6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

Transcript

1 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 6 poglavlje (korigirao) PRIMJENA DERIVACIJA U ovom poglavlju: Tageta i ormala Stacioare točke ukcije Tablica mootoosti, ekstremi, koveksost i kokavost, ileksije L'Hospitalovo pravilo Taylorovi redovi Uglavom će as iteresirati primjea derivacija a kvalitativa svojstva ukcija y (), kao što su mootoost, ekstremi, koveksost i kokavost te točke ileksije Naravo, kod deiiraja derivacije već smo rekli da je derivacija ukcije y () u točki a koeicijet tagete a tu ukciju u točki ( a, ( a)), pa ćemo vježbati i raču proalažeja tagete i ormale za dau ukciju Nadalje, derivacija u okviru L Hospitalovog pravila može olakšati raču sa limesima, pogotovo kada imamo u ekoj složeoj ukciji ekoliko elemetarih ukcija različite vrste, poput trascedete i algebarske Na kraju, ajvažija primjea derivacija ogleda se u aproksimaciji složeih i trascedetih ukcija Taylorovim redovima 6 TANGENTA I NORMALA Poovimo li deiiciju derivacije sa početka prethodog poglavlja, lako dobivamo ormule za jedadžbu tatgete i ormale a dau ukciju y () u daoj točki a : tageta t y ( a) '( a)( a) ormala y ( a) ( a) '( a) Kako vidimo, koeicijet ormale je suprota i reciproča koeicijetu tagete, jer je ormala pravac kroz točku ( a, ( a)) koji je okomit a tagetu: t

2 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima proaći jedadžbe tageti i ormala daih ukcija u daim točkama 7 ( ), u ; () ; '( ) '() ; y () '()( ) y ( ) ( )( ); y () ( ) y ( ) ( ); '() Rješeje: tageta y, ormala 7 y 7 ( ) e +, u ; + () e ; e e '( ) '() ; y () '()( ) y ( ); y () ( ) y ( ); '() Rješeje: tageta y +, ormala y + 7 ( ) l( ), u ; () l( ) l 7 7; '( ) '() ; y () '()( ) y ( 7) ( ); y () ( ) y ( 7) ( ); '() Rješeje: tageta y, ormala y

3 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 7 Kolike odsječke a koordiatim osima odsijeca tageta krivulje jeoj točki za koju je? y povučea u Rješeje: () '( ) ( y () t O t O y ; / )' ( ) '()( ) / y +, y y +, / y ( ) + y + '() ; t y + ; ; y ; Duljie tražeih odsječaka su jedake i izose 75 Naći jedadžbu tageti povučeih a ukciju ukcija siječe koordiate osi ( ) u točkama gdje daa O y, y, y (); Oy y, y, y (); ( ) ( ) '( ) '(), '() ; ( ) ( ) y () y () '()( ) '()( ) y ( ); y ( ) Rješeje: prva tageta t y, druga tageta t y + ZADACI ZA VJEŽBU 76 Naći jedadžbu tagete a ukciju ( ) 5 + u točki 77 Naći jedadžbu tagete i ormale a ukciju ( ) + u točki gdje ukcija () siječe os O y

4 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI 78 Kolike odsječke a koordiatim osima odsijeca ormala ukcije ( ) + povučea u jeoj točki za koju je 79 Naći površiu trokuta kojeg čie koordiate osi O i ( ) e povučea u jeoj točki za koju je O y, te tageta ukcije 8 U kojoj točki ukcije ( ) treba postaviti jeu tagetu koja je paralela sa pravcem y +? RJEŠENJA 76 t y t y +, y + 78 duljie su / i / 79 P / e 8 6 STACIONARNE TOČKE FUNKCIJA Važu ulogu u tražeju ekstrema ukcija jede varijable igraju takozvae stacioare točke ukcije Jedostavo rečeo, stacioare točke su točke gdje se ukcija «odmara» Za preciziju deiiciju potreba am je pretpostavka da ukcija ima derivaciju u svakoj točki svoje domee Tada pod stacioarim točkama ukcije y () podrazumijevamo ultočke jee derivacije '( ), odoso vrijedi: a je stacioara točka od y ( ) '( a) Kao što ćemo vidjeti u sljedećoj točki, kao prvi korak u tražeju ekstrema dae ukcije bit će proalažeje stacioarih točaka RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima treba proaći sve stacioare točke daih ukcija

5 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) ( ) ; D( ) R; + '( ) 6( ), ; Rješeje: stacioare točke su, ( ) 5 6 7; D( ) R; + + '( ) 6( 5 6), ; Rješeje: stacioare točke su, 8 ( ) l ; D( ) (, ); + e / '( ) (l ) ; Rješeje: stacioare točke su / e 8 ( ) e ; D( ) R; e + '( ) ( ), ; Rješeje: stacioare točke su, 85 ( ) ; l D( ) (,) (, ); l + '( ) l e; Rješeje: stacioare točke su e

6 6 ZADACI ZA VJEŽBU Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI U sljedećim zadacima aći stacioare točke 5 86 ( ) + 87 ( ) ( ) l 89 ( ) + e 9 ( ) arc ctg + l RJEŠENJA 86 stacioare:, 87 stacioare:,, 88 stacioare: e 9 stacioare: 89 stacioare: / 6 TABLICA MONOTONOSTI EKSTREMI Ekstremi dae ukcije y () su jee točke miimuma i maksimuma Točka a je točka (lokalog) miimuma ukcije y () ako u okolii te točke ukcija poprima lokalo ajmaju vrijedost, odoso vrijedi: postoji δ > takav da je ( ) ( a) za sve ( a δ, a + δ ) Točka a je točka (lokalog) maksimuma ukcije y () ako u okolii te točke ukcija poprima lokalo ajveću vrijedost, odoso vrijedi: postoji δ > takav da je ( ) ( a) za sve ( a δ, a + δ ) Osovi razultat koji koristimo u tražeju ekstrema ukcije y () je slijedeći:

7 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 7 ako je točka a ekstrem od y ( ) '( a) To zači da točke ekstrema treba tražiti među stacioarim točkama Naravo, ije svaka stacioara točka ujedo i ekstrem Među stacioarim točkama eke ukcije, osim ekstrema, odoso točaka miimuma i maksimuma, alaze se i točke ileksije, o kojima će biti riječi u slijedećoj točki 6 Osim stacioarih točaka, koristit ćemo se i itervalima mootoosti, koje smo deiirali a početku poglavlja Umjesto da po deiiciji ispitujemo itervale a kojima ukcija pada i raste, što je doista teško, mi ćemo se koristiti predzakom derivacije dae ukcije, odoso: y () je rastuća a [ a, b] '( ) za svaki ( a, b), y () je padajuća a [ a, b] '( ) za svaki ( a, b) Tablicu, u kojoj ćemo promatrati predzak derivacije '( ) između stacioarih točaka ukcije y (), zovemo tablica mootoosti ukcije y () U tom smislu, prvo treba odrediti domeu ukcije, pa stacioare točke, a tek potom i tablicu mootoosti RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima aći tablicu mootoosti te odrediti ekstreme daih ukcija 9 ( ) e ; D( ) R, domea ema rubova; '( ) e ( ) je stacioara; Tablica mootoosti: ' + - Rješeje: je točka maksimuma Radi vizualizacije, je gra je:

8 8 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI l 9 ( ) ; D( ) (, ) domea ima jeda rub ; l '( ) e je stacioara; Tablica mootoosti: e ' + - Rješeje: e je točka maksimuma 9 ( ) l ; D( ) (, ) domea ima jeda rub ; + l e '( ) je stacioara; Tablica mootoosti: e ' - + Rješeje: e je točka miimuma

9 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 9 9 ( ) ( ) e ; D( ) (,) (, ) domea ima rub ; e '( ) je stacioara; Tablica mootoosti: ' Rješeje: je točka maksimuma Radi vizualizacije, je gra je: l + 95 ( ) arctg ; l D( ) (, e) ( e, ) domea ima dva ruba, e; '( ) ema stacioarih t; (l + ) Tablica mootoosti: Rješeje: ema ekstrema e ' - -

10 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI + 96 ( ) l ; + D ( ) (, ) (,) (, ) domea ima rubove,,, ; + '( ) je stacioara; ( + )( + ) Tablica mootoosti: / ' Rješeje: je točka miimuma Radi vizualizacije, je gra je: ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima aći ekstreme i tablicu mootoosti 97 ( ) + arcsi 98 ( ) + e + 99 ( ) arc tg + +

11 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) + ( ) l + ( ) e 5 ( ) arc tg + l RJEŠENJA 97 ekstremi: ma /, / ' ekstremi: ma, ' ekstremi: mi /, / ' - + ekstremi: ma, ' + -

12 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI ekstremi: ma, ' ekstremi:,, ma mi ' KONVEKSNOST I KONKAVNOST INFLEKSIJE Koveksost i kokavost ukcije y () a ekom itervalu [ a, b] smo deiirali a početku 5 poglavlja Međutim, ije lako po deiiciji ispitivati koveksost i kokavost složeih ukcija Zbog toga, a uz pretpostavku da ukcija y () ima prve i druge derivacije, koje su deiirae u svakoj točki jee domee, koristit ćemo slijedeći praktiča kriterij: y () je koveksa a [ a, b] ''( ) > za svaki ( a, b), y () je kokava a [ a, b] ''( ) < za svaki ( a, b) Točka a, gdje ukcija mijeja koveksost u kokavost i obrato, zove se točka ileksije ukcije y () Primijeimo li prethodi kriterij a koveksost i kokavost, slijedi da su točke ileksije ul-točke druge derivacije od y () Obrat e vrijedi Vidi zadatak dolje Kod ispitivaja itervala koveksosti i kokavosti, sličo kao i kod mootoosti, koristimo se odgovarajućom tablicom Međutim, kod ove tablice koveksosti i kokavosti promatramo mijejaje predzaka druge derivacije ''( ) između ul-točaka ''( ) U tom smislu, prvo treba odrediti domeu ukcije, pa ul-točke druge derivacije, pa tek potom tablicu (itervale) koveksosti i kokavosti RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima aći tablicu (itervale) koveksosti i kokavosti te odrediti točke ileksije daih ukcija

13 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) + + ( ) 8 ; D( ) R, domea ema rubova; + ''( ) ( ), ; Tablica koveksosti i kokavosti: - '' Rješeje: točke ileksije su i Radi vizualizacije, je gra je: ( ) ; + D( ) R, domea ema rubova; + 6 ''( ), ; ( + ) Tablica koveksosti i kokavosti: '' Rješeje: točke ileksije su i Radi vizualizacije, je gra je:

14 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI ( ) e ; D( ) R, domea ema rubova; ''( ) ( ) /, / ; e Tablica koveksosti i kokavosti: '' Rješeje: točke ileksije su i Radi vizualizacije, je gra je:

15 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 5 6 ( ) ; l D( ) (,) (, ), domea ima dva ruba, ; l e l ''( ) ; Tablica koveksosti i kokavosti: e '' Rješeje: točka ileksije je Radi vizualizacije, je gra je: e ( ) l ; D( ) (, ), domea ima rub ; l ''( ) ; Tablica koveksosti i kokavosti: Rješeje: točka ileksije je '' + -

16 6 ZADACI ZA VJEŽBU Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI U sljedećim zadacima aći točke ileksije i tablicu koveksosti i kokavosti 8 ( ) ( ) + 5 ( ) l ( ) e ( ) arctg l e ( ) RJEŠENJA 8 ileksije:,, '' ileksije:,,, '' ileksija:, '' + -

17 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 7 ileksije,, +, + '' ema ileksija, e '' - - ileksija: /, / '' L HOSPITALOVO PRAVILO U poglavlju smo detaljo izložili problematiku tražeja limesa u Međutim, ukoliko je točka a koača ili ako je složea ukcija od koje tražimo limes kompozicija razorodih ukcija (poput kvocijeta polioma i ekspoecijale ili sličo) tada je dobro u račuaju limesa koristiti L Hospitalovo pravilo: ( ) '( ) lim ( ili ) lim a g( ) a g'( ) Veoma je važo prije i poslije korišteja ovog jedostavog pravila srediti dau ukciju a ajmaji mogući izraz te izlučiti izva limesa sve ukcije koje estvaraju eodređee oblike ili Ukoliko se e budemo pridržavali ovog savjeta, u određeim zadacima, pri uzastopoj primjei ovog pravila, možemo ući u «slijepu ulicu» Vidi riješei primjer, dolje RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračuati limese daih ukcija koristeći L'Hospitalovo pravilo

18 8 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI l (l ) ' / lim lim lim lim ( )' e ( e )' e ( e )' e 5 lim lim lim lim lim ( )' ( )' e e e ( )' 6 lim ( ) lim lim ( )' e ( ) lim lim e e π π arctg ( arctg )' π 7 lim arctg ( ) lim lim ( )' lim lim + + th ( th )' 8 lim th ( ) lim lim ( )' ch ch sh lim lim lim l (l )' 9 lim l lim lim lim lim ( )' si (si )' cos lim lim lim lim cos ( )' tg tg (tg )' cos lim lim lim lim ( )' si cos cos lim lim lim si cos cos cos + si si si cos lim lim si + cos cos si tg cos cos lim lim lim lim lim( cos ) si cos cos cos

19 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 9 si cos si cos cos si lim lim lim cos lim tg tg tg si lim ( ) tg ZADACI ZA VJEŽBU l 5 lim e 6 lim 7 lim l 8 lim arctg l 9 lim( si ) si lim si cos lim ( + ) si cos lim sh si lim ch cos π cos lim si 5 lim

20 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI cos 6 lim ch tg si 7 lim th sh th 8 lim tg RJEŠENJA π π TAYLOR-OVI REDOVI I POLINOMI Jedo od ajmoćijih aalitičkih oruđa u ižejerstvu predstavljaju Taylorovi redovi Osova ideja je da se pozate e-algebarske ukcije prikažu u obliku beskoače sume Time se složee e-algebarske operacije mijejaju s jedostavim operacijama zbrajaja i poteciraja, koje se lako realiziraju a strojom ivou u račualu Naravo, beskoače se sume u Taylorovim redovima eće račuati, ego se zamjejuju pripadim koačim, takozvaim Taylorovim poliomima Pri tome, greška pri aproksimaciji beskoačih suma sa koačim sumama je daa i potpuo izračuljiva, te stoga i predvidiva Navedimo eke klasiče primjere Taylorovih redova: e si , za sve R ;!!! cos sh ch ( ) ( ) ( + )!! 5! 7! + + ()!!! 6! ( + )!! 5! 7! ()!!! 6! , za sve R ;, za sve R ;, za sve R ;, za sve R

21 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) U ormalom smislu (bez pitaja kovergecije), svaku ukciju y () koja ima derivacije svakog reda, možemo razviti u pripadi Taylorov red (red potecija) u okolii eke točke a, i to po sljedećoj ormuli: ( ) ( ) ( a) ( a)! ( a) + '( a )( a ) + ''( a ) ( a)! + Pri tome točku y () a biramo tako da je u joj lako izračuati sve derivacije ukcije U radu sa Taylorovim redovima i poliomima postoje četiri vrste problema: i) ormalo razviti ukciju u je Taylorov red; ii) aproksimirati ukciju jeim Taylorovim poliomom; iii) ocjea greške pri aproksimaciji ukcije jeim Taylorovim poliomom; iv) dokaz kovergecije Taylorovog reda Pokažimo da se iz gorje ormule, specijalo za a, lako mogu dobiti Taylorovi redovi za, a primjer, ukcije ( ) e i ( ) si Samo je potrebo derivirati ove ukcije beskoačo mogo puta, te u dobivee derivacije uvrstiti a 9 Neka je ( ) e i eka je a Slijedi raču: ( ) e () ; '( ) ( e )' e '() ; ( ) ( ) ''( ) ( '( ))' ( e )' e ''() ; ( ) e () Uvrštavajući sada ove podatke u gorju ormulu za Taylorov red, dobivamo Taylorov red ukcije ( ) e oko točke a, odoso: e !!! Neka je ( ) si i eka je a Slijedi raču: ( ) si () ; '( ) (si )' cos '() ; ''( ) ( '( ))' (cos )' si ''() ; '''( ) ( ''( ))' ( si )' cos '''() ; Kao što vidimo, svaka derivacija parog reda u a je jedaka uli, dok epare mijejaju () (+ ) predzak broju jeda Ovo se ormalo može zapisati ovako: (), () ( ) Uvrštavajući sada ove podatke u gorju ormulu za Taylorov red, dobivamo Taylorov red 5 7 ukcije ( ) si oko točke a, odoso: si + +! 5! 7! U kompjuteru se beskoača suma u Taylorovom redu e račua, ego samo ekoliko prvih člaova, odoso kao u sljedećim primjerima: 9 e ;!!

22 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI 5 si + +! 5! 5 5 Zašto su moguće ovakve aproskimacije, govori am sljedeći rezultat: Teorem (Taylorov teorem sredje vrijedosti) Zadae su točka a i ukcija y () koja ima eprekide derivacije prvog, drugog, i sve do m+ reda a ekom itervalu I oko točke a Tada za svaki iz tog itervala I postoji točka ξ ( a, ) takva da vrijedi: ( m+ ) ( ξ ) m+ ( ) Tm ( ) + ( a), ( m + )! gdje je T m () m-ti Taylorov poliom ukcije y () oko točke a : m '( a) ''( a) ( a) m T m ( ) ( a) + ( a) + ( a) + + ( a)!! m! To zači da gorje aproksimacije možemo apisati u obliku pripadih Taylorovih polioma izračuatih za dotiče ukcije oko točke a : 9 e T () ;!! 5 si T 5() +! 5! 5 Općeito, za ove trascedete ukcije možemo apisati jihove Taylorove poliome m-tog stupja oko točke a : e T ( ) m m !!!! m m m, za sve ; m+ m si Tm ( ) ( ) ( ), za sve ( + )!! 5! 7! (m + )! Kolika je točost ovakvih aproksimacija, govori am sljedeći rezultat, koji je direkta posljedica Teorema Teorem (ocjea greške) Zadae su točka a i ukcija y () koja ima eprekide derivacije prvog, drugog, i sve do m+ reda a ekom itervalu I oko točke a Tada za svaki iz tog itervala I vrijedi: ( m+ ) ma ( t) t I m+ ( ) Tm ( ) a ( m + )! Kao što vidimo, precizost aproksimacije eke ukcije y () sa pripadim Taylorovim poliomom T m () ovisi o poašaju maksimale vrijedosti derivacije m+-og reda dae ukcije Isto tako, zbog člaa /(m+)! aproksimacija bi trebala biti bolja ukoliko uzmemo za broj m veću vrijedost, što aravo ovisi o glatkoći ukcije y ()

23 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) Proađimo ocjeu greške pri aproksimaciji broja e sa ( T ) u okolii točke a, i to a itervalu I [,] Uvrštavajem daih podataka u ormulu za ocjeu greške pri aproksimaciji ukcije jeim Taylorovim poliomom (Teorem ) dobivamo da je: e () / ma ( e ) ( t) t [,] T ( )! ma ( e ) t [,] T ( )! t () mae t [,]! e / e 7 t 7 Na kraju još trebamo riješiti pitaje kada Taylorov red eke ukcije kovergira Zamo da, kada uvrstimo kokretu vrijedost za varijablu u Taylorov red, dobivamo jeda kokreta red realih brojeva, pa je smisleo pitaje za koje je sve dai red kovergeta Odgovor je direkta posljedica Teorema Teorem (kovergecija Taylorov reda) Zadae su točka a i ukcija y () koja ima eprekide derivacije svakog reda a ekom itervalu I oko točke a, te eka je točka ξ ( a, ) proizvolja Ako : ( m+ ) ( ξ ) m+ lim ( a), za sve I i ξ ( a, ), m ( m + )! tada Taylorov red ukcije y () oko točke a kovergira za sve I Pri tome, u svakom I pripada suma poprima vrijedost () odoso vrijedi: ( ) ( a) ( a)! ( ) Pokažimo da je Taylorov red ukcije y oko točke a kovergeta za bilo koju vrijedost realog broja (,) Račuamo: e ( m+ ) ( m+ ) ( m+ m+ m+ ( ξ ) ( a) ( m + )! ( e ) ( ξ ) ( ) ( m + )! ( m+ ) ( ξ ) lim ( a) m ( m + )! m+ e ( m + )!, za sve (,) m To zači da su ispujei uvjeti Teorema pa je Taylorov red kovergeta Naravo kovergeciju smo mogli pokazati i bez upotrebe Teorema, odoso direktom ( ) () primjeom D Alembertovog kriterija uzimajući da je opći čla a :!! a a + + ( + )!! ( + ) a lim a + lim L < + Budući da je L< za sve reale, dokazali smo da Taylorov red ukcije sve, što je bolji rezultat od prethodog y e kovergira za

24 Merva Pašić: Mata dodatak predavajima za grupe GHI Pokažimo da je Taylorov red ukcije y si oko točke a kovergeta za bilo koju vrijedost realog broja (,) Račuamo: ( m+ ) ( m+ ) ( m+ m+ m+ ( ξ ) ( a) ( m + )! (cos ) ( ξ ) ( ) ( m + )! ( m+ ) ( ξ ) lim ( a) m ( m + )! m+ ( m + )!, za sve (,) m Naravo, pomoću D Alembertovog kriterija smo mogli dobiti potpuiji zaključak, odoso kovergeciju Taylorovog reda za sius ukciju za sve reale brojeve: a a + + (+ )! ( )! ( + ) a lim a + lim L < ( + ) ZADACI ZA VJEŽBU Pokaži da za Taylorov red ukcije y l( +) oko točke a vrijedi ormula: l( + ) ( ) , za sve < 5 Pokaži da za Taylorov red ukcije y arc tg oko točke a vrijedi ormula: arc tg ( ) , za sve 6 Dokazati kovergeciju Taylorovog reda ukcije y l( +) oko točke a : i) koristeći D Alembertov kriterij; ii) koristeći Teorem 7 Odrediti treći Taylorov poliom T ( ) oko a za ukciju 6 y si 8 Odrediti Taylorov poliom T ( ) oko a za ukciju y cos 9 Izračuati ocjeu greške za aproksimaciju cos T () 5 Dokazati kovergeciju Taylorovog reda ukcije i) koristeći D Alembertov kriterij; ii) koristeći Teorem y arc tg oko točke a : 5 Razviti u Taylorov red oko a ukciju y e

25 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 5 5 Izračuati ocjeu greške za aproksimaciju arc tg T ( ) 5 Pokaži da za Taylorov red ukcije y l( ) oko točke a vrijedi ormula: l( ) + +, za sve <