ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
|
|
- Μαία Κωνσταντίνου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Στοχαστικά Μοντέλα για Ράντες Πληρωμών Αλέξανδρος Κ. Καραμπέτσος Διπλωματική Εργασία Πειραιάς, Ιούνιος 2015
2 SCHOOL OF FINANCE AND STATISTICS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE M.Sc. in Actuarial Science and Risk Management Recursive Relationships for Annuities Models Under Random Rates of Interest Alexandros K. Karabetsos Dissertation Thesis Piraeus, June 2015
3 Στους γονείς μου, Κώστα και Έλσα και την αδερφή μου Μαίρη
4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον κύριο Βασίλειο Σεβρόγλου, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης της Σχολής Χρηματοοικονομικής και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Πειραιώς, για την πολύ σημαντική υποστήριξη, καθοδήγηση, βοήθεια και υπομονή σε όλη τη διάρκεια υλοποίησης της παρούσας εργασίας. Παράλληλα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Κοσμήτορα της Σχολής Χρηματοοικονομικής και Στατιστικής, κύριο Μάρκο Κούτρα, Καθηγητή του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης καθώς και τον Επίκουρο Καθηγητή κύριο Γεώργιο Πιτσέλη του ιδίου Τμήματος για την συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή. Δεν θα μπορούσα να μην ευχαριστήσω την αγαπημένη μου αδερφή Μαίρη που αποτελεί παράδειγμα για μένα, καθώς και τους γονείς μου Κωνσταντίνο και Έλσα για την αμέριστη συμπαράστασή τους καθ όλη τη διάρκεια των ακαδημαϊκών μου σπουδών. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω όλους τους φίλους μου, οι οποίοι με ενθάρρυναν θετικά σε όλη τη διάρκεια συγγραφής αυτής της εργασίας. i
5 ii
6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε στοχαστικά μοντέλα για ράντες πληρωμών υπό τη θεώρηση τυχαίου επιτοκίου. Αρχικά, θα κάνουμε μία στοχαστική προσέγγιση της θεωρίας του τόκου, θεωρώντας το επιτόκιο i (rate of interest) ως μία τυχαία μεταβλητή. Έπειτα, θα μελετήσουμε τη συσσωρευμένη αξία βέβαιων ραντών πληρωμών για μια συγκεκριμένη περίοδο, έχοντας ως στόχο τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης της συσσωρευμένης αξίας. Για τον υπολογισμό αυτό προτείνουμε δύο μεθόδους, με τη μία εκ των δύο να παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον από υπολογιστική άποψη λόγω των αναδρομικών σχέσεων που χρησιμοποιούνται. Στη συνέχεια, θα κάνουμε αναφορά στις στοχαστικές διαδικασίες και ιδιαίτερα σε αυτήν της κίνησης Brown και των υποπεριπτώσεών της. Τέλος, θα παρουσιάσουμε δύο στοχαστικές μεθόδους οι οποίες χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της «τυχαιότητας» του επιτοκίου και θα δώσουμε αριθμητικά αποτελέσματα. iii
7 ABSTRACT In this paper we will study stochastic models for annuities due to random rate of interest. We will consider a stochastic approach to the theory of interest taking into account that the rate of interest i is a random variable. We will also study the accumulated values of certain annuities for a specific period of time, and we will calculate their expected values and variances. For this aim we suggest two methods, one of which, from the mathematical point of view is preferable in terms of the simplicity of calculations, due to the recursive relations used. Further, we will introduce the basic theory of stochastic processes and in particular, the Brownian motion and its special cases. Finally, we will present two stochastic methods for the modeling of the "randomness" of the interest rate, as well as numerical results will be presented. iv
8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη στοχαστικών μοντέλων για ράντες πληρωμών. Θα παρουσιαστούν διάφορες μέθοδοι, κάποιες εκ των οποίων χρησιμοποιούν το επιτόκιο σαν μία τυχαία μεταβλητή, ενώ κάποιες άλλες κάνουν χρήση στοχαστικών διαδικασιών με αναφορά στην κίνηση Brown. Για την εύρεση και αποτίμηση των αποτελεσμάτων των μεθόδων αυτών, έχουμε ως στόχο την εύρεση και υπολογισμό μεγεθών όπως η αναμενόμενη αξία, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής ασυμμετρίας. Μια ράντα πληρωμών ορίζεται ως μια ακολουθία πληρωμών για περιορισμένη διάρκεια, η οποία συμβολίζεται με n [17]. Οι συσσωρευμένες ή τελικές τιμές αυτών των ραντών έχουν ύψιστο μαθηματικό αλλά και πρακτικό ενδιαφέρον. Τυπικά, για λόγους απλότητας, υποθέτουμε ότι το επιτόκιο είναι σταθερό και ίδιο για όλα τα έτη. Ωστόσο, όπως πολύ εύκολα καταλαβαίνουμε, το επιτόκιο που θα ισχύει κατά τα προσεχή έτη δεν μπορούμε να το γνωρίζουμε, ούτε είναι σταθερό. Έτσι φαίνεται λογικό να αφήσουμε τα επιτόκια να κυμαίνονται κατά τυχαίο τρόπο καθ όλη τη διάρκεια ζωής της ράντας (βλέπε, π.χ. [18]). Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει για να ερευνηθούν στοχαστικά μοντέλα τυχαίου επιτοκίου και να αποτιμηθούν τα αποτελέσματά τους κάτω από διάφορες υποθέσεις (βλέπε, π.χ. [6], [21], [25], [26], [27]). Στην παρούσα εργασία, υποθέτουμε ότι τα ετήσια επιτόκια είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με κοινή μέση τιμή και διασπορά. Εφαρμόζουμε την υπόθεση αυτή, προκειμένου να υπολογίσουμε μέσω αναδρομικών σχέσεων, θεμελιώδη χαρακτηριστικά, όπως η αναμενόμενη αξία και η διακύμανση των συσσωρευμένων αξιών των ραντών, με τις πληρωμές να ποικίλλουν σε αριθμητική ή/και γεωμετρική πρόοδο (βλέπε, π.χ. [7], [28]). Ένα μεγάλο πλήθος στοχαστικών διαδικασιών έχουν χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιηθεί η «τυχαιότητα» του επιτοκίου στη συνάρτηση παρούσας αξίας και σε άλλες αναλογιστικές συναρτήσεις. Έχει γίνει χρήση μάλιστα, όχι μόνο διαφορετικών διαδικασιών, αλλά και με διαφορετικούς τρόπους. Δύο στοχαστικές προσεγγίσεις οι οποίες έχουν εξετασθεί στην υπάρχουσα βιβλιογραφία, τις οποίες και χρησιμοποιούμε, είναι αυτή της μοντελοποίησης της συσσωρευμένης συνάρτησης της έντασης ανατοκισμού (βλέπε, π.χ. [3], [4], [5], [9], [10],[11], [12], και [24]) καθώς και αυτή της μοντελοποίησης της έντασης ανατοκισμού (βλέπε, π.χ. [13], [16], [24]). Τα μοντέλα αυτά έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον, καθώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε στα οικονομικά, είτε στα ασφαλιστικά και αναλογιστικά μαθηματικά. Η δομή της εργασίας μας έχει ως εξής: Στο πρώτο κεφάλαιο, τοποθετούμε το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο που θα χρειαστεί για την κατανόηση της εργασίας, κάνοντας μία στοχαστική προσέγγιση στη θεωρία του τόκου, θεωρώντας το επιτόκιο i (rate of interest) ως μία τυχαία μεταβλητή. v
9 Δίνουμε μία βασική εισαγωγή σε διάφορα μοντέλα, τα οποία έχουν σημαντικές εφαρμογές στην πράξη. Αρχικά, εξετάζουμε την περίπτωση κατά την οποία το επιτόκιο μίας περιόδου είναι ανεξάρτητο από το επιτόκιο οποιασδήποτε άλλης περιόδου, και αφετέρου, την περίπτωση κατά την οποία οι διαδοχικές τιμές των επιτοκίων σχετίζονται μεταξύ τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετάμε τη συσσωρευμένη ή μελλοντική αξία σίγουρων ή βέβαιων ραντών για μια σειρά ετών, στις οποίες το επιτόκιο αποτελεί μία τυχαία μεταβλητή, έχοντας ως στόχο τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής (expected value) και της διακύμανσης (variance) της προαναφερθείσας συσσωρευμένης αξίας, προτείνοντας δύο μεθόδους για τον υπολογισμό τους. Οι δύο μέθοδοι που θα περιγραϕούν, αντιμετωπίζουν παρόμοιες δυσκολίες, έχουν πλεονεκτήματα/μειονεκτήματα, και σε κάποιες περιπτώσεις, η μία είναι προτιμότερη έναντι της άλλης, όσον αϕορά την ευκολία υπολογισμών. Η καινοτομία της δεύτερης μεθόδου είναι η απευθείας εύρεση της διακύμανσης συσσωρευμένων αξιών, χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις και επίλυση αυτών, σε αντίθεση με τη συνήθη διαδικασία που ήταν να υπολογίζεται πρώτα η δεύτερη ροπή. Στο τρίτο κεφάλαιο, κάνουμε εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες με αναφορά στην κίνηση Brown, καθώς και σε ειδικές περιπτώσεις αυτής, όπως η αριθμητική κίνηση Brown, η γεωμετρική κίνηση Brown, και η διαδικασία Ornstein-Uhlenbeck. Στο τέταρτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε δύο στοχαστικές μεθόδους οι οποίες χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της «τυχαιότητας» του επιτοκίου. Συγκεκριμένα, οι στοχαστικές αυτές μέθοδοι αναφέρονται στη μοντελοποίηση της συσσωρευμένης συνάρτησης της έντασης ανατοκισμού, καθώς και στη μοντελοποίηση της έντασης ανατοκισμού. Η αναμενόμενη αξία, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής ασυμμετρίας της παρούσας αξίας μιας ληξιπρόθεσμης ράντας παρουσιάζονται σε πίνακες, και τέλος δίνονται χρήσιμα συμπεράσματα και παρατηρήσεις. vi
10 Περιεχόμενα 1 Η Θεωρία του Τόκου - Τυχαία Επιτόκια Ανεξάρτητα επιτόκια (Indepedent rates of interest) Εξαρτημένα επιτόκια (Dependent rates of interest) Ράντες Πληρωμών με Μεταβαλλόμενα Επιτόκια Η περίπτωση του σταθερού επιτοκίου i Ράντες πληρωμών με τυχαίο επιτόκιο Μεταβαλλόμενες σειρές πληρωμών Μεταβαλλόμενες σειρές πληρωμών βάσει γεωμετρικής προόδου Στοχαστικές διαδικασίες - Η κίνηση Brown Εισαγωγή - Ορισμός Η κίνηση Brown Ιδιότητες της κίνησης Brown Η αριθμητική κίνηση Brown Η διαδικασία Ornstein-Uhlenbeck Η γεωμετρική κίνηση Brown Εϕαρμογές Στοχαστικών Μεθόδων σε Ράντες Πληρωμών Εισαγωγή Η Συνάρτηση παρούσας αξίας Μοντελοποίηση της συσσωρευμένης συνάρτησης έντασης ανατοκισμού Διαδικασία Wiener Διαδικασία Ornstein-Uhlenbeck Μοντελοποίηση της έντασης ανατοκισμού Διαδικασία Wiener Διαδικασία Ornstein-Uhlenbeck Εϕαρμογή σε ληξιπρόθεσμες ράντες
11 4.6 Αποτελέσματα - Εϕαρμογές Συμπεράσματα - Παρατηρήσεις Παράρτημα 82 6 Βιβλιογραϕία 85 2
12 Κεϕάλαιο 1 Η Θεωρία του Τόκου - Τυχαία Επιτόκια Στο κεϕάλαιο αυτό, θα κάνουμε μία στοχαστική προσέγγιση στη θεωρία του τόκου, θεωρώντας το i (rate of interest) ως μία τυχαία μεταβλητή. Θα δώσουμε μία βασική εισαγωγή σε διάϕορα μοντέλα (βλέπε πχ. [16], [19]), στηριζόμενοι σε στοχαστική βάση, τα οποία έχουν σημαντικές εϕαρμογές στην πράξη. Πιο συγκεκριμένα, αρχικά θα εξετάσουμε την περίπτωση κατά την οποία το επιτόκιο μίας περιόδου είναι ανεξάρτητο από το επιτόκιο οποιασδήποτε άλλης περιόδου. Αϕετέρου, θα μελετήσουμε την περίπτωση κατά την οποία οι διαδοχικές τιμές των επιτοκίων σχετίζονται μεταξύ τους (βλέπε πχ. [18]). 1.1 Ανεξάρτητα επιτόκια (Indepedent rates of interest) Θα θεωρήσουμε ότι το επιτόκιο είναι μία τυχαία μεταβλητή, δηλαδή θα εξετάσουμε την περίπτωση στην οποία το επιτόκιο μίας περιόδου είναι ανεξάρτητο από το επιτόκιο μίας άλλης περιόδου. Θα αποδείξουμε ότι οι αναμενόμενες συσσωρευμένες και παρούσες αξίες δεν είναι κατ ανάγκη ίσες με τις συσσωρευμένες και παρούσες αξίες βάσει του αναμενόμενου επιτοκίου. Ας δούμε όμως πρώτα το επόμενο παράδειγμα: Παράδειγμα 1.1 Εστω ότι έχουμε 1 νομισματική μονάδα, την οποία επενδύουμε για 10 χρόνια με αποτελεσματικό επιτόκιο (effective rate of interest, ERI) το οποίο είναι (με ίση πιθανότητα) είτε 7%, είτε 8%, είτε 9%. Το Αναμενόμενο Επιτόκιο ( expected rate of interest ) θα δίνεται από τον τύπο (της μέσης τιμής): E[i] = 0, , , 09 3 = 0, 08 3
13 Η Αναμενόμενη Συσσωρευμένη Αξία (expected accumulated value) θα είναι στην περίπτωση του άγνωστου επιτοκίου: E[(1 + i) 10 ] = (1, 07)10 + (1, 08) 10 + (1, 09) 10 3 = 2, Στην περίπτωση του αναμενόμενου επιτοκίου, E[i] = 0, 08, η συσσωρευμένη αξία θα είναι ίση με (1, 08) 10 = 2, Από τα ανωτέρω, προκύπτει ότι η αναμενόμενη συσσωρευμένη αξία διαϕέρει από τη συσσωρευμένη αξία που βρήκαμε βάσει του αναμενόμενου επιτοκίου, αϕού και από τη σχέση (1 + i) 10 = 2, προκύπτει ότι το επιτόκιο θα ισούται με i = 8, 028%. Παρόμοια αποτελέσματα παίρνουμε, όπως ϕαίνεται και από το παρακάτω παράδειγμα για τις Παρούσες Αξίες. Παράδειγμα 1.2 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να επενδύσουμε ένα ποσό σήμερα, αρκετό ώστε μετά το πέρας 10 ετών να συσσωρεύεται μία νομισματική μονάδα, βάσει των υποθέσεων που ίσχυαν και στο προηγούμενό μας παράδειγμα, με το ίδιο άγνωστο επιτόκιο. Στην περίπτωση αυτή, η Αναμενόμενη Παρούσα Αξία είναι ίση με: E[(1 + i) 10 ] = (1, 07) 10 + (1, 08) 10 + (1, 09) 10 3 = 0, ( ) ενώ η Παρούσα Αξία βάσει του Αναμενόμενου επιτοκίου, E[i] = 0, 08, είναι: (1, 08) 10 = 0, Παρατηρούμε διαϕορά πάλι ανάμεσα στην τιμή της αναμενόμενης παρούσας αξίας και της παρούσας αξίας βάσει του αναμενόμενου επιτοκίου. Το επιτόκιο το οποίο παράγει την αναμενόμενη παρούσα αξία της σχέσης ( ), θα είναι το: (1 + i) 10 = 0, i = 7, 966% Συσσωρευμένες Αξίες Στα προηγούμενα παραδείγματα, θεωρήσαμε ότι το αβέβαιο επιτόκιο ήταν σταθερό κατά τη διάρκεια 4
14 των 10 χρόνων. Τώρα, θα θεωρήσουμε την περίπτωση κατά την οποία το επιτόκιο μπορεί να μεταβάλλεται από περίοδο σε περίοδο, σύμϕωνα με κάποια κατανομή (η οποία δεν αλλάζει με το χρόνο). Εστω i t το επιτόκιο κατά την περίοδο t (δηλαδή από t 1 έως t), όπου t = 1, 2,..., n. Η Συσσωρευμένη Αξία μιας επένδυσης 1 νομισματικής μονάδας, στο τέλος n περιόδων, θα δίνεται από τον τύπο: n a(n) = (1 + i 1 )(1 + i 2 )...(1 + i n ) = (1 + i t ) (1.1) Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα επιτόκια i t είναι ανεξάρτητα και ισόνομα με κατανομή που έχει μέσο όρο i, δηλαδή E[i t ] = i. Η Αναμενόμενη Συσσωρευμένη Αξία δίνεται από τον τύπο: t=1 n E[a(n)] = E[ (1 + i t )] = t=1 n E(1 + i t ) = (1 + i) n (1.2) t=1 Παρατηρούμε ότι σε αυτήν την περίπτωση η αναμενόμενη συσσωρευμένη αξία ισούται με τη συσσωρευμένη αξία βάσει του αναμενόμενου επιτοκίου. Στη συνέχεια, κάνοντας χρήση της σχέσης (1.2), θεωρούμε τη διασπορά της συσσωρευμένης αξίας η οποία είναι: V ar[a(n)] = E[a 2 (n)] {E[a(n)]} 2 = E[a 2 (n)] (1 + i) 2n (1.3) Εστω ότι τα επιτόκια i t έχουν διασπορά ίση με s 2, δηλαδή V ar[i t ] = s 2. Τότε υπολογίζουμε τη Δεύτερη Ροπή: n E[a 2 (n)] = E[ (1 + i t ) 2 ] = = = t=1 n E[(1 + i t ) 2 ] t=1 n E[1 + 2i t + (i t ) 2 ] t=1 n E[1] + 2E[i t ] + E[(i t ) 2 ] t=1 ( ) Ομως, E[(i t ) 2 ] = V ar(i 2 t ) + (E[i t ]) 2 = s 2 + i 2 5
15 Άρα η ( ) γίνεται: E[a 2 (n)] = n (1 + 2i + s 2 + i 2 ) t=1 Άρα η σχέση (1.3) με τη βοήθεια της (1.4) γίνεται: = (1 + 2i + s 2 + i 2 ) n (1.4) V ar[a(n)] = (1 + 2i + s 2 + i 2 ) n (1 + i) 2n (1.5) ή αλλιώς V ar[a(n)] = (1 + j) n (1 + i) 2n όπου j = 2i + i 2 + s 2. Θα επεκτείνουμε τώρα την παραπάνω ανάλυση για μία προκαταβλητέα ράντα σταθερών πληρωμών (level-payment annuity) για n περιόδους. Η συσσωρευμένη αξία της ράντας αυτής είναι ίση με: s n = (1 + i n ) + (1 + i n )(1 + i n 1 ) (1 + i n )(1 + i n 1 )...(1 + i 1 ) = n t (1 + i n s+1 ) (1.6) t=1 s=1 6
16 Τότε, n t E[ s n ] = E[ (1 + i n s+1 )] t=1 s=1 n t = E[1 + i n s+1 ] t=1 s=1 n t = E(1) + E(i n s+1 ) t=1 s=1 n t = (1 + i) t=1 s=1 n = (1 + i) t t=1 = (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) (1 + i) n = s n i (1.7) Στη συνέχεια αναζητούμε τη διασπορά της s n, δηλαδή τη V ar[ s n ] με: n t V ar( s n ) = V ar( (1 + i n s+1 )) t=1 s=1 Η παραπάνω σχέση αποδεικνύεται στο Παράρτημα (το Παράρτημα παρατίθεται στο τέλος της διπλωματικής εργασίας). Υποθέτουμε ότι m s 1 και m s 2 οι πρώτες και δεύτερες ροπές του (1 + i t ) αντίστοιχα, οπότε έχουμε: και όπου m s 1 = E(1 + i t ) = 1 + i m s 2 = E[(1 + i t ) 2 ] = 1 + j j = 2i + i 2 + s 2 Τότε, όπως αποδεικνύεται και στο Παράρτημα έχουμε ότι: V ar( s n ) = ms 1 + m s 2 s m s 2 m s n j 2ms 2 s 1 m s 2 m s n i ( s n i ) 2 (1.8) 1 7
17 Παρούσες Αξίες Ανάλογα αποτελέσματα με εκείνα των Συσσωρευμένων Αξιών, μπορούν επίσης να θεμελιωθούν και για τις Παρούσες Αξίες. Στην περίπτωση αυτή, όμως, θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στην επιλογή των επιτοκίων που θα χρησιμοποιήσουμε, αϕού εν γένει 1 E[ ] 1 + i t 1 E[1 + i t ] Για αυτόν το λόγο, θα πρέπει να ορίσουμε το επιτόκιο i με 1 E[ ] := (1 + i) i t Να τονίσουμε εδώ ότι αυτή η τιμή του i είναι διαϕορετική από αυτή που χρησιμοποιήθηκε για τις συσσωρευμένες αξίες, για την οποία E[i t ] = i. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε τύπους για την αναμενόμενη παρούσα αξία μίας (σειράς πληρωμών) ράντας, ανάλογη του τύπου (1.1). Ετσι, έχουμε ότι: E[a 1 (n)] = (1 + i) n (1.9) Οσον αϕορά τη διασπορά της παρούσας αξίας, έχουμε: V ar[a 1 (n)] = E[a 2 (n)] E[a 1 (n)] 2 = (1 + k) n (1 + i) 2n (1.10) όπου (1 + k) 1 = E[(1 + i t ) 2 ] Οσον αϕορά τη διασπορά της παρούσας αξίας, η σχέση (1.10) είναι η καλύτερη δυνατή που μπορούμε να έχουμε, καθώς δεν γνωρίζουμε πως κατανέμονται τα i t. Η προηγούμενη προσέγγιση, με την οποία βρήκαμε τη δεύτερη ροπή για τις συσσωρευμένες αξίες δε θα δουλέψει για τις παρούσες. Αυτή θα υπολογιστεί, βασιζόμενοι σε μία δεύτερη ροπή, η οποία στηρίζεται σε μία συγκεκριμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Γνωρίζουμε ότι η παρούσα αξία μίας annuity-immediate 8
18 n περιόδου δίνεται από τον τύπο: a n = (1 + i 1 ) 1 + (1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) (1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1...(1 + i n ) 1 = n t=1 t (1 + i s ) 1 s=1 Η μέση τιμή της a n είναι: E[a n ] = n t E[ (1 + i s ) 1 ] t=1 s=1 n t = (1 + i) 1 t=1 s=1 n = (1 + i) t t=1 = (1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) n = a n i (1.11) Η αναγωγή του τύπου (1.11) είναι όμοια με αυτήν του τύπου (1.7). Τέλος, θεωρούμε τη διασπορά της a n. Αν ορίσουμε m a 1 και m a 2 να είναι η πρώτη και η δεύτερη ροπή της (1 + i t ) 1 γύρω από την αρχή, δηλαδή: m a 1 = E[(1 + i t ) 1 ] = (1 + i) 1 (1.12) και αντίστοιχα, όπου m a 2 = E[(1 + i t ) 2 ] = (1 + k) 1 (1.13) (1 + k) 1 = E[(1 + i t ) 2 ] τότε, εϕαρμόζοντας τις παραπάνω σχέσεις στη σχέση που αποδείξαμε στο Παράρτημα, έχουμε: V ar(ä n ) = ma 2 + m a 1 ä m a 2 m a n k 2ma 2 ä 1 m a 2 m a n i (ä n i ) 2 (1.14) 1 9
19 ΣΧΟΛΙΟ Αν γνωρίζουμε τις πρώτες και δεύτερες ροπές των 1 + i t και (1 + i t ) 1, τότε είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τη μέση τιμή και τη διασπορά της συσσωρευμένης αξίας ή της παρούσας αξίας μιας πληρωμής ή την πληρωμή μιας ράντας σταθερών πληρωμών (level-annuity). Θα πρέπει, όμως, να κάνουμε μία επιλογή για την υπόθεση γύρω από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π) της κατανομής των i t, t = 1, 2,..., n. Ειδική Περίπτωση Υπάρχει μία σημαντική ειδική περίπτωση στην οποία ένα χρήσιμο αποτέλεσμα ανάγεται με τρόπο αναλυτικό. Ας υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή log(1 + i t ) N(µ, σ 2 ). Τότε η τυχαία μεταβλητή (1 + i t ) ακολουθεί μια lognormal κατανομή με παραμέτρους µ και σ 2 που δίνονται από τους τύπους: σ2 µ+ E[1 + i t ] = e 2 µ (1.15) και V ar[1 + i t ] = e 2µ+σ2 (e σ2 1) σ 2 (1.16) Από τη γνωστή σχέση t ä t = (1 + i 1 )(1 + i 2 )...(1 + i t ) = (1 + i k ) k=1 έχουμε ότι: n log ä n = log[ (1 + i t )] t=1 = log[(1 + i 1 )(1 + i 2 )...(1 + i n )] = log(1 + i 1 ) + log(1 + i 2 ) log(1 + i n ) = n log(1 + i t ) (1.17) t=1 όπου t = 1, 2,..., n. Το δεξί μέλος της (1.17) είναι το άθροισμα n-ανεξάρτητων κανονικών τυχαίων μεταβλητών, η κάθε μία εκ των οποίων έχει μέση τιμή µ και διασπορά σ 2. Οπότε το log a(n) ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή nµ και διασπορά nσ 2, δηλαδή log a(n) N(nµ, nσ 2 ) 10
20 Ετσι η a(n) ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή (lognormal) με παραμέτρους nµ και nσ 2. Αν ανατρέξουμε στη σχέση μεταξύ έντασης ανατοκισμού και επιτοκίου: δ = log e (1 + i) τότε το δεξί μέλος της σχέσης (1.17) είναι το άθροισμα όλων των δ ts, (t = 1, 2,..., n) με δ [t] = log e (1 + i t ) (1.18) όπου το δ [t] αναϕέρεται ως η ένταση ανατοκισμού για το διάστημα [t 1, t], και είναι διαϕορετικό από το δ t το οποίο αϕορά μόνο τη χρονική στιγμή t. ΣΧΟΛΙΟ Η λογαριθμοκανονική (lognormal) κατανομή μας είναι χρήσιμη, καθώς μας παρέχει καλά μοντέλα για τις διασπορές του επιτοκίου (rate of interest). Παράδειγμα 1.3 Υποθέτουμε ότι i t με t = 1, 2,..., n είναι το αποτελεσματικό επιτόκιο (effective rate of interest), το οποίο κατανέμεται ομοιόμορϕα στο διάστημα [0.07, 0.09] για τις t = 1, 2, 3. Θα βρούμε τη μέση τιμή καθώς και την τυπική απόκλιση της συσσωρευμένης αξίας επένδυσης μιας νομισματικής μονάδας στο τέλος των 3 ετών. Πράγματι, αϕού έχουμε ομοιόμορϕη κατανομή στο [a, b] = [0.07, 0.09], ισχύει ότι E[i t ] = 0, , 09 2 = 0, 08 Από τον τύπο E[a(n)] = (1 + i) n (για n = 3 που είναι το τέλος της περιόδου), έχουμε: Για την τυπική απόκλιση, επίσης, θα έχουμε: E[a(3)] = (1 + 0, 08) 3 = 1, V ar[i t ] = s 2 = E[i 2 t ] E[i t ] 2 = (b a)2 12 = (0, 09 0, 07)2 12 = 0, άρα τελικά s = 0, Αυτό θα μπορούσε να προκύψει και με τον παρακάτω τρόπο: V ar[a(n)] = (1 + 2i + i 2 + s 2 ) n (1 + i) 2n 11
21 και για n = 3 έχουμε V ar[a(3)] = [ , 08 + (0, 08) 2 + 0, 00013] 3 (1 + 0, 08) 6 = 0, άρα τελικά V ar[a(3)] = 0, Παράδειγμα 1.4 Θα βρούμε τη μέση τιμή καθώς και την τυπική απόκλιση για τις συσσωρευμένες αξίες επένδυσης μιας νομισματικής μονάδας που γίνονται στην αρχή κάθε χρόνου και για 3 χρόνια. Πράγματι, έχουμε ότι E[ s 3 ] = s 3 = s 3 0,08 και αϕού ισχύει ότι: προκύπτει τελικά s n = s n (1 + i) E[ s 3 ] = 3, 5061 Οσον αϕορά τη διασπορά της s 3 : V ar( s 3 ) = ms 2 + m s 1 s m s 2 m s n j ( s n i ) 2 1 όπου και m s 1 = E[1 + i t ] = 1 + i = 1, 08 m s 2 = E[(1 + i t ) 2 ] = 1 + j = και j = 2i + i 2 + s 2 με s 2 = V ar[i t ] = 0, Ετσι, τελικά η διασπορά s 3 είναι ίση με V ar( s 3 ) = 0, και V ar( s 3 ) = 0,
22 Παράδειγμα 1.5 Εστω ότι το 1 + i t (t = 1, 2,.., n) ακολουθεί λογαριθμοκανονική (lognormal) κατανομή, με µ = 0, 06 και σ 2 = 0, 01. Θα βρούμε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση αρχικά για a(5), για s 5, για a 1 (5) καθώς και για a 5. Από υπόθεση, για a(5), έχουμε: και με εϕαρμογή της σχέσης (1.2) σ2 µ+ E[1 + i t ] = e 2 = e 0,06+0,005 = 1, = 1 + i E[a(5)] = (1, ) 5 = 1, Οσον αϕορά τη διασπορά, από τον τύπο (1.16) έχουμε: V ar[1 + i t ] = e 2µ+σ2 (e σ2 1) = e 0,12+0,01(e0,01 1) = 0, Από θεωρία, γνωρίζουμε ότι η a(5) ακολουθεί lognormal κατανομή με παραμέτρους 5µ και 5σ 2, οπότε V ar[a(5)] = e 10µ+5σ2 (e 5σ2 1) = e 0,6+0,05(e0,05 1) = 0, Συνεπώς, βρίσκουμε ότι η τυπική απόκλιση είναι V ar[a(5)] = 0, Στη συνέχεια, για s 5, υπολογίζουμε τις τιμές των E[ s 5 ] και V ar[ s 5 ]. Από τον τύπο E[ s n ] = s n i, έχουμε ότι E[ s 5 ] = s 5 i = s 5 0, = 6, 1023 Εν συνεχεία, σύμϕωνα με τον τύπο (1.8), και λαμβάνοντας υπόψιν μας ότι j = 2i + i 2 + s 2 και s 2 = V ar[i t ] έχουμε: V ar[ s 5 ] = E[(1 + i t) 2 ] + E[1 + i t ] (1 + j) (1 + i) = 0, και τελικά V ar[ s 5 ] = 0, (1 + j) (1 + j) (1 + i) s 5 0, ( s 5 0, ) 2 13
23 Τώρα θα υπολογίσουμε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση για a 1 (5). Από τη σχέση (1.9), είναι γνωστό πως E[a 1 (n)] = (1 + i) n, και επίσης ισχύει ότι log(1 + i t ) 1 = log(1 + i t ) η οποία, όπως αναϕέραμε, ακολουθεί λογαριθμοκανονική (lognormal) κατανομή με παραμέτρους µ και σ 2, δηλαδή log(1 + i t ) N( µ, σ 2 ) Άρα η τυχαία μεταβλητή (1 + i t ) 1 lognormal με παραμέτρους µ και σ 2, δηλαδή E[(1 + i t ) 1 σ2 µ+ ] = e 2 = e 0,06+0,005 = 0, = (1 + i) 1 και V ar[(1 + i t ) 1 ] = e 2µ+σ2 (e σ2 1) = 0, Συνεπώς, για n = 5, βρίσκουμε ότι E[a 1 (5)] = (1 + i) 5 = [(1 + i) 1 ] 5 = (0, ) 5 = 0, και για την V ar[a 1 (5)] θα έχουμε V ar[a 1 (5)] = e 10µ+5σ2 (e 5σ2 1) = e 0,6+0,05(e0,05 1) = 0, και τελικά V ar[a 1 (5)] = = Τέλος, θα βρούμε την E[a 5 ] και την V ar[a 5. Είναι όμως γνωστό ότι E[a 5 ] = a 5 i με i = 0, Άρα τελικά έχουμε ότι Για τη διασπορά επίσης θα έχουμε: E[a 5 ] = a 5 0, = 4, 2523 V ar[a 5 ] = (1 + k) 1 + (1 + i) 1 (1 + k) 1 (1 + i) a 2(1 + k) k (1 + k) 1 (1 + i) a 1 5 i (a 5 i ) 2 Επομένως, αρκεί να βρούμε το k για το οποίο ισχύει ότι: (1 + k) 1 = E[(1 + i t ) 2 ] = e 0,12+0,01 e 0,01 = e 0,1 = 0,
24 Τελικά k = 0, Με τη βοήθεια του k, και χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση (1.8), καταλήγουμε ότι V ar[a 5 ] = 0, και V ar[a 5 = 0, 6191 Παράδειγμα 1.6 Υποθέτουμε ότι E[i t ] = 0, 08, (t = 1, 2, 3) και ότι (1+i t ) lognormal κατανομή, με σ 2 = 0, Θα βρούμε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την αναμενόμενη αξία επένδυσης της μιας νομισματικής μονάδας στο τέλος των τριών χρόνων. Εϕόσον (1 + i t ) lognormal τότε ισχύει ότι: σ2 µ+ E[(1 + i t )] = e 2 και V ar[(1 + i t )] = e 2µ+σ2 (e σ2 1) Τότε, όμως, θα ισχύει και ότι η log(1 + i t ) N(µ, σ 2 ), δηλαδή ότι µ = E[log(1 + i t )] = log(e[1 + i t ]) = log(1 + E[i t ]) = log(1 + 0, 08) = log(1, 08) = 0, και σ 2 = 0, 0001 Από τη σχέση (1.17), log ä n = log[(1 + i 1 )(1 + i 2 )...(1 + i n )] = log(1 + i 1 ) + log(1 + i 2 ) log(1 + i n ) = n log(1 + i t ) t=1 παρατηρούμε ότι η log ä n N(nµ, nσ 2 ) άρα log ä n = N(3µ, 3σ 2 ) = N(0, , 0, 0003) 15
25 Συνεπώς, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη συνάρτηση log ä 3, στο τέλος των 3 χρόνων είναι το (3µ 1, 96σ, 3µ + 1, 96σ) = (0, , 96 0, 003, 0, , 96 0, 003) = (0, , 0, ) Μπορούμε ανάλογα να βρούμε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την ä 3. Εϕόσον log ä 3 N(3µ, 3σ 2 ), τότε η ä 3 ακολουθεί lognormal κατανομή με 3σ2 3µ+ E[ä 3 ] = e 2 και V ar[ä 3 ] = e 6µ+3σ2 (e 3σ2 1) Άρα, ομοίως, το διάστημα εμπιστοσύνης για την ä 3 θα είναι το (E[ä 3 ] V ar[ä 3 ], E[ä 3 ] + V ar[ä 3 ]) = (e , e ) = ( , ) 1.2 Εξαρτημένα επιτόκια (Dependent rates of interest) Στην προηγούμενη ενότητα, υποθέσαμε ότι τα επιτόκια i t σε κάθε διαδοχική περίοδο είναι ανεξάρτητα. Στην ενότητα αυτή, θεωρούμε κάποια αποτελέσματα χωρίς την παραπάνω υπόθεση. Τα εξαρτημένα επιτόκια έχουν διαισθητική ( intuitive ) εμϕάνιση. Για παράδειγμα, αν το επιτόκιο σε μια περίοδο είναι αρκετά υψηλότερο από ένα μακροπρόθεσμο μέσο επιτόκιο, τότε είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το επιτόκιο της επόμενης περιόδου θα είναι και αυτό υψηλότερο από το μέσο επιτόκιο, παρά πιο χαμηλό. Η ίδια υπόθεση επίσης ϕαίνεται λογική για επιτόκια χαμηλότερα από το μέσο. Η ουσία είναι ότι: Τα επιτόκια παραμένουν υψηλά ή χαμηλά για διαδοχικές περιόδους, παρά μια ϕορά ψηλά και μια ϕορά χαμηλά, γύρω από το μέσο επιτόκιο. Το παραπάνω γίνεται αντιληπτό αν σκεϕθεί κανείς ότι το επίπεδο των επιτοκίων είναι τις περισσότερες ϕορές συνδεδεμένο με την ευρύτερη οικονομική κατάσταση και τις κυβερνητικές πολιτικές. 16
26 Υπάρχουν πολλά διαϕορετικά μοντέλα χρονοσειρών, τα οποία έχουν θεμελιωθεί. Τα πιο δημο- ϕιλή μοντέλα είναι τα Moving Average (MA) μοντέλα, τα Autoregressive (AR) μοντέλα, καθώς και ένας συνδυασμός των δύο. Στην ενότητα αυτή, θα αναϕερθούμε στο Autoregressive (AR) μοντέλο, καθώς έχει αποδειχθεί ότι είνξαι πιο επιτυχημένο στην μοντελοποίηση της κίνησης των επιτοκίων σε σχέση με το Moving Average (MA) μοντέλο. Σαν εισαγωγικό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε μια ομοιόμορϕη κατανομή που εϕαρμόζεται για ένα διάστημα με πλάτος a > 0, σε κάθε πλευρά του μέσου. Δηλαδή αν το μακροπρόθεσμο μέσο επιτόκιο είναι i, τότε έχουμε μια ομοιόμορϕη κατανομή για το διάστημα [i a, i + a]. Υποθέτουμε τώρα ότι τα διαδοχικά επιτόκια συνδέονται με την αναδρομική σχέση: όπου 0 k 1. Αν k = 0, τότε i t = i. Αν k = 1, τότε i t = i + (i t 1 i) = i t 1. i t = i + k(i t 1 i) (1.19) Αυτή η σχέση εξάρτησης, υποθέτει ότι η ομοιόμορϕη κατανομή εϕαρμόζεται με κέντρο το i t 1 στο διάστημα [i t 1 a, i t 1 + a] για κάθε διαδοχική τιμή του t 1. Η σταθερά k είναι το σχετικό βάρος που δίνεται στο μακροπρόθεσμο μέσο επιτόκιο και στο επιτόκιο της προηγηθείσας περιόδου. Αν k = 0, τότε έχουμε ανεξαρτησία και χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα της προηγούμενης ενότητας. Αν k = 1, τότε δίνουμε το ολικό βάρος (total weighting). Το παραπάνω παράδειγμα σχετίζεται με μια εϕαρμογή μιας Autoregressive Process of Order One - AR(1). Να σημειώσουμε εδώ ότι μία τέτοια διαδικασία κάνει το επιτόκιο μιας περιόδου να εξαρτάται από το επιτόκιο της προηγούμενης περιόδου. Διαδοχικά αποτελέσματα έχουν αναχθεί εϕαρμόζοντας την lognormal κατανομή σε εξαρτημένη μορϕή. Αυτό επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας τη μορϕή της δ [t] όπως ορίστηκε στον τύπο δ [t] = ln(1 + i t ) Γενικά, δ = ln(1 + i) Υποθέτουμε ότι η μακροπρόθεσμη μέση ένταση ανατοκισμού, δίνεται από την δ, με E[δ [t] ] = δ (1.20) 17
27 για t = 1, 2,..., n. Εϕαρμόζουμε την AR(1) διαδικασία (αναπτύσσοντάς την πληρέστερα από το προηγούμενο παράδειγμα) υποθέτοντας ότι η δ [t] βασίζεται στην μακροπρόθεσμη μέση ένταση ανατοκισμού, καθώς και στην ένταση της προηγούμενης περιόδου. Γι αυτό και έχει τη μορϕή: δ [t] = δ + k(δ [t 1] δ) + e(t) (1.21) Η ομοιότητα του τύπου (1.21) με τον τύπο (1.19) ϕαίνεται καθαρά. Η έκϕραση e(t) είναι ο όρος σϕάλματος και υποτίθεται ότι τα e(t) s για t = 1, 2,... είναι ανεξάρτητα και κατανέμονται ως προς την κανονική κατανομή με μέση τιμή µ = 0 και διασπορά σ 2. Δίνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα χωρίς απόδειξη. Η διασπορά του δ [t] δίνεται από τη σχέση: V ar[δ [t] ] = και η συνδιασπορά μεταξύ δ [s] και δ [t] δίνεται από τη σχέση: όπου t > s και k < 1. Cov[δ [s], δ [t] ] = σ2 1 k 2 (1.22) σ2 1 k 2 kt s (1.23) Αν k = 0, τότε έχουμε ανεξαρτησία και εϕαρμόζονται τα αποτελέσματα της προηγούμενης ενότητας οπότε: V ar[δ [t] ] = σ 2 και Cov[δ [s], δ [t] ] = 0 Παράδειγμα 1.7 Εστω ότι το μακροπρόθεσμο αποτελεσματικό επιτόκιο (effective rate of interest) είναι 6% και αυτό του προηγούμενου χρόνου είναι 9%. Θα συγκρίνουμε το σχήμα που παράγεται από τον τύπο (1.19) για μια περίοδο τριών ετών, υποθέτοντας ότι η απόδοση κάθε χρόνου είναι ίση με το εκτιμώμενο επιτόκιο που βασίζεται στο μακροπρόθεσμο μέσο επιτόκιο αρχικά για την περίπτωση όπου k = 0, 2, και αϕετέρου για την περίπτωση όπου k = 0, 8. Πράγματι, η σχέση (1.19) γίνεται για t = 1: i 1 = 0, , 2(0, 09 0, 06) = 0,
28 i 2 = 0, , 2(0, 066 0, 06) = 0, 0612 i 3 = 0, , 2(0, , 06) = 0, Παρατηρούμε δηλαδή ότι όσο το t μεγαλώνει, οι τιμές πλησιάζουν το μακροπρόθεσμο επιτόκιο 6%. Δουλεύοντας πάλι με τη σχέση (1.19) αλλά για k = 0, 8, έχουμε: i 1 = 0, , 8(0, 09 0, 06) = 0, 084 i 2 = 0, , 8(0, 084 0, 06) = 0, 0792 i 3 = 0, , 8(0, , 06) = 0, Εδώ, όπως παρατηρούμε, υπάρχει και πάλι σύγκλιση, αλλά πολύ πιο αργή από την περίπτωση όπου k = 0, 2. Παράδειγμα 1.8 Υποθέτουμε ότι η δ [t] ακολουθεί μια διαδικασία AR(1) με μέση τιμή µ = 0, 09, διασπορά σ 2 = 0, 003 και το cov[δ [s], δ [t] ] = 0, 002. Αν η εκτιμώμενη τιμή της δ [4] είναι ίση με 0,075, θα βρούμε την πραγματική αξία (actual value) της δ [3]. Πράγματι, ξεκινάμε διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (1.23) και (1.22). Ετσι θα έχουμε: Cov[δ [s], δ [t] ] V ar[δ [t] ] = k t s = k 4 3 = k Ομως, V ar[δ [4] ] = 0, 003 και Cov[δ [3], δ [4] ] = 0, 002 άρα τελικά k = 2. 3 Αν συμβολίσουμε με δ A την πραγματική τιμή και με δ E την εκτιμώμενη, κάνοντας χρήση του τύπου (1.21), θα έχουμε: δ[4] E = δ + k(δ[3] A δ) και αϕού από υπόθεση έχουμε ότι δ = E[δ [4] ] = 0, 09, και δ[4] E δ[3] A = = 0, 075, καταλήγουμε ότι Στο επόμενο κεϕάλαιο, θα μελετήσουμε τη συσσωρευμένη ή μελλοντική αξία σίγουρων ή βέβαιων ραντών για μια σειρά ετών, στις οποίες το επιτόκιο αποτελεί μία τυχαία μεταβλητή, έχοντας 19
29 ως στόχο τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής (expected value) και της διακύμανσης (variance) της προαναϕερθείσας συσσωρευμένης αξίας, προτείνοντας δύο μεθόδους για τον υπολογισμό τους. 20
30 Κεϕάλαιο 2 Ράντες Πληρωμών με Μεταβαλλόμενα Επιτόκια Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει για να ερευνηθούν στοχαστικά μοντέλα τυχαίου επιτοκίου και να αποτιμηθούν τα αποτελέσματά τους κάτω από διάϕορες υποθέσεις (βλέπε, π.χ. [6], [20], [24], [25], [26]). Στην ενότητα αυτή, υποθέτουμε ότι τα ετήσια επιτόκια είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με κοινή μέση τιμή και διασπορά. Εϕαρμόζουμε την υπόθεση αυτή, προκειμένου να υπολογίσουμε μέσω αναδρομικών σχέσεων, θεμελιώδη χαρακτηριστικά, όπως η αναμενόμενη αξία και η διακύμανση των συσσωρευμένων αξιών των ραντών, με τις πληρωμές να ποικίλλουν σε αριθμητική ή/και γεωμετρική πρόοδο (βλέπε, π.χ. [7], [27]). Θα μελετηθεί η συσσωρευμένη ή μελλοντική αξία σίγουρων ή βέβαιων ραντών για μια σειρά ετών, στις οποίες το επιτόκιο(που έγκειται σε κάποιους περιορισμούς) αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή. Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή (expected value) και τη διακύμανση (variance) της συσσωρευμένης αξίας, και προτείνουμε δύο μεθόδους για τον υπολογισμό τους. Οι δύο μέθοδοι που θα περιγραϕούν, αντιμετωπίζουν παρόμοιες δυσκολίες, έχουν πλεονεκτήματα/ μειονεκτήματα, και σε κάποιες περιπτώσεις, η μία είναι προτιμότερη έναντι της άλλης, όσον αϕορά την ευκολία υπολογισμών. Η καινοτομία της δεύτερης μεθόδου είναι η απευθείας εύρεση της διακύμανσης συσσωρευμένων αξιών, χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις και επίλυση αυτών, σε αντίθεση με τη συνήθη διαδικασία που ήταν να υπολογίζεται πρώτα η δεύτερη ροπή. 2.1 Η περίπτωση του σταθερού επιτοκίου i Ας υποθέσουμε ότι έχουμε σταθερό επιτόκιο i, για περίοδο n ετών. Το προεξοϕλητικό επιτόκιο δίνεται από τη σχέση: 21
31 d = i (1 + i) (2.1) και η Παρούσα Αξία ν της μίας νομισματικής μονάδας 1, μετά άπό ένα χρόνο, δίνεται από τη σχέση: ν = 1 (1 + i) (2.2) οπότε προκύπτουν οι σχέσεις: και d + ν = d = i ν (2.3) 1 (1 + i) + i (1 + i) = 1 (2.4) Σε όλη την υπόλοιπη εργασία, θα υποθέτουμε ότι k n, εκτός αν δηλώνεται διαϕορετικά. Η συσσωρευμένη αξία μετά από k έτη μιας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες πληρωμές της 1 νομισματικής μονάδας, υπολογίζεται ως κάτωθι: s k i = (1 + i) + (1 + i) (1 + i) k = (1 + i) [ 1 + (1 + i) + (1 + i) (1 + i) k 1 ] k 1 = (1 + i) (1 + i) µ=0 = (1 + i) = (1 + i) 1 (1 + i)k 1 (1 + i) 1 (1 + i)k i = = 1 (1 + i)k i 1+i 1 (1 + i)k d = (1 + i)k 1 d (2.5) 22
32 και από το τρίτο βήμα της προηγούμενης απόδειξης, προκύπτει προϕανώς και η πρώτη μας αναδρομική σχέση για τη συσσωρευμένη αξία μετά από k έτη μιας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες πληρωμές της 1 νομισματικής μονάδας. Αυτή θα είναι η κάτωθι: s k i = (1 + i) (1 + s k 1 i ) (2.6) Η συσσωρευμένη αξία μετά από k έτη μιας αυξανόμενης προκαταβλητέας ράντας k ετήσιων πληρωμών των 1,2,...,k νομισματικών μονάδων, αντίστοιχα, με τη βοήθεια της σχέσης (2.5) δίνεται από: (I s) k i = k(1 + i) + (k 1)(1 + i) (1 + i) k = [ (1 + i) + (1 + i) (1 + i) k ] + [ (1 + i) + (1 + i) (1 + i) k 1 ] (1 + i) = s k i + s k 1 i s 1 i = = k µ=1 k µ=1 s µ i (1 + i) µ 1 d = 1 d k [ (1 + i) µ 1 ] µ=1 = s k i k d (2.7) 23
33 Η τελευταία σχέση μπορεί να οριστεί και με τη βοήθεια του αναδρομικού τύπου: (I s) k i = k(1 + i) + (k 1)(1 + i) (1 + i) k = (1 + i) [ (k 1)(1 + i) + (k 2)(1 + i) (1 + i) k 1 ] + k(1 + i) = (1 + i)(i s) k 1 i + k(1 + i) = (1 + i) [ ] (I s) k 1 i + k. (2.8) Τώρα θα αναϕέρουμε και τη σχέση ανάμεσα σε (I s) k i, (I s) k 1 i και ( s) k i η οποία είναι η ακόλουθη: (I s) k i = k(1 + i) + (k 1)(1 + i) (1 + i) k = [ (k 1)(1 + i) + (k 2)(1 + i) (1 + i) k 1 ] + [ (1 + i) + (1 + i) (1 + i) k ] = (I s) k 1 i + ( s) k i (2.9) Στη συνέχεια θα αποδείξουμε θεώρημα που αϕορά τη συσσωρευμένη αξία μιας αυξανόμενης προκαταβλητέας ράντας k ετήσιων πληρωμών, των 1 2,2 2,...,k 2 νομισματικών μονάδων, αντίστοιχα. Θεώρημα Η συσσωρευμένη αξία μιας αυξανόμενης προκαταβλητέας ράντας k ετήσιων πληρωμών, των 1 2,2 2,...,k 2 νομισματικών μονάδων, αντίστοιχα ισούται με: (I 2 s) k i = 2(I s) k i s k i k2 (2.10) d Απόδειξη: Από τον ορισμό της συσσωρευμένης αξίας αυξανόμενης προκαταβλητέας ράντας k ετήσιων πληρωμών, 1 2, 2 2,..., k 2, έχουμε (I 2 s) k i = k 2 (1 + i) + (k 1) 2 (1 + i) (1 + i) k (2.11) Πολλαπλασιάζοντας την (2.11) με τον συντελεστή προεξόϕλησης ν παίρνουμε ν(i 2 s) 1 [ k i = k 2 (1 + i) + (k 1) 2 (1 + i) (1 + i) ] k 1 + i = k 2 + (k 1) 2 (1 + i) (1 + i) k 2 + (1 + i) k 1 (2.12) 24
34 και αϕαιρώντας την (2.12) από την (2.11), και με τη βοήθεια της (2.4) ϕτάνουμε στην d(i 2 s) k i = (1 + i) k + (2 2 1)(1 + i) k [k 2 (k 1) 2 ](1 + i) k 2 = (1 + i) k + 3(1 + i) k 1 + 5(1 + i) k (2k 1)(1 + i) k 2 (2.13) Αν στην τελευταία προσθέσουμε και αϕαιρέσουμε τον όρο s k i = (1 + i) + (1 + i) (1 + i) k, μετά από πράξεις ϕτάνουμε στην σχέση: d(i 2 s) k i = (1 + i) k + 3(1 + i) k 1 + 5(1 + i) k (2k 1)(1 + i) + s k i s k i k 2 = [ (1 + i) k (2k 1)(1 + i) ] + [ (1 + i) k + (1 + i) k (1 + i) ] s k i k 2 = [ 2(1 + i) k + 4(1 + i) k 1 + 6(1 + i) k k(1 + i) ] s k i k 2 = 2(I s) k i s k i k 2, και εύκολα προκύπτει το ζητούμενο. Επιπροσθέτως, από την (2.11) πολύ εύκολα προκύπτουν οι ακόλουθες αναδρομικές σχέσεις: (I 2 s) k i = k 2 (1 + i) + (k 1) 2 (1 + i) (1 + i) k = (1 + i)(k 2 + (I 2 s) k 1 i ) (2.14) 25
35 και αν πάρουμε τη διαϕορά ανάμεσα σε (I 2 s) k i και (I 2 s) k 1 i, προκύπτει ότι: (I 2 s) k i (I 2 s) k 1 i = [k 2 (k 1) 2 ](1 + i) + [(k 1) 2 (k 2) 2 ](1 + i) (2 2 1)(1 + i) k 1 + (1 + i) k = (2k 1)(1 + i) + (2k 3)(1 + i) (1 + i) k 1 + (1 + i) k = 2[k(1 + i) + (k 1)(1 + i) (1 + i) k 1 + (1 + i) k ] [(1 + i) + (1 + i) (1 + i) k ] = 2(I s) k i s k i (2.15) Η σχέση (2.15) εκϕράζει τη σχέση μεταξύ των (I 2 s) k i, (I 2 s) k 1 i, (I s) k i, και s k i. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το παρακάτω πόρισμα: Πόρισμα Η συσσωρευμένη αξία μιας αυξανόμενης προκαταβλητέας ράντας k ετήσιων πληρωμών, των 1 2,2 2,...,k 2 νομισματικών μονάδων, αντίστοιχα ισούται με: (I 2 s) k i = (1 + ν)( s k i + k2 ) 2k 2k 2 d 2 (2.16) 26
36 Απόδειξη: Χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.10), και με την βοήθεια των (2.4) και (2.7), έχουμε τα κάτωθι: (I 2 s) k i = 2(I s) k i s k i k2 d = 2( s k i k d ) s k i k 2 d Παρατήρηση = 2 s k i 2k d s k i dk2 d 2 = 2 s k i 2k (1 ν) s k i (1 ν)k2 d 2 = 2 s k i 2k s k i + ν s k i k2 + νk 2 d 2 = (1 + ν) s k i 2k + k2 k 2 k 2 + νk 2 d 2 = (1 + ν) s k i 2k + (1 + ν)k2 2k 2 d 2 = (1 + ν)( s k i + k2 ) 2k 2k 2 d 2 Αναϕέρουμε ότι για το υπόλοιπο της εργασίας, και για λόγους απλότητας, θα παραλείπεται ο δείκτης i, που αϕορά το επιτόκιο, ενώ σε αντίθετη περίπτωση που δεν έχουμε το συγκεκριμένο (σταθερό) επιτόκιο, αυτό θα δηλώνεται. Οι ϕθίνουσες ράντες πληρωμών είναι παρόμοιες με τις αύξουσες, με τη διαϕορά ότι οι πληρωμές γίνονται από τη μεγαλύτερη πληρωμή, προς την μικρότερη. Η συσσωρευμένη αξία μιας τέτοιας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες πληρωμές των n, n 1,..., n (k 1) νομισματικών μονάδων 27
37 αντίστοιχα, συμβολίζεται με (D s) n,k και δίνεται από τη σχέση: (D s) n,k = n(1 + i) k + (n 1)(1 + i) k (n k + 1)(1 + i) = (1 + i) [ n(1 + i) k 1 + (n 1)(1 + i) k (n k + 2)(1 + i) + (n k + 1) ] = (1 + i) [ ] (D s) n,k 1 + (n k + 1) (2.17) και πολύ εύκολα προκύπτει και ότι: (D s) n,k = (n + 1) s k (I s) k (2.18) Συμπέρασμα Το άθροισμα της συσσωρευμένης αξίας (I s) k μίας αύξουσας ράντας k πληρωμών και της συσσωρευμένης αξίας (D s) n,k μίας ϕθίνουσας ράντας k πληρωμών, ισούται με τη συσσωρευμένη αξία μιας αντίστοιχης μοναδιαίας ράντας. Ας θεωρήσουμε τώρα τη συσσωρευμένη αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με μεταβαλλόμενες πληρωμές βάσει αριθμητικής προόδου. Η πρώτη πληρωμή θα είναι P νομισματικές μονάδες και έπειτα θα αυξάνουμε την πληρωμή ανά περίοδο κατά Q. Ετσι, δημιουργούμε την ακόλουθη σειρά πληρωμών: P, P + Q, P + 2Q,..., P + (k 1)Q Σημειώνουμε ότι το P πρέπει να είναι θετικό ενώ το Q μπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό, αρκεί η τελευταία μας πληρωμή P +(k 1)Q να είναι θετική, ούτως ώστε να αποϕύγουμε αρνητικές πληρωμές. Η συσσωρευμένη αξία μιας τέτοιας ράντας πληρωμών θα συμβολίζεται με ( s α ) (P,Q) και k ορίζεται από την παρακάτω σχέση: ( s α ) (P,Q) k = P (1 + i) k + (P + Q)(1 + i) k [ P + (k 1)Q ] (1 + i) (2.19) Επιπροσθέτως, η σχέση που συνδέει τη συσσωρευμένη αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με μεταβαλλόμενες πληρωμές βάσει αριθμητικής προόδου, που μόλις ορίσαμε, με τις συσσωρευμένες αξίες μιας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες πληρωμές της 1 νομισματικής μονάδας ( s k ) και μιας αύξουσας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες πληρωμές ((I s) k i ), δίνεται σύμϕωνα με το παρακάτω θεώρημα: 28
38 Θεώρημα Η συσσωρευμένη αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με μεταβαλλόμενες πληρωμές βάσει αριθμητικής προόδου θα ισούται με: ( s α ) (P,Q) k = (P Q) s k + Q(I s) k (2.20) Απόδειξη: Ισχύει ότι: και (P Q) s k = (P Q) [ (1 + i) k + (1 + i) k (1 + i) ] Q(I s) k = Q(1 + i) k + 2Q(1 + i) k kq(1 + i) Προσθέτοντας τις παραπάνω δύο σχέσεις κατά μέλη, καταλήγουμε στο ζητούμενο. Ειδικές περιπτώσεις των P και Q στην (2.20) αποτελούν τα (P = 1, Q = 0), (P = 1, Q = 1) και (P = n, Q = 1), οι οποίες και παρουσιάζονται παρακάτω. Εϕαρμογή 2.1 Αν P = 1, Q = 0, τότε το ( s α ) (P,Q) αποτελεί τη συσσωρευμένη αξία μιας προκαταβλητέας ράντας k με k πληρωμές της 1 νομισματικής μονάδας, δηλαδή ( s α ) (1,0) k = s k (2.21) Εϕαρμογή 2.2 Αν P = 1, Q = 1, τότε το ( s α ) (P,Q) αποτελεί τη συσσωρευμένη αξία μιας αύξουσας προκαταβλητέας ράντας με k πληρωμές των 1, 2, 3,... νομισματικών μονάδων αντίστοιχα, k δηλαδή ( s α ) (1,1) k = (I s) k (2.22) Εϕαρμογή 2.3 Αν P = n, Q = 1, τότε το ( s α ) (P,Q) αποτελεί τη συσσωρευμένη αξία μιας ϕθίνουσας προκαταβλητέας ράντας με k πληρωμές των n, n 1,..., n k + 1 νομισματικών μονάδων k αντίστοιχα, δηλαδή ( s α ) (n, 1) k = (D s) n,k (2.23) Ας θεωρήσουμε τώρα τη συσσωρευμένη αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες μεταβαλλόμενες πληρωμές με γεωμετρική πρόοδο. Η πρώτη πληρωμή θα είναι P νομισματικές μονάδες και 29
39 έπειτα θα αυξάνουμε την πληρωμή ανά περίοδο με γεωμετική πρόοδο λόγου Q. Ετσι, δημιουργούμε την ακόλουθη σειρά γεωμετρικών πληρωμών: P, P Q, P Q 2,..., P Q k+1 Σημειώνουμε ότι τα P, Q πρέπει να είναι θετικά, ούτως ώστε να αποϕύγουμε αρνητικές πληρωμές της ράντας. Η συσσωρευμένη αξία αυτής της ράντας πληρωμών θα συμβολίζεται με ( s g ) (P,Q) και k ορίζεται από την παρακάτω σχέση: ( s g ) (P,Q) k = P (1 + i) k + P Q(1 + i) k P Q k 1 (1 + i) = P (1 + i) k Q k (1+i) k 1 Q (1+i) 1 = P (1 + i) k Q k (1+i) k (1+i) k Q 1 i 1+i = P (1 + i) (1 + i)k Q k (1 + i) Q (2.24) όπου το παραπάνω άθροισμα υπολογίστηκε σύμϕωνα με τον τύπο αθρόισματος k-όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο λ = Q 1 + i Ειδικές περιπτώσεις της (2.24) αποτελούν τα (P = 1, Q = 1), (P = 1, Q = 1 + u) (όπου πρέπει u i), με το u να δηλώνει ένα σταθερό ποσοστό αύξησης των πληρωμών. περιπτώσεις παρουσιάζονται παρακάτω. Οι ειδικές αυτές Εϕαρμογή 2.4 Αν P = 1, Q = 1, τότε το ( s g ) (P,Q) αποτελεί τη συσσωρευμένη αξία μιας προκαταβλητέας ράντας k με k πληρωμές της 1 νομισματικής μονάδας, δηλαδή ( s g ) (1,1) k = s k (2.25) Εϕαρμογή 2.5 Αν P = 1, Q = 1 + u, τότε το ( s g ) (P,Q) αποτελεί τη συσσωρευμένη αξία μιας αύξουσας προκαταβλητέας ράντας με k πληρωμές των 1, (1 + u), (1 + u) 2,..., (1 + u) k 1 νομισματικών k μονάδων 30
40 αντίστοιχα, δηλαδή ( s g ) (1,1+u) k = s k t (1 + i) k (1 + t) (2.26) όπου το t ορίζεται σαν η λύση της εξίσωσης: 1 + u = (1 + i)(1 + t) (2.27) Οντως, ο τύπος (2.26) αποδεικνύεται με την παρακάτω διαδικασία: ( s g ) (1,1+u) k = (1 + i) k + (1 + u)(1 + i) k 1 + (1 + u) 2 (1 + i) k (1 + u) k 1 (1 + i) = (1 + i) [ (1 + i) k 1 + (1 + u)(1 + i) k 2 + (1 + u) 2 (1 + i) k (1 + u) k 1 ] = (1 + i) (1 + i)k (1 + u) k (1 + i) (1 + u) = (1 + i)k (1 + u) k t (2.28) όπου θέσαμε το t ίσο με: t = (1 + u) (1 + i) 1 = (1 + u) (1 + i) (1 + i) (2.29) Επίσης, όπως έχουμε δείξει από τη σχέση (2.5) ισχύει ότι: s k t = (1 + t)k 1 d = (1 + t)k 1 t 1+t = (1 + t) (1 + t)k 1 t (2.30) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (2.30) με (1+i)k 1+t, καταλήγουμε στο: 31
41 (1 + i) k (1 + t) s k t = (1 + i)k (1 + t) (1 + t)(1 + t)k 1 t = (1 + i)k (1 + t) k (1 + i) k t = (1 + i)k (1+u)k (1+i) k t (1 + i) k = (1 + u)k (1 + i) k t = (1 + i)k (1 + u) k t = ( s g ) (1,1+u) k οπότε η σχέση (2.26) απεδείχθη. ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε ότι η (2.26) συνδέει τη συσσωρευμένη αξία μίας προκαταβλητέας ράντας με k ετήσιες πληρωμές της 1 νομισματικής μονάδας, με αυτήν μίας αύξουσας προκαταβλητέας ράντας με πρώτη πληρωμή 1 νομισματική μονάδα και σταθερό γεωμετρικό ρυθμό αύξησης, ίσο με (1 + u). 2.2 Ράντες πληρωμών με τυχαίο επιτόκιο Στην ενότητα αυτή, θα μελετήσουμε ένα μοντέλο πληρωμών μίας ράντας που θα αϕορά σταθερές πληρωμές με μεταβλητό επιτόκιο κάθε χρόνο. Εστω ότι το ετήσιο επιτόκιο την k-οστή χρονιά είναι i k, το οποίο είναι μία τυχαία μεταβλητή. Υποθέτουμε ότι για κάθε k, έχουμε E(i k ) = i > 0 και V ar(i k ) = s 2, καθώς και ότι τα i 1, i 2,..., i n είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Θα έχουμε ότι: E(1 + i k ) = 1 + i = µ (2.31) 32
42 και E[(1 + i k ) 2 ] = E(1 + 2i k + i 2 k) = E(1) + E(2i k ) + E(i 2 k) = E(1) + E(2i k ) + V ar[i k ] + [E(i k )] 2 = 1 + 2i + s 2 + i 2 = (1 + i) 2 + s 2 = 1 + f = m (2.32) όπου f = 2i + i 2 + s 2 (2.33) και προϕανώς ισχύει ότι V ar(1 + i k ) = E[(1 + i k ) 2 ] [E(1 + i k )] 2 = m µ 2 (2.34) Ορίζουμε την τιμή r σαν τη λύση της εξίσωσης: 1 + r = 1 + f 1 + i = m µ από όπου προκύπτει ότι και με χρήση της σχέσης (2.33), έχουμε r = f i 1 + i r = i + s2 1 + i (2.35) (2.36) Για μια μεταβαλλόμενη προκαταβλητέα ράντα k-ετών με πληρωμές c 1, c 2,..., c k νομισματικών μονάδων αντίστοιχα, συμβολίζουμε τη συσσωρευμένη αξία μετά το πέρας k ετών με C k. Υποθέτοντας ότι c 1 = 1, θα έχουμε ότι E(C k ) = µ k (2.37) E(Ck) 2 = m k (2.38) επομένως έπεται V ar(c k ) = m k µ 2 k (2.39) 33
43 Ειδικές περιπτώσεις των (2.37), (2.38) και (2.39) αποτελούν οι περιπτώσεις όπου έχουμε ράντες με πληρωμές c 1 = 1, c 2 = c 3 =... = c k = 0 και c 1 = c 2 = c 3 =... = c k = 1 αντίστοιχα. Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις παρουσιάζονται παρακάτω. Παράδειγμα 2.1 Εστω η περίπτωση όπου έχουμε c 1 = 1, c 2 = c 3 =... = c k = 0, η οποία ισοδυναμεί με μία και μόνο κατάθεση στην αρχή του πρώτου έτους. Στην περίπτωση αυτή, η συσσωρευμένη αξία της επένδυσης του 1, στο τέλος των k-περιόδων, θα είναι: C k = (1 + i 1 )(1 + i 2 )...(1 + i k ) = C k 1 (1 + i k ) k = (1 + i t ) (2.40) t=1 Υποθέτοντας τώρα ότι τα i t ς είναι ανεξάρτητα και ταυτοτικά, με κατανομή που έχει μέσο i, η αναμενόμενη συσσωρευμένη αξία θα είναι: E(C k ) = µ k k = E[ (1 + i t )] = t=1 k E(1 + i t ) t=1 = (1 + i) k = µ k (2.41) Ομοίως, ισχύει E[(C k ) 2 ] = m k k = E[ (1 + i t ) 2 ] = = t=1 k E(1 + 2i t + i 2 t ) t=1 k (1 + 2i + s 2 + i 2 ) t=1 = (1 + 2i + s 2 + i 2 ) k = m k (2.42) 34
44 Οπότε, τελικά, η διασπορά της συσσωρευμένης αξίας θα είναι ίση με V ar(c k ) = E[(C k ) 2 ] [E(C k )] 2 = m k µ 2k = [(1 + i) 2 + s 2 ] k (1 + i) 2k (2.43) Παράδειγμα 2.2 Στο παράδειγμα αυτό, θα επεκτείνουμε την ανάλυση του προηγούμενου παραδείγματος για μία level-payment μίας προκαταβλητέας ράντας για k περιόδους, όπου δηλαδή ισχύει c 1 = c 2 = c 3 =... = c k = 1. Αν C k η συσσωρευμένη αξία μετά το πέρας k ετών, τότε C k = (1 + i k ) + (1 + i k )(1 + i k 1 ) (1 + i k )(1 + i k 1 )...(1 + i 1 ) = (1 + i)[1 + (1 + i k 1 ) + (1 + i k 1 )(1 + i k 2 ) (1 + i k 1 )(1 + i k 2 )...(1 + i 1 )] = (1 + i)(1 + C k 1 ) (2.44) οπότε στην ουσία καταλήξαμε στη σχέση (2.6). Υποθέτοντας πάλι ότι έχουμε ανεξαρτησία στα επιτόκια, η αναμενόμενη συσσωρευμένη αξία θα είναι: E(C k ) = µ k = E[(1 + i)(1 + C k 1 )] = µ(1 + µ k 1 ) (2.45) και η διασπορά V ar(c k ) = m k = m(1 + 2m k 1 + µ k 1 ) (2.46) Επιπλέον, με εϕαρμογή της σχέσης (2.6) στην σχέση (2.45), έχουμε το κάτωθι αποτέλεσμα: Θεώρημα Αν C k η συσσωρευμένη αξία μετά το πέρας k ετών, μιας προκαταβλητέας ράντας με ετήσιες πληρωμές μίας νομισματικής μονάδας, και αν το ετήσιο επιτόκιο την k-οστή χρονιά είναι μία τυχαία μεταβλητή i k, τέτοια ώστε E(1 + i k ) = 1 + i και V ar(1 + i k ) = s 2, και τα i 1, i 2,..., i n είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε ισχύει ότι µ k = E(C k ) = s k i 35
45 Λήμμα Υπό τις προυποθέσεις του θεωρήματος 2.2.1, ισχύει ότι: m k = (m m k ) + 2(m s k 1 i + m 2 s k 2 i m k 1 s 1 i ) = M 1k + 2M 2k όπου M 1k = (m m k ) και 2M 2k = (m s k 1 i + m 2 s k 2 i m k 1 s 1 i ) Απόδειξη: Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαγωγής, θα αποδείξουμε ότι ισχύει η ζητούμενη σχέση. Αρχικά, θα εξετάσουμε αν ισχύει για k = 2: m 2 = M M 22 = (m + m 2 ) + 2(m s 1 i ) = m + m 2 + 2m s 1 i = m + m 2 + 2mµ 1 το οποίο είναι αληθές, σύμϕωνα με τη σχέση (2.45) (αν θέσουμε k = 2). Επειτα, θα δεχθούμε ότι η ζητούμενη σχέση ισχύει για ένα τυχαίο k, δηλαδή ότι m k = M 1k + 2M 2k Θα αποδείξουμε ότι η ζητούμενη σχέση θα ισχύει και για k + 1, δηλαδή ότι m k+1 = M 1(k+1) + 2M 2(k+1) Εχουμε ότι: και M 1(k+1) = m m k + m k+1 = m(1 + M 1k ) M 2(k+1) = m s k i + m 2 s k 1 i m k s 1 i = m( s k i + M 2k ) Άρα το m k+1 θα είναι ίσο με: m k+1 = M 1(k+1) + 2M 2(k+1) = m(1 + M 1k ) + 2m( s k i + M 2k ) = m(1 + M 1k + 2 s k i + 2M 2k ) 36
46 και αϕού από το Θεώρημα ισχύει ότι µ k = E(C k ) = s k i καθώς επίσης ότι m k = M 1k +2M 2k, τελικά έχουμε: m k+1 = m(1 + m k + 2µ k ) το οποίο είναι αληθές σύμϕωνα με την σχέση (2.46) (ολοκληρώθηκε η απόδειξη με επαγωγή). Σε αυτό το σημείο υπενθυμίζουμε ότι ισχύει η σχέση (2.32): m = 1 + f Επιπλέον, έχουμε M 1k = m + m m k Εύκολα γίνεται αντιληπτό M 1k = (1 + f) + (1 + f) (1 + f) k Ομως, εξ ορισμού και συγκεκριμένα με τη βοήθεια της σχέσης (2.5), ισχύει ότι s k f = (1 + f) + (1 + f) (1 + f) k Άρα, συμπεραίνουμε ότι M 1k = s k f (2.47) Χρησιμοποιώντας, τώρα την τιμή του r, όπως αυτή δίνεται από τη σχέση (2.35), την τιμή του m από τη σχέση (2.32), και τη σχέση (2.5), έχουμε ότι M 2k = m s k 1 i + m 2 s k 2 i m k 1 s 1 i = (1 + f) (1 + i)k 1 1 d + (1 + f) 2 (1 + i)k 2 1 d k 1 (1 + i) (1 + f) (2.48) d Αν εϕαρμόσουμε στην παραπάνω σχέση την τιμή του d από τη σχέση (2.1), οδηγούμαστε στην παρακάτω σχέση: M 2k = (1 + i)k+1 i [ 1 + f 1 + i ] + f (1 1 + i )k i [ ] (1 + f) (1 + f) k 1 (2.49) i 37
47 Για να αποδείξουμε ότι ισχύει η παραπάνω σχέση, ξεκινάμε από αυτήν μέχρις ότου καταλήξουμε σε κάποια σχέση που ξέρουμε ότι είναι αληθής: M 2k = (1 + i)k+1 i [ 1 + f 1 + i = (1 + i)k 1 (1 + i)(1 + i)(1 + f) i(1 + i) (1 + i) (1 + f) i = (1 + i)(1 + f) (1 + i)k 1 1 i ] + f (1 1 + i )k i [ ] (1 + f) (1 + f) k 1 i k 1 (1 + i)... (1 + f) i (1 + i)k 1 (1 + i)(1 + i)(1 + f) k 1 i(1 + i)(1 + i) k 1 k 1 (1 + i) (1 + i)(1 + f) i Άρα ισχύει η σχέση (2.49). Επιπλέον, από την ίδια σχέση, μπορεί να προκύψει μετά από πράξεις ότι: M 2k = (1 + i)k+1 i 1 + i i [ 1 + f 1 + i ] + f (1 1 + i )k 1 [ (1 + f) (1 + f) k 1 ] = (1 + i)k+1 i [ (1 + r) (1 + r) k 1 ] 1 + i i [ (1 + f) (1 + f) k 1 ] και με τη βοήθεια της = (1 + i)k+1 s k r (1 + i) s k f i (2.50) m k = M 1k + 2M 2k καθώς και των σχέσεων (2.47) και (2.50), παραθέτουμε το ακόλουθο λήμμα: Λήμμα Υπό τις προυποθέσεις του θεωρήματος (2.2.1), έχουμε: m k = 2(1 + i)k+1 s k r i (2 + i) s k f i (2.51) 38
48 Απόδειξη: Ισχύει ότι m k = M 1k + 2M 2k = s k f + 2(1 + i)k+1 s k r i 2(1 + i) s k f i = 2(1 + i)k+1 s k r i (i 2 2i) s k f i = 2(1 + i)k+1 s k r i (2 + i) s k f i = E[(C k ) 2 ] Στη συνέχεια, και προκειμένου να βρούμε τη διασπορά V ar(c k ), απομένει να υπολογίσουμε την τιμή της [E(C k )] 2 = (µ k ) 2 = ( s k i ) 2. Ας αποδείξουμε πρώτα το ακόλουθο λήμμα: Λήμμα Το τετράγωνο της συσσωρευμένης αξίας (μετά το πέρας k ετών), μιας προκαταβλητέας ράντας με ετήσιες πληρωμές μίας νομισματικής μονάδας, ισούται με: ( s k i ) 2 = s 2k i 2 s k i d Απόδειξη: Από τη σχέση (2.5), έχουμε: (2.52) ( s k i ) 2 = [(1 + i)k 1] 2 d 2 = (1 + i)2k 2(1 + i) k d 2 = [(1 + i)2k 1] 2[(1 + i) k 1] d 2 = (1+i) 2k 1 d 2 (1+i)k 1 d d = s 2k i 2 s k i d 39
5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας
5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικά Μαθηματικά
Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Πρόσκαιρες Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)
Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)
Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικά Μαθηματικά
Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑσφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις
Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με
5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Αναλογιστικά Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.
Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K
Κεφάλαιο. Ανατοκισμός. Εισαγωγή Στη διαδικασία με την οποία ένα κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο, στο τέλος κάθε περιόδου παίρνουμε τον τόκο και αφήνουμε το αρχικό κεφάλαιο να τοκιστεί. Έτσι το κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότεραΟ Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η
Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ χ ε τ ι κ ά μ ε τ ι ς ε κ τ ι μ ή σ ε ι ς - σ υ ν ο π τ ι κ ά Σεμινάριο Εκτιμήσεων Ακίνητης Περιουσίας, ΣΠΜΕ, 2018 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ Χ Ε Τ Ι Κ Α Μ Ε Τ Ι Σ Ε Κ Τ Ι Μ
Διαβάστε περισσότεραΘεοδωράκη Ελένη Μαρία
Εισαγωγή στην ασφάλεια Θεοδωράκη Ελένη Μαρία elma.theodoraki@aegean.gr Κεφάλαιο (Principal) ονομάζουμε το αρχικό ποσό που διαθέτουμε για μια επένδυση, για μία χρονική περίοδο Συσσωρευμένη αξία (accumulated
Διαβάστε περισσότεραΜεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων
Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου
. Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets. Μιχάλης Ανθρωπέλος
ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos Μιχάλης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΗ ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής
Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2
κεφάλαιο 2 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικά Μαθηματικά
Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall Ορισμός του VaR VaR, Value at Risk, Αξία σε Κίνδυνο. Η JP Morgan εισήγαγε την χρήση του. Μας δίνει σε ένα μόνο νούμερο, την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος
Κεφάλαιο 5 5. Ράντες 5.. Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί Είναι σύνηθες στις μέρες μας να καταθέτουν οι γονείς κάποιο ποσό για τα παιδιά τους σε μηνιαία, εξαμηνιαία ή ετήσια βάση έτσι ώστε να συσσωρευτεί
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότερα, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους
Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ
Διαβάστε περισσότεραμε Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Διαβάστε περισσότεραΗ Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.
Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε
Διαβάστε περισσότεραΡάντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας
Ράντες Χρήση ραντών Έννοια ράντας Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Χρήση περιοδικών κεφαλαίων (ράντες) Σχηματισμός κεφαλαίου με ισόποσες καταθέσεις Εξόφληση χρέους με δόσεις Μηνιαίες
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)
ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 0... Θεωρήστε τη σειρά συναρτήσεων sin( ). Αποδείξτε ότι η σειρά συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση s κατά σημείο στο R και ομοιόμορφα στο [ a, a]
Διαβάστε περισσότεραΔιαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών
Διαβάστε περισσότεραB6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ
B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41
Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΞέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.
Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΡάντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.
Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
APEIROSTIKOS LOGISMOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου 4. Άσκηση : Υπολογίστε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. Αν χρειάζεται, υπολογίστε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια. + 4 3 + +,
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΣυνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΓνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα
Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότερα11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος
Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΧρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι
Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ
Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
Διαβάστε περισσότεραΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα: 1. (α) (3 βαθμοί) Οι τιμές δύο παράγωγων προϊόντων Χ και Υ σε κάθε χρονική στιγμή είναι X και Y με X = e s2 dw s και Y = X 2 e 2s2 ds, ενώ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΑΜΕΣΕΣ ΞΕΝΕΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΩΠΑΙΚΕΣ ΧΩΡΕΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΕΣΕΣ ΞΕΝΕΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΩΠΑΙΚΕΣ ΧΩΡΕΣ Αθανάσιος Νταραβάνογλου Διπλωματική
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα