Πραγματικοί κυματισμοί

Transcript

1

2 Πραγματικοί κυματισμοί Οι κυματισμοί που δημιουργεί η επίδραση του ανέμου στην επιφάνεια της θάλασσας, δεν είναι «μονοχρωματικοί». Η επιφάνεια της θάλασσας μπορεί να προσεγγιστεί με σύνθεση περισσοτέρων απλών κυματισμών και να αναλυθεί ως στοχαστικό μέγεθος Ανεμογενείς κυματισμοί=στοχαστικά μεγέθη που ακολουθούν συγκεκριμένους πιθανολογικούς νόμους κατανομής Σειρά VΙ 2

3 ΑΝΕΜΟΓΕΝΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ Μονοχρωματικός κυματισμός (1 συχνότητα) acos( kxt) η πραγματική μορφή της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας μπορεί να προσεγγιστεί με επαλληλία ημιτονοειδών κυμάτων a cos( x t ) i i i i Για κάθε αρμονική συνιστώσα η πυκνότητα ενέργειας υπολογίζεται από τη σχέση E g 1 2 i 2 a i Σειρά VΙ 3

4 Περιγραφή της θαλάσσιας επιφάνειας στο πεδίο των χρόνων Υποθέτοντας 2-D γραμμική περιγραφή του κυματικού πεδίου, μία ντετερμινιστική λύση θα δίνεται από x, t a cosk x t m1 m a m - εύρος της m th συνιστώσας k m - κυματαριθμός της m th συνιστώσας ω m - κυματική συχνότητα της m th συνιστώσας m - φάση της m th συνιστώσας m m m Σειρά VΙ 4

5 Περιγραφή της θαλάσσιας επιφάνειας στο πεδίο των συχνοτήτων Κάθε χρονοσειρά X(t) μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο των συχνοτήτων χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier (Fourier integral transform): όπου i = 1, και ο ανάστροφος μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμόστεί: X ( t) X ( )exp( it) d Σειρά VΙ 5

6 Στο πλαίσιο των κυματισμών επιφανείας ο μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform) της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της επιφανειακής ανύψωσης είναι ιδιαίτερα σημαντικός. όπου S ηη ορίζεται ως συνάρτηση φασματικής πυκνότητας (spectral density function) της διακύμανσης της ελεύθερης επιφάνειας, ή απλά το Φάσμα (Spectrum). Σειρά VΙ 6

7 Εφαρμόζοντας τον ανάστροφο μετασχηματισμό Αλλά: Επομένως το φάσμα ορίζει την κατανομή της διακύμανσης της ελεύθερης επιφάνειας στο πεδίο των συχνοτήτων. Παράλληλα, σ η 2 εξαρτάται από την κυματική ενέργεια και έτσι το φάσμα υποδεικνύει την κατανομή ενέργειας στις συχνότητες. Χρησιμοποιώντας τον παρόντα ορισμό, S ηη είναι μία πραγματική και μία άρτια συνάρτηση του (ω), και επομένως αντιπροσωπεύει ένα φάσμα με 2 πλευρές. Στην πράξη είναι πιο σύνηθες να χρησιμοποιούμε ένα φάσμα μίας πλευράς G ηη (ω), όπου: Σειρά VΙ 7

8 Χρησιμοποιώντας την παραπάνω εξίσωση: Το ποσοστό της συνολικής διακύμανσης σχετιζόμενη με ένα μικρό διάστημα συχνοτήτων ω γύρω από το ω m δίδεται από: όπου η συνεχής κατανομή της διακύμανσης προσεγγίζεται με μία διακεκριμένη γραμμική κυματική συνιστώσα, a m. Και επομένως: x, t 2G όπου m cosk x t 2 gk m m tanh k m d m m m m Σειρά VΙ 8

9 Φάσμα Σειρά VΙ 9

10 JONSWAP το πιο συνηθισμένο Σειρά VΙ 10

11 Εύρος Συχνοτήτων Διασπορά Ενέργειας: περιγράφεται από το φάσμα S Μεγάλο κύμα: άθροισμα κυματοκορυφών Σειρά VΙ 11

12 Freak Wave passing a tanker Σειρά VΙ 12

13 Freak Wave Draupner Βορειότερη βόρεια θάλασσα Data από Statoil Σειρά ΙV 13

14 Freak wave Draupner Σειρά VΙ 14

15 Περιγραφή κυματικού ύψους χρησιμοποιώντας πιθανότητες Σειρά VΙ 15

16 Μέθοδος Zero up-crossing Σειρά VΙ Page 16

17 Χαρ/κά Μεγέθη Πραγματικών Κυματισμών Σειρά VΙ 17

18 Χαρ/κά Μεγέθη Πραγματικών Κυματισμών Για να βρούμε την συνάρτηση κυματικού ύψους σε irregular seas αρκεί να εξετάσουμε το wave height envelope από t = 0 στο π. Από το antinode στο πρώτο node. Δω Για να βρούμε την πιθανότητα εμφάνισης (ή καλύτερα υπέρβασης) ενός κυματικού ύψους σε irregular seas που αποτελείται από 2 κυματισμούς ίδιου ύψους Η ο, και διαφορά συχνότητας Δω, αρκεί να υπολογίσουμε το wave height envelope από t = 0 στο pπ/δω. H p = 1 pπ/δω 0 pπ/δω 2Η ο cos Δω 2 t dt = 4 H o pπ sin pπ 2 Σειρά VΙ 18

19 Χαρ/κά Μεγέθη Πραγματικών Κυματισμών Επίσης, H rms = 2H o Μπορούμε να εκφράσουμε το H p με όρους H rms : Έτσι, Η max = 2H o = Άρα H 1/10 = 20 H s = H 1/3 = 6 H p = 2 2H rms pπ 2H rms π 2H rms π 2H rms sin pπ 2 sin π 20 = 1.408H rms sin π 6 = 1.350H rms Σειρά VΙ 19

20 Χαρ/κά Μεγέθη Πραγματικών Κυματισμών Μέσο ύψος κύματος ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΥΨΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ = η μέση τιμή του ανώτερου 33% των υψών κύματος H H H =H = 2 H H rms s 33 rms PH H 33 0, 135 H μέγιστη πιθανή τιμή H max σε δείγμα Ν τιμών Η: H =H ln(n) max rms όπου Ν= Τ L /Τ z (αν δεν είναι γνωστό) Τ L η διάρκεια καταγραφής και Τ z η μέση περίοδος κύματος. Για γραμμικούς κυματισμούς Σειρά VΙ 20

21 Wave period Wave height - based on zero up-crossings - in each given period But other methods are applied - be careful. If P p and p p are the cdf and pdf of the wave crests, then: A. In a broad-banded sea state (ε 1.0) equal probability that a wave crest occurs above and below SWL. B. In a narrow-banded sea state (ε 0). crests occur above SWL. troughs occur below SWL case B is more realistic Σειρά VΙ 21

22 pdf Gaussian Σειρά VΙ 22

23 Στο σχεδιασμό χρησιμοποιούμε την κατανομή Rayleigh wόπου η πιθανότητα η κορυφή να είναι πάνω από ένα όριο η = a δίνεται από: cdf: 2 2 P p 1 exp / 2 0 pdf: 2 2 p p exp / 2 2 Θεωρώντας i. Στενό φάσμα συχνοτήτων ii. Γραμμικούς κυματισμούς H = 2a 2 2 Και άρα: P( H) Pp 1 exp[ H / 2 / 2 και P p H H ) 1 exp[ 8 ( 2 H ] 2 ] 2 H H exp Σειρά VΙ 23

24 ΚΑΤΑΝΟΜΗ Rayleigh H πιθανότητα υπέρβασης μιας τιμής H H rms H N 2 i i P H H e H H η μέση τετραγωνική τιμή ύψους κύματος rms 2 = n N Το εμβαδόν είναι μονάδα Σειρά VΙ 24

25 Wave height distributions Sort Wave heights Crest elevations ascending probdata probray probforristall E E E E+00 Page 25 Σειρά VΙ

26 Στατιστικά ύψους κυματισμών σε 3 διαφορετικά βάθη Κλίση Πυθμένα=1/100 Μη γραμμικοί κυματισμοί ακολουθούν γενικά ειδικές περιπτώσεις της κατανομής Weibull όπου α και β παίρνουν διάφορες ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ τιμές ανάλογα με το βάθος, την κλιση πυθμένα, την θραύση κλπ. π.χ. Κατανομή Forristall (1978) Σειρά VΙ Page 26

27 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΦΑΣΜΑΤΑ-1. Φάσμα Pierson Moskowitz (PM) Η διάρκεια πνοής του ανέμου και το μήκος αναπτύγματος είναι απεριόριστα (i) Pierson-Moskowitz (fully-developed seas) G ( ) 4 exp o 2 g o 9 /U U or U z 10 m 10 where U characteristic wind speed Σειρά VΙ 27

28 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΦΑΣΜΑΤΑ-2.Φάσμα JONSWAP Μετρήσεις στη Β. Θάλασσα ανάπτυξη κυματισμών με περιορισμό μήκους (ii) JONSWAP (fetch-limited seas) G g 5 = 1.25 = m exp 4 m m exp 2 2 2m =0.09 m = peak enhancement factor = frequency of spectral peak m 2 dependent upon wind speed and fetch Σειρά VΙ 28

29 Ενεργειακά Φάσματα Σειρά VΙ 29

30 Jonswap vs. P.M. Σειρά VΙ 30

31 Wide and Narrow-Banded Processes X(t) Sine wave R xx (τ) G xx (ω) t τ ω ω o X(t) Narrow band ε 0 R xx (τ) G xx (ω) t τ ω X(t) Wide band ε 1.0 R xx (τ) G xx (ω) t τ ω Σειρά VΙ 31

32 Κατευθυντικοί Κυματισμοί (3D) Κατανομή Mitsuyasu (1975) παράμετρος κατευθυντικότητας s. cos 2s (θ) s 0 μεγάλη κατευθυντικότητα s χωρίς κατευθυντικότητα Αντιστοιχεί σε σ θ =28 κανονικής κατανομής. Σειρά VΙ 32

33 [m] G () or a() amp. [m] Κατευθυντικοί Κυματισμοί (3D) p Mitsuyasu, s= [rad/s] [rad] x f [Hz] [rad] Σειρά VΙ 33

34 Κατευθυντικοί Κυματισμοί (3D) Σειρά VΙ 34

35 Κατευθυντικοί κυματισμοί Μονοκατευθυντικοί κυματισμοί: Μακροκόρυφοι κυματισμοί Πολυκατευθυντικοί κυματισμοί: Βραχυκόρυφοι κυματισμοί Σειρά VΙ 35

36 8. Coastal 4.0 (39-56).doc Σειρά VΙ 36

37 Σειρά VΙ 37