Σηµειώσεις στις σειρές

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις στις σειρές"

Transcript

1 . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά όλοι οι σχετικοί Ορισµοί καθώς και η απαραίτητη ορολογία. Ας υποθέσουµε ότι ( ) N κατασκευάζουµε µια νέα ακολουθία ως εξής: είναι µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Με βάση αυτήν Το αντίστοιχο άπειρο άθροισµα s =, s = +, s = + +,... s = =. k k = = ονοµάζεται σειρά µε όρους α ενώ ή ( s ) N καλείται ακολουθία µερικών αθροισµάτων της σειράς. Όπως είναι φανερό, κάθε τέτοια σειρά, ακριβώς επειδή αποτελείται από άπειρους προσθετέους, δεν έχει πάντοτε ως άθροισµα έναν πεπερασµένο πραγµατικό αριθµό. Πρόκειται στην ουσία για ένα όριο, αυτό της ακολουθίας ( s). Έτσι, θα λέµε ότι η σειρά N : o Συγκλίνει στο s R αν το όριο lim s = = s υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός o Απειρίζεται θετικά (αντ. αρνητικά) αν lim s = (αντ. ) o Κυµαίνεται αν το όριο lim s δεν υπάρχει στο R= R {, } o Συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η σειρά των αντίστοιχων απόλυτων τιµών Τόσο στη δεύτερη όσο και στην τρίτη περίπτωση θα λέµε ότι η σειρά αποκλίνει. Σηµειώστε επίσης ότι η απόλυτη σύγκλιση είναι ισχυρότερη της απλής.. = Μια σχετικά απλή και γρήγορη απόδειξη του προηγούµενου ισχυρισµού επιτυγχάνεται µε τη χρήση της έννοιας της βασικής (Cuchy) ακολουθίας :

2 Ας συµβολίσουµε µε s = , N, την ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της και µε s...,, = σειράς των απολύτων τιµών = N την αντίστοιχη ακολουθία µερικών αθροισµάτων της =. Παρατηρούµε τότε ότι s s = = s sm = s s m, m. () m m+ m+ m+ m+ Αν όµως η υπό µελέτη σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της ( s ) ως συγκλίνουσα θα είναι και βασική. Εποµένως, lim s sm = και από τη σχέση () έχουµε ότι και η (s ) είναι βασική : lim s s lim s sm = lim s s =. m m Όµως, σύµφωνα και µε τα όσα αναφέρονται στο Κεφάλαιο των Ακολουθιών, κάθε βασική ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι και συγκλίνουσα. Έτσι, και η ακολουθία (s ) συγκλίνει, οπότε από τον ορισµό της σύγκλισης σειρών, το ίδιο ισχύει και για τη σειρά Αποδείξαµε µε τον τρόπο αυτό ότι:. = Αν µια σειρά συγκλίνει απολύτως τότε θα συγκλίνει και απλά. Είναι σηµαντικό να τονισθεί εδώ ότι το αντίστροφο της προηγούµενης διαπίστωσης δεν ισχύει. Η απλή σύγκλιση µιας σειράς δεν εξασφαλίζει την απόλυτη σύγκλιση, όπως προκύπτει και από το τελευταίο από τα επόµενα παραδείγµατα. Παραδείγµατα Σειρών. o Η σειρά = η οποία κατασκευάζεται από την ακολουθία + = o =, N, ονοµάζεται αρµονική σειρά και απειρίζεται θετικά (βλ. και Παράγραφο.). Η σειρά ( ) = κατασκευάζεται από την ακολουθία = ονοµάζεται γεωµετρική σειρά και συγκλίνει στον αριθµό (βλ. και Παράγραφο.). = ( ), N,

3 o Η + ( ) = κατασκευάζεται από την ακολουθία 4 5 = + ( ) =, N, ονοµάζεται εναλλάσσουσα σειρά και συγκλίνει (βλ. και Παράγραφο.4) ενώ δεν συγκλίνει απόλυτα αφού η + ( ) = = = είναι η αρµονική σειρά του πρώτου παραδείγµατος. Το βασικό ερώτηµα που µας απασχολεί στις σειρές είναι αν αυτές συγκλίνουν ή όχι. Ο προσδιορισµός του ορίου τους είναι ένα πρόβληµα εξετάζεται δευτερευόντως και σε κάθε περίπτωση αφού πρώτα εξασφαλιστεί η σύγκλιση τους. Για τον έλεγχο της σύγκλισης ή µη σειρών πραγµατικών αριθµών παρουσιάζουµε στις επόµενες Ενότητες τα βασικότερα κριτήρια που χρησιµοποιούνται. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η σύγκλιση µιας σειράς, ως τελική έννοια, δεν επηρεάζεται από τους αρχικούς όρους της (όσο πολλοί κι αν είναι αυτοί) αλλά από την συµπεριφορά τους όταν. Έτσι, η σειρά συγκλίνει η = συγκλίνει, N =. Επίσης, από τα αντίστοιχα συµπεράσµατα που παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο των ακολουθιών, προκύπτει ότι : Αν οι σειρές, = β = συγκλίνουν και λ R, τότε και οι σειρές ( + β), = λ συγκλίνουν µε = ( + β ) = + β, ( λ ) = λ = = =. = = Απόδειξη. Έστω s = , N, η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της και = s = β + β β, N, αυτή της β = s + s = ( + β ) + ( + β ) ( + β ), N.. Τότε η αντίστοιχη ακολουθία της ( + β) είναι η = Αφού οι σειρές, = β = συγκλίνουν, σύµφωνα µε τον Ορισµό που είδαµε στην αρχή της Ενότητας, το ίδιο θα ισχύει και για τις ακολουθίες των µερικών αθροισµάτων τους: lim s = s R,

4 lim s = s R. Εποµένως, και η ( s + s ) N συγκλίνει µε lim( s + s ) = s+ s R, από όπου έχουµε ότι η σειρά ( + β) συγκλίνει µε τελικό άθροισµα = Ανάλογα αποδεικνύεται και ο δεύτερος ισχυρισµός. ( β ) lim( ) + = s + s = s+ s = + β. = = =. ΕΙ ΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΕΙΡΩΝ. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε ορισµένες ιδιαίτερες κατηγορίες σειρών για τις οποίες µπορούµε να έχουµε ασφαλή συµπεράσµατα σχετικά µε τη σύγκλιση ή/και το τελικό άθροισµα τους... Γεωµετρικές Σειρές. Γεωµετρική ονοµάζεται κάθε σειρά της µορφής: r, = όπου r είναι πραγµατικός αριθµός. Πρόκειται δηλαδή για το άθροισµα άπειρων όρων της γεωµετρικής προόδου µε λόγο r. Μπορούµε, εποµένως, να προσδιορίσουµε ακριβώς τόσο τους όρους της ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων: s = r = s = r + r = + r,, s = r + r + r = + r+ r,... + r = =, r s r r r όσο και την τελική συµπεριφορά της σειράς: r. + r = lim s = lim = r Λαµβάνοντας υπόψη µας τις ιδιότητες των ορίων ακολουθιών συµπεραίνουµε ότι: 4

5 Η γεωµετρική σειρά r συγκλίνει όταν = r < (αφού τότε lim r + = ) και το τελικό άθροισµά της είναι ίσο µε r. Απειρίζεται θετικά όταν r, αφού τότε Κυµαίνενται όταν r, αφού τότε το όριο lim r + lim r + = και + r lim = =. r r δεν υπάρχει. Παραδείγµατα.. Η σειρά. Η σειρά = συγκλίνει, αφού < και το άθροισµά της είναι ίσο µε =. = απειρίζεται θετικά, αφού >.. Η σειρά ( ) κυµαίνεται, αφού <. Πράγµατι, αν υπολογίσουµε τους πρώτους όρους της = ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων βλέπουµε ότι: s s s s s 4 = = + ( ), = + = = ( ) ( ), = + + = + = + ( ) ( ) ( ) 4, = = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 5, = = + + = + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηλαδή οι όροι της δεν συγκλίνουν προς κάποια συγκεκριµένη κατεύθυνση αλλά κυµαίνονται εναλλασσόµενοι µεταξύ αρνητικών και θετικών τιµών. Παρατήρηση. Προσοχή πρέπει να δείξει κανείς στις περιπτώσεις εκείνες που η υπό µελέτη σειρά έχει όρους που ξεκινάνε από τον δείκτη =, και όχι από =. Αν, για παράδειγµα, θεωρήσουµε την =, τότε ως προς την σύγκλιση της δεν υπάρχει καµία διαφοροποίηση (η σειρά συγκλίνει αφού 5

6 < ) αλλά υπάρχει αλλαγή στο τελικό άθροισµά αφού έχουµε έναν όρο λιγότερο, αυτόν που προκύπτει για =. Έτσι: = = = =. Γενικότερα ισχύει ότι: r r =, όταν r = r <... p-σειρές. Ιδιαίτερα χρήσιµη στη σύγκριση µε άλλες σειρές, και µέσω αυτής στον έλεγχο της σύγκλισής τους ή µη, είναι η κατηγορία των p-σειρών. Πρόκειται, συγκεκριµένα, για τις σειρές που έχουν την µορφή: ζ (p) =, p = οι οποίες συγκλίνουν όταν p> ενώ αποκλίνουν για p. Η σχετική απόδειξη ξεφεύγει από τον σκοπό και το πνεύµα του παρόντος υλικού και για τον λόγο αυτό δεν παρουσιάζεται εδώ. Παραδείγµατα.. Η σειρά (γνωστή και ως αρµονική σειρά) δεν συγκλίνει αφού είναι p-σειρά µε p=. =. Η σειρά συγκλίνει αφού είναι p-σειρά µε p=>. =.. Τηλεσκοπικές Σειρές. Όπως αναφέραµε και νωρίτερα, στις περισσότερες περιπτώσεις σειρών ο ακριβής προσδιορισµός του τελικού αθροίσµατος είναι µια αρκετά δύσκολη υπόθεση. Γι αυτό και το πρώτο ερώτηµα στο οποίο καλούµαστε να απαντήσουµε (αν η σειρά συγκλίνει ή όχι) είναι πολλές φορές και το τελευταίο. Υπάρχει όµως µια σηµαντική κατηγορία σειρών των οποίων το άθροισµα µπορεί να υπολογιστεί σχετικά εύκολα. Πρόκειται για τις σειρές µορφή: = των οποίων οι όροι γράφονται στην 6

7 ( ) = b b + N, όπου b είναι µια ακολουθία της οποίας η οριακή συµπεριφορά µπορεί να προσδιορισθεί. Μια τέτοια σειρά ονοµάζεται τηλεσκοπική σειρά. Ο έλεγχος της σύγκλισης καθώς και ο προσδιορισµός του τελικού αθροίσµατος των σειρών αυτών είναι σχετικά απλός αφού για την ακολουθία των µερικών αθροισµάτων ισχύει ότι: s = = = ( b b ) + ( b b ) + ( b b ) ( b b ) + ( b b ) = 4 + =b b +. Εποµένως η σειρά θα συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim b + και το τελικό άθροισµά της θα είναι ίσο µε = b lim b. = + Παραδείγµατα.. Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί = ( + )( + ) ( )( ) = Εποµένως,. Η σειρά ισχύει ότι = lim = = = ( )( ) είναι τηλεσκοπική γιατί = = ( )(+ ) ( )(+ ) + και ( )( + ) + = lim = ( ) =. =. Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί 4 = / / = 4 + και ισχύει ότι / = lim = =. + = 4 7

8 .4. Εναλλάσσουσες Σειρές. Οι σειρές των οποίων οι όροι εναλλάσσουν το πρόσηµό τους συνεχώς ονοµάζονται εναλλάσσουσες. Πρόκειται, δηλαδή, για σειρές της µορφής: ( ) + =. Για την κατηγορία αυτή το επόµενο κριτήριο αποτελεί ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για τον έλεγχο της τελικής συµπεριφοράς τους. Κριτήριο Leibitz. Αν σε µία εναλλάσσουσα σειρά ( ) + = η ακολουθία ( ) N που την παράγει είναι θετική, φθίνουσα και έχει όριο το µηδέν, τότε η σειρά συγκλίνει και για το τελικό άθροισµά της s ισχύει ότι k + s ( ) k + k =. ηλαδή, όταν προσεγγίσουµε το άθροισµα της σειράς µε το µερικό άθροισµα των όρων µέχρι και τάξης, το σφάλµα που προκύπτει δεν υπερβαίνει, κατ απόλυτη τιµή, τον όρο της επόµενης τάξης +. Απόδειξη. Ας συµβολίσουµε µε s το άθροισµα των πρώτων όρων της σειράς : s = ( ) k = Παρατηρούµε τότε ότι : s + s = -α + + α + (αφού η ακολουθία α είναι φθίνουσα από την υπόθεση), άρα η ακολουθία (s ) είναι αύξουσα : s + s,. Επίσης, s + s - = α + α, άρα η ακολουθία (s - ) είναι φθίνουσα : s + s -,. Από την άλλη µεριά, για οποιαδήποτε επιλογή φυσικών k, m ισχύει ότι : s k s m- () k + k 8

9 Πράγµατι, αν επιλέξουµε έναν τρίτο φυσικό µεγαλύτερο τόσο από τον k όσο και από τον m, τότε: s k s s - s m-. Η τελευταία σχέση µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η αύξουσα- ακολουθία (s ) είναι και άνω φραγµένη αφού, για παράδειγµα s s =α. Άρα, σύµφωνα µε την Πρόταση **, είναι συγκλίνουσα ακολουθία και έστω α το όριο της : lim s =. Ανάλογα, η φθίνουσα ακολουθία s - είναι και κάτω φραγµένη, αφού s - s =α -α. Άρα είναι και αυτή συγκλίνουσα µε όριο έστω το β : lim s = β. Από τη σχέση () έχουµε ότι Εποµένως, Εξασφαλίσαµε µε τον τρόπο αυτό ότι s s α β. β α = lims lims = limα =. () x α = lim s = = β. lim s Ιδιαίτερα: s s s s s s s = β Θα αποδείξουµε τώρα ότι αυτό το κοινό όριο των υποακολουθιών (s ) και (s - ) αποτελεί το σηµείο σύγκλισης και της γενικής ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων (s ) της υπό µελέτης σειράς. Πράγµατι, για κάθε επιλογή θετικού αριθµού ε, από τη σχέση (), θα υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε s s < ε. Έτσι, για κάθε > έχουµε : Αν =k>, τότε, Αν =k+>, τότε Εποµένως, σε κάθε περίπτωση, και άρα lim s Επίσης : =. s α = s α = α s < α s < s s, k k s α = s α = s < s α < s s. k+ k+ s α < s s < ε s α = α s < s s <, + + 9

10 Άρα, σε κάθε περίπτωση έχουµε : και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. s α = s < s s <. s α < + Σηµείωση. Τα ίδια αποτελέσµατα ισχύουν και στη περίπτωση όπου η εναλλάσσουσα σειρά είναι της µορφής ( ) ή = ( ) αφού οι τελευταίες µετατρέπονται, µε απλούς = µετασχηµατισµούς, στην ακριβή µορφή που εµφανίζεται στο Κριτήριο Leibitz: + ( ) = ( ) = ( ) = = =, + ( ) = ( ). = = Παραδείγµατα.. Η σειρά = ( ) = + + πληρεί τις υποθέσεις που αναφέραµε προηγουµένως + 4 αφού είναι εναλλάσσουσα και η ακολουθία είναι θετική και φθίνουσα. Εποµένως + συγκλίνει. Αν τώρα προσεγγίσουµε το άθροισµά της µε το µερικό άθροισµα τάξης 8 (αν κρατήσουµε δηλαδή τους όρους για =,,,..,8): 8 ( ) = + + +, = τότε το σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο του όρου τάξης 9: 9+ =. (προφανώς όχι και τόσο καλή εκτίµηση. Πρέπει να φτάσουµε µέχρι τον όρο µε =98 για να είµαστε βέβαιοι, ότι το σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο του.).. Η σειρά ( ) συγκλίνει για κάθε p> (σε αντίθεση µε τις p-σειρές που παρουσιάσαµε p = προηγουµένως). Πράγµατι, πρόκειται προφανώς, για µία εναλλάσσουσα σειρά ενώ η ακολουθία p είναι φθίνουσα (αφού p>): N

11 και µηδενική : lim p = p p p p p ( + ). Η εναλλάσσουσα σειρά φθίνουσα: ( ) συγκλίνει γιατί η ακολουθία + = = είναι θετική, + = ( ) = N και µηδενική : lim = lim + =. Επιπλέον, αν θέλουµε να πετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, δηλαδή το σφάλµα της προσέγγισης να είναι µικρότερο του., θα πρέπει: < < >. Εποµένως, θα πρέπει να υπολογίσουµε το άθροισµα τουλάχιστον των πρώτων 49 όρων της σειράς. Ασκήσεις.. Βρείτε τα αθροίσµατα των επόµενων σειρών στις περιπτώσεις εκείνες που αυτές συγκλίνουν: i. (Απάντηση: 4 ) 5 = ii. iii. iv (Απάντηση: ) (Απάντηση: αποκλίνει) 9 7 ( ) (Απάντηση: κυµαίνεται) = + (Απάντηση: ) v. = ( + ) vi. (Απάντηση: = ( + 4)( + 5) 5 ). Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές:

12 i. ii. iii. iv. v. ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) e = (Απάντηση: αποκλίνει) = ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: αποκλίνει) = 5 vi. (Απάντηση: συγκλίνει) 5 = vii. viii. l ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = + ( ) (Απάντηση: αποκλίνει) =. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Τα βασικότερα κριτήρια σύγκλισης σειρών, δηλαδή κανόνες που µας βοηθούν να αποφασίζουµε αν µια σειρά συγκλίνει ή όχι, παρουσιάζονται στην Ενότητα αυτή... Ένα πρώτο βασικό συµπέρασµα. Αρχικά µπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι για να υπάρχει πιθανότητα σύγκλισης µιας σειράς =, δεδοµένου ότι αυτή είναι µια άθροιση άπειρων αριθµών, θα πρέπει οι προσθετέοι να µικραίνουν συνεχώς τείνοντας στο µηδέν: Αν η σειρά συγκλίνει, τότε lim = α =. Απόδειξη. Έστω s = , N, η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς η οποία, σύµφωνα µε την υπόθεση, θα συγκλίνει σε κάποιον πραγµατικό αριθµό s. Παρατηρούµε τότε ότι

13 = s s, οπότε lim = lim s lim s = s s =. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στο γεγονός ότι το αντίστροφο συµπέρασµα δεν ισχύει: εν αρκεί η διαπίστωση ότι το όριο της ακολουθίας α, που παράγει τη σειρά, είναι µηδέν για να εξασφαλίσουµε ότι η σειρά συγκλίνει. Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα σειρών που δεν συγκλίνουν παρά το γεγονός ότι παράγονται από µηδενικές ακολουθίες. Το κλασικότερο από αυτά είναι η αρµονική σειρά η οποία, όπως αναφέραµε στην Παράγραφο., δεν συγκλίνει αν και παράγεται από = την µηδενική ακολουθία. Σε κάθε περίπτωση όµως, το προηγούµενο συµπέρασµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την διαπίστωση της µη σύγκλισης της σειράς αν η ακολουθία που την παράγει δεν τείνει στο µηδέν: Αν limα, τότε η σειρά = δεν συγκλίνει. Παραδείγµατα.. Η σειρά ( ) έχει πιθανότητες να συγκλίνει αφού = lim( ) =. Άλλωστε, όπως είδαµε στην Παράγραφο., η υπό µελέτη σειρά εντάσσεται στη κατηγορία των γεωµετρικών σειρών και συγκλίνει στον αριθµό =.. Η + δεν συγκλίνει αφού = + lim =.. Αν α είναι ακολουθία µη µηδενικών αριθµών ώστε α + α - α + = α α +, τότε η σειρά α δεν συγκλίνει. = α+ Πράγµατι, η υπόθεση δίνει ότι + = + = + = ()

14 Έτσι αν υποθέσουµε ότι η σειρά α συγκλίνει, θα πρέπει = α+ α lim lim α + α = = κάτι α που έρχεται σε αντίθεση µε την σχέση (): Θα είχαµε τότε ότι +=... Κριτήρια Σύγκρισης Σειρών. Παρουσιάζουµε εδώ δύο από τους βασικότερους κανόνες σύγκρισης σειρών. Πρόκειται για ιδιαίτερα αποτελεσµατικά κριτήρια σύγκλισης τα οποία µας δίνουν τη δυνατότητα να αποφασίσουµε για τη σύγκλιση ή µη µιας σειράς συγκρίνοντάς την µε άλλη της οποίας η οριακή συµπεριφορά είναι γνωστή.... Ένα απλό Κριτήριο Σύγκρισης. Θεωρούµε δύο σειρές θετικών όρων:, = β για τις οποίες ισχύει ότι = M β ( N ), όπου Μ θετικός πραγµατικός αριθµός. Τότε: (I) Αν η σειρά των µεγαλύτερων όρων = β συγκλίνει, τότε συγκλίνει και αυτή των µικρότερων. = (II) Αν = =, τότε και β = =. (III) Αν β = =, τότε και α = =. Απόδειξη. (Ι) Ας υποθέσουµε ότι s = , N, είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς και s β β... β,, = = N αυτή της β = m m+ m+ m+ m+. Παρατηρούµε τότε ότι : s s = M β + M β M β = M ( s sm), () για κάθε επιλογή φυσικών m. Έτσι, αν η σειρά β = συγκλίνει, η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της ( s ) βασική ως συγκλίνουσα : lim( s sm) =. Εποµένως, βάσει της σχέσης (), θα είναι 4

15 lim s s M lim( s sm) = lim s s =. m m ηλαδή και η ( s ) είναι βασική ακολουθία πραγµατικών αριθµών, άρα και συγκλίνουσα. Αποδείξαµε µε τον τρόπο αυτό ότι πράγµατι η σειρά συγκλίνει. = (ΙΙ) Θεωρώντας και πάλι τις ακολουθίες των µερικών αθροισµάτων s = , N, της και s β β... β,, = = N της β = επιλογή θετικού αριθµού ε, υπάρχει φυσικός έτσι ώστε : s = > ε,., έχουµε από την υπόθεση ότι για κάθε Χρησιµοποιώντας τη σχέση ανισότητας µεταξύ των όρων των δύο σειρών βλέπουµε ότι : β β... β... ε, M s = M + M + + M >. Εποµένως, lim( M s ) = και, αφού ο αριθµός Μ είναι θετικός από την υπόθεση, lim s = β =. = (ΙΙΙ) Η απόδειξη είναι ανάλογη αυτής της περίπτωσης (ΙΙ). Παραδείγµατα.. Η σειρά + 4 = 4 δεν συγκλίνει γιατί: και όπως είδαµε η αρµονική σειρά, + 4 > 4 = δεν συγκλίνει. =. Η συγκλίνει γιατί: 5 = + και η = 5 και η αρχική συγκλίνουν. < = , είναι γεωµετρική σειρά µε λόγο µικρότερο της µονάδας. Άρα τόσο αυτή όσο 5

16 . Η δεν συγκλίνει γιατί: = + = =. + + Πρόκειται δηλαδή για σειρά µε όρους µεγαλύτερους από ότι η (αποκλίνουσα) αρµονική. 4. Η σειρά συγκλίνει. Πράγµατι, παρατηρούµε αρχικά ότι 5 = (5 + ) = + (5 + ) Εποµένως, αφού όλοι οι όροι είναι θετικοί, = + (5 + ) = = = Όµως, και οι δύο επιµέρους σειρές που εµφανίσαµε συγκλίνουν γιατί: < = ( ) η 5 = και η γεωµετρική σειρά είναι p-σειρά µε p=5>. ( ) συγκλίνει, αφού = 5 5 <, Έτσι, και η αρχική σειρά θα συγκλίνει ως άθροισµα συγκλινουσών σειρών. 5. Για την σειρά + παρατηρούµε ότι: + = / / + > = + + / για κάθε >. Όµως, η σειρά ζ (/) = αποκλίνει, εποµένως και η αρχική σειρά αποκλίνει. / = 6. Αντίστοιχα, για την έχουµε: < = = + + συγκλίνει, εποµένως το ίδιο ισχύει και για την αρχική σειρά.. Όµως, η ζ (/ ) = / = συν(π) 7. Η σειρά συγκλίνει για οποιεσδήποτε τιµές των πραγµατικών παραµέτρων, b: b + = 6

17 Ελέγχουµε την (ισχυρότερη) απόλυτη σύγκλιση συγκρίνοντας µε την συγκλίνουσα ζ () =. Πράγµατι: = συν ( π ) < b + b +. συν(π) Εποµένως, η συγκλίνει απολύτως άρα και απλά. b + =... Το Γενικευµένο Κριτήριο Σύγκρισης Σειρών. Θεωρούµε δύο σειρές θετικών πραγµατικών αριθµών:, β (ιδιαίτερα για την δεύτερη = = υποθέτουµε ότι > β ) για τις οποίες ισχύει ότι lim = c >. Τότε οι δύο σειρές έχουν την ίδια β συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση. ηλαδή είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα. Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι lim = c > και σύµφωνα µε τον ορισµό της σύγκλισης ακολουθιών, β c επιλέγοντας ε = >, θα υπάρχει φυσικός έτσι ώστε β < α α c c α c c α c c c < ε = < c < < < β β β c α < β (Ι) (ΙΙ) Έτσι, αν η σειρά συγκλίνει, η σχέση (Ι) σε συνδυασµό µε το Κριτήριο Σύγκρισης σειρών = που παρουσιάσαµε στην Παράγραφο.., οδηγεί στο συµπέρασµα ότι και η συγκλίνει.. β = θα Από την άλλη µεριά, η σύγκλιση της β = σε συνδυασµό µε τη σχέση (ΙΙ) εξασφαλίζει τη σύγκλιση της. = 7

18 Παραδείγµατα.. Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί αν συγκριθεί µέσω του Γενικευµένου Κριτηρίου µε την 4 = αρµονική σειρά έχουµε: = 4 4 = > Έτσι, αφού η αρµονική σειρά δεν συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την υπό µελέτη σειρά... Η σειρά συγκλίνει γιατί αν την συγκρίνουµε µε την (συγκλίνουσα) γεωµετρική σειρά = + ( ) έχουµε: = lim + = lim = lim = = > Για την ηµ ( ) παρατηρούµε (χρησιµοποιώντας τον κανόνα de l Hospitl για τον + = υπολογισµό ορίων) ότι: ηµ ( ) x= ( ) ( ( )) lim ηµ x ηµ x = lim = lim = limσυν x = συν = > x x x x x Εποµένως η ηµ ( ) = ηµ ( ) + έχει την ίδια συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση µε την = = αρµονική σειρά, δηλαδή αποκλίνει. 4. Η σειρά συγκλίνει γιατί : = ( + ) 8

19 ( + ) + lim = lim = lim = lim = lim = > / Εποµένως αφού ή ζ (/ ) = συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την αρχική σειρά. = 5. Αν α = είναι µια σειρά θετικών όρων ( α > ) τότε η σειρά α = συγκλίνει η α συγκλίνει. = α + α Αν θέσουµε β =, N, παρατηρούµε ότι : α + Αν η α = συγκλίνει, τότε limα = και εποµένως β lim = lim = =. α α + + Συνεπώς, βάσει του γενικευµένου κριτηρίου σύγκρισης σειρών, και η α β = = = α + θα συγκλίνει. Αντίστροφα, η σύγκλιση της β = δίνει : α lim β = lim = lim = lim( + ) = α + α + α β lim( ) = limα = lim( ) = lim = α α + α Εποµένως, χρησιµοποιώντας και πάλι το γενικευµένο κριτήριο σύγκλισης σειρών, συµπεραίνουµε ότι και η σειρά α = συγκλίνει... Το Κριτήριο Ρίζας (Cuchy). Έστω = σειρά πραγµατικών αριθµών. Τότε: (I) Αν r<, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν lim < ), τότε η σειρά συγκλίνει. 9

20 (II) Αν, για άπειρο πλήθος δεικτών (ή, ειδικότερα, αν lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R. (III) Αν lim =, τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε θετικά αν η σειρά συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο της Ρίζας. Απόδειξη. (I) Από την υπόθεση έχουµε : r r,. Όµως η σειρά r συγκλίνει ως = γεωµετρική µε λόγο r< (Βλ. και Παράγραφο.). Έτσι, βάσει του Κριτηρίου Σύγκρισης σειρών.., το ίδιο θα ισχύει και για την =. ηλαδή αποδείξαµε ότι η υπό µελέτη σειρά συγκλίνει απόλυτα, άρα θα συγκλίνει και απλά. Επιπλέον, η σύγκλιση της είναι = ισοδύναµη µε την σύγκλιση της = απόδειξη αυτής της περίπτωσης έχει ολοκληρωθεί., όπως έχουµε ήδη σχολιάσει στην Ενότητα, και η (II) Η ισχύς της σχέσης για άπειρο πλήθος δεικτών, εξασφαλίζει την ύπαρξη µιας υποακολουθίας ( k ) της οποίας όλοι οι όροι είναι απολύτως µεγαλύτεροι της µονάδας:. Έτσι, η υποακολουθία αυτή, καθώς και η πλήρης ακολουθία ( ), δεν µπορεί να k συγκλίνουν στο µηδέν, όπως θα έπρεπε να συµβαίνει σε περίπτωση σύγκλισης της αρχικής σειράς. Εποµένως η θα αποκλίνει. = (III) Πράγµατι, µπορούµε εύκολα να προσδιορίσουµε δύο σειρές που ικανοποιούν την υπόθεση αλλά παρουσιάσουν διαφορετική συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση : Η αρµονική σειρά, µε = lim = lim lim = =, αποκλίνει, ενώ η, µε lim lim = = lim =, συγκλίνει. = Παραδείγµατα.

21 . Η σειρά = 4 5 συγκλίνει γιατί: 4 4 = = <, για κάθε φυσικό Η σειρά συγκλίνει γιατί: 4 Ο γενικός της όρος είναι = και = = <.. Η σειρά = 5 συγκλίνει γιατί: = = = < Η δεν συγκλίνει γιατί: = = = = >. 5. Η σειρά συγκλίνει γιατί: 7 = = = = < Η σειρά + = δεν συγκλίνει γιατί: + + = = >. 7. Η σειρά = α + συγκλίνει όταν η παράµετρος α είναι αρνητική γιατί:

22 α α = + = + e α. Οπότε για να είναι το όριο µικρότερο της µονάδας θα πρέπει e e e α α < < <..4. Το Κριτήριο Λόγου (d Alembert). (Ι) Αν Έστω σειρά πραγµατικών αριθµών µε = α, για κάθε p, όπου p σταθερός φυσικός αριθµός. Υποθέτουµε, µε άλλα λόγια, ότι το µηδέν δεν περιέχεται στους όρους της σειράς από κάποιον δείκτη και µετά. Τότε: + συγκλίνει. + r <, για κάθε φυσικό ( p), (ή, ειδικότερα, αν lim < ), τότε η σειρά (ΙΙ) Αν +, για κάθε φυσικό ( p), (ή, ειδικότερα, αν + lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R, οπότε είτε θα απειρίζεται είτε θα κυµαίνεται.. (ΙΙΙ) Αν + lim =, τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε θετικά αν η σειρά συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο του Λόγου. Απόδειξη. (Ι) Η υπόθεση + r r,, δίνει : + r r r... r r r,. Χρησιµοποιώντας το Κριτήριο Ρίζας (Cuchy) που είδαµε στην προηγούµενη παράγραφο, άµεσα συµπεραίνουµε ότι η σειρά r r = συγκλίνει. Συνεπώς, αφού ο συντελεστής = = r είναι ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός, η σειρά - άρα και η = = - θα συγκλίνει.

23 (ΙΙ) Εργαζόµενοι όπως στην προηγούµενη περίπτωση, έχουµε :...,. Συνεπώς η ακολουθία ( ) δεν συγκλίνει στο µηδέν, αφού ο όρος µηδενικός, και η υπό µελέτη σειρά αποκλίνει. από την υπόθεση είναι µη (ΙΙΙ) Η απόδειξη είναι ακριβώς αυτή της περίπτωσης (ΙΙΙ) του κριτηρίου Cuchy αφού η υπόθεση ικανοποιείται τόσο από την αποκλίνουσα αρµονική σειρά όσο και από τη συγκλίνουσα. = = Παραδείγµατα.. Η σειρά συγκλίνει γιατί: ( )! = ( + )! ( + )! = = = = <, ( + )! + 4 ( + )! για κάθε φυσικό. Επίσης µπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι + lim = lim = <. +. Η σειρά + = 5 συγκλίνει γιατί: Την µετατρέπουµε αρχικά σε άθροισµα δύο, απλούστερων, σειρών: + = = = = Κάθε µία από τις δύο νέες σειρές συγκλίνει γιατί: = < και = <. 5 Εποµένως, και το άθροισµά τους θα είναι συγκλίνουσα σειρά. Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να παρατηρήσουµε ότι πρόκειται για δύο συγκλίνουσες γεωµετρικές σειρές µε λόγους απολύτως µικρότερους της µονάδας.. Η σειρά συγκλίνει γιατί: =

24 + = = = < +, + για κάθε φυσικό N. 4. Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί: = ( + ) = = = ( ). ( + ) + Όµως το όριο της προηγούµενης παράστασης είναι µεγαλύτερο του αφού: + + lim ( ) = lim( ) = = >. 5. Η σειρά 6. Η σειρά 7. Η σειρά συγκλίνει γιατί:! = = ( + )!!! = = = = <. ( + )!! ( + ) +!! συγκλίνει γιατί: = ( + )! + + ( + ) ( + )!! ( + )! + ( + )! ( + ) ( + )! ( + ) συγκλίνει γιατί:! = = = = = = = = < ( + ) + e + ( + ) + ( + )! ( + )! +! + = = = ( ) = ( ) = <. ( + )!! ( + ) +! 4

25 8. Για την σειρά (c > ) = c παρατηρούµε ότι: ( + ) + + c ( + ) c + = = = ( ) =. + c c c c c Εποµένως η υπό µελέτη σειρά συγκλίνει όταν c> (οπότε c <) και αποκλίνει όταν c < (οπότε c > ). Αποκλίνει επίσης για c=, αφού τότε η ακολουθία που την παράγει δεν είναι µηδενική. 9. Για την σειρά παρατηρούµε ότι: 4 Ο γενικός όρος της είναι ( + ), αφού Για =: για =: για =: = = ( + ) (+ ) = = ( + ) (+ ) = = ( + ) (+ ) 4,,, κ.ο.κ. Εφαρµόζοντας έτσι το Κριτήριο του Λόγου έχουµε: συνεπώς η σειρά αποκλίνει ( + ) ( + ) + + ( + ) = = = = >, ( + ) Όπως γίνεται φανερό και από τα προηγούµενα παραδείγµατα, το Κριτήριο του Λόγου είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατικό σε εκείνες τις περιπτώσεις σειρών όπου οι όροι τους είναι µορφής που οδηγεί σε απλοποιήσεις όταν κανείς θεωρήσει το πηλίκο +. Κυριότερες περιπτώσεις αυτής της κατηγορίας σειρών είναι εκείνες που εµφανίζουν παραγοντικά ή δυνάµεις του. 5

26 Ασκήσεις.. Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο του Λόγου: i. ii. iii. iv. v. vi. ( + )( + ) (Απάντηση: συγκλίνει)! = (Απάντηση: αποκλίνει) = + (Απάντηση: αποκλίνει) (l ) = ( + ) (Απάντηση: συγκλίνει)! = (Απάντηση: αποκλίνει) = ( + ) (Απάντηση: αποκλίνει) =. Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο της Ρίζας: i. ii. (Απάντηση: συγκλίνει) (l ) = (Απάντηση: συγκλίνει) = iii. ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = + iv. ( + ) ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) =. Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο της Σύγκρισης: i. (Απάντηση: συγκλίνει) = + ii. (Απάντηση: αποκλίνει) + = iii. l (Απάντηση: συγκλίνει για p>) p = 6

27 iv. (Απάντηση: αποκλίνει) 4 = v. + (Απάντηση: αποκλίνει) = 7

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Ιωάννινα, 2008 ii Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...................... vii 1.1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ......... vii

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Κεϕάλαιο 1 Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Το κεϕάλαιο αυτό είναι εισαγωγικό και έχει σκοπό να υπενθυµίσει και να γενικεύσει κάποιες εν µέρει γνωστές έννοιες καθώς και τη σχετική ορολογία και το συµβολισµό.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου MSc Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης 2η Εκδοση - Ιούλης 2013 2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Περιεχόµενα 1 Ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού στο σύνολο των ακεραίων µε εποπτικό τρόπο: Ένα µοντέλο ή ένα παιχνίδι; ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.ptheodoropoulos.gr

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks)

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) Στο κεφάλαιο αυτό, εξετάζονται ορισμένες τεχικές ανάλυσης δεδομένων, οι

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

Καµπτική Ενίσχυση οκών µε Ελάσµατα και FRP κατά ΚΑΝ.ΕΠΕ.

Καµπτική Ενίσχυση οκών µε Ελάσµατα και FRP κατά ΚΑΝ.ΕΠΕ. Καµπτική Ενίσχυση οκών µε Ελάσµατα και FRP κατά ΚΑΝ.ΕΠΕ. ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΟΚΩΝ ΜΕ ΕΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ FRP ΚΑΤΑ ΚΑΝ.ΕΠΕ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΑΤΟΥ ΕΛΠΙ Α ΚΩΤΣΟΒΙΝΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Περίληψη Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο να εξετάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ Ανακοινώνεται στους σπουδαστές του 1ου εξαμήνου του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων ότι η ύλη της τελικής εξέτασης του μαθήματος «Μικροοικονομική» αφορά τις εξής ενότητες: Οικονομική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΦΟΡΩΝ: ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΦΟΡΩΝ: ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Φωτεινή Νότη ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΦΟΡΩΝ: ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Εισηγητής: Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρµογών

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα