z - transformacija Linearni, vremenski diskretan sustav je opisan jednadžbom diferencija

Transcript

1 - trasforacia - trasforacia Lieari, vreeski diskreta sustav e opisa edadžbo diferecia ay + ay [ ] + ay [ ] a y [ ] bu + bu [ ] + bu [ ] b u [ ] a pobudu oblika u[]u partikularo rešee e y[] Y Uvrštee dobivao - trasforacia A() Y B() U kopleksa aplituda odiva e tada b+ b + + b B () Y U U H( ) U A () a a a ( a + a + a a ) Y ( b + b + b b ) U y[] UH() H() e prieosa fukcia 3 - trasforacia - astavak odiv y[] se ože dobiti i kovolucisko suacio ako e poat ipulsi odiv h[] a u[] U prie pokaao + y h u[ ] + y U h + - U h[] y[] H()U - trasforacia - astavak frekvecisku karakteristiku dobieo a e + H ( e ) h e prepoaeo Fourierov red, pa vriedi - h H( e ) e dω H(e ) F {h[]} Fourierova trasforacia ia {h[]} - trasforacia - astavak + Za opći kopleksi bro re + ( ) ( ) - + ( xr ) X re x re { } X ( ) x Z x e ω Fourierova trasforacia ia {x[]r - } iedačavae rešea sliedi + H () h[] { } X ( ) x Z x -trasforacia ia {x[]} trasforacia - astavak Za r X () e F{x[]} X(e ) dakle, trasforacia se reducira a Fourierovu trasforaciu a koturi u koplekso ravii kou aivao ediiča kružica ediiča kružica ω e Re -ravia 7 - trasforacia - astavak Defiirao područe kovergecie RoC, trasforacie (regio of covergece RoC) kao područe a u koia trasforacia kovergira pa e potpua defiicia - trasforacie + RoC( x), X() x gde e RoC( x) Kopleksi defiirao s + RoC( x) re Kopleksi x r < Ako RoC, trasforacie, uklučue i ediiču kružicu tada kovergira i Fourierova trasforacia istoga ia. 8 Područe kovergecie - trasforacie Prier trasforacie ia x aµ ( ) µ ( ) X a a Da bi X() kovergirao ora biti to će biti a: a a < > a ( ) ( ) a a a < Tada e: X a > a 9

2 Područe kovergecie - trasforacie prier: eka e x[]a µ[](,75) µ[] (,75) - trasforacia e X s,75 ( ) (,75) (,75 ) a:,75 < >,75 Područe kovergecie - trasforacie trasforacia e racioala fukcia Za ova prier ia edu ulu u i eda pol u a a Re -ravia Za a > RoC e uklučue ediiču kružicu i a tu vriedost a Fourierova trasforacia ia a µ[] e Područe kovergecie - trasforacie Prootrio i: x a µ [ ] a,75 < korak kovergira aplituda x[] Područe kovergecie - trasforacie µ X( ) a [ ] a ako e ( ) a a a < < a tada gora sua kovergira i vriedi: X( ) a a a a < a 3 Područe kovergecie - trasforacie a slici područe kovergecie, pol i ula a -ravia Re b ( ) b + b + + b ( ) Y () a + a + + a a u područu kovergecie treba voditi račua o eu 4 5 Usporedbo dva priera aklučueo da su algebarski irai a X(), kao i pol i ula idetiči i edia e ralika - trasforacia kao racioala fukcia - trasforacie su racioale fukcie, dakle b+ b + + b a+ a + + a Y () odoso b a - trasforacia kao racioala fukcia - trasforacia kao racioala fukcia - trasforacia kao racioala fukcia - trasforacia ože biti apisaa alterativo u pooć produkta korieih faktora: b ( ) b Y () a a ( ) p odoso u obliku b ( ) ( ) ( ) b Y () a a ( p ) a koriee s polioa u broiku Y(s ) i stoga se te vriedosti od aivau ule od Y() a koriee p polioa u aiviku Y(s ) i te se vriedosti od aivau polovi od Y() s p,, prier:.93 ± ±.5657,86,36 Y () +,8 +, log Y( ) 6 7 slika Re() - ( ) 8

3 - trasforacia kao racioala fukcia kako e Y () ( ) b ( ) a ( p ) Y() ia koačih ula i koačih polova ako e > postoi oš - ula koe se alae u ako e < postoi oš - polova koi se alae u 9 Područe kovergecie racioale - trasforacie područe kovergecie, RoC, trasforacie e važa i uža iforacia be iforacie o RoC ea edoače vee ieđu ia i egove trasforacie stoga, trasforacia ora biti uviek adaa s eii RoC Područe kovergecie racioale - trasforacie postoi vea ieđu RoC trasforacie ipulsog odiva diskretog vreeski stalog sustava i egove BIBO stabilosti BIBO (bouded-iput, bouded-output) stabilost e eda od ačia defiiraa stabilosti sustav e BIBO stabila ako Celobroa, Bx <, x < Bx Celobroa, B <, y < B y y Područe kovergecie racioale - trasforacie RoC racioale trasforacie e ograičeo esto polova da bi se rauelo odose ieđu polova i RoC koriso e raotriti položa polova i ula trasforacie raotrio trasforacie dvau iova Područe kovergecie racioale - trasforacie prier : - trasforacia H() ia h[](-,6) µ[] e H( ), +,6 +,6 >,6 pol u -,6 Re ula u -ravia Područe kovergecie racioale - trasforacie - trasforacia ia µ[] e H( ), + područe kovergecie - RoC područe kovergecie - RoC 3 4 > ula u pol u -ravia Re Područe kovergecie racioale - trasforacie raotrio tri tipa iova: i koače dulie i oeđe s lieva desi i i oeđe s desa lievi i RoC ovisi o tipu ia 5 Područe kovergecie racioale trasforacie ia koačog traaa prier: eka e x[] i koačog traaa defiiraog a,, Prirodi i x < egova trasforacia e X( ) x + [ ] x + 6 Područe kovergecie racioale trasforacie ia koačog traaa X( ) x + [ ] x + dakle, X() ia polova u i polova u - trasforacia X() ia koačog traaa kovergira a sve vriedosti ravie osi ožda u i/ili u 7

4 Područe kovergecie racioale trasforacie desog ia prier: desi i (oeđe s lieva) ada a se često aiva kauali i eka e u [] kauali i egova trasforacia e U ( ) u Područe kovergecie racioale trasforacie desog ia U () kovergira iva kruga R uklučuući točku eđuti, desi i u [] ada a -, a poitiva, ia trasforaciu U () s polova u U () kovergira iva kruga R ali isklučuući točku Područe kovergecie racioale trasforacie lievog ia prier: lievi i (oeđe s desa) ada a aiva se ekauali i eka e v [] ekauali i egova trasforacia e V ( ) v Područe kovergecie racioale trasforacie lievog ia pokaao e da lievi i V () kovergira uutar kruga R 3 uklučuući točku eđuti, lievi i v [] ada a, a poitiva, ia trasforaciu V ()s polova u V () kovergira uutar kruga R 4 ali isklučuući točku Područe kovergecie racioale trasforacie eoeđeog ia prier: trasforacia eoeđeog ia w[] e W( ) w w + w prvi čla dese strae, w, ože biti iterpretira kao trasforacia desog ia i ato kovergira iva kruga R 5 Područe kovergecie racioale trasforacie eoeđeog ia drugi čla dese strae w, ože se iterpretirati kao trasforacia lievog ia i ato kovergira uutar kruga R 6 ako e R 5 < R 6, postoi preklapaućepodruče kovergecie R 5 < < R 6 ako e R 5 > R 6, e postoi preklapauće područe kovergecie i trasforacia e postoi Područe kovergecie racioale trasforacie eoeđeog ia prier: eka e u[] eoeđe i u[] α gde α ože biti reala ili kopleksa egova trasforacia e U( ) α α + α prvi čla dese strae kovergira a > α, dok drugi čla kovergira a < α 34 Područe kovergecie racioale trasforacie eoeđeog ia e postoi preklapae ieđu tih dvau područa kovergecie prea toe, trasforacia ia u[] α e postoi 35 Područe kovergecie racioale trasforacie područe kovergecie trasforacia e ože sadržavati i eda pol i oeđeo e polovia da bi ilustrirali da e trasforacia oeđea polovia, pretpostavio da trasforacia X() ia edostruke polove u α i β pretpostavio da e odgovaraući i x[] desi i 36

5 Područe kovergecie racioale trasforacie tada e i x[]oblika ( ) x rα + rβ µ [ o ], α < β gde e poitiva ili egativa cieli bro trasforacia ekog desog ia oblika γ µ [ o ] postoi ako γ µ [ ] < o 37 uvet Područe kovergecie racioale trasforacie e ispue a > γ a ie a γ trasforacia desog ia ( ) γ µ [ ] < x rα + rβ µ [ o ], α < β ia ato područe kovergecie β < o 38 Područe kovergecie racioale trasforacie sličo trasforacia lievog ia ( ) x rα + rβ µ [ o ], α < β ia područe kovergecie < α koačo, a eoeđei i, eki od polova dopriose člaovia u ivoro iu a < dok ostali člaovi ostali polovi dopriose člaovia a 39 Područe kovergecie racioale trasforacie područe kovergecie e oeđeo s vaske strae s polo aaeg odula koi pridoosi a < i oeđeo s uutare strae s polo s aveći odulo koi dopriosi a postoi tri raličita područa kovergecie a racioalu trasforaciu se polovia u α i β ( α < β ) 4 Područe kovergecie racioale trasforacie α β -ravia Re α β Re -ravia α -ravia β Re 4 Područe kovergecie racioale trasforacie općeito, ako racioala trasforacia ia polova s R raličitih odula, tada postoi R+ područe kovergecie to ači da postoi R+raličitih iova s isto - trasforacio fialo, racioala trasforacia s defiirai područe kovergecie ia edoači i kao svou iveru - trasforaciu 4 Kovergecia - trasforacie - trasforacia osovih iova trasforacia kaualih iova 43 Za kauale sigale + RoC( x), X() x gde e RoC( x) Kopleksi defiirao s + RoC( x) re Kopleksi x r < X() se aiva edostraa - trasforacia 44 { δ } Z δ RoC( δ) re δ < { r > } Z{ µ } µ ( ) RoC( µ ) re Kopleksi < { } > 45

6 - trasforacia osovih iova - trasforacia osovih iova - trasforacia - svostva µ x a Z{ x } a a a a a RoC( x) re Kopleksi a < > a { } 46 a cosω a cosω + a { ω µ } Z a cos( ), > a a siω Z a si( ), > a a cosω + a { ω µ } 47 liearost: eka e w ax ± by tada e trasforacia od w[] RoC( w), W ( ) ax ( ) ± by ( ) RoC( w) RoC( x) Roc( y) područe kovergecie od w ora uklučiti područa kovergecie od x i y liearost proilai i defiicie trasforacie W( ) w ax ± by ( ) ax ( ) ± by ( ) 48 - trasforacia - svostva poak uapried a -koraka Z { x [ + ] } x [ + ] + l xl [] x[] l l l a Z {x[+]} X() - x() l X( ) x[ l] l l + l 49 - trasforacia - svostva kašee a -koraka Z { x [ ] } x [ ] l xl () xl l l l X( ) + x[ l] l l a Z {x[-]} - {X() + x[-]} - X() + x[-] l 5 - trasforacia - svostva kovoluciska suacia kaualih iova Y( ) Z{ y } Z{ x * h } xih [ i] i x[] i h[ i] i xi () h () i i ( i+ ) i i xi () h () i X ( H ) ( ) er e h( ) a < 5 - trasforacia - svostva - trasforacia - svostva - trasforacia - svostva ultiplikacia s a y[] a x[] Z{ y } a x x X a a ultiplikacia sa e (frekveciski poak) y[] x[] e ω - Z{ y } x e x e - 5 ultiplikacia s početa vriedost ia Z { x } x d x d d X( ) d x ultiplikacia s { } d - x d d Z x X( ) d X( ) x x + x x li X( ) koača vriedost ia ( ), li x li( ) X ako posto i x

7 - trasforacia - svostva koača vriedost ia ( ) ako postoi li x li X ( ), x lies a ia sisla sao kada e točka lociraa uutar područa kovergecie X() doka apočieo s io x[] x[-] Z x x X( ) X( ) x x { } ( ) ( ) X ( ) li ( x x ) 55 - trasforacia - svostva uio lies a ( ) ( [ ]) li X ( ) li li x x ( ) li li x x ( x x ) li ( x x x x x x ) li li x 56 Ivera - trasforacia - trasforacia e defiiraa kao + ( ) ( ) - + ( xr ) X re x re + RoC( x), X() x gde e RoC( x) Kopleksi defiirao s + RoC( x) re Kopleksi x r < a opći kopleksi bro re e ω Fourierova trasforacia ia {x[]r - } 57 Ivera Z - trasforacia ( ) ( ) - + ( xr ) X re x re Fourierova trasforacia ia {x[]r - } Iveriu dobieo a teelu iraa a Fourierove koeficiete re d x X ( re )( re ) dω dω d re dω X () d opći ira a iveru + ω ω x[ r ] X( re ) e dω r Z trasforaciu e ω 58 Ivera Z - trasforacia. ravo u red Y() y[] + y[] - + y[] ravo u clauretov dy ( ) y red oko točke -! d( ) Prier :,5 3 Y ( ) +,5 +,5 +,875 +,5,5 y[] δ[] +,5 δ[-] +,5 δ[-] +,875 δ[-3] +... y[] +(-,5) a 59 Ivera Z - trasforacia. rastavlae racioale fukcie a parciale raloke Z a a { a } Y () A B + + q q A B Y () q + q + y Aq + Bq + 6 Ivera Z - trasforacia. rastav racioale fukcie a parciale raloke - prier Y (),5,5,5 Y () 5, + 5, 5, + 5, Y () + + 5, Ivera Z - trasforacia 3. itegralo po atvoreo krivuli radiusa većeg od radiusa apsolute kovergecie y( k) Res Y ( ) d i Res [ Y( ) ] li[ Y( ) ( )] i i [ Y ( ) ] i i Rešee edadžbi diferecia upotrebo Z - trasforacie a y[] + a y[-] + a y[-] b x[] + b x[-] I Z {x[-]} - {X() + x[-]} - X() + x[-] i i Z {x[-]} - X() + x[-] - + x[-] {a + a - + a - ]Y() {b + b - }X() + b x[-] - a x [-] (a + a ) y[-] b + b Y () X () + E () a + a + a u doei koraka ilai y + (,5) + (,5) 6 6 u počete uvete edake uli b + b Y () X() H() X() a a a

8 Rešee edadžbi diferecia upotrebo Z - trasforacie H() - trasfer fukcia vreeski diskretog sustava Za pobudu ediiči uorko x[] δ[], X() prier: Pobuđei iri sustav drugog reda y.8 y [ ] +.64 y [ ] x + x + H ( ) progra a rastav a parciale raloke: prier: Pobuđei iri sustav drugog reda >>parcral uesi koeficiete broika [ ] uesi koeficiete aivika [ -.8*sqrt().64] residuui i i dobivao Y() H() Trasfer fukcia e Z - trasforat odiva a pobudu {δ[]} u počete uvete edake uli 64 %progra a rastav a parciale raloke u iput('uesi koeficiete broika '); de iput('uesi koeficiete aivika '); [r,p,k] residue(u,de); disp('residuui'); disp(r'); disp('polovi'); disp(p'); disp('kostate'); disp(k); 65 polovi i i kostate 66 prier: Pobuđei iri sustav drugog reda prier: Pobuđei iri sustav drugog reda pulsi odiv i kovolucia kotiuiraih sustava Y x δ X( ) Y ( ) H ( ) H ( ) ( ) ( ) ( ) + y[ ] ( ) ( ) + ( ) ( ) 67 y[ ] ( ) ( ) + ( ) ( ) y[ ].33 e +.33 e (.8 e (.8 e 4 y.33 (.8) cos(.3538) a 4 4 ) ) 68 poavae ipulsog odiva ekog sustava e dovolo a potpu opis egovog vladaa. odiv liearog vreeski stalog sustava a opću pobudu opisue se kovoluciski itegralo: () ( ) ( ) y t h t τ x( τ) dτ h τ x( tτ) dτ gde e h(t) odiv sustava a ediiči ipuls 69 () x t Pobuda sustava koplekso ekspoecialo pokaao e da e odiv liearog sustava pobuđeog koplekso ekspoecialo opet kopleksa ekspoeciala: xt () H( s) st Xe sτ st ( τ ) yt () h( τ) Xe dτ H( s) ( τ) τ τ h( τ) e dτ. to a kaue da e kopleksa ekspoeciala st s svostvea fukcia (eigefuctio) kovolucie! ( τ) τ τ 7 7 yt () h xt ( ) d yt () Xe h e d Pobuda sustava koplekso ekspoecialo s y() t Xe h e τ dτ st ( τ) Pobuda sustava koplekso ekspoecialo ira a H(s) e uedo ira a dvostrau Laplaceovu trasforaciu ipulsog odiva h sτ ( ) ( τ) τ. H s h e d ira a edostrau Laplaceovu trasforaciu dobivao u kaualu pobudu x(t) Xe st µ(t)!!! 7

9 odel sustava s ulao ilai variablaa difereciali sustavi su oi koi se dau opisati edo ili više diferecialih edadžbi. lieari sustav s edi ulao i edi ilao: ( ) ( ) ay + a y + + ay f() t ( ) ( ) b x + b x + + b x desa straa od f(t) fukcia sete ili fukcia pobude, općeito fukcia ulaog sigala x(t) i egovih derivacia do tog Trasfer fukcia liearog, vreeski stalog sustava lieare, vreeski ivariate sustave ožeo proučavati pooću Laplaceove trasforacie: difereciale edadžbe prelae u algebarske, sustav e predstavle u doei koplekse frekvecie. a određivae trasfer fukcie poći ćeo od Laplaceove trasforacie ulao ilaog odela: X() s L{()}, x t Y() s L{()}. y t reda, Trasfer fukcia liearog, vreeski stalog sustava trasforacia derivacie ulaa i ilaa e: d x L s X s s x x dt d y ( L s Y ( s) s y() y dt a teelu liearosti Laplaceove trasforacie ože se apisati: ( - ) ( ) ( ) () () (), ) (). a s + a s a Y( s) b s b X( s) + E( s). 75 ako vriedi: y ( ν ) Trasfer fukcia liearog, vreeski stalog sustava () a ν,,,3,4,..., ( µ x ) () a µ,,,3,4,..., dobivao odiv irog sustava: bs + + b Y s () X(). s as + + a dobivei ira ožeo apisati: Ys () HsXs () (). 76 Trasfer fukcia liearog, vreeski stalog sustava fukcia H(s) ove se trasfer fukcia ili prieosa fukcia sustava. defiiraa e a ira sustav kao: Y() s { y() t } H() s L x(t) a t<. X () s L { x() t } ako ao H(s), sustav ožeo predstaviti kao blok: X(s) Y(s) H(s) 77