Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014"

Transcript

1 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014

2 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih Pojam funkcije više promjenljivih Osnovni elementi preslikavanja Grafičko predstavljanje funkcija Granična vrijednost funkcije n varijabli Pojam granične vrijednosti Simultana i uzastopna granična vrijednost Neprekidnost funkcije n varijabli Diferencijabilnost funkcije n varijabli 8.1 Izvod u pravcu Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Gradijent Diferencijabilnost funkcija više promjenljivih Pravila diferenciranja Izvodi višeg reda, Hesseova matrica Diferencijali višeg reda Ekstremumi funkcija više promjenljivih Nalaženje lokalnog ekstrema Nalaženje globalnog ekstrema Uslovni ekstrem i

3 Poglavlje 1 Funkcije više promjenljivih 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih Osnovni elementi preslikavanja Grafičko predstavljanje funkcija Granična vrijednost funkcije n varijabli Pojam granične vrijednosti Simultana i uzastopna granična vrijednost Neprekidnost funkcije n varijabli Notacija y = f(x), gdje je f : R R, služila nam je za iskazati da je varijabla y zavisna od jedne varijable x, tojest reći da je y funkcija od x. Domen ovakve funkcije f bio je skup realnih brojeva (ili neki njegov podskup). Mnoge veličine mogu se posmatrati u zavisnosti o više varijabli, te su onda one funkcije više varijabli. Naprimjer, zapremina kružnog cilindra je veličina ovisna o poluprečniku osnove cilindra (r) i njegove visine (H), tj. V = πr H, pa kažemo da je V funkcija dvije varijable r i H. Izaberemo li notaciju za ovu funkciju sa f, tada je V = f(r,h), te imamo da je f(r,h) = πr H,( r > 0, H > 0 ). Pri tome su ograničenja na poluprečnik osnove (r > 0) i visinu (H > 0) prirodni uslovi jer te veličine ne mogu biti negativne, a ni nule jer takav cilindar onda ne postoji. Svaka dva tijela u univerzumu djeluju jedno na drugo silom, direktno proporcionalno njihovim masama i obrnuto proporcionalno kvadratu njihovog rastojanja (Newtonov zakon univerzalne gravitacije). Dakle, intenzitet gravitacionog privlačenja (F) izmedu tijela mase m 1 i tijela mase m, koja se nalaze na rastojanju r, je funkcija tri varijable, F = F(m 1,m,r) = Gm 1m r, m 1,m,r > 0, gdje je G univerzalna gravitaciona konstanta. 1

4 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih Neka su S X R n i S Y R m proizvoljni skupovi. Definicija Ako svakoj tački X S X po nekom zakonu ili pravilu f dodijelimo tačno jednu tačku Y S Y, kažemo da je sa f definisano preslikavanje ili funkcija sa S X u S Y. S obzirom na domen (S X ) i kodomen (S Y ) ovako definisanog preslikavanja, uobičajeno se za ovakvo preslikavanje kaže da je vektorska funkcija (izlazni rezultat je vektor u R m ) vektorske promjenljive (ulazna veličina je vektor iz R n ). Definicija 1.1. Pod realnom funkcijom n realnih promjenljivih podrazumijevamo svako preslikavanje f : D f R, gdje je D f R n. Pri tome za proizvoljno X(x 1,x,...,x n ) D f pišemo f(x 1,x,...,x n ) = y ili f(x) = y. U kontekstu komentara iza prve definicije, za ovakvo preslikavanje kažemo da je realna funkcija (izlazni rezultat funkcije je realan broj) vektorske promjenljive (ulazna veličina je vektor iz R n ). Kako uredena n-torka označava tačku u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru, to ćemo često funkciju f zvati funkcija tačke. Funkcija koja svakoj tački trodimenzionalnog prostora dodjeljuje temperaturu u toj tački, primjer je takve funkcije, ili funkcija koja prikazuje bruto nacionalni dohodak neke države. U prvom slučaju domen funkcije je trodimenzionalan, dok je u drugom slučaju, zbog kompleksnosti pojma bruto nacionalni dohodak, mnogo većih dimenzija (npr. stotinu). Bez obzira što ćemo mi govoriti o proizvoljnom n-dimenzionalnom prostoru, naši primjeri će najčešće biti u dvije ili tri dimenzije Osnovni elementi preslikavanja U izrazu f : D f R, skup D f nazivamo domenom funkcije f i kao i kod funkcije jedne varijable, podrazumijevamo da je to najširi skup tačaka X(x 1,x,...,x n ) R n za koje izraz f(x 1,x,...x n ) ima smisla, tojest da je to neki realan broj. Realne brojeve x 1,x,...,x n nazivamo nezavisne varijabe,

5 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih argumenti ili promjenljive funkcije f. Za funkciju f : R R, zadatu sa z = f(x,y), kažemo da je funkcija dviju nezavisnih varijabli x i y, pri čemu je z zavisna varijabla. Za funkciju g : R 3 R, gdje je w = g(x,y,z), w je zavisna varijabla, a x, y, z su nezavisne varijable funkcije tri promjenljive. Domen funkcije n varijabli je proizvoljan podskup prostora R n. On može biti otvoren ili zatvoren skup i u principu se sastoji od unutrašnjih i rubnih tačaka. unutrašnja tačka (x,y) D D (x,y) rubna tačka (a) Slika 1.1: Unutrašnja i rubna tačka oblasti u ravni. Unutrašnja tačka je obavezno tačka skupa D, dok to za rubnu tačku nije slučaj. (b) Tačka X je unutrašnja tačka skupa D ako oko nje možemo opisati kuglu koja komletno leži unutar skupa D (B(X,r) D). Ako se skup D sastoji samo od unutrašnjih tačaka, onda je on otvoren skup. Tačka X je rubna tačka skupa D (X D) ako svaka kugla opisana oko nje sadrži i tačke van tog skupa. Rubne tačke nisu obavezno elementi skupa. Ako skup D sadrži sve svoje rubne tačke, onda je on zatvoren skup (a) Otvorena jedinična kugla, {(x,y) x +y < 1} (b) Rub jedinične kugle, {(x,y) x + y = 1} (kružnica) (c) Zatvorena jedinična kugla, {(x,y) x +y 1} Slika 1.: Unutrašnje i rubne tačke jedinične kugle u ravni. Slično intervalima na realnoj pravoj koji mogu biti otvoreni((a, b)), zatvoreni([a,b])iliniotvoreninizatvoreni((a,b]ili[a,b)),ioblastuvišedimenzionalnom prostoru ne mora biti ni zatvorena ni otvorena. Na slici 1. je prikazana 3

6 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih situacija da ako otvorenoj kugli (a) dodamo sve tačke ruba (b), dobijamo zatvorenu kuglu (c). Naravno, ako otvorenom skupu dodamo samo neke tačke ruba (ne sve), takav skup ne bi bio ni otvoren ni zatvoren. Dio prostora je ograničen ako leži unutar neke kugle fiksnog radijusa, u suprotnom kažemo da je on neograničen. Dakle, skup A R n je ograničen ako postoji kugla B(X,r) (X R n, r > 0), takva da je A B(X,r). Primjeri ograničenih skupova u R i R 3 su: segment, trougao, pravougaonik, unutrašnjost kruga, elipsoid i sl. Neograničeni skupovi su npr. prava linija, kvadranti, poluravni, oktanti i sl. Primjer 1.1. unutrašnjost domena Za funkciju f : D f R, f(x,y) = 1 x y, D f rub domena Primjer 1.. unutrašnjost domena x i y su nezavisne varijable, a domen je D f = {(x,y) R x + y 1}. Domen je ograničen i zatvoren skup. Za funkciju f : D f R, D f rub domena f(x,y) = log(y x ), x i y su nezavisne varijable, a domen je D f = {(x,y) R y > x }. Domen je neograničen skup i u ovom primjeru on se sastoji samo od unutrašnjih tačaka. Kodomen funkcija više varijabli je dio realne prave i naravno diktiran je samom funkcijom. Funkcija Domen Kodomen f(x,y) = x+y R R 1 f(x,y) = R (0,1) x +y +1 z = y x y x [0,+ ) z = log(1 x y ) x +y < 1 (,+ ) z = 1 xy xy 0 (,0) (0,+ ) w = z x +y x +y 0 [0,+ ) 4

7 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih 1.1. Grafičko predstavljanje funkcija U grafičkom predstavljanju funkcija više varijabli uobičajena su dva načina, pomoću nivo linija i pomoću grafa. Definicija Za datu funkciju f : R n R i realan broj c, skup L = {(x 1,x,...,x n ) R n f(x 1,x,...,x n ) = c} nazivamonivoskupfunkcijef zanivoc. Zan =,Lnazivamonivokriva funkcije f, a za n = 3, kažemo da je L nivo površ funkcije f. Crtanje koje prikazuje nivo skupove za različite nivoe nazivamo konturno crtanje funkcije. z z Konturna linija z = c z y x Nivo linija (a) Presjek sa ravni z = c y x (b) Pogled sa z-ose x (c) Nekoliko presjeka y Slika 1.3: Konturna linija grafa i njoj odgovarajuća nivo linija. Naprimjer, kod funkcije dvije promjenljive z = f(x, y), držeći z fiksnim, tj. stavljajući f(x, y) = c, geometrijski to tumačimo kao presjecanje površi f(x,y) sa ravni z = c (Slika 1.3 (a)). U presjeku (crvena linija) dobijamo sve tačke površi f(x, y) čija je vrijednost (vrijednost zavisne promjenljive z) jednaka c i datu liniju nazivamo konturna linija (kriva). Projektovanjem konturne linije u xoy ravan dobijamo liniju koju nazivamo nivo linija (kriva). Ovo možemo zamisliti kao da figuru na slici (1.3) gledamo iz neke daleke tačke na z-osi, što vidimo na slici (1.3.(b)). Radeći ovaj postupak za razne c, dobijamo konturnu sliku grafa. Primjer 1.3. Neka je f : R R, zadata sa f(x,y) = 4 x y. Za zadato c R, skup tačaka koje zadovoljavaju jednakost 4 x y = c predstavlja nivo skup funkcije f. Jasno, ako je c > 4, taj skup je prazan 5

8 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih jer bi u tom slučaju imali da je x y > 0, što očigledno nije moguće niti za jedno (x,y) R ; za c = 4 on se sastoji samo od jedne tačke, (0,0) (rješenje jednačine x y = 0 je samo jedna tačka (x,y) = (0,0)); za c < 4 taj skup je elipsa sa centrom u koordinatnom početku, tj. za svako c < 4 nivo linija je predstavljena elipsom, što je prikazanao na donjoj slici (slika 1.4 desno) za nekoliko različitih nivoa (izborom vrijednosti konstante c =, c = 1, c = 0 i c = 1). y c = c = 1 c = 0 c = 1 z x (a) Pogled sa z-ose (b) Nivo linije funkcije f(x,y) = 4 x y. Slika 1.4: Formiranje konturne slike. Primjer 1.4. Neka je f : R R, zadata sa f(x,y) = sin x +y x +y. Za proizvoljnu tačku (x,y) na centralnoj kružnici x +y = r, poluprečnika r > 0, funkcija f(x,y) ima konstantnu vrijednost sinr, pa će nivo linije ove r funkcije, kao što je prikazano na slici (1.5 (a)), biti koncentrični krugovi sa centrom u koordinatnom početku Slika 1.5: Nivo linije površi f(x,y) = sin x +y x +y. 6

9 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih Primjer nivo linija imamo u kartografiji. Naime, kada na karti, koja je dvodimenzionalni prikaz trodimenzionalnog terena, želimo prikazati planinu, onda to upravo činimo prikazom punom linijom onih tačaka te planine koje su na istoj nadmorskoj visini. To je prikazano na slici 1.6, gdje se uvećanje nivo linija (nadmorske visine) dobija uvećanjem nadmorske visine za 100 metara. Ovim načinom takode predstavljamo izobare (područja sa istim pritiskom), izoterme (područja sa istom temperaturom) i sl Slika 1.6: Prikazivanje nadmorskih visina pomoću nivo linija. Primjer 1.5. Posmatrajmo funkciju f : R 3 R, zadatu sa f(x,y,z) = x +y +3z. Jedna nivo površ ove funkcije zadata je jednačinom x +y +3z = 1, što predstavlja jednačinu elipsoida. Primjetimo da ako u gornjoj jednačini fiksiramo z = z 0, dobijamo jednačinu x +y = 1 3z0, a to su elipse u xoy ravni, što opravdava činjenicu da su nivo površi funkcije f elipsoidi (slično smo mogli fiksirati i varijable x i y i dobiti da su projekcije u yoz ravan i u xoz ravan takode elipse). Generalno, nivo površi date funkcije su elipsoidi x +y +3z = c, gdje je c R proizvoljna konstanta. z x y Slika 1.7: Nivo površi funkcije f(x,y,z) = x +y +3z (elipsoidi). Narednim slikama su prikazane neke površi (funkcije dvije varijable) zajedno sa svojim konturnim grafovima. 7

10 1.1. Pojam funkcije vis e promjenljivih (a) -5 (b) Slika 1.8: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f (x, y) = x y x + y (a) (b) Slika 1.9: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f (x, y) = xy x3 + y (a) (b) Slika 1.10: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f (x, y) = sin x + cos y Kod prouc avanja funkcije jedne promjenljive, y = f (x), svakom smo paru (x, y) pridruz ivali jednu tac ku M(x, y) u realnoj ravni. Skup svih takvih tac aka M, c inio je grafik funkcije f i on je bio predstavljen kao kriva linija u ravni. U sluc aju kada posmatramo funkciju dvije promjenljive z = f (x, y), grafik funkcije c e biti izraz en tac kama M(x, y, z), dakle u trodimenzionalnom prostoru. Pri tome vrijedi 8

11 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih 1 Svaka tačka grafika, M(x,y,z), ima apscisu (po x-osi) i ordinatu (po y-osi) koje predstavljaju koordinate neke tačke X(x, y) iz domena funkcije, i aplikatu (po z-osi) koja je jednaka vrijednosti funkcije u tački X(x,y). Svaka tačka M(x,y,z) prostora za koju tačka X(x,y) pripada domenu funkcije, a aplikata z je jednaka vrijednosti funkcije u tački X, pripada grafiku funkcije. aplikata z M apscisa ordinata y X x Na osnovu rečenog zaključujemo da je grafik funkcije slika njene oblasti definisanosti. Ako je z = f(x,y) definisana u oblasti D R, njen grafik predstavlja površ u prostoru R 3, čija je projekcija na xy-ravan oblast D. Definicija Neka je f : D f R, D f R n. Skup G = { (x 1,x,...,x n,x n+1 ) R n+1 x n+1 = f(x 1,x,...,x n ) }, nazivamo graf funkcije f. Primjetimo da je graf G funkcije f : R n R u prostoru R n+1, pa kao posljedicu toga imamo da smo u mogućnosti geometrijski predstavljati samo slučajeve kada je n = 1 i tada imamo krivu koja predstavlja funkciju jedne varijable, i kada je n = u kom slučaju je graf površ u trodimenzionalnom prostoru. Šta bi bila geometrijska interpretacija grafika funkcije 3 i više promjenljivih za sada nam je nemoguće reći, s obzirom da nemamo način da prikažemo uredene četvorke, petorke itd. Primjer 1.6. Graf funkcije f(x,y) = x + y, f : R R, prestavlja skup uredenih trojki (x,y,z) R 3, koje zadovoljavaju jednakost z = x +y. Da 9

12 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih bi smo predstavili graf ove funkcije u R 3, koristimo ideju da predstavljamo dijelove tog grafa koji leže iznad mreže linija paralelnih osama u xy-ravni. Npr., za jedno fiksirano x = x 0, skup tačaka koje zadovoljavaju jednačinu z = x 0 +y, predstavlja parabolu koja leži iznad linije x = x 0 u xy-ravni. Na isti način, ako fiksiramo y = y 0, skup tačaka koje zadovoljavaju jednačinu z = x +y 0, je parabola koja leži iznad linije y = y 0. Ako istovremeno nacrtamo više tih parabola za razne x = x 0 i y = y 0, dobijamo mrežnu predstavu te površi (grafa) i u ovom slučaju ta površ je paraboloid (Slika 1.11). z x x 0 y 0 y Slika 1.11: Paraboloid; Graf funkcije z = x +y. Primjer 1.7. Mada se za grafove mnogih funkcija možemo poslužiti idejom mreže, izloženom u gornjem primjeru, za većinu funkcija dobra slika njihovih grafova zahtjeva upotrebu računarske grafike ili eventualno mnogo umjetničke vještine. Tako naprimjer, za predstavljanje grafa funkcije f(x,y) = sin x +y x +y, možemo se poslužiti konturnim crtanjem i zaključiti da graf funkcije osciluje ukoliko se pomjeramo od koordinatnog početka u bilo kom pravcu, tačnije da nivo krugovi iz konturnog crtanja rastu i opadaju sa oscilacijom sinr, gdje je r r = x +y. Ekvivalentno, dijelovi grafa funkcije f iznad proizvoljne linije u xy-ravni koja prolazi kroz koordinatni početak, predstavljeni su funkcijom z = sinr r. 10

13 1.1. Pojam funkcije više promjenljivih Ovo zaista jeste dobra ideja za predstavljanje grafa funkcije f, ali iskreno govoreći mnogi ne bi bili u stanju produkovati sliku tog grafa koja je prikazana na slici (1.1). Primjetimo takode da naša funkcija nije definisana u tački (0,0) ali da ona teži ka vrijednosti 1, kada tačka (x,y) teži ka (0,0), što je opravdano činjenicom sinr lim = 1. r 0 r z x y Slika 1.1: Graf funkcije f(x,y) = sin x +y x +y. Ovdjetreba otklonitiinedoumicu oko funkcija oblika z = sinx(slika 1.13 lijevo) ili z = y (Slika 1.13 desno). Naime, u oba slučaja podrazumijevamo da je z = z(x,y) pa grafici predstavljaju površi u prostoru, a nepojavljivanje neke od varijabli znači njenu proizvoljnost u definisanosti funkcije. z z x y x y Slika 1.13: (lijevo) z = sinx, (desno) z = y. Primjeri još nekih funkcija dvije varijable: 11

14 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli z z y y x x f(x,y) = (4 x y )e (x +y ) f(x,y) = 10 ( x 3 +xy 4 x 5) e (x +y ) +e ((x 1.5) +y ) 1. Granična vrijednost funkcije n varijabli 1..1 Pojam granične vrijednosti Neka je data funkcija y = f(x 1,x,...,x n ) i A(a 1,a,...,a n ) R n. Sa U A označimo proizvoljnu okolinu tačke A i neka je L R i U L okolina tačke L. Definicija 1..1 Funkcija n nezavisnih projenljivih, f(x 1,x,...,x n ) = f(x), ima u tački A(a 1,a,...,a n ) graničnu vrijednost jednaku L, ako vrijedi, 1 tačka A je tačka nagomilavanja domena funkcije f, zaproizvoljnuokolinuu L, postojiokolinau A, takodasevrijednost funkcije f(x) nalazi u okolini U L za svaku tačku X A koja se nalazi u U A. Činjenicu da funkcija f ima u tački A graničnu vrijednost jednaku L, simbolički zapisujemo sa lim f(x) = lim f(x) = lim f(x 1,x,...,x n ) = L. X A (x 1,...,x n) (a 1,..,a n) x 1 a 1,...,x n a n Posmatrani limes nazivamo simultani limes, a odgovarajuću graničnu vrijednost nazivamo simultana granična vrijednost. Istaknimo da za postojanje granične vrijednosti, sama tačka A ne mora pripadati domenu funkcije f, što ističemo prvim zahtjevom u gornjoj definiciji. Ako se za okoline U A koriste sferne okoline, onda gornju definiciju možemo iskazati na sljedeći način. 1

15 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Definicija 1.. Funkcijaf utačkia R n imagraničnuvrijednostjednakulakovrijedi, 1 tačka A je tačka nagomilavanja domena funkcije f, za proizvoljno ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, takav da za sve X ( n )1 za koje je 0 < d(x,a) < δ (x i a i ) < δ, vrijedi f(x) L < ε. i=1 Ukoliko koristimo kubne okoline, Definicija 1..1 izgleda ovako. Definicija 1..3 Funkcijaf utačkia R n imagraničnuvrijednostjednakulakovrijedi, 1 tačka A je tačka nagomilavanja domena funkcije f, za proizvoljno ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, takav da za sve X za koje je 0 < d(x,a) < δ 0 < x i a i < δ, i = 1,,...,n, vrijedi f(x) L < ε. Posmatrajmo neke slučajeve graničnog procesa za funkciju dvije promjenljive. Primjer 1.8. Naprimjer, slučaj lim (x,y) (a,b) f(x,y) = lim x a y b f(x,y) = L, (1..1) tumačimo na sljedeći način: Ako fiksiramo ε > 0, onda postoji δ = δ(ε) > 0 tako da važi f(x,y) L < ε, kad god su x i y takvi da važi x a < δ i y b < δ (kubna okolina), ili (x a) +(y b) < δ (sferna okolina). Pri tome je okolina tačke A(a,b), u zavisnosti od metrike data na slici, Sada nam granični proces (1..1) govori da je slika svakog X iz odgovarajuće okoline tačke A, u nekoj okolini broja L na z-osi. 13

16 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli z b+δ b X A f ( ) L f b+δ b X A b δ a δ a a+δ b δ a δ a a+δ (a) Kugla sa metrikom d (b) Kugla sa metrikom d Primjer 1.9. Granični proces lim x + y b f(x,y) = L, tumačimo na sljedeći način: Za proizvoljno ε > 0, postoje δ = δ(ε) > 0 i M(ε) > 0 takvi da važi f(x,y) L < ε, kad god su x i y takvi da je x > M i y b < δ. Pri tome je okolina tačke A beskonačni pravougaoni pojas prikazan na slici z b+δ b b δ M X f ( ) L Kao i u prethodnom primjeru, za svako X iz pravougaonog pojasa (formalno okolina tačke A(x,b)), vrijednost f(x) će ležati u okolini broja L na z-osi. Sljedeće osobine graničnih vrijednosti funkcija više varijabli, analogon su i iskazom i dokazom odgovarajućih tvrdnji za funkcije jedne varijable. Teorem 1..1 Neka su f,g : R n R i neka postoje lim f(x) = F i lim g(x) = G. X A X A Tada postoje i granične vrijednosti funkcija f(x)±g(x), f(x) g(x), 14

17 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli f(x) g(x) (g(x) 0) i kf(x) (k R) i pri tome vrijedi, 1. lim X A (f(x)±g(x)) = F ±G,. lim X A (f(x)g(x)) = F G, 3. lim X A f(x) g(x) = F G, 4. lim X A kf(x) = kf. Gornju tvrdnju treba shvatiti kao pravila izračunavanja limesa funkcija više varijabli. Tako naprimjer, tvrdnju pod 1. treba shvatiti da limes zbira ili razlike funkcija računamo kao zbir ili razliku limesa funkcija, tj. lim (f(x)±g(x)) = lim f(x)± lim g(x), X A X A X A naravno pod pretpostavkom da limesi pojedinačnih funkcija postoje. Primjer Neka je f : R n R zadata sa f(x 1,x,...,x n ) = x k, k {1,,...,n}. UkolikosadaposmatramograničniproceskadaX A,tj. X(x 1,x,...,x n ) A(a 1,a,...,a n ), što u stvari znači da za proizvoljno i = 1,,...,n vrijedi x i a i, tada imamo lim f(x 1,x,...x n ) = lim x k = a k. X A (x 1,...,x n) (a 1,...,a n) Specijalno, ako posmatramo funkciju f(x,y) = x, onda imamo lim f(x,y) = lim x = a. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) Primjer Neka je sada f : R 3 R, zadata sa f(x,y,z) = xyz. Koristeći Teorem 1..1 i gornji primjer, imamo lim f(x,y,z) = lim xyz (x,y,z) (a,b,c) (x,y,z) (a,b,c) ( )( )( ) = lim x lim y lim z (x,y,z) (a,b,c) (x,y,z) (a,b,c) (x,y,z) (a,b,c) = abc. 15

18 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Dakle, ako imamo da je A(1,,1), tada je lim xyz = 1 1 =. (x,y,z) (1,,1) Primjer 1.1. Kombinujući prethodno, sada računamo lim (x +y 3xy) = ( lim x)( lim x)+ (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) ( lim y)( lim y) 3( lim x)( lim y) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) (x,y) ( 1,) = ( 1)( 1)+ 3( 1) = 11. Sva tri gornja primjera predstavljaju primjere graničnih procesa posebne grupe funkcija više varijabli. Naime, funkciju f : R n R, oblika f(x 1,x,...,x n ) = cx k 1 1 x k x kn n, gdje je c skalar, a k i (i = 1,,...,n) nenegativni cijeli brojevi, nazivamo monomom ili monomijalna funkcija. Funkciju koja predstavlja sumu monoma nazivamo polinom ili polinomijalna funkcija. Za nešto složenije funkcije trebat će nam i dodatni alat. Sljedeći rezultat nam govori o graničnom procesu kompozicije funkcije više varijabli i funkcije jedne varijable. Teorem 1.. Neka je f : R n R i h : R R. Ako postoji granična vrijednost lim f(x) = F X A i ako je h neprekidna funkcija, tada vrijedi lim h(f(x)) = h(f). X A Primjer Koristeći Teorem 1.. i gornje razmatranje za polinomijalne funkcije, lagano računamo i granične procese složenijih funkcija. Neka je f : R n R, zadata sa f(x 1,x,...,x n ) = x 1 +x + x n. 16

19 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Kako je korjena funkcija neprekidna, sada imamo lim f(x 1,x,...,x n ) = lim (x 1,x,...,x n) (a 1,a,...,a n) (x 1,x,...,x n) (a 1,a,...,a (x 1 +x + x n ) n) = a 1 +a + a n. Ili y lim +3x y) (x,y) (1,1) e(x3 = e (lim (x,y) (1,1)(x 3 y +3x y)) = e 3. U oba primjera podrazumijevamo da je tačka A iz domena funkcije f. Pored polinomijalnih, često su u upotrebi i funkcije oblika f(x) = g(x) h(x), gdje su g i h polinomijalne funkcije. Takvu funkciju nazivamo racionalna funkcija. I ovdje, ukoliko je tačka graničnog procesa A iz domena funkcije, limes računamo jednostavno. Naime vrijedi, lim f(x) = lim X Ag(X) X A lim X A h(x). Primjer Neka je f(x,y,z) = x y +5xyz x +3z. Primjer lim f(x,y,z) = (x,y,z) (1, 1,) lim ln (x,y) (1,) ( ) xy x +y x y +5xyz lim (x,y,z) (1, 1,) x +3z = 1 ( 1)+5 1 ( 1) 1 +3 = 6 14 = 3 7. ( = ln lim ( ) = ln 6 17 (x,y) (1,) = ln3. ) xy x +y

20 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Napomenimo još jednom bitnost pretpostavke da je granična tačka u svim gornjim primjerima graničnih procesa, bila tačka oblasti definisanosti posmatrane funkcije. Medutim, u definiciji granične vrijednosti funkcije više varijabli, zahtjevalimo smo u 1 da je A tačka nagomilavanja domena funkcije, što znači da granične vrijednosti možemo računati i u nekim drugim tačkama. Tako naprimjer, za funkciju f(x,y) = x y x +y, tačka A(0, 0) nije iz domena, ali jeste tačka nagomilavanja domena funkcije. Iako je naša funkcija racionalna, ne bismo mogli primjeniti raniji postupak izračunavanja limesa ove funkcije u tački A jer bi to dovelo do neodredenog oblika 0 0. Ipak, ako izaberemo tačku X dovoljno blisku tački A, tj. neka je 0 < d(x,a) = x +y < δ = ε, za proizvoljno ε > 0, tada ćemo imati f(x,y) 0 = x y x +y = x y x +y d(x,a) d(x,a) = d(x,a) < ε. d(x,a) Ovo na osnovu Definicije 1.. znači da vrijedi lim f(x,y) = 0. (x,y) (0,0) Za utvrdivanje egzistencije granične vrijednosti funkcije više varijabli naredna tvrdnja može biti od velike koristi. Teorem 1..3 Neka je f : R n R i neka postoji lim f(x) = F. X A Tada za proizvoljan niz (X n ) n N, takav da X n A (n ), vrijedi lim f(x n) = F. n Ovu tvrdnju možemo sada primjeniti na maloprije uradeni primjer. Naime, utvrdili smo da postoji limes funkcije f(x,y) = x y u tački A(0,0). x +y 18

21 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Naosnovuposljednjetvrdnje, posmatramoliproizvoljanniztačaka(x(x n,y n )) n N koji konvergira ka tački A(0, 0) mora vrijediti lim f(x) = lim f(x n). X A n Posmatrajmo niz (x n,y n ) = ( 1 n, 1 n ) (n N). Jasno je da vrijedi (1 n, 1 n ) (0,0) kada n. Sada imamo lim (x,y) (0,0) x y x +y = lim n 1 1 n n n n 1 = lim n n = 0. Kako gornja tvrdnja daje samo potrebne, a ne i dovoljne uslove egzistencije granične vrijednosti mnogo ju je bolje koristiti u kontrapoziciji. Naime, ako postoje nizovi (X n ) n N i (X n ) n N takvi da X n A i X n A kada n, za koje je lim n f(x n) lim f(x n n), tada ne postoji limes lim X A f(x). Primjer Ispitajmo postojanje granične vrijednosti funkcije f(x, y) = xy u tački A(0,0). x +y Posmatrajmo nizove tačaka ( 1, ) 1 i ( ) 1 n n n N n, 1. Očigledno oba niza konvergiraju ka tački A(0, 0). n n N Medutim lim n 1 1 n n = lim n n n ( ) 1 n 1 n = lim n n 1 n n = 1, 1 n lim n n = 1. n Dakle, granična vrijednost posmatrane funkcije u tački A(0, 0) ne postoji. 1.. Simultana i uzastopna granična vrijednost Prisjetimo se da smo za funkciju f : R R, postojanje granične vrijednosti lim f(x) = L, x a opravdavali postojanjem i jednakošću lijeve i desne granične vrijednosti u tački a, tj. uslovom lim f(x) = L = lim f(x). x a x a+ 19

22 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Ukoliko jedna od ovih graničnih vrijednosti u tački a ne postoji, tada ne postoji ni granična vrijednost funkcije u toj tački. Slično razmišljanje možemo primjeniti i za funkciju više varijabli, ali razlika leži u činjenici što će sada postojati beskonačno mnogo krivih po kojima se tačka X može približavati nekoj tački A u prostoru R n, za razliku od samo dvije mogućnosti u prostoru R. z x a a+ x y a x Slika 1.14: Prilaz tački na pravoj (lijevo) i u ravni (desno) Graničnu vrijednost L, definisanu u Definiciji 1..1, nazivamo simultana granična vrijednost funkcije f(x 1,x,...,x n ). To je bio slučaj kada tačka X(x 1,x,...,x n ) teži ka tački A(a 1,a,...,a n ) tako da sve koordinate x i tačke X istovremeno teže ka odgovarajućim koordinatama a i tačke A. Medutim, granični proces možemo posmatrati i tako da puštamo prvo jednu koordinatu da teži odgovarajućoj fiksnoj vrijednosti, a ostale držimo fiksnim. Zatim puštamo neku drugu koordinatu da teži fiksnoj vrijednosti, a preostale držimo fiksnim i tako do posljednje koordinate. Na taj način bi smo posmatrali granični proces u obliku lim x n a 1 lim lim lim f(x 1,x,...,x n ), x n 1 a n 1 x a x 1 a 1 i posmatrani proces nazivamo uzastopni ili sukcesivni limes funkcije. Posmatrajmo sada funkciju dvije promjenljive f(x, y). Pored simultane granične vrijednosti, prema gore rečenom, od interesa je posmatrati još dvije granične vrijednosti, a to su L 1 = lim limf(x,y), L 1 = lim x ay b y b lim x a f(x,y), koje nazivamo uzastopne granične vrijednosti (slika 1.15). Pri tome podrazumijevamo sljedeće, ( ) ( ) L 1 = lim lim f(x,y), L 1 = lim lim f(x,y), x a y b y b x a odnosno, u izračunavanju limesa L 1 prvo računamo lim y b f(x,y), držeći x fiksnim, a zatim od dobijenog rezultata računamo limes, puštajući da x a. 0

23 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Kod L 1 princip je obrnut, prvo računamo lim x a f(x,y), držeći y fiksnim, a onda od dobijenog posmatramo granični proces kada y b. Primjer Izračunati uzastopne limese funkcije f(x,y) = x y u tački x +y A(,1). ( L 1 = lim lim x y 1 L 1 = lim y 1 ( lim x ) x y x +y ) x y x +y = lim x x 1 x +1 = 1 5. = lim y 1 y 4+y = 1 5. a x (x,y) (x,y) y b (a,b) (a,b) a x y b (a) Uzastopni limes: L 1 = lim y b lim x a (b) Uzastopni limes: L 1 = lim x a lim y b Slika 1.15: Uzastopni limesi funkcije dvije promjenljive. Veza simultane i uzastopnih graničnih vrijednosti data je nerednim tvrdenjem. Teorem 1..4 Ako postoji simultana granična vrijednost L = lim x a y b f(x,y) i ako za svako y postoji granična vrijednost lim x a f(x,y), tada postoji i uzastopna granična vrijednost i vrijedi L = L 1. L 1 = lim y b lim x a f(x,y), 1

24 1.. Granična vrijednost funkcije n varijabli Dokaz : Ako postoji simultana granična vrijednost L, to znači da za svako ε > 0, postoji δ > 0 tako da vrijedi f(x,y) L < ε, kad god je x a < δ i y b < δ. Ako fiksiramo y 0 tako da je y 0 b < δ, prema pretpostavci teorema, postoji lim f(x,y 0). x a Kako je fiksirano y 0 bilo proizvoljno, postojat će i granična vrijednost lim limf(x,y), y bx a pa je L granična vrijednost funkcije F(y) = lim x a f(x,y) kada y b, čime je dokaz završen. Formulaciju gornje teoreme možemo iskazati potpuno analogno koristeći i graničnu vrijednost L 1. Posljedice ove teoreme su: 1) Ako postoje simultana i uzastopne granične vrijednosti tada vrijedi L = L 1 = L 1. ) Ako je L 1 L 1, onda simultana granična vrijednost L ne postoji. Primjer Posmatrajmo funkciju f(x,y) = x y u tački O(0,0). x+y x y L 1 = lim lim x 0y 0 x+y = lim x x 0 x = 1. L 1 = lim y 0 lim x 0 x y x+y = lim y 0 L 1 L 1 pa dakle L ne postoji. Primjer f(x,y) = xcosy, x 0 i y +. Zbog ograničenosti funkcije kosinus vrijedi y y = 1. L = lim x 0 y + xcosy = 0. L 1 = lim y + lim x 0 xcosy = 0. L 1 ne postoji jer ne postoji granična vrijednost funkcije cosy kada y +.

25 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Slika 1.16: Graf funkcije f(x,y) = xy x +y. Primjer 1.0. f(x,y) = xy x +y, x 0 i y 0. L 1 = lim x 0 lim y 0 xy x +y = 0 = lim lim y 0 x 0 xy x +y = L 1. Simultani limes ne postoji! Zaista, ako se tački O(0, 0) približavamo po pravoj x = y (tj. ako posmatramo tačke oblika X(x,x), a to onda znači da ako X O, onda mora x 0), tada je x L = lim x 0 x = 1, a ako se ka tački O(0,0) približavamo po pravoj x = y, tj. posmatramo tačke oblika X(x, x), imamo iz čega je jasno da L ne postoji. x L = lim x 0 x = 1, Sa gornjim primjerima smo pokazali neke od mogućnosti ali i probleme kod odredivanja graničnih procesa funkcija više varijabli. 1.3 Neprekidnost funkcije n varijabli Kao i kod funkcije jedne varijable, neprekidnost funkcije više varijabli definisana je direktno u vezi sa limesom funkcije. Pri tome, pričati o neprekidnosti preslikavanja ima smisla samo o tačkama u kojima je preslikavanje definisano. 3

26 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Definicija Neka je funkcija f : R n R definisana u okolini tačke A(a 1,a,...,a n ). Funkcija tačke f je neprekidna u tački A ako vrijedi lim f(x) = f(a). X A Iz gornje definicije vidimo da bi funkcija f bila neprekidna u tački A treba biti zadovoljeno: 1 da postoji granična vrijednost funkcije kada X A, da funkcija bude definisana u tački A, 3 dagraničnavrijednost funkcijeutačkiabudejednakavrijednosti funkcije u tački A. Definicija 1.3. Funkcija f je neprekidna u tački A ako se za svako ε > 0 može odrediti δ = δ(ε) > 0, tako da je za sve X takve da je 0 d(x,a) < δ, zadovoljeno f(x) f(a) < ε. Funkcija je neprekidna u oblasti D ako je neprekidna u svakoj tački te oblasti. Naravno da gornju definiciju možemo posmatrati bilo sa sfernom bilo sa kubnom okolinom tačke A. Iz razmatranja u prethodnoj sekciji, vezana za polinomijalne i racionalne funkcije imamo sljedeća tvrdenja. Teorem Neka je f : R n R polinomijalna funkcija. Tada za svako A R n vrijedi lim f(x) = f(a), X A tj. polinomijalna funkcija je neprekidna u svakoj tački A R n. 4

27 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Primjer 1.1. Za polinomijalnu funkciju f(x,y) = 3x 3 +xy x+y posmatrajmo granični proces kada (x,y) (0, 1). lim f(x,y) = lim (3x 3 +xy x+y) = 1 = f(0, 1). (x,y) (0, 1) (x,y) (0, 1) Generalno, ako (x,y) (x 0,y 0 ) zbog neprekidnosti polinomijalne funkcije imamo, Teorem 1.3. lim f(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) 3x3 0 +x 0 y 0 x 0 +y 0 = f(x 0,y 0 ). Ako je racionalna funkcija f definisana u tački A, tada vrijedi lim f(x) = f(a), X A tj. racionalna funkcija je neprekidna u svakoj tački svog domena. Primjer 1.. Za funkciju f(x,y) = x+y x +y posmatrajmo granični proces kada (x,y) (1,1). x+y lim f(x,y) = lim (x,y) (1,1) (x,y) (1,1) x +y = = 1 = f(1,1). Kako je D f = R \ (0,0), tačka X(1,1) D f, te je racionalna funkcija neprekidna u toj tački. Generalno, ako tačka X(x 0,y 0 ) D f, tada zbog neprekidnosti vrijedi lim f(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) Teorem lim (x,y) (x 0,y 0 ) x+y x +y = x 0 +y 0 x 0 +y 0 = f(x 0,y 0 ). Neka su funkcije f,g : R n R neprekidne u tački A R n. Tada su f u toj tački neprekidne i funkcije f ± g, f g, (g(a) 0) i kf (k g proizvoljan skalar iz R). 5

28 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Teorem Neka je f : R n R neprekidna funkcija u tački A i ako je g : R R neprekidna funkcija, tada je i g f neprekidna funkcija u tački A. Primjer 1.3. Kako je funkcija g(t) = sint neprekidna za proizvoljno t iz R i kako je funkcija f(x,y,z) = x +y +z neprekidna za sve tačke (x,y,z) R 3, onda je i funkcija neprekidna u svim tačkama iz R 3. h(x,y,z) = sin( x +y +z ) Primjer 1.4. Prema prethodnom primjeru (samo za funkciju dvije varijable), funkcija h(x,y) = sin( x +y ) je neprekidna za sve (x,y) R. Takode je neprekidna i funkcija g(x,y) = x +y za sve (x,y) R. Zaključujemo onda da je i funkcija f(x,y) = sin( x +y ) x +y neprekidna u svakoj tački iz R, različitoj od tačke A(0,0). Medutim, sin( x lim f(x,y) = lim +y ) X A (x,y) (0,0) x +y sin(d(x, A)) sint = lim = lim (x,y) (0,0) d(x, A) t 0 t Dakle, prekid funkcije u tački A(0, 0) je otklonjiv, tj. ako definišemo novu funkciju sin( x +y ) ; (x,y) (0,0) F(x,y) = x +y 1 ; (x,y) = (0,0) onda je ona neprekidna u svim tačkama (x,y) R. = 1. 6

29 1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli Definicija Linija ili površ koja predstavlja skup tačaka prekida funkcije f naziva se linijom ili površinom prekida funkcije. Ako je funkcija f neprekidna u oblasti D, ona je neprekidna po svakoj liniji i po svakoj površi koja leži u toj oblasti. Ako specijalno posmatramo prave paralelne koordinatnim osama, to onda znači da je funkcija neprekidna po svakoj varijabli posebno. Medutim obrat ne važi, tj. funkcija može biti neprekidna po svakoj varijabli posebno ali da ipak ima prekide. Na primjer, funkcija f(x,y) = xy x +y je u tački O(0, 0) neprekidna po svakoj varijabli, ali granična vrijednost (simultana) u tački O ne postoji, tj. funkcija ima prekid u tački O. Primjer 1.5. f(x,y) = ex +e y. Linija prekida ove funkcije je kružnica x +y 1 x +y = 1. Primjer 1.6. f(x,y,z) = sfera x +y +z = Površ prekida funkcije je ln(4 x y z ) Dio o neprekidnosti završimo sa dva važna stava, koji opet predstavljaju analogone odgovarajućih tvrdenja za funkcije jedne varijable. Teorem Svaka funkcija n promjenljivih koja je neprekidna u zatvorenoj i ograničenoj oblasti je ograničena u toj oblasti. Teorem Ako je f neprekidna u proizvoljnoj oblasti i ako za X 1 X iz te oblasti vrijedi f(x 1 ) f(x ), tada za proizvoljno C izmedu f(x 1 ) i f(x ), postoji tačka X u toj oblasti takva da je f(x) = C. 7

30 Poglavlje Diferencijabilnost funkcije n varijabli.1 Izvod u pravcu Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Gradijent Diferencijabilnost funkcija više promjenljivih Pravila diferenciranja Izvodi višeg reda, Hesseova matrica Diferencijali višeg reda Ekstremumi funkcija više promjenljivih Nalaženje lokalnog ekstrema Nalaženje globalnog ekstrema Uslovni ekstrem U ovoj glavi govorit ćemo o drugoj važnoj osobini proizvoljnog preslikavanja, o diferencijabilnosti. Ovdje ćemo pretpostavljati uvijek ako drugačije nije naglašeno, da svaka tačka domena D f posmatranog preslikavanja, pripada tom skupu zajedno sa nekom svojom okolinom, tj. pretpostavljat ćemo da je skup D f otvoren. U nekim razmatranjima bit će neophodna i osobina povezanosti (koneksnosti) tog skupa. Za takav skup (otvoren i povezan) reći ćemo da je oblast u prostoru R n..1 Izvod u pravcu Za funkciju φ : R R, izvod u tački x 0 D φ definisali smo sa φ (x 0 ) = lim h 0 φ(x 0 +h) φ(x 0 ) h, (.1.1) i geometrijski, predstavljao je nagib tangente (tj. najbolju linearnu aproksimaciju) na krivu φ u tački (x 0,φ(x 0 )) ili trenutnu mjeru promjene funkcije 8

31 .1. Izvod u pravcu φ(x) u odnosu na varijablu x, kada je x = x 0. Kao uvod za nalaženje ovakve najbolje linearne aproksimacije za funkciju f : R n R, pokušat ćemo iskoristiti, tj. generalizovati (.1.1) da bi realizovali ideju nagiba i mjere promjene za ovakvo preslikavanje. Posmatrajmo funkciju f : R R, definisanu sa f(x,y) = 4 x y, čiji je graf prikazan na slici (.1). Ukoliko želimo da vizualiziramo kretanje po ovom grafu (površi), nagib puta po kome se krećemo ovisi od polazne tačke ali i od pravca našeg kretanja. Naprimjer, neka je startna tačka P(1,1,1) na površi i neka je pravac kretanja odreden vektorom v = ( 1, 1,3). Ovo će uzrokovati kretanje direktno ka vrhu grafa i jasno je da je mjera promjene rastuća. Medutim, ako se iz iste tačke krećemo u pravcu vektora v, onda silazimo niz graf, tj. mjera promjene je opadajuća. Obje ove mogućnosti naznačene su na slici crvenom bojom. Ako iz iste tačke krenemo u pravcu vektora w = ( 1,,0), vidimo da je putanja kretanja po elipsi x +y = 3, tj. obilazimo oko grafa, pa je nagib bez promjene, a time i mjera promjene je 0. Ova mogućnost kretanja je na slici prikazana zelenom bojom. Dakle, govoriti o nagibu na graf funkcije f u tački, zahtijeva specificirati pravac kretanja. z v x v X w w y Slika.1: Izvod u pravcu Kretanju na grafu iz tačke P(1,1,1), u pravcu vektora v, odgovara kretanje u domenu funkcije, iz tačke X u pravcu vektora v = ( 1, 1). Analogno, 9

32 .1. Izvod u pravcu kretanju u pravcu vektora w, odgovara kretanje iz X u pravcu w = ( 1,). Dakle, ukoliko se krećemo iz tačke X(1,1) u pravcu vektora u = v v = 1 (1,1), (normiranje vektora vršimo iz prostog razloga što se time pravac i smjer vektora ne mijenjaju, pa ćemo veličinu pomjeranja u pravcu takvog vektora diktirati sa veličinom h) tada izraz f(x +h u) f(x) h za proizvoljno h, će predstavljati aproksimaciju nagiba na graf funkcije f u tački X, u pravcu u. Uradimo malo računa. f(x +h u) f(x) = f (1 h,1 h ) f(1,1), ( = 4 1 h ) ( 1 h ) 1 = 3 3 (1 ) h+ h = 3 h 3h = h ( 3 3h Kao što smo to radili sa funkcijama jedne varijable, puštajući sada da h teži ka 0, dobili bi smo egzaktan nagib na graf, u tački A, u pravcu u. Iz gornjeg onda imamo f(x +h u) f(x) lim = lim h 0 h h 0 ( 3 3h ). ) = 3. Dakle, naš graf ima nagib od 3 (naravno da ova veličina izražava tangens ugla pod kojim se krećemo) ukoliko startujemo iz tačke X(1,1), u pravcu vektora u. Sličnimračunombidobilidajeupravcu unagib 3, odnosno u pravcu vektora w w = 1 ( 1,), 5 nagib je 0. 30

33 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Definicija.1.1 Neka je funkcija f : R n R definisana u nekoj otvorenoj kugli oko tačke X. Za dati vektor u, izraz D u f(c) = lim h 0 f(x +h u) f(x) h, (.1.) ukoliko limes postoji, nazivamo izvod u pravcu, funkcije f, u pravcu vektora u, u tački X. Primjer.1. Prema gornjem razmatranju, za funkciju f(x,y) = 4 x y je D u f(1,1) = 3, D u f(1,1) = 3, D w f(1,1) = 0.. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Kao što smo vidjeli iz gornjeg, za funkciju više varijabli ne možemo jednostavno govoriti o izvodu te funkcije, tj. možemo govoriti o izvodu ali pri tome moramo znati pravac kretanja, i tada ustvari govorimo o izvodu u pravcu. Pravac u kome nalazimo izvod funkcije više varijabli može biti proizvoljan, ali pravci odredeni baznim vektorima prostora domena su od posebne važnosti. Neka su e 1,e,...,e n standardni vektori baze prostora R n, e 1 = (1,0,0,...,0), e = (0,1,0,...,0) e n = (0,0,0,...,1). Posmatrajmo funkciju f : R n R f(x) = f(x 1,x,...,x n ), koja je definisana u nekoj okolini U A tačke A(a 1,a,...,a n ) R n. Razmotrimo za trenutak funkciju g : R R, uvedenu na sljedeći način g(t) = f(t,x,x 3,...,x n ), tj. definišemo je preko funkcije f, tako što počev od druge, sve varijable držimo fiksnim(ne mjenjamo ih), a samo prvu shvatimo kao varijablu. Dakle, tada je g funkcija jedne varijable pa na nju možemo primjeniti jednakost (.1.1), g g(x+h) g(x) (x) = lim. h 0 h 31

34 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Ali tada imamo g g(x 1 +h) g(x 1 ) (x 1 ) = lim h 0 h f(x 1 +h,x,...,x n ) f(x 1,x,...,x n ) = lim h 0 h = lim h 0 f((x 1,x,...,x n )+(h,0,...,0)) f(x 1,x,...,x n ) h f(x +he 1 ) f(x) = lim = D e1 f(x). h 0 h Vidimo da je izvod funkcije g u tački x 1 u stvari izvod u pravcu, funkcije f u tački X, u pravcu vektora e 1. Naisti načinsmomoglifiksirati proizvoljnu k-tupromjenljivu(k = 1,,...,n) funkcije f, tj. staviti da je g(t) = f(x 1,x,...,x k 1,t,x k+1,...,x n ) i zaključiti da bi vrijedilo g (x k ) = D ek f(x). Definicija..1 Neka je funkcija f : R n R definisana u nekoj okolini tačke A i neka je e k (k {1,,...,n}) k-ti vektor standardne baze u R n. Ukoliko postoji, izvod u pravcu D ek f(a) nazivamo parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj x k, u tački A. Naravno da smo pojam parcijalnog izvoda mogli uvesti i na mnogo formalniji način, uvodeći pojmove priraštaja. Definicija.. Neka je U A R n okolina tačke A(a 1,a,...,a n ) i X(x 1,x,...,x n ) U A proizvoljna. Razliku x k = x k a k ; k = 1,,...,n nazivamo priraštajem varijable x k, a razliku xk f(x) = f(x 1,...,x k + x k,...,x n ) f(x 1,...,x n ) nazivamo parcijalnimpriraštajemfunkcije f popromjenljivoj x k, utački X. 3

35 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Na isti način možemo definisati parcijalni priraštaj funkcije u proizvoljnoj tački A(a 1,...,a n ): xk f(a) = f(a 1,...,a k + x k,...,a n ) f(a 1,...,a n ). Primjećujemo da parcijalni priraštaj funkcije n promjenljivih dobijamo tako što vršimo promjenu samo jedne varijable dok ostale varijable držimo fiksnim. Definicija..3 Granična vrijednost xk f(a) f(a 1,...,x k,...,a n ) f(a 1,...,a n ) lim = lim, x k 0 x k x k a k x k a k naziva se parcijalnim izvodom funkcije f po promjenljivoj x k u tački A. Na analogan način definišemo parcijalni izvod u proizvoljnoj tački xk f(x) f(x 1,...,x k + x k,...,x n ) f(x 1,...,x n ) lim = lim. x k 0 x k x k 0 x k U različitim knjigama matematičke analize nalazimo razne oznake za parcijalne izvode, kao npr. f x f k ; f xk ; i sl.. x k Mi ćemo najčešće koristiti oznaku f x k, zato primjetimo da ovdje nismo koristili označavanje koje smo imali kod funkcije jedne promjenljive, tj. oznaku df dx. Razlogza toje činjenica da izraz f x k ni ukom slučaju nemožemo shvatiti kao dijeljenje ( f sa x) što je bio slučaj sa df dx (df = f (x)dx). Tehnika odredivanja parcijalnog izvoda se ni u čemu ne razlikuje od tehnike izračunavanja izvoda funkcije jedne promjenljive. Pri nalaženju parcijalnog izvoda po promjenljivoj x k, sve ostale promjenljive shvatamo kao konstante, a nalazimo izvod po x k, koristeći pravila i tablicu izvoda funkcija jedne promjenljive. Primjer.. Za funkciju f : R R, zadatu sa f(x,y) = xy, parcijalni izvodi su f f(x+ x,y) f(x,y) (x+ x)y xy (x,y) = lim = lim = y. x x 0 x x 0 x f f(x,y + y) f(x,y) x(y + y) xy (x,y) = lim = lim y y 0 y y 0 y 33 = x.

36 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Primjer.3. f(x,y) = sin(xy y). f x (x,y) = sin(xy y) x = cos(xy y) (xy y) x ( = cos(xy y) x (xy) ) x y = ycos(xy y). f y (x,y) = sin(xy y) y = cos(xy y) (xy y) y ( = cos(xy y) y (xy) ) y y = (x 1)cos(xy y). Primjer.4. Posmatrajmo funkciju f : R 3 R, f(x,y,z) = ln(x+yz). f x (x,y,z) = x ln(x+zy) = 1 x+zy x (x+zy) = 1 x+yz, f y (x,y,z) = y ln(x+yz) = 1 x+yz y (x+yz) = f z (x,y,z) = z ln(x+yz) = 1 x+yz z (x+yz) = Parcijalni izvodi u konkretnoj tački, npr. A(1, 1, ) bili bi z x+yz, y x+yz. f x (1,1,) = 1 3, f y (1,1,) = 3, f z (1,1,) = 1 3. Primjer.5. f(x,y) = x y. f x = y f y = y x x y x x y x x y y y y = y 0 y = 1 y, = 0 x y = x y. 34

37 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Kod funkcije jedne varijable y = f(x), ako je x = g(t), imali smo pravilo izvoda složene funkcije (pravilo kompozicijeili lančano pravilo) y = f(g(t)), koje glasi df dt = df dx dx dt. Pravilo kompozicije moramo takode imati i kod funkcija više varijabli. Pokazaćemo to pravilo za funkciju dvije varijable, a ono se lahko prenosi na funkcije sa n varijabli. Kao prvo razmotrimo slučaj kada je f funkcija dviju varijabli i g funkcija jedne varijable, tojest posmatrajmo slučaj kompozicije z = g(f(x,y)). z je ovisna o dvije varijable pa njene parcijalne izvode računamo po pravilu: z x = dg df f x, z y = dg df f y. Primjer.6. Neka je f(x,y) = x +y. Ona je kompozicija polinomijalne funkcije (x +y ) i korijene funkcije (funkcija jedne varijable). f x = 1 x +y x = x x +y, f y = 1 x +y y = y x +y. Primjer.7. Pravilo kompozicije možemo primjenjivati i u drugim situacijama. Npr. posmatrajmo šemu otpornika u paralelnoj vezi. R 1 R Ukupan otpor kola dat je sa 1 R = 1 R R + 1 R 3. (..1) R 3 U Dakle, ukupan otpor je funkcija tri varijable, R = R(R 1,R,R 3 ). Ako sada želimo naći parcijalne izvode po R i (i = 1,,3), onda to možemo uraditi izračunavajući otpor R eksplicitno iz formule (..1) R 1 R R 3 R =. R 1 R +R 1 R 3 +R R 3 Medutim, ako lijevu stranu u (..1) shvatimo kao kompoziciju racionalne funkcije ( 1 ) i naše funkcije R, onda direktno imamo R d 1 R R = 1 R R + 1 R 3, dr R 1 R 1 R 1 R 1 35

38 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal odakle je 1 R = 1, R R 1 R1 tj. R = R. R 1 R1 Analogno nalazimo parcijalne izvode po ostalim promjenljivima. Neka je z = f(x,y) i neka su i x i y funkcije nekog parametra t, tj. x = x(t) i y = y(t). Tada je funkcija z = f(x(t),y(t)), ustvari funkcija jedne varijable (t) i pri tome imamo: Ako su funkcije x(t) i y(t) diferencijabilne u t i ako je funkcija f diferencijabilna u tački (x(t), y(t)), tada vrijedi z x z z y x y dz dt = z dx x dt + z dy y dt. dx dt t dy dt Primjer.8. Neka je f(x,y) = sinx+cos(xy) i neka su x = t i y = t 3. Tada prema pravilu kompozicije imamo df = f dx dt x dt + f dy y dt = (cosx sin(xy)y)t+( sin(xy)x)3t = (cost t 3 sint 5 )t 3t 4 sint 5. Primjer.9. Pravougaonik ima dužinu 6 m i širinu 4 m. U svakoj sekundi dužina se poveća za 3 m, a širina za m. Odrediti promjenu površine pravougaonika u jednoj sekundi. m 4m P 6m 3m x - dužina pravougaonika y - širina pravougaonika P - površina pravougaonika t - vrijeme 36

39 .. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal Dužina i širina pravougaonika su funkcije vremena, x = x(t) i y = y(t). Promjena dužine u jedinici vremena je dx = 3, a promjena širine u jedinici dt vremena je dy =. dt Površina pravougaonika je P(x,y) = x y, a zbog zavisnosti dužine i širine od vremena imamo P(x(t), y(t)) = x(t) y(t). Izračunajmo zavisnost površine o vremenu. dp dt = P dx x dt + P dy y dt = ydx dt +xdy dt. Stepen promjene površine u datom momentu je dp m (6,4) = = 4 dt s. Ukoliko su x i y zavisne od dvije varijable, tj. x = x(t,s) i y = y(t,s), tada pravilo kompozicije glasi: Ako funkcije x i y imaju parcijalne izvode prvog reda u tački (t,s) i ako je funkcija z = f(x,y) diferencijabilna u tački (x(t,s),y(t,s)), tada vrijedi x x t z x t x s z y t s z y y y s z t = z x x t + z y y t, z s = z x x s + z y y s. Primjer.10. Zadata je funkcija z = f(x,y) = x y i pri tome je x = ρcosφ, y = ρsinφ. Odrediti parcijalne izvode funkcije f po promjenljivima ρ i φ. f ρ = f x x ρ + f y y ρ = xcosφ+ysinφ = ρ(cos φ sin φ) = ρcosφ, f φ = f x x φ + f y y φ = x( ρsinφ)+yρcosφ = ρ cosφsinφ = ρsinφ. 37

40 .3. Gradijent.3 Gradijent Mnoge fizikalne veličine imaju različite vrijednosti u različitim tačkama prostora. Na primjer, temperatura u nekoj prostoriji nije jednaka u svim tačkama: zimi je visoka kraj izvora toplote, a niska pored otvorenog prozora. Električno polje oko tačkastog naboja veliko je pored naboja i smanjuje se kako se udaljavamo od naboja. Slično, gravitacijska sila koja djeluje na neki satelit zavisi od udaljenosti satelita od Zemlje. Brzina toka vode u nekom potoku velika je u uskim kanalima, a mala tamo gdje je potok širok. U svim ovim primjerima postoji neko područje prostora koje nam je posebno zanimljivo za problem koji rješavamo; u svakoj tački prostora neka fizikalna veličina ima svoju vrijednost. Izraz polje znači često i područje i vrijednost fizikalne veličine u tom području (npr. elektično polje, gravitacijsko polje). Ako je fizikalna veličina koju promatramo skalar (npr. temperatura), tada govorimo o skalarnom polju. Ako je fizikalna veličina vektor (npr. električno polje, brzina, sila) tada govorimo o vektorskom polju. Jedna od veličina koja karakteriše termin polja jeste pojam gradijenta. Definicija.3.1 Neka je funkcija f : R n R definisana u okolini U A tačke A i neka postoje f x k (A) za sve k = 1,,...,n. Vektor ( f f(a) = (A), f (A),..., f ) (A), x 1 x x n nazivamo gradijent funkcije f u tački A. U gornjoj definiciji posmatramo funkciju čije su vrijednosti skalari, za koju u primjenama kažemo da je skalarno polje, a definisana veličina bi onda imala naziv gradijent skalarnog polja. Korisno je primjetiti to da za funkciju f : R n R, njen gradijent je funkcija f : R n R n, tj. gradijent je funkcija čiji je ulaz n-dimenzionalna veličina (vektor), a izlazna je takode n- dimenzionalni vektor. Ovakve funkcije uobičajeno nazivamo vektorsko polje, a sa čime ćemo se susresti u narednim matematičkim izučavanjima. Vektorski operator (nabla) se u dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu (3D) definiše sa ( x, y, ) z = i x + j y + k z. 38

41 .3. Gradijent Kažemo da je to vektorski operator jer on funkciji f dodjeljuje veličinu f, po principu f = i f x + j f y + k f z. Primjer.11. Na osnovu Primjera., gradijent funkcije f(x,y) = xy je f(x,y) = (y,x), odnosno u konkretnoj tački je, npr. f(,7) = (7, ) = i +7 j. Primjer.1. Iz Primjera.4 imamo ( 1 f(1,1,) = 3, 3, 1 ) = i j + k. 3 Primjer.13. Zafunkcijuf(x,y) = 4 x y imamo f f (x,y) = 4x, (x,y) = x y y, pa je gradijent dat sa ( ) f f f(x,y) = (x,y), x y (x,y) = ( 4x,y). Konkretno u tački O(0,0) je f(0,0) = (0,0). Nije teško pokazati da za gradijent vrijede sljedeća pravila: 1. (kf) = k f, (k = const. ).. (f ±g) = f ± g. 3. (fg) = g f +f g. ( ) f g f f g 4. =. g g Gradijent skalarnog polja iznimno je važan u fizici gdje izražava vezu izmedu polja i potencijala (gravitacijska polja), odnosno sile i potencijalne energije (električna polja). Ako se neko polje E može u cijelosti opisati konkretnom funkcijom f(x) tako da je E = f(x), odnosno simbolički, polje = (potencijal), tada skalarnu funkciju f nazivamo njegovim potencijalom. Specijalno, ako se neka sila F može napisati kao negativni gradijent neke funkcije V, tada skalarnu funkciju V nazivamo potencijalnom energijom. 39

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator...

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator... Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα