( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

Transcript

1 Τηλ / Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x i i Αν x και 7 - να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α x + - x ( 7)( 7 ) Αντικαθιστούµε τo x και στην Α και έχουµε : A ( ) ( 1) ( + 7) + ( ) ( 16 7 ) ( 7) ( 8 7) ( 16 7) α + β α - β Να αποδειχθεί ότι : - α β Βγάζουµε την µεγάλη παρένθεση υψώνοντας αριθµητή και παρονοµαστή στη δευτέρα. α+β α β α + αβ+β α αβ+β Θα έχουµε : αβ αβ οµώνυµα α + αβ+β α + αβ β Να βρεθούν τα αναπτύγµατα ( α ) +β+γ Με βάση την προσεταιριστική ιδιότητα : α+β+γ α+β +γα+ β+γ έχουµε : όρ ( α+β ) + γ ( α+β ) + ( α+β) γ+γ α + αβ+β + ( αγ+βγ ) +γ 1 όρ α +β +γ + αβ+ βγ+ αγ Μαθηματικός Τηλ /

2 ( α ) β+γ όρ ( α β ) + γ ( α β ) + ( α β) γ+γ α αβ+β + ( αγ βγ ) +γ 1 όρ ( α ) +β γ α +β +γ αβ βγ+ αγ όρ ( α+β) γ ( α+β) ( α+β) γ+γ α + αβ+β ( αγ+βγ ) +γ 1 όρ ( α ) β γ ( α β) γ 1 όρ όρ α +β +γ + αβ βγ αγ Να αποδείξετε ότι : α β α β γ+γ α αβ+β αγ βγ +γ α +β +γ αβ+ βγ αγ α β γ + α+β γ α β+γ α+β+γ 8αγ Με βάση την άσκηση αποδείξαµε ότι: α β γ α +β +γ αβ αγ+ βγ α+β γ α +β +γ + αβ αγ βγ α β+γ α +β +γ αβ+ αγ βα α+β+γ α +β +γ + αβ+ αγ+ βα Ά ρα θα έχουµε : α +β +γ αβ αγ+ βγ +α +β +γ + αβ αγ βγ ( ) ( ) α +β +γ αβ+ αγ βα α +β +γ + αβ+ αγ+ βα α + β + γ αγ α β γ + αβ αγ+ βα α β γ αβ αγ βα α + β + γ α β γ 8 αγ αγ αγ Μαθηματικός Τηλ /10600

3 6 Αν + να βρείτε την τιµή της παράστασης i) Α + και ii) Β i) Θα υψώσουµε την δοσµένη σχέση στο τετράγωνο. Έτσι θα έχουµε: Άρα Α Έχουµε ii) Β - 7 Nα βρεθούν τα αναπτύγµατα : α + α α + α α + α α + α 1 όρ όρ α + α α + α α + α α + 9 α α + 16 α α + 6α 7α + 108α + 1α + 6α α + 108α + 1α + 6α όρ 1 όρ ( x ) x ( ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( x ) 8 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : ( x ) ( x ) + ( ) x + x x 8 x + 16 x 6 x x + 96 x 6 x Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα α β ( α + β ) α - β 1 όρ όρ ΕΞΥΠΝΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ!!! ο ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τον 1 όρο µας τον δείχνει η παρένθεση της διαφοράς ( α β). α β β α Άρα : x ( )( ) α β β α x 9x 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 α+ β β α α+ β β α β α β α 9β α 9β + α ( α+β ) ( α β) ( α β ) ( α+β) ( β+α ) ( β ( α) ) Μαθηματικός Τηλ /10600

4 9 Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις : x x [ ] Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα : α - β α - β α + β ιαφορά Τετραγώνων 1 Για αριθµούς χρησιµοποιούµε τον ορισµό της ρίζας. Άρα : 16, Για τις µεταβλητές διαιρούµε τον εκθέτη µε το Άρα : x x x, x x x, Την παράσταση 16x x την γράφουµε:16x x x x 1 όρ όρ M ε βάση την παραπάνω ταυτότητα έχουµε : 16x x x x x x x + x 1 όρ όρ Να αποδείξετε ότι : ( α β ) ( α 1 +β 1 ) ( α +β ) ( α 6 β 6 ) + ( α 1 β 1 ) ( β α 1 β 1 ) Θα ξεκινήσουµε από το 1 µέλ για να καταλήξουµε στο. Θα οµαδοποιήσουµε τις παρενθέσεις σε αύξουσα σειρά των δυνάµεων Έτσι θα έχουµε: ο α β α +β α β α +β + α β ιαφορά Τετραγώνων α β α+β α β α β α β α +β + α β α β α +β α +β + α β α β α +β α +β + α β α β α +β + α β ιαφορά Τετραγώνων α β α+β α β Μαθηματικός Τηλ /10600 ο ( α β ) α αβ+β α β α +β + α β α β + α β ιαφορά Τετραγώνων α β α+β α β ( 1 1) 1 1 α β +α α β +β α β α β +β + α Τετράγωνο ιαφοράς α β +β β α β

5 11 Να µετατραπούν τα παρακάτω κλάσµατα σε ρητούς παρονοµαστές i) ii) iii) iv) Για να έχουµε σε ένα κλάσµα ρητό παρονοµαστή πρέπει να µην υπάρχουν ρίζες. Την απαλοιφή τους θα την καταφέρουµε πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή πάρασταση όπως µας δείχνει ο παρακάτω πίνακας. Μορφή Συζυγή Αποτέλεσµα α+β α β α β α β α+β α β α+ β α β α β α β α+ β α β κ α+β κ α β κα β κ α β κ α+β κα β κ α+λ β κ α λ β κα λβ κ α λ β κ α+λ β κα λβ **** Ιδιότητα ριζών : α α *** Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ : α β α+β α β α 8 i) ( ) ( + ) [ πρόσηµο] 8 8 ( + ) 8 ( + ) ( ) ( )( + ) ( ) της η οποία είναι η. Αλλάζουµε απλά το ( + ) ( ) [ πρόσηµο] 1 1 ( 8 ) 1 ( 8 ) ( 8+ ) ( 8+ )( 8 ) ( ) 8 ( + ) 8 + ( ) ii) 8+ της 8 η οποία είναι η 8. Αλλάζουµε απλά το 1 ( 8 ) 1 8 ( 8) 8 17 Μαθηματικός Τηλ /10600

6 iii) 6 7 ( ) ( + ) [ πρόσηµο] ( 6 7+ ) ( 6 7+ ) ( 6 7 ) ( 6 7 )( 6 7+ ) της 6 7 η οποία είναι η 6 7. Αλλάζουµε απλά το ( ) ( ) 6 8 ( 7+ ) ( 7+ ) 10 iv) ( + ) ( ) [ πρόσηµο] ( 7 ) 10 ( 7 ) ( + 7 ) ( + 7 )( 7 ) της 7 η οποία είναι η 7. Αλλάζουµε απλά το Αν x να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: x i) x + ii) x iii) x ( 1+ x) + 1, x 0 x 8x x x Θα χησιµοποιήσουµε τις εξής ταυτότητες: ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΙΑΦΟΡΑΣ : α β α αβ+β ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒ ΩΝ : α β ( α β)( α +αβ+β ) 18 7 ( ) ( ) ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! : Άθροισµα Κύβων α +β α+β α αβ+β i) Θα υψώσουµε την ισότητα x στο τετράγωνο και τα µέλη. x 1 Άρα θα έχουµε: x x x x 1 x x + 17 x x 1 x x x x Μαθηματικός Τηλ /

7 Άρα θα έχουµε: x x x x + x + 8x x x x x 1 όρ όρ ii) Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ : α β α β α +αβ+β x x x + x 17 x x x x ίσο µε ίσο µε 17 iii) Eφαρµόζουµε την Επιµεριστική Ιδιότητα x ( 1+ x) + 1 x 1+ x x + 1 x + x + x + + x x x x x x x x x x Να αποδείξετε ότι : Σε τέτοιου είδους ασκήσεις προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε Ταυτότητες του τετραγώνου της µορφής : ( α± β ) ( α ) ± α β+ ( β) Έ χουµε : ( α+β) ( 7) ( 7) ( 8 ) ( 8 ) ( α β) ( α β) ( 7) ( 8 ) ( 7) ( 8 ) + + Μαθηματικός Τηλ /