Φωτισµός και σκίαση. Μέχρι τώρα θεώρηση: κάθε επιφάνεια µε ένα µοναδικό χρώµα. Τι λείπει; Αλληλεπίδραση φωτόςαντικειµένων. «Επίπεδη» όψη αντικειµένων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φωτισµός και σκίαση. Μέχρι τώρα θεώρηση: κάθε επιφάνεια µε ένα µοναδικό χρώµα. Τι λείπει; Αλληλεπίδραση φωτόςαντικειµένων. «Επίπεδη» όψη αντικειµένων"

Transcript

1 Φωτισµός και σκίαση Μέχρι τώρα θεώρηση: κάθε επιφάνεια µε ένα µοναδικό χρώµα «Επίπεδη» όψη αντικειµένων Τι λείπει; Αλληλεπίδραση φωτόςαντικειµένων Στη φύση οι επιφάνειες εµφανίζονται µε πολλούς χρωµατικούς τόνους

2 Φως και ύλη Η πληρέστερη θεώρηση µε βάση τους νόµους της φυσικής (διατήρηση ενέργειας) Το χρώµα ενός αντικειµένου εξαρτάται από τις πολλαπλές αλληλεπιδράσεις φωτεινών πηγών και υλικών Μπορούν να εκφραστούν µε την εξίσωση απόδοσης (rendering equation) Άλυτη στη γενική µορφή της ακόµη και µε αριθµητικές µεθόδους

3 Φως και ύλη Χρήση προσεγγιστικών µεθόδων: ray tracing, radiocity Καθολικά (global) µοντέλα ύσκολο να υλοποιηθούν σε ικανοποιητικό χρόνο

4 Φωτισµός και σκίαση Τοπικό µοντέλο σκίασης Υπολογισµός του χρωµατικού τόνου κάθε σηµείου ανεξάρτητα από τα άλλα αντικείµενα της σκηνής. Εξάρτηση από ιδιότητες υλικού, τοπική γεωµετρία, θέση & ιδιότητες πηγών & παρατηρητή. Επιτάχυνση της διαδικασίας σχηµατισµού εικόνας.

5 Φως και ύλη Μοντέλο ανάκλασης Phong Ακτίνες από φωτεινές πηγές στα αντικείµενα και αλληλεπίδραση µε αυτά Η απλούστερη µορφή raytracing Απλουστευµένη θεώρηση χωρίς την επίδραση άλλων αντικειµένων στη σκίαση µιας επιφάνειας Καλή προσέγγιση του φυσικού φαινοµένου

6 Φως και ύλη Πρέπει να ορίσουµε µοντέλα φωτεινών πηγών & αλληλεπίδρασης φωτός-υλικών Καθορισµός χρώµατος εικονοστοιχείου από τις αλληλεπιδράσεις φωτός µε τα αντικείµενα Μια επιφάνεια απορροφά, αντανακλά, διαθλά το φως

7 Είδη επιφανειών Επιφάνειες κατευθυντικής ανάκλασης, κατοπτρικές (specular surfaces) Το ανακλώµενο φως διαχέεται σε µια µικρή περιοχή γωνιών Εµφανίζονται γυαλιστερές Καθρέπτες: τέλειες επιφάνειες κατευθυντικής ανάκλασης: ανακλούν το φως σε µία γωνία Γωνία πρόσπτωσης = γωνία ανάκλασης

8 Είδη επιφανειών Επιφάνειες διάχυτης ανάκλασης (diffuse surfaces) Το ανακλώµενο φως διαχέεται προς όλες τις κατευθύνσεις Εµφανίζονται µατ Τέλειες επιφάνειες διάχυτης ανάκλασης: ανακλούν το φως οµοιόµορφα προς όλες τις κατευθύνσεις, έχουν ίδια όψη από όλες τις γωνίες παρατήρησης

9 Είδη επιφανειών ιαφανείς επιφάνειες (translucent surfaces) Επιτρέπουν µέρος του φωτός να περάσει από µέσα τους: διάθλαση (refraction) Γυαλί, νερό Μέρος του προσπίπτοντος φωτός ανακλάται.

10 Φωτεινές πηγές Φως εκπέµπεται από µια επιφάνεια είτε από ανάκλαση (ετερόφωτο) είτε από εκποµπή λόγω εσωτερικής ενέργειας (αυτόφωτο) Φυσικές φωτεινές πηγές αυτόφωτές αλλά & ετερόφωτες Θα αγνοήσουµε το ανακλώµενο φως στο µοντέλο των φωτεινών πηγών

11 Φωτεινές πηγές Γενικά οι φωτεινές πηγές έχουν επιφάνεια Κατανεµηµένες, όχι σηµειακές Χαρακτηρισµός φωτεινής πηγής από συνάρτηση 6 µεταβλητών I(x,y,z,θ,φ,λ) Υπολογισµός φωτισµού σηµείου αντικειµένου µε ολοκλήρωση της Ι και λαµβάνοντας υπ όψιν και την απόσταση ύσκολο, προσέγγιση από πολλές σηµειακές πηγές

12 Φωτεινές πηγές

13 Έγχρωµες πηγές Το χρώµα καθορίζεται από την ένταση του φωτός στα διάφορα µήκη κύµατος Χρήση του τριχρωµατικού µοντέλου, περιγραφή µιας πηγής από µια συνάρτηση φωτεινότητας τριών συνιστωσών I I I r = g I b

14 Έγχρωµες πηγές Ανεξάρτητοι, όµοιοι υπολογισµοί για κάθε χρώµα Χρήση της κόκκινης συνιστώσας της πηγής για υπολογισµό της κόκκινης συνιστώσας της εικόνας.

15 Περιβάλλον φως (ambient light) Φωτεινές πηγές που παρέχουν οµοιόµορφο φωτισµό σε ένα χώρο Πηγές µεγάλης επιφάνειας µε σκεδαστές ύσκολη µοντελοποίηση Εναλλακτική λύση: θεωρούµε το αποτέλεσµα των πηγών κι όχι τις ίδιες τις πηγές ηµιουργία µιας οµοιόµορφης στάθµης φωτισµού σε όλο το χώρο.

16 Περιβάλλον φως (ambient light) Οµοιόµορφος φωτισµός µε πολλές διανεµηµένες πηγές: εξετάζουµε το τελικό αποτέλεσµα Θεώρηση µιας έντασης περιβάλλοντος φωτισµού που είναι ίδια σε όλα τα σηµεία του χώρου I a I I ar = ag I ab

17 Σηµειακές πηγές (point sources) Έχουν µηδενικό όγκο Εκπέµπουν το φως ισότροπα προς όλες τις κατευθύνσεις Το φως που δέχεται ένα σηµείο εξαρτάται από την απόσταση πηγής-σηµείου Ir ( p0) Ip ( 0) = I g ( 0) p I b( p0) ipp (, ) = Ip ( ) p p0

18 Σηµειακές πηγές (point sources) Εύκολη χρήση, δεν συναντώνται στην πράξη Οι φυσικές πηγές έχουν µέγεθος, δίνουν απαλή σκίαση Οι σηµειακές πηγές δίνουν σκηνές µε υψηλή αντίθεση, αφύσικες

19 Σηµειακές πηγές (point sources) Τρόποι µείωσης του φαινοµένου Προσθήκη περιβάλλοντος φωτός Χρήση διαφορετικού όρου εξασθένισης µε την απόσταση ( a+ bd + cd ) 2 1

20 Κατευθυντικές πηγές (spotlights) Εκπέµπουν φως σε στενή περιοχή γωνιών Κατασκευή µε βάση σηµειακή πηγή και κώνο που περιορίζει τη δέσµη φωτός Κώνος µε κορυφή στο p s, άξονα διάνυσµα l s και γωνία θ.

21 Κατευθυντικές πηγές (spotlights) Ρεαλιστικότερη προσέγγιση: η ένταση του φωτός συγκεντρωµένη στο κέντρο του κώνου και φθίνει σαν συνάρτηση της γωνίας φ µεταξύ του l s και διανύσµατος s σε σηµείο. Συνήθης επιλογή: cos e φ cosφ= sl s για µοναδιαία διανύσµατα

22 Κατευθυντικές πηγές (spotlights)

23 Αποµακρυσµένες πηγές Όταν η πηγή απέχει πολύ από την επιφάνεια η κατεύθυνση πρόσπτωσης δεν µεταβάλλεται πολύ στα διάφορα σηµεία Παράλληλες ακτίνες φωτός Αντί για θέση της πηγής ενδιαφέρει η κατεύθυνση του φωτός της Παρίστανται µε διάνυσµα

24 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong Αρκετά καλή προσέγγιση της πραγµατικότητας µε ρεαλιστικά αποτελέσµατα και µικρή σχετικά πολυπλοκότητα. Υπολογισµός χρώµατος σε σηµείο p µε τη χρήση 4 διανυσµάτων (κατά προτίµηση µοναδιαίων) n : κάθετο διάνυσµα στο p v : διάνυσµα από το p στον φακό l : διάνυσµα από το p στην σηµειακή πηγή r : κατεύθυνση ακτίνας από l σε τέλεια ανάκλαση

25 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong n : κάθετο διάνυσµα στο p v : διάνυσµα από το p στον φακό l : διάνυσµα από το p στην σηµειακή πηγή r : κατεύθυνση ακτίνας από l σε τέλεια ανάκλαση

26 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong Υποστηρίζει τα 3 είδη αλληλεπίδρασης φωτός-ύλης Κάθε πηγή έχει χωριστές συνιστώσες που ευθύνονται για το περιβάλλον φως, το φως κατευθυντικής ανάκλασης και το φως διάχυτης ανάκλασης, για κάθε χρώµα L Lira Liga L iba = L L L Lirs Ligs L ibs i ird igd ibd

27 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong Για κάθε σηµείο έχω 9 συντελεστές ανάκλασης R Rira Riga R iba = R R R Rirs Rigs R ibs i ird igd ibd Η επιφάνεια είναι κατά ένα ποσοστό µατ και κατά ένα ποσοστό διαχυτική Εξαρτώνται από το υλικό, προσανατολισµό επιφάνειας, κατεύθυνση πηγής, απόσταση πηγής και παρατηρητή, θέση παρατηρητή

28 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong Η ένταση κόκκινου φωτός σε σηµείο από την πηγή i : Iir = RiraLira + Rird Lird + RirsLirs = Iira + Iird + Iirs Αθροίζω για όλες τις πηγές Ίδιοι υπολογισµοί για κάθε χρώµα & πηγή: I = RL a a + RL d d + RL s s = Ia + Id + Is Πως θα υπολογίσω τους συντελεστές ανάκλασης?

29 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong Το χρώµα σε σηµείο εξαρτάται από το χρώµα της πηγής και το χρώµα (συντελεστές ανάκλασης) του υλικού Πηγή µε κόκκινη συνιστώσα φωτός ανάκλασης, µηδενικές συνιστώσες φωτός διάθλασης και περιβάλλοντος Υλικό µε µηδενικό συντελεστή ανάκλασης του κόκκινου φωτός ανάκλασης

30 Ανάκλαση περιβάλλοντος φωτός Ίδια ένταση L a σε όλα τα σηµεία Συντελεστής ανάκλασης περιβάλλοντος φωτός R a =k a : ποσοστό φωτός που αντανακλάται 0 k a 1 Ia = kl a a ιαφορετικοί συντελεστές για κάθε χρώµα

31 ιάχυτη ανάκλαση Επιφάνειες διάχυτης ανάκλασης ανακλούν το φως οµοιόµορφα προς κάθε κατεύθυνση Είναι τραχιές επιφάνειες Τέλεια διαχυτικές επιφάνειες: Λαµπερτιανές επιφάνειες Νόµος Lambert: R d ανάλογο του cosθ, βλέπουµε την κάθετη συνιστώσα του προσπίπτοντος φωτός cosθ=ln Η θέση του θεατή δεν παίζει ρόλο

32 ιάχυτη ανάκλαση

33 ιάχυτη ανάκλαση Id = kd( ln ) Ld k d : ποσοστό διαχυτικού φωτός που ανακλάται (το υπόλοιπο απορροφάται). Μπορώ να προσθέσω και εξασθένηση µε την απόσταση. Μόνο µε διάχυτη ανάκλαση και ανάκλαση περιβάλλοντος φωτός τα αντικείµενα φαίνονται µουντά. Λείπουν οι φωτεινές κηλίδες (highlights) µε χρώµα αυτό της φωτεινής πηγής

34 Κατευθυντική ανάκλαση Οι επιφάνειες κατευθυντικής ανάκλασης είναι λείες. Το φως από κατευθυντική ανάκλαση που βλέπει ο παρατηρητής εξαρτάται από τη γωνία φ µεταξύ της κατεύθυνσης παρατήρησης και της κατεύθυνσης τέλειας ανάκλασης a α I = k L cos φ = k L ( r v) s s s s s

35 Κατευθυντική ανάκλαση

36 Κατευθυντική ανάκλαση α: συντελεστής γυαλάδας Μεγάλο α: το ανακλώµενο φως συγκεντρώνεται γύρω από την r α<100: απλωµένες γυαλιστερές κηλίδες 100<α<500 µεταλλικές επιφάνειες α πολύ µεγάλο: καθρέφτες

37 Το µοντέλο ανάκλασης του Phong Πλήρες µοντέλο Phong (συγκεκριµένη πηγή και θέση παρατηρητή): 1 α I = ( k L ( ln ) + k L ( rv ) ) + k L 2 a+ bd + cd d d s s a a Υπολογισµός για κάθε πηγή και χρώµα. Χρήση καθολικού όρου περιβάλλοντος φωτός Χρησιµοποιούµε διαφορετική συνιστώσα για περιβάλλον φως, φως που ευθύνεται για διάχυτη & κατευθυντική ανάκλαση για να προσεγγίσουµε καθολικές επιδράσεις µε τοπικούς υπολογισµούς.

38 Κάθετα διανύσµατα Κάθε σηµείο οµαλής επιφάνειας σχετίζεται µε ένα κάθετο διάνυσµα τοπικός προσανατολισµός επιφάνειας Για τον υπολογισµό του κάθετου διανύσµατος χρειάζονται και γειτονικά σηµεία του σηµείου ενδιαφέροντος.

39 Κάθετα διανύσµατα Στην OpenGL ορίζω κάθετα διανύσµατα για τις κορυφές των πολυγώνων. ύσκολος αυτόµατος υπολογισµός στην αλυσίδα γραφικών. ουλεύω µε µία κορυφή/πολύγωνο πάντα

40 Κάθετα διανύσµατα Τα περισσότερα συστήµατα γραφικών αφήνουν στο χρήστη τον υπολογισµό του κάθετου διανύσµατος. Συσχέτιση σηµείου µε κάθετο διάνυσµα στην OpenGL: glnormal3f(nx,ny,nz) glnormal3vf(pointer) Κάθετο διάνυσµά: µεταβλητή κατάστασης. Πρέπει να είναι µοναδιαίο (κανονικοποιηµένο).

41 Κάθετα διανύσµατα Αυτόµατη κανονικοποίηση: glenable(gl_normalize) Σηµαντικό υπολογιστικό κόστος Οι µετασχηµατισµοί επιδρούν και στα κάθετα διανύσµατα! Μετά από µετασχηµατισµούς όπως διάτµηση και κλιµάκωση τα διανύσµατα µπορεί να µην είναι πια κανονικοποιηµένα.

42 Κάθετα διανύσµατα Κατάλληλη επιλογή του κάθετου διανύσµατος βοηθάει σε καλύτερη σκίαση. Σε επιφάνειες που προσεγγίζονται µε πολύγωνα (π.χ. σφαίρες) θέτω σαν κάθετο διάνυσµα όχι αυτό του πολυγώνου αλλά της σφαίρας στο αντίστοιχο σηµείο.

43 Κάθετα διανύσµατα Από σύµβαση το κάθετο διάνυσµα είναι αυτό που δείχνει προς την έξω πλευρά της επιφάνειας. Πολύγωνα που «βλέπουν» µπροστά: αυτά που οι κορυφές τους ορίζονται µε ανθωρολογιακή φορά.

44 Προσδιορισµός κάθετου διανύσµατος σε επίπεδο ax + by + cz + d = 0 Κάθετο διάνυσµα [a b c 0] n= ( p p ) ( p p ) Παράδειγµα: 3 κορυφές πολυγώνου. Προσοχή στη σειρά!

45 Προσδιορισµός κάθετου διανύσµατος σε σφαίρα Μοναδιαία σφαίρα f x y z x y z (,, ) = + + 1= 0 f ( p) = p p 1= 0 ιάνυσµα κλίσης n f x f = = y f z 2p

46 Προσδιορισµός κάθετου διανύσµατος σε σφαίρα Παραµετρική µορφή (σφαιρικές συντεταγµένες) xuv (, ) = cosusinv yuv (, ) = cosucosv zuv (, ) = sinu -π/2<u< π/2, -π<v<π Εύρεση n µέσω του εφαπτόµενου επιπέδου

47 Προσδιορισµός κάθετου διανύσµατος σε σφαίρα x x u v p y p y = ' = u u v v z z u v p p n= = (cos u) p u v Μας ενδιαφέρει µόνο η κατεύθυνση

48 Προσδιορισµός διανύσµατος τέλειας ανάκλασης Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση µε την γωνία ανάκλασης Γωνία πρόσπτωσης: l, n Γωνία ανάκλασης: r, n Η ακτίνα του προσπίπτοντος φωτός, η ακτίνα του ανακλώµενου φωτός και το κάθετο διάνυσµα είναι συνεπίπεδα Θεωρούµε τα l, n, r κανονικοποιηµένα

49 Προσδιορισµός διανύσµατος r = al+ bn τέλειας ανάκλασης cosθ ι = ln = cosθ r = nr nr = aln + b= ln 1= rr = a + 2abln + b 2 2 r = 2( l n) n 1 εν χρειάζεται να υπολογίσουµε το διάνυσµα τέλειας ανάκλασης.

50 ιάθλαση Σε διαφανή υλικά η ακτίνα φωτός κάµπτεται όταν εισέρχεται στο υλικό Η αλλαγή κατεύθυνσης εξαρτάται από τους δείκτες διάθλασης n t, n l : µέτρο σχετικής ταχύτητας στα δύο υλικά Νόµος το Snell sinθl nt sin = θ n t l

51 cosθ l = ln n = n n t l ιάθλαση cos θl 2 cos θt = (1 ) 2 n t = an+ bl 1 cosθl t = l (cos θt ) n n n

52 ιάθλαση Κρίσιµη γωνία πρόσπτωσης: sinθ l = n Για αυτή τη γωνία πρόσπτωσης sinθ t =1 ή θ t =90 0 : το φως διαθλάται παράλληλα στην επιφάνεια Για µεγαλύτερες γωνίες το φως ανακλάται ολοκληρωτικά, δεν διαθλάται.

53 Σκίαση Πολυγώνων (shading) Σκίαση: απόδοση χρωµατικού τόνου Με δεδοµένες πηγές/παρατηρητή & τεχνικές υπολογισµού καθέτου διανύσµατος, µπορώ να εφαρµόσω το µοντέλο ανάκλασης Phong σε κάθε σηµείο. Τα l, v, n αλλάζουν σε κάθε σηµείο της επιφάνειας Εξαιρετικά χρονοβόρο!

54 Σκίαση Πολυγώνων Προτιµώ απλουστεύσεις π.χ. υπολογισµός µοντέλου Phong σε ορισµένα σηµεία και παρεµβολή στα υπόλοιπα

55 Μοντέλα φωτισµού και σκίασης Μοντέλα φωτισµού: πως υπολογίζω το χρώµα σε δεδοµένο σηµείο (εξίσωση φωτισµού η ανάκλασης) Μοντέλα σκίασης: σε ποια σηµεία του αντικειµένου υπολογίζω την εξίσωση φωτισµού, τι κάνω για να υπολογίσω το χρώµα στα υπόλοιπα σηµεία

56 Σκίαση Πολυγώνων Προσεγγίζω τις επιφάνειες (συνήθως οµαλές) µε πολυγωνικά πλέγµατα Πρέπει να χρησιµοποιήσω τεχνικές σκίασης και κάθετα διανύσµατα που να δίνουν στο πολυγωνικό πλέγµα εµφάνιση/χρώµα ανάλογη της επιφάνειας που προσεγγίζει.

57 Επίπεδη ή σταθερή σκίαση Ένα µοναδικό χρώµα για όλο το πολύγωνο. Ισοδυναµεί µεσταθερά n, v, l σε όλο το πολύγωνο Αποµακρυσµένη πηγή, κατεύθυνση πηγής κι όχι θέση Αποµακρυσµένος παρατηρητής Το πολύγωνο είναι η ίδια η επιφάνεια, όχι προσέγγισή της Αποµακρυσµένο µε την έννοια «στο άπειρο» ή µακριά σε σχέση µε το µέγεθος του πολυγώνου

58 Επίπεδη ή σταθερή σκίαση Αν ισχύουν αυτά τότε η επίπεδη σκίαση δίνει το σωστό αποτέλεσµα Το µοντέλο Phong αρκεί να υπολογιστεί σε ένα σηµείο κάθε πολυγώνου Χρησιµοποιείται το κάθετο διάνυσµα της πρώτης κορυφής του πολυγώνου και τα αντίστοιχα v & l Αντίστοιχοι κανόνες για άλλα αρχέτυπα. glshademodel(gl_flat) Ταχύτατη υλοποίηση

59 Επίπεδη ή σταθερή σκίαση Απογοητευτικά αποτελέσµατα αν χρησιµοποιούµε πολύγωνα για να µοντελοποιήσουµε οµαλές επιφάνειες. Ίδιο χρώµα σε κάθε πολύγωνο -διαφορετικό χρώµα σε γειτονικά πολύγωνα. Το ανθρώπινο µάτι υπερτονίζει τις τονικές διαφορές σε γειτονικές περιοχές διαφορετικού τόνου Φαινόµενο Mach band, lateral inhibition

60 Επίπεδη ή σταθερή σκίαση

61 Σκίαση παρεµβολής Υπολογίζεται το χρώµα κάθε κορυφής µε βάση τα n, v, l και φυσικά τις ιδιότητες του υλικού Γίνεται διγραµµική παρεµβολή για να υπολογιστεί το χρώµα των σηµείων του πολυγώνου Γραµµική παρεµβολή στις ακµές Γραµµική παρεµβολή σε ευθείες που συνδέουν σηµεία των ακµών. glshademodel(gl_smooth) Γρήγορη υλοποίηση

62 Σκίαση Gouraud Με τη σκίαση παρεµβολής έχω οµαλή µεταβολή του χρώµατος µέσα στο πολύγωνο αλλά όχι µεταξύ γειτονικών πολυγώνων. Για να πετύχω οµαλή µετάβαση χρωµάτων από πολύγωνο σε πολύγωνο & ρεαλιστική απόδοση της επιφάνειας που προσεγγίζω πρέπει να υπολογίσω κατάλληλα τα κάθετα διανύσµατα Πιθανή προσέγγιση: το πραγµατικό κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας, ίδιο σε όλα τα

63 Σκίαση Gouraud Το κάθετο διάνυσµα σε κορυφή ίσο µε το κανονικοποιηµένο µέσο όρο των καθέτων των πολυγώνων που τη µοιράζονται. n1 + n2 + n3+.. n = n + n + n Ίδιο διάνυσµα σε κορυφή σε όλα τα πολύγωνα που τη µοιράζονται. Επιτυγχάνει παρεµβολή µεταξύ πολυγώνων Τα διανύσµατα σε κάθε πολύγωνο καθορίζονται µε βάση και τα γειτονικά

64 Σκίαση Gouraud Την παρεµβολή µέσα στο πολύγωνο την κάνει η OpenGL, για την παρεµβολή των διανυσµάτων υπεύθυνος είναι ο χρήστης. Πρόβληµα: αν δίνω τα πολύγωνα ανεξάρτητα δεν έχω πληροφορία γειτνίασης (ποια πολύγωνα µοιράζονται µια κορυφή) Λύση: χρήση κατάλληλων δοµών (λιστών) Λίστα πολυγώνων που συναντώνται σε µια κορυφή, για κάθε κορυφή.

65 Σκίαση Gouraud

66 Σκίαση Phong Ακόµη και µε σκίαση παρεµβολής & Gouraud, εµφανίζονται τονικές ασυνέχειες. Σκίαση Phong: Μέσος όρος για τον υπολογισµό των διανυσµάτων στις κορυφές Παρεµβολή διανυσµάτων σε ακµές και στη συνέχεια στο εσωτερικό Ένα κάθετο διάνυσµα για κάθε σηµείο του πολυγώνου.

67 Σκίαση Phong

68 Σκίαση Phong Υπολογισµός της εξίσωσης φωτισµού σε κάθε σηµείο ανεξάρτητα Καλύτερη σκίαση εξαιρετικά χρονοβόρα. εν παρέχεται άµεσα από την OpenGL Γίνεται συνήθως off-line

69 Οι τεχνικές σκίασης Gouraud & Phong δεν έχουν νόηµα αν τα πολύγωνα παριστούν την ίδια την επιφάνεια (πολυγωνική επιφάνεια, πολύεδρο διαµάντι) και όχι µια προσέγγισή της (προσέγγιση σφαίρας). Ίδιο κάθετο διάνυσµα για όλες τις κορυφές ενός πολυγώνου ιαφορετικά κάθετα διανύσµατα για την ίδια κορυφή σε διαφορετικά πολύγωνα

70

71 Φωτεινές πηγές & OpenGL Υποστηρίζει σηµειακές, κατευθυντικές, µακρινές πηγές & περιβάλλοντα φωτισµό. Τουλάχιστον 8 πηγές: GL_LIGHT0, GL_LIGHT1, GL_LIGHTi= GL_LIGHT0+i

72 Φωτεινές πηγές & OpenGL O φωτισµός πρέπει να ενεργοποιηθεί συνολικά glenable(gl_lighting) Κάθε πηγή πρέπει να οριστεί ΚΑΙ να ενεργοποιηθεί χωριστά glenable(gl_light0) gldisable(gl_light0)

73 Φωτεινές πηγές & OpenGL Οι παράµετροι της πηγής που πρέπει να προσδιορισθούν είναι αυτές του µοντέλου Phong Καθορισµός διανυσµατικών & βαθµωτών παραµέτρων: gllightfv(source, parameter, pointer2array) gllightf (source, parameter,value)

74 ιαν. παράµετροι φωτεινών πηγών Θέση ή κατεύθυνση σε οµογενείς συντεταγµένες: GL_POSITION gllightfv(gl_light0, GL_POSITION, pos) {1, 2, 3, 1}: θέση {1, 2, 3, 0}: κατεύθυνση (αποµακρυσµένη πηγή)

75 ιαν. παράµετροι φωτεινών πηγών Συνιστώσες περιβάλλοντος φωτός (ambient component), φωτός διαχυτικής ανάκλασης (diffuse component), φωτός κατευθυντικής ανάκλασης (specular component), για τα τρία χρώµατα Glfloat diff[]= {1, 0, 0, 1} ; gllightfv(gl_light0, GL_DIFFUSE, diff); Κλήση για κάθε συνιστώσα χωριστά.

76 Φωτεινές πηγές & OpenGL Προσθήκη όρου συνολικού περιβάλλοντος φωτισµού gllightmodelfv(gl_light_model_ambient,amb) Συντελεστές του όρου εξασθένησης µε την 2 1 απόσταση ( a+ bd + cd ) gllightf(gl_light0, GL_CONSTANT_ATTENUATION, a) Αντίστοιχα LINEAR & QUADRATIC για τα b,c

77 Κατευθυντικές πηγές Προσδιορισµός της κατεύθυνσης της πηγής (διάνυσµα-άξονας του κώνου) µε gllightfv και GL_SPOT_DIRECTION Προσδιορισµός της γωνίας του κώνου και του εκθετικού της συνάρτησης απόσβεσης µε gllightf και GL_SPOT_CUTOFF, GL_SPOT_ EXPONENT

78 Μακρινός-κοντινός παρατηρητής Αν θεωρήσω τον παρατηρητή µακριά από τη σκηνή το v σταθερό σε όλη τη σκηνή Λιγότεροι υπολογισµοί, µικρή επίδραση στον ρεαλισµό, default κατάσταση στην OpenGL. Αν ο παρατηρητής κοντά το v πρέπει να υπολογιστεί σε κάθε σηµείο της σκηνής (κορυφές πολυγώνων) όπου χρειάζεται. gllightmodeli(gl_light_model_local _VIEWER, GL_TRUE)

79 Φωτεινές πηγές και µετασχηµατισµοί Οι φωτεινές πηγές θεωρούνται αντικείµενα και επηρεάζονται από τους µετασχηµατισµούς Η θέση τους επηρεάζεται από τον τρέχοντα modelview matrix. Μπορώ να τοποθετήσω/κινήσω την πηγή όπου θέλω µε κατάλληλες εντολές.

80 Φωτεινές πηγές και µετασχηµατισµοί Ανάλογα µε το που τοποθετώ τις εντολές για τον προσδιορισµό της πηγής σε σχέση µε τις εντολές καθορισµού αντικειµένων µπορώ να πετύχω: Σταθερές πηγές, κινούµενα αντικείµενα Κινούµενες πηγές, ακίνητα αντικείµενα Πηγές που ακολουθούν την κίνηση των αντικειµένων.

81 Υλικά & OpenGL Προσδιορισµός διανυσµατικών παραµέτρων: glmaterialfv glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE,diffuse) Προσδιορισµός των συντελεστών διάχυτης ανάκλασης k dr, k dg, k db για τα τρία χρώµατα: τι ποσοστό της αντίστοιχης συνιστώσας της πηγής ανακλάται GL_AMBIENT, GL_SPECULAR

82 Υλικά & OpenGL υνατότητα καθορισµού επιφανειών που εκπέµπουν φως: GL_EMISSION Προσδιορισµός συντελεστή γυαλάδας: glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, 100) Οι εντολές ιδιοτήτων υλικών επηρεάζουν όλα τα πολύγωνα που ορίζονται στη συνέχεια.

83 Αναδροµική υποδιαίρεση (recursive subdivision) Μέθοδος για την προσέγγιση επιφανειών µε πολυγωνικά πλέγµατα, µε όση ακρίβεια επιθυµούµε Ξεκινούµε µε µια χονδροειδή προσέγγιση της επιφάνειας και την τελειοποιούµε υποδιαιρώντας τα πολύγωνα σε µικρότερα.

84 Προσέγγιση σφαίρας µε αναδροµική υποδιαίρεση Ξεκινάµε µε ένα κανονικό τετράεδρο, εγγεγραµµένο σε µοναδιαία σφαίρα. Έδρες: ισόπλευρα τρίγωνα Υποδιαιρώ κάθε έδρα σε 4 ισόπλευρα τρίγωνα υπολογίζοντας τα µέσα των πλευρών. Μετακινώ (κανονικοποιώ) τα νέα σηµεία ώστε να τοποθετηθούν πάνω στη σφαίρα Συνεχίζω αναδροµικά

85 Προσέγγιση σφαίρας µε αναδροµική υποδιαίρεση

86 Καθολικά µοντέλα σκίασης Τοπικό µοντέλο σκίασης: το χρώµα κάθε σηµείου υπολογίζεται χωρίς να λαµβάνονται υπ όψιν αλληλεπιδράσεις φωτός µε άλλα αντικείµενα Πλεονεκτήµατα τοπικού µοντέλου σκίασης Συµβατά µε την αρχιτεκτονική σωλήνα (κάθε πολύγωνο επεξεργάζεται & απεικονίζεται ανεξάρτητα Ταχύτητα

87 Καθολικά µοντέλα σκίασης Μειονεκτήµατα τοπικού µοντέλου σκίασης εν µπορεί να δηµιουργήσει σκιές εν µπορεί να µοντελοποιήσει φως που ανακλάται από ένα αντικείµενο και προσπίπτει σε άλλο. π.χ. αντικατοπτρισµό ενός αντικειµένου σε ένα άλλο. Για να έχω τέτοια αποτελέσµατα χρειάζοµαι καθολικά µοντέλα σκίασης

88 Καθολικά µοντέλα: ray tracing Παρακολούθηση ακτινών από τη φωτεινή πηγή µέχρι να φτάσουν στο φακό ή να χαθούν στο άπειρο. Χρονοβόρο: οι περισσότερες ακτίνες δεν φτάνουν στο φακό Αντίστροφη διαδικασία (ray casting): στέλνω ακτίνες από το φακό (COP) και διαµέσου κάθε pixel και ακολουθώ την πορεία τους.

89 Καθολικά µοντέλα: ray tracing Αν χτυπήσω αντικείµενο και υπολογίσω το χρώµα µονό µε βάση την πηγή και το αντικείµενο έχω ισοδύναµο του τοπικού µοντέλου. Αν βρω αν παρεµβάλλονται αντικείµενα µεταξύ πηγής και σηµείου έχω και σκιές. Γενική περίπτωση: συνεχίζω να ακολουθώ την ακτίνα.

90 Καθολικά µοντέλα: ray tracing

91 Καθολικά µοντέλα: radiosity Η φωτεινή ενέργεια σε µία σκηνή διατηρείται. Ενεργειακό ισοζύγιο µεταξύ της ενέργειας που εκπέµπεται από τις πηγές και αυτής που ανακλάται, απορροφάται ή διαθλάται από τα αντικείµενα. Επίλυση αντίστοιχων εξισώσεων

92 Καθολικά µοντέλα Επιφάνειες υψηλής κατευθυντικής ανάκλασης (γυαλιστερές): καλύτερη απόδοση µε ray tracing Επιφάνειες υψηλής διάχυτης ανάκλασης (µατ): καλύτερη απόδοση µε radiocity

93 Απόδοση καθολικών φαινοµένων µε τοπικά µοντέλα Χρήση γνώσης της OpenGL και των φαινοµένων στα καθολικά µοντέλα για να προσεγγίσω τι θα έπαιρνα µε το καθολικό µοντέλο. Σηµαντικές προσπάθειες προς αυτή την κατεύθυνση.

94 Παράδειγµα: προβολικές σκιές Η σκιά ενός πολυγώνου σε ένα επίπεδο είναι η προβολή του πολυγώνου στο επίπεδο µε κέντρο την πηγή και επίπεδο προβολής το επίπεδο. Ζωγραφίζω το πολύγωνο δύο φορές: Κανονικό πολύγωνο Πολύγωνο σκιάς µε «χρώµα σκιάς» πάνω στο επίπεδο. Χρήση αρχών προβολής (κατάλληλου modelview matrix)

95 Παράδειγµα: προβολικές σκιές

Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού

Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό πραγματεύεται ένα πολύ σημαντικό θέμα για τα συστήματα γραφικών. Ο φωτισμός είναι η σημαντικότερη ίσως παράμετρος, η οποία αποδίδει αίσθηση ρεαλισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

I λ de cos b (8.3) de = cos b, (8.4)

I λ de cos b (8.3) de = cos b, (8.4) Κεφάλαιο 8 Φωτισµός (Illumination) 8.1 Βασικοί ορισµοί και παραδοχές Με τον όρο Φωτισµός εννοούµε τι διαδικασία υπολογισµού της έντασης της ϕωτεινής ακτινοβολίας που προσλαµβάνει ο ϑεατής (π.χ. µία κάµερα)

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Φωτισμός

Γραφικά Υπολογιστών: Φωτισμός 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Φωτισμός (llumination) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Μοντέλα φωτισμού στα γραφικά υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµερινό Μάθηµα! Γραφικά. Επιφάνεια µεκάθεταδιανύσµατα. Προσέγγιση εφαπτόµενου επιπέδου. Μοντέλα φωτισµού (Illumination models)

Σηµερινό Μάθηµα! Γραφικά. Επιφάνεια µεκάθεταδιανύσµατα. Προσέγγιση εφαπτόµενου επιπέδου. Μοντέλα φωτισµού (Illumination models) Σηµερινό Μάθηµα! Γραφικά Μοντέλα φωτισµού (Illumination models) Έµµεσος φωτισµός (Ambient Light) Είδη ανακλάσεων Κατευθυνόµενη ανάκλαση (Specularity) ιάχυτη ανάκλαση Κανόνας του Lambert Πολλαπλέςφωτεινέςπηγές

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Υπολογιστικής Όρασης και Γραφικής 2012-2013 ΦΩΤΙΣΜΟΣ/ΣΚΙΑΣΕΙΣ. Ευάγγελος Θεοδωρίδης

Ειδικά Θέματα Υπολογιστικής Όρασης και Γραφικής 2012-2013 ΦΩΤΙΣΜΟΣ/ΣΚΙΑΣΕΙΣ. Ευάγγελος Θεοδωρίδης Ειδικά Θέματα Υπολογιστικής Όρασης και Γραφικής 2012-2013 ΦΩΤΙΣΜΟΣ/ΣΚΙΑΣΕΙΣ Ευάγγελος Θεοδωρίδης Normal Vectors Η ένταση του φωτισμού μίας επιφάνειας εξαρτάται από την κατεύθυνση της σε σχέση με το φώς

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, φωτισμός και χρωματισμός

Υλικά, φωτισμός και χρωματισμός Υλικά, φωτισμός και χρωματισμός Ζωγραφίζουμε, που; Είπαμε ότι ζωγραφίζουμε την σκηνή παίρνοντας κάθε σημείο και προβάλλοντας το στην οθόνη. Στην πραγματικότητα το αποθηκεύουμε σε μια περιοχή της μνήμης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού

Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλο φωτισµού: συγκεκριµένη και απλοποιηµένη παράσταση φυσικών νόµων που διέπουν τον φωτισµό. Τοπικό: λαµβάνει υπ όψη µόνο άµεση πρόσπτωση φωτός (π.χ. Phog). Γενικό: λαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού

ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού Φωτισμός Για την ρεαλιστική παράσταση γραφικών χρειάζονται τα εξής: Ένα μοντέλο φωτισμού απλοποιημένη αναπαράσταση των φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας

Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας Η αρχιτεκτονική αλυσίδας γραφικών (κάθε πολύγωνο περνάει χωριστά από την αλυσίδα) σε συνδυασμό με τοπικά μοντέλα σκίασης έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 4η - 3Δ γραφικά

Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 4η - 3Δ γραφικά Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 4η - 3Δ γραφικά Ιόνιο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Πληροφορικής, 2015 Κωνσταντίνος Οικονόμου, Επίκουρος Καθηγητής Βασίλειος Κομιανός, Υποψήφιος Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

9ο Μάθημα Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού

9ο Μάθημα Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού 9ο Μάθημα Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Λίγη φυσική Μοντέλο Phong Αλγόριθμοι Φωτισμού Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ 1 ΦΩΣ Στο μικρόκοσμο θεωρούμε ότι το φως έχει δυο μορφές. Άλλοτε το αντιμετωπίζουμε με τη μορφή σωματιδίων που ονομάζουμε φωτόνια. Τα φωτόνια δεν έχουν μάζα αλλά μόνον ενέργεια. Άλλοτε πάλι αντιμετωπίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ο Φωτορεαλισµός

Κεφάλαιο 6 ο Φωτορεαλισµός Κεφάλαιο 6 ο Φωτορεαλισµός Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο αναλύσαµε τις µεθόδους απόδοσης χρωµάτων σε επιφάνειες κατά τη σχεδίασή τους στη σκηνή. Ωστόσο, εάν ενδιαφερόµαστε για την απόδοση σκηνών που προσοµοιώνουν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API)

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API) Εισαγωγή Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API) Γιατί OpenGL; Άλλα APIs: PHIGS (ANSI), GKS, Direct3D, VRML, JAVA-3D

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά µε Υπολογιστές

Γραφικά µε Υπολογιστές Ιόνιο Πανεπιστήµιο, Τµήµα Πληροφορικής Γραφικά µε Υπολογιστές Εργαστήριο 3 Υλικά, φωτισµός και χρωµατισµός Στο εργαστήριο αυτό θα δούµε το µοντέλο φωτισµού που υποστηρίζει η OpenGL, και πώς να αλλάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. H γραφική αναπαράσταση ενός κύματος φωτός δίνεται στο Σχήμα 1(α) που ακολουθεί: ΣΧΗΜΑ 1

ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. H γραφική αναπαράσταση ενός κύματος φωτός δίνεται στο Σχήμα 1(α) που ακολουθεί: ΣΧΗΜΑ 1 ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ Το φως είναι ένα σύνθετο κύμα. Με εξαίρεση την ακτινοβολία LASER, τα κύματα φωτός δεν είναι επίπεδα κύματα. Κάθε κύμα φωτός είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο οποίο τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουλου τις ακόλουθες ασκήσεις : 11.1-11.36, 11.46-11.50, 11.52-11.59, 11.61, 11.63, 11.64, 1.66-11.69, 11.71, 11.72, 11.75-11.79, 11.81

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Διάθλαση και Περίθλαση Κυμάτων Κύματα σε Δύο Διαστάσεις Doppler Effect και Shock Waves

Διάλεξη 4. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Διάθλαση και Περίθλαση Κυμάτων Κύματα σε Δύο Διαστάσεις Doppler Effect και Shock Waves Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 4 Διάθλαση και Περίθλαση Κυμάτων Κύματα σε Δύο Διαστάσεις Doppler Effect και Shock Waves Ανασκόπηση Διάλεξης 3 Αναφερθήκαμε στην Απλή Αρμονική Κίνηση (ΑΑΚ)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Σκιές. Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής

Γεωμετρικές Σκιές. Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής Γεωμετρικές Σκιές Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής Περιεχόμενα Σ1 Χαρακτηριστικά Σκιών στα Γραφικά Σ2 Απλές Σκιές Σ3 Σύγχρονοι Αλγόριθμοι Σκιών 2 Εισαγωγή (1) Οι σκιές είναι σημαντικές στην κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας ΙΙ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ: ΗΛΙΑΚΟΙ ΘΕΡΜΙΚΟΙ ΣΥΛΛΕΚΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Α) Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη 9:00 12:00. Αίθουσα: Υδραυλική

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας ΙΙ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ: ΗΛΙΑΚΟΙ ΘΕΡΜΙΚΟΙ ΣΥΛΛΕΚΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Α) Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη 9:00 12:00. Αίθουσα: Υδραυλική Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας ΙΙ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ: ΗΛΙΑΚΟΙ ΘΕΡΜΙΚΟΙ ΣΥΛΛΕΚΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Α) Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη 9:00 12:00 Αίθουσα: Υδραυλική Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Σουλιώτης, Φυσικός Επικοινωνία: msouliot@hotmail.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)

Διαβάστε περισσότερα

#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως # Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Αλγόριθμοι απόδοσης Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Αλγόριθμοι απόδοσης Εισαγωγή Κεφάλαιο 2: Αλγόριθμοι απόδοσης Εισαγωγή Για τους περισσότερους χρήστες, η γραφική με υπολογιστές είναι συνώνυμη με την απόδοση στιγμιοτύπων του κόσμου που μας περιβάλλει με τρόπο τέτοιο που, κατά το δυνατό,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Οπτική. Γεωμετρική Οπτική

Εφαρμοσμένη Οπτική. Γεωμετρική Οπτική Εφαρμοσμένη Οπτική Γεωμετρική Οπτική Κύρια σημεία του μαθήματος Η προσέγγιση της γεωμετρικής οπτικής Νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης Αρχή του Huygens Αρχή του Fermat Αρχή της αντιστρεψιμότητας (principle

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Ανίχνευση Ακτίνας (φωτός) (ray tracing)

Γραφικά Υπολογιστών: Ανίχνευση Ακτίνας (φωτός) (ray tracing) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Ανίχνευση Ακτίνας (φωτός) (ray tracing) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Θα εξετάσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος Ο1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος 1. Εισαγωγή Όταν δέσµη λευκού φωτός προσπέσει σε ένα πρίσµα τότε κάθε µήκος κύµατος διαθλάται σύµφωνα µε τον αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μελέτη μοντέλων φωτισμού και μεθόδων απόδοσης επιφανειών Study of illumination models and surface rendering

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

papost/

papost/ Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος Επίκουρος Καθηγητής http://users.uoa.gr/ papost/ papost@phys.uoa.gr ΤΕΙ Ιονίων Νήσων, Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Οπως είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Γενικές εξετάσεις 0 Φυσική Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σύμφωνα με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell, το φως είναι εγκάρσιο ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Η θεωρία αυτή α. δέχεται ότι κάθε φωτεινή πηγή εκπέμπει φωτόνια.

Διαβάστε περισσότερα

7α Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα

7α Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα 7α Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα Εισαγωγή ορισμοί Φύση του φωτός Πηγές φωτός Δείκτης διάθλασης Ανάκλαση Δημιουργία ειδώλων από κάτοπτρα Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/katsiki Ηφύσητουφωτός

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση =0.0 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,0 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές φωτίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ.Π. Γ Λυκείου / Το Φως 1. Η υπεριώδης ακτινοβολία : a) δεν προκαλεί αμαύρωση της φωτογραφικής πλάκας. b) είναι ορατή. c) χρησιμοποιείται για την αποστείρωση ιατρικών εργαλείων. d) έχει μήκος κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση δεδομένων (data visualization)

Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Χρήση γραφικών για την αναπαράσταση δεδομένων από διάφορες πηγές Ιατρικές εφαρμογές (π.χ. αξονική τομογραφία) Μαθηματικά μοντέλα και συναρτήσεις Προσομοίωση διεργασιών

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=0.20 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,20 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ 17/12/24 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 34 24-5 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσμία παράδοσης 31/1/25 Άσκηση 1 α) Το ηλεκτρικό πεδίο ενός επιπέδου ηλεκτρομαγνητικού κύματος έχει 2 1 πλάτος 1 Vm. Βρείτε (i) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

5 Δεκεμβρίου 2015 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΜΟΝΑΔΕΣ:

5 Δεκεμβρίου 2015 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΜΟΝΑΔΕΣ: ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ EUSO 2016 ΦΥΣΙΚΗ 5 Δεκεμβρίου 2015 ΛΥΚΕΙΟ:..... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1.. 2.. 3.. ΜΟΝΑΔΕΣ: Το πρόβλημα Μελέτη οπτικών ιδιοτήτων διαφανούς υλικού με τη βοήθεια πηγής φωτός laser Είστε στο δωμάτιό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή

Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Πολλέςαπότιςεργασίεςσχεδίασης (αρχιτεκτονικό, μηχανολογικό σχέδιο, κινούμενα σχέδια) γίνονται με υπολογιστή Ο χρήστης θα πρέπει να μπορεί να παράξει «κλασικές»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11Α «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Εισαγωγή - Ανάκλαση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11Α «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Εισαγωγή - Ανάκλαση ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Εισαγωγή - Ανάκλαση Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Ηφύσητουφωτός 643-77 Netwon Huygens 69-695 Το φως είναι δέσμη σωματιδίων Το φως

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Περιεχόµενα ενότητας: Έννοια και χρησιµότητα του µετασχηµατισµού συντεταγµένων Μητρώα µετασχηµατισµού Συντεταγµένες µοντέλου Μετασχηµατισµός µοντέλου Στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ - ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

1 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ - ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ - ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά

Διαβάστε περισσότερα

7α Γεωµετρική οπτική - οπτικά όργανα

7α Γεωµετρική οπτική - οπτικά όργανα 7α Γεωµετρική οπτική - οπτικά όργανα Εισαγωγή ορισµοί Φύση του φωτός Πηγές φωτός είκτης διάθλασης Ανάκλαση ηµιουργία ειδώλων από κάτοπτρα Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Η φύση του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations) Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα,,

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα,, 1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: και, όπου και είναι μετρημένα σε και

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0

Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0 Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0 1 c 0 0 Όταν το φως αλληλεπιδρά με την ύλη, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικά Μεγέθη Μονάδες Μέτρησης

Φυσικά Μεγέθη Μονάδες Μέτρησης ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Προσανατολισμού 1,3,4. ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ Οι μαθητές και οι μαθήτριες να είναι σε θέση να: ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2011

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 0 ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που

Διαβάστε περισσότερα

Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης. Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα

Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης. Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα 1 Τι απαιτείται για την όραση Φωτισµός: κάποια πηγή φωτός Αντικείµενα: που θα ανακλούν (ή διαθλούν) το φως Μάτι: σύλληψη του φωτός σαν εικόνα Τρόποι µετάδοσης φωτός

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 n = sin A 2 sin 2 2 n = sin A = sin = cos

sin 2 n = sin A 2 sin 2 2 n = sin A = sin = cos 1 Σκοπός Βαθμός 9.5. Ηθελε να γραψω καλύτερα το 9 ερωτημα. Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι η μελέτη της ανάκλασης, διάθλασης και πόλωσης του φωτός. Προσδιορίζουμε επίσης τον δείκτη διάθλασης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική των οφθαλμών και της όρασης. Κική Θεοδώρου

Φυσική των οφθαλμών και της όρασης. Κική Θεοδώρου Φυσική των οφθαλμών και της όρασης Κική Θεοδώρου Περιεχόμενα Στοιχεία Γεωμετρικής Οπτικής Ανατομία του Οφθαλμού Αμφιβληστροειδής Ο ανιχνευτής φωτός του οφθαλμού Το κατώφλι της όρασης Φαινόμενα περίθλασης

Διαβάστε περισσότερα

Το παράθυρο αυτό ενεργοποιείται με το κουμπί που βρίσκεται στην Βασική γραμμή εργαλείων (Toolbar) με την παρακάτω μορφή εικονιδίου

Το παράθυρο αυτό ενεργοποιείται με το κουμπί που βρίσκεται στην Βασική γραμμή εργαλείων (Toolbar) με την παρακάτω μορφή εικονιδίου ΤΗΛΙΓΑΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Email: gustil@yahoo.com Material Editor (Παλέτα κατασκευής υλικών). Σε αυτό το σεμινάριο θα ασχοληθούμε με την κατασκευή υλικών και την εφαρμογή αυτών στα αντικείμενα της σκηνής.

Διαβάστε περισσότερα

25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΜΟΝΑΔΕΣ:

25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΜΟΝΑΔΕΣ: ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗ 25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:..... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1.. 2..... 3..... ΜΟΝΑΔΕΣ: Το πρόβλημα Ένας φίλος σας βρήκε ένα μικρό, πολύ όμορφο τεμάχιο διαφανούς στερεού και ζητά τη γνώμη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών

Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών Αφού μοντελοποιήσουμε τα αντικείμενα αλληλεπιδραστικά με καμπύλες και επιφάνειες πρέπει να τα απεικονίσουμε Αν χρησιμοποιούμε ray tracing πρέπει να υπολογίσουμε τομές

Διαβάστε περισσότερα