ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ"

Transcript

1 ποααμαθηματικα ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων, των οποίων η λύση στηρίζεται σε τεχνικές μη άμεσης αλγεβρικής επίλυσης. Να αναφέρουμε ότι ανάλογες σκέψεις, μπορούν να προκύψουν και στην περίπτωση εξισώσεων και ανισώσεων, οι οποίες παρουσιάζουν στον τύπο τους την αντίστροφη μίας συνάρτησης. Προφανώς, οι παρακάτω δεν είναι οι μοναδικές μορφές που μπορεί κάποιος να συναντήσει, ούτε και ο τρόπος επίλυσης τους μοναδικός. Γίνεται όμως μία προσπάθεια, να δοθούν στο μαθητή κάποια εργαλεία σκέψης, για μία πιο άνετη προσέγγιση τέτοιων θεμάτων. Ο προσδιορισμός της μονοτονίας της συνάρτησης, σε όποιες ασκήσεις αυτός χρειάστηκε, έγινε είτε με τον ορισμό και τις ιδιότητες της διάταξης, είτε με τη βοήθεια του αντίστοιχου θεωρήματος των παραγώγων, για μεγαλύτερη << πολυφωνία >>, στην εύρεσή της. 1 η ΜΟΡΦΗ: f f( )= k. f( g( ) )= k όf( A) υκεκf( g( ) )= f( h( ) ) με g()εaf, h()εaf f( )+f(.)=α, αεr f( )=g( ) στο f gαa ιg( ) ε1 ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης την σχέση f () k ή f(g())=k όπου κεf(a) σε f( )=f(.), όπου το κ=f(0) με το 0εΑ, και <<απολείφουμε>> τα f: είτε μέσω μονοτονίας είτε μέσω της 1-1 είτε μέσω θέσης ακροτάτου ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

2 είτε κάνοντας χρήση των επιμέρους πεδίων ορισμού, σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, ανάλογα με το 0 στο οποίο και ορίζονται. Προφανώς, δείχνοντας ότι το κεf(α), απλώς δικαιολογούμε την ύπαρξη ρίζας, αλλά δεν την προσδιορίζουμε. Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f με f()=e +-1. i. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Nα λύσετε την εξίσωση f()=e iii. Να βρείτε το ώστε να είναι f(ln+)=e Λύση i. Για κάθε 1, R με 1 με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Είναι f () e f () f (1) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ότι η =1, είναι η μοναδική λύση της εξίσωση (κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση, ορίζει εξίσωση μορφής f()=α, αεr με το πολύ μία ρίζα). iii. Αρχικά να προσέξουμε ότι πρέπει (ln+)εaf =R και >0 επομένως αναζητώ λύσεις για >0. Είναι : f(ln+)=e f(ln+)=f(1) ln+=1 ln+-1=0. Aν είναι g()=ln+-1 με >0 η ισοδύναμη εξίσωση είναι g()=0 g() g(1) 1 αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f()=, -5<<-. Βρείτε τα ε(-5,6] για τα 1, - 6 οποία είναι: f( 4) f( 1). Λύση Επειδή 1 1 προκύπτει +4ημε[-,6] και έτσι f( 4) 4 1 Ακόμη 5 1 και έτσι προκύπτει f(- 1) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

3 Επομένως έχουμε ισοδύναμα: f( ) f( 1) ή +4ημ=- από τις οποίες προκύπτει =kp ή =kp-, κεz. 0ς τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν εξισώσεις μορφής, f( )+f(.)=α, αεr σε μορφή f () k ή f(g())=k όπου κεf(a) και g()εα f, άρα επιλύονται ανάλογα. Παράδειγμα 1 Αν f: R R με f()-f(y)=f(-y), για κάθε,yεr i. Να βρείτε το f(0). ii. Nα λύσετε την εξίσωση f( -4)-f(-6)=0 εr, αν γνωρίζεται ότι η f έχει μοναδική ρίζα. i. H υπόθεση για =y=0 μας δίνει f(0)-f(0)=f(0) άρα f(0)=0. ii. H εξίσωση f( -4)-f(-6)=0 είναι ισοδύναμη με την f( -5+6)=0 (1), βάση της συναρτησιακής σχέσης της υπόθεσης, αν θέσουμε όπου το -4 και y το -6. Άρα η (1) δίνει με τη βοήθεια και του i ερωτήματος, την εξίσωση f( -5+6)=f(0) από την οποία προκύπτει, η ισοδύναμη εξίσωση -5+6=0, αφού η f έχει μοναδική ρίζα, η οποία είναι το μηδέν όπως προκύπτει από το i. ερώτημα. Η λύση της τελευταίας δίνει = ή =3. Παράδειγμα Αν f: R R μία περιττή συνάρτηση, να βρείτε εr για τα οποία ισχύει: f(ln)+f(-+1)=0, αν γνωρίζεται ότι η f είναι γνησίως μονότονη Για >0 έχουμε f(ln)+f(-+1)=0 f (ln) f( 1). (1) Γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό της περιττής είναι g(-)=-g() με, -εag. Επομένως η (1) μας δίνει ισοδύναμα f (ln) f(1) από την οποία και παίρνουμε μοναδική λύση την =1. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

4 3 0ς τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε f( )=g( ) στο f Ag να δίνει λύση: είτε μέσω μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων είτε κάποιο 0. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο Παράδειγμα Δίνεται η f () 5 5 και η g()= 5 i. Να βρείτε τα ακρότατα των f και g. ii. Να λύσετε την εξίσωση f()=g() i. Η f ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους και ισχύει f () 5 με το ίσον να ισχύει για =5 και =-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι το 5. Επίσης για την g για κάθε εr ισχύει g() 5 δηλαδή η ελάχιστη τιμή της g είναι το 5 για =0. ii. Eίναι f () 5 και g() 5. Eπειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοισότητες, δεν επιτυγχάνεται για κοινή τιμή του (για την f ισχύει για =5 και =-5, ενώ για την g για =0) η αντίστοιχη εξίσωση είναι αδύνατη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 1 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ f (), f () f () Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f -1 έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=. Επομένως προκύπτει ότι: 1 1 f () f (). Έτσι οι εξισώσεις f () και f (), είναι ισοδύναμες, άρα επιλύουμε την απλούστερη. 1 Η επίλυση της εξίσωσης f () f (), ερμηνεύει αλγεβρικά, την εύρεση των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων f και f -1 δηλαδή του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις y=f() και =f(y). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

5 ΜΟΝΟ στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση 1 1 f (), f () f () είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις 1 f () ή f (). ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 Έστω α μία λύση της εξίσωσης f () f (). Τούτο σημαίνει ότι το Ν(α,β) είναι κοινό σημείο των Cf και C 1 f, οπότε είναι: 1 f ( ) και f ( ) f( ). Αρκεί να δείξουμε ότι το α είναι λύση της εξίσωσης f()=, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι f(α)=α β=α. Πράγματι έχουμε: Αν α<β και αφού f αύξουσα παίρνω f(α)<f(β) άρα α<β πράγμα άτοπο. Ανάλογα αν α>β καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως κατανάγκην θα είναι α=β Αλλά και αντίστροφα, αν το α ήταν μία λύση της εξίσωσης f()=, τότε ισχύει f(α)=α f -1 1 (α)=α, επομένως f ( ) f ( ), δηλαδή το α είναι λύση της εξίσωσης f()=f -1 (). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση. i. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι οι και έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. i. Η παραγωγίσιμη στο με για κάθε άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,συνεπώς είναι και 1-1,οπότε αντιστρέφεται. Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, άρα Είναι άρα άρα Επομένως. και και και ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5

6 ii. Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του συστήματος: με. Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1),() έχουμε: όπου με. Η παραγωγίσιμη στο με (αφού. Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε και 1-1. Επομένως η (4) Άρα η (1) Οπότε για η (4) δίνει.επομένως οι και έχουν μοναδικό κοινό σημείο το Μ(,), το οποίο επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος. ΠΡΟΣΟΧΗ Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του συστήματος f()=y και f(y)=. Tονίζουμε ότι κατά τη λύση του συστήματος, με την παραπάνω διαδικασία, δεν ισχύει η ισοδυναμία λόγω της αφαίρεσης κατά μέλη, οπότε κάνουμε επαλήθευση των λύσεων που προέκυψαν. Μία άλλη διαδικασία, επίλυσης του παραπάνω συστήματος, παρουσιάζεται σαν εναλλακτική λύση για το ii. ερώτημα του παραπάνω παραδείγματος: Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του συστήματος : y f f :1 1 f ( y ) f ( f ( )) f ( y ) f ( f ( )) f ( f ( )) f ( f ( )) f ( ) f ( ) 1 1 y f f y f ( f ( ) ) f y f ( y ) f ( y ) με, y (1, ) (1) Έστω η συνάρτηση g( ) f ( ), 1 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (1, ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6

7 με g ( ) f ( ) 1 0 για κάθε 1 (αφού f ( ) 0 για κάθε 1). Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) οπότε και 1 1. g( f ( )) g( ) g:1 1 ( ) Επομένως η (1) f ( y ) f ln( 1) f :1 1ln( 1) 0 f ( y ) f ( y ) f ( ) y ln( 1) ln1 1 1 y y y Συνεπώς το κοινό σημείο των C f, C 1 είναι το Α(,). f Ασκήσεις 3 1. Έστω f (). 1 i. Nα δείξετε ότι έχει μέγιστο μόνο στο 0. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. f()=3 β. f( -1)=3 γ. f(3f(-1))=3. Δίνεται η συνάρτηση f()= ( 1) ( 3) 1. i. Nα δείξετε ότι η f έχει ελάχιστο σε διαφορετικές θέσεις. ii. Να λύσετε την εξίσωση f ( 3 1) Έστω f () και g()=ln i. Να δείξετε ότι το 1 η μέγιστη τιμή της f και η ελάχιστη τιμή της g. 1 ii. Nα λύσετε την εξίσωση: -1=ln Αν f: R R μία περιττή και γνησίως μονότονη συνάρτηση, να βρείτε εr για τα οποία ισχύει: f(e )+f(-1)=0. 5. Έστω η συνάρτηση : f()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ii. Να λυθεί η εξίσωση: iii. Αν α,β και ισχύει: να αποδείξετε ότι α=β iv. Να λύσετε την εξίσωση: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

8 6. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με : f()= και g()= i. Να μελετήσετε τις συναρτήσεις f,g ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 1 ii. Να λυθεί στο η ανίσωση : e 1 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με : f()= και g()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g. iii. Να λύσετε την εξίσωση:f(g())=1 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f()= και g()= i. Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το. ii. Να αποδείξετε ότι η g έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. iii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R με τύπους f (), εr και g() για κάθε εr. 1 i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. ii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0=1. iii. Nα βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και Cg. 10. Δίνεται η συνάρτηση f()=, >. Nα λυθεί η εξίσωση 1, 1 f( 1). 11. Δίνεται η συνάρτηση f()=+ i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

9 iii. Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το [0, ) 1 iv. Να λύσετε την εξίσωση f () 1 v. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των f και f. 1. Δίνεται η συνάρτηση f () e 1 i. Nα βρείτε τη μονοτονία της f. ii. Nα εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη της f, και αν ναι. να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. 1 iii. Να λύσετε την εξίσωση f (e ) 1 iv. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των f και f. η ΜΟΡΦΗ: f(...) f(...)... vf(...) γ (... v) με γ=ακρότατη τιμή της f O ορισμός του ακροτάτου της f, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης, μας δίνει άμεση λύση της εξίσωσης, το 0 στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο. Παράδειγμα Έστω f : R R με f()=3 και f() 3 για κάθε εr. Nα λυθεί η εξίσωση f( +1)+f()=9. Αφού f() 3 για κάθε εr θα έχουμει: θέτοντας όπου το +1 άρα f( +1) 3, με το ίσον να ισχύει μόνο αν +1=..(Α) δηλαδή =1 ή =-1. θέτοντας όπου το άρα f() 3 με το ίσον να ισχύει μόνο αν = δηλαδή =1 άρα και f() 6 (B) Επομένως από (Α)+(Β) : f( +1)+f() 9 με το = μόνο αν +1== από την οποία προκύπτει ότι =1. Ασκήσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση f()= 1. i. Nα δείξετε ότι η f έχει ελάχιστο ίσο με 1. 3 ii. Να λυθεί η εξίσωση f ( 1) f ( 7) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

10 iii. Βρείτε τα,yεr ώστε 3f ( y) f ( 3y) 5 0. Δίνεται η συνάρτηση f()=. 1 i. Nα αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το ii. Να λυθεί η εξίσωση f 3 f 3 ( ) ( 3 ) 6 0 iii. Βρείτε τους α,βεr ώστε να ισχύει f ( a 1) 3 f (a 1) Αν f :[0, ) R γνησίως μονότονη με f() +1 για κάθε 0 και f(0)=1. Βρείτε τα κ,λε[0,) για τα οποία είναι 3f(κ)+f(λ)=5. 4. Δίνεται η συνάρτηση f()= --συν. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ= 0,. ii. Nα λύσετε στο Δ την εξίσωση f()+f( 3 )+f( 017 )=-9 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=+, i. Να αποδείξετε ότι f() ii. Να λύσετε την εξίσωση: f()+f( )+f( )+f( )=4 7. Δίνεται συνάρτηση f()= με >0 i. Να μελετηθεί η fως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. 1 ii. Να αποδείξετε ότι f(),για κάθε >0. e iii. Να λύσετε την εξίσωση: ef( iv. Να λύσετε την εξίσωση : f()+f( =. 8. Δίνεται η συνάρτηση f()=,με >0 i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρεθούν τα α,β>0 και γ τέτοιοι ώστε να ισχύει: (α- =1 iii.να λύσετε την εξίσωση: f( ) 9 Δίνεται η συνάρτηση: f()=, i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. iii. Να λύσετε την εξίσωση :f(y ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 10

11 10. Aν η συνάρτηση f : R R παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο 1 το 5και ισχύει f(α)+f(lnβ)=10 να βρείτε τα αεr και β>0. 3 η ΜΟΡΦΗ: f (...) f (...) f (...) f (...) 1 0ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την ή τις τιμές για την ή τις οποία-ες ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι f(α)>f(γ) και f(β)>f(δ) (αν f γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη, αποδεικνύοντας έτσι ότι η ή οι ρίζα-ες που βρήκαμε με παρατήρηση, είναι μοναδική-κες. Παράδειγμα Αν εr και f γνησίως φθίνουσα, να λύσετε την εξίσωση: f () f (5) f (3) f (1). Παρατηρώ ότι για =0 ισχύει η ισότητα. Αν <0 είναι: 3 και f άρα f(3)>f() f () f (5) f (3) f (1) 1<5 και f άρα f(1)>f(5) Aν >0 είναι: 3 και f άρα f(3)<f() f () f (5) f (3) f (1) 1>5 και f άρα f(1)<f(5) Επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η =0. Ασκήσεις 1. Αν >0 και f γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση: f () f ( ) f ( ) f ( ).. Αν εr και f γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f (3 ) f (e ) f ( ). 3. Δίνεται η συνάρτηση f()= +1) i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. ii. Να λύσετε την εξίσωση: f( )+f( )=f()+f(0) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 11

12 4. Δίνεται η συνάρτηση f()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία ii. Να λυθεί η εξίσωση: f( )+f( )=f( )+f( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση f()= +-1 i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και στη συνέχεια να βρεθούν οι ρίζες και το πρόσημο της f. ii. Να λύσετε την εξίσωση: f()=f( )+ 6. i. Να λυθεί η εξίσωση : =+1 ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει: συν>1- iii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο f( +f(συν)=f(1+)+f(1- ) στο [0,+. 7. i. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: α. ημ β. (1 να λυθεί η εξίσωση: ii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο να λυθεί η εξίσωση: f(ημ)+f( )=f(1 )+f( ) στο [0,+. 8. Έστω η συνάρτηση f: R R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε 0 και γνησίως αύξουσα για κάθε 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. f()+f(5)=f(3)+f(7) ii. f()+f( 5 )=f( 3 )+f( 10 ), >0 iii. f(e )+f(e 5 )= f(e 3 )+f(e 7 ) iv. f(ln)-f(ln)=f(7ln)-f(5ln), >0 3 v. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), >0 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία: είτε δίνεται ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

13 είτε την κατασκευάζουμε <<εμπειρικά>> μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της εξίσωσης είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση. Παράδειγμα1 Έστω f,g : R R με g()=f(+4)-f(+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. f(+4)=f(+1) αν g()=0 ii. f( +3+4)=f( +3+1)-3 αν f(4)=f(1)-3 iii. f( 4 +4)-f( +4)=f( 4 +1)-f( +1) i. Είναι f(+4)=f(+1) f(+4)-f(+1)=0 g()=0 g()=g() αρα = δηλαδή =1, αφού η g είναι γνησίως μονότονη. ii. Eίναι f( +3+4)=f( +3+1)-3 f( +3+4)-f( +3+1)=-3 g( +3)=g(0) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, +3 =0 δηλαδή =0 ή =-3. iii. Είναι f( 4 +4)-f( +4)=f( 4 +1)-f( +1) f( 4 +4)- f( 4 +1)= f( +4)- f( +1) g( 4 )=g( ) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, προκύπτει 4 = =0 ή =1 ή =-1. Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: 4 4 e e Είναι 4 4 e e e e 4 4 (1) Θεωρούμε την συνάρτηση f()=+e,με εr, η οποία εύκολα αποδεικνύουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα. Παρατηρώντας την (1) αυτή μετασχηματίζεται στην εξίσωση f ( ) f ( 4 ) (Α). Η τελευταία ορίζεται όταν: ( εr και ) και ( 4 εr και 4 0 ) επομένως όταν [,4]. Έτσι η (Α) δίνει 4 από την οποία προκύπτει ότι =1. Παράδειγμα 3 Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f()-f(y)=f(-y),,yεr με την συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη, να λυθεί η εξίσωση: f(3-)+f( -3)=f(-1)+f(3-4). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 13

14 Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3-)+f( -3)=f(-1)+f(3-4) f(3-)- f(-1)=f(3-4)- f( -3) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το 3- και y το -1 γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως f(3--+1)=f(-1), ενώ το δεύτερο μέλος θεωρήσουμε το 3-4 και y το -3 μετασχηματίζεται σε f( )=f( -1). Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την f(-1)= f( -1). Αφού η f είναι γνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση -1= -1 από την οποία παίρνουμε =0 ή =1. Ασκήσεις 1. Έστω f,g : R R με g()=f(+3)-f(+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. f(+3)=f(+1) αν g()=0 ii. f( +3+4)=f( +3+)-3 αν f(3)=f(1)-3 iii. f( 4 +3)-f( +3)=f( 4 +1)-f( +1). Έστω f,g : R R με g()=f(+)-f(-) και f γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: i. f ( 4) f ( 5) f (4 ) f( 3) ii. f (e ) f ( 1) f ( 3) f ( e ) iii.f(ln+)+f(-+1)=f(-ln)+f(+1) με >0 3. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα f: R R. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g()=f()- είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να βρεθούν οι τιμές του λεr, ώστε να ισχύει: f ( 3 ) f ( 6) Έστω f: μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η f ειναι γνησιως φθινουσα. Αν f()=f(3), να λύσετε τις εξισώσεις: i. f(+1)-f()=0 ii. f( +3)=f( +) iii. f( )+f( )=f( )+f( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση f()=(-) + -1 με >0 i. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή ii. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: g()=f(+)-f() με >0. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 14

15 iii. Να λύσετε την εξίσωση :f( +)+f( )=f( +)+f( ) iv. Να λύσετε την εξίσωση : f( +3)+f(+)=f( +1)+f(+4) 6. Δίνεται η συνάρτηση f()= ( +3) i. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα. ii. Να λύσετε την εξίσωση : f( +6)+f( +3)=f( +6)+f( +3). iii. Να λύσετε την εξίσωση : f( )-f(-)= 7. Αν f()= f () e 1, R, να αποδειχθεί ότι η είναι κυρτή και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση f 3 f f ( 3) f () όταν [0, ). 8. Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f(α)+f(β)=f(αβ) για κάθε α,β. Επίσης η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την τιμή f(1) ii. Να αποδείξετε ότι f(α)-f(β)=f( για κάθε α,β iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. iv. Να λύσετε την εξίσωση: f(+1)+f(+5)=f(+)+f(+3) 9. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 3 i ii. (συν ) ημ (ημ ) συν 1 3 iii. ln 3 1 iv. ln (1 ln ) ln 3 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η προφανής ρίζα της εξίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, ενδεχομένως και με χρήση διερεύνησης όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει την εξίσωση. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 15

16 Παραδείγματα 1 Αν f () e 1, R, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση f ( 3) f ( ) f ( 3) f () όταν [0, ) (ΘΕΜΑ Γ Πανελληνίων 016) Η παραπάνω άσκηση μπορεί να αντιμετωπιστεί και με την τεχνική της μορφοποίησης και τη χρήση βοηθητικής συνάρτησης. Ας δούμε μια εναλλακτική λύση, με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης τιμής. Προφανής λύση το μηδέν. Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρει 0 0 όπου να είναι λύση της εξίσωσης. Ισύει 0 0 (από τη γνωστή ανισότητα 0 0 με ισότητα μόνο για 0) καθώς επίσης 0 0 3και Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν τότε και επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα [ 0, 0 3], [ 0,0 3] άρα υπάρουν 1( 0, 0 3), ξε ( 0,0 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται: 3f ( 1) 3f ( ) απ οπου f ( 1) f ( ) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και1-1 κι έτσι παίρνουμε 1, πράγμα άτοπο αφού τα 1, ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Αν τότε Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: f f ( 0) f ( 0 ) f (0 3) f ( 0 3) Επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα[ 0, 0], [ 0 3, 0 3] άρα υπάρουν ξ1ε( 0, 0), ξε ( 0 3, 0 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται: (0 0 )f ( 1) (0 0 )f ( ) και αφού άρα f ( 1) f ( ) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και 1-1, κι έτσι παίρνουμε 1, πράγμα άτοπο αφού τα 1, ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 16

17 Aσκήσεις 1. Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R ισχύει: 3f ( h) f( h) hf () 4f() f () lim e. h0 h 3f ( h) f( h) hf () 4f() i. Nα δείξετε ότι: lim f () h0 h ii. Nα δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R. iii. Nα λυθεί η εξίσωση f(+1)-(-1)f (3)=f(+), εr.. Αν g μια γνησιως αυξουσα συναρτηση να λυσετε την εξισωση 3 3 g(1 ) g(1) g() g( ), >0 (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΟΕΦΕ 014) Ενδέχεται ο μετασχηματισμός της εξίσωσης, σε συνδυασμό με το Θεώρημα Μέσης τιμής, να μας δίνει ισοδύναμη, αλγεβρικά, επιλύσιμη εξίσωση Παράδειγμα Αν f(t)=t, t>0, να λύσετε την εξίσωση: f(3)+f(4)=f()+f(5) Έχουμε H συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα[,3] και [4,5]. Επομένως θα υπάρχουν κ,λ αντίστοιχα στο f ( ) f ( ) 0 από (,3) και (4,5) ώστε την οποία προκύπτει =0 ή Ασκήσεις 1.Δίνεται συνάρτηση f : (0, ) R εξισώσεις: i. f(3)+f(4)=f()+f(5) ii.f(6)+f(3)=f(4)+f(5) δηλαδή =1. με f()= α, >0. Nα λύσετε τις ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 17

18 4 η ΜΟΡΦΗ: f (...) f (...) f (...) Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την εξίσωση σε μορφή: f (g()) f (h()) της οποίας η g() h() επίλυση έχει λύση τα για τα οποία είναι: g(), άρα μας h() οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση εξίσωση. Παράδειγμα Aν για την συνάρτηση f : (0, ) R ισχύει f()-f(y)=f(+y),,yεr με την συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη, να λυθεί η εξίσωση: f(3-)=f(-1)+f(3-4). Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3-)=f(-1)+f(3-4) f(3-)- f(-1)=f(3-4) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το3- και y το -1 γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως f(3-+-1)=f(5-3), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την f(5-3)= f(3-4). Αφού η f είναι γνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση 5-3= από την οποία και προκύπτουν: 1,. 6 Ασκήσεις 1. Έστω η συνάρτηση f : που ικανοποιεί τη σχέση f()-f(y)=f(-y) για κάθε, y και η εξίσωση f()=0 που έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την f(0) ii. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. iii. Αν f()<0 για κάθε <0, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την ανίσωση f(e +1)+f(3-1)<f(e -).. Έστω η συνάρτηση f : ( 0,) για την οποία ισχύει f () f (y) f για κάθε, y>0 και η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 18 y

19 i. Να βρείτε το f(1). ii. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. iii. Να λύσετε την εξίσωση f( -)+f()=f(5-6). iv. Αν f()<0 για κάθε >1, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Nα λύσετε την ανίσωση f()+f( +3)>f( +1)+f(+1) 3. Έστω συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: f(+y)=f()+f(y) για κάθε, yεr. i. Να αποδείξετε ότι f(0)=0 ii. Nα δείξετε ότι η f είναι περιττή iii. Αν f()>0 για κάθε <0 να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. iv. Αν η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα, να λύσετε την εξίσωση: 3 3 f 1 e f 1 f ( 1) Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την εξίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3 η Μορφή. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f:(0, ) R, γνησίως φθίνουσα για την οποία f(1)=0. Να λύσετε την εξίσωση f () f ( ) f ( ) Η εξίσωση επαληθεύεται για =1 και παίρνει την μορφή f () f ( ) f ( ) +f(1). 1 και f άρα f()>f(1) Aν 0<<1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) < και f άρα f( )>f( ) 1 και f άρα f()<f(1) Αν >1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) > και f άρα f( )<f( ) Τελικά η =1 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης. Ασκήσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R, γνησίως αύξουσα για την οποία f(1)=0. Να λύσετε την εξίσωση f () f ( ) f ( ). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 19

20 Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου f()=α με α>1 η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους. Παραδείγματα Αν f(t)=t t>0, να λύσετε την εξίσωση: f(6)+f(8)=f(10). Η εξίσωση f(6)+f(8)=f(10) γράφεται ισοδύναμα 6 +8 =10 της οποίας η προφανής ρίζα είναι το. Διαιρώντας με το 10 η εξίσωση γράφεται στη 6 8 μορφή 1 0 g() 0 g() g() Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η g είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα η προφανής ρίζα της είναι και μοναδική. ( Θυμίζουμε ότι κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης η γραφική παράσταση τέμνει οποιαδήποτε ευθεία της μορφής y=α, άρα και την y=0, σε ένα το πολύ σημείο). Ασκήσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση f(t)=t, με t>0. Nα λυθεί η εξίσωση f(3)+f(4)=f(5). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 0

21 πο R καf ιγνησίωςμονότονημαθηματικα ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙ - AΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Οι τεχνικές τις οποίες ακολουθούμε για την επίλυσή τους, είναι ανάλογες με αυτές των εξισώσεων. Για να τονιστεί το προηγούμενο, τα περισσότερα από τα παραδείγματα είναι τα ίδια με αυτά των εξισώσεων, σε ανισοτική μορφή. Όλα τα παρακάτω προφανώς εφαρμόζονται ανάλογα και σε ανισώσεις αντίστροφης ανισοτικής φοράς. f( )+f(.)<α, αεr f( )<g( ) στο f Ag υκ1 η ΜΟΡΦΗ: f( )< k, f( g( ) )< k όεf( A) f( g( ) )< f( h( ) ) μεf : Α1 ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης την σχέση f () k ή f(g())>k όπου κεf(a) σε f( )>f(.), όπου το κ=f(0) με το 0εΑ, και <<απολοίφουμε>> τα f Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f με f()=e +-1. i. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Nα λύσετε την ανίσωση f()>e Λύση i. Για κάθε 1, R με 1 με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Είναι f () e f () f (1) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ότι η >1 Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f()= ln 1 i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii. Nα λυθεί η ανίσωση f()<0. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

22 iii. Nα λυθεί η ανίσωση f()<- 1 e iv. Για κάθε 0<<1 να δείξετε ότι ln 1 (i) Η f ορίζεται στο (0, ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με (0, ). για κάθε >0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (ii) Προφανώς f(1)=ln1-1+1=0. Για κάθε >0 είναι f()>0 >1 (iii) Προφανώς f(e)= lne- +1=- Για κάθε >0 είναι f()< - f()<f(e) <e f()>f(1) (iv) Προφανώς το τελευταίο ερώτημα, της παραπάνω άσκησης, δεν χρειάζεται απόδειξη γιατί είναι εφαρμογή στη σελίδα 66 του βιβλίου. Ας παρουσιάσουμε όμως και κάποιες εναλλακτικές προσεγγίσεις στην επίλυσή του. Για κάθε 0<<1 είναι <1 ln<ln1 ln<0 (1) Είναι <1 1->0 (). Από (1),() ln<0<1- ln<1- β τροπος: από (ii) θέτοντας όπου το 1 ) 0ς τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν ανισώσεις μορφής, f( )+f(.)>α, αεr σε μορφή f () k ή f(g())>k όπου κεf(a), άρα επιλύονται ανάλογα. Παράδειγμα 1 Αν f: R R με f()-f(y)=f( y), για κάθε,yεr i. Να βρείτε το f(0). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

23 ii. Nα λύσετε την ανίσωση f( -4)-f(-6)>0 >0, αν γνωρίζεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα i. H υπόθεση για =y=0 μας δίνει f(0)-f(0)=f(0) άρα f(0)=0. ii. H ανίσωση f( -4)-f(-6)>0 είναι ισοδύναμη με την f( 4 6)>0 (1), βάση της συναρτησιακής σχέσης της υπόθεσης, θέτοντας όπου το το -4 και y το -6. Άρα η (1) δίνει με τη βοήθεια και του i ερωτήματος, την ανίσωση f( 4 6)> f(0) από την οποία προκύπτει, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, η ισοδύναμη ανίσωση Η λύση της τελευταίας μας δίνει ε(0,4) (6,+ ) Παράδειγμα Αν f: R R μία περιττή συνάρτηση, να βρείτε εr για τα οποία ισχύει: f(ln)+f(-+1)>0, αν γνωρίζεται ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Έχουμε f(ln)+f(-+1)>0 f (ln) f( 1). (1) Γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό της περιττής είναι g(-)=-g() με, -εag. Επομένως η (1) μας δίνει ισοδύναμα f (ln) f(1) από την οποία f(ln)>f(-1) ln<-1 ln-+1<0. Aν είναι g()=ln-+1 με >0 η ισοδύναμη ανίσωση είναι g()<0 για την οποία γνωρίζουμε, ότι η g έχει μέγιστο το 0 για =1, άρα g()<0 σημαίνει 0<<1 ή >1. (Δες την αντίστοιχη εφαρμογή στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου) 3 0ς τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε f( )>g( ) στο f Ag να δίνει λύση με τη βοήθεια κάποιου 0. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο Παράδειγμα Δίνεται η f () 5 5 και η g()= 5 i. Να βρείτε τα ακρότατα των f και g. ii. Να λύσετε την ανίσωση f()<g() ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

24 i. Η f ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους και ισχύει f () 5 με το ίσον να ισχύει για =5 και =-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι το 5. Επίσης για την g για κάθε εr ισχύει g() 5 δηλαδή η ελάχιστη τιμή της g είναι το 5 για =0. ii. Eίναι f () 5 και g() 5. Αλλά επειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοισότητες, δεν επιτυγχάνεται για κοινή τιμή του (για την f ισχύει για =5 και =-5, ενώ για την g για =0) η αντίστοιχη ανίσωση ισχύει για κάθε τιμή του εαf Ag. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 1 Η ΑΝΙΣΩΣΗ f (g()) t() ή f (g()) t() 1 1 Σε επίλυση ανισώσεων μορφής f (g()) t() ή f (g()) t() (1) πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο 1 ορισμού της f og έστω Α καθώς της t έστω Β. Αν t() A εξετάζουμε αν η ανίσωση (1) έχει λύση ενώ αν t()εα <<φοράμε f>> στην (1), προσέχοντας τη μονοτονία, και λύνουμε τη νέα ανίσωση που δεν περιέχει την f -1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f()=+ln, >0. i. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 1 iii. Να λύσετε την ανίσωση f () i. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγίσιμων 1 συναρτήσεων, για κάθε >0 με f () 1 0 για κάθε >0. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

25 ii. Έχουμε f συνεχή, ως πράξη συνεχών για κάθε >0 και γνησίως αύξουσα. Επομένως είναι f(a)=limf (), lim f () (, ). 0 iii. Έχουμε Α=(0,) και f(a)= A 1 f =R. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1 1 Αν 0 τότε f () (0, ) επομένως f () 0, άρα η Ασκήσεις ανίσωση αληθεύει. 1 1 ανίσωση δίνει ισοδύναμα f () f f () f () Αν >0 τότε ln ln 0 1. Άρα τελικά 0<<1. Eπομένως η αρχική ανίσωση έχει τελικά λύση (,1) 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f : R R με f(0)=1 γνησίως αύξουσα και g : R R με g(1)=0 γνησίως φθίνουσα. Να δείξετε ότι: i. f ( 1) 1 ii. f ( y y) 1 για κάθε y 1 iii. g 1 0 για κάθε >0 και 1 iv. g για κάθε εr ln( 1) ln. Εστω f : R με Α=(0,+ ) και f()=. i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α ii. Για κάθε α,βεν * 1 1 με α<β να δείξετε ότι Έστω f : R R μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με f(0)=1. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i. f ( 3) 1 ii. f(f()-)>1 f () iii. f (e e) 1 iv. f(ln-)<1 v. f(3f()-)<f(f()-1) 4. Έστω f (). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5

26 i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθούν οι ανισώσεις: α. f()>1 β. f(-)<3 γ. f(f()-)<3 1 1 δ. ε. ( 3) 1 στ. 1 ( 6) 5. Aν f μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση να λυθούν: i. f ( ) f () ii. f(ln)>f(0) iii. f(f(3-))<f(f(+)) iv. f (e 1) f () 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=+ln(+) i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. 4 ii. Να λυθεί η f ( 1) f ( 1) 3 iii. Nα λυθεί η ln 3 7. Αν f()= ln e. i. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 3 ii. Να λυθεί η ανίσωση: ln( ) e ln( 3) e iii. Nα λυθεί η ανίσωση: 1 4 ln( 1) e f ( ) 8. Δίνεται η f : R με Α=(0, ) και f (). e f ( 1) i. Να δείξετε ότι η g() είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. f () ii. Να λύσετε την f ()f ( 1) f ( 1)f ( ), >0 4 4 iii. Nα λύσετε την ln f ( 1) ln f ( ) ln f ( 1) ln f ( ), 0 9. Έστω f (). Nα λύσετε την ανίσωση: f ( 1) f ( ) f ( ) f ( 3) 10. Δίνεται η f()=. i. Nα δείξετε τι η συνάρτηση g()=f(+1)-f() είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να λύσετε την ανίσωση f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( ) 11. Έστω f,g : R R για τις οποίες η f είναι γνησίως φθίνουσα και g()=f(-1)-f(1-). i. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης g. ii. Nα βρείτε τα διαστήματα όπου η Cg βρίσκεται πάνω από τον. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6

27 iii. Να λύσετε την ανίσωση: f ( 1) f (1 ) f ( 1) f (1 ). 1. Δίνεται η f (). i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g()=f(+1)-f() είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Να λύσετε την ανίσωση: f ( ) f( 3) f( 1) f ( 4) 13. Δίνεται η f () 3 3 και η h()=f(+1)-f(). i. Να δείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. 4 4 ii. Να λύσετε την f ( 1) f ( ) f ( 1) f ( ) iii. Να λύσετε την f ( 1) f ( ) f ( ) f ( 3) 14. Έστω f : R R μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Να λυθούν οι ανισώσεις: i. f ( ) f ( ) f ( ) f () ii. f ( 4) f ( ) f ( 3) f ( 1) iii. 1 f ( 1) f ( ) ln 15. Δίνεται η συνάρτηση f()=, με i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α. f( 1 β. γ Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R με τύπους f (), εr και 5 g() 1 5, εr i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για =5. ii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. iii. Να λύσετε την ανίσωση f () g() 17. Έστω f: R με Α=(0,+ ) και f()=ln+-1 i. Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 1 iii. Nα λύσετε την ανίσωση f () Έστω f : R R με f ( R)=R και f () f (), εr. i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

28 ii. Να βρείτε τα ώστε η γραφική παράσταση της f -1 να βρίσκεται κάτω από την y= η ΜΟΡΦΗ: f (....) f (....) f (...) f (....) 1 0ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την τιμή για την οποία ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι f(α)>f(γ) και f(β)>f(δ) (αν f γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη. Παραδείγματα Δίνεται η συνάρτηση f () 1 1 i. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια. ii. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. iii. Να δείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει f()+f(3)>f()+f(4) 3 4 iv. Να δείξετε για κάθε >0 ότι f (e ) f (e ) f (e ) f (e ) v. Να δείξετε ότι ότι για κάθε 0 ισχύει f()+f(-3)>f()+f(-4) (i) Η f ορίζεται στο διότι για κάθε. Για κάθε έχουμε ότι: - και f(-)= = f() Συνεπώς η f είναι άρτια. (ii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f () = άραf ()=0 f ()>0 <0 Συνεπώς f ()>0 για κάθε και f συνεχής στο 0=0 άρα η f γνησίως αύξουσα στο και όμοια ακριβώς η f γνησίως φθίνουσα στο [0,+ (iii) Για κάθε <0 έχουμε: <0 < f()<f() (1) <0 4<3 f(4)<f(3) () ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

29 Προσθέτοντας τις (1),() έχουμε: f()+f(4)<f()+f(3) (3) Για κάθε >0 έχουμε: >0 > f()<f() (4) >0 4>3 f(4)<f(3) (5) Προσθέτοντας τις (4),(5) έχουμε: f()+f(4)<f()+f(3) (6) Από (3),(6) f()+f(4)<f()+f(3). (iv) 1<3 <3 f( f( (7) <4 <4 f( f( (8) Προσθέτοντας τις (7),(8) έχουμε: f( f( f( + f( (v) Για κάθε <0 έχουμε: <0 > f()>f() (9) <0 3 < 4 f(-3)>f(-4) (10) Προσθέτοντας τις (9),(10) έχουμε: f()+f(-3)>f()+f(-4) και όμοια f()+f(-3)>f()+f(-4) Επομένως f()+f(-3)>f()+f(-4). Ασκήσεις 1. Δίνεται η f()= 1 ln i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. ii. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει: v v v v f (5 ) f (7 ) f (6 ) f (8 ) iii. Να δείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει f()+1>f(3)+f(e ). Δίνεται η συνάρτηση f()= 3 8 i. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 3 ii. Να δείξετε ότι για κάθε >1 ισχύει: f ( ) f ( ) f ( ) f () iii. Nα δείξετε ότι για κάθε <0 ισχύει: f (3 ) f (5 ) f( ) f(4 ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

30 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία είτε δίνεται είτε την κατασκευάζουμε <<εμπειρικά>> μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της ανίσωσης, είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση Παράδειγμα 1 Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : (0, ) R. Nα λυθεί η 1 1 ανίσωση: f ( 1) f () f f 1 Η ανίσωση ορίζεται όταν και >0 που ισχύουν για κάθε.επομένως για κάθε έχουμε: (1) Θεωρούμε την συνάρτηση με >0. Έστω 1, με 1<. Έχουμε: 1< f(1)>f() () 0<1< f( f( f( f( (3) Προσθέτοντας τις (),(3) έχουμε: f(1) f( f( Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο Η (1) Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f: η οποία είναι γνησίως μονότονη, περιττή στο με f(. Επίσης η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το 3 Α(1, -1).(Παράδειγμα μίας τέτοιας συνάρτησης είναι η f (), εr ) i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι ορίζεται η. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 30

31 ii. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο και η fof είναι γνησίως αύξουσα στο iii. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α. f(f(5+4))-f(f(3+))<0 β. f( γ. f(f( δ. για >0 (i) Η f είναι περιττή άρα για κάθε εr ισχύει -εr και f(-)= - f() (1) Επίσης το Α(1,-1)ανήκει στη γραφική παράσταση της f συνεπώς f(1)= -1. Η (1) για =1 δίνει f(0)= -f(0) f(0)=0 f(0)=0. H f είναι γνησίως μονότονη στο R άρα η f είτε είναι γνησίως αύξουσα στο είτε γνησίως φθίνουσα στο R. Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε: 0<1 f(0)<f(1) 0< -1 άτοπο. Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R είναι «1-1» οπότε ορίζεται η f -1 με D 1 f (R) R (ii) Ισχύει ότι f(f -1 (y))=y για κάθε yεr () Έστω y y f (f (y )) f (f (y )) f (y ) f (y ) f. Επομένως η f -1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f( R)=R Eίναι 1 f ( 1) f ( ) f (f ( 1)) f (f ( )) (fof)( 1) (fof)( ). Επομένως η fof είναι γνησίως αύξουσα στο R. (iii) (α) Για κάθε εr έχουμε: f(f(5+4))-f(f(3+))<0 f(f(5+4))<f(f(3+)) (fof)(5+4))<(fof)(3+)) 5+4<3+ < - <-1 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 31

32 (β) Για =1 η (1) δίνει f(-1)= - f(1)= -(-1)=1. Συνεπώς για κάθε εr έχουμε:f( f( e ) >f(-1) e 1 e 1 0 (3). Θεωρούμε την συνάρτηση g()= e 1, εr. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με g ()=-e - -1<0 για κάθε εr άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Προφανώς g(0)=0. Συνεπώς η (3) g()<0 g()<g(0) >0 (γ) Για κάθε έχουμε: 1 1 f (f (f ( ) 1) 1) 1 f (f (f ( ) 1) 1) f (1) 1 f (f ( 1) <-1 f (f ( ) 1) 0 f (f ( ) 1) f (0) 1 f ( ) 1 >0 f 1 ( ) 1 f 1 ( ) f 1 (1) 1 (δ) Για =1 η σχέση ισχύει ως ισότητα. Αν ε(0,1) τότε: <1 1 άρα και 1 άρα οπότε: f ( ) f ( ) (4) και f ( ) f ( ) (5) Προσθέτοντας τις (4),(5) προκύπτει ότι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Αν >1 τότε: >1 1 άρα f ( ) f ( ) (6) και f ( ) f ( ) (7) Προσθέτοντας τις (6),(7) προκύπτει ότι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Επομένως f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) για κάθε >1 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

33 Ασκήσεις 1. Έστω f,g : R R με g()=f(+3)-f(+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. f(+3)<f(+1) αν g()=0 ii. f( +3+4)>f( +3+)-3 αν f(3)=f(1)-3 iii. f( 4 +3)-f( +3)<f( 4 +1)-f( +1). Έστω f,g : R R με g()=f(+)-f(-) και f γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: i. f ( 4) f ( 5) f (4 ) f( 3) ii. f (e ) f ( 1) f ( 3) f ( e ) iii.f(ln+)+f(-+1)>f(-ln)+f(+1) με >0 3. Έστω f: μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν f()=f(3), να λύσετε τις εξισώσεις: i. f(+1)-f()>0 ii. f( +3)<f( +) iii. f( )+f( )<f( )+f( ) 4. Δίνεται η συνάρτηση f()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα. ii. Έστω η συνάρτηση g()=f(+3)-f(), α. Nα μελετηθεί η g ως προς την μονοτονία β. Να λύσετε την ανίσωση: f(3(+1))<f(3)+ + γ. Να λύσετε την ανίσωση f( )+f( )>f( )+f( ) δ. Να λύσετε την ανίσωση f( +f(+1)>f( )+f(+4) 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: για τις οποίες ισχύει: g()=f(-5)-f(4-) για κάθε. Επίσης η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. i. Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία ii. Να λύσετε την ανίσωση: g( )>0 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 33

34 iii. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει ότι : g( )+g( )>g( )+g( ) να αποδείξετε ότι α>0. 3 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η μορφοποίηση της αντίστοιχης ανίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει ή δικαιολογεί την ανίσωση. Παραδείγματα Δίνεται η συνάρτηση f, με f()=ln. i. Να προσδιορίσετε την μονοτονία της f και της f. ii. Να δείξετε ότι για κάθε >0 είναι f(3)+f(5)>f(7)+f(). 1 1 i. Είναι f () 0 (1) και f ()=- 0 (), άρα έχω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, για κάθε >0 και η f γνησίως φθίνουσα για >0. ii. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ Λόγω της ευκολίας της συνάρτησης, η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθει και με οσα εχουν διδαχθει στην Β Λυκείου. Η παρακάτω επίλυση επιδιώκει να τονίσει την ικανότητα λύσης με βάση την τεχνική που προαναφέρθει, κυρίως, σε θέματα τα οποία δεν αντιμετωπίζονται με εφαρμογή, άμεσων αλγεβρικών τεχνικών. H ανίσωση f(3)+f(5)>f(7)+f() γράφεται ισοδύναμα: f(3)-f()>(7)-f(5) (A). Είναι >0 και επομένως <3<5<7. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα [,3] και [5,7] η (Α) μετασχηματίζεται στην f ( 1) f ( ). Από το i γνωρίζουμε ότι η f ειναι γνησιως αρα η (Β) μας δίνει ξ1<ξ το οποίο ισχύει αφού < ξ1<3<5 <ξ <7. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 34

35 3 η ΜΟΡΦΗ: f (...) f (...) f (...) Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την ανίσωση σε μορφή: f (g()) f (h()) της οποίας η g() h() αν f1 επίλυση έχει λύση τα για τα οποία είναι: g() h() g() h() αν f g(), άρα μας οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση h() ανίσωση. Παράδειγμα 1 Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f()-f(y)=f(-y),,yεr με την συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα, να λυθεί η ανίσωση: f(3-)>f(-1)+f(3-4). Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3-)>f(-1)+f(3-4) f(3-)- f(-1)>f(3-4) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το3- και y το -1 γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως f(3--+1)>f(-1), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την f(-1)> f(3-4). Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, λύνουμε ισοδύναμα την ανίσωση -1> από την οποία ε, 6 6. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f : που ικανοποιεί τη σχέση f()-f(y)=f(-y) για κάθε, y και η εξίσωση f()=0 που έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την f(0) ii. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. iii. Αν f()<0 για κάθε <0, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 35

36 β. Να λύσετε την ανίσωση f(e +1)+f(3-1)<f(e -). (i) Για κάθε,y ισχύει: f()-f(y)=f(-y) (1) H (1) για =y=0 έχουμε: f(0) f(0)=f(0) f(0)=0. (ii) Επειδή f(0)=0 και η f()=0 έχει μοναδική ρίζα, τότε ότι η =0 μοναδική ρίζα της f()=0 () Έστω 1, εr με f ( 1) f ( ). Έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f( ) 0 άρα λόγω της παίρνουμε Επομένως η f είναι «1-1». (iii) (α) Έστω 1, εr με 1 Έχουμε: και επειδή f()<0 για κάθε <0 θα είναι: 1 f (1 ) 0 f ( 1) f ( ) 0 f ( 1) f ( ) Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. (β) Για κάθε έχουμε: f(e +1)+f(3-1)<f(e -) f(3-1)< f(e -)- f(e +1) f(3-1)<f(e -- e -1) f(3-1)<f(--1) 1 3-1< --1 4<0 <0 Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την ανίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3 η Μορφή. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f:(0, ) R, γνησίως φθίνουσα για την οποία f(1)=0. Να λύσετε την ανίσωση f () f ( ) f ( ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 36

37 Η ανίσωση επαληθεύεται για =1 και παίρνει την μορφή f () f ( ) f ( ) +f(1). 1 και f άρα f()>f(1) Aν 0<<1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) < και f άρα f( )>f( ) 1 και f άρα f()<f(1) Αν >1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) > και f άρα f( )<f( ) Τελικά τα >1 είναι λύση της ανίσωσης Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου f()=α με α>1 η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους. Παράδειγμα Αν f(t)=t, t>0, να λύσετε την ανίσωση: f(6)+f(8)>f(10). Η ανίσωση f(6)+f(8)>f(10) γράφεται ισοδύναμα 6 +8 >10 η οποία ισχύει σαν ισότητα για =. Διαιρώντας με το 10 η ανίσωση γράφεται στη μορφή g() 0 g() g() Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η g είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα παίρνουμε >. Ασκήσεις 1. Έστω η συνάρτηση f : ( 0,) για την οποία ισχύει f () f (y) f για κάθε, y>0 και η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα. v.να βρείτε το f(1). vi. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. vii. Να λύσετε την ανίσωση f( -)+f()>f(5-6). viii. Αν f()<0 για κάθε >1, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Nα λύσετε την ανίσωση f()+f( +3)>f( +1)+f(+1) y ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 37

38 . Έστω συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: f(+y)=f()+f(y) για κάθε, yεr. iii. Να αποδείξετε ότι f(0)=0 iv. Nα δείξετε ότι η f είναι περιττή v. Αν f()>0 για κάθε <0 να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. vi. Αν η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα, να λύσετε την ανίσωση: 3 3 f 1 e f 1 f ( 1) 3. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R, γνησίως αύξουσα για την οποία f(1)=0. Να λύσετε την εξίσωση f () f ( ) f ( ). 4. Δίνεται η συνάρτηση f(t)=t, με t>0. Nα λυθεί η εξίσωση f(3)+f(4)<f(5)...ευχαριστούμε θερμά το φίλο και συγγραφέα Στέλιο Μιχαήλογλου, ο οποίος με τις εύστοχες παρατηρήσεις, αλλά και τις διορθώσεις του, συντέλεσε στην ολοκλήρωση του παρόντος άρθρου. ΑΘΗΝΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 016 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 38

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις παράγουσες

Ασκήσεις στις παράγουσες Παράγουσες βασικών συναρτήσεων Ασκήσεις στις παράγουσες Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης f()= και μετά να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,)

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 0, x 0. x 1, x Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( x ) = x. 3. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf(x)= π

( ) 0, x 0. x 1, x Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( x ) = x. 3. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf(x)= π Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ I. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ χ. Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ= οι συναρτήσεις: i) f()= ( ),, = ii)f()= -συνχ ημχ +, ημχ, = iii) f()= χ-- χ+, χ -, = iv) f()= ηµ 9χ ηµ 5 χ, χ 4, =

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Α2. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 134 ΣΧΟΛΙΟ): Πχ. για την

Α2. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 134 ΣΧΟΛΙΟ): Πχ. για την ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο (έκδοση 8) σελ. 7 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

#Ευθύνη_Μαθηματικά ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 11 ΣΕΛΙΔΕΣ

#Ευθύνη_Μαθηματικά ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 11 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΤΕΚΑ (11) ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α A Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα