HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
|
|
|
- Μήδεια Λειβαδάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/ /18/ Τι είδαµε µέχρι τώρα Προτάσεις (ατοµικές, σύνθετες) Τελεστές (not, and, or, xor, εάν...τότε) Πίνακες αληθείας Ταυτολογίες / αντιφάσεις Ισοδυναµία προτάσεων (µε βάση τους πίνακες αληθείας) Πάλι πίσω στη φυσική γλώσσα αν στην καθοµιλουµένη πούµε: (1) αν έρθει η Μαρία, θα πάω στο πάρτυ µάλλον εννοούµε (2) Θα πάω στο πάρτυ αν και µόνο ανη Μαρία πάει στο πάρτυ Τι νόηµα έχει στον προτ. λογ. η παρακάτω πρόταση; έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ Αν έρθει η Μαρία, τότε θα πάω στο πάρτυ. Η πρόταση αυτή όµως δεν µας λέει τι θα γίνει αν δεν έρθειη Μαρία στο πάρτυ Η (2) έχει άλλο νόηµα: Αν έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ αλλά και ταυτόχρονα, αν δεν έρθει η Μαρία, δεν θα πάω στο πάρτυ Εποµένως, για να αποδώσουµε το νόηµα της (2), χρειαζόµαστε ένα τελεστή διαφορετικό από τον («εάν τότε») 2/18/ /18/
2 Τελεστής «αν και µόνο αν» Ας δούµε... Η πρόταση p qείναι αληθής αν η pκαι η qέχουν την ίδια τιµή αληθείας. Η p qδενσηµαίνει ότι η pκαι η qείναι αληθείς. Η p qδενσηµαίνει ότι ηµία από αυτές είναι η αιτία της άλλης Σηµειώστε ότι αυτός ο πίνακας αληθείας είναι η άρνηση της αποκλειστικής διάζευξης ηλαδή, p q (p q) p q p q F F T F T F T F F T T T...την αλήθεια της p q, όπου 1. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =4 ΑΛΗΘΗΣ 2. p= Η Κρήτη δεν βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =5 ΑΛΗΘΗΣ 3. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= Το Τόκυο βρίσκεται στην Ελλάδα ΨΕΥ ΗΣ 2/18/ /18/ Η διαφορά µεταξύ και Έστω σύνθετες προτάσεις P και Q. Η πρόταση P Q είναι µία σύνθετη πρόταση. Η πρόταση P Q σηµαίνει ότι η πρόταση P Q είναι ταυτολογία. H P Q είναι µία πρόταση για µία πρόταση Αντίστοιχη είναι και η διαφορά µεταξύ του τελεστή και της λογικής συνεπαγωγής Η διαφορά µεταξύ και Η P Qλέει αν η Pκαι η Q έχουντην ίδια τιµή αληθείας. Η P Q λέει ότι καµία εκχώρηση τιµών αληθείας στις P και Q δεν µπορεί να κάνει την P Qψευδή Εποµένως, η P Qµπορεί µόνο να ισχύει µεταξύ επιλεγµένων σύνθετων προτάσεων Pκαι Q.... Με άλλα λόγια, η P Q έχει την έννοια ότι Η P Qείναι ταυτολογία για οποιαδήποτε εκχώρηση τιµών στις ατοµικές προτάσεις που συνθέτουν τις P, Q. 2/18/ /18/
3 Σχετικά µε την πρόταση p q Για µία πρόταση της µορφής p q: Ηαντίστροφήτης είναι: q p Η αντιθετική της είναι: p q Η αντιστροφοαντίθετή της είναι: q p Είναι κάποια από αυτές ισοδύναµη µε την p q; Απόδειξη της ισοδυναµίας της p q και της αντιστροφοαντίθετήςτης, χρησιµοποιώντας πίνακες αληθείας: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T 2/18/ /18/ Ας δούµε ένα παράδειγµα Επίσης: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T Εποµένως, η αντίστροφη και η αντιθετική µιας πρότασης, είναι λογικά ισοδύναµες µεταξύ τους Έστω p = το τρίγωνο Τ είναι ισόπλευρο Έστω q = το τρίγωνο Τ είναι ισοσκελές p q: Αν το Τ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισοσκελές q p:αν το Τδεν είναι ισοσκελές, τότε δεν είναι ισόπλευρο q p: Αν το Τ είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο p q:αν το Τδεν είναι ισόπλευρο, τότε δεν είναι και ισοσκελές 2/18/ /18/
4 Ανασκόπηση των τελεστών Είδαµε τον τελεστή άρνησης και πέντε δυαδικούς τελεστές: Για να σκεφτούµε τώρα... Τελικά, πόσοιδυαδικοί τελεστές µπορούν να οριστούν; p q p p q p q p q p q p q F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T 2/18/ /18/ Για να σκεφτούµε τώρα... Ανασκόπηση των τελεστών Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας µπορεί να είναι T ή F, εποµένως µπορούµε να έχουµε 2x2x2x2=16 δυαδικούς τελεστές p q Τελεστής F F? F T? T F? T T? p q F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 2/18/ /18/
5 p q p τελεστής q F F T F T F T F T T Παράδειγµα F F Παράδειγµα p q p τελεστής q σύγκριση µε: p q F F T F F T F T T F F T T T F T Όνοµα: NOR 2/18/ /18/ Ανασκόπηση των τελεστών Όλοι οι τελεστές µπορούν να γραφούν ισοδύναµα µε χρήση µόνο των τελεστών άρνησης και σύζευξης. Πως µπορούµε να το δείξουµε αυτό; Έχουµε ήδη δείξει ότι έχοντας την άρνηση και την σύζευξη, µπορούµε να εκφράσουµε την διάζευξη. p q ( p q) Εποµένως, χρησιµοποιώντας αυτούς τους τρεις πλέον τελεστές, µπορούµε να «εκφράσουµε» τον κάθε πίνακα αληθείας πως;;; Ανασκόπηση των τελεστών περιγράφοντας τον πίνακα αληθείας του τελεστή. Π.χ., για τον τελεστή Ζ : p q p Z q F F F F T T T F F T T T p Ζ q ( p q) (p q) 2/18/ /18/
6 Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ατοµικές προτάσεις: p 1, p 2, p 3,.. Προτάσεις: Όλες οι ατοµικές προτάσεις είναι προτάσεις Για κάθε έκφρασηα, αν ηαείναι πρόταση, τότε η α είναι επίσης πρόταση Για κάθε έκφρασηακαιβ, εάνοι α,βείναι προτάσεις, και εάν ο Lείναι κάποιος δυαδικός τελεστής, τότε και η (α L β) είναι πρόταση Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω εκφράσεις είναι προτάσεις σύµφωνα µε τον τυπικό αυτό ορισµό; p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/18/ /18/ Απλοποιώντας τα πράγµατα... Σύµβαση 1:οι εξωτερικές παρενθέσεις µπορούν να παραλειφθούν: Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω είναι προτάσεις, όταν χρησιµοποιούµε αυτές τις δύο συµβάσεις; Σύµβαση 2:η προσεταιριστικότηταµας επιτρέπει να παραλείψουµε κι άλλες παρενθέσεις, π.χ. οι p 1 p 2 p 3 και p 1 p 2 p 3 είναι πλέον προτάσεις p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/18/ /18/
7 Μερικοί εναλλακτικοί συµβολισµοί Όνοµα: not and or xor implies iff : Άλγεβρα Boole: p pq + C/C++/Java (λέξεις):! &&!= == C/C++/Java (bitwise): ~ & ^ Λογικές πύλες: Ένα πρόβληµα Ο Κώστας βρίσκεται σε µία χώρα που κατοικείται από δύο τύπους ανθρώπων, κάποιους που λένε πάντα την αλήθεια, και κάποιους που λένε πάντα ψέµατα. Θέλει να φτάσει στην πρωτεύουσα της χώρας, αλλά, φτάνοντας σε κάποια διασταύρωση, είναι σε δίλληµα για το εάν θα πρέπει να πάει δεξιά ή αριστερά. Για καλή του τύχη, βλέπει δύο ανθρώπους και αποφασίζει να τους ρωτήσει τι να κάνει. Αυτοί, θέλοντας να τον ταλαιπωρήσουν λίγο, του δίνουν τις εξής απαντήσεις: 2/18/ /18/ Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Τότε ο Α λέει: Α: O B λέει ψέµατα! Ο Β ξαναπαίρνει το λόγο και λέει: Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Ο Κώστας σηµειώνει κάτι σε ένα κοµµάτι χαρτί και αποφασίζει τελικά να πάρει τον αριστερό δρόµο ΕΚΑΝΕ ΚΑΛΑ;;;;; Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Α: O B λέει ψέµατα! Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότεο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα 2/18/ /18/
8 και η λύση του και η λύση του Έστω p = Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό Έστω q= O δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Έστω r= O Β λέει ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Ξέρουµε ότι όλοι οι κάτοικοι αυτής της χώρας, και εποµένως και ο Β λέει πάντα αλήθεια ή πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/ /18/ και η λύση του και η λύση του Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/ /18/
9 και η λύση του και η λύση του Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια εποµένως η πρόταση του Α r= O B λέει ψέµατα! είναι αληθής!!! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/ /18/ και η λύση του Άρα, p αληθής, q ψευδής δηλ. η πρόταση q= Oδρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα είναι ψευδής, κι εποµένως ο Κώστας έκανε καλά που έστριψε αριστερά! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Έχουµε µάθει για: Τελεστές προτασιακού λογισµού Συµβολισµούς Γλωσσικά ανάλογα Πίνακες αληθείας Λογική ισοδυναµία Θα µάθουµε ακόµα: Περισσότερα για λογικές ισοδυναµίες. Πως να τις αποδεικνύουµε 2/18/ /18/
10 Νόµοι ισοδυναµίας Παρόµοιοι µε τις ταυτότητες στην άλγεβρα Πρότυπα που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να ταιριάξουµε ένα τµήµα µιάς άλλης πρότασης ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ: T τυχαία ταυτολογία F τυχαία αντίφαση Νόµοι ισοδυναµίας - παραδείγµατα Ουδέτερο στοιχείο: p T p p F p Απορροφητικό στοιχείο: p T T p F F p p p p p p ιπλή άρνηση: p p Αντιµεταθετική: p q q p p q q p Προσεταιριστική: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 2/18/ /18/ Κι άλλοι νόµοι ισοδυναµίας Επιµεριστική: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan s: (p q) p q (p q) p q Ταυτολογία/αντίφαση: p p T p p F Augustus De Morgan ( ) Εναλλακτικοί ορισµοί τελεστών µέσω ισοδυναµιών Μερικές ισοδυναµίες µπορούν να θεωρηθούν ως ορισµοί ενός τελεστή βάση άλλων: XOR: Εάν...τότε: p q (p q) (p q) p q (p q) (q p) p q p q Αν και µόνο αν: p q (p q) (q p) p q (p q) 2/18/ /18/
11 Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: ( r s) s r. ( r s) Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) [De Morgan] r s [ ιπλή άρνηση] r s [Αντιµεταθετική] s r. 2/18/ /18/ Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (2) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: (p q) (p r) p q r. (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού του ] (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού της ] (p q) ((p r) (p r)) [DeMorgan] ( p q) ((p r) (p r)) συνεχίζεται... 2/18/ παράδειγµα, συνεχίζεται... ( p q) ((p r) (p r)) [ αντιµεταθ.] (q p) ((p r) (p r)) [ προσεταιρ.] q ( p ((p r) (p r))) [επιµεριστική] q ((( p (p r)) ( p (p r))) [προσεταιρ.] q ((( p p) r) ( p (p r))) [ταυτολογία] q ((T r) ( p (p r))) [απορ. στοιχείο] q (T ( p (p r))) [ουδέτερο στοιχείο] q ( p (p r)) συνεχίζεται... 2/18/
12 Τέλος παραδείγµατος q ( p (p r)) [DeMorgan] q ( p ( p r)) q (( p p) r) [p p p] [Προσεταιριστική] q ( p r) (q p) r p q r Ο.Ε.. (όπερ έδει δείξαι το οποίο έπρεπε να δείξουµε...) [Προσεταιριστική] [Αντιµεταθετική] Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον προτασιακό λογισµό για να αποδείξουµε την αλήθεια συγκεκριµένων προτάσεων Έστω οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Τότε µπορώ να οδηγηθώ στο συµπέρασµα εν έχει κρύο Πως; 2/18/ /18/ K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/ /18/
13 K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/ /18/ K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K Με αυτά τα δεδοµένα, αρκεί να δείξουµε ότι : ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ 2/18/ /18/
14 και µε βάση αυτά που λέγαµε νωρίτερα, αρκεί να δείξουµε ότι στον προτασιακό λογισµό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ αποτελεί ταυτολογία! Μπορούµε να το κάνουµε είτε µε πίνακα αληθείας, είτε χρησιµοποιώντας λογικές ισοδυναµίες Θα επιχειρήσουµε το 2 ο Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ 2/18/ /18/ Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε..] Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετητης 2) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 4. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 4) 5. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο [Ο.Ε..] 2/18/ /18/
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Τι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen
HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/02/2017 Προτασιακός Λογισµός Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 16/02/2016 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 2/16/2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of
1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή
Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/4/2016
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 19/2/2016. Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις.
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 19/2/2016 Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις. (a) ( p ( p )) ( r) (b) ( p ( r)) (( p ) r) (c) ( p r) ( r) Λύση Άσκησης
Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 13/2/2018. Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις.
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 13/2/2018 Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις. ( p ( p )) ( r) ( p ( r)) (( p ) r) ( p r) ( r) (a) p r p p ( p )
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής
Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 Σχέσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/16/2016
Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος
Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Την προηγούµενη φορά. Αντισυµµετρικότητα. 13 Σχέσεις
HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/207 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/207
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αλγεβρα BOOLE και Λογικές Πύλες
ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΕΡΟΣΚΑΦΩΝ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ Διδάσκουσα Δρ. Β. Σγαρδώνη 2013-14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αλγεβρα BOOLE και Λογικές Πύλες Α. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole Η Άλγεβρα Boole (Boolean algebra) πήρε
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 14/2/2017. q r ( q r) p q ( p q)
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 14/2/2017 Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις. ( p ( p )) ( r) ( p ( r)) (( p ) r) ( p r) ( r) (a) p r p p ( p )
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα
p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών OOLEN LGER ιδάσκων: ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unp.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Άλγεβρα OOLE Οι µεταβλητές
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-2016 Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra) Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί
Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 8 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Άλγεβρα Boole Ορισμοί Λογικές πράξεις Πίνακες αληθείας Πύλες
Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015
ιµελής σχέση HY118- ιακριτά Μαθηµατικά n-µελείς σχέσεις Σχέσεις 13 - Σχέσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 31/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/3/2016
Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Πληροφορικής Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Σταμούλης Γεώργιος georges@uth.gr Δαδαλιάρης Αντώνιος dadaliaris@uth.gr Δυαδική Λογική Η δυαδική λογική ασχολείται με μεταβλητές
ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1
ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 01/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/3/2016
σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ.
Εισαγωγή Εργαστήριο 2 ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σκοπός του εργαστηρίου είναι να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο εκφράζεται η ψηφιακή λογική υλοποιώντας ασκήσεις απλά και σύνθετα λογικά κυκλώµατα (χρήση του
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 15/2/2019. Άσκηση Φ1.1 (*) Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις.
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 15/2/2019 Άσκηση Φ1.1 (*) Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις. ( p ( p q)) ( q r) ( p ( q r)) (( p q) r) ( p r) ( q r) (a) p
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας
Κανονικές μορφές - Ορισμοί
HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/30/2017
Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019
Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις
Ψηφιακά Συστήματα. 3. Λογικές Πράξεις & Λογικές Πύλες
Ψηφιακά Συστήματα 3. Λογικές Πράξεις & Λογικές Πύλες Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 15-Mar-18
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα
Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές
ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση
Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ.
ΝΑΛΟΓΙΚΑ Άλγεβρα Boole Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. ΝΑΛΟΓΙΚΑ Άλγεβρα Boole Οι αρχές της λογικής αναπτύχθηκαν από τον George Boole (85-884) και τον ugustus De
Στοιχεία προτασιακής λογικής
Σ. Κοσμαδάκης Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις and, or, not Για οποιεσδήποτε τιμές αλήθειας s, t στο σύνολο {true, false}, οι γνωστές πράξεις s and t, s or t, not s δίνουν αποτελέσματα στο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 3/3/2016 Κατερίνα Δημητράκη
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη µορφή συµπληρώµατος ως προς δύο
Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 1 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 1.1 [1 μονάδα] Αποδείξτε ότι η πρόταση ((p q) p) q είναι ταυτολογία (α) χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας (β) χωρίς πίνακες
Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος
Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος 2012-13 Κων/νος Φλώρος Απλοί τύποι δεδομένων Οι τύποι δεδομένων προσδιορίζουν τον τρόπο παράστασης των
Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Ask seic Majhmatik c Logik c 2
Ask seic Majhmatik c Logik c 2 1. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες. (αʹ) (A B) και A B. (βʹ) A (B C) και (A B) (A C). (γʹ) A B και B A. (δʹ) A B και B A.
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Πράξεις με μπιτ
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη μορφή συμπληρώματος ως προς δύο
Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;
1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 3: Άλγεβρα Βοole και Λογικές Πράξεις Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης