DARJA POTOƒAR, FMF

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DARJA POTOƒAR, FMF"

Transcript

1 7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α = 1 tan α Slika 1 Zveze med kotnimi fumkcijami: sin α + cos α = cot α = 1 sin α 1 + tan α = 1 cos α V pravokotnem trikotniku opazimo: sin α = cos(90 α) cos α = sin(90 α) Primeri: V pravokotnem trikotniku meri osnovnica c = 8cm, stranica a = 4cm. Koliko merijo koti v trikotniku? [R : α = 30, β = 60 ] Poenostavi (kolikor se da): a) sin 3 α + sin α cos α b) cos β cos β sin β cos 3 β [R : a) sin α, b)0] Imamo enakokrak trikotnik z osnovnico AB = c in kotom γ pri vrhu. Dolo i obseg kroga, ki se dotika obeh krakov in ima sredi² e v razpolovi² u stranice AB. [R : ob = πr, r = c cos(γ/) ] DARJA POTOƒAR, FMF

2 Tema: Prehod na ostri kot, periodi nost,... cos α α sin α 8. ²olska ura Slika Slika 3 Zaloga vrednosti sin in cos: sin α 1, cos α 1. Periodi nost: cos(α + πk) = cos α sin(α + πk) = sin α tan(α + πk) = tan α cot(α + πk) = cot α Sodost, lihost: cos( α) = cos α... cos je soda funkcija sin( α) = sin α... sin je liha funkcija tan, cot( α) = tan, cot α... tan in cot sta lihi funkciji Prehod na ostri kot (α): sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α Tabela ostrih kotov: 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ cos α 1 3/ / 1/ sin α 0 1/ / 3/ Primeri: Naj bo π < α < 3π/ in sin α = 0, 8. Dolo i cos α! (Pomagaj si s sliko B.) [R : cos α = 0, 6] Naj bo sin α + cos α = 4/3. Dolo i sin α cos α! [R : (4+ )(0 6) ] 18 sin (0π/3)+cos (19π/4) Izra unaj =? sin ( 11π/3) cos (19π/6) [R : ] 3 DARJA POTOƒAR, FMF

3 9. ²olska ura Tema: Adicijski izreki T (cos β, sin β) Izpeljava adicijskih izrekov: g β α β α f T 1 (cos α, sin α) g f = g f cos(α β); ker imamo enotsko kroºnico, sta g = f = 1. g = (cos α, sin α), f = (cos β, sin β) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Slika 4 ƒe upo²tevamo cos(α +β) = cos(α ( β)), sin α = cos(π/ α) in tan(α +β) = sin(α+β) cos(α+β), dobimo adicijske izreke: A-1 cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β A- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β A-3 tan(α ± β) = tan α±tan β 1 tan α tan β Primeri: Izpelji adicijski izrek za tangens! Izra unaj sin 75! [R : + 6] 4 Dolo i sin(π/3 α), e je 0 < α < π in cos α = 3/5. [R : 3 3 4] 10 Poenostavi izraz sin(α + β) cos α cos(α + β) sin α. [R : sin β] ƒe so α, β, γ koti v trikotniku, pokaºi, da je cos α + cos β + cos γ + cos α cos β cos γ = 1. Izra unaj cos(α β +γ), e je cos α = 1/13, sin β = 8/17, sin γ = 3/5 in so koti α, β, γ ostri. 943 [R : ] 1105 DARJA POTOƒAR, FMF

4 30. ²olska ura Tema: Dvojni in polovi ni koti Dvojni koti Kako bi z dosedanjim znanjem izpeljali formulo za sin α? Morda z adicijskimi izreki? sin α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = sin α cos α cos α = cos α cos α sin α sin α = cos α sin α sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α Polovi ni koti Upo²tevajmo, da je cos α = 1 sin α in cos α = cos α sin α = 1 sin α sin α. Tako je sin α = 1 cos α. Zamenjamo α z α/ in dobimo formulo sin α = ± 1 cos α. Predznak je odvisen od intervala, na katerem leºi α/. Podobno lahko iz cos α = cos α (1 cos α) dobimo cos α = cos α = ± 1+cos α. 1+cos α in od tod Primeri: Poenostavi izraz cos (x) sin (x). [R : cos 4x] Naj bo sin x = 1/ 5 in π/ < x < π. Dolo i sin x, cos x. [R : sin x = 4/5, cos x = 3/5] Poenostavite [R : tan x] sin x sin x 1+cos x cos x Poenostavite (4 tan α 4 sin3 α cos α [R : ] ) : sin α DARJA POTOƒAR, FMF

5 31. ²olska ura Tema: Vaje Oblika: vaje 1. Izra unaj natan no (brez kalkulatorja), rezultat racionaliziraj! a) [R : 3/3] tan(945 ) cos ( 600 ) sin (34π/6) b) (cos π 4 sin 750 ) : (1 + 4 cos 13π ) tan( 0π/3) cot [R : 6 ] 7. Poenostavi: a) cos 1 x (1 + cot x) 1 + sin x tan 1 x [R : 1/ cos x] b) 1/ sin(5π x) : cot x + sin (5π/ x) [R : 1] c) [R : 1/ cos x] sin 1 x sin x cot x + (1 + tan x) 3. Naj bo cos α = 3/5, π/ < α < π. Izra unaj: sin α, cos α, sin(α + π). [R : sin α = 4/5, cos α = 7/5, sin(α + π) = 4/5] cos x 1 + cot x 4. Izra unaj cos(π/3 x), e velja cot x = 3/4, π/ < x < π. [R : ] 5. Ugotovi sodost oz. lihost funkcije: [R : f(x) je liha] f(x) = sin x tan x x 3 cos x. DARJA POTOƒAR, FMF

6 3. ²olska ura Tema: Faktorizacija Izpeljava: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Se²tejemo in dobimo: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β. Denirajmo: α + β = γ, α β = δ = α = γ+δ, β = γ δ. Tako dobimo naslednji dve enakosti: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin γ + sin δ = sin( γ + δ ) cos(γ δ ) sin γ sin δ = sin( γ δ ) cos( γ + δ ) ƒe zgornji dve vrstici se²tejemo in upo²tevamo, dobimo enakost cos γ + cos δ = cos( γ+δ γ δ ) cos( ). ƒe pa zgornji dve vrstici od²tejemo in zopet upo²tevamo, pa dobimo cos γ cos δ = sin( γ+δ γ δ ) sin( ). Primeri: sin x + cos 4x =?, cos 105 cos 75 =? [R : sin 3x cos x, 1] Poenostavi 1+sin x 1 sin x. Dokaºi: cos(α + π/6) + cos(α π/6) = 3 cos α. ƒe je α oster kot, dokaºi, da je 1 + sin α 1 sin α = sin α. DARJA POTOƒAR, FMF

7 33. ²olska ura Tema: Raz lenitev produkta Izpeljava: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β sin α cos β = 1 [sin(α + β) + sin(α β)] cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β cos α cos β = 1 [cos(α + β) + cos(α β)] cos(α + β) cos(α β) = sin α sin β sin α sin β = 1 [cos(α + β) cos(α β)] Primeri: Poenostavi: [R : tan(x y)] Poenostavi: sin(3x y) sin(3y x) cos x + cos y sin(30 x) cos x sin x cos(30 x) = = [R : 3] Poenostavi: tan α cot α! sin α [R : ] sin α Poenostavi: sin α + sin β + sin γ, kjer so α, β, γ koti v trikotniku. Izpeljimo naslednji dve formuli: tan α ± tan β in cot α ± cot β! [R : tan α + tan β = sin(α±β) sin(α±β), cot α + cot β = ± ] cos α cos β sin α sin β Dokaºi, da velja: cos(α + β) cos(α β) = cos β sin α! Dokaºi: 4 sin(π/4 + α) sin(π/4 α) cos α = 1 + cos 4α. DARJA POTOƒAR, FMF

8 34. ²olska ura Tema: Graf funkcije f(x) = sin x ravnilo f(x) = sin x... SINUSOIDA sin( x) = sin x... prezrcalimo ez izhodi² e sin(x + πk) = sin x... perioda je π! Najve ja vrednost: sin x = 1 = x = π + πk, k Z Najmanj²a vrednost: sin x = 1 = x = π + πk, k Z Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Slika 5: sinusoida Primeri: Nari²i graf funkcije f(x) = 1 + sin x. Dolo i najve jo in najmanj²o vrednost funkcije f(x) = 3 + sin x. [R : max = 4, min = ] Za kak²ne x ni deniran izraz sin x 1 sin x? [R : x = ± π + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

9 Tema: Graf funkcije f(x) = cos x ravnilo 35 (1). ²olska ura f(x) = cos x... KOSINUSOIDA cos( x) = cos x... simetri na glede na x - os cos(x + πk) = cos x... perioda je π! Najve ja vrednost: cos x = 1 = x = 0 + πk, k Z Najmanj²a vrednost: cos x = 1 = x = π + πk, k Z Ni le: cos x = 0 = x = π + πk, k Z sin(x + π/) = cos x Slika 6: kosinusoida Primeri: Nari²imo graf funkcije f(x) = cos x. Nari²imo graf funkcije f(x) = cos x + 1. V istem koordinatnem sistemu nari²i graf funkcije f(x) = cos x 1 in premico y = 1/ ter zapi²i njuna prese i² a. [R : ( π + kπ, 1), ( π + kπ, 1 ), k Z] 3 3 DARJA POTOƒAR, FMF

10 Tema: Graf funkcije f(x) = tan x, cot x ravnilo 35 (). ²olska ura f(x) = tan x tan( x) = tan x tan(x + πk) = tan x... perioda je π tan x = sin x... racionalna funkcija cos x Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Poli: cos x = 0 = x = π + πk, k Z Slika 7: tangens f(x) = cot x cot( x) = cot x cot(x + πk) = cot x... perioda je π cot x = cos x... racionalna funkcija sin x Ni le: cos x = 0 = x = π + πk, k Z Poli: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Slika 8: kotangens DARJA POTOƒAR, FMF

11 36. ²olska ura Tema: Risanje grafov kotnih funkcij, vaje ravnilo Vaja: Dolo i denicijsko obmo je funkcij: a) f(x) = 3 + sin x b) f(x) = 1 tan x 1+tan x. RISANJE GRAFOV: f(x) = A sin(ωx + ϕ) + c = A sin(ω(x + ϕ ω )) + c A... amplituda, razteg po y - osi ω... frekvenca nihanja, razteg po x - osi: ϕ ω ω < 1 razteg ω > 1 skr itev... premik po x - osi c... premik po y - osi T = π... perioda, na koliko se graf funkcije ponavlja ω 1. Nari²imo graf funkcije f(x) = sin x! Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk = x = π/k, k Z Najve ja vrednost: sin x = 1 = x = π/+πk = x = π/4+πk, k Z Perioda: T = π. f(x) = sin x = π Ni le: sin x = 0 = x Najve ja vrednost: sin x = 1 = x Perioda: T = π 1/ = 4π = 0 + πk = x = 0 + πk, k Z = π/ + πk = x = π + 4πk, k Z DARJA POTOƒAR, FMF

12 37. ²olska ura Tema: Risanje grafov kotnih funkcij, vaje ravnilo Nari²imo grafe naslednjih funkcij: 1. f(x) = sin( x π 4 ) = sin( 1 (x π ))! a) Najprej nari²emo funkcijo sin x. b) sin 1 x... razteg po x - osi c) sin( 1 (x π ))... premik po x - osi za π/ v desno! d) T = 4π... perioda. f(x) = cos(π x) = cos(x π) = cos (x π ) a) cos x b) cos x... skr itev po x - osi c) cos (x π )... premik po x - osi za π/ v desno d) cos (x π )... razteg po y - osi e) T = π... perioda 3. f(x) = cos( x + π 4 ) = cos 1 (x + π ) a) Nari²imo najprej f(x) = cos x : cos x = 0 cos x = 1 cos x = 1 x = π + πk x = 0 + πk x = π + πk x = π + πk x = 0 + 4πk x = π + 4πk b) cos 1 (x + π )... premik po x - osi za π/ v levo c) cos 1 (x + π )... zrcaljenje preko x - osi 4. f(x) = 3 cos(x π 4 ) DARJA POTOƒAR, FMF

13 38. ²olska ura Tema: Vaje - risanje grafov kotnih funkcij Oblika: vaje ravnilo 1. f(x) = sin x + 1 a) sin x b) sin x... kar je negativnega, prezrcalimo ez x - os c) sin x premik po y - osi za 1 gor. f(x) = 1 cos x f(x) = sin x sin x = sin x sin x = 1 (cos x cos 0) = 1 cos x + 1 cos 0 = 1 cos x + 1 Torej, risali bomo funkcijo f(x) = 1 cos x A sin(ωx + ϕ) = A sin(ωx) cos ϕ + A cos(ωx) sin ϕ a = A cos ϕ b = A sin ϕ a + b = A in tan ϕ = b a f(x) = a sin(ωx) + b cos(ωx) Primer: Kako nari²emo funkcijo f(x) = 3 sin x cos x? a = 3, b = 1, A = 4, A = ± tan ϕ = 3 3 ϕ = π/6 f(x) = ± sin(x π/6) in ker je sin( π/6) = 1/, je 5. f(x) = sin 3x + 3 cos 3x [R : f(x) = +4 sin(3x + π/3)] f(x) = + sin(x π/6). DARJA POTOƒAR, FMF

14 39. ²olska ura Tema: Vaje Oblika: vaje ravnilo 1. Izra unaj brez kalkulatorja: [R : 1] sin π 3 cos 5π 6 cos 15π 4 sin 5π 4 =. Poenostavi: [R : tan x sin x] cos 1 x cos x sin x cos 1 x 1 sin 1 x sin x = 3. Faktoriziraj(poenostavi): [R : 3 3 ] sin(30 x) cos x sin x cos(30 x) 4. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = 3 sin x 1 + cos x! [R : D f = [ π 6 + kπ, 5π 6 + kπ], k Z] 5. Nari²i graf funkcije f(x) = cos( x + π) Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti! [Ni le: x = 3π + 6kπ, k Z] 6. Poenostavi in nari²i: [R : f(x) = sin x] f(x) = cos( 5π 4x ) sin(4π x). DARJA POTOƒAR, FMF

15 40. ²olska ura Tema: f(x) = arcsin x Poglavje: Kroºne funkcije ravnilo f(x) = arcsin x Naj bo y R med -1 in 1. Ena ba sin x = y ima neskon no re²itev (glejmo graf sin x). Izkaºe se: e poznamo eno re²itev ena be, vse druge re²itve lahko s to dano preprosto izrazimo. ƒe je 0 y 1, ima ena ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [0, π ]. ƒe pa je 1 y 0, ima ena ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [ π, 0]. Zdruºimo oba primera: Naj bo 1 y 1. Ena ba sin x = y ima na intervalu [ π, π ] natanko eno re²itev, ki jo ozna imo z arcsin y. Denicija: arcsin y je tak kot med π in π, da je njegov sinus enak y. arcsin y [ π sin(arcsin y) = y π ], Funkcija arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] je bijektivna. arcsin x je inverzna funkciji sin x, zato jo dobimo tako, da graf sin x preslikamo ez simetralo lihih kvadrantov.(nari²i graf!) Primeri: Izra unaj arcsin 0! Re²itev: Ena ba sin x = 0 ima re²itev x = 0. Zato je arcsin 0 = 0. Izra unaj na pamet: arcsin 3, arcsin(tan π 4 ). [R : π 3, π ] Dana je funkcija f(x) = arcsin(x + 1) + π 4. a) Izra unajte f(0), f( 1/). b) Izra unajte ni lo funkcije f in nari²ite njen graf. c) Zapi²ite denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. [R : a) f(0) = 3π, 4 f( 1) = 5π, 1 b) x = 1, c) D f = [, 0], Z f = [ π, 3π]] 4 4 DARJA POTOƒAR, FMF

16 41. ²olska ura Tema: f(x) = arccos x, f(x) = arctan x Poglavje: Kroºne funkcije ravnilo f(x) = arccos x Ena ba cos x = y ( 1 y 1) ima na intervalu [0, π] natanko eno re²itev, ki jo ozna imo z arccos y. Denicija: arccos y je tak kot med 0 in π, da je njegov kosinus enak y. arccos y [0, π], cos(arccos y) = y Funkcija arccos : [ 1, 1] [0, π] je bijektivna. arccos x je inverzna funkciji cos x.(nari²i graf!) f(x) = arctan x Ena ba tan x = y ima na intervalu ( π, π ) natanko eno re²itev, ki jo ozna im z arctan y. Denicija: arctan y je tak kot ( π, π ), da je njegov tangens enak y. arctan y [ π, π ], tan(arctan y) = y Funkcija arctan : R ( π, π ) je bijektivna. arctan x je inverzna funkciji tan x. (Nari²i graf!) Primeri: Izra unaj arccos( cot π 4 ), arctan(sin 3π ). [R : π, π 4 ] Za funkcijo f(x) = arctan x + π 6 [R : ni la: x = 3 3, asimptoti: y = π 3, y = π 3 ] zapi²ite ni lo, ena bi asimptot in nari²ite njen graf. DARJA POTOƒAR, FMF

17 4. ²olska ura Tema: Kot med dvema premicama ravnilo Kot med dvema premicama: 3x + 1 y = 5 4x + y 3 = 0 Izra unaj kot, pod katerim se sekata zgornji premici! Izpeljava: p 1 α p α α 1 α = α 1 + α α = α α 1 Slika 9 tan α = tan α tan α 1 tan α = sin α cos α sin α 1 cos α 1 = sin α cos α 1 sin α 1 cos α cos α cos α 1 = tan α tan α tan α tan α 1 y T y 1 T 1 x 1 x tan α = y y 1 x x 1 = k Slika 10 Na² primer: k 1 = 3 = tan α 1 k = = tan α = tan α = 3 1+( ) 3 = 1 = α = π/4 Primeri: Izra unaj kot med premicama y 1 + 5x = 0 in 5y + 10x = 0. [R : α = 37 5 ] Dolo i implicitno ena bo premice, ki poteka skozi to ko T (, 1) in seka premico x y = pod kotom α = π/4. [R : 3y x + 5 = 0] DARJA POTOƒAR, FMF

18 Tema: Polarni koordinatni sistem Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 43. ²olska ura Slika! 1. Pretvarjanje iz kartezi nih v polarne koordinate T (x, y) T (r, ϕ): r = x + y, tan ϕ = y x Primer: Spremeni to ki T (3, 3) in T (, ) v polarni koordinati.. Pretvarjanje iz polarnih v kartezi ne koordinate T (r, ϕ) T (x, y): x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Primer: Spremeni to ko T (, 330 ) v kartezi ne koordinate. Polarni zapis C ²tevil: z = a + bi z = a + b... absolutna vrednost kompl. ²tevila, tan ϕ = b a... argument kompl. ²tevila, a = z cos ϕ, b = z sin ϕ = z = z cos ϕ + i z sin ϕ oz. z = z (cos ϕ + i sin ϕ) zapis kompleksnega ²tevila v polarnem Primeri: z = 1 i in z = 3 + i zapi²i v polarni obliki. [R : z 1 = (cos π 4 i sin π 4 ), z = (cos π 6 i sin π 6 )] Kaj predstavlja mnoºica to k z =? [R : kroºnica: S(0, 0), r = ] Predstavi v polarni obliki: a) cos π 10 i sin π 10 b) 3(cos π 5 + i sin π 5 ) DARJA POTOƒAR, FMF

19 Tema: Ra unanje v C - Moivrova formula Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 44. ²olska ura z = z (cos ϕ + i sin ϕ) w = w (cos ψ + i sin ψ) 1. Produkt: z w = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)) = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). Inverz: z 1 = 1 z = z z = z (cos ϕ i sin ϕ) z = 1 (cos ϕ i sin ϕ) z 3. Potenciranje: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ), n Z (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ Moivrova formula Primer: z = 1 + i, z 10 =? [R : 3i] 4. Kvocient: Primer: (3 3i) 10 (+i) =? [R : ] z w = z (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)) w 5. Koreni enote: Re²itvam ena be z n = 1 pravimo n-ti koreni enote. Te re²itve pa sestavljajo oglji² a pravilnega n-kotnika in to so ²tevila z k = cos kπ n kπ + i sin n, kjer je k = 0, 1,,..., n 1. Primer: Poi² i korene enote ena b x 4 = 1 in x 3 = 1. [R : x k = cos kπ + i sin kπ, k = 0, 1,, x k = cos kπ + i sin kπ, k = 0, 1, ] 3 3 Primeri: Dolo i vse z, ki re²ijo ena bo z 3 = 1 i. [R : z 0 = 6 (cos 7π 7π + i sin ) 1 1 z 1 = 6 (cos 15π 1 z = 6 (cos 3π 1 15π + i sin ) 1 3π + i sin 1 )] DARJA POTOƒAR, FMF

20 Tema: Ra unanje v C - Vaje Oblika: vaje Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 45. ²olska ura 1. Izra unaj: [R : 1] ( i + )1.. Zapi²i v polarni obliki kompleksna ²tevila: [R : cos π 1 i sin π 1 ] 3. Re²i ena bo: ix 8 = 0. [R : z 0 = (cos 3π + i sin 3π) 6 6 z 1 = (cos 7π + i sin 7π) 6 6 z = (cos 11π + i sin 11π)] 6 6 (1 + i 3) 5 (1 i) Re²i ena bo in nari²i re²itve: z 3 = 64i [R : z k = 1(cos( π + kπ) + i sin( π + kπ )), k = 0, 1, ] Imamo ²tevili z 1 = 1 + i 3 in z = 1 + i. a) Zapi²i ²tevili v polarni obliki. b) Ugotovi absolutno vrednost in argument ²tevila w = z 1 z. c) Izra unaj od tod cos 75, sin 75. [R : z 1 = (cos 5π + i sin 5π), z 3 3 = (cos π + i sin π), 4 4 w =, ϕ = 17π, 1 cos 75 = 6, sin 75 = 6+ ] 4 4 DARJA POTOƒAR, FMF

21 Tema: Ena be: sin x = y, cos x = y Poglavje: Trigonometri ne ena be 46. ²olska ura 1. sin x = y y [ 1, 1] Eno re²itev ºe poznamo: x 1 = arcsin y, x 1 [ π, π ]. Ker je sin(π x) = sin x, je tudi x = π x 1 re²itev ena be (slika!). Vse druge re²itve dobimo tako, da tema dvema pri²tejemo ve kratnike ²tevila π. Re²itve ena be so torej: x 1 = arcsin y + kπ, x = π arcsin y + kπ, k Z. Primer: sin x = 1 x 1 = arcsin 1/ + kπ = π/6 + kπ, k Z x = π π/6 + kπ = 5π/6 + kπ, k Z. cos x = y y [ 1, 1] x 1 = arccos y, x 1 [0, π] Ker je cos soda funkcija, je tudi x = x 1 = arccos y re²itev ena be (slika). Re²itve ena be cos x = y so: x 1 = arccos y + kπ, x = arccos y + kπ, k Z. Primer: cos x = 3 x 1 = arcsin 3/ + kπ = π/6 + kπ, k Z x = π/6 + kπ, k Z 3. sin x = cos α Prepi²emo v sin x = sin( π α.) Od tod je x 1 = π/ α + kπ in x = π (π/ α) + kπ = π/ + α + kπ, k Z. DARJA POTOƒAR, FMF

22 Tema: Ena be tan x = y, cot x = y Poglavje: Trigonometri ne ena be 47. ²olska ura 1. tan x = y Edina re²itev na ( π/, π/) je x 1 = arctan y. Ker ima tangens periodo π, dobimo vse re²itve tako, da pri²tejemo x 1 ve kratnike ²tevila π. Vse re²itve ena be so torej x = arctan y + kπ, k Z. Primer: tan x = 1 x = arctan( 1) + kπ = π/4 + kπ, k Z. cot x = y Vse re²itve te ena be so (z istim premislekom kot zgoraj): x = arccot y + kπ, k Z. Primer: cot x = 3 tan x = 1/ 3 x = arctan( 3/3) + kπ = π/6 + kπ, k Z Primeri: Re²i ena be: a) sin x = 3/ [R : x 1 = π + kπ, x 6 = π + kπ] 3 b) cot(3x + π/4) = 1 [R : x = π + kπ] 6 3 c) cos 3x + 1 = 0 [R : x 1 = π + kπ, x 9 3 = π + kπ] 9 3 d) sin(x + 7π) 1 = 0 6 [R : x 1 = π + kπ, x = π + kπ] 3 Kje ni denirana funkcija f(x) = 1 1+ sin x? Re²i ena bi: a) cos x = cos π 5 [R : x 1, = ± π 5 + kπ] b) cot x = tan 10 [R : x = 80 + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

23 Tema: Uvedba nove neznanke Poglavje: Trigonometri ne ena be 48. ²olska ura 1. Re²imo ena bo: sin x 3 sin x + 1 = 0 sin x = t... uvedemo novo neznanko Ena ba se spremeni v kvadratno ena bo: t 3t + 1. Re²itvi: t 1 = 1, t = 1/ Re²itvi : t 1 = 1 = x 1 = π/ + kπ t = 1/ = x = π/6 + kπ x 3 = 5π/6 + kπ, k Z. sin x = cos x + 1 sin cos x 1 = 0 (1 cos x) cos x 1 = 0 cos x cos x + 1 = 0... uvedemo novo neznanko t = cos x t + t 1 = 0 Resitve: t 1 = 1 = x 1 = π + kπ t = 1/ = x = π/3 + kπ x 3 = π/3 + kπ 3. Re²i ena bo sin 1 x cot x = 1 3 tan x [R : x 1, = ± π 3 + kπ] 4. Re²i ena bo [R : x 1 = kπ, x,3 = ± π 6 + kπ, x 4 = 5π 6 + kπ, x 5 = 7π 6 + kπ] 3 sin x 4 sin 3 x = 0 DARJA POTOƒAR, FMF

24 Tema: Homogene ena be Poglavje: Trigonometri ne ena be 49. ²olska ura 1. Re²imo ena bo 3 sin x 4 sin x cos x + cos x = 0 Ena bo delimo s cos x. Kaj pa e je cos x = 0? Potem iz ena be vidimo, da je tudi sin x = 0, to pa ne more biti, saj velja zveza sin x + cos x = 1. Z deljenjem dobimo ena bo 3 tan x 4 tan x + 1 = 0 Uvedemo novo neznanko tan x = t. Re²itvi ena be : t 1 = 1, t = 1/3. Re²itvi prvotne ena be: x 1 = π/4 + kπ x = arctan kπ, k Z. sin x + cos x = 3 sin x Upo²tevamo formulo za dvojne kote: sin x = sin x cos x sin x + cos x = 3 sin x cos x Po premisleku od prej²njega primera lahko ena bo delimo s cos x, preuredimo in dobimo ena bo tan x 3 tan x + 1 = 0 Uvedemo novo neznanko tan x = t in dobimo re²itvi t 1 = 1, t = 1/. Re²itvi prvotne ena be: x 1 = π/4 + kπ x = arctan 1 + kπ, k Z 3. Re²i ena bo 5 cos x + 1 sin x = 13 Namig: Pomagaj si s polovi nimi koti. [R : x = arctan(/3) + kπ] cos x = cos ( x ) sin ( x ) sin x = sin x cos x 1 = cos ( x ) + sin ( x ) 4. Re²imo ²e ena bo 1 + tan x 1 tan x = 1 + sin x DARJA POTOƒAR, FMF

25 Tema: Adicijski izreki, faktorizacija,... Poglavje: Trigonometri ne ena be 50. ²olska ura Ponovimo adicijske izreke, formule za faktorizacijo in raz lenitev produkta!!! Re²imo naslednje ena be: 1. cos x sin x = cos 4x Ena bo prevedemo na cos x cos 4x = 0, uporabimo faktorizacijo cos α cos β = sin α+β sin α β in zgornja ena ba se prevede na sin 3x sin x = 0 sin 3x = 0 = 3x = 0 + kπ = x 1 = 0 + kπ/3, k Z. sin x = 0 = x = 0 + kπ, k Z.. Ena bo delimo z in dobimo sin x 3 cos x = sin x cos x = 1. ƒe upo²tevamo, da je 1/ = cos π/3 in 3/ = sin π/3 in tako nastane ena ba cos π 3 sin x sin π 3 cos x = 1. ƒe dobro pogledamo zgornjo formulo, vidimo, da je to ravno adicijski izrek za sinus. sin(x + π 3 ) = 1 x π/3 = π/6 + kπ = x 1 = π/ + kπ x π/3 = π π/6 + kπ = x = 7π/6 + kπ, k Z 3. cos 4x cos x = cos 5x cos x [R : x 1 = π 6 + kπ 6, x = π + kπ] 4. [R : x = π + kπ] 1 + cos x sin x = cos x 1 cos x DARJA POTOƒAR, FMF

26 Tema: Vaje Oblika: vaje Poglavje: Trigonometri ne ena be 51. ²olska ura Re²imo naslednje ena be: 1. Najprej dam besedo dijakom za vpra²anja, ki so jim nerazumljiva.. 4 sin x sin x = 1 [R: x 1 = π/4 + kπ, x = 3π/4 + kπ, x 3 = π/4 + kπ, x 4 = 5π/4 + kπ] 3. sin x = cos x [R: x = π/4 + kπ] 4. sin x sin x = 1 a) sin x = 1 x = π/ + kπ sin x = 1 x = π/ + kπ = x = π/4 + kπ = nima re²itve b) sin x = 1 x = π/ + kπ Ena ba 3. nima re²itve!!! sin x = 1 x = π/ + kπ = x = π/4 + kπ = nima re²itve 5. cos x + cos 3x = cos x + cos 4x [R: x 1 = π/ + kπ, x = kπ, x 3 = kπ/5] 6. sin(cos x) = 1 Namig: Nova neznanka! [R: x 1 = arccos(π/4) + kπ, x = π arccos(π/4) + kπ, x 3 = arccos(3π/4) + kπ, x 4 = π arccos(3π/4) + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

27 5. ²olska ura Tema: Vaje za kontrolno nalogo Oblika: vaje 1. Natan no izra unaj cos(17π/3 x), e velja π/ < x < 3π/ in cot x = 3. [R: ]. Poenostavi izraz sin x 1. sin x [R: cot x] 3. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = 3 sin x 1 + cos x. [R: x [π/6 + kπ, 5π/6 + kπ]] 4. Faktoriziraj: [R: cos x] sin(x + 15 ) cos(x 15 ) 1 tan x 5. Nari²i graf funkcije f(x) = cos( x 3 + π 6 ) + 1. Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. 6. Re²i ena be: a) sin x = tan x [R: x 1, = ±π/3 + kπ, x 3 = kπ] b) tan 3x = cos 675 tan( 5π sin( 16π 3 6 ) ) cot( 11π 4 ) [R: x = 1/3 arctan( /3) + kπ/3] c) 3 cos(x π/3) + 3/ = 0 [R: x 1 = 7π/1 + kπ, x = π/4 + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

28 53. ²olska ura Tema: Kontrolna naloga Vzorec kontrolne naloge: 1. Natan no izra unaj tan(y x), e je cot y = 5 in cot x = 1/. [R : 19/]. a) α = z 3w, kjer je z = +i 3 i Izra unaj α 10! [R : 15 ] b) Re²i ena bo z 4 = 8 8i 3. in w = 1 + i. [R : z 0 = (cos 5π 5π + i sin ), 1 1 z 1 = (cos 11π 11π + i sin ), 1 1 z = (cos 17π 17π + i sin ), 1 1 z 3 = (cos 3π 3π + i sin ).] Nari²i graf funkcije f(x) = sin(x/ π/) +. Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. [R : Ni le:/, D f = R, Z f = [1, 3]] 4. Poenostavi izraz sin α sin α 1 + cos α cos α. [R : tan α] 5. Re²i trigonometri ni ena bi: a) 4 cos x 3 tan x + 1 = 0 [R : x 1, = ± π 4 + kπ, x 3,4 = ± 3π 4 + kπ] b) 3 sin x + cos x = 3 [R : x 1 = π + kπ, x = arctan(1/5) + kπ, k Z] DARJA POTOƒAR, FMF

29 54. ²olska ura Tema: Poprava kontrolne naloge Razdelim kontrolne, da jih dijaki pregledajo. Naredimo popravo in dam poudarek na najpogostej²e napake. V primeru prevelikih negativnih ocen se dogovorimo za popravljanje kontrolne naloge, druga e pa lahko manj²e ²tevilo dijakov, ki so pisali negativno oceno, ustno popravijo oceno med teko o ²olsko uro. DARJA POTOƒAR, FMF

30 55. ²olska ura Tema: Ustno spra²evanje ƒe kdo ºeli popraviti negativno oceno, doseºeno na kontrolni nalogi, se lahko javi. Druga e spra²ujem po dogovorjenem vrstnem redu. DARJA POTOƒAR, FMF

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice.

1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice. 1. ²olska ura Tema: Uvodna ura, vaje Poglavje: Ponavljanje 1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice. 2. Ponovimo snov iz prej²njega ²olskega leta(ustno in z vajami): Kotne funkcije Vektorji

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:

Διαβάστε περισσότερα

predavatelj: doc. Andreja Drobni Vidic

predavatelj: doc. Andreja Drobni Vidic 1 RE ITVE 5. DOMAƒE NALOGE - TOTP - modul MATEMATIKA predavaelj: doc. Andreja Drobni Vidic UPORABA ODVODOV IN INTEGRALI Diferencialni ra un je omogo il re²evanje nalog, za kaere je pred em kazalo, da presegajo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO ANITA MANDELJ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: Matematika in ra unalni²tvo Ravninske mreºe in posplo²itve Pickovega izreka

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007

Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007 Diagonalni gra Zvone Klun Maj 2007 1 Predstavitev diagonalnih grafov Graf je diagonalen (ang. chordal), e ima vsak cikel dolºine 4 ali ve diagonalo. Kjer je diagonala (ang. chord) povezava med dvema vozli²

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v množici naravnih števil. 2. Kakšen je vrstni red računskih operacij v množici celih števil?

Διαβάστε περισσότερα

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk .3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.

Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f. Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dveh in več spremenljivk

Funkcije dveh in več spremenljivk Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:

Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko: 4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI

Διαβάστε περισσότερα

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

Uporabna matematika za naravoslovce

Uporabna matematika za naravoslovce Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in

Διαβάστε περισσότερα

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2 3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1 3D-prostor; ravnina in premica

1 3D-prostor; ravnina in premica 1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b) Matematika za inženirje 1 Vprašanja iz uvodnega poglavja Zapišite,kdaj je pravilna katera od logičnih operacij: disjunkcija, konjunkcija, implikacija in ekvivalenca. -Disjunkcija je pravilna (vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ

POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Smer (Matematika UN-BO) - 1. stopnja Belma Delić POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ Delo seminarja 1 Mentor: prof. dr. Milan Hladnik Ljubljana,

Διαβάστε περισσότερα

K U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta

K U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta U K 20 P K U P M 2 0 1 2 ROZETA 12 M Metka Jemec Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Kaj je rozeta? Rozeta je oblika vzorca, narejena v obliki simetrične

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov 3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM

11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM . Vaja: BODEJEV DIAGRAM. Bodejev diagram sestavljata dva grafa: a) amplitudno frekvenčni diagram in b) fazno frekvenčni diagram Decibel je enota za razmerje dveh veličin. Definicija: B B 0log0 A A db Bodejeve

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

298 Appendix A Selected Answers

298 Appendix A Selected Answers A Selected Answers 1.1.1. (/3)x +(1/3) 1.1.. y = x 1.1.3. ( /3)x +(1/3) 1.1.4. y = x+,, 1.1.5. y = x+6, 6, 6 1.1.6. y = x/+1/, 1/, 1.1.7. y = 3/, y-intercept: 3/, no x-intercept 1.1.8. y = ( /3)x,, 3 1.1.9.

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Tadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010

Tadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010 Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin

Διαβάστε περισσότερα

Računalniško vodeni procesi I

Računalniško vodeni procesi I Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

β α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β

Διαβάστε περισσότερα

11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE

11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE 11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Jaka Cimprič

Matematika 1. Jaka Cimprič Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem

Διαβάστε περισσότερα