Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R

Transcript

1 Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Ενότητα 2 η : Ειςαγωγή ςτον Γραμμικό Προγραμματιςμό Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ Νίκοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Δρ. Οικονομικισ Επιςτιμθσ Σχολι Οργάνωςθσ και Διοίκθςθσ Επιχειριςεων Τμιμα Οικονομικϊν Επιςτθμϊν

2 Σκοποί ενότητασ Να παρουςιάςει τισ βαςικζσ μεκόδουσ και κατθγορίεσ προβλθμάτων γραμμικοφ προγραμματιςμοφ. Να παρουςιάςει τθν μακθματικι απεικόνιςθ ενόσ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ. Να παρουςιάςει τισ βαςικοφσ οριςμοφσ, ιδιότθτεσ και προχποκζςεισ των προβλθμάτων γραμμικοφ προγραμματιςμοφ. Να παρουςιάςει κάποια ενδεικτικά προβλιματα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ που ςυναντϊνται ςυχνά ςτθν κακθμερινι ηωι. 2

3 Περιεχόμενα ενότητασ Μζκοδοι γραμμικοφ προγραμματιςμοφ. Κατθγορίεσ προβλθμάτων γραμμικοφ προγραμματιςμοφ (ΠΓΠ). Μακθματικι απεικόνιςθ ενόσ ΠΓΠ. Βαςικοί οριςμοί ΠΓΠ. Ιδιότθτεσ ΠΓΠ. Προχποκζςεισ ΠΓΠ. Ενδεικτικά παραδείγματα ΠΓΠ. 3

4 Ενότητα 2 η Βαςικζσ ζννοιεσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ

5 Μζθοδοι μαθηματικοφ προγραμματιςμοφ Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ (Linear Programming) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ (Integer Programming) Μικτόσ Ακζραιοσ Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ (Mixed Integer Linear Programming) Δυναμικόσ Προγραμματιςμόσ (Dynamic Programming) Μθ-Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ (Non-Linear Programming) Πολυκριτθριακόσ Προγραμματιςμόσ (Multi-critetion Programming) Στο παρόν μάκθμα εςτιάηουμε ςτον Γραμμικό Προγραμματιςμό! 5

6 Κατηγορίεσ προβλημάτων γραμμικοφ προγραμματιςμοφ (ΠΓΠ) Γραμμικόσ προγραμματιςμόσ, όπου τόςο θ αντικειμενικι ςυνάρτθςθ όςο και οι περιοριςμοί είναι γραμμικζσ ςχζςεισ. Στο παρόν μάκθμα εςτιάηουμε ςτον Γραμμικό Προγραμματιςμό! Ακζραιοσ προγραμματιςμόσ, όπου οι μεταβλθτζσ απόφαςθσ μποροφν να πάρουν μόνο ακζραιεσ τιμζσ ι αναπαριςτοφν αποφάςεισ «λογικισ» και όχι φυςικά μεγζκθ. Μθ γραμμικόσ προγραμματιςμόσ, όπου κάποιεσ από τισ ςυναρτιςεισ του προβλιματοσ (αντικειμενικι ςυνάρτθςθ, περιοριςμοί) είναι μθ-γραμμικζσ. 6

7 Γραμμικόσ προγραμματιςμόσ Αποτελεί κομμάτι του μακθματικοφ προγραμματιςμοφ και χρθςιμοποιείται από πολλοφσ λιπτεσ αποφάςεων ιδιωτικϊν και δθμοςίων επιχειριςεων αλλά και οργανιςμϊν. Ο Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ χρθςιμοποιείται ευρζωσ από τουσ επιχειρθςιακοφσ ερευνθτζσ για τθν προςζγγιςθ προβλθμάτων κατανομισ περιοριςμζνων τισ περιςςότερεσ φορζσ πόρων ςε εναλλακτικζσ δραςτθριότθτεσ με τον καλφτερο δυνατό τρόπο. Αναηθτά μεταξφ όλων των εναλλακτικϊν ςχεδιαςμϊν, εκείνον που κα οδθγιςει ςτο άριςτο αποτζλεςμα. Περιγράφει ζνα μακθματικό υπόδειγμα, το οποίο αφορά ςτθ μεγιςτοποίθςθ ι ελαχιςτοποίθςθ μιασ γραμμικισ ςυνάρτθςθσ δεδομζνου ενόσ ςυνόλου γραμμικϊν περιοριςμϊν. 7

8 Πρόβλημα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ (ΠΓΠ) Αφορά ςτθν μεγιςτοποίθςθ (ι ελαχιςτοποίθςθ) μιασ γραμμικισ ςυνάρτθςθσ των μεταβλθτϊν απόφαςθσ. Η ςυνάρτθςθ αυτι ονομάηεται αντικειμενικι ςυνάρτθςθ. Οι τιμζσ των μεταβλθτϊν απόφαςθσ (άγνωςτοι) ικανοποιοφν ζνα ςφνολο περιοριςμϊν. Κάκε περιοριςμόσ πρζπει να είναι μια γραμμικι εξίςωςθ ι ανίςωςθ. Κάκε μεταβλθτι είναι μθ αρνθτικι ι δεν ζχει περιοριςμό ςτο πρόςθμο. 8

9 Μαθηματική απεικόνιςη ενόσ ΠΓΠ Η μακθματικι απεικόνιςθ ενόσ ΠΓΠ δίνεται παρακάτω: max or min c x c x... c x st a x a x... a x...,, b j j 1n n 1 a x a x... a x...,, b j j 2n n ,,... a x a x... a x...,, b m1 1 mj j mn n m x, x,..., x n n n 9

10 Μαθηματικό υπόδειγμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ Το μακθματικό μοντζλο που παρουςιάςτθκε προθγουμζνωσ περιλαμβάνει: 1. Τισ μεταβλθτζσ απόφαςθσ δθλαδι τισ x1, x2,, xn 2. Τουσ περιοριςμοφσ-ςυνκικεσ που εμφανίηονται με τθν μορφι άνιςοεξιςϊςεων. 3. Τουσ τεχνολογικοφσ ςυντελεςτζσ (παραμζτρουσ) όπωσ ο ςυντελεςτισ μιασ μεταβλθτισ ςτουσ περιοριςμοφσ, δθλαδι a11, a12,, amn 4. Τθν αντικειμενικι ςυνάρτθςθ (Α.Σ) όπου οι ςυντελεςτζσ c1, c2,, cn οι οποίοι λζγονται ςυντελεςτζσ κζρδουσ (κόςτουσ) για προβλιματα μεγιςτοποίθςθσ (ελαχιςτοποίθςθσ). Υποκζτουμε πωσ ζχουμε m εξιςϊςεισ με n αγνϊςτουσ κακϊσ επίςθσ και ότι πάντα ιςχφει rank A m n 10

11 Βαςικοί οριςμοί ΠΓΠ - I Αx,, b Λφςη του ΠΓΠ είναι κάκε λφςθ του ςυςτιματοσ δθλαδι κάκε * διάνυςμα x που ικανοποιεί το ςφςτθμα αυτό (ι ο ςυνδυαςμόσ τιμϊν των μεταβλθτϊν απόφαςθσ ενόσ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ). Το υποςφνολο του που ςχθματίηεται από τα ςθμεία λφςεισ που ικανοποιοφν όλουσ τουσ περιοριςμοφσ ενόσ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ ονομάηεται εφικτι περιοχι του προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ, τα δε ςθμεία x x1, x2,..., xn, εφικτζσ λφςεισ. Δυνατή (ή εφικτή) λφςη του ΠΓΠ είναι κάκε λφςθ του ςυςτιματοσ, * δθλαδι κάκε διάνυςμα x που ικανοποιεί τουσ περιοριςμοφσ x 0. Μια λφςθ που παραβιάηει τουλάχιςτον ζναν από τουσ περιοριςμοφσ, ονομάηεται μθ-εφικτι λφςθ και δεν είναι ςθμείο τθσ εφικτισ περιοχισ του ΠΓΠ. 11

12 Βαςικοί οριςμοί ΠΓΠ - II Βζλτιςτη δυνατή λφςη (βζλτιςτη λφςη) του ΠΓΠ είναι κάκε λφςθ που βελτιςτοποιεί (μεγιςτοποιεί ι ελαχιςτοποιεί) τθν αντικειμενικι ςυνάρτθςθ. m m Βάςη του ςυςτιματοσ (ι βάςθ) είναι ο πίνακασ, που προκφπτει από τον πίνακα Α του ςυςτιματοσ και ζχει m γραμμικά ανεξάρτθτεσ ςτιλεσ. Οι m μεταβλθτζσ που αντιςτοιχοφν ςτισ ςτιλεσ μιασ βάςεωσ, λζγονται βαςικζσ μεταβλητζσ ωσ προσ τθ βάςθ αυτι. Οι υπόλοιπεσ (n-m) μεταβλθτζσ που αντιςτοιχοφν ςτισ (n-m) ςτιλεσ του πίνακα Α που δεν περιλαμβάνονται ςτθ βάςθ λζγονται μη - βαςικζσ μεταβλητζσ. Βαςική εφικτή λφςη ενόσ ςυςτιματοσ γραμμικϊν αλγεβρικϊν εξιςϊςεων ωσ προσ μια βάςθ Α, είναι μια εφικτι λφςθ του ςυςτιματοσ αυτοφ, που ζχει το πολφ όλεσ τισ βαςικζσ μεταβλθτζσ, ωσ προσ τθ βάςθ αυτι, διάφορεσ του μθδενόσ (κετικζσ) και όλεσ τισ μθ βαςικζσ μεταβλθτζσ ίςεσ με το μθδζν. 12

13 Ιδιότητεσ ΠΓΠ - I Ο αρικμόσ των βαςικϊν εφικτϊν λφςεων ενόσ ςυςτιματοσ γραμμικϊν αλγεβρικϊν εξιςϊςεων που ικανοποιεί τισ προαναφερόμενεσ προχποκζςεισ είναι πεπεραςμζνοσ. Το ςφνολο των εφικτϊν λφςεων ενόσ ΠΓΠ είναι κυρτό κλειςτό ςφνολο. Κάκε βαςικι εφικτι λφςθ ενόσ ΠΓΠ είναι ζνα ακραίο ςθμείο του κυρτοφ ςυνόλου (κορυφι του πολυγϊνου) των εφικτϊν λφςεων και κάκε ακραίο ςθμείο του κυρτοφ ςυνόλου είναι μια βαςικι δυνατι λφςθ του ςυςτιματοσ των περιοριςμϊν. 13

14 Ιδιότητεσ ΠΓΠ - IΙ Αν υπάρχει μια εφικτι λφςθ ςε ζνα ΠΓΠ, τότε υπάρχει και μια βαςικι εφικτι λφςθ αυτοφ του ΠΓΠ. Αν υπάρχει μια βζλτιςτθ εφικτι λφςθ ςε ζνα ΠΓΠ, τότε θ αντικειμενικι ςυνάρτθςθ λαμβάνει τθ μζγιςτθ τιμι τθσ ςε ζνα τουλάχιςτον ακραίο ςθμείο του κυρτοφ ςυνόλου των εφικτϊν λφςεων, δθλαδι ςε μια βαςικι εφικτι λφςθ. Αν υπάρχει τουλάχιςτον μια βζλτιςτθ εφικτι λφςθ, που δεν είναι βαςικι, τότε υπάρχουν άπειρεσ βζλτιςτεσ δυνατζσ λφςεισ. 14

15 Ιδιότητεσ ΠΓΠ - IΙΙ Το ςφνολο των εφικτϊν λφςεων καλείται εφικτή περιοχή (ςυνικωσ ςυμβολίηεται με F). Το ΠΓΠ λζγεται φραγμζνο εάν ιςχφει max cx. ' Εάν ιςχφει θ ιςότθτα τότε το ΠΓΠ δεν ζχει άριςτθ λφςθ. Τάξθ ενόσ πίνακα (Α) λζγεται ο αρικμόσ των γραμμικά ανεξάρτθτων ςτθλϊν (ι γραμμϊν) του Α. Εάν r είναι γραμμικά ανεξάρτθτεσ οι m-r είναι γραμμικά εξαρτθμζνεσ. 15

16 Προχποθζςεισ ΠΓΠ - I 1. Προςθετικότητα Η ςυνειςφορά όλων των δραςτθριοτιτων ςτθν αντικειμενικι ςυνάρτθςθ είναι άμεςα αναλογικι με το επίπεδο τθσ δραςτθριότθτασ. Όταν το επίπεδο τθσ δραςτθριότθτασ αυξάνει ι μειϊνεται, θ αλλαγι ςτθν αντικειμενικι ςυνάρτθςθ που οφείλεται ςτθν αλλαγι μίασ μονάδασ τθσ δραςτθριότθτασ παραμζνει ίδια. Επίςθσ, το ποςό των πόρων που χρθςιμοποιοφνται ςε κάκε δραςτθριότθτα είναι άμεςα ανάλογο με το επίπεδο τθσ δραςτθριότθτασ. 2. Αναλογικότητα Η ςυνειςφορά όλων των δραςτθριοτιτων ςτθν αντικειμενικι ςυνάρτθςθ είναι ίςθ με το άκροιςμα τθσ ςυνειςφοράσ τθσ κάκε μίασ δραςτθριότθτασ. Όμοια, το ςυνολικό ποςό των πόρων που χρθςιμοποιείται από όλεσ τισ δραςτθριότθτεσ είναι το άκροιςμα του ποςοφ των πόρων που κάκε μία δραςτθριότθτα χρθςιμοποιεί ανεξάρτθτα. 16

17 Προχποθζςεισ ΠΓΠ - IΙ 3. Διαιρετότητα Όλεσ οι δραςτθριότθτεσ είναι ςυνεχείσ και μποροφν να πάρουν οποιαδιποτε κετικι τιμι. Δθλαδι ο Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ δεν είναι κατάλλθλοσ για προβλιματα που οι μεταβλθτζσ λιψθσ απόφαςθσ είναι ακζραιοι. 4. Καθοριςτικότητα Τα ΠΓΠ καταγράφονται και ωσ κακοριςτικά υποδείγματα. Με άλλα λόγια, δεν λαμβάνουν υπόψθ ότι όλοι οι ςυντελεςτζσ είναι προςεγγίςεισ όταν υπολογίηεται μία ςυγκεκριμζνθ λφςθ. Για τον λόγο αυτό, πρζπει να γίνεται ανάλυςη ευαιςθηςίασ των παραμζτρων του μακθματικοφ υποδείγματοσ για τθν αξιοπιςτία τθσ λφςθ που προςδιορίςαμε. 17

18 Ιδιότητεσ λφςεων ΠΓΠ 1. Ζνα ςφνολο κα καλείται κυρτό όταν: Ακρότατο κυρτοφ ςυνόλου Μ είναι κάκε ςθμείο x: 3. Κυρτό πολφεδρο είναι το ςφνολο των κυρτϊν ςυνδυαςμϊν ενόσ πεπεραςμζνου πλικουσ ςθμείων. 4. Υπζρ-επίπεδο καλείται το ςφνολο των ςθμείων 3. Ημί-επίπεδο αντίςτοιχα: x, x M, : 0 1 x (1 ) x M 1 2 x, x M, :0 1 με x x (1 ) x x x, x,..., x : a x a x... a x b 1 2 n n n x x, x,..., x : a x a x... a x b 1 2 n n n 18

19 Ενδεικτικά ΠΓΠ - Ι o Επιλογή ςυνδυαςμοφ παραγωγήσ προϊόντων (Product Mix Problem). Μια επιχείρθςθ εκμεταλλεφεται τουσ παραγωγικοφσ πόρουσ που ζχει ςτθ διάκεςι τθσ για να παράγει διάφορα προϊόντα. Οι πόροι δεν είναι ανεξάντλθτοι και θ άριςτθ απόφαςθ εντοπίηει το πλικοσ των τεμαχίων που πρζπει να καταςκευαςτοφν από το κάκε προϊόν ϊςτε να μεγιςτοποιείται το κζρδοσ. o Το πρόβλημα τησ δίαιτασ (Diet Problem, Stigler, 1945). Αναηθτείται θ βζλτιςτθ κατανομι τροφίμων ϊςτε να καταναλϊνεται ζνα διαιτολόγιο το οποίο να πλθροί ςυγκεκριμζνεσ διατροφικζσ προδιαγραφζσ με το ελάχιςτο κόςτοσ. o Το πρόβλημα μίξησ υλικών (Blending Problem). Ζχει τισ ρίηεσ του ςτθ βιομθχανία διφλιςθσ όπου είναι επικυμθτό να εντοπιςτεί ζνα άριςτο ςχζδιο μίξθσ διαφορετικϊν πρϊτων υλϊν για τθν παραγωγι καυςίμων με ςυγκεκριμζνεσ προδιαγραφζσ. Το ερϊτθμα αφορά ςτθν εφρεςθ τθσ «ςυνταγισ» θ οποία κα δϊςει το ηθτοφμενο μίγμα με το ελάχιςτο κόςτοσ. 19

20 Ενδεικτικά ΠΓΠ - ΙΙ o Επιλογή χαρτοφυλακίου (Portfolio Selection). Αφορά ςτθν κατάρτιςθ ενόσ βζλτιςτου ςχεδίου επενδφςεων ςε μετοχζσ, ομόλογα, αμοιβαία κεφάλαια, κτλ. Το ςχζδιο πρζπει να οδθγεί ςε μεγιςτοποίθςθ κερδϊν ικανοποιϊντασ περιοριςμοφσ που ςτοχεφουν ςτθν ελαχιςτοποίθςθ του κινδφνου. o Το Πρόβλημα τησ Μεταφοράσ (Transportation Problem,Hitchcok, 1941, Koopmans,1949, Dantzig, 1951). Αναηιτθςθ του οικονομικότερου τρόπου διακίνθςθσ προϊόντων από διαφορετικζσ πθγζσ-προελεφςεισ (παραγωγικζσ μονάδεσ, αποκικεσ, κζντρα διανομισ, κτλ.) ςε οριςμζνουσ ςτακμοφσ προοριςμοφ (ςθμεία πϊλθςθσ, αποκικεσ, κτλ.) 20

21 Στάδια δημιουργίασ υποδείγματοσ Η αντιμετϊπιςθ ενόσ ΠΓΠ περιλαμβάνει τα εξισ ςτάδια: 1. Αναγνϊριςθ και περιγραφι του προβλιματοσ. 2. Κακοριςμόσ των παραμζτρων του ΠΓΠ. 3. Εντοπιςμόσ των περιοριςμϊν του προβλιματοσ. 4. Αναηιτθςθ λφςεων και επιλογι τθσ βζλτιςτθσ λφςθσ. 5. Δοκιμι και υλοποίθςθ μζςω ςτθσ εφαρμογισ τθσ βζλτιςτθσ λφςθσ. 21

22 Παράδειγμα ΠΓΠ (διατφπωςη) Ζνα εργοςτάςιο παράγει δυο προϊόντα, τα προϊόντα 1 και 2. Η ζρευνα αγοράσ περιορίηει τθν παράγωγθ του προϊόντοσ 1 ςτουσ 10 τόνουσ ανά μινα και του προϊόντοσ 2 ςτουσ 8 τόνουσ. Για τθν παράγωγθ των προϊόντων χρθςιμοποιοφνται δυο πρϊτεσ φλεσ, οι Α και Β. Για τθν παραγωγι ενόσ τόνου προϊόντοσ 1 απαιτοφνται 1 τόνοσ πρϊτθσ φλθσ Α και 3 τόνοι πρϊτθσ φλθσ Β, ενϊ για τθν παραγωγι ενόσ τόνου προϊόντοσ 2 απαιτοφνται 2 τόνοι πρϊτθσ φλθσ Α και 1 τόνοσ πρϊτθσ φλθσ Β. Οι μθνιαίεσ διακζςιμεσ ποςότθτεσ πρϊτων υλϊν Α και Β είναι αντίςτοιχα 14 και 16 τόνοι. Η πϊλθςθ ενόσ τόνου προϊόντοσ 1 αφινει κακαρό κζρδοσ 5 χιλιάδεσ ευρϊ ενϊ το κακαρό κζρδοσ για το προϊόν 2 είναι 4 χιλιάδεσ ευρϊ ανά μινα. 22

23 Παράδειγμα ΠΓΠ (αποτφπωςη) - I Ο παρακάτω πίνακασ ςυνοψίηει το πρόβλθμα: Πρώτη Ύλη Προϊόν 1, τόνοι Προϊόν 2, τόνοι Ποςότητα Α Β Κζρδοσ, χιλ. 5 4 Πρζπει να ορίςουμε τισ μεταβλθτζσ του προβλιματοσ: ποςότθτα προϊόντοσ 1, x ποςότθτα προϊόντοσ 2 x1 2 23

24 Παράδειγμα ΠΓΠ (αποτφπωςη) - II Η μακθματικι μορφι του προβλιματοσ είναι: max Y 5x 4x st.. x x x 1 2 x, x x 14 3x x 16 x, x

25 Τζλοσ 2 ησ Ενότητασ Βαςικζσ ζννοιεσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ

26 Χρθματοδότθςθ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό ζχει αναπτυχκεί ςτo πλαίςιo του εκπαιδευτικοφ ζργου του διδάςκοντα. Το ζργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο Πανεπιςτήμιο Αθηνών» ζχει χρθματοδοτιςει μόνο τθν αναδιαμόρφωςθ του εκπαιδευτικοφ υλικοφ. Το ζργο υλοποιείται ςτο πλαίςιο του Επιχειρθςιακοφ Προγράμματοσ «Εκπαίδευςθ και Δια Βίου Μάκθςθ» και ςυγχρθματοδοτείται από τθν Ευρωπαϊκι Ζνωςθ (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εκνικοφσ πόρουσ. 26

27 Σθμειϊματα

28 Σθμείωμα Ιςτορικοφ Εκδόςεων Ζργου Το παρόν ζργο αποτελεί τθν ζκδοςθ

29 Σθμείωμα Αναφοράσ Copyright Πανεπιςτιμιο Πατρϊν, Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ και Νικόλαοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Διδάκτωρ Οικονομικισ Επιςτιμθσ «Επιχειρθςιακι Ζρευνα και εφαρμογζσ με τθν χριςθ του λογιςμικοφ R. Βαςικζσ ζννοιεσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ». Ζκδοςθ: 1.0. Πάτρα Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: ςφνδεςμο μακιματοσ. 29

30 Σθμείωμα Αδειοδότθςθσ Το παρόν υλικό διατίκεται με τουσ όρουσ τθσ άδειασ χριςθσ Creative Commons Αναφορά, Μθ Εμπορικι Χριςθ Παρόμοια Διανομι 4.0 *1+ ι μεταγενζςτερθ, Διεκνισ Ζκδοςθ. Εξαιροφνται τα αυτοτελι ζργα τρίτων π.χ. φωτογραφίεσ, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριζχονται ςε αυτό και τα οποία αναφζρονται μαηί με τουσ όρουσ χριςθσ τουσ ςτο «Σθμείωμα Χριςθσ Ζργων Τρίτων». [1] Ωσ Μη Εμπορική ορίηεται θ χριςθ: που δεν περιλαμβάνει άμεςο ι ζμμεςο οικονομικό όφελοσ από τθν χριςθ του ζργου, για το διανομζα του ζργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομικι ςυναλλαγι ωσ προχπόκεςθ για τθ χριςθ ι πρόςβαςθ ςτο ζργο που δεν προςπορίηει ςτο διανομζα του ζργου και αδειοδόχο ζμμεςο οικονομικό όφελοσ (π.χ. διαφθμίςεισ) από τθν προβολι του ζργου ςε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιοφχοσ μπορεί να παρζχει ςτον αδειοδόχο ξεχωριςτι άδεια να χρθςιμοποιεί το ζργο για εμπορικι χριςθ, εφόςον αυτό του ηθτθκεί. 30

31 Διατιρθςθ Σθμειωμάτων Οποιαδιποτε αναπαραγωγι ι διαςκευι του υλικοφ κα πρζπει να ςυμπεριλαμβάνει: το Σθμείωμα Αναφοράσ το Σθμείωμα Αδειοδότθςθσ τθ διλωςθ Διατιρθςθσ Σθμειωμάτων το Σθμείωμα Χριςθσ Ζργων Τρίτων (εφόςον υπάρχει) μαηί με τουσ ςυνοδευόμενουσ υπερςυνδζςμουσ. 31