FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)"

Transcript

1 FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03.

2

3 UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije realne varijable jest pitanje domene, tj. podru ja u ravnini R na kojem je funkcija denirana - traºimo skup svih to aka (x, y) iz ravnine za koje moºemo izra unati vrijednost funkcije. Pritom skiciramo skup svih to aka domene u koordinatnoj ravnini jer nam esto sam zapis za domenu ne govori previ²e. Funkcije koje emo promatrati su kompozicije nekoliko elementarnih funkcija, i zato se trebamo ukratko prisjetiti koje su njihove domene. Pritom emo elementarne funkcije promatrati kao funkcije jedne varijable, jer je bitno uo iti uvjet koji mora vrijediti na argument funkcije koju promatramo, bila to funkcija jedne ili vi²e varijabli. Do domene zadane funkcije dolazimo rje²avanjem svih uvjeta. Elementarne funkcije jedne varijable Polinomi. Polinom stupnja n N 0 je funkcija P : R R denirana s P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0, gdje su a 0, a,..., a n realni brojevi takvi da je a n 0. Brojeve a 0, a,..., a n zovemo koecijentima polinoma. Koecijent a n zovemo vode i koecijent, a a 0 slobodni koecijent. Stupanj polinoma je najve a potencija nepoznanice x. Domena polinoma je itav R, tj. nema ograni enja na domeni. 3

4 Racionalna funkcija. Neka su P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 i Q(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 polinomi. Funkciju f(x) = P (x) Q(x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0 zovemo racionalna funkcija. Ona je denirana za sve x R takve da je Q(x) 0, tj. D(f) = {x R : Q(x) 0}. Uvjet koji pamtimo: Nazivnik razlomka mora biti razli it od nule. Korijen. f(x) = n x. Tu razlikujemo dva slu aja kod odreživanja domene: ako je n = k, k N, tj. ako je n neparan, onda je domena itav R; ako je n = k, k N, tj. ako je n paran, onda su domena svi nenegativni realni brojevi, tj. D(f) = [0, +. Uvjet koji pamtimo: Izraz ispod parnog korijena mora biti ve i ili jednak nuli. Eksponencijalna funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Funkcija f(x) = a x denirana za svaki x R zove se eksponencijalna funkcija baze a. Domena eksponencijalne funkcije je itav R (nema ograni enja na domeni). Svojstva eksponencijalne funkcije: Injektivnost: a x = a x x = x. Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi a x < a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi a x > a x. Logaritamska funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Eksponencijalna funkcija baze a je bijekcija. Njen inverz je logaritamska funkcija s bazom a, f(x) = log a x koja je denirana samo za strogo pozitivne brojeve. Domena logaritamske funkcije je D(f) = 0, +. Svojstva logaritamske funkcije: Injektivnost: log a x = log a x x = x.

5 Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi log a x < log a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi log a x > log a x. Uvjeti koji pamtimo: Izraz pod logaritmom mora biti strogo ve i od nule. Baza logaritma mora biti strogo ve a od nule i razli ita od jedinice. Trigonometrijske funkcije. Funkcije sinus i kosinus, sin: R [, ], cos: R [, ], denirane su za sve realne brojeve, tj. njihova domena je itav R (nemaju ograni enja na domenama). Funkcija tangens denirana je kao tgx = sin x. Po²to je tu rije o razlomku, cos x nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. cos x 0, pa je domena funkcije f(x) = tgx upravo D(f) = R \ {x : cos x 0} = R \ { π + kπ, k Z}. Dakle, vrijedi tg : R \ { π + kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod tangensom mora biti razli it od π svaki k Z. + kπ za Funkcija kotangens denirana je kao ctgx = cos x sin x. Po²to je i tu rije o razlomku, nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. sin x 0, pa je domena funkcije f(x) = ctgx upravo D(f) = R \ {x : sin x 0} = R \ {kπ, k Z}. Dakle, vrijedi ctg : R \ {kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod kotangensom mora biti razli it od kπ za svaki k Z. Ciklometrijske (arkus) funkcije su inverzne funkcije odgovaraju ih restrikcija trigonometrijskih funkcija. Funkcija arkus sinus, f(x) = arcsin x, je inverzna funkcija restrikcije sinusa na interval [ π, π ] pa vrijedi arcsin: [, ] [ π, π ], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ].

6 Funkcija arkus kosinus, f(x) = arccos x, je inverzna funkcija restrikcije kosinusa na interval [0, π] pa vrijedi arccos: [, ] [0, π], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ]. Uvjet koji pamtimo: Izraz koji se nalazi pod funkcijom arkus sinus ili arkus kosinus mora biti po apsolutnoj vrijednosti manji ili jednak jedan. Funkcija arkus tangens, f(x) = arctgx, je inverzna funkcija restrikcije tangensa na interval π, π pa vrijedi arctg: R π, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Funkcija arkus kotangens, f(x) = arcctgx, je inverzna funkcija restrikcije kotangensa na interval 0, π pa vrijedi arcctg: R 0, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Zadaci Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = 4 x y, te gra ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Postavljamo uvjete: () 4 x y 0 (zbog korijena) () 4 x y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) Ako kvadriramo drugi uvjet, dobijemo 4 x y 0, tj. x + y 4. Iz prvog uvjeta imamo x + y 4, pa nam ta dva uvjeta zajedno daju x +y < 4. Dakle, domena funkcije f je D(f) = {(x, y) R : x +y < 4}. Gra ki, domena funkcije f je krug radijusa sa sredi²tem u ishodi²tu bez granica:

7 Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x y () f(x, y) = (4x + y 6)(9 x y ) Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = ln(x y) x ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Imamo sljede e uvjete: () x 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y > 0 (zbog logaritma), te gra- Iz drugog uvjeta imamo y < x, pa je domena funkcije f upravo skup D(f) = {(x, y) R : x 0, y < x }. Gra ki, domena od f je dio ravnine ispod parabole y = x bez granica i bez pravca x = 0. Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = log x ( y) 8x 6y + x + y () f(x, y) = log(xy) ( y 3x ) (3) f(x, y) = ln + 4 x x y y

8 (4) f(x, y) = ln(y + x ) ln(x y ) (5) f(x, y) = ln[x ln(y x)] Primjer.3. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = arcsin x, te rje²enje y gra ki prikaºite u ravnini. Rje²enje. Postavljamo sljede e uvjete: () y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y (zbog arkus sinusa) Ako je y > 0, drugi uvjet moºemo pomnoºiti s y i dobijemo y x y, tj. imamo dvije nejednakosti y x i y x. Za y < 0, kad drugi uvjet pomnoºimo s y dobijemo y x y, tj. y x i y x. Dakle, D(f) = {(x, y) R : (y > 0, y x y) ili (y < 0, y x y)}. Gra ki: Zadatak.3. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te gra ki predo ite rje²enje. () f(x, y) = arcsin x + xy () f(x, y) = arcsin x + arcsin( y) y (3) f(x, y) = ln x y + arccos x 3y x + y (4) f(x, y) = arcsin(ln(x + y)) (5) f(x, y) = ln 4x + 9y 36 x y + arcsin (x + y) (x + y) +

9 PARCIJALNE DERIVACIJE FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI.. Denicija parcijalnih derivacija Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0 ) D(f) su redom f x(x 0, y 0 ) = lim x 0 f y(x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y Ako funkcija z = f(x, y) ima parcijalne derivacije u svakoj to ki (x, y) iz svoje domene, onda su parcijalne derivacije te funkcije po varijablama x i y nove funkcije koje ra unamo kao odnosno f x(x, y) = lim x 0 f y(x, y) = lim y 0 f(x + x, y) f(x, y), x f(x, y + y) f(x, y). y Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) moºemo ra unati i na sljede i na in: ako ra unamo f x(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli x, onda varijablu y trebamo gledati kao konstantu; ako ra unamo f y(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli y, onda varijablu x trebamo gledati kao konstantu. 9

10 Diferencijalni ra un funkcija jedne varijable Neka je f : I R funkcija jedne varijable, te neka je x 0 I proizvoljna to ka iz domene funkcije y = f(x). Ako postoji grani na vrijednost f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x onda ju zovemo derivacija funkcije y = f(x) u to ki x 0. Ako je sad x I bilo koja to ka iz podru ja denicije funkcije y = f(x), onda grani nu vrijednost f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x), x ako postoji, zovemo derivacija funkcije y = f(x). Pravila deriviranja Neka su f, g : I R takve da imaju derivaciju za intervalu I. Tada vrijedi [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) (derivacija zbroja) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) (derivacija umno²ka) [ f(x) ] = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g (x) (derivacija kvocijenta) [f(g(x))] = f (g(x))g (x) (derivacija sloºene funkcije) [f (x)] = f (f (x)) (derivacija inverzne funkcije)

11 Tablica derivacija elementarnih funkcija Zadaci f(x) f (x) c 0 x x n x a x e x nx n x a x ln a e x log a x x ln a ln x x sin x cos x cos x sin x tgx cos x ctgx sin x arcsin x x arccos x x arctgx + x arcctgx + x Primjer.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije u to ki T (, ) za funkciju f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Iz denicije parcijalnih derivacija imamo: f x(, f( + x, ) f(, ) ) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 + x + ( x) x + x ( + x) ( ) ( + x) x ( x) = lim x 0 x = lim x = 0 x 0

12 f y(, f(, + y) f(, ) ) = lim y 0 x = lim y 0 = lim y 0 = lim y 0 + y y + y ( y) 3 y ( + y) y + y ( + y) ( = lim y 0 y( y 3) = lim y 0 ( + y) y ) y y ( y) y + y y = lim y 0 y 3 + y = 3 = 3 Zadatak.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = (x y) u to ki T (, ); () f(x, y) = xy u to ki T (3, ); (3) f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3). Primjer.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Za odrediti f x(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli x, i pritom varijablu y gledamo kao konstantu. f x(x, y) = d ( x ) dx y xy = y (x ) y (x) = y (x) y = x y y Za odrediti f y(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli y, i pritom varijablu x gledamo kao konstantu. f y(x, y) = d ( x ) ( ) dy y xy = x x (y) y ( = x ) x = x y y x

13 Napomena: Parcijalne derivacije zadane funkcije f u to ki T (, ) moºemo jednostavno izra- unati uvr²tavanjem koordinata to ke T redom u funkcije f x(x, y) i f y(x, y): f x(, ) = = = 0, f y(, ) = = = 3. Zadatak.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3); () f(x, y) = xy (x y) u to ki T (, ); (3) f(x, y) = ctg ln(x y) + xy + x y (4) f(x, y) = (x y 3x)e x+y + arcsin y.. Parcijalne derivacije vi²eg reda Parcijalnim deriviranjem funkcije dviju varijabli f : D R, D R dobivamo dvije nove funkcije dviju varijabli f x(x, y) = f (x, y), x f y(x, y) = f (x, y). y Parcijalno deriviraju i svaku od tih funkcija po obje varijable dobivamo etiri parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = f x (x, y), f xy(x, y) = y (f x(x, y)) = f (x, y), y x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = f x y (x, y), f yy(x, y) = y (f y(x, y)) = f y Schwarzov teorem. Ako su mje²ovite derivacije y na D R, onda su one jednake, tj. onda vrijedi y ( f ) (x, y) = x x ( f ) i x ( f ) (x, y). y x ( f y (x, y). ) neprekidne

14 Zadaci Primjer.3. Odredite sve parcijalne derivacije drugog reda za funkciju f(x, y) = 3x cos y xy, te pokaºite da za zadanu funkciju vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije prvog reda: f x(x, y) = (3x cos y xy) = 3 cos y y, x f y(x, y) = (3x cos y xy) = 3x sin y x. y Parcijalne derivacije drugog reda dobivamo deriviranjem parcijalnih derivacija prvog reda po varijablama x i y: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 0; x f xy (x, y) = y (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 3 sin y ; x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3 sin y ; x f yy (x, y) = y (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3x cos y; y Vidimo da je f xy (x, y) = f yx (x, y), pa jednakost u Schwarzovom teoremu vrijedi. Zadatak.3. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = ln(x y); () f(x, y) = xy + x y ; (3) f(x, y) = x y + y x ; (4) f(x, y) = arctg x y. Provjerite da li za zadane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu.

15 Primjer.4. Ako je z(x, y) = e x y, dokazati da vrijedi y z x y = z y z x. z Rje²enje: Prvo treba izra unati x y, z y i z. Zatim dobivene derivacije x treba uvrstiti u gornju jednakost i provjeriti da li je zadovoljena. ( y y e x y z x = x (e x y ) = y e x y, z x y = x x y 3 e x y ( z ) y ) Vidimo da jednakost vrijedi. Zadatak.4. Ako je z(x, y) = z y = y (e x x y ) = y e x y = ( x ) x y e x y = y e x x y y e x 3 y = x y e x y y e x y x y e x y y e x y xy, dokaºite da vrijedi x y z x + z x y + z y = x y. = x y e x y y e x y Zadatak.5. Ako je u(x, t) = arctg(x t), dokaºite da vrijedi u x + u x t = Parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcija Neka je funkcija z = z(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0 i neka je zadana to ka T (x 0, y 0, z 0 ). Pretpostavimo da su parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) neprekidne i da vrijedi F (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Ako je F z(x 0, y 0, z 0 ) 0, onda vrijedi z(x 0, y 0 ) = z 0, i parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y) ra unamo kao: z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z), z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z). Primjer.5. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadºbom x 3 z + yz =. Odredimo parcijalne derivacije te funkcije, te izra unajmo njihovu vrijednost u to ki T (,, z 0 > 0).

16 Rje²enje: Prvo trebamo denirati funkciju F (x, y, z) na na in da u jednadºbi kojom je implicitno zadana funkcija z = z(x, y) sve prebacimo na lijevu stranu i to proglasimo funkcijom F (x, y, z): F (x, y, z) = x 3 z + yz. Zatim ra unamo parcijalne derivacije funkcije F : F x(x, y, z) = 3x z; F y(x, y, z) = z ; F z(x, y, z) = x 3 + yz. Iz gornje formule lako dobivamo parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y): z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z) = 3x z x 3 + yz, z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z) = z x 3 + yz. Da bi izra unali vrijednost tih parcijalnih derivacija u to ki T (,, z 0 > 0), prvo trebamo odrediti vrijednost od z 0. Vrijedi z 0 = z(, ) i F (,, z 0 ) = 0. Odatle imamo: 3 z 0 + z0 = 0 z0 + z 0 = 0 z 0 = ± + 8, tj. z 0 = ili z 0 =. Po²to je u zadatku zadano z 0 > 0, uzimamo z 0 =. Sada uvr²tavanjem koordinata to ke T (,, ) u parcijalne derivacije z x i z y dobivamo: z x = 3x 0z 0 = 3 T x y 0 z = 3 3 = ; z y z0 = = T x y 0 z = 3. Zadatak.6. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () (x + y + z ) 3 =, T (0, 0, z 0 > 0); () ln(x + y z 3 ) = x, T (0, 9, z 0 ); (3) zx + sin(xyz) = 3, T (, 0, z 0 ).

17 3 PRIMJENA PARCIJALNIH DERIVACIJA FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI 3.. Diferencijal funkcija dviju varijabli Totalni prirast funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) je: z = f(x + x, y + y) f(x, y), gdje su x i y prirasti nezavisnih varijabli x i y funkcije f. Totalni diferencijal prvog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: dz = z x z (x, y)dx + (x, y)dy. y Ako su x i y dovoljno maleni, onda vrijedi dz = z, tj. vrijedi formula za pribliºno ra unanje (linearnu aproksimaciju) vrijednosti funkcije z = f(x, y) u to ki (x + x, y + y) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (x, y): f(x + x, y + y) f(x, y) + z z (x, y) x + (x, y) y. x y Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: d z = d(dz) = z x (x, y)dx + z x y (x, y)dxdy + z y (x, y)dy. 7

18 Zadaci Primjer 3.. Odredimo prvi i drugi diferencijal funkcije z = x + xy 3 + u to ki (, ). Rje²enje: Prvo trebamo odrediti prve parcijalne derivacije funkcije z: z x (x, y) = x + y3, z y (x, y) = 3xy. Odatle slijedi da je prvi diferencijal funkcije z jednak dz = (x + y 3 )dx + 3xy dy. Prvi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: dz(, ) = ( + 3 )dx + 3 dy = 5dx + 6dy. Za odrediti dugi diferencijal trebaju nam druge parcijalne derivacije: z (x, y) =, x z x y (x, y) = 3y, z (x, y) = 6xy. y Odatle slijedi da je drugi diferencijal funkcije z jednak d z = dx + 6y dxdy + 6xydy. Drugi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: d z = dx + 6 dxdy + 6 dy = dx + 6dxdy + dy. Zadatak 3.. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = x y u to ki T (, 3); () z = 8 x + x y + y; (3) z = ln x y x + y ; (4) z = x 4 sin(xy 3 ) u to ki T (, 0); (5) z = sin e x y.

19 Primjer 3.. Pribliºno izra unajmo vrijednost Rje²enje: Trebamo denirati funkciju z = x + y. Vidimo da je = f(4.05,.93), pa moºemo koristiti formulu za pribliºno ra unanje vrijednosti funkcije z = x + y u to ki (4.05,.93) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (4, 3). Vrijedi: x = = 0.5; y =.93 3 = 0.7; z x (x, y) = x + y x = x x + y z x (4, 3) = = 4 5 ; z y (x, y) = x + y y = y x + y z y (4, 3) = = 3 5 ; Uvr²tavanjem u formulu za pribliºno ra unanje dobivamo: ( 0.07) = Stvarna vrijednost je = = Zadatak 3.. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () ; () ln( ); (3) Tangencijalna ravnina Neka je T (x 0, y 0, z 0 ) neka to ka koja pripada plohi zadanoj eksplicitno jednadºbom z = f(x, y). Jednadºba tangencijalne ravnine na zadanu plohu, tj. na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), je z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). Jednadºba normale na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 f x(x 0, y 0 ) = y y 0 f y(x 0, y 0 ) = z z 0.

20 Ako je funkcija z = f(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, onda jednadºba tangencijalne ravnine na plohu F (x, y, z) = 0 u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), glasi F x(x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z(x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0, a jednadºba normale na tu plohu u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 F x(x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F y(x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F z(x 0, y 0, z 0 ). Zadaci Primjer 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x y u to ki T (,, 4) koja se nalazi na danoj plohi. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije funkcije z = x y u to ki (, ): z x(x, y) = xy z x(, ) = = 4; z y(x, y) = x z y(, ) = = 4. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu dobijemo: Π t... z 4 = 4(x ) + 4(y ) Π t... 4x + 4y z 8 = 0 n... x 4 = y 4 = z 4. Zadatak 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = y x y x + 6y u to ki T (4,, z 0 ) sa te plohe. Primjer 3.4. Odredite tangencijalnu ravninu i normalu u to ki T (x 0 > 0,, ) na plohu zadanu jednadºbom xz + x y = 6. Rje²enje: Prvo treba odrediti x 0. To ka T (x 0 > 0,, ) pripada plohi, pa zadovoljava jednadºbu xz + x y = 6. Vrijedi: x 0 + x 0 = 6 x 0 + x 0 6 = 0 x 0 =, x 0 = 3

21 Zbog uvjeta x 0 > 0 zaklju ujemo da je x 0 = 3 T (3,, ). Trebaju nam prve parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) = xz + x y 6 u to ki T ( 3,, ): F x(x, y, z) = z + xy F x( 3,, ) = + 3 = 7; F y(x, y, z) = x F y( 3,, ) = ( 3 ) = 9 4 ; F z(x, y, z) = xz F z( 3 3,, ) = = 3. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu na plohu zadanu implicitno dobijemo: Π t... 7(x 3 ) (y ) + 3(z ) = 0 Π t... 8x + 9y + z 7 = 0, n... x 3 7 = y 9 4 = z 3. Zadatak 3.4. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x + y + 3z = 5 u to ki T (, y 0 > 0, ) koja pripada toj plohi. Primjer 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na hiperboloid x y +z = koja je paralelna s ravninom Π... x y + z = ln. Rje²enje: Vidimo da je na²a ploha zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, gdje je F (x, y, z) = x y + z. Dvije ravnine su paralelne ako i samo ako su im vektori smjera kolinearni. Vektor smjera ravnine Π je n = {,, }, a vektor smjera traºene tangencijalne ravnine je n t = {F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )}, gdje je T (x 0, y 0, z 0 ) to ka sa hiperboloida u kojoj povla imo tangentu (koordinate te to ke nam trebaju za odrediti jednadºbu tangente). Njaprije trebamo izra unati parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z): F x(x, y, z) = x F x(x 0, y 0, z 0 ) = x 0 ;

22 F y(x, y, z) = y F y(x 0, y 0, z 0 ) = y 0 ; F z(x, y, z) = z F z(x 0, y 0, z 0 ) = z 0. Iz uvjeta paralelnosti dviju ravnina imamo: (F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )) = λ(,, ), tj. (x 0, y 0, z 0 ) = λ(,, ). Dobili smo sustav jednadºbi: x 0 = λ x 0 = λ y 0 = λ y 0 = λ z 0 = λ z 0 = λ. Po²to se to ka T (x 0, y 0, z 0 ) = ( λ, λ, λ) nalazi na danom elipsoidu, njene koordinate moraju zadovoljavati jednadºbu tog elipsoida, pa imamo: x 0 y 0 + z 0 = 4 λ 4 λ + λ = λ = Dobili smo dvije vrijednosti λ =, λ =, pa emo imati dvije tangencijalne ravnine na hiperboloid koje su paralelne sa zadanom ravninom: ( za λ = imamo T =, ), i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t... (x ) (y ) + (z ) = 0, tj. Π t... x y + z = ; ( za λ = imamo T = ),, i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t (x + ) + (y + ) (z + ) = 0, tj. Π t... x y + z =. Zadatak 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na plohu zadanu jednadºbom x y + z = koja je paralelna s ravninom Π... x + y + 3z =.

23 3.3. Ekstremi Nuºan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): f x(x, y) = 0 f y(x, y) = 0 Neka to ka T (x 0, y 0 ) zadovoljava nuºni uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Tada ju zovemo stacionarna to ka funkcije z = f(x, y). Ne moraju sve stacionarne to ke biti ekstremi funkcije, potrebno je provjeriti dodatne uvjete. Ozna imo: A = fxx(x 0, y 0 ) B = f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) C = f yy (x 0, y 0 ) D = A B B C = A C B = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) fxy(x 0, y 0 ) Dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): ako je D > 0, onda funkcija u toj to ki ima ekstrem, i to: maksimum ako je f xx (x 0, y 0 ) < 0; minimum, ako je f xx (x 0, y 0 ) > 0; ako je D < 0, onda funkcija u toj to ki nema ekstrem, nego sedlastu to ku (analogon to ke ineksije kod funkcija jedne varijable); ako je D = 0, onda u stacionarnoj to ki moºe, ali ne mora biti ekstrem. U tom slu aju treba ispitivati na sloºeniji na in. Zadaci Primjer 3.6. Odredimo lokalne ekstreme funkcije z = x 3 + 8y 3 6xy + 5.

24 Rje²enje: Prvo treba odrediti stacionarne to ke dane funkcije. Njih dobivamo kao rje²enja sustava f x(x, y) = 3x 6y = 0 f y(x, y) = 4y 6x = 0 x = 4y Uvr²tavanjem u prvu jednadºbu sustava dobijemo: 3(4y ) 6y = 0 48y 4 6y = 0 8y 4 y = 0 y(8y 3 ) = 0, tj. dobili smo y = 0 i 8y 3 = 0 y 3 = 8 y = (. Imamo dvije stacionarne to ke: T (0, 0) i T, ). Za provjeriti da li su dobivene stacionarne to ke ekstremi funkcije trebaju nam parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = 6x f x,y (x, y) = 6 f y,y (x, y) = 48y Provjeravamo prvo za to ku T (0, 0): A = 0, B = 6, C = 0. D = A B B C = = 36 < 0 U to ki T (0, 0) funkcija nema ekstrem, nego sedlastu to ku. ( Jo² trebamo provjeriti za to ku T, ) : A = 6, B = 6, C = 4. D = A B B C = = = 08 > 0 ( U to ki T, ) ( funkcija ima ekstrem, i to minimum jer je f xx, ) = 6 > 0. Zadatak 3.6. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = x 3 3xy y 3 ; () z = x 4 + y 4 x y. Zadatak 3.7. Ispitajte da li funkcija z = x ln(x + y) ima ekstrema u podru ju denicije (domeni).

25 4 ZADACI ZA SAMOSTALNU VJEšBU Zadatak 4.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x + y x () f(x, y) = ln(x y 3) + 4 x y + x (3) f(x, y) = ln x x 3y + arccos y x + y (4) f(x, y) = log x (3 y) (5) f(x, y) = ln(36 9x 4y ) x + y + arccos x + y Zadatak 4.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = xy; () f(x, y) = (x y) 3 ; (3) f(x, y) = xy u to ki T (, ); (4) f(x, y) = (x y) 3 u to ki T (, ). 5

26 Zadatak 4.3. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = ln(x + y + ) u to ki T (, ); () f(x, y) = arctg x y cos (3x y); (3) f(x, y) = log 3 (y 4 x 5 ) + xex +y y Zadatak 4.4. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = 9 x 3 y + xy x + 3y; () f(x, y) = xy; (3) f(x, y) = 4 x x y + 4y3 ; (4) f(x, y) = sin x sin y + sin(x y). Provjerite da li za dane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. ( Zadatak 4.5. Ako je s(x, t) = ln x ), dokaºite da vrijedi s t x + s x t = x. Zadatak 4.6. Ako je f(x, y) = e x y, dokaºite da vrijedi f x + f y = 4f(x, y)(x + y ). Zadatak 4.7. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sa z = + y x + z y.. Zadatak 4.8. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () xz + x + x + y + 5 = 0, T (, 0, z 0 < 0); () x cos y + y cos z + z cosx = π, T ( π 3, 0, z 0).

27 Zadatak 4.9. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = 9 x 3 y + xy x + 3y u to ki T (, ); () z = x, y u to ki T (, ); (3) z = e x y ; (4) z = x 3 ln + xy 3 5 u to ki T (, 0); (5) z = 3x 5 7x 3 y; (6) z = x cos(xy). Zadatak 4.0. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () arctg ; () ; (3) Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x xy + y x + y u to ki T (,, ) sa zadane plohe. Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x y + z = 3 u to ki T (,, z 0 < 0) koja se nalazi na danoj plohi. Zadatak 4.3. Odredite x jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu z = xy koja je okomita na pravac = y π = z + 3. Zadatak 4.4. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = 3x xy + y 8y; () z = x + y + xy ; (3) z = x + y e ; (4) z = y x y x + 6y.

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Lekcije iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama I. Naslov i obja²njenje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 12. predavanje

Numerička matematika 12. predavanje Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumMat 2009, 12. predavanje p.1/101 Sadržaj predavanja Numerička integracija (nastavak):

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

DARJA POTOƒAR, FMF

DARJA POTOƒAR, FMF 7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α =

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

Parcijalne diferencijalne jednadžbe Skripta radna verzija

Parcijalne diferencijalne jednadžbe Skripta radna verzija Parcijalne diferencijalne jednadžbe Skripta radna verzija Saša Krešić-Jurić Odjel za matematiku Prirodoslovno-matematički fakultet Split 214 Napomena: poglavlje 6 nije korigirano Sadržaj 1 Uvodna razmatranja

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα