OPIS LINEARNIH DISKRETNIH SUSTAVA. 5. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću jednadžbi diferencija. Nedjeljko Perić i Ivan Petrović

Transcript

1 OPIS LINEARNIH DISKRENIH SUSAVA 5. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću jednadžbi diferencija

2 * raži se odnos imeđu ulanih i ilanih slijedova impulsa - Za kontinuirane sustave 6 diferencijalne jednadžbe - Za diskretne sustave 6 jednadžbe diferencija * Potrebno je diferencijalne jednadžbe prevesti u jednadžbe diferencija. * Aproksimacija diferencijalnog kvocijenta može biti: a) unaadni kvocijent diferencija (engl. backward diference) - Eulerova. varijanta b) unaprijedni kvocijent diferencija (engl. forward diference) - Eulerova. varijanta

3 a) unaadni kvocijent diferencija df f ( k ) f [( k ) ] dt t= k df dt d f t= k t= ( k ) f k f k + f k = dt t= k df dt ( ) [( ) ] [( ) ] df () t f ( k ) f [( k ) ] dt sfs () f(0) = & Fs () Fse () f (0 ) = 0 s s e s s s e = & = = = s 3

4 b) unaprijedni kvocijent diferencija df f [( k + ) ] f ( k ) dt t= k df dt d f t= ( k+ ) t= k f k+ f k+ + f k = dt t= k df dt [( ) ] [( ) ] ( ) df () t f [( k + ) ] f ( k ) dt s sf() s f (0) = & Fse () Fs () f (0 ) = 0 s e s = & = = = + s e s s 4

5 Primjer: 5 dy() t + y() t = u() t dt y k y k + y k = u k { } ( ) [( ) ] ( ) ( ) yk ( ) = y[( k ) ] uk ( ) unaadna diferencija - odgovarajuća jednadžba diferencija (vrijedi a dovoljno mali ) * Ovo je jednadžba a rekurivno iračunavanje ilanog slijeda y(k) na temelju ulanog slijeda u(k).

6 6 * Opći oblik jednadžbe diferencija koja opisuje linearni vremenski invarijantni jednoulani sustav n-tog reda s ulanim slijedom u(k) i ilanim slijedom y(k): y( k) + αy( k ) + αy( k ) αn y( k n) = = β uk ( ) + βuk ( ) β uk ( m) 0 m yk ( ) = β uk ( ν) α yk ( ν) ν ν= 0 ν= n ν m * Ovaj je oblik prikladan a rješavanje pomoću računala: S u(k-<) i y(k-<) su vrijednosti ranije pohranjene u računalu. S Neophodno je nati početne uvjete a k = 0.

7 6. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću Z transformacije 7 L. transformacija - a linearne kontinuirane sustave Z. transformacija - a linearne diskretne sustave * Z transformacija uspješno se primjenjuje u sustavima s ekvidistantnim uorkovanjem (uniformni proces uorkovanja). * Z transformacija efikasna je u sustavima s jednim ulaom i jednim ilaom (SISO). 6.. Definicija Z transformacije * L-transformacija diskretnog signala (slijeda uoraka signala f(t)) je: * * ks F () s L f () t f ( k ) e = = k= 0

8 ks * Kompleksna varijabla s se pojavljuje u eksponentu e što nači da: 8 ) F * (s) nije racionalna funkcija kompleksne varijable (iracionalna funkcija - problemi kod određivanja inverne L-transformacije). ) F * (s) posjeduje osnovni pojas u kojem su smješteni polovi i nule funkcije F * (s), ali i komplementarne pojaseve s istim tim polovima i nulama (problemi pri određivanju f * (t) i F * (s)). * Uvođenjem kompleksne varijable: s = e s = ln dobije se:

9 * * * F( ) = Z f ( t) = F ( s) = F ln s= ln [ ] () = ( ) * f t Z F * ( ) ( ) ( ) F = Z f t = f k k= 0 k 9 * Radi se o specijalnom obliku Laurentovog reda gdje ne nastaju poitivne potencije kompleksne varijable. * akođer, radi se o jednostranoj -transformaciji koja je uobičajena a determinirane signale, dok se a slučajne signale treba koristiti dvostrana - transformacija.

10 Primjer: δ () t = δ( t k) * k= 0 () * ks s s = e = a e < s k= 0 e s u = e ( ) = = 0 Primjer: at f () t = e F( ) = a < e, > a e e Napomene: a a - Laplaceova i njena inverna funkcija jednonačne su. - F() sadrži informaciju samo o brojčanim vrijednostima signal f(t) u trenucima uorkovanja (f(t) nije definirana na osnovi F()).

11 6.. Preslikavanje i s u ravninu * Kontinuirani signal može se prikaati: - u vremenskom području kao f(t), - u području kompleksne varijable kao F(s) (preko polova i nula u s ravnini) * I položaja polova i nula može se aključivati o nekim načajkama signala u vremenskom području (oscilatornost, dinamičnost, aperiodičnost,...). * Polovi predstavljaju interne vee u sustavu (dakle njegovo autonomno vladanje), a nule odražavaju vladanje sustava kada su interne varijable veane na ulae i ilae (kako je sustav vean na svoju okolinu). * Slično tome, i položaja polova i nula u -ravnini može se aključivati na vladanje slijeda uoraka f * (t).

12 Preslikavanje područja stabilnosti * U daljnjim ramatranjima pretpostavlja se da je adovoljen Shanonov teorem (odnosno nema preklapanja spektra). * Ramotrimo u koje područje u ravnini će se preslikati primarni frekvencijski pojas i s ravnine. * Pretpostavlja se da su svi polovi unutar omeđenog područja.

13 3 jω jω ωs = e = e ; ω = 0 ϕ = 0 π s σ jπ ωs 3 = e = e e ; ω = ; 0 σ < σ jω 3 4 = e e = 0 preslikava se u nulu 4 5 preslikava se u segment 0 do - j j s 5 = e = e ; ω = 0 ϕ = π 0 ω ω ω * Svi komplementarni pojasevi s-ravnine periodično se preslikavaju u istu krivulju u -ravnini.

14 Preslikavanje područja dovoljenog vremena smirivanja (ustaljenja) 4 * F - određuje vrijeme ustaljenja t s σ * Vrijeme ustaljenja bit će manje od t s ako svi polovi leže unutar omeđenog područja.

15 Preslikavanje područja ahtijevanog inosa prigušenja 5 cosα = ξ s = ξω + j ω ξ ξ = konst ω n n ;. ; 0 n π ξ = = s n j n e e ξω e ω ξ

16 6 * Šrafirano područje je područje dovoljenog vremena ustaljenja i inosa prigušenja. * Područje dovoljenog inosa prigušenja omeđeno je spiralom i točke u točku. * Kada se n mijenja od 0 do argument od 0 do B. π ξ modul vektora se mijenja od do e π ξ ξ,a

17 6.3. Inverna Z transformacija 7 * Invernom (obrnutom) Z transformacijom dobije se original f * (t) ili slijed uoraka f(k), k = 0,,,... na osnovi F(). Ramotrit ćemo tri postupka inverne -transformacije. a) Ravoj F() u red potencija - (Laurentov red - Power Series Method) k - definicijska jednadžba k= 0 k= 0 ks F( ) = f( k) e = f( k) F( ) = f(0) + f( ) + f( ) +... * f(0), f(), f(),... su vrijednosti signala u trenucima uorkovanja, a to su ujedno i koeficijenti u ravoju funkcije. * Da bi se dobile ove vrijednosti potrebno je raviti F() po -. * Za slučaj realne racionalne funkcije to se postiže dijeljenjem polinoma u brojniku i polinoma u naivniku.

18 Primjer: F( ) = ( + ):( ) = F = ( ) f ( k ) = 0 δ( t) + δ( t ) δ( t ) 3 δ( t 3 ) + 7 δ( t 4 ) 8 * Nedostatak: Da bi se odredila vrijednost funkcije f(t) u nekom trenutku uorkovanja f(k), potrebno je odrediti sve vrijednosti f(t) u prethodnim trenucima uorkovanja.

19 b) Rastavljanjem F() u broj parcijalnih ralomaka 9 * Kod ove metode primjenjuju se tablica a invernu transformaciju. * Pri tom je potrebno F() rastaviti na parcijalne ralomke koji se pomoću tablica prebacuju u vremensko područje. at Z e = at e s+ a e at at = Z te ( at e ) ( s+ a) at ( at + ) ( at e ) ( s + a) e e at Z t e = 3 3 se nalai svugdje u brojniku

20 - ralaganje u parcijalne ralomke realne racionalne funkcije 0 F( ) = A + A Aν ν gdje su: A,A,...,A < - reidui funkcije F() na polovima,,..., < - polovi funkcije F() * Za slučaj da F() ima konjugirano kompleksne polove parcijalni ralomci imaju složeniji oblik.

21 Primjer: ( + + ) ( 0.8)( )( + 0.8) F( ) = ; f ( k ) =? F A A A A j j A A ( ) ( + + ) 3 4 = = ( 0.8)( )( + 0.8) 0.8 ( ) ( ) 3 4 = 8.75 = = e 0. A =. + j0.5 ± j0.74 = e A =. j 0.± j F( ) / F( ) = (. + j) + (. j) e e e j 0. j t t t t yt () = 8.75 St () 5.3e e.4cos + sin

22 Primjeri a studente:.. F( ) = ( ) ( ) + ( + 0.) F( ) = K ( 0.)( 0.3)( 0.4) c) Primjenom teorema o reiduima - Cauchijev teorem k F( ) = f( k) = k= 0 = f ( o) + f ( ) + f ( ) f ( k ) +... / 0 k k F = f o + f + f + + f k + k k k k 3 ( ) ( ) ( ) ( )... ( )... - ovo je Laurentov red (ravoj funkcije F() k- oko =0)

23 3 * I Cauchijevog teorema (formule) a koeficijente ovo Laurentovog reda slijedi a poitivne vrijednosti kompleksni krivuljni integral: ( ) = ( ) π j k=,,...s k f k F d Γ * Krivulja ' obuhvaća sve polove funkcije F() u ravnini (integracija u smjeru obrnutom od kaaljke na satu). Postupak je sljedeći: ( ) { ( ) k f k = Res F } = ν < - polovi od F() k-, tj polovi od F(). * Za jednostruki pol = reiduum se računa na sljedeći način: { k } = k Res F( ) = lim( ) F( ) ν

24 * Ako je F() ralomljena funkcija k B( ) F( ) = i ako je jednostruka nula od A(), tada vrijedi a A da( ) '( ) d 0 = = : A( ) 4 B( ) B( ) Res = A( ) A'( ) = * Za q-struki pol u = dobije se: { } d Res F( ) lim ( ) F( ) = ( q )! d q k q k = q Primjer: ( + + ) F( ) = ; f ( k ) =? ( )( 0.8)( + 0.8) - studenti sami

25 Primjer: 5 F( ) = 8 ( )( ) 8 8 d f k s k k ( ) = Re ( 3 ) 3 = + = ν = 3+ i 3 d = = = = = k k 8 8 k f ( k ) = + = 8( + ), k = 0,, ν ν

26 6.4. Svojstva Z transformacije 6 * Ponavajući svojstva transformacije može se u praksi olakšati njeno korištenje.. Linearnost Zaf [ ( t)] = af( ) a konstanta Z[ f ( t) + f ( t)] = F( ) + F ( ). eorem o pomaku u vremenskom području Ako je F() = Z [f(t)] onda je n Z[ f( t n)] = F( ) n n Z[ f ( t+ n)] = F( ) f ( i ) i= 0 i n - proivoljna cjelobrojna konstanta

27 3. eorem o promjeni mjerila u području 7 ( ( at ) Ze mat [ f ( t )] = F ( s ± a ) = F e ± s= ln - manifestira se kao promjena skale (mjerila) u -području 4. eorem o početnoj vrijednosti f(0) = lim f( k ) = lim F( ) k 0 k ( ) = ( ) = (0) + ( ) + ( ) +... k= 0 F f k f f f 5. eorem o konačnoj vrijednosti lim f ( k ) = lim( ) F( ) = lim( ) F( ) k

28 Doka teorema o konačnoj vrijednosti: 8 * Polai se od sljedeća dva konačna nia n k= 0 n k= 0 k n f( k) = f(0) + f( ) + f( ) f( n) k 3 n [( ) ] = (0) + ( ) + ( ) [( ) ] f k f f f f n * Usporedbom oba nia: n n k k f [( k ) ] = f ( k ) k= 0 k= 0 * Odredimo granični vrijednost ralike niova a 6: n n n n k k lim f ( k ) f ( k ) f ( k ) f ( k ) f ( n ) = = k= 0 k= 0 k= 0 k= 0

29 * Sada potražimo vrijednost od f(n) kada n64: 9 n n k k lim f( n) = limlim f( k) f( k) = k= 0 k= 0 n n n n k k = limlim f( k) f( k) lim F( ) F( ) n = = k= 0 k= 0 = lim( ) F( ) 6. eorem o parcijalnoj derivaciji * Neka je F(,a) transformacija funkcije f(t,a) gdje je a neavisna varijabla ili konstanta. ada vrijedi: [ f t a ] (, ) F(, a) Z = a a * Primjena ovog teorema je u definiranju funkcije osjetljivosti digitalnih sustava.

30 7. Konvolucijska suma 30 * Neka su f (t) i f (t) kaualne funkcije. ada vrijedi: n F( ) F( ) = Z f( m ) f( n m ) m= 0 Dodatak (operator pomaka): qf ( k) = f ( k + ) q f k f k ( ) = ( ) - unaprijedni operator pomaka (jedinično prethođenje) - unaadni operator pomaka (jedinično kašnjenje) * Formalno je q, međutim q je operator, a je kompleksna varijabla. Slično je i u kontinuiranim sustavima: d = p - to je također operator (diferencijalni) dt p= s - p je operator, a s je kompleksna varijabla. Zaključna napomena: Red polinoma naivnika u prijenosnoj funkciji G(s) mora biti veći od reda polinoma u brojniku.