ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3
|
|
|
- Ισίδωρος Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 - 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + ) ( ++) d, ηµ +ln - εφ+εφ d, δ. d, ε. ηµ - + d. γ. Γ=. N βρείτε την συνάρτηση f: (, + ) R της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό το σηµείο Μ(, ) κι έχει ράγωγο = 5 f() = f () 6.. N βρείτε την συνάρτηση f, η οοί έχει στο σηµείο Ν(-, ) εφτόµενη ράλληλη στην ευθεί ψ=+8 κι ισχύει: f ()= f() = ίνετι η συνάρτηση f: (, + ) R µε f ()=, >. Αν η ευθεί ε: ψ=+ είνι σύµτωτη της C f στο +, ν βρείτε την f. f()= Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R κι F µί ράγουσ της f στο R. Αν ισχύουν: F (), κι F()=F(-) γι κάθε R, ν λύσετε την εξίσωση f()=. (=) 7. Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R κι F µί ράγουσ της f στο R. Αν f()= κι f() F(-) = γι κάθε R, i. N βρείτε το F(), ii. N οδείξετε ότι: f(-) F()=, iii. N οδείξετε ότι η συνάρτηση g()= F() F(-), R είνι στθερή, iv. N βρείτε τον τύο της f. (iv. f()= - ) 8. N βρείτε τ, β, γ R, ώστε η συνάρτηση F()= +β +γ-, ν είνι ρχική της συνάρτησης f()= +-. (=, β=/, γ=-) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
2 Ν βρείτε τ κ β ώστε: ) Η συνάρτηση F()= β-ln ν είνι ρχική της f()=. -ln β) Η συνάρτηση F()= - (συν+βηµ) ν είνι ρχική της f()= - συν. β γ) Η συνάρτηση F()= ( -) - ν είνι ρχική της f()= ( -).. N βρείτε τ, β, γ R, ώστε ν ισχύει η ισότητ:. d= - +β -γ+. β. 7 d= -β+γ. (. =-, β=, β. =-6/7, β=/7, γ. =, β=) (. =, β=, γ=, β. =9, β=6, γ=). Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: = d, β. I = d, γ. I = d Ι =ln - -ln + +c, I = - +ln + +c, I =5ln - -5ln c. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ln + = lnd, β. I = d, γ. I = d, δ. I = lnd.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: I = - +5 lnd, β. Ι = ( -)συνd, γ. Ι = συνd... Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ln- + = d, β. Ι = εφ ln(συν)d, γ. Ι = d, 5 ln + δ. 5 6 ηµ +συν Ι = d, ε. Ι = d, στ. Ι = d. ln +ηµ +ηµ 5. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: + - = d, β. Ι = d, γ. Ι = -d, δ. Ι = d, ε. Ι 5 = d Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: = ηµ d, β. Ι = d, γ. Ι = ηµ συν d, ηµ δ. Ι = συν ηµ d. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
3 Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: 5 ηµ συν = + d, β. Ι = d, γ. Ι 7 = συν( +) d. συν ηµ 8. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ συν-ηµ. I = d, β. Ι = d, γ. Ι = συν( ln) d. συν - σν+ηµ 9. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ln. I = ( συν ηµ ) d, β. I = ( ln + ) d, γ. Ι = d, συν-ηµ ( ηµ-συν) ( -) δ. Ι = d, ε. Ι 5 = d, στ. I 6 = d. ηµ *. Ν βρείτε τη συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει: f ()-συνf () ηµ =, γι κάθε R µε f()=-. (f()= -ηµ ). Ν βρείτε τη συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει: f () = f(), ν η γρφική της ράστση διέρχετι ό το σηµείο Α(, -ln). -+ f()=ln +. N βρείτε συνάρτηση f ργωγίσιµη στο (, + ) γι την οοί ισχύει: f () -f()= + ηµ, γι κάθε (, + ) κι f()=. (f()=-( +)συν+ηµ). Ν βρεθεί συνάρτηση f ργωγίσιµη στο (, + ) γι την οοί ισχύει: (ln+) f ()-f()= κι f()=. ln ( f()=ln+ln ln +, (, + ) *. Ν βρεθεί συνάρτηση f : R R ργωγίσιµη, γι την οοί ισχύει: ( +) (f()= +) f ()-f ()= κι f()=. 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R γι την οοί ισχύουν: f()= κι f()= ( -) + i. Ν βρείτε τον τύο της f. ii. N µελετήσετε την f ως ρος την µονοτονί. iii. Ν λύσετε την εξίσωση = +. f()d-c. i. f()=, ii. f ր στο R, iii. = + 6. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: = ( + -) d, β. Ι = ( ηµ-συν) d, γ. Ι = -ηµ d. συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
4 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: + = d, β. Ι = lnd, γ. Ι = ηµd, δ. Ι = d Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: 5 = d, β. Ι = συν d, γ. Ι = ηµ d, δ. Ι = d. ln 9. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: (. ln, β. 8, γ., δ. ) 6 5 εφ - = d, β. Ι = d, γ. Ι = d, δ. d. 5 6 συν +. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: συν( ln) = ( -ηµ) συνd, β. Ι = d, γ. Ι = d. +. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ln ηµ Ι = d, Ι = d, Ι = d, Ι = d. 6 ln + - +ηµ. ίνετι η συνάρτηση f µε f συνεχή στο R γι την οοί ισχύει: ( f()+f ()) ηµd=. Αν η γρφική ράστση της f διέρχετι ό το σηµείο Α(, ), ν οδείξετε ότι η ράγωγος της f έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (, ). ( Βρίσκω ότι f()= κι εφρµόζω Θ. Roll στο [, ]). Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο διάστηµ [, ], > κι ικνοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ υτό, ν οδείξετε ότι:. f ()d=f (). β. Αν ξ είνι το σηµείο του διστήµτος (, ) ου ροκύτει ό την εφρµογή του θεωρήµτος Roll στη συνάρτηση f, ν οδείξετε ότι υάρχει o (, ) τέτοιο, ώστε: f ( o )= f ()d. -ξ. Έστω µί συνάρτηση f:[, ] R µε συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι γι την οοί ισχύει: Ι= f ()d=. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f (ξ)=f (). (Θ. Roll στην h()=f()-f (), στο [, ]) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
5 Έστω ότι η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο R κι οι εφτόµενες της γρφικής ράστσης της f στ σηµεί (, f()) κι (β, f(β)) σχηµτίζουν µε τον άξον χ χ γωνί 5 ο. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: β Ι= f ()f ()d. () 6. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι η γρφική της ράστση έχει στ σηµεί Α(, ) κι Β(, ) εφτόµενες ράλληλες στον f ()-f() άξον χ χ, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: d. Ι= (-) 7. i. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g: R R όου η g είνι -. Αν ισχύει ότι fog ()=, R. ( gof )()= γι κάθε R, ν οδείξετε ότι κι ii. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει: f ()+f()=, R.. N υολογίσετε το ολοκλήρωµ Ι= f()d. (ii. Θέτω =g(ψ) κι στηριζόµενοι στο i. ερώτηµ βρίσκουµε 5/) 8. i. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g: R R όου η g είνι -. Αν ισχύει ότι fog ()=, R. ( gof )()= γι κάθε R, ν οδείξετε ότι κι ii. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει: f() +f()=+, R. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. 9. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει: f( +)= γι κάθε R.. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. (ii. Όως ροηγούµεν, βρίσκω οτέλεσµ /) (Θεωρούµε g()= +, είνι g -, κι δείχνουµε κτρχάς ότι τ ολοκληρώµτ f()d κι f(g())g ()d είνι ίσ. Αοτέλεσµ 5/). ίνετι η συνάρτηση f ργωγίσιµη κι - στο διάστηµ [, β]. Αν θεωρήσουµε ότι η f - είνι συνεχής στο [f(), f(β)], ν οδείξετε ότι: β f()d+ f(β) f(β) - f ()d=βf(β)-f(). f() - (Γι το ολοκλήρωµ Ι= f ()dθέτουµε f - ()=ψ άρ =f(ψ) κι d=f (ψ)dψ, κ.λ..). ίνετι η συνάρτηση f()= +-5, R.. Ν οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. f() β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: - - Ι= f ()d. - (). ίνετι συνάρτηση f γνησίως ύξουσ στο [, ] της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό τ σηµεί Α(, 8) κι Β(, ). Ν οδείξετε ότι - f()d+ f ()d=. 8 - (Γι το ολοκλήρωµ Ι= f ()dθέτουµε f - ()=ψ άρ =f(ψ) κι d=f (ψ)dψ, κ.λ..) 8 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
6 ίνετι συνάρτηση f ργωγίσιµη κι γνησίως µονότονη στο [, β] µε f()= κι β β - f(β)=β. Ν οδείξετε ότι: f ()d= -f() d.. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:[-, ] R µε f()=7.. Ν βρείτε το εδίο ορισµού Ag της συνάρτησης g()=f(-)+f(+). β. Αν ισχύει ότι: f (-)=f (+), A g ν οδείξετε ότι η g είνι στθερή κι ν βρείτε τον τύο της. γ. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. (β. g()=, γ. 7) 5. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R.. Ν οδείξετε ότι: f()d= f(-)d. β. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: συν ηµ Ι = d, I = ln( +εφ) d, I = d. συν+ηµ +συν 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R.. Ν οδείξετε ότι: β β f()d= β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f(+β-)d. (. Θέτω -=u, β.ι = /, Ι = ln, I = ) 8 6 (. Θέτω +β-=u, β. Ι=/) Ι= d. +εφ 7. ίνετι η συνάρτηση f:r R δύο φορές ργωγίσιµη στο R γι την οοί ισχύει: f()= κι f (-)=-f (), R. Ν υολογιστεί το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. (Ι=8) 8. ίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο, γι την οοί ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ)+ηµψ+ψηµ,,ψ R.. Ν οδείξετε ότι: f()+f(-)=ηµ, R. β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ Ι= f() d. (Ι=) 9. ίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο [, β] µε f(-)+f(β-) γι κάθε [, β]. β f(-) β f(β-) β-. Ν οδείξετε ότι: d= d=. f(-)+f(β-) f(-)+f(β-) β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ 5 συν Ι= d. 5 5 συν +ηµ (. Θέτουµε +β-=u, β. Ι=/) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
7 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει: β β β f() f()d d=6 f()d-5. β Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f()d. (5 ή ) 5. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f στο [, β] γι την οοί ισχύει: β β β f() f(u)d du= f()d. β Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f()d. ( ή ) 5. Ν βρείτε το εδίο ορισµού των συνρτήσεων: - - ln(t-) t- +. F()= t-dt, β. F()= - d, γ. F(t)= d, -t - - +ηµt δ. F()= dt. / t 5. Ν βρείτε το εδίο ορισµού των συνρτήσεων: - ln( t-) - ln( t-). f()= dt, β. g()= dt t 5- (. [7/, 6], β. (, ), γ. (, 5), δ. (, )) (. (, 6), β. (, 5)) 5. Ν βρείτε το εδίο ορισµού κι την ράγωγο των συνρτήσεων µε τύο:. ln( -) - t ln + f()= t dt, β. f()= t-dt, γ. f()= t -t dt. (. >, β. (, /], γ. R ) 55. Ν βρεθεί η ράγωγος των συνρτήσεων: ηµ ( t).. f()= ηµtdt, β. f()= dt, γ. f()= συν( -t) dt. +t ηµ (. ηµtdt+ ηµ, β., γ. (-)συν(- )-συν) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, η γρφική της ράστση τέµνει τον άξον ψ ψ στο σηµείο Α(, ) κι ισχύει: f(t)dt= ηµ, R, ν οδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (, 9). (Βρίσκω ρώτ ότι f(9)=-/ κι µετά Θ. Bolzano στο [, 9]) 57. είξτε ότι η γρφική ράστση της συνάρτησης f()= εφάτετι στον άξον χ χ στην ρχή των ξόνων. -t t dt, R 58. Aν η συνάρτηση f είνι δύο φορές ργωγίσιµη στο R κι ισχύει: f()+ (-t)f(t)dt=+β,,, β R, ν οδείξετε ότι f ()+f()= γι κάθε R. (Βρίσκω ότι f ()= κι f()=) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
8 ίνετι η συνάρτηση f ργωγίσιµη στο (, + ) γι την οοί ισχύει: (+) f()= -+ f(t)dt, γι κάθε >. Aν η γρφική ράστση της f διέρχετι ό το σηµείο Μ(, ), ν βρείτε τον + τύο της f. (f()= ( +) -+ln ) 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: [, + ) R κι η συνάρτηση g()= t f t dt,. Ν οδείξετε ότι η g() είνι συνεχής στο o =. tf()dt, > ( Βρίσκω ότι: g()= κι µε τον ορισµό βρίσκω ότι είνι συνεχής στο ) f(), = 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R. Αν ισχύει: f(t)dt=++ln f()d, >, ν βρείτε την τιµή του R κι τον τύο της f. (=-, f()= +- ) 6. N βρείτε τον τύο της συνεχούς συνάρτησης f:r R γι την οοί ισχύει: i. f()= + f()d, ii. f()=- f()d, - iii. f()= - f()d. (f()= +, f()=-/, f()= -) 6. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, στις ρκάτω εριτώσεις: -t i. ν f(t)dt= - - f(),, R, t -u ( ) ii. ν f(t)dt= + f(t-u)du dt, R 6. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, ν ισχύει: f(t) f()= ( + ) + dt γι κάθε R. t + (f()=(-+6 )(+ )) 65. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R, ν ισχύει: f()- f(t)dt=ln -, >. f = 66. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, ν ισχύει: - -t i. f (t)dt= -f(), R, ii. f()= + f(-t)dt, R. i. f()=(-), ii. f()= - -+ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
9 N βρεθεί συνεχής συνάρτηση f : (, ) (, + ) γι την οοί ισχύει: ( ) ηµ f(t)dt =, <. f()=, < ίνετι η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) Rκι ο ργµτικός ριθµός, ώστε γι κάθε [, + ) ν ισχύει η σχέση: f(t)dt-f()=.. Ν βρεθεί η τιµή της f στο. β. Αν η γρφική ράστση της f έχει στο σηµείο της Α(, ) εφτόµενη ράλληλη στην ευθεί ψ=6+, ν βρεθεί ο τύος της f(). (. f()=, β. Βρίσκω = κι ό εκεί f()=+, ) 69. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f: R (, + ), ν ισχύει: f(t) f()= ( + ) + dt. +t f() Θέτω g()=, R, f()= ( + ) + - *.*.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.* *.*.* * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ:
Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα
Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων ( ) = ( +) ( -) log ( -) γ ( ) = ( +) ( - ) +, > ln( -) ln( -) ( ) = + 5, > δ ( ) = 5 +, > Ν ρείτε
Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )
9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/71/64031444.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/63/49276231.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]
Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.
νάλυση Γ ΛYKEIOY Μθημτικά Προσντολισμού 9 - Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά 65 Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς
Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου
Γενικές σκήσεις σχ. Βιβλίου ου κεφλίου. Ν χρησιµοοιήσετε την ντικτάστση u γι ν οδείξετε ότι f ( ηµ )d f ( ηµ )d ηµ i Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d +ηµ u du d κι u u Έστω Ι ( ) f ( ηµ )d Ι ( ) ( u) f ηµ u
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/62/48178344.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (
3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d
Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.
Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6-7 Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά νάλυση Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι
Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης
o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2
- 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. ) Δικρίνουμε τις εριτώσεις >e, e η g δεν έχει κρόττ, οότε ρέει
ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Κεφάλιο ο: ΟΟΚΗΡΩΤΙΚΟΟΓΙΜΟ Ερωτήσεις του τύου «ωστό - άθος». * Η συνάρτηση F () = ln - είνι µι ράγουσ της συνάρτησης f () = ln.. * Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ, έχει µόνο µι ράγουσ στο.. * Αν F,
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές
( 1) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A 1. Σχολικό σελ. 260 Α 2. Σχολικό σελ. 169 Α 3 Α 4 ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα. Β2. Άρα από την δεύτερη σχέση έχω: = 1
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 7//- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ KAI ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις ολλλής ειλογής. * Αν η συνάρτηση f έχει γρφική ράστση ου φίνετι στο διλνό σχήµ, τότε µί ράγουσά της µορεί ν έχει γρφική ράστση την B.. 34 . * Αν f () = e, τότε µί ράγουσ της f µορεί ν έχει γρφική
Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού
![Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού](/thumbs/60/44304373.jpg "Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού")
Γ Λυκείου ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Πγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Προσντολισμού Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 5.9 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή
Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα
. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί
just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία
f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι
ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}
1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση
ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΗ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑ : Α µι συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ [, ] µε f() γι κάθε [, ] τότε: f()d ΘΕΩΡΗΜΑ : Α f, g είι συρτήσεις ορισµέες κι συεχείς στο [, ] κι f() g(), γι κάθε [,
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνί Αοστολής στον Φοιτητή: 7 Μρτίου 8 Ηµεροµηνί ράδοσης της Εργσίς: Μϊου 8 Πριν ό την λύση κάθε
Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την
_ Θέμ Γ Θεωρούμε τις συνρτσεις,:rr, με την ργωγίσιμη κι τέτοιες, ώστε: () = κι, γι κάθε R, Γ Ν οδείξετε ότι, R Γ Ν βρείτε το λθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης Γ Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένς,
Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 19 19 1. Ν λύσετε την η εξίσωση ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν (ηµ + συν ) ηµ ηµσυν συν + ηµ + συν 0 (1 + )ηµ ηµσυν + ( 1)συν 0 Αν συν
114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x
Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν
) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt
ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()
ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η
ΜΑΘΗΜΑ.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοικού κρόττου Προσδιορισµός τω τοικώ κρόττω Θεώρηµ Frmat Θεωρί Σχόλι Μέθοδοι Ασκήσεις Frmat Αισώσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μι συάρτηση µε εδίο ορισµού Α, θ λέµε
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 Μάθημ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί κι ώρ εξέτσης: Δευτέρ, 6/6/16 8: 11: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 13 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1
Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης
ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)
1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.
995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι
Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού
5- Μθημτικά Γ Λυκείου Προσντολισμού Σημειώσεις μθημτικών ου ευθύνοντι σε μθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες γι την κλύτερη κτνόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- Πρόλογος
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε
Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ
ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην ράγρφο είδμε ότι, ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι f ( γι κάθε [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = α συνεπώς: α 2βα +β + α 2α + 1= 0 α β + α 1 = 0 α 1= α β = 0 1 β = 0 β = 1 + = + = συνεπώς: ( ) + 1 για κάθε x R.
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 69 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9/4/6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑ ΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. log x2
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ1ο Α. Αν > 0 µε 1, θ > 0 κι k R, ν δείξετε ότι ισχύει: log θ k klog θ. Μονάδες 9 Β. Ν χρκτηρίσετε τις ροτάσεις ου κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς
ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους
Λύσεις Θέμ Α Α. Σχοικό ιίο σείδ. Α. Σχοικό ιίο σείδ 9. Α. ) () κάτω, () το σημείο επφής τους ) () Α4. ) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος Θέμ Β ν ( ν κ= f(ξ κ )Δ ), f()d Β. Επειδή τ σημεί Α(,), Β(,) νήκουν στη γρφική
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυρική 8--00 Η
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.
ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω
Μαθηματικά Προσανατολισμού x 0 x 0. , 0,, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, και
ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 11 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 6-7 Α. α. Λάθος Θέμα Β β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Μαθηματικά Προσανατολισμού 18-5-16 Β1. Η f είναι αραγωγίσιμη
ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α
4. ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι ( ) είξτε ότι 3 g() ( 3 ) f (t)dt i Υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε Θέτυµε h() f (t)dt Η g() γράφετι g() g() f (t)dt (t )dt, R
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2)
- 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ () ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ενός σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα είναι η επιτάχυνσή του.. Η συνάρτηση f()= 006 έχει διαφορετική
β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
![β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,](/thumbs/53/31826077.jpg "β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,")
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)
ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,
7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ
ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
1 εφ x dx. 1 ν 1. συνx. 2 + ln1 = - ln 2. J 3-2 = 1 2 J 1 = ln 2 2, οπότε. x lnx 2 x, x > 0.
99 ΘΕΜΑΤΑ. Αν J ν ν εφ d, ν *, τότε α να αοδείξετε ότι για κάθε ν >, ισχύει J ν β να υολογίσετε το J 5. α Έχουµε J ν-, ν J ν ν εφ d εφ εφ d εφ ( d συν εφ d συν εφ d εφ (εφ d J ν- β Έχουµε ν εφ ν J ν- ν
1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων.
1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οοία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)χ 2 +1,χ 0 και ερνάει αό την αρχή των αξόνων. f x f x x + 1 (1) x 0 H f(x) ερνάει αό το (0, 0) f(0) 0 (2) (1) x Άρα οι συναρτήσεις διαφέρουν
3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 =
Τριγωνοµετρί Στο ορθογώνιο τρίγωνο : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 0 90 ) ισχύουν: + γ ( Πυθγόρειο Θεώρηµ) ηµ Β γ συν εφ Β Β, γ 0 B + Γ 90, ηµγγ/ συν Γ, σφγγ/ Γι την µεττροή µοιρών ( µ 0 ) σε κτίνι
Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο
222 Επιλεγμένα Λυμένα Θέματα
Ειλεγμέν Λυμέν Θέμτ Σώλος Γιάννης . Αν η εξίσωση z i z i z 6 i έχει μι φντστική ρίζ ν ρεθούν οι ρίζες της. Έστω η φντστική ρίζ i με. Τότε i i i i i 6 i i i ii 6 i i i i 6 i i 6 i- i- -6-i 6 -i i 6I -i
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ
Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
( ) ( ) ( ) ( ) =α συνεπώς: 2α 4βα+β = 2βα+ 2α 1 2α 4βα+β + 2βα 2α+ 1= 0. α 1= ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ.
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9/4/6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑ ΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β](/thumbs/27/11825451.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η
![ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η](/thumbs/78/77032074.jpg "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η")
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε
Αχ, πονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα
Αχ, ονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα F() f (t)dt! ) Μια σύντομη αναδρομή Ειμέλεια: Μάκης Χατζόουλος Όλα ξεκίνησαν στις 7 Ιουνίου 5 όταν ανακοινώθηκε η διδακτέα εξεταστέα ύλη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
ολοκληρωτικος λογισμος
γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...
Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ. Α1. Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98. Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα)
ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΕΩΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1 Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα
Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση
Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΑΘΗΜΑ 9. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις νισοτήτων ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Αν f συνεχής στο [, ], τότε ν f ()d lim f ( ξκ ) ν + κ. Εισήµνση Το ολοκλήρωµ δεν εξρτάτι ό τη µετλητή, δηλδή f
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν
( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.
![( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.](/thumbs/64/50758228.jpg "( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.")
. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =
Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)
f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της
ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως