DARJA POTOƒAR, FMF

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DARJA POTOƒAR, FMF"

Transcript

1 7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α = 1 tan α Slika 1 Zveze med kotnimi fumkcijami: sin α + cos α = cot α = 1 sin α 1 + tan α = 1 cos α V pravokotnem trikotniku opazimo: sin α = cos(90 α) cos α = sin(90 α) Primeri: V pravokotnem trikotniku meri osnovnica c = 8cm, stranica a = 4cm. Koliko merijo koti v trikotniku? [R : α = 30, β = 60 ] Poenostavi (kolikor se da): a) sin 3 α + sin α cos α b) cos β cos β sin β cos 3 β [R : a) sin α, b)0] Imamo enakokrak trikotnik z osnovnico AB = c in kotom γ pri vrhu. Dolo i obseg kroga, ki se dotika obeh krakov in ima sredi² e v razpolovi² u stranice AB. [R : ob = πr, r = c cos(γ/) ] DARJA POTOƒAR, FMF

2 Tema: Prehod na ostri kot, periodi nost,... cos α α sin α 8. ²olska ura Slika Slika 3 Zaloga vrednosti sin in cos: sin α 1, cos α 1. Periodi nost: cos(α + πk) = cos α sin(α + πk) = sin α tan(α + πk) = tan α cot(α + πk) = cot α Sodost, lihost: cos( α) = cos α... cos je soda funkcija sin( α) = sin α... sin je liha funkcija tan, cot( α) = tan, cot α... tan in cot sta lihi funkciji Prehod na ostri kot (α): sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α Tabela ostrih kotov: 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ cos α 1 3/ / 1/ sin α 0 1/ / 3/ Primeri: Naj bo π < α < 3π/ in sin α = 0, 8. Dolo i cos α! (Pomagaj si s sliko B.) [R : cos α = 0, 6] Naj bo sin α + cos α = 4/3. Dolo i sin α cos α! [R : (4+ )(0 6) ] 18 sin (0π/3)+cos (19π/4) Izra unaj =? sin ( 11π/3) cos (19π/6) [R : ] 3 DARJA POTOƒAR, FMF

3 9. ²olska ura Tema: Adicijski izreki T (cos β, sin β) Izpeljava adicijskih izrekov: g β α β α f T 1 (cos α, sin α) g f = g f cos(α β); ker imamo enotsko kroºnico, sta g = f = 1. g = (cos α, sin α), f = (cos β, sin β) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Slika 4 ƒe upo²tevamo cos(α +β) = cos(α ( β)), sin α = cos(π/ α) in tan(α +β) = sin(α+β) cos(α+β), dobimo adicijske izreke: A-1 cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β A- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β A-3 tan(α ± β) = tan α±tan β 1 tan α tan β Primeri: Izpelji adicijski izrek za tangens! Izra unaj sin 75! [R : + 6] 4 Dolo i sin(π/3 α), e je 0 < α < π in cos α = 3/5. [R : 3 3 4] 10 Poenostavi izraz sin(α + β) cos α cos(α + β) sin α. [R : sin β] ƒe so α, β, γ koti v trikotniku, pokaºi, da je cos α + cos β + cos γ + cos α cos β cos γ = 1. Izra unaj cos(α β +γ), e je cos α = 1/13, sin β = 8/17, sin γ = 3/5 in so koti α, β, γ ostri. 943 [R : ] 1105 DARJA POTOƒAR, FMF

4 30. ²olska ura Tema: Dvojni in polovi ni koti Dvojni koti Kako bi z dosedanjim znanjem izpeljali formulo za sin α? Morda z adicijskimi izreki? sin α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = sin α cos α cos α = cos α cos α sin α sin α = cos α sin α sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α Polovi ni koti Upo²tevajmo, da je cos α = 1 sin α in cos α = cos α sin α = 1 sin α sin α. Tako je sin α = 1 cos α. Zamenjamo α z α/ in dobimo formulo sin α = ± 1 cos α. Predznak je odvisen od intervala, na katerem leºi α/. Podobno lahko iz cos α = cos α (1 cos α) dobimo cos α = cos α = ± 1+cos α. 1+cos α in od tod Primeri: Poenostavi izraz cos (x) sin (x). [R : cos 4x] Naj bo sin x = 1/ 5 in π/ < x < π. Dolo i sin x, cos x. [R : sin x = 4/5, cos x = 3/5] Poenostavite [R : tan x] sin x sin x 1+cos x cos x Poenostavite (4 tan α 4 sin3 α cos α [R : ] ) : sin α DARJA POTOƒAR, FMF

5 31. ²olska ura Tema: Vaje Oblika: vaje 1. Izra unaj natan no (brez kalkulatorja), rezultat racionaliziraj! a) [R : 3/3] tan(945 ) cos ( 600 ) sin (34π/6) b) (cos π 4 sin 750 ) : (1 + 4 cos 13π ) tan( 0π/3) cot [R : 6 ] 7. Poenostavi: a) cos 1 x (1 + cot x) 1 + sin x tan 1 x [R : 1/ cos x] b) 1/ sin(5π x) : cot x + sin (5π/ x) [R : 1] c) [R : 1/ cos x] sin 1 x sin x cot x + (1 + tan x) 3. Naj bo cos α = 3/5, π/ < α < π. Izra unaj: sin α, cos α, sin(α + π). [R : sin α = 4/5, cos α = 7/5, sin(α + π) = 4/5] cos x 1 + cot x 4. Izra unaj cos(π/3 x), e velja cot x = 3/4, π/ < x < π. [R : ] 5. Ugotovi sodost oz. lihost funkcije: [R : f(x) je liha] f(x) = sin x tan x x 3 cos x. DARJA POTOƒAR, FMF

6 3. ²olska ura Tema: Faktorizacija Izpeljava: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Se²tejemo in dobimo: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β. Denirajmo: α + β = γ, α β = δ = α = γ+δ, β = γ δ. Tako dobimo naslednji dve enakosti: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin γ + sin δ = sin( γ + δ ) cos(γ δ ) sin γ sin δ = sin( γ δ ) cos( γ + δ ) ƒe zgornji dve vrstici se²tejemo in upo²tevamo, dobimo enakost cos γ + cos δ = cos( γ+δ γ δ ) cos( ). ƒe pa zgornji dve vrstici od²tejemo in zopet upo²tevamo, pa dobimo cos γ cos δ = sin( γ+δ γ δ ) sin( ). Primeri: sin x + cos 4x =?, cos 105 cos 75 =? [R : sin 3x cos x, 1] Poenostavi 1+sin x 1 sin x. Dokaºi: cos(α + π/6) + cos(α π/6) = 3 cos α. ƒe je α oster kot, dokaºi, da je 1 + sin α 1 sin α = sin α. DARJA POTOƒAR, FMF

7 33. ²olska ura Tema: Raz lenitev produkta Izpeljava: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β sin α cos β = 1 [sin(α + β) + sin(α β)] cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β cos α cos β = 1 [cos(α + β) + cos(α β)] cos(α + β) cos(α β) = sin α sin β sin α sin β = 1 [cos(α + β) cos(α β)] Primeri: Poenostavi: [R : tan(x y)] Poenostavi: sin(3x y) sin(3y x) cos x + cos y sin(30 x) cos x sin x cos(30 x) = = [R : 3] Poenostavi: tan α cot α! sin α [R : ] sin α Poenostavi: sin α + sin β + sin γ, kjer so α, β, γ koti v trikotniku. Izpeljimo naslednji dve formuli: tan α ± tan β in cot α ± cot β! [R : tan α + tan β = sin(α±β) sin(α±β), cot α + cot β = ± ] cos α cos β sin α sin β Dokaºi, da velja: cos(α + β) cos(α β) = cos β sin α! Dokaºi: 4 sin(π/4 + α) sin(π/4 α) cos α = 1 + cos 4α. DARJA POTOƒAR, FMF

8 34. ²olska ura Tema: Graf funkcije f(x) = sin x ravnilo f(x) = sin x... SINUSOIDA sin( x) = sin x... prezrcalimo ez izhodi² e sin(x + πk) = sin x... perioda je π! Najve ja vrednost: sin x = 1 = x = π + πk, k Z Najmanj²a vrednost: sin x = 1 = x = π + πk, k Z Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Slika 5: sinusoida Primeri: Nari²i graf funkcije f(x) = 1 + sin x. Dolo i najve jo in najmanj²o vrednost funkcije f(x) = 3 + sin x. [R : max = 4, min = ] Za kak²ne x ni deniran izraz sin x 1 sin x? [R : x = ± π + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

9 Tema: Graf funkcije f(x) = cos x ravnilo 35 (1). ²olska ura f(x) = cos x... KOSINUSOIDA cos( x) = cos x... simetri na glede na x - os cos(x + πk) = cos x... perioda je π! Najve ja vrednost: cos x = 1 = x = 0 + πk, k Z Najmanj²a vrednost: cos x = 1 = x = π + πk, k Z Ni le: cos x = 0 = x = π + πk, k Z sin(x + π/) = cos x Slika 6: kosinusoida Primeri: Nari²imo graf funkcije f(x) = cos x. Nari²imo graf funkcije f(x) = cos x + 1. V istem koordinatnem sistemu nari²i graf funkcije f(x) = cos x 1 in premico y = 1/ ter zapi²i njuna prese i² a. [R : ( π + kπ, 1), ( π + kπ, 1 ), k Z] 3 3 DARJA POTOƒAR, FMF

10 Tema: Graf funkcije f(x) = tan x, cot x ravnilo 35 (). ²olska ura f(x) = tan x tan( x) = tan x tan(x + πk) = tan x... perioda je π tan x = sin x... racionalna funkcija cos x Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Poli: cos x = 0 = x = π + πk, k Z Slika 7: tangens f(x) = cot x cot( x) = cot x cot(x + πk) = cot x... perioda je π cot x = cos x... racionalna funkcija sin x Ni le: cos x = 0 = x = π + πk, k Z Poli: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Slika 8: kotangens DARJA POTOƒAR, FMF

11 36. ²olska ura Tema: Risanje grafov kotnih funkcij, vaje ravnilo Vaja: Dolo i denicijsko obmo je funkcij: a) f(x) = 3 + sin x b) f(x) = 1 tan x 1+tan x. RISANJE GRAFOV: f(x) = A sin(ωx + ϕ) + c = A sin(ω(x + ϕ ω )) + c A... amplituda, razteg po y - osi ω... frekvenca nihanja, razteg po x - osi: ϕ ω ω < 1 razteg ω > 1 skr itev... premik po x - osi c... premik po y - osi T = π... perioda, na koliko se graf funkcije ponavlja ω 1. Nari²imo graf funkcije f(x) = sin x! Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk = x = π/k, k Z Najve ja vrednost: sin x = 1 = x = π/+πk = x = π/4+πk, k Z Perioda: T = π. f(x) = sin x = π Ni le: sin x = 0 = x Najve ja vrednost: sin x = 1 = x Perioda: T = π 1/ = 4π = 0 + πk = x = 0 + πk, k Z = π/ + πk = x = π + 4πk, k Z DARJA POTOƒAR, FMF

12 37. ²olska ura Tema: Risanje grafov kotnih funkcij, vaje ravnilo Nari²imo grafe naslednjih funkcij: 1. f(x) = sin( x π 4 ) = sin( 1 (x π ))! a) Najprej nari²emo funkcijo sin x. b) sin 1 x... razteg po x - osi c) sin( 1 (x π ))... premik po x - osi za π/ v desno! d) T = 4π... perioda. f(x) = cos(π x) = cos(x π) = cos (x π ) a) cos x b) cos x... skr itev po x - osi c) cos (x π )... premik po x - osi za π/ v desno d) cos (x π )... razteg po y - osi e) T = π... perioda 3. f(x) = cos( x + π 4 ) = cos 1 (x + π ) a) Nari²imo najprej f(x) = cos x : cos x = 0 cos x = 1 cos x = 1 x = π + πk x = 0 + πk x = π + πk x = π + πk x = 0 + 4πk x = π + 4πk b) cos 1 (x + π )... premik po x - osi za π/ v levo c) cos 1 (x + π )... zrcaljenje preko x - osi 4. f(x) = 3 cos(x π 4 ) DARJA POTOƒAR, FMF

13 38. ²olska ura Tema: Vaje - risanje grafov kotnih funkcij Oblika: vaje ravnilo 1. f(x) = sin x + 1 a) sin x b) sin x... kar je negativnega, prezrcalimo ez x - os c) sin x premik po y - osi za 1 gor. f(x) = 1 cos x f(x) = sin x sin x = sin x sin x = 1 (cos x cos 0) = 1 cos x + 1 cos 0 = 1 cos x + 1 Torej, risali bomo funkcijo f(x) = 1 cos x A sin(ωx + ϕ) = A sin(ωx) cos ϕ + A cos(ωx) sin ϕ a = A cos ϕ b = A sin ϕ a + b = A in tan ϕ = b a f(x) = a sin(ωx) + b cos(ωx) Primer: Kako nari²emo funkcijo f(x) = 3 sin x cos x? a = 3, b = 1, A = 4, A = ± tan ϕ = 3 3 ϕ = π/6 f(x) = ± sin(x π/6) in ker je sin( π/6) = 1/, je 5. f(x) = sin 3x + 3 cos 3x [R : f(x) = +4 sin(3x + π/3)] f(x) = + sin(x π/6). DARJA POTOƒAR, FMF

14 39. ²olska ura Tema: Vaje Oblika: vaje ravnilo 1. Izra unaj brez kalkulatorja: [R : 1] sin π 3 cos 5π 6 cos 15π 4 sin 5π 4 =. Poenostavi: [R : tan x sin x] cos 1 x cos x sin x cos 1 x 1 sin 1 x sin x = 3. Faktoriziraj(poenostavi): [R : 3 3 ] sin(30 x) cos x sin x cos(30 x) 4. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = 3 sin x 1 + cos x! [R : D f = [ π 6 + kπ, 5π 6 + kπ], k Z] 5. Nari²i graf funkcije f(x) = cos( x + π) Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti! [Ni le: x = 3π + 6kπ, k Z] 6. Poenostavi in nari²i: [R : f(x) = sin x] f(x) = cos( 5π 4x ) sin(4π x). DARJA POTOƒAR, FMF

15 40. ²olska ura Tema: f(x) = arcsin x Poglavje: Kroºne funkcije ravnilo f(x) = arcsin x Naj bo y R med -1 in 1. Ena ba sin x = y ima neskon no re²itev (glejmo graf sin x). Izkaºe se: e poznamo eno re²itev ena be, vse druge re²itve lahko s to dano preprosto izrazimo. ƒe je 0 y 1, ima ena ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [0, π ]. ƒe pa je 1 y 0, ima ena ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [ π, 0]. Zdruºimo oba primera: Naj bo 1 y 1. Ena ba sin x = y ima na intervalu [ π, π ] natanko eno re²itev, ki jo ozna imo z arcsin y. Denicija: arcsin y je tak kot med π in π, da je njegov sinus enak y. arcsin y [ π sin(arcsin y) = y π ], Funkcija arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] je bijektivna. arcsin x je inverzna funkciji sin x, zato jo dobimo tako, da graf sin x preslikamo ez simetralo lihih kvadrantov.(nari²i graf!) Primeri: Izra unaj arcsin 0! Re²itev: Ena ba sin x = 0 ima re²itev x = 0. Zato je arcsin 0 = 0. Izra unaj na pamet: arcsin 3, arcsin(tan π 4 ). [R : π 3, π ] Dana je funkcija f(x) = arcsin(x + 1) + π 4. a) Izra unajte f(0), f( 1/). b) Izra unajte ni lo funkcije f in nari²ite njen graf. c) Zapi²ite denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. [R : a) f(0) = 3π, 4 f( 1) = 5π, 1 b) x = 1, c) D f = [, 0], Z f = [ π, 3π]] 4 4 DARJA POTOƒAR, FMF

16 41. ²olska ura Tema: f(x) = arccos x, f(x) = arctan x Poglavje: Kroºne funkcije ravnilo f(x) = arccos x Ena ba cos x = y ( 1 y 1) ima na intervalu [0, π] natanko eno re²itev, ki jo ozna imo z arccos y. Denicija: arccos y je tak kot med 0 in π, da je njegov kosinus enak y. arccos y [0, π], cos(arccos y) = y Funkcija arccos : [ 1, 1] [0, π] je bijektivna. arccos x je inverzna funkciji cos x.(nari²i graf!) f(x) = arctan x Ena ba tan x = y ima na intervalu ( π, π ) natanko eno re²itev, ki jo ozna im z arctan y. Denicija: arctan y je tak kot ( π, π ), da je njegov tangens enak y. arctan y [ π, π ], tan(arctan y) = y Funkcija arctan : R ( π, π ) je bijektivna. arctan x je inverzna funkciji tan x. (Nari²i graf!) Primeri: Izra unaj arccos( cot π 4 ), arctan(sin 3π ). [R : π, π 4 ] Za funkcijo f(x) = arctan x + π 6 [R : ni la: x = 3 3, asimptoti: y = π 3, y = π 3 ] zapi²ite ni lo, ena bi asimptot in nari²ite njen graf. DARJA POTOƒAR, FMF

17 4. ²olska ura Tema: Kot med dvema premicama ravnilo Kot med dvema premicama: 3x + 1 y = 5 4x + y 3 = 0 Izra unaj kot, pod katerim se sekata zgornji premici! Izpeljava: p 1 α p α α 1 α = α 1 + α α = α α 1 Slika 9 tan α = tan α tan α 1 tan α = sin α cos α sin α 1 cos α 1 = sin α cos α 1 sin α 1 cos α cos α cos α 1 = tan α tan α tan α tan α 1 y T y 1 T 1 x 1 x tan α = y y 1 x x 1 = k Slika 10 Na² primer: k 1 = 3 = tan α 1 k = = tan α = tan α = 3 1+( ) 3 = 1 = α = π/4 Primeri: Izra unaj kot med premicama y 1 + 5x = 0 in 5y + 10x = 0. [R : α = 37 5 ] Dolo i implicitno ena bo premice, ki poteka skozi to ko T (, 1) in seka premico x y = pod kotom α = π/4. [R : 3y x + 5 = 0] DARJA POTOƒAR, FMF

18 Tema: Polarni koordinatni sistem Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 43. ²olska ura Slika! 1. Pretvarjanje iz kartezi nih v polarne koordinate T (x, y) T (r, ϕ): r = x + y, tan ϕ = y x Primer: Spremeni to ki T (3, 3) in T (, ) v polarni koordinati.. Pretvarjanje iz polarnih v kartezi ne koordinate T (r, ϕ) T (x, y): x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Primer: Spremeni to ko T (, 330 ) v kartezi ne koordinate. Polarni zapis C ²tevil: z = a + bi z = a + b... absolutna vrednost kompl. ²tevila, tan ϕ = b a... argument kompl. ²tevila, a = z cos ϕ, b = z sin ϕ = z = z cos ϕ + i z sin ϕ oz. z = z (cos ϕ + i sin ϕ) zapis kompleksnega ²tevila v polarnem Primeri: z = 1 i in z = 3 + i zapi²i v polarni obliki. [R : z 1 = (cos π 4 i sin π 4 ), z = (cos π 6 i sin π 6 )] Kaj predstavlja mnoºica to k z =? [R : kroºnica: S(0, 0), r = ] Predstavi v polarni obliki: a) cos π 10 i sin π 10 b) 3(cos π 5 + i sin π 5 ) DARJA POTOƒAR, FMF

19 Tema: Ra unanje v C - Moivrova formula Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 44. ²olska ura z = z (cos ϕ + i sin ϕ) w = w (cos ψ + i sin ψ) 1. Produkt: z w = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)) = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). Inverz: z 1 = 1 z = z z = z (cos ϕ i sin ϕ) z = 1 (cos ϕ i sin ϕ) z 3. Potenciranje: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ), n Z (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ Moivrova formula Primer: z = 1 + i, z 10 =? [R : 3i] 4. Kvocient: Primer: (3 3i) 10 (+i) =? [R : ] z w = z (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)) w 5. Koreni enote: Re²itvam ena be z n = 1 pravimo n-ti koreni enote. Te re²itve pa sestavljajo oglji² a pravilnega n-kotnika in to so ²tevila z k = cos kπ n kπ + i sin n, kjer je k = 0, 1,,..., n 1. Primer: Poi² i korene enote ena b x 4 = 1 in x 3 = 1. [R : x k = cos kπ + i sin kπ, k = 0, 1,, x k = cos kπ + i sin kπ, k = 0, 1, ] 3 3 Primeri: Dolo i vse z, ki re²ijo ena bo z 3 = 1 i. [R : z 0 = 6 (cos 7π 7π + i sin ) 1 1 z 1 = 6 (cos 15π 1 z = 6 (cos 3π 1 15π + i sin ) 1 3π + i sin 1 )] DARJA POTOƒAR, FMF

20 Tema: Ra unanje v C - Vaje Oblika: vaje Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 45. ²olska ura 1. Izra unaj: [R : 1] ( i + )1.. Zapi²i v polarni obliki kompleksna ²tevila: [R : cos π 1 i sin π 1 ] 3. Re²i ena bo: ix 8 = 0. [R : z 0 = (cos 3π + i sin 3π) 6 6 z 1 = (cos 7π + i sin 7π) 6 6 z = (cos 11π + i sin 11π)] 6 6 (1 + i 3) 5 (1 i) Re²i ena bo in nari²i re²itve: z 3 = 64i [R : z k = 1(cos( π + kπ) + i sin( π + kπ )), k = 0, 1, ] Imamo ²tevili z 1 = 1 + i 3 in z = 1 + i. a) Zapi²i ²tevili v polarni obliki. b) Ugotovi absolutno vrednost in argument ²tevila w = z 1 z. c) Izra unaj od tod cos 75, sin 75. [R : z 1 = (cos 5π + i sin 5π), z 3 3 = (cos π + i sin π), 4 4 w =, ϕ = 17π, 1 cos 75 = 6, sin 75 = 6+ ] 4 4 DARJA POTOƒAR, FMF

21 Tema: Ena be: sin x = y, cos x = y Poglavje: Trigonometri ne ena be 46. ²olska ura 1. sin x = y y [ 1, 1] Eno re²itev ºe poznamo: x 1 = arcsin y, x 1 [ π, π ]. Ker je sin(π x) = sin x, je tudi x = π x 1 re²itev ena be (slika!). Vse druge re²itve dobimo tako, da tema dvema pri²tejemo ve kratnike ²tevila π. Re²itve ena be so torej: x 1 = arcsin y + kπ, x = π arcsin y + kπ, k Z. Primer: sin x = 1 x 1 = arcsin 1/ + kπ = π/6 + kπ, k Z x = π π/6 + kπ = 5π/6 + kπ, k Z. cos x = y y [ 1, 1] x 1 = arccos y, x 1 [0, π] Ker je cos soda funkcija, je tudi x = x 1 = arccos y re²itev ena be (slika). Re²itve ena be cos x = y so: x 1 = arccos y + kπ, x = arccos y + kπ, k Z. Primer: cos x = 3 x 1 = arcsin 3/ + kπ = π/6 + kπ, k Z x = π/6 + kπ, k Z 3. sin x = cos α Prepi²emo v sin x = sin( π α.) Od tod je x 1 = π/ α + kπ in x = π (π/ α) + kπ = π/ + α + kπ, k Z. DARJA POTOƒAR, FMF

22 Tema: Ena be tan x = y, cot x = y Poglavje: Trigonometri ne ena be 47. ²olska ura 1. tan x = y Edina re²itev na ( π/, π/) je x 1 = arctan y. Ker ima tangens periodo π, dobimo vse re²itve tako, da pri²tejemo x 1 ve kratnike ²tevila π. Vse re²itve ena be so torej x = arctan y + kπ, k Z. Primer: tan x = 1 x = arctan( 1) + kπ = π/4 + kπ, k Z. cot x = y Vse re²itve te ena be so (z istim premislekom kot zgoraj): x = arccot y + kπ, k Z. Primer: cot x = 3 tan x = 1/ 3 x = arctan( 3/3) + kπ = π/6 + kπ, k Z Primeri: Re²i ena be: a) sin x = 3/ [R : x 1 = π + kπ, x 6 = π + kπ] 3 b) cot(3x + π/4) = 1 [R : x = π + kπ] 6 3 c) cos 3x + 1 = 0 [R : x 1 = π + kπ, x 9 3 = π + kπ] 9 3 d) sin(x + 7π) 1 = 0 6 [R : x 1 = π + kπ, x = π + kπ] 3 Kje ni denirana funkcija f(x) = 1 1+ sin x? Re²i ena bi: a) cos x = cos π 5 [R : x 1, = ± π 5 + kπ] b) cot x = tan 10 [R : x = 80 + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

23 Tema: Uvedba nove neznanke Poglavje: Trigonometri ne ena be 48. ²olska ura 1. Re²imo ena bo: sin x 3 sin x + 1 = 0 sin x = t... uvedemo novo neznanko Ena ba se spremeni v kvadratno ena bo: t 3t + 1. Re²itvi: t 1 = 1, t = 1/ Re²itvi : t 1 = 1 = x 1 = π/ + kπ t = 1/ = x = π/6 + kπ x 3 = 5π/6 + kπ, k Z. sin x = cos x + 1 sin cos x 1 = 0 (1 cos x) cos x 1 = 0 cos x cos x + 1 = 0... uvedemo novo neznanko t = cos x t + t 1 = 0 Resitve: t 1 = 1 = x 1 = π + kπ t = 1/ = x = π/3 + kπ x 3 = π/3 + kπ 3. Re²i ena bo sin 1 x cot x = 1 3 tan x [R : x 1, = ± π 3 + kπ] 4. Re²i ena bo [R : x 1 = kπ, x,3 = ± π 6 + kπ, x 4 = 5π 6 + kπ, x 5 = 7π 6 + kπ] 3 sin x 4 sin 3 x = 0 DARJA POTOƒAR, FMF

24 Tema: Homogene ena be Poglavje: Trigonometri ne ena be 49. ²olska ura 1. Re²imo ena bo 3 sin x 4 sin x cos x + cos x = 0 Ena bo delimo s cos x. Kaj pa e je cos x = 0? Potem iz ena be vidimo, da je tudi sin x = 0, to pa ne more biti, saj velja zveza sin x + cos x = 1. Z deljenjem dobimo ena bo 3 tan x 4 tan x + 1 = 0 Uvedemo novo neznanko tan x = t. Re²itvi ena be : t 1 = 1, t = 1/3. Re²itvi prvotne ena be: x 1 = π/4 + kπ x = arctan kπ, k Z. sin x + cos x = 3 sin x Upo²tevamo formulo za dvojne kote: sin x = sin x cos x sin x + cos x = 3 sin x cos x Po premisleku od prej²njega primera lahko ena bo delimo s cos x, preuredimo in dobimo ena bo tan x 3 tan x + 1 = 0 Uvedemo novo neznanko tan x = t in dobimo re²itvi t 1 = 1, t = 1/. Re²itvi prvotne ena be: x 1 = π/4 + kπ x = arctan 1 + kπ, k Z 3. Re²i ena bo 5 cos x + 1 sin x = 13 Namig: Pomagaj si s polovi nimi koti. [R : x = arctan(/3) + kπ] cos x = cos ( x ) sin ( x ) sin x = sin x cos x 1 = cos ( x ) + sin ( x ) 4. Re²imo ²e ena bo 1 + tan x 1 tan x = 1 + sin x DARJA POTOƒAR, FMF

25 Tema: Adicijski izreki, faktorizacija,... Poglavje: Trigonometri ne ena be 50. ²olska ura Ponovimo adicijske izreke, formule za faktorizacijo in raz lenitev produkta!!! Re²imo naslednje ena be: 1. cos x sin x = cos 4x Ena bo prevedemo na cos x cos 4x = 0, uporabimo faktorizacijo cos α cos β = sin α+β sin α β in zgornja ena ba se prevede na sin 3x sin x = 0 sin 3x = 0 = 3x = 0 + kπ = x 1 = 0 + kπ/3, k Z. sin x = 0 = x = 0 + kπ, k Z.. Ena bo delimo z in dobimo sin x 3 cos x = sin x cos x = 1. ƒe upo²tevamo, da je 1/ = cos π/3 in 3/ = sin π/3 in tako nastane ena ba cos π 3 sin x sin π 3 cos x = 1. ƒe dobro pogledamo zgornjo formulo, vidimo, da je to ravno adicijski izrek za sinus. sin(x + π 3 ) = 1 x π/3 = π/6 + kπ = x 1 = π/ + kπ x π/3 = π π/6 + kπ = x = 7π/6 + kπ, k Z 3. cos 4x cos x = cos 5x cos x [R : x 1 = π 6 + kπ 6, x = π + kπ] 4. [R : x = π + kπ] 1 + cos x sin x = cos x 1 cos x DARJA POTOƒAR, FMF

26 Tema: Vaje Oblika: vaje Poglavje: Trigonometri ne ena be 51. ²olska ura Re²imo naslednje ena be: 1. Najprej dam besedo dijakom za vpra²anja, ki so jim nerazumljiva.. 4 sin x sin x = 1 [R: x 1 = π/4 + kπ, x = 3π/4 + kπ, x 3 = π/4 + kπ, x 4 = 5π/4 + kπ] 3. sin x = cos x [R: x = π/4 + kπ] 4. sin x sin x = 1 a) sin x = 1 x = π/ + kπ sin x = 1 x = π/ + kπ = x = π/4 + kπ = nima re²itve b) sin x = 1 x = π/ + kπ Ena ba 3. nima re²itve!!! sin x = 1 x = π/ + kπ = x = π/4 + kπ = nima re²itve 5. cos x + cos 3x = cos x + cos 4x [R: x 1 = π/ + kπ, x = kπ, x 3 = kπ/5] 6. sin(cos x) = 1 Namig: Nova neznanka! [R: x 1 = arccos(π/4) + kπ, x = π arccos(π/4) + kπ, x 3 = arccos(3π/4) + kπ, x 4 = π arccos(3π/4) + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

27 5. ²olska ura Tema: Vaje za kontrolno nalogo Oblika: vaje 1. Natan no izra unaj cos(17π/3 x), e velja π/ < x < 3π/ in cot x = 3. [R: ]. Poenostavi izraz sin x 1. sin x [R: cot x] 3. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = 3 sin x 1 + cos x. [R: x [π/6 + kπ, 5π/6 + kπ]] 4. Faktoriziraj: [R: cos x] sin(x + 15 ) cos(x 15 ) 1 tan x 5. Nari²i graf funkcije f(x) = cos( x 3 + π 6 ) + 1. Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. 6. Re²i ena be: a) sin x = tan x [R: x 1, = ±π/3 + kπ, x 3 = kπ] b) tan 3x = cos 675 tan( 5π sin( 16π 3 6 ) ) cot( 11π 4 ) [R: x = 1/3 arctan( /3) + kπ/3] c) 3 cos(x π/3) + 3/ = 0 [R: x 1 = 7π/1 + kπ, x = π/4 + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF

28 53. ²olska ura Tema: Kontrolna naloga Vzorec kontrolne naloge: 1. Natan no izra unaj tan(y x), e je cot y = 5 in cot x = 1/. [R : 19/]. a) α = z 3w, kjer je z = +i 3 i Izra unaj α 10! [R : 15 ] b) Re²i ena bo z 4 = 8 8i 3. in w = 1 + i. [R : z 0 = (cos 5π 5π + i sin ), 1 1 z 1 = (cos 11π 11π + i sin ), 1 1 z = (cos 17π 17π + i sin ), 1 1 z 3 = (cos 3π 3π + i sin ).] Nari²i graf funkcije f(x) = sin(x/ π/) +. Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. [R : Ni le:/, D f = R, Z f = [1, 3]] 4. Poenostavi izraz sin α sin α 1 + cos α cos α. [R : tan α] 5. Re²i trigonometri ni ena bi: a) 4 cos x 3 tan x + 1 = 0 [R : x 1, = ± π 4 + kπ, x 3,4 = ± 3π 4 + kπ] b) 3 sin x + cos x = 3 [R : x 1 = π + kπ, x = arctan(1/5) + kπ, k Z] DARJA POTOƒAR, FMF

29 54. ²olska ura Tema: Poprava kontrolne naloge Razdelim kontrolne, da jih dijaki pregledajo. Naredimo popravo in dam poudarek na najpogostej²e napake. V primeru prevelikih negativnih ocen se dogovorimo za popravljanje kontrolne naloge, druga e pa lahko manj²e ²tevilo dijakov, ki so pisali negativno oceno, ustno popravijo oceno med teko o ²olsko uro. DARJA POTOƒAR, FMF

30 55. ²olska ura Tema: Ustno spra²evanje ƒe kdo ºeli popraviti negativno oceno, doseºeno na kontrolni nalogi, se lahko javi. Druga e spra²ujem po dogovorjenem vrstnem redu. DARJA POTOƒAR, FMF

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice.

1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice. 1. ²olska ura Tema: Uvodna ura, vaje Poglavje: Ponavljanje 1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice. 2. Ponovimo snov iz prej²njega ²olskega leta(ustno in z vajami): Kotne funkcije Vektorji

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo

NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Tadej Star i NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana 07 Predgovor Matemati ni koncepti

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

predavatelj: doc. Andreja Drobni Vidic

predavatelj: doc. Andreja Drobni Vidic 1 RE ITVE 5. DOMAƒE NALOGE - TOTP - modul MATEMATIKA predavaelj: doc. Andreja Drobni Vidic UPORABA ODVODOV IN INTEGRALI Diferencialni ra un je omogo il re²evanje nalog, za kaere je pred em kazalo, da presegajo

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M111401* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut

Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M11140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO ANITA MANDELJ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: Matematika in ra unalni²tvo Ravninske mreºe in posplo²itve Pickovega izreka

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008 TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M094011* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 JESENSKI IZPITNI ROK Torek, 5. avgust 009 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu:

Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 1. ura Tema: Uvodna ura Oblika: Poglavje: 1. Prva ura po poletnih počitnicah: Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 2. Učbeniki. kontrolne naloge spraševanje 3. Hiter

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11.

Διαβάστε περισσότερα

Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007

Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007 Diagonalni gra Zvone Klun Maj 2007 1 Predstavitev diagonalnih grafov Graf je diagonalen (ang. chordal), e ima vsak cikel dolºine 4 ali ve diagonalo. Kjer je diagonala (ang. chord) povezava med dvema vozli²

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013 Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica

Διαβάστε περισσότερα

Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo

Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Katedra za algebro in analizo Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana, 2015 Predgovor

Διαβάστε περισσότερα

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1 Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

Algebraične strukture

Algebraične strukture Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα