ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε."

Transcript

1 Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x, t), παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodiger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε d p ˆ [ ˆ, ˆ ] t p H. dt i t Η συνέχεια είναι απλή αρκεί να αποδείξετε ότι για μια τυχαία συνάρτηση Άσκηση. ˆ [ ˆ, ] ( ) ( ( )) ( ) [ ˆ, ˆ p H f x i V x f x p H] i V ( xˆ ) x x Έστω σύστημα δύο σωματίων τα οποία δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και είναι διακρίσιμα ( έχουν διαφορετική μάζα, για παράδειγμα). Η Hamiltoia του συστήματος αυτού είναι (αφού δεν υπάρχει αλληλεπίδραση) H ˆ ˆ ˆ. H H όπου ο πρώτος όρος αφορά στο σωμάτιο και ο δεύτερος στο σωμάτιο : i ( x ˆ, t) H ( x, t) και t i ( x ˆ, t) H ( x, t). t (α) Έστω ότι γνωρίζετε τόσο την όσο και την. Εξηγείστε γιατί η κυματοσυνάρτηση του συστήματος πρέπει να έχει τη μορφή ( x, x, t) ( x, t) ( x, t) t t (Σκεφτείτε ότι το να βρεθεί το σωμάτιο στη θέση x και το σωμάτιο στη θέση x, είναι δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους τυχαία γεγονότα. ) (β) Δείξτε ότι μόνο εάν η χρονική παράγωγος στην εξίσωση Schrodiger είναι πρώτης τάξης θα έχετε ότι i ( x ˆ, x, t) Ho. ( x, x, t) t

2 (γ) Εξηγείστε, τώρα, γιατί πρέπει η εξίσωση Schrodiger να είναι πρώτης τάξης ως προς το χρόνο εάν θέλετε να ερμηνεύσετε τη λύση της ως πλάτος πιθανότητας. Άσκηση 3. Επιβεβαιώστε ότι η εξίσωση Schrodiger ενός ελευθέρου σωμάτιου δέχεται λύσεις k κυματικού τύπου: exp[ i( kx t)] υπό την προϋπόθεση ότι. m Αναφερόμενοι στην προηγούμενη άσκηση δείξτε ότι τέτοιου τύπου λύσεις δεν είναι δυνατό να περιγράψουν ένα σύστημα δύο ελευθέρων σωματιδίων. Καταλαβαίνετε τώρα γιατί η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης ως κύματος το πολύ-πολύ να είναι μια χρήσιμη αναλογία για την ερμηνεία της συμπεριφοράς ενός σωματιδίου αλλά με κανένα τρόπο δεν μπορούμε να την πάρουμε στα σοβαρά; Άσκηση 4. H Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ) iw ( xˆ) m όπου οι συναρτήσεις W x είναι πραγματικές. V x και ( ) (α) Βρείτε πώς θα αλλάξει η εξίσωση συνέχειας ( Η απάντηση είναι : P( x, t) J( x, t) W ( x) P( x, t) με P και t x J. Μπορείτε να τη βρείτε με το συνήθη τρόπο im x x (παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την πυκνότητα πιθανότητας P ) αλλά και ως εξής: Πολλαπλασιάστε την εξίσωση Schrodiger με τη συζυγή κυματοσυνάρτηση: i Hˆ. Αφαιρέστε από την έκφραση αυτή τη μιγαδικά συζυγή της και θα t πάρετε τη ζητούμενη εξίσωση.) (β) Αν η συνάρτηση W είναι απλώς μια θετική σταθερά δείξτε ότι ( t) () t e όπου : ( t) dx ( x, t) και. W (γ) Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα των απαντήσεων (α) και (β) εξηγείστε γιατί αν η Hamiltoia δεν είναι ερμιτιανός τελεστής το φυσικό σύστημα που προσπαθούμε να

3 περιγράψουμε είναι ανοικτό και επομένως το σωμάτιο μπορεί να «διαφύγει» προς το περιβάλλον του. Άσκηση 5. Ας πούμε ότι θέλετε να περιγράψετε ένα κβαντικό σωμάτιο με μια «κυματική» εξίσωση της μορφής: mc ( ). c t x (Η εξίσωση αυτή λέγεται εξίσωση Klei-Gordo και προτάθηκε ως γενίκευση της εξ. Schrodiger ώστε να ικανοποιείται η σχετικιστική σχέση ενέργειας ορμής: 4 E p c m c. Πράγματι μπορείτε εύκολα να δείτε ότι η παραπάνω εξίσωση δέχεται λύσεις exp[ i( kx t)] υπό την προϋπόθεση ότι ( ) ( ) 4 k c m c.) (α) Χρησιμοποιείστε την τεχνική που υπάρχει στην υπόδειξη της προηγούμενης άσκησης για να βρείτε την εξίσωση συνέχειας. Δείξτε ότι θα έχει τη μορφή P J με το t x ρεύμα να ορίζεται όπως στην προηγούμενη άσκηση αλλά με i ( P ) mc t t (β) Δείξτε ότι η τελευταία ποσότητα δεν είναι θετικά ορισμένη και επομένως δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως πυκνότητα πιθανότητας. (Αρκεί να πάρετε μια λύση της κυματικής 4 exp[ i( kx t)], οπότε θα βρείτε ότι P. Αλλά ( k) c m c.) mc Παρατηρείστε πόσο σημαντική είναι η απαίτηση να είναι η χρονική παράγωγος πρώτης τάξης. Άσκηση 6. x[, ] Σωμάτιο είναι δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναμικού : V( x). x [, ] x Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltoia είναι ( x) si( ),,,... και οι αντίστοιχες ιδιοτιμές E. m (α) Δείξτε ότι dx ( x) m( x), m (ορθοκανονικότητα των ιδιοκαταστάσεων) 3

4 (β) Θεωρείστε δεδομένο ότι οποιαδήποτε συνάρτηση ( x) ικανοποιεί τις ίδιες συνοριακές συνθήκες με τις ( x ) (και είναι «αρκετά ομαλή) μπορεί να γραφεί με τη μορφή: ( x) c ( x) (πληρότητα των ιδιοκαταστάσεων) και δείξτε ότι c dx ( x) ( x). (γ) Χρησιμοποιείστε τα προηγούμενα συμπεράσματα για να δείξετε ότι: ( x) ( x) ( x x) ( ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) ( x)... ) (δ) Με βάση τα προηγούμενα δείξτε ότι η λύση της εξ. Schrodiger μπορεί να γραφεί: ( x, t) c e ( x) i te (Υπ. : Μπορείτε να ξεκινήσετε από το γεγονός ότι η σχέση πληρότητας σας επιτρέπει να γράψετε: ( x, t) c ( t) ( x) με c ( t) dx ( x) ( x, t). Στη συνέχεια μπορείτε να πάτε στην εξίσωση Schrodiger και να αντικαταστήσετε την τελευταία. Το αποτέλεσμα i d te θα είναι i c ( t) Ec ( t) c ( t) e c() και έτσι θα καταλήξετε αμέσως στο dt ζητούμενο). (ε) Δείξτε ότι (Υπ.: Ξεκινείστε από την c και ότι H c E dx ( x, t) και χρησιμοποιείστε τα προηγούμενα αποτελέσματα για να καταλήξετε στην πρώτη από τις σχέσεις. Η δεύτερη θα προκύψει από τον ορισμό της μέσης τιμής και την ορθοκανονικότητα των.) (στ) Με βάση το προηγούμενο αποτέλεσμα εξηγείστε γιατί ερμηνεύουμε τους συντελεστές c ως πλάτη πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο με ενέργειες E. (ζ) Αν το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια (: είναι σε ιδιοκατάσταση της Hamiltoia) δείξτε ότι 3 6 x x, x x ( ), ( x) ( x) t ( ) t t 3 4

5 (η) Δείξτε ότι η πιθανότερη θέση του σωματιδίου (στην περίπτωση που έχει καθορισμένη ενέργεια ) είναι: x max,,3,5,..., (Υπ.: Δεν έχετε παρά να βρείτε που έχει μέγιστο η πυκνότητα πιθανότητας ( x ).) Άσκηση 7. Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναμικού στην περιοχή,. (α) Μετρήσεις της ενέργειας έδωσαν τις τιμές E και E με αντίστοιχες συχνότητες εμφάνισης 7% και 3%. Γράψτε την πιο γενική μορφή της κυματοσυνάρτησης του σωματιδίου. (β) Μέτρηση της μέσης θέσης και της μέσης ορμής του σωματιδίου έδωσαν τις τιμές x a και p / b όπου a και b σταθερές με διαστάσεις μήκους. Με βάση αυτά τα αποτελέσματα προσδιορίστε πλήρως την κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου. (γ) Μετά από χρόνο t μετράτε και πάλι την ενέργεια. Ποιές είναι οι τιμές που θα βρείτε και με ποιές πιθανότητες; (δ) Βρείτε πως θα αλλάξει (αν αλλάξει) η μέση θέση και η μέση ορμή του σωματιδίου. Άσκηση 8. Έστω ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται δεσμευμένο σε μια περιοχή [, ] μέσα στην οποία είναι ελεύθερο. Το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια. (α) Υπολογίστε, στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής, την πιθανότητα να βρεθεί σε μια περιοχή εύρους x γύρω από κάποιο σημείο x Απ. : Μπορείτε εύκολα να τη βρείτε αν σκεφτείτε ότι δεν μπορεί παρά να είναι t P όπου t είναι ο χρόνος που του χρειάζεται για να διανύσει την περιοχή εύρους T x και T είναι ο χρόνος που του χρειάζεται για να καλύψει τη συνολική περιοχή που έχει στη διάθεσή του. Αφού το σωμάτιο είναι ελεύθερο η ταχύτητά του είναι σταθερή και t x επομένως P. Παρατηρείστε ότι η πιθανότητα αυτή δεν εξαρτάται από το πού T είναι το σημείο x αλλά μόνο από το εύρος της περιοχής (β) Υπολογίστε την ίδια πιθανότητα στο πλαίσιο της κβαντικής μηχανικής. x Απ.: x x/ x x x x P dxsi ( ) cos( )si( ). x x/ 5

6 x x x Παρατηρείστε ότι: Αν si( ) και επομένως x x x P [ cos( )] si ( ) x όπως θα περιμένατε. Αυτή, όμως, η πιθανότητα εξαρτάται,όπως είναι προφανές, δραστικά από το σημείο x. (γ) Δείξτε ότι στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών τα αποτελέσματα (α) και (β) συμπίπτουν. Απ.: Στο όριο δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι x επομένως, και x x x αφού lim cos( )si( ), P. Σας λέει το αποτέλεσμα αυτό κάτι για την αρχή της αντιστοιχίας του Bohr ο οποίος θεωρούσε ότι στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών μπορούσε να χρησιμοποιεί τους κανόνες της κλασικής φυσικής; Άσκηση 9 Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναμικού στην περιοχή,. Μετράμε την ενέργειά του και τη βρίσκουμε E. Στη συνέχεια μετράμε τη θέση του και τη βρίσκουμε κοντά στο /4. Αν, αμέσως μετά, μετρήσουμε και πάλι την ενέργεια ποιά είναι η πιθανότητα να βρούμε και πάλι E ; Απ. Η απάντηση μπορεί να δωθεί με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους. Ένας είναι να σκεφτείται ότι η ζητούμενη πιθανότητα δεν μπορεί παρά να είναι ίδια με την πιθανότητα αν έχει ενέργεια E να βρεθεί στη θέση /4. Αυτή, όμως, την πιθανότητα x τη βρήκατε ήδη στο προηγούμενο ερώτημα: P si ( ) x. Ένας άλλος τρόπος 4 είναι να προσδιορίσετε την κατάσταση του σωματίου μετά τη μέτρηση της θέσης. Αυτό μπορεί να γίνει αν σκεφτείται ότι θα πρέπει η συνάρτηση που το περιγράφει να είναι παντού μηδέν εκτός από τη γειτονιά του σημείου x /4 Επομένως : x /4 x /4 dx ( x) x x x /4 x /4 x x x c dx ( x) ( x) dxsi x 6

7 Άσκηση. Έστω ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται δεσμευμένο σε μια περιοχή [, ] μέσα στην οποία είναι ελεύθερο. (α) Το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια. Βρείτε το πλάτος πιθανότητας να έχει ορμή στην περιοχή [ p, p dp]. (Απ.: Αφού το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια θα περιγράφεται από την x ( x) si( ),,,.... Το ζητούμενο πλάτος πιθανότητας θα βρεθεί από το px px dx i i x μετασχηματισμό Fourier: g( p) e ( x) dxe si( ). ia ia Το ολοκλήρωμα θα βρεθεί αν γράψετε si a ( e e ) και χρησιμοποιήσετε το i b ikx ( ikb ika / e dxe e e ). Το αποτέλεσμα είναι : g( p). Για το ik p a ( ) ( ) i i αποτέλεσμα αυτό αρκεί να δείτε ότι e cos( ) e ( ). Αν γράψετε e θα βρείτε αμέσως ότι p si ( ) g ( ) ( ) p. ) p ( ) ( ) Παρατηρείστε το προφανές: Το σωμάτιο, παρότι έχει καθορισμένη ενέργεια, δεν έχει καθορισμένη ορμή. Εξηγείστε αυτό που βρήκατε παρατηρώντας ότι [ Hˆ, pˆ ]. Γενικεύστε το συμπέρασμά σας για κάθε σωμάτιο που είναι δεσμευμένο σε μια πεπερασμένη περιοχή. (β) Βρείτε τη πιθανότερη τιμή της ορμής. ( Απ.: Το να παραγωγίσετε το πρηγούμενο αποτέλεσμα θα σας δώσει το σωστό αποτέλεσμα αλλά έχει αρκετές πράξεις. Μπορείτε να βρείτε την απάντηση εύκολα αν, για θετικές τιμές της ορμής γράψετε ia / ia ie si a p si ( ) g ( ) ( ) p p p ( ) ( ) si x Η συνάρτηση f( x) παρουσιάζει, όπως είναι εύκολο να ελεγχθεί, μέγιστο στη x θέση x και επομένως το μέγιστο της πιθανότητας είναι στη θέση p. Για αρνητικές τιμές της ορμής θα παρατηρήσετε ότι p i i 7

8 p p p si ( ) si [( ) ] si ( ) και θα γράψετε p si ( ) g ( ) ( ) p p p ( ) ( ) Το μέγιστο παρουσιάζετε τώρα στη θέση p.) Παρατηρείστε τα εξής: (α) Η κλασική σχέση ενέργειας ορμής E p /m που θα ίσχυε για ένα σωμάτιο το οποίο είναι ελεύθερο μέσα στο «πηγάδι», δεν ισχύει κβαντομηχανικά παρά μόνο για τις p πιθανότερες τιμές της ορμής : E. m m (β) Την κλασική σχέση μπορείτε να τη ξαναβρείτε στο όριο. Πράγματι βλέπετε ότι η πιθανότητα θα είναι g εκτός και αν βρισκόμαστε ακριβώς στο μέγιστο. Άσκηση. Έστω τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση ( x). Γράψτε xˆ xˆ xˆ, pˆ pˆ pˆ και ορίστε τη συνάρτηση ( x) ( pˆ iaxˆ) ( x) όπου a τυχαίος πραγματικός αριθμός. Ξεκινείστε από την προφανή σχέση (Απ.: dx ( x) και δείξτε ότι ( x)( p). dx ( x) dx ( pˆ ) ( pˆ ) ia( xˆ ) ( pˆ ) ia( pˆ ) ( xˆ ) a ( xˆ ) ( xˆ ) dx pˆ ia xˆ pˆ a xˆ p a a x [, ] ( ) ( ) Την τελευταία σχέση μπορείτε να τη δείτε σαν ένα τριώνυμο ως προς a. Για να ισχύει η ανισότητα θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι αρνητική ή μηδέν: 4( x) ( p) ( x) ( p). ) 4 Η ισότητα ισχύει προφανώς για d a i pˆ ( x) iaxˆ ( x) ( x) ( x x) ( x) p ( x) dx ( x x) px ( x) Aexp a i. Στην τελευταία σχέση γράψαμε ˆx x και ˆp p. Η κατάσταση που περιγράφεται από μια συνάρτηση σαν κι αυτή που μόλις καταλήξαμε λέγεται (για προφανείς λόγους) κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας 8

9 Άσκηση. Σωμάτιο είναι δεσμευμένο σε κάποια περιοχή του χώρου υπό την επίδραση κάποιου δυναμικού και έχει καθορισμένη ενέργεια. Δείξτε ότι αυτή είναι πάντα μεγαλύτερη από την ελάχιστη τιμή του δυναμικού. Απ. Ξεκινείστε από την Hˆ pˆ V ( xˆ) όπου η μέση τιμή είναι υπολογισμένη m στη δεδομένη κατάσταση για την οποία συζητάμε. Είναι προφανές ότι pˆ p pˆ pˆ p. Από τη σχέση αβεβαιότητας px και αφού (λόγω της δέσμευσης του σωματίου) x θα πρέπει p και έτσι pˆ p. Άρα Hˆ V ( xˆ ). Αφού η μέση τιμή οποιουδήποτε μεγέθους είναι μεγαλύτερη ή το πολύ ίση με την μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το μέγεθος αυτό θα έχουμε Hˆ V ( xˆ ) V. Αν η κατάσταση για την οποία συζητάμε έχει mi καθορισμένη ενέργεια (είναι, δηλαδή, ιδιοκατάσταση της Hamiltoia) θα είναι Ĥ E και επομένως E Vmi. Άσκηση 3. Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» στην περιοχή /, /. Τη χρονική στιγμή t η κατάστασή του περιγράφεται από τη συνάρτηση: A / x, / x ( x) A / x, x / (α) Αφού βρείτε τη σταθερά κανονικοποίησης βρείτε ποιές είναι οι δυνατές τιμές της ενέργειάς του και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες. Βρείτε πως θα άλλαζε η απαντησή σας με την πάροδο του χρόνου. (β) Η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα θα σας δείξει ότι δεν είναι προσιτές στο σωμάτιο όλες οι διαθέσιμες ενέργειες του απειρόβαθου «πηγαδιού». Εξηγείστε αυτό το συμπέρασμα με βάση την ομοτιμία της κατάστασης του σωματίου. (γ) Τη χρονική στιγμή t μετράτε τη θέση του σωματιδίου. Ποιά είναι η πιθανότητα να την βρείτε στην περιοχή x /4; Ποιά θα είναι αυτή η πιθανότητα αν κάνετε τη μέτρηση μετά από χρόνο t ; Ας πούμε ότι κάποια χρονική χρονική στιγμή t t μετράτε την ενέργεια του σωματίου και αμέσως μετά μετράτε τη θέση του. Ποιά είναι η 9

10 πιθανότητα να την βρείτε και πάλι στην περιοχή x /4; Πώς θα αλλάζει αυτή η πιθανότητα με την πάροδο του χρόνου; Απ. / 3 (α) dx... A / / / Πρέπει να βρείτε τους συντελεστές στο ανάπτυγμα ( x) c( x). Επομένως πρέπει να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: / c dxsi x ( x) / / A dxsi x x A dxsi x x / / / A dy si y y A dy si y y / ( ) A dy si y y. Μπορείτε αμέσως να παρατηρήσετε ότι για k, k,,... το αποτέλεσμα μηδενίζεται και επομένως αποκλείεται να βρείτε ενέργειες που να αντιστοιχούν σε άρτιους κβαντικούς αριθμούς. Εύκολα θα βρείτε τώρα ότι / dy si y y si cos Αφού για k, k,,... cos( ) και k si( ) ( ) το τελικό σας αποτέλεσμα είναι: c k k 4 6 ( ) k (k ) k,,... Με την πάροδο του χρόνου θα έχετε i t ( x, t) ce ( x) E

11 Επομένως ούτε οι επιτρεπτές τιμές της ενέργειας αλλάζουν ούτε, βέβαια, οι αντίστοιχες πιθανότητες. (β) Οι ιδιοσυναρτήσεις στο συμμετρικό απειρόβαθο «πηγάδι» έχουν καθορισμένη ομοτιμία: Είναι είτε άρτιες συναρτήσεις του x είτε περιττές : x x k cos( ), k si( ), k,,3,... Το γεγονός αυτό οφείλεται στη συμμετρία του δυναμικού η οποία επιτρέπει στις καταστάσεις καθορισμένης ενέργειας να έχουν και καθορισμένη ομοτιμία (να είναι και ιδιοκαταστάσεις του τελεστή της ομοτιμίας.). Η αρχική κατάσταση του σωματιδίου είναι, όπως είναι προφανές, άρτια. Επομένως στο ανάπτυγμα ( x) c ( x) μπορούν να υπάρχουν μόνο άρτιες ιδιοσυναρτήσεις της Hamiltoia και επομένως οι συντελεστές c που αντιστοιχούν σε περιττές ιδιοσυναρτήσεις πρέπει να μηδενίζονται. (γ) P x / 4, t dx A dx / x A dx / x / 4 / / 4 / 4 Το αποτέλεσμα αυτό θα αλλάξει ριζικά με την πάροδο του χρόνου. Η κατάσταση του σωματίου θα είναι, τη χρονική στιγμή t, η εξέλιξη της αρχικής συνάρτησης : i thˆ i tek k k k ( x, t) e ( x) c e cos( x) Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι τώρα : i /4 t ( E l E ) k k l P x / 4, t ck cle dx cos( x)cos( x) k l /4 Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος θα σας δώσει: k l k l /4 si( ) si( ) k l dx cos( x)cos( x) k l k l /4 Αν μετρήσετε πρώτα την ενέργεια και μετά τη θέση τα αποτελέσματα επίσης θα είναι διαφορετικά. Μετά τη μέτρηση της ενέργειας το σωματίδιο είναι σε κάποια από τις επιτρεπτές ιδιοκαταστάσεις της Hamiltoia: k k cos x Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι τώρα /4 k k ( ) P dx cos x k Άσκηση 4. /4 Σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε περιορισμένο σε ένα μονοδιάστατο αδιαπέραστο «κουτί» τα τοιχώματα του οποίου βρίσκονται στις θέσεις x / και x /.

12 Το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική κατάσταση. Ξαφνικά τα τοιχώματα του κουτιού μετακινούνται συμμετρικά στις θέσεις x και x (α) Βρείτε την πιθανότητα μετά από αυτή τη μεταβολή το σωμάτιο να βρεθεί και πάλι στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. (β) Βρείτε την πιθανότητα η ενέργεια του να μην αλλάξει. (γ) Ποιά είναι η αναμενόμενη τιμή της ενέργειας μετά τη ξαφνική επέκταση του κουτιού και πως αλλάζει με το χρόνο; Απ. Πριν από την επέκταση του «κουτιού» το σωμάτιο βρίσκεται στην ιδιοκατάσταση της Hamiltoia με τη χαμηλότερη ενέργεια : x cos( ), / x / ( x), E m Μετά την επέκταση το σωμάτιο βρίσκεται σε ένα διαφορετικό περιβάλλον αφού οι δυνάμεις που αισθάνεται περιγράφονται από το δυναμικό, x [, ] V( x), x [, ] Οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές της νέας Hamiltoia μπορούν να βρεθούν πολύ εύκολα με την πολύ απλή παρατήρηση ότι η μόνη αλλαγή που έγινε είναι ο διπλασιασμός του εύρους του «κουτιού» ( x) si[ ( x )], E m( ) Για την απάντηση μας χρειάζονται οι συντελεστές στο ανάπτυγμα δηλαδή οι ποσότητες ( x) c( x) / / / / x c dx ( x) ( x) dxsi[ ( x )]cos( ) ( ) ( ) si[ ] si[ ] si( ) 4 4 Από τη σχέση αυτή βλέπουμε ότι, πράγματι, μόνο οι συντελεστές με περιττό επιβιώνουν. Οι απαντήσεις τώρα στα ερωτήματα της άσκησης είναι τετριμμένες. (α) Χρειάζεται να εφαρμόσουμε το γενικό αποτέλεσμα για =: c c (si si ) ( ),

13 (β) Αφού ( ) E m( ) m το ερώτημα αφορά στη δυνατότητα να βρεθεί το σωμάτιο στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση του νέου «κουτιού». Αυτή προφανώς μηδενίζεται. (γ) Θα είναι / ˆ ˆ H dx( x) H( x) m / Σημειώστε ότι ο τελεστής της Hamiltoia που πρέπει να χρησιμοποιηθεί εδώ είναι αυτός που αντιστοιχεί στο διευρημένο «πηγάδι» ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης θα πρέπει να είναι στην περιοχή x. Αλλά η συνάρτηση μηδενίζεται για x /και έτσι η περιοχή ολοκλήρωσης πρέπει να περιοριστεί στο διάστημα x / όπου έχουμε την αρχική Hamiltoia. Στο ίδιο αποτέλεσμα (αλλά με περισσότερο κόπο) θα καταλήγατε και αν χρησιμοποιούσατε τον ορισμό της μέσης τιμής Hˆ c E c E Το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι το ίδιο μ αυτό που θα έβρισκε κανείς και πριν από την επέκταση των ορίων του «κουτιού». Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο αφού η μέση ενέργεια συμπεριφέρεται κλασικά και ο διπλασιασμός του χώρου κίνησης του σωματιδίου (όντας μια αδιαβατική μεταβολή) δεν θα επηρέαζε κλασικά την ενέργειά του. Άσκηση 5. Σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε περιορισμένο σε ένα μονοδιάστατο αδιαπέραστο «κουτί» τα τοιχώματα του οποίου βρίσκονται στις θέσεις x / και x /. Το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική κατάσταση. Ξαφνικά τα τοιχώματα του κουτιού μετακινούνται στις θέσεις x 3 / και x / (α) Βρείτε την πιθανότητα μετά από αυτή τη μεταβολή το σωμάτιο να βρεθεί και πάλι στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. (β) Βρείτε την πιθανότητα η ενέργεια του να μην αλλάξει. Υπ.: Δεν έχετε παρά να επαναλάβετε τα βήματα της προηγούμενης άσκησης. Θα βρείτε ( ) ( ) si[ ] si[ ] 3 c si( ) και από εδώ θα διαβάσετε τις ζητούμενες πιθανότητες. 3

14 Άσκηση 6. Έστω δύο απειρόβαθα «πηγάδια». Το πρώτο στην περιοχή [ /,) και το δεύτερο στην περιοχή (, / ]. Ένα σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας και δεσμευμένο στο αριστερό πηγάδι. Κάποια χρονική στιγμή το ενδιάμεσο «τοίχωμα» αφαιρείται. Ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο στη βασική κατάσταση του νέου «πηγαδιού»; Υπ.: Και πάλι θα πρέπει να δουλέψετε με το ίδιο πνεύμα. Η αρχική σας κατάσταση είναι x si( ), / x ( x), E και το ερώτημα θα απαντηθεί αμέσως με τον υπολογισμό m ( / ) x x 4 c dxsi( )cos( ) 3 / Άσκηση 7 Να βρεθούν οι δέσμιες καταστάσεις ενός σωματιδίου το οποίο βρίσκεται υπό την επήρεια του δυναμικού x V ( x) V x x Έχει πάντα λύση το πρόβλημα; Απ. : Στις 3 περιοχές του προβλήματός σας η λύση της εξ. Schrodiger είναι: όπου ( x), ( x) A si( kx) B cos( kx), ( x) A e I q II II II m E και m m k ( V E ) V q Απαιτώντας συνέχεια της κυματοσυνάρτησης και της παραγώγου της θα βρείτε την εξίσωση που προσδιορίζει τις δυνατές ενέργειες των δέσμιων καταστάσεων: k ta( k) () q III III qx 4

15 Μια μικρή διέρευνηση θα σας δείξει ότι δεν είναι πάντα δυνατό να ικανοποιηθεί η τελευταία σχέση και επομένως να έχουμε δέσμια κατάσταση:υψώνοντας στο τετράγωνο την εξίσωση () και γράφοντας k, g m V θα βρείτε si g g Η () όμως δηλώνει ότι ta και επομένως: ( ),,,3,... Άρα θα πρέπει g 4 4 m 4 m ( ) V ( ) Με άλλα λόγια στο συγκεκριμένο πρόβλημα η ύπαρξη δέσμιων καταστάσεων δεν είναι δεδομένη. Θα πρέπει το δυναμικό να είναι αρκετά "βαθύ" (: αρκούντως ελκτικό) ώστε να συμβεί αυτό. Η ελάχιστη τιμή του δυναμικού προκειμένου να δημιουργηθεί μία δέσμια κατάσταση είναι: V,mi 8m Άσκηση 8. Να βρεθούν οι δέσμιες καταστάσεις ενός σωματιδίου το οποίο βρίσκεται υπό την επήρεια του δυναμικού Aπ: x V ( x) V x x Λόγω της συμμετρίας του δυναμικού οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltoia θα έχουν καθορισμένη ομοτιμία (θα είναι είτε άρτιες είτε περιττές): Άρτιες: qx qx I( x) AIe, II ( x) AII cos( kx), III ( x) AI e Περιτές: qx ( x) A e, ( x) A si( kx), ( x) A e I I II II III I qx 5

16 ( q και k όπως στο προηγούμενο πρόβλημα). Οι συνθήκες συνέχειας θα δώσουν τώρα τις εξισώσεις που προσδιορίζουν τις ενέργειες των δέσμιων καταστάσεων. Για τις άρτιες ιδιοσυναρτήσεις θα βρείτε: q ta( k) () k ενώ για τις περιττές: k ta( k) () q Όπως και στη προηγούμενη άσκηση έτσι και εδώ μπορείτε να κάνετε διερεύνηση των εξισώσεων () και (). g () si g, ta ( ),,,3,... g Αν λυθούν οι εξισώσεις αυτές η ενέργεια βρίσκεται αμέσως από την () cos g, ta ( ) ( ),,,3,... k E V V g m Έτσι για να έχετε άρτιες λύσεις θα πρέπει ( ) g V ( ) ( ) (3) m ενώ για να έχετε περιττές είναι αναγκαίο να ισχύει ότι: ( ) V ( ) (4) g 4 8m 8m Βλέπετε ότι υπάρχει πάντα μία τουλάχιστον δέσμια κατάσταση η οποία είναι άρτια. Όσο πιο ελκτικό γίνεται το δυναμικό τόσο πιο πολλές δέσμιες καταστάσεις εμφανίζονται. Είναι προφανές από τις (3) και (4) ότι: Αν V 8m θα έχετε δέσμια κατάσταση η οποία είναι άρτια. Αν 6

17 V 8m m θα έχετε δέσμιες καταστάσεις: Μία άρτια και μια περιττή. Στην περιοχή 9 V m 8m θα έχετε 3: άρτιες και περιττή. Γενικά στην περιοχή ( ) V ( ) m 8m έχουμε άρτιες και - περιττές δέσμιες καταστάσεις οι οποίες εναλλάσσονται μεταξύ τους. Στην περιοχή ( ) V ( ) 8m m έχουμε άρτιες και περιττές δέσμιες καταστάσεις οι οποίες εναλλάσσονται μεταξύ τους. Σε κάθε περίπτωση η κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας είναι άρτια. (Θα καταλάβετε καλύτερα την προηγούμενη ανάλυση αν κάνετε ένα σχήμα.) Άσκηση 9 Να βρεθούν οι δέσμιες καταστάσεις σωματιδίου που βρίσκεται στο δυναμικό V ( x) ( x) Απ. Το δυναμικό αυτό είναι οριακή περίπτωση του δυναμικού του προηγουμένου προβλήματος όταν και V με τέτοιο τρόπο ώστε V /. Πράγματι. Στη περίπτωση που συζητάμε το δυναμικό είναι διάφορο του μηδενός μόνο στη θέση x και έτσι : Στο προηγούμενο πρόβλημα είχαμε dxv ( x) dx ( x) dxv ( x) dxv V 7 οπότε όταν θα πρέπει V με τρόπο ώστε V /. Για να λύσετε την άσκηση διακρίνετε δύο περιπτώσεις :

18 x όπου ( x) Ae qx και x όπου ( x) Ae ( q qx m E ) Αν λάβετε υπόψη την ασυνέχεια της πρώτης παραγώγου που οφείλεται στην παρουσία της δ-συνάρτησης θα βρείτε: m m m m ( ) ( ) () qa qa A q E Επομένως έχουμε μία δέσμια κατάσταση με την ενέργεια που δηλώνεται στην προηγούμενη σχέση και κυματοσυνάρτηση m ( x) Aexp( x ) Η σταθερά κανονικοποίησης μπορεί να υπολογισθεί εύκολα : A q m Το αποτέλεσμα αυτό θα μπορούσαμε να το πάρουμε και από την προηγούμενη άσκηση στο όριο που η εμβέλεια του δυναμικού γίνεται πολύ μικρή αλλά η ελκτικότητά του V πολύ μεγάλη έτσι ώστε V /. Πράγματι. Η σταθερά g της προηγούμενης άσκησης γράφεται g m V m και είναι επομένως (στο όριο ) πολύ μεγάλη. Είδαμε όμως ότι E g V και αυτό σημαίνει ότι η γωνία πρέπει να είναι πολύ μικρή αφού ο συνδυασμός g πρέπει να είναι λίγο μικρότερος από τη μονάδα. Έτσι, από τις εξισώσεις cos g και si g μόνο η πρώτη έχει λύση : E m cos ( ) g E V V 8

19 Άσκηση. Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου, σε μια ορισμένη στιγμή, είναι: ax ( x) Ne, a (α) Υπολογίστε την πυκνότητα πιθανότητας να έχει το σωμάτιο ορμή μεταξύ p και p dp. (β) Βρείτε την πιθανότητα το σωμάτιο να έχει ορμή p Απ.: (α) N a i p p px ix( a) ix( a) h dx dx dx g( p) e ( x) N e N e... g( p) (β) 3 a ( a p / ) a 3 a 4 ( p a) dp dx ( a p / ) ( x ) Άσκηση. a /4 dcos xta 4 Θεωρείστε ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται δεσμευμένο σε ελκτικό δυναμικό της μορφής V ( x) ( x). Φανταστείτε τώρα ότι το δυναμικό αλλάζει ξαφνικά και γίνεται V ( x) m x (α) Ποιές είναι οι δυνατές τιμές της ενέργειας του σωματίου; (β) Ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί στη χαμηλότερη απ αυτές; Υπ.: Να δουλέψετε όπως στην άσκηση 4. Μπορείτε, όμως, να μαντέψετε την απάντηση αν σκεφτείτε ότι πριν από την αλλαγή η κατάσταση του σωματίου έχει τη μορφή qx ( x) qe, x a 9

20 Όπως είναι προφανές η συνάρτηση αυτή είναι άρτια συνάρτηση του x είναι, δηλαδή, ιδιοκατάσταση του τελεστή της ομοτιμίας με ιδιοτιμή +. Μετά τη μεταβολή το δυναμικό εξακολουθεί να είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων και επομένως οι ιδιοκαταστάσεις του έχουν καθορισμένη ομοτιμία είναι, δηλαδή, είτε άρτιες είτε περιττές συναρτήσεις του x. Επομένως το σωμάτιο μπορεί να βρεθεί μόνο σε άρτια ιδιοκατάσταση της νέας Hamiltoia αφού η αλλαγή δεν άλλαξε τη συμμετρία του συστήματος. Άσκηση. Να βρεθούν οι καταστάσεις καθορισμένης ενέργειας σωματίου το οποίο βρίσκεται στο δυναμικό V ( x) [ ( x a) ( x a)] Απ. Θα χωρίσετε το πρόβλημα σε τρείς περιοχές: I : x a, II : a x a, III : a x και θα σκεφτείτε ότι λόγω της αρτιότητας του δυναμικού θα έχετε είτε άρτιες είτε περιττές λύσεις: Για τις άρτιες θα βρείτε: qx AI e, x a ( x) AII cosh( qx), a x a qx AI e, a x Για τις περιττές θα έχετε: qx AI e, x a ( x) AII sih( qx), a x a qx AI e, a x Η απαίτηση της συνέχειας θα σας δώσει I ( a) II ( a) και η ασυνέχεια της πρώτης παραγώγου θα σας οδηγήσει στη σχέση m ( a ) ( a ) ( a) ( a) ( a) II I I ( Η συμμετρία του δυναμικού θα σας δώσει ακριβώς τις ίδιες εξισώσεις και στη θέση x a) Αν εφαρμόσετε τις παραπάνω σχέσεις για τις άρτιες λύσεις θα καταλήξετε στο συμπέρασμα ότι m tah( qa) () q Ενώ αν τις εφαρμόσετε για τις περιττές θα βρείτε ότι:

21 m coth( qa) () q Ενδιαφέρον έχει η διερεύνηση των παραπάνω εξισώσεων. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την x x sih x e e tah x x x cosh x e e coth x για να γράψετε την (): και την (): qa qa qa e e e m qa e q qa qa qa e e e q m (3) qa qa qa e e e m qa e q qa qa qa e e e q m (4) Εξετάζοντας την (3), η οποία αντιστοιχεί σε άρτιες λύσεις, βλέπετε ότι υπάρχει πάντα λύση : Οι καμπύλες αρκεί (αφού πάντα y q ( ) qa e qa e και ) y ( q) q έχουν πάντα ένα σημείο τομής m q m Η τελευταία ανισότητα σας λέει αμέσως ότι η ενέργεια της (άρτιας) ιδιοκατάστασης είναι μικρότερη από την ενέργεια που έχει σωματίδιο δεσμευμένο στο δυναμικό μιας μόνο δ-συνάρτησης: m E (5) Αν προσέξουμε τώρα ότι qa m e q E m θα συμπεράνουμε ότι m( ) m E (6) Η ισότητα στην τελευταία σχέση αντιστοιχεί στην περίπτωση στην οποία η απόσταση ανάμεσα στις δύο δ-συναρτήσεις μηδενίζεται οπότε, όπως είναι προφανές, έχουμε στην αρχή των αξόνων το ελκτικό δυναμικό που περιγράφεται από μια δ-συνάρτηση αλλά έχει διπλάσια ένταση. Για να καταλάβουμε την πληροφορία από το δεξί μέλος της ανισότητας ας σκεφτούμε το δυναμικό του προβλήματός μας σαν ένα μοντέλο ενός σωματίου το οποίο «αισθάνεται» την έλξη από δύο κέντρα τα οποία βρίσκονται σε σχετικά μικρή απόσταση μεταξύ τους. Η ανισότητα (5) συγκρίνει την ενέργεια ενός σωμάτιου δεσμευμένου σε ένα τέτοιο «μόριο» με την ενέργεια ενός σωματίου το οποίο

22 θα ήταν δεσμευμένο μόνο σε ένα ελκτικό κέντρο. Το συμπέρασμα που βγαίνει είναι ότι είνα ιενεργειακά οικονομικότερη η δημιουργία «μορίων». Ας πάμε τώρα στη σχέση (4) που αφορά στις περιττές ιδιοκαταστάσεις. Το πρώτο που βλέπουμε αν σχεδιάσουμε τις δύο καμπύλες y q ( ) qa e και y ( q) q m είναι ότι δεν έχουν πάντα κάποιο σημείο τομής. Επομένως η εξίσωση (4) δεν έχει πάντα λύση και έτσι δεν έχουμε πάντα ιδιοκατάσταση με αρνητική ομοτιμία. Ας το δούμε αυτό το σημείο πιο ποσοτικά. Μπορούμε κατ αρχή να βρούμε την εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο q=: d d qa y ( q) e a dq dq q q Για να έχουμε λύση θα πρέπει η κλίση της ευθείας να είναι μεγαλύτερη ή, το λιγότερο ίση, με την κλίση της εφαπτομένης: d d y( q) y( q) a a dq dq m m q q Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι για να έχουμε δέσμια κατάσταση η οποία να είναι περιττή συνάρτηση θα πρέπει η ένταση του ελκτικού δυναμικού να είναι επαρκώς μεγάλη ή, για δεδομένη ένταση, η απόσταση ανάμεσα στα ελκτικά κέντρα να είναι μεγαλύτερη από μια ελάχιστη απόσταση: mi ή ma a mi m (7) Αν η συνθήκη αυτή δεν ικανοποιείται τότε έχουμε μόνο μία δέσμια κατάσταση η οποία είναι άρτια συνάρτηση του x, ενέργειά της μπορεί να βρεθεί αριθμητικά)και η τιμή της είναι στην περιοχή που καθορίζει η σχέση (6). Αν η συνθήκη (7) ικανοποιείται τότε έχουμε και μια δεύτερη δέσμια κατάσταση η οποία είναι περιττή συνάρτηση του x και της οποίας η ενέργεια θα βρεθεί και πάλι γραφικά. Το εύρος της ενέργειας τώρα θα βρεθεί αν παρατηρώντας τη σχέση (4) διαπιστώσουμε ότι θα πρέπει m q E m Με άλλα λόγια η περιττή ιδιοκατάσταση έχει (αν υπάρχει) μεγαλύτερη ενέργεια από την άρτια η οποία υπάρχει πάντα και είναι η βασική κατάσταση του συστήματος.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4. Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες. ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση : Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. 2. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το ( ) ( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. 2. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Να λύσετε το πρόβλημα. l. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το πρόβλημα : f a l b 3. Βρείτε τη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί την εξίσωση και

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

Η άλγεβρα της στροφορμής

Η άλγεβρα της στροφορμής Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι στο άπειρο το αποτέλεσμα απειρίζεται λογαριθμικά. Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού Coulomb σε δύο διαστάσεις δεν μπορεί να εξαλειφθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η απόκλιση (86 διότι έχει φυσική αφετηρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την περίπτωση σκέδασης σε σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει το δέλτα πηγάδι δυναμικού, το οποίο αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Σκέδαση Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 8: Ολοκλήρωση μελέτης απειρόβαθου πηγαδιού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 8: Ολοκλήρωση μελέτης απειρόβαθου πηγαδιού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 8: Ολοκλήρωση μελέτης απειρόβαθου πηγαδιού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρωθεί η μελέτη που αφορά το

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα