ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσία παράδοσης 6//7 Άσκηση Α) Οι δυνάεις που δρουν σε κάθε άζα φαίνονται στο Σχήα. Αναλύοντας σε ορθογώνιο σύστηα αξόνων (διακεκοένες γραές) και για ικρές γωνίες θ, ϕ, οπότε cosθ, cosϕ, και η κατακόρυφη ετατόπιση των αζών είναι αελητέα, έχουε για τη άζα m T = m g+ T και για τη άζα m d = θ+ m T si T siϕ T m = m g d = T όπου και οι αποστάσεις των αζών m και 8//7 siϕ m αντίστοιχα από τον άξονα των. Από το σχήα έχουε si θ =,siϕ= και απαλείφοντας τις τάσεις παίρνουε τις εξισώσεις κίνησης T m g ' m T T m m g ιαιρώντας ε m και m m m g m g d m = m g () l m αντίστοιχα το σύστηα γράφεται d = ( + ) + d g g = ( + ) + d g g = l l () Β) Σε ορφή πίνακα οι εξισώσεις κίνησης γράφονται g g ( + ) d = g g Αντικαθιστώντας τη γενική ορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντωσης = A cos ( ω t+ δ), = A cos( ω t+ δ) καταλήγουε στο σύστηα

2 g g ( ) ω A + + = g g + ω A το οποίο έχει η τετριένες λύσεις όταν g g ( + ) + ω det = g g + ω g g g 4 g g ( + ) + ω + ω = ω ω ( + ) + ( + ) = l l l l l Επιλύοντας τη δευτεροβάθια ως προς ω εξίσωση βρίσκουε ( ( ) ) ( ( ) ) g g ω = + ± + ω ± = + ± + και συνεπώς οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι ( ( )) g f± = + ± + π l Άσκηση Α) Σε έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης όλα τα σηεία της χορδής ταλαντώνονται ε την ίδια συχνότητα. Η γενική έκφραση θα είναι λοιπόν της ορφής. ξ (, t) = A( )cos( ω t+ φ) () Αντικαθιστώντας στην κυατική εξίσωση ξ T ξ T d A d A ω = ω A= = A A( ) = C cos( k ) + D si( k ) () t d d T ε k = ω. T Καθώς τα δύο άκρα είναι ελεύθερα σε αυτά πρέπει να ηδενίζεται η δύναη ξ F = T δηλαδή η παράγωγος του πλάτους. Εφαρόζοντας στο πρόβληά ας A ( ) = k C si( k ) + kd cos( k ) = k C si( k ) + kd cos( k ) = (3) A ( ) = k C si( k ) + kd cos( k ) = (4) Για να έχει λύση το παραπάνω οογενές σύστηα ως προς C, D θα πρέπει να ηδενίζεται η ορίζουσα των συντελεστών si( k) cos( k) det = si( k )cos( k) + si( k)cos( k) = si( k) cos( k) si( k ) cos( k) = si( k ) = k= π, =, (5) όπου εισάγαε το δείκτη για να περιγράψουε τις διακριτές τιές. Συνεπώς

3 π T T ω = π ω =, =, f =, =, T 4 Η λύση ε ω= δεν αντιστοιχεί σε ταλάντωση καθώς σε αυτήν την περίπτωση η γενική λύση της κυατικής δεν είναι η (). Β) Από τις () και (4) έχουε π π A ( ) = C cos + D si όπου τα C, D συνδέονται ε την (3) π π C si = D cos η οποία δίνει D = για άρτια (όπου ηδενίζεται το πρώτο έλος) και C = για περιττά (όπου ηδενίζεται το δεύτερο έλος). Συνεπώς π C cos, = άρτιος A ( ) = π D si, = περιττός Όπου οι σταθερές C, D είναι αυθαίρετες σταθερές. Η παραπάνω έκφραση πορεί π να γραφτεί ενοποιηένα χρησιοποιώντας την ταυτότητα cosθ = siθ π π A = G cos + (( ) ) 4 όπου G ια καινούργια αυθαίρετη σταθερά. Λαβάνοντας υπόψιν και τη χρονική εξάρτηση η ζητούενη συνάρτηση είναι π π π T ξ(, t) = G cos + (( ) ) cos( t+ φ), =,, Άσκηση 3 Α) Θεωρούε ορθογώνιο σύστηα συντεταγένων ε τον οριζόντιο άξονα παράλληλο ε τον πάγκο και τον κάθετο άξονα να περνάει από το σηείο ισορροπίας της άζας m (διακεκοένες γραές στο Σχήα.) Οι δυνάεις που δρουν σε κάθε σώα φαίνονται στο Σχήα. Αναλύοντας σε ορθογώνιο σύστηα αξόνων (διακεκοένες γραές) και εφαρόζοντας τους νόους του Νεύτωνα βρίσκουε για τη άζα m N = m g+ T cos d m = k k + T siθ και για τη άζα m θεωρώντας ικρές γωνίες ταλάντωσης θ για τις οποίες η κατακόρυφη ετατόπιση του της άζας είναι αελητέα θ -k m g m N T ` T m m g 3

4 T cosθ = m g d m = T siθ όπου cosθ και siθ =. Εποένως T mg και οι εξισώσεις κίνησης l γράφονται ως d d k mg m = k + mg = + l m m l d d m = m g = g l l mg και αντικαθιστώντας τα δεδοένα του προβλήατος m = m = m και k = l d = 5 g g + d g g = Β) Οι εξισώσεις γράφονται σε ορφή πίνακα ως 5g g d = g g αντικαθιστώντας τη γενική ορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντωσης = A cos ( ω t+ φ), = A cos( ω t+ φ) καταλήγουε στο σύστηα 5g g A ω + = g g + ω A το οποίο έχει η τετριένες λύσεις όταν 5g g + ω det = g g + ω 4 5g g g 6g g + ω + ω = ω ω + 4 = l l l l l Επιλύοντας τη δευτεροβάθια ως προς ω εξίσωση βρίσκουε ( ) g g ω = 3± 5 ω 3 5 ± ± = ± και συνεπώς οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι g f± = 3± 5 π l () () 4

5 Γ)Αντικαθιστώντας την τιή του ω για τον πρώτο αρονικό τρόπο ταλάντωσης από την () στην () βρίσκουε ( 3 5) 5g g g + A + + l = g g g + ( 3+ 5) + A l g g + ( 5 A ) + g g A = + + = = g g A ( + 5) + A και αντίστοιχα για το δεύτερο ( 3 5) ( 5) A A ( 5 + ) 5g g g A + l = g g g + ( 3 5) A l g g ( 5 A ) g g A = + = = + g g A ( 5) A ( 5) A A ( 5 ) Άσκηση 4 Για το φαινόενο Doppler, ο γενικός τύπος που δίνει την συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής f ' συναρτήσει της συχνότητας της πηγής f είναι σύφωνα ε τη σχέση (8.6) του βιβλίου των Aloso και Fi f = f υ-υ υ-υ παρατηρητη πηγής όπου υ η ταχύτητα του ήχου και θετική φορά θεωρούε τη φορά από την πηγή προς τον παρατηρητή (σηειώνεται ε βέλος στο Σχήα). Οι ταχύτητες της πηγής και του + παρατηρητή λαβάνονται ως προς τον ακίνητο αέρα. Σύφωνα ε τα δεδοένα του προβλήατος πηγή είναι ο Β ο οποίος εκπέπει συχνότητα f = 44Ηz ενώ παρατηρητές είναι στην ία περίπτωση (α) ο Γ ο οποίος 5

6 ακούει συχνότητα f A ( ) = f. f = Γ f και στην άλλη (β) ο Α ο οποίος ακούει συχνότητα Εφαρόζουε τα δεδοένα: (α) Ο ακίνητος Γ ακούει f Γ f = υ υ Γ fb f f ( υ υb) υ υ υ = υ υ = B υb = υ υ 9.m/s 68.7km/h B = = (β) Ο κινούενος αντίθετα ε τη θετική φορά Α ε ταχύτητα έτρου υa ακούει συχνότητα f ( ) A = f, συνεπώς ( ) ( ) 6 A B A B A 6 ( ) ( ) υ υ υ+ υ f = f f = f υ υ = υ+ υ A A B B A υ υb υ υb υ = υ υ υ υ =.m/s= 7.8km/h Άσκηση 5 Α) Εφόσον η γραική πυκνότητα αυξάνεται γραικά η έκφραση ( ) πρέπει να γράφεται ως ( ) = + b ε () =, ( ) =. Συνεπώς =, b= και ( ) = + Β) Από τον ορισό της ταχύτητας και τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα διάδοσης ε τη γραική πυκνότητα και την τάση d T T υ = = = d + = T ( ) + Ο παλός ξεκινάει από το σηείο = τη στιγή t= και φτάνει στο σηείο = τη στιγή t= τ. Ολοκληρώνοντας κατάλληλα = t= τ d T = t= 3 = + d + = Tτ = ( ) + = 3 = Tτ + = = 3 3 τ = ( ) + 3 T ( ) 3 3 τ = 3 T ( ) 6

7 Άσκηση 6 Α,B) Όταν η σφυρίχτρα ανεβαίνει η ταχύτητά της θα δίνεται από υs α = υ g t και έχει διεύθυνση αντίθετη ε τη διεύθυνση πηγής παρατηρητή (την οποία θεωρούε ως θετική, βλ. Σχήα). Η συχνότητα που θα ακούει ο παρατηρητής θα δίνεται λοιπόν από 34 f = υ υ α f f 3 υ υ = υ υ = 34 t = () t sα sα Όταν η σφυρίχτρα φτάσει στο έγιστο ύψος υs = υ = g t t = s. Συνεπώς η σχέση () ισχύει για <t<s. Μετά η σφυρίχτρα θα αρχίσει να πέφτει εκτελώντας επιταχυνόενη κίνηση συνεπώς η ταχύτητά της θα ισούται ε υ sκ = g ( t t) και καθώς η φορά κίνησης της πηγής συπίπτει ε τη φορά πηγής παρατηρητή θα έχουε 34 f = υ υ 3 κ f f υ υ = sκ υ υ = sκ t+ = t () Η οποία ισχύει από το έγιστο ύψος έχρι να 35 φτάσει η σφυρίχτρα στο έδαφος, δηλαδή για f 3 s<t<4s. Από τις () και () παρατηρούε ότι ο 35 3 τύπος που δίνει τη συχνότητα είναι ο ίδιος και 95 στις δύο περιπτώσεις και υπολογίζοντας τις 9 τιές για ενδιάεσα σηεία καταλήγουε στη γραφική παράσταση του διπλανού σχήατος. Ας t σηειωθεί ότι επειδή η ταχύτητα του ήχου είναι κατά πολύ εγαλύτερη από την ταχύτητα της σφυρίχτρας πορούε να αγνοήσουε την καθυστέρηση που υπάρχει λόγω της απόστασης που διανύει ο ήχος από τη σφυρίχτρα έχρι το αυτί του παρατηρητή. + Άσκηση 7 Για κάθε χορδή η διαφορική εξίσωση είναι T T =, = t t όπου η τάση Τ είναι κοινή και για τις δύο χορδές. Εφόσον αναζητούε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης, οι δύο χορδές θα έχουν την ίδια συχνότητα, άρα ψάχνουε λύσεις της ορφής (, t) = ( Acosk+ B si k)si( ωt). Θέτοντας τις λύσεις αυτές στις διαφορικές (, t) = ( C cos k + D si k )si( ωt) T T k k εξισώσεις, καταλήγουε στη γνωστή σχέση ω = k = k = () Το άκρο = είναι ακίνητο, συνεπώς (, t) = ( C cos k + Dsi k )si( ωt) = C cos k + D si k = () 7

8 Επίσης, στο σηείο ένωσης των δύο χορδών θα πρέπει να έχουε (, t) = (, t) Acos k+ Bsi k= C cos k+ D si k (3) και ' ' (, t) = (, t) k ( Asi k B cos k )= k ( C si k D cos k ) (4) Τέλος, στο ελεύθερο άκρο η εγκάρσια δύναη πρέπει να είναι ηδέν, άρα ' (, t) = k ( Asi k B cos k )= B= (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ()-(5) παίρνουε το σύστηα ε αγνώστους τα Α, C και D. A + C cos u k+ Dsi uk= Acos k C cos uk Dsi u k= όπου u= A( k si k ) + C(uk si uk ) + D( u k cos uk ) = Για να έχει το σύστηα αυτό η ηδενικές λύσεις, πρέπει η ορίζουσα των συνελεστών Α, C και D να είναι ηδέν. cos uk si uk cos k cosuk si uk = k si k u k si u k u k cosu k Εποένως το k, που είναι και ο οναδικός άγνωστος στην ορίζουσα, πορεί να υπολογιστεί από τις λύσεις της εξίσωσης. Αντικαθιστώντας τις τιές του k στη T T σχέση ω = k f = k βρίσκουε τις ιδιοσυχνότητες. π Άσκηση 8 Για να επαληθεύσουε ότι το στάσιο κύα που ας δίνεται ικανοποιεί την κυατική εξίσωση αρκεί εφαρόζοντας τις παραγωγήσεις και αντικαθιστώντας στην κυατική εξίσωση να καταλήξουε σε ία εξίσωση διασποράς. ( ) ( ) ( ω ) z(,, t) = Asi p si q cos t z = Ap cos( p)si( q)cos( ωt) z = Ap si( p)si( q)cos( ωt) (Ι) z = Aqsi( p)cos( q)cos( ωt) z = Aq si( p)si( q)cos( ωt) (ΙΙ) 8

9 z = Aω si( p)si( q)si( ωt) t z t = Aω si( p)si( q)cos( ωt) (ΙΙΙ) z z z + = υ t ( I ) ( II ) ( III ) Ap si( p)si( q) cos( ωt) Aq si( p)si( q) cos( ωt) = Aω si( p)si( q) cos( ωt) ω A p q ωt p q υ = si( )si( )cos( ) ω υ p q = ω = υ ( p + q ) Η παραπάνω σχέση είναι ια σχέση διασποράς, το στάσιο κύα z(,, t) = Asi p si q cos ω t ικανοποιεί την εξίσωση κύατος. ( ) ( ) ( ) Για = z(,, t) = Asi( p ) si( q ) cos( ω t) = si( p ) si( p ) si( π) = = π p= ( =,,3,...) Για = z(,, t) = Asi( p ) si( q ) cos( ω t) = si( q ) si( q ) si( mπ) = = mπ q= ( m=,,3,...) Άσκηση 9 Η ένταση του ήχου θα είναι έγιστη όταν το ήκος της κολόνας του αέρα είναι τέτοιο ώστε να σχηατίζεται στάσιο κύα εταξύ του στοίου του δοχείου και της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού (συντονισός). Το.6m m 9

10 στάσιο κύα θα έχει δεσό στην επιφάνεια του υγρού και κοιλία στο στόιο του δοχείου (βλ. σχήα). Η διαφορά ύψους d της κολόνας αέρα ανάεσα στις θέσεις συντονισού αντιστοιχεί στην απόσταση εταξύ διαδοχικών θέσεων συντονισού, δηλ. στην απόσταση εταξύ διαδοχικών δεσών, η οποία ως γνωστό ισούται ε λ/, όπου λ το ήκος κύατος ε λ=υ/ν. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει υ= d ν=.4 44 m/sec =35 m/sec Άσκηση Η γενική ορφή ενός κύατος στις δύο διαστάσεις πορεί να γραφτεί ως (,, t) Asi( ξ = ωt k r) όπου r =, k = k, k, συνεπώς και ενός ε ( ) ξ (,, t) A si( ωt k k ) A si( ωt k k ) = + + όπου πορούε να δούε εύκολα (εφαρόζοντας πχ την οριακή συνθήκη ξ (,, ) = ) ότι A = A και συνεπώς ξ (,, t) = A si( ωt k k ) si( ωt k+ k ) ( ωt k k ) ( ωt k+ k ) ( ωt k k ) + ( ωt k+ k ) = A si cos ( ) ( ω ) ( ) ( ω ) = A si k cos t k = B si k cos t k όπου B= A. Συνεπώς κατά ήκος του -άξονα (απείρου ήκους) αναπτύσσεται τρέχον κύα cos( ωt k ) και κατά τον -άξονα όπου τα άκρα, = και =α, είναι πακτωένα, άρα αναπτύσσεται στάσιο κύα si( k ). Από τις συνοριακές συνθήκες, έχουε ακόη ξ (,, t) = si( k ) = k = π, =,,3.. ( = σηαίνει ακινησία). Τελικά το κύα γράφεται π ξ (,, t) = B si cos ωt k Β) Από τον ορισό του k έχουε ( ) π π π k = k = = k + k = k + λ= λ π k + Στην τελευταία σχέση το k παίρνει συνεχείς τιές και συνεπώς τιή του λ είναι το ηδέν που αντιστοιχεί σε άπειρο ( ) και ( ) ξ (,, t) = Asi( ωt k k ). Στο πρόβληα έχουε ανάκλαση στον άξονα συνεπώς η γενική ορφή του κύατος θα γράφεται ως γραικός συνδυασός ενός κύατος ε κυατάνυσα k = ( k, k ) k = k, k δηλαδή k. Η ελάχιστη k. Η έγιστη τιή του

11 λ αντιστοιχεί σε k = και =. Συνεπώς οι περιορισοί στο ήκος κύατος είναι λ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ) Τα κύατα πορούν να εκφραστούν ως εξής ξ(, t) = Asi( k ωt) ( π ξ, t) = Asi( k ωt ) 4 Η επαλληλία τους θα δώσει: π ξ (, t) = ξ(, t) + ξ(, t) = Asi( k ωt) + Asi( k ωt ) = 4 π π ( k ωt) ( k ωt ) ( k t) ( k t ) Acos 4 ω + ω si 4 π π π ξ (, t) = Acos si k ωt = A + si k ωt π Η τελευταία δείχνει αρονικό κύα ε πλάτος Acos = A +.85A, 8 κυκλική συχνότητα ω, και καθυστέρηση φάσης π/8 σε σχέση ε το πρώτο κύα. P ) Η ένταση σφαιρικού κύατος της ορφής p p = si( kr ωt) δίνεται από την r σχέση P I =. () υρ r Από την δεδοένη εξίσωση πορούε να δούε ότι τα χαρακτηριστικά του κύατος πίεσης είναι P =. N/m ω = πν = π 3 s - ν = 5 Hz υ = ω/k = 3/.99 = 33 m/s Θεωρώντας ότι η πυκνότητα του αέρα είναι ρ =.68 Kg/m 3, η αντικατάσταση των παραπάνω τιών στην () δίνει 3. N s m 5 W I = = r m m Kg m r m, r σε έτρα. () Από το διάγραα ακουστότητας (βλ. σελίδα 34 Aloso & Fi) βρίσκουε ότι το όριο ακουστότητας για τη συχνότητα ν = 5 Hz είναι περίπου Ι = - W/m. Αντικαθιστώντας αυτή την τιή στην () υπολογίζουε r = 7 m. Η ένταση του ήχου σε db δίνεται από την σχέση B= log I (3) I όπου Ι = - W/m η ένταση αναφοράς. Θέτοντας Ι = - W/m, βρίσκουε ότι Β = db.

12 3) A. Το πλάτος του στάσιου κύατος είναι A() = cos(π/) και εύκολα βλέπουε ότι γίνεται έγιστο στα άκρα του σωλήνα, A( = ) = A( = ) =. Επειδή ο σωλήνας είναι ανοιχτός, ένα στάσιο κύα που περιγράφει ετατόπιση ξ θα παρουσιάζει στα άκρα του κοιλίες (Α = ) ενώ αντίθετα ένα κύα που περιγράφει εταβολή πίεσης ή πυκνότητας θα παρουσιάζει δεσούς (Α = ) γιατί p p = κ ξ και ρ ρ ρ ξ =. Συνεπώς, το φυσικό έγεθος που περιγράφει η δεδοένη εξίσωση είναι ετατόπιση. Η συχνότητα του συγκεκριένου στάσιου κύατος είναι ν = υk/π = υ/. Για τον ανοιχτό σωλήνα οι αρονικές είναι ν = υ/, όπου =,, 3,... Από την σύγκριση προκύπτει =, και άρα έχουε την δεύτερη αρονική. Β. Για σωλήνα ε ένα άκρο κλειστό, οι αρονικές δίνονται από την ν m = (m+)υ/4, όπου m =,,, Εδώ η τρίτη αρονική αντιστοιχεί σε m=. Για να έχουε ν = ν υ/ = 5 υ/4 = 5/4. 4) ) Η διαφορά των ακουστοτήτων δίνεται από I I ' B B ' = (log log ) = log( I / I ') I I I / I ' = = B B ' = db I P P = = ' I ' P P = ' 5) Η συνάρτηση περιγράφει κύα που διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά. Η ισχύς που εταφέρεται σε ένα σηείο της χορδής είναι P= Fυ καθ, όπου υ καθ είναι η κάθετη ταχύτητα του τήατος της χορδής και F είναι η δύναη που ασκείται σ αυτό το τήα της χορδής από τα αριστερά. Η δύναη αυτή είναι αντίθετη στη φορά της ταχύτητας και έχει έτρο Fκαθ = T siα T tα = T (δες και Aloso-Fi, σελ. 3). Άρα η ισχύς δίνεται από την P= Fυ καθ = T, οπότε παραγωγίζοντας t βρίσκουε P TA k ω k ωt A Tωk k ωt = ( )cos ( ) = cos ( ). ω T Κάνοντας χρήση της σχέσης υ = =, η ισχύς γράφεται k P= A υω cos ( k ωt), όπου υ είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύατος στη χορδή (να ην συγχέεται ε την υ καθ ). Η έση ισχύς δίνεται από P = A υω cos ( k ω t) = A υω.