ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΟΠΤΙΚΑ ΑΝΤΗΧΕΙΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των aser ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΟΠΤΙΚΑ ΑΝΤΗΧΕΙΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reative ommons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΟΠΤΙΚΑ ΑΝΤΗΧΕΙΑ.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την θεωρία των παθητικών οπτικών αντηχείων passive optial resonators. Τα οπτικά αντηχεία είναι ο όρος που χρησιμοποιείται για το σύστημα ανάδρασης που αναφέρθηκε στην.. γνωστό και ως κοιλότητα laser laser avit. Ο όρος παθητικός αναφέρεται στο γεγονός ότι δεν περιλαμβάνεται κάποιο ενεργό μέσο ενισχυτής μέσα στην κοιλότητα. Τα οπτικά αντηχεία αποτελούνται συνήθως από επίπεδους ή σφαιρικούς καθρέφτες που βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Η απόσταση μπορεί να είναι από μερικά κλάσματα του εκατοστού έως και αρκετές δεκάδες εκατοστά. Τα αντηχεία laser είναι ανοικτά χωρίς πλευρικές επιφάνειες γύρω από τον άξονα διάδοσης για να μειωθούν οι επιτρεπτοί τρόποι ταλάντωσης. Αυτό θα γίνει κατανοητό στο υποκεφάλαιο. όπου θα αναπτύξουμε την θεωρία των τρόπων δόνησης μέσα σε μια ορθογώνια κοιλότητα. Τα οπτικά αντηχεία εφόσον είναι ανοικτά αναπόφευκτα έχουν απώλειες λόγω περίθλασης στα δύο άκρα τους. Επομένως μιλώντας αυστηρά δεν μπορεί να υποστηρίξουν πραγματικά στάσιμα κύματα εφόσον αυτά θα καταστραφούν λόγω των απωλειών. Ωστόσο μπορούμε στα παρακάτω να δεχθούμε την έννοια των στάσιμων κυμάτων με πολύ μικρές απώλειες που υποστηρίζονται σε οπτικά αντηχεία. Τότε λοιπόν ορίζουμε ως τρόπο δόνησης mode το εξής ΗΜ πεδίο: E r t E r ep[ t / jt]. όπου τ είναι ο χρόνος ζωής του τρόπου avit photon dea time.... Τρόποι δόνησης ορθογώνιας οπτικής κοιλότητας Έστω η ορθογώνια κοιλότητα του σχήματος. με διαστάσεις = = a =. Σχ... Oρθογώνια κοιλότητα a a. 6

4 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία 7 Εργαζόμενοι όπως και στο κεφάλαιο 3.3 η λύση της κυματικής εξίσωσης t E E μπορεί να γραφεί ως: ep t j E t E. Επί πλέον θεωρώντας τα τοιχώματα της κοιλότητας τέλειους αγωγούς το πεδίο πρέπει να υπόκειται στις εξής οριακές συνθήκες: ˆ n E.3 Όπου nˆ το μοναδιαίο διάνυσμα της εκάστοτε επιφάνειας. Με άλλα λόγια οι εφαπτομενικές συνιστώσες του πεδίου πρέπει να μηδενίζονται πάνω στις αγώγιμες επιφάνειες. Οι λύσεις της κυματικής εξίσωσης Helmhol μπορούν να προκύψουν με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών δηλ.. Η γενική λύση γράφεται ως os sin sin sin os sin sin sin os. Οι. ικανοποιούν την κυματική εξίσωσης Helmhol όταν.5 Επί πλέον ικανοποιούν την συνθήκη.3 αφού μηδενίζονται στα επίπεδα = = =. Απαιτώντας τώρα να ικανοποιούνται οι.3 και στα άκρα = a = a και = της κοιλότητας προκύπτει ότι: n a m a l.6 όπου lmn θετικοί ακέραιοι. Το φυσικό τους νόημα είναι ότι αντιστοιχούν στον αριθμό των δεσμών που έχει το στάσιμο κύμα κατά τη διεύθυνση και. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τον αριθμό των τρόπων ταλάντωσης Νν μιας ορθογώνιας κοιλότητας των οποίων η συχνότητα είναι μεταξύ και ν. Είναι ο ίδιος αριθμός τρόπων με αυτών που έχουν κυματάνυσμα με μέγεθος μεταξύ και πν/. Πράγματι είναι n v n n v Πράγματι για παράδειγμα όταν n n ˆ τότε μηδενίζονται οι εφαπτομενικές συνιστώσες και.

5 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Από τις.6 βλέπουμε πως σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων οι επιτρεπτές τιμές του προσδιορίζονται από διανύσματα στους άξονες με αρχή το σημείο και μήκος αυτό των σημείων των επιτρεπτών δεσμών. Μια απλή περίπτωση με = a a φαίνεται στο σχήμα.. Σχ... Τρόποι ταλάντωσης ορθογώνιας κοιλότητας. Ο αριθμός των σημείων με μεταξύ και πν/ μπορεί να υπολογιστεί ως το /8 του όγκου της σφαίρας με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα πν/ διαιρεμένου με τον όγκο μιας μονάδας όγκου με διαστάσεις π/a π/a π/. Σημειώνεται πως τα είναι μόνο θετικά κι επομένως θα λάβουμε υπόψη τον όγκο ενός ογδοημόριου. Άρα / 8 / 3 v / 8v V.7 / a / a / 3 N 3 Ο παράγοντας μπροστά από το κλάσμα μπήκε επειδή στην ανάλυσή μας δεν λάβαμε υπόψη τους δυο επιτρεπτούς τρόπους ταλάντωσης σε κάθε κατεύθυνση δηλ. τις δυο πολώσεις του πεδίου. Οι πολώσεις του πεδίου προκύπτουν από τη συνθήκη βαθμίδας olomb που καταλήγει στην όπου. Για δεδομένο κυματάνυσμα το διάνυσμα της πόλωσης βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στο το διάνυσμα επιτρέποντας έτσι δυο ανεξάρτητες πολώσεις του πεδίο στο επίπεδο αυτό. V είναι ο όγκος της κοιλότητας V = a. Επομένως ο αριθμός των τρόπων ταλάντωσης ανά μονάδα όγκου της κοιλότητας και ανά μονάδα συχνότητας p v γράφεται: p 3 3 dn 8v.8 3 V dv 8

6 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία... Αντηχείο παράλληλων επιπέδων Fabr-Perot Αποτελείται από δυο επίπεδους καθρέφτες τοποθετημένοι ο ένας απέναντι από τον άλλο σε απόσταση όπως φαίνεται στο σχήμα.3.a. Σε πρώτη προσέγγιση οι τρόποι δόνησης του αντηχείου μπορούν να θεωρηθούν ως οι γραμμικοί συνδυασμοί δυο επίπεδων ΗΜ κυμάτων που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις ως προς τον άξονα της κοιλότητας. Οι ιδιοσυχνότητες της κοιλότητας τότε μπορούν να υπολογιστούν από την συνθήκη το μήκος κύματος της κοιλότητας να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ημιμήκους του μήκους κύματος λ δηλ. =nλ/. Αυτό προκύπτει από την αναγκαία συνθήκη μηδενισμού των στάσιμων ΗΜ κυμάτων πάνω στην επιφάνεια των καθρεφτών. Οι ιδιοσυχνότητες περιγράφονται από τη σχέση: v n.9 Η σχέση.9 προκύπτει διαφορετικά και από μια άλλη συνθήκη απαιτώντας η διαφορά φάσης μιας κλειστής διαδρομής του κύματος μέσα στην κοιλότητα να είναι μηδέν ή ακέραιο πολλαπλάσιο του π επομένως = nπ => πν/=nπ => ν=n/. Μόνο σε αυτή την περίπτωση τα πλάτη των ΗΜ κυμάτων μπορούν να συμβάλλουν ενισχυτικά και να υποστηρίξουν συνθήκες στάσιμων κυμάτων. Με βάση την.9 η συχνοτική διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών τρόπων δόνησης θα είναι: v. Σχ..3. a Αντηχείο Fabr-Perot b Σφαιρικό αντηχείο...3. Σφαιρικό αντηχείο onentri Αποτελείται από δυο σφαιρικούς καθρέφτες ίδιας ακτίνας καμπυλότητας τοποθετημένοι ο ένας απέναντι από τον άλλο σε απόσταση έτσι ώστε οι συντεταγμένες των κέντρων καμπυλότητας και να ταυτίζονται δηλ. = όπως φαίνεται στο σχήμα.3.b. Όπως και στο αντηχείο Fabr-Perot σε πρώτη προσέγγιση οι τρόποι δόνησης του αντηχείου μπορούν να θεωρηθούν ως οι γραμμικοί συνδυασμοί δυο ΗΜ σφαιρικών κυμάτων που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις ως προς τον άξονα της κοιλότητας και που ξεκινούν από το σημείο. Τα σφαιρικά κύματα ξεκινούν από το κοινό κέντρο καμπυλότητας διαδίδονται μέχρι τα σφαιρικά κάτοπτρα στις επιφάνειες των οποίων ανακλώνται και εστιάζονται πάλι στο κοινό κέντρο καμπυλότητας επαναλαμβάνοντας το ίδιο μοτίβο διάδοσης. Προσέξτε ότι τα σφαιρικά κύματα εστιάζονται στο f = κι όχι στο f = / που ισχύει για τα επίπεδα κύματα είναι /s + /s = -/. Οι ιδιοσυχνότητες της κοιλότητας 9

7 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία καθώς και η συχνοτική διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών τρόπων δόνησης περιγράφονται από τις σχέσεις.9 και. αντίστοιχα.... Γενικευμένο σφαιρικό αντηχείο Αντηχεία που σχηματίζονται από δυο σφαιρικούς καθρέφτες ίδιας ακτίνας καμπυλότητας τοποθετημένοι ο ένας απέναντι από τον άλλο σε απόσταση έτσι ώστε συχνά χρησιμοποιούνται. Ωστόσο δεν είναι εύκολο γενικά να χρησιμοποιήσει κανείς γεωμετρική οπτική για να βρει κλειστές τροχιές μέσα στην κοιλότητα. Μια ειδική περίπτωση φαίνεται στο σχήμα. όπου = αντηχείο onfoal κατά την οποία ενώ μπορούμε να βρούμε οικογένειες κλειστών διαδρομών μέσα στην κοιλότητα εντούτοις δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το είδος των κυμάτων π.χ. επίπεδα ή σφαιρικά. Με βάση το σχήμα. βλέπουμε πως η δέσμη αρχικά διαδίδεται από το σημείο στο παράλληλα. Έπειτα εστιάζεται στο σημείο / {/ + /s = /} και διαδίδεται ως την σφαιρική επιφάνεια από όπου ανακλάται ως παράλληλη δέσμη {/s + // = /}. Επαναλαμβάνοντας τον ίδιο συλλογισμό καταλήγουμε στο αρχικό σημείο εκκίνησης. Σχ... Αντηχείο onfoal.τα βέλη αντιστοιχούν στη μια φορά διάδοσης. Η δημιουργία στάσιμων κυμάτων στην κοιλότητα επιβάλλει την ύπαρξη κυμάτων με διάδοση αντίθετης φοράς...5. Κυκλικό αντηχείο in Μια ιδιαίτερη κατηγορία αντηχείων είναι τα κυκλικά αντηχεία όπου η κλειστή διαδρομή μιας ακτίνας μέσα στην κοιλότητα προκύπτει από περισσότερα των δυο οπτικών στοιχείων επίπεδων ή και σφαιρικών κατόπτρων τοποθετημένων σε κατάλληλη γεωμετρία συνδυασμένα έτσι ώστε να επιτυγχάνεται η κλειστή διαδρομή. Παραδείγματα φαίνονται στο σχήμα.5. 5

8 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Σχ..5. Κυκλικά αντηχεία. Γενικά μπορούμε να πούμε πως οι ιδιoσυχνότητες προκύπτουν από τη συνθήκη η διαφορά φάσης μιας κλειστής διαδρομής του κύματος μέσα στην κοιλότητα να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Τότε οι ιδιοσυχνότητες περιγράφονται από τη σχέση: όπου p το μήκος της κλειστής διαδρομής. v n. p Αυτού του τύπου τα αντηχεία επιτρέπουν την διαδρομή μόνο προς τη μια κατεύθυνση με τη χρήση κατάλληλου οπτικού στοιχείου π.χ. οπτική δίοδος κάτι που δεν μπορεί να συμβεί σε ένα αντηχείο Fabr-Perot. Έτσι στο σχήμα.5.a η διαδρομή επιτρέπεται μόνο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ στο σχήμα.5.b ελλείψει διόδου τα κύματα είναι στάσιμα κι άρα η διάδοσή τους επιτρέπεται και στις δυο φορές. Επομένως καταλήγουμε στο πολύ σημαντικό συμπέρασμα πως οι έννοιες των τρόπων δόνησης και των ιδιοσυχνοτήτων δεν περιορίζονται μόνο στα στάσιμα κύματα! Γενικά τα αντηχεία μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες τα ευσταθή και τα ασταθή. Ασταθή είναι αυτά τα οποία έπειτα από ένα συγκεκριμένο αριθμό ανακλάσεων από τους δυο καθρέφτες η δέσμη αποκλίνει από τον άξονα της κοιλότητας. Στην αντίθετη περίπτωση το αντηχείο ονομάζεται ευσταθές. Παράδειγμα: Αριθμός τρόπων δόνησης σε κλειστά και ανοιχτά αντηχεία. Θεωρούμε ένα laser He-Ne με μήκος κύματος λ = 633 nm και εύρος συχνότητας Δν =.7 9 H. Θεωρούμε επίσης αντηχείο μήκους = 5 m. Ανοιχτό αντηχείο: Η. για Ν τρόπους δόνησης που χωράνε στο δοθέν Δν γράφεται: v N N open v 6 5

9 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Κλειστό αντηχείο: Έστω ότι το αντηχείο περικλείεται από μια κυλινδρική πλευρική επιφάνεια διαμέτρου α = 3 mm. Σύμφωνα με την.8 ο αριθμός τρόπων δόνησης με εύρος συχνότητας Δν είναι N P V v v 8v 3 V v 8v 3 a v N losed 9.. Συνθήκη ευστάθειας Έστω το αντηχείο του σχήματος.5. Η δέσμη φεύγει από το σημείο P στο επίπεδο β μέσα στο αντηχείο ανακλάται από τους καθρέφτες και και ξαναβγαίνει στο επίπεδο β στο σημείο P. Ο πίνακας μεταφοράς της δέσμης είναι ο γνωστός. Συνεχίζοντας τη διαδρομή της η δέσμη από το σημείο P στο σημείο P του επιπέδου β από το P στο σημείο P 3 κοκ. Ο πίνακας μεταφοράς της δέσμης για όλη την διαδρομή μετά από n επί μέρους κλειστές διαδρομές θα είναι ο n. Σχ..6. Τυχαίο αντηχείο. Ένα αντηχείο λέγεται ευσταθές όταν ο πίνακας μεταφοράς του n δεν αποκλίνει. Ο ορισμός αυτός ισοδυναμεί με το να μη αποκλίνει η δέσμη από το αντηχείο. Τα παραπάνω μπορούν να επεκταθούν και σε κάθε μορφής αντηχείο ως εξής. Ορίζοντας τη μεταβλητή ο πίνακας n γράφεται θεώρημα Slvester: n sin sin n sin n sin n sin sin n n sin n. Ο παραπάνω πίνακας δεν αποκλίνει μόνο εάν η θ είναι πραγματικός αριθμός. Επομένως εφόσον η συνθήκη ευστάθειας για οποιοδήποτε αντηχείο γράφεται:.3 Ειδικά για την περίπτωση αντηχείου με δυο σφαιρικά κάτοπτρα ακτίνων καμπυλότητας και απόστασης μπορούμε να το συγκεκριμενοποιήσουμε ακόμη περισσότερο. Ο πίνακας μεταφοράς ανάκλαση από τον ελεύθερη διάδοση στον ανάκλαση από τον ελεύθερη διάδοση στον γράφεται βλ. πίνακα 3.: 5

10 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία 53 / /. Εύκολα επαληθεύεται ότι η ορίζουσα είναι μονάδα δηλ. - =. Από τον πίνακα. προκύπτει ότι.5 Κατά συνθήκη ορίζουμε τις παραμέτρους =-/ και =-/ οπότε η.5 καταλήγει στην.6 που είναι και η τελική συνθήκη ευστάθειας. Παρατηρείστε πως η ευστάθεια εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των ακτινών καμπυλότητας των κατόπτρων και της απόστασής τους. Σχ..7. Παραδείγματα Γκαουσιανών ακτινικών κατανομών σε συμμετρικά αντηχεία. Η συνθήκη ευστάθειας.6 μπορεί να παρασταθεί γραφικά στο επίπεδο όπως στο σχήμα.7. Οι έντονες γραμμές της υπερβολής αντιστοιχούν στην εξίσωση = ενώ οι συνθήκη = δηλ. = ή = αντιστοιχεί στους άξονες και. Επομένως η περιοχή ευστάθειας είναι η γραμμοσκιασμένη περιοχή του σχήματος.7. Μια ιδιαίτερη περίπτωση κοιλότητας δυο καθρεφτών είναι αυτή που αντιστοιχεί στα σημεία της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων με κλίση 5 ο. Πρόκειται για κοιλότητες με δυο σφαιρικά κάτοπτρα ίδιας ακτίνας καμπυλότητας. Εύκολα παρατηρεί κανείς πως τα σημεία και αντιστοιχούν στα αντηχεία onentri onfoal και Fabr-Perot αντίστοιχα. Επειδή τα αντηχεία αυτά βρίσκονται στα όρια των περιοχών ευστάθειας είναι ευσταθή μόνο για συγκεκριμένες ακτίνες π.χ. ακτίνες κάθετες στους επίπεδους καθρέφτες ενός αντηχείου Fabr-Perot. Η ευστάθειά τους αναφέρεται ως οριακή ευστάθεια.

11 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία 5.3. Ευσταθή αντηχεία Θα θεωρήσουμε μια γενική περίπτωση αντηχείου μήκους και χωρίς περιοριστικές οπές. Η διάδοση του πεδίου μέσα στην κοιλότητα περιγράφεται από την παραξονική διάδοση κυμάτων του ολοκληρώματος Fresnel-Kirhhoff σχέση 3.5 του οποίου ιδιοκαταστάσεις λύσεις είναι οι Ερμιτιανές-Γκαουσιανές Hermite-Gassian δέσμες όπως αυτές περιγράφηκαν στα υποκεφάλαια και Για να περιγράψουν σωστά οι εν λόγω ιδιοκαταστάσεις την κατανομή του ΗΜ πεδίου μέσα στην κοιλότητα απαιτούμε αυτές να αναπαράγουν τον εαυτό τους μετά από μια κλειστή διαδρομή στην κοιλότητα. Επομένως εάν q είναι η μιγαδική παράμετρος δέσμης τότε μετά από μια κλειστή διαδρομή θα πρέπει να ισχύει q=q. Δηλαδή q q q q q.7 Εφόσον η q είναι μιγαδική το τριώνυμο έχει λύση όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική δηλ..8 Επειδή όμως - = εφόσον τα επίπεδα εισόδου κι εξόδου βρίσκονται σε μέσα με τον ίδιο δείκτη διάθλασης προκύπτει ότι + < επομένως καταλήγουμε στην συνθήκη.3. Αυτό σημαίνει πως λύσεις του τύπου Hermite-Gassian μπορούν να υπάρξουν μόνο σε ευσταθείς κοιλότητες και ανάποδα. Οι λύσεις της.7 γράφονται από τις δύο λύσεις μόνον αυτή με το αρνητικό πρόσημο οδηγεί σε φυσικά αποδεκτή λύση δηλ. πραγματικό w. j q.9 Φέρνοντας την q στην μορφή ορισμού της 3. j j w j q Ο παρονομαστής δίνει Επομένως j w j q. Η πολύ σημαντική αυτή σχέση εκφράζει τη μιγαδική παράμετρο q ως συνάρτηση των στοιχείων του πίνακα μεταφοράς.

12 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Ιδιοκαταστάσεις Για να βρούμε την μαθηματική σχέση που περιγράφει το πεδίο σε κάποιο σημείο μιας κοιλότητας χρειάζεται να υπολογίσουμε την μιγαδική παράμετρο q σχέση 3.9 ως συνάρτηση των στοιχείων του πίνακα μεταφοράς. Από την q μπορούμε να εξάγουμε το πραγματικό και φανταστικό της μέρος σχέσεις 3.. και να εκφράσουμε το ακτινικό μέγεθος της δέσμης w και την ακτίνα καμπυλότητας. Έχοντας αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε τα w και σε οποιοδήποτε σημείο της κοιλότητας σχέσεις 3.8 κι επομένως να γνωρίζουμε την πλήρη και αναλυτική μορφή του πεδίου σχέση 3.9. Εφαρμόζουμε λοιπόν την παραπάνω μεθοδολογία για ένα αντηχείο δύο σφαιρικών κατόπτρων ακτινών καμπυλότητας = = και μεταξύ τους απόσταση. Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας μεταφοράς κλειστή διαδρομή γράφεται βλ..: 6. Έχουμε. Χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή = - / => / = /- η. δίνει /.3 Επομένως από την. προκύπτει για το ακτινικό μέγεθος της δέσμης w / / w. Από την 3.8 προκύπτει και το αποτέλεσμα για την ελάχιστη ακτινική απόσταση beam waist w θέτοντας = / στο μέσον της κοιλότητας. / / w.5 που για συμμετρικά αντηχεία δηλ. = όπου = δίνει το απλό αποτέλεσμα / / w w.6

13 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία δηλ. w w /. Εύκολα αποδεικνύεται ότι για << προκύπτει ότι w w. Στο σχήμα.8 δίνονται μερικά παραδείγματα Γκαουσιανών ακτινικών κατανομών σε συμμετρικά αντηχεία Σχ..8. Παραδείγματα Γκαουσιανών ακτινικών κατανομών σε συμμετρικά αντηχεία..3.. Ιδιοσυχνότητες Αρχικά στην.. περιγράψαμε τις ιδιοσυχνότητες ενός αντηχείου απαιτώντας η διαφορά φάσης μιας κλειστής διαδρομής του κύματος μέσα στην κοιλότητα να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Το επιχείρημα αυτό ισχύει για επίπεδα κύματα ωστόσο για Ερμιτιανές- Γκαουσιανές δέσμες οι χωρικές διαφορές φάσης που παρουσιάζουν σε σχέση με τα επίπεδα κύματα μεταβάλλουν την απλή σχέση.9. Χωρίς απόδειξη η λεπτομερής παρουσίασή της ξεφεύγει από τους σκοπούς αυτών των σημειώσεων δίνεται ότι για αντηχεία δυο κατόπτρων οι επιτρεπτές ιδιοσυχνότητες της κοιλότητας που αντιστοιχούν σε Ερμιτιανές-Γκαουσιανές δέσμες της μορφής 3.36 περιγράφονται από τη σχέση: v lmn l m n os.7 Παρατηρείστε ότι για την περίπτωση επίπεδων κατόπτρων όπου = = κι άρα = = προκύπτει η.9. Παράδειγμα: Περίπτωση = = όπου = =. Η.7 δίνει v lmn n l m Παρατηρούμε πως ενώ για τα ΤΕΜ l=m= κύματα η συχνοτική διαφορά δυο διαδοχικών τρόπων είναι Δν=/ για τα ΤΕΜ lm κύματα η διαφορά αυτή είναι Δν=/ π.χ. nn. 56

14 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Επίσης είναι σημαντικό να επισημάνουμε πως μπορεί να υπάρχουν τρόποι ταλάντωσης nlm που έχουν την ίδια συχνότητα ν lmn αλλά ωστόσο αντιστοιχούν σε διαφορετικές χωρικές κατανομές δέσμες. Αυτοί οι τρόποι λέγονται εκφυλλισμένοι ως προς την συχνότητα... Ασταθή αντηχεία Τα ασταθή αντηχεία δηλ. αυτά των οποίων οι δέσμες αποκλίνουν γρήγορα από την κοιλότητα αν και χαρακτηρίζονται από τον αρνητικό όρο ασταθή εν τούτοις βρίσκουν τεράστιες εφαρμογές στα laser υψηλής ισχύος. Τα ευσταθή αντηχεία έχουν το βασικό μειονέκτημα πως η δέσμη μέσα στην κοιλότητα είναι πολύ λεπτή πολλές φορές ανεπαρκής να καλύψει τη διατομή του ενεργού μέσου σε εφαρμογές υψηλής ισχύος. Για παράδειγμα μια Γκαουσιανή δέσμη ενός ευσταθούς αντηχείου έχει ελάχιστο ακτινικό μέγεθος της τάξης του λ/π / βλ..6 που αντιστοιχεί σε ένα τυπικό μέγεθος < mm. Στο σχήμα.9 φαίνεται το παράδειγμα ενός ασταθούς αντηχείου. Η διατομή της κοιλότητας εξαρτάται μόνο από το μέγεθος των κατόπτρων. Η μορφή της δέσμης στην έξοδό του είναι δακτυλιοειδής. Σχ..9. Παράδειγμα ασταθούς αντηχείου..5. Χρόνος ζωής φωτονίου και παράγοντας Q Έστω ένας τρόπος δόνησης ενός ευσταθούς η μη αντηχείου κι έστω ότι ο τρόπος αυτός υπόκειται σε απώλειες ανακλαστικότητες καθρεφτών μικρότερες του σκέδαση σε οπτικά στοιχεία μέσα στην κοιλότητα κτλ.. Ζητούμε να υπολογίσουμε τον ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσα στην κοιλότητα. Έστω λοιπόν Ι η αρχική ένταση του πεδίου του τρόπου δόνησης και οι ανακλαστικότητες των καθρεφτών και Τ οι κλασματική απώλεια ανά πέρασμα μέσα από την κοιλότητα. Τότε η ένταση μετά από m κλειστές διαδρομές που αντιστοιχεί σε χρόνο t m = m/ θα είναι: m T I t I m.8 Εάν τώρα ο αριθμός των φωτονίων σε αυτόν τον τρόπο δόνησης είναι φt τότε η.8 γράφεται: 57

15 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία m T t m.9 όπου φ ο αρχικός αριθμός των φωτονίων τη χρονική στιγμή t=.υποθέτοντας απώλειες εκθετικού τύπου μπορούμε να γράψουμε ep /.3 t m t m όπου τ χρονική σταθερά. Από τη σύγκριση των.8 και.9 προκύπτει ότι ln[ T ].3 Επομένως ορίζουμε ως χρόνο ζωής φωτονίου στην κοιλότητα την σταθερά τ που εκφράζει το χρόνο που απαιτείται ώστε να μειωθεί ο αριθμός των φωτονίων στο /e του αρχικού. Η σταθερά γ είναι η λογαριθμική απώλεια που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο σχέσεις..3. Στη συνέχεια εισάγουμε την έννοια του παράγοντα ποιότητας της κοιλότητας η παράγοντα Q ο οποίος ορίζεται ως.3 Επομένως μια κοιλότητα με μεγάλο Q έχει μικρές απώλειες. Στην περίπτωσή μας η αποθηκευμένη ενέργεια είναι Ε = φ hν. Άρα η.3 γράφεται Με τη βοήθεια της.3 προκύπτει ότι Q.33 d / dt Q.3 Ως ένα τελευταίο βήμα μπορούμε να αναφέρουμε πως η ποσότητα /πτ είναι το συχνοτικό εύρος της δέσμης laser που βγαίνει από την κοιλότητα. Υποθέτοντας Γκαουσιανή κατανομή τύπου Ε = Εο ep[-t/τ +jωt] μέσα στην κοιλότητα άρα και στην έξοδό της το εύρος προκύπτει από την κατανομή του μετασχηματισμού Forier της έκφρασης. Τότε η.3 γράφεται: Q.35 Η.35 μας λέει πως ο παράγοντας ποιότητας Q μπορεί να ερμηνευτεί ως ο λόγος της συχνότητας συντονισμού προς το εύρος της. 58

16 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Παράδειγμα: Έστω κοιλότητα με = =.98 Τ = και = 9 m. Υπολογίζουμε το χρόνο ζωής φωτονίου. Από την.3 προκύπτει ότι τ = 5 ns. Υπολογίζοντας και τον χρόνο διέλευσης / = 3 ns παρατηρούμε ότι είναι πολύ μικρότερος του τ. Υπολογίζουμε το συχνοτικό εύρος Δν = /πτ με τη βοήθεια της.3 και προκύπτει Δν =. MH. Η τιμή είναι ενδεικτική για τυπικές κοιλότητες. Γενικά κυμαίνεται από μερικά ΜΗ έως και μερικές δεκάδες MH. Υπολογίζουμε τον παράγοντα ποιότητας Q. Εικάζοντας λ=63 nm προκύπτει ν=5 H. Τότε η.3 μας δίνει Q =.7 8. Επομένως μέσα σε μια κοιλότητα laser μπορούν να επιτευχθούν πολύ μεγάλες τιμές παράγοντα ποιότητας Q. Με άλλα λόγια οι απώλειες ενέργειας ανά κύκλο είναι ελάχιστες με αποτέλεσμα να μπορεί να συσσωρευθεί μεγάλη ποσότητα ενέργειας γύρω από μια συχνότητα. 59

17 Σημειώσεις Φυσικής των aser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρούμε laser He-Ne με μήκος κύματος λ=633 nm και εύρος συχνότητας διαπλατυσμένο κατά oppler Δν*=.7 9 H. Το σφαιρικό αντηχείο του laser έχει μήκος =5 m και καθρέφτες με ανακλαστικότητες = =.9 και μηδαμινές κλασματικές απώλειες Τ i ή i. Να υπολογιστούν: a. Ο χρόνος ζωής τ του φωτονίου στο αντηχείο και ο χρόνος διέλευσής του. Πώς συγκρίνονται οι δυο χρόνοι. Παίζει κάποιο ρόλο η διαφορά τους στο μηχανισμό του laser; Εξηγείστε. b. Η συχνοτική διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών τρόπων δόνησης Δν. Το συχνοτικό εύρος του τρόπου δόνησης Δν. Ο παράγοντας ποιότητας για τον τρόπο δόνησης του λ=633 nm που αντιστοιχεί τόσο στο συχνοτικό εύρος Δν μη διαπλατυσμένο όσο και στο Δν* διαπλατυσμένο. Ποια η φυσική εξήγηση της διαφοράς τους;. O αριθμός των τρόπων δόνησης του αντηχείου εντός του συχνοτικού εύρους Δν*. Πόσο αλλάζει ο αριθμός των τρόπων δόνησης εάν περικλείσω το αντηχείο με μια κυλινδρική πλευρική επιφάνεια διαμέτρου 5 mm; Σε τι συμπέρασμα καταλήγετε από το αποτέλεσμα σχετικά με τη γεωμετρική δομή ενός laser; Εξηγείστε.. Θεωρήστε ένα σφαιρικό αντηχείο με ίδιους σφαιρικούς καθρέφτες ακτίνας καμπυλότητας = m τοποθετημένοι σε απόσταση = m. Υπολογίστε το μέγεθος της δέσμης w στο κέντρο του αντηχείου καθώς και w στην επιφάνεια των καθρεφτών για ένα ΤΕΜ τρόπο με μήκος κύματος λ = 5.5 nm. Επαναλάβατε τους υπολογισμούς για την περίπτωση = m = m. Με βάση τα αποτελέσματά σας σχεδιάστε ποιοτικά σε δυο διαστάσεις την κοιλότητα και την δέσμη laser εντός της. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. 6

18 Τέλος Ενότητας

19 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.

20 Σημειώματα

21 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση. διαθέσιμη εδώ. id=.

22 Σημείωμα Αναφοράς opriht Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Φυσική των aser. ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΟΠΤΙΚΑ ΑΝΤΗΧΕΙΑ». Έκδοση:.. Ιωάννινα. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=.

23 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης reative ommons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή Διεθνής Έκδοση. [] ή μεταγενέστερη. [] b-sa/./