Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο. Ποια η πιθανότητα το φύλλο να είναι σπαθί; Απάντηση: 0,25

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παίρνουμε τυχαία 2 θετικούς αριθμούς χ και ψ, οι αριθμοί αυτοί είναι μικρότεροι ή ίσοι με 2. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το γινόμενο χψ να είναι μικρότερο του 1 και το πηλίκο ψ/χ μικρότερό του Παίρνουμε τυχαία 2 θετικούς αριθμούς χ και ψ, οι οποίοι είναι μικρότεροι του 1. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το άθροισμα χ+ψ να είναι μικρότερο του 1 και το γινόμενό τους χψ μικρότερο του 0, Σε ένα κουτί, που περιέχει n σφαίρες βάζουμε μια άσπρη σφαίρα, μετά εξάγουμε τυχαία μια σφαίρα.βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου η εξαγόμενη σφαίρα να είναι άσπρη, αν είναι ισοπίθανες όλες οι υποθέσεις για το χρώμα των σφαιρών που περιείχε αρχικά το κουτί Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο. Ποια η πιθανότητα το φύλλο να είναι σπαθί; Απάντηση: 0, Μια συσκευή αποτελείται από 1000 εξαρτήματα, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα να χαλάσει κάποιο από τα εξαρτήματα αυτά σε χρόνο Τ είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου σε χρόνο Τ να χαλάσουν ακριβώς 3 εξαρτήματα Ένα κουτί περιέχει 12 σπίρτα, από τα οποία 4 καμένα. Παίρνουμε στην τύχη 2 σπίρτα. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Α={εξάγονται δυο καμένα} β) Β={Δεν εξάγονται καμένα σπίρτα}. Απάντηση: 1/11 & 14/ Ένα εργοστάσιο φτιάχνει τηλεοράσεις. Η πιθανότητα του ενδεχομένου η παραγόμενη τηλεόραση να είναι ελαττωματική είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ανάμεσα σε 200 τηλεοράσεις να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικές Ένα παντοπωλείο αγόρασε 1000 μπουκάλια κρασί. Η πιθανότητα του ενδεχομένου να σπάσει το μπουκάλι κατά τη διάρκεια της μεταφοράς είναι 0,003. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το παντοπωλείο να πάρει σπασμένα μπουκάλια : α)ακριβώς 2 β)το πολύ 2 γ) τουλάχιστον 2 δ) τουλάχιστον Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(ΑΒ) είναι μεγαλύτεροι τις πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(ΒΑ) είναι μεγαλύτερη τις πιθανότητα Ρ(Β); Με τα ψηφία 1, 3, 5, και 7 σχηματίζουμε τετραψήφιους αριθμούς. Η διαδικασία εκτελείται με επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα από το σύνολο των τετραψήφιων ένας να περιέχει μόνο διαφορετικά ψηφία; Απ.: 3/32

2 Ρίπτεται ζάρι 2 φορές. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Το άθροισμα των ενδείξεων να είναι διαδοχικά 2,3,4,5,6,7,8,10,11,12 β) Το άθροισμα των ενδείξεων να είναι περιττός αριθμός. Απ.: 1/ Κάποιος ξέχασε τον τελευταίο ψηφίο του αριθμού τηλεφώνου και προσπαθεί να τον βρει τυχαία δοκιμάζοντας. Βρείτε: α) την πιθανότητα ότι θα του χρειαστεί να τηλεφωνήσει όχι πάνω από 3 φορές για βρει το σωστό, β) πως θα αλλάξει η πιθανότητα, αν ξέρουμε ότι το τελευταίο ψηφίο είναι μονός αριθμός; Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας άνδρας Ρίχνουμε συγχρόνως ένα νόμισμα και ένα ζάρι. Να βρεθεί η πιθανότητα εμφάνισης «κεφαλής» και «4». Απάντηση: 1/ Η πιθανότητα ευστοχίας σε κάθε βολή για τους 3 τοξότες είναι 4/5, 3/4, 2/3 αντίστοιχα. Κατά την ταυτόχρονη βολή και των 3 τοξοτών έχομε 2 ευστοχίες. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι αστόχησε ο τρίτος τοξότης; Τρεις κυνηγοί ταυτόχρονα πυροβολήσανε σε μια αρκούδα, η οποία σκοτώθηκε από μια μόνο σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι η αρκούδα σκοτώθηκε από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο κυνηγό, αν οι πιθανότητες ευστοχίας για τους τρεις κυνηγούς είναι 0,2 0,4 0,6 αντίστοιχα Έστω ο Δ.Χ. Ω={0,1,2,,2ν}, όπου ν θετικός ακέραιος. Δίδονται οι πιθανότητες Ρ(κ)=1/2 κ, όπου κ=1,2,, 2ν. Να υπολογισθούν τα Ρ(0) Ρ(Α) όπου Α={2, 4, 6,, 2ν} Δυο τοξότες με σειρά στοχεύουν τον στόχο. Η πιθανότητα ευστοχίας με την πρώτη βολή είναι 0,4 και 0,5 αντίστοιχα, και πιθανότητα ευστοχίας σε επόμενες βολές αυξάνετε για τον καθένα κατά 0,05 κάθε φορά. Ποια είναι η πιθανότητα ότι την πρώτη βολή την έκανε ο πρώτος τοξότης, αν στη πέμπτη βολή είχαμε ευστοχία; Σε τρεις σπουδαστές Α, Β και Γ δίνεται προς λύση ένα πρόβλημα. Οι σπουδαστές προσπαθούν να λύσουν το πρόβλημα ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον. Αν η πιθανότητα να λύσει ο Α το πρόβλημα είναι 0,7 ενώ οι αντίστοιχες πιθανότητες για τον Β είναι 0,6 και για τον Γ είναι 0,5 Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: a. Να λυθεί το πρόβλημα b. Δεδομένου ότι το πρόβλημα λύθηκε, αυτό να συνέβει από τον σπουδαστή Α Ρίχνουμε ν ζάρια. Ποια η πιθανότητα κάθε ζάρι να δείξει άρτιο αριθμό; (Απαντ. 1/2 ν )

3 Από μια τράπουλα 52 χαρτιών, εξάγονται 2ν χαρτιά. Ποια η πιθανότητα να πάρουμε ν μαύρα και ν κόκκινα; Σε ένα κουτί βρίσκονται ένα κόκκινο, δυο κίτρινα και τρία πράσινα σφαιρίδια. Εξάγονται δο σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Αμφότερα τα σφαιρίδια είναι πράσινα β) Το ένα είναι κίτρινο και το άλλο πράσινο. Απάντηση: 1/5 και 2/ Έστωσαν Α, Β ενδεχόμενα ενός Δ.Χ. Ω. Να δειχθεί ότι 1 A) 1 A) _ A 2 A) A) _ A 2. και ότι. Αν στη συνέχεια θεωρήσουμε ότι Ρ(Α)=0.8, Ρ(Β)=0.1 να βρεθεί η μεγίστη και η ελαχίστη τιμή που μπορεί να πάρει η Ρ(ΑΒ). a b Δίνεται ότι X, α,b>0 με α+b=1. Να δειχθεί ότι X b a όπου γ,δ>0 και γ+δ=1. Στη συνέχεια θεωρείστε το Δ.Χ. Ω ενός πειράματος τύχης και Α, Β c A) A ) ενδεχόμενα του Ω. Θεωρείστε τους πίνακες Y c A ) A) c 2 B ) Y c B ) Α & Α C. Αν Ρ(Β c )=4/9 & Ρ(Α)<Ρ(Α C ), να υπολογιστούν οι πιθανότητες των Από μία κάλπη που περιέχει x κόκκινες, y άσπρες και z μαύρες σφαίρες, εξάγουμε 2 σφαίρες (χωρίς επανατοποθέτηση). Να βρεθεί η πιθανότητα και οι δύο σφαίρες να έχουν το ίδιο χρώμα Από 100 όμοια εξαρτήματα (από τα οποία 10 είναι ελαττωματικά) παίρνουμε τυχαία 10. Αν δεν βρούμε κανένα ελαττωματικό δεχόμαστε το εμπόρευμα, διαφορετικά συνεχίζουμε τον έλεγχο. Να βρεθεί η πιθανότητα αποδοχής των εξαρτημάτων στον πρώτο έλεγχο. Απάντηση: 33% Το 1/3 μιας από τις τρεις παρτίδες εξαρτημάτων είναι ελαττωματικά. Ένα εξάρτημα που πήραμε από μια παρτίδα ήτανε κανονικό. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι το εξάρτημα που πήραμε ήτανε από την παρτίδα που έχει ελαττωματικά κομμάτια; Επίσης να βρεθεί η ίδια πιθανότητα έχοντας υπόψη ότι ένα δεύτερο εξάρτημα που πήραμε από την ίδια παρτίδα πάλι ήτανε κανονικό, και αν το πρώτο εξάρτημα μετά από έλεγχο επιστράφηκε πάλι στη παρτίδα; Να βρεθεί η πιθανότητα ότι ο αριθμός κυκλοφορίας πρώτου τυχαίου αυτοκίνητου δεν περιέχει: α) τον αριθμό 5, β) 2 και περισσότερα πεντάρια, γ) ακριβώς 2 πεντάρια; και

4 Στη βιβλιοθήκη υπάρχουν μόνο βιβλία για μαθηματικά και ιστορία. Η πιθανότητα ότι οποιοσδήποτε επισκέπτης θα πάρει βιβλίο για μαθηματικά και ιστορία είναι ίσα με 0,7 και 0,3 αντίστοιχα. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι 5 επισκέπτες στη σειρά να πάρουν βιβλία ή μόνο για μαθηματικά ή μόνο για ιστορία, αν ο καθένας τους παίρνει μόνο ένα βιβλίο; Από μια τράπουλα με 52 χαρτιά εξάγονται χωρίς επανατοποθέτηση τρία χαρτιά. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι κανένα από τα τρία χαρτιά δεν θα είναι ρήγας μπαστούνι. (Απαντ. 49/52) Δύο θεωρητικές αναλύσεις της αποτελεσματικότητας ενός όπλου καταλήγουν σε διαφορετικές εκτιμήσεις της ευθυβολίας. Σύμφωνα με την πρώτη η πιθανότητα υπό ορισμένες συνθήκες υπολογίστηκε σε 0,5 ενώ η δεύτερη ανάλυση εκτιμά υπο τις αυτές συνθήκες την πιθανότητα σε 2/3. Σε ένα στόχο έγιναν 200 ανεξάρτητες βολές υπό τις αυτές συνθήκες, και έχουμε 116 ευστοχίες. Να βρείτε ποια θεωρητική ανάλυση είναι ακριβέστερη Σε κυκλώματα με 3 πύλες AND ή OR μας ενδιαφέρει η σειρά που έχουν τοποθετηθεί (1 η, 2 η, 3 η ). Να εξετασθεί η στατιστική ανεξαρτησία των ζευγών γεγονότων. Α={Το κύκλωμα διαθέτει πύλες και των δύο ειδών}, Β={Το κύκλωμα έχει το πολύ μία πύλη OR} (Απαντ. Ανεξάρτητα) Α={Η 1 η πύλη είναι AND}, Β={Το κύκλωμα έχει ακριβώς μία πύλη AND} (Απαντ. Εξαρτημένα) Έστω ο Δ.Χ. Ω={0,1,2,3} και Ρ(ω)=αω+β, για κάθε ωω, με α,β lr. Αν Α={1,3} & Ρ(Α)=0,6, να βρεθούν οι πιθανότητες όλων των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω. (Απαντ. 0.1, 0.2, 0.3, 0.4) Αν Α και Β Ανεξάρτητα Γεγονότα και Ρ(ΑΒ)=1/3 ενώ Ρ(ΑΒ)=5/6, να υπολογισθούν οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) Για τα γεγονότα Α, Β γνωρίζουμε ότι: Ρ(ΑΒ)=3/4, Ρ(ΑΒ)=1/4 και Ρ(Α c )=2/3. Να εξετασθεί η Στατιστική Ανεξαρτησία των γεγονότων Α και Β.. (Απάντ. Ρ(Α)=1/3, Ρ(Β)=2/3, Α και Β στατ. εξαρτημένα) Για τα γεγονότα Α, β και Γ του Δ.Χ. Ω, να δειχθεί ότι: 1-Ρ(Α c Β c Γ c ) Ρ(Α)+Ρ(Β)+Ρ(Γ) 2+ Ρ(ΑΒΓ) αν Α, Β και Γ ξένα μεταξύ τους, τότε 2Ρ(ΑΒΓ) Ρ(Α c )+Ρ(Β c )+Ρ(Γ c ) Η πιθανότητα κέρδους για κάθε λαχνό είναι 0,02. Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον ενός κέρδους για n λαχνούς αν n=1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100; Έστω ο Δ.Χ. Ω={-ν, -ν+1, -ν+2,,0, 1, 2) με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Επιλέγουμε στην τύχη ένα απλό ενδεχόμενο αω. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι η εξίσωση x 2 +y 2 +6x-2ay+2a+8=0 παριστά κύκλο

5 Να εξετάσετε αν υπάρχουν α,β>0 τέτοια ώστε a x +β x 2 & α=ρ(ω 1 ), β=ρ(ω 2 ) όπου ω 1, ω 2 είναι τα γεγονότα του Δ.Χ. Ω={ ω 1, ω 2 } Σε μία εκπομπή ψηφιακού σήματος, επιλέγεται μια ακολουθία 10 ψηφίων. Είναι γνωστό ότι σε κάθε 10 σημεία τα 5 είναι 1 και τα 5 είναι 0. Αν επιλεχθούν στο δέκτη 4 τυχαία ψηφία, ποια θα είναι η πιθανότητα να αποτελούνται από δύο 1 και δύο 0; (Απάντηση 10/21) Σε εκπεμπόμενο ψηφιακό σήμα επιλέγονται με τυχαίο τρόπο 8 τριψήφιοι αριθμοί. Ποία η πιθανότητα να επιλεχθούν έτσι ώστε και οι 8 να είναι διάφοροι μεταξύ τους αριθμοί; (Απάντηση: 315/131072) Δυο καλαθοσφαιριστές κάνουν 3 βολές. Οι πιθανότητες ευστοχίας σε κάθε βολή είναι 0,6 και 0,7 αντίστοιχα. Να βρείτε τις πιθανότητες ότι: α) και οι δυο θα έχουν ίδιο αριθμό ευστοχίας, β) ο πρώτος μπασκετμπολίστας θα περισσότερες ευστοχίες από τον δεύτερο Ένας δρομολογητής 1 στέλνει 4 πληροφοριακά πακέτα προς 6 διαθέσιμους κόμβους. Αν ο χρόνος γνωστοποίησης της παραλαβής είναι αμελητέος, είναι δυνατόν να αποσταλούν περισσότερα του ενός πληροφοριακά πακέτα σε έναν κόμβο. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθούν όλοι σε διαφορετικά βαγόνια; Έστω p η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση 1 4 p 3 p 2 f ( x) x x x ax b στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο lr, για κάθε a,b lr Σε ένα γεωστατικό δορυφόρο έχουν τοποθετηθεί δύο συσκευές ανίχνευσης πλάσματος, που λειτουργούν ανεξάρτητα η μία από τη άλλη. Η πιθανότητα λειτουργίας κάθε μιας είναι Να βρείτε τις πιθανότητες Να λειτουργούν και οι δυο (Απαντ. 0.97) Να μη λειτουργεί καμία (Απαντ ) Μια τουλάχιστον λειτουργεί (Απαντ ) Σε μία κάλπη έχουν τοποθετηθεί λαχνοί αριθμημένοι από 1 έως Αν κερδίζουν οι λαχνοί που αρχίζουν από 1, ποια η πιθανότητα να κερδίζει ένας λαχνός που θα βγεί από την κάλπη με τυχαία διαδικασία;. (Απ /3.000) Η πιθανότητα να πάθει μηχανική βλάβη ένα καινούργιο αυτοκίνητο σε οποιαδήποτε εβδομάδα λειτουργίας του είναι Ποια η πιθανότητα να πάθει δυο βλάβες στην ίδια εβδομάδα; (Απαντ ) 1 Router

6 Η πιθανότητα να μη επιστρέψει ένα υποβρύχιο ρομπότ από μια κατάδυση είναι 0.1. Να βρεθεί η πιθανότητα επιστροφής μετά από δυο αποστολές... (Απαντ. 0.81) Η πιθανότητα ένας φωτοβολταϊκού κύτταρου να μη αντέξει στις θερμοκρασίες του διαστημικού χώρου είναι ¼. Η πιθανότητα να μη αντέξει σε περίπτωση σύγκρουσης με μετεωρίτες μικρής διαμέτρου, είναι 1/3. Τα δύο γεγονότα είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Να υπολογιστεί η πιθανότητα Να μη αντέξει στις θερμοκρασίες και να μη αντέξει στις συγκρούσεις (Απαντ. 1/12) Να μη αντέξει στις θερμοκρασίες και να αντέξει στις συγκρούσεις (Απαντ. 1/6) Να μη αντέξει στις θερμοκρασίες ή να μη αντέξει στις συγκρούσεις (Απαντ. 1/2) Σε μια θέση κάποιας γραμμής παραγωγής τοποθετούνται 4 αντιστάσεις σε μία πλακέτα. Αν είναι γνωστό ότι σε 12 διατιθέμενες από το τμήμα προμηθειών αντιστάσεις οι 5 δεν ανταποκρίνονται στις προδιαγραφές, Ποια είναι η πιθανότητα ότι σε μια πλακέτα μία τουλάχιστον από τις αντιστάσεις που τοποθετήθηκαν δεν ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές; (Απ. 0.93) Δύο γειτονικοί κόμβοι Α και Β σε ένα δίκτυο υπολογιστών εναλλάσσουν τη λειτουργία τους ως αποστολέως και παραλήπτου. Παρατηρείται ότι 1 στα 6 πακέτα κινείται από τον Α προς τον Β, ενώ τα 5 αντίθετα. Να βρεθεί η πιθανότητα : Το επόμενο πακέτο να σταλεί από το Α προς Β Τα 2 επόμενα θα σταλούν από το Α στο Β Το επόμενο θα σταλεί προς το Β και το μεθεπόμενο προς Α Σε μια μηχανή 2 του καζίνο, ο παίκτης περιστρέφει τρεις κυλίνδρους και επιδιώκει να εμφανίσει σε ευθεία γραμμή τρεις ίδιες εικόνες. Η αξία του παιχνιδιού έχει καθοριστεί από τη διεύθυνση του καζίνο σε 0.5, ενώ σε περίπτωση επιτυχίας, ο παίκτης εισπράττει 10. Αν υποθέσουμε ότι ο στην επιφάνεια κάθε κυλίνδρου έχουν αποτυπωθεί τρεις μόνο εικόνες, και η αποτύπωση εκάστης εικόνας ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή, να υπολογισθεί το αναμενόμενο κέρδος του καζίνο, αν ένας παίκτης δοκιμάσει την τύχη του 360 φορές. (Απάντηση: ) Από την αποθήκη εργοστασίου παραγωγής κονσερβαρισμένων λαχανικών, που έχουν αποθηκευτεί προϊόντα που παράχθηκαν στο διάστημα του προηγούμενου έτους, επιλέγονται με τυχαία διαδικασία 10 κονσέρβες. Ποια η πιθανότητα δύο τουλάχιστον κονσέρβες να παράχθηκαν την ίδια ακριβώς μέρα; (Απάντηση: 0,12) 2 Slot machine

7 Δίνονται οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(ΑΒ) δύο γεγονότων Α και Β ενός πειράματος τύχης. Να υπολογισθούν: Ρ(Α c Β c ) Ρ(Α c Β c ), Ρ(Α c Β), Ρ(Α c Β) Ρ(ΑΒ) c Ρ(ΑΒ) c Ρ(Α c (ΑΒ)), Ρ(Α(Α c Β)) Πόσους αριθμούς πρέπει να πάρουμε από τον πίνακα τυχαίων αριθμών, ώστε με την μεγαλύτεροι πιθανότητα να εξασφαλίσουμε την εμφάνιση μετάξι τους 3 αριθμών που να τελειώνουν σε αριθμό 7; Από κουτί, όπου υπάρχουν 20 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες, n φορές παίρνουμε από μια μπάλα, και μετά από κάθε φορά την επιστρέφουμε πίσω στο κουτί. Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός n, για τον οποίον η πιθανότητα να πάρουμε τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα να είναι πάνω από μισό Για έναν καλαθοσφαιριστή, η πιθανότητα ευστοχίας σε μια βολή είναι 0,4. Αν έγινα 10 βολές να βρεθεί ο πιο πιθανός αριθμός ευστοχιών και η αντιστοιχεί πιθανότητα Ποια η πιθανότητα ν άτομα να έχον την ίδια ημερομηνία γεννήσεως (ημέρα και μήνας); Ένας διαγωνισμός σκακιού αποτελείται από 100 παρτίδες. Να βρεθεί η πιθανότητα να τελειώσει ο διαγωνισμός με αποτέλεσμα 12:8, αν η πιθανότητα νίκης σε οποιαδήποτε παρτίδα για κάθε παίκτη είναι 0,2; Να βρεθεί η πιθανότητα αγοράς λαχνού, του οποίου το άθροισμα τον αριθμών σειράς του να ισούται με 21, αν ο αριθμός σειράς μπορεί να είναι από 0 μέχρι ; Δυο τοξότες κάνουν από 3 βολές ο καθένας στο στόχο του. Ο πρώτος τοξότης με ίδια πιθανότητα παίρνει από 7 μέχρι 10 βαθμούς για κάθε βολή. Για άλλον, η πιθανότητα να πάρει από 7 μέχρι 10 βαθμούς για κάθε βολή είναι 1/8, και πιθανότητα να πάρει 8 ή 9 βαθμούς για κάθε βολή είναι 3/8. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι: α) ο πρώτος τοξότης θα πάρει τελικά 25 βαθμούς, β) ο δεύτερος τοξότης θα πάρει τελικά 25 βαθμούς, γ) και οι δυο θα πάρουν τους ίδιους βαθμούς; Μια πλήρη τράπουλα (52 φύλλα) χωρίζετε τυχαία σε δυο ίσα μέρη με 26 φύλλα. Βρείτε την πιθανότητα ακόλουθων γεγονότων: Α-σε κάθε μέρος θα υπάρχουν από 2 άσσοι.

8 B- σε ένα μέρος δεν θα υπάρχει κανένας άσος και στο άλλο και οι τέσσερις. Γ- σε ένα μέρος θα υπάρχει ένας άσσος και σε άλλο τρεις άσσοι Σε 9 κάρτες είναι γραμμένοι οι εξής αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Δυο από αυτές τυχαία ανοίγονται στο τραπέζι με σειρά εμφανίσεις και διαβάζετε ο αριθμός που προκύπτει π.χ. 07 (εφτά), 14 (δεκατέσσερα). Να βρεθεί η πιθανότητα ότι ο αριθμός θα είναι ζυγός; Αεροπλάνο, το οποίο αποτελεί στόχο της αεράμυνας, αποτελείται από 3 ευάλωτα μέρη: 1) το πιλοτήριο και ο κινητήρας, 2) δοχεία με καύσιμα και, 3) η ουρά του. Για την κατάρριψη του αρκεί: μια εύστοχη βολή στο πρώτο μέρος ή δυο εύστοχες βολές στο δεύτερο μέρος ή τρεις εύστοχες βολές στο τρίτο μέρος. Σε μια εύστοχη βολή στο αεροπλάνο η πιθανότητα ευστοχίας στο πρώτο μέρος είναι p 1, στο δεύτερο μέρος p 2, στο τρίτο μέρος p 3. Οι εύστοχες βολές κατανέμονται κατά μέρη του αεροπλάνου ανεξάρτητα ένα από το άλλο. Αν ξέρουμε ότι είχαμε m εύστοχες βολές κατά του αεροπλάνου, να βρείτε την πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου Am) για m = 1, 2, 3, Σε μια τάξη 10 φοιτητών που ήρθαν για εξετάσεις οι 3 είναι διαβασμένοι για άριστα, 4καλα, 2μετρια και 1χαλια. Οι άριστα διαβασμένος φοιτητές μπορούν να απαντήσουν σε όλες 20 ερωτήσεις, καλά διαβασμένος σε 16 ερωτήσεις, μέτρια διαβασμένος σε 10 ερωτήσεις, χαλιά διαβασμένος σε 5 ερωτήσεις. Ένας τυχαία εξετασμένος φοιτητής απάντησε σε 3 τυχαίες ερωτήσεις. Βρείτε την πιθανότητα ο φοιτητής αυτός να ήταν: α) άριστος, β) χαλιά Είναι γνωστό ότι 5% όλων των ανδρών και 0,25 όλων των γυναικών έχουν δαλτονισμό (αχρωματοψία). Διαλέγουμε ένα άτομο που πάσχει από το δαλτονισμό. Ποια είναι η πιθανότητα το πρόσωπο αυτό να είναι άνδρας? (θεωρούμε ότι ο αριθμός των ανδρών και γυναικών είναι ίσος Ανάμεσα στα 64 τετράγωνα του σκακιού διαλέγονται τυχαία 2 διαφορετικά τετράγωνα και βάζουν σε αυτά 2 όμοια κομμάτια άσπρου και μαύρου χρώματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα κομμάτια αυτά δε θα χτυπούν ένα το άλλο, αν έχουν τοποθετηθεί 2 πύργοι? 2 αξιωματικοί? 2 ίπποι? 2 βασίλισσες? Κάτω από ποιους περιορισμούς ισχύει η ισότητα:ρ(α)=ρ(α/β)+ρ(α/β c ) Το τραίνο Χ φθάνει σε ένα σταθμό μέσα στο χρονικό διάστημα [Τ,0] και παραμένει εκεί α λεπτά της ώρας. Το τραίνο Υ φθάνει στο σταθμό μέσα στο ίδιο χρονικό διάστημα και μένει εκεί β λεπτά της ώρας. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος των αφίξεων των δύο τραίνων; Ποιες οι πιθανότητες των γεγονότων, Α={Το Χ φθάνει πριν από το Υ}, Β= {τα δύο τραίνα συναντώνται στο σταθμό}, και Γ={όταν τα τραίνα συναντώνται, το Χ φθάνει πριν από το Υ} Να εξετασθεί το πρόβλημα της βελόνας του Baffon όταν L> Να εξετασθεί το πρόβλημα της βελόνας του Baffon όταν η βελόνα τέμνει δυο γραμμές.