Algebra a diskrétna matematika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Algebra a diskrétna matematika"

Transcript

1 Algebra a diskrétna matematika

2

3 VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Algebra a diskrétna matematika Slovenská technická univerzita v Bratislave 008

4 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., prof. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. RNDr. Ladislav Satko, CSc. doc. RNDr. Michal Šabo, CSc. Publikáciu podporilo združenie Gratex IT Inštitút Vydala Slovenská technická univerzita v Bratislave vo Vydavateľstve STU, Bratislava, Vazovova 5. Schválilo vedenie Fakulty informatiky a informačných technológií STU v Bratislave dňa , uznesenie číslo..006/kd, pre študijný program Informatika a študijný program Počítačové systémy a siete

5 OBSAH PREDHOVOR...ix METÓDY MATEMATICKÉHO DÔKAZU.... VÝZNAM DÔKAZU V MATEMATIKE.... PRAVIDLÁ USUDZOVANIA VO VÝROKOVEJ LOGIKE PRAVIDLÁ USUDZOVANIA V PREDIKÁTOVEJ LOGIKE....4 METÓDY DÔKAZU VIET MATEMATICKÁ INDUKCIA...9 ZHRNUTIE... KĽÚČOVÉ POJMY...3 CVIČENIA...4 TEÓRIA MNOŽÍN I...9. DEFINÍCIA MNOŽINY...9. ENUMERÁCIA ELEMENTOV V KONEČNÝCH MNOŽINÁCH KARTEZIÁNSKY SÚČIN MNOŽÍN MNOŽINA AKO DÁTOVÁ ŠTRUKTÚRA V INFORMATIKE...46 ZHRNUTIE...47 KĽÚČOVÉ POJMY...48 CVIČENIA TEÓRIA MNOŽÍN II RELÁCIE RELÁCIA ČIASTOČNÉHO USPORIADANIA FUNKCIE...66 ZHRNUTIE...7 KĽÚČOVÉ POJMY...73 CVIČENIA KOMBINATORIKA I BINOMICKÉ KOEFICIENTY A PASCALOV TROJUHOLNÍK PERMUTÁCIE A KOMBINÁCIE...88 ZHRNUTIE...94 KĽÚČOVÉ POJMY...95 CVIČENIA KOMBINATORIKA II REKURENTNÉ VZŤAHY METÓDA ROZDEĽUJ A PANUJ...08

6 vi Matematická logika obsah 5.3 PRINCÍP INKLÚZIE A EXKLÚZIE...3 ZHRNUTIE...8 KĽÚČOVÉ POJMY...9 CVIČENIA ALGEBRAICKÉ ŠTRUKTÚRY I BINÁRNE OPERÁCIE POLOGRUPY, MONOIDY A GRUPY MORFIZMY...35 ZHRNUTIE...38 KĽÚČOVÉ POJMY...39 CVIČENIA ALGEBRAICKÉ ŠTRUKTÚRY II BOOLOVA ALGEBRA VLASTNOSTI BOOLOVEJ ALGEBRY BOOLOVE FUNKCIE SPÍNACIE OBVODY LOGICKÉ OBVODY OPTIMALIZÁCIA LOGICKÝCH OBVODOV...63 ZHRNUTIE...7 KĽÚČOVÉ POJMY...73 CVIČENIA MATICOVÁ ALGEBRA I DEFINÍCIA MATICE OPERÁCIE NAD MATICAMI HODNOSŤ MATICE INVERZNÁ MATICA...94 ZHRNUTIE...97 KĽÚČOVÉ POJMY...98 CVIČENIA MATICOVÁ ALGEBRA II SÚSTAVA LINEÁRNYCH ROVNÍC DETERMINANTY...4 ZHRNUTIE...3 KĽÚČOVÉ POJMY...4 CVIČENIA TEÓRIA GRAFOV I ÚVODNÉ POZNÁMKY NIEKTORÉ ZÁKLADNÉ DEFINÍCIE REPREZENTÁCIA GRAFOV A IZOMORFIZMUS SÚVISLOSŤ V NEORIENTOVANÝCH GRAFOCH A EULEROVSKÉ ŤAHY HAMILTONOVSKÉ CESTY A KRUŽNICE...44 ZHRNUTIE...49 KĽÚČOVÉ POJMY...49

7 Matematická logika obsah vii CVIČENIA...50 TEÓRIA GRAFOV II PROBLÉMY NAJKRATŠEJ CESTY PLANÁRNE GRAFY FARBENIE GRAFOV...64 ZHRNUTIE...7 KĽÚČOVÉ POJMY...7 CVIČENIA...7 TEÓRIA GRAFOV III STROMY AKO MODELY A ICH ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI BINÁRNE PREHĽADÁVACIE STROMY ROZHODOVACIE STROMY PREFIXOVÉ KÓDOVANIE KOREŇOVÉ STROMY REPREZENTUJÚCE ALGEBRAICKÉ VÝRAZY KOREŇOVÝ STROM AKO MODEL HRY...88 ZHRNUTIE...95 KĽÚČOVÉ POJMY...96 CVIČENIA TEÓRIA GRAFOV IV SIETE A METÓDA KRITICKEJ CESTY MAXIMÁLNY TOK V SIETI A MINIMÁLNY REZ NÁJDENIE NAJMENŠEJ KOSTRY PREHĽADÁVANIE DO HĹBKY (DEPTH-FIRST SEARCH, DFS) PREHĽADÁVANIE DO ŠÍRKY (BREADTH-FIRST SEARCH, BFS)...39 ZHRNUTIE...3 KĽÚČOVÉ POJMY...33 CVIČENIA...33 PRÍLOHA A RIEŠENÉ PRÍKLADY...39 RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY...33 RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY RIEŠENÉ CVIČENIA Z KAPITOLY

8 viii Matematická logika obsah PRÍLOHA B VZOROVÉ PÍSOMKY KONTROLNÁ PÍSOMKA KONTROLNÁ PÍSOMKA KONTROLNÁ PÍSOMKA ZÁVEREČNÁ PÍSOMKA LITERATÚRA REGISTER...48

9 PREDHOVOR Cieľom tejto učebnice je poskytnúť študentom informatiky na Fakulte informatiky a informačných technológií STU ucelený text k prednáške Algebra a diskrétna matematika. Diskrétna matematika patrí medzi teoretické základy informatiky. Slúži nielen pre rozvoj matematicko-logických schopností študentov, ale aj ako teoretická príprava pre ďalšie pokročilejšie informatické predmety. Pri koncipovaní obsahu tejto prednášky stáli sme pred neľahkou úlohou, čo zahrnúť do jej obsahu a čo nie. Pretože táto prednáška substituuje čiastočne aj bývalý predmet Lineárna algebra, zahrnuli sme z tejto oblasti do učebnice v rozsahu dvoch prednášok aj základy lineárnej algebry, teórie matíc a sústav lineárnych rovníc spolu s elementárnou teóriou determinantov. Učebnica je určená pre študentov prvého ročníka bakalárskeho štúdia, ktorí majú základné stredoškolské vedomosti z teórie množín, algebry a výrokovej logiky. V prednáške sme sa snažili čo najviac vyjsť v ústrety potrebám informatiky, preto aj oproti časti týkajúcej sa algebry je relatívne uprednostnená diskrétna matematika. Cieľom učebnice je aj rozvinúť u študentov schopnosť rigorózneho matematického myslenia pri riešení a formulovaní problémov informatiky. Prvá kapitola sa týka metód matematického dôkazu. Kapitoly až 5 sú venované teórii množín a kombinatorike, v 6. a 7. kapitole sa venujeme grupám a boolovskej algebre. Kapitoly 8 až 9 sú venované maticiam, sústavám lineárnych rovníc a determinantom. Zvyšok učebnice sa v 0. až 3. kapitole venuje teórii grafov a základným algoritmom a aplikáciám teórie grafov. Každá kapitola je sprevádzaná príkladmi, ktorých riešenie poskytne študentom schopnosť dobre sa orientovať v danej problematike. Chceme poďakovať mnohým našim študentom, ktorí nám pomohli nájsť veľa nepríjemných preklepov, nepresností a evidentných chýb, a tým prispeli k zvýšeniu kvality tejto učebnice. Taktiež sa musíme poďakovať nášmu zosnulému kolegovi prof. Ing. Norbertovi Frištackému, PhD., s ktorým sme sa často radili pri koncipovaní sylabu prednášky. Na jeho radu sme zaradili do prednášky Quinovu a McCluskeyho metódu optimalizácie Boolovej funkcie špecifikujúcej logický obvod. Až pri prednášaní tohto predmetu sme zistili, že táto aplikačná časť diskrétnej matematiky patrí medzi študentmi k najobľúbenejšej časti predmetu. V slovenskej a českej odbornej spisbe existuje mnoho učebných textov diskrétnej matematiky. Veríme, že aj tento text sa dôstojne zaradí medzi ne, ako moderná učebnica, ktorej vzorom pri jej písaní bola známa a ťažko prekonateľná Rosenova učebnica Discrete Mathematics and Its Applications [4].

10 x Matematická logika predhovor Na záver sa chceme poďakovať oponentom doc. RNDr. Ladislavovi Satkovi, PhD. (FEI STU) a doc. RNDr. Michalovi Šabovi, CSc. (FCHPT STU) za cenné pripomienky, ktorými prispeli k vylepšeniu tohto učebného textu. V Bratislave, júl 008 Vladimír Kvasnička a Jiří Pospíchal

11 METÓDY MATEMATICKÉHO DÔKAZU DEDUKTÍVNY DÔKAZ ZÁKLADNÉ PRAVIDLÁ USUDZOVANIA MATEMATICKÁ INDUKCIA V tejto kapitole budeme študovať dva dôležité problémy: () Za akých podmienok je matematický dôkaz korektný a () aké metódy môžu byť použité pri konštrukcii matematických dôkazov. Metódy dôkazu diskutované v tejto kapitole sú dôležité nielen pre tvorbu korektných dôkazov v matematike, ale aj v samotnej informatike. V teoretickej informatike sa napr. študujú rôzne metódy verifikácie korektnosti programu, alebo či operačný systém je bezpečný. V umelej inteligencii pri odvodzovaní nových faktov z danej databázy poznatkov (množiny výrokových formúl, ktorá sa vo výrokovej logike nazýva teória) je dôležité mať zabezpečené, aby daná databáza bola konzistentná (korektná), teda aby z nej súčasne nevyplýval nejaký výrok a taktiež aj jeho negácia. Môžeme teda konštatovať, že zvládnutie metód matematického dôkazu je dôležité nielen v matematike, ale aj v informatike.. VÝZNAM DÔKAZU V MATEMATIKE VETA V matematike, podobne ako aj v informatike, vystupujú do popredia dve otázky: () Za akých podmienok je matematický dôkaz korektný a () aké metódy môžu byť použité pri konštrukcii matematických dôkazov. V tejto kapitole budeme hľadať odpovede na tieto dve otázky, budeme špecifikovať rôzne formy matematických dôkazov. Veta (teoréma, výrok, skutočnosť, fakt, argument, alebo výsledok) je výrok, o ktorom môže byť dokázané, že je pravdivý. V tejto súvislosti hovoríme o dôkaze vety, ktorý spočíva v postupnosti jednotlivých medzikrokov, ktoré sú odvodené buď z množiny jednoduchých postulátov, nazývaných axiómy, alebo z predchádzajúcich viet (pomocných viet, často nazývaných lemy) danej postupnosti. Komplikované dôkazy sú obvykle jasnejšie formulované, keď ich dôkaz je rozdelený na jednotlivé medzikroky, ktoré sú formulované ako samostatné vety. Tieto medzikroky vety v postupnosti sú vytvárané pomocou pravidiel

12 Metódy matematického dôkazu odvodzovania (pravidiel usudzovania), ktoré z niekoľkých pravdivých tvrdení argumentov vytvorí nové pravdivé tvrdenie argument. KOREKTNOSŤ V INFORMATIKE DEDUKTÍVNY DÔKAZ INDUKTÍVNE USUDZOVANIE Metódy dôkazu diskutované v tejto kapitole sú dôležité nielen pre tvorbu korektných dôkazov matematických viet v matematike, ale aj v samotnej informatike. V teoretickej informatike sa napr. študujú rôzne metódy verifikácie korektnosti programu, alebo či operačný systém je bezpečný. V umelej inteligencii pri odvodzovaní nových faktov z danej databázy poznatkov (množiny výrokových formúl, ktorá sa vo výrokovej logike nazýva teória) je dôležité mať zabezpečené, aby daná databáza bola konzistentná (korektná), teda aby z nej súčasne nevyplýval nejaký výrok a taktiež aj jeho negácia. Môžeme teda konštatovať, že zvládnutie metód matematického dôkazu je dôležité nielen v matematike, ale aj v informatike. Nižšie uvedená forma dôkazu sa nazýva deduktívny dôkaz, ktorý obsahuje: systém elementárnych pojmov, ktoré sú používané pri formulácii základných zložiek deduktívneho dôkazu, systém axióm (základné elementárne poznatky, ktoré sú pokladané za evidentné), pravidlá odvodzovania (pomocou ktorých sa uskutočňuje dôkaz), vety (deduktívne poznatky argumenty), ktoré boli odvodené z axióm pomocou pravidiel odvodzovania a ktoré podstatne zjednodušujú a skracujú dôkazy ďalších nových deduktívnych poznatkov. Poznamenajme, že tak v matematike, ako aj v informatike, sa v ojedinelých prípadoch používa aj induktívne usudzovanie (dôkaz), ktoré je založené na pozorovaní určitých skutočností, ktoré sa často opakujú v analogických situáciách. Tieto pozorované skutočnosti sú induktívne zovšeobecnené. Nové pojmy, ktoré boli zavedené týmto induktívnym spôsobom sa neskoršie buď dokážu deduktívne v rámci daného systému pojmov, alebo sa postulujú ako nové špeciálne axiómy. Tieto ojedinelé situácie v dejinách matematiky vždy znamenali vznik nových oblastí matematiky, ktoré nie sú striktne deduktívne dokázateľné zo známych pojmov a reprezentujú akty kreatívnosti v matematike, ktoré taktiež znamenajú, že matematika nie je len veda deduktívneho charakteru, kde sa dá každý pojem odvodiť z iných jednoduchších poznatkov. Ilustratívny príklad axiomatického systému Uvažujme jednoduchý axiomatický systém, ktorý obsahuje tri elementárne pojmy vrchol, hrana, ležať na a tri axiómy A. Každý vrchol leží aspoň na jednej hrane. A. Pre každú hranu existujú práve dva vrcholy, ktoré na nej ležia. To že matematika nie je veda čisto deduktívna má aj iné hlboké dôvody.

13 Metódy matematického dôkazu 3 VETA.. VETA.. OBRÁZOK.. GRAFOVÝ MODEL A 3. Máme práve 5 vrcholov. Tento axiomatický systém môže mať rôzne interpretácie. Interpretácia, v ktorej sú axiómy pravdivé výroky, sa nazýva model axiomatického systému. Už použitá terminológia navodzuje zavedenie modelu grafu, kde vrchol je bod a hrana je čiara obsahujúca na svojich koncoch dva vrcholy, pozri obr... Dokážeme tieto dve vety, ktoré vyplývajú z axiomatického systému. Každý graf má aspoň tri hrany. Podľa axiómy A každý vrchol leží aspoň na jednej hrane, čiže pre ľubovoľný vrchol V existuje taká hrana H, na ktorej daný vrchol leží. Týmto máme zabezpečenú existenciu hrany H, ktorá podľa axiómy A leží na dvoch vrcholoch, tento druhý vrchol označíme V. Pre zostávajúce tri vrcholy V 3, V 4 a V 5 musia existovať aspoň dve hrany H a H 3, ktoré ležia na týchto troch vrcholoch. Každý graf má jeden vrchol, ktorý leží aspoň na dvoch hranách. Dôkaz tejto vety priamo vyplýva zo spôsobu dôkazu vety.. Pretože v druhej časti grafu máme tri vrcholy a dve hrany, musí existovať aspoň jeden vrchol, ktorý leží aspoň na dvoch hranách, čo bolo potrebné dokázať (QED). Model, ktorý ilustruje tieto dve vety je znázornený na obr... H V V V 3 V 4 H H 3 V 5 VETA.3. Grafový model jednoduchého axiomatického systému z vety.. Diagram znázorňuje model, ktorý obsahuje 3 hrany, pričom práve jeden vrchol leží na dvoch hranách. Z našich predchádzajúcich výsledkov vyplýva, že môžeme deduktívny systém rozšíriť o nový elementárny pojem komponent, ktorý popisuje takú časť grafu, z ktorej vrcholy nie sú spojené cestou pozostávajúcou z postupnosti hrán s vrcholmi z ostatných častí, ale vždy existuje cesta medzi ľubovoľnou dvojicou vrcholov komponentu. Z obr.. vyplýva jednoduchá veta. Ak má graf dva komponenty, potom jeden z komponentov obsahuje len jednu hranu. Z definície komponentu vyplýva, že množina vrcholov je separovaná na dve disjunktné podmnožiny vrcholov, ktoré nie sú prepojené spoločnou hranou a pre každú hranu existujú práve dva vrcholy, ktoré na nej ležia. Z týchto dvoch skutočností vyplýva, že toto disjunktné rozdelenie množiny vrcholov je možné len na dve podmnožiny, ktoré obsahujú dva a tri vrcholy. Podmnožina s dvoma vrcholmi reprezentuje komponent. Pojem grafu bude podrobne študovaný v kapitolách 0 až 3.

14 4 Metódy matematického dôkazu. PRAVIDLÁ USUDZOVANIA VO VÝROKOVEJ LOGIKE Pravidlá usudzovania vo výrokovej logike tvoria schému predpoklad... predpoklad (.) n záver ktorá obsahuje n predpokladov a jeden záver. Táto schéma usudzovania je totožná so symbolom logického dôkazu predpoklad,..., predpoklad záver (.a) alebo formálne { } n {,..., } ϕ ϕ ϕ (.b) n Táto formula logického dôkazu môže byť prepísaná do formuly ϕ... ϕn ϕ (.3a) alebo v ekvivalentnom tvare, kde konjunkcie sú nahradené implikáciami ( (...( ϕ ϕ) )) ϕ ϕ (.3b) n Schéma usudzovania p p q p q p p q p q p p q q q p q p p q q r p r Tabuľka.. Schémy usudzovania výrokovej logiky Teoréma výrokovej logiky p ( p q) adícia ( p q) p ( ( )) Názov schémy simplifikácia (zjednodušenie) p q p q konjunkcia p (( p q) q) modus ponens (( ) ) q p q p modus tollens ( p q) (( q r) ( p r) ) hypotetický sylogizmus

15 Metódy matematického dôkazu 5 p q p q p q q p p q p q p ( p q) ( p q) disjunktívny sylogizmus ( p q) ( q p) inverzia implikácie ( p q) ( ( p q) p) reductio ad absurdum KONZISTENTNÉ PREDPOKLADY = INTERPRETÁCIA, KEDY SÚ PRAVDIVÉ PRÍKLAD.. PRÍKLAD.. PRÍKLAD.3. Tab.. obsahuje 9 obvyklých schém usudzovania výrokovej logiky, pričom každá schéma je sprevádzaná aj zákonom (tautológiou) výrokovej logiky (v tvare formuly (.3b)) a obvyklým historickým názvom. Hovoríme, že predpoklady sú konzistentné vtedy a len vtedy, ak existuje aspoň jedna interpretácia 3 pravdivostných hodnôt výrokových premenných, pre ktorú sú všetky predpoklady pravdivé. V opačnom prípade je množina predpokladov nekonzistentná (kontradiktórna) a je charakterizovaná tým, že z nej súčasne logicky vyplýva nejaký záver a aj jeho negácia. Majme dva predpoklady: prvý predpoklad je výrok prší a druhý predpoklad je implikácia ak prší, potom je cesta mokrá. Použitím pravidla usudzovania modus ponens, z pravdivosti týchto dvoch predpokladov vyplýva pravdivý záver cesta je mokrá, čo môžeme formálne vyjadriť pomocou schémy prší ak prší, potom cesta je mokrá cesta je mokrá Použitím schémy usudzovania adície k pravdivému výroku teplota je pod bodom mrazu môžeme pomocou disjunkcie priradiť ľubovoľný výrok (pravdivý alebo nepravdivý), napr. prší, dostaneme pravdivý záver teplota je pod bodom mrazu alebo prší teplota je pod bodom mrazu teplota je pod bodom mrazu alebo prší Uvažujme dva výroky ak dnes bude pršať, potom sa nepôjdem kúpať a ak sa nepôjdem kúpať, potom navštívim príbuzného. Použitím schémy usudzovania nazvanej hypotetický sylogizmus dostaneme z týchto dvoch predpokladov záver ak dnes bude pršať, potom navštívim príbuzného ak dnes bude pršať, potom sa nepôjdem kúpať ak sa nepôjdem kúpať, potom navštívim príbuzného ak dnes bude pršať, potom navštívim príbuzného 3 Nech p, q,..., r sú atomické výrokové premenné, potom interpretácia (vzhľadom k týmto premenným) je označená symbolom τ= ( p,q 0,...,r ). Špecifikuje pravdivostné hodnoty jednotlivých premenných; v tomto konkrétnom prípade premenná p je pravdivá, premenná q je nepravdivá,... a premenná r pravdivá. Ak máme n premenných, potom existuje n rôznych interpretácií. (Pozri kapitolu.4 v našej knihe Matematická logika [].)

16 6 Metódy matematického dôkazu PRÍKLAD.4. Túto schému môžeme sformalizovať pomocou výrokov p = dnes prší q = kúpem sa r = navštívim príbuzného potom schéma má tento formálny tvar mierne modifikovaného hypotetického sylogizmu p q q r p r ktorá je odvodená z pôvodnej schémy hypotetického sylogizmu substitúciou, kde výroková premenná q je substituovaná negáciou q. V poslednom príklade.3 boli už použité výrokové premenné, ktoré nám umožnia vykonať formalizáciu celého procesu dôkazu pomocou postupnosti elementárnych krokov. Obrátime našu pozornosť na formulu (.b) logického vyplývania výrokovej formuly ϕ z predpokladov, ktoré sú reprezentované formulami ϕ, ϕ,..., ϕ n. Logické vyplývanie ilustrujeme jednoduchým príkladom. Postulujme, že množina predpokladov obsahuje tieto formuly zložené výroky: ϕ = dnes poobede nie je slnečno a je chladnejšie ako včera ϕ = pôjdeme sa kúpať len vtedy, ak bude slnečno ϕ 3 = ak sa nepôjdeme kúpať, potom sa budeme člnkovať na rieke ϕ 4 = ak sa budeme člnkovať na rieke, potom sa vrátime domov podvečer požadovaný záver má tvar ϕ = budem doma podvečer Pomocou výrokových premenných p = dnes poobede je slnečno q = je chladnejšie ako včera r = pôjdeme sa kúpať s = budeme člnkovať na rieke t = vrátime sa domov podvečer vykonáme formalizáciu schémy logického vyplývania do tvaru p q, r p p r, r s,s t t { ( ) ( ) } Ukážeme, že táto schéma je platná pomocou postupnosti elementárnych krokov, kde budeme používať schémy usudzovania z tab.... p q predpoklad. ( r p) ( p r) predpoklad 3. r s predpoklad 3 4. s t predpoklad 4 5. p simplifikácia predpokladu 6. q simplifikácia predpokladu 7. r p simplifikácia predpokladu

17 Metódy matematického dôkazu 7 DÔKAZ AKO POSTUPNOSŤ FORMÚL OBRÁZOK.. STROM ODVODENIA PRE PRÍKLAD r medzivýsledok 5 a modus tollens na predpoklad 9. s medzivýsledok 8 a modus ponens na predpoklad 3 0. t medzivýsledok 9 a modus ponens na predpoklad 4 V úvodnej časti kapitoly. bolo poznamenané, že dôkaz je možné charakterizovať ako postupnosť formúl, kde posledná formula sa rovná požadovanému záveru, môžeme teda písať p q r p r s s t p q r s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Túto postupnosť formúl môžeme reprezentovať aj pomocou stromu dôkazu znázorneného na obr... PRÍKLAD.5. Strom odvodenia pre logický dôkaz z príkladu.4. Nech množina predpokladov obsahuje tieto zložené výroky: ϕ = ak mi pošleš , potom program dokončím ϕ = ak mi nepošleš , potom pôjdem spať skôr ϕ 3 = ak pôjdem spať skôr, potom sa ráno zobudím odpočinutý požadovaný záver má tvar ϕ = ak nedokončím program, potom sa ráno zobudím odpočinutý Pomocou výrokových premenných p = pošleš mi q = program dokončím r = pôjdem spať skôr s = ráno sa zobudím odpočinutý vykonáme formalizáciu schémy logického vyplývania do tvaru { p q, p r,r s} q s Pomocou postupnosti elementárnych krokov, kde budeme používať schémy usudzovania z tab.., ukážeme, že táto schéma je platná. p q predpoklad. p r predpoklad 3. r s predpoklad 3

18 8 Metódy matematického dôkazu 4. q p inverzia implikácie na predpoklad 5. q r hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 4 a predpoklad 6. q s hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 5 a predpoklad 3 OBRÁZOK.3. STROM ODVODENIA PRE PRÍKLAD.5. Diagramatická interpretácia tohto logického dôkazu je vykonaná pomocou stromu dôkazu znázorneného na obr..3. p q q p p r hypotetický sylogizmus q r r s VETA O DEDUKCII OBRÁZOK.4. STROM ODVODENIA PRE PRÍKLAD.6. hypotetický sylogizmus q s Strom odvodenia pre logický dôkaz z príkladu.5. ϕ ϕ ϕ môže byť podstatne zjednoduše- ϕ ϕ n rozšírime o nový pomocný predpoklad ψ, potom vo výrokovej logike platí veta o dedukcii (pozri vetu.3 v Matematickej logike []), ktorá má tvar ({ ϕ,..., ϕn} { ψ} ϕ) ({ ϕ,..., ϕn} ( ψ ϕ) ) (.4) To znamená, že logický dôkaz formuly ϕ pomocou rozšírenej množiny predpokladov { ϕ,..., ϕn} { ψ } je rovnocenný logickému dôkazu formuly ψ ϕ pomocou pôvodnej množiny predpokladov. p q p Uskutočnenie logického dôkazu {,..., n} né. Ak množinu predpokladov {,..., } modus ponens q veta o dedukcii q r veta o dedukcii modus ponens r p r ( q r) ( p r) veta o dedukcii ( p q) ( ( q r) ( p r) ) Strom odvodenia pre logický dôkaz z príkladu.6.

19 Metódy matematického dôkazu 9 PRÍKLAD.6. TAUTOLÓGIA PLATÍ PRE PRÁZDNU MNOŽINU PREDPOKLADOV Pomocou logického dôkazu založeného na (.4) dokážeme zákon hypotetického sylogizmu výrokovej logiky p q,q r p r { } { } kde množina { p q,q r} obsahujúca pôvodné predpoklady je rozšírená o pomocný predpoklad p.. p q predpoklad. q r predpoklad 3. p pomocný predpoklad 4. q modus ponens na predpoklad a pomocný predpoklad 5. r modus ponens na predpoklad a medzivýsledok 4 6. p r použitie (.4) na výsledok 5 a pomocný predpoklad 7. ( q r) ( p r) použitie (.4) na výsledok 6 a predpoklad 8. ( p q) (( q r) ( p r) ) použitie (.4) na výsl. 7 a predpoklad V krokoch 7 a 8 sme opakovane použili vzťah (.4), kde sme z množiny predpokladov vždy eliminovali jeden predpoklad. Finálny výsledok už platí pre prázdnu množinu predpokladov, čo znamená, že formula je zákonom (tautológiou) výrokovej logiky. V kapitole. bolo zdôraznené postavenie viet vo formálnom logickom systéme ako efektívnej skratky logických dôkazov, kde sa už nemusí opakovať to, čo už raz bolo dokázané. Tento prístup výstavby formálnych systémov pomocou viet a ich využívania patrí medzi základné črty formálnych systémov, ktorých výstavba sa uskutočňuje hlavne pomocou prepojenej siete viet, ktoré sú dokazované pomocou už dokázaných viet v predošlých krokoch. Nech ψ je veta (tautológia), potom logický dôkaz {,..., } ϕ ϕ ϕ môže byť rozšírený o vetu ψ takto n ({ ϕ,..., ϕn} ϕ) ({ ϕ,..., ϕn} { ψ} ϕ) (.5) Význam tohto rozšírenia spočíva v tom, že zahrnutie vhodnej vety (tautológie) ψ môže podstatne zjednodušiť dôkaz vety. PRÍKLAD.7. Dokážte zákon rezolventy 4 ( p q) (( p r) ( q r) ) pomocou zákona hypotetického sylogizmu p q q r p r ( ) (( ) ( )) a pomocou vety o disjunktnom tvare implikácie, ( p q) ( p q), formálne 4 V knihe Matematická logika [] je rezolventa (alebo rezolučný princíp) formulovaná pomocou vety 5. ako formula ( B l) ( C l) ( B C), ktorá sa dá jednoduchými úpravami previesť na rezolventu z príkladu.7.

20 0 Metódy matematického dôkazu {( p q) ( ( q r) ( p r) )} { ( p q) ( p q) } ϕ (( p q) (( p r) ( q r) )) ϕ Logický dôkaz pozostáva z tejto postupnosti medzivýsledkov:. ( p q) ( ( q r) ( p r) ) predpoklad. ( p q) ( p q) pomocný predpoklad - veta 3. ( p q) (( q r) ( p r) ) 4. ( q p) (( p r) ( q r) ) 5. ( p q) (( p r) ( q r) ) prepis pomocou vety prepis 3 pomocou zámeny p q prepis 4 pomocou substitúcie qq Úplne analogickým spôsobom by sme mohli dokázať, že zákon rezolventy je možné prepísať na zákon hypotetického sylogizmu, z čoho plynie, že tieto dva zákony sú navzájom ekvivalentné: Chybné pravidlá usudzovania (( p q) ( ( q r) ( p r) )) ( p q) (( p r) ( q r) ) ψ ( ) POTVRDENIE DÔSLEDKU POPRETIE PREDPOKLADU Existujú jednoduché modifikácie schém usudzovania modus ponens a modus tollens, ktoré nie sú korektné. Prvá nekorektná schéma sa nazýva potvrdenie dôsledku (affirming the consequent) q p q (.6a) p Druhá sa nazýva popretie predpokladu (denying the antecedent) p p q (.6b) q Prvá schéma popretie predpokladu je ilustrovaná príkladom vydala som sa ak som pekná, tak sa vydám som pekná Záver nie je korektný, môže sa vydať aj vtedy, keď nie je pekná. Druhá schéma potvrdenie dôsledku môže byť ilustrovaná podobným príkladom nie som pekná ak som pekná, tak sa vydám nevydám sa

21 Metódy matematického dôkazu Chyba v usudzovaní je podobná ako v predchádzajúcom príklade. O nekorektnosti schém usudzovania (.6a-b) sa ľahko presvedčíme tak, že im priradíme formuly výrokovej logiky q p q p (.7a) (( ) ) (( ) ) p p q q (.7b) Pre prvú formulu existuje interpretácia premenných τ = (p/0, q/0), pre ktorú má prvá formula (.7a) pravdivostnú hodnotu 0. Táto interpretácia môže byť použitá aj pre druhú formulu (.7b) aby sme ukázali, že formula má pravdivostnú hodnotu 0. To znamená, že obe formuly (.7a-b) nie sú tautológie, čiže nemôžu byť zákonmi výrokovej logiky. Ako svedčia mnohé kognitívno-psychologické výskumy, obe tieto schémy, aj keď sú chybné, často sa využívajú v bežnom usudzovaní, možno ich teda pokladať za klasické chyby nášho každodenného uvažovania..3 PRAVIDLÁ USUDZOVANIA V PREDIKÁTOVEJ LOGIKE KONKRETIZÁCIA UNIVERZÁLNEHO KVANTIFIKÁTORA Predikátová logika môže byť chápaná ako rozšírenie výrokovej logiky o tzv. kvantifikátory (všeobecný a existenčný) (pozri kapitoly 6 8 v Matematickej logike []). Základné schémy usudzovania v predikátovej logike sú uvedené v tab... Tabuľka.. Schémy usudzovania predikátovej logiky Schéma usudzovania xp( x) ( ) ( ) ( ) xp( x) ( ) ( ) ( ) P c P c pre každé c x P x P c P c x P x pre nejaký element c pre nejaký element c Teoréma predikátovej logiky ( xp( x) ) P( c) ( ) ( x P( x) ) P c ( xp( x) ) P( c) ( ) ( x P( x) ) P c Názov schémy Konkretizácia univerzálneho kvantifikátora Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora Konkretizácia existenčného kvantifikátora Zovšeobecnenie pomocou existenčného kvantifikátora Ak nejakú vlastnosť P(x) má každý objekt (indivíduum) z univerza U, ( ) xp x, potom túto vlastnosť musí mať aj ľubovoľný konkrétny objekt c z tohto univerza,

22 Metódy matematického dôkazu ( xp( x) ) P( c) (.8) Táto vlastnosť je priamym dôsledkom intuitívnej interpretácie univerzálneho kvantifikátora ako konjunkcie vlastnosti P(x) pre každý objekt x z konečného univerza x P x = Ï P x = P a P b... P u (.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) def x U Ak na túto formulu (predpoklad) použijeme schému usudzovania simplifikácie z tab.., potom vlastnosť P má menovite každý objekt z U xp( x) P( a) Pb ( ) (.0)... P( c)... Potom musí platiť aj implikácia (.8). Ako ilustračný príklad tejto vlastnosti univerzálneho kvantifikátora uvedieme klasický príklad konkretizácie zo stredovekej logiky každý človek je smrteľný Sokrates je človek Sokrates je smrteľný kde Sokrates patrí do univerza U (obsahujúceho všetkých ľudí) platnosti kvantifikátora. Túto schému usudzovania môžeme zovšeobecniť takto ( x U) P( x) c U (.) P c ( ) ZOVŠEOBECNENIE POMOCOU UNIVERZÁLNEHO KVANTIFIKÁTORA Ak sa nám podarí dokázať, že vlastnosť P má každý objekt z nejakého univerza U, potom vzhľadom k tomuto univerzu môžeme definovať univerzálny kvantifikátor P a... P c... = Ï P x = x P x (.) ( ) ( ) ( ) ( ) x U Ak použijeme na túto formulu schému usudzovania konjunkcie z tab.., potom P( a)... P( c) (.3)... potom musí platiť aj ( ) x P x ( ) ( x P( x) ) P c def (.4) s poznámkou, že c je ľubovoľný objekt z univerza U. Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora sa často používa v matematike implicitne, pretože dôkaz vlastnosti P(c) bol vykonaný nielen pre určitý špecifický objekt, ale pre ľubovoľný objekt c.

23 Metódy matematického dôkazu 3 INDUKTÍVNE ZOVŠEOBECNIE A FALZIFIKÁCIA ROZŠIROVANIE PLATNOSTI KONKRETIZÁCIA EXISTENČNÉHO KVANTIFIKÁTORA V mnohých prípadoch mimo matematiku, použitie zovšeobecnenia podľa schémy usudzovania (.3) (alebo predikátovej formuly (.4)) tvorí základ tzv. induktívneho zovšeobecnia, v ktorom sa snažíme parciálne poznatky zovšeobecniť pre každý objekt postulovaného univerza U. V tejto súvislosti potom vystupuje do popredia podľa rakúsko-anglického filozofa Karla Poppera problém falzifikácie xp x. Stačí nájsť jeden objekt o U, pre ktorý neplatí všeobecného výroku ( ) vlastnosť P, P( o), potom všeobecný výrok xp( x) je neplatný, xp( x). Ako ilustračný príklad budeme študovať univerzum U, ktoré obsahuje všetky labute na našej planéte. Experimentálnym pozorovaním zistíme, že pre veľkú podmnožinu U U platí, že každá labuť z nej je biela (túto vlastnosť označíme predikátom B). Túto skutočnosť môžeme poctivo zovšeobecniť pomocou univerzálneho kvantifikátora definovaného vzhľadom k poduniverzu U xb x = Ï B x ( ) ( ) def V dôsledku určitej netrpezlivosti, pozorovateľ zovšeobecní tento poznatok pre celé univerzum U, postuluje platnosť formuly xb( x). Falzifikácia tejto vlastnosti spočíva v tom, že nájdeme takú labuť (napr. pod skleneným mostom xb x. x U v Piešťanoch), ktorá je čierna, potom automaticky platí ( ) V tejto súvislosti môžeme hovoriť aj o verifikácii vlastnosti x B( x), ďalšími a ďalšími pozorovaniami rozširujeme univerzum U o ďalšie objekty x, ktoré majú vlastnosť B(x). Avšak je potrebné poznamenať, že toto rozširovanie plat- x B x o ďalšie objekty nám neprináša nový poznatok, neustále platí, že nosti ( ) labute sú biele, len máme stále rozsiahlejšie vedomosti o evidentnosti tohto poznatku. Preto falzifikácia, na rozdiel od verifikácie, je zásadne dôležitá pre induktívne zovšeobecňovanie, napomáha nám pri vzniku nových poznatkov (čo ako prvý zdôraznil Karl Popper). Ak nejaká vlastnosť platí pre niektorý objekt c U, potom musí platiť aj implikácia ( xp( x) ) P( c) (.5) alebo pomocou schémy usudzovania xp( x) (.6) P( c) pre nejaký element c Táto vlastnosť konkretizácie existenčného kvantifikátora vyplýva priamo z jeho intuitívnej interpretácie pomocou disjunkcie predikátov nad konečným univerzom x P x = Í P x = P a... P c... (.7) ( ) ( ) ( ) ( ) def x U Disjunkcia výrokov je pravdivá vtedy a len vtedy, ak aspoň jeden jej výrok je pravdivý, potom existuje aspoň jeden objekt c pre ktorý je výrok P(c) pravdivý, t. j. platí implikácia (.5).

24 4 Metódy matematického dôkazu ZOVŠEOBECNENIE POMOCOU EXISTENČNÉHO KVANTIFIKÁTORA Podľa tejto skromnej schémy usudzovania, ak nejaká vlastnosť P platí aspoň pre jeden objekt c z univerza U, potom túto skutočnosť môžeme zovšeobecniť pomocou existenčného kvantifikátora P c Í P x = x P x (.8) ( ) ( ) ( ) x U kde sme použili schému usudzovania s názvom adícia z tab... Túto implikáciu môžeme vyjadriť pomocou schémy usudzovania P( c) pre nejaký element c (.9) x P( x) Spojením (.5) a (.8) dostaneme P( c) x P( x) (.0) Podľa tejto formuly, pravdivosť výroku P(c) je ekvivalentná pravdivosti výroku xp x. s existenčným kvantifikátorom ( ) def PRÍKLAD.8. Ukážte, že záver ϕ vyplýva z predpokladov ϕ a ϕ : ϕ = každý kto navštevuje prednášky z diskrétnej matematiky je študentom STU ϕ = Mária navštevuje prednášky z diskrétnej matematiky ϕ = Mária je študentka STU. Tieto tri výroky prepíšeme do tvaru ϕ = x DM x ( ( ) STU( x) ) ( ) ( ) ϕ = DM Maria ϕ = STU Maria kde DM(x) je predikát objekt x navštevuje prednášku z diskrétnej matematiky a STU(x) je predikát objekt x je študentom STU. Korektnosť riešenia overíme postupnosťou formúl. x( DM ( x) STU( x) ) predpoklad. DM ( Maria ) predpoklad 3. DM ( Maria) STU ( Maria) konkretizácia 4. STU ( Maria ) modus ponens na a 3 PRÍKLAD.9. Ukážte, že záver ϕ vyplýva z predpokladov ϕ a ϕ : ϕ = niektorí študenti navštevujúci prednášku nečítali predpísanú učebnicu ϕ = každý študent navštevujúci prednášku vykonal skúšku ϕ = niektorí študenti, ktorí vykonali skúšku, nečítali predpísanú učebnicu. Tieto tri výroky prepíšeme do tvaru

25 Metódy matematického dôkazu 5 ( ( ) N( x) ) ( ( ) S( x) ) ( ( ) N( x) ) ϕ = x P x ϕ = x P x ϕ = x S x kde P(x) je predikát objekt x navštevuje prednášku, N(x) je predikát objekt x čítal predpísanú učebnicu, S(x) je predikát objekt x vykonal skúšku. Korektnosť riešenia overíme postupnosťou formúl. x( P( x) N( x) ) predpoklad x P x S x predpoklad. ( ( ) ( )) 3. P( c) N( c) 4. P( c ) simplifikácia 3 5. N( c) simplifikácia 3 6. P( c) S( c) 7. S( c ) modus ponens na 4 a 6 8. S( c) N( c) konjunkcia 5 a 7 9. x( S( x) N( x) ) konkretizácia predpokladu konkretizácia predpokladu zovšeobecnie 8 pomocou existenčného kvantifikátora Ako vidieť z uvedených príkladov, dôkazy formúl obsahujúcich kvantifikátory sú zmesou aplikácií schém usudzovania tak z výrokovej, ako aj predikátovej logiky. Táto skutočnosť vyplýva z faktu, že predikátová logika je vlastne zovšeobecnením výrokovej logiky, ktorá je vnorená do predikátovej logiky; všetky zákony výrokovej logiky sú aj zákonmi predikátovej logiky..4 METÓDY DÔKAZU VIET PRIAMY DÔKAZ Dôkaz vety je vo všeobecnosti obtiažny a netriviálny problém, ktorý len v ojedinelých prípadoch môže byť vykonaný priamočiarym mechanickým postupom. Preto v matematike vznikli rôzne metódy dôkazu viet, z ktorých uvedieme najdôležitejšie: priamy dôkaz, nepriamy dôkaz, dôkaz sporom a dôkaz vymenovaním prípadov. Implikácia p q môže byť dokázaná tak, že ukážeme, že z predpokladu pravdivosti výroku p vyplýva taktiež aj pravdivosť výroku q. Túto jednoduchú formuláciu priameho dôkazu môžeme upresniť tak, že pri dôkaze vychádzame z axióm { ϕ,..., ϕ n} a z už dokázaných viet { ψ,..., ψ m}, potom dôkaz p q môžeme charakterizovať vzťahom logického dôkazu { ϕ,..., ϕn} { ψ,..., ψm} { p} q (.) V tejto schéme máme na ľavej strane všetky axiómy systému, dokázané potrebné

26 6 PRÍKLAD.0. NEPRIAMY DÔKAZ PRÍKLAD.. DÔKAZ SPOROM Metódy matematického dôkazu vety (tautológie) a predpoklad p. Použitím pravidiel odvodzovania (modus ponens, pravidlá substitúcie,...) z týchto predpokladov odvodíme dôsledok q. Dokážte vetu ak n je nepárne prirodzené číslo, potom n je taktiež nepárne číslo. Požadovanú vetu sformalizujeme pomocou implikácie ( n je nepárne číslo) ( n je nepárne číslo) p Použijeme techniku priameho dôkazu, z predpokladu pravdivosti p dokážeme pravdivosť dôsledku q. Nech n je nepárne prirodzené číslo, potom existuje také nezáporné celé číslo k, že n= k +. Pre kvadrát čísla n platí n = ( k + ) = 4k + 4k + = ( k + k) + = l+ čiže aj kvadrát n je nepárne číslo. Týmto sme dokázali platnosť implikácie p q. Technika nepriameho dôkazu je založená na ekvivalencii (nazývanej zákon inverzie implikácie) ( p q) ( q p), podľa ktorej, ak v implikácii vymeníme poradie jej členov, potom musíme negovať aj jej jednotlivé členy. Z tohto zákona vyplýva, že dôkaz implikácie ( p q) je ekvivalentný dôkazu inverznej implikácie q p. Dokážte vetu ak 3n + je nepárne číslo, potom aj n je nepárne číslo. Vetu upravíme do tvaru implikácie ( 3n+ jenepárnečíslo) ( n je nepárne číslo) p Budeme dokazovať inverznú implikáciu ( n je párne číslo) ( 3n + je párne číslo) q p Nech n je párne číslo, potom existuje také nezáporné celé číslo k, že n = k. Pre takto špecifikované číslo n dostaneme 3n+ = 3( k) + = ( 3k + ), ktoré je párne. Týmto sme dokázali inverznú implikáciu q p, čiže musí platiť aj pôvodná implikácia p q. Tento typ dôkazu je založený na schéme reductio ad absurdum z tab.. p q p q (.) p založenej na zákone výrokovej logiky p q p q p (.3) ( ) (( ) ) Túto schému usudzovania môžeme interpretovať tak, že ak z predpokladu p súčas- l q q

27 Metódy matematického dôkazu 7 ne odvodíme q a q, potom musí byť pravdivá negácia p východiskového predpokladu. PRÍKLAD.. Dokážte, že je iracionálne číslo. DÔKAZ VYMENOVANÍM PRÍPADOV Predpokladajme, že Z tohto výroku vyplýva, že číslo čísla, tento výrok označíme je racionálne číslo, tento výrok označíme p = ' je racionálne číslo' má tvar αβ, kde α a β sú celé nesúdeliteľné q = ' =α β, kde α, β sú celé nesúdeliteľné čísla' t. j. platí implikácia p q. Úpravou matematického výrazu z výroku q dostaneme formulu α = β, z ktorej vyplýva, že číslo α = k je párne. V príklade.0 bola dokázaná veta, že ak celé číslo n je nepárne, potom aj jeho kvadrát n je nepárne číslo. Obrátením tejto implikácie dostaneme, že ak n je párne číslo, potom aj n je párne číslo. Z tejto vety vyplýva, že číslo α je párne. Potom taktiež platí β = p, t. j. β je párne číslo, čiže aj β je párne číslo. Týmto sme dokázali, že α, β sú párne čísla, čiže sú súdeliteľné q = ' =α β, kde α, β sú celé súdeliteľné čísla' t.j. platí implikácia p q. Týmto sme dokázali, že súčasne platia implikácie p q a p q, použitím schémy reductio ad absurdum (.) dostaneme, že platí negácia ich predpokladu p = ' je iracioná ln e číslo' čo bolo potrebné dokázať. Naším cieľom je dokázať implikáciu ( p... pn ) q (.4) Jednoduchými ekvivalentnými úpravami môžeme túto implikáciu prepísať do ekvivalentného tvaru p... p q p q... p q (.5). ( ) p... p q n. ( p... pn ) q 3. ( p... pn ) q 4. ( p q )... ( pn q) 5. ( p q )... ( p q) (( n) ) (( ) ( n )) prepis pomocou disjunktívneho tvaru implikácie použitie De Morganovho zákona na použitie distributívneho zákona na 3 prepis 4 s disjunktívnym tvarom implikácie n Formulu (.5) môžeme prepísať do tvaru schémy usudzovania

28 8 Metódy matematického dôkazu PRÍKLAD.3. ( p q)... ( p q) n ( ) (.6) p... pn q Túto schému usudzovania (dôkaz vymenovaním prípadov) používame vtedy, ak výrok q je dôsledok rôznych prípadov p,..., p n. Dokážte identitu max a,min b,c kde a, b a c sú rôzne čísla. { { }} = min{ max{ a,b },max{ a,c} } Dôkaz tejto identity vykonáme tak, že vykonáme verifikáciu identity pre všetkých 6 rôznych prípadov: () Prípad a< b< c () Prípad b< a< c max a,min{ b,c} = min max{ a,b },max{ a,c} b b c { } = min{ b,c} max a,b b b = b max a,min{ b,c} = min max{ a,b },max{ a,c} b a c { } = min{ a,c} max a,b a a = a b Podobným spôsobom preskúmame aj ostatné štyri možnosti vzájomného usporiadania čísel a, b a c. Týmto spôsobom sme dokázali 6 nezávislých implikácií a < b < c max a,min b,c = b min max a,b,max a,c = b ( ) { { }} ( ) { { }} a ( ) ( { { } { }} ) ( ) ( { { } { }} ) b < a < c max a,min b,c = a min max a,b,max a,c = a... c < b < a max a,min b,c = a min max a,b,max a,c = a ( ) ( { { } { }} ) ( ) { { }} Týmto enumeratívnym spôsobom sme dokázali danú algebraickú identitu tak, že sme separátne preskúmali všetky možné usporiadania čísel a, b a c. PRÍKLAD.4. Dokážte identitu a b a + b, kde a, b sú ľubovoľné nenulové reálne čísla a. je absolútna hodnota.

29 Metódy matematického dôkazu 9 () a< b< 0, potom a b< 0, a < 0 a b < 0, dokazovaná nerovnosť má tvar a b a b, alebo b 0, čo je pravdivý výrok. ( ) () a< 0 < b, potom a b< 0, a < 0 a b > 0, dokazovaná nerovnosť má tvar a b a+ b, čo je pravdivý výrok. ( ) (3) 0 < a< b, potom a b< 0, a > 0 a b > 0, dokazovaná nerovnosť má tvar a b a+ b, alebo a 0, čo je pravdivý výrok. ( ) Podobným spôsobom by sa dokázali aj ostatné tri možnosti ( b< a< 0, b< 0 < a a 0 < b< a). Nutnosť použitia metódy dôkazu vymenovaním všetkých prípadov sa môže stať v niektorých špeciálnych situáciách limitujúcim faktorom uskutočnenia dôkazu, keď počet možných prípadov je veľké číslo. Potom môžeme prenechať hlavnú ťarchu dôkazu počítaču, ktorý systematicky preverí všetky možné prípady. Podobná situácia sa vyskytla počiatkom 90. rokov minulého storočia, keď matematik Andrew Wiles po dlhoročnom úsilí dokázal Veľkú Fermatovu vetu 5..5 MATEMATICKÁ INDUKCIA Stojíme pred problémom dokázať formulu np( n), podľa ktorej vlastnosť P(n) platí pre každé prirodzené číslo. Dôkaz tejto formuly je možné vykonať metódou matematickej indukcie, ktorá je založená na dvoch východiskových predpokla- n P n P n+. Ukážeme, že z týchto dvoch predpokladov doch P() a ( ( ) ( )) vyplýva formula np( n).. P() n P n P n+. ( ( ) ( )) 3. P() P( ) 4. P( ) P( 3) konkretizácia pre n = konkretizácia pre n = P( n) P( n+ ) konkretizácia pre n = n... 5 n n n Veľká Fermatova veta tvrdí, že rovnica x + y = z nemá celočíselné riešenie pre x, y a z, pričom xyz 0 a n je celé číslo, pričom n >. Wilesov článok, v ktorom podal dôkaz tejto vety, Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem bol publikovaný v r. 995 v časopise Annals of Mathematics. Článok je doprevádzaný vysoko technickou publikáciou jeho doktoranda Richarda Taylora, v ktorom boli enumeratívnym spôsobom preštudované na počítači vlastnosti špeciálnej Heckeho algebry, ktorej použitie hrá kľúčovú úlohu v celom dôkaze.

30 0 Metódy matematického dôkazu 6. P() modus ponens na a 3 7. P(3) modus ponens na 6 a P(n+) modus ponens na predchádzajúci riadok a 5... np n zovšeobecnenie pomocou 9. ( ) Tento výsledok môže byť prezentovaný ako schéma usudzovania matematickej indukcie () n( P( n) P( n ) ) np( n) P + (.7) PEANO Metóda matematickej indukcie bola známa už počiatkom novoveku talianskemu matematikovi Francescovi Maurolicovi ( ), ktorý ju používal na dôkaz niektorých vlastností celých čísel (napr. dokázal, že suma prvých n prirodzených nepárnych čísel sa rovná n ). V modernej matematike a logike matematická indukcia bola využitá talianskym matematikom a logikom Giuseppom Peanom (858 93) pri formulácii jeho axiomatického systému aritmetiky celých čísel. PRÍKLAD.5. Dokážte, že suma prvých n nepárnych prirodzených čísel sa rovná n. Položíme n P n : n i n ( ) ( ) = ( ) = Ľahko sa presvedčíme, že platí P() =. Budeme študovať P(n+) ( ): 3 5 ( ) ( ( ) ) ( ) n i= i= n+ P n n + n + = i = i= ( i ) ( ( n ) ) n ( n ) ( n ) = + + = + + = + Týmto sme dokázali, že platnosť formule P(n) implikuje formulu P(n+), pre každé prirodzené číslo n, potom použitím zovšeobecnenia pomocou univerzálneho kvantifikátora dostaneme n( P( n) P( n+ ) ). Použitím schémy matematickej indukcie dostaneme n n P n : n = i = n ( ) ( ) ( ) čím sme zavŕšili dôkaz vety špecifikujúcej sumu prvých n nepárnych prirodzených čísel. PRÍKLAD.6. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí n < n. i=

31 Metódy matematického dôkazu SILNÁ MATEMATICKÁ INDUKCIA PRÍKLAD.7. Nech P(n) je predikát n < n, potom P() je pravdivý výrok. Budeme študovať P(n+) n n n n+ n + < + + = kde sme k obidvom stranám nerovnice indukčného predpokladu n < n pripočítali jednotku a taktiež sme použili jednoduchú vlastnosť n. Týmto sme doká- P n P n+, alebo zali, že pre každé prirodzené číslo n platí implikácia ( ) ( ) inak vyjadrené n( P( n) P( n+ ) ), čo bolo potrebné dokázať. Silná matematická indukcia je špeciálna forma štandardnej matematickej indukcie, v ktorej je vlastnosť P(n+) implikovaná konjunkciou všetkých predchádzajúcich vlastností, P() P ( )... P( n) P( n + ). Predpokladajme, že táto vlastnosť je splnená pre každé n, potom n ( P ()... P( n) P( n+ )). Zostrojme zovšeobecnenú schému usudzovania matematickej indukcie P() n P P... P n P n+ ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) np n Nebudeme dokazovať túto schému usudzovania, jej dôkaz je úplne analogický dôkazu schémy usudzovania matematickej indukcie (.7). Dokážte, že ľubovoľné prirodzené číslo n > môže byť vyjadrené ako súčin prvočísiel. Nech vlastnosť P(n) má tvar α α αk P( n) : n= p p...p k, pk n kde p, p, p 3,... sú prvé prvočísla (, 3, 5,..., ktoré sú menšie ako n) a α, α, α 3,... sú nezáporné celé čísla. Táto formula je pravdivá pre P(), kde α =, k =, potom P(): =. Predpokladajme, že P( j) je pravdivé pre každé prirodzené j n. Ukážeme, že z tohto predpokladu vyplýva platnosť P(n + ). Bude rozlišovať dva prípady: 0 0. prípad n + je prvočíslo p k, potom P( n + : ) n + = p p...pk.. prípad n + nie je prvočíslo, potom môže byť písané ako súčin dvoch prirodzených čísel a b, ktoré vyhovujú podmienke a b < n +. Každé z týchto dvoch čísel môže byť vyjadrené ako súčin prvočísiel (indukčný predpoklad) α α αk a = p p...p k, pk n + β β βk b = p p...p k, pk n + potom ich súčin má tvar α+β α +β α k +βk P n+ : n+ = a b= p p...p, p n+ ( ) k k

32 Metódy matematického dôkazu ZHRNUTIE DÔKAZ INDUKTÍVNE USUDZOVANIE PRAVIDLÁ USUDZOVANIA METÓDY DÔKAZU VIET Dôkaz (deduktívny) v matematike a v informatike je špecifický postup konštrukcie nových viet (tautológií teorém) pomocou súboru vybraných viet (axióm) a pravidiel odvodzovania (napr. pravidla modus ponens) tak, že zostrojíme postupnosť tautológií, pričom posledná tautológia z tejto postupnosti je dokazovaná veta. Komplikované dôkazy sú obvykle jasnejšie formulované, keď ich dôkaz je rozdelený na jednotlivé medzikroky, ktoré sú formulované ako samostatné vety. V matematike a v informatike sa v ojedinelých prípadoch používa aj induktívne usudzovanie (dôkaz), ktoré je založené na pozorovaní určitých skutočností, ktoré sa často opakujú v analogických situáciách. Tieto pozorované skutočnosti sú induktívne zovšeobecnené. Nové pojmy, ktoré boli zavedené týmto induktívnym spôsobom sa neskoršie buď dokážu deduktívne v rámci daného systému pojmov, alebo sa postulujú ako nové špeciálne axiómy. Tieto ojedinelé situácie v dejinách matematiky vždy znamenali vznik nových oblastí matematiky, ktoré nie sú striktne deduktívne dokázateľné zo známych pojmov. Pravidlá usudzovania vo výrokovej logike tvoria schému (pozri tabuľku.) predpoklad... predpokladn záver ktorá obsahuje n predpokladov a jeden záver. Táto schéma usudzovania je totožná so symbolom logického dôkazu { predpoklad,..., predpoklad n} záver alebo { ϕ,..., ϕn} ϕ Použitie pravidiel usudzovania môže byť v niektorých prípadoch podstatne uľahčené aplikáciou vety o dedukcii. Množinu predpokladov { ϕ,..., ϕ n} rozšírime o nový pomocný predpoklad ψ, potom platí veta o dedukcii ϕ,..., ϕ ψ ϕ ϕ,..., ϕ ψ ϕ ({ n} { } ) ({ n} ( )) Dôkaz formuly ϕ pomocou rozšírenej množiny predpokladov { ϕ,..., ϕ } { ψ } n je rovnocenný dôkazu formuly ψ ϕ pomocou pôvodnej množiny predpokladov. Priamy dôkaz implikácie p q je uskutočnený tak, že ukážeme, že z predpokladu pravdivosti výroku p vyplýva taktiež aj pravdivosť výroku q. Nepriamy dôkaz implikácie p q spočíva v tom, že dôkaz tejto implikácie je ekvivalentný dôkazu inverznej implikácie q p. Dôkaz sporom je založený na schéme reductio ad absurdum z tab..

33 Metódy matematického dôkazu 3 MATEMATICKÁ INDUKCIA p q p q p Ak z predpokladu p súčasne odvodíme q a q, potom musí byť pravdivá negácia p východzieho predpokladu, čo bolo potrebné dokázať. Dôkaz vymenovaním prípadov implikácie ( ) p... p q je založený na jej n ekvivalentnom tvare p... p q p q... p q (( n) ) (( ) ( n )) To znamená, že dôkaz sa redukuje na dôkazy všetkých implikácií pi q, pre i =,,..., n. Tento spôsob dôkazu je veľmi častý v diskrétnej matematike. Dôkaz vlastnosti np( n), t. j. P(n) platí pre každé prirodzené číslo, je možné vykonať metódou matematickej indukcie, ktorá je založená na dvoch východis- n P n P n+, z ktorých vyplýva formula kových predpokladoch P() a ( ( ) ( )) np( n). Matematickú indukciu vyjadríme schémou usudzovania () n( P( n) P( n ) ) P + ( ) np n KĽÚČOVÉ POJMY deduktívny dôkaz matematická indukcia veta teoréma axióma lema pravidlá odvodzovania korektnosť konzistentnosť teória deduktívny dôkaz elementárny pojem induktívne usudzovanie axiomatický systém interpretácia model schéma usudzovania adícia simplifikácia inverzia implikácie reductio ad absurdum strom odvodenia veta o dedukcii potvrdenie dôsledku popretie predpokladu predikátová logika konkretizácia univerzálneho kvantifikátora zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora konkretizácia existenčného kvantifikátora zovšeobecnenie pomocou existenčného kvantifikátora induktívne zovšeobecnie falzifikácia priamy dôkaz nepriamy dôkaz

34 4 Metódy matematického dôkazu konjunkcia modus ponens modus tollens hypotetický sylogizmus disjunktívny sylogizmus dôkaz sporom dôkaz vymenovaním prípadov F. Maurolico G. Peano silná matematická indukcia CVIČENIA.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a) Mária je študentka informatiky. Preto je Mária študentka informatiky alebo študentka telekomunikácií. (b) Jaroslav študuje informatiku a elektrotechnológiu. Preto, Jaroslav študuje informatiku. (c) Ak prší, potom plaváreň je zatvorená. Preto, ak plaváreň je otvorená, potom neprší. (d) Ak dnes sneží, kino je dnes uzavreté. Kino dnes nie je uzavreté. Preto, dnes nesneží. (e) Ak dnes pôjdem plávať, potom ráno skoro vstanem. Ak ráno skoro vstanem, potom pôjdem do obchodu kúpiť čerstvé pečivo. Preto, ak dnes pôjdem plávať, potom pôjdem do obchodu kúpiť čerstvé pečivo... Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a) Dnes bude teplo alebo bude smog v ovzduší. Dnes nebude teplo. Preto, dnes bude smog v ovzduší. (b) Eva vynikajúco pláva. Ak Eva je vynikajúci plavec, potom môže pracovať ako plavčík. Preto, Eva môže pracovať ako plavčík. (c) Stano bude pracovať v počítačovej firme ABC. Ak Stano dokončí štúdium na FIIT, potom nebude pracovať v počítačovej firme ABC. Preto, Stano nedokončil štúdium na FIIT. (d) Ak budem intenzívne pracovať na projekte, potom zvládnem teóriu logických obvodov. Ak zvládnem teóriu logických obvodov, potom úspešne dokončím bakalárske štúdium. Preto, ak budem intenzívne pracovať na projekte, potom úspešne dokončím bakalárske štúdium..3. Aké závery vyplývajú z množiny výrokov? (a) Ak jem korenenú stravu, potom mám hrozné sny, ak spím a pritom hrmí, potom mám hrozné sny, nemám hrozné sny. (b) Ja som chytrý alebo mám šťastie, nemám šťastie, ak mám šťastie, potom zvíťazím v lotérii. (c) Každý študent informatiky vlastní notebook, Rudo nevlastní notebook, Anna vlastní notebook. (d) Ak mám hlad, potom si kúpim bagetu, ak si kúpim bagetu, potom si kúpim aj kofolu, ak nepôjdem do bufetu, nekúpim si kofolu.

35 Metódy matematického dôkazu 5 (e) Všetky hlodavce hryzú potravu, myš je hlodavec, pes nehryzie potravu, netopier nie je hlodavec..4. Vysvetlite, ktorá schéma usudzovania bola použitá v ktorom kroku. (a) Eva je študentka nášho krúžku a vlastní červené auto, každý, kto vlastní červené auto dostal aspoň jednu pokutu za prekročenie rýchlosti, preto, niekto z nášho krúžku dostal pokutu za prekročenie rýchlosti. (b) Všetci moji priatelia Mária, Adolf, Rudolf, Viera a Karol si zapísali do indexu prednášku z diskrétnej matematiky, každý študent, ktorý si zapísal do indexu prednášku z diskrétnej matematiky, môže si nasledujúci akademický rok zapísať aj prednášku z algoritmov, preto, všetci moji priatelia Mária, Adolf, Rudolf, Viera a Karol môžu si nasledujúci akademický rok zapísať do indexu prednášku z algoritmov. (c) Všetky filmy s Charlie Chaplinom sú vynikajúce, Charlie Chaplin hral v nemých filmoch, preto, niektoré vynikajúce filmy sú nemé..5. Vysvetlite prečo uvedené závery sú korektné alebo nekorektné. (a) Všetci študenti v tomto krúžku ovládajú logiku, Jano je študent tohto krúžku, preto, Jano ovláda logiku. (b) Každý študent informatiky má zapísanú v indexe prednášku z diskrétnej matematiky, Viera má zapísanú prednášku z diskrétnej matematiky, preto, Viera je študentom informatiky. (c) Každý kôň má rád ovocie, môj pes nie je kôň, preto, môj pes nemá rád ovocie. (d) Každý, kto má rád ovsené vločky je zdravý, Lenka nie je zdravá, preto, Lenka nemá rada ovsené vločky..6. Určite, ktorá veta je pravdivá. Ak je uvedený záver korektný, určite, ktorá schéma usudzovania bola použitá pri jeho dôkaze. (a) Ak x je reálne číslo také, že x >, potom x >. Predpokladajte, že x >, potom x >. (b) Číslo log 3 je iracionálne vtedy, ak sa nedá vyjadriť ako podiel dvoch celých nesúdeliteľných čísel. Pretože číslo log 3 nie je vyjadriteľné ako pq, kde p a q sú celé nesúdeliteľné čísla, potom je číslo log 3 iracionálne. (c) Ak x je reálne číslo, ktoré spĺňa podmienku x > 3, potom x > 9. Nech x 9, potom x 3. (d) Ak x je reálne číslo, ktoré spĺňa podmienku x >, potom x > 4. Nech x, potom x Určite, či uvedené výroky sú korektné, ak nie, prečo? (a) Ak x je iracionálne, potom x je iracionálne. Preto, ak x je iracionálne, potom x je iracionálne.

Cvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov?

Cvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? Cvičenie Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Mária je študentom informatiky. Preto, je Mária študentom informatiky alebo študentom telekomunikácií. p = Mária je študentom

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov?

Cvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? Cvičenie Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Mária je študentkou informatiky. Preto, je Mária študentkou informatiky alebo študentkou telekomunikácií. p = Mária je študentom

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu

Prednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu Prednáška 1 Logika, usudzovanie a teória dôkazu Logika je charakterizovaná ako analýza metód používaných v ľudskom myslení alebo uvažovaní. Logika nie je dôležitá len v matematike a informatike, ale aj

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1

3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1 3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV

MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského Vladimír Frecer MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE 1 V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky

5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky 5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky Priesvitka 1 Gottlob Frege (1848-1925) Bertrand Russell (1872-1970) Priesvitka 2 Intuitívny prechod od výrokovej logiky k predikátovej logike

Διαβάστε περισσότερα

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori:

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A. 7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.

Διαβάστε περισσότερα

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika

VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. PhDr. Ján Šefránek,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie cvičení z 5. kapitoly

Riešenie cvičení z 5. kapitoly Riešenie cvičení z 5. kapitoly Cvičenie 5.1. Vety prepíšte pomocou jazyka predikátovej logiky, použite symboly uvedené v úlohách. (a Niekto má hudobný sluch (H a niekto ho nemá. ( H( ( H( (b Niektoré dieťa

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy. 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku

Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy. 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku 6. kapitola Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku Jednoduché rozšírenie metódy prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku uskutočníme

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Vybrané partie z logiky

Vybrané partie z logiky FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z

Διαβάστε περισσότερα

ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia

ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED

ZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do diskrétnych matematických štruktúr. Daniel Olejár Martin Škoviera

Úvod do diskrétnych matematických štruktúr. Daniel Olejár Martin Škoviera Úvod do diskrétnych matematických štruktúr Daniel Olejár Martin Škoviera 24. augusta 2007 i This book was developed during the project Thematic Network 114046-CP-1-2004-1-BG- ERASMUS-TN c Daniel Olejár,

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Teória funkcionálneho a logického programovania

Teória funkcionálneho a logického programovania Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A

Διαβάστε περισσότερα

2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak

2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak 2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................

Διαβάστε περισσότερα

9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka

9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka 9. kapitola Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika 1 Úvodné poznámky o viachodnotových logikách V klasickej logike existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný

Διαβάστε περισσότερα

Vybrané partie z logiky

Vybrané partie z logiky FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky Eduard Toman Bratislava 2005 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky..................................

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Vladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov

Vladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov Vladimír Kvasnička Úvod do logiky pre informatikov Ústav aplikovanej informatiky Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave 202 2 Úvod V tejto knihe, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA

LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA 1 LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA Termíny výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý výrok, nepravdivý výrok, zložený výrok označujú základné pojmy logiky. Význam slov každý,

Διαβάστε περισσότερα

Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},

Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5}, Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Matematická logika. Emília Draženská Helena Myšková

Matematická logika. Emília Draženská Helena Myšková Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Logické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.

Logické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.

3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda. 3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru

Διαβάστε περισσότερα

Zbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY

Zbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY Zbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY Martin Šrámek 0 OBSAH Úvod...2 Výrok...3 Výroková premenná...3 Logické spojky...4 Formula výrokovej logiky...4 Logická ekvivalencia...4 Tabuľková metóda riešenia úloh...4

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody

9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody 9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody Priesvitka 1 Boolova algebra Elektronické obvody v počítačoch a v podobných zariadeniach sú charakterizované binárnymi vstupmi a výstupmi (rovnajúcimi sa 0

Διαβάστε περισσότερα

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17 Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I

Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I 007 c RNDr Rudolf Blaško, PhD, 007 beerb@frcatelfriunizask Obsah Základné pojm 3 Logika 3 Výrazavýrok 3 Logickéoperácie 3 3 Výrokovéform

Διαβάστε περισσότερα

Eulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).

Eulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db). Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa

Διαβάστε περισσότερα

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju

Διαβάστε περισσότερα

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom 0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov

Διαβάστε περισσότερα

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc

MATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín: 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,

Διαβάστε περισσότερα

1-MAT-220 Algebra februára 2012

1-MAT-220 Algebra februára 2012 1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu. Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Automatizácia technologických procesov

Automatizácia technologických procesov Téma: Logické obvody. Základné pojmy. Logická algebra,logické funkcie. Znázornenie logických funkcií a základy ich minimalizácie. - sú častým druhom riadenia, ktoré sa vyskytujú ako samostatné ako aj v

Διαβάστε περισσότερα

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2 Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19

Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35

Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35 Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35 Úvodné poznámky Americký filozof a logik Charles S. Peirce (čítaj ako pers ), sa stal známym svojou klasifikáciou nededuktívnych metód inferencie,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy 1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,

Διαβάστε περισσότερα