Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu"

Transcript

1 Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd

2 Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam de Casteljau Multi-afine polarne forme Podela Bézierove krive Racionalne Bézier-ove krive i njihovi oskulirajući potprostori Dualne Bézier-ove krive 2 B-Spline krive Polinomijalne B-Spline krive Racionalne B-Spline krive 3 Racionalne Bézier-ove površi Tenzorski proizvod površi Trougaone Bézier-ove površi Multi-afine polarne forme Racionalne površi

3 Bernstein-ovi polinomi Racionalna kriva je preslikavanje c : R P n koje u homogenim koordinatama ima polinomijalnu reprezentaciju. Polinomi oblika B n i (t) = ( n i ) t i (1 t) n i, (i = 0,..., n) (1) nazivaju se Bernstein-ovi polinomi stepena n. Polinomi u Bernstein-ovoj formi prvobitno su korišćeni u dokazu teoreme Stone-Weierstrass-a o aproksimaciji.

4 Definicija 1 Bézierova kriva Polinomijalna funkcija b : R R m koja predstavlja linearnu kombinaciju Bernstein-ovih polinoma: b(t) = n Bi n (t)b i (2) i=0 naziva se Bézier-ova kriva, a koeficijenti b i se zovu kontrolne tačke. Niz b 0, b 1,... predstavlja kontrolni poligon Bézier-ove krive.

5 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva:

6 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu.

7 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu. 2 Važi n i=0 Bn i (t) = 1 i tačka na krivoj b(t) zavisi od kontrolnih tačaka na afino invarijantan način.

8 Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu. 2 Važi n i=0 Bn i (t) = 1 i tačka na krivoj b(t) zavisi od kontrolnih tačaka na afino invarijantan način. 3 (svojstvo konveksnog omotača) Tačka b(t) na krivoj je sadržana u konveksnom omotaču kontrolnih tačaka ako je 0 t 1.

9 Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 (t) ) b i

10 Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 2 b(t) je afina kombinacija tačaka b i : 1 = (t + (1 t)) n = n i=0 ( n i (t) ) b i ) t i (1 t) n i = n Bi n (t) i=0

11 Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 2 b(t) je afina kombinacija tačaka b i : 1 = (t + (1 t)) n = n i=0 ( n i (t) ) b i ) t i (1 t) n i = 3 0 t 1 Bi n (t) 0 (prema definiciji) B n i (t) = 1 Bi n (t) 1 b(t) je konveksna kombinacija tačaka b i. n Bi n (t) i=0

12 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n

13 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n

14 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost sve bazne funkcije su nenegativne

15 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Specijalno: Bézier-ova kriva je konveksna ako je njen kontrolni poligon konveksan.

16 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Hiperravan H seče polinomijalnu Bézier-ovu krivu (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen kontrolni poligon:

17 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Afina invarijantnost

18 Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Afina invarijantnost Promena jedne kontrolne tačke menja krivu globalno

19 Algoritam za odredjivanje tačke na krivoj Dat je niz kontrolnih tačaka b 0,..., b n i realni parametar t [0, 1]. Tačku b(t) krive konstruišemo rekurzivnim postupkom pod nazivom de Casteljau-ov algoritam: 1 Početna iteracija: b 0 0 = b 0,..., b 0 n = b n 2 b r i = (1 t)b r 1 i + tb r 1 i+1 { r = 1,..., n i = 0,..., n r 3 b(t) = b n 0

20 Lema 2 Algoritam de Casteljau-a, primenjen na tačke b 0,..., b n i realni parametar t, izračunava polinomijalnu Bézier-ovu krivu sa ovim kontrolnim tačkama i za vrednost parametra t.

21 Lema 2 Algoritam de Casteljau-a, primenjen na tačke b 0,..., b n i realni parametar t, izračunava polinomijalnu Bézier-ovu krivu sa ovim kontrolnim tačkama i za vrednost parametra t. Dokaz Pokažimo prvo da izračunavanje Bézier-ove krive sa kontrolnim tačkama b i,..., b i+r za vrednost t daje tačku b r i iz algoritma: r 1 (1 t) j=0 B r 1 j r 1 (t)b i+j + t j=0 B r 1 j (t)b i+1+j = r Bj r (t)b i+j j=0 Tvrdjenje leme je specijalan slučaj ovoga za i = 0 i r = n.

22 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih

23 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne.

24 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove.

25 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove. Za datu polinomijalnu funkciju c : R R m stepena n treba odrediti tačke b 0,..., b n za koje važi c(t) = i Bn i (t)b i.

26 Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove. Za datu polinomijalnu funkciju c : R R m stepena n treba odrediti tačke b 0,..., b n za koje važi c(t) = i Bn i (t)b i. Definicija Posmatramo monom t r. Za n r definišemo funkciju n-promenljivih P : P (t 1,..., t n ) = ( n r ) 1 I {1,..., n} #I = r i I t i

27 Primeri

28 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1

29 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2

30 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2

31 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1

32 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3

33 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3 n = 3, r = 2 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1t 2 +t 1 t 3 +t 2 t 3 3

34 Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3 n = 3, r = 2 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1t 2 +t 1 t 3 +t 2 t 3 3 n = 3, r = 3 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1 t 2 t 3

35 Definicija 2 Multi-afine polarne forme Preslikavanje f : R n R m naziva se afino ako f(ta + (1 t)b) = tf(a) + (1 t)f(b) za sve a, b R n, t R.

36 Definicija 2 Multi-afine polarne forme Preslikavanje f : R n R m naziva se afino ako f(ta + (1 t)b) = tf(a) + (1 t)f(b) za sve a, b R n, t R. Definicija 3 Preslikavanje P naziva se multi-afina polarna forma odgovarajućeg monoma. Ako je polinom linearna kombinacija monoma, odgovarajuća linearna kombinacija polarnih formi monoma naziva se polarna forma polinoma.

37 Teorema 1 Ako je c(t) = c i t i realna polinomijalna funkcija stepena n, tada se može predstaviti u obliku c(t) = i Bn i (t)b i, gde je b i = P (0,..., 0, 1,..., 1), }{{}}{{} n i i gde je P polarna forma n-promenljivih funkcije c.

38 Dokaz Multi-afina funkcija P zadovoljava jednakost: (1 t n )P (t 1,..., t n 1, 0)+t n P (t 1,..., t n 1, 1) = P (t 1,..., t n 1, t n ) Definišemo tačke: p r i := P (0,..., 0, 1,..., 1, t,..., t) }{{}}{{}}{{} n r i i r One zadovoljavaju iste rekurentne jednačine kao tačke b r i iz de Casteljau-ovog algoritma p r i = b r i p n 0 = b n 0 Tvrdjenje teoreme sledi iz Leme 2.

39 Primer Posmatramo krivu c(t) = (t 2 1, 2t). Odgovarajuće 2-polarne forme monoma su: Polarna forma od c data je sa: a kontrolne tačke: 1 : 1 t t : 1 +t 2 2 t 2 : t 1 t 2 P (t 1, t 2 ) = (t 1 t 2 1, t 1 + t 2 ), b 0 = P (0, 0) = ( 1, 0) b 1 = P (0, 1) = ( 1, 1) b 2 = P (1, 1) = (0, 2)

40 Lema 3 Neka je p(u) polinomijalna funkcija stepena n i Q(u 1,..., u n ) simetrična multi-afina realna funkcija n promenljivih takva da je Q(u,..., u) = p(u), tada se Q poklapa sa n-polarnom formom P od p. Lema 4 Dve polinomijalne krive f, g sa multi-afinim polarnim formama S i T dele iste izvode najviše reda k u u = u 0 akko S(u 1,..., u k, u 0,..., u }{{} 0 ) = T (u 1,..., u k, u 0,..., u 0 ) }{{} n k n k za sve u 1,..., u k.

41 Reparametrizacija Bézierove krive Svaki deo Bézierove krive može biti reparametrizovan tako da predstavlja polinomijalni segment krive čiji parametar pripada intervalu [0, 1]. Posledica 1 Neka je c(t) polinomijalna kriva stepena n u R m i P njena n-polarna forma, tada su kontrolne tačke segmenta krive c([a, b]) date sa b i = P (a,..., a, b,..., b). }{{}}{{} n i i

42 Dokaz d(t) := c ( ) t a b a d([0, 1]) = c([a, b]) Za ovako definisanu funkciju d polarna forma Q zadovoljava jednakost: ( t1 a Q(t 1,..., t n ) = P b a,..., t ) n a b a Iz Teoreme 1 sledi: b i = P (0,..., 0, 1,..., 1) = Q(a,..., a, b,..., b) }{{}}{{}}{{}}{{} n i i n i i

43 Posledica 2 Neka je b Bézier-ova kriva sa kontrolnim tačkama b 0,..., b n. Tangenta na krivu u tački b(t) razapeta je tačkama b0 n 1 i b1 n 1 koje se dobijaju primenom de Casteljau-ovog algoritma. Dokaz Označimo sa l tangentu na krivu u tački b(t). Posmatramo segment krive b([0, t]). Iz Teoreme 1 i Posledice 2 sledi da su njene kontrolne tačke b 0 0,..., b n 0. n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i b n 1 0 l i=0 Za tačku b n 1 1 primenimo prethodni postupak na b([t, 1])

44 Podela krive na 2 dela Za dati skup n + 1 kontrolnih tačaka P 0, P 1, P 2,..., P n i parametar t [0, 1], tražimo dva skupa sa n + 1 kontrolnih tačaka Q 0, Q 1, Q 2,..., Q n i R 0, R 1, R 2,..., R n takvih da Bézier-ova kriva definisana pomoću Q i (odnosno R i ) je deo početne Bézier-ove krive na [0, t] (odnosno [t, 1]).

45 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive

46 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive

47 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive

48 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive

49 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive Renderovanje Bézier-ove krive

50 Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive Renderovanje Bézier-ove krive Dizajn krivih Data kriva 8. stepena podeljena je na dva dela prvom je stepen povećan za 10, a drugom za 2.

51 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika.

52 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Rešenje: Nove kontrolne tačke se računaju pomoću formule: Q i = i ( n + 1 P i i ) P i (1 i n), n + 1 gde su P 0,..., P n kontrolne tačke početne krive.

53 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 1 stepen

54 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 2 stepena

55 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 3 stepena

56 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 4 stepena

57 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 6 stepeni

58 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 8 stepeni

59 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 12 stepeni

60 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 18 stepeni

61 Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 25 stepeni

62 Racionalne Bézier-ove krive Definicija 4 Bézier-ova kriva c : R P m data sa n c(t) = c(t)r = ( Bi n (t)b i )R, (b i R m+1 ) (3) i=0 naziva sa racionalna Bézier-ova kriva.

63 Racionalne Bézier-ove krive Definicija 4 Bézier-ova kriva c : R P m data sa n c(t) = c(t)r = ( Bi n (t)b i )R, (b i R m+1 ) (3) i=0 naziva sa racionalna Bézier-ova kriva. Sve racionalne krive mogu se napisati kao Bézier-ove krive.

64 Oskulirajući potprostori Teorema 2 k-ti projektivni oskulirajući potprostor racionalne Bézier-ove krive c(t) = ( i Bn i (t)b i)r u t = 0 je b 0 R... b k R. Slično, k-ti oskulirajući potprostor u t = 1 dat je sa b n R... b n k R. Dokaz Razmotrimo slučaj za t = 0 (t = 1 se razmatra analogno). Prema definiciji, k-ti oskulirajući potprostor razapet je tačkama: c(0)r, ċ(0)r,..., c (k) (0)R. Kako je c (r) (0) linearne kombinacija vektora b 1 b 0,..., b r b 0 (sa nenula koeficijentom uz b r b 0 ), dobijamo da b 0 R... b k R jeste k-ti oskulirajući potprostor.

65 Primer Posmatramo semikubikalnu parabolu t (t 2, t 3 ). Posle reparametrizacije t = u u 1, u homogenim koordinatama je možemo zapisati kao u ((u 1) 3, u 2 (u 1), u 3 )R = (u 3 3u 2 + 3u 1, u 3 u 2, u 3 )R. Polarna forma je oblika: P (u 1, u 2, u 3 ) = (u 1 u 2 u 3 (u 1 u 2 + u 1 u 3 + u 2 u 3 ) + (u 1 + u 2 + u 3 ) 1, u 1 u 2 u 3 u 1u 2 +u 1 u 3 +u 2 u 3 3, u 1 u 2 u 3 ).

66 Primer (nastavak) Kontrolne tačke b i R: b 0 = P (0, 0, 0) = ( 1, 0, 0) b 1 = P (0, 0, 1) = (0, 0, 0) b 2 = P (0, 1, 1) = (0, 1 3, 0) b 3 = P (1, 1, 1) = (0, 0, 1) Odavde sledi da je za u = 0 niz dimenzija oskulirajućih potprostora 0, 0, 1, 2,..., što znači da ovde kriva ima singularitet. U beskonačnosti (za u = 1), oskulirujući potprostori su dimenzija 0, 1, 1, 2,..., pa kriva ima prevojnu tačku za u = 1.

67 Lema 5 Racionalne normalne krive Za racionalnu krivu c(u) = c(u)r stepena k u P n (k > n) postoji singularno projektivno preslikavanje π : P k P n takvo da je c(u) = ((1, u,..., u k )R)π. Definicija 5 Kriva koja, u odnosu na neki projektivni koordinatni sistem, ima parametrizaciju c(u) = (1, u, u 2,..., u k )R naziva se racionalna normalna kriva projektivnog k-prostora.

68 Definicija 6 Dualne Bézier-ove krive Tangenta na racionalnu ravansku krivu c(t) = c(t)r u tački t = t 0 je linija c(t 0 ) c 1 (t 0 ) i ima vektor homogenih koordinata Ru(t 0 ) = R(c(t 0 ) ċ(t 0 )). Dualna Bézier-ova kriva U(t) = Ru(t) = R m Bi m (t)u i i=0 je familija pravih (tangenti) u projektivnoj ravni zadatih polinomijalnom reprezentacijom u Bernstein-ovoj bazi.

69 Definicija 6 Dualne Bézier-ove krive Tangenta na racionalnu ravansku krivu c(t) = c(t)r u tački t = t 0 je linija c(t 0 ) c 1 (t 0 ) i ima vektor homogenih koordinata Ru(t 0 ) = R(c(t 0 ) ċ(t 0 )). Dualna Bézier-ova kriva U(t) = Ru(t) = R m Bi m (t)u i i=0 je familija pravih (tangenti) u projektivnoj ravni zadatih polinomijalnom reprezentacijom u Bernstein-ovoj bazi. Teorema 3 Familija tangenti racionalne Bézier-ove krive je njena dualna Bézier-ova kriva, i obratno.

70 Dualne kontrolne strukture

71 Dualne kontrolne strukture Bézier-ove krive: B i = b i R kontrolne tačke F i = (b i + b i+1 )R granične tačke

72 Dualne kontrolne strukture Bézier-ove krive: B i = b i R kontrolne tačke F i = (b i + b i+1 )R granične tačke Dualne Bézier-ove krive: U i = Ru i Bézier-ove linije F i : f i = u i + u i+1 granične linije

73 Svojstvo umanjene varijacije Teorema 4 Ako je c ravanska Bézier-ova kriva, broj njenih tangenti incidentnih sa datom tačkom P nije veći od ukupnog broja dualnih kontrolnih struktura koje su incidentne sa P.

74 Svojstvo konveksnosti Posledica Ako se Bézier-ove linije U i i granične linije F i dualne Bézier-ove krive c nalaze u skupu ivica i potpornih linija konveksnog domena D, a tačke U i U i+1 su medju temenima D-a, tada je c konveksna i potpuno leži izvan D.

75 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam:

76 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m

77 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m 2 rekurzivno definišemo linije U k i (t) = Ruk i (t) : u k i (t) = (1 t)u k 1 i (t) + tu k 1 i+1 (t)

78 Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m 2 rekurzivno definišemo linije U k i (t) = Ruk i (t) : u k i (t) = (1 t)u k 1 i (t) + tu k 1 i+1 (t) 3 U(t) = Ru m 0 (t)

79 Konverzija dualnih krivih Posledica Ako je U(t) = R m i=0 Bm i (t)u i dualna Bézier-ova kriva, tada je odgovarajuća tačka krive c(t) parametrizovana sa c(t) = c(t)r ( 2m 2 k=0 ( ) 2m 2 b k k = ( ) ( m 1 m 1 i+j=k i j B 2m 2 k (t)b k ) R ) (u i u j+1 )

80 Definicija 7 B-Spline bazne funkcije Uredjena lista T realnih brojeva t 0 t 1..., t i < t i+n+1 naziva se vektor čvorova. Funkcija Ni n (u) definisana rekurzivno: { Ni 0 1 za ti u < t (u) := i+1 0 ina ce N r i (u) := u t i t i+r t i N r 1 i (u) + t i+r+1 u t i+r+1 t i+1 N r 1 i+1 (u) za 1 r n, naziva se i-ta B-Spline bazna funkcija stepena n koja odgovara vektoru čvorova T.

81 Definicija 8 B-Spline kriva Ako je n pozitivan ceo broj, d 0,..., d m tačke u R d, a T = (t 0... t m+n+1 ) vektor čvorova, onda su B-Spline kriva s(u) stepena n sa kontrolnim tačkama d 0,..., d m i vektorom čvorova T i njena pridružena polarna forma S j definisane sa m m s(u) = Ni n (u)d i, S j (u 1,..., u n ) = Pi,j(u n 1,..., u n )d i, i=0 i=0 gde su funkcije P n i,j (u 1,..., u n ) date rekurzijom (1 r n): P 0 i,j() = δ i,j = { 1 i = j 0 i j Pi,j r (u 1,..., u r ) = ur ti t i+r t i P r 1 i,j (u 1,..., u r 1 ) + ti+r+1 ur t i+r+1 t i+1 P r 1 i+1,j (u 1,..., u r 1 )

82 Primer B-Spline kriva nad vektorom čvorova (0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4).

83 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva:

84 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ].

85 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna.

86 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ].

87 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ]. Restrikcija B-Spline baznih funkcija Ni n na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma Pi,j n (u 1,..., u n ).

88 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ]. Restrikcija B-Spline baznih funkcija Ni n na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma Pi,j n (u 1,..., u n ). Restrikcija krive s na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma S j (u 1,..., u n ).

89 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l.

90 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ).

91 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j.

92 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j. Tačka S j (u 1,..., u n ) je sadržana u oskulirajućim (n 1)-prostorima krive s za vrednosti parametara u 1,..., u n. Ako se bilo koje u i pojavljuje µ puta, ta tačka je sadržana u oskulirajućem (n µ) prostoru krive s(u) u u i.

93 Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j. Tačka S j (u 1,..., u n ) je sadržana u oskulirajućim (n 1)-prostorima krive s za vrednosti parametara u 1,..., u n. Ako se bilo koje u i pojavljuje µ puta, ta tačka je sadržana u oskulirajućem (n µ) prostoru krive s(u) u u i. B-Spline kriva seče hiperravan u najviše onoliko tačaka u koliko je seče njen kontrolni poligon.

94 Teorema 6 Ako je p(u) deo po deo polinomijalna kriva stepena n koja je samo n µ i puta diferencijabilna u u = u i, tada postoji vektor čvorova T takav da T = (u 1,..., u }{{} 1, u 2,..., u 2,...), u }{{} 1 < u 2 <... µ 1 µ 2 gde je p(u) = m Ni n (u)d i, i=0 d l = S j (t l+1,..., t l+n ), (t j < t j+1, j n l j), a S j polarna forma polinoma p [t j, t j+1 ].

95 NURBS krive NURBS = non-uniform rational B-spline Izraz ne-uniformne se odnosi na činjenicu da čvorovi ne moraju da budu jednako distribuirani po realnoj pravoj.

96 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva:

97 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva

98 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon.

99 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon. 3 Kontrolne tačke d l R su sadržane u (n 1)-dimenzionom oskulirajućem potprostoru od s(u) za vrednosti parametara t l+1,..., t l+n.

100 Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon. 3 Kontrolne tačke d l R su sadržane u (n 1)-dimenzionom oskulirajućem potprostoru od s(u) za vrednosti parametara t l+1,..., t l+n. 4 Svaka deo po deo racionalna kriva s(u) stepena n je NURBS kriva stepena n.

101 Primer Razmatramo polukrug x 2 + y 2 = 1, x 0 i duž koja spaja (0, 1) i (1, 1). Treba naći parametrizaciju ove krive kao NURBS krive. Neka je c(u) = c(u)r = (1 + u 2, u 2 1, 2u)R, tada je luk c([ 1, 1]) i ċ(t) = (2, 2, 2). Ako liniju y = 1 parametrizujemo sa d(u) = d(u)r = (1, u 1, 1)R = 2u (1, u 1, 1)R, vidimo da je i d(t) = (2, 2, 2), pa je kriva c([ 1, 1]) d([1, 2]) deo po deo polinomijalna kriva stepena 2 koja ima prekide za u = 1 i u = 2, a u u = 1 je klase C 1.

102 Primer (nastavak) Vektor čvorova T = ( 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2). Polarna forma S 3 od c: S 3 (u 1, u 2 ) = (u 1 u 2 + 1, u 1 u 2 1, u 1 u 2 ) Polarna forma S 4 od d: S 4 (u 1, u 2 ) = (u 1 + u 2, 2u 1 u 2 u 1 u 2, u 1 u 2 ) Kontrolne tačke: d 0 = S 3 ( 1, 1) = (2, 0, 2) d 1 = S 3 ( 1, 1) = (0, 2, 0) = S 4 ( 1, 2) d 2 = S 3 ( 1, 2) = (3, 1, 3) = S 4 ( 1, 2) d 3 = S 4 ( 2, 2) = (4, 4, 4)

103 Tenzorski proizvod površi Razmatramo polinomijalne 2-površi s(u, v) = n m Bi n (u)bj m (v)b i,j, i=0 j=0 koje su linearna kombinacija kontrolnih tačaka b i,j sa Bernstein-ovim polinomima. Takve površi nazivamo tenzorskim proizvodom (TP) površi stepena (m, n). Prave u = const i v = const su Bézier-ove krive stepena m i n respektivno.

104 Tenzorski proizvod B-Spline površi Tenzorski proizvod B-Spline površi je oblika m 1 m 2 s(u, v) = N n 1 i (u)n n 2 j (v)d i,j, i=0 j=0 gde su N n 1 i (t) B-Spline bazne funkcije definisane vektorom čvorova T 1, a N n 2 i (t) B-Spline bazne funkcije definisane drugim vektorom čvorova T 2.

105 Translatorne površi kao TP površi TP Bézier-ova površ stepena (n, 1) je oblika n n s(u, v) = (1 v) Bi n (u)b i0 + v Bi n (u)b i1, i=0 i=0 jer su Bernstein-ovi polinomi prvog reda: B 1 0(t) = (1 t) i B 1 1(t) = t. Primer TP površ stepena (1, 1) ima reprezentaciju: s(u, v) = (1 u)(1 v)b 00 + u(1 v)b 10 + (1 u)vb 01 + uvb 11 i predstavlja hiperbolički paroboliod.

106 Baricentrične koordinate Za bazne tačke s 0 = 0, s 1 = 1, sve realne brojeve zapisujemo u obliku t = t 0 s 0 + t 1 s 1, t 0 + t 1 = 1. (4) Zapis je jedinstven ako stavimo t 0 = (1 t) i t 1 = t. Koordinate t u odnosu na bazne tačke s 0 i s 1 se nazivaju baricentrične koordinate. Izaberemo bazni simpleks s 0,..., s d u R d. Sve tačke u = (u 1,..., u d ) R d zapisujemo u obliku u = t i s i, t i = 1. (5) Brojevi t i zovu se baricentrične koordinate od u.

107 Bernstein-ovi polinomi u baricentričnim koordinatama U sistemu sa baznim tačkama s 0 = 0, s 1 = 1, umesto B n i (t), možemo pistai B i0 i 1 (t 0, t 1 ), gde je i = i 0, n i = i 1 : B n i (t) = n! i!(n i)! (1 t)i t n i = B i0 i 1 (t 0, t 1 ) = n! i 0!i 1! ti 0 0 t i 1 1.

108 Bernstein-ovi polinomi u baricentričnim koordinatama U sistemu sa baznim tačkama s 0 = 0, s 1 = 1, umesto B n i (t), možemo pistai B i0 i 1 (t 0, t 1 ), gde je i = i 0, n i = i 1 : B n i (t) = n! i!(n i)! (1 t)i t n i = B i0 i 1 (t 0, t 1 ) = n! i 0!i 1! ti 0 0 t i 1 1. U sistemu sa baznim simpleksom s 0,..., s d, svaki Bernstein-ov polinom stepena n je oblika B i0,...,i d (u) = n! i 0! i d! ti 0 0 t i d d, gde je i i d = n, i 0 0,..., i d 0.

109 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n

110 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke.

111 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi:

112 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1.

113 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1.

114 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1. Restrikcija površi na afini r-dimenzionalni potprostor je trougaona Bézierova r-površ. (Specijalno: restrikcija na pravu unutar domena je Bézier-ova kriva)

115 Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1. Restrikcija površi na afini r-dimenzionalni potprostor je trougaona Bézierova r-površ. (Specijalno: restrikcija na pravu unutar domena je Bézier-ova kriva) Za argumente u = s 0, u = s 1,..., u = s d površ uzima vrednosti b n,0,...,0, b 0,n,0,...,0,..., b 0,...,0,n.

116 Bézier-ova površ kao linearna kombinacija monoma Polinomijalna d-površ stepena n u R m data je kao linearna kombinacija f(x 1,..., x d ) = a α x α monoma sa koeficijentima a α R m. Stepen Bézier-ove reprezentacije n mora biti veći ili jednak od totalnog stepena α = α α d. Odredimo α 0 tako da α 0 + α α d = n i definišemo multi-indeks i = (i 1,..., i n ): i = (0,..., 0, 1,..., 1,..., d,..., d). }{{}}{{}}{{} α 0 α d α 1

117 Definicija 9 Multi-afine polarne forme Posmatramo multilinearno preslikavanje P ( x 1,..., x n ) = 1 #σ x σ(i), gde σ prolazi kroz sve permutacije multi-indeksa i, simbol #σ označava broj tih permutacija, a x i znači x 1 i 1 x n i n (0 i j d). σ

118 Definicija 9 Multi-afine polarne forme Posmatramo multilinearno preslikavanje P ( x 1,..., x n ) = 1 #σ x σ(i), gde σ prolazi kroz sve permutacije multi-indeksa i, simbol #σ označava broj tih permutacija, a x i znači x 1 i 1 x n i n (0 i j d). Multi-afina polarna forma monoma x α je preslikavanje P dato sa P (x 1,..., x n ) = P ( x 1,..., x n ), sa x 1 0 = = x n 0 = 1. σ

119 Teorema 8 Neka je f(x 1,..., x d ) = α a αx α polinomijalna d-površ u R m. Ako je n > α za sve α koji se pojavljuju u definiciji f, odredimo multi-afinu polarnu formu P (x 1,..., x n ) od f komponentu po komponentu i njihovim linearnim kombinacijama odredimo multi-afine polarne forme monoma, kao što je prethodno opisano. Tada je f trougaona Bézier-ova d-površ nad baznim simpleksom s 0,..., s d i kontrolnim tačkama b i0,...,i d = P (s 0,..., s }{{} 0,..., s d,..., s d ). }{{} i 0 i d

120 Primer Razmatramo 2-površ koja je grafik funkcije x 1 x 2 : ] ] ] (x 1, x 2 ) f(x) = [ x1 x 2 x 1 x 2 = [ x 1,0 + [ x 0,1 + [ ] x 1,1 Zapisujemo ovu površ kao trougaonu Bézier-ovu površ stepena n = 2 nad baznim trouglom s 0 = (0, 0), s 1 = (1, 0), s 2 = (0, 1).

121 Primer (nastavak) Monom x (1,0) α 1 = 1, α 2 = 0 α 0 = 1 i = (0, 1) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 0,1 + x 1,0 ) = 1 2 (x1 0x x 1 1x 2 0) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 1 1)

122 Primer (nastavak) Monom x (0,1) α 1 = 0, α 2 = 1 α 0 = 1 i = (0, 2) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 0,2 + x 2,0 ) = 1 2 (x1 0x x 1 2x 2 0) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 2 + x 1 2)

123 Primer (nastavak) Monom x (1,1) α 1 = 1, α 2 = 1 α 0 = 0 i = (1, 2) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1,2 + x 2,1 ) = 1 2 (x1 1x x 1 2x 2 1) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x1 1x x 1 2x 2 1)

124 Primer (nastavak) Polarna forma od f data je kao linearna kombinacija P (x 1, x 2 ) = Kontrolne tačke Površ P P P = 1 2 b 200 = P (s 0, s 0 ) = (0, 0, 0) b 020 = P (s 1, s 1 ) = (1, 0, 0) b 002 = P (s 2, s 2 ) = (0, 1, 0) b 110 = P (s 0, s 1 ) = ( 1 2, 0, 0) b 101 = P (s 0, s 2 ) = (0, 1 2, 0) b 011 = P (s 1, s 2 ) = ( 1 2, 1 2, 1 2 ) f(x) = i+j+k=2 B ijk (u 0, u 1, u 2 ) b ijk, x x 2 1 x x 2 2 x 1 1x x 1 2x 2 1 gde su u 0, u 1, u 2 baricentrične koordinate tačke x u odnosu na s 0 s 1 s 2.

125 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP).

126 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ.

127 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.

128 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.

129 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.

130 Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.

131 Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1).

132 Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1). Kvadratna racionalna parametrizacija sfere bez severnog pola (0, 0, 1) data je sa f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )R = (1 + x x 2 2, 2x 1, 2x 2, x x 2 2 1)R.

133 Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1). Kvadratna racionalna parametrizacija sfere bez severnog pola (0, 0, 1) data je sa f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )R = (1 + x x 2 2, 2x 1, 2x 2, x x 2 2 1)R. Sfera je trougaona Bézier-ova površ stepena n (za sve n 2).

134 Primer (nastavak) Polarna forma od f je data sa P (x 1, x 2 ) = 1 + P + P 2P 2P P + P 1 = Jedinična sfera i Bézier-ove tačke za bazni trougao s 0 = (0, 1 2 ), s 1 = ( 1 2, 0), s 2 = ( 1 2, 1 2 ). x 1 1 x2 1 + x1 2 x x x2 1 x x2 2 x 1 1 x2 1 + x1 2 x2 2 1

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral

PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I 7.10.2015. ODJ Neka je u C 2 ([α, β]), u(α) = u(β) = 1 2015 Pokazati da je u(t) 0 za sve t [α, β]. Lu = au + b(t)u + c(t)u rešenje jednačine

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. F = γ m m 0. r, (1.1)

Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. F = γ m m 0. r, (1.1) Glava 1 Teorija polja 1.1 Primeri nekih polja od interesa za fiziku i tehniku Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. Privlačenje dve

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα