορυφές και ακμές Οι ακμές συνδέουν τις κορυφές Διαφορετικοί τύποι γραφημάτων ανάλογα με το είδος και το πλήθος των ακμών που συνδέουν ζεύγος κορυφών Βεβαρυμένα γραφήματα δηλ., γραφήματα με βάρη σε ακμές ή/και κορυφές χρησιμοποιούνται για αναπαράσταση και λύση ποικίλων προβλημάτων

4 Τα γραφήματα ως μοντέλα: Για αναπαράσταση: Ανταγωνισμού διαφορετικών ειδών σε ένα οικολογικό περιβάλλον Ποιος επηρεάζει ποιον σε έναν οργανισμό Αποτελεσμάτων αθλητικών πρωταθλημάτων Για λύση προβλημάτων όπως: Υπολογισμός πλήθους διαφορετικών συνδυασμών πτήσεων μεταξύ δύο πόλεων σε αεροπορικό δίκτυο Προσδιορισμό του αν μπορούμε να περάσουμε από όλους τους δρόμους μιας πόλης χωρίς να περάσουμε δύο φορές από τον ίδιο δρόμο Εύρεση πλήθους χρωμάτων που απαιτούνται για να χρωματιστούν οι περιοχές χάρτη

5 Είδη γραφημάτων Απλό γράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Τηλεφωνική γραμμή μεταξύ υπολογιστών Ακμή (μη κατευθυνόμενη) (Edge) Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Κάθε ακμή συνδέει δύο ξεχωριστές κορυφές

6 Είδη γραφημάτων Πολυγράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Ακμές (μη κατευθυνόμενες) Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές Μεγάλη δικτυακή κίνηση Κάθε απλό γράφημα είναι και πολυγράφημα Δεν ισχύει το αντίστροφο

7 Είδη γραφημάτων Ψευδογράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Ακμές (μη κατευθυνόμενες) Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Δίκτυο υπολογιστών με πολλαπλές γραμμές Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές Μεγάλη δικτυακή κίνηση Μπορεί να υπάρχουν βρόχοι Για διαγνωστικούς λόγους Δίκτυο υπολογιστών με διαγνωστικές γραμμές Στα πολυγραφήματα δεν επιτρέπονται βρόχοι Επιτρέπονται στα ψευδογραφήματα

8 Είδη γραφημάτων Κατευθυνόμενα γραφήματα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Ακμές (κατευθυνόμενες) Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές Κάποιος υπολογιστής μπορεί να δέχεται μόνο δεδομένα και να μην επιτρέπεται να στείλει Στα κατευθυνόμενα γραφήματα επιτρέπονται βρόχοι αλλά όχι πολλαπλές ακμές (ίδιας κατεύθυνσης) μεταξύ κορυφών

9 Είδη γραφημάτων Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Πολλαπλές ακμές (κατευθυνόμενες) Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές Στα κατευθυνόμενα πολυγραφήματα επιτρέπονται πολλαπλές ακμές μεταξύ κορυφών

10 Είδη γραφημάτων: σύνοψη

11 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα επικάλυψης περιβάλλοντος στην οικολογία είδος Ακμή = τα είδη ανταγωνίζονται (κάποιοι από τους διατροφικούς τους πόρους είναι ίδιοι)

12 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα γνωριμιών Για την αναπαράσταση σχέσεων μεταξύ ανθρώπων, όπως π.χ., αν γνωρίζονται άτομα Ακμή = τα άτομα γνωρίζονται

13 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα επίδρασης Σε μελέτες συμπεριφοράς παρατηρείται ότι κάποια άτομα μπορούν να επηρεάσουν άλλα άτομα Ακμή = το άτομο στην αρχή επηρεάζει το άτομο στο τέλος

14 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα του Hollywood Κορυφές ηθοποιοί Ακμή μεταξύ κορυφών οι αντίστοιχοι ηθοποιοί έχουν παίξει μαζί σε ταινία Internet Movie Database, 11/2001: κορυφές > ακμές

15 Μοντέλα γραφημάτων Αθλητικά πρωταθλήματα με αποκλεισμό του ηττημένου Κάθε ομάδα παίζει με άλλη ομάδα μόνο μία φορά Κορυφές ομάδες Κατευθυνόμενη ακμή μεταξύ κορυφών Α, Β η ομάδα Α νίκησε την ομάδα Β

16 Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα συνεργασίας Κατασκευή μοντέλου για συνεργατική συγγραφή επιστημονικών εργασιών Κορυφές συγγραφείς Ακμή μεταξύ κορυφών οι αντίστοιχοι συγγραφείς έχουν γράψει μαζί επιστημονική εργασία > κορυφές > ακμές

17 Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα (τηλεφωνικών) κλήσεων Κορυφές τηλεφωνικοί αριθμοί (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών τηλεφωνική κλήση

18 Μοντέλα γραφημάτων Το γράφημα του Παγκόσμιου Ιστού Κορυφές ιστοσελίδες (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β υπάρχει σύνδεσμος από την ιστοσελίδα Α στην ιστοσελίδα Β Τέτοια γραφήματα χρησιμοποιούν οι μηχανές αναζήτησης για δημιουργία ευρετηρίων ιστοσελίδων

19 Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα προτεραιότητας και ταυτόχρονη επεξεργασία Κορυφές εργασίες (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β η εργασία Α πρέπει να πραγματοποιηθεί πριν την εργασία Β

20 Γραφήματα: βασική ορολογία Μη κατευθυνόμενο γράφημα Γειτονικές κορυφές u,v: υπάρχει ακμή (u,v) μεταξύ τους Η ακμή (u,v) είναι προσκείμενη στις κορυφές u και v Η ακμή (u,v) συνδέει τις κορυφές u και v Οι κορυφές u και v είναι τελικά σημεία της ακμής (u,v) Βαθμός κορυφής v: πλήθος ακμών που πρόσκεινται στην κορυφή v Συμβολίζουμε deg(v) Κορυφές με βαθμό 0: απομονωμένες Κορυφές με βαθμό 1: εκκρεμείς

21 Παράδειγμα

22 Το Θεώρημα της Χειραψίας Τι θα έχουμε αν προσθέσουμε τους βαθμούς όλων των κορυφών ενός γραφήματος; Ακμή με δύο σημεία χειραψία με δύο χέρια ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΧΕΙΡΑΨΙΑΣ: Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με e ακμές. Τότε 2e = deg( v) v V Ισχύει ακόμα και αν υπάρχουν πολλαπλές ακμές και βρόχοι Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο άθροισμα αφού προσπίπτει σε δύο ακριβώς κορυφές. Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών μη κατευθυνόμενου γραφήματος είναι άρτιος αριθμός.

23 Το Θεώρημα της Χειραψίας Πόσες ακμές υπάρχουν σε γράφημα με 10 κορυφές, που κάθε μία είναι βαθμού 6; Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών είναι 6*10=60 Επειδή ισούται με το διπλάσιο του πλήθους των ακμών: 2*e=60 e=30

24 ΘΕΩΡΗΜΑ: Μη κατευθυνόμενο γράφημα έχει άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με V 1 V 2 =V V 1 ={u u είναι κορυφή του G με άρτιο βαθμό} V 2 ={v v είναι κορυφή του G με περιττό βαθμό} Ισχύει: v V v V 2e = deg( v) = deg( v) + deg( v) 1 v V 2

25 ΘΕΩΡΗΜΑ: Μη κατευθυνόμενο γράφημα έχει άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με V 1 V 2 =V V 1 ={u u είναι κορυφή του G με άρτιο βαθμό} V 2 ={v v είναι κορυφή του G με περιττό βαθμό} Ισχύει: v V Άρτιος αφού ισούται με 2e v V 2e = deg( v) = deg( v) + deg( v) 1 v V Άρτιος αφού deg(v) άρτιος 2 Άρτιος ως μέλος ζεύγους όρων με άρτιο άθροισμα Άθροισμα: άρτιος αριθμός περιέχει μόνο περιττούς όρους περιέχει άρτιο πλήθος όρων

26 Γραφήματα: βασική ορολογία Κατευθυνόμενο γράφημα Ακμή (u,v) u: αρχική κορυφή v: τελική κορυφή Βρόχοι: αρχική και τελική κορυφή είναι η ίδια Έσω βαθμός κορυφής v: πλήθος κορυφών ακμών που καταλήγουν στην κορυφή v Συμβολίζουμε deg - (v) Έξω βαθμός κορυφής v: πλήθος κορυφών ακμών που ξεκινούν από την κορυφή v Συμβολίζουμε deg + (v) Βρόχοι: συνεισφέρουν 1 και στον έσω και στον έξω βαθμό μιας κορυφής

27 Παράδειγμα

28 ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε κατευθυνόμενο γράφημα G=(V,E) ισχύει + deg ( v) = deg ( v) = E v V v V Απόδειξη Κάθε ακμή έχει αρχική και τελική κορυφή Το άθροισμα των έσω βαθμών και των έξω βαθμών όλων των κορυφών σε γράφημα με κατευθυνόμενες ακμές είναι ίσα Και τα δύο αυτά αθροίσματα ισούνται με το πλήθος των ακμών του γραφήματος

29 Ειδικά απλά γραφήματα

30 Ειδικά απλά γραφήματα

31 Ειδικά απλά γραφήματα

32 Ειδικά απλά γραφήματα

33 Διμερή γραφήματα Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών σε διαφορετικά υποσύνολα

34 Παράδειγμα Είναι διμερή τα παρακάτω γραφήματα; Διμερές Μη διμερές

35 Πλήρη διμερή γραφήματα Κ m,n Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Α και Β με m και n κορυφές, αντίστοιχα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών των υποσυνόλων Α και Β Υπάρχει ακμή μεταξύ κάθε κορυφής του Α προς όλες τις κορυφές του Β και κάθε κορυφής του Β προς όλες τις κορυφές του Α

36 Tαίριασμα σε διμερές γράφημα Ταίριασμα (matching): συλλογή ακμών που δεν έχουν κοινές κορυφές Πλήρες ταίριασμα (perfect matching): συλλογή ακμών που οι ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές και περιέχει όλες τις κορυφές του γραφήματος

37 Διμερές γράφημα: (i) Οι κορυφές είναι χωρισμένες σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα και (ii) δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών του ίδιου υποσυνόλου

38 Διμερές γράφημα: (i) Οι κορυφές είναι χωρισμένες σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα και (ii) δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών του ίδιου υποσυνόλου Οι κόκκινες ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές Ταίριασμα (Matching) μεγέθους 3

39 Διμερές γράφημα: (i) Οι κορυφές είναι χωρισμένες σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα και (ii) δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών του ίδιου υποσυνόλου

40 Πλήρες ταίριασμα (Perfect matching) Διμερές γράφημα: (i) Οι κορυφές είναι χωρισμένες σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα και (ii) δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών του ίδιου υποσυνόλου

41 Εφαρμογές ειδικών τύπων Τοπικά δίκτυα γραφημάτων Διασύνδεση μίνι-υπολογιστών και προσωπικών υπολογιστών με περιφερειακές συσκευές (εκτυπωτές, plotters, κτλ) Τοπολογία αστέρα Τοπολογία δακτυλίου Υβριδική τοπολογία

42 Ορισμός: Υπογράφημα γραφήματος G=(V,E) είναι γράφημα H=(W,F) με W V και F E

43 Ορισμός: Ένωση G 1 G 2 δύο απλών γραφημάτων G 1 =(V 1,E 1 ) και G 2 =(V 2,E 2 ) είναι το απλό γράφημα με σύνολο κορυφών V 1 V 2 και σύνολο ακμών E 1 E 2

44 Μονοπάτια σε γραφήματα Πρακτική σημασία Αποτελεσματική σχεδίαση οδεύσεων για Παράδοση αλληλογραφίας Συλλογή απορριμμάτων Διαγνωστικά σε δίκτυα υπολογιστών Μονοπάτι = ακολουθία διαδοχικών ακμών σε γράφημα Κύκλος: μονοπάτι στο οποίο η αρχική και η τελική κορυφή είναι η ίδια Απλό: μονοπάτι που δεν περιέχει την ίδια ακμή δύο φορές Μήκος μονοπατιού: πλήθος ακμών του Μονοπάτι με μήκος 0 περιέχει μία μόνο κορυφή

45 Μονοπάτια σε γραφήματα a,d,c,f,e: μονοπάτι d,e,c,a: όχι μονοπάτι b,c,f,e,b: κύκλος με μήκος 4 a,b,e,d,a,b: όχι απλό μονοπάτι μήκους 5

46 Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια σε γραφήματα γνωριμιών Υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ ανθρώπων Α και Β αν υπάρχει αλυσίδα ανθρώπων που συνδέει τους Α και Β Άνθρωποι γειτονικοί στην αλυσίδα = γνωρίζονται Six degrees of separation (facebook): κάθε ζεύγος ανθρώπων στον κόσμο συνδέεται με μια μικρή αλυσίδα ανθρώπων με μήκος το πολύ 6 Πείραμα Milgram

47 Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια σε γραφήματα συνεργασίας Κορυφές που αναπαριστούν συγγραφείς Α και Β συνδέονται με μονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθία συγγραφέων που ξεκινάει από την κορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστε οι συγγραφείς που ορίζουν κάθε ακμή να έχουν γράψει μαζί επιστημονική εργασία Μαθηματικοί/Επιστήμονες Υπολογιστών: αριθμός Erdös ενός επιστήμονα Ε = μήκος μικρότερου απλού μονοπατιού μεταξύ του Ε και του Paul Erdös

48

49 Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια στο γράφημα του Hollywood Κορυφές που αναπαριστούν ηθοποιούς Α και Β συνδέονται με μονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθία ηθοποιών που ξεκινάει από την κορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστε οι ηθοποιοί που ορίζουν κάθε ακμή να έχουν παίξει μαζί σε ταινία Ηθοποιοί Hollywood: αριθμός Bacon ενός ηθοποιού Α = μήκος μικρότερου απλού μονοπατιού μεταξύ του Α και του Kevin Bacon

50 Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Συνεκτικό γράφημα: υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο (διαφορετικών) κορυφών του συνεκτικό Μη συνεκτικό

51 Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Μη συνεκτικό γράφημα είναι ένωση δύο ή περισσότερων συνεκτικών υπογραφημάτων (= συνεκτικών συνιστωσών) που ανά ζεύγη δεν έχουν κοινές κορυφές

52 Συνεκτικότητα σε κατευθυνόμενα γραφήματα Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b και από τη b στην a Ασθενώς συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: το υποκείμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα είναι συνεκτικό ισχυρά συνεκτικό ασθενώς συνεκτικό

53 Μονοπάτια και κύκλοι Euler Πόλη Königsberg, Πρωσσία (σημερινό Kaliningrad, Ρωσική Δημοκρατία) γέφυρες Ποταμός Pregel Νησί Kneiphof Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

54 Μονοπάτια και κύκλοι Euler Υπάρχει απλός κύκλος στο παρακάτω πολυγράφημα που να περιέχει κάθε ακμή; Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

55 Μονοπάτι Euler Η γνωστή «μονοκονδυλιά» Σύντομες, κατατοπιστικές λεπτομέρειες για άτομα που ενδιαφέρονται περαιτέρω.

56 Ασκήσεις ΝΑΙ ΟΧΙ ΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι ΟΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

57 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη κύκλου Euler Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό υπάρχει κύκλος Euler στο γράφημα Υπάρχει κύκλος Euler κάθε κορυφή έχει βαθμό 2 (δηλαδή άρτιο) Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό κατασκευάζω τον κύκλο Euler ξεκινώντας από αυθαίρετη κορυφή και χρησιμοποιώντας πεπερασμένο πλήθος ακμών Αφού κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό το μονοπάτι μπορεί πάντα να εισέρχεται και να εξέρχεται από κάθε ακμή Μπορεί να προκύψουν μονοπάτια που χρησιμοποιούν (ΟΚ) ή δεν χρησιμοποιούν όλες τις ακμές του γραφήματος Μπορώ να τα ενώσω

58

59 Ασκήσεις Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

60 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη μονοπατιού Euler Υπάρχουν μόνο 2 κορυφές περιττού βαθμού υπάρχει μονοπάτι Euler στο γράφημα Υπάρχει μονοπάτι (αλλά όχι κύκλος) Euler η πρώτη και η τελευταία κορυφή έχουν περιττό βαθμό και όλες οι άλλες κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (=2) Υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές - u,v - με περιττό βαθμό προσθέτουμε την ακμή (u,v) στο αρχικό γράφημα και πλέον όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό υπάρχει κύκλος Euler με διαγραφή της ακμής (u,v) προκύπτει μονοπάτι Euler

61 Τελικά, τι έγινε στο Königsberg; Στο πολυγράφημα υπάρχουν 4 κορυφές περιττού βαθμού δεν υπάρχει μονοπάτι Euler Δε γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία

62 Μονοπάτια και κύκλοι Euler: πρακτικές εφαρμογές Αναζήτηση μονοπατιού ή κύκλου που διέρχεται μία μόνο φορά από κάθε δρόμο σε μια γειτονιά Το πρόβλημα του Κινέζου ταχυδρόμου [Guan Meigu, 1962] από κάθε σύνδεση σε δίκτυο ΔΕΗ, ΔΕΥΑ, από κάθε ζεύξη σε δίκτυο επικοινωνιών Μοριακή Βιολογία: μονοπάτια Euler χρησιμοποιούνται στην ακολουθία του DNA

63 Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι ή κύκλος που να περιέχει κάθε κορυφή μόνο μία φορά; Γρίφος του Είκοσι (Icosian Puzzle) [Sir William Rowan Hamilton, 1857]

64 Γρίφος του Είκοσι Δωδεκάεδρο: πολύεδρο με πλευρές 12 κανονικά πεντάγωνα 20 κορυφές του δωδεκάεδρου: 20 διαφορετικές πόλεις του κόσμου Σκοπός: να ξεκινήσουμε από μία πόλη και να ταξιδέψουμε κατά μήκος των ακμών του δωδεκάεδρου περνώντας μία φορά από κάθε μία από τις υπόλοιπες 19 πόλεις και να επιστρέψουμε στην αφετηρία

65 Γρίφος του Είκοσι Αντί να δουλεύω στο πραγματικό δωδεκάεδρο ασχολούμαι με ένα ισοδύναμο γράφημα με τις ίδιες κορυφές και ακμές (ισομορφικό) που προκύπτει αν «πατήσω» το δωδεκάεδρο ώστε να γίνει επίπεδο Μια λύση σημειώνεται με μπλε στο σχήμα

66 Άσκηση Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα έχει κύκλο η μονοπάτι Hamilton; ΝΑΙ ΌΧΙ κύκλο ΝΑΙ μονοπάτι ΟΧΙ

67 Πώς καταλαβαίνουμε αν θα βρούμε κύκλο Hamilton σε ένα γράφημα; Αν στο γράφημα υπάρχει κορυφή βαθμού 1 δεν υπάρχει κύκλος Hamilton Για κορυφή με βαθμό 2, οι ακμές που πρόσκεινται σε αυτή είναι τμήμα κάποιου κύκλου Hamilton Κύκλος Hamilton δε μπορεί να περιέχει άλλον μικρότερο κύκλο Hamilton

68 Επαρκείς συνθήκες για ύπαρξη κύκλου Hamilton σε συνεκτικό απλό γράφημα [Θεώρημα Dirac] Αν G απλό γράφημα με n κορυφές (n 3) και ο βαθμός κάθε κορυφής είναι τουλάχιστον ίσος με n/2, το G περιέχει κύκλο Hamilton [Θεώρημα Ore] Αν G απλό γράφημα με n κορυφές (n 3) και ο deg(u)+deg(v) n για κάθε ζεύγος μη γειτονικών κορυφών u, v, το G περιέχει κύκλο Hamilton Οι συνθήκες αυτές ΔΕΝ είναι και αναγκαίες Μπορεί να μην ισχύουν για γράφημα που έχει κύκλο Hamilton

69 Άσκηση Στο γράφημα Κn υπάρχει κύκλος Hamilton; Kn: πλήρες γράφημα με n κορυφές Ναι Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή Επισκεπτόμαστε τις υπόλοιπες ακολουθιακά με τυχαία σειρά Επιστρέφουμε στην αρχική Αυτό είναι εφικτό αφού υπάρχουν ακμές από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη

70 Το πρόβλημα εύρεσης κύκλου Hamilton σε γράφημα είναι δύσκολο Δεν έχουμε έξυπνο τρόπο να το λύνουμε γρήγορα Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε για να το λύσουμε είναι να ψάξουμε μία μία τις κορυφές του γραφήματος

71 Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton: πρακτικές εφαρμογές Επίσκεψη μία μόνο φορά σε κάθε διασταύρωση δρόμου σε μία πόλη κάθε σημείο διασταύρωσης σωληνώσεων σε δίκτυο π.χ., ύδρευσης κάθε κόμβο σε δίκτυο επικοινωνιών Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή: βρες το συντομότερο δρομολόγιο που πρέπει να ακολουθήσει ένας πωλητής που ταξιδεύει για να επισκεφθεί μια ομάδα πόλεων Το πρόβλημα ανάγεται σε εύρεση κύκλου Hamilton σε πλήρες γράφημα έτσι ώστε το συνολικό βάρος των ακμών του να γίνεται ελάχιστο

72 Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

73 Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

74 Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

75 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον προσδιορισμό του συντομότερου μονοπατιού σε τέτοια γραφήματα Το μήκος πλέον δεν είναι το πλήθος των ακμών του μονοπατιού αλλά το άθροισμα των βαρών των ακμών του Αλγόριθμος του Dijsktra [1959] για συνεκτικά, απλά, μη κατευθυνόμενα γραφήματα Ένα άλλο ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον εντοπισμό του συντομότερου κύκλου που ξεκινάει από αυθαίρετη κορυφή του γραφήματος, περνάει από όλες τις κορυφές του γραφήματος μία μόνο φορά και καταλήγει στην αρχική Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή

76 Επίπεδα γραφήματα Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς διασταύρωση των ακμών τους Μη επίπεδο γράφημα

77 Επίπεδα γραφήματα Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς διασταύρωση των ακμών τους Επίπεδα γραφήματα

78 Χρωματισμός γραφημάτων Πρακτικό πρόβλημα: χρωματισμός χαρτών Περιοχές με κοινά σύνορα πρέπει να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Αναπαράσταση με γραφήματα Περιοχές κορυφές Περιοχές με κοινά σύνορα συνδέονται με ακμή Δυικό γράφημα του χάρτη

79 Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφήματος: ανάθεσε χρώματα στις κορυφές του έτσι ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που απαιτείται για το χρωματισμό ενός γραφήματος

80 Το θεώρημα των 4 χρωμάτων Ο χρωματικός αριθμός επίπεδου γραφήματος δεν είναι μεγαλύτερος από 4 Τέθηκε σαν εικασία αρχικά το 1850 Αποδείχθηκε από τους Appel και Haken το 1976 Βασίζεται σε ανάλυση περιπτώσεων που έγινε με χρήση Η/Υ Αν η απόδειξη ήταν λάθος θα έπρεπε να βρεθεί 1 αντιπαράδειγμα σε 2000 περιπτώσεις που δε βρέθηκε

81 Χρωματισμός γραφημάτων Το πρόβλημα είναι δύσκολο Δεν έχουμε τρόπο να το λύσουμε γρήγορα Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να ψάχνουμε μία μία τις κορυφές Έχει ποικίλες πρακτικές εφαρμογές

82 Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων Πώς μπορούν να προγραμματιστούν οι τελικές εξετάσεις ώστε κανένας φοιτητής να μην έχει 2 εξετάσεις την ίδια μέρα; Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα Κορυφές: μαθήματα Ακμές: κάποιος φοιτητής πρέπει να παρακολουθεί και τα δύο μαθήματα Κάθε χρονικό διάστημα εξέτασης: διαφορετικό χρώμα Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων χρωματισμός του γραφήματος

83 Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων

84 Ανάθεση συχνοτήτων σε τηλεοπτικούς σταθμούς Στους σταθμούς ανατίθενται τα κανάλια 2 έως 12 έτσι ώστε να μην υπάρχουν σταθμοί σε απόσταση 150 χλμ που να λειτουργούν στο ίδιο κανάλι Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα Κορυφές: σταθμοί Ακμές: σταθμοί βρίσκονται εντός απόστασης 150 χλμ Κανάλια: διαφορετικά χρώματα Ανάθεση καναλιών χρωματισμός του γραφήματος

85

86 3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός

87 3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός Εναλλακτικός χρωματισμός

88

89 Επικοινωνία Κύκλωμα Οικονομικά Μεταφορές Συστήματα λογισμικού Internet Παιχνίδια Κοινωνικά δίκτυα Δίκτυα αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών Γενετικά δίκτυα Νευρωνικά δίκτυα Μεταδοτική ασθένεια Δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας Χημικές ενώσεις Γράφημα Μηχανική κατασκευή Υδραυλική κατασκευή Χρονοδρομολόγηση Τηλέφωνα, υπολογιστές Πύλες, Καταχωρητές, Επεξεργαστές Αρμοί Δεξαμενές, Αντλίες Μετοχές, Χρηματικές μονάδες Διασταυρώσεις, Αεροδρόμια Εργασίες Συναρτήσεις Ιστοσελίδες Θέσεις στην επιφάνεια (π.χ., στη σκακιέρα) Άτομα, Ηθοποιοί, Τρομοκράτες Πρωτεΐνες Γονίδια Νευρώνες Άτομα Σταθμοί μετάδοσης Μόρια Κορυφές Ακμές Καλώδια οπτικής ίνα Καλώδια Σκοινιά, ελατήρια, δέσμες Σωληνώσεις Συναλλαγές Αυτοκινητόδρομοι, Πτήσεις Περιορισμοί προτεραιότητας Κλήσεις συναρτήσεων Υπερσύνδεσμοι Κινήσεις σύμφωνες με κανόνες Φιλία, Ταινίες, Σύνδεσμοι Αλληλεπιδράσεις Αλληλεπιδράσεις βάσει κανόνων Συνάψεις Μολύνσεις Καλώδια Χημικοί δεσμοί