ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΤΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ασκήσεις και Προβλήματα. Α. Π. Λύκκας

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΤΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ασκήσεις και Προβλήματα Α. Π. Λύκκας Επιβλέπων Καθηγητής : Λ. Περιβολαρόπουλος Ιωάννινα 2013

2 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 : υστήματα Πολλών ωματίων... 3 Κεφάλαιο 2 : υστήματα σε τρεις Διαστάσεις.. 15 Κεφάλαιο 3 : Σροχιακή τροφορμή 26 Κεφάλαιο 4 : Κεντρικά Δυναμικά 56 Κεφάλαιο 5 : Spin Κεφάλαιο 6 : Πρόσθεση τροφορμών 102 Κεφάλαιο 7 : Φρονοανεξάρτητη Μη-εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Κεφάλαιο 8 : Θεωρία Διαταραχών ΙΙ Εκφυλισμένες Καταστάσεις Κεφάλαιο 9 : Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Τδρογόνο. 170 Κεφάλαιο 10 : Θεωρία Φρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Κεφάλαιο 11 : Κβαντικό ωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο. 224 Βιβλιογραφία

3 Κεφάλαιο 1 υστήματα Πολλών ωματίων Άσκηση 1.1 ( 1α ) «Να βρεθεί η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης για σωμάτια, για τις ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής.» Από την χρονοεξαρτημένη εξίσωση Schrodinger και την της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrodinger, έχω τα εξής, [ ] ( * Ακόμη κάναμε χρήση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrodinger. Αν τώρα θεωρήσουμε αρχική στιγμή, από την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε τη γνωστή σχέση, 4

4 Άσκηση 1.2 ( 1b ) «Να αποδειχθεί ότι σε σύστημα αυτά.» σωματίων, ισχύει η εξίσωση Schrodinger για κάθε ένα από Ξεκινώ από την παραδοχή ότι για μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια ισχύει, Επειδή μιλάμε για ανεξάρτητες μεταβλητές έχω αναγκαστικά ότι ισχύει η ισότητα, ( * ( * Άρα τελικά ισχύει (επειδή μιλάω για ανεξάρτητα σωματίδια), { Άσκηση 1.3 ( 1c ) «Να βρεθεί ο τύπος της ενέργειας για ένα σύστημα σωματιδίων.» Αν έχω χρονοανεξάρτητο δυναμικό Schrodinger ως εξής, μπορώ να γράψω την εξίσωση 5

5 Όπου Από τις παραπάνω σχέσεις έχω, Άσκηση 1.4 ( 1d ) «Να βρεθεί ο τύπος της Χαμιλτονιανής για δύο σώματα σε δυναμικό της μορφής, ως συνάρτηση του κέντρου μάζας και της απόστασης μεταξύ των δύο σωμάτων.» Γενικά για σύστημα σωματίων ισχύει, { Προσπαθώ τώρα να μελετήσω τη Φαμιλτονιανή θέτοντας και. Παρατηρούμε ότι η μεταβλητή παριστάνει το κέντρο μάζας δύο σωματιδίων μαζών. Έτσι ισχύουν τα εξής, 6

6 Κάνοντας τη πράξη της διαφόρισης έχω τις παρακάτω σχέσεις, Επομένως καταλήγω στις εξής σχέσεις, Αντικαθιστώ τώρα τις παραπάνω σχέσεις στην αρχική και έχω, Ορίζω ολική μάζα του συστήματος και ανηγμένη μάζα, έτσι καταλήγω στην τελική σχέση, Άσκηση 1.5 ( 1e ) «Να βρεθούν οι εξισώσεις Schrodinger για το κέντρο μάζας και την απόσταση μεταξύ δύο σωμάτων, με τη βοήθεια της Χαμιλτονιανής της άσκησης 4.» 7

7 Θεωρώ ότι και έχω, Άρα επειδή μιλάω για ανεξάρτητες μεταβλητές ισχύει, { Άσκηση 1.6 ( 1f ) «Να βρεθεί ο τύπος της ολικής ορμής για τα δύο σώματα των προηγούμενων ασκήσεων.» Κάνοντας χρήση των διαφορικών σχέσων που έχουμε βρει στην προηγούμενη άσκηση (1e), μπορώ να γράψω για την ολική ορμή τα παρακάτω, ( * ( * Άσκηση 1.7 ( 1g ) «Να βρεθεί ο τύπος της ολικής ενέργειας για τα δύο σώματα των προηγούμενων ασκήσεων.» υνεχίζοντας από την άσκηση 5 (1e) έχω, 8

8 ( * { Άρα καταλήγω ότι, Άσκηση 1.8 ( 1h ) «Ποιά είναι η ολική κυματοσυνάρτηση δυο μποζονίων με ενέργειες ;» Η ολική κυματοσυνάρτηση δυο μποζονίων με ενέργειες είναι, Μελετώ τώρα την κυματοσυνάρτηση, [ ] [ ] Παρατηρώ ότι η κυματοσυνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τα. Άσκηση 1.9 ( 1i ) «Ποιά είναι η κυματοσυνάρτηση δυο φερμιονίων με ενέργειες ;» Η ολική κυματοσυνάρτηση δυο φερμιονίων με ενέργειες σχέση, δίνεται από την εξής Μελετώ τώρα την κυματοσυνάρτηση, [ ] 9

9 [ ] Παρατηρώ ότι η κυματοσυνάρτηση είναι αντισυμμετρική ως προς τα. Ακόμα αν θεωρήσω ότι οι ενέργειες είναι, δηλαδή τα δυο φερμιόνια να βρίσκονται στην ίδια ενεργειακή κατάσταση, βλέπω ότι η κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται. Σο αποτέλεσματα αυτό γενικεύεται και για άλλες καταστάσεις (e.g. spin), έτσι έχουμε και την Απαγορευτική Αρχή (Pauli). Άσκηση 1.10 ( 1j ) «Να βρεθεί η μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ δύο διακρίσιμων σωματιδίων.» Για τη μέση τετραγωνική απόσταση διακρίσιμων σωματιδίων ισχύει, Σελικά είναι, Φρησιμοποιώ ακόμα ότι τα, από τη σχέση κανονικοποίησης. Άσκηση 1.11 ( 1k ) «Να βρεθεί η μέση τετραγωνική απόσταση δύο μποζονίων.» Για τη μέση τετραγωνική απόσταση δύο μποζονίων γράφω τα εξής, 10

10 [ ] Άρα τελικά ισχύει, Άσκηση 1.12 ( 1l ) «Να βρεθεί η μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ δύο φερμιονίων.» Για τη μέση τετραγωνική απόσταση δύο φερμιονίων που βρίσκονται σε κοινο δυναμικό, γράφω τα εξής, [ ] Επομένως καταλήγω ότι, Παρατηρώ ότι τα φερμιόνια διατηρούν μεγαλύτερη μέση απόσταση από τα διακρίσιμα σωμάτια και ακόμα μεγαλύτερη από τα μποζόνια. 11

11 Άλυτες Ασκήσεις Άσκηση 1.13 «Δείξτε ότι η ορίζουσα Slater για δυο και τρια φερμιόνια είναι αντισυμμετρική σε εναλλαγή οποιονδήποτε δύο φερμιονίων.» Η ορίζουσα Slater για Ν φερμιόνια έχει την παρακάτω μορφή, Αρχικά θα μελετήσουμε την ορίζουσα για δυο φερμιόνια, Όπου Άρα καταλήγουμε ότι, Αν κάνω τώρα εναλλαγή των έχω, Παρατηρώ ότι η ορίζουσα είναι αντισυμμετρική. Μελετώ τώρα την περίπτωση τριών φερμιονίων, Κάνοντας εναλλαγές έχω τις εξής σχέσεις, 12

12 Επομένως, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων πινάκων, βρίσκω εύκολα ότι μια ορίζουσα Slater τριών φερμιονίων μετά από εναλλαγή δυο οποιονδήποτε φερμιονίων είναι αντισυμμετρική. Άσκηση 1.14 «Βρείτε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης και την κυματοσυνάρτηση συστήματος τριών μποζονίων σε δυναμικό κουτιού μήκους L. Επαναλάβετε για την 1 η διεγερμένη κατάσταση στην περίπτωση μποζονίων και στην περίπτωση συστήματος φερμιονίων.» Η σχέση ενός πηγαδιού δυναμικού απείρου βάθους είναι, { Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, Σχήμα. Φρέαρ δυναμικού απείρου βάθους. 13

13 Φρησιμοποιώντας την εξίσωση Schrodinger για κάθε μποζόνιο έχω, Όπου και. { Καταλήγω λοιπόν ότι, Από τις συνοριακές συνθήκες έχω, { { Ακόμη για την ενέργεια ξέρω ότι ισχύει, Για την θεμελιώδη κατάσταση ισχύει, Για την πρώτη διεγερμένη κατάσταση ισχύουν, Για μποζόνια και, Για φερμιόνια, 14

14 Κεφάλαιο 2 υστήματα σε τρεις Διαστάσεις Άσκηση 2.1 ( 2a ) «Να βρεθεί η μορφή της εξίσωσης συνέχειας σε μία διάσταση.» Αρχικά γράφουμε τις παρακάτω εξισώσεις, {. /. / { ( * [ ( *] Καταλήγω λοιπόν στην εξίσωση συνέχειας σε μια διάσταση, με ( ). 15

15 Άσκηση 2.2 ( 2b ) «Με τη βοήθεια της προηγούμενης άσκησης (2a) να αποδειχθεί ότι η πιθανότητα διατηρείται σε μια διάσταση.» υνεχίζοντας από την προηγούμενη άσκηση (2a), Η παραπάνω σχέση, μας δείχνει ότι η πιθανότητα διατηρείται. Αξίζει να σημειώσουμε ότι το ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανότητας είναι μηδέν γιατί θέλουμε η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται στο άπειρο. Άσκηση 2.3 ( 2c ) «Να βρεθεί η μορφή της εξίσωσης συνέχειας σε τρεις διαστάσεις.» Ξεκινώντας από την εξίσωση Schrödinger σε τρεις διαστάσεις, { { Αξίζει να σημειώσουμε ότι για να καταλήξουμε στην παραπάνω σχέση υποθέσαμε ότι μιλάμε για πραγματικό δυναμικό, δηλαδή. το τέλος της άσκησης θα συζητήσουμε για τυχαίο δυναμικό. 16

16 Επομένως από την σχέση έχουμε ότι (με ανάλογα βήματα όπως και στην άσκηση 1), [ ( *] ή Αν τώρα είχαμε ένα τυχαίο δυναμικό κατά την αφαίρεση θα καταλήγαμε ότι, Όπως φαίνεται και από την παραπάνω σχέση η εξίσωση συνέχειας υφίσταται μια διόρθωση για μιγαδικά δυναμικά. Αν θεωρήσουμε πραγματικά δυναμικά, δηλαδή, επιστρέφουμε στην προηγούμενη εξίσωση συνέχειας. Άσκηση 2.4 ( 2d ) «Να αποδειχθεί, μέσω της προηγούμενης άσκησης, ότι η πιθανότητα διατηρείται (σε τρεις διαστάσεις).» Φρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση έχω, Κάνουμε μια παρένθεση για να μιλήσουμε για το δεύτερο ολοκλήρωμα στην παραπάνω εξίσωση. Αν κάνουμε χρήση του θεωρήματος απόκλισης για το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε, Σο παραπάνω ολοκλήρωμα είναι ίσο με το μηδέν γιατί ο όγκος που πήραμε στην ολοκλήρωση εκτείνεται μέχρι το άπειρο. Έτσι και η επιφάνεια που τον περιβάλλει βρίσκεται στο άπειρο, όπου το είναι μηδέν. Επομένως έχουμε την τελική σχέση για την διατήρηση πιθανότητας, 17

17 ή Άσκηση 2.5 ( 2e ) «Να βρεθεί η μορφή που παίρνει η εξίσωση Schrödinger σε τρεις διαστάσεις, με τη βοήθεια της τρισδιάστατης Χαμιλτονιανής.» Ξέρουμε ότι ισχύει, όπου, Μέσω της εξίσωσης Schrödinger έχω, 0( * ( * ( * 1 ή Άσκηση 2.6 ( 2f ) 18

18 «Έστω ένα σωμάτιο μέσα σε τρισδιάστατο κυβικό κουτί, ακμής α, και δυναμικό απείρου βάθους. Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που το περιγράφει.» Επειδή μιλάμε για δυναμικό απείρου βάθους η εξίσωση Schrodinger παίρνει την εξής μορφή, στο εσωτερικό του κουτιού, Αν τώρα υποθέσουμε ότι ισχύει η εξίσωση γίνεται, ή Άσκηση 2.7 ( 2g ) «Χρησιμοποιώντας την προηγούμε άσκηση να βρεθούν οι εξισώσεις για κάθε άξονα.» Από την τελική εξίσωση της προηγούμενης άσκησης έχω ότι πρέπει να ισχύουν τα εξής, { Εδώ πρέπει να σταματήσουμε για να πάρουμε περιπτώσεις για την μεταβλητή λ. Παρατηρώντας όμως την εξέλιξη του προβλήματος μπορούμε να βρούμε μια σχέση για τα λ. Θέλουμε η κάθε κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται στα άκρα του κουτιού ( ), επομένως ζητούμε μια κυματοσυνάρτηση που έχει περιοδικότητα και μπορεί να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος (θα διατυπωθούν στην συνέχεια). Διαλέγω έτσι. Άλλος ένας τρόπος είναι να δω ότι ισχύει 19

19 όπου. Επομένως αφού η ενέργεια είναι θετικό μέγεθος περιμένω αναγκαστικά. Έτσι από τα παραπάνω έχω, 8 8 ( ) Φρησιμοποιώντας τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος που είναι οι εξής, 8 { Καταλήγω ότι, 8 ( ) Σώρα για κάθε κυματοσυνάρτηση μπορώ με τη σχέση κανονικοποίησης να υπολογίσω τις σταθερές A, C, E, ως εξής, { { { Επομένως οι κυματοσυναρτήσεις έχουν τη μορφή, 20

20 ( ) { Σέλος για να υπολογίσουμε τις σταθερές όπου έχουμε, χρησιμοποιούμε τη συνοριακή συνθήκη 8 ( ) Άρα μπορούμε να γράψουμε την τελική μορφή των εξισώσεων, { ( *. / { ( * και η ενέργεια (από την έκφραση της προηγούμενης άσκησης), Άσκηση 2.8 (bonus) «Αν το κουτί της προηγούμενης άσκησης είχε άνισες πλευρές, δηλαδή βρεθούν οι καινούριες σχέσεις για το σωμάτιο.», να 21

21 Με την αλλαγή των πλευρών του κουτιού έχω καινούριες συνοριακές συνθήκες. Επομένως έχω άλλες σταθερές, οι οποίες υπολογίζονται ως εξής, 8 8 ( ) Ακόμη οι σχέσεις κανονικοποίησης θα υποστούν κάποιες τροποποιήσεις και θα πάρουν την παρακάτω μορφή, { { { Άρα τελικά έχουμε, ( *. / ( *. / ( * { ( * και η ενέργεια, Άσκηση 2.9 ( 2h ) «Λύστε το πρόβλημα του τρισδιάστατου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή (βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές).» 22

22 Σο δυναμικό ενός ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή είναι, Ακόμα, η Φαμιλτονιανή παίρνει τη μορφή, Αν τώρα ισχύει, από την εξίσωση Schrodinger έχω,. /. /. / Άρα ισχύει, { Παίρνουμε τώρα μια από τις τρεις παραπάνω εξισώσεις (αναλόγως πράττω για κάθε μια από αυτές) και έχω, Θέτω λοιπόν,, και έχω, ( ) 23

23 Επειδή θέλω να δω πως μοιάζει η εξίσωση, την μελετώ ασυμπτωτικά, δηλαδή για ή, τότε έχω, Άρα περιμένω, όπου είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση που δεν επηρεάζει την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Αν τώρα αντικαθαστίσω στην αρχική εξίσωση (πριν την παραδοχή ) έχω, Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται Εξίσωση Hermite και για να έχει πολυωνυμική λύση πρέπει (άρτιος). Έτσι για την ενέργεια έχω, ή Έτσι αν κάνω για κάθε συντεταγμένη θα έχω, ( ) ( ) ( ) Θέματα προς λύση Άσκηση 2.10 «Έστω σύστημα σωματίων που βρίσκεται σε δεδομένη ιδιοκατάσταση της χρονοανεξάρτητης Χαμιλτονιανής. Χρησιμοποιήστε την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger για να βρείτε τη χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης του συστήματος.» 24

24 Άσκηση 2.11 «Δύο σώματα σε μια διάσταση αλληλεπιδρούν με δυναμικό που εξαρτάται μόνο από την απόστασή τους. Εκφράστε την Χαμιλτονιανή σε νέες συντεταγμένες ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών. Με εφαρμογή της μεθόδου δείξτε ότι το πρόβλημα ιδιοτιμών ενέργειας για το σύστημα, ανάγεται σε δύο μονοσωματιδιακά προβλήματα.» Άσκηση 2.12 «Βρείτε την μέση απόσταση μεταξύ δύο ταυτοτικών μποζονίων και συγκρίνετε με την αντίστοιχη απόσταση μεταξύ δύο διακρίσιμων αλληλεπιδρώντων σωματίων που βρίσκονται στο ίδιο δυναμικό.» Άσκηση 2.13 «Βρείτε τις ιδιοτιμές της ενέργειας για σωμάτιο σε τρισδιάστατο κουτί με διάσταση και δυναμικό απείρου βάθους. Ποιός είναι ο βαθμός εκφυλισμού της πρώτης διεγερμένης κατάστασης;» 25

25 Κεφάλαιο 3 Σροχιακή τροφορμή Άσκηση 3.1 ( 3a ) «Να βρεθούν οι συνιστώσες της στροφορμής στον χώρο.» Έστω ότι ισχύουν τα εξής, 1 ος Σρόπος Γνωρίζουμε ότι ισχύει, Επομένως έχω, 26

26 { 2 ος Σρόπος ( ) Άρα ισχύει, Άσκηση 3.2 ( 3b ) «Να αποδειχθεί ότι ο τελεστής της στροφορμής είναι ερμητιανός τελεστής.» Ξέρουμε αρχικά ότι η θέση και η ορμή είναι ερμητιανοί τελεστές. Οπότε μπορούμε να δείξουμε ότι η στροφορμή είναι ερμητιανός ως εξής, [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 27

27 Άσκηση 3.3 ( 3c ) «Να αποδειχθούν οι σχέσεις μετάθεσης των [ ].» [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ξέρουμε ότι, [ ] [ ] [ ] Άρα από τα παραπάνω καταλήγουμε ότι, [ ] ( ) Άσκηση 3.4 ( 3d ) «Να βρεθούν οι σχέσεις των διαφορικών τελεστών, στην αναπαράσταση θέσης, σε σφαρικές συντεταγμένες.» Ξέρουμε ότι για τις σφαιρικές συντεταγμένες ισχύουν, Έτσι για κάθε συντεταγμένη έχω, Επομένως από τα παραπάνω ισχύει, 28

28 ( ) Άρα τελικά, ( ) Άρα τελικά, (, 29

29 Άρα τελικά, { Άσκηση 3.5 ( 3e ) «Να βρεθούν οι αναλυτικές μορφές των τελεστών της στροφορμής σε σφαιρικές συντεταγμένες.» Ξέρουμε ότι ισχύει (από άσκηση 1), Τπολογίζουμε τώρα ξεχωριστά και έχουμε, ( * ( * ( * 30

30 Άρα, ( * Άρα, ( * Άρα, ( * { Άσκηση 3.6 ( 3f ) «Να αποδειχθεί η σχέση, * ( ) +.» 31

31 Φρησιμοποιώντας τις σχέσεις που βρήκαμε στην προηγούμενη άσκηση μπορούμε να γράψουμε τα εξής, Όπου,. /. / 0. /. /1 0 ( * 1 Αξίζει να σημειώσουμε ότι το τετράγωνο της στροφορμής δεν εξαρτάται από τη συνιστώσα της θέσης. Άσκηση 3.7 ( 3g ) «Να αποδειχθεί ότι ισχύει.» Αρχικά ορίζουμε, άρα, ( )( ) ( ) [ ] Από την άσκηση 3 (3c) έχουμε ότι [ ], επομένως έχουμε, 32

32 Άσκηση 3.8 (bonus) «Να βρεθούν οι σχέσεις μετάθεσης [ ].» Με τη βοήθεια της προηγούμενης άσκησης έχω ότι, [ ] [ ] [ ] ( ) Άσκηση 3.9 ( 3h ) «Να γίνει ανάπτυξη των σχέσεων σε σφαιρικές συντεταγμένες.» Φρησιμοποιώντας την άσκηση 3e βρίσκω, ( * ( * ή ( * Άσκηση 3.10 ( 3i ) «Να δειχθεί ότι με την καταστροφή των ιδιοκαταστάσεων μέσω του τελεστή ιδιοτιμών), καταλήγω.» (μείωση Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) 33

33 ή ( ) Σελικά, ( ) Άσκηση 3.11 ( 3j ) «Να υπολογιστεί η συνάρτηση, όπου.» Αρχικά, γνωρίζω ότι, Αν τώρα έχουμε, Άρα, ή Από τη σχέση κανονικοποίησης τώρα βρίσκω τη σταθερά αναλογίας, Επομένως τελικά ισχύει, 34

34 Άσκηση 3.12 ( 3k ) «Να υπολογιστεί η σχέση των ιδιοτιμών του αν δράσουμε στην με τον τελεστή καταστροφής.» Ισχύει ότι, ( ) ( ) Κάνουμε χρήση του τύπου που αποδείξαμε στην άσκηση 7 (3g) και γράφουμε ότι, Άρα τελικά, [ ] Άσκηση 3.13 ( 3l ) «Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της ιδιοτιμής m.» Γνωρίζουμε ότι, Επίσης ισχύει, 35

35 ( )( ) [ ] ή Επομένως, με την βοήθεια των δύο παραπάνω σχέσεων, μπορώ να γράψω, 2 Απορρίπτεται η γιατί ισχύει ότι και εμείς ψάχνουμε την ελάχιστη τιμή. Άρα τελική αποδεκτή λύση είναι, η οποία είναι η ελάχιστη τιμή της ιδιοτιμής. Άσκηση 3.14 ( 3m ) «Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του.» Γράφουμε τις ανάλογες σχέσεις όπως και στην προηγούμενη άσκηση, τη συνέχεια, 36

36 2 Απορρίπτεται η γιατί ισχύει ότι και εμείς ψάχνουμε τη μέγιστη τιμή. Σελικά βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι. Άσκηση 3.15 ( 3n ) «Να βρεθεί η μορφή της για την μέγιστη τιμή του.» Μέγιστη τιμή του είναι η, όπως είδαμε και στην προηγούμενη άσκηση, και γι αυτό ισχύει. Δοκιμάζουμε λύση της μορφής. Από τα παραπάνω έχω, Κάνουμε αντικατάσταση του τελεστή από την άσκηση 9 (3h) και καταλήγουμε ότι, ( * 0 1 Άρα, Άρα, 37

37 ή Η σταθερά είναι η σταθερά που προκύπτει από το αόριστο ολοκλήρωμα. Μπορώ, τέλος, να γράψω την ως, Άσκηση 3.16 ( 3o ) «Να βρεθεί η μορφή της για την ελάχιστη τιμή του.» Ανάλογα με την προηγούμενη άσκηση, ψάχνουμε την μορφή της όταν το πάρει την ελάχιστη τιμή του. Ισχύει ακόμα ότι. Φρησιμοποιώντας τον τύπο της άσκησης 9 (3h) γράφουμε, ( * 0 1 Άρα, ή Μπορώ, τέλος, να γράψω την ως, 38

38 Άσκηση 3.17 ( 3p ) «Να αποδειχθεί η παρακάτω σχέση, ( * [ ] Από τη εξίσωση έχω, [ ] ( * Επειδή ισχύει ότι η παραπάνω σχέση ισχύει. *LHS: Left-Hand Side, RHS: Right-Hand Side (of an equation) Άσκηση 3.18 ( 3q ) «Να βρεθεί η μορφή της.» Ξεκινάμε από την και με τη δράση του έχουμε, ( * Για να γράψουμε τα παραπάνω κάνουμε αντικατάσταση του τελικού τύπου της άσκησης 16 (3ο). Επίσης χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο που αποδείξαμε στην άσκηση 17 (3p) για, και γράφουμε, 39

39 . /. / [ ] ( * Σελικά καταλήξαμε ότι, ( ). Κατα την αντικατάσταση του τελεστή δεν βάλαμε τη σταθερά γιατί μας ενδιαφέρει να δείξουμε την αναλογία των μεγεθών και όχι την ακριβή σχέση. Άσκηση 3.19 ( 3r ) «Να βρεθεί η μορφή της.» Ανάλογα με την προηγούμενη άσκηση γράφω ότι, ( * ( * Για λόγους συντομίας θεωρώ ( ) και έχω, 2 [ ] [ ] [ ] ( * Άρα καταλήγουμε ότι, ( * Άσκηση 3.20 ( 3s ) «Να βρεθεί η μορφή της.» 40

40 Με τη βοήθεια προηγούμενων ασκήσεων (βλέπε ασκήσεις 17, 18, 19) μπορώ να γράψω, ( * ( * [ ] Άρα τελικά, ( * Άσκηση 3.21 (bonus) «Να αναπαραχθούν οι μορφές των σφαιρικών αρμονικών για.» Από τη θεωρία έχω ότι, ( * Έτσι από τη σχέση κανονικοποίησης έχουμε, ( * ( * 2( * 3 2( * 3 Αν έχουμε, 2( * 3 2( * 3 41

41 Επομένως καταλήγουμε (με βοήθεια από την προσεγγιστική σχέση και την σταθερά κανονικοποιήσης που βρίκαμε) ότι, Αν έχουμε, {( * } {( * } Άρα καταλήγουμε ότι, ( * Ανάλογα κάνω και για τα υπόλοιπα. Άσκηση 3.22 ( 3t ) «Θεωρήστε ένα σύστημα με και βρείτε την αναπαράσταση του τελεστή στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του και.» υμβολίζουμε τις ιδιοκαταστάσεις ως, { 42

42 Όπου, 4 5 ( ( ( + { Αρχικά, γράφουμε για το ότι, { Επομένως αν δράσουμε τώρα πάνω στις ιδιοκαταστάσεις με το, Ακόμα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, [ ] [ ] Από τις παραπάνω σχέσεις έχω, { Ισχύει ακόμα ότι οι τελεστές και δεν δρουν πάνω στις ιδιοκαταστάσεις και αντίστοιχα, γιατί το θα έπαιρνε τιμές και, ενώ γνωρίζουμε από προηγούμενες ασκήσεις (άσκηση 13 και άσκηση 14) ότι για ένα ορισμένο (π.χ. ), ισχύει ( ) και ( ). 43

43 Άρα τελικά γράφουμε για τον τελεστή με μορφή πίνακα, 4 5 ( ) ( + Άσκηση 3.23 ( 3u ) «Θεωρήστε ένα σύστημα με και βρείτε την αναπαράσταση του τελεστή στη βάση των ιδιοκαταστάσεων και.» Πράττουμε ανάλογα όπως και στην προηγούμενη άσκηση. Αρχικά γράφουμε για τον τελεστή, { Άρα αν δράσουμε με τον τελεστή στις ιδιοκαταστάσεις έχουμε, Σελικά γράφουμε τον τελεστή με μορφή πίνακα, 44

44 (, ( + Άσκηση 3.24 ( 3v ) «Θεωρήστε ένα σύστημα με και βρείτε την πιθανότητα να δώσει μια μέτρηση της αν η κατάσταση του συστήματος στη βάση και είναι ( +.» Θα λύσουμε την άσκηση αν βρούμε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του προβάλομυ την κατάσταση που δίνεται στην ιδιοκατάσταση με. και Άρχικα, από την άσκηση 22 έχω ότι, ( + Έστω τώρα ότι οι ιδιοτιμές του είναι της μορφής. Σότε έχω,. /. / ( +. / Επομένως έχω ότι, ( + Άρα οι ιδιοτιμές του είναι και. Έστω τώρα το ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί σε ιδιοτιμή, Με συνθήκη κανονικοποίησης. 45

45 Έτσι η εξίσωση ιδιοτιμών γίνεται (για ), ( +. /. / ( +. / 4 5 8, Άρα από τη σχέση κανονικοποίησης έχουμε ότι, Επομένως,. / ( + ( ) Επειδή τώρα η κατάσταση του ιδιοσυστήματος είναι, ( + Αν δράσουμε με το, έχουμε, [( ) ] [ ] Άρα η πιθανότητα να δώσει η μέτρηση την τιμή είναι, 46

46 Άσκηση 3.25 ( 3w ) «Έστω ένα σωματίδιο με κυματοσυνάρτηση [ ]. Με τη βοήθεια των σφαιρικών αρμονικών να γραφεί το συναρτήσει αυτών. Δίνονται οι σφαιρικές αρμονικες,.» Έχουμε ότι, Από τις αρμονικές έχω ότι, Με τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων,. /. / Γράφουμε, 47

47 { [ ] [ ]} [ ] { } Άσκηση 3.26 ( 3x ) «Έστω τώρα η κανονικοποιημένη γωνιακή κυματοσυνάρτηση, όπου η γωνιακή κυματοσυνάρτηση της προηγούμενης άσκησης. Να υπολογιστεί η σταθερά κανονικοποίησης.» Έχουμε λοιπόν, από τη σχέση κανονικοποίησης, { } { } 48

48 [ ] [ ] 2 3 Ανοίγω μια παρένθεση για να λύσω αναλυτικά το δεύτερο ολοκλήρωμα, Θέτω, άρα, Άρα μπορούμε να γράψουμε ότι, Άλυτες Ασκήσεις Άσκηση 3.27 «Έστω συμμετρική σβούρα που έχει ενέργεια της μορφής ( ) a) Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής. b) Να βρεθεί η αναμενόμενη (μέση) τιμή του τελεστή σε μια από τις ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής. 49

49 c) Την στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση. Ποιά μέτρηση θα προκύψει για την σε μια επόμενη χρονική στιγμή;.» Ερώτημα a Αρχικά γράφουμε ότι, ( ) ( ) ( * ( * Γράφουμε τη Φαμιλτονιανή σε αυτή τη μορφή γιατί γνωρίζουμε μόνο τις ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές του και. Δηλαδή ότι, Επομένως οι ιδιοτιμές της Φαμιλτονιανής είναι, ( * ( * Επειδή οι ιδιοτιμές περιέχουν τα αρμονικές της μορφής. περιμένουμε οι ιδιοκαστάσεις να είναι σφαιρικές Ερώτημα b Από τις προηγούμενες ασκήσεις έχουμε δείξει ότι, Άρα, Για την αναμενόμενη (μέση) τιμή του παραπάνω τελεστή, γράφουμε, ( ) ( * 50

50 Σα δεν δρουν πάνω στα. Ερώτημα c Για το σύστημα βρίσκετα στην ιδιοκατάσταση ή και. Η κατάσταση αυτή είναι η σφαιρική αρμονική, και αν δράσουμε σε αυτή με τον τελεστή έχουμε, Αφού. Άρα το είναι μηδέν σε μια επόμενη χρονική στιγμή. Άσκηση 3.28 «Να βρεθεί το άθροισμα των αβεβαιοτήτων μια ιδιοκατάσταση.» ενός συστήματος που βρίσκεται σε Ισχύει ότι, Με Άρα έχουμε, ( * Γνωρίζουμε ότι, Άρα καταλήγουμε ότι, 51

51 , - [ ] [ ] Άρα, [ ] [ ] Ισχύει ότι. Άρα τελικά, [ ] Ανάλογα κάνω και για το και έχω, [ ] Άρα, [ ] Σέλος υπολογίζω το άθροισμα, [ ] 52

52 Άσκηση 3.29 «Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις, a) [ ] b) [ ] [ ] [ ].» Γενικά για την επίλυση αυτής της άσκησης θα κάνουμε χρήση κάποιων σχέσεων μετάθεσης, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ερώτημα a Από τον ορισμό της στροφορμής έχουμε ότι, Επομένως, [ ] [ ] {[ ] [ ]} ( ) ή [ ] Ερώτημα b [ ] 53

53 Γράφω ξεχωριστά ότι, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ισχύει ότι, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα επιβιώνουν μόνο οι όροι, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Αντίστοιχα έχω, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα γράφω τελικά, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα γράφω τελικά, [ ] [ ] 54

54 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ανάλογα γράφω, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα τελικά γράφω, [ ] Άσκηση 3.30 Θέματα προς λύση «Βρείτε την αναπαράσταση του τελεστή και.» στην βάση των ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Άσκηση 3.31 «Από τις σχέσεις, Βρείτε τις σταθερές.» Άσκηση 3.32 «Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή του κβαντικού αριθμού ισούται με.» Άσκηση 3.33 «Δείξτε τις παρακάτω σχέσεις, 55

55 Κεφάλαιο 4 Κεντρικά Δυναμικά Άσκηση 4.1 ( 4a ) «Να αποδειχθεί ότι ισχύει.» Ισχύει ότι, με Αντικαθιστούμε τώρα τα με τις σφαιρικές μορφές τους και έχουμε, ( * ( * ( * Σελικά γράφουμε ότι, 56

56 Άσκηση 4.2 ( 4b ) «Να αποδειχθεί η σχέση που συνδέει το τετράγωνο της στροφορμής ορμής,.» με το τετράγωνο της Γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι, και, Φρησιμοποιούμε τώρα την παρακάτω σχέση, Άρα γράφουμε, ( ) ( ) ( ) ( [ ]) ( [ ]) ( ) ( ) [ ] Επειδή τώρα, [ ] [ ] [ ] [ ] Καταλήγω ότι, ή 57

57 Άσκηση 4.3 ( 4c ) «Να βρεθεί η μορφή της Χαμιλτονιανής συναρτήσει της στροφορμής.» Από την προηγούμενη άσκηση (άσκηση 2) αποδείξαμε ότι, [ ] Φρησιμοποιούμε τώρα τη σχέση που αποδείξαμε στην άσκηση 1, Επομένως, 0 ( * 1 0 ( * 1 Σέλος η Φαμιλτονιανή είναι της μορφής, 0 ( * Άσκηση 4.4 ( 4d ) «Να βρεθεί η ακτινική εξίσωση Schrodinger.» Έστω κυματοσυνάρτηση της μορφής, Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε την χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger και τη Φαμιλτονιανή της προηγούμενης άσκησης έχουμε,

58 Σελικά γράφουμε την ακτινική εξίσωση Schrodinger ως, 0 1 Άσκηση 4.5 ( 4e ) «Να αποδειχθεί ότι μέσω της ανακλιμάκωσης της συντεταγμένης, για το άτομο του υδρογόνου, καταλήγουμε στην σχέση.» Για το άτομο του υδρογόνου ισχύει ότι, Άρα η ακτινική εξίσωση Schrodinger (από την άσκηση 4) παίρνει την παρακάτω μορφή, 0 1. / το είναι δέσμιο σωμάτιο με ανηγμένη μάζα. Επειδή όμως, ( ) μπορούμε να γράψουμε ότι, Άρα η εξίσωση γίνεται, 0 1. / 0 1. / 0 1. / 0 1. / Πρέπει, 59

59 Σέλος, Αν τώρα ορίσω και καταλήγουμε ότι, Άσκηση 4.6 ( 4f ) «Να αποδειχθεί ότι μέσω της ανακλιμάκωσης της συντεταγμένης, για το άτομο του υδρογόνου, προκύπτει η σχέση.» υνεχίζουμε από την προηγούμενη άσκηση με την ακτινική εξίσωση Schrodinger, 0 1. / Ορίσαμε, άρα, 0 1. / 0 1. / 0 1. / Ορίζουμε τώρα, 60

60 Άρα γράφουμε, Για το ακόμα, μπορούμε να γράψουμε, Άσκηση 4.7 ( 4g ) «Αν [ ], με, βρείτε τη διαφορική εξίσωση για το.» Από την προηγούμενη άσκηση αποδείξαμε ότι ισχύει, 0 1 Αν τώρα [ ], έχουμε, ( * ( * Ισχύει, ( * [ ( *]

61 Από αντικατάσταση έχουμε, 0 1 ή 0 1 Άσκηση 4.8 ( 4h ) «Αν, να βρεθεί η αναδρομική σχέση της σειράς.» Από αντικατάσταση της στην τελική εξίσωση της προηγούμενης άσκησης έχουμε, [ ] Άσκηση 4.9 ( 4i ) «Να βρεθεί το ελάχιστο για την αναδρομική σχέση της προηγούμενης άσκησης.» Η αναδρομική σχέση της προηγούμενης άσκησης γράφεται και ως εξής, [ ] [ ] [ ] [ ] 62

62 Άρα, [ ] [ ] Θεωρώ τώρα το ελάχιστο. Ισχύει τότε ότι,, οπότε, [ ] 2 Απορρίπτεται η λύση γιατί έχουμε ορίσει ότι. Επομένως ισχύει. ημειώνουμε ότι η ιδιοτιμή της στροφορμής είναι πάντα. Σο ελάχιστο έχει και φυσική σημασία. Θέλουμε την ύπαρξη του ελαχίστου αυτού για να έχουμε ομαλή συμπεριφορά της κυματοσυνάρτησης στο. Άσκηση 4.10 ( 4j ) «Να βρεθεί η μέγιστη τιμή για την αναδρομική σχέση της άσκησης 8.» Από την προηγούμενη άσκηση καταλήξαμε ότι, [ ] [ ] ή [ ] Έστω τώρα. Περιμένω. Έτσι έχω, Αξίζει να σημειώσουμε ότι το μέγιστο είναι κβαντωμένο αλλά όχι άπειρο. Ανάλογα δηλαδή με την τιμή του θα έχουμε άλλο χωρίς ωστόσο να έχουμε απειρισμούς. 63

63 Άσκηση 4.11 ( 4k ) «Να βρεθεί το ενεργειακό φάσμα για το άτομο του υδρογόνου.» την άσκηση 6 αποδείξαμε ότι, Ακόμη από την προηγούμενη άσκηση έχουμε ότι. Επομένως έχουμε, Παρατηρούμε ότι η ενέργεια δεν εξαρτάται από την στροφορμή. Ακόμη για το μπορούμε να γράψουμε ότι, Άσκηση 4.12 ( 4l ) «Να υπολογιστούν, η ενέργεια συναρτήσει του και να βρεθούν οι τιμές τους.» Γνωρίζουμε ότι, { To, είναι ίσο με ή και ονομάζεται ακτίνα Bohr. Η ακτίνα Bohr είναι μια σταθερά και είναι περίπου ίση με την πιο πιθανή απόσταση μεταξύ ηλεκτρονίου και πρωτονίου σε ένα άτομο του υδρογόνου που βρίσκεται στη βασική του κατάσταση. Για το μπορούμε να γράψουμε, 64

64 Σο ονομάζεται ενέργεια βασικής κατάστασης (ground state energy). Άσκηση 4.13 (bonus) «Να δειχθεί ότι.» Αρχικά έχουμε ότι, με Έστω τώρα έχουμε, Επειδή ξέρουμε ότι, γράφουμε ότι, Άσκηση 4.14 ( 4m ) «Να βρεθεί το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης για και.» Γνωρίζουμε ότι, Όπου, 65

65 ( ) Από την άσκηση 9 και 10 έχουμε ότι το και το. Επομένως μπορούμε να γράψουμε, ( ) Από την εκφώνηση της άσκησης θέλουμε και, οπότε, ( ) ( ) Επομένως, ( ) Από την κανονικοποιήση της έχουμε,. / Σελικά γράφουμε ότι, Άσκηση 4.15 ( 4n ) «Να βρεθεί το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης για και.» Θα λύσουμε όπως και στην προηγούμενη άσκηση, για και, 66

66 ( ) ( ) ( ) Αποδείξαμε ακόμα στην άσκηση 8 την αναδρομική σχέση, [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα, ( ) ( ) ( ) ( ) Φρησιμοποιούμε ότι το από την προηγούμενη άσκηση και έχουμε ότι,. / ( * ( *. / ή ( * Άσκηση 4.16 ( 4o ) «Να αποδειχθεί η σχέση,.» Άρα ισχύει. 67

67 Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 4.17 «Θεωρείστε άτομο του υδρογόνου στη κατάσταση. Βρείτε την πιθανότητα να βρεθεί το άτομο του υδρογόνου σε απόσταση από την αρχή μικρότερη από την ακτίνα Bohr.» Από την κυματοσυνάρτηση για, και έχουμε, Κάνουμε τώρα μια αναδρομή σε προηγούμενες ασκήσεις για να βρούμε τις σχέσεις των σφαιρικών αρμονικών και του ακτινικού μέρους. Έτσι έχουμε ότι, Επομένως η κυματοσυνάρτηση γίνεται, Σέλος για την πιθανότητα γράφουμε ότι, 0. /1 ή Σο αποτέλεσμα είναι λογικό για το άτομο του υδρογόνου στη βασική κατάσταση να βρεθεί στην περιοχή για. 68

68 Άσκηση 4.18 «Για ηλεκτρόνιο στην κατάσταση και βρείτε την πιο πιθανή τιμή του.» Η πιο πιθανή τιμή του θα βρεθεί αν μεγιστοποιήσουμε την πιθανότητα, Επειδή ζητάμε την τιμή του, έχουμε, ( ) Με, Όπου ( ) ( ). Αν τώρα και, γράφουμε, ( ) ( ) Άρα, ( ) Επομένως έχουμε, 2 ( ) 3 [ ( *] ( * 69

69 Η πιθανότητα είναι. Για έχω που είναι η ελάχιστη τιμή της πιθανότητας. Οπότε η μέγιστη τιμή της πιθανότητας ή η πιο πιθανή τιμή του υδρογόνου είναι, στο άτομο του Άσκηση 4.19 «Βρείτε την αβεβαιότητα του σε άτομο του υδρογόνου.» Η αβεβαιότητα του δίνεται από τον τύπο, Γνωρίζουμε ακόμη από προηγούμενη άσκηση ότι, [ ] [ ] Άρα ισχύει ότι, [ ] [ ] Σελικά, [ ( ) ] 70

70 Άσκηση 4.20 «Θεωρείστε σωμάτιο με μηδενική στροφορμή στο πηγάδι δυναμικού, Βρείτε το ενεργειακό φάσμα.», Σο πρόβλημα είναι σαν να έχουμε μια σφαίρα με ακτίνα όπου το μέσα στην σφαίρα και παντού έξω. Η λύση του προβλήματος είναι ανάλογη με αυτή του πηγαδιού απείρου βάθους ( ) με κανονικοποιήση της προστιθέμενης κυματοσυνάρτησης, επιλύοντας δύο εξισώσεις Schrodinger για μέσα και έξω από την σφαίρα. Ακόμα ισχύουν οι παρακάτω περιορισμοί: 1. Η κυματοσυνάρτηση πρέπει να έιναι ομαλή στην αρχή. 2. Η κυματοσυνάρτηση και η παράγωγός της πρέπει να είναι συνεχείς στο (όπου παρουσιάζεται ασυνέχεια του δυναμικού). 3. Η κυματοσυνάρτηση πρέπει να συγκλίνει στο άπειρο. Από την ακτινική εξίσωση Schrodinger έχουμε λύσεις για το σφαιρικών συναρτήσεων Bessel πρώτου είδους του j. Έτσι έχουμε, της μορφής 4 5 Όπου ( ). Επίσης, διαλέξαμε μέσα στο κουτί αυτή τη λύση γιατί η κυματοσυνάρτηση πρέπει να είναι ορισμένη παντού. Από τον τρίτο περιορισμό τώρα, διαλέγουμε λύσεις της μορφής των συναρτήσεων Hankel, 4 5 Όπου και ( ). Αυτό που μένει τώρα είναι να εξισώσω την κυματοσυνάρτηση μέση στη σφαίρα με αυτή έξω, που έιναι ίση με μηδέν. Επιτρεπτές ενέργειες είναι εκείνες όπου η ακτινική κυματοσυνάρτηση εξαφανίζεται στα όρια. Έτσι χρησιμοποιούμε τα μηδενικά των 71

71 σφαιρικών συναρτήσεων Bessel για να βρούμε το ενεργειακό φάσμα των κυματοσυναρτήσεων. Ονομάζουμε το μηδενισμό του, και έχουμε, Έτσι κάποιος υπολογίζει απλά τους μηδενισμούς του, συνήθως με τη χρήση πίνακα, αφού αυτοί οι μηδενισμοί δεν είναι δυνατόν να λυθούν για τη γενική περίπτωση. την ειδική περίπτωση όπου (συμμετρικά σφαιρικά τροχιακά) η σφαιρική Bessel γίνεται, όπου οι μηδενισμοί υπολογίζονται εύκολα ως, και έτσι το ενεργειακό φάσμα γίνεται, Παρατηρούμε την κβάντωση της ενέργειας για διάφορες τιμές του. Άσκηση 4.21 Θέματα προς λύση «Βρείτε την τροποποίησης της σχέσης όταν ληφθεί υπόψη η σχέση μετάθεσης μεταξύ θέσης και ορμής.» Άσκηση 4.22 «Βρείτε την μορφή της ακτινικής εξίσωσης Schrodinger παρουσία κεντρικού δυναμικού.» Άσκηση 4.22 «Βρείτε την αναπαράσταση του τελεστή στον υπόχωρο ιδιοκαταστάσεων των, με.» 72

72 Άσκηση 4.23 «Δείξαμε ότι η ακτινική εξίσωση Schrodinger ανάγεται στην μορφή, 0 1 Βρείτε την αναδρομική σχέση που ισχύει για τους όρους του αναπτύγματος του και την ελάχιστη δύναμη του που είναι συμβατή με τις οριακές συνθήκες. Ποιά είνια η ασυμπτωτική συμπεριφορά των ενεργειακών ιδιοκαταστάσεων για το υδρογόνο σε μικρά ;» 73

73 Κεφάλαιο 5 Spin Άσκηση 5.1 ( 5a ) «Να βρεθεί η ενέργεια αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου, σε κυκλική τροχία, με μαγνητικό πεδίο.» Για τη μαγνητική διπολική ροπή ισχύει ότι, Σο έργο που παράγεται, αποθηκεύεται στο σύστημα ως δυναμική ενέργεια του διπόλου. Άρα, Σελικά, 74

74 Άσκηση 5.2 ( 5b ) «Να υπολογιστεί η μεταβολή της ιδιοτιμής της ενέργειας για μαγνητικό πεδίο στη διεύθυνση.» Από την εκφώνηση της άσκησης έχουμε γνωρίζουμε ότι διεύθυνση, ως,. Από την προηγούμενη άσκηση. Άρα η ενέργεια γράφεται, για μαγνητικό πεδίο στη Ονομάζουμε τώρα μαγνητόνη του Bohr και γράφουμε την τελική σχέση για τη μεταβολή της ενέργειας, Άσκηση 5.3 ( 5c ) «Να αποδειχθεί ότι η δράση των τελεστών και πάνω στις ιδιοκαταστάσεις έχει ως αποτέλεσμα, ( ) ( ) και ( ) ( ).» Για τον τελεστή έχουμε ότι, ( ) [ ] Η σχέση μετάθεσης των με είναι, [ ] [ ] [ ] ( ) Άρα τώρα, ( ) ( ) ( ) 75

75 Ανάλογα λύνουμε και για τον τελεστή, ( ) [ ] ( ) ( ) Άσκηση 5.4 ( 5d ) «Να αποδειχθεί ότι ισχύει.» Ισχύει ότι, ( ) ( ) Επίσης για το γράφουμε, ( )( ) [ ] Τπάρχουν ανάλογες σχέσεις μετάθεσης και λύνουμε παρόμοια με τις ασκήσεις τις τροχιακής στροφορμής (ασκήσεις κεφαλαίου 3) για τους τελεστές και. Επομένως έχουμε, Κάνουμε χρήση των σχέσεων, ( ) Και έχουμε, [ ]( ) Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι οι ιδιοκαταστάσεις. Έτσι έχουμε, είναι ορθοκανονικές, δηλαδή [ ] 76

76 Άσκηση 5.6 ( 5e ) «Να αποδειχθεί ότι ισχύει.» Όπως και στην προηγούμενη άσκηση γράφουμε ότι, [ ] Άσκηση 5.7 ( 5f ) «Να βρεθεί το εύρος τιμών της ιδιοτιμής.» Από τις ασκήσεις 5 και 6 έχουμε ότι, Για να βρούμε το εύρος τιμών του τις λύσεις τους. Έτσι έχουμε, αρκεί να λύσουμε τις ανισότητες και να εξισώσουμε, Άρα η ανισότητα γράφεται, Επαληθεύεται για [ ]., Άρα η ανισότητα γράφεται, 77

77 [ ] Επαληθεύεται για [ ]. Σελικά από την συναλύθευση των λύσεων βρίσκουμε ότι, [ ] ή Άσκηση 5.8 ( 5g ) «Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της ιδιοτιμής.» Έστω η ελάχιστη τιμή της ιδιοτιμής, με. Ισχύει γενικά ότι, Ακόμα ισχύει, ( )( ) Επομένως, ( ) Άρα, ( ) Σελικά επειδή,, ισχύει ότι η ελάχιστη τιμή της ιδιοτιμής είναι., 78

78 Άσκηση 5.9 ( 5h ) «Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της ιδιοτιμής.» Έστω η μέγιστη τιμή της ιδιοτιμής, με. Λύνω τώρα όπωςς και στην προηγούμενη άσκηση, Άρα, Έτσι, ( ) Επειδή γράφουμε ότι η μέγιστη τιμή της ιδιοτιμής είναι,., Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 5, 6 και 7. Επειδή το όταν δράσει σε μια ιδιοκατάσταση μειώνει την ιδιοτιμή της και αντίστοιχα ο τελεστής αυξάνει την ιδιοτιμή, μπορούσαμε να βρούμε το εύρος της ιδιοτιμής αν από τις εξισώσεις κρατούσαμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή της (μικρότερη όταν δρούμε με τον και μεγαλύτερη οταν δρούμε με τον ). Σέλος λέμε ότι το βρίσκεται ανάμεσα στις δυο τιμές (με τα άκρα ως ελάχιστη και μέγιστη τιμή) αφού τα άκρα του πεδίου είναι το ελάχιστο και το μέγιστο, και το παίρνει συνεχείς τιμές στο. τις ασκήσεις 8 και 9 μπορούσαμε να βρούμε το μέγιστο και ελάχιστο της ιδιοτιμής από την άσκηση 7, αφού είχαμε ήδη βρει το κλειστό εύρος τιμών. Οπότε η ελάχιστη τιμή θα είναι το κάτω άκρο και η μέγιστη το άνω άκρο. Άσκηση 5.10 ( 5i ) «Να βρείτε τα βήματα που χρειάζονται για να μεταβούμε από την ιδιοτιμή ιδιοτιμή.» στην 79

79 Από τις ασκήσεις 7, 8 και 9 έχουμε ότι, Όπου είναι τα βήματα και ο είναι ακέραιος ή ημιακέραιος. Άσκηση 5.11 ( bonus ) «Αν είναι γνωστές οι σχέσεις μετάθεσης των, και να βρεθούν οι σχέσεις μετάθεσης των, και, για.» Οι σχέσεις μετάθεσης των, και είναι, [ ] [ ] [ ] Άρα οι σχέσεις μετάθεσης των, και είναι, [ ] [ ] ( * [ ] ( * [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση 5.12 ( 5j ) «Να βρεθούν σε μορφή πίνακα τα, και.» Θα βρούμε ξεχωριστά για κάθε ένα, Ισχύει ότι, 80

80 Όπου ( ) και ( ) η ορθοκανονική βάση. Επειδή ακόμα ισχύει έχουμε, Άρα, ( ) Ισχύει ότι, { Άρα, { Σελικά, ( ) ( ) ( ) Ισχύει ότι, { Άρα, { Σελικά, ( ) ( ) 81

81 ( ) Άσκηση 5.13 ( bonus ) «Αν ισχύουν οι σχέσεις για τα, και της προηγούμενης άσκησης να βρεθούν οι σχέσεις μετάθεσης των, και.» Για τις σχέσεις μετάθεσης έχουμε, [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Άσκηση 5.14 ( 5k ) «Να αποδειχθεί ότι η χρονική εξέλιξη της πυκνότητας πιθανότητας, για spin «πάνω» ( ) και για spin «κάτω» ( ), είναι, όπου, με : γυρομαγνητικός λόγος.» Γνωρίζουμε ότι ισχύει, ( * ( ) ( ) 82

82 Άσκηση 5.15 ( 5l ) «Να βρεθεί η μορφή της συνάρτησης των και από την προηγούμενη άσκηση.» Αποδείξαμε στην άσκηση 14 ότι, Ορίζουμε τώρα οριακές συνθήκες, ( ) ( ) Και έχουμε,. / Άρα, { ( ) ( ) Άσκηση 5.16 ( 5m ) «Να βρεθεί η χρονική εξέλιξη των αναμενόμενων τιμών για το spin σε μαγνητικό πεδίο.» Για την εξέλιξη των αναμενόμενων τιμών ενός μεγέθους έχουμε, 83

83 Άρα για το, ( * ( ) ( ) ( ) ( ) Από την προηγούμενη άσκηση (άσκηση 15) έχουμε, ( ) ( ) Άρα, ( ) ( ) Επομένως, * ( ) ( )+ ( ) Παρατηρούμε ότι η συνιστώσα είναι σταθερή και εξαρτάται μόνο από τη σταθερά. Άσκηση 5.17 ( 5n ) «Να βρεθεί η χρονική εξέλιξη των τιμών.» Όμοια με την άσκηση 16 έχουμε, ( ) ( ) Έχουμε, { ( ) ( ) ( ) ( ) 84

84 Άρα, * ( ) ( ) ( )+ * ( ) ( ) + Άσκηση 5.18 ( 5o ) «Να βρεθεί η χρονική εξέλιξη των αναμενόμενων τιμών του.» Όπως και στις ασκήσεις 16 και 17, ( ) ( ) * ( ) ( ) ( )+ Παρατηρούμε ότι έχουμε μετάπτωση της μέσης τιμής του spin γύρω από τον άξονα του μαγνητικού πεδίου, με συχνότητα μετάπτωσης. Άσκηση 5.19 ( 5p ) «Να αποδείξετε ότι οι τιμές των, και μπορούν να πάρουν μόνο δύο τιμές, τις :.» Γενικά ισχύει ότι. Γράφουμε τώρα την εξίσωση ιδιοτιμών για το, ( ) ( ) ( * ( ) Αν τώρα, ( * { ( )} Άρα, 85

85 Αν, ( * { ( )} Άρα, Αν, ( * { ( )} Άρα, Άρα οι τιμές των, είναι και είναι μόνο δύο. Άσκηση 5.20 ( 5q ) «Βρείτε τη δράση των τελεστών του spin, και στις ιδιοκαταστάσεις του, με τη χρήση τελεστών δημιουργίας και καταστροφής.» Γνωρίζουμε ότι, Ισχύει ακόμα ότι, [ ] [ ] Αν τώρα δράσουμε στις ιδιοκαταστάσεις του έχουμε, 86

86 Άσκηση 5.21 ( 5r ) «Να βρεθεί η τελική μορφή της εξίσωσης, ( ) ( * ( * με τη βοήθεια της προηγούμενης άσκησης.» Έχουμε ότι, ( ) ( * Φρησιμοποιούμε τώρα τις σχέσεις που αποδείξαμε στην προηγούμενη άσκηση και έχουμε, ( * ( * ( * ( * ( * ( * 87

87 { } { } Άρα τελικά ισχύει η σχέση, { } { } ( * Άσκηση 5.22 ( 5s ) «Να βρεθεί το σύστημα εξισώσεων των αγνώστων και από την προηγούμενη άσκηση.» Αποδείξαμε στην προηγούμενη άσκηση ότι, { } { } ( * ( * { Άσκηση 5.23 ( bonus ) «Να δειχθεί ότι οι εξισώσεις του συστήματος της προηγούμενης άσκησης είναι γραμμικά εξαρτημένες.» Σο σύστημα έχει ως εξής, 88

88 { { Για να δείξουμε αν οι εξισώσεις ενός συστήματος είναι γραμμικά εξαρτημένες αρκεί να πάρουμε την ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων. Αν αυτή ισούται με το μηδέν το σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο. Επομένως, Άρα οι εξισώσεις του συστήματος είναι γραμμικά εξαρτημένες. Άσκηση 5.24 ( 5t ) «Να βρεθεί ο άγνωστος ως συνάρτηση του, του συστήματος της προηγούμενης άσκησης.» Επειδή οι λύσεις του συστήματος είναι γραμμικά εξαρτημένες, διαλέγουμε μια από τις δύο εξισώσεις για να βρούμε το και έχουμε, Άσκηση 5.25 ( 5u ) «Να αποδειχθεί ότι ( ), όπου, με και οι άγνωστοι της προηγούμενης άσκησης και, η ορθογώνια συμπληρωματική φάση.» Από την προηγούμενη άσκηση έχουμε ότι, 89

89 Ακόμα, από την σχέση κανονικοποίησης έχουμε, 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( * Άρα, ( * Η φάση είναι αυθαίρετη. Επομένως έχουμε, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * Άρα, ( * ( * Άρα για το λόγω ορθοκανονικότητας γράφουμε, ( ( * ( * * ( * ( * ( * Από την παραπάνω σχέση και την κανονικοποίηση των και έχουμε, ( * 90

90 4 5 ή ( * και ( * ( * ( * Άρα τελικά, ( * ( * ( * ( * Ισχύει ότι, ( * ( * Άσκηση 5.26 ( 5v ) «Ποιά είναι η μέση τιμή του spin κατά μήκος της για την ιδιοκατάσταση ;» Η μέση τιμή του spin κατά μήκος της για την κατάσταση είναι, Με τη βοήθεια από την προηγούμενη άσκηση γράφουμε ότι, 91

91 2 ( * ( * ( * ( * 13 { [ ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ]} ( * ( * Η μέση τιμή του spin κατά μήκος του είναι η κλασικά αναμενόμενη τιμή. Είναι σαν να προβάλλουμε το spin του στον, ο οποίος εμφανίζει γωνία με τον. Αξίζει να σημειώσουμε ότι δεν υπάρχει περίπτωση να μετρήσουμε στον τιμή. Τπάρχουν μόνο δύο τιμές μέτρησης του spin, και είναι διαφορετικές από την μέση τιμή των μετρήσεων αυτών. Άσκηση 5.27 ( 5w ) «Να βρεθεί η εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή, για σωμάτιο με spin,.» Έχουμε ότι, Άρα, ( ) ( ) ( ) Επομένως η εξίσωση ιδιοτιμών δίνεται από τη σχέση, ( * 92

92 ( * ( ( )+ ή Άρα οι τιμές του είναι, Άσκηση 5.28 ( 5x ) «Για ιδιοτιμή του (της προηγούμενης άσκησης) ίση με να βρεθεί η ιδιοκατάσταση του.» Έστω ιδιοκαταστάσεις της μορφής. Σότε για την τιμή ( ) έχουμε, ( * ( ) ( ) 2 Σο σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο, οπότε διαλέγουμε μία από τις δύο εξισώσεις και από την σχέση κανονικοποίησης θα βρούμε τις σταθερές και. [ ] Άρα, ( ) ( ) Άρα η ιδιοκατάσταση είναι, 93

93 Άσκηση 5.29 ( 5y ) «Όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις του για.» Σώρα, οι ιδιοκαταστάσεις είναι, Επομένως για είναι, ( * ( ) ( ) 2 Από τη σχέση κανονικοποίησης τώρα, ( * Άρα, ( ) ( ) Σελικά η ιδιοκατάσταση παίρνει την μορφή, Άσκηση 5.30 ( 5z ) «Να βρεθεί η ιδιοκατάσταση για ιδιοτιμή για τον τελεστή.» 94

94 Η εξίσωση ιδιοτιμών είναι, ( * άρα για να έχω ιδιοτιμή θέλω. Επομένως ( ) Άρα, ( ) ( ) ( ) Άρα από την κανονικοποίηση, Σελικά έχουμε ότι, ( * Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 5.31 «Βρείτε τις αναπαραστάσεις των, και για ένα σωμάτιο με spin.» Επειδή, οι ιδιοκαταστάσεις, 95

95 ( + ( + ( + { Επίσης ισχύουν οι σχέσεις, Αρχικά για το γράφουμε, [ ] [ ] [ ] Επομένως, ( + Για το γράφουμε Άρα, ( + 96

96 Για το γράφουμε, Άρα, ( + Άσκηση 5.32 «Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην κατάσταση ( ). Κανονικοποιήστε την κατάσταση. Βρείτε τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης του και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ποιά είναι η μέση τιμή του. Επαναλάβετε για τις συνιστώσες του.» Από την κανονικοποίηση της κατάστασης έχουμε, ( ) [ ] Άρα, ( ) Η μέση τιμή του είναι, ( ) ( ) ( ) Η εξίσωση ιδιοτιμών του είναι, ( * 97

97 Άρα οι ιδιοτιμές του είναι. Επομένως η πιθανότητα να πάρουμε ιδιοτιμή είναι, ( * Και για ιδιοτιμή είναι, ( * Για τις συνιστώσες του έχουμε ότι, ( ) ( ) Η εξίσωση ιδιοτιμών του είναι, ( * Άρα για ιδιοτιμή του ( ) η πιθανότητα είναι, ( * ( * Άσκηση 5.33 «Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίοο της μορφής. Βρείτε την Χαμιλτονιανή του συστήματος. Το ηλεκτρόνιο αρχικά έχει spin «πάνω» στην κατεύθυνση του άξονα. Βρείτε την κατάσταση του ηλεκτρονίου τη χρονική στιγμή. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μια μέτρηση του, την τιμή την χρονική στιγμή. 98

98 Ποιά είναι η ελάχιστη τιμή του ;» που απαιτείται για πλήρη αναστροφή της κατεύθυνσης του Η Φαμιλτονιανή σε μαγνητικό πεδίο δίνεται από τον τύπο, Όπου. Έστω ( ) τότε, ( ) ( ( ) ( * * ( * { { {. /. / 8 Από τις συνοριακές συνθήκες βρίσκουμε τα και, ( * Άρα, ( * ( + Η πιθανότητα θα είναι, 99

99 [ ( +] 0. /1 [ ( *] ( * Επειδή το ηλεκτρόνιο αρχικά έχει spin «πάνω» στην κατεύθυνση του άξονα και ζητάνε τώρα το ελάχιστο για την πλήρη αναστροφή της κατεύθυνσής του, έχουμε ότι η πιθανότητα είναι, ( * Άρα, Θέματα προς λύση Άσκηση 5.34 «Βρείτε τον εκφυλισμό της στάθμης του ατόμου του υδρογόνου.» Άσκηση 5.35 «Βρείτε τους κβαντικούς αριθμούς που αντιστοιχούν στην κυματοσυνάρτηση 100

100 Άσκηση 5.36 «Αν το πείραμα Stern Gerlach έδινε τρεις δέσμες, θα μπορούσε το φαινόμενο να οφείλεται σε τροχιακή στροφορμή; Συγκρίνετε την τιμή του γυρομαγνητικού λόγου για τροχιακή στροφορμή και spin.» Άσκηση 5.37 «Γράψτε την Χαμιλτονιανή και τις διαφορετικές εξισώσεις που καθορίζουν την χρονική εξέλιξη spin σε μαγνητικό πεδίο.» Άσκηση 5.38 «Θεωρείστε σωμάτιο με spin σε ομογενές μαγνητικό πεδίο στην διέυθυνση. Έστω ( * η κατάσταση που περιγράφει το spin. Βρείτε τις διαφορετικές εξισώσεις που περιγράφουν την χρονική εξέλιξη της παραπάνω κατάστασης.» Άσκηση 5.39 «Σωμάτιο με spin βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο με Χαμιλτονιανή. Την στιγμή το σωμάτιο βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του τελεστή με ιδιοτιμή. Βρείτε την κατάσταση του σωματίου για.» 101

101 Κεφάλαιο 6 Πρόσθεση τροφορμών Άσκηση 6.1 ( bonus) «Να αποδειχθεί ότι η σχέση μετάθεσης της ολικής στροφορμής εκφράζεται περιεκτικά ως, όπου.» [ ] ( ) ( ) ή Φρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα του συμβόλου. Επομένως ισχύει. Αλλάζω θέση στα μεγέθη γιατί μετατίθονται. Αυτή η ιδιότητα είναι ανάλογη με αυτή του εξωτερικού γινομένου όπου αν τότε (με διαφορά ότι χρειάζομαι τις σχέσεις μετάθεσης). Ακόμα θεωρούνται γνωστές οι σχέσεις μετάθεσης των στροφορμών και, και. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να λύσουμε ως εξής, 102

102 [ ] [ ] [ ] [ ] Ανάλογα, με κυκλική εναλλαγή θα έχουμε, [ ] [ ] Άρα γενικά γράφουμε. Άσκηση 6.2 ( 6a ) «Αν το κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων των και, με να παίρνει ακέραιες και ημιακέραιες τιμές, να αποδείξετε ότι το παίρνει τις τιμές :.» Από τη θεωρία έχουμε ότι ισχύει, Από τα προηγούμενα κεφάλαια στροφορμών θεωρήσαμε, { ( ) Ορίζω τώρα, άρα, Σώρα για να βρούμε τις τιμές του λύνουμε όπως και για τα και των προηγούμενων κεφαλαίων, δηλαδή, ( ) ( ) Ισχύει ότι, Άρα έχουμε ότι, ( )( ) 103

103 Ανάλογα κάνουμε και για το και έχουμε, [ ] ( ) [ ] ( ) Άρα καταλήξαμε ότι, ( ) ( ) Οι δύο ανισότητες συναληθεύουν για αντίστοιχη σχέση για το και ). (βλέπε άσκηση 5.7 όπου αποδείξαμε Γνωρίζουμε ότι το παίρνει ακέραιες και ημιακέραιες τιμές και το παίρνει ακέραιες και ημιακέραιες τιμές. Υαίνεται πως έχουμε αποδείξει ότι το παίρνει τιμές. Ωστόσο δεν δείξαμε ότι το κάνει ακέραια βήματα. Επειδή όμως ισχύει έχουμε ότι το κάνει ακέραια βήματα. Άρα ισχύει η σχέση, Παρατήρηση Η άσκηση μπορεί να αποδειχθεί ευκολότερα αν θυμηθούμε τις σχέσεις των, και { 104

104 Άσκηση 6.3 ( 6b ) «Να αποδειχθεί ότι.» Ισχύει ότι, ( )( ) Γράφουμε ότι επειδή τα μεγέθη και μετατίθονται μεταξύ τους [ ]. Άρα, ( ) Μπορούμε να δούμε ότι, ( )( ) ( )( ) Σελικά έχουμε ότι, Άσκηση 6.4 ( 6c ) «Να υπολογιστούν οι σχέσεις μετάθεσης του με τα,, και.» Θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση για το που αποδείξαμε στην άσκηση 6b, Και γνωρίζουμε ότι [ ]. Έτσι έχουμε, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 105

105 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση 6.5 ( 6d ) «Να εξηγήσετε την σχέση, Όπου η ιδιοκατάσταση των,, και (βάση 2) και η ιδιοκατάσταση των,, και (βάση 1).» Επειδή στη βάση 1 ισχύει ότι, Άρα έχουμε ότι. Έτσι για έχουμε ότι, Βάζοντας και τις σταθερές κανονικοποίησης έχουμε, Όπου. 106

106 Άσκηση 6.6 ( 6e ) «Να βρεθεί το σύστημα εξισώσεων των αγνώστων κανονικοποιήσης και της προηγούμενης άσκησης.» Ισχύει ότι, και Ακόμη γράφουμε, Από τα παραπάνω γράφουμε, ( ) ( ) ( ) { ( * [ ] } { ( * [ ] } Εξισώνουμε τώρα τους συντελεστές των και και έχουμε, [ ] [ ] { [ ] [ ] Άσκηση 6.7 ( 6f ) «Αν στην προηγούμενη άσκηση θέσουμε να βρεθούν οι τιμές του.» 107

107 Θέτουμε τώρα, έτσι από την άσκηση 6e έχουμε, 2 [ ] [ ] { [ ] [ ] Για να έχει λύση το σύστημα πρέπει, [ ] [ ] [ ] [ ] { Άσκηση 6.8 ( 6g ) «Να βρεθεί το για.» Ισχύει ότι, ( * { Άρα. Απορρίπτουμε τη λύση γιατί το είναι. 108

108 Άσκηση 6.9 ( 6h ) «Να βρεθεί το για.» Λύνουμε όπως και στην άσκηση 6.8, δηλαδή για έχουμε, ( * { Άρα για έχουμε Άσκηση 6.10 ( 6i ) «Να αποδειχθεί ότι και.» Γενικά ισχύει η σχέση, Άρα αν, έχουμε ότι, Άρα, και Άσκηση 6.11 ( 6j ) «Να βρεθούν οι συντελεστές και και να γραφεί η τελική μορφή της για και.» 109

109 Ισχύει από τη σχέση κανονικοποίησης ότι, [ ] [ ] Έτσι, Άρα από την σχέση έχουμε, Άσκηση 6.12 ( 6k ) «Να βρεθούν οι συντελεστές και και να γραφεί η τελική μορφή της για και.» Όπως και στην προηγούμενη άσκηση, αλλά τώρα για, έχουμε, 0 1 ( * Άρα, 110

110 Άρα τελικά έχουμε, Παρατηρήσεις Αγνοούμε τους κοινούς δείκτες γιατί δεν παίζουν κάποιο ρόλο στους υπολογισμούς και απλά μεταφέρονται με τις πράξεις. Οι παραπάνω συντελεστές που υπολογίσαμε στις ασκήσεις 6.11 και 6.12 λέγονται συντελεστές Glebsch Gordan από τους Γερμανούς μαθηματικούς Alfred Glebsch ( ) και Paul Gordan ( ) που αντιμετώπισαν ένα αντίστοιχο μαθηματικό πρόβλημα στη θεωρία ευμετάβλητων συστημάτων (Invariant Theory). Σέλος μπορούμε να τους συγκεντρώσουμε σε ένα πίνακα της μορφής, Πίνακας υντελεστών Glebsch Gordan Άσκηση 6.13 ( 6l ) «Να γραφεί η βάση ένα,, στη βάση δύο,.» Από τις ασκήσεις 6.11 και 6.12 έχουμε ότι, 111

111 { Για την έχουμε, { ( * ή Για την έχουμε, { Άρα τελικά, { 112

112 ημείωση. Βλέπουμε ότι οι παραπάνω σχέσεις μας αποδεικνύουν ότι ο πίνακας των συντελεστών Glebsch Gordan ισχύει και για μεταβάσεις από τη βάση ένα στη βάση δύο, δηλαδή από σε. Άσκηση 6.14 ( 6m ) «Με τη βοήθεια της προηγούμενης άσκησης ή του πίνακα συντελεστών Glebsch Gordan να βρεθούν οι μορφές της για την ειδική περίπτωση όπου.» Θα λύσουμε για την καταστάσεις. και με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε και για τις υπόλοιπες Αν κοιτάξουμε τον πίνακα συντελεστών και πάμε από την βάση δυο στη βάση ένα, έχουμε για και, Τπολογίζουμε τώρα για και τα και έχουμε, Άρα τελικά, Αν τώρα θέσουμε και έχουμε, Άρα, υνοπτικά γράφουμε ότι, Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε και τις υπόλοιπες καταστάσεις. 113

113 Παρατήρηση Κατα τον υπολογισμό της κατάστασης θέσαμε τιμή. Παρότι φαίνεται ανόητο και φυσικά απαράδεκτο, αφού, η τιμή αυτή είναι «εικονική», δηλαδή την θέτουμε τόση όση να μας δώσει την φυσικά αποδεκτή τιμή. Αυτό συμβαίνει γιατί ο πίνακας των συντελεστών Glebsch - Gordan έχει υπολογιστεί μόνο για τιμές και όχι για όπου θα θέταμε και θα βρίσκαμε την. Ακόμη ο πίνακας με θα έχει πρόβλημα στα θετικά δηλαδή θα πρέπει να θέτουμε. Για αυτό θα χρειαστούμε ένα πίνακα συντελεστών με και. Άσκηση 6.15 ( 6n ) «Με τη βοήθεια της προηγούμενης άσκησης ή του πίνακα συντελεστών Glebsch Gordan να βρεθούν οι μορφές της Λύνουμε ανάλογα με την προηγούμενη άσκηση, Για και έχουμε, Άρα, για την ειδική περίπτωση.» Αντίστοιχα τώρα αν και έχουμε, Άρα καταλήγουμε ότι, Ανάλογα λύνουμε και για τις υπόλοιπες καταστάσεις. 114

114 ημείωση Εναλλακτικά οι μορφές των καταστάσεων μπορούν να βγουν από τις εξισώσεις (από τις οποίες βγήκαν και οι συντελέστες Glebsch Gordan), { για και για διάφορα. Σέλος αν βρεθούν όλες οι καταστάσεις των και καταλήγουμε στον τελικό πύνακα μετάβασης βάσεων (1) και (2) στην ειδική περίπτωση για, Πίνακας μετάβασης βάσεων για 115

115 Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 6.16 «Θεωρήστε δύο ηλεκτρόνια σε κατάσταση (singlet). a. Μέτρηση της συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή. Ποιά η πιθανότητα να μετρηθεί η ίδια συνιστώσα του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή ; b. Μέτρηση της συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή. Ερώτημα a Ποιά η πιθανότητα να μετρηθεί η ;» Έχω ιδιοκαταστάσεις του, Σώρα η κατάσταση singlet είναι, ( ) ( ) συνιστώσα του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή Ακόμη, ο χώρος Hilbert για το ζευγάρι ηλεκτρονίων είναι, το εξωτερικό γινόμενο των χώρων Hilbert κάθε ηλεκτρονίου. Οι δύο όροι στο δεξί μέρος ονομάζονται κατάσταση I και κατάσταση II. ύμφωνα με την ερμηνεία της Κοπεγχάγης (Copenhagen Interpretation) όταν μετράμε την τιμή καταρρέει η κατάσταση του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι αν η μέτρηση είναι, δηλαδή, γίνεται, και έτσι για το spin singlet η νέα κατάσταση είναι, Αντίστοιχα αν μετρηθεί έχουμε, Άρα η νέα κατάσταση είναι της μορφής, 116

116 Σελικά μετά τη μέτρηση του για ένα από τα ηλεκτρόνια έχουμε «πιθανότητα» μέτρησης του άλλου με την τιμή, μηδενική, και με τιμή, μονάδα (βεβαιότητα). την ουσία δεν υπάρχει νόημα να μιλάμε για πιθανότητα μέτρησης αφού καταρρέει η κυματοσυνάρτηση. Σα παραπάνω είναι η μαθηματική απόρροια (φορμαλισμός) του παράδοξου EPR EPR Paradox. Σο παράδοξο EPR, που διατυπώθηκε το 1935 από τους Albert Einstein, Boris Podolsky και Nathan Rosen, αναφάρεται σε ένα νοητό πείραμα όπου δύο, αρχικά αλληλεπιδρόντα, σωματίδια χωρίζονται και καταγράφονται σε δύο διαφορετικά συστήματα, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. The EPR thought experiment, performed with electron positron pairs. A source (center) sends particles toward two observers, electrons to Alice (left) and positrons to Bob (right), who can perform spin measurements. Από ότι αναφέραμε στην αρχή της άσκησης (χρειάζεται και η αρχή της αβεβαιότητας για την πλήρη απόδειξη, βλ. Άσκηση 6.16 Ερώτημα b) μετρώντας στο ένα σύστημα το spin του ενός ηλεκτρονίου γνωρίζουμε την τιμή και του δευτέρου στο άλλο σύστημα. Αυτό προέτρεψε στη θεώρηση «λανθάνων μεταβλητών» - Hidden variables και έδειχνε ότι, η τότε νέα Κβαντική Θεωρία {αναπτύχθηκε στα μέσα του 1920 από τους W. Heisenberg, M. Born, P. Jordan (Κβαντομηχανική των πινάκων), L. De Broglie, E. Schrodinger (κυματική κβαντομηχανική), W. Pauli, S.N. Bose (στατιστική των υπατομικών σωματιδίων) και N. Bohr (Copenhagen Interpretation) μέχρι το 1930} ήταν μια ημιτελής θεωρία. Σέλος το παράδοξο EPR έδωσε ιδέες για έρευνα πάνω στο φαινόμενο του Quantum Entanglement. 117

117 Ερώτημα b Από την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg για τα δύο αυτά ηλεκτρόνια στις συνιστώσες y και x, έχουμε, ( ) [ ] με [ ] Επομένως δεν είναι δυνατόν να μετρήσουμε την τιμή των και. Άσκηση 6.17 «Να αποδειχθούν οι σχέσεις, a. b. c..» Ερώτημα a Γενικά ισχύει, [ ] {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] Ερώτημα b Έχουμε θεωρήσει για spin,. Επομένως αν δράσουμε με τον τελεστή στην κατάσταση έχουμε γιατί η ιδιοτιμή δεν μπορεί να αυξηθεί. Αντίστοιχα έχουμε για τον τελεστή, 118