SCADA sistemi. Šta je SCADA?

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SCADA sistemi. Šta je SCADA?"

Transcript

1 SCADA sistemi Šta je SCADA? SCADA (Supervisory Control And Data Acquisition) je sistem koji služi za automatizaciju opštih procesa, odnosno koji se koristi za prikupljanje podataka sa senzora i instrumenata lociranih na udaljenim stanicama i za prenos i prikazivanje tih podataka u centralnoj stanici u svrhu nadzora ili upravljanja. Prikupljeni podaci se obično posmatraju na jednom ili više SCADA računara u centralnoj (glavnoj) stanici. SCADA sistem u realnosti može da prati i upravlja i do stotinama hiljada ulazno-izlaznih vrijednosti. Uobičajeni analogni signali koje SCADA sistem nadzire (ili upravlja) su nivoi, temperature, pritisci, brzine protoka i brzine motora. Tipični digitalni signali za nadzor (upravljanje) su prekidači nivoa, prekidači pritiska, status generatora, releji i motori.

2 Kao što joj i samo ime kaže, ona nema potpunu kontrolu nad sistemom, već je više fokusirana ka nivou nadgledanja i nadziranja. Kao takva, ona je softverski paket koji je pozicioniran na samom vrhu hardvera na koji se odnosi, uglavnom preko PLC-a ili drugog komercijalnog hardverskog modula. SCADA sistemi se koriste ne samo u većini industrijskih procesa kao što su dobijanje čelika, proizvodnja i distribucija električne energije (konvencionalne i nuklearne), praćenje i kontrola hemijskih i transportnih procesa, gradskih vodovodnih sistema već takođe sve više i svakodnevnom životu. SCADA sistemi su postigli suštinski napredak tokom proteklih godina u smislu funkcionalnosti i performansi.

3

4 Termin SCADA se obično odnosi na centralni sistem koji nadgleda i kontroliše čitavu fabriku ili sistem koji je raspregnut na velike daljine (kilometri). Najveći dio kontrole jedne stanice se ustvari vrši automatski od strane PLC-a. Glavne kontrolne funkcije su skoro uvijek zabranjene kontroleru u stanici. Na primjer, PLC može da kontroliše protok vode za hlađenje kroz dio industrijskog procesa, ali SCADA sistem može da dozvoli operateru da promijeni zadatu vrijednost protoka i može da snima i prikazuje bilo koja alarmna stanja, kao što su gubitak pritiska ili visoka temperatura. Prikupljanje podataka Prikupljanje podataka počinje na nivou PLC-a i uključuje očitavanje veličina i statusa. Zatim se podaci koji su potrebni šalju na SCADA sistem, gdje se prevode i formatiraju na takav način da operater u kontrolnoj sobi uz pomoć interfejsa može, na osnovu njih, donijeti odgovarajuće odluke koje mogu biti potrebne da bi se podesile ili prepisale normalne PLCove kontrole. Podaci se takođe mogu čuvati u istorijatu, koji je često podržan bazom podataka, radi prikaza trendova i drugih analitičkih radnji.

5 SCADA sistem tipično implementira distribuiranu bazu podataka, koja se često zove i baza tagova, koja se sastoji od elemenata zvanih tačke ili tagovi. Tag predstavlja jednu ulaznu ili izlaznu vrijednost koja se prati ili kojom se upravlja od strane sistema. Tagovi mogu biti hard (tvrdi) ili soft (meki). Tvrdi tag predstavlja stvarnu vrijednost ulaznog ili izlaznog signala, dok je meki tag rezultat logičkih i matematičkih operacija primijenjenih na tvrdi tag. Većina interpretacija konceptualno uklanja ove granice nazivajući tvrde tagove najprostijim slučajem mekog taga. Vrijednosti tagova se obično čuvaju kao kombinacija vrijednost-vrijeme; vrijednost i vremenski trenutak kada je ta vrijednost snimljena ili izračunata. Serija vrijednostvrijeme kombinacija je istorijat tog taga. SCADA računar je obično industrijski PC na kome se izvršava sofisticirani SCADA HMI softver. HMI (Human-Machine Interface Sprega između čovjeka i računara) je aparat koji procesne podatke predstavlja operateru i kroz koji operater kontroliše proces. Osnovni interfejs operatera je skup grafičkih ekrana koji prikazuju reprezentaciju opreme koja se posmatra. Tipičan HMI se sastoji od ugnježđenog derivacijskog stabla mnoštva takvih ekrana.

6 HMI industrija je u osnovi rođena iz potrebe za standardizacijom načina praćenja i kontrolisanja udaljenih kontrolera sa više pozicija, PLC-ova i drugih kontrolnih uređaja. Dok PLC-ovi omogućavaju automatsko, pre-programsko vođenje procesa, oni su obično raštrkani po cijeloj fabrici, čime je ručno prikupljanje podataka sa njih otežano. Istorijski, PLC-ovi nemaju standardizovan način prikazivanja informacija operateru. Dok SCADA sistem prikuplja informacije sa PLC-ova i drugih kontrolera preko neke vrste mreže, zatim kombinuje i formatira te informacije. HMI može takođe biti povezan sa bazom podataka, da bi obezbijedio prikazivanje trendova, dijagnostičkih podataka i menadžerskih informacija. Tri komponente SCADA sistema su: glavna stanica (Master Station) i HMI kompjuter(i), komunikacijska infrastruktura, višestruke udaljene terminalne jedinice (PLC-ovi).

7 Master Station Termin glavna stanica se odnosi na servere i na softver za komunikaciju sa opremom, a onda i na HMI softver koji se izvršava na jednom ili više računara u kontrolnoj sobi, ili negdje drugo. U manjim SCADA sistemima, glavna stanica može biti samo jedan PC računar, dok u većim SCADA sistemima, glavna stanica se može sastojati od više servera i distribuiranih softverskih aplikacija. HMI/SCADA Master Station ili Master Terminal Unit (MTU) mora komunicirati sa RTU-ima (Remote Terminal Unit) koji su udaljeni od centralne lokacije. SCADA sistem obično prezentuje informacije operateru u obliku mimičkih dijagrama. To znači da operater može da vidi šematsko predstavljanje fabrike koju kontroliše. Na primjer, slika pumpe koja je povezana sa cijevi može operateru pokazati da pumpa radi i koliko tečnosti pumpa kroz cijev u tom trenutku. Operater tada može da isključi pumpu. HMI softver će prikazati smanjivanje brzine protoka tečnosti u cijevi u realnom vremenu. Mimički dijagrami se mogu sastojati od linijske grafike i šematskih simbola koji predstavljaju procesne elemente, ili se mogu sastojati od digitalnih fotografija procesne opreme prekrivenim animiranim simbolima.

8

9 Vrijeme potrebno da se stigne do udaljenih stanica, da se prikupe podaci ili da se izdaju naredbe, da se preispitaju ručno unijeti podaci, ispišu izveštaji ili izvrše bilo koje od funkcija koje pruža SCADA sistem, je u činjenici veoma znatno. Koristi od uštede vremena su daleko veće od skraćenja ljudskih radnih sati brze reakcije na alarme, blagovremene akcije i naredbe imaju i visoku novčanu vrijednost. Primarna svrha SCADA sistema je da unaprijed daju upozorenje na problem koji može nastati. Komunikacijska infrastruktura MTU mora da komunicira sa RTU-ima (Remote Terminal Unit) koji su udaljeni od centralne lokacije. SCADA sistemi mogu imati od nekoliko pa do nekoliko hiljada RTU-a. Postoje dva uobičajena načina komunikacije: -pomoću zemaljske linije, najcešce su to optički ili bakarni telekomunikaciono vodovi u vlasništvu preduzeća, ređe javne telekomunikacijske mreže i -radio veze. U oba slučaja za komunikaciju je potreban MODEM.Neki veći sistemi mogu koristiti kombinaciju radio i telefonskih linija za komunikaciju.

10 Jedno od obilježja SCADA sistema je jednostavnost procesa, iz tog razloga količina informacija koje se prenose SCADA sistemom je relativno mala tako da je i brzina prenosa podataka kojom modem radi niska. Obično MTU na sebi ima priključene izlazne uređaje (printere, memoriju za sigurnosne kopije, itd.), ti se uređaji smatraju dijelom MTU-a. U mnogim se aplikacijama od MTU-a zahtijeva komunikacija sa ostalim računarima u sistemu. U novijim SCADA sistemima se komunikacija odvija pomoću LAN (Local Area Network) mreža. Na ovaj je način omogućen nadzor i kontrola nad SCADA-om sa bilo kog računara koje je spojen na LAN. Udaljene terminalne jedinice Kao što je ranije spomenuto RTU komunicira sa MTU-om pomoću moduliranog signala preko kablova ili radio veze. Svaki RTU mora biti u mogućnosti da razumije da je poruka poslata njemu, dekodira tu poruku, reaguje na poruku, odgovori ukoliko je to potrebno i pritaji se u očekivanju nove poruke

11 Delovanje na poruku može biti veoma složena radnja. Ono može zahtijevati provjeru trenutnog položaja opreme na terenu, poređenje trenutnog stanja sa željenim, slanje električnog signala opremi na terenu sa zahtjevom za promjenom stanja, provjeru stanja opreme kako bi se potvrdilo izvršenje naredbe i slanje poruke o promijenjenom stanju MTU-u. Zbog ovih složenih zahteva većina RTU-a je bazirana na računarskoj tehnologiji.

12 Veza između RTU-a i opreme na terenu najčešće se izvodi električnim bakarnim vodovima. Obično se senzori i aktuatori električnom energijom napajaju od strane RTU-a. Zavisno od procesa i zahtjeva za pouzdanošću u nekim se sistemima može pojaviti potreba za upotrebom besprekidnih napajanja (Uninterruptible Power Suplay, UPS) kako bi se osiguralo da nestanak električne energije ne ugrozi proces. Ti su zahtjevi najizraženiji u SCADA sistemima implementiranim u elektroenergetskim sistemima. Baš ko što MTU skenira svaki RTU, tako RTU skenira svaki senzor i aktuator spojen na njega. Međutim RTUovo skeniranje obavlja se na mnogo višoj brzini od skeniranja MTU-a. SCADA Podsistemi Pri realizaciji nadzorno-upravljačkih sistema primjenom SCADA softvera pretpostavlja se da postoji postrojenje sa pratećom mjernom opremom i izvršnim organima, da je data tehnološka šema i opis postrojenja, kao i elektro projekat na nivou postrojenja. Tada se SCADA softver projektuje tako da omogući jednostavno specificiranje svih elemenata sistema, kao i jednostavno projektovanje operaterskog interfejsa i dispečerskih stanica. Pri tome se mora specificirati način komunikacije, čvorovi u mreži, vrijeme skeniranja pojedinih stanica ili pojedinih signala u stanici, kao i skup (bazu) podataka koji se prate i obrađuju.

13 Iako SCADA softvere razvijaju različiti proizvođači iz analize dostupnih sistema mogu se uočiti sličnosti u njihovoj arhitekturi. Takođe se može primijetiti postojanje sličnih podsistema kao što su: Podsistem za definisanje veličina Podsistem za alarme Podsistem za prikaz trendova Podsistem za izveštaje Grafički podsistem Komunikacioni podsistem Podsistem za pristup bazama podataka

14 U podsistemu za definisanje veličina se definišu veličine i njihove osobine kao što su gornja i donja granica vrijednosti veličine, vrijeme očitavanja, itd. Ulazne veličine predstavljaju vrijednosti izmjerenih fizičkih veličina iz procesa, a izlazne veličine su vrijednosti koje se šalju ka upravljačkim uređajima. Često se mogu definisati i memorijske veličine (koje služe za proračune) i sistemske veličine koje su specifične za upotrebljeni program. Podsistem za alarme služi za definisanje i prikaz alarmnih stanja u sistemu. Alarmna stanja mogu predstavljati nedozvoljenu ili kritičnu vrijednost veličine kao i nedozvoljenu akciju ili komandu operatera. Svaki alarm ima svoje osobine kao što su nivo ozbiljnosti alarma, mjesto nastanka, kategorija, poruka koja se vezuje za alarm i slično. Podsistem za alarme omogućuje promjenu stanja alarma putem operacije potvrde i brisanja. Podsistem za prikaz trendova u kome se prikazuju poslednje promjene vrijednosti veličina (trendovi u realnom vremenu) i istorijat promjene vrijednosti veličina u toku dužeg vremenskog perioda (histogrami). Dobro osmišljeni podsistemi za prikaz trendova omogućuju i uporedni prikaz više veličina kao i arhiviranje dijagrama. U podsistemu za izvještaje se formiraju izvještaji o promjenama vrijednosti veličina, alarmima, akcijama operatera i ostalim aspektima rada postrojenja.

15 Grafički podsistem prikazuje stanje postrojenja u obliku koji je najpregledniji za čovjeka (operatera) kako bi on mogao pravovremeno odreagovati na promjenu stanja sistema. Osnovna ideja je da se letimičnim pogledom na ekran uoče nepravilnosti u radu postrojenja, da bi se brzo reagovalo i spriječilo neželjeno ponašanje. Vrijednosti veličina se najčešće prikazuju u obliku brojeva ili dinamičkih slika, čime se olakšava uočavanje promjena na slici. Pored prikaza stanja sistema grafički podsistem treba da omogući izvršavanje neke akcije od strane operatera. Na primer klikom miša na neki objekat može se pokrenuti izvršavanje nekog ranije definisanog makroa ili skripte. U većini dostupnih sistema omogućeno je pisanje makroa u VBA (Visual Basic for Application) programskom jeziku koji se odlikuje jednostavnom sintaksom. Komunikacioni podsistem omogućava povezivanje SCADA sistema sa fizičkim uređajima koji vrše neposredan nadzor i upravljanje (PLC). Podsistem za pristup bazama podataka omogućava trajno čuvanje i pregled podataka u relacionim bazama podataka. Ranija rešenja su biljležila podatke u datoteke u nestandardnom obliku. Novija rešenja koriste neki od standardnih načina arhiviranja podataka koji omogućuju korisniku lak pristup podacima kao i pristup podacima iz drugih softverskih sistema. Na Microsoft Windows operativnim sistemima često se koristi ODBC (Open Database Connectivity) i nešto savremenija ADO (ActiveX Data Object) tehnologija. Upotreba ovih tehnologija omogućuje lakšu pretragu podataka kao i formiranje izveštaja pomoću SQL (Structured Query Language) jezika.

16 KOMUNIKACIJE U SAU

17 UVODNA RAZMATRANJA Prenos podataka ili signala u sistemima upravljanja kao što su sistemi regulacije, sistemi za prikupljanje i prezentaciju podataka, sistemi za zaštitu i upravljanje elektroenergetskim sistemima, telemetrijski sistemi, je veoma važan proces. Ovaj proces prenosa informacija unutar i između sistema upravljanja, postao je veoma bitan, čak suštinski, kod distribuiranih sistema upravljanja. U osnovi, radi se o digitalnim sistemima koji u domenu sistema za obradu informacija postaju sve dominantnijim nad analognim sistemima upravljanja. UVODNA RAZMATRANJA Posljednjih nekoliko godina došle su do izražaja značajne prednosti realizacije uređaja i sistema upravljanja na bazi digitalne tehnike. U vezi s tim, došlo je do značajnog smanjenja cijene po funkciji, povećana je tačnost, kao i moć i fleksibilnost SAU. Sve ovo omogućeno je napretkom u proizvodnji digitalnih kola uz stalno smanjivanje cijene njihovog koštanja. Pored ostalih prednosti digitalni sistemi pružaju veću sigurnost, veću tačnost, stabilnost i pouzdan prenos signala. Digitalni signali prenose se kao biti, ili binarne cifre, a prijemnik signala treba samo da razlikuje binarne "1"-jedinice (prisustvo signala) i binarne "0"-nule (odsustvo signala).

18 UVODNA RAZMATRANJA SAU za upravljanje tehnoloških procesa, elektroenergetskih sistema, prikupljanje podataka, itd., obično rade na takvim lokacijama gdje vladaju teški ambijentni uslovi rada (visoke temperature, vlažnost, uticaji elektomagnetnih smetnji, itd.). Radi toga, neophodno je kod projektovanja prenosnih puteva unutar i između SAU, osigurati integritet podataka, što podrazumijeva primjenu specifičnih načina prenosa signala, a koji zavisi od tipa samog signala, tačnosti prenosa, udaljenosti, tipa prenosne linije, itd. Osnovni zahtjev koji treba da bude ispunjen u toku prenosa signala je da se odnos SIGNAL/ŠUM (S/N) na prenosnoj liniji zadrži na nivou koji obezbjeđuje zahtijevanu tačnost. Drugi faktor koji je bitan za prenos signala, je minimizacija uticaja koji smanjuju upotrebljivu daljinu prenosa. Da se ilustruje zahtjev na odnos S/N, neka bude razmotren sljedeći slučaj. UVODNA RAZMATRANJA Dobar analogni regulator ima vremenski drift manji od 0.1% OPSEGA/h, ili 5 mv za područje izlaznog signala 0-5 V. Mjerenja vršena na dvostrukom oklopljenom kablu, dužina m, koji prolazi kroz tipičnu industrijsku sredinu, pokazala su da je realan nivo šuma ±0.1 V, a nakon odgovarajuće redukcije, moguće ga je svesti na oko ±10 mv. Ovo znači da je u ovom slučaju šum reda 0.2% OPSEGA analognog signala 0-5 V. Ako je nivo logičke jedinice 5 V, što je oko 500 puta veće od nivoa šuma, u slučaju opisanom ovdje, vjerovatnoća zamjene "1" sa "0" i obrnuto skoro je nikakva. Konsekventno tome, tačnost prenosa signala zavisi samo od broja binarnih cifara upotrebljenih da se predstavi signal.

19 UVODNA RAZMATRANJA Dakle, kod SAU fundamentalni zahtjev koji se postavlja kod njihove sinteze je zahtjev prema komunikacijama, tj. tačan i pouzdan prenos informacija iz jedne tačke u drugu prenošenjem signala. Mada je ovaj zahtjev uvijek bio od izuzetne važnosti, on je sada postao još važniji od kako su SAU postali dominantno distribuirani. Danas, većina sistema upravljanja koristi električne signale za prenos informacija, mada i dalje u nekim specifičnim aplikacijama, za prenos se koristi i pneumatski signal (eksplozivno opasne sredine). U budućnosti za prenos informacija sve će masovnije biti korišćeni optički signali zbog niza prednosti koje posjeduju. Korisnici i proizvođači industrijske automatike suočeni su sa ekstremno brzim inovacijama i tržišnom konkurencijom, za koju je tradicionalni proces harmonizacije na bazi sveukupnog konsenzusa često vrlo spor. Ovo se dalje komplikuje time što je za opremu automatike očekivani životni vijek relativno dug (10-15, pa i više godina), te zahtijeva koegzistenciju više generacija opreme.

20 PRENOS ANALOGNIH SIGNALA ANALOGNI ILI KONTINUALNI SIGNAL je signal čiji informacioni parametar može da ima svaku vrijednost unutar datog opsega u svakom momentu vremena. Predmet prenosa signala je tačna korespondencija toga signala u nekoj udaljenoj lokaciji od izvora. Razmatranja koja će ovdje uslijedit, odnosiće se isključivo na električne signale, međutim, slični principi upotrebljavaju se za prenos pneumatskih i drugih signala. Unificirani analogni signal Izbor unificiranog signala u analognim sistemima upravljanja jedno je od bitnih sistemskih pitanja. Istorijski gledano, unificirani analogni signal, prvi put, pojavio se u pneumatskim sistemima upravljanja. Već odavno je usvojen standardni signal kpa (0,2-1,0 bar).

21 Unificirani analogni signal Osnovni razlozi za uvođenje ovog signala su: za generisanje ovakvog signala potreban je kompresor pritiska kpa, što omogućuje rad sistema bez opasnosti da dođe do kondenzacije (veći je dopustivi sadržaj zasićene pare u vazduhu), postiže se maksimalna brzina prostiranja signala uz prečnik cijevi od 4-6 mm. Pri tome, postoji jedno ograničenje na frekventni sadržaj pneumatskog signala koji je manji od 4/L [Hz] gdje je L - dužina prenosnog puta u [m], manja je potrebna snaga pneumatskog izvora. Upoređujući jedan od prvih korišćenih pneumatskih signala ( kpa) koji je korišćen u SAU početkom ovoga vijeka u rafinerijama nafte u SAD sa signalom ( kpa), potrebna je oko 6 puta manja snaga pneumatskog izvora za ovaj posljednji. Takođe, porastom pritiska rastu histereze i vremenske konstante pneumatskog sistema. Unificirani analogni signal Obzirom na prednosti koje danas pružaju elektronski sistemi upravljanja u odnosu na sisteme realizovane u drugim tehnologijama (pneumatski, hidraulički), najvažnije sistemsko pitanje je način komuniciranja unutar i između SAU.

22 Kod analognih SAU prenos informacija između pojedinih uređaja u sistemu, obično je ostvaren analognim ili digitalnim električnim signalom. Na je slici dat detaljniji SAU, direktna i povratna grana, kao i tipovi signala koji se pojavljuju u komunikacijama unutar SAU. Unificirani analogni signal Danas u tehničkoj praksi i dalje postoji veliko šarenilo, kako u pogledu vrste tako i u pogledu područja i opsega signala. Pri izboru jedinstvenog standardnog analognog signala unutar SAU, bilo je potrebno riješiti tri osnovna problema: da li koristiti jednosmjerni ili naizmjenični signal? da li strujni ili naponski signal? koje područje i opseg signala odabrati?

23 Unificirani analogni signal Jednosmjerni signal relativno je teže pojačavati od naizmjeničnog, pogotovo ako je malog nivoa, jer tada je uticaj drifta značajan. S druge strane, naizmjenični signal lakše je pojačavati, ali je otežana njegova filtracija od smetnji koje potiču od uticaja energetskih vodova, radiofrekventnih i drugih smetnji. Većina šumova u industrijskim postrojenjima koji se indukuju u prenosnim putevima frekventnog je opsega f B [50Hz-l0MHz]. Glavna snaga šuma koncentrisana je u području signala frekvencije od 50Hz -100Hz (koji potiču od energetskih vodova, upravljača, fluorescentnih sijalica, itd.). Smetnje koje potiču od samog upravljanog procesa ili objekta, frekventnog su opsega 0.005Hz - 1Hz. Amplitude ovih šumova kreću se od nekoliko mv do nekoliko V. Napretkom tehnologije proizvodnje poluprovodničkih elemenata, a naročito proizvodnje integrisanih kola i instrumentacionih operacionih pojačavača, prevaziđen je problem pojačavanja malih jednosmjernih signala kao što su oni iz raznih davača. Tako je danas prevladao jednosmjerni električni signal kao standardni. Unificirani analogni signal Odgovor na pitanje: "Da li naponski ili strujni signal", dobijen je iz prednosti koju ima strujni signal kada se koristi za prenos informacije na daljinu. Prvo, problem pada napona duž prenosne linije, eliminisan je kao izvor greške, budući da je struja, nosilac informacije, ista u svim tačkama redne veze, prenosne linije. Drugo, prijemnik informacije je niskoimpedansni, što minimizira razvoj šuma na izlazu zahvaljujući uticajima spoljašnjih smetnji.

24 Unificirani analogni signal Na osnovu ovoga i ranijeg istorijskog kontinuiteta da je pneumatski signal (opseg 5:1), odabran je standardni strujni signal u SAU (4-20) ma, štoje sankcionisano i Publikacijom IEC 381 i JUS Standardom. Pri tome, opciono je uzet i signal (0-20) ma. Standardni naponski signal je (0-10) V, ili (-10 do +10) V. U elektroprivredi se susreću i drugi signali kao -5 ma do +5 ma ili -10 ma do +10 ma. Signal (4-20) ma naziva se signal sa "živom" nulom, a signal (0-20) ma signal s pravom nulom. Mjerni pretvarači (4-20) ma svoju vezu s potrošačem ostvaruju putem dvostruke linije, a oni (0-20) ma putem trostruke linije. PRENOS DIGITALNIH SIGNALA KROZ SAU U cilju smanjenja greške u prenosu analognog signala, smanjenja uticaja smetnji i šuma na koristan signal (tj. odnos S/N - Signal Noise ratio), sve više se koristi prenošenje podataka u SAU u digitalnoj formi. Pojavom digitalnih distribuiranih SAU na bazi mikroprocesora i mikroračunara, ovo je postao isključivi zahtjev, obzirom da se obrada vrši na digitalnom nivou. Treba naglasiti, da ako se analogni signali prenose digitalno, prijemnik mora izvršiti ponovnu konverziju digitalnog signala u analogni. Pri tome, greška konverzije pretvara se u analogni šum, ali odnos signal/šum, S/N, postaje mjerljiv.

25 PRENOS DIGITALNIH SIGNALA KROZ SAU Proces kvantizacije analognog signala odvija se u dvije etape: uzimanje odbiraka analognog signala u vremenu, zamjena svakog odbirka najbližim brojem skupa diskretnih vrijednosti. Učestalost uzimanja odbiraka u vremenu i kvantizacija odbiraka, zavise od frekventnog sadržaja analognog signala i tačnosti uzimanja odbiraka, tj. nivoa kvantovanja. PRENOS DIGITALNIH SIGNALA KROZ SAU DIGITALNI SIGNAL je signal disrektizovan po vremenu i amplitudi čiji je informacioni parametar kodiran broj. Pri tome diskretizacija ili kvantovanje signala je postupak pri kome se cijeli opseg veličine dijeli u konačan broj podopsega, a veličina unutar svakog podopsega predstavlja odgovarajućom vrijednošću koja se naziva kvantovana vrijednost. Amplitudno-kvantovani signal je signal čiji je informacioni parametar kvantovan, odnosno signal koji je diskretizovan po amplitudi. Binarni signali daleko su iznad nivoa šumova koji se javljaju u prenosnim linijama, pa je prenešeni digitalni signal neosjetljiv na drift ili grešku, sve dok binarni signali "1" i "0" nisu dovoljno prigušeni i izobličeni usljed dužine prenosnog puta da ih prijemnik ne raspoznaje. Dalje, neki bit-ovi namijenjeni su za kodiranje tj. provjeru svake primljene "riječi" ili broja, i kada se pojavi greška u prenosu, vrši se retransmisija.

26 PRENOS DIGITALNIH SIGNALA KROZ SAU Primjena digitalnih signala tj. digitalnog prenosa, omogućava kompatibilnost sistema upravljanja sa računarima na višem hijerarhijskom nivou, kao i lakšu implementaciju upravljačkih algoritama, te mnoge prednosti koje se imaju korišćenjem operatorovog interface-a. Hijerarhijska funkcionalna struktura jednog SAU, bez obzira na topologiju, korištenjem digitalnih sistema može se veoma jednostavno realizirati, jer komunikacioni podsistem omogućuje povezivanje svih hijerarhijskih nivoa. Osnovni zahtjevi koji se postavljaju pred sistem za prenos digitalnih signala (podataka) su: brzina prenosa podataka ili zahtjevani propusni opseg, dopuštena greška u prenosu podataka ili potreban kvalitet u prenosu podataka. PRENOS DIGITALNIH SIGNALA KROZ SAU Brzina prenosa se obično definiše kao broj bita u jedinici vremena ili baud (bod) brzina. BAUD je obično interval koji pripada podatku od jednog bita. U bit sinhronim sistemima, baud brzina je ravna bit brzini, tj. brzini izraženoj u bit/s. Brzina prenosa odnosi se na maksimalnu dopustivu brzinu prenosa uz određenu grešku. Pri tome, specifikacija dopustive greške zavisi od aplikacije. Prenos signala na veće udaljenosti vrši se u formi diskretnog signala, a tehnika prenosa može biti analogna ili digitalna.

27 Bazični principi modulacije Komuniciranje je definisano kao proces u kojem se analogne ili digitalne poruke prenose nekim medijem iz jedne ili više tačaka u prostoru i vremenu, nazvane izvori, u druge tačke koje se zovu prijemnici ili korisnici. Efikasnost prenosa zahtijeva da informacija (poruka) proizvedena u izvoru bude procesirana (modulisana) prije nego što će biti prenešena. Modulacija je proces ili rezultat procesa u kojem su neke od karakteristika talasa modifikovane u saglasnosti sa karakteristikom drugog talasa ili signala. Bazični principi modulacije Projektovanje širokopropusne prenosne linije u funkciji je odziva na širok spektar frekvencija koje su sadržane u signalu nosioca informacije. Danas je ovaj opseg frekvencija praktično od 0 Hz do nekoliko GHz. Za potrebe distribuiranih sistema za upravljanje tehnoloških procesa reda je do 10-ak MHz. Prenosni mediji koji omogućuju prenos signala frekventnog opsega po segmentima ukupnog frekventnog područja, mogu biti: koaksijalni kabl, fiberoptički vodovi, radio talasa, talasovodi, tvinaksijalni kablovi, itd. Efektivna iskorištenost resursa prenosnog medija visoke frekventne propusnosti, zahtjeva pomjeraj frekvencije u drugo područje za prenos, i nakon prenosa, ponovo vraćanje na izvornu frekvenciju.

28 U principu neki signal može se prenositi na dva načina: direktno, bez bilo kakve modifikacije prenošenog, baznog signala, - tzv. baseband postupak prenosa, modulacijom signala koji se prenosi. Tehnike modulacije signala mogu se podijeliti u dvije osnovne grupe: analogne, impulsno-digitalne Modulacija Signal koji se prenosi sastoji se od dvije komponente: 1. Signal informacije. 2. Signal nosioca. Prenos signala kroz komunikacijski medij uključuje modulaciju nosioca. Proces kombinovanja informacijskog signala i signala nosioca naziva se modulacija. Signal visoke frekvencije koji prenosi (nosi) informaciju naziva se nosilac. Signal nosioca je oblika: a(t) = A sin(ft + ω) A= amplituda. f = frekvencija, ω= faza.

29 Modulacija Prenosni mediji nisu savršeni te se signal izobličava. Kod digitalnih signala ta promjena uzrokuje greške. Kod propagacije signala dolazi do slabljenja. Svaka Fourierova komponenta priguši se za različiti iznos, pa na prijemnoj strani dobijamo različit signal. Zbog toga je nepoželjno koristiti signale sa širokim spektrom frekvencija, a takvi su binarni signali. Zbog toga se za prenos podataka (posebno kod telefonskih linija) koriste analogni, a ne digitalni signali. Uvodi se signal nosilac i on se moduliše u skladu sa signalom podataka (binarnih). Analogne tehnike modulacije Vrste modulacije: 1. Amplitudska. 2. Frekvencijska. 3. Fazna. Miješanje informacijskog signala sa signalom nosioca na način da se mijenja amplituda nosioca frekvencijom informacijskog signala - amplitudska modulacija. Kod frekvencijske modulacije kombinuju se modulišući signal i signal nosioca na način da se frekvencija nosioca mijenja gore, dole svojom normalnom frekvencijom. Fazna modulacija je vrsta modulacije, kod koje se vrši promjena faze visokofrekventnog sinusnog signala u skladu s promjenama oblika niskofrekventnog signala poruke.

30 Amplitudska modulacija proces u kome se vremenski izvod faze modulisanog signala mijenja linearno sa signalom

31 Impulsno-digitalne tehnike modulacije 1. IMPULSNO-AMPLITUDSKA MODULACIJA (PULSE AMPLITUDE MODULATION -PAM) je proces u kojem je amplituda prenešenog impulsa srazmjerna signalu. 2. IMPULSNO-POZICIONA MODULACIJA (PULSE POSITION MODULATION - PPM) je proces u kojem je vrijeme pojave prenošenog impulsa od nekog fiksnog trenutku srazmjerno signalu. 3. IMPULSNO-ŠIRINSKA MODUIACIJA (PULSE DURATION MODULATION -PDM) je proces u kojem je trajanje impulsa srazmjerno nivou signala. 4. IMPULSNO-KODNA MODULACIJA (PUSLE CODE MODULATION - PCM) je proces koji je baziran na digitalizaciji odbiraka signala i njihovom slanju u vidu rezultirajućih diskretnih brojeva kao telegrafskih signala. Tačnost sa kojom su uzimani uzorci signala zavisi od njegovog frekventnog sadržaja. Greška učinjena predstavljanjem odbiraka najbližim diskretnim brojem, naziva se šum kvantizacije koji se pojavljuje na kraju prenosnog kanala.

32 Impulsno-digitalne tehnike modulacije 5. TONSKA MODULACIJA (FREQUENCY SHIFT KEYING - FSK) je proces u kojem logičkoj "1" u trajanju te logičke jedinice odgovara sinusni signal jedne frekvencije, npr. f2 "1", a logičkoj "0" odgovara sinusni signal frekvencije f1 "0". Pri tome f2 f1

33 Impulsno-digitalne tehnike modulacije 6. FAZNA MODULACIJA (PHASE SHIFT KEYING - PSK) - PSK modulacija je proces u kojem se binarna jedinica predstavlja sinusoidom sa faznim pomakom od 0, a binarna nula sinusoidom sa faznim pomakom od 180 Kodiranje signala U toku prenosa informacije nemoguće je izbjeći uvođenje u prenosni kanal (liniju) razne vrste šumova (smetnji), bilo da se radi o električnim kablovima, radio putevima, optičkim vezama, itd. Nivo šuma utisnut u prenosnu liniju može biti toliki da ozbiljno ugrozi prenos signala. Postoji mnogo načina da se utiče na promjenu signala da ovaj bude podesan za prenos kanalom u kojem se pojavljuje šum. Najjednostavniji način je povećanje snage izvora signala. Ovaj način je neekonomičan i ograničen nivoom izvora snage. Polazeći od toga da distribuirani sistem za upravljanje tehnoloških procesa upravlja velikim količinama energije i materijala, bitno je da praktično nema greške u prenosu signala. Konsekventno tome, primarni zahtjevi koji se u tom slučaju postavljaju su: sigurnost prenosa poruka unutar SAU, otpornost na smetnje koje dolaze iz okoline i adekvatno prezentiranje poruka operatoru. Moguća je, međutim, obrada digitalnih signala tako da prijemnik signala indicira pojavu greške u signalu, ili njenu detekciju, i da je koriguje. Mogućnost detekcije i korigovanja greške u komunikacionom podsistemu SAU, može biti ostvarena odgovarajućom obradom prenošenog signala (informacije) koja se naziva kodiranje.

34 Komunikacioni protokoli i nivoi njihovog izvršavanja Određena univerzalna mreža ne može da zadovolji sve potrebe u procesnoj industriji. Iz tog razloga je razvijen veći broj komunikacionih sistema prilagođenih za odgovarajući skup zadataka. Prema namjeni sistema, odnosno količine i tipa podataka koji se razmjenjuju, brzine prenosa i reakcije sistema, moguće je izvršiti klasifikaciju komunikacionih sistema u savremenoj automatizaciji. Na slici je dat grafički prikaz klasifikacije. Komunikacioni protokoli i nivoi njihovog izvršavanja

35 Asinhroni serijski protokoli Zbog svojih loših strana koje se ogledaju u problemima sa šumom, razvođenju velike količine žica, problemima pri sinhronizaciji prijemnika i predajnika, za prenos podataka na velike udaljenosti paralelni prenos se gotovo i ne koristi. To je uzrokovalo razvoj protokola koji obezbjeđuju serijski prenos podataka. Njega karakteriše prenos svih bita podataka kroz istu žicu, ali u različitim vremenskim intervalima. Prenosi se bit po bit, u vidu vremenske sekvence. Serijski komunikacioni protokol predstavlja precizno definisane procedure i sekvence bita, karaktera i upravljačkih kodova korišćene za prenos podataka preko komunikacione linije. Protokol je asinhroni ako predajnik ne prosljeđuje clock signal prijemniku, već samo podatke koji se mijenjaju vremenom. Tako na primjer, predajnik preko svog PISO registra (Parallel In Serial Out) šalje podatke ka SIPO (Serial In Parallel Out) registru u okviru prijemnika. Princip asinhrone serijske veze

36 Asinhrona serijska veza (full-duplex) Za asinhrone serijske veze postoji linija za podatke, ali ne postoji clock linija. Zbog toga mora postojati drugi način za sinhronizaciju prijemnika i predajnika. Na slici je prikazana kompletna asinhrona serijska veza dva uređaja (full duplex) koji mogu da primaju i da šalju podatke koristeći tri linije. RS232 je prvi standardni protokol za serijski prenos podataka (serial interface). Karakteristike ovog interfejsa su standardizovane od strane Asocijacije elektro industrije EIA. RS232 protokol je namijenjen za sporu konekciju jednog data terminala (PC) sa relativno bliskom opremom za komunikaciju (modemom). To nije predstavljalo problem dok su računari bili povezani sa modemima. Ali vremenom dolaze do izražaja nedostaci RS232 protokola: malo rastojanje za prenos podataka (do 15m), mala brzina prenosa (do 20Kb/s) i mogućnost povezivanja samo jednog predajnika i prijemnika. Iz tog razloga je ustanovljen novi protokol RS422. On se koristi za prenos podataka na većim rastojanjima (do 1200m) i za veće brzine (do 10Mb/s), što je ostvareno upotrebom po dvije linije za prijem i predaju podataka odnosno primjenom diferencijalnog prenosa. RS422 uveo je mogućnost komunikacije 1 predajnika i 10 prijemnika.

37 Ipak, najznačajniji interfejs za industrijske primjene u ovoj grupi je RS485, čija je najvažnija razlika u odnosu na RS422 interfejs mogućnost komuniciranja 32 predajnika i 32 prijemnika (multi drop). Kreiranje više predajnika na istu liniju je ostvareno uvođenjem trostatičkih predajnika (tzv. stanje visoke impedance). Po RS485 standardu, aktivan predajnik preuzima liniju i postavlja je u zavisnosti od poruke u stanje 0 ili 1. Preostali neaktivni predajnici se postavljaju u stanje visoke impedanse i ne smetaju pri prenosu. Osobine RS485 po pitanju maksimalne daljine i brzine prenosa, kao i osjetljivosti na smetnje su ostale iste u odnosu na RS422. Navedeni serijski protokoli predstavljaju osnovu serijskih protokola višeg nivoa, ali oni sami i dalje ne odgovaraju u potpunosti radu u industrijskom okruženju. Zbog toga se RS232 i RS485 dalje mogu nadograđivati uvođenjem galvanske izolacije, uvećanjem robusnosti u odnosu na šum, i sl. RS485 protokol RS485 protokol predstavlja standard definisan od strane EIA. Ujedno, on je najšire korišćen serijski protokol u sistemima za akviziciju i prenos podataka, za kontrolne aplikacije koje rade u realnom vremenu i za opštu komunikaciju između više udaljenih čvorova. RS485 predstavlja polu-dupleks asihnronu vezu. Podaci mogu da se prenose u oba smjera, ali ne istovremeno. RS485 prenos podataka se vrši preko dvije oklopljene upredene parice (RxD/TxD-P i RxD/TxD-N), prikazane na slici. Moguće su brzine prenosa od 9.6Kb/s do 2Mb/s. Dozvoljena dužina kabla između dva repetitora je od 100 do 1200m, zavisno od korišćene brzine prenosa. Svi uređaji su spojeni u zajedničku sabirnu strukturu, a po segmentu je dozvoljeno paralelno povezati maksimalno 32 uređaja. Na početku i kraju linije mora postoji terminator linije (slika). Oba terminatora imaju sopstveno napajanje koje osigurava prenos bez greške. Podaci se prenose kao niz bita, s tim da RS485 koriste različite fizičke nivoe (slika).

38 Povezivanje uređaja na RS 485 liniju RS 485 terminator linije Uporedne karakteristike RS232, RS422 i RS485

39 Mrežna topologija veze RS485 mrežnom topologijom dozvoljava se povezivanje više primopredajnika na istu mrežu. Slika prikazuje N primopredajnika povezanih u multipoint network. Da bi se postigle velike brzine terminalni otpornici su neophodni na obije strane mreže kako bi se eliminisala refleksija signala. Ovakva mreža mora uvijek da se projektuje kao mreža sa više poveznih tačaka (multiple drops) ka jednoj liniji i sa dva otpornika na oba kraja linije. Ne preporučuje se zvijezda topologija, u kojoj se refleksija signala ne može suzbiti i koja umanjuje kvalitet veze. Ako se koriste prijemnici sa 12 kω ulaznom otpornosti moguće je povezati do 32 primopredajnika na istu mrežu. Postoje i RS485 primopredajnici veće ulazne impedance kojom se ovaj broj uvećava do 256. Postoje i RS485 pojačavači (repeaters) koji spajaju dvije mreže i omogućavaju ukupan broj povezanih primopredajnika i do 1000 na udaljenosti od nekoliko kilometara. Mrežna topologija predviđa samo jednu liniju za prenos. To znači da RS485 može biti samo half duplex veza kojom se ne može obezbijediti istovremeni prijem i predaja. Samo jedan podatak može biti prisutan na liniji. Ono što je dobro je da nije bitno ni ko šalje taj podatak, ni ko ga prima, sve kombinacije su dozvoljene. Bitno je da softver višeg nivoa mora da obezbijedi dodatne funkcije kao što je provjera aktivnosti linije prije slanja, adresu prijemnika unutar poslatog paketa kojem se šalje podatak, mogućnost broadcast poruke, itd.

40 MODBUS protokol Protokol MODBUS je master/slave sa half-duplex prenosom iz grupe fieldbus protokola je razvijen od strane Modicon-a, 1979 godine. Podržava jedan master i do 247 slave uređaja u jednoj MODBUS mreži. Protokol definiše okvir poruke kao i skup funkcijskih kodova koje te poruke mogu prenositi. Moderna verzija MODBUS-a koristi Ethernet kao bazični sloj a MODBUS/TCP podržava i internet okruženje. Koriste se tri tipa Modbus prenosa, i to: ASCII jedan bajt poruke se sastavlja od dva ASCII karaktera; RTU poruke se sastoje od binarnih bajtova i MODBUS/TCP (poruka se ugrađuje u standardni okvir TCP/IP poruke). Modbus ASCII i RTU prenos se koriste u RS232 i RS485 mrežama dok MODBUS/TCP protokol funkcioniše na svim fizičkim nivoima koje podržava TCP/IP protokol kao što su: 10BASE-T i 100BASE-T LAN kao i serijski PPP i SLIP mrežni nivoi. MODBUS protokol podržavaju razni PLC i inteligentni senzori. Struktura protokola MODBUS struktura podrazumijeva jedan master i više slave uređaja na jednoj istoj liniji veze. Liniju u potpunosti kontroliše master tako što se po potrebi obraća pojedinim slave uređajima. Ukoliko master hoće da pročita stanje nekog mjerača on na liniju šalje poruku sa njegovom adresom. Mjerač prepoznaje svoju adresu i u odgovoru šalje stanje svog ulaza, tj. mjerene veličine. Po potrebi, odgovor može biti i prosta potvrda prijema (acknowledgment). Ako master želi da otvori neki ventil njemu je kao odgovor dovoljna samo potvrda da je poruka stigla na destinaciju i funkcija izvršena, tj. da je ventil uspješno otvoren.

41 Modbus sistem sa jednim master uređajem i više slave uređaja Struktura poruke MODBUS poruka ima jasno definisanu strukturu koja ne zavisi od tipa fizičkog medija za prenos (RS232 ili TCP/IP). U slučaju prostih konekcija (RS485 ili RS232) cijela mreža je namijenjena samo za MODBUS poruke i MODBUS poruka se šalje upravo onako kako je definisana. U slučaju da se MODBUS poruka šalje preko neke druge mreže, ona se mora ugraditi u standardnu poruku za prenos tom mrežom. MODBUS poruka ima četiri osnovna elementa, koji se šalju po istom rasporedu. Poruka se sastoji od: Device address - adrese primaoca; Function code - koda funkcije koju treba izvršiti; Data - eventualno potrebnih podataka za funkciju i Error check - polja za provjeru greške. Početak i kraj poruka se prepoznaju po Frame start i Frame end karakteru ili signala koji zavise od tipa prenosa. MODBUS konverzaciju uvijek počinje master jedinica. Ona šalje poruku koja se zove master query i kojom se obraća jednoj slave jedinici. Jedna slave jedinica se prepoznaje na osnovu svoje adrese koja se slaže sa Device address poljem i sprema odgovor. Ostale neprozvane slave jedinice ne odgovaraju i ostaju sa izlazima u stanju visoke impedance. Odgovor može biti kompletna MODBUS poruka, koja sadrži podatke koje master traži, a može biti i samo prosta potvrda prijema (acknowledgement) u kojoj se sastoji od 1, 2 i 4 elementa MODBUS poruke (često master ne traži podatke, nego samo neku akciju). Šematski prikaz tipične MODBUS komunikacije dat je na slici

42 Dva uobičajena ciklusa tokom MODBUS komunikacije. Master query (1) i potpun odgovor od slave jedinice (2a), ili Master query (1) i samo potvrda prijema od strane slave jedinice (2b) MODBUS/ASCII i MODBUS/RTU poruke

43 MODBUS TCP MODBUS TCP je internet protokol i može da se koristi za razmjenu podataka između dva uređaja bilo gdje. Master (klijent) šalje poruku do specificirane IP adrese i porta. Svaki slave uređaj (server) ima svoju specifičnu IP adresu. Po konvenciji mnogi slave uređaji koriste Ethernet port 502 kao standard. Kod MODBUS TCP poruka mora imati IP destinacionu adresu, i prenosi se putem Etherneta. Primjenom MODBUS TCP inženjer može od kuće da dobija podatke iz fabrike i/ili vrši kontrolu rada fabričkih procesa. MODBUS TCP/IP koristi internet TCP/IP protokol koji omogućava pouzdan prenos podataka preko interneta. Ovim se MODBUS protokol adaptira trendovima u kojima se većina uređaja povezuje na internet i preko koga vrše komunikaciju. Svaki uređaj koji ima Ethernet karticu može da komunicira preko MODBUS TCP. MODBUS TCP Njegove karakteristike su: jednostavnost, podržava standardni Ethernet, otvorenog je tipa, veliki broj uređaja ga podržava i sl. Performanse MODBUS TCP/IP zavise od korišćenog hardvera ali i od samog saobraćaja na internetu. Sistem se ne može projektovati tako da se očekuje rad u realnom vremenu preko MODBUS TCP. Treba ga koristiti za održavanje, traženje kvarova, i sporu superviziju sistema. Mada, ukoliko bi imali high speed internet, koristili high-speed Ethernet svičeve i MODBUS protokol koji samo izbacuje podatke iz običnih registara ka masteru, u teoriji bi mogli dobiti 60% efikasan prenos. Pri 10BaseT Ethernet-u dobijamo 1.25Mb/s sirovih podataka, što znači prolazilo bi 1.25M/2*60% = registara u sekundi. Za 100BaseT brzina bi bila 10 puta veća. Ovaj račun podrazumijeva da Ethernet radi onoliko brzo koliko dozvoljava raspoloživi prenosni opseg.

44 Modbus protokoli u odnosu na OSI model i TCP/IP PROFIBUS protokol PROFIBUS (Process Field Bus) je danas vodeći protokol te vrste u svijetu sa oko pola miliona podržanih aplikacija i više od 2000 PROFIBUS proizvoda različitih proizvođača godine u Njemačkoj je nastao PROFIBUS protokol kao rezultat projekat više firmi i institucija koje su kreirale bit-serijski fieldbus sistem. Ta vrsta komunikacije je uvrštena među međunarodnim stadardima: IEC i IEC U početku je nastao veoma složeni PROFIBUS FMS (Message Specification) koji nije bio pogodan za rad u realnom vremenu zbog komplikovanih zahtijeva tokom komunikacije. Ubrzo on nestaje i zamjenjuju ga efikasniji PROFIBUS DP (Decentralized Periphery), PROFINet i PROFIBUS PA (Process Automation) protokol.

45 PROFIBUS DP (Decentralized Periphery) PROFIBUS DP protokol se koristi u većem dijelu PROFIBUS aplikacija. Riječ je o prostom i optimalnom protokolu koji je namijenjen za brzu komunikaciju između programabilnih kontrolera ili centralizovanog računara sa više rasprostranjenih ulazno-izlaznih uređaja, aktuatora i senzora na nivou polja. Najviše se koristi u proizvodnoj automatizaciji. Podržava tri načina komunikacije na liniji i dostupan je u tri funkcijske verzije i to: DP-V0, DPV1 i DP-V2. Takođe podržava rad sa više master kontrolera. Karakteriše ga brzina prenosa do 12 Mbit/s što je veoma dobra brzina, i to preko oklopljene upredene parice (twisted pair) ili preko optičkih kablova. PROFINet protokol PROFINet protokol predstavlja industrijski Ethernet standard koji je nastao kombinacijom PROFIBUS DP sa Ethernet tehnologijom. PROFINet je zasnovan na TCP/IP i IT tehnologiji, ali je u suštini Ethernet koji radi u realnom vremenu i potpuno se integriše sa PROFIBUS-om.

46 PROFIBUS PA protokol PROFIBUS PA protokol je namijenjen prvenstveno za brzu, jeftinu i pouzdanu komunikaciju koja je neophodna u procesnoj automatici. Ovaj protokol se koristi za povezivanje višemjerne opreme sa procesnim kontrolerom preko jedne zajedničke linije i predstavlja odličnu zamijenu za stari analogni sistem u kojem je svaki mjerni signal prenošen posebno, strujnim signalom u opsegu 4-20 ma. S obzirom da koristi drugačiji sistem za prenos informacija zasnovan na strujnim signalima niske amplitude idealan je i za petro-hemijsku industriju. Mana mu je relativno spora komunikacija koju karakteriše brzina do Kb/s. Prednost je što istom linijom sa signalom dovodi i napajanje udaljenim slave jedinicama. PROFIBUS u svim mrežama i djelovima fabrike

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SCADA sistemi. Šta je SCADA?

SCADA sistemi. Šta je SCADA? SCADA sistemi Šta je SCADA? SCADA (Supervisory Control And Data Acquisition) je sistem koji služi za automatizaciju opštih procesa, odnosno koji se koristi za prikupljanje podataka sa senzora i instrumenata

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Industrijski sistemi i protokoli - Asinhroni serijski prenos podataka -

Industrijski sistemi i protokoli - Asinhroni serijski prenos podataka - Industrijski sistemi i protokoli asinhroni serijski prenos podataka 1 Industrijski sistemi i protokoli - Asinhroni serijski prenos podataka - 1 Uvod u asinhrone serijske protokole... 2 2 RS232 protokol...

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k. OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI. Prof. dr Vladan Radulović

BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI. Prof. dr Vladan Radulović FAKULTET ZA POMORSTVO OSNOVNE STUDIJE BRODOMAŠINSTVA BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI Prof. dr Vladan Radulović ELEKTRIČNA ENERGIJA Električni sistem na brodu obuhvata: Proizvodnja Distribucija Potrošnja Sistemi

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

L E M I L I C E LEMILICA WELLER WHS40. LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm Tip: LEMILICA WELLER. Tip: LEMILICA WELLER

L E M I L I C E LEMILICA WELLER WHS40. LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm Tip: LEMILICA WELLER. Tip: LEMILICA WELLER L E M I L I C E LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm LEMILICA WELLER SP40 220V 40W Karakteristike: 220V, 40W, VRH 6,3 mm LEMILICA WELLER SP80 220V 80W Karakteristike: 220V,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI RAČUNARSKIH KOMUNIKACIJA

OSNOVNI PRINCIPI RAČUNARSKIH KOMUNIKACIJA OSNOVNI PRINCIPI RAČUNARSKIH KOMUNIKACIJA UVOD Uobičajeno se pod pojmom računarskih komunikacija podrazumijeva električni ili svjetlosni prenos poruka na daljinu, koje su na neki način povezane sa računarima.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MERNO-AKVIZICIONI SISTEMI U INDUSTRIJI A/D KONVERTORI SA SUKCESIVNIM APROKSIMACIJAMA

MERNO-AKVIZICIONI SISTEMI U INDUSTRIJI A/D KONVERTORI SA SUKCESIVNIM APROKSIMACIJAMA MERNO-AKVIZICIONI SISTEMI U INDUSTRIJI A/D KONVERTORI SA SUKCESIVNIM APROKSIMACIJAMA 1 1. OSNOVE SAR A/D KONVERTORA najčešće se koristi kada su u pitanju srednje brzine konverzije od nekoliko µs do nekoliko

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα