ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΑΥΤΟΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΑΥΤΟΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διπλωματική Εργασία της Κολιάτου Έλενας (ΑΕΜ: 323) Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων: Παπαδόπουλος Χρυσολέων Μέλη: Βασιλειάδης Νικόλαος Κοσμίδου Κυριακή ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 202

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους που συνέβαλαν με τον οποιονδήποτε τρόπο, είτε μέσω άμεσης βοήθειας είτε με την αμέριστη υποστήριξη που μου προσέφεραν. Πιο συγκεκριμένα, οφείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Καθηγητή μου, κύριο Παπαδόπουλο Χρυσολέοντα, για την καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας μου και την εμπιστοσύνη που μου έδειξε, τον καθηγητή Αγγελή Ελευθέριο για την πολύτιμη βοήθειά του, καθώς και τις φίλες και συμφοιτήτριές μου, Καρακικέ Βασιλική και Χατζάκου Δέσποινα, για την ανιδιοτελής βοήθεια που μου προσέφεραν. Επίσης, ένα μεγάλο ευχαριστώ στην οικογένεια μου που στηρίζει υλικά και ηθικά την προσπάθειά μου όλα αυτά τα χρόνια. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φίλους μου και όλους όσους παραμέλησα προκειμένου να εκπονηθεί η συγκεκριμένη εργασία. -i-

3

4 Στον πατέρα μου και την οικογένειά μου. -iii-

5

6 Πρόλογος Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στη θεωρητική και πρακτική μελέτη των μοντέλων ουρών αναμονής στην παραγωγική διαδικασία αυτοματοποιημένων βιομηχανικών συστημάτων. Το θεωρητικό μέρος περιλαμβάνει τα βασικότερα μοντέλα της θεωρίας των ουρών αναμονής, τις ιδιότητες τους, τις εφαρμογές τους καθώς και τα λειτουργικά τους μέτρα. Στο πρακτικό μέρος προσομοιώνεται και μελετάται, η διαδικασία παραγωγής του εμφιαλωμένου νερού ΑΥΡΑ του εργοστασίου του Αιγίου, του 0,5 και,5 λίτρων. Οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν προσεγγίζουν τις πραγματικές. Κολιάτου Έλενα 5/3/202 -v-

7

8 Περιεχόμενα ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ...I ΠΡΟΛΟΓΟΣ... V ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... VII ΠΙΝΑΚΕΣ... XI ΣΧΗΜΑΤΑ... XIII ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΔΟΜΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η πηγή των πελατών Ο μηχανισμός αφίξεων Η ουρά Το σύστημα εξυπηρέτησης Οι φάσεις εξυπηρέτησης Οι σταθμοί εξυπηρέτησης Η χωρητικότητα του συστήματος Ο συμβολισμός κατά Kedall ΜΕΤΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Τα μέτρα των επιδόσεων και της ικανότητας ενός συστήματος αναμονής Μεγέθη για τη μελέτη ενός συστήματος Κατάστασης ισορροπίας Λειτουργικά μεγέθη του συστήματος ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Το Θεώρημα του Little vii-

9 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/Μ/ Τα χαρακτηριστικά του συστήματος Μ/Μ/ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/Μ//K Η ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Μ/Μ// ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ M/M/S Πιθανότητα ύπαρξης ατόμων στο σύστημα Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/Μ/S/K ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/Μ/S/S (Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ERLANG) ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/Μ// /Ν ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ G/G/ ΚΑΙ G/G/S Το μοντέλο G/G/ Το μοντέλο G/G/s ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Μ/G/ ΚΑΙ M/D/ Το μοντέλο Μ/G/ Το μοντέλο M/D/ ΟΥΡΕΣ ΜΕ ΑΠΕΡΙΟΡΙΣΤΟ ΑΡΙΘΜΟ ΘΕΣΕΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Το μοντέλο Μ/G/ Το μοντέλο Μ/Μ/ Το μοντέλο Μ/Μ/ / /N ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΤΟ ΟΠΟΙΟ Η ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΦΑΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΟΝΤΕΛΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ERLANG Το μοντέλο M/E k / Ομαδικές Αφίξεις (Bulk arrivals) Ομαδικές εξυπηρετήσεις (Bulk service) Το μοντέλο E k /M/ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/Μ/S/K/N ΔΙΚΤΥΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Δίκτυα εκθετικών ουρών viii-

10 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παραγωγή των εργοστασίων σήμερα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΑΥΡΑ ΤΗΣ COCA-COLA ΤΡΙΑ ΈΨΙΛΟΝ Η Coca-Cola Τρία Έψιλον Μονάδες Παραγωγής Προσομοίωση Διαδικασία παραγωγής ΑΥΡΑ Μοντελοποίηση του συστήματος Αναλυτική περιγραφή του συστήματος Σχεδιασμός μοντέλου στο SIMUL Υποθέσεις και Δεδομένα για την ανάπτυξη του μοντέλου Προσομοίωσης ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΞΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α-ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ POISSON Ορισμός διαδικασίας απαρίθμησης γεγονότων Ορισμοί διαδικασίας Poisso και οι ισοδυναμίες του Ιδιότητες διαδικασίας Poisso Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ) Η Σημασία της Εκθετικής Κατανομής Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ERLANG E N Ο Μετασχηματισμός z ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Τυποποιημένη κανονική κατανομή ix-

11 4.6.2 Προσέγγιση ασυνεχών κατανομών με την κανονική κατανομή ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κατανομή Beroulli Διωνυμική κατανομή Γεωμετρική Κατανομή Υπεργεωμετρική Κατανομή... 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β-ΒΑΣΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ Η EΞΙΣΩΣΗ CHAPMAN - KOLMOGOROV (C-K) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Μ/G/ x-

12 Πίνακες Πίνακας.6.: Συμβολισμός κατά Kedall... 9 Πίνακας.7.: Μεγέθη για τη μελέτη ενός συστήματος αναμονής Πίνακας.7.2: Λειτουργικά μεγέθη ενός συστήματος αναμονής Πίνακας 2..: Πιθανότητες αλλαγής καταστάσεων... 3 Πίνακας 2..2: Λειτουργικά μέτρα της ουράς Μ/Μ/ Πίνακας 2.2.: Λειτουργικά μέτρα μοντέλου Μ/Μ//k... 4 Πίνακας 2.4.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s Πίνακας 2.5.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s/k Πίνακας 2.6.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s/s Πίνακας 2.7.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/M// /N Πίνακας 2.8.: Χρήσιμοι τύποι για το μοντέλο G/G/ Πίνακας 2.9.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/G/ Πίνακας 2.9.2: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/D/... 7 Πίνακας 2.0.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/G/ Πίνακας 2.0.2: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/M/ Πίνακας 2.0.3: Ρυθμοί και Πιθανότητες του μοντέλου Μ/Μ/ / /Μ Πίνακας 2..: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου εξαρτώμενης εξυπηρέτησης από τη φάση του συστήματος Πίνακας 2.2.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/E k / Πίνακας 3.3.: Δεδομένα του συστήματος D/D/ Πίνακας 3.3.2: Αποτελέσματα της προσομοίωσης...7 Πίνακας 4.7.: Ιδιότητες Διακριτών Κατανομών...62 Πίνακας 4.7.2: Ιδιότητες Συνεχών Καταμομών xi-

13

14 Σχήματα Σχήμα.4.: Σχηματική παράσταση ενός συστήματος αναμονής... 7 Σχήμα.4.2: Η βασική διαδικασία ουράς... 8 Σχήμα.6.: Παράλληλοι σταθμοί εξυπηρέτησης με μία ουρά Σχήμα.6.2: Παράλληλοι σταθμοί εξυπηρέτησης με μία ουρά για τον καθένα ξεχωριστά... 8 Σχήμα.6.3: Σταθμοί εξυπηρέτησης σε σειρά... 8 Σχήμα 2..: Το μοντέλο Μ/Μ/ Σχήμα 2..2: Μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα σε σχέση με τον συντελεστή απασχόλησης Σχήμα 2.2.: Σύστημα Μ/Μ//k... 4 Σχήμα 2.3.:Παράσταση μεταβατική λύσης P(t) Σχήμα 2.4.: Το μοντέλο Μ/Μ/s Σχήμα 2.6.: Το μοντέλο Μ/Μ/s/s Σχήμα 2.7.: Το μοντέλο M/M// /N Σχήμα 2.0.: Το μοντέλο Μ/Μ/ / /Μ Σχήμα 2.2.: Σύστημα Μ/Ε k / Σχήμα 2.2.2: Οικογένεια κατανομών Erlag με παράμετρο k (μ=) Σχήμα 2.2.3: Ομαδικές αφίξεις Σχήμα 2.2.4: Ομαδικές εξυπηρετήσεις... 8 Σχήμα 2.2.5: Σύστημα Ε k /Μ/ Σχήμα 2.3.: Το μοντέλο Μ/Μ/s/k/N Σχήμα 2.4.: Σειριακό σύστημα Σχήμα 2.4.2: Το θεώρημα του Burke Σχήμα 2.4.3: Ισοδυναμία συστήματος έλξης (ανοιχτό) με κλειστό σύστημα. 89 Σχήμα 3..: FMS με δύο σταθμούς παραγωγής και έναν σταθμό φόρτωσηςεκφόρτωσης Σχήμα 3..2: Γραμμή παραγωγής Σχήμα 4.3.: Άθροισμα ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso...43 Σχήμα 4.3.2: Διάσπαση διαδικασίας Poisso με πείραμα Beroulli...43 Σχήμα 4.4.: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας εκθετικής κατανομής...45 Σχήμα 4.4.2: Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της Εκθετικής κατανομής 46 -xiii-

15 Σχήμα 4.4.3: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Εκθετικής κατανομής...46 Σχήμα 4.4.4: Κατανομή Poisso Σχήμα 4.4.5: Ιδιότητα έλλειψης μνήμη...50 Σχήμα 4.5.: Συστήματα με μία βαθμίδες εξυπηρέτησης...5 Σχήμα 4.5.2: Συστήματα με δύο βαθμίδες εξυπηρέτησης...5 Σχήμα 4.5.3: Απεικόνιση βαθμίδων...52 Σχήμα 4.5.4: Οικογένεια b(x, )...53 Σχήμα 4.5.5: Το δ του Dirac...54 Σχήμα 4.5.6: Βηματική συνάρτηση...55 Σχήμα 4.6.: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για διάφορες παραμέτρους...57 Σχήμα 4.6.2: Συνάρτηση κατανομής για διάφορες παραμέτρους...57 Σχήμα 4.6.3: Τυποποιημένη κανονική κατανομή...58 Σχήμα 4.9.: Διάγραμμα καταστάσεων συστήματος γέννησης-θανάτου xiv-

16 Εισαγωγή Οι ουρές αναμονής αποτελούν καθημερινό και συνηθισμένο φαινόμενο και εμφανίζονται σε συστήματα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία συχνά, δεν μπορεί να ικανοποιηθεί άμεσα από τη δυναμικότητα του συστήματος που παρέχει την εξυπηρέτηση, λόγω των τυχαίων διακυμάνσεων στον ρυθμό προσέλευσης όσο και στον χρόνο εξυπηρέτησης κάθε πελάτη από το σύστημα. Στο πρώτο μέρος γίνεται μια εκτενής αναφορά στις βασικότερες ουρές αναμονής. Η μελέτη τους μας οδηγεί στην βελτιστοποίηση του συστήματος. Η απόδοση ενός συστήματος αξιολογείται με βάση τις τιμές ορισμένων βασικών δεικτών, όπως για παράδειγμα ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά, ο συνολικός μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα, το μέσο πλήθος πελατών στην ουρά, το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα, το ποσοστό απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης ή των θέσεων εξυπηρέτησης, ο μέσος χρόνος μπλοκαρίσματος του εξυπηρετητή που είναι ένας πολύ σημαντικός δείκτης από τον οποίο εξαρτάται η μέση καθυστέρηση της εξυπηρέτησης του πελάτη και κατ επέκταση το κέρδος (υλικό και άυλο) της επιχείρησης, κ.α. Η θεωρία αναμονής από μαθηματική άποψη δεν είναι ικανή να ανταπεξέλθει πάντα στην διαμόρφωση όλων των πραγματικών καταστάσεων. Για παράδειγμα, τα μαθηματικά πρότυπα υποθέτουν μερικές φορές άπειρο αριθμό πελατών, κανένα όριο στους ενδιάμεσους χρόνους αφίξεων ή στους χρόνους εξυπηρέτησης, όταν είναι αρκετά προφανές ότι αυτά τα όρια πρέπει να υπάρξουν στην πραγματικότητα. Μερικές φορές, αν και υπάρχουν τα όρια αυτά, μπορούν να αγνοηθούν επειδή οι διαφορές μεταξύ του πραγματικού και της θεωρίας δεν είναι στατιστικά σημαντικές. Μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του συστήματος, δίνει η προσομοίωση των εργασιών μιας επιχείρησης. Με την προσομοίωση δίνεται η δυνατότητα ανάλυσης διαφόρων εναλλακτικών σεναρίων μέχρι να δημιουργηθεί το πιο βέλτιστο, οικονομικό και παράλληλα κερδοφόρο. Έτσι, στο δεύτερο μέρος προσομοιώνεται η παραγωγική διαδικασία μιας αυτοματοποιημένης βιομηχανικής παραγωγής εμφιαλωμένων φιαλών νερού, της ΑΥΡΑ. --

17

18 Κεφάλαιο ο : Εισαγωγή στη θεωρία ουρών αναμονής Στο κεφάλαιο αυτό, αρχικά, θα παρουσιαστεί μια σύντομη ιστορική αναδρομή της θεωρίας των ουρών αναμονής, το αντικείμενό της, η περιγραφή ενός συστήματος αναμονής καθώς και ορισμένες εφαρμογές των συστημάτων αυτών. Στη συνέχεια, θα αναλυθεί η γενική δομή τους και τέλος, θα γίνει εκτενής αναφορά στα λειτουργικά μεγέθη που προκαλούν μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τη μελέτη αυτών των συστημάτων.. Ιστορική αναδρομή της θεωρίας των ουρών αναμονής Η πρώτη μαθηματική εξέταση ενός συστήματος με ουρές (ή γραμμές) αναμονής έγινε από το Δανό μαθηματικό, στατιστικολόγο και μηχανικό Ager Krarup Erlag μέσα στο 909, με τις εργασίες του να αναφέρονται στα φαινόμενα αναμονής που παρατηρούνται στις γραμμές ενός τηλεφωνικού κέντρου. Σε ένα μοντέλο ουράς ενός τηλεφωνικού κέντρου, οι πελάτες είναι οι κλήσεις, οι εξυπηρετητές είναι οι agets ενώ οι ουρές δημιουργούνται από τις κλήσεις που περιμένουν να εξυπηρετηθούν. Την ώρα της αιχμής σε μια υπεραστική τηλεφωνική γραμμή, οι πελάτες έπρεπε να περιμένουν, γιατί ο χειριστής δεν προλάβαινε να δίνει τα τηλέφωνα, όσο γρήγορα έφθαναν οι κλήσεις. Το αρχικό πρόβλημα που μελέτησε ο Erlag ήταν το πόσα κυκλώματα τηλεφωνίας απαιτούνται για την παροχή αποδεκτής τηλεφωνικής υπηρεσίας καθώς και ο υπολογισμός της καθυστέρησης για ένα χειριστή. Το 97 τα αποτελέσματα επεκτάθηκαν για πολλούς χειριστές μαζί. Την ίδια χρονιά ο Erlag δημοσίευσε την πολύ γνωστή εργασία του με τίτλο "Solutio of some problems i the theory of probabilities of sigificace i Automatic Telephoe exchages" [Ξ3]. Τα αποτελέσματα των ερευνών του Erlag έδειξαν ότι συχνά ο μέσος ρυθμός αφίξεων των κλήσεων ακολουθεί κατανομή Poisso ενώ οι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετική. -3-

19 Εικόνα..: Ένα τηλεφωνικό σύστημα αναμονής H ανάπτυξη στο χώρο αυτό της έρευνας συνεχίστηκε πάνω στη γραμμή που είχε δώσει ο Erlag και οι κυριότερες δημοσιεύσεις ήταν αυτές των Molia [Ξ39]και Fry [Ξ5]. Μετά το Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο αυτή η αρχική δουλειά επεκτάθηκε σε άλλα γενικότερα προβλήματα ουρών (Kedall [Ξ29]). O Δαβίδ G. Kedall ήταν αυτός που εισήγαγε και τον συμβολισμό A/B/C των ουρών αναμονής το 953. Σημαντική εργασία για τη θεωρία αναμονής αποτέλεσε και η διδακτορική διατριβή του Leoard Kleirock στη δεκαετία του 60 που χρησιμοποιήθηκε ως βασικό μαθηματικό υπόβαθρο μεταγωγής πακέτων, τη βασική τεχνολογία πίσω από το Διαδίκτυο. Η δραστηριότητα των παραπάνω ερευνητών καθώς και των Pollaczek (930) και Palm [Ξ42] παρακίνησε ένα ζωηρό ενδιαφέρον για τη θεωρία των ουρών αναμονής, ως ένα αποτελεσματικό μέσο για την περιγραφή της συμπεριφοράς ενός μεγάλου αριθμού φαινόμενων, όπως αυτά που παρατηρούνται: στις βιομηχανίες, στις τηλεφωνικές γραμμές, στα ταμεία μεγάλων καταστημάτων, στα συνεργεία επισκευής βλαβών και αλλού..2 Ιστορική ανασκόπηση των μοντέλων των ουρών αναμονής Ένα από τα πρώτα μοντέλα που μελετήθηκαν ήταν η M / M / ουρά (διαδικασία αφίξεων Poisso, εκθετικές εξυπηρετήσεις, ένας υπηρέτης, απεριόριστη χωρητικότητα). Για αυτήν έχει αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις ισορροπίας είναι πολύ απλές και η οριακή κατανομή της ουράς υπολογίζεται μέσω αναδρομικών επιχειρημάτων. Η εισαγωγή της τεχνικής των πιθανογεννητριών συναρτήσεων σε διάφορες παραλλαγές/τροποποιήσεις της M / M / ουράς έχει αποδειχθεί ότι παρέχει μια πολύ ισχυρή μέθοδο για τη μελέτη της οριακής συμπεριφοράς των μοντέλων. Γενικότερα, οι πιθανογεννήτριες συναρτήσεις του πλήθους των πελατών σε μοντέλα -4-

20 τύπου M / M / αποδεικνύεται ότι ικανοποιούν γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις, οι οποίες μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά. Μια πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τη μελέτη αυτής της κλάσης μοντέλων. Επίσης μελετήθηκε η μοντελοποίηση και ανάλυση ουρών αναμονής με συγχρονισμένες υπαναχωρήσεις. Η ιδέα ότι οι πελάτες επιχειρούν ανεξάρτητες υπαναχωρήσεις ξεκινάει από την πρωτοποριακή εργασία του Palm (953, 957) [Ξ42], ο οποίος ήταν ο πρώτος που μελέτησε την M / M / s ουρά με εκθετικούς χρόνους υπομονής. Ένας άλλος σημαντικός ερευνητής ήταν ο Daley (965) [Ξ2], ο οποίος μελέτησε τη GI / G / ουρά με ανεξάρτητες υπαναχωρήσεις. Ο Takacs (974) [Ξ50] θεώρησε την M / G / ουρά με χρόνους υπομονής που δεν υπερβαίνουν ένα καθορισμένο κατώφλι (threshold waitig time), στην οποία οι πελάτες εγκαταλείπουν το σύστημα αμέσως μόλις ο χρόνος αναμονής τους ξεπεράσει το κατώφλι. Αργότερα οι Boxma ad de Waal (994) [Ξ7] μελέτησαν τη ουρά με γενικά κατανεμημένους χρόνους υπομονής. Πρόσφατα, αρκετοί ερευνητές μελέτησαν συστήματα στα οποία οι υπαναχωρήσεις των πελατών συνδέονται με την προσωρινή απουσία του υπηρέτη. Τα μοντέλα στα οποία ο υπηρέτης για κάποια χρονική περίοδο δεν είναι διαθέσιμος αναφέρονται ως μοντέλα με απουσίες του υπηρέτη (server vacatio models). Τυπικά, μια περίοδος απουσίας του υπηρέτη ξεκινάει αμέσως μόλις αδειάσει το σύστημα μετά από μια περίοδο συνεχούς λειτουργίας. Οι χρόνοι κατά τους οποίους ο υπηρέτης είναι απών αναφέρονται ως περίοδοι απουσίας του υπηρέτη. Μια περίοδος απουσίας συνήθως τελειώνει με την εισαγωγή κάποιας συνθήκης η οποία εξαρτάται από τη διαδικασία αφίξεων κατά τη διάρκεια της περιόδου απουσίας του υπηρέτη. Για παράδειγμα, σε κάποιες περιπτώσεις είναι λογικό να υποτεθεί ότι ο υπηρέτης λείπει για πολλαπλές περιόδους απουσίας, όσο το σύστημα παραμένει κενό, ενώ σε κάποιες άλλες περιπτώσεις είναι ρεαλιστικότερο να υποτεθεί ότι ο υπηρέτης λείπει μόνο για μια περίοδο απουσίας και επιστρέφοντας μένει στο σύστημα έτοιμος να παρέχει εξυπηρέτηση, ακόμα και όταν δεν υπάρχουν πελάτες σε αναμονή. Σε άλλα συστήματα, οι απουσίες του υπηρέτη οφείλονται σε τυχαίες βλάβες (radom failures) του συστήματος (υπηρέτες που εναλλάσσονται μεταξύ λειτουργίας και αργίας (servers with o-off periods), αναξιόπιστοι υπηρέτες (ureliable servers) και υπηρέτες που υπόκεινται σε βλάβες και επισκευές (servers with failures ad repairs)). Μοντέλα που βασίζονται στην M / G / ουρά με απουσίες του υπηρέτη έχουν μελετηθεί από -5-

21 τους Altiok (987) [Ξ], Cooper (970) [Ξ0], Fuhrma (984) [Ξ6], Harris ad Marshal (988) [Ξ22], Levy ad Yechiali (975) [Ξ35], Shaked ad Shathikumar (986) [Ξ48], Yadi ad Naor (963) [Ξ54], καθώς και πολλούς άλλους. Αν επιπλέον προστεθεί το στοιχείο των ανεξάρτητων υπαναχωρήσεων σε ένα μοντέλο με απουσίες του υπηρέτη, προκύπτει ένα μοντέλο το οποίο αναφέρεται ως μοντέλο με απουσίες του υπηρέτη και υπαναχωρήσεις (server vacatio model with idepedet reegig). Τέτοια μοντέλα αναπαριστούν την ανθρώπινη συμπεριφορά σε πραγματικές καταστάσεις και εισήχθησαν από τους Altma και Yechiali (2006) [Ξ2]. Μια άλλη πηγή ανυπομονησίας των πελατών αποτελούν οι πιθανές βλάβες του συστήματος, όπως είναι πολύ πιθανό να συμβεί σε μία βιομηχανία. Περιπτώσεις κατά τις οποίες η εξυπηρέτηση των πελατών δύναται να διακοπεί από κάποιο τυχαίο μηχανισμό μελετήθηκαν αρχικά για συστήματα με έναν υπηρέτη (βλέπε π.χ. Gaver (962) [Ξ8] και Keilso (962) [Ξ27]) και αργότερα επεκτάθηκαν για συστήματα πολλών υπηρετών (βλέπε π.χ. Mitray ad Avi-Itzhak (968) [Ξ37])..3 Το φαινόμενο των ουρών αναμονής Η δημιουργία ουρών αναμονής είναι ένα πολύ συνηθισμένο φαινόμενο στην καθημερινή ζωή και εργασία. Η θεωρία των ουρών αναμονής έχει σαν αντικείμενο την ανάλυση και τη μελέτη των καταστάσεων κατά τις οποίες οι μονάδες, ή αλλιώς πελάτες, καταφθάνουν με τυχαίο τρόπο για να εξυπηρετηθούν σε ένα σύστημα εξυπηρετήσεως που αποτελείται από ένα ή περισσότερους σταθμούς που παρέχουν την συγκεκριμένη υπηρεσία. Πρόκειται για έναν τομέα των μαθηματικών με μεγάλο πεδίο εφαρμογών στην καθημερινότητα, πχ. αλλαγή μέσου μεταφοράς γιατί η αναμονή στο ένα είναι μικρότερη από το άλλο, και αποτελεί μια από τις μεθόδους της Επιχειρησιακής Έρευνας. Το φαινόμενο αυτό εμφανίζεται όταν η τρέχουσα ζήτηση για εξυπηρέτηση από ένα σύστημα εξυπηρετήσεως είναι μεγαλύτερη από την τρέχουσα δυναμικότητα του συστήματος, που παρέχει την εξυπηρέτηση. [Ε4], [Ε8], [Ε29]. Οι αποφάσεις που θα προσδιορίσουν την δυναμικότητα είναι πολλές φορές δύσκολες, επειδή είναι συχνά αδύνατο να προβλεφθεί ακριβώς πότε θα αφιχθούν οι μονάδες στο σύστημα για να εξυπηρετηθούν και πόσος χρόνος θα χρειαστεί για την εξυπηρέτησή τους λόγω της έλλειψης κανονικότητας των αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών αντίστοιχα. Ωστόσο, ένα αυτοματοποιημένο εργοστάσιο, -6-

22 τις περισσότερες φορές, λειτουργεί με σταθερούς χρόνους άφιξης και εξυπηρέτησης και αυτό δίνει τη δυνατότητα πιο σίγουρων αποφάσεων. Η ύπαρξη στο σύστημα μεγαλύτερης δυναμικότητας από αυτή που χρειάζεται, θα απαιτήσει μεγαλύτερο κόστος. Από την άλλη μεριά, μια μικρότερη δυναμικότητα, θα δημιουργήσει συνωστισμό και η ουρά θα μεγαλώνει με την πάροδο του χρόνου. Η ύπαρξη ουράς δημιουργεί και αυτή κόστος, όπως π. χ. κοινωνικό κόστος, κόστος διαρροής πελατών, κόστος αχρησιμοποίητων πόρων κ.α. Έτσι, αντικειμενικός σκοπός είναι να βρεθεί μία οικονομική ισορροπία μεταξύ του κόστους εξυπηρέτησης και του κόστους που συνδέεται με την αναμονή γι' αυτή την εξυπηρέτηση. Η θεωρία ουρών επιχειρεί να δώσει απάντηση στα προβλήματα αυτά τις περισσότερες περιπτώσεις επιτυχώς, χρησιμοποιώντας λεπτομερή μαθηματική ανάλυση. Στις άλλες περιπτώσεις, χρησιμοποιούνται εναλλακτικές μέθοδοι αντιμετώπισης τους, όπως είναι η προσομοίωση πραγματικών σεναρίων. [Ε]..4 Δομή ενός συστήματος αναμονής Ένα σύστημα ουράς περιγράφεται από την άφιξη πελατών που επιθυμούν κάποιου είδους εξυπηρέτησης, την αναμονή τους γι' αυτήν, την εξυπηρέτησή τους και τέλος την αποχώρησή τους. Το πρόβλημα της θεωρίας γραμμών αναμονής είναι να εξασφαλισθεί λογικός χρόνος αναμονής για τους πελάτες με μικρό κόστος εξυπηρέτησης. [Ξ53]. Στο Σχήμα.4. και.4.2. παρουσιάζεται σχηματικά ένα βασικό σύστημα αναμονής Σχήμα.4.: Σχηματική παράσταση ενός συστήματος αναμονής -7-

23 ή ομοίως Σχήμα.4.2: Η βασική διαδικασία ουράς Η ουρά αναμονής και το σύστημα εξυπηρέτησης αποτελούν το σύστημα αναμονής. Τονίζεται ότι η πηγή προέλευσης των πελατών θεωρείται εξωτερικό στοιχείο του συστήματος. Οι μονάδες (προϊόντα, οχήματα, αεροπλάνα, πλοία, πελάτες, κλπ.) που χρειάζονται εξυπηρέτηση δημιουργούνται από μια πηγή προέλευσης μονάδων. Οι μονάδες αυτές εισέρχονται σ' ένα σύστημα ουράς και ακολουθούν μια ουρά. Στη συνέχεια περνάνε σε ένα σταθμό εξυπηρέτησης, ο οποίος περιλαμβάνει μία ή περισσότερες θέσεις εξυπηρέτησης. Αν μία μονάδα, φθάνοντας στο σύστημα βρει όλους τους σταθμούς εξυπηρέτησης απασχολημένους, τότε περιμένει στην ουρά αναμονής μέχρι να έρθει η κατάλληλη χρονική στιγμή και να εξυπηρετηθεί. Η μονάδα από την ουρά επιλέγεται για εξυπηρέτηση σύμφωνα με κάποιο αλγόριθμο χρονοδρομολόγησης (queueig disciplie) γνωστό ως πειθαρχία ουράς ή πειθαρχία εξυπηρέτησης. Εξυπηρετείται από ένα μηχανισμό εξυπηρέτησης και μετά φεύγει από το σύστημα αναμονής. Η πηγή προέλευσης πελατών μπορεί να είναι είτε άπειρου είτε πεπερασμένου μεγέθους και θεωρείται εξωτερικό στοιχείο (περιβάλλον) του συστήματος αναμονής. Σημειώνεται, αναφορικά και μόνο, το γεγονός ότι στις ουρές που απαρτίζονται από ανθρώπους, υπάρχει και το ενδεχόμενο να αποχωρήσουν οι πελάτες λόγω του ότι δεν μπορούν να περιμένουν στην ουρά για το χρονικό διάστημα που χρειάζεται. Ο πελάτης χαρακτηρίζεται ανυπόμονος αν δεν εντάσσεται στην ουρά όταν συναντήσει ουρά έστω και μικρού μήκους, ενώ εντάσσεται σε αυτή αν η ουρά είναι μικρή και εκτιμά ότι ο χρόνος αναμονής θα είναι μικρός. Οι πελάτες δεν αποθαρρύνονται πάντα από το μέγεθος της ουράς αφού μπορεί να επιχειρήσουν να εκτιμήσουν τον αναμενόμενο χρόνο παραμονής σε αυτή. Αν η ουρά κινείται γρήγορα τότε ένα άτομο -8-

24 είναι δυνατό να ενσωματωθεί σε μακρά ουρά. Αν η ουρά κινείται αργά τότε ένα άτομο είναι δυνατό να αποθαρρυνθεί ακόμη και στην περίπτωση μικρού μήκους της ουράς. Αν το φαινόμενο γίνει έντονο, πρέπει να παρθούν άμεσα μέτρα για την ελαχιστοποίηση της ουράς. Τα χαρακτηριστικά των αφίξεων σε αυτές τις περιπτώσεις είναι: Άφιξη πελατών κατά ομάδες (bulk arrivals). Η ανυπομονησία παίρνει κυρίως τρεις μορφές: Balkig (άρνηση): οι πελάτες αποφασίζουν να μην ενταχθούν στην ουρά αν αυτή είναι μεγάλη. Reegig (αποχώρηση): οι πελάτες αποχωρούν από την ουρά αν έχουν ήδη μείνει σε αυτή για αρκετή ώρα αλλά και μερικές φορές και αμέσως μετά την άφιξη. Το τελευταίο συμβαίνει πχ. σε ουρές αυτοκινήτων σε ώρες αιχμής όταν το μήκος της ουράς και η διάρκεια αναμονής είναι αυξημένα. Οι πελάτες δε θα παραμείνουν στην ουρά αν αυτή είναι μεγάλη αλλά θα αποχωρήσουν αμέσως μετά την άφιξή τους. Jockeyig (μεταπήδηση): οι πελάτες μεταπηδούν από μία ουρά σε άλλη αν θεωρούν ότι θα εξυπηρετηθούν ταχύτερα. Τέτοιου είδους μοντέλο αποτελεί το M / M / s / k στο οποίο αν ο πελάτης βρει k άτομα στο σύστημα δεν προσχωρεί σ' αυτό. Στην παρούσα εργασία που εξετάζει τα αυτοματοποιημένα βιομηχανικά συστήματα δεν έχει νόημα η επέκταση και ανάλυση τέτοιων περιπτώσεων. Οι όροι πελάτης και σταθμός εξυπηρέτησης χρησιμοποιούνται ως γενική έννοια και αντιστοιχούν σε διαφορετικές έννοιες του πραγματικού κόσμου, ανάλογα με το πεδίο εφαρμογής των συστημάτων αναμονής. Ο όρος πελάτης δεν αναφέρεται κατ' ανάγκη σε ανθρώπινη ύπαρξη. Ένας πελάτης θα μπορούσε να είναι ένα αεροπλάνο που περιμένει να απογειωθεί από ένα συγκεκριμένο διάδρομο απογείωσης ενός αεροδρομίου και στην περίπτωση μιας βιομηχανίας, οι πελάτες μπορεί να παριστάνουν τα προϊόντα που παράγει. Το σύστημα εξυπηρέτησης περιλαμβάνει έναν ή περισσότερους σταθμούς εξυπηρέτησης. Υπάρχουν συστήματα αναμονής με πολλούς παράλληλους σταθμούς εξυπηρέτησης αλλά και σταθμούς σε σειρά. -9-

25 Όταν φθάσει στο σταθμό εξυπηρέτησης ο πελάτης, μπορεί να εξυπηρετηθεί αμέσως ή εφόσον το επιθυμεί, θα περιμένει μέχρις ότου ο σταθμός εξυπηρέτησης εκκενωθεί. Μετά την εξυπηρέτησή του, ο πελάτης αναχωρεί από το σύστημα..5 Εφαρμογές των συστημάτων αναμονής Τα συστήματα αναμονής εφαρμόζονται, μεταξύ άλλων, στις ακόλουθες υπηρεσίες: Τράπεζες Βιομηχανίες Αεροδρόμια. Δημόσιες υπηρεσίες και Ιδιωτικές υπηρεσίες (πχ ΟΠΑΔ και Νοσοκομεία) Οδικά συστήματα Τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Υπολογιστικά συστήματα..6 Περιγραφή των συστημάτων αναμονής Ένα σύστημα αναμονής για να προσδιοριστεί πλήρως, εκτός των άλλων, θα πρέπει να καθοριστεί και μια στοχαστική διαδικασία (stochastic process) που περιγράφει τη ροή αφίξεων, όπως και τη δομή και τις αρχές που διέπουν την εξυπηρέτηση. Σχετικά με τη δομή και τον τρόπο εξυπηρέτησης, θα πρέπει να οριστούν στοιχεία, όπως το μέγεθος του χώρου αναμονής που συχνά θεωρείται άπειρος, ο αριθμός των σταθμών εξυπηρέτησης και η τρόπος-σειρά εξυπηρέτησης. Αυτά τα στοιχεία αναλύονται παρακάτω: [Ξ], [Ξ2], [Ξ33], [Ξ5], [Ε2], [Ε4], [Ε7], [Ε8], [Ε26], [Ε29]..6. Η πηγή των πελατών H πηγή από την οποία προέρχονται οι μονάδες είναι το μέγεθος του πληθυσμού των μονάδων, δηλαδή ο συνολικός αριθμός μονάδων που χρειάζονται εξυπηρέτηση, και μπορεί να είναι πεπερασμένης ή απεριόριστης χωρητικότητας. Σε όλα τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου ο συνολικός αριθμός των μονάδων που ξεκινούν από μια πηγή και ζητούν εξυπηρέτηση από κάποιο σύστημα είναι πεπερασμένος. Όμως, αν το μέγεθος του πληθυσμού είναι αρκετά μεγάλο η πηγή θεωρείται άπειρης χωρητικότητας. Η υπόθεση αυτή γίνεται επειδή οι υπολογισμοί είναι πιο εύκολοι για την περίπτωση του άπειρου αριθμού μονάδων. Πιο δύσκολη θεωρείται η περίπτωση του περιορισμένου αριθμού επειδή ο αριθμός των μονάδων στο σύστημα ουράς -0-

26 επηρεάζει τον αριθμό των πιθανών μονάδων, που είναι εκτός συστήματος. Ωστόσο, η υπόθεση του περιορισμένου αριθμού μονάδων πρέπει να γίνεται όταν ο ρυθμός, με τον οποίο προσέρχονται νέες μονάδες, επηρεάζεται σημαντικά από τον αριθμό των μονάδων που ήδη βρίσκονται στο σύστημα ουράς. Η βασική διαφορά μεταξύ πεπερασμένης και άπειρης πηγής έγκειται στο γεγονός ότι, οι πελάτες μετά την εξυπηρέτηση τους μπορεί να επιστρέφουν ή όχι στην πηγή προελεύσεως, χωρίς αυτό να μεταβάλει τον ρυθμό με τον οποίο η πηγή τροφοδοτεί την ουρά αναμονής. Αναφέρεται ξανά ότι η πηγή αποτελεί εξωτερικό στοιχείο του συστήματος αναμονής..6.2 Ο μηχανισμός αφίξεων Ο όρος αυτός αναφέρεται στις αφίξεις πελατών - μονάδων στο σύστημα και περιγράφει την κατανομή και τις πιθανές συσχετίσεις που παρουσιάζουν οι διαδοχικοί ενδιάμεσοι χρόνοι αφίξεων. Συνήθως, ο τρόπος άφιξης των πελατών είναι στοχαστικός με συνέπεια να είναι απαραίτητη η γνώση της κατανομής των χρόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Ωστόσο, στα βιομηχανικά συστήματα συχνά θεωρείται ντετερμινιστικός. Η πιο κοινή διαδικασία αφίξεων είναι η διαδικασία Poisso. Όπως αναλύεται και στο Παράρτημα Α, οι αφίξεις στο σύστημα ουράς γίνονται τυχαία, αλλά με συγκεκριμένο μέσο ρυθμό. Επίσης πρέπει να γίνεται γνωστό αν οι αφίξεις πραγματοποιούνται ατομικά ή ομαδικά. Στην περίπτωση των ομαδικών αφίξεων είναι επιθυμητή η γνώση της κατανομής του μεγέθους των ομάδων μονάδων. Όσο πιο ανομοιόμορφες είναι οι αφίξεις τόσο μεγαλύτερη συμφόρηση παρατηρείται στο σταθμό εξυπηρέτησης, με την προϋπόθεση ότι τ' άλλα χαρακτηριστικά μεγέθη είναι τα ίδια. Αφίξεις σε σταθερά χρονικά διαστήματα προκαλούν πολύ μικρή συμφόρηση, επειδή υπάρχει χρόνος για την εξυπηρέτηση κάποιας μονάδας πριν έρθει η επόμενη. Ανομοιόμορφες αφίξεις, με διαστήματα μεταξύ διαδοχικών αφίξεων που μεταβάλλονται, προκαλούν σημαντικούς χρόνους αναμονής, επειδή ο σταθμός εξυπηρέτησης είναι συχνά πλήρης, όταν φθάνει κάποιος πελάτης. Στα βιομηχανικά συστήματα οι αφίξεις γίνονται σε σταθερά χρονικά διαστήματα λόγω της πλήρους αυτοματοποίησης και έτσι η πιθανότητα να προκληθεί συμφόρηση αυξάνεται μόνο λόγω κάποιας βλάβης της μηχανής-εξυπηρετητή. --

27 Κατά την είσοδο του πελάτη στο σύστημα είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τον τρόπο αντίδρασής του. Ένας πελάτης εισερχόμενος ενδέχεται να είναι προετοιμασμένος να περιμένει στην ουρά προκειμένου να εξυπηρετηθεί ανεξαρτήτως του απαιτούμενου χρόνου αναμονής ή να φύγει από την ουρά αν η ουρά είναι μεγάλη. Ο πελάτης που εισέρχεται στο σύστημα και το εγκαταλείπει αμέσως λόγω μεγάλης ουράς λέγεται ότι έχει αποχωρήσει από το σύστημα (balked). Αν ο πελάτης εισερχόμενος στο σύστημα περιμένει στην ουρά για κάποιο χρονικό διάστημα και αποχωρεί χάνοντας την υπομονή του λέγεται ότι έχει υπαναχωρήσει (reeged). Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες της μίας ουρές αναμονής, οι πελάτες ενδέχεται ν' αλλάξουν ουρά μεταπηδώντας από τη μία ουρά στην άλλη και λέγεται ότι οι πελάτες έχουν μεταπηδήσει σε άλλη ουρά (are jockeyig). Όλες αυτές οι περιπτώσεις αφορούν ουρές με ανυπόμονους πελάτες και επειδή δεν εμπίπτουν στον σκοπό αυτής της εργασίας, δεν θα αναλυθούν περαιτέρω. Βασικός, τέλος, παράγων για την πλήρη μελέτη του συστήματος αναμονής είναι ο τρόπος αλλαγής των αφίξεων σε συνάρτηση με τον χρόνο. Αν η κατανομή πιθανότητας που περιγράφει τον τρόπο αλλαγής της διαδικασίας αφίξεων είναι ανεξάρτητη του χρόνου τότε η διαδικασία αφίξεων είναι στάσιμη (statioary). Κάθε άλλη διαδικασία που εξαρτάται από τον χρόνο χαρακτηρίζεται ως μη στάσιμη (o statioary). Οι αφίξεις θεωρούνται τυχαίες όταν είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη (δεν επηρεάζεται μία άφιξη από κάποια προηγούμενη) και η χρονική στιγμή πραγματοποίησης τους δεν μπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. Οι πελάτες καταφθάνουν στο σύστημα είτε σύμφωνα με κάποιο γνωστό και σταθερό ρυθμό ή, όπως στις υπηρεσίες στις περισσότερες περιπτώσεις, σε «τυχαίες» χρονικές στιγμές, π.χ. ασφαλισμένοι στο ΙΚΑ. Στην περίπτωση αυτή ο μέσος ρυθμός των αφίξεων χαρακτηρίζεται από το μέσο αριθμό αφίξεων ανά μονάδα του χρόνου (π.χ. πελάτες ανά ώρα ή λεπτό). Στην θεωρία ουρών αναμονής, η τυχαία μεταβλητή αριθμός των αφίξεων ανά μονάδα χρόνου, μπορεί πολλές φορές να προσεγγισθεί από την κατανομή Poisso. Έτσι, η μέση τιμή της Poisso αντιστοιχεί στη μέση τιμή των αφίξεων ανά μονάδα χρόνου, συμβολίζεται με και αποτελεί το μέσο ρυθμό αφίξεων στη μονάδα του χρόνου. Έστω, παριστάνεται με X το πλήθος των αφίξεων που πιθανόν να πραγματοποιηθούν σε μία ώρα ή λεπτό (δηλαδή στη μονάδα του -2-

28 χρόνου). Το X είναι τυχαία μεταβλητή και η πιθανότητα να πάρει κάποια συγκεκριμένη τιμή, έστω k (το k είναι δεδομένος αριθμός), δίνεται από την σχέση: k e P X k k k!, 0,,2,3,... που είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Poisso. Όταν ο μέσος ρυθμός αφίξεων είναι, τότε ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις, παρεμβάλλεται χρόνος που κατά μέσο όρο είναι ίσος με. Αυτό θα αναλυθεί και παρακάτω. Οι χρόνοι μεταξύ των αφίξεων θεωρούνται επίσης ανεξάρτητες ομοίως κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές. Συνεπώς, η ροή των αφίξεων σχηματίζει μια στάσιμη ανανεωτική διαδικασία. Συνήθως η περιγραφή της διαδικασίας των αφίξεων γίνεται από μια κατανομή πιθανοτήτων των χρόνων μεταξύ αφίξεων των πελατών που συμβολίζεται με όπου: ο χρόνος μεταξύ αφίξεων A t P t Συνήθως μας ενδιαφέρει μόνο η κατανομή At, At που περιγράφει τους χρόνους μεταξύ αφίξεων. Η κατανομή πιθανότητας του χρόνου μεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι η εκθετική κατανομή. Στις βιομηχανίες που λειτουργούν με σταθερούς χρόνους άφιξης και εξυπηρέτησης, οι κατανομές άφιξης και εξυπηρέτησης είναι η fixed..6.3 Η ουρά Η ουρά χαρακτηρίζεται από το μέγιστο επιτρεπτό αριθμό μονάδων που μπορεί να συμπεριλάβει. Οι ουρές είναι απείρου ή περιορισμένου μήκους σύμφωνα με το αν ο αριθμός αυτός είναι άπειρος ή πεπερασμένος. Η υπόθεση της ουράς απείρου μήκους γίνεται στα περισσότερα πρότυπα ουράς, ακόμα και αν στην πραγματικότητα οι μονάδες που μπορεί να χωρέσει είναι πολλές αλλά πεπερασμένες. Αυτό γίνεται επειδή οι υπολογισμοί με άπειρο άνω φράγμα δυσκολεύουν την ανάλυση. Ωστόσο, σε συστήματα ουρών όπου το ανώτερο φράγμα είναι σχετικά μικρό, είναι αναγκαίο να υποτεθεί ότι η ουρά έχει περιορισμένο μήκος. Όταν υπάρχει περιορισμός στο χώρο αναμονής, τότε όλες οι μονάδες που φθάνουν όταν η ουρά φθάσει στο μέγιστο δυνατό, αποχωρούν αμέσως μετά την άφιξή τους. Οι ουρές αυτές ονομάζονται περικομμένες (Trucated queues). -3-

29 Πειθαρχία ουράς Είναι ο κανονισμός που καθορίζει την προτεραιότητα με την οποία επιλέγονται οι μονάδες από την ουρά αναμονής για να προχωρήσουν στην εξυπηρέτηση. Οι πιο συνηθισμένοι: τρόποι εξυπηρέτησης είναι: FIFO (First I First Out) ή FCFS, (First Come, First Served): Πρώτος αφικνούμενος - Πρώτος εξυπηρετούμενος. Οι πελάτες εξυπηρετούνται σύμφωνα με την σειρά άφιξής τους. Αποτελεί την πιο κοινή περίπτωση εξυπηρετήσεως. LIFO (Last I First Out) ή LCFS, (Last Come, First Served): Τελευταίος αφικνούμενος - Πρώτος εξυπηρετούμενος. Κάθε φορά εξυπηρετείται ο πελάτης με τον πιο πρόσφατο χρόνο άφιξης, δηλαδή η μονάδα που φτάνει τελευταία, εξυπηρετείται πρώτη. FIRO (First I Radom Out): Αυτός που φτάνει πρώτος εξυπηρετείται τυχαία. SIRO (Service I Radom Order): Οι πελάτες εξυπηρετούνται κατά τυχαίο τρόπο. PS (Priority Schedulig): Χρονοδρομολόγηση με προτεραιότητες. Οι πελάτες χωρίζονται σε κατηγορίες με διαφορετικές προτεραιότητες. Διακρίνουμε τρεις γενικούς τύπους προτεραιοτήτων: Απλή προτεραιότητα ή προτεραιότητα χωρίς διακοπή (opreemptive): Μετά το τέλος μιας εξυπηρέτησης επιλέγεται για την επόμενη εξυπηρέτηση ο πελάτης με την υψηλότερη προτεραιότητα (μεταξύ πελατών με ίση προτεραιότητα ακολουθείται ο κανόνας FCFS). Απόλυτη προτεραιότητα ή προτεραιότητα με διακοπή (preemptive): Όταν ένας πελάτης που χαρακτηρίζεται από υψηλή προτεραιότητα φθάνει στο σύστημα και βρίσκει ένα πελάτη με χαμηλότερη προτεραιότητα να εξυπηρετείται, τον διακόπτει και αρχίζει η δική του εξυπηρέτηση. R-R (Roud Robi): Είναι ένας από τους πιο διαδεδομένους αλγόριθμους χρονοδρομολόγησης για συστήματα καταμερισμού χρόνου (time-sharig). Οι πελάτες εξυπηρετούνται σε διάταξη FCFS εφόσον ο χρόνος εξυπηρέτησής τους δεν ξεπερνά ένα σταθερό χρονικό -4-

30 διάστημα. Όταν ο χρόνος εξυπηρέτησής τους φθάσει το διάστημα αυτό, ο πελάτης διακόπτεται και τοποθετείται στο τέλος της ουράς. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλους τους πελάτες. Η πειθαρχία ουράς επηρεάζει την κατανομή των χρόνων αναμονής στο σύστημα. Ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής εξαρτάται από τη διαδικασία εξυπηρέτησης και άφιξης, η διασπορά τους εξαρτάται από την πειθαρχία ουράς. Στην περίπτωση της πειθαρχίας FCFS η κατανομή έχει πολύ λίγους μεγάλους χρόνους αναμονής. Η πειθαρχία FIRO δίνει κατανομή με μεγαλύτερη διασπορά, επειδή ορισμένοι πελάτες πρέπει να περιμένουν, ενώ άλλοι που ήρθαν αργότερα εξυπηρετούνται πριν απ' αυτούς. Με την πειθαρχία LCFS η κατανομή έχει ακόμη μεγαλύτερη διασπορά..6.4 Το σύστημα εξυπηρέτησης Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες η παρεχόμενη από έναν εξυπηρετητή υπηρεσία προσφέρεται ταυτοχρόνως σε πλήθος πελατών. Έτσι, η εξυπηρέτηση μπορεί να παρέχεται και σε ομάδες. Παράδειγμα τέτοιου τρόπου εξυπηρέτησης είναι ο server ενός υπολογιστή, η διδασκαλία σε μαθητική τάξη, μεταφορά επιβιβαζόμενων ατόμων στο μέσα μαζικής μεταφοράς κ.λ.π. Ο μηχανισμός εξυπηρέτησης περιλαμβάνει την κατανομή και τις συσχετίσεις των χρόνων εξυπηρέτησης. το πλήθος των υπηρετών στο σύστημα, την πληροφορία αν οι υπηρέτες είναι ομογενείς ή ετερογενείς, την ταχύτητα με την οποία εξυπηρετούν, κ.α. Η εξυπηρέτηση μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των αναμενόμενων μονάδων. Η ταχύτητα εξυπηρέτησης μπορεί να επηρεάζεται από την αύξηση της ουράς. Ένας εξυπηρετητής ενδεχομένως να επηρεάζεται αρνητικά από την αύξηση του μήκους της ουράς. Αυτό συμβαίνει συνήθως σε συστήματα που παρέχουν κάποια υπηρεσία, όπως π.χ. στο ταχυδρομείο ή στις τράπεζες. Στην περίπτωση που η εξυπηρέτηση εξαρτάται από τον αριθμό των πελατών στην ουρά το σύστημα αναφέρεται ως «σύστημα εξαρτημένο από την φάση» («state depedet system»). H διαδικασία εξυπηρέτησης όπως και η διαδικασία αφίξεων μπορεί να είναι στάσιμη (statioary) ή μή στάσιμη (o statioary) ως προς τον χρόνο. Διαδικασίες εξυπηρέτησης που εξαρτώνται από το χρόνο είναι η παροχή εξυπηρέτησης η οποία γίνεται αποτελεσματικότερη όσο ο εξυπηρετητής αποκτά εμπειρία αλλά και η διαδικασία μάθησης. -5-

31 Η εξάρτηση από τον χρόνο και η εξάρτηση από την φάση είναι τελείως διαφορετικές έννοιες. Όμως, ένα σύστημα είναι δυνατόν να είναι εξαρτημένο από την φάση που βρίσκεται όπως επίσης και από τον χρόνο. Ακόμη και στην περίπτωση που ο ρυθμός εξυπηρέτησης είναι υψηλός, μπορεί μερικοί πελάτες να καθυστερούν στην ουρά. Η άφιξη και η αποχώρηση των πελατών συμβαίνουν σε ακανόνιστα χρονικά διαστήματα με συνέπεια η μορφή της ουράς να μην έχει συγκεκριμένη μορφή, εκτός και αν οι αφίξεις και οι αναχωρήσεις είναι ντετερμινιστικές, όπως συμβαίνει στις αυτοματοποιημένες βιομηχανίες. Επομένως, η κατανομή πιθανότητας του μήκους της ουράς είναι το αποτέλεσμα δύο ξεχωριστών διαδικασιών-αφίξεων και εξυπηρετήσεων που σε γενικές γραμμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ο μηχανισμός εξυπηρετήσεως μπορεί άλλοτε να είναι διαθέσιμος και άλλοτε όχι. Κατά τη διάρκεια προγραμματισμένης συντήρησης μιας μηχανής, αυτή η μηχανή δεν είναι διαθέσιμη για το εργοστάσιο. Το ίδιο συμβαίνει και σε περιπτώσεις βλάβης της μηχανής, μόνο που τότε το γεγονός της μη διαθεσιμότητας είναι τυχαίο. Ως χωρητικότητα του συστήματος εξυπηρέτησης ορίζεται συνήθως ο αριθμός των πελατών που μπορούν να εξυπηρετούνται ταυτόχρονα. Έτσι το σύστημα εξυπηρέτησης μπορεί να περιλαμβάνει έναν ή περισσότερους σταθμούς εξυπηρετήσεως. Η χωρητικότητα της ουράς μπορεί να είναι άπειρη ή πεπερασμένη. Τέλος, η κατανομή των εξυπηρετήσεων εκφράζεται συνήθως από την κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης. Σε ένα συγκεκριμένο σύστημα αναμονής η κατανομή πιθανότητας B x, των χρόνων εξυπηρέτησης για κάθε θέση περιγράφεται ως: χρόνος εξυπηρέτησης B x P x όπου ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι το χρονικό διάστημα που αφιερώνεται σε έναν πελάτη για να εξυπηρετηθεί, ο χρόνος δηλαδή που παραμένει στη μονάδα εξυπηρέτησης. Ο χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση του πελάτη μπορεί να είναι σταθερός όπως συμβαίνει στις μηχανές μιας βιομηχανίας, ή να παρουσιάζει μεταβλητότητα που οφείλεται σε διάφορους παράγοντες, όπως συμβαίνει στις υπηρεσίες. Στα περισσότερα συστήματα, ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή, με μέση τιμή, όπου με συμβολίζεται ο μέσος αριθμός -6-

32 πελατών που εξυπηρετούνται στη μονάδα του χρόνου. Έστω T ο χρόνος που χρειάζεται μία εξυπηρέτηση, τότε το T είναι τυχαία μεταβλητή και η πιθανότητα ο χρόνος αυτός να είναι μικρότερος ή ίσος από μία δεδομένη τιμή έστω t, δίνεται από τη σχέση: t P T t e Σε περίπτωση που οι σταθμοί εξυπηρέτησης είναι περισσότεροι από ένας, τότε η κατανομή B x μπορεί να διαφέρει σε κάθε έναν. Άλλες κατανομές χρόνων εξυπηρέτησης που συνήθως παρατηρούνται είναι η εκφυλισμένη κατανομή (σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης) και η κατανομή Erlag..6.5 Οι φάσεις εξυπηρέτησης Μία διαδικασία εξυπηρέτησης μπορεί να αποτελείται από μία φάση (μονοφασική), όπως π.χ τα διόδια ή από πολλές φάσεις (πολυφασική) όπως η διαδικασία της παραγωγής ενός προϊόντος η οποία ολοκληρώνεται αφού το ημικατεργασμένο υλικό περάσει από όλες τις μηχανές που θα το επεξεργαστούν. Σε μερικές πολυφασικές διαδικασίες συχνό είναι και το φαινόμενο της επανατροφοδότησης. Αυτό συμβαίνει συνήθως στις βιομηχανικές διαδικασίες στις οποίες ο ποιοτικός έλεγχος γίνεται κατά τακτά χρονικά διαστήματα, μετά το πέρας του οποίου τα προϊόντα που δεν ικανοποιούν τις προδιαγραφές επανέρχονται στη φάση της εκ νέου παραγωγής..6.6 Οι σταθμοί εξυπηρέτησης Οι σταθμοί εξυπηρέτησης μπορεί να είναι παράλληλοι ή στη σειρά.. Όταν είναι παράλληλοι, οι πελάτες που καταφθάνουν μπορεί να κάνουν μία μόνο ουρά ή μία ουρά μπροστά από κάθε σταθμό εξυπηρέτησης, όπως συνήθως συμβαίνει στη ΔΕΗ (Σχήμα.6. και.6.2). Οι χρόνοι εξυπηρέτησης μπορεί να είναι σταθεροί ή τυχαίοι και οι πελάτες ενδέχεται να εξυπηρετηθούν μεμονωμένα ή σε ομάδες, όπως οι επιβάτες σ' ένα λεωφορείο. -7-

33 Σχήμα.6.: Παράλληλοι σταθμοί εξυπηρέτησης με μία ουρά. Σχήμα.6.2: Παράλληλοι σταθμοί εξυπηρέτησης με μία ουρά για τον καθένα ξεχωριστά Αν οι σταθμοί εξυπηρέτησης δεν είναι διατεταγμένοι παράλληλα, τότε μπορεί να είναι σε σειρά (Σχήμα.6.3) και ο κάθε πελάτης θα πρέπει να περάσει για εξυπηρέτηση απ' όλους τους σταθμούς, όπως όταν σε μια βιομηχανία ένα εξάρτημα πρέπει να επεξεργαστεί σε διάφορα στάδια στις διάφορες μηχανές. Τότε μεταξύ δύο διαδοχικών σταθμών σχηματίζεται μία ουρά και δημιουργείται ένα σύστημα πολλών σταθμών σε σειρά με πολλές ουρές σε σειρά. Σχήμα.6.3: Σταθμοί εξυπηρέτησης σε σειρά Μερικές φορές οι πελάτες μπορούν να εξυπηρετηθούν μόνο σε συγκεκριμένες περιόδους, κατά τη διάρκεια των οποίων μπορεί να υπάρχει ή όχι περιορισμός στο πλήθος των πελατών που μπορούν να εξυπηρετηθούν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, -8-

34 σε ένα δρόμο με κίνηση και χωρίς φανάρια, οι πεζοί περιμένουν να περάσουν απέναντι. Θα εξυπηρετηθούν μόνο όταν σταματήσει η κυκλοφορία. Έτσι, ένας μεγάλος αριθμός πελατών μπορεί να εξυπηρετηθεί ταυτόχρονα..6.7 Η χωρητικότητα του συστήματος Αναφέρεται στο πλήθος των πελατών που μπορούν να βρίσκονται μέσα στο σύστημα ανά πάσα στιγμή. Σε ορισμένα συστήματα είναι πιθανόν να υπάρχει περιορισμός στο χώρο αναμονής των πελατών, έτσι όταν η ουρά αποκτά συγκεκριμένο μήκος δεν επιτρέπεται η είσοδος άλλων πελατών στο σύστημα, μέχρι να εκκενωθεί χώρος μετά την εξυπηρέτηση και αποχώρηση ενός τουλάχιστον πελάτη. Το πρόβλημα αυτό αφορά προφανώς συστήματα πεπερασμένου μεγέθους. Μια ουρά πεπερασμένης χωρητικότητας μπορεί να θεωρηθεί ως ουρά αναγκαστικής αποχώρησης (balkig) των πελατών της, αφού ο πελάτης δεν βρίσκει χώρο να περιμένει στην ουρά..6.8 Ο συμβολισμός κατά Kedall Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται στη θεωρία των ουρών αναμονής έχει εισαχθεί από τον David G. Kedall το 953. Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Kedall [Ξ30], μια ουρά περιγράφεται από μια ακολουθία πέντε σημείων γραμμάτων αριθμών Α/Β/s/K/Z: διαδικασία αφίξεων /κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης/ παράλληλοι εξυπηρετητές/ χωρητικότητα ουράς/ πειθαρχία ουράς. Πιο αναλυτικά: Πίνακας.6.: Συμβολισμός κατά Kedall A B s k Διαδικασία αφίξεων. Το σύμβολο Α προσδιορίζει το νόμο διαδικασίας αφίξεων πελατών και καθορίζει έτσι την κατανομή των αφίξεων πελατών. Τα ακόλουθα σύμβολα χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των κατανομών. Για παράδειγμα, το σύμβολο M χρησιμοποιείται για να περιγράψει εκθετικούς χρόνους (memoryless- X Markovia), το M για την εκθετική κατανομή με πλήθος αφίξεων, όπου X τυχαία μεταβλητή που συμβολίζει τον αριθμό των πελατών στην ομάδα αφίξεων, το D για σταθερούς χρόνους (determiistic), το E για Erlag-k, το H (υπερ-εκθετική τάξης k) και το G ή το GI για γενικούς (ανεξάρτητους, δηλαδή δεν γίνεται καμία υπόθεση ως προς την ακριβή μορφή της κατανομής) ενδιάμεσους χρόνους αφίξεων - εξυπηρετήσεων στις θέσεις και, αντίστοιχα, του συμβολισμού του Kedall. Διαδικασία εξυπηρέτησης (κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης): Το σύμβολο Β προσδιορίζει το νόμο που ελέγχει τη διαδικασία εξυπηρέτησης. Ισχύουν τα παραπάνω σύμβολα για τις κατανομές. Αριθμός των παράλληλων εξυπηρετητών ή των θέσεων εξυπηρέτησης Χωρητικότητα του συστήματος ή ο μέγιστος επιτρεπόμενος αριθμός πελατών στο σύστημα. Δηλαδή ο αριθμός των πελατών που βρίσκονται στις θέσεις εξυπηρέτησης και αναμονής. Όταν ο αριθμός αυτός έχει τη μέγιστη τιμή του, κάθε νέος πελάτης δεν μπορεί να εξυπηρετηθεί. k k -9-

35 Z N Πειθαρχία ουράς. Το σύμβολο Z διευκρινίζει τον τρόπο με τον οποίο το σύστημα εξυπηρέτησης δέχεται άτομα από την ουρά αναμονής. Ένα έκτο γράμμα σύμβολο στην ακολουθία Α/Β/s/K/Z μπορεί να είναι το Ν (Α/Β/s/K/Z/Ν) το οποίο θα μας δείχνει το μέγεθος της πηγής των πελατών όταν αυτό είναι πεπερασμένο. Το μέγεθος του πληθυσμού επηρεάζει κατά κάποιο τρόπο τον ρυθμό άφιξης των πελατών, αφού όσο περισσότεροι πελάτες βρίσκονται στην ουρά τόσο λιγότεροι είναι οι μελλοντικοί πελάτες. (μείωση των ατόμων του πληθυσμού). Για παράδειγμα, M / D / 2 / / FCFS : είναι ένα σύστημα αναμονής που η κατανομή του χρόνου μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετική,η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι σταθερή, με δύο παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης, με κανένα περιορισμό στο μέγιστο αριθμό που επιτρέπεται στο σύστημα, και πειθαρχία ουράς FCFS. Σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούνται μόνο τα πρώτα τρία σύμβολα. Συνήθως παραλείπεται το σύμβολο για την χωρητικότητα του συστήματος αναμονής εάν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός k και παραλείπεται η πειθαρχία ουράς εάν αυτή είναι FCFS. Επομένως το παραπάνω σύστημα συμβολίζεται και ως M/D/2 M / G /: διαδικασία αφίξεων Poisso, γενικοί χρόνοι εξυπηρέτησης, ένας εξυπηρετητής. E / M /: Ανανεωτική διαδικασία αφίξεων με Erlag-k ενδιάμεσους χρόνους, k εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης, ένας εξυπηρετητής. M / D / s : εξυπηρετητές. διαδικασία αφίξεων Poisso, σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης, s E / E /: οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων ακολουθούν την κατανομή Erlag παραμέτρου k k, και οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν κατανομή Erlag μοναδιαίας παραμέτρου (εκθετική κατανομή). Η ουρά έχει ένα εξυπηρετητή. Οι παραπάνω συμβολικές αναπαραστάσεις τροποποιούνται όταν εμπλέκονται και άλλοι παράγοντες..7 Μέτρα Απόδοσης του Συστήματος Ο απώτερος στόχος της ανάλυσης των συστημάτων εξυπηρέτησης είναι η κατανόηση και η ποσοτικοποίηση των εμπλεκόμενων διαδικασιών. Η πιο σημαντική διαδικασία είναι αυτή που αναφέρεται στο πλήθος των πελατών στο σύστημα. Έστω Nt το πλήθος των πελατών στο σύστημα τη χρονική στιγμή t, t 0. Τότε η διαδικασία -20-

36 N t είναι μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με διακριτό χώρο καταστάσεων 0,,2,.... Η διαδικασία αυτή αναφέρεται ως διαδικασία του μήκους της ουράς. Δυο άλλες, πολύ σημαντικές διαδικασίες από την οπτική του πελάτη, είναι η διαδικασία του χρόνου παραμονής και του χρόνου αναμονής ενός πελάτη στο σύστημα συνολικά και στην ουρά αντίστοιχα. Ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα ορίζεται ως ο χρόνος από την άφιξή του σ αυτό μέχρι την αναχώρησή του από αυτό, ενώ ο χρόνος αναμονής του ορίζεται ως ο χρόνος από την άφιξη μέχρι την έναρξη της εξυπηρέτησής του. Ανάλογα αναφέρεται και ο αριθμός πελατών που διακρίνεται στους πελάτες που περιμένουν στην ουρά και στους πελάτες που περιμένουν στο σύστημα (αριθμός στην ουρά και αριθμός στη φάση εξυπηρέτησης). Οι διαδικασίες των χρόνων παραμονής και αναμονής, οι οποίες καταγράφουν τους διαδοχικούς χρόνους μιας ακολουθίας πελατών, είναι στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου και συνεχούς χώρου καταστάσεων 0,. Άλλη σημαντική διαδικασία είναι αυτή που σχετίζεται με το μήκος των περιόδων συνεχούς λειτουργίας του συστήματος (busy periods) και το μήκος των περιόδων αδράνειας (idle periods). Μια περίοδος συνεχούς λειτουργίας ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται από τη στιγμή που αφικνείται ένας πελάτης σε άδειο σύστημα μέχρις ότου αδειάσει το σύστημα για πρώτη φορά. Ο ανενεργός χρόνος αναφέρεται στο ποσοστό του χρόνου κατά τη διάρκεια του οποίου κάποιος εξυπηρετητής είναι ανενεργός ή στο ποσοστό του χρόνου κατά τη διάρκεια του οποίου το σύστημα στερείται πελατών. Αφού ο χρόνος είναι καθοριστικής σημασίας, η ανάλυση ενός συστήματος εξυπηρέτησης θα πρέπει να διακρίνει μεταξύ της χρονικά εξαρτώμενης (μεταβατικής) κατανομής και της οριακής κατανομής (κατανομής ισορροπίας, στάσιμης κατανομής) της διαδικασίας. Κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες μια στοχαστική διαδικασία καταλήγει σε στασιμότητα, με την έννοια ότι η οριακή κατανομή της είναι γνήσια κατανομή, ανεξάρτητη του χρόνου. [Ξ2], [Ξ43], [Ξ5], [Ε8]. -2-

37 .7. Τα μέτρα των επιδόσεων και της ικανότητας ενός συστήματος αναμονής Έχοντας καθορίσει τον τρόπο λειτουργίας ενός συστήματος αναμονής παραθέτονται παρακάτω τα μέτρα των επιδόσεων και της ικανότητάς του, τα οποία προσδιορίζονται μέσω της ανάλυσης. ακόλουθοι: Οι τρόποι μέτρησης της ανταπόκρισης του συστήματος κατά σειρά είναι οι Ο αριθμός των πελατών σε ένα σύστημα αναμονής Nt. Η μέτρηση του χρόνου αναμονής στο σύστημα ενός τυπικού πελάτη. Η μέτρηση του ανενεργού χρόνου των εξυπηρετητών. Η στοχαστική φύση των συστημάτων αναμονής έχει ως συνέπεια την στοχαστική φύση των (),(2) και (3) γεγονός που κάνει επιτακτική τη γνώση των κατανομών πιθανότητάς τους καθώς και των αναμενόμενων τιμών τους..7.2 Μεγέθη για τη μελέτη ενός συστήματος Ορισμένα ενδιαφέροντα μεγέθη για τη μελέτη ενός συστήματος αναμονής είναι τα ακόλουθα: Πίνακας.7.: Μεγέθη για τη μελέτη ενός συστήματος αναμονής Ο αριθμός πελατών στο σύστημα τη χρονική στιγμή t Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα τη χρονική στιγμή t Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα τη χρονική στιγμή t Αριθμός εξυπηρετητών Μέσος ρυθμός άφιξης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Βαθμός χρησιμοποίησης των εξυπηρετητών Nt P t P0 t s Όταν οι ρυθμοί άφιξης και εξυπηρέτησης δεν εξαρτώνται από τον αριθμό πελατών στο σύστημα χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί και. Σε πολλές περιπτώσεις οι ρυθμοί άφιξης και εξυπηρέτησης των πελατών δεν επαρκούν για να καθορίσουν τα χαρακτηριστικά καθυστέρησης του συστήματος, δηλ το χρόνο αναμονής και χρόνο εξυπηρέτησης ενός πελάτη στο σύστημα. Συνεπώς για να προβλεφθεί η μέση καθυστέρηση, χρειάζονται πιο λεπτομερείς στατιστικές -22-

38 πληροφορίες για τον χρόνο μεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών (iterarrival times) και τους χρόνους εξυπηρέτησης. Έστω πελάτες ανά δευτερόλεπτο, ο μέσος ρυθμός αφίξεων πελατών. Αν i ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων, τότε ο μέσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων είναι: E i Έστω μ πελάτες ανά δευτερόλεπτο ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης των πελατών. Αν j ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αναχωρήσεων, τότε ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι: E j Να σημειωθεί επίσης ότι, για να ισχύουν η θεωρία και οι εξισώσεις που παρουσιάζονται στον Πίνακα.7. αλλά και στους παρακάτω, οι υπό εξέταση ουρές πρέπει να βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας..7.3 Κατάστασης ισορροπίας Στα συστήματα αναμονής είναι σημαντική η έννοια της κατάστασης ισορροπίας (steady state). Όταν ένα σύστημα ουράς έχει αρχίσει να λειτουργεί πρόσφατα, η κατάσταση του συστήματος (ο αριθμός μονάδων στο σύστημα) θα επηρεαστεί σημαντικά από την αρχική κατάσταση και από το χρόνο που έχει παρέλθει από την έναρξη λειτουργίας του [Ξ24]. Το σύστημα λέγεται τότε ότι είναι σε μεταβατική κατάσταση (trasiet coditios). Όμως, με την πάροδο του χρόνου το σύστημα αρχίζει να γίνεται ανεξάρτητο της αρχικής κατάστασης και του χρόνου που έχει παρέλθει από την έναρξη λειτουργίας του (με εξαίρεση ορισμένες ασυνήθιστες περιπτώσεις). Η θεωρία ουράς εξετάζει κυρίως περιπτώσεις σταθερής κατάστασης λειτουργίας. Οι περιπτώσεις μεταβατικής κατάστασης λειτουργίας είναι αναλυτικά πιο δύσκολες. Ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, όταν η συμπεριφορά του δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που υπάρχουν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Δηλαδή, «ένα σύστημα εξυπηρέτησης φτάνει σε κατάσταση ισορροπίας, όταν περάσει ένα εύλογο χρονικό διάστημα από την αρχική του κατάσταση, στη διάρκεια του οποίου εξαλείφεται η επίδραση των συνθηκών -23-

39 εκκίνησης» [Ε8]. Στην κατάσταση αυτή τα και είναι σταθερά. Η περίοδος που απαιτείται, ώστε το σύστημα να μην εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εκκίνησης και να συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας, ονομάζεται παροδική περίοδος (trasiet period, warm up period). Τα μοντέλα που θα αναφερθούν παρακάτω και οι τύποι που χρησιμοποιούνται θεωρούν ότι το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Καλή συμπεριφορά του συστήματος αναμονής εξασφαλίζεται, εφ όσον: Για συστήματα αναμονής με μια θέση εξυπηρέτησης ο λόγος: ή E j δηλώνει την ένταση φορτίου (traffic itesity), ονομάζεται και βαθμός ή συντελεστής χρησιμοποίησης και συνήθως εκφράζεται σε Erlags. Η ένταση φορτίου εκφράζει το ποσοστό της εξυπηρέτησης, το οποίο απαιτεί ένας χρήστης και σύμφωνα με τα παραπάνω θα είναι ίση με: E j E i Στην γενική περίπτωση που έχουμε s εξυπηρετητές το σύστημα είναι ευσταθές αν s ή s..7.4 Λειτουργικά μεγέθη του συστήματος Αρχικά ένα σύστημα αναμονής είναι σε μεταβατική κατάσταση και τα διάφορα μεγέθη εξαρτώνται από το χρόνο. Προοδευτικά ένα σύστημα αναμονής ενδέχεται να περάσει στην κατάσταση μόνιμης λειτουργίας και τα διάφορα μεγέθη να κινούνται γύρω από κάποιες τιμές, οπότε πλέον μπορούμε να πούμε ότι δεν έχουμε εξάρτηση από το χρόνο. Σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία, τα ακόλουθα μεγέθη μας ενδιαφέρουν για τη μελέτη μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος αναμονής: Ο αριθμός Erlags (ένταση κινήσεως) είναι ο μέσος αριθμός των ταυτόχρονων καταλήψεων σε ένα τηλεφωνικό σύστημα κατά τη διάρκεια μιας καθορισμένης χρονικής περιόδου Τ. Ένα Erlag αντιπροσωπεύει το φόρτο κυκλοφορίας που εξυπηρετείται από έναν εξυπηρετητή που ασχολείται το 00% του χρόνου (π.χ. call-miute per miute). Ενας εξυπηρετητής που ασχολείται για 30 λεπτά σε μια περίοδο μιας ώρας, μεταφέρει 0.5 Erlags κυκλοφοριακή ένταση. -24-

40 Πίνακας.7.2: Λειτουργικά μεγέθη ενός συστήματος αναμονής [Ξ43], [Ξ5], [Ε8]. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας του χρόνου συνολικής παραμονής (αναμονή και εξυπηρέτηση) τυχαίου πελάτη στο σύστημα αναμονής. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας του χρόνου αναμονής τυχαίου πελάτη στο σύστημα αναμονής. Αριθμός πελατών στο σύστημα αναμονής. Αριθμός πελατών στην ουρά αναμονής. Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση. ws wq t t N N q N s Η πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα. Πολλές φορές είναι ανεξάρτητη του χρόνου και συμβολίζεται ως P. Η πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα. P 0 P Μέσος συνολικός αριθμός πελατών στο σύστημα ή μήκος του συστήματος. Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά αναμονής του συστήματος ή μήκος της ουράς. Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα εξυπηρέτησης. Μέσος συνολικός χρόνος παραμονής πελατών στο σύστημα. Μέσος χρόνος παραμονής πελατών στο σύστημα εξυπηρέτησης. Μέσος χρόνος αναμονής πελατών στην ουρά του συστήματος αναμονής. N t N t N t q q L L L s L L W W Lq Lq Wq Wq L Lq Ls Lq Lq s W Wq Ws Wq s s L L q Ls W Ws Wq Ισχύουν οι σχέσεις Όλα τα παραπάνω μέτρα είναι τυχαίες μεταβλητές και κατά συνέπεια αναζητούνται για αυτές η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, δηλαδή πλήρη στοχαστική περιγραφή. Δεδομένου ότι σε πολλές περιπτώσεις η πλήρης περιγραφή δίνει περισσότερη πληροφορία από την απολύτως απαραίτητη, οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν να περιγραφούν με κάποιες ροπές (π.χ. μέση τιμή, διασπορά, κλπ.) και ασφαλώς με μικρότερο κόπο και κόστος. -25-

41 .8 Βασικές έννοιες.8. Το Θεώρημα του Little Έστω συστήματα αναμονής όπου οι πελάτες φθάνουν σε τυχαίες χρονικές στιγμές προκειμένου να εξυπηρετηθούν και οι κατανομές των πιθανοτήτων για τους χρόνους μεταξύ διαδοχικών αφίξεων και τους χρόνους εξυπηρέτησης είναι γνωστές. [Ξ2], [Ε29] Συμβολίζεται με p t η πιθανότητα πελάτες να περιμένουν στην ουρά ή να βρίσκονται υπό εξυπηρέτηση την χρονική στιγμή t. Αν δίνονται οι οριακές πιθανότητες 0 p και άλλες στατιστικές πληροφορίες υπολογίζονται οι πιθανότητες p t για όλες τις χρονικές στιγμές t. Συμβολίζοντας με τότε θα ισχύει: Lt το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα την χρονική στιγμή t Τα Lt και p Lt p t 0 οριακή κατανομή πιθανότητας t εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή t όπως και από την 0 p 0, p 0,.... Στα περισσότερα συστήματα θεωρείται τυπικά ότι έχουν φθάσει στην μόνιμη κατάσταση υπό την έννοια ότι για κάποια L και p (ανεξάρτητα της οριακής κατανομής πιθανότητας) ισχύει: 0 p lim p t, 0,,... t L p lim L t t Στην περίπτωση που ο ρυθμός αφίξεων ξεπεράσει τον ρυθμό εξυπηρέτησης, το L γίνεται άπειρο. Το 960 ο Little απέδειξε ότι, το μήκος του συστήματος (ο μέσος αριθμός ατόμων στο σύστημα) ισούται με το γινόμενο του ρυθμού αφίξεων και του μέσου χρόνου αναμονής στο σύστημα W, δηλαδή L E( N) W. Αυτή η απλή εξίσωση που συνδέει τον μέσο αριθμό πελατών σε ένα σύστημα, L, και τον μέσο χρόνο -26-

42 αναμονής W είναι γνωστή ως θεώρημα Little (Little Theorem 2 ) και έχει την ακόλουθη μορφή: L W όπου ο μέσος ρυθμός αφίξεων πελατών στο σύστημα, ο οποίος δίνεται από τη σχέση: αναμενόμενος αριθμός αφίξεων στο διάστημα 0, t lim t t Η σημασία του Θεωρήματος Little είναι πολύ μεγάλη κυρίως λόγω της γενικότητας του θεωρήματος αυτού. Ισχύει σχεδόν για κάθε σύστημα αναμονής το οποίο φθάνει οριακά σε μια στατιστική ισορροπία. Το σύστημα δεν είναι απαραίτητο να αποτελείται μονάχα από μία ουρά αναμονής. Με κατάλληλη επεξήγηση των όρων L,, W και χωρίς καμιά παραπάνω υπόθεση σχετικά με το σύστημα, τις διαδικασίες άφιξης και εξυπηρέτησης, το Θεώρημα Little μπορεί να εφαρμοστεί σε μια ποικιλία συστημάτων αναμονής. Αν ως σύστημα ορίσουμε το σύστημα αναμονής στην ουρά εκτός της μονάδας εξυπηρέτησης τότε θα έχουμε: L q W q όπου L q ο μέσος αριθμός των πελατών που περιμένουν να εξυπηρετηθούν και μέσος χρόνος αναμονής των πελατών που περιμένουν για εξυπηρέτηση. Αν ως σύστημα ορίσουμε τη μονάδα εξυπηρέτησης θα έχουμε: E W q ο όπου ο συντελεστής χρησιμοποίησης (μέσος αριθμός πελατών στον εξυπηρετητή) και E η αναμενόμενη τιμή του χρόνου εξυπηρέτησης. Αν θεωρήσουμε ένα δίκτυο από συστήματα αναμονής τότε ισχύει το Θεώρημα του Little όπου είναι ο συνολικός μέσος ρυθμός αφίξεων πελατών στο δίκτυο, L ο μέσος αριθμός πελατών σε όλο το δίκτυο και W ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στο δίκτυο. 2 Για την απόδειξη του θεωρήματος παραπέμπουμε στο βιβλίο του Φακίνου Δημήτρη (2008), Ουρές Αναμονής, Θεωρία και Ασκήσεις, Β Έκδοση, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. -27-

43 Συνοψίζοντας, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω το θεώρημα του Little ισχύει και για τα μεγέθη L q και W q της ουράς, δηλαδή: L W L q W q Οι τελευταίες σχέσεις είναι γνωστές ως οι τύποι του Little. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν τα ακόλουθα: Αν υποθέσουμε ότι είναι δυνατός ο υπολογισμός του μέσου χρόνου αναμονής στο σύστημα W, τότε από την σχέση W Wq προκύπτει ότι Wq W Από την Lq Wq W W W, όπου απασχόλησης συστήματος αναμονής με ένα εξυπηρετητή. o βαθμός Επομένως, σε σύστημα με γνωστά τα, και W είναι δυνατός ο υπολογισμός του μέσου αριθμού ατόμων σ' αυτό, του μέσου χρόνου στην ουρά, καθώς και του μέσου αριθμού ατόμων στην ουρά. -28-

44 2 Κεφάλαιο 2 ο : Ανάλυση Συστημάτων Αναμονής Στο κεφάλαιο αυτό, θα γίνει μια αναλυτική παράθεση των βασικότερων ουρών αναμονής που έχουν μελετηθεί στις βιβλιογραφίες, σύμφωνα με τους Cooper (98) [Ξ], Gross ad Harris (998) [Ξ2], Kleirock (975) [Ξ33], Murdoch (978) [Ξ40], Papadopoulos, Heavey ad Browe (993) [Ξ43], Viswaadham ad Narahari (989) [Ξ5], Walrad (988) [Ξ52], Ασημακόπουλος (200) [Ε2], Μπότσαρη (2002) [Ε5], Ξηροκώστα (99) [Ε6], Οικονόμου (2008) [Ε7], Οικονόμου Γ.Σ. και Γεωργίου Α.Κ. (2000) [Ε8], Τσάντας Ν. Δ και Π. - Χ. Γ. Βασιλείου (2000) [Ε26] καθώς και τους Φακίνο (2007) [Ε28], Φακίνο (2008) [Ε29], και Χρυσαφίνου (2008) [Ε33]. Πιο συγκεκριμένα, οι ουρές που θα αναλυθούν είναι η Μ/Μ/, η Μ/Μ//k, η μεταβατική συμπεριφορά της M/M//k, η M/M/s, η M/M/s/k, η M/M/s/s, η M/M// /N, η G/G/, η G/G/s, η M/G/, η M/D/, το μοντέλο στο οποίο η επεξεργασία εξαρτάται από τη φάση του συστήματος, τα μοντέλα ουρών με κατανομή Erlag, και η γενίκευση όλων των προηγούμενων μοντέλων, η M/M/s/k/N. Τέλος, θα γίνει μια μικρή αναφορά στα δίκτυα αναμονητικών συστημάτων που διακρίνονται σε ανοιχτά (δίκτυα Jackso) και κλειστά. 2. Το μοντέλο Μ/Μ/ Το απλούστερο και πιο σημαντικό σύστημα αναμονής είναι το M / M / με άπειρη χωρητικότητα και το οποίο τροφοδοτείται από ένα σύστημα άπειρης χωρητικότητας, οι αφίξεις ακολουθούν την κατανομή Poisso με μέσο ρυθμό άφιξης/μονάδα χρόνου και υπάρχει ένας εξυπηρετητής με εκθετικούς χρόνους εξυπηρέτησης μέσης τιμής όπου είναι ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης/μονάδα χρόνου που ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Οι πελάτες εξυπηρετούνται με πειθαρχία FIFO. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες και τυχαίες μεταβλητές. Το διάστημα μεταξύ δύο -29-

45 διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετικά κατανεμημένο με μέση τιμή. Τέλος, η έξοδος- αναχώρηση των μονάδων από την ουρά M / M / αποτελούν διαδικασία Poisso με ρυθμό τον ρυθμό εισόδου 3. Το σχήμα που ακολουθεί παριστά τον τρόπο προσέλευσης, εξυπηρέτησης και αναχώρησης σε ένα τέτοιο σύστημα με έναν εξυπηρετητή. Σχήμα 2..: Το μοντέλο Μ/Μ/ Εφόσον οι αφίξεις θεωρούνται τυχαίες και ακολουθούν την κατανομή Poisso με μέσο αριθμό αφίξεων στην μονάδα χρόνου, η πιθανότητα να φθάσουν ακριβώς μονάδες προϊόντων στο σύστημα σε χρόνο t είναι: P t e t t! Επίσης, καθώς θεωρείται ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένοι με μέσο αριθμό προϊόντων που εξυπηρετούνται στην μονάδα του χρόνου ίσο με, η πιθανότητα να εξυπηρετηθεί ένα προϊόν σε χρόνο t δίνεται από την εξίσωση: Pt t e Ενδιαφέρον έχει επίσης να αναφερθεί ότι, για τις ουρές M / M / και μόνο, είναι εφικτό να υπολογισθεί η πιθανότητα να έχει καταναλωθεί χρόνος t ή μικρότερος στο σύστημα και στην ουρά. Για τις δύο αυτές περιπτώσεις ισχύει αντίστοιχα: P Wt P Wq t e e t Μία ουρά M / M / είναι η διαδικασία γέννησης-θανάτου 4 με σταθερό ρυθμό γέννησης (ρυθμό αφίξεων) και σταθερό ρυθμό θανάτου (ρυθμό εξυπηρέτησης). t 3 Βλ. παράγραφο 2.4, για το θεώρημα του Burke. Το θεώρημα αυτό το έχει αποδείξει ο Leoard Kleirock σε δίκτυα μεταγωγής πακέτου. 4 Βλ. Παράρτημα-Β: Βασικές έννοιες -30-

46 Ας υποθέσουμε ότι Nt είναι ο αριθμός των πελατών στο σύστημα (συμπεριλαμβανομένου και αυτού που εξυπηρετείται τώρα). Τότε διαδικασία γέννησης-θανάτου με: Έχουμε ότι : P Άφιξη ακριβώς ενός πελάτης στο χρονικό διάστημα t, t t t Δεδομένου ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πελάτης στο σύστημα, ακριβώς P μία εξυπηρέτηση ολοκληρώνεται στο χρονικό διάστημα t, tt Nt είναι η t Η κατάσταση του συστήματος ισούται με το πλήθος πελατών στο σύστημα (ουρά + εξυπηρέτηση). Από την κατάσταση πηγαίνουμε στην με μία άφιξη, και στην με μία εξυπηρέτηση. Κατά τον χρόνο t t είναι δυνατόν να υπάρχουν άτομα στο σύστημα αν έχει συμβεί ένα από τα ενδεχόμενα α, β, γ, δ. Πίνακας 2..: Πιθανότητες αλλαγής καταστάσεων Μονάδες κατά τον χρόνο t t t+δt t, t t α Μία άφιξη με πιθανότητα λδt Μία αναχώρηση με πιθανότητα μδt μέσα στο διάστημα t, t t β Καμία άφιξη με πιθανότητα -λδt Καμία αναχώρηση με πιθανότητα -μδt μέσα στο διάστημα t, t t γ δ Μία άφιξη με πιθανότητα λδt Καμία αναχώρηση με πιθανότητα -μδt Καμία άφιξη με πιθανότητα -λδt Μία αναχώρηση με πιθανότητα μδt μέσα στο διάστημα t, t t μέσα στο διάστημα t, t t Η πιθανότητα να συμβεί μία άφιξη στο διάστημα t, t t χρόνο t είναι δοθέντος ότι θα συμβεί σε -3-

47 άφιξη σε Pάφιξη σε t P άφιξη στο t, t t άφιξη σε t P άφιξη στο t, t t KAI άφιξη σε t P άφιξη στο t, t t P t P άφιξη σε t Ft P άφιξη σε t P άφιξη σε t t F t F t t tt e x e...ανάπτυγμα Taylor t e x0 x o x x o x x e! Η αλγεβρική εξίσωση C-K 5 γίνεται P0 P γιατί όταν υπάρχουν 0 πελάτες δεν γίνονται εξυπηρετήσεις. Οι υπόλοιπες εξισώσεις C-K είναι P P, 0 P Από αυτές και την Pi προκύπτει ότι, αν το σύστημα είναι ευσταθές, δηλ. ο i ρυθμός εισόδου πελατών στο σύστημα είναι μικρότερος από τον ρυθμό εξυπηρέτησης, ότι P, (2..) Δηλαδή όταν, τότε P P N t, όπου. H πιθανότητα κατά το χρόνο t, t t να υπάρχουν άτομα στο σύστημα δίνεται από την σχέση: P{ N( t t) } P{ N( t) } t t P{ N( t) }( t)( t) P{ N( t) } t ( t) P{ N( t) }( t) t, για (2..2) όπου P{ N( t) } η πιθανότητα ύπαρξης ατόμων στο σύστημα κατά τον χρόνο t. Θέτοντας P{ N( t) } P ( t), και μετά από μερικές πράξεις και απλοποιήσεις την προκύπτει η ακόλουθη έκφραση: Και P ( t t) P ( t) ( ) P ( t) t P ( t) t P ( t) t 5 Βλ. Παράρτημα-Β: Βασικές έννοιες -32-

48 P( t t) P( t) ( ) P ( t) P ( t) P ( t) t αν t 0 dp () t P ( t) ( ) P ( t) P ( t), για dt (2..3) Με ανάλογο τρόπο βρίσκεται η πιθανότητα κατά τη διάρκεια του διαστήματος t, t t να μην υπάρχει καμία μονάδα στο σύστημα. Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την σχέση: P ( t t) P ( t)( t) P( t)( t) t για 0 (2..4) 0 0 Η πιθανότητα να μη σημειωθεί αναχώρηση κατά τη διάρκεια του διαστήματος t, t t όταν στον χρόνο t δεν υπάρχει μονάδα στο σύστημα, είναι ίση με. Όπως στην περίπτωση των μονάδων έτσι και για 0 ισχύει: dp0 () t P0( t) P( t), για 0 (2..5) dt Τα φαινόμενα που θα μελετηθούν θεωρείται ότι βρίσκονται σε στάσιμη κατάσταση και είναι συνεπώς ανεξάρτητα από τον χρόνο. Στην περίπτωση αυτή οι παράγωγοι των πιθανοτήτων P ( ), ( ) t P0 t ως προς τον χρόνο είναι ίσες με το μηδέν. Συνέπεια του μηδενισμού των παραγώγων είναι οι σχέσεις: P ( ) P P 0 P P 0 0 (2..6) Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος δίνει: P P0 (2..7) Αν στην πρώτη εξίσωση τεθεί όπου και αντικατασταθεί η (2..7) στην πρώτη της (2..6) προκύπτει: P 2 P 2 0 Επαγωγικά καταλήγουμε στην γενική έκφραση -33-

49 P P 0 (2..8) Δεδομένου ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων της (2..8) είναι μονάδα, ισχύει : P P0 0 0 (2..9) και για, P0 0 (2..0) οπότε, P ( ) (2..) Η πιθανότητα να έχει το σύστημα τουλάχιστον πελάτες στη μόνιμη κατάσταση είναι: k P N t Pk k k (2..2) Λαμβάνοντας υπ όψη ότι P0 είναι η πιθανότητα, προκύπτει ότι η ποσότητα είναι θετική μικρότερη του ένα, δηλαδή. Πράγματι, αν η μέση τιμή των αφίξεων ήταν μεγαλύτερη της μέσης τιμής των αναχωρήσεων στην μονάδα του χρόνου, δηλαδή αν τότε η ουρά θα αύξανε συνεχώς και θα ήταν μονίμως σε μεταβατική κατάσταση, με συνέπεια η σχέση (2..0) να μην ίσχυε. Ακόμη όμως και στην περίπτωση ισότητας των και, λαμβάνοντας υπ όψη τη στοχαστική φύση των φαινομένων που μελετάται, θα υπάρξουν στιγμές που στη θέση εξυπηρέτησης δεν θα υπάρχει εξυπηρετούμενη μονάδα. Αυτοί οι νεκροί χρόνοι της θέσης εξυπηρέτησης δεν είναι δυνατόν να καλυφθούν εκ των υστέρων με συνέπεια η ουρά να αυξάνει και πάλι και το φαινόμενο να είναι και στην περίπτωση αυτή μεταβατικό. -34-

50 Έτσι η απαίτηση είναι απαραίτητη για να ισχύει η προηγηθείσα ανάλυση. Αν η συνθήκη ευστάθειας δεν ισχύει, τότε P, P 0,. Το σύστημα που μελετάται αλλά και τα επόμενα θεωρούνται ευσταθή συστήματα. Σε περίπτωση που κατά τη μελέτη ενός προβλήματος διαπιστωθεί ότι, τότε είναι απαραίτητη η μεταβολή του. Η μεταβολή αυτή συνίσταται στην αύξηση του αριθμού των θέσεων εξυπηρέτησης έως ότου η μέση τιμή s των s θέσεων να γίνει τέτοια ώστε s. 2.. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος Μ/Μ/ Από τη σχέση (2..) φαίνεται ότι η τ.μ N του αριθμού των ατόμων στο σύστημα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο, με συνάρτηση πιθανότητας P ( ). Μήκος του συστήματος Έστω E( N) L ο αναμενόμενος αριθμός ατόμων στο σύστημα δηλαδή το μήκος του συστήματος, το οποίο υπολογίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης έκφρασης: E( N) L P ( ) ( ) ( ) S Όπου, S ( 2 3 ) d dk και, dk d 2 3 k 2 οπότε 2 3 συνεπώς: dk dk S d ( ) d ( ) 2 2 Και τελικά : L E( N) ( ) S ( ), 2 ( ) ( ) (2..3) -35-

51 Η σχέση (2..3) εικονογραφείται στο Σχήμα 2..2 όπου φαίνεται ότι καθώς ο συντελεστής απασχόλησης πλησιάζει τη μονάδα, ο μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα τείνει στο. Επίσης, ενδιαφέρον έχει να παρατηρηθεί πως για τιμές του συντελεστή απασχόλησης μεγαλύτερες από 0,8, παρατηρείται απότομη αύξηση του μέσου αριθμού μονάδων στο σύστημα. Η διασπορά Var(Ν) είναι: 2 L P (2..4) Σχήμα 2..2: Μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα σε σχέση με τον συντελεστή απασχόλησης Παρατηρείται ότι είναι επικίνδυνο να λειτουργείται το σύστημα κοντά στη χωρητικότητα του δηλαδή για. Πρέπει και μάλιστα. Αυτό συμβαίνει γιατί για μπορεί κατά μέσον όρο να εξυπηρετηθούν όσοι έρχονται, και το σύστημα να είναι αδρανές κατά P0 του χρόνου, αλλά τυχαίες αφίξεις μπορούν να συμβούν ομαδικά και η ουρά να εκραγεί. Όπως σε κάθε αναμονητικό σύστημα, έτσι και εδώ, ισχύει ο νόμος του Little : (μέσο πλήθος πελατών)=(μέσος ρυθμός αφίξεων)(μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα). Για το Μ/Μ/, όπου δεν υπάρχει περιορισμός στην χωρητικότητά του, ο μέσος ρυθμός αφίξεων πελατών ισούται με το μέσο ρυθμό εισόδου (όσοι φθάνουν, γίνονται πάντα δεκτοί από το σύστημα). Κατά συνέπεια, ο μέσος χρόνος παραμονής -36-

52 στο σύστημα (ουρά + εξυπηρέτηση) W ισούται με L. Και επειδή έχει μία θέση εξυπηρέτησης. ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά είναι Wq W. Η αναμενόμενη τιμή των ατόμων στην ουρά δίνεται συνεπώς από την Αντικαθιστώντας την P έχουμε: Lq E[ ] ( ) P (2..5) q k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L k k 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) που είναι το μέσο πλήθος πελατών στην ουρά L q. Εφαρμόζοντας το νόμο του Little για το σύστημα της ουράς προκύπτει μια δεύτερη σχέση για το μέσο πλήθος πελατών στην ουρά L q L q W (2..6) q Οπότε L q 2 Wq Από τη σχέση L ( ) σε συνδυασμό με την τελευταία σχέση (2..6) προκύπτει: Lq L (2..7) Άρα το μήκος της ουρά ισούται με το γινόμενο του συντελεστή απασχόλησης και του μήκους του συστήματος L. αποθήκη. Στα συστήματα παραγωγής, το L q ισοδυναμεί με την μέση στάθμη στην O μέσος ρυθμός παραγωγής του συστήματος ισούται με το μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης όταν το σύστημα δεν είναι άδειο. P0 (2..8) -37-

53 Μέσος χρόνος παραμονής (W) μιας μονάδας στο σύστημα M/M/ και μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά (W q ) Ο χρόνος αναμονής στην ουρά ορίζεται ως το χρονικό διάστημα που παρέρχεται από τη στιγμή εισόδου του πελάτη στο σύστημα έως τη στιγμή έναρξης της εξυπηρέτησής του. Από τον ορισμό του προκύπτει ότι ο χρόνος αυτός ισούται με τον συνολικό χρόνο παραμονής του πελάτη στο σύστημα μείον τον χρόνο που διαρκεί η εξυπηρέτησή του. Ο πελάτης εισερχόμενος στο σύστημα είναι δυνατόν να έχει μηδενικό χρόνο αναμονής. Το ενδεχόμενο αυτό εμφανίζεται στην περίπτωση κατά την οποία δεν υπάρχει άλλος πελάτης στο σύστημα. Έτσι η πιθανότητα ένας πελάτης που εισέρχεται στο σύστημα να μην πρέπει να περιμένει, δηλαδή η πιθανότητα μηδενικού χρόνου αναμονής είναι η πιθανότητα 0 P N( t) 0 P Είναι φανερό ότι σε κάθε άλλη περίπτωση ο χρόνος αναμονής T q δεν είναι μηδενικός, οπότε για την εύρεση των χαρακτηριστικών του μεγεθών είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός της συνάρτησης κατανομής του. Έτσι, έστω ότι ο χρόνος αναμονής αρχίζει να υπολογίζεται από την χρονική στιγμή της εισόδου στο σύστημα. Τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορεί να γίνει η υπόθεση ότι αυτή η χρονική στιγμή είναι η Tq 0. Έστω ότι κατά τη στιγμή άφιξης του ατόμου υπάρχουν στο σύστημα άτομα,,2,3,... και έστω ότι έως τη χρονική στιγμή Tq ενώ το o άτομο εξυπηρετείται μέσα στο χρονικό διάστημα t έχουν εξυπηρετηθεί τα t, t t. Τότε, η πιθανότητα το επόμενο άτομο (αυτό δηλαδή που κατά την είσοδό του στο σύστημα συνάντησε άτομα σε αυτό) να περιμένει από t, t t πριν αρχίσει να εξυπηρετείται εκφράζεται από το γινόμενο των ακόλουθων πιθανοτήτων: πιθανότητα κατά τη στιγμή άφιξης του ατόμου στο σύστημα να υπάρχουν άτομα σε αυτό. Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την γνωστή σχέση: P{ N( t) } P ( ) πιθανότητα μέχρι τον χρόνο t να έχουν εξυπηρετηθεί άτομα. Η πιθανότητα αυτή, δοθέντος ότι οι εξυπηρετήσεις γίνονται κατά Poisso παραμέτρου, δίνεται από την συνάρτηση πιθανότητας: -38-

54 ( ) ( )! t t e πιθανότητα να εξυπηρετηθεί ένα άτομο κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος t, t t ίση με μδt.. H πιθανότητα αυτή είναι σύμφωνα με τα παραπάνω Να σημειωθεί στο σημείο αυτό ότι το γινόμενο των τριών αυτών πιθανοτήτων δίνει την πιθανότητα ενός ατόμου να εξυπηρετηθεί κατά τη διάρκεια του διαστήματος t, t t για συγκεκριμένη τιμή του. Άρα για όλα τα η πιθανότητα θα δίνεται από το άθροισμα t ( ) ( t) e t FT () t t q ( )! όπου Fq () t η συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου αναμονής. Κάνοντας πράξεις καταλήγουμε ότι η συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου αναμονής δίνεται από την σχέση: P F t e e t ( ) 0 ( ) ( ) ( ) t t T για 0 q (2..9) Έχοντας τη συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου αναμονής υπολογίζεται ο αναμενόμενος χρόνος αναμονής στην ουρά: t( ) Wq E[ Tq ] 0 FT ( t 0) ( ) te dt q t t( ) e ( ) [ ( ) t ] 2 ( ) t ή t Wq E[ Tq ] 0 FT ( t 0) e dt q t t( ) e ( ) [ ( ) t ] 2 ( ) t οπότε, W q ( ) (2..20) Αν λοιπόν η τελευταία σχέση δίνει τον αναμενόμενο χρόνο του πελάτη στην ουρά τότε ο αναμενόμενος χρόνος του πελάτη στο σύστημα είναι ίσος με -39-

55 W W q (2..2) Η γνώση των προαναφερθέντων μεγεθών είναι εξαιρετικά σημαντική για την μελέτη και βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος αναμονής. Έτσι μία συμφορημένη ουρά για συγκεκριμένο ρυθμό εξυπηρέτησης μπορεί να αποσυμφορηθεί με κατάλληλη τροποποίηση του. O παρακάτω πίνακας παραθέτει συγκεντρωτικά τους βασικότερους τύπους για την μελέτη της ουράς Μ/Μ/. Πίνακας 2..2: Λειτουργικά μέτρα της ουράς Μ/Μ/. [Ξ5], [Ξ36], [Ε4], [Ε29], [Ε33] Μέσος ρυθμός αφίξεων, μέσο πλήθος πελατών που φθάνει στη μονάδα του χρόνου Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης, μέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετείται στη μονάδα του χρόνου Βαθμός απασχόλησης του εξυπηρετητή-η πιθανότητα να είναι ο εξυπηρετητής απασχολημένος Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα Μέσο ποσοστό του χρόνου που η θέση εξυπηρέτησης είναι αδρανής-ποσοστό αδράνειας θέσης εξυπηρέτησης Ουρά Μ/Μ/ Κατάσταση ισορροπίας όταν : P 0 Πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα να χρειαστεί να περιμένει w 0 Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες P P στο σύστημα 0 Πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από k πελάτες στο σύστημα P P P k Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα L συνολικά Μέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται στη φάση της εξυπηρέτησης Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά L s k k ή L Lq Ls Lq αναμονής L q

56 Μέσος χρόνος που παραμένει ένας πελάτης συνολικά στο σύστημα (χρόνος αναμονής + χρόνος εξυπηρέτησης) Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στην εξυπηρέτηση Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη W L ή W ή W Wq Ws στην ουρά W q ή W q L q 2.2 Το μοντέλο Μ/Μ//k Το σύστημα Μ/Μ//k διαθέτει πεπερασμένη χωρητικότητα συστήματος ίση με k, δηλαδή k πελάτες μπορούν να περιμένουν στην ουρά όταν θα εξυπηρετείται ένας πελάτης από τον μοναδικό εξυπηρετητή που έχει το σύστημα. Οι πελάτες καταφθάνουν με μέσο ρυθμό σύμφωνα με την κατανομή Poisso αλλά όταν το περιεχόμενο της ουράς είναι k ο πελάτης φεύγει. Ένας αφικνούμενος πελάτης μπορεί να μπει στην ουρά μόνο όταν η κατάστασή της είναι k. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Το διάγραμμα κατάστασης είναι Σχήμα 2.2.: Σύστημα Μ/Μ//k Αποδεικνύονται οι παρακάτω τύποι και παραθέτονται συνοπτικά: Πίνακας 2.2.: Λειτουργικά μέτρα μοντέλου Μ/Μ//k. [Ξ5], [Ξ43], [Ε4], [Ε29], [Ε33]. για 0 για k k για 0 για k k -4-

57 : βαθμός απασχόλησης του συστήματος εξυπηρέτησης Κατάσταση ισορροπίας όταν Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα P : Για, 0 k k P0, 0 k ή P 0, k ή 0 0, k ή 0 Για : P k για όλα τα Για k προκύπτει η πιθανότητα το σύστημα να είναι πλήρες Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα Πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα να χρειαστεί να περιμένει Πιθανότητα να υπάρχουν περισσότερο ι από k πελάτες στο σύστημα Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα : Για P0 k k Pw P P P P... P 0 k 0 k k k k k k L k, αν 2 0, αν -42-

58 Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναμονής k L, για k Pk L q ή Lq L L P0 k L, για k Μέσο πλήθος πελατών στην εξυπηρέτηση L s Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα W L Pk Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά Lq Wq ή Wq W P k 2.3 Η μεταβατική συμπεριφορά του μοντέλου Μ/Μ// Το μοντέλο M / M // περιγράφει αφίξεις Poisso, εκθετικές εξυπηρετήσεις, μία θέση εξυπηρέτησης χωρίς τη δυνατότητα δημιουργίας ουράς λόγω έλλειψης χώρου αναμονής. Ο προσδιορισμός των πιθανοτήτων να υπάρχουν σε αυθαίρετη χρονική στιγμή άτομα στο σύστημα αποτελεί απλή σχετικά διαδικασία βασιζόμενη στον μηδενισμό της P () t για όλα τα που είναι μεγαλύτερα του μηδενός. Από τις διαφορικές εξισώσεις της διαδικασίας γεννήσεων και θανάτων, θέτοντας 0, 0, με 0 και. dp () t P( t) P0( t) dt dp0 () t P0( t) P( t) dt -43-

59 Αυτές οι διαφορικές εξισώσεις λύνονται απλά λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη Έτσι, σχέση από την οποία προκύπτει, P ( t) P( t) 0 dp () t P ( t) P ( t) P ( t) dt P ( t) P( t) Η εξίσωση αυτή είναι συνήθης διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και με γενική λύση, P t Ce () t Ο προσδιορισμός της σταθεράς C βρίσκεται από τις αρχικές συνθήκες P (0). Έτσι, και κατά συνέπεια, γιατί, P0( t) P( t), για όλα τα t. C P(0) t P( t) e P(0) e t P0( t) e P0(0) e Οι λύσεις ισορροπίας βρίσκονται από τις εξισώσεις dp () t P( t) P0( t) dt dp0 () t P0( t) P( t) dt Θέτοντας τις παραγώγους ίσες με το μηδέν, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι P0 P και λύνοντας ως προς P 0 και P. Η οριακή λύση του t προκύπτει από τις μεταβατικές λύσεις t t -44-

60 t P( t) e P(0) e t P0( t) e P0(0) e t t και ισούται με P, P0 Καλύτερη αντίληψη της συμπεριφοράς του συστήματος δίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης όπου, P t η οποία γράφεται με τη μορφή P t ct e P c 0 Για θετικό, η P t έχει ασύμπτωτο την ευθεία P. Ακόμη, αν η αρχική πιθανότητα γίνεται μηδέν και η P 0, θεωρηθεί πιθανότητα ισορροπίας, τότε το Pt γίνεται ίση με την P. Σχήμα 2.3.:Παράσταση μεταβατική λύσης P(t) -45-

61 2.4 Το μοντέλο M/M/s To M / M / s είναι όμοιο σύστημα με το M / M / με τη διαφορά ότι έχει το πολύ s ίδιους και παράλληλους εξυπηρετητές. Στη βιομηχανία περιγράφει έναν σταθμό παραγωγής που αποτελείται από s παράλληλες μηχανές. Οι πελάτες προέρχονται από μία πηγή άπειρης χωρητικότητας και σχηματίζουν μία ουρά αναμονής μπροστά από τις θέσεις εξυπηρέτησης. Οι αφίξεις συμβαίνουν σύμφωνα με τη διαδικασία Poisso με μέσω ρυθμό αφίξεων που παραμένει σταθερός, οι πελάτες σχηματίζουν μία ουρά αναμονής που έχει απεριόριστη χωρητικότητα και εξυπηρετούνται με πειθαρχία FCFS πηγαίνοντας κάθε φορά στον εξυπηρετητή που είναι ελεύθερος. Ένας πελάτης που καταφτάνει, όταν είναι ελεύθερες περισσότερες θέσεις εξυπηρέτησης από μια, διαλέγει κάποια στην τύχη. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες τυχαίες ισόνομες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή στον καθένα από τους εξυπηρετητές και έχουν μέσο ρυθμό ίσο με που παραμένει σταθερός. Το γινόμενο s είναι ο μέσος συνολικός ρυθμός εξυπηρέτησης του συστήματος των παράλληλων θέσεων, δηλαδή το μέσο συνολικό πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται στη μονάδα του χρόνου. Θεωρείται ότι και οι s εξυπηρετητές εξυπηρετούν με το ίδιο. Στην πράξη βέβαια υπάρχουν και τα συστήματα όπου διαφορετικοί εξυπηρετητές, έχουν διαφορετικό. Για να διακρίνονται οι δύο περιπτώσεις, ομογενείς εξυπηρετητές λέγονται οι εξυπηρετητές που εξυπηρετούν με το ίδιο και ετερογενείς όταν δεν εξυπηρετούν με το ίδιο. Αν υπάρχουν περισσότεροι από s πελάτες στο σύστημα, όλες οι s θέσεις εξυπηρέτησης είναι απασχολημένες και η κάθε μια δημιουργεί μια αναχώρηση με μέση τιμή. Επομένως, η μέση τιμή των αναχωρήσεων από το σύστημα είναι s Όταν υπάρχουν λιγότερες από s μονάδες στο σύστημα, τότε μόνο s από τις θέσεις εξυπηρέτησης είναι απασχολημένες και η μέση τιμή των αναχωρήσεων από το σύστημα είναι. Επομένως ισχύει:, 0,,... mi, s,,2,

62 Στην πραγματικότητα, τα περισσότερα συστήματα εξυπηρέτησης διαθέτουν περισσότερες από μία θέσεις εξυπηρέτησης που παρέχουν την υπηρεσία τους στους πελάτες που καταφθάνουν. Η πιθανότητα άφιξης ενός πελάτη κατά τη διάρκεια διαστήματος t, t t είναι ίση με t o t. Η πιθανότητα να μην αφιχθεί κανένας πελάτης κατά τη διάρκεια αυτού του διαστήματος είναι t o t περισσοτέρων της μίας αφίξεων είναι ίση με o t. ενώ η πιθανότητα Όταν το σύστημα είναι κενό δεν παρέχεται καμία εξυπηρέτηση. Όταν ο αριθμός των πελατών στο σύστημα είναι μικρότερος του αριθμού των s θέσεων εξυπηρέτησης, δηλαδή αν s, η πιθανότητα ολοκλήρωσης της εξυπηρέτησης ενός πελάτη στο διάστημα t, t t είναι ίση με t o t. Αν όλες οι θέσεις εξυπηρέτησης είναι απασχολημένες, δηλαδή αν s, τότε η αντίστοιχη πιθανότητα είναι s t o t. Τέλος, η πιθανότητα αναχώρησης από το σύστημα περισσοτέρων του ενός πελατών κατά το χρονικό διάστημα t, t t είναι ίση με o t 6. Κλασικά παραδείγματα τέτοιων συστημάτων είναι οι σταθμοί διοδίων, όταν οι δίοδοι πληρωμής είναι πάνω από μία, στις βιομηχανίες αν υπάρχουν περισσότερες μηχανές που εκτελούν την ίδια εργασία και με τον ίδιο ρυθμό και τα προϊόντα καταφθάνουν από μία μόνο ουρά, κτλ Πιθανότητα ύπαρξης ατόμων στο σύστημα Ορίζεται η ποσότητα και υποθέτεται ότι το σύστημα βρίσκεται σε s κατάσταση ισορροπίας στην οποία φθάνει όταν s. Αν, τότε από τις εξισώσεις C-K 7 αποδεικνύονται οι παρακάτω πιθανότητες: 6 Βλ. Παράρτημα-Β: Βασικές έννοιες. 7 Βλ. Παράρτημα-Β: Βασικές έννοιες. -47-

63 P 0 s 0 s s! s! s και P P0, s! P0, s s ss! (2.4.) Ο μέσος ρυθμός παραγωγής του συστήματος είναι συστ. μέσος ρυθμός αφίξεων (2.4.2) αφού σε χρόνο όσες μονάδες φτάσουν θα φύγουν εκτός ίσως από πεπερασμένο πλήθος που θα είναι στην ουρά (πεπερασμένο επειδή P (2.4.) 0 ). H συνθήκη για την ύπαρξη μόνιμης κατάστασης είναι διάγραμμα κατάστασης είναι s και το Σχήμα 2.4.: Το μοντέλο Μ/Μ/s Σύμφωνα με την περιγραφή του συστήματος και αναλόγως της τιμής του σε σχέση με τον αριθμό των θέσεων s, προκύπτουν οι ακόλουθες πιθανότητες: α) Για 0 ισχύει ότι: β) Για 0 s P ( t t) P ( t) ( t) P( t) ( t) t (2.4.3) 0 0 P ( t t) P ( t) t t P ( t) ( t) P ( t) ( t) [( ) t] P ( t) t[ ( ) t] (2.4.4) γ) Για s έχουμε: P ( t t) P ( t) t st P ( t) ( t) ( st) P ( t) t ( s ) t για s P ( t) ( t) st P ( t) t st για s (2.4.5) -48-

64 Η ανεξαρτησία από τον χρόνο οδηγεί στις ακόλουθες εξισώσεις: P P 0 0 P ( ) P ( ) P 0 ( s) P P sp 0 (2.4.6) Λύνοντας κάθε μία ως προς το αντίστοιχο P i, θέτοντας,2,... και γενικεύοντας προκύπτει η γενική έκφραση της πιθανότητας να υπάρχουν 0 s άτομα στο σύστημα συγκεκριμένα: P! P 0 (2.4.7) Αποδεικνύεται ακόμη για s ότι P P s 0. Έτσι συνολικά έχουμε: s s! P P0, (0 s)! P0, ( s) s s s! Για την εύρεση της P 0 χρησιμοποιούμε την συνθήκη προκύπτει: P 0 s 0 s! s s s! 0 P, από την οποία όπου s s s s s με s s s s! s! s s s! m0 s s! m s Τελικά η έκφραση για την P 0 παίρνει την μορφή: s s P0 0! s!, ή P s 0 s s 0 s s! s! s (2.4.8) -49-

65 Η συνθήκη για την ύπαρξη λύσης είναι η, δηλαδή ο μέσος χρόνος s αφίξεων πρέπει να είναι μικρότερος του μέσου μέγιστου δυνατού ρυθμού εξυπηρέτησης του συστήματος. Αν s η τελευταία έκφραση καταλήγει στην αντίστοιχη έκφραση του μοντέλου Μ/Μ/ για την P 0. Τα τηλεφωνικά συστήματα είναι της μορφής Μ/Μ/s. Η πιθανότητα ένα τηλεφώνημα να μη βρει διαθέσιμο κύκλωμα είναι: s Pσύστημα πλήρες P P0 s s! s P σύστημα πλήρες s s 0 s s s! s s s! s! s (2.4.9) που λέγεται τύπος του Erlag Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s Μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά Τα μέτρα απόδοσης του συστήματος Μ/Μ/s μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις προηγηθείσες σχέσεις που αφορούν τις πιθανότητες υπό κατάσταση ισορροπίας. P και P 0 Για τον υπολογισμό του αναμενόμενου αριθμού μονάδων στην ουρά χρησιμοποιείται η P, για s. Έτσι έχουμε: s Lq ( s) P ( s) P0 P0 ( s) s s s s s! s! s s Θέτοντας, r, s m, προκύπτει: s d d r r Lq P mr rp mr rp r rp P s s s dr s dr r s r s s s s s m m m ! m! m! m!!( ) s -50-

66 s r Άρα Lq P 2 0 s!( r) ή Lq s! s s 2 P 0 Τελικά ο αναμενόμενος αριθμός ατόμων στο σύστημα δίνεται από την L L P q s! s Μέσος χρόνος αναμονής μονάδων στο σύστημα και στην ουρά Σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει: W q και L q s! s W Lq P 2 0 s s! s Συνάρτηση κατανομής των χρόνων αναμονής στην ουρά Μ/Μ/s Έστω, T q ο χρόνος αναμονής στην ουρά και F () t η συνάρτηση κατανομής του. Ισχύει Αλλά, Συνεπώς: s s T q 2 P s s F P T P T P s P P Tq q q s s s s P0 0! s!( r) 0! P0 s!( r)! s s FT P q P P0 s!( r) s!( r) ή F Tq s 0 P0 s!( ) s (2.4.0) Όταν ο χρόνος αναμονής Tq 0 τότε ο αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι μεγαλύτερος του αριθμού των θέσεων εξυπηρέτησης, δηλαδή s και η συνάρτηση κατανομής θα είναι : -5-

67 s εξυπηρετήσεις να έχουν γίνει έως τον χρόνο t/κατά FT t PT 0 q q t FT P P q s την άφιξη βρέθηκαν πελάτες στο σύστημα Όταν s η έξοδος από το σύστημα γίνεται κατά Poisso με μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης s, οπότε ο χρόνος μεταξύ αναχωρήσεων είναι εκθετικός με μέσο ρυθμό s με συνέπεια η κατανομή του χρόνου για τις s αναχωρήσεις να είναι η κατανομή Erlag 8 τύπου s δηλαδή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: Έτσι: Tq Tq 0 s s s s( st) f () t e ( s)! s s s t t sx 0 x( s ) FT (0) P0 e dx F (0) q ( )! 0 T e dx q s ( )! ( )! 0 s s s st s t s( sx) sx F ( t) F (0) P e dx s s! 0 ( s)! ( x) P s P FT (0) P0 ( e ) e q s!( r) s!( r) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι: s ( s ) t 0 ( s ) t s s P0 ( s) t ή FT ( t) e, t 0 q s!( ) s P P T t F t e P T t T e q s!( r) s t s t 0 ( ) ( ) q T ( ) { q / q 0} Για s η συνάρτηση κατανομής του T q είναι: P F t e e ( ) 0 ( ) t ( ) t q( ) (2.4.) που αποτελεί την συνάρτηση κατανομής του χρόνου αναμονής σε σύστημα Μ/Μ/. Συγκεντρωτικά τα βασικά λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/M/s είναι: Πίνακας 2.4.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s. [Ξ25], [Ξ43], [Ξ5], [Ε29], [Ε33]. 8 Εκτενής και αναλυτική αναφορά της κατανομής Erlag γίνεται σε πολλά συγγράμματα θεωρίας κατανομών και θεωρίας πιθανοτήτων. Ενδεικτικά θα πρέπει να αναφερθεί το σύγγραμμα των Johso και Kotz Distributios i Statistics Cotiuous Uivariate Distributios [Ξ26]. -52-

68 Ουρά Μ/Μ/s Μέσος ρυθμός αφίξεων, μέσο πλήθος πελατών που φθάνει στη μονάδα του χρόνου Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης, μέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετείται στη μονάδα του χρόνου Βαθμός απασχόλησης του εξυπηρετητή- Η πιθανότητα να είναι ο εξυπηρετητής απασχολημένος Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα Μέσο ποσοστό του χρόνου που η θέση εξυπηρέτησης είναι αδρανής-ποσοστό αδράνειας θέσης εξυπηρέτησης s Κατάσταση ισορροπίας όταν : s P 0 s 0 s s! s! s P w s P 0 Πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα να χρειαστεί να περιμένει Όπου s 0 P είναι η πιθανότητα να εξυπηρετηθεί αμέσως ένας πελάτης που μόλις έφθασε στο σύστημα, δηλ. η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μία θέση αδρανής. P s P s! s ή w 0 s Πιθανότητα να υπαρχουν πελάτες στο σύστημα Πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από k πελάτες στο σύστημα P0, s! P P0, s s ss! P P P... P k 0 k ή P k s k -53-

69 Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα L L L L συνολικά q s q Μέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται στη φάση της εξυπηρέτησης Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναμονής Μέσος χρόνος που παραμένει ένας πελάτης συνολικά στο σύστημα (χρόνος αναμονής + χρόνος εξυπηρέτησης) q q L s L W P s! s L W ή W Wq και τελικά W Lq P 2 0 s! s s s 2 0 Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στην εξυπηρέτηση Ws Wq W ή W q L q Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά και τελικά W q L q s! s s 2 P 0 ή s P0 Wq 2 s! 2.5 Το μοντέλο Μ/Μ/s/k Το σύστημα Μ/Μ/s/k είναι όμοιο με το Μ/Μ//k με τη διαφορά ότι έχει s το πλήθος θέσεις εξυπηρέτησης. Διαθέτει πεπερασμένη χωρητικότητα συστήματος ίση με k, δηλαδή k πελάτες μπορούν να περιμένουν στην ουρά. Οι πελάτες καταφθάνουν με μέσο ρυθμό σύμφωνα με την κατανομή Poisso αλλά όταν το -54-

70 περιεχόμενο της ουράς είναι k ο πελάτης φεύγει. Ένας αφικνούμενος πελάτης μπορεί να μπει στην ουρά μόνο όταν η κατάστασή της είναι k. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Ο τρόπος ανάλυσης του μοντέλου αυτού είναι επίσης παρόμοιος με αυτόν του μοντέλου Μ/Μ/s με μόνη διαφορά ότι ο ρυθμός άφιξης μηδενίζεται στην περίπτωση που ο αριθμός των προσερχόμενων ατόμων είναι μεγαλύτερος της χωρητικότητας του συστήματος. Έτσι αν k ο ρυθμός άφιξης 0. Εξ' αιτίας του περιορισμένου χώρου αναμονής του μοντέλου που εξετάζεται ένα ποσοστό ατόμων που φθάνει το P k δεν εισέρχεται στο σύστημα λόγω έλλειψης χώρου αναμονής. Έτσι, ο ρυθμός άφιξης πρέπει να αντικατασταθεί από τον μέσο ρυθμό αφίξεων που δίνεται από την έκφραση, Pk και που σε ορισμένα συγγράμματα αναφέρεται ως effective rate οf arrival και συμβολίζεται με eff. Ο ρυθμός αυτός θα ονομάζεται αποτελεσματικός ρυθμός ή ενεργός ρυθμός άφιξης ή λειτουργικός ρυθμός άφιξης και θα συμβολίζεται με. Έχουν αποδειχθεί ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για το μοντέλο: Πίνακας 2.5.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s/k. [Ξ43], [Ε4], [Ε29], [Ε33]. Ενεργός ρυθμός άφιξης Βαθμός απασχόλησης του συστήματος Πιθανότητα να μην υπάρχει καμία μονάδα στο σύστημα r Pk s s s k s s P0 με 0! s! s s Πιθανότητα να υπάρχουν μονάδες στο σύστημα P P0, s! P0, s s k s s! -55-

71 Μέσος αριθμός ατόμων στην ουρά Μέσος αριθμός ατόμων στο σύστημα L q s s P0 k s k s 2 k s, s!( ) s s N s N s P 0, s! 2 P k L Lq r Lq Lq Lq Pk s s με P k s Μέσος χρόνος αναμονής των μονάδων στο σύστημα W L L Pk Μέσος χρόνος αναμονής των μονάδων στην ουρά Lq Lq Wq W ή Wq P k Για K και για r προκύπτει ότι οι εκφράσεις των P 0 και P καταλήγουν s στις αντίστοιχες του μοντέλου M / M / s/ που θα μελετηθεί παρακάτω. Ακόμη για s προκύπτουν τ' αποτελέσματα για το μοντέλο Μ/Μ//k. 2.6 Το μοντέλο Μ/Μ/s/s (ο τύπος του Erlag) Σε αυτό το μοντέλο υπάρχουν s εξυπηρετούντες και η χωρητικότητα του συστήματος είναι s που σημαίνει ότι μόλις και οι s εξυπηρετούντες είναι κατειλημμένοι, τότε κάθε νέος πελάτης που αφικνείται στο σύστημα χάνεται. Είναι η ειδική περίπτωση ουράς Μ/Μ/s/k στην οποία k s δηλαδή στην περίπτωση κατά την οποία δεν είναι επιτρεπτή η ανάπτυξη ουράς. Τότε καταλήγει σε στάσιμη κατανομή, όπως προκύπτει από τις P και P 0. Το διάγραμμα είναι -56-

72 Σχήμα 2.6.: Το μοντέλο Μ/Μ/s/s Για το μοντέλο αυτό ισχύουν οι παρακάτω τύποι: Πίνακας 2.6.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/s/s. [Ξ43]. για 0 για s s,,2,..., s Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα s s k s s P0 με 0! s! s s i0 i s! P,, 0,,..., s s s s i! Για =s προκύπτει ο τύπος απώλειας του Erlag : δίνει την πιθανότητα ενός συστήματος να είναι πλήρες κάθε χρονική στιγμή P s s i0 s s s!, i s i! s Πιθανότητα μπλοκαρίσματος (blockig probability), κατειλλημένοι και οι s εξυπηρέτητές- Τύπος, B s του Erlag P bl s! s i0 s i i! Επειδή οι αφίξεις στο μοντέλο Μ/Μ/s/s είναι Poisso, η πιθανότητα να "χαθεί" μία άφιξη ισούται με την πιθανότητα όλες οι θέσεις εξυπηρέτησης να είναι κατειλημμένες. Με άλλα λόγια : -57-

73 Όποιος πελάτης εισέρχεται σε μία ουρά M/M/s/s στο χρόνο που όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι θα μπλοκαριστεί και θα φύγει. Η κατανομή της σταθερής κατάστασης (steady-state distributio), προκύπτει από τη σχέση: Pk k! m i0 k i i! η πιθανότητα όλοι οι εξυπηρετητές να είναι απασχολημένοι, ή αλλιώς η Erlag-B formula, δίνεται από τη σχέση: P bl s! s i0 s i i! Η P bl καλείται πιθανότητα μπλοκαρίσματος (blockig probability).και είναι ο τύπος B s, του Erlag, τον οποίο βρήκε ο Erlag το 97 και είναι η πιθανότητα σ' ένα τηλεφωνικό σύστημα s γραμμών να είναι κατειλημμένες και οι s γραμμές. 2.7 Το μοντέλο Μ/Μ// /Ν Αυτό το σύστημα δεν έχει μνήμη, έχει έναν εξυπηρετών, και ενώ το σύστημα έχει απεριόριστη χωρητικότητα, η πηγή των πελατών είναι πεπερασμένη και περιέχει πλήθος πελατών N. Ο κάθε πελάτης φθάνει με ρυθμό, δηλαδή ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων είναι μια εκθετική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή. Οι πελάτες μπαίνουν πάντα στην ουρά και δεν αποχωρούν και εξυπηρετούνται με πειθαρχία FIFO από έναν εξυπηρετητή. Όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα (στην ουρά και στην εξυπηρέτηση), τότε υπολείπονται N ρυθμός άφιξης είναι N. Το διάγραμμα είναι: πελάτες των οποίων ο -58-

74 Σχήμα 2.7.: Το μοντέλο M/M// /N Τυπικό παράδειγμα τέτοιου μοντέλου αποτελεί αυτό της επισκευής μηχανών στο οποίο ο πληθυσμός προέλευσης είναι οι μηχανές και η άφιξη αντιστοιχεί σε βλάβη μηχανής. Οι επισκευαστές των μηχανών αποτελούν τους εξυπηρετητές. Για το μοντέλο αυτό ισχύουν οι εξής σχέσεις: Πίνακας 2.7.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/M// /N Μέσος ρυθμός άφιξης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα N, 0 N 0, αλλού Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα,,2,..., N Bαθμός απασχόλησης του συστήματος εξυπηρέτησης Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα P 0 N 0 N! N! Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα N! P, 0 N! 0, αλλού 0 P N για N προκύπτει η πιθανότητα να περιέχει το σύστημα όλους τους πελάτες της πηγής, δηλ. η πιθανότητα να είναι κενή η πηγή. Πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα να χρειαστεί να περιμένει Pw P 0-59-

75 Πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από k πελάτες στο σύστημα P P P... P 0 k 0 k Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναμονής Lq N P0 Mέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται σε κατάσταση εξυπηρέτησης L s Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα συνολικά L L P q 0 Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην q ουρά N L W L q Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο W W ή W q σύστημα N L L Η εύρεση του L q καθώς και των W και ενεργού μέσου αφίξεων στο σύστημα. Άρα N L μονάδες στο σύστημα. Άρα και N L Lq L L. W q απαιτεί τον υπολογισμό του, όταν υπάρχουν -60-

76 2.8 Τα μοντέλα G/G/ και G/G/s Τα μοντέλα αυτά περιγράφουν ένα σύστημα στο οποίο οι χρόνοι αφίξεων και αναχωρήσεων ακολουθούν γενική κατανομή και είναι ανεξάρτητοι, δηλαδή δεν γίνεται καμία υπόθεση ως προς την ακριβή μορφή της κατανομής, έχουν έναν και s εξυπηρετητές αντίστοιχα, άπειρη χωρητικότητα συστήματος και πειθαρχία ουράς FCFS. [Ξ2], [Ξ33], [Ξ43], [Ξ5] Το μοντέλο G/G/ Μέσος αριθμός ατόμων στη φάση εξυπηρέτησης Η διαφορά των μηκών L και L q δίνει το μήκος στη φάση εξυπηρέτησης. Ls L Lq W Wq W Wq Έτσι, (2.8.) Δηλαδή ο αναμενόμενος αριθμός μονάδων στη φάση εξυπηρέτησης ισούται με το βαθμό απασχόλησης του συστήματος και επειδή το σύστημα έχει μία θέση εξυπηρέτησης ισούται με το βαθμό απασχόλησης του εξυπηρετητή. Επειδή L E( N) και L E( N ) προκύπτει ότι q q Ls L Lq E( N Nq) E( Ns) (2.8.2) Χρησιμοποιώντας τους βασικούς ορισμούς των L και L q προκύπτει: s q ( ) ( q) ( s) ( ) 0 (2.8.3) 0 L L L E N N E N P P P P όπου N s ο αριθμός ατόμων στη φάση εξυπηρέτησης. Από τις σχέσεις (2.8.2) και (2.8.3) προκύπτει ότι: P 0 (2.8.4) Από την τελευταία σχέση (2.8.4), προκύπτει ότι ο βαθμός απασχόλησης του συστήματος ισούται με την πιθανότητα μη κενού συστήματος. Ένα κενό σύστημα ή μία κενή θέση εξυπηρετητή καλούνται ανενεργό ή ανενεργή αντίστοιχα. -6-

77 Αν συμβολιστεί με P b η πιθανότητα απασχολημένου εξυπηρετητή, τότε αν N s η τυχαία μεταβλητή που συμβολίζει τον αριθμό των πελατών στη φάση εξυπηρέτησης έχουμε: E( N ) 0 ( P ) P P (2.8.5) s b b b Δηλαδή, ο αναμενόμενος αριθμός πελατών στη φάση εξυπηρέτησης ισούται με την πιθανότητα απασχολημένης θέσης εξυπηρέτησης. Για το G/ G / η πιθανότητα ανενεργού συστήματος N 0 ισούται με την πιθανότητα ανενεργού εξυπηρετητή. Έτσι, P0 Pb (2.8.6) Επιπλέον και ανακεφαλαιωτικά, χρήσιμοι τύποι για τα συστήματα G/G/ είναι οι ακόλουθοι: Πίνακας 2.8.: Χρήσιμοι τύποι για το μοντέλο G/G/ Μέσος ρυθμός άφιξης στο σύστημα Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης στο σύστημα P Βαθμός απασχόλησης του συστήματος 0 Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα ή ισοδύναμα το ποσοστό του χρόνου που όλες οι θέσεις είναι αδρανείς Μέση τιμή του χρόνου μεταξύ αφίξεων P P 0 b E t Διασπορά του χρόνου μεταξύ αφίξεων 2 t ( για εκθετική κατανομή 2 t ) 2 Μέση τιμή χρόνου εξυπηρέτησης E X Διασπορά του χρόνου εξυπηρέτησης 2 x -62-

78 ( για εκθετική κατανομή 2 x ) 2 Μέσος χρόνο παραμονής των μονάδων στο σύστημα W Wq Μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα L W Μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά αναμονής L q W q Μέσος αριθμός μονάδων στην φάση της εξυπηρέτησης. L L L ή L P P s q s 0 Έστω fa t η πυκνότητα για τους χρόνους ανάμεσα στις αφίξεις t η οποία έχει την ιδιότητα για κάθε t 0 0 Et t0 t t0 (2.8.7) Η σχέση (2.8.7) λέει ότι, αν είναι γνωστό ότι έχει περάσει χρόνος t 0 ή και περισσότερος από τότε που έγινε μία άφιξη, τότε η επόμενη άφιξη θα γίνει μετά από χρόνο που είναι κατά μέσον όρο μικρότερος ή ίσος από το μέσο χρόνο μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Για την εκθετική κατανομή η (2.8.7) ισχύει ως ισότητα. Άλλες κατανομές που ικανοποιούν την (2.8.7), είναι η ομοιόμορφη, η βήτα, κτλ. Ωστόσο, υπάρχουν και κάποιες που δεν την ικανοποιούν. Αν ισχύει η (2.8.7) και το σύστημα είναι ευσταθές, δηλ., τότε t x t x N q 2 2 (2.8.8) και. Αν δεν ισχύει η (2.8.7) τότε ικανοποιείται μόνο η δεξιά ανισότητα της (2.8.8). Επίσης έχει αποδειχθεί, ο μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά είναι φραγμένος ως εξής: x t x W q 2 2 (2.8.9) -63-

79 όπου. Το άνω φράγμα είναι κοντά, όμως το κάτω είναι μακριά και η χρησιμότητά του αμφίβολη. Αν ισχύει η (2.8.7), αποδεικνύεται ότι ένα πάρα πολύ καλό φράγμα είναι το εξής: t x t x W q (2.8.0) και αντίστοιχα για το μέσο πλήθος μονάδων στην ουρά t x t x L q και επειδή 0, τότε τα δύο φράγματα απέχουν από έως 0.5. Για τότε q και η απόσταση των δύο φραγμάτων είναι εκπληκτικά ακριβής. Για την περίπτωση ισχύει και η προσέγγιση μεγάλης κυκλοφορίας (heavy traffic approximatio) η οποία λέει ότι στο σύστημα G/ G / ο χρόνος αναμονής στην ουρά στη μόνιμη κατάσταση είναι προσεγγιστικά εκθετικός με μέση τιμή W q t x (2.8.) Το αποτέλεσμα αυτό προκαλεί ενδιαφέρον γιατί το πάνω όριο της (2.8.0) γίνεται ακριβές καθώς, ενώ τώρα είναι γνωστή και η κατανομή που είναι εκθετική. Επίσης για η (2.8.) εκρήγνυται όπως και στο σύστημα M / M / Το μοντέλο G/G/s Συμβολίζουμε με τον μέσο ρυθμό αφίξεων των πελατών στο σύστημα και με τον μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης. Ένα μέτρο απασχόλησης του συστήματος ορίζεται από το πηλίκο s εξυπηρέτησης. Αν το δηλαδή αν συνεχώς καθώς περνάι ο χρόνο.. Το γινόμενο s είναι ο μέγιστος μέσος ρυθμός s τότε το μήκος της ουράς αυξάνεται Μετά από μακρά λειτουργία του συστήματος, περιέρχεται σε σταθερή φάση (steady state). Σε ότι ακολουθεί η έννοια σταθερή φάση του συστήματος ή στάσιμη -64-

80 φάση του συστήματος αναφέρεται σε σύστημα, τα χαρακτηριστικά του οποίου είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Για το σύστημα δεν καταλήγει ποτέ σε σταθερή φάση αφού το μέγεθος της ουράς δεν σταθεροποιείται. Στην περίπτωση που το το σύστημα και πάλι δεν περιέρχεται σε σταθερή φάση διότι η τυχαιότητα δεν αφήνει την ουρά να βρεθεί χωρίς πελάτες ούτε στους εξυπηρετητές να ξεκουραστούν. Το γεγονός αυτό προκαλεί αύξηση του μήκους της ουράς χωρίς φραγμό. Αν σε ένα σύστημα είναι γνωστός ο μέσος ρυθμός άφιξης καθώς και ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης, υπολογίζεται ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός παράλληλων καναλιών που θα εξασφαλίσουν λύση σταθερής φάσης του συστήματος. Η λύση αυτή βρίσκεται με υπολογισμό του mi{ s } για το οποίο το, δηλαδή, s s s όπου s το ακέραιο μέρος του ρυθμού απασχόλησης. Τα ίδια ισχύουν και για το σύστημα G/G/ μόνο που για s έχουμε το. Χρήσιμοι τύποι και λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Ο αναμενόμενος αριθμός ατόμων στο σύστημα Έστω τώρα Nt () τυχαία μεταβλητή που συμβολίζει τον αριθμό ατόμων στο σύστημα κατά τον χρόνο t. Η Nt () αποτελείται από τον αριθμό των ατόμων που βρίσκονται στην ουρά N () t κατά τον χρόνο t και από τον αριθμό των ατόμων που βρίσκονται q στη φάση εξυπηρέτησης Ns () t κατά τον ίδιο χρόνο. Έστω συμβολίζεται με P ( t) P{ N( t) } η πιθανότητα κατά τον χρόνο t να βρίσκονται άτομα στο σύστημα, τότε συμβολίζεται με P P{ N } η πιθανότητα ατόμων στο σύστημα ανεξαρτήτως χρονικής στιγμής δηλαδή κατά την σταθερή φάση ή φάση στασιμότητας. Έστω σύστημα G / G / s που βρίσκεται σε σταθερή φάση. Ο αναμενόμενος αριθμός EN ( ) ατόμων στο σύστημα υπολογίζεται από την L E( N) P (2.8.2) 0-65-

81 Και ο αναμενόμενος αριθμός EN ( q) ατόμων στην ουρά από την L E( N ) ( s) P (2.8.3) q q s Μέσος αριθμός ατόμων στη φάση εξυπηρέτησης Για σύστημα G / G / s ο αναμενόμενος αριθμός ατόμων στη φάση εξυπηρέτησης είναι L s E( Ns) (2.8.4) s s Μέσοι χρόνοι αναμονής στο σύστημα και μέσοι χρόνοι αναμονής στην ουρά Έστω T ο συνολικός χρόνος αναμονής στο σύστημα. Ο χρόνος αυτός αποτελείται από τον χρόνο αναμονής στην ουρά T q και από τον χρόνο παραμονής στη φάση εξυπηρέτησης T s, δηλαδή T T T Συνεπώς, ο μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα είναι: q s E( T) E( T ) E( T ) (2.8.5) Συμβολίζεται με W, W, W οι μέσοι χρόνοι αναμονής στο σύστημα, στην ουρά και στην φάση εξυπηρέτησης αντίστοιχα, οπότε q s q s W W W (2.8.6) q s Έστω ότι ο μέσος ρυθμός στη φάση εξυπηρέτησης είναι ίσος με, οπότε ο αναμενόμενος χρόνος στη φάση εξυπηρέτησης είναι ίσος με, δηλαδή Ws. 'Ετσι, W Wq (2.8.7) Υπάρχουν κι εδώ μερικά άνω και κάτω φράγματα που συχνά προκύπτουν από το μοντέλο G/ G / με έναν εξυπηρετούντα s φορές ταχύτερο. Αποδεικνύεται ότι -66-

82 2 2 2 s E X s W W 2s 2 s 2 2 s t s X (2.8.8) όπου W είναι ο μέσος χρόνος αναμονής ουράς για το G/ G / και με χρόνο εξυπηρέτησης τον X s, δηλαδή το σύστημα είναι ταχύτερο κατά s φορές από τον κάθε ένα από τους s εξυπηρετούντες, ενώ οι αφίξεις είναι ίδιες μ' αυτές του G / G / s. Επομένως το W ή θα υπολογισθεί ακριβώς αν είναι γνωστή η κατανομή ή από το κάτω φράγμα της (2.8.9) ή (2.8.0) αν ικανοποιούνται οι συνθήκες της. Τέλος αν η κυκλοφορία είναι μεγάλη ισχύει το εξής: Αν για το σύστημα G / G / s, τότε ο χρόνος αναμονής στην ουρά στη μόνιμη s κατάσταση έχει κατανομή περίπου εκθετική με μέση τιμή W 2 2 X t s 2 s και για τιμές η ουρά εκρύγνυται όπως στο M / M / s. s 2.9 Τα μοντέλα Μ/G/ και M/D/ 2.9. Το μοντέλο Μ/G/ Σε πολλές περιπτώσεις η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης δεν είναι κατ' ανάγκη εκθετική, όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα, αλλά οποιαδήποτε κατανομή έστω GT ( ), με μέση τιμή ET ( ). Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Kedall για αφίξεις εκθετικών χρόνων και μία θέση εξυπηρέτησης, το μοντέλο παριστάνεται ως M/G/. Για το μοντέλο αυτό ισχύουν οι ίδιες παραδοχές με αυτές του μοντέλου M/M/ και ο υπολογισμός των -67-

83 χαρακτηριστικών λειτουργίας του είναι εύκολος αρκεί να είναι γνωστή η μέση τιμή και η διακύμανση 2 της κατανομής του χρόνου εξυπηρέτησης. Εκτίμηση του μέσου χρόνου και της διακύμανσης είναι δυνατή με τη χρήση αντιπροσωπευτικού δείγματος χρόνων εξυπηρέτησης. Λαμβάνοντας υπ' όψη ότι από την τιμή του αναμενόμενου αριθμού των ατόμων στην ουρά, υπολογισμός των αναμενόμενου αριθμού ατόμων στο σύστημα, αναμενόμενου χρόνου στην ουρά, W. L q, είναι δυνατός ο L, του W q, και του αναμενόμενου χρόνου στο σύστημα, Έτσι αν το L q είναι δυνατό να υπολογιστεί, τότε προκύπτουν και τα υπολοιπα από τις γνωστές σχέσεις: L L L L q s q Lq Wq W Wq L W Παραθέτονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα, οι σχέσεις που υπολογίζουν τα λειτουργικά μέτρα: Πίνακας 2.9.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/G/ Βαθμός απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή η πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει να πρέπει να περιμένει Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα Πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα να χρειαστεί να περιμένει Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα P 0 P Pw P 0 P 0-68-

84 Πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από k πελάτες στο σύστημα P k k Μήκος της ουράς-μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά Μέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται σε κατάσταση εξυπηρέτησης L q Wq 2( ) 2 L s 2 L Lq Ls Lq L Μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα L 2 ή Μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα L W ή W Wq L W 2 ή Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά Lq Wq ή 2 2 Wq W 2 Συνεπώς γνωρίζοντας τα μεγέθη, και 2 είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο αναμενόμενος αριθμός L q ατόμων στην ουρά και κατόπιν τα άλλα μεγέθη της ουράς. Ειδική περίπτωση αποτελεί το ενδεχόμενο η διακύμανση των χρόνων εξυπηρέτησης να ισούται με 2 οπότε μετά από αντικατάσταση στην 2 L q ( ) προκύπτει ότι: L q 2 ( ) -69-

85 που είναι η γνωστή σχέση του μήκους της ουράς του μοντέλου Μ/Μ/. Το αποτέλεσμα αυτό είναι λογικό, γιατί η διακύμανση της εκθετικής κατανομής, που έχει μέση τιμή, είναι 2 και με την αντικατάστασή της στον τύπο 2 L q ( ) προκύπτει το L q του Μ/Μ/. Παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι το ασθενοφόρο που δέχεται τυχαίες κλήσεις για βοήθεια και έστω ότι οι κλήσεις ακολουθούν την Poisso. Στη συνέχεια το ασθενοφόρο φεύγει, ταξιδεύει ένα χρόνο X, προσφέρει τις υπηρεσίες για ένα χρόνο X 2, και πηγαίνει τον ασθενή στο νοσοκομείο σε χρόνο X 3. Επιστρέφει στη βάση σε χρόνο X 4. Ο συνολικός χρόνος είναι εκθετικός. X 4 X που εν γένει δεν είναι i i Το μοντέλο M/D/ Μια ενδιαφέρον περίπτωση του μοντέλου M/G/, είναι η περίπτωση στην οποία η 2 διακύμανση του χρόνου εξυπηρέτησης είναι μηδενική 0. Αυτό συμβαίνει όταν η μοναδική θέση εξυπηρέτησης του συστήματος εξυπηρετεί όλους τους πελάτες στον ίδιο σταθερό χρόνο, ίσο με. Ένα τέτοιο σύστημα με διαδικασία άφιξης Poisso, μία θέση εξυπηρέτησης και σταθερό χρόνο εξυπηρέτησης συμβολίζεται με M/D/. Τέτοιου είδους συστήματα υπάρχουν στις βιομηχανικές εγκαταστάσεις στις οποίες οι μηχανές (θέσεις εξυπηρέτησης) επεξεργάζονται το προϊόν σε χρόνο αμελητέας μεταβλητότητας. Αν στη σχέση L q , αντικαταστήσουμε το 2( ) 2 2 0, παίρνουμε την ακόλουθη σχέση για το μέσο χρόνο αναμονής του μοντέλου M/D/: L q 2 2 ( ) -70-

86 Χρησιμοποιώντας την έκφραση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά μεγέθη του μοντέλου M/D/. Επομένως: Πίνακας 2.9.2: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/D/ 2 Διακύμανση των χρόνων εξυπηρέτησης 0 Πιθανότητα ένας πελάτης που εισέρχεται στο σύστημα να πρέπει να περιμένει Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα ή ισοδύναμα το ποσοστό του χρόνου που όλες οι θέσεις είναι αδρανείς Πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα να χρειαστεί να περιμένει Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα P 0 P Pw P 0 P 0 Πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από k πελάτες στο σύστημα P k k Μήκος της ουράς-μέσος αριθμός 2 2 q q μονάδων στην ουρά 2 2 L ή L Μέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται σε κατάσταση εξυπηρέτησης Μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα L s L Lq Ls Lq 2 L 2 ή Μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά 2 L W 2 ή W Wq Lq Wq ή 2 Wq W 2-7-

87 2.0 Ουρές με απεριόριστο αριθμό θέσεων εξυπηρέτησης 2.0. Το μοντέλο Μ/G/ Για το μοντέλο αυτό ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: Πίνακας 2.0.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/G/ Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα e P!, 0 e! Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα συνολικά L Μέσος χρόνος που παραμένει ένας πελάτης συνολικά στο σύστημα W Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναμονής = Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά L q W q Το μοντέλο Μ/Μ/ Το μοντέλο αναφέρεται ως πρόβλημα του επαρκούς εξυπηρετητή (ample-server) Παράδειγμα τέτοιου μοντέλου αποτελεί το γνωστό self-service. Το μοντέλο αυτό είναι όμοιο με το Μ/G/ και έχει τα ακόλουθα λειτουργικά μέτρα: Πίνακας 2.0.2: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου Μ/Μ/ Μέσος ρυθμός άφιξης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα, με 0,,..., με,2,... Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες μέσα στο σύστημα Ισχύει για κάθε μοντέλο Μ/G/ Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα συνολικά= Μέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται στη φάση της εξυπηρέτησης P! e, e! 0 L L s -72-

88 Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναμονής L s 0 q Μέσος χρόνος που παραμένει ένας πελάτης συνολικά στο σύστημα = Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στην εξυπηρέτηση W Ws Το μοντέλο Μ/Μ/ / /N Αυτό είναι σαν το προηγούμενο σύστημα μόνο που τώρα οι εξυπηρετούντες είναι όσοι και οι πελάτες και είναι άπειροι. Το διάγραμμα είναι το ακόλουθο: Εδώ ισχύουν οι σχέσεις: Σχήμα 2.0.: Το μοντέλο Μ/Μ/ / /Μ Πίνακας 2.0.3: Ρυθμοί και Πιθανότητες του μοντέλου Μ/Μ/ / /Μ Μέσος ρυθμός άφιξης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα N, 0 N 0, αλλού,,2,..., N P 0 N 0 N N Πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα P N, 0 N N 0, αλλού -73-

89 2. Το μοντέλο στο οποίο η εξυπηρέτηση εξαρτάται από τη φάση του συστήματος Σε αυτό το σύστημα ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης εξαρτάται από τη φάση στην οποία βρίσκεται το σύστημα, δηλαδή από τον αριθμό των μονάδων που βρίσκονται σ' αυτό. Σαν υπόθεση σημειώνεται ότι ο εξυπηρετών ή εξυπηρετητές αυξάνουν το ρυθμό εξυπηρέτησης όταν διαπιστώνουν ότι η ουρά μεγαλώνει ή ότι το σύστημα διαθέτει πάντα έναν εξυπηρετούντα μόλις υπάρξει ζήτηση. Επίσης ότι ένας εξυπηρετητής έχει δύο ρυθμούς εξυπηρέτησης, αργό και γρήγορο. Η εργασία γίνεται με αργούς ρυθμούς αν στο σύστημα υπάρχουν το πολύ k πελάτες. Με την εμφάνιση του k πελάτη ο ρυθμός εξυπηρέτησης μεταβάλλεται σε γρήγορο. Έτσι, σε αυτό το μοντέλο ισχύουν οι σχέσεις: Πίνακας 2..: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου εξαρτώμενης εξυπηρέτησης από τη φάση του συστήματος Μέσος ρυθμός άφιξης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα Πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα Πιθανότητα να υπάρχουν μονάδες μέσα στο σύστημα P, με 0,,..., k, k k k 0 P,, P0 P0, 0 k, k k k k P0 P0,,, k -74-

90 Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά k k k k L P με k k k L L P q 0 Μέσος χρόνος που παραμένει ένας πελάτης συνολικά στο σύστημα W L Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά W q L q Αν, η εκφράσεις του P 0 καταλήγει σε αυτές του μοντέλου M / M /. Η σχέση W Wq δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί διότι το δεν είναι σταθερή P0 ποσότητα αφού εξαρτάται από τη φάση του συστήματος. Όμως LLq, με P0 αναμενόμενο χρόνο εξυπηρέτησης Ls. 2.2 Μοντέλα ουρών αναμονής με κατανομή Erlag 2.2. Το μοντέλο M/E k / Τα πρότυπα ουρών στα οποία οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι κανονικά κατανεμημένοι βασίζονται στην υπόθεση ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης έχουν μεταβολή (διασπορά) μηδέν 0 ενώ στην εκθετική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης γίνεται η υπόθεση, ενός αρκετά μεγάλου βαθμού μεταβλητότητας. Μεταξύ των δυο -75-

91 αυτών ακραίων καταστάσεων υπάρχουν πολλές ενδιάμεσες 0, όπου και βρίσκονται οι περισσότερες πραγματικές κατανομές των χρόνων εξυπηρέτησης. Μια θεωρητική κατανομή, που χρησιμοποιείται γι' αυτές τις ενδιάμεσες περιπτώσεις, είναι η κατανομή Erlag. [Ξ8], [Ξ9], [Ξ2], [Ξ43]. Το σύστημα αυτό χαρακτηρίζεται από αφίξεις που ακολουθούν την κατανομή Poisso με μέσο ρυθμό και οι ενδιάμεσοι χρόνοι αφίξεων είναι εκθετικοί με μέσο ρυθμό και με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: t, 0 f t e t Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τον χρόνο εξυπηρέτησης t της κατανομής Erlag είναι, k k k kt f t t e t k!, 0 όπου τα και k είναι αυστηρά θετικές παράμετροι της κατανομής και το k πρέπει να είναι και ακέραιος. Ο μέσος και η τυπική απόκλιση της κατανομής είναι: Μέσος Τυπική Απόκλιση k Το διάγραμμα είναι : Σχήμα 2.2.: Σύστημα Μ/Ε k / -76-

92 Αυτό το διάγραμμα αναφέρει ότι ο πρώτος πελάτης εξυπηρετείται μετά από k βαθμίδες καθώς και ο δεύτερος κ.ο.κ. Έστω τώρα ότι υπάρχουν πελάτες στο σύστημα και ο πρώτος πελάτης έχει τελειώσει τις m βαθμίδες εξυπηρέτησης και βρίσκεται στη βαθμίδα m ενώ οι άλλοι είναι στην ουρά. Τότε ο συνολικός αριθμός βαθμίδων εξυπηρέτησης που απομένουν είναι: βαθμίδες πελατών στην ουρά υπόλοιπες του πελάτη που εξυπηρετείται k m k m i σύστημα. Ορίζεται P k η πιθανότητα μόνιμης κατάστασης να υπάρχουν k πελάτες στο Έτσι, το k είναι η παράμετρος που προσδιορίζει τη μεταβλητότητα των χρόνων εξυπηρέτησης σε σχέση με το μέσο. Η κατανομή Erlag είναι μία πολύ σημαντική κατανομή στη θεωρία ουράς για δύο λόγους. Πρώτον γιατί, έστω ότι T, T2,..., T k είναι k ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν μια εκθετική κατανομή με μέσο k. Το άθροισμά τους είναι: T T T2... T k. Το άθροισμα αυτό ακολουθεί μια κατανομή Erlag με παραμέτρους και k. Οι χρόνοι που χρειάζονται για να γίνουν ορισμένα είδη εργασιών μπορεί να ακολουθούν μια εκθετική κατανομή. Όμως, η συνολική εξυπηρέτηση μιας μονάδας μπορεί να απαιτεί όχι μια μόνο εργασία, αλλά μια ακολουθία k εργασιών. Αν οι αντίστοιχες εργασίες έχουν την ίδια εκθετική κατανομή για τη διάρκειά τους, ο συνολικός χρόνος θα ακολουθεί μια κατανομή Erlag με παράμετρο k. Δεύτερον, επειδή αντιπροσωπεύει μια μεγάλη οικογένεια κατανομών που παίρνουν μόνο μη αρνητικές τιμές. Επομένως, οι εμπειρικές κατανομές του χρόνου εξυπηρέτησης μπορούν, συνήθως, να προσεγγιστούν ικανοποιητικά από μια κατανομή Erlag. Πράγματι, τόσο η εκθετική όσο και η εκφυλισμένη (σταθερή) κατανομή είναι ειδικές περιπτώσεις της κατανομής Erlag, για k και k αντίστοιχα. Ενδιάμεσες τιμές του k δίνουν ενδιάμεσες κατανομές με μέσο διακύμανση, όπως παρουσιάζονται στο Σχήμα k και -77-

93 Σχήμα 2.2.2: Οικογένεια κατανομών Erlag με παράμετρο k (μ=) Τα μέτρα απόδοσης του συστήματος παραθέτονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 2.2.: Λειτουργικά μέτρα του μοντέλου M/E k / [Ξ23], [Ξ43] Μέσο πλήθος πελατών στο Ουρά M/E k / 2 2 k k L 2 2k σύστημα συνολικά k Μέσο πλήθος πελατών στην ουρά 2 2 k k 2 2k q αναμονής k Μέσος χρόνος παραμονής ενός L k k W πελάτη στο σύστημα 2k 2k Μέσος χρόνος αναμονής ενός W k k q πελάτη στην ουρά 2k 2k Ομαδικές Αφίξεις (Bulk arrivals) Έστω k πελάτες που φθάνουν την ίδια στιγμή και θα εξυπηρετηθούν από μία εκθετική βαθμίδα. Το νέο αυτό σύστημα είναι M / M / με ομαδικές αφίξεις -78-

94 μεγέθους k και είναι ισοδύναμο του M / E k /. [Ξ5].Το διάγραμμα κατάστασης είναι Σχήμα 2.2.3: Ομαδικές αφίξεις Έστω τώρα ότι το μέγεθος των αφίξεων δεν είναι k αλλά γενικότερο. Οι στιγμές των ομαδικών αφίξεων είναι Poisso και το μέγεθος των ομάδων ορίζεται από την πιθανότητα q Pμέγεθος ομάδας. Τέτοιες αφίξεις συμβαίνουν σε εστιατόρια ή συστήματα παραγωγής όταν γίνονται εκφορτώσεις κ.ο.κ. Ο ρυθμός άφιξης των ομάδων είναι. Οι εξισώσεις για τις πιθανότητες P k είναι P q P ή P P (2.2.) 0 i 0 i k P q P Pq k i k i k i i i0 k ή P P Pq, k k k i k i i0 (2.2.2) Η κατάσταση του συστήματος είναι ο αριθμός πελατών στο σύστημα. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό z στην (2.2.2) προκύπτει k k k k Pk z Pk z Pq i k iz k z k k i0 (2.2.3) Ο τελευταίος όρος αυτής της εξίσωσης γράφεται: H (2.2.3) γίνεται k i ki Pq i iz Pq i kiz Pz i qk iz i0 i0 ki i0 ki -79-

95 όπου Q z προκύπτει ότι z Pz P Pz Pz P PzQz 0 0 (2.2.4) k qk z. Αντικαθιστώντας την k P από την (2.2.) στην (2.2.4) P z P 0 z z z Qz (2.2.5) Όπως και προηγουμένως παρονομαστή της (2.2.5) βρίσκουμε και ορίζοντας 0 P και παίρνοντας παραγώγους στον αριθμητή και P0 P0 Q Q Q Q, P, τελικά η (2.2.5) γίνεται P z z z z Qz (2.2.6) Εφ' όσον δοθεί η κατανομή q k τότε υπολογίζεται η (2.2.6). Q z και μετά αντιστρέφεται η Ομαδικές εξυπηρετήσεις (Bulk service) Αυτό το σύστημα είναι η ακριβώς δυαδική περίπτωση της προηγούμενης. Η βαθμίδα εξυπηρέτησης, μόλις ελευθερωθεί, δέχεται ομαδικά k πελάτες για εξυπηρέτηση (όπως τα καροτσάκια που μεταφέρουν προϊόντα σ ένα σύστημα παραγωγής). Αν οι αφιχθέντες πελάτες είναι λιγότεροι από k, τότε ο εξυπηρετών περιμένει να γίνουν k. Έχουμε λοιπόν ένα σύστημα M / M / με ομαδικές εξυπηρετήσεις που είναι ακριβώς ισοδύναμο του Ek / M /. -80-

96 Σχήμα 2.2.4: Ομαδικές εξυπηρετήσεις Για να θεωρηθεί μια γενικότερη περίπτωση υποθέτεται ότι, αν οι πελάτες είναι λιγότεροι από k, πάλι το σύστημα τους αποδέχεται. Η κατάσταση του συστήματος είναι ο αριθμός πελατών στο σύστημα. Οι αφίξεις γίνονται με ρυθμό και οι εξυπηρετήσεις, μεγέθους από έως k, με ρυθμό. Οι εξισώσεις είναι: Χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός z απ όπου P P P, (2.2.7) k k P P P P (2.2.8) P z z P z P k z P z P0 zp z P z P 2 z z 0 P z k P z 0 k k P z z z 0 k (2.2.9) Η (2.2.8) δίνει 0 0 Αντικαθιστώντας την (2.2.0) στην (2.2.9) k P P P (2.2.0) 0-8-

97 P z k k k 0 0 k k P z z P z z και με k P z k k P z z 0 k k kz k z (2.2.) Ο παρονομαστής της (2.2.) έχει μια ρίζα z0 και k ρίζες z. Yπάρχει ένα θεώρημα που λέει ότι η Ρ(z) πρέπει να είναι φραγμένη στην περιοχή z και άρα οι k ρίζες του παρονομαστή που είναι πρέπει να διαγραφούν από αντίστοιχες ρίζες του αριθμητή, δηλαδή k k P z z A 0 z k k kz k z z z z0 όπου το A είναι μια σταθερά αναλογίας και το z προκύπτει από το γεγονός ότι z είναι ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή. Άρα P z A z z 0, όπου, επειδή P, A. Οπότε z 0 z z z 0 P z 0 και αντιστρέφοντας P z που πάλι είναι γεωμετρική κατανομή., 0,,... z z

98 2.2.4 Το μοντέλο E k /M/ Το μοντέλο αυτό είναι η αντίστροφη περίπτωση της προηγούμενης ενότητας. f t k k kt e k! kt, t 0 (2.2.2) t, 0 f t e t (2.2.3) Το διάγραμμα είναι Σχήμα 2.2.5: Σύστημα Ε k /Μ/ Τα διαγράμματα αυτής και της προηγούμενης ενότητας είναι ευφυείς τρόποι παρουσίασης της κατανομής Erlag και οφείλονται στον ίδιο τον Erlag. Εδώ υποθέτεται ότι ένας πελάτης προκειμένου να φθάσει στο σύστημα περνάει από k βαθμίδες άφιξης με ρυθμό k. Ο συνολικός χρόνος στις k βαθμίδες έχει την κατανομή (2.2.2). Ο πρώτος πελάτης διασχίζει k βαθμίδες άφιξης. Μόλις φθάσει στη βαθμίδα k τότε και μόνο τότε αρχίζει η εξυπηρέτησή του. Το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση k. Από την κατάσταση αυτή δύο πράγματα μπορεί να συμβούν: Είτε ο πρώτος πελάτης εξυπηρετείται, οπότε το σύστημα μεταβαίνει στην κατάσταση 0, είτε ένας νέος πελάτης θα καταλάβει την πρώτη βαθμίδα άφιξής του, οπότε το σύστημα μεταβαίνει στην κατάσταση k. Για να αρχίσει η εξυπηρέτηση του νέου πελάτη πρέπει να έχει διασχίσει τις k βαθμίδες άφιξης και να έχει εξυπηρετηθεί ο προηγούμενος. Αν η βαθμίδα εξυπηρέτησης είναι κενή, εξυπηρετείται, αλλιώς περιμένει κ.ο.κ. Έστω πελάτες στο σύστημα k P P i Αποδεικνύεται ότι ik -83-

99 για 0 P k k z0 z0 για 0 (2.2.4) που είναι επίσης μορφή γεωμετρικής κατανομής. 2.3 Το μοντέλο Μ/Μ/s/k/N Αυτό το σύστημα είναι η γενίκευση όλων των συστημάτων που μελετήθηκαν παραπάνω. Είναι το τελευταίο σύστημα που εξετάζεται και που λύνεται με τις εξισώσεις γέννησης-θανάτου. Είναι σύστημα χωρίς μνήμη, με s εξυπηρετούντες, χωρητικότητα του συστήματος k και πληθυσμό της πηγής N. Για το σύστημα αυτό ισχύει: N, 0 N 0, αλλού Εδώ γίνεται η υπόθεση s k N και ότι αν ένας πελάτης του πληθυσμού των N φτάσει στο σύστημα και βρει στην ουρά k πελάτες επιστρέφει αμέσως στον πληθυσμό και υπόκειται πάλι στην τυχαία άφιξη. Επίσης, 0 s s, s Σχήμα 2.3.: Το μοντέλο Μ/Μ/s/k/N Ο υπολογισμός των P γίνεται πρώτα για 0 s N k N 0 0 k0 k P P P, 0 s (2.3.) και για s k βρίσκουμε -84-

100 N k N k N 0 0 k ks s s! s P P P s, s N (2.3.2)! Για τον υπολογισμό του P 0 μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστοί τύποι. 2.4 Δίκτυα Αναμονής Έστω η ακόλουθη σύνδεση συστημάτων αναμονής σε σειρά [Ξ9], [Ξ33], [Ξ52]. Σχήμα 2.4.: Σειριακό σύστημα Το πρώτο σύστημα είναι M / M / με παραμέτρους και. Το δεύτερο έχει έναν εξυπηρετούντα με εκθετική κατανομή και ρυθμό εξόδου. Το ίδιο ισχύει για τους υπόλοιπους 2 κόμβους. Η πυκνότητα των χρόνων αναχώρησης στην έξοδο του πρώτου είναι b x και ο μετασχηματισμός Laplace 9 της b x είναι Bk. Όταν ένας πελάτης αφήσει τον πρώτο κόμβο πηγαίνει στην ουρά του δεύτερου. Αν στην ουρά του πρώτου υπάρχει διαθέσιμο ημικατεργασμένο προϊόν για εξυπηρέτηση, τότε η κατανομή των χρόνων εξόδου είναι εκθετική ή B k k Αν όμως δεν υπάρχει έτοιμο υλικό, τότε ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα στην αναχώρηση του τωρινού και του επόμενου υλικού ισούται με το χρόνο που μεσολαβεί ανάμεσα στην αναχώρηση του τωρινού και την άφιξη του επόμενου συν το χρόνο εξυπηρέτησης του επόμενου. Οι δύο χρόνοι είναι ανεξάρτητοι και το άθροισμά τους έχει πυκνότητα που ισούται με τη συνέλιξη των δύο πυκνοτήτων. Άρα B2 k k k 9 Ορισμός μετασχηματισμού : b x B k e b x dx. Ιδιότητα συνέλιξης: kx a x b x Ak B k. -85-

101 επειδή ο χρόνος άφιξης είναι επίσης εκθετικός με ρυθμό. [Ξ9], [Ξ2], [Ξ33], [Ξ43]. Η πιθανότητα να είναι η ουρά του άδεια είναι, όπως αναφέρθηκε και στο μοντέλο M / M /, επομένως P, 0 B k k k k k (2.4.) Αλλά η (2.4.) είναι η εκθετική κατανομή με ρυθμό. Άρα στην είσοδο του δεύτερου υπάρχει πάλι μια διαδικασία Poisso με παράμετρο. Αυτό το αποτέλεσμα λέγεται Θεώρημα του Burke. Το θεώρημα του Burke Έστω ένα σύστημα ουράς M / M /, M / M / s, ή M / M / σε σταθερή κατάσταση με ρυθμό αφίξεων, τότε: Η διαδικασία αναχωρήσεων είναι επίσης Poisso με ρυθμό. Συγκεκριμένα το σύστημα M / M / s που βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση με ρυθμό εισόδου και παράμετρο για κάθε εξυπηρετούντα έχει έξοδο που είναι Poisso με ρυθμό και αυτό είναι το μόνο σύστημα FCFS (first come first served), που έχει αυτή την ιδιότητα. Τελικά η έξοδος των κόμβων σε σειρά είναι Poisso με παράμετρο. Σχήμα 2.4.2: Το θεώρημα του Burke Αποτελέσματα του θεωρήματος του Burke Άμεση συνέπεια του θεωρήματος είναι ότι η κατανομή αφίξεων στη δεύτερη ουρά είναι Poisso με μέση τιμή. Οι αφίξεις στη δεύτερη ουρά πριν από τη χρονική στιγμή t είναι οι αναχωρήσεις από την πρώτη ουρά πριν τη στιγμή t. Έτσι, οι αναχωρήσεις από την πρώτη ουρά είναι ανεξάρτητες από τον αριθμό πελατών N0 t στην πρώτη ουρά. -86-

102 Ο αριθμός των πελατών στη δεύτερη ουρά, N t, προσδιορίζεται από την ακολουθία αφίξεων από την πρώτη ουρά πριν από τη χρονική στιγμή t και είναι ανεξάρτητος από τους χρόνους εξυπηρέτησης. Έτσι, σε κάθε χρονική στιγμή t, ο αριθμός των πελατών στο σύστημα Nt είναι ανεξάρτητος από την ακολουθία των χρόνων αναχώρησης πριν τον t. Συνεπώς, ο N 0 είναι ανεξάρτητος από το N. Οι N0 t και N διαδικασίες. t είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές αλλά όχι και ανεξάρτητες 2.4. Δίκτυα εκθετικών ουρών Ανοιχτά Δίκτυα - Δίκτυα Jackso Πρόκειται για δίκτυα αυθαίρετης γεωμετρίας που αποτελούνται από κόμβους, j,2,...,. Ο j -οστός κόμβος αποτελείται από μιαν ουρά άπειρης χωρητικότητας και s j εκθετικούς εξυπηρετούντες με ρυθμό Η τροφοδοσία της ουράς γίνεται από δύο μέρη : j ο καθένας. [Ξ43], [Ξ5]. Από πελάτες απ έξω απ το σύστημα με κατανομή Poisso και με ρυθμό j Από πελάτες από άλλους κόμβους i, ή και από τον ίδιο με ανατροφοδότηση (feedback, πχ. επανακατεργασία). Οι αφίξεις θεωρούνται ανεξάρτητες η μία από την άλλη, όπως και οι εξυπηρετήσεις και οι δρομολογήσεις. Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλογα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleirock s Idepedece Assumptio, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία) Ένας πελάτης μόλις εξυπηρετηθεί στον κόμβο i αναχωρεί για τον κόμβο j με πιθανότητα P ij και άρα εγκαταλείπει όλο το δίκτυο με πιθανότητα P να πάει κάπου μέσα στο δίκτυο Οι πιθανότητες P i0 αντιστοιχούν σε πελάτες που φεύγουν από το σύστημα ( 0 κόμβος που συμβολίζει την έξοδο). Οι πιθανότητες ικανοποιούν τη σχέση j P ij -87-

103 j0 P ij Ο συνολικός ρυθμός άφιξης στον κόμβο j είναι P, j,2,..., (2.4.2) j j i ij i Για να έχει το σύστημα μόνιμη κατάσταση πρέπει s, j,2,..., j j j Σαν κατάσταση στο σύστημα θεωρείται το διάνυσμα k k, k2,..., k όπου k j είναι ο αριθμός πελατών που βρίσκονται στην ουρά του κόμβου j συν τον αριθμό των εξυπηρετουμένων. Η κοινή πιθανότητα στη μόνιμη κατάσταση είναι P k, k2,..., k P k και η πιθανότητα μόνιμης κατάστασης για κάθε κατάσταση είναι Pj k j. Το θεώρημα που ακολουθεί και απέδειξε ο Jackso αποτελεί το εργαλείο ανάλυσης του συστήματος: Θεώρημα Jackso: α. Κάθε κόμβος j συμπεριφέρεται σαν αναμονητικό σύστημα M / M / s j με μέσο ρυθμό εισόδου j j i Pij, j,2,...,. i β. Η συνολική είσοδος σε έναν κόμβο δεν είναι Poisso. γ. Pk P j (2.4.3) j k j όπου η πιθανότητα k j P j είναι η πιθανότητα ώστε ο κόμβος j να έχει k j πελάτες και υπολογίζεται από εξισώσεις ανάλογες των -88-

104 P P0, s! P0, s s ss! και P0 s 0 s s! s! s του μοντέλου Μ/Μ/s με k,,, s s. j j j j Ο μέσος ρυθμός ροής μονάδων από τον κόμβο i στον j ισούται με ipij. Τα συστήματα Jackso είναι ανοικτά, διότι τροφοδοτούνται από το περιβάλλον τους καθώς και το τροφοδοτούν. Κλειστά Δίκτυα Έστω ένα ανοικτό δίκτυο στο οποίο, όταν ένας πελάτης φεύγει (προϊόν παράγεται) τότε και μόνον τότε ένας άλλος πελάτης εισέρχεται στο σύστημα. Αυτό στην πράξη συμβαίνει όταν σε ένα σύστημα παραγωγής οι πρώτες ύλες εισέρχονται στο σύστημα μόνον όταν υπάρχει ζήτηση. Τα συστήματα αυτά ονομάζονται συστήματα έλξης (pull systems) ή παραγωγής κατά παραγγελίες (make-to-order). Για τη μοντελοποίηση τέτοιων συστημάτων θεωρείται μία νοητή μηχανή του συστήματος η οποία τροφοδοτείται από την αποθήκη-ουρά έτοιμων προϊόντων και τροφοδοτεί την αποθήκη-ουρά πρώτων υλών. Στην περίπτωση αυτή το ανοιχτό δίκτυο ισοδυναμεί με ένα κλειστό σύστημα όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα 2.4.3: Ισοδυναμία συστήματος έλξης (ανοιχτό) με κλειστό σύστημα. Στο κλειστό σύστημα, το συνολικό πλήθος πελατών οι οποίοι βρίσκονται στους κόμβους εξυπηρέτησης είναι σταθερό: K K... K Ορίζονται οι ποσότητες j j πελατών στην ουρά. Επομένως, ισχύει: b K που εξαρτώνται από τον κόμβο j και το πλήθος -89-

105 b K K j!, K j s j j j s!s, K s j j K s j j j j (2.4.4) Έστω j, οι μέσοι ρυθμοί αφίξεων στις ουρές των κόμβων j. Τότε, οι εξισώσεις διατήρησης πελατών παίρνουν τη μορφή P, j,2,..., (2.4.5) j i ij i η οποία είναι ίδια με την P, j,2,..., (2.4.2) με i 0. Το j j i ij i σύστημα (2.4.5) είναι γραμμικό, αλλά δεν έχει μοναδική λύση γιατί ο πίνακας P ji δεν είναι αντιστρέψιμος. Θεωρούνται αντί των j j j, οι μεταβλητές x j j, όπου. Αποδεικνύεται ότι το ακόλουθο σύστημα είναι ισοδύναμο του (2.4.5): x x P, j 2,..., και j i ij i x i2 x i (2.4.6) Το σύστημα αυτό αποτελείται από γραμμικώς ανεξάρτητες εξισώσεις με αγνώστους. Οι λύσεις x i των (2.4.6) ικανοποιούν και την x xipi. Θεώρημα των Gordo-Newell: Σε ένα κλειστό σύστημα, οι πιθανότητες μόνιμης κατάστασης δίνονται από τις σχέσεις i όπου,,..., P k P k k k x j j 2 (2.4.7) G K j bjkj k j -90-

106 G K (2.4.8) για κάθε συνδυασμό j bjkj k,..., k : k... kk x j j και x j είναι οποιεσδήποτε λύσεις του συστήματος (2.4.5). Προφανώς, τα x j που προκύπτουν από τις (2.4.6) ικανοποιούν το θεώρημα. Η k j ποσότητα u j x j s j j xi s i i i είναι η σχετική χρησιμοποίηση του σταθμού j. Ο σταθμός που έχει max u j ονομάζεται συνωστισμένος (bottleeck), και οι μηχανές του εργάζονται περισσότερο χρόνο από τις μηχανές των υπόλοιπων. Οι μέσοι ρυθμοί εισροής/εκροής σε κάθε σταθμό είναι 2... s P k P k P k j j j j j για κάθε συνδυασμό: για κάθε συνδυασμό: για κάθε συνδυασμό: k j και ki K k j k j 2 και ki K k j k j s j και ki K k j i j i j i j (2.4.9) Οι ποσότητες j ονομάζονται φορτίσεις των σταθμών. Το μέσο πλήθος κομματιών στην αποθήκη j ενός κλειστού δικτύου παραγωγής είναι N k s P k (2.4.0) q, j j j j για κάθε συνδυασμό: kjsj Οι υπολογισμοί που χρειάζονται οι παραπάνω σχέσεις είναι πάρα πολλοί. Απλούστερες περιπτώσεις μπορεί να είναι τα συστήματα στα οποία κάθε κόμβος αποτελείται από μία μηχανή ή συστήματα με κόμβους των οποίων οι σχετικές χρησιμοποιήσεις είναι ίσες. Όταν ισχύει η τελευταία ιδιότητα, το σύστημα ονομάζεται ισορροπημένο (balaced). Σε ισορροπημένα συστήματα, όλες οι πιθανότητες μόνιμης κατάστασης είναι ίσες με -9-

107 ! K! K K! K (2.4.) και οι πελάτες ισοκατανέμονται κατά μέσον όρο ανάμεσα στους σταθμούς. Το μέσο πλήθος πελατών σε κάθε σταθμό (εξυπηρέτηση + αναμονή) είναι K L. Μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν οι σταθμοί παραγωγής αποτελούνται από μία μηχανή οι μέσοι ρυθμοί εισροής/εκροής δίδονται από τις σχέσεις H ποσότητα x j ισούται με την φόρτιση της μηχανής j. G K j x j (2.4.2) G K -92-

108 3 Κεφάλαιο 3 ο : Εφαρμογή των ουρών αναμονής στην παραγωγική διαδικασία αυτοματοποιημένων βιομηχανικών συστημάτων Στο κεφάλαιο αυτό, θα γίνει μια σύντομη παρουσίαση της εταιρείας Coca Cola Τρία Έψιλον, των προϊόντων που παράγει και των μονάδων παραγωγής της. Από αυτές τις μονάδες, θα αναλυθεί το εργοστάσιο του Αιγίου, το οποίο είναι το μόνο στην Ελλάδα που παράγει την γραμμή προϊόντος του εμφιαλωμένου νερού ΑΥΡΑ. Θα γίνει μια εκτενής ανάλυση της διαδικασίας που ακολουθεί κατά την παραγωγή και θα αναφερθούν όλες οι απαραίτητες υποθέσεις και δεδομένα που πρέπει να λαμβάνονται υπόψην για τη σωστή λειτουργία του συστήματος. Τέλος, θα σχεδιαστεί στο περιβάλλον του simul8 και θα σχολιαστούν τα αποτελέσματά του. 3. Εισαγωγή Ο προγραμματισμός παραγωγής γίνεται πολύπλοκος όταν το πλήθος των μηχανών και εργασιών αυξάνεται. Τα υπάρχοντα συστήματα παραγωγής είναι αρκετά σύνθετα ώστε το πρόβλημα να μην μπορεί να λυθεί με ακρίβεια. Στις περιπτώσεις αυτές αναζητούνται προσεγγίσεις που διευκολύνουν την επίλυση και εγγυώνται ότι οι λύσεις είναι ικανοποιητικές, με την έννοια ότι η απόδοση του συστήματος προσεγγίζει τη βέλτιστη απόδοση.[ξ32], [Ξ46], [Ξ5]. Παρακάτω παραθέτονται μερικοί βασικοί ορισμοί που αφορούν τα συστήματα παραγωγής: Οι σταθμοί παραγωγής (workstatios) είναι συνήθως οι μηχανές που συνδέονται παράλληλα και οι εργαζόμενοι σ' αυτές που παίρνουν πρώτες ύλες ή ημικατεργασμένα κομμάτια και παράγουν τελικά προϊόντα. -93-

109 Το σύστημα παραγωγής (productio system) είναι το δίκτυο σταθμών παραγωγής. Η γραμμή παραγωγής (productio lie) αποτελείται από μηχανές ή σταθμούς παραγωγής συνδεδεμένους σε σειρά. Ένα δίκτυο παραγωγής (productio etwork) περιέχει σταθμούς παραγωγής με αυθαίρετες διασυνδέσεις. Για την αύξηση της παραγωγικότητας ενός δικτύου παραγωγής, τοποθετούνται ανάμεσα σε διαδοχικούς σταθμούς, χώροι εναποθήκευσης (buffers), οι οποίοι διατηρούν αποθέματα υλικών που θα επεξεργαστούν από τις επόμενες μηχανές. Το κεντρικό πρόβλημα των δικτύων παραγωγής είναι αυτό της ανάλυσης και σύνθεσης. Με την ανάλυση υπολογίζονται οι μέσοι ρυθμοί παραγωγής του συστήματος, η μέση στάθμη των buffers κλπ. Mε τη σύνθεση υπολογίζεται το βέλτιστο μέγεθος των buffers όταν λαμβάνεται υπ' όψιν η αύξηση της παραγωγικότητας αλλά και το κόστος αποθέματος, η βέλτιστη κατανομή επισκευαστικών πόρων κλπ.. Tο πρόβλημα της ανάλυσης και σύνθεσης είναι εξαιρετικά πολύπλοκο λόγω του τεράστιου αριθμού των διαστάσεων και των υπερβολικών υπολογιστικών απαιτήσεων. Η δυσκολία του προβλήματος σε συνδυασμό με την τυχαιότητα κάποιων γεγονότων όπως όταν οι μηχανές σπάζουν ή επισκευάζονται, οι χώροι εναποθήκευσης γεμίζουν υπερβολικά ή παραμένουν άδειοι, το κάνουν ιδιαίτερα ελκυστικό και ενδιαφέρον. Βέλτιστη απόδοση του συστήματος πετυχαίνεται όταν αποσυντίθεται το πρόβλημα σε υποπροβλήματα τα οποία επιλύονται διαδοχικά. Τέτοια υποπροβλήματα είναι: [Ξ32], [Ξ43] Ο προσδιορισμός του ρυθμού παραγωγής για κάθε τύπο προϊόντος, ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος και να ικανοποιείται η ζήτηση-(routig flow). Καθορισμός του ποσοστού του συνολικού πλήθους κομματιών που θα επεξεργάζεται η κάθε μηχανή ώστε να μην προκαλείται πρόβλημα στο ρυθμό παραγωγής και να διατηρούνται αποθέματα ημικατεργασμένων κομματιών στο μικρότερο δυνατό επίπεδο-(routig cotrol). Καθορισμός της σειράς με την οποία κάθε μηχανή παράγει τα (διαφορετικά) προϊόντα που βρίσκονται στις αποθήκες της ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες των και 2, και να παραδίδονται τα προϊόντα εντός καθορισμένων -94-

110 προθεσμιών. Ο έλεγχος ακολουθίας καθορίζει την ακριβή κατάσταση του συστήματος κάθε χρονική στιγμή και εφαρμόζεται συνεχώς-(sequece cotrol): Σε μια εποχή μειωμένης παραγωγικότητας, συνεχώς αυξανόμενης αυτοματοποίησης, και εύθραυστων οικονομιών η λύση τέτοιων προβλημάτων είναι πολύ σημαντική. Ακόμη πιο σημαντικό, είναι να λαμβάνονται υπ' όψιν οι κοινωνικές, οικονομικές, και οικολογικές επιδράσεις του συστήματος παραγωγής. Ένα εξαιρετικά αυτοματοποιημένο εργοστάσιο μπορεί να συνεπάγεται απολύσεις εργατών που πιθανόν να είναι ανεπιθύμητες. Επίσης, ένα εργοστάσιο μπορεί να ρυπαίνει το περιβάλλον γύρω από αυτό. Το πρόβλημα επομένως μετατρέπεται σε ένα πολύπλοκο πρόβλημα συστημάτων. 3.. Η παραγωγή των εργοστασίων σήμερα Σήμερα, οι βιομηχανίες εγκαταλείπουν το μοντέλο μαζικής παραγωγής και μικρής ποικιλίας προϊόντων και εγκαθιστούν ευέλικτα συστήματα παραγωγής (flexible maufacturig systems FMS [Ξ.43]) με σκοπό την ταυτόχρονη παραγωγή πολλών ειδών προϊόντων κατά παρτίδες μεσαίου μεγέθους. Ένα FMS αποτελείται από σταθμούς παραγωγής, που έχουν δυνατότητα να επιτελούν πολλές κατεργασίες, συνδεδεμένους με ένα σύστημα μεταφοράς κομματιών (material hadlig system - MHS). Τα κομμάτια φορτώνονται σε παλλέτες ή μεταφορικές ταινίες του συστήματος μεταφοράς, και υπόκεινται σε σειρά κατεργασιών, μέχρι να μετατραπούν σε προϊόντα και να μεταφερθούν στο σταθμό εκφόρτωσης. Ο έλεγχος ροής πραγματοποιείται συνεχώς από κεντρικό υπολογιστή. Το παρακάτω σχήμα, δείχνει ένα τέτοιο ευέλικτο σύστημα. -95-

111 Σχήμα 3..: FMS με δύο σταθμούς παραγωγής και έναν σταθμό φόρτωσης-εκφόρτωσης. Η απόδοση του συστήματος εξαρτάται από τα έσοδα από πώληση προϊόντων και, επομένως, από τους ρυθμούς παραγωγής, τις δυνατότητες των μηχανών, την ικανοποίηση της ζήτησης, τις αναγκαστικές διακοπές του συστήματος λόγω βλαβών ή συντήρησης, κλπ. Για την μαθηματική διατύπωση του προβλήματος, το σύστημα περιγράφεται ως δίκτυο με κόμβους οι οποίοι συνδέονται με βέλη. Οι κόμβοι παριστάνουν σταθμούς παραγωγής. Κάθε βέλος παριστάνει μία διαδρομή του συστήματος διαχείρισης υλικών από κάποιο σταθμό παραγωγής σε έναν άλλο σταθμό. Γίνεται η υπόθεση ότι ένα βέλος μεταφέρει ένα είδος προϊόντος με συγκεκριμένο ρυθμό ροής, ο οποίος αντιστοιχεί στο μέσο ρυθμό με τον οποίο κομμάτια του προϊόντος οδηγούνται σε κάποιο κόμβο. Αποδεικνύεται ότι, στη μόνιμη κατάσταση, όταν οι χρόνοι μεταφοράς και κατεργασίας είναι σταθεροί και το σύστημα είναι ροϊκό (δηλαδή στο σύστημα κυκλοφορεί υγρό παρά διακριτά κομμάτια), τα αποθέματα είναι 0 ή. Στις επόμενες παραγράφους θα μελετηθεί το πρόβλημα της ανάλυσης μια γραμμής παραγωγής ( όπως πχ. στο Σχήμα 3..2) χρησιμοποιώντας εργαλεία από τη θεωρία ουρών αναμονής (queueig theory) και θεωρώντας τους ρυθμούς παραγωγής και ζήτησης προϊόντων στη μόνιμη κατάσταση, καθώς και εργαλεία προσομοίωσης, τα οποία θα δείχνουν γραφικά την παραγωγή. Σχήμα 3..2: Γραμμή παραγωγής -96-

112 3.2 Σχεδίαση και Ανάπτυξη του μοντέλου προσομοίωσης Τα πραγματικά δεδομένα που χρειάζονται για την σωστή αξιολόγηση και προσαρμογή των μοντέλων ουρών αναμονής στα βιομηχανικά συστήματα δεν είναι αρκετά. Το αντίθετο συμβαίνει με τα θεωρητικά μοντέλα. Η προσομοίωση είναι ένα εργαλείο που μπορεί να λειτουργήσει ανάμεσα σε αυτά τα δύο και να οδηγήσει σε ακριβείς μετρήσεις απόδοσης και να βοηθήσει στην υποστήριξη αποφάσεων. [Ξ46], [Ε], [Ε25]. Η προσομοίωση βιομηχανικών συστημάτων περιλαμβάνει μεγάλα και πολύπλοκα μοντέλα στα οποία ενσωματώνονται στοχαστικά στοιχεία σε βασικά πρωτογενή στοιχεία, όπως ο ρυθμός άφιξης και οι χρόνοι εξυπηρέτησης, τα διαφορετικά ανά ώρα πρότυπα αφίξεων, ο ημερήσιος έλεγχος και ο έλεγχος πραγματικού χρόνου. Όσο πιο πολύπλοκο είναι το μοντέλο τόσο πιο μεγάλο και το κόστος. Τέτοια μοντέλα είναι χρήσιμα σε διάφορα ιεραρχικά επίπεδα αποφάσεων. Όταν παρατηρείται αύξηση ενός προϊόντος στην ουρά, αμέσως ο υπεύθυνος που επιβλέπει τους εξυπηρετητές μπορεί να αλλάξει τις προτεραιότητές τους για να βελτιωθεί το επίπεδο εξυπηρέτησης. Το διάλειμμα των εξυπηρετητών επίσης καθορίζεται από την κίνηση των εισερχόμενων προϊόντων. Η προσομοίωση τέτοιων καταστάσεων που έχουν σημαντικό αντίκτυπο στην λειτουργία της υπηρεσίας είναι ανώφελη όταν δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία. Η έλλειψη αξιόπιστων δεδομένων αποτελεί σημαντικό πρόβλημα. Η συλλογή τους και η μετέπειτα σε βάθος στατιστική ανάλυση είναι προαπαιτούμενα για την καλύτερη κατανόηση των βιομηχανικών συστημάτων και την αποτελεσματικότερη προσομοίωσή τους. [Ε5]. 3.3 Εφαρμογή της θεωρίας ουρών αναμονής και προσομοίωσης στην παραγωγή του νερού ΑΥΡΑ της Coca-Cola Τρία Έψιλον 3.3. Η Coca-Cola Τρία Έψιλον Η Coca-Cola Ελληνική Εταιρία Εμφιαλώσεως Α.Ε. ανήκει στον Όμιλο Coca-Cola Helleic και είναι μία από τις μεγαλύτερες εταιρίες στην Ελλάδα στον κλάδο των αναψυκτικών και ταυτόχρονα δικαιοδόχος εταιρίας εμφιαλώσεως των προϊόντων της The Coca-Cola Compay. -97-

113 Ξεκίνησε την επιχειρηματική της δραστηριότητα στην Ελλάδα το 969. Έχει την έδρα της στην Αθήνα και διαθέτει 7 εργοστάσια εμφιαλώσεως σ ολη την Ελλάδα. Η εταιρία εξυπηρετεί τις ανάγκες περίπου καταναλωτών, παράγοντας και διανέμοντας ένα χαρτοφυλάκιο προϊόντων υψηλής ποιότητας, Εικόνα 3.3. Διαθέτει τα προϊόντα της στην αγορά μέσω 9 εγκαταστάσεων αποθήκευσης και κέντρων διανομής. Στόχος της Εταιρίας είναι να αποτελεί τον προτιμητέο προμηθευτή για τους πελάτες της. Για τον σκοπό αυτό υλοποιούνται προγράμματα με τα οποία υποστηρίζονται πάνω από σημεία πώλησης. Το χαρτοφυλάκιο των προϊόντων της αποτελείται από τα εξής: Εικόνα 3.3.2: Προϊόντα της Coca-Cola Τρία Έψιλον τα κορυφαία παγκοσμίως προϊόντα Coca-Cola, Coca-Cola Light (diet Coke), Fata και Sprite. προϊόντα ιδίας παραγωγής και διανομής όπως η Amita, το Αύρα, το Deep RiverRock και το Fruice. προϊόντα για τα οποία έχουν λάβει άδεια από άλλες εταιρείες, όπως το Nestea Μονάδες Παραγωγής Οι παραγωγικές μονάδες της εταιρείας αποτελούν έναν από τους βασικότερους υποστηρικτές της τοπικής αγοράς διατηρώντας εμπορικές συνεργασίες με εταιρίες τοπικών προμηθευτών και συνεργατών. -98-

114 Στα 42 χρόνια δραστηριοποίησης στην Ελλάδα, όλα τα εργοστάσια της Coca- Cola Τρία Έψιλον επενδύουν στον εκσυγχρονισμό και την αυτοματοποίηση των εγκαταστάσεών τους, καθώς και στην τήρηση συνθηκών υγιεινής και ασφάλειας για τους εργαζομένους. 0. Οι βιομηχανικές μονάδες της Coca-Cola Τρία Έψιλον βρίσκονται εγκατεστημένες στις παρακάτω περιοχές: Εικόνα 3.3.3: Βιομηχανικές μονάδες της Coca-Cola Τρία Έψιλον Παρακάτω θα αναλυθεί η παραγωγική μονάδα του εργοστασίου του Αιγίου, αφού είναι το μόνο που παράγει και διανέμει τη γραμμή προϊόντος του νερού ΑΥΡΑ. Το Εργοστάσιο του Αιγίου Η Coca-Cola Τρία Έψιλον δραστηριοποιείται στο Αίγιο από το 989 και αποτελεί μία από τις μεγαλύτερες βιομηχανίες της περιοχής, απασχολώντας περίπου 70 εργαζόμενους και συμβάλλοντας καθημερινά, στην οικονομική και επιχειρηματική ανάπτυξή του. Παράλληλα, η εταιρία και οι εργαζόμενοι βρίσκονται δίπλα στις κοινωνικές εξελίξεις και ανάγκες των κατοίκων της ευρύτερης περιοχής. Τα προϊόντα που παράγει το εργοστάσιο είναι: Φυσικό Μεταλλικό Νερό ΑΥΡΑ Ανθρακούχο Φυσικό Μεταλλικό Νερό ΑΥΡΑ Φυσικό Επιτραπέζιο Νερό WaterBlue Φυσικό Μεταλλικό Νερό ΑΥΡΑ ΜΠΛΟΥΜ που απευθύνεται σε παιδιά Φυσικό Μεταλλικό Νερό ΑΥΡΑ ActiveCap Εικόνα 3.3.4: Το εργοστάσιο του Αιγίου

115 Εικόνα 3.3.5: Η γραμμή προϊόντος φυσικού μεταλλικού νερού ΑΥΡΑ To φυσικό μεταλλικό νερό ΑΥΡΑ προέρχεται από την πηγή «Αύρα» που βρίσκεται στην ορεινή περιοχή του Αιγίου Αχαΐας, και εμφιαλώνεται κάτω από συνθήκες αυστηρών ελέγχων, χωρίς να υφίσταται επιπλέον επεξεργασία, ώστε να διασφαλίζεται η φυσικότητά του και η άριστη ποιότητα του. Το φυσικό μεταλλικό νερό ΑΥΡΑ διατίθεται σε γυάλινη φιάλη του lt, PET των 500ml, lt και,5lt, καθώς και σε πολυσυσκευασίες (6x,5lt και 6x500ml). Σε κάθε στάδιο της παραγωγικής διαδικασίας, και έως το σημείο πώλησης, πραγματοποιούνται αυστηροί δειγματοληπτικοί έλεγχοι, που αποσκοπούν στη διαφύλαξη της ποιότητας του φυσικού μεταλλικού νερού ΑΥΡΑ. Βασικό πλεονέκτημα της μονάδας παραγωγής είναι η πλήρης καθετοποίηση της παραγωγικής διαδικασίας, από την παραγωγή φιαλών PET μέχρι την εμφιάλωση του νερού και την τελική του συσκευασία. Προκειμένου να μεταφερθούν στα διάφορα σημεία κατανάλωσης οι φιάλες συσκευάζονται σε κλειστό χάρτινο κουτί. Λόγω των υψηλών θερμοκρασιών που επικρατούν στην Ελλάδα, ιδιαίτερα την περίοδο του καλοκαιριού, συνιστάται η αποθήκευση του νερού ΑΥΡΑ, όπως και όλων των εμφιαλωμένων νερών σε δροσερό και σκιερό μέρος, έως 8 ο C. Αυτό διότι η υψηλή θερμοκρασία και η ηλιακή ακτινοβολία δημιουργούν τις προϋποθέσεις για την ανάπτυξη μικροοργανισμών. Για την απολύμανση του νερού χρησιμοποιούνται μικροβιοστατικά φίλτρα χωρίς καμία άλλη επεξεργασία. Η στειρότητα του εμφιαλωμένου νερού εξασφαλίζεται και από την καθαριότητα των χώρων εμφιάλωσης, των γεμιστικών μηχανών και των σωληνώσεων μεταφοράς του νερού που απολυμαίνονται με τις πιο αυστηρές διαδικασίες. Προκειμένου να διασφαλίζονται οι κατάλληλες συνθήκες το -00-

116 εργοστάσιο του Αιγίου λειτουργεί με βάση το σύστημα ISO 9002, η καλή λειτουργία του οποίου ελέγχεται από τον ΕΛΟΤ (Ελληνικός Οργανισμός Τυποποίησης). Παρακάτω θα περιγραφεί αναλυτικά η διαδικασία παραγωγής των πλαστικών μπουκαλιών 0,5 και,5 λίτρων της ΑΥΡΑ

117 3.3.3 Προσομοίωση Ορισμός Προσομοίωση είναι «η διαδικασία κατασκευής και εφαρμογής ενός μοντέλου το οποίο μιμείται κάθε σημαντικό βήμα που συμβαίνει σε μια διαδικασία και κάθε σημαντική αλληλεπίδραση ανάμεσα σε παράγοντες της διαδικασίας».[ε.] Η προσομοίωση χρησιμοποιείται για την μελέτη ενός πολύπλοκου συστήματος, όπως είναι το παραπάνω. Για την υλοποίησή της αναπτύσσονται μοντέλα. Τα μοντέλα αναπαριστούν μια διαδικασία ή ένα σύστημα και διακρίνονται σε μοντέλα κλίμακας, μαθηματικά μοντέλα και μοντέλα προσομοίωσης. Τα μοντέλα κλίμακας είναι φυσικά μοντέλα σε μικρότερη κλίμακα. Τα μαθηματικά μοντέλα αναπαριστούν τους σημαντικούς παράγοντες μια διαδικασίας με μια σειρά εξισώσεων, οι οποίες μελετώνται για να οδηγήσουν σε βέλτιστες λύσεις. Τα μοντέλα προσομοίωσης περιλαμβάνουν μοντέλα συστήματος στον ηλεκτρονικό υπολογιστή και πειραματισμούς. To Simul8 Για τις ανάγκες του πρακτικού μέρους της παρούσας εργασίας, θα χρησιμοποιηθεί ένα πακέτο προσομοίωσης διακριτών γεγονότων με μεγάλες δυνατότητες, το Simul8. Το πακέτο αυτό, δημιουργεί εικονικό μοντέλο ενός συστήματος και προσφέρει οπτική αναπαράσταση της λειτουργίας του πραγματικού συστήματος που μελετάται και σε χρόνο που αντιστοιχεί στον πραγματικό. Στο τέλος συλλέγονται αριθμητικά αποτελέσματα ως λειτουργικά μέτρα του συστήματος Διαδικασία παραγωγής ΑΥΡΑ Πρώτες ύλες Για την παραγωγή του εμφιαλωμένου νερού απαιτείται το νερό από την πηγή, προπλάσματα πλαστικών φιαλών για την παραγωγή των φιαλών και χαρτοκιβώτια για την τελική συσκευασία του. Εξοπλισμός Εγκαταστάσεις Όλα τα στάδια παραγωγής γίνονται με αυτόματες μηχανικές εγκαταστάσεις υψηλής τεχνολογίας. Ο εξοπλισμός που απαιτείται είναι: Μηχανή άντλησης νερού από την πηγή. -02-

118 Ένα σύστημα ανακύκλωσης φιαλών PET. Οι χρησιμοποιημένες φιάλες συλλέγονται, ταξινομούνται, καθαρίζονται, αλέθονται και μετατρέπονται σε νέες πρώτες ύλες για την κατασκευή προπλασμάτων φιαλών ΡΕΤ. Μηχανή παραγωγής φιαλών από τα πλαστικά προπλάσματα. Πλυντήριο φιαλών. Διαμορφωτής χαρτοκιβωτίων. Μηχανή που γεμίζει τα άδεια μπουκάλια με καθαρό νερό. Αυτόματο μηχάνημα επικόλλησης των ετικετών. Μηχανή που συσκευάζει τις φιάλες στα χαρτοκιβώτια. Μηχανή που παλλετοποιεί και συρρικνώνει τις συσκευασίες για να τις προστατέψει. Χώρος αποθήκευσης των παραγόμενων φιαλών. Μηχανήματα που φορτώνουν τις συσκευασίες στα φορτηγά. Φορτηγά που αποστέλλουν τις συσκευασίες στον τόπο που έγινε η παραγγελία. Τα δύο τελευταία βήματα αποτελούν διεργασίες που δεν περιλαμβάνονται στην διαδικασία παραγωγής. Επομένως θα παραμείνουν έξω από την μελέτη του παρόντος συστήματος Μοντελοποίηση του συστήματος Ορισμός του προβλήματος Κάθε εργοστάσιο παραγωγής προϊόντων έχει ως στόχο την επίτευξη μεγαλύτερου κέρδους με όσο το δυνατόν μικρότερο κόστος. Σκοπός της προσομοίωσης της όλης διαδικασίας είναι να ελεγχθεί η λειτουργία του συστήματος έτσι ώστε να εντοπιστούν σημεία στα οποία επιδέχονται βελτιώσεις. Από τη στιγμή που οι χρόνοι επεξεργασίας σε κάθε work ceter τους συστήματος είναι σταθεροί, βάση συγκεκριμένων προδιαγραφών, οι μεταβλητές που μπορούν να ελεγχθούν είναι η ταχύτητα των διαδρόμων στα οποία περνάνε τα προϊόντα καθώς και οι ρυθμοί εισαγωγής νερού, προπλασμάτων και χαρτοκιβωτίων. Ένα σενάριο βελτίωσης θα μπορούσε να είναι μια ενδεχόμενη προσθήκη περισσότερων work ceter στη κάθε λειτουργία, με σκοπό την πιο γρήγορη επεξεργασία των προϊόντων και συνεπώς την μείωση των καθυστερήσεων και μπλοκαρίσματος των προϊόντων πάνω στους διαδρόμους. -03-

119 Ωστόσο, για να γίνει αυτό το βήμα θα πρέπει να συμφέρει στην επιχείρηση η αγορά νέων εγκαταστάσεων Αναλυτική περιγραφή του συστήματος Το εργοστάσιο του Αιγίου είναι υπεύθυνο για την παραγωγή του φυσικού μεταλλικού νερού ΑΥΡΑ σε δύο είδη, των 0,5 και,5 λίτρων. Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια αφαιρετική εικόνα για τη διαδικασία εμφιάλωσης. Εικόνα 3.3.6: Διαδικασία παραγωγής του νερού "ΑΥΡΑ" Αναλυτικά, η παραγωγική διαδικασία που ακολουθεί το εμφιαλωμένο μπουκάλι ΑΥΡΑ είναι η ακόλουθη:. Πεντακάθαρο νερό πηγής: Το νερό αντλείται από την πηγή, ελέγχεται μικροβιολογικά και προωθείται στο γεμιστικό μηχάνημα. Το νερό καταφθάνει σε παρτίδες (batches) στο σημείο Εισαγωγή νερού από την πηγή και αποθηκεύεται για τον μικροβιολογικό έλεγχο σε χώρο τύπου δεξαμενής, όπως στην εικόνα. -04-

120 2. Παραγωγός φιαλών: Σε αυτό το μηχάνημα προωθούνται τα προπλάσματα των φιαλών με εναέρια γραμμή και κατασκευάζονται οι πλαστικές φιάλες του,5 και του 0,5 λίτρου. 3. Αερογραμμές και φίλτρα: Οι αερογραμμές των φιαλών είναι εφοδιασμένες με κατάλληλα φίλτρα, προς αποφυγή επιβάρυνσης των κενών φιαλών. 4. Πλυντήριο φιαλών: Οι φιάλες πλένονται και ξεπλένονται σε λουτρό αποστειρωμένου νερού. 5. Διαμορφωτής χαρτοκιβωτίων: Σε αυτό το μηχάνημα προωθούνται τα χαρτοκιβώτια και αφού κολληθούν στα κατάλληλα σημεία μεταφέρονται στην μηχανή συσκευασίας. 6. Γεμιστικό μηχάνημα (Φίλερ): Εδώ οι φιάλες που μεταφέρονται από το πλυντήριο, γεμίζονται με καθαρό νερό πηγής και σκεπάζονται με πώματα. 7. Αυτόματο μηχάνημα επικόλλησης ετικετών: Εδώ επικολλούνται οι ετικέτες σε κάθε γεμάτη φιάλη και αμέσως μετά ακολουθεί η κωδικοποίηση των φιαλών με την ημερομηνία λήξεως. 8. Συσκευαστικό μηχάνημα: Οι γεμάτες φιάλες με νερό τοποθετούνται αυτόματα στα χαρτοκιβώτια και ακολουθεί η κωδικοποίηση των χαρτοκιβωτίων. 9. Παλλετοποίηση και συρρίκνωση: Εδώ τα χαρτοκιβώτια παλλετάρονται ανά συσκευασία και συρρικνώνονται για την προστασία τους. 0. Αποθήκευση φιαλών: Τα κιβώτια αποθηκεύονται ανά συσκευασία φιάλης.. Φόρτωση-Αποστολή: Τα κιβώτια ΑΥΡΑ φορτώνονται στα φορτηγά και κατόπιν διανέμονται στα διάφορα σημεία πώλησης. Να σημειωθεί ότι όλες οι διαδικασίες γίνονται αυτοματοποιημένα, χωρίς την παρεμβολή των ανθρώπινων χεριών. -05-

121 3.3.7 Σχεδιασμός μοντέλου στο SIMUL8 Εικόνα 3.3.7: Η παραγωγή ΑΥΡΑ μοντελοποιημένη στο Simul Υποθέσεις και Δεδομένα για την ανάπτυξη του μοντέλου Προσομοίωσης Υποθέσεις-Θεωρήσεις για την παραγωγή ΑΥΡΑ Το μοντέλο ξεκινά σε κατάσταση κενή από προϊόντα και έχοντας αδρανείς όλους τους εξυπηρετητές-μηχανές. Το εργοστάσιο λειτουργεί 8 ώρες την ημέρα και για 5 μέρες την εβδομάδα. Το πρόγραμμα τρέχει για ένα μήνα και γίνονται 00 δοκιμές. Έτσι μειώνονται σημαντικά τα διαστήματα εμπιστοσύνης και λαμβάνονται πιο έγκυρα και αξιόπιστα αποτελέσματα. -06-

122 Η περίοδος προθέρμανσης (warm up period) ορίζεται στα 60 λεπτά περίπου, ώστε αμέσως με την εκκίνηση να υπάρξει άφιξη. Σε αυτό τον χρονικό διάστημα, το σύστημα προσπαθεί να έρθει σε κατάσταση ισορροπίας και δεν συλλέγονται δεδομένα. Δεν είναι μοντέλο δυναμικό διότι οι μεταβλητές που εκφράζουν την κατάσταση του δεν αλλάζουν με παράμετρο τον χρόνο. Π.χ. ο αριθμός των εξυπηρετητών που έχει παραμένει σταθερός. Είναι διακριτό αφού οι μεταβλητές που το χαρακτηρίζουν αλλάζουν σε διακριτές χρονικές στιγμές. [Ξ3] Είναι ντετερμινιστικό σύστημα καθώς οι αφίξεις και οι εξυπηρετήσεις συμβαίνουν σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Η πηγή από τις οποίες αφικνούνται τα υλικά είναι άπειρη και αποτελεί εξωτερικό μέρος του συστήματος. Ο μηχανισμός των αφίξεων θεωρείται στάσιμος γιατί δεν επιταχύνεται με το χρόνο και ο ρυθμός τους θεωρείται σταθερός. Οι μηχανές δέχονται μονάδες από τους διαδρόμους με πειθαρχία FIFO. Η διαδικασία εξυπηρέτησης δεν εξαρτάται από τη φάση, θεωρείται στάσιμη γιατί και αυτή δεν επιταχύνεται με το χρόνο και επίσης πραγματοποιείται με σταθερούς ρυθμούς. Η παραγωγή ΑΥΡΑ είναι μια πολυφασική διαδικασία καθώς για την παραγωγή του τελικού εμφιαλωμένου νερού απαιτείται τα αρχικά υλικά να περάσουν από όλες τις μηχανές που θα το επεξεργαστούν. Οι σταθμοί εξυπηρέτησης είναι εγκατεστημένοι στη σειρά γιατί έχουμε γραμμή παραγωγής. To μοντέλο αποτελείται από συστήματα της μορφής D/ D / όπου το D δηλώνει ότι οι ποσότητες του νερού, των χαρτοκιβωτίων και των προπλασμάτων εισάγονται με σταθερούς ρυθμούς και συγκεκριμένα οι ενδιάμεσοι χρόνοι των αφίξεων τους ακολουθούν την σταθερή (fixed) κατανομή. To ίδιο συμβαίνει και με την επεξεργασία σε κάθε φάση της παραγωγής. Τέλος το δηλώνει ότι κάθε διεργασία γίνεται από έναν και μόνο εξυπηρετητή. Οι αφίξεις των μονάδων στις εισόδους των προπλασμάτων γίνονται ομαδικά με παρτίδες (baches). Ουσιαστικά, οι μηχανές εξυπηρετούν -07-

123 ομαδικά αντιμετωπίζοντας όμως μία παρτίδα ως μονάδα. Η διαδικασία θα επεξηγηθεί αναλυτικά και παρακάτω. Μία ποσότητα-μερίδα θεωρείται η ποσότητα του 0,5 λίτρου. Δεδομένα συστήματος με σταθερούς ρυθμούς εισόδους και επεξεργασίας (D/D/)-Η πραγματική λειτουργία εργοστασίου. Πίνακας 3.3.: Δεδομένα του συστήματος D/D/ Name Distributio Value (mi) Other parameters Μέγεθος 24δα Πλαστικών διαμέτρου φιάλης Work item φιαλών του 0,5 0,065m λίτρου Μέγεθος 24δας 0,39m*0,26m Μέγεθος 24δα Πλαστικών διαμέτρου φιάλης Work item φιαλών του,5 0,085m λίτρου Μέγεθος 24δας 0,5m*0,34m Μέγεθος Work item Χαρτοκιβώτιο των 0,5 λίτρων 0,39m*0,26m Χωράει 24 φιάλες Μέγεθος Work item Χαρτοκιβώτιο των,5 λίτρων 0,5m*0,34m Χωράει 24 φιάλες Work item Νερό _ Work etry Work etry Work etry Work etry Εισαγωγή νερού από την πηγή Εισαγωγή προπλασμάτων 0,5λ Εισαγωγή προπλασμάτων,5λ Εισαγωγή χαρτοκιβωτίων για 0,5λ Fixed 0,32 Baches ~ Fixed (260) Fixed 0, Baches ~ Fixed (24) Fixed 0, Baches ~ Fixed (24) Fixed 0,

124 Work etry Εισαγωγή χαρτοκιβωτίων για,5λ Fixed 0,5 _ Πλήθος παράλληλων εσωτερικών μηχανών: 24 Routig I: Priority από Work ceter Παραγωγός φιαλών 0,5λ Fixed 0, dummy work ceter που κάνει το collect της μίας 24δας από τον διάδρομο Routig out: Priority στο Αερογραμμές και φίλτρα 0,5λ Πλήθος παράλληλων εσωτερικών μηχανών: 24 Routig I: Priority από Work ceter Παραγωγός φιαλών,5λ Fixed 0, dummy work ceter που κάνει το collect της μίας 24δας από τον διάδρομο Routig out: Priority στο Αερογραμμές και φίλτρα,5λ Πλήθος παράλληλων Work ceter Πλυντήρια φιαλών 0,5λ Fixed 0, εσωτερικών μηχανών: 24 Routig out: Priority στο Καθαρά μπουκάλια 0,5λ Πλήθος παράλληλων Work ceter Πλυντήρια φιαλών,5λ Fixed 0, εσωτερικών μηχανών: 24 Routig out: Priority στο Καθαρά μπουκάλια,5λ Routig I: Collect () από τον διάδρομο με τα Work ceter Dummy Δεξαμενή 0,5 Fixed 0 καθαρά μπουκάλια και Collect (24) από τη δεξαμενή Routig out: Priority στο Γεμιστικό μηχάνημα 0,5λ Work ceter Dummy Δεξαμενή Fixed 0 Routig I: Collect () -09-

125 ,5 από τον διάδρομο με τα καθαρά μπουκάλια και Collect (72) 2 από τη δεξαμενή Routig out: Priority στο Γεμιστικό μηχάνημα,5λ Πλήθος παράλληλων εσωτερικών μηχανών: 24 Work ceter Γεμιστικό μηχάνημα 0,5λ Fixed 0,05 Routig I: Priority από Dummy Δεξαμενή 0,5 Routig out: Priority στο Γεμάτα μπουκάλια 0,5λ Πλήθος παράλληλων εσωτερικών μηχανών: 24 Work ceter Γεμιστικό μηχάνημα,5λ Fixed 0, Routig I: Priority από Dummy Δεξαμενή,5 Routig out: Priority στο Γεμάτα μπουκάλια,5λ Πλήθος παράλληλων Work ceter Επικόλληση ετικετών 0,5λ Fixed 0,05 εσωτερικών μηχανών: 24 Routig out: Priority στο Γεμάτα μπουκάλια 0,5λ με ετικέτα Πλήθος παράλληλων Work ceter Επικόλληση ετικετών,5λ Fixed 0,05 εσωτερικών μηχανών: 24 Routig out: Priority στο Γεμάτα μπουκάλια,5λ με ετικέτα Routig I: Priority από Είσοδος χαρτονιών για Work ceter Διαμορφωτής χαρτοκιβωτίων 0,5λ Fixed 0,5 0,5λ Routig out: Priority στο Χαρτοκιβώτια για φιάλες 0,5λ Work ceter Διαμορφωτής χαρτοκιβωτίων,5λ Fixed 0,5 Routig I: Priority από Είσοδος χαρτονιών για 2 Μία ποσότητα θεωρείται η ποσότητα του 0,5 λίτρου. Η φιάλη του,5 λίτρου περιέχει 3 ποσότητες. -0-

126 ,5λ Routig out: Priority στο Χαρτοκιβώτια για φιάλες,5λ Routig I: Collect () 24δας φιαλών από τον διάδρομο με τα γεμάτα μπουκάλια 0,5λ με Dummy Γεμάτα ετικέτα και Collect () 3 Work ceter μπουκάλια με ετικέτα 0,5λ Fixed 0 χαρτοκιβωτίου από τον διάδρομο χαρτοκιβώτια για 0,5λ. Routig out: Priority στο Συσκευαστικό μηχάνημα 0,5λ Routig I: Collect () 24δας φιαλών από τον διάδρομο με τα γεμάτα μπουκάλια,5λ με Dummy Γεμάτα ετικέτα και Collect () 4 Work ceter μπουκάλια με ετικέτα,5λ Fixed 0 χαρτοκιβωτίου από τον διάδρομο χαρτοκιβώτια για,5λ. Routig out: Priority στο Συσκευαστικό μηχάνημα,5λ Work ceter Συσκευαστικό μηχάνημα 0,5λ Fixed 0,05 Routig out: Priority στο Συσκευασμένα κιβώτια των 0,5λ Work ceter Συσκευαστικό μηχάνημα,5λ Fixed 0,05 Routig out: Priority στο Συσκευασμένα κιβώτια των,5λ Work ceter Dummy Συσκευασμένα κιβώτια 0,5 Fixed 0 Routig I: Collect (8) κιβωτίων από τον διάδρομο με συσκευασμένα κιβώτια 3 Ένα χαρτοκιβώτιο του 0,5 λίτρου χωράει 24 φιάλες. 4 Ένα χαρτοκιβώτιο του,5 λίτρου χωράει 24 φιάλες. --

127 των 0,5λ. Routig out: Priority στην Παλλετοποίηση και Συρρίκνωση των 0,5λ Routig I: Collect (8) κιβωτίων από τον Work ceter Dummy Συσκευασμένα κιβώτια,5 Fixed 0 διάδρομο με συσκευασμένα κιβώτια των,5λ. Routig out: Priority στην Παλλετοποίηση και Συρρίκνωση των,5λ Work ceter Παλλετοποίηση και Συρρίκνωση 0,5λ Fixed Routig out: Priority στην Αποθήκευση φιαλών 0,5λ Work ceter Παλλετοποίηση και Συρρίκνωση,5λ Fixed Routig out: Priority στην Αποθήκευση φιαλών,5λ Legth (0m) Coveyor Προπλάσματα φιαλών 0,5λ Speed (5m/mi) Pick area 5 (0,39m) Routig out: Priority στο Παραγωγός φιαλών 0,5λ Legth (0m) Coveyor Προπλάσματα φιαλών,5λ Speed (5m/mi) Pick area (0,5m) Routig out: Priority στο Παραγωγός φιαλών,5λ Legth (7m) Coveyor Αερογραμμές και φίλτρα 0,5λ Speed (5m/mi) Pick area (0,39m) Routig out: Priority στο Πλυντήρια φιαλών 0,5λ Coveyor Αερογραμμές και Legth (7m) 5 Pick area: ο χώρος που καταλαμβάνει πάνω στο διάδρομο το work item. Σαν work item θεωρείται η 24δα φιαλών. -2-

128 φίλτρα,5λ Speed (5m/mi) Pick area (0,5m) Routig out: Priority στο Πλυντήρια φιαλών,5λ Legth (7m) Coveyor Καθαρά μπουκάλια 0,5λ Speed (5m/mi) Pick area (0,39m) Routig out: Priority στο Dummy Δεξαμενή 0,5 Legth (7m) Coveyor Καθαρά μπουκάλια,5λ Speed (5m/mi) Pick area (0,5m) Routig out: Priority στο Dummy Δεξαμενή,5 Legth (7m) Speed (5m/mi) Coveyor Γεμάτα μπουκάλια 0,5λ Pick area (0,39m) Routig out: Priority στο Επικόλληση ετικετών 0,5λ Legth (7m) Speed (5m/mi) Coveyor Γεμάτα μπουκάλια,5λ Pick area (0,5m) Routig out: Priority στο Επικόλληση ετικετών,5λ Legth (7m) Speed (5m/mi) Coveyor Γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα 0,5λ Pick area (0,39m) Routig out: Priority στο Dummy Γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα 0,5 Coveyor Γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα,5λ Legth (7m) Speed (5m/mi) Pick area (0,5m) -3-

129 Routig out: Priority στο Dummy Γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα,5 Legth (0m) Speed (5m/mi) Coveyor Χαρτοκιβώτια για φιάλες 0,5λ Pick area (0,39m) Routig out: Priority στο Dummy Γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα 0,5 Legth (0m) Speed (5m/mi) Coveyor Χαρτοκιβώτια για φιάλες,5λ Pick area (0,5m) Routig out: Priority στο Dummy Γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα,5 Legth (0m) Speed (5m/mi) Coveyor Συσκευασμένα κιβώτια των 0,5λ Pick area (0,39m) Routig out: Priority στο Dummy Συσκευασμένα κιβώτια 0,5 Legth (0m) Speed (5m/mi) Coveyor Συσκευασμένα κιβώτια των,5λ Pick area (0,5m) Routig out: Priority στο Dummy Συσκευασμένα κιβώτια,5 Tak Δεξαμενή- Μικροβιολογικό έλεγχος Capacity : 9000 ποσότητες του 0,5 λίτρου Storage area- Exit Storage area- Exit Αποθήκευση φιαλών 0,5λ Αποθήκευση φιαλών,5λ Capacity : Ifiite Capacity : Ifiite -4-

130 Αναλυτική περιγραφή της λειτουργίας του εργοστασίου Στο σύστημα κυκλοφορούν 5 work items: 24δες πλαστικών φιαλών του 0,5 λίτρου διαμέτρου μονάδας 0,065μ. (συνολικό μέγεθος 0,39μ.*0,26μ). 24δες πλαστικών φιαλών του,5 λίτρου διαμέτρου μονάδας 0,085μ (συνολικό μέγεθος 0,5μ.*0,34μ.). το χαρτοκιβώτιο των 0,5λ, μεγέθους 0,39μ.*0,26μ. και χωρητικότητας 24 φιαλών. το χαρτοκιβώτιο των,5λ, μεγέθους 0,5μ.*0,34μ. και χωρητικότητας 24 φιαλών. το νερό. Εισάγεται κάθε 0, λεπτά ακριβώς μία 24δα προπλασμάτων φιάλης των 0,5 λίτρων και,5 λίτρων στις αντίστοιχες αερογραμμές. Οι 24δες στη συνέχεια περνάνε από τις αερογραμμές «προπλάσματα φιαλών» μήκους 0 μέτρων, με ταχύτητα 5 μέτρα το λεπτό και κατευθύνονται στις μηχανές παραγωγής φιάλης, όπου κάθε μηχανή διαμορφώνει σε 0, λεπτά ακριβώς την κάθε 24δα σε τελικές 24δες μπουκαλιών, 0,5λ και,5λ αντίστοιχα, στις οποίες θα εισαχθεί αργότερα το νερό. Δηλαδή κάθε ώρα παράγονται δες. Για τη διαμόρφωση των φιαλών δουλεύει μία μηχανή που εσωτερικά περιέχει 24 μικρότερες μηχανές. Ο χρόνος που επεξεργάζεται η 24δα είναι 0, λεπτά ακριβώς. Στη συνέχεια, οι διαμορφωμένες 24δες προχωράνε στις αερογραμμές «αερογραμμές και φίλτρα» μήκους 7 μέτρων, με ταχύτητα 5 μέτρα το λεπτό με κατεύθυνση τα πλυντήρια φιαλών. Κάθε πλυντήριο περιέχει εσωτερικά 24 μικρότερες μηχανές πλυσίματος. Στα πλυντήρια, οι 24δες πλένονται ακριβώς για 0, λεπτό η καθεμιά και προωθούνται στους διάδρομους «καθαρά μπουκάλια» μήκους 7 μέτρων. Από εκεί, οι καθαρές 24δες κατευθύνονται στα γεμιστικά μηχανήματα με ταχύτητα 5 μέτρα το λεπτό. Στα γεμιστικά μηχανήματα γίνεται και η είσοδος του νερού. Το νερό εισάγεται σε παρτίδες (baches) των 260 λίτρων κάθε 0,32 λεπτά ακριβώς. Στα γεμιστικά μηχανήματα γίνεται και η συλλογή του νερού. Κάθε γεμιστικό μηχάνημα διαθέτει 24 εσωτερικές βρύσες. Στα μηχανήματα του 0,5 λίτρου. εισάγεται (με collect) από τον διάδρομο των καθαρών μπουκαλιών μία 24δα 0,5 λίτρων και 24 ποσότητες νερού από τη δεξαμενή, μέγιστης χωρητικότητας 9000 ποσοτήτων 0,5 λίτρου. Στα μηχανήματα των,5λίτρων εισάγονται (με collect) από τον διάδρομο των καθαρών μπουκαλιών μία 24δα,5-5-

131 λίτρων και 72 ποσότητες νερού από τη δεξαμενή 6 και γεμίζεται ακριβώς σε 0, λεπτό. Αφού γεμίσουν οι 24δες με το νερό, προωθούνται στους διαδρόμους «γεμάτα μπουκάλια» μήκους 7 μέτρων. ο καθένας. Μόλις μπουν στον διάδρομο, κινούνται με ταχύτητα 5 μέτρα το λεπτό για την επικόλληση ετικετών. Κάθε μηχανή επικόλλησης περιέχει 24 εσωτερικές μηχανές που επικολλούν ατομικά κάθε φιάλη της 24δας. Στις μηχανές επικόλλησης ετικετών, οι 24δες επικολλούνται με την αντίστοιχη ετικέτα σε χρόνο 0,05 λεπτά ακριβώς η καθεμία και στη συνέχεια περνάνε στους διαδρόμους «γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα» μήκους 7 μέτρων. ο καθένας. Στους διαδρόμους «γεμάτα μπουκάλια με ετικέτα» κινούνται με ταχύτητα 5 μέτρα το λεπτό και κατευθύνονται προς τα συσκευαστικά μηχανήματα. Στα συσκευαστικά μηχανήματα εισάγονται και τα χαρτοκιβώτια. Η είσοδος των χαρτοκιβωτίων γίνεται κάθε 0,5 λεπτά ακριβώς και διαμορφώνονται κατάλληλα στους διαμορφωτές σε 0,5 λεπτά ακριβώς το κάθε χαρτοκιβώτιο των 0,5λ. και,5λ. Μετά την έξοδο από τους διαμορφωτές, εισάγονται στους διαδρόμους «χαρτοκιβώτια για φιάλες», μήκους 0 μέτρων ο καθένας. Από εκεί, κινούνται με ταχύτητα 5 μέτρων το λεπτό προς τις συσκευαστικές μηχανές. Στις συσκευαστικές μηχανές επεξεργασίας 0,5 λίτρων, εισάγεται (με collect) από τον διάδρομο των χαρτοκιβωτίων για φιάλες 0,5λ., ένα χαρτοκιβώτιο μεγέθους 0,39μ.*0,26μ. και από τον διάδρομο «γεμάτα μπουκάλια των 0,5λ με ετικέτα», μία 24δα. Στις συσκευαστικές μηχανές των,5λ., εισάγεται (με collect) από τον διάδρομο των χαρτοκιβωτίων για φιάλες,5λ., ένα χαρτοκιβώτιο μεγέθους 0,5μ.*0,34μ. και από τον διάδρομο «γεμάτα μπουκάλια των,5λ με ετικέτα», μία 24δα. Αφού συσκευαστούν οι 24δες στα χαρτοκιβώτια σε χρόνο 0,05 λεπτά ακριβώς η καθεμία, οδηγούνται στους διαδρόμους «συσκευασμένα κιβώτια», μήκους 0 μέτρων ο καθένας. Με την είσοδο στον διάδρομο αυτό κινούνται με ταχύτητα 5 μέτρα το λεπτό και φθάνουν στις μηχανές για παλλετοποίηση και συρρίκνωση. Στην φάση της παλλετοποίησης συλλέγονται 8 κιβώτια, από τον κάθε διάδρομο για την αντίστοιχη μηχανή, και παλλετοποιούνται και συρρικνώνονται σε λέπτο το καθένα ακριβώς. Από εκεί αποστέλλονται στις αποθήκες. Τέλος, αναλόγως με τις παραγγελίες που γίνονται, φορτώνεται και αποστέλλεται η κατάλληλη ποσότητα στην κατάλληλη επιχείρηση. Να σημειωθεί ότι, οι διάδρομοι-αερογραμμές δεν αποτελούν τις ουρές του συστήματος με την κλασική έννοια της ουράς, αλλά ούτε και θεωρούνται και 6 Μία ποσότητα θεωρείται η ποσότητα του 0,5 λίτρου. Συνεπώς για μια 24δα, μία ποσότητα θεωρείται η ποσότητα των 24 φιαλών * 0,5 λίτρα. -6-

132 μηχανές. Ωστόσο έχουν χαρακτηριστικά ουρών, όπως ο μέσος χρόνος αναμονής στον διάδρομο και ο μέσος αριθμός προϊόντων σ αυτόν, και χαρακτηριστικά work ceter, όπως το ποσοστό που βρίσκεται σε λειτουργία-κινείται και το ποσοστό που είναι αδρανής. Αποτελέσματα του παραπάνω συστήματος Πίνακας 3.3.2: Αποτελέσματα της προσομοίωσης -7-

133 -8-

134 -9-

135 -20-

136 -2-

137 -22-

138 Σχολιασμός αποτελεσμάτων Παρατηρείται ότι κατά την είσοδο των υλικών στο σύστημα δεν μένει καμία ποσότητα εκτός από κανένα υλικό. Επίσης παρατηρείται ότι όλοι οι διάδρομοι κινούνται στο 00% του χρόνου, με κανένα ποσοστό του χρόνου να μένουν ανενεργοί, μπλοκαρισμένοι ή άδειοι. Πιο αναλυτικά: Οι διάδρομοι των προπλασμάτων κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,67 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 6 περίπου 24δες. Οι διάδρομοι των αερογραμμών και φίλτρων κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,47 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 5 24δες. Οι διάδρομοι των καθαρών μπουκαλιών κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,47 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 4 περίπου 24δες. Οι διάδρομοι των γεμάτων μπουκαλιών κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,47 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 4 περίπου 24δες ο διάδρομος των 0,5λ και 3 περίπου 24δες ο διάδρομος των,5λ. Οι διάδρομοι των γεμάτων μπουκαλιών με ετικέτα κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,47 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 4 περίπου 24δες ο διάδρομος των 0,5λ και 3 περίπου 24δες ο διάδρομος των,5λ. Οι διάδρομοι των χαρτοκιβωτίων για φιάλες κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,67 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 4 περίπου 24δες. Τέλος, και οι διάδρομοι των συσκευασμένων κιβωτίων κινούνται καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας τους χωρίς να παραμένουν άδειοι, μπλοκαρισμένοι ή -23-

139 ανενεργοί, έχουν μέσο χρόνο αναμονής 0,67 λεπτά για κάθε 24δα, και μέσο περιεχόμενο 4 περίπου 24δες. Στη συνέχεια παρατηρείται ότι κάποιες μηχανές λειτουργούν στο 00% του χρόνου ενώ κάποιες άλλες λιγότερο. Ωστόσο, δεν μπλοκάρονται αλλά αναμένουν προϊόν για επεξεργασία. Πιο αναλυτικά: Οι μηχανές παραγωγής φιαλών λειτουργούν στο 00% του χρόνου, χωρίς να μπλοκάρονται ή να μένουν ανενεργές λόγω αναμονής υλικού. Τα πλυντήρια των φιαλών λειτουργούν και αυτά στο 00% του χρόνου, χωρίς να μπλοκάρονται ή να αναμένουν προϊόν. Τα γεμιστικά μηχανήματα λειτουργούν κατά 50% και 79,5% αντίστοιχα για του 0,5 και,5λ, χωρίς όμως να μπλοκάρονται. Ο λόγος είναι γιατί το γεμιστικό μηχάνημα του 0,5λ παίρνει λιγότερες ποσότητες νερού από το γεμιστικό μηχάνημα του,5λ. και γεμίζει γρηγορότερα. Οι μηχανές της επικόλλησης και αυτές λειτουργούν με ανάλογα ποσοστά λόγω της λειτουργίας των γεμιστικών μηχανημάτων. Οι διαμορφωτές χαρτονιών λειτουργούν 00% χωρίς να μπλοκάρονται ή να αναμένουν προϊόν. Οι συσκευαστικές μηχανές λειτουργούν περίπου στο 33% λόγω αναμονής προϊόντος από την δεύτερη είσοδο, χωρίς ωστόσο να μπλοκάρονται. Οι μηχανές παλλετοποίησης και συρρίκνωσης λειτουργούν στο μεγαλύτερο ποσοστό (83%). Τέλος, το μέσο μήκος των αποθηκών- ουρών, δηλαδή η μέση στάθμη των αποθηκών, ανέρχεται σε 4020 παλλέτες η κάθε μία, με μέγιστο μήκος τις 7997 παλλέτες. Παρατηρείται μια ικανοποιητική παραγωγή εμφιαλωμένου νερού της τάξης των 7997 παλλετών. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μήνα το εργοστάσιο παράγει 7997 παλλέτες, που η κάθε μία περιέχει 8 κιβώτια των 24 φιαλών. Δηλαδή, το εργοστάσιο κάθε μήνα παράγει κιβώτια ή αλλιώς εμφιαλωμένα νερά ΑΥΡΑ 0,5λ και εμφιαλωμένα νερά ΑΥΡΑ,5λ. Η παραγωγή αυτή είναι άκρως ικανοποιητική, καθώς το εργοστάσιο του Αιγίου εφοδιάζει όλη τη χώρα και οι καταναλωτές του ΑΥΡΑ ανέρχονται στους

140 Συμπεράσματα προσομοίωσης Πριν την κατάληξη σε αυτό το σύστημα, δημιουργήθηκαν και άλλα συστήματα με κάποια τυχαιότητα στις αφίξεις, αλλά σταθερές εξυπηρετήσεις (μοντέλο M/D/). Διαπιστώθηκαν συμφορήσεις στους διαδρόμους και υλικό που δεν εισάχθηκε καθόλου στο σύστημα. Το τελικό σύστημα που δημιουργήθηκε στο Simul8, δίνει τη δυνατότητα για σωστή και άμεση λήψη αποφάσεων. Το εργοστάσιο λειτουργεί με σταθερούς χρόνους άφιξης και εξυπηρέτησης και έτσι οι αποφάσεις που θα παρθούν για τη δυναμικότητά του θα είναι πιο εύκολες και σίγουρες. Οι μηχανές που λειτουργούν 00% δεν χρειάζονται κάποια ενίσχυση. Μια επιπλέον μηχανή δίπλα σε αυτές θα απαιτούσε μεγαλύτερο κόστος χωρίς κανένα όφελος, από τη στιγμή που μία μηχανή φέρνει καλά αποτελέσματα. Τέλος, είναι γνωστό ότι όσο πιο ανομοιόμορφες είναι οι αφίξεις τόσο μεγαλύτερη συμφόρηση παρατηρείται στο σταθμό εξυπηρέτησης. Με την προϋπόθεση ότι τ' άλλα χαρακτηριστικά μεγέθη είναι τα ίδια, παρατηρείται ότι στο σύστημα η πιθανότητα να προκληθεί συμφόρηση θα αυξηθεί μόνο λόγω κάποιας βλάβης της μηχανής-εξυπηρετητή, καθώς οι αφίξεις γίνονται σε σταθερά χρονικά διαστήματα λόγω της πλήρους αυτοματοποίησης και υπάρχει χρόνος για την εξυπηρέτηση κάποιας μονάδας πριν έρθει η επόμενη. -25-

141

142 4 Συμπεράσματα Η παρούσα εργασία πραγματεύθηκε το φαινόμενο των ουρών αναμονής σε θεωρητικό και πρακτικό επίπεδο. Σε θεωρητικό επίπεδο, διαπιστώθηκε η μεγάλη έρευνα που έχει γίνει πάνω στο θέμα αυτό. Συμπερασματικά, στις ουρές αναμονής, όταν ο πελάτης και ο εξυπηρετητής είναι άνθρωπος, εισάγονται στοχαστικά στοιχεία. Οι ρυθμοί άφιξης και εξυπηρέτησης δεν είναι ντετερμινιστικοί και εκφράζονται με κάποια κατανομή όπως αναφέρθηκε και παραπάνω. Επίσης, υπάρχει και ο παράγοντας της ανυπομονησίας του πελάτη που ανά πάσα στιγμή μπορεί να τον οδηγήσει στην έξοδο χωρίς εξυπηρέτηση ή και στην μεταπήδηση σε άλλη ουρά, και ο παράγοντας της απουσίας του εξυπηρετητή είτε για διάλειμμα είτε λόγω έλλειψης προσωπικού που δεν μπορεί να καλυφθεί άμεσα. Κάτι τέτοιο, δεν συμβαίνει στις αυτοματοποιημένες βιομηχανίες. Σ αυτές, ο ανθρώπινος παράγοντας λείπει και έτσι όλα λειτουργούν με σταθερούς (fixed) χρόνους. Ωστόσο, κάτι που μπορεί να συμβάλλει στην αναστολή της λειτουργίας είναι η βλάβη που μπορεί να συμβεί σε μια μηχανή. Δεν μπορεί να υπολογιστεί πότε θα συμβεί, και αν συμβεί, θα δημιουργήσει απρόβλεπτο αποτέλεσμα στην παραγωγή την περίοδο εκείνη, αν δεν έχουν παρθεί κατάλληλα μέτρα, όπως η άμεση εγκατάσταση μιας δεύτερης μηχανής ή η γρήγορη επιδιόρθωση της παλιάς. Σε πρακτικό επίπεδο, επιβεβαιώθηκαν τα παραπάνω καθώς τα αποτελέσματα του προγράμματος Simul8 μας έδειξαν ότι το πρόγραμμά μας λειτουργεί ανάλογα με την τυχαιότητα που εισάγεται. Έτσι στο μοντέλο Μ/D/, η άφιξη των μονάδων γίνεται με ενδιάμεσα χρονικά διαστήματα που ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Αυτό οδηγεί στο να μην είναι εφικτή η ακριβής πρόβλεψη της ποσότητας των work items που θα καταφθάσουν από κάθε υλικό και συνεπώς δεν μπορεί να προβλεφθεί επακριβώς και η παραγωγή. Επίσης, οι διάδρομοι αν μελετηθούν ως ουρές, έχουν μεγάλες πιθανότητες να είναι μπλοκαρισμένοι για κάποιο ποσοστό του χρόνου λειτουργίας τους. Στο μοντέλο D/D/, οι ρυθμοί άφιξης και επεξεργασίας είναι σταθεροί και έτσι ό, τι εισάγεται εξάγεται χωρίς να μένουν υλικά εκτός συστήματος. -27-

143 Έτσι παρατηρείται παραγωγή που καλύπτει το επιθυμητό επίπεδο και καλή λειτουργία διαδρόμων και μηχανών. Σαν παραπέρα έρευνα, μπορούν να μελετηθούν και οι υπόλοιπες ουρές αναμονής τόσο σε θεωρητικό επίπεδο όσο και σε πρακτικό. Επίσης, ενδιαφέρον για μελέτη προκαλούν τα δίκτυα των ουρών αναμονής τόσο πάνω σε παραγωγικές διαδικασίες όσο και στις εφοδιαστικές αλυσίδες, αλλά και η ένωση και προσομοίωση τους. Επιπλέον, μπορούν να επεκταθούν και να βελτιστοποιηθούν τα μοντέλα προσομοίωσης που μελετήθηκαν στην παρούσα εργασία, προσθέτοντας και άλλες γραμμές παραγωγής, όπως είναι τα γυάλινα μπουκάλια αύρα, τα αύρα μπλουμ που απευθύνονται σε παιδιά, το ανθρακούχο φυσικό μεταλλικό νερό αύρα ActiveCap και το νερό WaterBlue, μαζί με την αποστολή τους στα διάφορα σημεία πώλησης. -28-

144 Βιβλιογραφία 4. Ξένη Βιβλιογραφία [Ξ] [Ξ2] [Ξ3] [Ξ4] [Ξ5] [Ξ6] [Ξ7] [Ξ8] Altiok, T. (987), Queues with group arrivals ad exhaustive service disciplie, Queueig Systems, 2(4), Altma, E., ad Yechiali, U. (2006), Aalysis of customers impatiece i queues with server vacatios, Queueig Systems, 52, Artalejo, J.R. ad Gomez-Corral, A. (997), Steady state solutio of a sigleserver queue with liear repeated requests, Joural of Applied Probability, 34, Aski, Roald G. ad Stadridge, Charles R. (993), Modelig ad Aalysis of Maufacturig Systems, Wiley & Sos, New York. Baykal-Gursoy M. ad Xiao, W. (2004), Stochastic decompositio i M/M/ queues with Markov modulated service rates, Queueig Systems, 48, Bharucha-Reid, A.T. (997), Elemets of the theory of Markov Processes ad their applicatios, Dover Publicatios, Lodo. Boxma, O.J. ad de Waal, P.R. (994), Multiserver queues with impatiet customers, ITC, 4, Buzacott, Joh A. ad Shathikumar, George J. (993), Stochastic Models of Maufacturig Systems, Eglewood Cliffs, New Jersey, Pretice Hall. [Ξ9] Chug, Kai. L. (974), A Course i Probability Theory, 2 d editio, Academic Press, New York. [Ξ0] [Ξ] [Ξ2] Cooper, Robert B. (970), Queues served i cyclic order: waitig times, The Bell System Techical Joural, 49, Cooper, Robert B. (98), Itroductio to Queueig Theory, 2 d editio, North Hollad, New York. Daley, D.J. (965), Geeral customer impatiece i the queue GI/G/, Joural of Applied Probability, 2,

145 [Ξ3] [Ξ4] [Ξ5] [Ξ6] [Ξ7] [Ξ8] [Ξ9] [Ξ20] [Ξ2] [Ξ22] [Ξ23] [Ξ24] [Ξ25] [Ξ26] Erlag, A.K. (97), Solutio of Some Problems i the Theory of Probabilities of Sigificace i Automatic Telephoe Exchages, Idustrial Egieerig Joural, 0, Feller, William (968), A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios, 3 rd editio, J. Wiley & Sos, New York. Fry, T.C. (928), Probability ad Egieerig Uses, Priceto, Va Nostrad, New Jersey. Fuhrma, S.W. (984), A ote o the M/G/ queue with server vacatios, Operatios Research, 32, Gail, H.R., Hatler, S.L. ad Taylor, B.A. (2000), Use of characteristics roots for solvig ifiite state Markov chais, i Grassma, W.K., ed., Computatioal Probability, pp , Kluwer Academic Publishers, Bosto. Gaver, D.P. (962), A waitig time with iterrupted service, icludig priorities, Joural of the Royal Statistical Socieity, 24, Gelebe, E. ad Pujolle, G. (987), Itroductio to Queueig Networks, 2 d editio, Chichester, J. Wiley & Sos, New York. Grassma, W.K. (2002), Real eigevalues of certai tridiagoal matrix polyomials, with queueig applicatios, Joural of Liear Algebra ad its Applicatios, 342, Gross, Doald. ad Harris, Carl M. (998), Fudametals of Queueig Theory, 3 rd editio, J. Wiley & Sos, New York. Harris, C.M. ad Marchal, W.G. (988), State depedece i M/G/ queue with geeralized vacatios, Operatios Research, 36(4), Heffer, J.C. (969), Steady State Solutio of the M/Ek/c Queueig System, CORS Joural, 7, 630. Heyma, D.P. ad Sobel, M.J. (Eds). (990), Stochastic Models, Hadbooks i Operatios Research, vol. II, McGraw-Hill, New York. Hillier, Frederick S. ad Lieberma, Gerald J. (995), Itroductio to Operatios Research, 6 th editio, McGraw-Hill Iteratioal Editios, New York. Johso, Norma L. ad Kotz, Samuel (995), Cotiuous Uivariate Distributios, 2 d editio, J. Wiley & Sos, New York. -30-

146 [Ξ27] [Ξ28] [Ξ29] [Ξ30] [Ξ3] [Ξ32] [Ξ33] [Ξ34] [Ξ35] [Ξ36] [Ξ37] [Ξ38] [Ξ39] [Ξ40] Keilso, J. (962), Queues subject to service iterruptio, Aals Mathematical Statistics, 33, Keilso, J. ad Servi, L.D. (993), The matrix M/M/ system: retrial models ad Markov modulated sources, Advaces i Applied Probability, 25, Kedall, D.G. (95), Some Problems i the Theory of Queues, Joural of the Royal Statistical Society, B 3, Kedall, D.G. (964). Stochastic Processes Occurrig i the Theory of Queues ad Their Aalysis by the Method of Imbedded Markov Chais, Aals of Mathematical Statistics, 24, Khoshevis, Behrokh (994), Discrete systems simulatio, McGraw-Hill, New York. Kimemia, J. G. ad Gershwi, S. B., Multicommodity etwork flow optimizatio of a flexible maufacturig system, M.I.T. LIDS Report ESL- FR-834-2, 98. Kleirock, Leoard (975), Queueig systems, J. Wiley & Sos, New York. Krishamoorthy, A., Deepak, T.G. ad Joshua, V.C. (2005), A M/G/ retrial queue with opersistet customers ad orbital search, Stochastic Aalysis ad Applicatios, 23, Levy, Y. ad Yechiali, U. (975), Utilizatio for the idle time i am/g/ queue with server vacatios, Maagemet Sciece, 22, Miller, B.I. (979), Computatio of the Steady-State Probabilities for M/M/ Priority Queues, Operatios Research, 29, Mitray, I. L. ad Avi-Itzhak, B. (968), A may server queue with service iterruptios, Operatioal Research, 6(3), Mitrai, I. ad Chakka, R. (995), Spectral expasio solutio for a class of Markov models: Applicatio ad compariso with the matrix-geometric method, Performace Evaluatio, 23, Molia, E.C. (927). Applicatio of the Theory of Probabilities to Telephoe Trukig Problems, Bell Systems Techology Joural, 6, Murdoch, Joh (978), Queueig Theory: Worked Examples ad Problems, Macmilla Press, Lodo. -3-

147 [Ξ4] [Ξ42] [Ξ43] [Ξ44] [Ξ45] Nelso, Barry L. (995), Stochastic Modelig: Aalysis ad Simulatio, McGraw-Hill Iteratioal Editios, New York. Palm, C. (957), Research o telephoe traffic carried by full availability groups. Tele, 07. (Eglish traslatio of results first published i 946 i Swedish i the same joural, which was the etitled Tekiska Meddelade fra Kugl. Telegrfstyrelse). Papadopoulos, H. T., Heavey, C., ad Browe, J. (993), Queueig Theory i Maufacturig Systems Aalysis ad Desig, st editio, Chapma & Hall, New York. Papoulis, A. (99). Probability, Radom Variables ad Stochastic Processes, 2 d Editio, McGraw-Hill, New York. Perel, N. ad Yechiali, U. (2009), Queues with slow servers ad impatiet customers, Europea Joural of Operatioal Research. [Ξ46] Pidd, Michael (992), Computer Simulatio i Maagemet Sciece, J. Wiley & Sos, New York. [Ξ47] [Ξ48] [Ξ49] [Ξ50] [Ξ5] [Ξ52] [Ξ53] [Ξ54] Radolph, Hall W. (99), Queueig Methods: For Services ad Maufacturig, Eglewood Cliffs, Pretice Hall, New Jersey. Shaked, M. ad Shathikumar, J.G. (986), Multivariate imperfect repair, Operatios Research, 34(3), Spiegel, M & Stephes, L, (2000), Θεωρία και Προβλήματα Στατιστικής, 3 η Έκδοση, Εκδόσεις Τζιόλα, Αθήνα. Takacs, L. (974), A sigle-server queue with limited virtual waitig time, Joural of Applied Probability,, Viswaadham, N. ad Narahari, Y. (989), Performace Modelig of Automated Maufacturig Systems, Pretice-Hall, Eglewood Cliffs, New Jersey. Walrad, Jea (988), A Itroductio to Queueig Networks, Pretice-Hall, New Jersey. Wolf, R. (989), Stochastic modellig ad the theory of queues, Eglewood Cliffs, Pretice-Hall, New Jersey. Yadi, M. ad Naor, P. (963), Queueig systems with a removable service statio, Operatios Research, 4,

148 [Ξ55] Yechiali, U. (2007), Queues with system disasters ad impatiet customers whe system is dow, Queueig Systems, 56, Ελληνική Βιβλιογραφία [Ε] [Ε2] [Ε3] [Ε4] [Ε5] [Ε6] Αγγελής, Ελευθέριος (202), Προσομοίωση στη Διοίκηση, Διδακτικές μεταπτυχιακές σημειώσεις, Θεσσαλονίκη. Ασημακόπουλος, Ν. (200), Ουρές αναμονής-θεωρία και εφαρμογές, Εκδόσεις Σταμούλης, Πειραιάς. Βαγγελάτου, Έ. (2007), Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική, Πανεπιστημιακές Διδακτικές Σημειώσεις, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Βασιλείου, Π.-Χ.Γ. (2000), Στοχαστικές μέθοδοι στις επιχειρησιακές έρευνες, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Γεωργίου, Ανδρέας Κ. (2004), Τεχνικές Προσομοίωσης στη Διοίκηση Επιχειρήσεων: Πανεπιστημιακές παραδόσεις, Πανεπιστήμιο Μακεδονίας. Δαμιανός, Χ, Παπαδάτος, Ν. και Χαραλαμπίδης Χ.Α., (2003), Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική, Διδακτικές Σημειώσεις, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. [Ε7] Δεμέστιχας Π. (2005), Συστήματα Αναμονής-Προσομοίωση: Πανεπιστημιακές σημειώσεις, Πανεπιστήμιο Πειραιά, Πειραιάς. [Ε8] [Ε9] [Ε0] Δερβιτσιώτης, Κ.Ν. (982), Συστήματα Παραγωγής, Τόμος Α, Εκδοτικός οίκος Αφών Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη Κοκολάκης, Γ., Σπηλιώτης, Ι. (987), Θεωρία πιθανοτήτων και εφαρμογές, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα. Κολυβά-Μαχαίρα, Φ., Μπόρα-Σέντα, Ε. (998), Στατιστική: Θεωρία και Εφαρμογές, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. [Ε] Κονδύλης, Εμμανουήλ Κ. (996), Στατιστικές Τεχνικές Διοίκησης Επιχειρήσεων, Εκδόσεις Iterbooks, Αθήνα. [Ε2] Κουϊκόγλου, Βασίλης Σ. (2007), Προγραμματισμός Παραγωγής, Μεταπτυχιακές Σημειώσεις, Κρήτη. [Ε3] Κούτρας Μάρκος Β. (2005), Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Θεωρία και Εφαρμογές, Β Εκδοση, Μέρος ΙΙ, Εκδόσεις Αθ. Σταμούλης, Αθήνα. -33-

149 [Ε4] Μάγκλαρης, Β., Θεωρία Αναμονής, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις ΕΜΠ, Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Αθήνα. [Ε5] Μπότσαρης, Χαράλαμπος Ε. (2002), Επιχειρησιακή Έρευνα, τόμος Ι, Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα. [Ε6] Ξηροκώστας, Δημήτρης Α. (99), Επιχειρησιακή Έρευνα: Εφαρμοσμένη Θεωρία Αναμονής, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. [Ε7] Οικονόμου, Αντώνης (2008), Ουρές αναμονής, Πανεπιστημιακές σημειώσεις, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. [Ε8] [Ε9] Οικονόμου, Γ. Σ. και Α. Κ. Γεωργίου (2000), Ποσοτική Ανάλυση για τη Λήψη Διοικητικών Αποφάσεων, τόμος Β', Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα. Παπαδόπουλος, Γεώργιος, Η Κανονική Κατανομή, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις μαθήματος Στατιστικής, Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. [Ε20] Παππής, Κώστας Π. (999), Διοίκηση παραγωγής: ο σχεδιασμός παραγωγικών συτημάτων, Εκδόσεις Αθ. Σταμούλης, Αθήνα. [Ε2] [Ε22] [Ε23] [Ε24] [Ε25] [Ε26] Παππής, Κώστας Π. (2006), Προγραμματισμός Παραγωγής, Εκδόσεις Αθ. Σταμούλης, Αθήνα. Ρουμελιώτης Μ. (998), Τεχνικές Προσομοίωσης, Εκδόσεις Παρατηρητής, Θεσσαλονίκη. Σαπουντζής, Κωνσταντίνος Ι. (992), Τεχνικές Επιχειρησιακής Έρευνας, Εκδόσεις Σταμούλης, Πειραιάς. Σύψας, Παναγιώτης Θ., Δάρας, Τρύφων Ι. (2003), Στοχαστικές ανελίξεις: Θεωρία και Εφαρμογές, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Σφακιανάκης, Μιχάλης (2007), Προσομοίωση και Εφαρμογές, Εκδόσεις Πατάκης, Αθήνα. Τσάντας, Ν.Δ. και Βασιλείου Π.-Χ. Γ. (2000), Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. [Ε27] Υψηλάντης, Παντελής Γ. (998), Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, 2 η έκδοση, Εκδόσεις Ίων, Αθήνα. [Ε28] Φακίνος, Δημήτρης (2007), Στοχαστικά μοντέλα στην επιχειρησιακή έρευνα: θεωρία και ασκήσεις, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. -34-

150 [Ε29] Φακίνος, Δημήτρης (2008), Ουρές Αναμονής, Θεωρία και Ασκήσεις, Β Έκδοση, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. [Ε30] Φίλης, Γιάννης Α. (2003), Δίκτυα Παραγωγής: Πανεπιστημιακές Σημειώσεις, Πολυτεχνείο Κρήτης, Κρήτη. [Ε3] Χαλικιάς, Ιωάννης, (2003), Στατιστική: Μέθοδοι Ανάλυσης για Επιχειρηματικές Αποφάσεις, 2 η Έκδοση, Εκδόσεις Rosili, Γέρακας. [Ε32] Χαραλαμπίδης, Χαράλαμπος Α. (2000), Θεωρία Πιθανοτήτων και Εφαρμογές, Τεύχος, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. [Ε33] [Ε34] Χρυσαφίνου, Ουρανία (2008), Εισαγωγή στις Στοχαστικές ανελίξεις, Εκδόσεις Σοφία, Θεσσαλονίκη. Ψωινός, Δημήτριος Π. (997), Οργάνωση και διοίκηση εργοστασίων, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. -35-

151

152 Παράρτημα Α-Κατανομές Για τις παρακάτω κατανομές χρησιμοποιήθηκε υλικό από τους εξής συγγραφείς: Chug (974) [Ξ9], Feller (968) [Ξ4], Johso ad Kotz (995) [Ξ26], Spiegel ad Stephes (2000) [Ξ49], Βαγγελάτου (2007) [Ε3], Βασιλείου (2000) [Ε4], Δαμιανός, Παπαδάτος, και Χαραλαμπίδης (2003) [Ε6], Κοκολάκης, Σπηλιώτης (987) [Ε9], Κολυβά-Μαχαίρα, Μπόρα-Σέντα (998) [Ε0], Χαραλαμπίδης (2000) [Ε32]. 4.3 Διαδικασία Poisso Η διαδικασία Poisso είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που εμφανίζεται και μοντελοποιεί διάφορα φυσικά φαινόμενα όπως τα ακόλουθα: Στη Φυσική τη ραδιενεργός σχάση, όταν ένα σωματίδιο-β φθάνει σ ένα μετρητή σπινθηρισμού και τον διεγείρει, ένα ηλεκτρόνιο εκπέμπεται από την κάθοδο λυχνίας Brow σ έναν παλμογράφο. Στη Βιολογία τις γεννητικές μεταλλαγές. Στις Τηλεπικοινωνίες τις τηλεφωνικές συνδιαλέξεις, όταν σ ένα σύστημα υπάρχουν εξυπηρετούντες και εξυπηρετούμενοι όπως π.χ μηχανισμοί που προωθούν τηλεφωνικές κλήσεις ή δεδομένα και από την άλλη τηλεφωνικές κλήσεις ή δεδομένα που αφικνούνται τυχαία σ έναν υπολογιστή. Στη Βιομηχανία τον στατιστικό έλεγχο της ποιότητας, όταν σε ένα σύστημα παραγωγής που συνίσταται από έναν αριθμό μηχανών, αυτές χαλούν ή επισκευάζονται τυχαία. Και γενικά σ ένα σύστημα υπάρχουν εξυπηρετούντες και εξυπηρετούμενοι όπως π.χ. υπάλληλοι σε τράπεζα, αεροδρόμιο, σούπερ μάρκετ, δημόσια υπηρεσία, και από την άλλη πελάτες που αφικνούνται τυχαία. Έστω ένα πείραμα τύχης στο οποίο κάποιο γεγονός συμβαίνει κατά διαστήματα. Η διαδικασία ξεκινά με μια συνάρτηση απαρίθμησης N t, t 0 που αντιπροσωπεύει τον αριθμό τυχαίων συμβάντων στην περίοδο 0,t. [Ε4], [Ε6], [Ε32], [Ε33]. -37-

153 4.3. Ορισμός διαδικασίας απαρίθμησης γεγονότων Ορισμός: Μια στοχαστική διαδικασία απαρίθμησης (coutig process) γεγονότων εάν η N t, t 0 ονομάζεται διαδικασία Nt παριστάνει τον συνολικό αριθμό «γεγονότων» που έχουν συμβεί μέχρι τη χρονική στιγμή t. Δηλαδή για μια διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων θα πρέπει να ικανοποιούνται τα ακόλουθα:. Nt Η Nt παίρνει ακέραιες τιμές. 3. Εάν s t 4. Για s t, τότε N s N t., το N s N t συμβεί στο διάστημα st,. παριστάνει τον αριθμό των γεγονότων που έχουν Ορισμός: Μια διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων λέγεται ότι παρουσιάζει ανεξάρτητες αυξήσεις (idepedet icremets) εάν οι αριθμοί των γεγονότων που λαμβάνουν χώρα σε μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητοι. Για παράδειγμα, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των γεγονότων που έχουν συμβεί μέχρι τη χρονική στιγμή t δηλαδή N t πρέπει να είναι ανεξάρτητος του αριθμού των γεγονότων που συνέβησαν μεταξύ των χρόνων t και t s δηλαδή N t s N t. Ορισμός: Μια διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων λέγεται ότι παρουσιάζει στάσιμες αυξήσεις (statioary icremets), εάν η κατανομή του αριθμού των γεγονότων που συμβαίνουν σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα εξαρτάται μονάχα από το μήκος του χρονικού διαστήματος. Με άλλα λόγια, η διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων παρουσιάζει στάσιμες αυξήσεις εάν ο αριθμός των γεγονότων σε ένα διάστημα t s, t s 2 2 δηλαδή N t s N t s έχει την ίδια κατανομή όπως ο αριθμός των γεγονότων στο διάστημα t t δηλαδή N t2 N t, 2 ) για όλα τα t t 2 και s 0. Μια από τις σπουδαιότερες διαδικασίες απαρίθμησης γεγονότων είναι η διαδικασία Poisso η οποία παρουσιάζεται στην συνέχεια. [Ε33]. -38-

154 4.3.2 Ορισμοί διαδικασίας Poisso και οι ισοδυναμίες του Ορισμός: Μια διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων διαδικασία Poisso με μέσο ρυθμό, 0, εάν:. N Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες αυξήσεις. N t, t 0 ονομάζεται 3. Ο αριθμός των γεγονότων σε κάθε διάστημα μήκους t ακολουθεί κατανομή Poisso με μέσο t. Δηλαδή για όλα τα st, 0, t, 0,,... t P N t s N s e! Σύμφωνα με την τρίτη συνθήκη μια διαδικασία Poisso έχει ανεξάρτητες αυξήσεις και επίσης E N t t το οποίο εξηγεί γιατί το ονομάζεται ρυθμός της διαδικασίας. Επίσης η διασπορά της είναι Var N t t. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει το μέσο ρυθμό τυχαίων συμβάντων, π.χ. το μέσο αριθμό πρώτων υλών ανά μονάδα χρόνου, που φθάνουν σε μια μηχανή για να υποστούν κατεργασία. Προκειμένου να καθοριστεί ότι μια τυχαία διαδικασία αποτελεί διαδικασία Poisso, θα πρέπει να αποδειχτεί ότι ικανοποιούνται και οι τρεις συνθήκες του παραπάνω ορισμού. Στην περίπτωση μιας τυχαίας διαδικασίας, είναι εύκολο να αποδειχτεί η ισχύς των δύο πρώτων συνθηκών, δεν ισχύει όμως το ίδιο και με την τρίτη συνθήκη, πράγμα το οποίο περιορίζει την χρησιμότητα του παραπάνω ορισμού. Για το λόγο αυτό παρουσιάζεται στην συνέχεια ένας εναλλακτικός ορισμός της διαδικασίας Poisso. Αρχικά δίνεται ένας ορισμός ο οποίος χρησιμοποιείται στην συνέχεια. Ορισμός: Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι oh εάν f h lim 0 h0 h Ο εναλλακτικός ορισμός της διαδικασίας Poisso έχει ως εξής: -39-

155 Ορισμός: Μια διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων διαδικασία Poisso με ρυθμό, 0, εάν:. N 0 0 N t, t 0 ονομάζεται 2. Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες και στάσιμες αυξήσεις. 3. P N h h o h, h >0 4. P N h 2 o h, h 0 Οι συνθήκες 2 και 3 ορίζουν πως σε ένα ασυμπτωτικά μικρό χρονικό διάστημα h, μπορούν να συμβούν μόνο δύο γεγονότα: μία άφιξη με πιθανότητα h ή καμία άφιξη με πιθανότητα h. Η πιθανότητα πολλαπλών αφίξεων, σύμφωνα με τη συνθήκη 4, είναι ασυμπτωτικά μηδενική. [Ε33]. Θεώρημα: Οι δύο παραπάνω ορισμοί είναι ισοδύναμοι Ιδιότητες διαδικασίας Poisso Χρόνοι μεταξύ αφίξεων Θεωρείται μια διαδικασία Poisso και έστω X η χρονική στιγμή του πρώτου γεγονότος. Έστω για, το X δείχνει το χρόνο μεταξύ του -ου και του -ου γεγονότος. Η ακολουθία X, ονομάζεται σειρά των χρόνων μεταξύ αφίξεων (sequece of iter-arrival times). γεγονός X Στην συνέχεια καθορίζεται η κατανομή της X. Κατ' αρχήν παρατηρείται ότι το t συμβαίνει μονάχα εάν δεν συμβούν γεγονότα της διαδικασίας Poisso στο διάστημα 0,t και κατά συνέπεια: Δηλαδή, η μηδέν αφίξεις στο χρόνο 0 P X t P t P N t P0 t e t X ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή. Η συνάρτηση κατανομής του X είναι και η συνάρτηση πυκνότητας a t F t P X t e a t f t F t e a -40-

156 το οποίο σημαίνει ότι αν οι αφίξεις είναι Poisso, τότε οι χρόνοι ανάμεσα στις αφίξεις είναι εκθετικά κατανεμημένοι με μέση τιμή. Στην συνέχεια βρίσκεται η υπό συνθήκη κατανομή της X 2 δεδομένης της X. 2 0 γεγονότα στο, P0 γεγονότα στο s, s t λόγω των ανεξάρτητων αυξήσεων P X t X s P s s t X s t e Από τα παραπάνω συμπεραίνεται ότι κατανομή της X 2 είναι επίσης εκθετική με μέση τιμή και μάλιστα ανεξάρτητη της κατανομής της X. Μέσω επαναληπτικής χρήσης του παραπάνω επιχειρήματος προκύπτει η ακόλουθη πρόταση: Πρόταση: Οι X,,2,... αποτελούν ανεξάρτητες, ομοίως κατανεμημένες εκθετικά, τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή. Και αντίστροφα, αν οι χρόνοι ανάμεσα στις αφίξεις είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεμημένοι τότε οι αφίξεις είναι Poisso. Η παραπάνω πρόταση προσφέρει ένα εναλλακτικό δρόμο ορισμού μιας διαδικασίας Poisso. Έστω μια ακολουθία X, ανεξάρτητων ομοίως κατανεμημένων εκθετικά τυχαίων μεταβλητών με μέση τιμή. Ορίζεται μια διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων λέγοντας ότι, το ν-οστό γεγονός της διαδικασίας αυτής συμβαίνει τη χρονική στιγμή S όπου: Η διαδικασία απαρίθμησης που προκύπτει S X, Κατανομή χρόνου αφίξεως ν-οστού γεγονότος Η κατανομή του χρόνου αφίξεως του ν-οστού γεγονότος είναι: i i i N t, t 0 είναι Poisso με ρυθμό. S X, Το ν-οστό γεγονός συμβαίνει πριν τη χρονική στιγμή t εάν και μόνο εάν ο αριθμός των γεγονότων που έχουν συμβεί μέχρι τη χρονική στιγμή t είναι τουλάχιστον. Δηλαδή: N t S t i -4-

157 Αυτό συνεπάγεται: P S t P N t e απ' όπου με παραγώγιση προκύπτει ότι η συνάρτηση πυκνότητας της S είναι: j j t t j! j j j t t t t t t f t e e e j! j!! j Δηλαδή κατανομή γάμα με παραμέτρους και. Κατανομή χρόνων άφιξης υπό συνθήκη Έστω ότι ένα γεγονός μιας διαδικασίας Poisso έχει συμβεί μέχρι τη χρονική στιγμή t. Αναζητείται η κατανομή του χρόνου που συνέβη το γεγονός. Για χρόνο s P X P X s N t PN t PN t P N t s N t P γεγονός στο 0, s, 0 γεγονότα στο s, t γεγονός στο 0, 0 γεγονότα στο, P s P s t s ts se e s te t Δηλαδή ομοιόμορφη στο 0,t. t Άθροισμα ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso t ισχύει: Ας θεωρήθούν m ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές εκθετικά κατανεμημένες με παραμέτρους i, i,2,..., m, τότε το mi των μεταβλητών αυτών ακολουθεί επίσης εκθετική κατανομή με παράμετρο 2... m. Έστω η υπέρθεση m ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso με ρυθμούς i, i, 2,..., m, τότε το διάστημα από μια τυχαία χρονική στιγμή μέχρι το επόμενο γεγονός θα ισοδυναμεί με το mi m ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών εκθετικά κατανεμημένων με τις αντίστοιχες παραμέτρους i. Συμπεραίνεται ότι η διαδικασία που προκύπτει από την υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisso είναι επίσης διαδικασία Poisso με ρυθμό το άθροισμα των ρυθμών των επί μέρους διαδικασιών (Σχήμα 4.3.). -42-

158 Σχήμα 4.3.: Άθροισμα ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso Με λίγα λόγια, η άθροιση (aggregatio) ανεξαρτήτων ροών Poisso, 2 αποτελεί διαδικασία Poisso με μέσο ρυθμό 2 Διαχωρισμός διαδικασίας Poisso με πείραμα Beroulli Θεωρείται η διάσπαση μιας διαδικασίας Poisso διαδικασίες N t t και, 0 N t, t 0 σε δύο επί μέρους N2 t, t 0. Η διάσπαση πραγματοποιείται με μια ακολουθία πειραμάτων Beroulli: κάθε γεγονός της διαδικασίας N ανατίθεται στη διαδικασία N με πιθανότητα a και στην 2 κοινού κατανομή πιθανότητας των N t, N N με πιθανότητα a a a 2 t θα είναι:,, / P N t N t 2 2! 2. Η από 2 2 P N t N t N t P N t t at 2 a2t t a t a t a a e e e!!!!! δηλαδή οι διαδικασίες που προκύπτουν από τη διάσπαση είναι επίσης Poisso με ρυθμούς a και a2 και επιπλέον ανεξάρτητες μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα αυτό γενικεύεται εύκολα για διάσπαση σε οποιονδήποτε αριθμό επιμέρους διεργασιών (Σχήμα 4.3.2). Σχήμα 4.3.2: Διάσπαση διαδικασίας Poisso με πείραμα Beroulli Με λίγα λόγια, η τυχαία διάσπαση (radom fork) ροής Poisso μέσου ρυθμού λ με πιθανότητες p, q p, παράγει διαδικασίες Poisso με ρυθμούς p, p. -43-

159 4.4 Η Εκθετική κατανομή (Αρνητική Εκθετική) 4.4. Η Σημασία της Εκθετικής Κατανομής Τα κύρια χαρακτηριστικά των συστημάτων αναμονής προσδιορίζονται από δύο στατιστικές κατανομές, την κατανομή πιθανότητας των χρόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων και την κατανομή πιθανότητας των χρόνων εξυπηρέτησης. Για πραγματικά συστήματα οι κατανομές αυτές μπορούν να πάρουν σχεδόν οποιαδήποτε μορφή, με τον μόνο περιορισμό να μην επιτρέπονται αρνητικές τιμές. Όμως, για να διαμορφωθεί ένα πρότυπο θεωρίας ουράς ως μια αναπαράσταση του πραγματικού συστήματος, είναι αναγκαίο να προσδιορισθεί η μορφή καθεμιάς από αυτές τις κατανομές. Η μορφή αυτή πρέπει να είναι επαρκώς ρεαλιστική, έτσι ώστε το πρότυπο να παρέχει μια ικανοποιητική πρόβλεψη και συγχρόνως να είναι και αρκετά απλό. Με βάση αυτά, η πιο σπουδαία κατανομή πιθανότητας στη θεωρία ουράς είναι η εκθετική κατανομή. Σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιείται η εκθετική κατανομή για τον προσδιορισμό της διάρκειας μιας συνδιαλλαγής. Ας υποτεθεί ότι η τυχαία μεταβλητή X αντιπροσωπεύει τους χρόνους μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ή τους χρόνους εξυπηρέτησης. Η μεταβλητή X λέγεται ότι ακολουθεί μίαν εκθετική κατανομή με παράμετρο, 0 όταν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f X x x e, x 0 0, x 0 όπως εμφανίζεται στο Σχήμα 4.4., για διάφορες τιμές του. -44-

160 Σχήμα 4.4.: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας εκθετικής κατανομής Ισοδύναμα η συνάρτηση κατανομής της είναι: x x e, x0 FX x P X x f ydy 0, x 0 Στην περίπτωση αυτή οι αθροιστικές πιθανότητες είναι, x, 0 x, 0 P X x e x P X x e x Η γεννήτρια συνάρτηση ροπών της εκθετικής συνάρτησης είναι: tx tx x E e e e dx t Από αυτή προκύπτουν εύκολα οι ροπές της τυχαίας μεταβλητής X : 0. μέση τιμή E X και διασπορά V X 2 Στο Σχήμα παρουσιάζεται η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της Εκθετικής κατανομής και στο Σχήμα τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. -45-

161 Σχήμα 4.4.2: Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της Εκθετικής κατανομής Σχήμα 4.4.3: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Εκθετικής κατανομής Όταν γίνεται η υπόθεση ότι η μεταβλητή X ακολουθεί μια εκθετική κατανομή σ' ένα πρότυπο ουράς, ισχύουν ορισμένες βασικές ιδιότητες της εκθετικής κατανομής, από τις οποίες κρίνεται να αναφερθούν οι παρακάτω τρεις: Ιδιότητα Η f x είναι μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση του x x 0 X Ένα επακόλουθο της ιδιότητας είναι ότι, για κάθε αυστηρά θετική τιμή των 0 P X x P x X x x πιθανότητες αυτές είναι η περιοχή κάτω από την καμπύλη x και x. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι fx x και το μέσο ύψος της -46-

162 καμπύλης είναι μικρότερο για τη δεύτερη πιθανότητα απ' ό, τι για την πρώτη. Έτσι, δεν είναι μόνο δυνατό, αλλά και πολύ πιθανό ότι το X θα πάρει μια μικρή τιμή κοντά στο μηδέν. Αν το X αντιπροσωπεύει χρόνους εξυπηρέτησης, τότε αν είναι λογική η ιδιότητα αυτή για το X σε ένα πρότυπο ουράς, εξαρτάται από τη φύση της εξυπηρέτησης. Αν η εξυπηρέτηση είναι η ίδια για κάθε μονάδα και σε κάθε δίοδο εξυπηρέτησης γίνονται οι ίδιες εργασίες, τότε οι πραγματικοί χρόνοι εξυπηρέτησης θα τείνουν να είναι κοντά στο μέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Λογικό είναι να υπάρχουν μικρές αποκλίσεις από το μέσο, κυρίως λόγω μικρών αποκλίσεων στην αποτελεσματικότητα της κάθε διόδου. Στην περίπτωση αυτή, η εκθετική κατανομή δε δίνει ικανοποιητική προσέγγιση της κατανομής των χρόνων εξυπηρέτησης. Στην περίπτωση όμως όπου οι συγκεκριμένες εργασίες που γίνονται στη δίοδο εξυπηρέτησης διαφέρουν ελαφρά μεταξύ τους, η φύση της εξυπηρέτησης μπορεί να είναι η ίδια, αλλά το είδος και η ποσότητα διαφορετικά. Η εκθετική κατανομή δίνει πολύ καλά αποτελέσματα στα φαινόμενα όπου οι αφίξεις γίνονται τυχαία, όπως περιγράφεται στις επόμενες ιδιότητες. Ιδιότητα 2 Το ελάχιστο διαφορετικών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, που ακολουθούν μια εκθετική κατανομή, ακολουθεί και αυτό εκθετική κατανομή. Έστω T, T2,..., T ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν μια εκθετική κατανομή με παραμέτρους, 2,..., αντίστοιχα. Έστω ακόμα U μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές ίσες με το ελάχιστο των τιμών που έχουν οι T, T2,..., T, δηλαδή U T T T. Έτσι, αν mi, 2,..., T i αντιπροσωπεύει το χρόνο μέχρι να συμβεί ένα συγκεκριμένο περιστατικό, τότε το U αντιπροσωπεύει το χρόνο που συμβαίνει το πρώτο από τα διαφορετικά περιστατικά. Σημειώνεται ότι για κάθε 0, 2,..., PT t PT t PT t 2 t 2t e e t e exp t i t,,2,..., P U t P T t T t T t i i ισχύει: -47-

163 δηλαδή, το U ακολουθεί μιαν εκθετική κατανομή με παράμετρο. Η ιδιότητα αυτή έχει σημασία για τους χρόνους μεταξύ διαδοχικών αφίξεων στα πρότυπα ουράς. Πιο συγκεκριμένα, ας υποτεθεί ότι υπάρχουν διαφορετικοί τύποι μονάδων, αλλά οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων για κάθε είδος ακολουθούν μιαν εκθετική κατανομή με παράμετρο,2,..., i i i. Ο υπόλοιπος χρόνος από ένα συγκεκριμένο συμβάν μέχρι την άφιξη του επόμενου προϊόντος τύπου i, θα ακολουθεί την ίδια κατανομή (εκθετική). Έτσι, έστω o T i υπόλοιπος χρόνος από τη στιγμή που ένα προϊόν οποιουδήποτε τύπου φθάνει. Από την ιδιότητα 2 προκύπτει ότι το U, o χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων για ολόκληρο το σύστημα ουράς, ακολουθεί μια εκθετική κατανομή με παράμετρο, όπως ορίστηκε από την παραπάνω εξίσωση. Επομένως, μπορεί να αγνοηθεί η διαφορά μεταξύ τύπων προϊόντων και να εξακολουθούν να υπάρχουν γενικοί χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων, που να ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Η σημασία της ιδιότητας αυτής είναι ακόμα πιο σημαντική στους χρόνους εξυπηρέτησης των προτύπων ουράς, που έχουν περισσότερες από μια διόδους εξυπηρέτησης. Ιδιότητα 3: Σχέση με την κατανομή Poisso Έστω ότι ο χρόνος μεταξύ διαδοχικών εμφανίσεων ενός περιστατικού (άφιξη ή περάτωση της εξυπηρέτησης) έχει μιαν εκθετική κατανομή με παράμετρο. Η ιδιότητα 3 αναφέρεται στην κατανομή της πιθανότητας του αριθμού εμφάνισης του περιστατικού σε προκαθορισμένο χρονικό διάστημα. Έστω X t ο αριθμός των εμφανίσεων του περιστατικού στο χρόνο t T 0, όπου ο χρόνος 0 είναι η στιγμή που αρχίζει το μέτρημα. Τότε, δηλαδή η στο Σχήμα t t e PX t, για 0,,2,...,! X t ακολουθεί μια κατανομή Poisso με παράμετρο t, όπως εμφανίζεται i -48-

164 Σχήμα 4.4.4: Κατανομή Poisso 7 Για 0 P X t 0 e t που είναι η πιθανότητα από την εκθετική κατανομή να συμβεί το πρώτο περιστατικό μετά το χρόνο t. O μέσος της κατανομή Poisso είναι E X t και έτσι ο μέσος αριθμός περιστατικών στη μονάδα του χρόνου είναι. Δηλαδή, το είναι ο μέσος ρυθμός με τον οποίο συμβαίνουν τα περιστατικά (αφίξεις ή περατώσεις εξυπηρετήσεων). Όταν τα περιστατικά μετριούνται σε συνεχή βάση, η διαδικασία X t ; t 0 λέγεται ότι είναι μια διαδικασία Poisso με παράμετρο. Η ιδιότητα αυτή δίνει χρήσιμη πληροφόρηση για τις περατώσεις εξυπηρετήσεων, όταν οι χρόνοι εξυπηρετήσεων ακολουθούν εκθετική κατανομή με παράμετρο. Αυτό γίνεται με το να ορίστεί το t X t ως ο αριθμός των περατώσεων εξυπηρετήσεων που γίνονται από μια συνεχώς απασχολημένη δίοδο εξυπηρέτησης στο χρόνο t, όπου. Για πρότυπα ουράς με παράλληλες θέσεις, το X t μπορεί να οριστεί ως ο αριθμός των περατώσεων εξυπηρετήσεων που γίνονται από s συνεχώς απασχολημένες διόδους στο χρόνο t, όπου s. Η ιδιότητα αυτή είναι επίσης ιδιαίτερα χρήσιμη για την περιγραφή της πιθανολογικής συμπεριφοράς των αφίξεων, όταν οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων έχουν μιαν εκθετική κατανομή με παράμετρο. Στην περίπτωση αυτή X t θα είναι ο αριθμός των αφίξεων στο χρόνο t, όπου, είναι ο μέσος ρυθμός αφίξεων. Έτσι, εάν οι αφίξεις σε ένα σύστημα ακολουθούν την κατανομή Poisso, οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων -49-

165 είναι εκθετικά κατανεμημένοι. Τέλος, λέγεται ότι οι αφίξεις γίνονται τυχαία, με την έννοια ότι συμβαίνουν σύμφωνα με την κατανομή Poisso. Μια ερμηνεία αυτού του φαινομένου είναι ότι σε κάθε χρονική περίοδο σταθερής διάρκειας υπάρχει η ίδια πιθανότητα να συμβεί μια άφιξη, άσχετα από το πότε έγινε η προηγούμενη άφιξη, όπως περιγράφεται από την παρακάτω ιδιότητα. Ιδιότητα έλλειψης μνήμης (memory-less property) Η σπουδαιότερη ιδιότητα της εκθετικής κατανομής είναι η απώλεια μνήμης ή ιδιότητα Markov, σύμφωνα με την οποία για τον υπολογισμό κάποιας πιθανότητας κάποια χρονική στιγμή δεν μας ενδιαφέρει η ήδη διάρκεια της συνδιαλλαγής. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να διαρκέσει κάποια συνδιάλεξη περισσότερο από mi είναι ανεξάρτητη από την ήδη διάρκεια της συνδιάλεξης. Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι δεν έχει μνήμη (memoryless), εάν: P X s t / X t P X s, s, t 0 r r Εύκολα αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει για την εκθετική κατανομή. Έστω t i η στιγμή του i -στού γεγονότος και έστω ότι έχει παρέλθει διάστημα x πριν συμβεί το επόμενο γεγονός (Σχήμα 4.4.5). Υπολογίζεται η πιθανότητα το διάστημα που υπολείπεται μέχρι το επόμενο γεγονός να είναι μεγαλύτερο από y,δεδομένου ότι έχει ήδη παρέλθει διάστημα x από το τελευταίο γεγονός. Σχήμα 4.4.5: Ιδιότητα έλλειψης μνήμη Αν X ο χρόνος μεταξύ γεγονότων, σύμφωνα με τον ορισμό της πιθανότητας υπό συνθήκη, θα ισχύει: xy Pr X x y / X x Pr X x y e Pr X x y / X x x P X x P X x e y e Pr X y r r -50-

166 δηλαδή η υπό συνθήκη κατανομή του υπολειπόμενου διαστήματος είναι ανεξάρτητη του x και είναι ίδια με την κατανομή του X. Με άλλα λόγια η κατανομή του χρόνου μέχρι το επόμενο γεγονός δεν εξαρτάται από το πότε συνέβη το τελευταίο γεγονός. Αποδεικνύεται ότι η εκθετική κατανομή είναι η μόνη συνεχής κατανομή με την ιδιότητα απώλειας μνήμης. 4.5 Η Κατανομή Erlag E Η έλλιψη μνήμης της εκθετικής κατανομής καταστρέφεται αν χρησιμοποιηθεί άλλη. κατανομή. Ο Erlag επινόησε τη μέθοδο της διάσπασης σε βαθμίδες με εκθετική κατανομή σε περίπτωση άλλης κατανομής για να κάνει χρήση έτσι της έλλειψης μνήμης. [Ξ32], [Ξ39], [Ξ42]. Μια βαθμίδα εξυπηρέτησης έχει εκθετική κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης όταν ο χρόνος X έχει στατιστική: όπου u x είναι η βηματική συνάρτηση και x b x e u x E X (4.5.) Var X 2 Μια τέτοια βαθμίδα εξυπηρέτησης την παριστάνουμε στα Σχήματα 4.5. και 4.5.2: Σχήμα 4.5.: Συστήματα με μία βαθμίδες εξυπηρέτησης Σχήμα 4.5.2: Συστήματα με δύο βαθμίδες εξυπηρέτησης Έστω τώρα η βαθμίδα Σχήμα Για την κάθε βαθμίδα ισχύουν -5-

167 2x b x 2e u x 2 2, Var X E X Έστω ότι ο πελάτης πηγαίνει στη βαθμίδα Α και μόλις τελειώσει προχωρεί στη Β, ενώ κανένας πελάτης δεν μπαίνει τώρα στην Α. Ο τωρινός πελάτης τελειώνει την εξυπηρέτησή του στη Β και μόνο τότε νέος πελάτης μπαίνει στο σύστημα. Έτσι σε κάθε στιγμή είτε η Α ή η Β βαθμίδα είναι ελεύθερη. Η κατανομή της συνολικής βαθμίδας εξυπηρέτησης είναι η κατανομή του αθροίσματος δύο ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών Y και Z με εκθετική κατανομή. Αυτή είναι η συνέλιξη των δύο κατανομών 2 b x 2 y 2 xy ba x bb x 2e 2e u yu x ydy x 2 2x e dy 2 2x e u x (4.5.2) Επίσης H κατανομή (4.5.2) είναι Erlag-2. Γενικεύουμε τώρα για βαθμίδες: E X E Y E Z Var X Var Y Var Z Σχήμα 4.5.3: Απεικόνιση βαθμίδων Η κατανομή είναι: 2 3 b x... b x b x b x... b x Όπως προηγουμένως, -52-

168 x b x b x x e u x 2 και b x b2 x b3 x y xy ye e u yu x ydy 2 x 2 x x x 2 0 e ydy e Και γενικεύοντας επαγωγικά βρίσκεται η κατανομή b x x x e! u x (4.5.3) που λέγεται Erlag-. Προφανώς E X Var X 2 2 Σχήμα 4.5.4: Οικογένεια b(x, ) Από το θεώρημα κεντρικού ορίου 7, καθώς η κατανομή γίνεται Gauss. Var X Παρατηρείται όμως ότι η διασπορά 2 0 καθώς. Έχουμε δηλαδή μιαν ακολουθία κατανομών που, στο όριο ορίζουν ένα δέλτα του Dirac x όπως φαίνεται στο σχήμα. 7 Βλ. Κούτρας Μάρκος Β. (2005), Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Θεωρία και Εφαρμογές, Β Εκδοση, Μέρος ΙΙ, Εκδόσεις Αθ. Σταμούλης, Αθήνα [Ε3] -53-

169 Το μέγιστο των καμπυλών αυτών συμβαίνει για x τέτοιο ώστε db x 0 x dx που σημαίνει ότι για, x Ο Μετασχηματισμός z Ο μετασχηματισμός z χρησιμοποιείται πολύ στη λύση διαφορικών εξισώσεων. Έστω η διακεκριμένη συνάρτηση f k, k 0,,2,... όπου k είναι οι διακεκριμένες χρονικές στιγμές. Ορίζεται το μετασχηματισμό z της f k, F z ως εξής: F z k f k z (4.5.4) k0 H μεταβλητή z είναι μιγαδική και η ακολουθία f k αυξάνεται αργότερα από την k z, ενώ το άθροισμα k z υπάρχει. Το ζεύγος f F k 0 είναι μοναδικό όπως στους αντίστοιχους συνεχείς μετασχηματισμούς Fourier και Laplace. Το αντίστοιχο του δ του Dirac για διακεκριμένους χρόνους είναι (Σχήμα 4.5.5), k 0 k 0, k 0 ενώ το αντίστοιχο της βηματικής συνάρτησης είναι u, k 0,,2,... (Σχήμα 4.5.6). k Σχήμα 4.5.5: Το δ του Dirac -54-

170 Σχήμα 4.5.6: Βηματική συνάρτηση Τότε k0 k k uk z, για z z f k Έστω τώρα k a. Τότε k F z az, για az az k0 Η συνέλιξη δύο συναρτήσεων f k και f 2 k ορίζεται: k f k f k f k i f i f i f k i i0 i0 Τότε αν f F και f2 F2 αλλά οπότε k (4.5.5) k f f2 f k i f2 iz k0 i0 k i a a a a a a a a k0 i0 i0 ki i ki (4.5.6) f f f i z f k i z F z F z i0 ki k k Η διαδικασία υπολογισμού της ακόλουθη μέθοδο. Έστω f k από την F z, συχνά διευκολύνεται με την -55-

171 F z N z D z όπου τα N και D είναι πολυώνυμα του z. Συμβολίζοντας τις ρίζες του D με ai με πολλαπλότητα m i έχουμε D z D a z 0 i όπου D 0 είναι μία σταθερά, η οποία δεν επηρεάζει την ανάλυση που ακολουθεί, και i mi m i η πολλαπλότητα της ρίζας a i. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το κλάσμα F z διασπάται σε απλούστερα κλάσματα ως εξής και οι όροι F z 2 m... A m m a z a z az m m2 m2 a z a z az 2 A A ij δίνονται από: m m m a z a z az A A A A A A A A ij j j d m N z i j ai z j! ai dz D z, z a i 0 d d 0!,,,... 0 dz dz όπου, εξ ορισμού, f z f z f z f z Στη συνέχεια εξετάζεται η εφαρμογή του μετασχηματισμού z στη λύση εξισώσεων διαφοράς. Έστω η εξίσωση όπου τα... C f k C f k C f k g k (4.5.7) C i είναι σταθερές, η 0 gk είναι δεδομένη συνάρτηση, και έχουν δοθεί οι οριακές συνθήκες. Ορίζεται ο μετασχηματισμός z της f ως: F z k f k z. k0-56-

172 Πολλαπλασιάζονται και τα δύο μέλη της (4.5.7) επί k C f k i z g k z i k0 i0 k0 k z για k 0,,2,... και προκύπτει k από την οποία υπολογίζεται η μετασχηματισμό. F z και κατόπιν η f k με τον αντίστροφο Συνοπτικά, παρακάτω αναφέρονται οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας και βασικές ιδιότητες κάποιων επιπλέον κατανομών. 4.6 Κανονική Κατανομή Συμβολισμός: Μια πραγματική μεταβλητή X λέγεται ότι ακολουθεί την κανονική 2 κατανομή και συμβολίζεται με, X N. [Ξ48], [Ε3], [Ε6], [Ε9], [Ε32]. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f x e 2 x Μέση τιμή: Διακύμανση: Σχήμα 4.6.: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για διάφορες παραμέτρους 2 Σχήμα 4.6.2: Συνάρτηση κατανομής για διάφορες παραμέτρους -57-

173 4.6. Τυποποιημένη κανονική κατανομή Η κανονική κατανομή που έχει μέση τιμή 0 0 και τυπική απόκλιση (άρα και διασπορά ), συμβολίζεται με N 0, και ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή. Μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με Z και η συνάρτηση πυκνότητάς της με z. 2 z 2 z e, z 2 Η τυποποίηση των δεδομένων βασίζεται στην απόκλισή τους από το μέσο όρο σε όρους της, σύμφωνα με τον τύπο Z X. Με τον τύπο αυτό μπορούν να μετατραπούν τα δεδομένα μιας μεταβλητής που κατανέμεται κανονικά σε τυποποιημένη μορφή και να υπολογισθούν οι πιθανότητες χρησιμοποιώντας τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Οι πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής δίνουν τις αθροιστικές πιθανότητες της κατανομής της Z, δηλαδή τα εμβαδά της κατανομής από έως και μία συγκεκριμένη τιμή της Z (π.χ. z ). Έτσι, οι πίνακες δίνουν τις πιθανότητες PZ z για όλα τα z από -3,99 έως +3,99 με βήμα 0,0. Σχήμα 4.6.3: Τυποποιημένη κανονική κατανομή Το σκούρο μπλε είναι λιγότερο από μία τυπική απόκλιση από το μέσο. Στην κανονική κατανομή, αυτό αφορά στο 68% των παρατηρήσεων, ενώ δύο τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο (μπλε και σκούρο μπλε) αφορούν στο 95%, και τρεις τυπικές αποκλίσεις (ανοιχτό μπλε, μπλε και σκούρο μπλε) αφορούν το 99,7%. -58-