Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu
|
|
|
- Δάφνη Αλεβίζος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd
2 Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam de Casteljau Multi-afine polarne forme Podela Bézierove krive Racionalne Bézier-ove krive i njihovi oskulirajući potprostori Dualne Bézier-ove krive 2 B-Spline krive Polinomijalne B-Spline krive Racionalne B-Spline krive 3 Racionalne Bézier-ove površi Tenzorski proizvod površi Trougaone Bézier-ove površi Multi-afine polarne forme Racionalne površi
3 Bernstein-ovi polinomi Racionalna kriva je preslikavanje c : R P n koje u homogenim koordinatama ima polinomijalnu reprezentaciju. Polinomi oblika B n i (t) = ( n i ) t i (1 t) n i, (i = 0,..., n) (1) nazivaju se Bernstein-ovi polinomi stepena n. Polinomi u Bernstein-ovoj formi prvobitno su korišćeni u dokazu teoreme Stone-Weierstrass-a o aproksimaciji.
4 Definicija 1 Bézierova kriva Polinomijalna funkcija b : R R m koja predstavlja linearnu kombinaciju Bernstein-ovih polinoma: b(t) = n Bi n (t)b i (2) i=0 naziva se Bézier-ova kriva, a koeficijenti b i se zovu kontrolne tačke. Niz b 0, b 1,... predstavlja kontrolni poligon Bézier-ove krive.
5 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva:
6 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu.
7 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu. 2 Važi n i=0 Bn i (t) = 1 i tačka na krivoj b(t) zavisi od kontrolnih tačaka na afino invarijantan način.
8 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu. 2 Važi n i=0 Bn i (t) = 1 i tačka na krivoj b(t) zavisi od kontrolnih tačaka na afino invarijantan način. 3 (svojstvo konveksnog omotača) Tačka b(t) na krivoj je sadržana u konveksnom omotaču kontrolnih tačaka ako je 0 t 1.
9 Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 (t) ) b i
10 Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 2 b(t) je afina kombinacija tačaka b i : 1 = (t + (1 t)) n = n i=0 ( n i (t) ) b i ) t i (1 t) n i = n Bi n (t) i=0
11 Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 2 b(t) je afina kombinacija tačaka b i : 1 = (t + (1 t)) n = n i=0 ( n i (t) ) b i ) t i (1 t) n i = 3 0 t 1 Bi n (t) 0 (prema definiciji) B n i (t) = 1 Bi n (t) 1 b(t) je konveksna kombinacija tačaka b i. n Bi n (t) i=0
12 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n
13 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n
14 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost sve bazne funkcije su nenegativne
15 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Specijalno: Bézier-ova kriva je konveksna ako je njen kontrolni poligon konveksan.
16 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Hiperravan H seče polinomijalnu Bézier-ovu krivu (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen kontrolni poligon:
17 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Afina invarijantnost
18 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Afina invarijantnost Promena jedne kontrolne tačke menja krivu globalno
19 Algoritam za odredjivanje tačke na krivoj Dat je niz kontrolnih tačaka b 0,..., b n i realni parametar t [0, 1]. Tačku b(t) krive konstruišemo rekurzivnim postupkom pod nazivom de Casteljau-ov algoritam: 1 Početna iteracija: b 0 0 = b 0,..., b 0 n = b n 2 b r i = (1 t)b r 1 i + tb r 1 i+1 { r = 1,..., n i = 0,..., n r 3 b(t) = b n 0
20 Lema 2 Algoritam de Casteljau-a, primenjen na tačke b 0,..., b n i realni parametar t, izračunava polinomijalnu Bézier-ovu krivu sa ovim kontrolnim tačkama i za vrednost parametra t.
21 Lema 2 Algoritam de Casteljau-a, primenjen na tačke b 0,..., b n i realni parametar t, izračunava polinomijalnu Bézier-ovu krivu sa ovim kontrolnim tačkama i za vrednost parametra t. Dokaz Pokažimo prvo da izračunavanje Bézier-ove krive sa kontrolnim tačkama b i,..., b i+r za vrednost t daje tačku b r i iz algoritma: r 1 (1 t) j=0 B r 1 j r 1 (t)b i+j + t j=0 B r 1 j (t)b i+1+j = r Bj r (t)b i+j j=0 Tvrdjenje leme je specijalan slučaj ovoga za i = 0 i r = n.
22 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih
23 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne.
24 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove.
25 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove. Za datu polinomijalnu funkciju c : R R m stepena n treba odrediti tačke b 0,..., b n za koje važi c(t) = i Bn i (t)b i.
26 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove. Za datu polinomijalnu funkciju c : R R m stepena n treba odrediti tačke b 0,..., b n za koje važi c(t) = i Bn i (t)b i. Definicija Posmatramo monom t r. Za n r definišemo funkciju n-promenljivih P : P (t 1,..., t n ) = ( n r ) 1 I {1,..., n} #I = r i I t i
27 Primeri
28 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1
29 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2
30 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2
31 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1
32 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3
33 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3 n = 3, r = 2 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1t 2 +t 1 t 3 +t 2 t 3 3
34 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3 n = 3, r = 2 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1t 2 +t 1 t 3 +t 2 t 3 3 n = 3, r = 3 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1 t 2 t 3
35 Definicija 2 Multi-afine polarne forme Preslikavanje f : R n R m naziva se afino ako f(ta + (1 t)b) = tf(a) + (1 t)f(b) za sve a, b R n, t R.
36 Definicija 2 Multi-afine polarne forme Preslikavanje f : R n R m naziva se afino ako f(ta + (1 t)b) = tf(a) + (1 t)f(b) za sve a, b R n, t R. Definicija 3 Preslikavanje P naziva se multi-afina polarna forma odgovarajućeg monoma. Ako je polinom linearna kombinacija monoma, odgovarajuća linearna kombinacija polarnih formi monoma naziva se polarna forma polinoma.
37 Teorema 1 Ako je c(t) = c i t i realna polinomijalna funkcija stepena n, tada se može predstaviti u obliku c(t) = i Bn i (t)b i, gde je b i = P (0,..., 0, 1,..., 1), }{{}}{{} n i i gde je P polarna forma n-promenljivih funkcije c.
38 Dokaz Multi-afina funkcija P zadovoljava jednakost: (1 t n )P (t 1,..., t n 1, 0)+t n P (t 1,..., t n 1, 1) = P (t 1,..., t n 1, t n ) Definišemo tačke: p r i := P (0,..., 0, 1,..., 1, t,..., t) }{{}}{{}}{{} n r i i r One zadovoljavaju iste rekurentne jednačine kao tačke b r i iz de Casteljau-ovog algoritma p r i = b r i p n 0 = b n 0 Tvrdjenje teoreme sledi iz Leme 2.
39 Primer Posmatramo krivu c(t) = (t 2 1, 2t). Odgovarajuće 2-polarne forme monoma su: Polarna forma od c data je sa: a kontrolne tačke: 1 : 1 t t : 1 +t 2 2 t 2 : t 1 t 2 P (t 1, t 2 ) = (t 1 t 2 1, t 1 + t 2 ), b 0 = P (0, 0) = ( 1, 0) b 1 = P (0, 1) = ( 1, 1) b 2 = P (1, 1) = (0, 2)
40 Lema 3 Neka je p(u) polinomijalna funkcija stepena n i Q(u 1,..., u n ) simetrična multi-afina realna funkcija n promenljivih takva da je Q(u,..., u) = p(u), tada se Q poklapa sa n-polarnom formom P od p. Lema 4 Dve polinomijalne krive f, g sa multi-afinim polarnim formama S i T dele iste izvode najviše reda k u u = u 0 akko S(u 1,..., u k, u 0,..., u }{{} 0 ) = T (u 1,..., u k, u 0,..., u 0 ) }{{} n k n k za sve u 1,..., u k.
41 Reparametrizacija Bézierove krive Svaki deo Bézierove krive može biti reparametrizovan tako da predstavlja polinomijalni segment krive čiji parametar pripada intervalu [0, 1]. Posledica 1 Neka je c(t) polinomijalna kriva stepena n u R m i P njena n-polarna forma, tada su kontrolne tačke segmenta krive c([a, b]) date sa b i = P (a,..., a, b,..., b). }{{}}{{} n i i
42 Dokaz d(t) := c ( ) t a b a d([0, 1]) = c([a, b]) Za ovako definisanu funkciju d polarna forma Q zadovoljava jednakost: ( t1 a Q(t 1,..., t n ) = P b a,..., t ) n a b a Iz Teoreme 1 sledi: b i = P (0,..., 0, 1,..., 1) = Q(a,..., a, b,..., b) }{{}}{{}}{{}}{{} n i i n i i
43 Posledica 2 Neka je b Bézier-ova kriva sa kontrolnim tačkama b 0,..., b n. Tangenta na krivu u tački b(t) razapeta je tačkama b0 n 1 i b1 n 1 koje se dobijaju primenom de Casteljau-ovog algoritma. Dokaz Označimo sa l tangentu na krivu u tački b(t). Posmatramo segment krive b([0, t]). Iz Teoreme 1 i Posledice 2 sledi da su njene kontrolne tačke b 0 0,..., b n 0. n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i b n 1 0 l i=0 Za tačku b n 1 1 primenimo prethodni postupak na b([t, 1])
44 Podela krive na 2 dela Za dati skup n + 1 kontrolnih tačaka P 0, P 1, P 2,..., P n i parametar t [0, 1], tražimo dva skupa sa n + 1 kontrolnih tačaka Q 0, Q 1, Q 2,..., Q n i R 0, R 1, R 2,..., R n takvih da Bézier-ova kriva definisana pomoću Q i (odnosno R i ) je deo početne Bézier-ove krive na [0, t] (odnosno [t, 1]).
45 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive
46 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive
47 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive
48 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive
49 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive Renderovanje Bézier-ove krive
50 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive Renderovanje Bézier-ove krive Dizajn krivih Data kriva 8. stepena podeljena je na dva dela prvom je stepen povećan za 10, a drugom za 2.
51 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika.
52 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Rešenje: Nove kontrolne tačke se računaju pomoću formule: Q i = i ( n + 1 P i i ) P i (1 i n), n + 1 gde su P 0,..., P n kontrolne tačke početne krive.
53 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 1 stepen
54 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 2 stepena
55 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 3 stepena
56 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 4 stepena
57 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 6 stepeni
58 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 8 stepeni
59 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 12 stepeni
60 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 18 stepeni
61 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 25 stepeni
62 Racionalne Bézier-ove krive Definicija 4 Bézier-ova kriva c : R P m data sa n c(t) = c(t)r = ( Bi n (t)b i )R, (b i R m+1 ) (3) i=0 naziva sa racionalna Bézier-ova kriva.
63 Racionalne Bézier-ove krive Definicija 4 Bézier-ova kriva c : R P m data sa n c(t) = c(t)r = ( Bi n (t)b i )R, (b i R m+1 ) (3) i=0 naziva sa racionalna Bézier-ova kriva. Sve racionalne krive mogu se napisati kao Bézier-ove krive.
64 Oskulirajući potprostori Teorema 2 k-ti projektivni oskulirajući potprostor racionalne Bézier-ove krive c(t) = ( i Bn i (t)b i)r u t = 0 je b 0 R... b k R. Slično, k-ti oskulirajući potprostor u t = 1 dat je sa b n R... b n k R. Dokaz Razmotrimo slučaj za t = 0 (t = 1 se razmatra analogno). Prema definiciji, k-ti oskulirajući potprostor razapet je tačkama: c(0)r, ċ(0)r,..., c (k) (0)R. Kako je c (r) (0) linearne kombinacija vektora b 1 b 0,..., b r b 0 (sa nenula koeficijentom uz b r b 0 ), dobijamo da b 0 R... b k R jeste k-ti oskulirajući potprostor.
65 Primer Posmatramo semikubikalnu parabolu t (t 2, t 3 ). Posle reparametrizacije t = u u 1, u homogenim koordinatama je možemo zapisati kao u ((u 1) 3, u 2 (u 1), u 3 )R = (u 3 3u 2 + 3u 1, u 3 u 2, u 3 )R. Polarna forma je oblika: P (u 1, u 2, u 3 ) = (u 1 u 2 u 3 (u 1 u 2 + u 1 u 3 + u 2 u 3 ) + (u 1 + u 2 + u 3 ) 1, u 1 u 2 u 3 u 1u 2 +u 1 u 3 +u 2 u 3 3, u 1 u 2 u 3 ).
66 Primer (nastavak) Kontrolne tačke b i R: b 0 = P (0, 0, 0) = ( 1, 0, 0) b 1 = P (0, 0, 1) = (0, 0, 0) b 2 = P (0, 1, 1) = (0, 1 3, 0) b 3 = P (1, 1, 1) = (0, 0, 1) Odavde sledi da je za u = 0 niz dimenzija oskulirajućih potprostora 0, 0, 1, 2,..., što znači da ovde kriva ima singularitet. U beskonačnosti (za u = 1), oskulirujući potprostori su dimenzija 0, 1, 1, 2,..., pa kriva ima prevojnu tačku za u = 1.
67 Lema 5 Racionalne normalne krive Za racionalnu krivu c(u) = c(u)r stepena k u P n (k > n) postoji singularno projektivno preslikavanje π : P k P n takvo da je c(u) = ((1, u,..., u k )R)π. Definicija 5 Kriva koja, u odnosu na neki projektivni koordinatni sistem, ima parametrizaciju c(u) = (1, u, u 2,..., u k )R naziva se racionalna normalna kriva projektivnog k-prostora.
68 Definicija 6 Dualne Bézier-ove krive Tangenta na racionalnu ravansku krivu c(t) = c(t)r u tački t = t 0 je linija c(t 0 ) c 1 (t 0 ) i ima vektor homogenih koordinata Ru(t 0 ) = R(c(t 0 ) ċ(t 0 )). Dualna Bézier-ova kriva U(t) = Ru(t) = R m Bi m (t)u i i=0 je familija pravih (tangenti) u projektivnoj ravni zadatih polinomijalnom reprezentacijom u Bernstein-ovoj bazi.
69 Definicija 6 Dualne Bézier-ove krive Tangenta na racionalnu ravansku krivu c(t) = c(t)r u tački t = t 0 je linija c(t 0 ) c 1 (t 0 ) i ima vektor homogenih koordinata Ru(t 0 ) = R(c(t 0 ) ċ(t 0 )). Dualna Bézier-ova kriva U(t) = Ru(t) = R m Bi m (t)u i i=0 je familija pravih (tangenti) u projektivnoj ravni zadatih polinomijalnom reprezentacijom u Bernstein-ovoj bazi. Teorema 3 Familija tangenti racionalne Bézier-ove krive je njena dualna Bézier-ova kriva, i obratno.
70 Dualne kontrolne strukture
71 Dualne kontrolne strukture Bézier-ove krive: B i = b i R kontrolne tačke F i = (b i + b i+1 )R granične tačke
72 Dualne kontrolne strukture Bézier-ove krive: B i = b i R kontrolne tačke F i = (b i + b i+1 )R granične tačke Dualne Bézier-ove krive: U i = Ru i Bézier-ove linije F i : f i = u i + u i+1 granične linije
73 Svojstvo umanjene varijacije Teorema 4 Ako je c ravanska Bézier-ova kriva, broj njenih tangenti incidentnih sa datom tačkom P nije veći od ukupnog broja dualnih kontrolnih struktura koje su incidentne sa P.
74 Svojstvo konveksnosti Posledica Ako se Bézier-ove linije U i i granične linije F i dualne Bézier-ove krive c nalaze u skupu ivica i potpornih linija konveksnog domena D, a tačke U i U i+1 su medju temenima D-a, tada je c konveksna i potpuno leži izvan D.
75 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam:
76 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m
77 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m 2 rekurzivno definišemo linije U k i (t) = Ruk i (t) : u k i (t) = (1 t)u k 1 i (t) + tu k 1 i+1 (t)
78 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m 2 rekurzivno definišemo linije U k i (t) = Ruk i (t) : u k i (t) = (1 t)u k 1 i (t) + tu k 1 i+1 (t) 3 U(t) = Ru m 0 (t)
79 Konverzija dualnih krivih Posledica Ako je U(t) = R m i=0 Bm i (t)u i dualna Bézier-ova kriva, tada je odgovarajuća tačka krive c(t) parametrizovana sa c(t) = c(t)r ( 2m 2 k=0 ( ) 2m 2 b k k = ( ) ( m 1 m 1 i+j=k i j B 2m 2 k (t)b k ) R ) (u i u j+1 )
80 Definicija 7 B-Spline bazne funkcije Uredjena lista T realnih brojeva t 0 t 1..., t i < t i+n+1 naziva se vektor čvorova. Funkcija Ni n (u) definisana rekurzivno: { Ni 0 1 za ti u < t (u) := i+1 0 ina ce N r i (u) := u t i t i+r t i N r 1 i (u) + t i+r+1 u t i+r+1 t i+1 N r 1 i+1 (u) za 1 r n, naziva se i-ta B-Spline bazna funkcija stepena n koja odgovara vektoru čvorova T.
81 Definicija 8 B-Spline kriva Ako je n pozitivan ceo broj, d 0,..., d m tačke u R d, a T = (t 0... t m+n+1 ) vektor čvorova, onda su B-Spline kriva s(u) stepena n sa kontrolnim tačkama d 0,..., d m i vektorom čvorova T i njena pridružena polarna forma S j definisane sa m m s(u) = Ni n (u)d i, S j (u 1,..., u n ) = Pi,j(u n 1,..., u n )d i, i=0 i=0 gde su funkcije P n i,j (u 1,..., u n ) date rekurzijom (1 r n): P 0 i,j() = δ i,j = { 1 i = j 0 i j Pi,j r (u 1,..., u r ) = ur ti t i+r t i P r 1 i,j (u 1,..., u r 1 ) + ti+r+1 ur t i+r+1 t i+1 P r 1 i+1,j (u 1,..., u r 1 )
82 Primer B-Spline kriva nad vektorom čvorova (0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4).
83 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva:
84 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ].
85 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna.
86 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ].
87 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ]. Restrikcija B-Spline baznih funkcija Ni n na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma Pi,j n (u 1,..., u n ).
88 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ]. Restrikcija B-Spline baznih funkcija Ni n na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma Pi,j n (u 1,..., u n ). Restrikcija krive s na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma S j (u 1,..., u n ).
89 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l.
90 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ).
91 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j.
92 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j. Tačka S j (u 1,..., u n ) je sadržana u oskulirajućim (n 1)-prostorima krive s za vrednosti parametara u 1,..., u n. Ako se bilo koje u i pojavljuje µ puta, ta tačka je sadržana u oskulirajućem (n µ) prostoru krive s(u) u u i.
93 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j. Tačka S j (u 1,..., u n ) je sadržana u oskulirajućim (n 1)-prostorima krive s za vrednosti parametara u 1,..., u n. Ako se bilo koje u i pojavljuje µ puta, ta tačka je sadržana u oskulirajućem (n µ) prostoru krive s(u) u u i. B-Spline kriva seče hiperravan u najviše onoliko tačaka u koliko je seče njen kontrolni poligon.
94 Teorema 6 Ako je p(u) deo po deo polinomijalna kriva stepena n koja je samo n µ i puta diferencijabilna u u = u i, tada postoji vektor čvorova T takav da T = (u 1,..., u }{{} 1, u 2,..., u 2,...), u }{{} 1 < u 2 <... µ 1 µ 2 gde je p(u) = m Ni n (u)d i, i=0 d l = S j (t l+1,..., t l+n ), (t j < t j+1, j n l j), a S j polarna forma polinoma p [t j, t j+1 ].
95 NURBS krive NURBS = non-uniform rational B-spline Izraz ne-uniformne se odnosi na činjenicu da čvorovi ne moraju da budu jednako distribuirani po realnoj pravoj.
96 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva:
97 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva
98 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon.
99 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon. 3 Kontrolne tačke d l R su sadržane u (n 1)-dimenzionom oskulirajućem potprostoru od s(u) za vrednosti parametara t l+1,..., t l+n.
100 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon. 3 Kontrolne tačke d l R su sadržane u (n 1)-dimenzionom oskulirajućem potprostoru od s(u) za vrednosti parametara t l+1,..., t l+n. 4 Svaka deo po deo racionalna kriva s(u) stepena n je NURBS kriva stepena n.
101 Primer Razmatramo polukrug x 2 + y 2 = 1, x 0 i duž koja spaja (0, 1) i (1, 1). Treba naći parametrizaciju ove krive kao NURBS krive. Neka je c(u) = c(u)r = (1 + u 2, u 2 1, 2u)R, tada je luk c([ 1, 1]) i ċ(t) = (2, 2, 2). Ako liniju y = 1 parametrizujemo sa d(u) = d(u)r = (1, u 1, 1)R = 2u (1, u 1, 1)R, vidimo da je i d(t) = (2, 2, 2), pa je kriva c([ 1, 1]) d([1, 2]) deo po deo polinomijalna kriva stepena 2 koja ima prekide za u = 1 i u = 2, a u u = 1 je klase C 1.
102 Primer (nastavak) Vektor čvorova T = ( 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2). Polarna forma S 3 od c: S 3 (u 1, u 2 ) = (u 1 u 2 + 1, u 1 u 2 1, u 1 u 2 ) Polarna forma S 4 od d: S 4 (u 1, u 2 ) = (u 1 + u 2, 2u 1 u 2 u 1 u 2, u 1 u 2 ) Kontrolne tačke: d 0 = S 3 ( 1, 1) = (2, 0, 2) d 1 = S 3 ( 1, 1) = (0, 2, 0) = S 4 ( 1, 2) d 2 = S 3 ( 1, 2) = (3, 1, 3) = S 4 ( 1, 2) d 3 = S 4 ( 2, 2) = (4, 4, 4)
103 Tenzorski proizvod površi Razmatramo polinomijalne 2-površi s(u, v) = n m Bi n (u)bj m (v)b i,j, i=0 j=0 koje su linearna kombinacija kontrolnih tačaka b i,j sa Bernstein-ovim polinomima. Takve površi nazivamo tenzorskim proizvodom (TP) površi stepena (m, n). Prave u = const i v = const su Bézier-ove krive stepena m i n respektivno.
104 Tenzorski proizvod B-Spline površi Tenzorski proizvod B-Spline površi je oblika m 1 m 2 s(u, v) = N n 1 i (u)n n 2 j (v)d i,j, i=0 j=0 gde su N n 1 i (t) B-Spline bazne funkcije definisane vektorom čvorova T 1, a N n 2 i (t) B-Spline bazne funkcije definisane drugim vektorom čvorova T 2.
105 Translatorne površi kao TP površi TP Bézier-ova površ stepena (n, 1) je oblika n n s(u, v) = (1 v) Bi n (u)b i0 + v Bi n (u)b i1, i=0 i=0 jer su Bernstein-ovi polinomi prvog reda: B 1 0(t) = (1 t) i B 1 1(t) = t. Primer TP površ stepena (1, 1) ima reprezentaciju: s(u, v) = (1 u)(1 v)b 00 + u(1 v)b 10 + (1 u)vb 01 + uvb 11 i predstavlja hiperbolički paroboliod.
106 Baricentrične koordinate Za bazne tačke s 0 = 0, s 1 = 1, sve realne brojeve zapisujemo u obliku t = t 0 s 0 + t 1 s 1, t 0 + t 1 = 1. (4) Zapis je jedinstven ako stavimo t 0 = (1 t) i t 1 = t. Koordinate t u odnosu na bazne tačke s 0 i s 1 se nazivaju baricentrične koordinate. Izaberemo bazni simpleks s 0,..., s d u R d. Sve tačke u = (u 1,..., u d ) R d zapisujemo u obliku u = t i s i, t i = 1. (5) Brojevi t i zovu se baricentrične koordinate od u.
107 Bernstein-ovi polinomi u baricentričnim koordinatama U sistemu sa baznim tačkama s 0 = 0, s 1 = 1, umesto B n i (t), možemo pistai B i0 i 1 (t 0, t 1 ), gde je i = i 0, n i = i 1 : B n i (t) = n! i!(n i)! (1 t)i t n i = B i0 i 1 (t 0, t 1 ) = n! i 0!i 1! ti 0 0 t i 1 1.
108 Bernstein-ovi polinomi u baricentričnim koordinatama U sistemu sa baznim tačkama s 0 = 0, s 1 = 1, umesto B n i (t), možemo pistai B i0 i 1 (t 0, t 1 ), gde je i = i 0, n i = i 1 : B n i (t) = n! i!(n i)! (1 t)i t n i = B i0 i 1 (t 0, t 1 ) = n! i 0!i 1! ti 0 0 t i 1 1. U sistemu sa baznim simpleksom s 0,..., s d, svaki Bernstein-ov polinom stepena n je oblika B i0,...,i d (u) = n! i 0! i d! ti 0 0 t i d d, gde je i i d = n, i 0 0,..., i d 0.
109 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n
110 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke.
111 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi:
112 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1.
113 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1.
114 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1. Restrikcija površi na afini r-dimenzionalni potprostor je trougaona Bézierova r-površ. (Specijalno: restrikcija na pravu unutar domena je Bézier-ova kriva)
115 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1. Restrikcija površi na afini r-dimenzionalni potprostor je trougaona Bézierova r-površ. (Specijalno: restrikcija na pravu unutar domena je Bézier-ova kriva) Za argumente u = s 0, u = s 1,..., u = s d površ uzima vrednosti b n,0,...,0, b 0,n,0,...,0,..., b 0,...,0,n.
116 Bézier-ova površ kao linearna kombinacija monoma Polinomijalna d-površ stepena n u R m data je kao linearna kombinacija f(x 1,..., x d ) = a α x α monoma sa koeficijentima a α R m. Stepen Bézier-ove reprezentacije n mora biti veći ili jednak od totalnog stepena α = α α d. Odredimo α 0 tako da α 0 + α α d = n i definišemo multi-indeks i = (i 1,..., i n ): i = (0,..., 0, 1,..., 1,..., d,..., d). }{{}}{{}}{{} α 0 α d α 1
117 Definicija 9 Multi-afine polarne forme Posmatramo multilinearno preslikavanje P ( x 1,..., x n ) = 1 #σ x σ(i), gde σ prolazi kroz sve permutacije multi-indeksa i, simbol #σ označava broj tih permutacija, a x i znači x 1 i 1 x n i n (0 i j d). σ
118 Definicija 9 Multi-afine polarne forme Posmatramo multilinearno preslikavanje P ( x 1,..., x n ) = 1 #σ x σ(i), gde σ prolazi kroz sve permutacije multi-indeksa i, simbol #σ označava broj tih permutacija, a x i znači x 1 i 1 x n i n (0 i j d). Multi-afina polarna forma monoma x α je preslikavanje P dato sa P (x 1,..., x n ) = P ( x 1,..., x n ), sa x 1 0 = = x n 0 = 1. σ
119 Teorema 8 Neka je f(x 1,..., x d ) = α a αx α polinomijalna d-površ u R m. Ako je n > α za sve α koji se pojavljuju u definiciji f, odredimo multi-afinu polarnu formu P (x 1,..., x n ) od f komponentu po komponentu i njihovim linearnim kombinacijama odredimo multi-afine polarne forme monoma, kao što je prethodno opisano. Tada je f trougaona Bézier-ova d-površ nad baznim simpleksom s 0,..., s d i kontrolnim tačkama b i0,...,i d = P (s 0,..., s }{{} 0,..., s d,..., s d ). }{{} i 0 i d
120 Primer Razmatramo 2-površ koja je grafik funkcije x 1 x 2 : ] ] ] (x 1, x 2 ) f(x) = [ x1 x 2 x 1 x 2 = [ x 1,0 + [ x 0,1 + [ ] x 1,1 Zapisujemo ovu površ kao trougaonu Bézier-ovu površ stepena n = 2 nad baznim trouglom s 0 = (0, 0), s 1 = (1, 0), s 2 = (0, 1).
121 Primer (nastavak) Monom x (1,0) α 1 = 1, α 2 = 0 α 0 = 1 i = (0, 1) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 0,1 + x 1,0 ) = 1 2 (x1 0x x 1 1x 2 0) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 1 1)
122 Primer (nastavak) Monom x (0,1) α 1 = 0, α 2 = 1 α 0 = 1 i = (0, 2) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 0,2 + x 2,0 ) = 1 2 (x1 0x x 1 2x 2 0) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 2 + x 1 2)
123 Primer (nastavak) Monom x (1,1) α 1 = 1, α 2 = 1 α 0 = 0 i = (1, 2) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1,2 + x 2,1 ) = 1 2 (x1 1x x 1 2x 2 1) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x1 1x x 1 2x 2 1)
124 Primer (nastavak) Polarna forma od f data je kao linearna kombinacija P (x 1, x 2 ) = Kontrolne tačke Površ P P P = 1 2 b 200 = P (s 0, s 0 ) = (0, 0, 0) b 020 = P (s 1, s 1 ) = (1, 0, 0) b 002 = P (s 2, s 2 ) = (0, 1, 0) b 110 = P (s 0, s 1 ) = ( 1 2, 0, 0) b 101 = P (s 0, s 2 ) = (0, 1 2, 0) b 011 = P (s 1, s 2 ) = ( 1 2, 1 2, 1 2 ) f(x) = i+j+k=2 B ijk (u 0, u 1, u 2 ) b ijk, x x 2 1 x x 2 2 x 1 1x x 1 2x 2 1 gde su u 0, u 1, u 2 baricentrične koordinate tačke x u odnosu na s 0 s 1 s 2.
125 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP).
126 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ.
127 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.
128 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.
129 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.
130 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.
131 Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1).
132 Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1). Kvadratna racionalna parametrizacija sfere bez severnog pola (0, 0, 1) data je sa f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )R = (1 + x x 2 2, 2x 1, 2x 2, x x 2 2 1)R.
133 Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1). Kvadratna racionalna parametrizacija sfere bez severnog pola (0, 0, 1) data je sa f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )R = (1 + x x 2 2, 2x 1, 2x 2, x x 2 2 1)R. Sfera je trougaona Bézier-ova površ stepena n (za sve n 2).
134 Primer (nastavak) Polarna forma od f je data sa P (x 1, x 2 ) = 1 + P + P 2P 2P P + P 1 = Jedinična sfera i Bézier-ove tačke za bazni trougao s 0 = (0, 1 2 ), s 1 = ( 1 2, 0), s 2 = ( 1 2, 1 2 ). x 1 1 x2 1 + x1 2 x x x2 1 x x2 2 x 1 1 x2 1 + x1 2 x2 2 1
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Dužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Funkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
ELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.