FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)"

Transcript

1 FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03.

2

3 UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije realne varijable jest pitanje domene, tj. podru ja u ravnini R na kojem je funkcija denirana - traºimo skup svih to aka (x, y) iz ravnine za koje moºemo izra unati vrijednost funkcije. Pritom skiciramo skup svih to aka domene u koordinatnoj ravnini jer nam esto sam zapis za domenu ne govori previ²e. Funkcije koje emo promatrati su kompozicije nekoliko elementarnih funkcija, i zato se trebamo ukratko prisjetiti koje su njihove domene. Pritom emo elementarne funkcije promatrati kao funkcije jedne varijable, jer je bitno uo iti uvjet koji mora vrijediti na argument funkcije koju promatramo, bila to funkcija jedne ili vi²e varijabli. Do domene zadane funkcije dolazimo rje²avanjem svih uvjeta. Elementarne funkcije jedne varijable Polinomi. Polinom stupnja n N 0 je funkcija P : R R denirana s P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0, gdje su a 0, a,..., a n realni brojevi takvi da je a n 0. Brojeve a 0, a,..., a n zovemo koecijentima polinoma. Koecijent a n zovemo vode i koecijent, a a 0 slobodni koecijent. Stupanj polinoma je najve a potencija nepoznanice x. Domena polinoma je itav R, tj. nema ograni enja na domeni. 3

4 Racionalna funkcija. Neka su P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 i Q(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 polinomi. Funkciju f(x) = P (x) Q(x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0 zovemo racionalna funkcija. Ona je denirana za sve x R takve da je Q(x) 0, tj. D(f) = {x R : Q(x) 0}. Uvjet koji pamtimo: Nazivnik razlomka mora biti razli it od nule. Korijen. f(x) = n x. Tu razlikujemo dva slu aja kod odreživanja domene: ako je n = k, k N, tj. ako je n neparan, onda je domena itav R; ako je n = k, k N, tj. ako je n paran, onda su domena svi nenegativni realni brojevi, tj. D(f) = [0, +. Uvjet koji pamtimo: Izraz ispod parnog korijena mora biti ve i ili jednak nuli. Eksponencijalna funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Funkcija f(x) = a x denirana za svaki x R zove se eksponencijalna funkcija baze a. Domena eksponencijalne funkcije je itav R (nema ograni enja na domeni). Svojstva eksponencijalne funkcije: Injektivnost: a x = a x x = x. Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi a x < a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi a x > a x. Logaritamska funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Eksponencijalna funkcija baze a je bijekcija. Njen inverz je logaritamska funkcija s bazom a, f(x) = log a x koja je denirana samo za strogo pozitivne brojeve. Domena logaritamske funkcije je D(f) = 0, +. Svojstva logaritamske funkcije: Injektivnost: log a x = log a x x = x.

5 Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi log a x < log a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi log a x > log a x. Uvjeti koji pamtimo: Izraz pod logaritmom mora biti strogo ve i od nule. Baza logaritma mora biti strogo ve a od nule i razli ita od jedinice. Trigonometrijske funkcije. Funkcije sinus i kosinus, sin: R [, ], cos: R [, ], denirane su za sve realne brojeve, tj. njihova domena je itav R (nemaju ograni enja na domenama). Funkcija tangens denirana je kao tgx = sin x. Po²to je tu rije o razlomku, cos x nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. cos x 0, pa je domena funkcije f(x) = tgx upravo D(f) = R \ {x : cos x 0} = R \ { π + kπ, k Z}. Dakle, vrijedi tg : R \ { π + kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod tangensom mora biti razli it od π svaki k Z. + kπ za Funkcija kotangens denirana je kao ctgx = cos x sin x. Po²to je i tu rije o razlomku, nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. sin x 0, pa je domena funkcije f(x) = ctgx upravo D(f) = R \ {x : sin x 0} = R \ {kπ, k Z}. Dakle, vrijedi ctg : R \ {kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod kotangensom mora biti razli it od kπ za svaki k Z. Ciklometrijske (arkus) funkcije su inverzne funkcije odgovaraju ih restrikcija trigonometrijskih funkcija. Funkcija arkus sinus, f(x) = arcsin x, je inverzna funkcija restrikcije sinusa na interval [ π, π ] pa vrijedi arcsin: [, ] [ π, π ], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ].

6 Funkcija arkus kosinus, f(x) = arccos x, je inverzna funkcija restrikcije kosinusa na interval [0, π] pa vrijedi arccos: [, ] [0, π], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ]. Uvjet koji pamtimo: Izraz koji se nalazi pod funkcijom arkus sinus ili arkus kosinus mora biti po apsolutnoj vrijednosti manji ili jednak jedan. Funkcija arkus tangens, f(x) = arctgx, je inverzna funkcija restrikcije tangensa na interval π, π pa vrijedi arctg: R π, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Funkcija arkus kotangens, f(x) = arcctgx, je inverzna funkcija restrikcije kotangensa na interval 0, π pa vrijedi arcctg: R 0, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Zadaci Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = 4 x y, te gra ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Postavljamo uvjete: () 4 x y 0 (zbog korijena) () 4 x y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) Ako kvadriramo drugi uvjet, dobijemo 4 x y 0, tj. x + y 4. Iz prvog uvjeta imamo x + y 4, pa nam ta dva uvjeta zajedno daju x +y < 4. Dakle, domena funkcije f je D(f) = {(x, y) R : x +y < 4}. Gra ki, domena funkcije f je krug radijusa sa sredi²tem u ishodi²tu bez granica:

7 Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x y () f(x, y) = (4x + y 6)(9 x y ) Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = ln(x y) x ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Imamo sljede e uvjete: () x 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y > 0 (zbog logaritma), te gra- Iz drugog uvjeta imamo y < x, pa je domena funkcije f upravo skup D(f) = {(x, y) R : x 0, y < x }. Gra ki, domena od f je dio ravnine ispod parabole y = x bez granica i bez pravca x = 0. Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = log x ( y) 8x 6y + x + y () f(x, y) = log(xy) ( y 3x ) (3) f(x, y) = ln + 4 x x y y

8 (4) f(x, y) = ln(y + x ) ln(x y ) (5) f(x, y) = ln[x ln(y x)] Primjer.3. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = arcsin x, te rje²enje y gra ki prikaºite u ravnini. Rje²enje. Postavljamo sljede e uvjete: () y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y (zbog arkus sinusa) Ako je y > 0, drugi uvjet moºemo pomnoºiti s y i dobijemo y x y, tj. imamo dvije nejednakosti y x i y x. Za y < 0, kad drugi uvjet pomnoºimo s y dobijemo y x y, tj. y x i y x. Dakle, D(f) = {(x, y) R : (y > 0, y x y) ili (y < 0, y x y)}. Gra ki: Zadatak.3. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te gra ki predo ite rje²enje. () f(x, y) = arcsin x + xy () f(x, y) = arcsin x + arcsin( y) y (3) f(x, y) = ln x y + arccos x 3y x + y (4) f(x, y) = arcsin(ln(x + y)) (5) f(x, y) = ln 4x + 9y 36 x y + arcsin (x + y) (x + y) +

9 PARCIJALNE DERIVACIJE FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI.. Denicija parcijalnih derivacija Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0 ) D(f) su redom f x(x 0, y 0 ) = lim x 0 f y(x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y Ako funkcija z = f(x, y) ima parcijalne derivacije u svakoj to ki (x, y) iz svoje domene, onda su parcijalne derivacije te funkcije po varijablama x i y nove funkcije koje ra unamo kao odnosno f x(x, y) = lim x 0 f y(x, y) = lim y 0 f(x + x, y) f(x, y), x f(x, y + y) f(x, y). y Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) moºemo ra unati i na sljede i na in: ako ra unamo f x(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli x, onda varijablu y trebamo gledati kao konstantu; ako ra unamo f y(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli y, onda varijablu x trebamo gledati kao konstantu. 9

10 Diferencijalni ra un funkcija jedne varijable Neka je f : I R funkcija jedne varijable, te neka je x 0 I proizvoljna to ka iz domene funkcije y = f(x). Ako postoji grani na vrijednost f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x onda ju zovemo derivacija funkcije y = f(x) u to ki x 0. Ako je sad x I bilo koja to ka iz podru ja denicije funkcije y = f(x), onda grani nu vrijednost f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x), x ako postoji, zovemo derivacija funkcije y = f(x). Pravila deriviranja Neka su f, g : I R takve da imaju derivaciju za intervalu I. Tada vrijedi [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) (derivacija zbroja) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) (derivacija umno²ka) [ f(x) ] = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g (x) (derivacija kvocijenta) [f(g(x))] = f (g(x))g (x) (derivacija sloºene funkcije) [f (x)] = f (f (x)) (derivacija inverzne funkcije)

11 Tablica derivacija elementarnih funkcija Zadaci f(x) f (x) c 0 x x n x a x e x nx n x a x ln a e x log a x x ln a ln x x sin x cos x cos x sin x tgx cos x ctgx sin x arcsin x x arccos x x arctgx + x arcctgx + x Primjer.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije u to ki T (, ) za funkciju f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Iz denicije parcijalnih derivacija imamo: f x(, f( + x, ) f(, ) ) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 + x + ( x) x + x ( + x) ( ) ( + x) x ( x) = lim x 0 x = lim x = 0 x 0

12 f y(, f(, + y) f(, ) ) = lim y 0 x = lim y 0 = lim y 0 = lim y 0 + y y + y ( y) 3 y ( + y) y + y ( + y) ( = lim y 0 y( y 3) = lim y 0 ( + y) y ) y y ( y) y + y y = lim y 0 y 3 + y = 3 = 3 Zadatak.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = (x y) u to ki T (, ); () f(x, y) = xy u to ki T (3, ); (3) f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3). Primjer.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Za odrediti f x(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli x, i pritom varijablu y gledamo kao konstantu. f x(x, y) = d ( x ) dx y xy = y (x ) y (x) = y (x) y = x y y Za odrediti f y(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli y, i pritom varijablu x gledamo kao konstantu. f y(x, y) = d ( x ) ( ) dy y xy = x x (y) y ( = x ) x = x y y x

13 Napomena: Parcijalne derivacije zadane funkcije f u to ki T (, ) moºemo jednostavno izra- unati uvr²tavanjem koordinata to ke T redom u funkcije f x(x, y) i f y(x, y): f x(, ) = = = 0, f y(, ) = = = 3. Zadatak.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3); () f(x, y) = xy (x y) u to ki T (, ); (3) f(x, y) = ctg ln(x y) + xy + x y (4) f(x, y) = (x y 3x)e x+y + arcsin y.. Parcijalne derivacije vi²eg reda Parcijalnim deriviranjem funkcije dviju varijabli f : D R, D R dobivamo dvije nove funkcije dviju varijabli f x(x, y) = f (x, y), x f y(x, y) = f (x, y). y Parcijalno deriviraju i svaku od tih funkcija po obje varijable dobivamo etiri parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = f x (x, y), f xy(x, y) = y (f x(x, y)) = f (x, y), y x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = f x y (x, y), f yy(x, y) = y (f y(x, y)) = f y Schwarzov teorem. Ako su mje²ovite derivacije y na D R, onda su one jednake, tj. onda vrijedi y ( f ) (x, y) = x x ( f ) i x ( f ) (x, y). y x ( f y (x, y). ) neprekidne

14 Zadaci Primjer.3. Odredite sve parcijalne derivacije drugog reda za funkciju f(x, y) = 3x cos y xy, te pokaºite da za zadanu funkciju vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije prvog reda: f x(x, y) = (3x cos y xy) = 3 cos y y, x f y(x, y) = (3x cos y xy) = 3x sin y x. y Parcijalne derivacije drugog reda dobivamo deriviranjem parcijalnih derivacija prvog reda po varijablama x i y: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 0; x f xy (x, y) = y (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 3 sin y ; x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3 sin y ; x f yy (x, y) = y (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3x cos y; y Vidimo da je f xy (x, y) = f yx (x, y), pa jednakost u Schwarzovom teoremu vrijedi. Zadatak.3. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = ln(x y); () f(x, y) = xy + x y ; (3) f(x, y) = x y + y x ; (4) f(x, y) = arctg x y. Provjerite da li za zadane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu.

15 Primjer.4. Ako je z(x, y) = e x y, dokazati da vrijedi y z x y = z y z x. z Rje²enje: Prvo treba izra unati x y, z y i z. Zatim dobivene derivacije x treba uvrstiti u gornju jednakost i provjeriti da li je zadovoljena. ( y y e x y z x = x (e x y ) = y e x y, z x y = x x y 3 e x y ( z ) y ) Vidimo da jednakost vrijedi. Zadatak.4. Ako je z(x, y) = z y = y (e x x y ) = y e x y = ( x ) x y e x y = y e x x y y e x 3 y = x y e x y y e x y x y e x y y e x y xy, dokaºite da vrijedi x y z x + z x y + z y = x y. = x y e x y y e x y Zadatak.5. Ako je u(x, t) = arctg(x t), dokaºite da vrijedi u x + u x t = Parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcija Neka je funkcija z = z(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0 i neka je zadana to ka T (x 0, y 0, z 0 ). Pretpostavimo da su parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) neprekidne i da vrijedi F (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Ako je F z(x 0, y 0, z 0 ) 0, onda vrijedi z(x 0, y 0 ) = z 0, i parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y) ra unamo kao: z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z), z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z). Primjer.5. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadºbom x 3 z + yz =. Odredimo parcijalne derivacije te funkcije, te izra unajmo njihovu vrijednost u to ki T (,, z 0 > 0).

16 Rje²enje: Prvo trebamo denirati funkciju F (x, y, z) na na in da u jednadºbi kojom je implicitno zadana funkcija z = z(x, y) sve prebacimo na lijevu stranu i to proglasimo funkcijom F (x, y, z): F (x, y, z) = x 3 z + yz. Zatim ra unamo parcijalne derivacije funkcije F : F x(x, y, z) = 3x z; F y(x, y, z) = z ; F z(x, y, z) = x 3 + yz. Iz gornje formule lako dobivamo parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y): z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z) = 3x z x 3 + yz, z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z) = z x 3 + yz. Da bi izra unali vrijednost tih parcijalnih derivacija u to ki T (,, z 0 > 0), prvo trebamo odrediti vrijednost od z 0. Vrijedi z 0 = z(, ) i F (,, z 0 ) = 0. Odatle imamo: 3 z 0 + z0 = 0 z0 + z 0 = 0 z 0 = ± + 8, tj. z 0 = ili z 0 =. Po²to je u zadatku zadano z 0 > 0, uzimamo z 0 =. Sada uvr²tavanjem koordinata to ke T (,, ) u parcijalne derivacije z x i z y dobivamo: z x = 3x 0z 0 = 3 T x y 0 z = 3 3 = ; z y z0 = = T x y 0 z = 3. Zadatak.6. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () (x + y + z ) 3 =, T (0, 0, z 0 > 0); () ln(x + y z 3 ) = x, T (0, 9, z 0 ); (3) zx + sin(xyz) = 3, T (, 0, z 0 ).

17 3 PRIMJENA PARCIJALNIH DERIVACIJA FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI 3.. Diferencijal funkcija dviju varijabli Totalni prirast funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) je: z = f(x + x, y + y) f(x, y), gdje su x i y prirasti nezavisnih varijabli x i y funkcije f. Totalni diferencijal prvog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: dz = z x z (x, y)dx + (x, y)dy. y Ako su x i y dovoljno maleni, onda vrijedi dz = z, tj. vrijedi formula za pribliºno ra unanje (linearnu aproksimaciju) vrijednosti funkcije z = f(x, y) u to ki (x + x, y + y) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (x, y): f(x + x, y + y) f(x, y) + z z (x, y) x + (x, y) y. x y Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: d z = d(dz) = z x (x, y)dx + z x y (x, y)dxdy + z y (x, y)dy. 7

18 Zadaci Primjer 3.. Odredimo prvi i drugi diferencijal funkcije z = x + xy 3 + u to ki (, ). Rje²enje: Prvo trebamo odrediti prve parcijalne derivacije funkcije z: z x (x, y) = x + y3, z y (x, y) = 3xy. Odatle slijedi da je prvi diferencijal funkcije z jednak dz = (x + y 3 )dx + 3xy dy. Prvi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: dz(, ) = ( + 3 )dx + 3 dy = 5dx + 6dy. Za odrediti dugi diferencijal trebaju nam druge parcijalne derivacije: z (x, y) =, x z x y (x, y) = 3y, z (x, y) = 6xy. y Odatle slijedi da je drugi diferencijal funkcije z jednak d z = dx + 6y dxdy + 6xydy. Drugi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: d z = dx + 6 dxdy + 6 dy = dx + 6dxdy + dy. Zadatak 3.. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = x y u to ki T (, 3); () z = 8 x + x y + y; (3) z = ln x y x + y ; (4) z = x 4 sin(xy 3 ) u to ki T (, 0); (5) z = sin e x y.

19 Primjer 3.. Pribliºno izra unajmo vrijednost Rje²enje: Trebamo denirati funkciju z = x + y. Vidimo da je = f(4.05,.93), pa moºemo koristiti formulu za pribliºno ra unanje vrijednosti funkcije z = x + y u to ki (4.05,.93) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (4, 3). Vrijedi: x = = 0.5; y =.93 3 = 0.7; z x (x, y) = x + y x = x x + y z x (4, 3) = = 4 5 ; z y (x, y) = x + y y = y x + y z y (4, 3) = = 3 5 ; Uvr²tavanjem u formulu za pribliºno ra unanje dobivamo: ( 0.07) = Stvarna vrijednost je = = Zadatak 3.. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () ; () ln( ); (3) Tangencijalna ravnina Neka je T (x 0, y 0, z 0 ) neka to ka koja pripada plohi zadanoj eksplicitno jednadºbom z = f(x, y). Jednadºba tangencijalne ravnine na zadanu plohu, tj. na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), je z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). Jednadºba normale na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 f x(x 0, y 0 ) = y y 0 f y(x 0, y 0 ) = z z 0.

20 Ako je funkcija z = f(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, onda jednadºba tangencijalne ravnine na plohu F (x, y, z) = 0 u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), glasi F x(x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z(x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0, a jednadºba normale na tu plohu u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 F x(x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F y(x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F z(x 0, y 0, z 0 ). Zadaci Primjer 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x y u to ki T (,, 4) koja se nalazi na danoj plohi. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije funkcije z = x y u to ki (, ): z x(x, y) = xy z x(, ) = = 4; z y(x, y) = x z y(, ) = = 4. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu dobijemo: Π t... z 4 = 4(x ) + 4(y ) Π t... 4x + 4y z 8 = 0 n... x 4 = y 4 = z 4. Zadatak 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = y x y x + 6y u to ki T (4,, z 0 ) sa te plohe. Primjer 3.4. Odredite tangencijalnu ravninu i normalu u to ki T (x 0 > 0,, ) na plohu zadanu jednadºbom xz + x y = 6. Rje²enje: Prvo treba odrediti x 0. To ka T (x 0 > 0,, ) pripada plohi, pa zadovoljava jednadºbu xz + x y = 6. Vrijedi: x 0 + x 0 = 6 x 0 + x 0 6 = 0 x 0 =, x 0 = 3

21 Zbog uvjeta x 0 > 0 zaklju ujemo da je x 0 = 3 T (3,, ). Trebaju nam prve parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) = xz + x y 6 u to ki T ( 3,, ): F x(x, y, z) = z + xy F x( 3,, ) = + 3 = 7; F y(x, y, z) = x F y( 3,, ) = ( 3 ) = 9 4 ; F z(x, y, z) = xz F z( 3 3,, ) = = 3. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu na plohu zadanu implicitno dobijemo: Π t... 7(x 3 ) (y ) + 3(z ) = 0 Π t... 8x + 9y + z 7 = 0, n... x 3 7 = y 9 4 = z 3. Zadatak 3.4. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x + y + 3z = 5 u to ki T (, y 0 > 0, ) koja pripada toj plohi. Primjer 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na hiperboloid x y +z = koja je paralelna s ravninom Π... x y + z = ln. Rje²enje: Vidimo da je na²a ploha zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, gdje je F (x, y, z) = x y + z. Dvije ravnine su paralelne ako i samo ako su im vektori smjera kolinearni. Vektor smjera ravnine Π je n = {,, }, a vektor smjera traºene tangencijalne ravnine je n t = {F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )}, gdje je T (x 0, y 0, z 0 ) to ka sa hiperboloida u kojoj povla imo tangentu (koordinate te to ke nam trebaju za odrediti jednadºbu tangente). Njaprije trebamo izra unati parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z): F x(x, y, z) = x F x(x 0, y 0, z 0 ) = x 0 ;

22 F y(x, y, z) = y F y(x 0, y 0, z 0 ) = y 0 ; F z(x, y, z) = z F z(x 0, y 0, z 0 ) = z 0. Iz uvjeta paralelnosti dviju ravnina imamo: (F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )) = λ(,, ), tj. (x 0, y 0, z 0 ) = λ(,, ). Dobili smo sustav jednadºbi: x 0 = λ x 0 = λ y 0 = λ y 0 = λ z 0 = λ z 0 = λ. Po²to se to ka T (x 0, y 0, z 0 ) = ( λ, λ, λ) nalazi na danom elipsoidu, njene koordinate moraju zadovoljavati jednadºbu tog elipsoida, pa imamo: x 0 y 0 + z 0 = 4 λ 4 λ + λ = λ = Dobili smo dvije vrijednosti λ =, λ =, pa emo imati dvije tangencijalne ravnine na hiperboloid koje su paralelne sa zadanom ravninom: ( za λ = imamo T =, ), i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t... (x ) (y ) + (z ) = 0, tj. Π t... x y + z = ; ( za λ = imamo T = ),, i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t (x + ) + (y + ) (z + ) = 0, tj. Π t... x y + z =. Zadatak 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na plohu zadanu jednadºbom x y + z = koja je paralelna s ravninom Π... x + y + 3z =.

23 3.3. Ekstremi Nuºan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): f x(x, y) = 0 f y(x, y) = 0 Neka to ka T (x 0, y 0 ) zadovoljava nuºni uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Tada ju zovemo stacionarna to ka funkcije z = f(x, y). Ne moraju sve stacionarne to ke biti ekstremi funkcije, potrebno je provjeriti dodatne uvjete. Ozna imo: A = fxx(x 0, y 0 ) B = f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) C = f yy (x 0, y 0 ) D = A B B C = A C B = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) fxy(x 0, y 0 ) Dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): ako je D > 0, onda funkcija u toj to ki ima ekstrem, i to: maksimum ako je f xx (x 0, y 0 ) < 0; minimum, ako je f xx (x 0, y 0 ) > 0; ako je D < 0, onda funkcija u toj to ki nema ekstrem, nego sedlastu to ku (analogon to ke ineksije kod funkcija jedne varijable); ako je D = 0, onda u stacionarnoj to ki moºe, ali ne mora biti ekstrem. U tom slu aju treba ispitivati na sloºeniji na in. Zadaci Primjer 3.6. Odredimo lokalne ekstreme funkcije z = x 3 + 8y 3 6xy + 5.

24 Rje²enje: Prvo treba odrediti stacionarne to ke dane funkcije. Njih dobivamo kao rje²enja sustava f x(x, y) = 3x 6y = 0 f y(x, y) = 4y 6x = 0 x = 4y Uvr²tavanjem u prvu jednadºbu sustava dobijemo: 3(4y ) 6y = 0 48y 4 6y = 0 8y 4 y = 0 y(8y 3 ) = 0, tj. dobili smo y = 0 i 8y 3 = 0 y 3 = 8 y = (. Imamo dvije stacionarne to ke: T (0, 0) i T, ). Za provjeriti da li su dobivene stacionarne to ke ekstremi funkcije trebaju nam parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = 6x f x,y (x, y) = 6 f y,y (x, y) = 48y Provjeravamo prvo za to ku T (0, 0): A = 0, B = 6, C = 0. D = A B B C = = 36 < 0 U to ki T (0, 0) funkcija nema ekstrem, nego sedlastu to ku. ( Jo² trebamo provjeriti za to ku T, ) : A = 6, B = 6, C = 4. D = A B B C = = = 08 > 0 ( U to ki T, ) ( funkcija ima ekstrem, i to minimum jer je f xx, ) = 6 > 0. Zadatak 3.6. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = x 3 3xy y 3 ; () z = x 4 + y 4 x y. Zadatak 3.7. Ispitajte da li funkcija z = x ln(x + y) ima ekstrema u podru ju denicije (domeni).

25 4 ZADACI ZA SAMOSTALNU VJEšBU Zadatak 4.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x + y x () f(x, y) = ln(x y 3) + 4 x y + x (3) f(x, y) = ln x x 3y + arccos y x + y (4) f(x, y) = log x (3 y) (5) f(x, y) = ln(36 9x 4y ) x + y + arccos x + y Zadatak 4.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = xy; () f(x, y) = (x y) 3 ; (3) f(x, y) = xy u to ki T (, ); (4) f(x, y) = (x y) 3 u to ki T (, ). 5

26 Zadatak 4.3. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = ln(x + y + ) u to ki T (, ); () f(x, y) = arctg x y cos (3x y); (3) f(x, y) = log 3 (y 4 x 5 ) + xex +y y Zadatak 4.4. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = 9 x 3 y + xy x + 3y; () f(x, y) = xy; (3) f(x, y) = 4 x x y + 4y3 ; (4) f(x, y) = sin x sin y + sin(x y). Provjerite da li za dane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. ( Zadatak 4.5. Ako je s(x, t) = ln x ), dokaºite da vrijedi s t x + s x t = x. Zadatak 4.6. Ako je f(x, y) = e x y, dokaºite da vrijedi f x + f y = 4f(x, y)(x + y ). Zadatak 4.7. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sa z = + y x + z y.. Zadatak 4.8. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () xz + x + x + y + 5 = 0, T (, 0, z 0 < 0); () x cos y + y cos z + z cosx = π, T ( π 3, 0, z 0).

27 Zadatak 4.9. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = 9 x 3 y + xy x + 3y u to ki T (, ); () z = x, y u to ki T (, ); (3) z = e x y ; (4) z = x 3 ln + xy 3 5 u to ki T (, 0); (5) z = 3x 5 7x 3 y; (6) z = x cos(xy). Zadatak 4.0. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () arctg ; () ; (3) Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x xy + y x + y u to ki T (,, ) sa zadane plohe. Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x y + z = 3 u to ki T (,, z 0 < 0) koja se nalazi na danoj plohi. Zadatak 4.3. Odredite x jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu z = xy koja je okomita na pravac = y π = z + 3. Zadatak 4.4. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = 3x xy + y 8y; () z = x + y + xy ; (3) z = x + y e ; (4) z = y x y x + 6y.

Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla

Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Obi ne diferencijalne jednadºbe

Obi ne diferencijalne jednadºbe VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 2 Svojsva derivacija. Derivacije elemenarnih funkcija Lekcije iz Maemaike. 2. Svojsva derivacija. Derivacije elemenarnih funkcija. I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija

1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija Slika Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija. Limesi funkcija Zajedni ko svim varijantama esa funkcije je da se opisuju (procjenjuju) vrijednosti zadane funkcije u okolini neke vrijednost varijable.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora Lekcije iz Matematike 1. 7. Pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija

Elementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija Elementarna matematika - Analiti ka geometrija Pravci i ravnine u prostoru. Odredite jednadºbu pravca koji prolazi ishodi²tem i sije e pravce s jednadºbama x 7 0 = y 3 = z 5, x + 3 = y = z + 9.. Odredite

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Poglavlje Integral. Neodreženi integral Neka je zadana funkcija f : (a, b) R: Funkcija F : (a, b) R za koju je F () = f() za svaki (a, b) naziva se

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα