Κεφάλαιο 1. Προαπαιτούμενη γνώση Μαθήματα: Μηχανική των πετρωμάτων, Τεχνική Γεωλογία. Χρήσιμη βιβλιογραφία: Hoek et al. (1995)
|
|
- ἐλπίς Άλκηστις Ελευθεριάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο Σύνοψη Η φέρουσα ικανότητα (apacity) των δομημάτων επιλέγεται κατά τη μελέτη έτσι ώστε να είναι σε θέση αυτά να αναλαμβάνουν την απαίτηση (Demand) των δράσεων. Δεδομένου ότι τόσον η ικανότητα όσον και η απαίτηση είναι μεταβλητές ποσότητες, εξετάζεται η διακινδύνευση αστοχίας των επιλεγμένων μέτρων υποστήριξης και οι μέθοδοι εκτίμησης της αξιοπιστίας τους. Προαπαιτούμενη γνώση Μαθήματα: Μηχανική των πετρωμάτων, Τεχνική Γεωλογία. Χρήσιμη βιβλιογραφία: Hoek et al. (995). Αξιοπιστία των μέτρων στήριξης Η εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας, αποτελεί παράγοντα για τη λήψη απόφασης αποδοχής ενός σχεδιασμού. Η αποτροπή αστοχιών αντιμετωπίζεται μελετητικά συνήθως προσδιορισμικά, με βάση κανονισμούς, απαιτώντας μια επαρκή απόσταση μεταξύ της δυνατότητας ανάληψης των επικρατουσών δυνάμεων από των δυνάμενων να αναληφθούν. Ακριβέστερη ακτίμηση της πιθανότητας αστοχίας επιτυγχάνεται με στατιστικές μεθόδους. Η διερεύνηση της πιθανότητας αστοχίας μιας μελέτης δομήματος πραγματοποιείται συνήθως αριθμητικά, με μεθόδους Monte arlo ή αντίστοιχες, οι οποίες δύνανται να εφαρμοστούν σε πληθώρα πολύπλοκων προβλημάτων. Αντίθετα, αναλυτικές μέθοδοι προσφέρονται για την εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας απλοποιημένων προβλημάτων, προσφέρουν όμως εποπτεία και δυνατότητα άμεσης παρέμβασης. Η φέρουσα ικανότητα (apacity) των δομημάτων επιλέγεται κατά τη μελέτη έτσι ώστε να είναι σε θέση αυτά να αναλαμβάνουν την απαίτηση (Demand) των δράσεων. Όμως, τόσον η ικανότητα, όσον και η απαίτηση δεν έχουν σαφείς τιμές. Επομένως, για την ευστοχία ενός (υπογείου) έργου η φέρουσα ικανότητα, που εξαρτάται από την ποσότητα των μέτρων στήριξης, θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την απαίτηση D. Το ερώτημα που τίθεται είναι, πόσο μεγαλύτερη, καθόσον μεγάλη ποσότητα μέτρων στήριξης έχει σα συνέπεια μεγάλο κόστος για την κατασκευή του έργου. Ο μηχανικός καλείται να επιλέξει τη βέλτιστη λύση, χρησιμοποιώντας διάφορες δόκιμες λογικές σχεδιασμού. Αυτές θα εφαρμόσουμε παρακάτω σε ένα απλό παράδειγμα ανάρτησης στρωσιγενούς οροφής πετρώματος.
2 ompetent rock layer Weak rock layers W s l s c t s Σχήμα -. Ανάρτηση στρώματος με αγκύρια s c. Προσδιορισμικός υπολογισμός των μέτρων υποστήριξης Έστω ότι πέτρωμα στρωσιγενούς οροφής έχει μοναδιαίο βάρος γ = 7 kn/m 3, και μέσο πάχος μ ts =.0 m με τυπική απόκλιση σ ts = 0.5 m. Το στρώμα αναρτάται πλήρως από τα υπερκείμενα μέσω ηλώσεων (Σχήμα -) διαστελλομένου άκρου διαμέτρου 7mm, τοποθετημένων, όπως φαίνεται στο Σχήμα -, σε τετραγωνικό κάναβο s s l =.5 m.5 m. Από τις τιμές αυτές υπολογίζεται η απαίτηση D στήριξης τεμαχών πλακών πετρώματος, με μέση τιμή βάρους μ D = 6.5 kn ( ), και τυπική απόκλιση σ D = 8. kn ( ). Από ικανό αριθμό δοκιμών εξόλκευσης προκύπτει ότι η φέρουσα ικανότητα των ήλων έχει μέση τιμή μ = 78.5 kn, και τυπική απόκλιση σ = 3.7 kn. Μοναδιαίο βάρος πετρώματος: γ=7 kn/m 3 Κάνναβος αγκυρίων: s x s =.5 m x.5 m (apacity): Ικανότητα των αγκυρίων Δοκιμές εξόλκευσης μ c =78.5MPa σ =3.7MPa, V = σ /μ = D (Demand):Απαίτηση D= γ t s Μέση τιμή: μ t =.0 m=> μ D = 6.5 kn ( ) Τυπική απόκλιση σ t = 0.5 m=> σ D = 8. kn ( ) t min = 0. m, t max =.8 m Σχήμα -. Πλάκα οροφής πάχους t που υποστηρίζεται από αγκύρια σε κάναβο s s.. Σαφείς παράμετροι σχεδιασμού Σύμφωνα με τις συνήθως εφαρμοζόμενες μεθόδους σχεδιασμού, οι παράμετροι τόσον της ικανότητας όσον και της απαίτησης, καθορίζονται ως σαφείς αντιπροσωπευτικές τιμές, συχνά μέσες. Η ευστοχία του δομήματος θεωρείται ότι εξασφαλίζεται από ένα συντελεστή ασφαλείας, μεγαλύτερο της μονάδας, που ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
3 ορίζεται ως ο λόγος της (φέρουσας) ικανότητας προς την απαίτηση (ικανότητας) D. Η τιμή του συντελεστή ασφαλείας, που αναλαμβάνει τη μεταβλητότητα των παραμέτρων, τις αδυναμίες των μεθόδων ανάλυσης και τις αποκλίσεις κατά την κατασκευή, καθορίζεται μεγαλύτερος της μονάδας, από κανονισμούς ή οδηγίες με βάση την πρότερη εμπειρία. Θεωρώντας ότι το βάρος της πλάκας του πετρώματος που φορτίζει κάθε ήλο ισούται με το μέσο συνεισφέρον βάρος αυτής, το σαφές φορτίο (δράση) που (απαιτείται να) υποστηρίζεται από αυτόν είναι: D = W= μ D = 6.5 kn (-) Θεωρώντας επίσης ότι η σαφής φέρουσα ικανότητα (αντίδραση) του ήλου ισούται με τη μέση τιμή αυτής: = μ = 78.5 kn (-) Επομένως ο σαφής (προσδιορισμικός) συντελεστής ασφαλείας είναι: FS= 78.5/6.5=.3 (-3) Ένας τέτοιος συντελεστής ασφαλείας θα μπορούσε να είναι αποδεκτός... Ευαισθησία της ευστοχίας της μελέτης στις παραμέτρους Προηγουμένως οι παράμετροι σχεδιασμού θεωρήθηκαν ότι έχουν σαφείς τιμές. Όμως, σύμφωνα με τις μετρήσεις οι παράμετροι αυτές έχουν μεταβαλλόμενες τιμές. Είναι επομένως χρήσιμη η εκτίμηση της ευαισθησίας του συντελεστή ασφαλείας στις παραμέτρους σχεδιασμού. Στο παράδειγμα δυνάμεθα να θεωρήσουμε ότι το πάχος της πλάκας («απαίτηση» ανάρτησης) και η φέρουσα «ικανότητα» του αγκυρίου έχουν τιμές που είναι μεταβλητές. Αν λοιπόν το πάχος κυμαίνεται από 0.7 έως.3m και η φέρουσα ικανότητα του αγκυρίου από 70 έως 90 kn, τότε ο συντελεστής ασφαλείας, που είναι ο λόγος της ικανότητας προς την απαίτηση D, κυμαίνεται από 70/(7.3.5 )=0.88 έως 90/( )=.. Η τιμή 0.88 είναι βέβαια μη αποδεκτή, και εφόσον εκτιμάται ότι σημαντικός αριθμός αγκυρίων υπερφορτίζονται, θα πρέπει η μέση τιμή του συντελεστή να αυξηθεί, με μείωση π.χ. του διαστήματος του κανάβου.. Ανάλυση αξιοπιστίας Προκειμένου να εκτιμηθεί ο πιθανός αριθμός ήλων που θα αστοχήσουν χρησιμοποιούνται κατάλληγλες στατιστικές μέθοδοι... Βασικές έννοιες των πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Παράμετροι όπως η γωνία τριβής των ασυνεχειών, η μονοαξονική αντοχή του πετρώματος, η διεύθυνση των ασυνεχειών του πετρώματος, η ένταση του επιτόπου εντατικού πεδίου, δεν έχουν μία σταθερή τιμή, αλλά δύνανται να λαμβάνουν σειρά από πολλές τιμές. Δεν υπάρχει δυνατότητα πρόγνωσης ακριβούς μοναδικής τιμής της κάθε παραμέτρου σε κάθε σημείο. Επομένως, οι παράμετροι αυτές χαρακτηρίζονται ως τυχαίες μεταβλητές. Κατανομή πιθανότητας: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) περιγράφει τη σχετική πιθανότητα να λαμβάνει συγκεκριμένη τιμή μία τυχαία μεταβλητή. Το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από τη συνάρτηση ισούται με ένα. Η αθροιστική κατανομή (DF) δίνει την πιθανότητα να λαμβάνει μία μεταβλητή, τιμή μικρότερη ή ίση με την επιλεγμένη τιμή. Μέση τιμή (sample mean) δείγματος ή αναμενόμενη τιμή ή πρώτη ροπή: n x = x i n i= (-4) ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
4 ff = D ; M = D = D (ff ) (-9) F ff (ff) = P D < ff (-0) Η πραγματική μέση τιμή συμβολίζεται ως «μ». Διακύμανση ή διασπορά (variance) δείγματος ή δεύτερη ροπή ως προς τη μέση τιμή μιας κατανομής: n ( ) s = x i x n i= Τυπική απόκλιση (standard deviation): s = + s (-5) (-6) Η πραγματική τυπική απόκλιση συμβολίζεται ως «σ» Συντελεστής διακύμανσης ή μεταβλητότητας (coefficient of variation): s OV = x Κανονική κατανομή (normal distribution): x µ exπ σ f x = x ( ) σ π < x < (-7) (-8) Άλλες κατανομές που χρησιμοποιούνται είναι η Βήτα, η Εκθετική, η Λογαριθμοκανονική και η Weibull... Αναλυτικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας Η αξιοπιστία ενός συστήματος υποστήριξης προσδιορίζεται συγκρίνοντας την αντοχή του συστήματος (ικανότητα, ) προς το εφαρμοζόμενο φορτίο (απαίτηση, D), και η αστοχία του συστήματος θεωρείται ότι συμβαίνει όταν D>. Η ικανότητα και η απαίτηση μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίες μεταβλητές συγκεκριμένης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, η οποία είτε επιλέγεται εκ των προτέρων, είτε υπολογίζεται από διαθέσιμα στοιχεία. Η ανάλυση της αξιοπιστίας διαμορφώνεται είτε με τη μορφή του περιθωρίου ασφαλείας Μ, που ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ ικανότητας και απαίτησης, ή με τη μορφή του συντελεστή ασφαλείας fs, που ορίζεται ως ο λόγος της ικανότητας προς την απαίτηση, δηλαδή: Εξ ορισμού η fs είναι επίσης τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F fs. Για >0 και D>0, η F fs ορίζεται ως: Οι μεταβλητές και D είναι συνήθως εξαρτημένες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, σε ένα πρανές η μία συνιστώσα του βάρους λειτουργεί ως δράση (D) ολίσθησης, ενώ η άλλη ως αντίδραση () στην ολίσθηση λόγω αύξησης της αντοχής τριβής. Υπάρχουν όμως πολλά προβλήματα της γεωτεχνικής, όπου η ικανότητα και η απαίτηση είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως πχ. στη μελέτη θεμελιώσεων, υπόγειων στύλων πετρώματος, κλπ. ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
5 Εφόσον, οι και D είναι ανεξάρτητες και οι κατανομές τους θεωρηθούν ως τμηματικά γραμμικές (Sofianos et al., 03) ή πολυωνυμικές συναρτήσεις, τότε η επίλυση δύναται να είναι αναλυτική.... Ομοιόμορφη συνάρτηση κατανομής Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι οι f και f D είναι (Nomikos & Sofianos,0) συναρτήσεις πυκνότητας ομοιόμορφης κατανομής (μηδενικού βαθμού πολυωνυμικές συναρτήσεις ενός τμήματος), όπως φαίνεται στο Σχήμα -3. Τότε, f(x) =, a x b b a 0 ααααύ f(t)dd = x a dd = F(x) = a b a b a 0, x a, x b x, a x b (-) f () or f D (D) D L U apacity () or Demand (D) Σχήμα -3. Συναρτήσεις πυκνότητας για ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές για την ικανότητα και την απαίτηση D. Ο Πίνακας - δίνει τις αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f(fs), σύμφωνα με τη θέση της fs σε σχέση με τους λόγους L / και U /. Διακρίνονται τέσσερα τμήματα, τα οποία μπορεί να διατάσσονται σε δύο παραλλαγές, που φαίνονται στο Σχήμα -4, σύμφωνα με τη θέση των λόγων L / και U /. ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
6 Πίνακας - Συνάρτηση κατανομής και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συντελεστή ασφαλείας fs (Nomikos & Sofianos, 0). Τμήμα του ff F(ff) f(ff) a ff < mmm(l / ; U / ) L ff ff L (U L )( ) ff (U L )( ) b ff > mmm(l / ; U / ) ff U ff L U D (U L )( ) ff (U L )( ) c d L / ff U / U / ff L / ff( + ) L (U L ) + U L U + L ff fs U + L Probability density, f(fs) Probability density, f(fs) L a U d L b Σχήμα -4. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συντελεστή ασφαλείας: (α) παραλλαγή: L / >U /, (β) παραλλαγή: L / <U /. Η μέση τιμή μ fs και η διασπορά σ fs,του συντελεστή ασφαλείας δίνονται από τις σχέσεις: U fs L a L c U b U fs U / μ ff = ff f(ff) ddd = (U + L ) ln( / ) ( ) σ ff L / U / = fs f(ff) ddd L / μ ff = (U + L ) U L 3 μ ff (-) (-3) όπου σ ff η τυπική απόκλιση. Από τις σχέσεις (-) και (-3) ο συντελεστής διασποράς V ff υπολογίζεται ως V ff = σ ff = (U + L ) U L μ ff 3 μ ff (-4) Εάν οι συντελεστές διασποράς των και D είναι V και V D αντίστοιχα, τα όρια των τυχαίων μεταβλητών μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των μέσων τιμών μ και μ D ως: ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
7 L = μ 3 V ; U = μ + 3 V = μ D 3 V D ; = μ D + 3 V D Έτσι η εξ. (-) γίνεται: μ ff = μ μ D 3 6 V D ln + 3 V D 3 V D (-5) (-6) Οι ακραίες τιμές του fs μπορούν να υπολογισθούν συναρτήσει των μ /μ D, V και V D από τις σχέσεις: minff = L = μ μ D 3 V + 3 V D, maxff = U = μ μ D + 3 V 3 V D (-7) Αστοχία συμβαίνει όταν η απαίτηση υπερβεί την ικανότητα (ο συντελεστής ασφαλείας είναι μικρότερος της μονάδας). Η πιθανότητα αστοχίας υπολογίζεται από τη συνάρτηση κατανομής του συντελεστή ασφαλείας για fs=, που εξαρτάται από τη σχετική θέση των ορίων των μεταβλητών και D όπως φαίνεται από το Σχήμα -5. Ο συμβατικός συντελεστής ασφαλείας μπορεί να ορισθεί ως ο λόγος μ /μ D. Ο ελάχιστος συμβατικός συντελεστής ασφαλείας για να εξαλειφτεί η πιθανότητα αστοχίας μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας L = (θέση τιμές D πριν τις τιμές ) και λύνοντας ως προς μ / μ D : μ μ D = + 3V D 3V (-8) ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
8 Θέση Θέση D f () or f D (D) D f () or f D (D) apacity () or Demand (D) F ff () = ( L ) (U L )( ) L = μ D + 3V D μ 3V 4 μ μ D V V D Θέση 3 (β παραλλαγή) D U L U apacity () or Demand (D) F ff () = (U ) (U L )( ) = μ + 3V μ D 3V D 4 μ μ D V V D Θέση 4 (α παραλλαγή) f () or f D (D) f () or f D (D) D L apacity () or Demand (D) F ff () = + L (U L ) U = 3 (μ μ D ) 6 μ V F ff () = U + L = 3 (μ μ D ) 6 μ D V D Σχήμα -5. Σχετική θέση των τυχαίων μεταβλητών και D σε σχέση με τα όρια τους και αντίστοιχη πιθανότητα αστοχίας.... Τριγωνική κατανομή Η τριγωνική κατανομή (Sofianos et al., 03) είναι η απλούστερη τμηματικά γραμμική κατανομή, μετά την ομοιόμορφη κατανομή. Είναι διγραμμική κατανομή, που συνίσταται από δύο συναρτήσεις ράμπας (ramp functions) αντίθετης κλίσης. Μπορεί να είναι συμμετρική (Σχήμα -6 αριστερά) ή ασύμμετρη (Σχήμα -6 αριστερά) είτε προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. L U apacity () or Demand (D) Ικανότητα () ή Απαίτηση (D) Ικανότητα () ή Απαίτηση (D) Σχήμα -6. Συμμετρικές (αριστερά) και ασύμμετρες (δεξιά) τριγωνικές συναρτήσεις κατανομής για την ικανότητα και την απαίτηση. Εάν τα πρώτα (αύξοντα) τμήματα των κατανομών συμβολίζονται με i = j = και τα δεύτερα (φθίνοντα) με i = j =, αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση κατανομής της fs μπορεί να υπολογιστεί ως: ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
9 F fs ( fs) = 0, L fs < L U fs U L Ffs, ij ( fs), i= j = D D, U fs > L D (-9) F fs,ij (fs) είναι η πιθανότητα του συνδυασμού του i τμήματος της ικανότητας με το j τμήμα της απαίτησης. Υπολογίζεται από τις σχέσεις: F fs, ij ( fs) = w w M ij N fs ij 0, L fs < U L U, fs j L U, fs > L (-0) w M R = ij Uij ( U L ) ( U L ) = h ; w ( R L ) Uij ( U L ) = + ( U L ) ( U L ) D D ( ) ( R L ) Uij h ( U L ) U L = j min, fs ; RLij = L max, fs j L = K4 ijq4ij + [ Kij fs + K3ij + K4ij ( L fs L)] Q3ij + [ Kij + Kij ( L fs L)] fsq Nij ij Q kij k ( R L fs) ( R L fs) Uij Lij = ; k =,3,4 k k K K K K ij ij 3ij 4ij = h = = h h ( j L ) ( U L ) h ( h )( j L ) ( U L ) ( h )( j L ) ( U L ) ( )( )( ) h h U L ( U L ) = h = h D =0, h = h D = (-) Η μέση τιμή μ fs και η διασπορά σ fs,του συντελεστή ασφαλείας δίνονται από τις σχέσεις: µ = U fs L D U LD F fs L dfs (-) U LD fs = ( U LD) fsffsdfs fs L s µ ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
10 που μπορούν να υπολογισθούν αριθμητικά. Η πιθανότητα αστοχίας P(fs ) μπορεί να υπολογισθεί από την συνάρτηση κατανομής της fs θέτοντας fs=...3 Αριθμητικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας Ο υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας μπορεί να πραγματοποιηθεί αριθμητικά, θεωρώντας τις υπεισερχόμενες παραμέτρους ως τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανομή ή άλλες συνήθεις συνεχείς κατανομές. Η τεχνική που χρησιμοποιείται αναφέρεται γενικά ως προσομοίωση ή μέθοδος Monte arlo. Το πρώτο βήμα της μεθόδου είναι η «τυχαία δειγματοληψία» τιμών από τις συναρτήσεις κατανομής των στοχαστικών παραμέτρων (Σχήμα -7, αριστερά). Συνήθως χρησιμοποιείται η μέθοδος της αντιστροφής σύμφωνα με τη σχέση Χ = F (U), όπου Χ η τυχαία μεταβλητή με κατανομή F και U ομοιόμορφα κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα [0, ]. Το δεύτερο βήμα είναι η επαναλαμβανόμενη επίλυση της εξίσωσης υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας (ή ενός υπάρχοντος προσδιορισμικού μοντέλου), τόσες φορές όσο το πλήθος των τιμών της τυχαίας δειγματοληψίας του πρώτου βήματος. Το βήμα αυτό δεν παρουσιάζει γενικά δυσκολίες, πλην του υψηλού υπολογιστικού χρόνου που μπορεί να απαιτείται για την πολλαπλή επίλυση ενός αριθμητικού μοντέλου σε πολύπλοκα γεωτεχνικά προβλήματα. (-3) Δειγματοληψία Monte arlo.0 F(Χ) Δειγματοληψία Latin Hypercube Τυχαία μεταβλητή X X Σχήμα -7. Επιλογή 5 τυχαίων αριθμών από τη συνάρτησης κατανομής F με δειγματοληψία Monte arlo (αριστερά) και Latin Hypercube (δεξιά). Η υπολογιστική προσπάθεια μπορεί να μειωθεί σημαντικά με τη χρήση στατιστικών τεχνικών που είναι γνωστές ως τεχνικές ελάττωσης της διασποράς, όπως η δημοφιλής μέθοδος δειγματοληψίας (Σχήμα -7, δεξιά) του λατινικού υπερκύβου (Latin Hypercube sampling, LHS). Με αυτή επιλέγονται n διαφορετικές τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ χωρίζοντας το εύρος της n μη επικαλυπτόμενα διαστήματα ίσης πιθανότητας P = /n και επιλέγοντας μία τιμή από κάθε διάστημα Παράδειγμα Συνεχίζεται το παράδειγμα της παραγράφου., με θεώρηση ομοιόμορφης κατανομής των μεταβλητών της ικανότητας και της απαίτησης D, με κάτω και άνω όρια L, U,,, αντίστοιχα. Για ομοιόμορφη κατανομή οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας f(x) και αθροιστικής κατανομής f(x) δίνονται από τις: f = /(U L ), και f D = /( ). Οι αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού της πιθανότητας αστοχίας δίνονται στην παράγραφο... Οι συναρτήσεις πυκνότητας f και f D δίνονται στο Σχήμα -8, όπως υπολογίζονται, για τις δεδομένες μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις, από τις παρακάτω σχέσεις: μ = 78.5kk; σ = 3.7kk; V = σ /μ = ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
11 U = μ + σ 3 = = 84.9kk L = μ σ 3 = = 7.09kk f () = /(U L) = =.8 = 0.078kN μ t =.0 m μ D = 6.5kk; σ t = 0.5m σ D = 8.kk; V D = σ D /μ D = = μ D + σ D 3 = = 0.34kk = μ D σ D 3 = =.66kk f D (D) = /(UD LD) = = = 0.00kN f () or f D (D) D apacity () or Demand (D) Σχήμα -8 Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τυχαίες μεταβλητές και D που ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή. Η σχετική θέση των τυχαίων μεταβλητών και D, που φαίνεται στο Σχήμα -8, είναι η 4 σύμφωνα με το Σχήμα -5. Το εύρος του συντελεστή ασφαλείας fs βρίσκεται μεταξύ της ελαχίστης L / και της μεγίστης U / : min{ff} = L = = 0.65; max{ff} = U = = 6.7 Η μέση τιμή και η διασπορά του fs υπολογίζονται από τις σχέσεις (-) και (-3) του παραρτήματος, αντίστοιχα: μ ff = (U + L ) ln( / ) ( ) =.74 σ = (U + L ) U L 3 μ =.39 σ =.8 ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
12 Η σ.π.π. του fs ακολουθεί την παραλλαγή α, σύμφωνα με το Σχήμα -4 καθώς L = 5.69 > 0.77 = U Για τη σχεδίαση στο Σχήμα των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας και κατανομής του fs, υπολογίζονται τα αντίστοιχα τμήματα a, d και b (Σχήμα -4α, Πίνακας -): Τμήμα a, για 0.65<fs<0.77. L F ff (ff) = ff ff (U L )( ) f(ff) = U D L ff (U L )( ) = ff.0.44 ff = fs Τμήμα d, για U = 0.77 ff 5.69 = L U + L ff F ff (ff) = = ff f(ff) = fs U + L = fs = 0.80 fs Τμήμα b, για 5.69<fs<6.7. F ff (ff) = ff U ff = ff.70 (U L )( ) ff 0.5 f(ff) = U ff (U L )( ) =.88 fs ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
13 .4.00 Probability density L / f(fs) U / F(fs) L / U / umulative probability Safety factor, fs Σχήμα -9. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και συνάρτηση κατανομής του συντελεστή ασφαλείας. Η πιθανότητα αστοχίας για τη θέση 4 υπολογίζεται ως: F ff () = U L ( ) = ( ) = 0.33 Συνεπώς για μεγάλο αριθμό ηλώσεων 33 στους 00 ήλους θα αστοχούν. Αυτός ο σχεδιασμός πρέπει να απορριφθεί. Οι Hoek et al. (995), χρησιμοποιώντας αποκομμένες κανονικές κατανομές υπολόγισαν μέση τιμή του συντελεστή ασφαλείας.4, τυπική απόκλιση 0.7 και πιθανότητα αστοχίας 30 %. Προκειμένου να καθοριστεί εάν μία πιθανότητα αστοχίας είναι αποδεκτή στο σχεδιασμό, απαιτείται ο υπολογισμός των επιπτώσεων της αστοχίας ενός αγκυρίου σε ένα γειτονικό του. Στην περίπτωση αστοχίας ενός αγκυρίου τα τέσσερα γειτονικά αγκύρια θα κληθούν να φέρουν αυξημένο φορτίο κατά 5 %. Επομένως η απαίτηση γίνεται: D =.5 γ t s Εκτελώντας εκ νέου την προσομοίωση προκύπτει πιθανότητα αστοχίας του γειτονικού αγκυρίου ~50%. Υπάρχει δηλαδή το ενδεχόμενο αστοχίας τύπου «ντόμινο». Ο αρχικός αυτός σχεδιασμός δεν είναι αποδεκτός. Για να αποφευχθεί η αστοχία πρέπει να μειωθεί η απαίτηση. Η απαιτούμενη απόσταση των ηλώσεων, ώστε πρακτικά να εξαλειφτεί η πιθανότητα αστοχίας, δηλαδή L = => min(fs)= (σχέση (-7)), μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας μ D = γ s μ t ; V D = σ D /μ D = σ t /μ t ; V = σ /μ minff = L = μ μ D 3 V + 3 V D = και λύνοντας ως προς s: ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
14 s = μ 3 σ μ γ μ t + 3 σ =.43 s =.0 m t μ t Η αντίστοιχη προσομοίωση με αποκομμένες κανονικές κατανομές και απόσταση ήλων.5 m, έδωσε πιθανότητα αστοχίας.34%. Βιβλιογραφία/Αναφορές Hoek E., Kaizer P.K. & Bawden W.F. (995), Support of underground excavations in hard rock, Balkema. Nomikos PP and Sofianos AI (0). An analytical probability distribution for the factor of safety in underground rock mechanics, Intern. J. R.M. Min. Sci. Nomikos PP and Sofianos AI (04). Reliability against translational slip of rock slopes designed according to Eurocode 7, Eurock, 6-8 May, Vigo, Spain, Rock Engineering and Rock Mechanics: Structures in and on Rock Masses Alejano, Perucho, Olalla & Jiménez (Eds), pp Sofianos, A.I., Nomikos, P.P., Papantonopoulos, G (03). Distribution of the factor of safety, in geotechnical engineering, for independent piecewise linear capacity and demand density functions. omputers and Geotechnics 55, pp ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
15 Ασκήσεις αξιολόγησης Άσκηση. Το πρανές ορύγματος οδοποιίας του σχήματος διανοίγεται πάνω από τη στάθμη του υδροφόρου σε σκληρό πέτρωμα με διακλάσεις μηδενικής συνοχής παράλληλες και ομόρροπες με το πρανές. Η κλίση τους tan ψ p και ο συντελεστής τριβής tan φ θεωρούνται κανονικά κατανεμημένες, με περικοπή, τυχαίες μεταβλητές. Αρχικό ανάγλυφο Οδός Δίνονται: Παράμετρος Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Ελάχιστη τιμή Μέγιστη τιμή tan ψ p tan 40 ο tan ο tan 35 ο tan 45 ο tan φ tan 45 ο tan 5 ο tan 30 ο tan 60 ο Υπολογίστε την αξιοπιστία της ευστάθειας του πρανούς: (α) αναλυτικά, θεωρώντας ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές για την κλίση των διακλάσεων και τον συντελεστή τριβής. (β) με προσομοίωση Monte arlo, θεωρώντας την κλίση των διακλάσεων και τον συντελεστή τριβής κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με αποκοπή. Άσκηση. Σήραγγα κυκλικής διατομής πρόκειται να διανοιχθεί σε γρανιτικό πέτρωμα υψηλής αντοχής. Το σοβαρότερο πρόβλημα που αναμένεται να ανακύψει θεωρείται η αποφλοίωση του τοιχώματος της σήραγγας. Από την αποκτηθείσα εμπειρία σε παρόμοια πετρώματα εκτιμήθηκε ότι η αντοχή αποφλοίωσης του πετρώματος σ ss ακολουθεί συμμετρική τριγωνική κατανομή με ελάχιστη, μέση και μέγιστη τιμή: 3.75 MPa, 8.5 MPa και 3.75 MPa, αντίστοιχα. Η μέγιστη εφαπτομενική τάση max σ θθ στο τοίχωμα της σήραγγας εκτιμήθηκε ότι ακολουθεί επίσης τριγωνική κατανομή με ελάχιστη, μέση και μέγιστη τιμή: z[m], z[m], και z[m], αντίστοιχα. Υπολογίστε τη μέση τιμή του συντελεστή ασφαλείας ff = σ ss / max σ θθ και την πιθανότητα αποφλοίωσης σε βάθη z=350, 450, 550 και 650 m θεωρώντας ότι η αντοχή αποφλοίωσης του πετρώματος και η μέγιστη εφαπτομενική τάση στο τοίχωμα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές. ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
Εισαγωγή Διακινδύνευση της Υποστήριξης
Εισαγωγή Διακινδύνευση της Υποστήριξης Μέτρα Υποστήριξης Σηράγγων ΔΠΜΣ: Σχεδιασμός και Κατασκευή Υπογείων Έργων ΑΙ Σοφιανός Διαφοροποιήσεις Μεταλλεία Είναι προσωρινά έργα που κατασκευάζονται από μόνιμα
Διαβάστε περισσότεραΜέτρα Στήριξης Σηράγγων. Αλέξανδρος Ι Σοφιανός
Μέτρα Στήριξης Σηράγγων Αλέξανδρος Ι Σοφιανός ΕΜΠ, Φεβρουάριος 2018 ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Ι ΣΟΦΙΑΝΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Μέτρα Στήριξης Σηράγγων Ε.Μ.Π Μέτρα Στήριξης Σηράγγων Συγγραφή Αλέξανδρος Ι Σοφιανός Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων
ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ και A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ και - Hunt Midwest (Subtroolis) και - Hunt Midwest (Subtroolis) Εφαρμογής - Η μέθοδος και (rooms and illars) ανήκει στην κατηγορία
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Ε Ι Ο Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ο Ν Ι Κ Η Σ
Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Ε Ι Ο Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ο Ν Ι Κ Η Σ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 7 ο ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Β. ΧΡΗΣΤΑΡΑΣ, Καθηγητής Β. ΜΑΡΙΝΟΣ,
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Ανισοτροπία
Κεφάλαιο 8 Ανισοτροπία Την ανισοτροπία στη μηχανική συμπεριφορά των πετρωμάτων δυνάμεθα να διακρίνουμε σε σχέση με την παραμορφωσιμότητα και την αντοχή τους. 1 Ανισοτροπία της παραμορφωσιμότητας 1.1 Ένα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν. Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ.
ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό 2016 2017 Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν. Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ. Πέτρος Πιστοφίδης Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΟΧΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ
ΑΝΤΟΧΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΝΤΟΧΗ = Οριακή αντίδραση ενός στερεού μέσου έναντι ασκούμενης επιφόρτισης F F F F / A ΑΝΤΟΧΗ [Φέρουσα Ικανότητα] = Max F / Διατομή (Α) ΑΝΤΟΧΗ = Μέτρο (δείκτης) ικανότητας
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΕισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής. Θεμελιώσεις. Φέρουσα Ικανότητα επιφανειακών θεμελιώσεων Γενικά Βασικές εξισώσεις
Εισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής Θεμελιώσεις Φέρουσα Ικανότητα επιφανειακών θεμελιώσεων Γενικά Βασικές εξισώσεις Φέρουσα Ικανότητα Επιφανειακών θεμελιώσεων (πεδίλων) Φέρουσα Ικανότητα Τάσεις κάτω από το
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 10 η ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ EΝΤΟΝΑ ΚΑΤΑΚΕΡΜΑΤΙΣΜΕΝΟΥ ΒΡΑΧΩΔΟΥΣ ΠΡΑΝΟΥΣ EΝΑΝΤΙ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ MΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝ. ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ & ΥΔΡΟΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9, 157 80 ΖΩΓΡΑΦΟΥ, ΑΘΗΝΑ NATIONAL TECHNICAL
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Στήριξη στρωσιγενών πετρωμάτων γύρω από σήραγγες. 7.1 Εισαγωγή
Κεφάλαιο 7 Σύνοψη Πρόκειται για μέθοδο υποστήριξης μίας μεγάλης κατηγορίας βραχωδών σχηματισμών γύρω από σήραγγες, που η μηχανική τους συμπεριφορά ελέγχεται από τη στρώση τους, δημιουργώντας ένα υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Αντικείμενο της Άσκησης Η ανάλυση ευστάθειας βραχώδους πρανούς,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν
Διαβάστε περισσότεραΕισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής. Θεμελιώσεις. Φέρουσα Ικανότητα επιφανειακών θεμελιώσεων Γενικά
Εισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής Θεμελιώσεις Φέρουσα Ικανότητα επιφανειακών θεμελιώσεων Γενικά Το πρόβλημα Γεωτεχνική Επιστήμη Συνήθη προβλήματα Μέσο έδρασης των κατασκευών (θεμελιώσεις) Μέσο που πρέπει
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώσεις τεχνικών έργων. Νικόλαος Σαμπατακάκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας
Θεμελιώσεις τεχνικών έργων Νικόλαος Σαμπατακάκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας Ορισμός Θεμελίωση (foundation) είναι το κατώτερο τμήμα μιας κατασκευής και αποτελεί τον τρόπο διάταξης των δομικών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ
Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου
Τεχνολογία, Καινοτομία & Επιχειρηματικότητα, 9 ο εξάμηνο Σχολή Χ-Μ Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Γιώργος Μαυρωτάς Αν. καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας Τομέας ΙΙ, Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών Γιώργος Μαυρωτάς, Αν.Καθηγητής ΕΜΠ mavrotas@chemeng.ntua.gr ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΙΣΚΟΥ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών
ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότερα10,2. 1,24 Τυπική απόκλιση, s 42
Ασκηση 3.1 (a) Αν μία ράβδος οπλισμού θεωρηθεί ότι λυγίζει μεταξύ δύο διαδοχικών συνδετήρων με μήκος λυγισμού το μισό της απόστασης, s w, των συνδετήρων, να υπολογισθεί η απόσταση συνδετήρων, s w, πέραν
Διαβάστε περισσότεραiii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα)
ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 7 ο ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Β. ΧΡΗΣΤΑΡΑΣ, Καθηγητής Β. ΜΑΡΙΝΟΣ, Επ.Καθηγητής 8 η Σειρά ασκήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2η Ενεργητικοί ήλοι σημειακής πάκτωσης
Διάλεξη 2η Ενεργητικοί ήλοι σημειακής πάκτωσης Μέτρα Υποστήριξης Σηράγγων ΔΠΜΣ: Σχεδιασμός και Κατασκευή Υπογείων Έργων Α.Ι. Σοφιανός, 1 (1) Γενικά Ιστορία 1870 Μεταλλωρύχοι ανέπτυξαν τη μέθοδο 1922 Εξασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας
Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότεραΈστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς
Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΑνισοτροπία των πετρωμάτων
Ανισοτροπία των πετρωμάτων ΟΡΙΣΜΟΣ Το ανισότροπο πέτρωμα έχει διαφορετικές ιδιότητες σε διαφορετικές διευθύνσεις: π.χ. στην αντοχή, στην παραμορφωσιμότητα, στην περατότητα, στην πυκνότητα των ασυνεχειών,
Διαβάστε περισσότεραAΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση
Διαβάστε περισσότεραΠολιτικοί Μηχανικοί ΕΜΠ Τεχνική Γεωλογία Διαγώνισμα 10/ ΘΕΜΑ 1 ο (4 βαθμοί)
Πολιτικοί Μηχανικοί ΕΜΠ Τεχνική Γεωλογία Διαγώνισμα 10/2006 1 ΘΕΜΑ 1 ο (4 βαθμοί) 1. Σε μια σήραγγα μεγάλου βάθους πρόκειται να εκσκαφθούν σε διάφορα τμήματά της υγιής βασάλτης και ορυκτό αλάτι. α) Στο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις
ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (numerical descriptive measures) είναι αριθμοί που συμβάλουν
Διαβάστε περισσότεραf x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος
ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Οικογένεια Μέγιστη κλίση Φορά μέγιστης κλίσης Στρώση (J 1 ) 54 ο 60 ο Διακλάσεις (J 2 ) 46 ο 20 ο Διακλάσεις(J 3 ) 60 ο 168 ο
Άσκηση 1 ρόμος πρόκειται να διατμήσει ασβεστολιθικό λόφο με διεύθυνση του άξονά του Β 65 ο Α. Επειδή πρόκειται να διανοιχθούν βαθιά ορύγματα έγινε λεπτομερής μελέτη της δομής και των τεχνικών ιδιοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα
Διαβάστε περισσότεραΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ Διδάσκων: Κωνσταντίνος Λουπασάκης,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΙΔΑ "ΟΙ ΣΗΡΑΓΓΕΣ ΤΗΣ ΕΓΝΑΤΙΑΣ ΟΔΟΥ
ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ "ΟΙ ΣΗΡΑΓΓΕΣ ΤΗΣ ΕΓΝΑΤΙΑΣ ΟΔΟΥ ΣΗΡΑΓΓΑ ΔΡΙΣΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΤΡΩΝ ΠΡΟΣΩΡΙΝΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ Εισηγητής : Ε. Στάρα Γκαζέτα Γ. Παρηγόρης Ιωάννινα, 15-16/10/99 ΕΓΝΑΤΙΑ ΟΔΟΣ ΑΕ & Ε.Ε.Σ.Υ.Ε. ΣΗΡΑΓΓΑ ΔΡΙΣΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα
Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν
Διαβάστε περισσότεραΛίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις
Διαβάστε περισσότεραΤελική γραπτή εξέταση διάρκειας 2,5 ωρών
τηλ: 410-74178, fax: 410-74169, www.uth.gr Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας,5 ωρών Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης-Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη ΣΤΗΡΙΞΗ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΜΕΤΩΠΟΥ ΣΗΡΑΓΓΑΣ
Εργαστήριο Τεχνολογίας Διάνοιξης Σηράγγων, Ε.Μ.Π. Καθηγητής: ΑΙ ΣΟΦΙΑΝΟΣ. Διάλεξη ΣΤΗΡΙΞΗ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΜΕΤΩΠΟΥ ΣΗΡΑΓΓΑΣ Μέτρα Υποστήριξης Σηράγγων ΔΠΜΣ: Σχεδιασμός και Κατασκευή Υπογείων Έργων ΑΙ Σοφιανός
Διαβάστε περισσότεραΣτήριξη Στρωσιγενούς Πετρώματος πέριξ σήραγγας
Εργαστήριο Τεχνολογίας Διάνοιξης Σηράγγων, ΕΜΠ Στήριξη Στρωσιγενούς Πετρώματος πέριξ σήραγγας ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Σήραγγα Καλυδώνας. Υπερεκσκαφή 2 Φυσικό ομοίωμα υπόγειας εκσκαφής εντός στρωσιγενούς πετρώματος Υποστήριξη
Διαβάστε περισσότερα0.3m. 12m N = N = 84 N = 8 N = 168 N = 32. v =0.2 N = 15. tot
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές... Παράδειγµα γ: Ελαστική ευστάθεια πασσαλοθεµελίωσης Το παράδειγµα αυτό αφορά την µελέτη της ελαστικής ευστάθειας φορέως θεµελίωσης, ο οποίος αποτελείται από µια πεδιλοδοκό
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότεραΗ Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.
Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)
5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη
ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριάδνη Αργυράκη ΣΤΑΔΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ 1.ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: - Καθορισμός στόχων έρευνας - Ιστορικό περιοχής 2 4.
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟ ΓΕΩΧΗΜΙΚΗΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ Στατιστική ανάλυση του γεωχημικού δείγματος μας δίνει πληροφορίες για τον
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Ε Ι Ο Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ο Ν Ι Κ Η Σ
Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Ε Ι Ο Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ο Ν Ι Κ Η Σ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 7 ο ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Β. ΧΡΗΣΤΑΡΑΣ, Καθηγητής Β. ΜΑΡΙΝΟΣ,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών
Διαβάστε περισσότεραΜ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.
Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός Θαλάμων και Στύλων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουρών Σχεδιασμός Θαλάμων και Στύλων Ανδρέας Μπενάρδος Δρ. Μηχανικός Μεταλλείων Μεταλλουρός Ε.Μ.Π. Μέθοδος Θαλάμων και Στύλων (Room and Pillar)
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ Ενότητα # 7: Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,
Διαβάστε περισσότεραΔιερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis
Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΡΡΟΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΣΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΔΟΜΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΤΥΠΟΥΣ ΚΑΝ.ΕΠΕ
Επιρροή διαφόρων παραγόντων στα παραμορφωσιακά μεγέθη δομικού στοιχείου και σύγκριση με τύπους ΚΑΝ.ΕΠΕ ΕΠΙΡΡΟΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΣΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΔΟΜΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΤΥΠΟΥΣ ΚΑΝ.ΕΠΕ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
F3W.PR09 Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 7/0/07 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αναλογιστικά Πρότυπα Επιβίωσης Ερώτηση Εάν η τυχαία μεταβλητή Τ έχει συνάρτηση πυκνότητας f ep 3 3 να υπολογίσετε το 90 ο εκατοστημόριο
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ
Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότερα