2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE"

Transcript

1 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže koji sadrži serijski vezane izvore i otpore, a kroz koji teče struja iste jakosti naziva se grana električne mreže. Mjesto ili točka u električnoj mreži gdje se sastaju najmanje tri grane naziva se čvor električne mreže. Obilaženjem po granama mreže, bilo koji zatvoreni krug zove se kontura električne mreže. ilo koji zatvoreni krug sastavljen od nekoliko grana, dakle čini konturu. Konture koje se od prijašnjih razlikuju barem za jednu granu nazivaju se nezavisne konture. Pojedini dijelovi električne mreže prikazani su slikom 28. Slika 28. Elementi električne mre`e U električnoj mreži, gdje su poznati naponi izvora E i otpori R u svim granama mreže, može se primjenom i Kirchhoffova zakona odrediti bilo koja nepoznata struja. Za bilo koji čvor mreže, jednadžba Kirchhoffovog zakona glasi: lgebarska suma svih struja koje ulaze u čvor jednaka je sumi struja koje iz njega izlaze, ili suma svih struja koje se u čvoru sastaju jednaka je nuli. =0 Pri rješavanju jednadžbe, očito je, moraju se znati struje po veličini i po smjeru. Veličina nepoznatih struja označava se općim brojevima 1, 2, N, dok se smjer pojedine struje može po volji odrediti. Nakon rješavanja sistema jednadžbi pojedine struje će se pojaviti s negativnim predznakom, što nikako ne znači da je struja negativna, već jednostavno da je smjer struje suprotan od pretpostavljenoga. Za pojedine nezavisne konture mreže postavljaju se naponske jednadžbe primjenom Kirchhoffovog zakona, koji glasi: lgebarska suma napona svih izvora jedne konture jednaka je sumi padova napona svih otpornika te konture. Obilaženje konture obavlja se po volji odabranim smjerom, koji se tada smatra pozitivnim smjerom. Napon u algebarskoj sumi Kirchhoffovog zakona uzima se pozitivnim, ako se pri obilaženju konture prolazi napon izvora u smjeru njegova djelovanja. sto tako će i padovi napona na pojedinim otporima imati pozitivan predznak, kada se pri obilaženju konture otpornik nalazi u pretpostavljenom smjeru struje kroz njega. čvor kontura grana 1

2 Primjenom jednadžbi i Kirchhoffova zakona mogu se analizirati linearne mreže, što se može pokazati primjerom prikazan slikom 29. E 3 3 K K 2 K E 4 2 C Slika 29. Za izračunavanje nepoznanica, matematički gledano, potrebno je postaviti onoliko jednadžbi koliko je nepoznanica. Primjenjujući Kirchhoffov zakon jednadžbe za struje u pojedinim čvorovima će izgledati: za čvor =0 za čvor =0 za čvor C =0, i za čvor =0 Sređivanjem prve tri jednadžbe, dobiva se četvrta jednadžba, pa se dolazi do zaključka kako je u električnim mrežama potrebno postaviti minimalno (č-1) strujnih jednadžbi, gdje je č broj čvorova mreže. Električna mreža iz našeg primjera ima 6 grana, koje čine 3 nezavisne konture. Prva kontura dobije se, ako odaberemo put obilazeći čvorove, druga obilazeći čvorove C i na kraju treća obilazeći čvorove C. Svaki od ovih puteva sadrži po jednu granu koja ne pripada ni jednom ni drugom putu, te će dobivene jednadžbe biti međusobno neovisne. Kako bi se mogao primijeniti Kirchhoffov zakon, odnosno napisati algebarske sume elektromotornih sila za izabrane puteve, moraju se definirati smjerovi obilaženja pojedine konture. Sve elektromotorne sile koje imaju isti smjer kao smjer obilaženja ulaze u zbroj s pozitivnim predznakom, one suprotne ulaze s negativnim predznakom. Predznak padova napona na otpornicima ostaje nepromjenjen, ako struja u grani ima isti smjer kao smjer obilaženja konture, odnosno obrnut ako je smjer konture suprotan od smjera obilaženja. Neposrednom primjenom Kirchhoffovog zakona za pojedine konture dobiju se naponske jednadžbe: za put E 4-6 =0 za put C E 4-4 =0 i za put C E 3 =0 Poznavajući sve elektromotorne sile u mreži te sve otpore, rješenja gore napisanih jednadžbi dati će struje u pojedinim granama mreže. Potreban broj naponskih jednadžbi, očito je, jednak broju kontura mreže k. Općenito, može se pokazati da je broj kontura k jednak: k=g-(č-1), 2

3 gdje je g broj grana mreže. U svakoj razgranatoj mreži mogu se primjenom Kirchhoffovih zakona odrediti struje uz poznate elektromotorne sile i otpore. Međutim, u mrežama s velikim brojem grana, mora se postaviti veliki broj jednadžbi, pa ova metoda rješavanja zahtijeva dosta napora i vremena. Tada ova metoda ustupa mjesto drugim metodama, koja će naposljetku dati isti rezultat, brže rješavanje i uz manje napora Metoda konturnih struja Ova metoda razvila se iz metoda rješavanja nepoznanica u mreži primjenom Kirchhoffovih zakona. Za primjer prikazan slikom 29, rješavanjem strujnih jednadžbi po 4, 5 i 6 prema Kirchhoffovom zakonu dobiva se: 4 = 2-1 ; 5 = i 6 = Kada ovo zamijenimo u naponskim jednadžbama, primjenom Kirchhoffovog zakona i te jednadžbe sredimo, dobiva se: ( + + ) = -E 4-1 +( + + ) =E ( + + ) 3 =-E 3 U tim jednadžbama s desne strane sa nalaze poznate elektromotorne sile, a s lijeve strane svi otpori mreže i struje 1, 2 i 3 u granama mreže po kojima su izabrani zatvoreni putevi različiti. Pomoću ove tri jednadžbe mogu se, dakle, odrediti struje 1, 2 i 3. Ove jednadžbe mogu poprimiti i drugačiji oblik, ako promatranu mrežu raščlanimo na 3 konture, kako je to prikazano slikom 30. Struje u neovisnim konturama numerirane su, i, tako što struja predstavlja struju prve konture, struju druge i struju treće konture. Uzmemo li prvu naponsku jednadžbu i u njoj koeficijent uz struju 1 ( + + ), uočava se da on predstavlja zbroj otpora prve konture koji se može označiti s 1 te napisati: 1 =( + + ) Koeficijent uz struju 2, u istoj jednadžbi, je otpor koji pripada i prvoj i drugoj konturi. Taj otpor naziva se zajednički otpor prve i druge konture 2, pa se može pisati: 2 = sto tako je otpor uz struju 3 zajednički otpor prve i treće konture 3, tj.: 3 = K K E 4 E 3 E 4 K 1 4 C C Slika 30. 3

4 Na desnoj strani prve naponske jednadžbe nalazi se suma elektromotornih sila u prvoj konturi, čiji smjer je uzet kao smjer obilaženja konture, a ta suma se označava s E, te se može pisati: E = -E 4 U drugoj naponskoj jednadžbi, koja se odnosi na drugu konturu, otpor je zajednički otpor između druge i prve konture, ( + + ) je ukupni otpor druge konture, a otpor je zajednički otpor između druge i treće konture. Na desnoj strani je suma elektromotornih sila E 4 -, pa se za drugu konturu mogu napisati slijedeći odnosi: 1 = 2 =( + + ) 3 = E =E 4 - z treće naponske jednadžbe izlazi: 1 = 2 = 3 =( + + ) E =-E 3 Unoseći ove promjene u naponske jednadžbe dobiva se: =E =E =E Ove jednadžbe nazivaju se jednadžbe konturnih struja. Uočljivo je, da neki članovi s lijeve strane jednadžbe imaju pozitivni predznak, a neki negativan. Za predznake tih članova vrijedi pravilo: članovi s ukupnim optorima pojedinih kontura uvijek imaju pozitivan predznak, dok su članovi s zajedničkim otporima kontura pozitivni kada konturne struje u tim otporima imaju iste smjerove, a negativan kada konturne struje u njima imaju suprotne smjerove. Rješavanjem ovih jednadžbi dobivaju se struje, i u pojedinim konturama, a to su zapravo struje u granama po kojima su pojedine konture međusobno različite (struje 1, 2 i 3 ) unutar promatrane mreže. Struje 4, 5 i 6 u ostalim granama mreže mogu se dobiti rješavanjem strujnih jednadžbi: 4 = 2-1 ; 5 = i 6 = Metoda konturnih struja može se primijeniti u svakoj razgranatoj mreži, pa se za mrežu s n nezavisnih kontura, općenito, može napisati n jednadžbi konturnih struja k k + +n n = k k + +n n = k k + +n n =E 3 R n1 1 +R n2 2 +R n R nk k + +R nn n =E n U svim jednadžbama treba poštivati pravilo predznaka koeficijenta, što ovisi o smjerovima konturnih struja u zajedničkim otporima, a neki od članova mogu biti jednaki nuli, ukoliko neke konture nemaju zajedničkih otpora. naliza električnih mreža, primjenom metode konturnih struja, izgleda ovako: U mreži se po volji odabere n nezavisnih kontura, s konturnim strujama koje imaju po volji odabrani smjer obilaženja, Za svaku konturu treba napisati naponsku jednadžbu, koja za k-tu konturu općenito ima oblik: n R + R = E k kk l kl kk l= 1 l k gdje je: k - struja promatrane konture k, l - struja bilo koje druge konture, a otpori: 4

5 R kk - ukupni otpor konture k, R kl - zajednički otpor između konture k i jedne od ostalih kontura, te napon: E kk - zbroj svih elektromotornih sila konture k (zbrajanje u odabranom pozitivnom smjeru za tu konturu). Ukoliko u promatranoj konturi nema naponskih izvora, koeficijent E kk jednak je nuli. sto tako otpada član jednadžbe R kl, ukoliko konture k i l nemaju zajedničke grane. ilo koja nepoznata konturna struja dobiva se kao rješenje sustava jednadžbi, a pomoću determinanti ona iznosi: k k = gdje je: - glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi, koja sadrži otporne koeficijente, s lijeve strane jednadžbi, a nalaze se uz konturne struje, koja izgleda ovako: R11 R12. R1 l. R1n R21 R22. R2l. R2n = Rl1 Rl2. Rll. Rln Rn1 Rn2. Rnl. Rnn k - determinanta sustava linearnih jednadžbi, koje se dobivaju tako što se u glavnoj determinanti k-ti stupac zamijeni konstantnim članovima E s desne strane jednadžbi, koja izgleda ovako: R11 R12. E1 l. R1n R21 R22. E2l. R2n k = Rl1 Rl2. Ell. Rln Rn 1 Rn2. Enl. Rnn Nakon određivanja svih konturnih struja, pomoću strujnih jednadžbi, izražunavaju se ostale struje po granama mreže. ZC 1. ZTK: Za mrežu prikazanu na slici 31 postavite sustav jednadžbi konturnih struja. Kad bismo ovu mrežu htjeli riješiti direktnom primjenom Kirchhoffovih zakona, trebalo bi postaviti sustav od 8 jednadžbi s 8 nepoznanica, jer je n g =8, a n ~ =5. Pomoću konturnih struja njihov broj se reducira na n k =n g -(n č -1)=4. Svakoj konturi je potrebno pridodati referentni smjer i konturnu struju. Konture se biraju tako da se svaka od odabranih razlikuje barem za jednu granu od ostalih. 5

6 5 E E 7 R 9 E 4 R E 3 Slika 31 Standardni oblik sustava jednadžbi za konture 1, 2, 3 i 4 je: R14= = =E =E 44 gdje su: 1 = = +R 9 +R 8 +R =R = R 8 +R =1 = 3 =1 =0 (konture 1 i 3 nemaju zajedničkih grana) 4 =1 = 3 =2 =R 7 4 =2 =R 9 +R 8 4 =3 =0 (konture 3 i 4 imaju zajednički čvor, ali ne i granu) 1 = - -E 3 2 =E 4 -E 5 +E 3 E 33 =E 7 +E 6 E 44 =- -E 8 +E 4 Struje u pojedinim granama (označiti ćemo ih indeksom koji se poklapa s oznakom nekog elementa promatrane grane) biti će: E 5 R E 6 R1 = 1 R5 = R4 = 1-2 R9 = R6 = 2 R7 = 2-3 R10 = 3 R15 = 4 6

7 O izboru smjerova konturnih struja ovisiti će predznaci pojedinih članova u postavljenim jednadžbama. udući da je izbor potpuno slobodan, najpraktičnije je u svim konturama odabrati isti smjer, na primjer smjer kazaljke na satu. U tom će slučaju članovi sa R kk biti pozitivni, a svi ostali negativni, što dodatno olakšava direktno pisanje jednadžbi. 2. ZTK: Za strujni krug prema slici 32 odredite struje svih grana. Zadano je: =12V =10V E 5 =30V E 6 =38V =150Ω =1kΩ =250Ω = =500Ω Za zadani strujni krug broj grana je n g =6,a broj čvorova n ~ =4 te je potreban broj kontura n k =n g -(n ~ -1)=6-(4-1)=3. C E C 3 C E 5 Slika 32. Sustav jednadžbi prema oznakama na slici 32 po metodi konturnih struja glasi: K 1 1 ( + + ) = K ( + ) =- +E 5 K ( + ) =-E 5 -E 6 Konturne struje se dobivaju kao rješenje jednadžbi pomoću determinanti: C 1 = 1 / 2 = 2 / 3 = 3 / = = = = - +E = E 5 -E =

8 = - - +E 5 0 = E 5 -E = = E 5 = E 5 -E = = / = -30m 2 = / = 10m 3 = / = -83m Struja grane se određuje kao algebarski zbroj konturnih struja onih kontura kojima grana pripada. Ovaj zbroj se formira prema referentnom smjeru u grani. Prema slici 32 su: = 1 = -30m C = 1-2 = -30m-10m=-40m = 2 = 10m C = = 30m-83m= -53m C = = -10m-83m= -93m =- 3 = 83m 3. ZTK: Odrediti struje svih grana za strujni krug prikazan na slici 33. Zadano je: =5V E 5 =100V =300Ω =500Ω =400Ω =200Ω =500Ω =2kΩ C C 1 2 C E 5 3 C Slika 33. Za referentne smjerove prikazane na slici 33 je: 1 = -50m 2 = -70m 3 = 26m C = 1 = -50m C = 1-2 = -50m-(-70m)= 20m = 2 = -70m C =- 2 = 70m = 2-3 = -70m-26m= -96m =- 3 = -26m 8

9 4. ZTK: Za strujni krug prikazan na slici 34 poznato je : =25V E 5 =10V E 7 =40V =300Ω =1kΩ =200Ω =260Ω =500Ω R 7 =300Ω Odredite struje svih grana. C C E 7 R 7 C = -50m = 40m C = 60m = -90m C C = -10m = -50m C = 20m E 5 Slika ZTK: Generatori elektromotornih sila =50V, =35V, E 3 =6V, E 4 =8V zanemarivih unutrašnjih otpora i otpornici =300Ω, =100Ω, =200Ω, =100Ω i =400Ω vezani su u strujni krug kao što je prikazano na slici 35. Odrediti struje svih grana strujnog kruga. C C E 3 R C C E E 4 Slika 35 9

10 Prema referentnim smjerovima označenim na slici 35 jakosti struja grana su: = -60m = 30m C = -50m C = 40m C = -90m = 90m 6. ZTK: Zadana je mreža prikazana slikom 36. Primjenom metode konturnih struja odredite struje u svim granama. Zadano je: =190V =200V E 3 =250V E 4 =10V E 5 =60V E 6 =150V E 7 =50V =3kΩ =1kΩ =2kΩ =4kΩ =5kΩ =3kΩ R 7 =3kΩ R 8 =2kΩ R 9 =1kΩ C E 3 Slika 36 K 1 1 ( ) =- + -E 3 K ( + + +R 8 ) - 3 R 8 =E 3 -E 5 -E 7 K R (R 7 +R 8 +R 9 ) =E 4 +E 5 +E 6 što nakon uvrštavanja i sređivanja prelazi u: = = = = = = = = = C = = C 1 2 C E 7 R 8 E 5 3 E 4 R 9 E 6 R 7 10

11 1 = 1 / =-14.08/704=-20m 2 = 2 / =7.04/704=10m 3 = 3 / =28.16/704=40m C = 1 = -20m C = 1-2 = -20m-10m= -30m = 2 = 10m C =- 2 = -10m = 2-3 = 10m-40m= -30m =- 3 = -40m 2.2. Metoda napona čvorova U mrežama koje imaju velik broj grana, povoljnija metoda rješavanja nepoznatih veličina je metoda napona čvorova. Ova metoda koristi Kirchhoffov zakon za čvorove, ali uz primjenu Ohmovog zakona za prilagođenje dijelova strujnih krugova, odnosno grana. Osnovica ove metode, sastoji se u odabiru određenog čvora, koji se tada uzima za referentni, tako što se njegov potencijal stavi na nulu. Svaki od ostalih čvorova tada ima određeni napon, koji prema referentnom čvoru ima točno određeni potencijal: U k0 =ϕ k -ϕ 0 =ϕ k -0=ϕ k 1 4 Slika 37. ko uzmemo mrežu prema slici 37, može se na primjer, čvor 0 uzeti kao referentni, pa se za čvorove 1,2, i 3 mogu napisati slijedeće strujne jednadžbe: 1 = = = ko se sada za pojedine grane primijeni Ohmov zakon, mogu se iz potencijalnih razlika izračunati pripadajuće struje u granama: ϕ 1 = ( + ) 1 =(ϕ 1 + )/( + ) ϕ 1 =ϕ =(ϕ 1 +ϕ 2 )/ ϕ 1 =ϕ =ϕ 1 -ϕ 3 - / ϕ 2 =0-3 3 =-ϕ 2 / ϕ 3 = 7 (R 7 +R 8 ) 7 =ϕ 3 /( +R 8 ) R 7 E R Zamjenom naponskih izvora adekvatnim strujnim izvorima, te otpori odgovarajućim vodljivostima dobiva se shema prikazana slikom

12 2 G 32 G 12 G G 20 G 32. E 32 1 G 0 10 G 30 G 13 3 Slika 38. Nakon uvrštenja jednadžbi za pojedine struje u strujne jednadžbe i supstitucijom recipričnih vrijednosti otpora vodljivošću G, dobiva se općeniti sustav jednadžbi za n čvorova: ϕ 1 G 11 -ϕ 2 G 12 -ϕ 3 G ϕ k G 1k - -ϕ n G 1n = 1 -ϕ 1 G 21 +ϕ 2 G 22 -ϕ 3 G ϕ k G 2k - -ϕ n G 2n = 2 -ϕ 1 G 31 -ϕ 2 G 32 +ϕ 3 G ϕ k G 3k - -ϕ n G 3n = 3 -ϕ 1 G n1 -ϕ 2 G n2 -ϕ 3 G n3 - -ϕ k G nk - +ϕ n G nn = n Općenito se može pisati za bilo koji k-ti čvor električne mreže sastavljen od n čvorova: n n ϕk Gkk ϕl Glk = alg Ekl Gkl l= 1 l k l= 1 l k G 31. E 31 gdje je: G kk - zbroj vodljivosti svih grana priključenih na čvor k, G lk - zbroj vodljivosti svih grana koje se nalaze samo između čvorova l i k. Na desnoj strani se nalazi zbroj umnožaka napona E priključenih na promatrani čvor s pripadajućom vodljivošću grane. ZTK 1: Generatori elektromotornih sila =10V i =30V, generator struje g =80m i otpornici otpora =200Ω, =2kΩ, =1kΩ, =2kΩ i =2.5kΩ vezani su u strujni krug prema slici 39. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova. 12

13 g Slika 39. Za određivanje struja grana kod metode napona čvorova potrebno je odrediti čvorove i između njih odabrati jedan kao referentni, u našem slučaju je to čvor 0. Za dati strujni krug naponi U 0 i U 0 između ostalih čvorova i referentnog su tada relativni potencijali čvorova i prema referentnom. Sustav jednadžbi za dati strujni krug je: G 11 U 0 +G 12 U 0 = G 21 U 0 +G 22 U 0 = Koeficijent tipa G kk se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana vezanih za čvor k, a u promatranom slučaju su: G 11 = 1/ +1/ +1/ =5.9mS G 22 = 1/ +1/ +1/ =1.9mS Koeficijent tipa G kj =G jk,k=j se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana između čvorova k i j sa predznakom minus. G 12 =G 21 = -1/ = -0.4 ms Slobodni član u jednadžbama i, se određuje kao algebarski zbroj struja svih strujnih generatora i kvocjenta E k /R k, formiran prema referentnom smjeru ka čvoru. = g + / =130m = / - g = -65m U U 0 = U U 0 = Rješenja prethodnog sistema jednadžbi su: U 0 =20V U 0 =-30V Nakon toga treba odrediti napone između krajeva svih grana kruga. U =U 0 -U 0 =50V ntenziteti struja grana određuju se iz poznatih karakteristika grane (elektromotorne sile i otpora) i napona između krajeva grane. 1 =(U 0 - )/ = 50m 2 =(-U 0 + )/ = 30m 3 =U 0 / = -30m 4 =U 0 / = 10m 5 =U / = 20m 13

14 ZTK 2: Za strujni krug prikazan na slici 40 poznato je: =12V =10V E 4 =26V E 5 =15V g =25m =100Ω =2kΩ =1kΩ =200Ω =5kΩ Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova E 4 0 g Slika 40 Prema oznakama na slici 40 struje grana su: 10 =-10m 13 =30m 20 =5m 12 =-20m 30 =5m ZTK 3: Generatori elektromotornih sila =76V i =-6V E 6 =46V, generator struje g =20m i otpornici otpora =2kΩ, =1kΩ, =400Ω, =200Ω =100Ω i =2kΩ vezani su u strujni krug prema slici 41. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova E E g 0 Slika 41. Prema slici 41 je: (1/ +1/ +1/ )U 10-1/ U 20-1/ U 30 = / +E 6 / + g -1/ U 10 + (1/ +1/ +1/ )U 20-1/ U 30 = / -1/ U 10-1/ U 20 + (1/ +1/ +1/ )U 30 = -E 6 / 14

15 Unošenjem brojčanih vrijednosti poznatih veličina i rješavajući postavljeni sistem jednadžbi dobiva se: U 10 =26V U 20 =14V U 30 =10V Prema prethodnom je: U 12 =U 10 -U 20 =12V U 13 =U 10 -U 30 =16V U 23 =U 20 -U 30 =4V 10 =(U 10 - )/ = -25m 20 =(U 20 - )/ = 20m 30 =U 30 / = 25m 12 =U 12 / = 60m 32 =-U 23 / = -40m 13 =(U 13 -E 6 )/ = -15m ZTK 4: Za strujni krug prikazan na slici 42 poznato je: =150V =100V E 3 =150V E 4 =600V E 5 =200V =50Ω =20Ω =80Ω =100Ω =300Ω =50Ω R 7 =200Ω R 8 =25Ω Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova. a 1 0 Slika 42 a =1.5 b =2 c =-2.5 d =2 e =0.5 f =1.5 g =-1 E 3 b e R 7 c R 8 d f 2 3 E 4 g E Metoda superpozicije ko u jednoj razgranatoj električnoj mreži imamo jedan raspored izvora elektromotornih sila, u mreži će se uspostaviti odgovarajuće ravnotežno stanje i u svakoj grani će postojati određena struja. Pri drugačijem rasporedu izvora nastati će drugačije ravnotežno stanje, a u granama će poteći druge vrijednosti struja. Po principu superpozicije, pri istovremenom djelovanju oba rasporeda izvora, odgovarajuća ravnotežna stanja se superponiraju. To znači, da su pri novonastalom ravnotežnom stanju, struje u pojedinim granama mreže jednake algebarskoj sumi struja koje su u njima pritjecale pri pojedinačnom rasporedu izvora. Primjenom te metode, struja u 15

16 jednoj grani mreže može se izračunati tako da se redom zamisle umrtvljeni svi izvori osim jednoga, i izračuna struja u promatranoj grani, samo uz taj izvor. Nakon toga se redom, na isti način, izračunavaju struje i za ostale izvore, pa će tražena struja biti algebarski zbroj svih pojedinih struja. Za pojedinu konturnu struju k može se općenito pisati: k =E a. G ka +E b. G kb + +E i. G ki + Konturnu struju k može se tada prikazati kao zbroj pojedinih struja, što su ih prouzročili pojedini izvori svaki za sebe. ZTK 1: U mreži na slici 43 odredite struju kroz otpor R metodom superpozicije. Slika 43. Obzirom da svi izvori zajedno određuju iznose struja u elementima mreže, onda ćemo struju u nekoj grani dobiti superponiranjem djelovanja pojedinih izvora. Praktički to znači slijedeće: da bismo odredili struju u promatranoj grani, uzmemo jedan od izvora, a sve ostale odstranimo (naponske izvore kratko spojimo, a strujne isključimo). No njihove unutarnje otpore ostavljamo u mreži, jer se oni ponašaju kao pasivni elementi. Kad smo to obavili, izračunamo struju. Nakon toga uzimamo drugi izvor, te opet određujemo struju i tako redom za sve izvore. R R 1 Slika 44. R 2 Slika

17 Tako se redom dobiju slijedeći izrazi: Uz kratko spojeni izvor struja 1 je: 1 = R/(( + R/( +R))( +R)R) dok za 2 nalazimo: 2 = R/(( + R/( +R))( +R)R) Naposljetku je stvarna struja kroz otpor R: = 1-2 ZTK 2: U mreži prikazanoj na slici 46 odredite struju kroz otpor od 30Ω, primjenjujući metodu superpozicije Ω Slika 46 1 je struja koja teče kada je samo izvor struje 2 spojen 1 =2 1/(1/100+1/100+1/75) 1/75=0.8 2 je struja koja teče kada je samo izvor napona 150V spojen: 2 =150/( /(100+75)) /(100+75) 1/75=0.6 3 je struja koja teče kada je samo izvor struje 0.5 spojen: 3 =0.5 25( )/( ) 1/( )=0.1 4 je struja koja teče kada je samo izvor napona 25V spojen: 4 =25/( )=0.2 Konačno kroz otpor 30Ω teče struja = = V 25Ω 30Ω 25V Ω Theveninov teorem Električna mreža se u odnosu na otpor R jedne grane ponaša kao nezavisni izvor napona E T i unutarnjeg otpora R T, gdje će struja kroz otpor R biti: E T = RT + R Napon tog izvora E T jednak je naponu na otvorenim priključnicama promatrane mreže. Unutarnji otpor R T jednak je otporu cijele preostale mreže, na priključnicama gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premošteni. 17

18 ZTK 1: Za strujni krug prikazan na slici 47 poznato je: =100V =120V E 4 =40V =200Ω =60Ω =300Ω =10Ω Odredite struju kroz otpor primjenom Theveninova teorema. E 4 Slika 47. Prema Theveninovu teoremu bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti s obzirom na dvije stezaljke realnim naponskim izvorom, tj. izvorom s unutarnjim naponom i otporom. Unutarnji napon i otpor, označeni sa E T i R T potpuno su određeni elementima dijela mreže koji nadomještamo i to kako po iznosu tako i po polaritetu (E T ). akle struju u nekoj grani mreže možemo odrediti tako da preostali dio nadomjestimo po Theveninu i na nadomjesni izvor priključimo promatranu granu. Nadomjesni Theveninov napon E T određujemo tako da izračunamo napon na otvorenim stezaljkama linearne mreže. Theveninov otpor R T određujemo tako da uz kratko spojene naponske izvore i isključene strujne (ostavljajući pri tome u mreži njihove unutarnje otpore) izračunavamo ukupni otpor između točaka nadomještenog dijela mreže kada na njih nije ništa priključeno izvana. Krug za određivanje E T Slika 48. R T E T Slika 49. Krug za određivanje R T Slika 50. Thevenenov generator 18

19 Prema usvojenom referentnom smjeru E T =U Primjenjujući metodu napona čvorova prema slici 48 dobiva se: U (1/ +1/ +1/ )= / - / U =-60V pa je: E T =-60V Unutrašnji otpor R T dobiva se prema slici 17: R T = /( + + ) R T =40Ω R T Krug za određivanje E T E T Slika 50. Prema ekvivaletnom strujnom krugu formiranim od Theveninova generatora i grane u kojoj tražimo struju (slika 50) je: =(E T -E 4 )/(R T + )=-2 ZTK 2 : Odrediti struju prijemnika otpora priključenog u strujni krug prema slici 51. Poznato je: E=30V g =250m =300Ω =120Ω =60Ω =90Ω =180Ω =6Ω. g E E 4 R T E T Slika 50. Slika 51. E T =U =45V R T =144Ω =0.3 19

20 ZTK 3: Za strujni krug prikazan na slici 52 odredite struju Theveninovom metodom Ω 100V 30V 75Ω Slika 52. Prema slici 52 je: U =100 40/( ) =80V E T =U =80V R = /( )=300Ω R T =R =300Ω z ekvivalentnog kruga na slici 53 slijedi: =(E T -E 3 )/(R T + )=0.1 R T E T 300Ω 100Ω 40V E 3 =30V =200Ω 200Ω 2.5. Nortonov teorem Slika 53. Električna mreža se u odnosu na otpor R jedne grane ponaša kao izvor struje N i paralelnoga unutarnjeg otpora R N, gdje će struja kroz otpor R biti: R N = N RN + R Struja toga izvora N jednaka je struji kroz kratko spojene priključnice promatrane mreže na mjestu otpora R. Unutarnji otpor R N toga strujnog izvora također je jednak otporu cijele preostale mreže na priključnicama, gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premošteni. 20

21 ZTK 1: Za strujni krug prikazan na slici 54 poznato je: =50V =30V =10kΩ =15kΩ R P =3kΩ Odredite struju kroz otpor R P primjenom Nortonova teorema. R P Slika 54. Nortonov teorem glasi: Strujni krug se prema promatranoj grani može zamjeniti strujnim izvorom. Struja N ovog generatora je određena strujom kratkog spoja između točaka priključenja grane pri čemu je promatrana grana isključena iz kruga. Unutrašnji otpor je jednak ekvivaletnom otporu između točaka priključenja grane pri čemu je grana isključena iz kruga i svi izvori ugašeni ( naponski kratko spojeni, a strujni odspojeni). z prethodnog se može zaključiti da je Nortonov generator ekvivalentan strujni generator Theveninovom naponskom generatoru. krug za određivanje N k Slika 55. P N R N R P Slika 56. Krug za određivanje R N Slika 57. Ekvivalentni krug 21

22 Sa slike 55 je: k = / - / = 3m N = k Prema slici 56 je: R N =R = /( + )=6kΩ Na osnovi slike 57 može se pisati: P = N R N /(R N +R P )=2m ZTK 2: Za strujni krug prikazan na slici 58 poznato je: g =20m =24V =2kΩ =20kΩ =5kΩ =3kΩ =15kΩ Odredite struju u grani u kojoj se nalazi primjenom Nortonova teorema. g Slika 58. Slika 59. Krug za određivanje N g N R N Slika 60. Krug za određivanje R N Slika 61. Ekvivalentni krug Prema slici 59 je: =( /( + ) - /( + )) g =3m Sa slike 60 dobiva se: R =R N =(( + )( + ))/( )=4kΩ Struja izračunava se prema slici 61: =( -R N N )/( +R N )=0.5m 22 N =

23 ZTK 3: Primjenom Nortonova teorema odredite struju kroz otpor iz mreže na slici 62 Zadano: 1 =6m 2 =4m =32V =6V =3kΩ =4kΩ =3kΩ =1kΩ =5kΩ =7kΩ a 1 c a Slika 62. ab d b b Slika 63. Prema slici 63 je: ab = c + d gdje su: c =( 2 + )/( + + ) d =( + 1 )/( + ) nakon uvrštavanja: ab = N =10m Prekidanjem mreže na slici 62 i isključivanjem strujnih odnosno kratkim spajanjem naponskih dobivamo kombinaciju otpora za određivanje R N. R N =(( + )( + + )/( )=3kΩ Struja kroz otpor je: = N R N /(R N + )=3m 23

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje . Analiza linearnih mreža istosmjerne struje.. Električna mreža i njezini elementi Složen strujni krug koji se sastoji od više različitih pasivnih i aktivnih elemenata zove se mreža. Pasivni elementi mreže

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za državnu maturu

Priprema za državnu maturu Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul. Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto zapne odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute. 1 OE 11/12 Zadaci za pripremu III. ciklusa laboratorijskih vjezbi PTA ZA RJESAVANJE Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora

Elektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora MOSFET tranzistor obogaćenog tipa Konstrukcija MOSFET tranzistora obogaćenog tipa je

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Topologija električnih mreža

Topologija električnih mreža Topologija električnih mreža 16. decembar 215 Već je pomenuto da se električna mreža može matematički opisati korištenjem modela (karakteristika) elemenata i modela njihovih veza. Modeli elemenata i načina

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.

Διαβάστε περισσότερα

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava 7 TROFAZNI SUSTA Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda soj Snaga troaznog sustava Fourierova analiza 7.1. Troazni sustav Elektrorivredne tvrtke koriste troazne krugove za generiranje, rijenos i razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ELEK 3. ISTOSMJERNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNI KRUGOVI ELEKTROTEHNIKA. Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/77. Komen

ELEK 3. ISTOSMJERNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNI KRUGOVI ELEKTROTEHNIKA. Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/77. Komen ELEKTOTEHNIKA 3. ISTOSMJENA ELEKTIČNA STUJA I STUJNI KUGOVI Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. /77 SADŽAJ: 3. Nastajanje električne struje 3. Električni strujni krug istosmjerne struje 3.3 Električni

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1. U kolu stalne struje sa slike 1 poznato je R1 = 2R = 200 Ω, Rp> R1, E1 =-E2 = 10 V i E3 = E4 = 10 V. izračunati Ig (Ig 0) tako da snage koje razvijaju idealni naponski generator E3 i idealni strujni

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V?

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? a) b) c) d) e) Odgovor: a), c), d) Objašnjenje: [1] Ohmov zakon: U R =I R; ako je U R 0 (za neki realni, ne ekstremno

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Joule-ov zakon. A = R I 2 t (6.23)

6.3 Joule-ov zakon. A = R I 2 t (6.23) 6.3 Joule-ov zakon Na osnovu iskustvenih saznanja, poznato je da se električni provodnici zagrijavaju, tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu, prvi je analitički uspješno opisao Joule (James

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike II parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike II parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove eektrotehnike II parcijani ispit 8... VRIJNT Prezime i ime: roj indeksa: Profesorov prvi postuat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti... irektno, primjenom Kirchhoff ovih zakona, potrebno

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

PRVI DEO ISPITA IZ OSNOVA ELEKTROTEHNIKE 28. jun 2003.

PRVI DEO ISPITA IZ OSNOVA ELEKTROTEHNIKE 28. jun 2003. PVI DO ISPIT I OSNOV KTOTHNIK 8 jun 003 Napomene Ispit traje 0 minuta Nije ozvoqeno napu{tawe sale 90 minuta o po~etka ispita Dozvoqena je upotreba iskqu~ivo pisaqke i ovog lista papira Kona~ne ogovore

Διαβάστε περισσότερα