2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE
|
|
- Οφιούχος Κορομηλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže koji sadrži serijski vezane izvore i otpore, a kroz koji teče struja iste jakosti naziva se grana električne mreže. Mjesto ili točka u električnoj mreži gdje se sastaju najmanje tri grane naziva se čvor električne mreže. Obilaženjem po granama mreže, bilo koji zatvoreni krug zove se kontura električne mreže. ilo koji zatvoreni krug sastavljen od nekoliko grana, dakle čini konturu. Konture koje se od prijašnjih razlikuju barem za jednu granu nazivaju se nezavisne konture. Pojedini dijelovi električne mreže prikazani su slikom 28. Slika 28. Elementi električne mre`e U električnoj mreži, gdje su poznati naponi izvora E i otpori R u svim granama mreže, može se primjenom i Kirchhoffova zakona odrediti bilo koja nepoznata struja. Za bilo koji čvor mreže, jednadžba Kirchhoffovog zakona glasi: lgebarska suma svih struja koje ulaze u čvor jednaka je sumi struja koje iz njega izlaze, ili suma svih struja koje se u čvoru sastaju jednaka je nuli. =0 Pri rješavanju jednadžbe, očito je, moraju se znati struje po veličini i po smjeru. Veličina nepoznatih struja označava se općim brojevima 1, 2, N, dok se smjer pojedine struje može po volji odrediti. Nakon rješavanja sistema jednadžbi pojedine struje će se pojaviti s negativnim predznakom, što nikako ne znači da je struja negativna, već jednostavno da je smjer struje suprotan od pretpostavljenoga. Za pojedine nezavisne konture mreže postavljaju se naponske jednadžbe primjenom Kirchhoffovog zakona, koji glasi: lgebarska suma napona svih izvora jedne konture jednaka je sumi padova napona svih otpornika te konture. Obilaženje konture obavlja se po volji odabranim smjerom, koji se tada smatra pozitivnim smjerom. Napon u algebarskoj sumi Kirchhoffovog zakona uzima se pozitivnim, ako se pri obilaženju konture prolazi napon izvora u smjeru njegova djelovanja. sto tako će i padovi napona na pojedinim otporima imati pozitivan predznak, kada se pri obilaženju konture otpornik nalazi u pretpostavljenom smjeru struje kroz njega. čvor kontura grana 1
2 Primjenom jednadžbi i Kirchhoffova zakona mogu se analizirati linearne mreže, što se može pokazati primjerom prikazan slikom 29. E 3 3 K K 2 K E 4 2 C Slika 29. Za izračunavanje nepoznanica, matematički gledano, potrebno je postaviti onoliko jednadžbi koliko je nepoznanica. Primjenjujući Kirchhoffov zakon jednadžbe za struje u pojedinim čvorovima će izgledati: za čvor =0 za čvor =0 za čvor C =0, i za čvor =0 Sređivanjem prve tri jednadžbe, dobiva se četvrta jednadžba, pa se dolazi do zaključka kako je u električnim mrežama potrebno postaviti minimalno (č-1) strujnih jednadžbi, gdje je č broj čvorova mreže. Električna mreža iz našeg primjera ima 6 grana, koje čine 3 nezavisne konture. Prva kontura dobije se, ako odaberemo put obilazeći čvorove, druga obilazeći čvorove C i na kraju treća obilazeći čvorove C. Svaki od ovih puteva sadrži po jednu granu koja ne pripada ni jednom ni drugom putu, te će dobivene jednadžbe biti međusobno neovisne. Kako bi se mogao primijeniti Kirchhoffov zakon, odnosno napisati algebarske sume elektromotornih sila za izabrane puteve, moraju se definirati smjerovi obilaženja pojedine konture. Sve elektromotorne sile koje imaju isti smjer kao smjer obilaženja ulaze u zbroj s pozitivnim predznakom, one suprotne ulaze s negativnim predznakom. Predznak padova napona na otpornicima ostaje nepromjenjen, ako struja u grani ima isti smjer kao smjer obilaženja konture, odnosno obrnut ako je smjer konture suprotan od smjera obilaženja. Neposrednom primjenom Kirchhoffovog zakona za pojedine konture dobiju se naponske jednadžbe: za put E 4-6 =0 za put C E 4-4 =0 i za put C E 3 =0 Poznavajući sve elektromotorne sile u mreži te sve otpore, rješenja gore napisanih jednadžbi dati će struje u pojedinim granama mreže. Potreban broj naponskih jednadžbi, očito je, jednak broju kontura mreže k. Općenito, može se pokazati da je broj kontura k jednak: k=g-(č-1), 2
3 gdje je g broj grana mreže. U svakoj razgranatoj mreži mogu se primjenom Kirchhoffovih zakona odrediti struje uz poznate elektromotorne sile i otpore. Međutim, u mrežama s velikim brojem grana, mora se postaviti veliki broj jednadžbi, pa ova metoda rješavanja zahtijeva dosta napora i vremena. Tada ova metoda ustupa mjesto drugim metodama, koja će naposljetku dati isti rezultat, brže rješavanje i uz manje napora Metoda konturnih struja Ova metoda razvila se iz metoda rješavanja nepoznanica u mreži primjenom Kirchhoffovih zakona. Za primjer prikazan slikom 29, rješavanjem strujnih jednadžbi po 4, 5 i 6 prema Kirchhoffovom zakonu dobiva se: 4 = 2-1 ; 5 = i 6 = Kada ovo zamijenimo u naponskim jednadžbama, primjenom Kirchhoffovog zakona i te jednadžbe sredimo, dobiva se: ( + + ) = -E 4-1 +( + + ) =E ( + + ) 3 =-E 3 U tim jednadžbama s desne strane sa nalaze poznate elektromotorne sile, a s lijeve strane svi otpori mreže i struje 1, 2 i 3 u granama mreže po kojima su izabrani zatvoreni putevi različiti. Pomoću ove tri jednadžbe mogu se, dakle, odrediti struje 1, 2 i 3. Ove jednadžbe mogu poprimiti i drugačiji oblik, ako promatranu mrežu raščlanimo na 3 konture, kako je to prikazano slikom 30. Struje u neovisnim konturama numerirane su, i, tako što struja predstavlja struju prve konture, struju druge i struju treće konture. Uzmemo li prvu naponsku jednadžbu i u njoj koeficijent uz struju 1 ( + + ), uočava se da on predstavlja zbroj otpora prve konture koji se može označiti s 1 te napisati: 1 =( + + ) Koeficijent uz struju 2, u istoj jednadžbi, je otpor koji pripada i prvoj i drugoj konturi. Taj otpor naziva se zajednički otpor prve i druge konture 2, pa se može pisati: 2 = sto tako je otpor uz struju 3 zajednički otpor prve i treće konture 3, tj.: 3 = K K E 4 E 3 E 4 K 1 4 C C Slika 30. 3
4 Na desnoj strani prve naponske jednadžbe nalazi se suma elektromotornih sila u prvoj konturi, čiji smjer je uzet kao smjer obilaženja konture, a ta suma se označava s E, te se može pisati: E = -E 4 U drugoj naponskoj jednadžbi, koja se odnosi na drugu konturu, otpor je zajednički otpor između druge i prve konture, ( + + ) je ukupni otpor druge konture, a otpor je zajednički otpor između druge i treće konture. Na desnoj strani je suma elektromotornih sila E 4 -, pa se za drugu konturu mogu napisati slijedeći odnosi: 1 = 2 =( + + ) 3 = E =E 4 - z treće naponske jednadžbe izlazi: 1 = 2 = 3 =( + + ) E =-E 3 Unoseći ove promjene u naponske jednadžbe dobiva se: =E =E =E Ove jednadžbe nazivaju se jednadžbe konturnih struja. Uočljivo je, da neki članovi s lijeve strane jednadžbe imaju pozitivni predznak, a neki negativan. Za predznake tih članova vrijedi pravilo: članovi s ukupnim optorima pojedinih kontura uvijek imaju pozitivan predznak, dok su članovi s zajedničkim otporima kontura pozitivni kada konturne struje u tim otporima imaju iste smjerove, a negativan kada konturne struje u njima imaju suprotne smjerove. Rješavanjem ovih jednadžbi dobivaju se struje, i u pojedinim konturama, a to su zapravo struje u granama po kojima su pojedine konture međusobno različite (struje 1, 2 i 3 ) unutar promatrane mreže. Struje 4, 5 i 6 u ostalim granama mreže mogu se dobiti rješavanjem strujnih jednadžbi: 4 = 2-1 ; 5 = i 6 = Metoda konturnih struja može se primijeniti u svakoj razgranatoj mreži, pa se za mrežu s n nezavisnih kontura, općenito, može napisati n jednadžbi konturnih struja k k + +n n = k k + +n n = k k + +n n =E 3 R n1 1 +R n2 2 +R n R nk k + +R nn n =E n U svim jednadžbama treba poštivati pravilo predznaka koeficijenta, što ovisi o smjerovima konturnih struja u zajedničkim otporima, a neki od članova mogu biti jednaki nuli, ukoliko neke konture nemaju zajedničkih otpora. naliza električnih mreža, primjenom metode konturnih struja, izgleda ovako: U mreži se po volji odabere n nezavisnih kontura, s konturnim strujama koje imaju po volji odabrani smjer obilaženja, Za svaku konturu treba napisati naponsku jednadžbu, koja za k-tu konturu općenito ima oblik: n R + R = E k kk l kl kk l= 1 l k gdje je: k - struja promatrane konture k, l - struja bilo koje druge konture, a otpori: 4
5 R kk - ukupni otpor konture k, R kl - zajednički otpor između konture k i jedne od ostalih kontura, te napon: E kk - zbroj svih elektromotornih sila konture k (zbrajanje u odabranom pozitivnom smjeru za tu konturu). Ukoliko u promatranoj konturi nema naponskih izvora, koeficijent E kk jednak je nuli. sto tako otpada član jednadžbe R kl, ukoliko konture k i l nemaju zajedničke grane. ilo koja nepoznata konturna struja dobiva se kao rješenje sustava jednadžbi, a pomoću determinanti ona iznosi: k k = gdje je: - glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi, koja sadrži otporne koeficijente, s lijeve strane jednadžbi, a nalaze se uz konturne struje, koja izgleda ovako: R11 R12. R1 l. R1n R21 R22. R2l. R2n = Rl1 Rl2. Rll. Rln Rn1 Rn2. Rnl. Rnn k - determinanta sustava linearnih jednadžbi, koje se dobivaju tako što se u glavnoj determinanti k-ti stupac zamijeni konstantnim članovima E s desne strane jednadžbi, koja izgleda ovako: R11 R12. E1 l. R1n R21 R22. E2l. R2n k = Rl1 Rl2. Ell. Rln Rn 1 Rn2. Enl. Rnn Nakon određivanja svih konturnih struja, pomoću strujnih jednadžbi, izražunavaju se ostale struje po granama mreže. ZC 1. ZTK: Za mrežu prikazanu na slici 31 postavite sustav jednadžbi konturnih struja. Kad bismo ovu mrežu htjeli riješiti direktnom primjenom Kirchhoffovih zakona, trebalo bi postaviti sustav od 8 jednadžbi s 8 nepoznanica, jer je n g =8, a n ~ =5. Pomoću konturnih struja njihov broj se reducira na n k =n g -(n č -1)=4. Svakoj konturi je potrebno pridodati referentni smjer i konturnu struju. Konture se biraju tako da se svaka od odabranih razlikuje barem za jednu granu od ostalih. 5
6 5 E E 7 R 9 E 4 R E 3 Slika 31 Standardni oblik sustava jednadžbi za konture 1, 2, 3 i 4 je: R14= = =E =E 44 gdje su: 1 = = +R 9 +R 8 +R =R = R 8 +R =1 = 3 =1 =0 (konture 1 i 3 nemaju zajedničkih grana) 4 =1 = 3 =2 =R 7 4 =2 =R 9 +R 8 4 =3 =0 (konture 3 i 4 imaju zajednički čvor, ali ne i granu) 1 = - -E 3 2 =E 4 -E 5 +E 3 E 33 =E 7 +E 6 E 44 =- -E 8 +E 4 Struje u pojedinim granama (označiti ćemo ih indeksom koji se poklapa s oznakom nekog elementa promatrane grane) biti će: E 5 R E 6 R1 = 1 R5 = R4 = 1-2 R9 = R6 = 2 R7 = 2-3 R10 = 3 R15 = 4 6
7 O izboru smjerova konturnih struja ovisiti će predznaci pojedinih članova u postavljenim jednadžbama. udući da je izbor potpuno slobodan, najpraktičnije je u svim konturama odabrati isti smjer, na primjer smjer kazaljke na satu. U tom će slučaju članovi sa R kk biti pozitivni, a svi ostali negativni, što dodatno olakšava direktno pisanje jednadžbi. 2. ZTK: Za strujni krug prema slici 32 odredite struje svih grana. Zadano je: =12V =10V E 5 =30V E 6 =38V =150Ω =1kΩ =250Ω = =500Ω Za zadani strujni krug broj grana je n g =6,a broj čvorova n ~ =4 te je potreban broj kontura n k =n g -(n ~ -1)=6-(4-1)=3. C E C 3 C E 5 Slika 32. Sustav jednadžbi prema oznakama na slici 32 po metodi konturnih struja glasi: K 1 1 ( + + ) = K ( + ) =- +E 5 K ( + ) =-E 5 -E 6 Konturne struje se dobivaju kao rješenje jednadžbi pomoću determinanti: C 1 = 1 / 2 = 2 / 3 = 3 / = = = = - +E = E 5 -E =
8 = - - +E 5 0 = E 5 -E = = E 5 = E 5 -E = = / = -30m 2 = / = 10m 3 = / = -83m Struja grane se određuje kao algebarski zbroj konturnih struja onih kontura kojima grana pripada. Ovaj zbroj se formira prema referentnom smjeru u grani. Prema slici 32 su: = 1 = -30m C = 1-2 = -30m-10m=-40m = 2 = 10m C = = 30m-83m= -53m C = = -10m-83m= -93m =- 3 = 83m 3. ZTK: Odrediti struje svih grana za strujni krug prikazan na slici 33. Zadano je: =5V E 5 =100V =300Ω =500Ω =400Ω =200Ω =500Ω =2kΩ C C 1 2 C E 5 3 C Slika 33. Za referentne smjerove prikazane na slici 33 je: 1 = -50m 2 = -70m 3 = 26m C = 1 = -50m C = 1-2 = -50m-(-70m)= 20m = 2 = -70m C =- 2 = 70m = 2-3 = -70m-26m= -96m =- 3 = -26m 8
9 4. ZTK: Za strujni krug prikazan na slici 34 poznato je : =25V E 5 =10V E 7 =40V =300Ω =1kΩ =200Ω =260Ω =500Ω R 7 =300Ω Odredite struje svih grana. C C E 7 R 7 C = -50m = 40m C = 60m = -90m C C = -10m = -50m C = 20m E 5 Slika ZTK: Generatori elektromotornih sila =50V, =35V, E 3 =6V, E 4 =8V zanemarivih unutrašnjih otpora i otpornici =300Ω, =100Ω, =200Ω, =100Ω i =400Ω vezani su u strujni krug kao što je prikazano na slici 35. Odrediti struje svih grana strujnog kruga. C C E 3 R C C E E 4 Slika 35 9
10 Prema referentnim smjerovima označenim na slici 35 jakosti struja grana su: = -60m = 30m C = -50m C = 40m C = -90m = 90m 6. ZTK: Zadana je mreža prikazana slikom 36. Primjenom metode konturnih struja odredite struje u svim granama. Zadano je: =190V =200V E 3 =250V E 4 =10V E 5 =60V E 6 =150V E 7 =50V =3kΩ =1kΩ =2kΩ =4kΩ =5kΩ =3kΩ R 7 =3kΩ R 8 =2kΩ R 9 =1kΩ C E 3 Slika 36 K 1 1 ( ) =- + -E 3 K ( + + +R 8 ) - 3 R 8 =E 3 -E 5 -E 7 K R (R 7 +R 8 +R 9 ) =E 4 +E 5 +E 6 što nakon uvrštavanja i sređivanja prelazi u: = = = = = = = = = C = = C 1 2 C E 7 R 8 E 5 3 E 4 R 9 E 6 R 7 10
11 1 = 1 / =-14.08/704=-20m 2 = 2 / =7.04/704=10m 3 = 3 / =28.16/704=40m C = 1 = -20m C = 1-2 = -20m-10m= -30m = 2 = 10m C =- 2 = -10m = 2-3 = 10m-40m= -30m =- 3 = -40m 2.2. Metoda napona čvorova U mrežama koje imaju velik broj grana, povoljnija metoda rješavanja nepoznatih veličina je metoda napona čvorova. Ova metoda koristi Kirchhoffov zakon za čvorove, ali uz primjenu Ohmovog zakona za prilagođenje dijelova strujnih krugova, odnosno grana. Osnovica ove metode, sastoji se u odabiru određenog čvora, koji se tada uzima za referentni, tako što se njegov potencijal stavi na nulu. Svaki od ostalih čvorova tada ima određeni napon, koji prema referentnom čvoru ima točno određeni potencijal: U k0 =ϕ k -ϕ 0 =ϕ k -0=ϕ k 1 4 Slika 37. ko uzmemo mrežu prema slici 37, može se na primjer, čvor 0 uzeti kao referentni, pa se za čvorove 1,2, i 3 mogu napisati slijedeće strujne jednadžbe: 1 = = = ko se sada za pojedine grane primijeni Ohmov zakon, mogu se iz potencijalnih razlika izračunati pripadajuće struje u granama: ϕ 1 = ( + ) 1 =(ϕ 1 + )/( + ) ϕ 1 =ϕ =(ϕ 1 +ϕ 2 )/ ϕ 1 =ϕ =ϕ 1 -ϕ 3 - / ϕ 2 =0-3 3 =-ϕ 2 / ϕ 3 = 7 (R 7 +R 8 ) 7 =ϕ 3 /( +R 8 ) R 7 E R Zamjenom naponskih izvora adekvatnim strujnim izvorima, te otpori odgovarajućim vodljivostima dobiva se shema prikazana slikom
12 2 G 32 G 12 G G 20 G 32. E 32 1 G 0 10 G 30 G 13 3 Slika 38. Nakon uvrštenja jednadžbi za pojedine struje u strujne jednadžbe i supstitucijom recipričnih vrijednosti otpora vodljivošću G, dobiva se općeniti sustav jednadžbi za n čvorova: ϕ 1 G 11 -ϕ 2 G 12 -ϕ 3 G ϕ k G 1k - -ϕ n G 1n = 1 -ϕ 1 G 21 +ϕ 2 G 22 -ϕ 3 G ϕ k G 2k - -ϕ n G 2n = 2 -ϕ 1 G 31 -ϕ 2 G 32 +ϕ 3 G ϕ k G 3k - -ϕ n G 3n = 3 -ϕ 1 G n1 -ϕ 2 G n2 -ϕ 3 G n3 - -ϕ k G nk - +ϕ n G nn = n Općenito se može pisati za bilo koji k-ti čvor električne mreže sastavljen od n čvorova: n n ϕk Gkk ϕl Glk = alg Ekl Gkl l= 1 l k l= 1 l k G 31. E 31 gdje je: G kk - zbroj vodljivosti svih grana priključenih na čvor k, G lk - zbroj vodljivosti svih grana koje se nalaze samo između čvorova l i k. Na desnoj strani se nalazi zbroj umnožaka napona E priključenih na promatrani čvor s pripadajućom vodljivošću grane. ZTK 1: Generatori elektromotornih sila =10V i =30V, generator struje g =80m i otpornici otpora =200Ω, =2kΩ, =1kΩ, =2kΩ i =2.5kΩ vezani su u strujni krug prema slici 39. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova. 12
13 g Slika 39. Za određivanje struja grana kod metode napona čvorova potrebno je odrediti čvorove i između njih odabrati jedan kao referentni, u našem slučaju je to čvor 0. Za dati strujni krug naponi U 0 i U 0 između ostalih čvorova i referentnog su tada relativni potencijali čvorova i prema referentnom. Sustav jednadžbi za dati strujni krug je: G 11 U 0 +G 12 U 0 = G 21 U 0 +G 22 U 0 = Koeficijent tipa G kk se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana vezanih za čvor k, a u promatranom slučaju su: G 11 = 1/ +1/ +1/ =5.9mS G 22 = 1/ +1/ +1/ =1.9mS Koeficijent tipa G kj =G jk,k=j se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana između čvorova k i j sa predznakom minus. G 12 =G 21 = -1/ = -0.4 ms Slobodni član u jednadžbama i, se određuje kao algebarski zbroj struja svih strujnih generatora i kvocjenta E k /R k, formiran prema referentnom smjeru ka čvoru. = g + / =130m = / - g = -65m U U 0 = U U 0 = Rješenja prethodnog sistema jednadžbi su: U 0 =20V U 0 =-30V Nakon toga treba odrediti napone između krajeva svih grana kruga. U =U 0 -U 0 =50V ntenziteti struja grana određuju se iz poznatih karakteristika grane (elektromotorne sile i otpora) i napona između krajeva grane. 1 =(U 0 - )/ = 50m 2 =(-U 0 + )/ = 30m 3 =U 0 / = -30m 4 =U 0 / = 10m 5 =U / = 20m 13
14 ZTK 2: Za strujni krug prikazan na slici 40 poznato je: =12V =10V E 4 =26V E 5 =15V g =25m =100Ω =2kΩ =1kΩ =200Ω =5kΩ Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova E 4 0 g Slika 40 Prema oznakama na slici 40 struje grana su: 10 =-10m 13 =30m 20 =5m 12 =-20m 30 =5m ZTK 3: Generatori elektromotornih sila =76V i =-6V E 6 =46V, generator struje g =20m i otpornici otpora =2kΩ, =1kΩ, =400Ω, =200Ω =100Ω i =2kΩ vezani su u strujni krug prema slici 41. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova E E g 0 Slika 41. Prema slici 41 je: (1/ +1/ +1/ )U 10-1/ U 20-1/ U 30 = / +E 6 / + g -1/ U 10 + (1/ +1/ +1/ )U 20-1/ U 30 = / -1/ U 10-1/ U 20 + (1/ +1/ +1/ )U 30 = -E 6 / 14
15 Unošenjem brojčanih vrijednosti poznatih veličina i rješavajući postavljeni sistem jednadžbi dobiva se: U 10 =26V U 20 =14V U 30 =10V Prema prethodnom je: U 12 =U 10 -U 20 =12V U 13 =U 10 -U 30 =16V U 23 =U 20 -U 30 =4V 10 =(U 10 - )/ = -25m 20 =(U 20 - )/ = 20m 30 =U 30 / = 25m 12 =U 12 / = 60m 32 =-U 23 / = -40m 13 =(U 13 -E 6 )/ = -15m ZTK 4: Za strujni krug prikazan na slici 42 poznato je: =150V =100V E 3 =150V E 4 =600V E 5 =200V =50Ω =20Ω =80Ω =100Ω =300Ω =50Ω R 7 =200Ω R 8 =25Ω Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova. a 1 0 Slika 42 a =1.5 b =2 c =-2.5 d =2 e =0.5 f =1.5 g =-1 E 3 b e R 7 c R 8 d f 2 3 E 4 g E Metoda superpozicije ko u jednoj razgranatoj električnoj mreži imamo jedan raspored izvora elektromotornih sila, u mreži će se uspostaviti odgovarajuće ravnotežno stanje i u svakoj grani će postojati određena struja. Pri drugačijem rasporedu izvora nastati će drugačije ravnotežno stanje, a u granama će poteći druge vrijednosti struja. Po principu superpozicije, pri istovremenom djelovanju oba rasporeda izvora, odgovarajuća ravnotežna stanja se superponiraju. To znači, da su pri novonastalom ravnotežnom stanju, struje u pojedinim granama mreže jednake algebarskoj sumi struja koje su u njima pritjecale pri pojedinačnom rasporedu izvora. Primjenom te metode, struja u 15
16 jednoj grani mreže može se izračunati tako da se redom zamisle umrtvljeni svi izvori osim jednoga, i izračuna struja u promatranoj grani, samo uz taj izvor. Nakon toga se redom, na isti način, izračunavaju struje i za ostale izvore, pa će tražena struja biti algebarski zbroj svih pojedinih struja. Za pojedinu konturnu struju k može se općenito pisati: k =E a. G ka +E b. G kb + +E i. G ki + Konturnu struju k može se tada prikazati kao zbroj pojedinih struja, što su ih prouzročili pojedini izvori svaki za sebe. ZTK 1: U mreži na slici 43 odredite struju kroz otpor R metodom superpozicije. Slika 43. Obzirom da svi izvori zajedno određuju iznose struja u elementima mreže, onda ćemo struju u nekoj grani dobiti superponiranjem djelovanja pojedinih izvora. Praktički to znači slijedeće: da bismo odredili struju u promatranoj grani, uzmemo jedan od izvora, a sve ostale odstranimo (naponske izvore kratko spojimo, a strujne isključimo). No njihove unutarnje otpore ostavljamo u mreži, jer se oni ponašaju kao pasivni elementi. Kad smo to obavili, izračunamo struju. Nakon toga uzimamo drugi izvor, te opet određujemo struju i tako redom za sve izvore. R R 1 Slika 44. R 2 Slika
17 Tako se redom dobiju slijedeći izrazi: Uz kratko spojeni izvor struja 1 je: 1 = R/(( + R/( +R))( +R)R) dok za 2 nalazimo: 2 = R/(( + R/( +R))( +R)R) Naposljetku je stvarna struja kroz otpor R: = 1-2 ZTK 2: U mreži prikazanoj na slici 46 odredite struju kroz otpor od 30Ω, primjenjujući metodu superpozicije Ω Slika 46 1 je struja koja teče kada je samo izvor struje 2 spojen 1 =2 1/(1/100+1/100+1/75) 1/75=0.8 2 je struja koja teče kada je samo izvor napona 150V spojen: 2 =150/( /(100+75)) /(100+75) 1/75=0.6 3 je struja koja teče kada je samo izvor struje 0.5 spojen: 3 =0.5 25( )/( ) 1/( )=0.1 4 je struja koja teče kada je samo izvor napona 25V spojen: 4 =25/( )=0.2 Konačno kroz otpor 30Ω teče struja = = V 25Ω 30Ω 25V Ω Theveninov teorem Električna mreža se u odnosu na otpor R jedne grane ponaša kao nezavisni izvor napona E T i unutarnjeg otpora R T, gdje će struja kroz otpor R biti: E T = RT + R Napon tog izvora E T jednak je naponu na otvorenim priključnicama promatrane mreže. Unutarnji otpor R T jednak je otporu cijele preostale mreže, na priključnicama gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premošteni. 17
18 ZTK 1: Za strujni krug prikazan na slici 47 poznato je: =100V =120V E 4 =40V =200Ω =60Ω =300Ω =10Ω Odredite struju kroz otpor primjenom Theveninova teorema. E 4 Slika 47. Prema Theveninovu teoremu bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti s obzirom na dvije stezaljke realnim naponskim izvorom, tj. izvorom s unutarnjim naponom i otporom. Unutarnji napon i otpor, označeni sa E T i R T potpuno su određeni elementima dijela mreže koji nadomještamo i to kako po iznosu tako i po polaritetu (E T ). akle struju u nekoj grani mreže možemo odrediti tako da preostali dio nadomjestimo po Theveninu i na nadomjesni izvor priključimo promatranu granu. Nadomjesni Theveninov napon E T određujemo tako da izračunamo napon na otvorenim stezaljkama linearne mreže. Theveninov otpor R T određujemo tako da uz kratko spojene naponske izvore i isključene strujne (ostavljajući pri tome u mreži njihove unutarnje otpore) izračunavamo ukupni otpor između točaka nadomještenog dijela mreže kada na njih nije ništa priključeno izvana. Krug za određivanje E T Slika 48. R T E T Slika 49. Krug za određivanje R T Slika 50. Thevenenov generator 18
19 Prema usvojenom referentnom smjeru E T =U Primjenjujući metodu napona čvorova prema slici 48 dobiva se: U (1/ +1/ +1/ )= / - / U =-60V pa je: E T =-60V Unutrašnji otpor R T dobiva se prema slici 17: R T = /( + + ) R T =40Ω R T Krug za određivanje E T E T Slika 50. Prema ekvivaletnom strujnom krugu formiranim od Theveninova generatora i grane u kojoj tražimo struju (slika 50) je: =(E T -E 4 )/(R T + )=-2 ZTK 2 : Odrediti struju prijemnika otpora priključenog u strujni krug prema slici 51. Poznato je: E=30V g =250m =300Ω =120Ω =60Ω =90Ω =180Ω =6Ω. g E E 4 R T E T Slika 50. Slika 51. E T =U =45V R T =144Ω =0.3 19
20 ZTK 3: Za strujni krug prikazan na slici 52 odredite struju Theveninovom metodom Ω 100V 30V 75Ω Slika 52. Prema slici 52 je: U =100 40/( ) =80V E T =U =80V R = /( )=300Ω R T =R =300Ω z ekvivalentnog kruga na slici 53 slijedi: =(E T -E 3 )/(R T + )=0.1 R T E T 300Ω 100Ω 40V E 3 =30V =200Ω 200Ω 2.5. Nortonov teorem Slika 53. Električna mreža se u odnosu na otpor R jedne grane ponaša kao izvor struje N i paralelnoga unutarnjeg otpora R N, gdje će struja kroz otpor R biti: R N = N RN + R Struja toga izvora N jednaka je struji kroz kratko spojene priključnice promatrane mreže na mjestu otpora R. Unutarnji otpor R N toga strujnog izvora također je jednak otporu cijele preostale mreže na priključnicama, gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premošteni. 20
21 ZTK 1: Za strujni krug prikazan na slici 54 poznato je: =50V =30V =10kΩ =15kΩ R P =3kΩ Odredite struju kroz otpor R P primjenom Nortonova teorema. R P Slika 54. Nortonov teorem glasi: Strujni krug se prema promatranoj grani može zamjeniti strujnim izvorom. Struja N ovog generatora je određena strujom kratkog spoja između točaka priključenja grane pri čemu je promatrana grana isključena iz kruga. Unutrašnji otpor je jednak ekvivaletnom otporu između točaka priključenja grane pri čemu je grana isključena iz kruga i svi izvori ugašeni ( naponski kratko spojeni, a strujni odspojeni). z prethodnog se može zaključiti da je Nortonov generator ekvivalentan strujni generator Theveninovom naponskom generatoru. krug za određivanje N k Slika 55. P N R N R P Slika 56. Krug za određivanje R N Slika 57. Ekvivalentni krug 21
22 Sa slike 55 je: k = / - / = 3m N = k Prema slici 56 je: R N =R = /( + )=6kΩ Na osnovi slike 57 može se pisati: P = N R N /(R N +R P )=2m ZTK 2: Za strujni krug prikazan na slici 58 poznato je: g =20m =24V =2kΩ =20kΩ =5kΩ =3kΩ =15kΩ Odredite struju u grani u kojoj se nalazi primjenom Nortonova teorema. g Slika 58. Slika 59. Krug za određivanje N g N R N Slika 60. Krug za određivanje R N Slika 61. Ekvivalentni krug Prema slici 59 je: =( /( + ) - /( + )) g =3m Sa slike 60 dobiva se: R =R N =(( + )( + ))/( )=4kΩ Struja izračunava se prema slici 61: =( -R N N )/( +R N )=0.5m 22 N =
23 ZTK 3: Primjenom Nortonova teorema odredite struju kroz otpor iz mreže na slici 62 Zadano: 1 =6m 2 =4m =32V =6V =3kΩ =4kΩ =3kΩ =1kΩ =5kΩ =7kΩ a 1 c a Slika 62. ab d b b Slika 63. Prema slici 63 je: ab = c + d gdje su: c =( 2 + )/( + + ) d =( + 1 )/( + ) nakon uvrštavanja: ab = N =10m Prekidanjem mreže na slici 62 i isključivanjem strujnih odnosno kratkim spajanjem naponskih dobivamo kombinaciju otpora za određivanje R N. R N =(( + )( + + )/( )=3kΩ Struja kroz otpor je: = N R N /(R N + )=3m 23
Metode rješavanja električnih strujnih krugova
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže
Διαβάστε περισσότεραISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA
STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότεραAnaliza linearnih mreža istosmjerne struje
. Analiza linearnih mreža istosmjerne struje.. Električna mreža i njezini elementi Složen strujni krug koji se sastoji od više različitih pasivnih i aktivnih elemenata zove se mreža. Pasivni elementi mreže
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike II parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike II parijalni ispit 1.01.01. VRIJNT Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni oijeniti. Zadatak 1 (Jasno i preizno odgovoriti na
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTrofazni sustav. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi
tranica: X - 1 tranica: X - 2 rofazni sustav inijski i fazni naponi i struje poj zvijezda poj trokut imetrično i nesimetrično opterećenje naga trofaznog sustava Uvodni pojmovi rofazni sustav napajanja
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραElektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. Mreže sa kombiniranim DC i AC izvorima 2. Sklopovi sa Zenner diodama 3. Zennerov regulator
Sadržaj predavanja: 1. Mreže sa kombiniranim DC i AC izvorima 2. Sklopovi sa Zenner diodama 3. Zennerov regulator Dosadašnja analiza je bila koncentrirana na DC analizu, tj. smatralo se da su elementi
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα='5$9.2 STRUJNI IZVOR
. STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su
Διαβάστε περισσότεραElektronički Elementi i Sklopovi
Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Teoretski zadaci sa diodama 2. Analiza linije tereta 3. Elektronički sklopovi sa diodama 4. I i ILI vrata 5. Poluvalni ispravljač Teoretski zadaci
Διαβάστε περισσότεραIstosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραPriprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραKlizni otpornik. Ampermetar. Slika 2.1 Jednostavni strujni krug
1. LMNT STOSMJNOG STJNOG KGA Jednostavan strujni krug (Slika 1.1) sastoji se od sljedećih elemenata: 1 Trošilo Aktivni elementi naponski i strujni izvori Pasivni elementi trošilo (u istosmjernom strujnom
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραElektronički Elementi i Sklopovi
Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραl = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.
. U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =
Διαβάστε περισσότεραTrofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.
Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U
1. Za EES dat na slici: a) odrediti bazne struje i impedanse elemenata ako je S B = 100 MVA, a naponi jednaki nominalnim vrijednostima napona pojedinih naponskih nivoa, b) Nacrtati ekvivalentne šeme direktnog,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραZadatak 161 (Igor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge 31.4 m, kroz koju teče struja 0.8 A, ako je napon
Zadatak 6 (gor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge. m, kroz koju teče struja 0.8, ako je napon između krajeva 80 V? (električna otpornost manganina ρ = 0. 0-6 Ω m) ješenje 6 l =. m, = 0.8,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραZadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.
1 OE 11/12 Zadaci za pripremu III. ciklusa laboratorijskih vjezbi PTA ZA RJESAVANJE Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραIz zadatka se uočava da je doslo do tropolnog kratkog spoja na sabirnicama B, pa je zamjenska šema,
. Na slici je jednopolno prikazan trofazni EES sa svim potrebnim parametrima. U režimu rada neposredno prije nastanka KS kroz prekidač protiče struja (168-j140)A u naznačenom smjeru. Fazni stav struje
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραElektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. Punovalni ispravljač 2. Rezni sklopovi 3. Pritezni sklopovi
Sadržaj predavanja: 1. Punovalni ispravljač 2. Rezni sklopovi 3. Pritezni sklopovi Najčešći sklop punovalnog ispravljača se može realizirati pomoću 4 diode i otpornika: Na slici je ulazni signal sinusodialanog
Διαβάστε περισσότεραMAGNETNO SPREGNUTA KOLA
MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραInduktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραElektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora
Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora MOSFET tranzistor obogaćenog tipa Konstrukcija MOSFET tranzistora obogaćenog tipa je
Διαβάστε περισσότερα