Automatsko upravljanje 2016/2017
|
|
- Σταμάτιος Δημητρακόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Automatsko upravljanje 2016/2017 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mato Baotić, Izv.prof.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo Fakultet elektrotehnike i računarstva Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 1 / 47
2 Uvod Sažetak Predavanja 07 Prijelazna funkcija, težinska funkcija i konvolucijski integral specijalni su oblici prikaza sustava u vremenskom području Prikaz sustava u prostoru stanja prikladan je za teoretsku analizu (analitička rješenja, optimiranje), kao i za analizu računalom SISO i MIMO sustavi mogu se formalno obrad _ ivati na isti način Prikazom sustava u prostoru stanja dobiva se dobar uvid u unutarnje vladanje sustava Svaka promjena stanja sustava predstavlja se dijelom trajektorije u prostoru stanja Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 2 / 47
3 Uvod Cilj Ponoviti Laplaceovu transformaciju Ponoviti prijenosnu funkciju Stjecanje vještina korištenja Laplaceove transformacije u modeliranju i analizi sustava upravljanja Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 3 / 47
4 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija (L-transformacija) najvažnije je pomoćno sredstvo za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima; L-transformacija predstavlja iznimno važan alat (jezik) u automatskom upravljanju L-transformacija je linearna integralna transformacija definirana kao (jednostrana L-transformacija): F(s) = 0 f(t)e st dt (8-1) gdje je: f(t) originalna funkcija (original) (gornje područje) F(s) slika funkcije (slika) (donje područje) s kompleksna varijabla, s = σ + jω Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 4 / 47
5 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Laplaceova transformacija Primjena definicijske relacije (8-1) temelji se na pretpostavkama: f(t) = 0 za t < 0 (za kauzalne sustave) kompleksna varijabla s nalazi se u području konvergencije integrala (8-1) L-transformacija označava se na sljedeće načine: F(s) = L{f(t)} ili F(s) f(t) Izraz za obrnutu (inverznu) L-transformaciju: f(t) = 1 c+j F(s)e st ds, t 0, (8-2) 2πj c j pri čemu je c konstanta veća od realnog dijela pojedinih singularnih točaka od F(s) Inverzna L-transformacija označava se na sljedeće načine: f(t) = L 1 {F(s)} ili f(t) F(s) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 5 / 47
6 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Tablica L-transformacije (1) Za jednostavno računanje L{F(s)} i L 1 {f(t)} postoje korespondente tablice L-transformacija koje se kombinira s temeljnim svojstvima L-transformacije i inverzne L-transformacije Br. Vremenska funkcija f(t) L-transformacija F(s) f(t) = 0 za t < 0 1. δ(t) S(t) s 3. t 1 4. t n n! s 2 1 s n+1 5. e at 1 s+a 6. te at 1 7. t n e (s+a) 2 at n! (s+a) n+1 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 6 / 47
7 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Tablica L-transformacije (2) Br. Vremenska funkcija f(t) L-transformacija F(s) f(t) = 0 za t < 0 ω 8. sin(ωt) s 2 +ω 2 s 9. cos(ωt) s 2 +ω e at ω sin(ωt) (s+a) 2 +ω e at s+a cos(ωt) ( ) (s+a) 2 +ω a f t a, a > 0 F(as) 13. e at f(t) F(s a) 14. f(t a)s(t a), a > 0 e as F(s) 15. tf(t) 16. ( t) n f(t) df(s) ds d n F(s) ds n Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 7 / 47
8 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Svojstva L-transformacije Glavna svojstva L-transformacije (1) Teorem superpozicije L{a 1 f 1 (t)+a 2 f 2 (t)} = a 1 F 1 (s)+a 2 F 2 (s), (8-3) gdje su a 1 i a 2 proizvoljne konstante Teorem sličnosti gdje je a > 0 Teorem pomaka gdje je a > 0 L{f(at)} = 1 a F ( s a ), (8-4) L{f(t a)s(t a)} = e as F(s), (8-5) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 8 / 47
9 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (2) Svojstva L-transformacije Teorem o deriviranju (operacija deriviranja funkcije pretvara se u algebarsku operaciju množenja s F(s)) { } df L = sf(s) f ( 0 ) (8-6) dt Za derivaciju n-tog reda je { d n } f L dt n = s n F(s) n i=1 s n i d i 1 f(t) dt i 1 t=0 (8-7) Teorem o integriranju (operacija integriranja funkcije pretvara se u algebarsku operaciju dijeljenja F(s)/s) t L f(τ)dτ = 1 F(s) (8-8) s 0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 9 / 47
10 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (3) Svojstva L-transformacije Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u vremenskom području L{(f 1 f 2 )(t)} = F 1 (s)f 2 (s), (8-9) pri čemu je (f 1 f 2 )(t) = t f 1 (t)f 2 (t τ)dτ, (8-10) tj. konvolucijski integral pretvara se u algebarsku operaciju množenja F 1 (s)f 2 (s) Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u frekvencijskom području 0 L{f 1 (t) f 2 (t)} = 1 c+j F 2πj 1 (p)f 2 (s p)dp, (8-11) c j pri čemu je p kompleksna varijabla integracije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 10 / 47
11 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (4) Svojstva L-transformacije Teoremi o graničnim vrijednostima Teorem o početnoj vrijednosti f(0 + ) = lim f(t) = lim sf(s), (8-12) t 0 + s pri čemu je f(t) kauzalna funkcija Dokaz: } L {ḟ(t) = sf(s) f(0 ) = ḟ(t)e st 0 + dt = ḟ(t)e st dt + ḟ(t)e st dt sf(s) f(0 ) = ḟ(t)e st dt = f(0 + ) f(0 )+ ḟ(t)e st dt ḟ(t)e st dt = sf(s) f(0 + ) lim ḟ(t)e st dt = lim (sf(s) f(0 + )) 0 + s 0 + s Uz pretpostavku konvergencije integrala slijedi: lim ḟ(t)e st dt = lim ḟ(t)e st dt = 0 s s }{{} =0 za t>0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 11 / 47
12 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Svojstva L-transformacije Primjeri: Primjena teorema o početnoj vrijednosti 1. Početni iznos težinske funkcije g(t) G(s) = g(0 + ) = lim s sg(s) = lim s + 3 (s + 1)(s + 2) 2 s s g(t) 0.1 s + 3 (s + 1)(s + 2) = t [s] g(0 + ) = 0 2. Početni nagib odziva y(t) 1 s Y(s) = s(s 2 + 4s + 5) L{ẏ(t)} = sy(s) ẏ(0 + ) = lim s sy(s) s ẏ(0 + ) = lim s 2 s s 2 Y(s) = lim s s s 2 + 4s + 5 = t [s] y(t) ẏ(0 + ) = 1 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 12 / 47
13 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (5) Svojstva L-transformacije Teoremi o graničnim vrijednostima Teorem o konačnoj vrijednosti Dokaz: f( ) = lim f(t) = lim sf(s) (8-13) t s 0 [ lim ḟ(t)e st dt = lim sf(s) f(0 + ) ] s s 0 lim ḟ(t)e st (st) 2 dt = lim ḟ(t)dt + ḟ(t)( st)dt + ḟ(t) dt +... s s 0 0 2! }{{ + } =0 lim ḟ(t)e st dt = f( ) f(0 + ) s Ako sf(s) ima polove u desnoj poluravnini, uključujući i imaginarnu os, teorem o konačnoj vrijednosti se ne može primijeniti Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 13 / 47
14 Laplaceova transformacija (L-transformacija) Svojstva L-transformacije Primjeri: Primjena teorema o konačnoj vrijednosti 1. Za signal y(t) zadan u donjem području Y(s) = 3(s + 2) s(s 2 + 2s + 10) y( ) = lim sy(s) = 0.6 s 0 2. Pojačanje sustava opisanog prijenosnom funkcijom G(s) (oznaka: K) predstavlja ustaljenu vrijednost njegove prijelazne funkcije: K = lim s 0 s G(s) 1 s = G(0) G(s) = 3(s + 2) s 2 + 2s + 10 h(t) G(0) = t [s] Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 14 / 47
15 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija (1) Relacija (8-2): f(t) = 1 c+j F(s)e st ds, t 0, 2πj c j Zbog složenosti odred _ ivanja f(t) prema (8-2), koriste se korespodentne tablice L-transformacija Ako se u tablicama ne nalazi dotična složenija funkcija F(s), onda se ta funkcija prikaže sljedećim rastavom F(s) = F 1 (s)+f 2 (s)+...+f n (s) (8-14) i primijeni inverzna L-transformacija na način f(t) = L 1 {F(s)} = L 1 {F 1 (s)}+l 1 {F 2 (s)}+...+l 1 {F n (s)} (8-15) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 15 / 47
16 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Inverzna L-transformacija (2) F(s) je u sustavima upravljanja često razlomljena racionalna funkcija: F(s) = d ms m + d m 1 s m d 1 s + d 0 s n + e n 1 s n e 1 s + e 0 = B(s) N(s) (8-16) pri čemu su svi koeficijenti d i i e i realni Faktorizacijom polinoma N(s) u izrazu (8-16) dobije se: F(s) = B(s) (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) (8-17) Polinom N(s) ima n korijena (nul-točaka): s = s 1, s 2,...,s n Ove nul-točke predstavljaju polove od F(s) Ovisno o polovima razlikujemo nekoliko slučajeva Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 16 / 47
17 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 1: F(s) posjeduje samo jednostruke polove F(s) se prikazuje kao F(s) = n k=1 c k s s k, (8-18) pri čemu je c k reziduum pola s k (ako je Im[s k ] = 0, to je realna konstanta), a f(t) je onda prema (8-15): n f(t) = c k e s k t k=1 (8-19) Ovdje se c k može odrediti usporedbom koeficijenata pri rastavu na parcijalne razlomke teoremom o reziduumu: c k = Z(s k) N (s k ) = [ ] B(s) N(s) (s s k) (8-20) s=s k Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 17 / 47
18 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 1: F(s) posjeduje samo jednostruke polove Primjer Odred _ ivanje y(t) na temelju Y(s) koji je dan s Y(s) = 4s + 9 s 2 + 5s + 6 = 4s + 9 (s + 2)(s + 3) Y(s) se zapisuje kao Y(s) = c 1 s c 2 s + 3 Prema teoremu o reziduumu (8-20) slijedi [ 4s+9 c 1 = (s + 2) = 1 (s+2)(s+3) [ ]s= 2 4s+9 c 2 = (s + 3) = 3 (s+2)(s+3) ]s= 3 Prema (8-19) slijedi: y(t) = c 1 e 2t + c 2 e 3t = e 2t + 3e 3t Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 18 / 47
19 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 2: F(s) posjeduje i višestruke polove Ako F(s) ima i višestruke polove, pri čemu pol s k ima kratnost r k (k = 1,...,l, lk=1 r k = n), tada se rastavom na parcijalne razlomke dobije l r k c k,ν F(s) = (s s k ) ν (8-21) k=1 ν=1 što prema tablici korespondencije Laplaceove transformacije vodi na sljedeći original: f(t) = l k=1 e s k t r k ν=1 c k,ν t ν 1 (ν 1)!, t 0 (8-22) Pritom se c k,ν odred _ uje prema { } 1 d r k ν c k,ν = (r k ν)! ds r k ν [F(s)(s s k) r k ] (8-23) s=s k te on može biti i kompleksan broj ukoliko je Im[s k ] 0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 19 / 47
20 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 2: F(s) posjeduje i višestruke polove Primjer Odred _ ivanje y(t) na temelju Y(s) koji je dan s Y(s) = Razvoj u parcijalne razlomke daje s + 3 (s + 1)(s + 2) 2 Y(s) = c 1,1 s c 2,1 s c 2,2 (s + 2) 2 Koeficijenti c k,ν odred _ uju se prema (8-23): [ ] s+3 c 1,1 = (s + 1) = 2, (s+1)(s+2) { [ 2 s= 1 [ c 2,1 = 1 d s+3 (s + 2) 2 = 1! ds (s+1)(s+2) { ]}s= 2 2 c 2,2 = 1 s+3 (s + 2) 2 = 1 0! (s+1)(s+2) }s= 2 2 Prema (8-22) slijedi: 2 (s+1) 2 ]s= 2 = 2, y(t) = c 1,1 e t + c 2,1 e 2t + c 2,2 te 2t = 2e t 2e 2t te 2t Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 20 / 47
21 Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona F(s) posjeduje i konjugirano-kompleksne polove Primjer Signal je dan u donjem području: s+3 s+3 Y(s) = = = s(s 2 +4s+5) 2 s[s ( 2+j)] 2 [s ( 2 j)] 2 = c 1,1 s + c 2,1 s ( 2+j) + c 2,2 + c 3,1 [s ( 2+j)] 2 s ( 2 j) + c 3,2 = [s ( 2 j)] 2 = c 1,1 s + (s+2)(c 2,1+c 3,1 )+j1 (c 2,1 c 3,1 ) [s ( 2+j)][s ( 2 j)] + (c 2,2+c 3,2 )[(s+2) ]+j2(s+2)(c 2,2 c 3,2 ) {[s ( 2+j)][s ( 2 j)]} 2 = = c 1,1 s +(c 2,1 +c 3,1 ) s+2 (s+2) j(c 2,1 c 3,1 ) 1 (s+2) (c 2,2+c 3,2 ) (s+2)2 1 2 [(s+2) ] 2+j(c 2(s+2) 2,2 c 3,2 ) [(s+2) ] 2 Kako je L{e at cos(ωt)}= s+a (s+a) 2 +ω 2 L{e at ω sin(ωt)}= (s+a) 2 +ω 2 za y(t) se dobije: L{te at cos(ωt)}= d ds [ L{te at sin(ωt)}= d ds [ ] s+a (s+a) 2 +ω 2 ] ω (s+a) 2 +ω 2 = (s+a)2 ω 2 [(s+a) 2 +ω 2 ] 2 = 2(s+a) [(s+a) 2 +ω 2 ] 2 y(t)=[c 1,1 +(c 2,1 +c 3,1 )e 2t cos t+j(c 2,1 c 3,1 )e 2t sin t+(c 2,2 +c 3,2 )te 2t cos t+j(c 2,2 c 3,2 )te 2t sin t]s(t) Budući da su parovi brojeva c 2,1 i c 3,1, te c 2,2 i c 3,2 konjugirano-kompleksni (c 3,1 = c 2,1, c 3,2 = c 2,2 ), y(t) je, naravno, realna vremenska funkcija Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 21 / 47
22 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L-transformacije Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L-transformacije Original Diferencijalna jednadžba Rješenje L-transformacija L 1 -transformacija Slika Algebarska jednadžba Rješenje Slika 8.1: Rješavanje diferencijalne jednadžbe korištenjem L-transformacije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 22 / 47
23 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Nepobud L-transformacije _ eni LTI sustav Nepobud _ eni linearni vremenski nepromjenljivi (LTI) sustav (1) Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe predstavlja vlastito (slobodno) gibanje sustava, dakle vladanje koje je ovisno samo o početnim uvjetima: n d i y(t) a i = 0 (8-24) dt i i=0 Za n početnih uvjeta di y(t) t=0 i = 0, 1,...,n 1 primjenom dt, i L-transformacije na (8-24) dobije se: [ Y(s) n n i a i s i a i i=0 i=1 ν=1 Y(s) = Y s (s) = n i=1 a i s i ν dν 1 y(t) dt ν 1 ] =0 t=0 i s i ν dν 1 y(t) ν=1 n a i s i i=0 dt ν 1 t=0 (8-25) Dakle, početni uvjeti sadržani su samo u polinomu brojnika od Y s (s) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 23 / 47
24 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Nepobud L-transformacije _ eni LTI sustav Nepobud _ eni LTI sustav (2) Vlastito gibanje (slobodno gibanje) opisano je polovima s k, k = 1,...,n od Y(s), koje se dobije rješenjem: Faktorizacijom (8-26) dobije se n a i s i = 0 (8-26) i=0 (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) = 0 (8-27) Prema tome, izraz (8-25) može se razložiti u parcijalne razlomke Ako se radi, primjerice, o jednostrukim polovima, dobije se: y s (t) = n c k e s kt Dakle, prirodni odziv sustava sadrži komponente e s k t koje se nazivaju prirodnim modovima (engl. natural mode) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 24 / 47 k=1
25 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Nepobud L-transformacije _ eni LTI sustav Nepobud _ eni LTI sustav (3) Položaji polova s k u s-ravnini u cijelosti karakteriziraju vlastito vladanje sustava opisanog homogenom diferencijalnom jednadžbom: Za slučaj Re[s k ] < 0 iščezavajuća prijelazna pojava Za slučaj Re[s k ] > 0 raspirujuća prijelazna pojava Za slučaj Re[s k ] = 0 granični slučaj Stoga se jednadžba (8-26), odnosno (8-27), naziva karakterističnom jednadžbom sustava Polovi s k od Y s (s) nazivaju se svojstvenim vrijednostima sustava Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 25 / 47
26 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Pobud _ eni L-transformacije LTI sustav Pobud _ eni LTI sustav Na sustav zadan diferencijalnom jednadžbom n d i y(t) m d i u(t) a i = b dt i i, m n (8-28) dt i i=0 djeluje pobuda u(t) Uz pretpostavke i=0 d i y(t) dt i t=0 = 0 za i = 0, 1,...,n 1 u(t) = 0 za t < 0, slijedi primjenom L-transformacije na (8-28): Y(s) n m a i s i = U(s) b i s i Y(s) = Y p (s) = i=0 i=0 m b i s i i=0 U(s) (8-29) n a i s i Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 26 / 47 i=0
27 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću UkupniL-transformacije odziv LTI sustava Ukupni odziv LTI sustava Kada istodobno postoje i pobuda i početni uvjeti različiti od 0, slijedi iz svojstva linearnosti sustava ukupni odziv y(t) koji predstavlja zbroj odziva uslijed početnih uvjeta (slobodnog odziva) y s (t) i odziva uslijed pobude (prinudnog odziva) y p (t) Ovaj rezultat pokazan je na Predavanju 07 upotrebom konvolucijskog integrala, a isto daje i rješenje diferencijalne jednadžbe (8-28) Laplaceovom transformacijom kada su početni uvjeti različiti od 0: Y(s) = Y s (s)+y p (s) = n i=1 a i i ν=1 s i ν dν 1 y(t) dt ν 1 n a i s i i=0 t=0 } {{ } Y s(s) + m b i s i i=0 U(s) n a i s i i=0 } {{ } Y p(s) (8-30) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 27 / 47
28 Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću UkupniL-transformacije odziv LTI sustava Primjer 8.1: Ukupni odziv LTI sustava Neka je sustav opisan diferencijalnom jednadžbom ÿ(t)+5ẏ(t)+6y(t) = 3u(t), pri čemu je u(t) = e t S(t), a početni uvjeti su y(0 ) = 2, ẏ(0 ) = 1 Prema (8-25) za slobodni odziv proizlazi: Y s(s) = a 1y(0 )+a 2 (sy(0 )+ẏ(0 )) 2s 11 = a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (s + 2)(s + 3) Za prisilni odziv prema (8-29) proizlazi: Y p(s) = b 0 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 U(s) = 3 1 (s + 2)(s + 3) s + 1 = 3 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Ukupni odziv je Y(s) = 2s 11 (s+2)(s+3) + 3 (s+1)(s+2)(s+3) y(t) = ( 7e 2t +5e 3t )S(t) +( }{{} 3 2 e t 3e 2t e 3t )S(t) }{{} y s(t) y p(t) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 28 / 47
29 Prijenosna funkcija Prijenosna funkcija (1) Linearni, kontinuirani, vremenski invarijantni sustav s koncentriranim parametrima opisuje se diferencijalnom jednadžbom (8-28): n i=0 a i d i y(t) dt i = m i=0 d i u(t) b i, m n dt i Ako su svi početni uvjeti jednaki nuli (sustav je miran), L-transformacijom se dobije (8-29): iz čega slijedi n m Y(s) a i s i = U(s) b i s i i=0 i=0 Y(s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s + b 0 = G(s) = B(s) a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 N(s) (8-31) G(s) se naziva prijenosnom funkcijom sustava Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 29 / 47
30 Prijenosna funkcija (2) Prijenosna funkcija Iz (8-31) slijedi: Y(s) = G(s) U(s), (8-32) odnosno izlazni signal sustava Y dobije se množenjem ulaznog signala U s pojačanjem G signali i sustavi predstavljaju se na isti način Uvjet realizacije za prijenosnu funkciju G(s) glasi: stupanj{b(s)} stupanj{n(s)} (8-33) Prijenosna funkcija sustava je L-transformacija impulsnog odziva sustava: G(s) = L{g(t)} (8-34) Dokaz: Uz miran kauzalni sustav, primjenom teorema o konvoluciji (8-9), slijedi t y(t) = g(t τ)u(τ)dτ Y(s) = L{g(t)} U(s) 0 }{{} G(s) (8-35) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 30 / 47
31 Prijenosna funkcija Polovi i nule prijenosne funckije Za čitav niz istraživanja sustava prikladno je razlomljenu racionalnu prijenosnu funkciju G(s) faktorizirati (npr. u analizi stabilnosti sustava): G(s) = B(s) N(s) = k (s s N1 )(s s N2 ) (s s Nm ) 0 (s s p1 )(s s p2 ) (s s pn ) (8-36) gdje su: s Ni nule od G(s) s pj polovi od G(s) jω s-ravnina...pol...nula s Ni i s pj mogu biti: realni konjugirano-kompleksni 0 σ Slika 8.2: Primjer razmještaja polova i nula od G(s) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 31 / 47
32 Prijenosna funkcija Primjer 8.2: Prijenosna funkcija operacijskog pojačala s povratnom vezom (1) U u (s) (U(s)) I p (s) Z 1 (s) A I u (s) + Z 2 (s) R u U i (s) (Y(s)) Točka A (sumacijska točka) je virtualna nula budući da je pojačanje pojačala veliko, a zbog velikog ulaznog otpora R u vrijedi: veliko pojačanje K (K ) I p (s)+i u (s) = 0 (8-37) Slika 8.3: Shematski prikaz operacijskog pojačala s povratnom vezom Vrijede sljedeći odnosi: I p(s) U i (s) = 1 I u(s) U u(s) = 1 Z 1 (s) = G 1(s) Z 2 = G 2(s), U i(s) U = G(s) = G 1(s) u(s) G 2 (s) = Z 2(s) Z 1 (s) (8-38) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 32 / 47
33 Prijenosna funkcija Primjer 8.2: Prijenosna funkcija operacijskog pojačala s povratnom vezom (2) U u (s) Slijedi da vanjska mreža oko operacijskog pojačala definira dinamička svojstva sklopa Specijalni slučaj primjera dan je na Slici 8.4 R - + C U i (s) Vrijedi: G 1 (s) = 1 R, G 2(s) = sc U i(s) U = G(s) = 1 u(s) RCs (8-39) Slika 8.4: Primjer spoja s operacijskim pojačalom Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 33 / 47
34 Prijenosna funkcija Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja SISO sustav (1) Promotrimo SISO sustav: ẋ(t) = Ax(t)+bu(t), x(0 ) = 0, y(t) = cx(t)+du(t) (8-40) L-transformacija diferencijalne jednadžbe iz (8-40) daje: gdje je I jedinična matrica sx(s) = AX(s)+bU(s), (si A)X(s) = bu(s), L-transformacija izlazne jednadžbe daje: X(s) = (si A) 1 bu(s) (8-41) Y(s) = cx(s)+du(s) (8-42) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 34 / 47
35 Prijenosna funkcija Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja SISO sustav (2) Kombiniranjem (8-41) i (8-42) proizlazi: Zaključno se može pisati: Y(s) U(s) = G(s) = c(si A) 1 b+d G(s) = c(si A) 1 b+dˆ= b ms m +...+b 1 s + b 0 a n s n +...+a 1 s + a 0 (8-43) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 35 / 47
36 Prijenosna matrica Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Za MIMO sustave (procese) imamo: te je [u 1, u 2,...,u p ] T = u, [y 1, y 2,...,y q ] T = y, Y(s) = G(s)U(s) (8-44) G(s) se naziva prijenosnom matricom (engl. transfer matrix) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 36 / 47
37 Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Primjer 8.3: MIMO sustav s dva ulaza i dva izlaza U 1 (s) G 11 (s) + + Y 1 (s) G 21 (s) G 12 (s) Y 1 (s) = G 11 (s)u 1 (s)+g 12 (s)u 2 (s) Y 2 (s) = G 21 (s)u 1 (s)+g 22 (s)u 2 (s) U 2 (s) G 22 (s) + + Y 2 (s) Slika 8.5: MIMO sustav [ ] Y1 (s) = Y 2 (s) [ G11 (s) G 12 (s) G 21 (s) G 22 (s) ][ U1 (s) U 2 (s) ] Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 37 / 47
38 Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Primjer 8.4: Regulacijski ventil tlaka pare (1) Q v y 1 + r 1 r 2 + y 2 HLADNA VODA R 2 u 2 Q p u 1 R 1 PARA IZ PARNOG KOTLA Slika 8.6: Shematski prikaz regulacije tlaka i temperature pare I u ovom se primjeru radi o procesu s dva ulaza: u 1 upravljački ulaz regulacijskog ventila dotoka pare u 2 upravljački ulaz regulacijskog ventila dotoka hladne vode s dva izlaza: y 1 tlak izlazne pare, y 2 temperatura izlazne pare Blokovski prikaz sustava sa Slike 8.6 nalazi se na Slici 8.7 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 38 / 47
39 Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Primjer 8.4: Regulacijski ventil tlaka pare (2) r 1 r R 1 R 2 u 1 u 2 + z 1 z G 11 (s) G 21 (s) G 12 (s) G 22 (s) PROCES Slika 8.7: Blokovska shema sustava upravljanja regulacijskim ventilom + y 1 y 2 Tlak pare Temperatura pare Promjene tlaka pare iz parnog kotla i temperature hladne vode predstavljene su smetnjama z 1 i z 2 U ovom se slučaju radi o dvostrano spregnutom procesu Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 39 / 47
40 Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Prijenosna funkcija sustava s raspodijeljenim parametrima Za linearne kontinuirane sustave s koncentriranim parametrima dobije se prijenosna funkcija u obliku razlomljene racionalne funkcije Za linearne sustave s raspodijeljenim parametrima dobije se prijenosna funkcija u obliku transcendentne prijenosne funkcije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 40 / 47
41 Prijenosna funkcija Primjer 8.5: Prijenos topline kroz cijev (1) Transcendentna prijenosna funkcija ϑ(0, t) ϑ(l, t) 0 L Slika 8.8: Uzdužni presjek kroz cijev koja vodi toplinu Z ϑ(0, t) predstavlja vremenski tijek temperature fluida na ulazu cijevi ϑ(l, t) predstavlja vremenski tijek temperature fluida na izlazu cijevi Za prijenos topline kroz cijevi vrijedi parcijalna diferencijalna jednadžba: ϑ t = w ϑ F z, (8-45) gdje je: w F brzina gibanja fluida, ϑ(z, 0) = 0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 41 / 47
42 Prijenosna funkcija Primjer 8.5: Prijenos topline kroz cijev (2) Transcendentna prijenosna funkcija Na diferencijalnu jednadžbu (8-45) primjenimo L-transformaciju pri čemu vrijedi: L{ϑ(z, t)} = Θ(z, s) = ϑ(z, t)e st dt, L { } ϑ t = sθ(z, s) ϑ(z, 0), L { } ϑ z = d dzθ(z, s) ovdje je s parametar 0 d sθ(z, s) = w F Θ(z, s) (8-46) dz Iz parcijalne diferencijalne jednadžbe u vremenskom području nastaje obična diferencijalna jednadžba za prostornu varijablu z Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe je Θ(z, s) = Ce z w F s (8-47) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 42 / 47
43 Prijenosna funkcija Primjer 8.5: Prijenos topline kroz cijev (3) Transcendentna prijenosna funkcija Prijenosna funkcija dobije se kao L Θ(L, s) G(s) = Θ(0, s) = Ce w s F = Y(s) Ce 0 w s F U(s), G(s) = Y(s) U(s) = e L w F s = e T t s Prijenosna funkcija (8-48) je transcendentna T t = L w F naziva se mrtvim vremenom (transportnim kašnjenjem) (engl. dead time, time delay) U vremenskom području je: (8-48) y(t) = u(t T t ) (8-49) Mrtva vremena koja se susreću u procesnoj industriji relativno su velikih iznosa (problemi pri upravljanju takvim procesima) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 43 / 47
44 Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Primjer 8.6: Prijenos materijala q u v M L q i T t = L v Ω = konst. Slika 8.9: Prijenos materijala q i (t) = q u (t T t ) (8-50) Q i (s) Q u (s) = e T ts U primjerima 8.5 i 8.6 radi se o procesima s čistim transportnim kašnjenjima T t tipično varira u procesima ovisno o transportnoj brzini (8-51) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 44 / 47
45 Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Prijenosna funkcija procesa s transportnim kašnjenjem i dinamičkim vladanjem y(t) = h(t) K p W tangenta prijelazna funkcija procesa Nadomjesni model procesa s parametrima t z vrijeme zadržavanja t a vrijeme porasta K pˆ=k s pojačanje procesa W točka infleksije Uvode se nadomjesno mrtvo 0 t t z t a vrijeme i nadomjesna vremenska konstanta: Slika 8.10: Prijelazna funkcija t z T t t a T pˆ=t s Proces se aproksimira prijenosnom funkcijom G p (s) = K pe T ts 1+T p s (8-52) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 45 / 47
46 Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Aproksimacija transcendente prijenosne funkcije racionalnom Transcendentna prijenosna funkcija može se nadomjestiti racionalnom prijenosnom funkcijom (pri analizi i sintezi sustava) Ako je T t znatno manje od T p, onda se može primijeniti aproksimacija (razvojem u Taylorov red): e T ts 1 1+T t s (8-53) Za veće iznose T t bolju aproksimaciju daje Padéova aproksimacija: ( ) 1 T t s n e Tts 2n = lim (8-54) n 1+ T ts 2n Za n = 1 dobije se Padéova aproksimacija prvog reda Padéova aproksimacija rezultira pojavom nula u desnoj poluravnini kompleksne s-ravnine, tj. sustav poprima neminimalnofazno vladanje Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 46 / 47
47 Zaključak Zaključak Prijenosne funkcije i prijenosne matrice prikazuju izlazno-ulazne odnose sustava u algebarskom obliku O položaju polova i nula prijenosne funkcije (matrice) u kompleksnoj s-ravnini ovisi vladanje sustava Transportno kašnjenje (mrtvo vrijeme) pojavljuje se u modelima procesa u kojima se transportira masa, energija ili informacija Prijenosne funkcije procesa s transportnim kašnjenjem su transcendentne Transcendentne prijenosne funkcije mogu se aproksimirati racionalnim prijenosnim funkcijama Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 47 / 47
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLaplaceova transformacija
Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim primjenama u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Koristi se za rješavanje diferencijalnih
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60 Sadržaj Sadržaj: 1 Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda Princip superpozicije rješenja homogene linearne jednadžbe 2 Homogena
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραNapisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz
LV3 Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz s=tf('s'); Br=2*(s+2);Naz=(s+1)*(s+3); G=Br/Naz s=tf('s'); Br=[2 4];Naz=[1 4
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραAutomatsko upravljanje 2012/2013
Auomasko upravljanje 2012/2013 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mao Baoić, Doc.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za auomaiku i računalno inženjersvo Fakule elekroehnike i računarsva
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine
Διαβάστε περισσότεραLAPLACEOVA TRANSFORMACIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE MATEMATIČKE METODE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Studenti : Nikolina Jakšić Kornelije Kraguljac 1. Laplaceova tranformacija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραOPIS LINEARNIH DISKRETNIH SUSTAVA. 5. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću jednadžbi diferencija. Nedjeljko Perić i Ivan Petrović
OPIS LINEARNIH DISKRENIH SUSAVA 5. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću jednadžbi diferencija * raži se odnos imeđu ulanih i ilanih slijedova impulsa - Za kontinuirane sustave 6 diferencijalne jednadžbe
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραRedovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραKatedra za strojarsku automatiku. Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Osnove prostora stanja - 1. Katedra za strojarsku automatiku
Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - P X H Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραUvod. - linearne jednadžbe. - nelinearne jednadžbe
Uvod - linearne jednadžbe - direktne metode - Gaussova eliminacija - Gauss-Jordanova metoda - iterativne metode - Gauss-Seidlova metoda - Jacobijeva metoda - nelinearne jednadžbe - iterativne metode -
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραf : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw
1. Funkcije kompleksne varijable f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x y) + iv(x y) u v : R R u(x y) = Rew v(x y) = Imw Elementarne funkcije kompleksnog argumenta. 1. Eksponencijalna funkcija w = e z z C
Διαβάστε περισσότεραMatematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio
Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio Realni sustavi promatraju se sustavi koji su česti u praksi matematički modeli konačne točnosti Pretpostavke za izradu matematičkog modela: dostupan realni
Διαβάστε περισσότεραInduktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza III
Matematička analiza III c 2 Željko Vrba Ovo je sažetak formula, definicija i teorema s drugog dijela kolegija Matematička analiza 3 na FER-u (akad. god. 1997/98). (izostavljeni su dijelovi kompleksne
Διαβάστε περισσότερα