Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Transcript

1 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14

2 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent. Funkciji, ki ju dobimo za n = 0 in n = 1, sta pravzaprav linearni i f() = 1 in f() =, zato ju ne uvrščamo med prave potenčne. Definicijsko območje potenčne je R, če je n 0, in R\{0}, če je n < 0. Korenska Kotne

3 3 / 46 n 1, lih: 4 3 n > 1, sod: 1 4 Potenčna Korenska Kotne 4

4 4 / 46 n 1, lih: n < 1, sod: Potenčna Korenska Kotne

5 5 / 46 Korenska Funkcijo oblike f() = n, kjer je n N, n > 1, imenujemo korenska. Število n imenujemo korenski eksponent. Definicijsko območje korenske je R, če je n lih, in [0, ), če je n sod. Zveza med korensko in potenčno o za n > 1: n = y = y n. Potenčna Korenska Kotne

6 6 / 46 Korenska je inverzna (cele ali zožene) potenčne : če je n liho število, je potenčna f() = n injektivna, ki ima inverz f 1 () = n, 3 Potenčna Korenska Kotne 1

7 7 / 46 Potenčna Korenska če je n sodo število, potenčna f() = n ni injektivna in inverz dobimo, če se omejimo na nenegativna števila. Če je pozitiven, ima enačba = y n celo dve realni rešitvi, ki se razlikujeta samo za predznak. Po dogovoru za rezultat n-tega korena izberemo nenegativno rešitev te enačbe. Kotne

8 8 / Potenčna Korenska Kotne

9 9 / 46 Potenčna Korenska Funkcijo oblike p() = a n n + a n 1 n 1 + +a 1 + a 0, kjer je a n 0, a i R, i = 0,..., n, imenujemo polinom. Število n imenujemo stopnja polinoma p. Definicijsko območje vsakega polinoma je R. Kotne

10 10 / 46 Izrek. (Osnovni izrek algebre) p stopnje n ima največ n realnih ničel, torej p() = 0 za največ n različnih realnih vrednosti spremenljivke. Natančneje, polinom p stopnje n ima natanko n kompleksnih ničel, od katerih so nekatere lahko tudi večkratne. Če ima polinom p točno n realnih ničel 1,..., n, ga lahko zapišemo v obliki p() = a n ( n )...( 1 ). Potenčna Korenska Kotne

11 11 / 46 Primer. Narišimo graf polinoma p() = Niče polinoma lahko iščemo s Hornerjevim algoritmom. Potenčna Korenska Kotne Ničle: 1, = 1 (. stopnje), 3 = 1, 4 = 1 3.

12 1 / Potenčna Korenska Kotne 1.0

13 13 / 46 Potenčna Korenska Funkcijo oblike R() = p() q(), kjer sta p in q polinoma, imenujemo racionalna. Definicijsko območje racionalne je množica R\{ : q() = 0}. Po osnovnem izreku algebre zato racionalna ni definirana v največ toliko točkah, kot je stopnja polinoma q. Kotne

14 14 / 46 Potenčna Če želimo narisati graf racionalne, je dobro skupne faktorje polinomov p in q najprej okrajšati. Le če polinoma p in q racionalne R nimata skupnih ničel, namreč velja: ničle polinoma p so ničle racionalne R, ničle polinoma q so poli racionalne R, v okolici katerih je graf R neomejen. Korenska Kotne

15 15 / 46 Če je stopnja polinoma p manjša od stopnje polinoma q, ima racionalna vodoravno asimptoto y = Potenčna Korenska Kotne 4

16 16 / 46 Potenčna Korenska Če je stopnja polinoma p večja ali enaka stopnji polinoma q, asimptoto racionalne dobimo kot kvocient pri deljenju polinomov p in q. Kotne

17 17 / 46 Primer. Izračunajmo asimptoti racionalnih : a) R() = b) R() = Potenčna Korenska Kotne Asimptoti: y = 5 (premica), y = (parabola).

18 18 / 46 Primer. Narišimo graf racionalne R() = 3 ( + 5). Skupne faktorje najprej okrajšajmo! Potenčna Korenska Kotne Ničli 1, = ±1, pol = 5, asimptota y = 5.

19 19 / Potenčna Korenska Kotne 0 30

20 0 / 46 Potenčna Funkcijo oblike f() = a, kjer je realno število a > 0 in a 1, imenujemo eksponentna. Najpogosteje uporabljamo osnovo a = e, torej f() = e. Definicijsko območje eksponentne je množica R. Korenska Kotne

21 1 / 46 Za a > 1 je f() = a strogo naraščajoča, pozitivna in neomejena. Njena zaloga vrednosti je množica (0, ). 4 3 Potenčna Korenska Kotne

22 / 46 Za 0 < a < 1 je f() = a strogo padajoča, pozitivna in neomejena. Njena zaloga vrednosti je množica (0, ). 4 3 Potenčna Korenska Kotne

23 3 / 46 Potenčna Korenska je strogo monotona, zato injektivna, torej obstaja njena inverzna. Kotne

24 4 / 46 Potenčna Korenska Inverzna eksponentne a je oblike f() = log a, kjer je realno število a > 0 in a 1, in jo imenujemo logaritemska. Definicijsko območje logaritemske je enako zalogi vrednosti eksponentne, torej množici (0, ). Kotne

25 5 / 46 Za a > 1 je f() = log a strogo naraščajoča in neomejena. Njena zaloga vrednosti je množica R log log Potenčna Korenska Kotne

26 6 / 46 Za 0 < a < 1 je f() = log a strogo padajoča in neomejena. Njena zaloga vrednosti je množica R log log Potenčna Korenska Kotne

27 7 / 46 Lastnosti logaritemske : definirana je samo za pozitivna realna števila, je strogo monotona in neomejena, premica = 0 je njen pol, log a 1 = 0 (ničla je 0 = 1), y = a = log a y, log a (y) = log a + log a y, log a y = log a log a y, log a b = b log a. Potenčna Korenska Kotne

28 8 / 46 Največkrat obravnavamo logaritemsko o z osnovo a = e. V tem primeru logaritemsko o imenujemo naravni logaritem in pišemo f() = log e = ln. Potenčna Korenska Kotne Opomba. Nekateri naravni logaritem zapisujejo kot log, kar je včasih tudi oznaka za desetiški logaritem.

29 9 / 46 Kotne (trigonometrične) Kotne so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Za kote, manjše od π/, so definirane s pomočjo razmerij med stranicami v pravokotnem trikotniku. sin α = cos α = tan α = ctan α = naspr. kateta hipotenuza pril. kateta hipotenuza naspr. kateta pril. kateta pril. kateta naspr. kateta Potenčna Korenska Kotne

30 30 / 46 Definicijsko območje kotnih sinus in kosinus razširimo na množico vseh realnih števil. Definicijsko območje tan = tg = sin cos je množica R\{ π + kπ : k Z}. Definicijsko območje je množica R\{kπ : k Z}. ctan = cot = ctg = cos sin Potenčna Korenska Kotne

31 31 / 46 Funkciji sinus in kosinus sta periodični s periodo π: sin = sin( + π) in cos = cos( + π) za vsak R. Funkciji tangens in kotangens sta periodični s periodo π: tan = tan( + π) in ctan = ctan( + π) za vsak R. Potenčna Korenska Kotne

32 3 / 46 Med kotnimi mi veljajo številne zveze, kot so: sin + cos = 1, tan + 1 = 1/ cos, ctan + 1 = 1/ sin, tan ctan = 1, sin() = sin cos, cos() = cos sin, sin = 1 cos, cos = 1+cos. Potenčna Korenska Kotne

33 33 / 46 Grafa sinus in kosinus: sin 1 Potenčna Korenska Π 3Π Π Π 1 Π Π 3Π Π cos Kotne 1 Π 3Π Π Π 1 Π Π 3Π Π

34 34 / 46 Grafa tangens in kotangens: Potenčna Korenska cot Kotne Π 3Π Π Π 1 Π Π 3Π Π 3 4

35 35 / 46 Potenčna Korenska Kotne niso injektivne, zato inverzne kotnih ne obstajajo. Če pa se omejimo na območje, kjer je posamezna kotna injektivna, lahko definiramo inverze zoženih kotnih. Te inverze imenujemo ciklometrične. Kotne

36 36 / 46 Pri sinusni i se omejimo na interval [ π, π ]. Inverzno oziroma ciklometrično o te zožene sinusne imenujemo arkus sinus in pišemo Velja: f() = arcsin. y = arcsin sin y =. Definicijsko območje arkus sinus je [ 1, 1], njena zaloga vrednosti pa [ π, π ]. Potenčna Korenska Kotne

37 37 / 46 Graf arkus sinus sin 1 Π 1 Potenčna Korenska Π 1 1 Π Kotne 1 Π

38 38 / 46 Pri kosinusni i se omejimo na interval [0, π]. Inverzno oziroma ciklometrično o te zožene kosinusne imenujemo arkus kosinus in pišemo Velja: f() = arccos. y = arccos cos y =. Definicijsko območje arkus kosinus je [ 1, 1], njena zaloga vrednosti pa [0, π]. Potenčna Korenska Kotne

39 39 / 46 Graf arkus kosinus Π Π 1 cos 1 Potenčna Korenska Kotne 1 1 Π Π 1

40 40 / 46 Pri i tangens se omejimo na interval [ π, π ]. Inverzno oziroma ciklometrično o tako zožene tangens imenujemo arkus tangens in pišemo Velja: f() = arctan. y = arctan tan y =. Definicijsko območje arkus tangens je R, njena zaloga vrednosti pa [ π, π ]. Potenčna Korenska Kotne

41 41 / 46 Graf arkus tangens tan 1 Potenčna Korenska Π Π Π Kotne Π

42 4 / 46 Pri i kotangens se omejimo na interval [0, π]. Inverzno oziroma ciklometrično o tako zožene kotangens imenujemo arkus kotangens in pišemo Velja: f() = arcctan. y = arcctan ctan y =. Definicijsko območje arkus kotangens je R, njena zaloga vrednosti pa [0, π]. Potenčna Korenska Kotne

43 43 / 46 Graf arkus kotangens cot 1 Potenčna Korenska Π Π Kotne Π Π 3Π

44 44 / 46 To je skupno ime za hiperbolični sinus, hiperbolični kosinus, hiperbolični tangens in hiperbolični kotangens, ki so definirane takole: sh = sinh = e e, ch = cosh = e + e, th = tanh = sinh cosh, cth = ctanh = cosh sinh. Potenčna Korenska Kotne

45 45 / 46 Za hiperbolične veljajo podobne zveze kot za kotne, na primer cosh sinh = 1, sinh() = sinh cosh, cosh() = cosh + sinh. Potenčna Korenska Kotne Inverzne hiperboličnih imenujemo area.

46 46 / 46 Grafa hiperbolični sinus in kosinus: sinh, cosh 4 Potenčna Korenska Kotne 1