ΓΙΩΡΓΟΣ Ε. ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ ΕΥΑ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΟΥ ΜΕΛΕΤH ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΙΩΡΓΟΣ Ε. ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ ΕΥΑ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΟΥ ΜΕΛΕΤH ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ"

Transcript

1 ΓΙΩΡΓΟΣ Ε. ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ ΕΥΑ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΟΥ ΜΕΛΕΤH ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ ΑΘΗΝΑ 2016

2 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Α. ΤΟ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ ΓΙΑ ΤΑ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ Τα κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα απασχολούν παγκόσμια, αφενός τους μαθηματικούς θεωρητικά, αφετέρου τους τεχνικούς, ως προς τις δυνατότητες εφαρμογών τους, από την αρχαιότητα μέχρι τις μέρες μας, εξακολουθώντας να βρίσκονται, επί είκοσι πέντε και πλέον αιώνες, πάντοτε στην επικαιρότητα. Το ενδιαφέρον των επιστημόνων για τα στερεά αυτά διατηρείται αμείωτο, με δημοσιεύσεις και αναφορές πολύ πρόσφατες, όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς εύκολα στο διαδίκτυο ή στην ενδεικτική βιβλιογραφία που υπάρχει στο τέλος της μονογραφίας. Συχνότατα, ακόμη και σήμερα, δημοσιεύονται, είτε ως ανακοινώσεις, είτε υπό μορφή βιβλίων, ζητήματα που αφορούν στα στερεά αυτά, με τα οποία έχουν ασχοληθεί τα τελευταία χρόνια πολλοί διακεκριμένοι επιστήμονες όπως, μεταξύ άλλων, οι F. Hohenberg και H.S.M. Coxeter. Οι εργασίες τους περιλαμβάνουν συνήθως νέες ιδιότητες των πολυέδρων στον τρισδιάστατο χώρο και στις προβολές τους στο επίπεδο ή επεκτάσεις σε χώρους ν διαστάσεων. Ακόμη, περιέχουν νέες ενδιαφέρουσες αποδείξεις γνωστών ιδιοτήτων ή απρόσμενους πολλές φορές συσχετισμούς των στερεών αυτών με άλλα αντικείμενα, θεωρητικής, τεχνικής, καλλιτεχνικής ή χρηστικής φύσης. Τα κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα υπήρξαν η αφορμή για να επεκταθεί η έρευνα και σε άλλου είδους πολύεδρα, όπως έγινε στο παρελθόν στα αστεροειδή από τον Kepler ή στα δυΐκά από τον Catalan. Επίσης, αποτελούν πηγή έμπνευσης για τους αρχιτέκτονες, αρκετοί από τους οποίους, όπως ο Buckminster Fuller( ), παρουσιάζουν συχνά δημιουργίες συνήθως με άλλα, παρόμοιας μορφής, πολύεδρα. Τα τελευταία δεν τηρούν τις αυστηρές προδιαγραφές των Πλατωνικών και Αρχιμήδειων πολυέδρων, είναι δυνατόν όμως να επιτευχθούν και με αυτά εξαιρετικά αισθητικές και άρτια τεχνικές κατασκευές, αφού πρώτα βέβαια, όπως συνήθως, μελετηθούν θεωρητικά οι γεωμετρικές και οι από αυτές απορρέουσες λοιπές ιδιότητές τους. Αρχιτέκτων: Richard Buckminster «Βucky» Fuller Πηγή εικόνας: Πηγή εικόνας: KEPLER-Αστεροειδές https://el.wikipedia.org/wiki/αστεροειδές_πολύγ ωνο

3 Αλλά και στην τέχνη γενικότερα, συχνά εμφανίζονται αρκετά από τα πολύεδρα που προαναφέραμε, αφού πολλοί καλλιτέχνες έχουν εμπνευστεί από τα στερεά αυτά σε όλες τις εποχές, μέχρι και τον 20 0 αιώνα και έχουν εκφραστεί, μέσω αυτών, με ποικίλους εικαστικούς τρόπους. Τα παραδείγματα των Leonardo da Vinci, Albrecht Dϋrer, Salvador Dali και Maurits Cornelis Escher είναι χαρακτηριστικά. 3 LEONARDO DA VINCI (Πηγή εικόνας: prizeme/leonardo-da-vincihis-paintingsasearchforperfection ) (πηγή εικόνας: M. C. ESCHER entertainment/mc-escheroverleden) SALVADOR DALI (Πηγή εικόνας: dor -dali) A. DϋRER Melancolia (1514) (Πηγή εικόνας: lancholia.htm)

4 4 Β. ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Τα τελευταία χρόνια έχει διαπιστωθεί στην πράξη, κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής διαδικασίας και πολλές φορές διατυπωθεί από καθηγητές τριτοβάθμιων Ιδρυμάτων διαφόρων ειδικοτήτων ότι: 1. Tο επίπεδο της γνώσης των ιδιοτήτων του τρισδιάστατου χώρου των επιτυχόντων στις Σχολές πολυτεχνικής κατεύθυνσης των Τριτοβάθμιων Ιδρυμάτων είναι εξαιρετικά χαμηλό. Το επίπεδο αυτό είναι συνήθως πολύ κάτω από το ελάχιστο όριο που είναι απαραίτητο για την εύκολη και σε ικανοποιητικό βαθμό κάλυψη των απαιτήσεων των επιστημονικών κλάδων της ειδικότητάς τους, σε θέματα σχεδίασης και αντίληψης εννοιών του χώρου. Η αιτία του προβλήματος εστιάζεται, μεταξύ άλλων, κυρίως στην σχεδόν ανύπαρκτη εκπαίδευση, εξαιτίας του περιεχομένου του σχολικού προγράμματος,που έχουν λάβει κατά τη διάρκεια της φοίτησής τους οι μαθητές των Λυκείων σε θέματα γενικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας εκτός της Μετρικής Γεωμετρίας και ειδικά της Γεωμετρίας του Χώρου. 2. Με κριτήριο τα μη ικανοποιητικά αποτελέσματα του εκπαιδευτικού έργου στα τριτοβάθμια Ιδρύματα, έχει γίνει πλέον αντιληπτό ότι ο αναγκαίος βαθμός κάλυψης των απαιτήσεων αυτών δεν επιτυγχάνεται με τη χρήση εμπειρικών κανόνων σε συνδυασμό με προγράμματα για Η/Υ, μέθοδος που συνηθίζεται να εφαρμόζεται τα τελευταία χρόνια. 3. Αντίθετα, οι γεωμετρικές κατασκευές, εφαρμοσμένες ειδικά σε θέματα κατασκευών μηχανικού, καθώς και η ικανοποιητική γνώση των μεθόδων σχεδιασμού των προβολών των κατασκευών αυτών στο επίπεδο, με χρήση των «Μεθόδων Παράστασης», βοηθούν γενικότερα τους υποψήφιους μηχανικούς να αντιλαμβάνονται ευκολότερα τον χώρο και τις ιδιότητές του. LEONARDO DA VINCI Εικονογραφήσεις για το βιβλίο του Luca Pacioli «Da Divina Proportione» (1509) Πηγή εικόνων:

5 5 Γ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΟΝΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΧΟΙ Η γεωμετρική περιγραφή των μεθόδων κατασκευής των κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων στο χώρο, καθώς και των σχέσεων που υφίστανται μεταξύ των ιδίων και των παραστάσεών τους στα επίπεδα προβολής, αποτελούν το αντικείμενο της μονογραφίας αυτής. Στη συγκεκριμένη εργασία: 1. Αναφέρονται συγκεντρωμένες οι βασικές γεωμετρικές ιδιότητες των κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων και αποδεικνύονται ορισμένες από αυτές στο χώρο και κυρίως στις ορθές προβολές. 2. Περιγράφονται οι γεωμετρικές μέθοδοι κατασκευής των στερεών αυτών στο χώρο. 3. Σχεδιάζονται με βάση τις γεωμετρικές ιδιότητές τους οι «παραστάσεις» των πολυέδρων, δηλαδή οι προβολές τους. Τα τελικά σχέδια που προκύπτουν δημιουργούνται με την εφαρμογή δύο Μεθόδων Παραστάσεων, της Μεθόδου Monge και της Αξονομετρίας. Σημειώνουμε ότι οι μέθοδοι αυτές χρησιμοποιούνται καθημερινά από τους τεχνικούς, τις περισσότερες φορές εμπειρικά και σήμερα με την χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. 4. Παρουσιάζονται τα κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα σε μορφή 3D και δίνεται ένα μικρό βίντεο με ήχο. Η συγγραφή της μονογραφίας αποτελεί τμήμα μίας συστηματικής σειράς ενεργειών, που έχουν ως στόχο την ανάπτυξη της αντίληψης των φοιτητών στην έννοια και τις ιδιότητες του χώρου, ο οποίος είναι η περιοχή αναφοράς όλων των εργασιών των υποψήφιων μηχανικών, από το πρώτο έως το τελευταίο εξάμηνο σπουδών τους. Ελπίζουμε ότι η εργασία αυτή θα συνεισφέρει στην προσπάθεια που καταβάλλεται από πολλούς καθηγητές της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, στη γεφύρωση του χάσματος που υφίσταται μεταξύ μιας «ελλειμματικής πραγματικότητας», ως προς τις γνώσεις που διαθέτουν οι φοιτητές σε θέματα υποδομών και αυτών που πρέπει να διαθέτουν, για να υπάρξει ουσιαστική κάλυψη των εφαρμοσμένων αλλά και των θεωρητικών απαιτήσεων των σπουδών τους. Στο σημείο αυτό δίνεται για μία ακόμη φορά η ευκαιρία να τονίσουμε ότι ειδικά οι σχέσεις των στερεών με τις προβολές τους, γενικευόμενες σε οποιοδήποτε αντικείμενο υπό κατασκευή ή γενικώς υπό μελέτη, οδηγούν στο αποτέλεσμα που λαμβάνουμε στις οθόνες των Η/Υ ή στο χαρτί, το οποίο συνηθίζουμε να ονομάζουμε «σχέδιο». Η γνώση των σχέσεων αυτών από τους υποψήφιους μηχανικούς οργανώνεται στον επιστημονικό και τεχνικό κλάδο, που είναι δυνατόν να περιγραφεί και με τον όρο «Μέθοδοι Παραστάσεων»,ο οποίος: 1. Δημιουργεί τις προϋποθέσεις για την εύκολη και άρτια επιστημονικά σχεδίαση και ανάγνωση «σχεδίων». 2. Λειτουργεί ανεξάρτητα από το είδος των αντικειμένων που παριστάνονται με αυτόν και τους επιστημονικούς κλάδους στους οποίους ανήκουν τα αντικείμενα που μελετώνται και προσφέρει τη γεωμετρική βάση για τη δημιουργία του τελικού προϊόντος στις οθόνες των Η/Υ. Συνοψίζοντας, στόχος της συγκεκριμένης εργασίας είναι να συμβάλλει, χρησιμοποιώντας τα κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα ουσιαστικά ως παράδειγμα, στην καλλιέργεια και ανάπτυξη μερικών αναγκαίων ικανοτήτων των φοιτητών. Μεταξύ αυτών είναι οι ικανότητες: 1. Nα αντιλαμβάνονται γενικότερα τις γεωμετρικές ιδιότητες του τρισδιάστατου χώρου, ο οποίος αποτελεί καθημερινό πεδίο εργασίας και έρευνας των μηχανικών όλων των ειδικοτήτων. 2. Να μετατρέπουν τον τρισδιάστατο χώρο, με τη βοήθεια των «Μεθόδων Παραστάσεων», σε επίπεδη «παράσταση», δηλ. σε «σχέδια». 3. Να αποκτούν ουσιαστική σχέση με τα σχέδια ενός αντικειμένου, κατανοώντας πλήρως την υφιστάμενη αντιστοιχία μεταξύ αυτού και της παράστασής του. Η ανάπτυξη της ικανότητας αυτής δίνει την δυνατότητα να ερμηνεύουν επί της ουσίας το τελικό αποτέλεσμα αυτής της αντιστοιχίας (δηλ. του σχεδίου) ως μηχανικοί και όχι, όπως τείνει να συμβαίνει όλο και συχνότερα σήμερα, ως απλοί χρήστες προγραμμάτων. 4. Να καλλιεργούν την έννοια της «Αναπαράστασης» των αντικειμένων, δηλ. την ικανότητάς τους να «φαντάζονται» ένα αντικείμενο, με τη θέαση και χρήση των παραστάσεών του, είτε είναι «ιδεατό», πριν από την κατασκευή του, είτε είναι ήδη υπαρκτό. Η έννοια της Αναπαράστασης των αντικειμένων είναι, όπως αναφέρουν οι ειδικοί, έμφυτη στον άνθρωπο. Η καλλιέργειά της πρέπει να είναι, κατά τη γνώμη μας, βασικό τμήμα της εκπαίδευσης των υποψήφιων μηχανικών, ανεξάρτητα από τις οποιεσδήποτε επερχόμενες εξελίξεις στην τεχνολογία, οι οποίες θα επηρεάσουν στο εγγύς μέλλον τις μεθόδους προσέγγισης και διαχείρισης του τρισδιάστατου χώρου από τους μηχανικούς.

6 6 Η μονογραφία αυτή εντάσσεται στα πλαίσια προγράμματος που έχει σκοπό την επίτευξη του παραπάνω στόχου. Ένα επιπλέον κίνητρο για τη συγγραφή της ήταν η σύνταξη ενός Ελληνικού κειμένου σύγχρονου και ελπίζουμε εύκολα κατανοητού. Για να επιτευχθεί το τελευταίο: 1. Eλάβαμε υπ όψιν τη σημερινή συνολική εκπαίδευση των φοιτητών, καθώς και την καλλιέργεια, τις δυνατότητες και τις γνώσεις που απέκτησαν και ανέπτυξαν από την εκπαίδευση αυτή. 2. Τονίσαμε στην Εισαγωγή της εργασίας μας τις αναγκαίες ελάχιστες και απλές γνώσεις από την Γεωμετρία του Χώρου, για την εύκολη προσαρμογή των φοιτητών στις απαιτήσεις του θέματος. Δ. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στην ολοκλήρωση της προσπάθειας αυτής προσέφεραν καθοριστικά: 1. Οι Τεχνολόγοι Τοπογράφοι Μηχανικοί, απόφοιτοι του Τμήματος Τοπογραφίας του Τ.Ε.Ι. Αθηνών: Βλαδίμηρος Μεταξάς, Λυδία Γκατζέλια, Αφροδίτη Μαρία Κουφογιώργου, Αργύρης Βασιλείου 2. Οι φοιτητές του ίδιου τμήματος: Μάριος Σγούρος, Ορφέας Στέφας, Οδυσσέας Χριστοδούλου Μαρία Βασιλείου, Κώστας Χατζόπουλος, Φάνης Τζανιδάκης, Ευθύμης Χαβουτσάς τους οποίους ευχαριστούμε ιδιαίτερα. Στο σημείο αυτό οφείλουμε να αναφερθούμε ειδικά στον Αρχιτέκτονα Μηχανικό Παναγιώτη Νικολαΐδη, για την ουσιαστική βοήθεια την οποία μας προσέφερε, αφενός με τις απαραίτητες πληροφορίες για την κατασκευή δύο ημικανονικών πολυέδρων - του Αμβλύ ή Στρεβλού κύβου Α 10 και του Αμβλύ ή Στρεβλού δωδεκαέδρου Α 13 - και αφετέρου με την εργασία του «Πλακοστρώσεις και σχετικές συμμετρικές διατάξεις στο έργο του M.C.Escher» του 2004,που μας διέθεσε, από την οποία αντλήσαμε στοιχεία για τους πίνακες των ημικανονικών πολυέδρων. Επίσης ευχαριστούμε τον Μαθηματικό Ευάγγελο Σπανδάγο, ιδιοκτήτη του Φυσικομαθηματικού βιβλιοπωλείου «ΑΙΘΡΑ», ο οποίος μας προμήθευσε τη σπάνια πλέον μονογραφία του Μαθηματικού Ιωάννου Παπαδάτου «ΑΡΧΙΜΗΔΗ - τα 13 ημικανονικά πολύεδρα» του 1977, στην οποία επίσης βασίσαμε στοιχεία που παραθέτουμε στους ίδιους πίνακες. ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ ΕΥΑ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΟΥ SALVADOR DALI La Cene (1955) (Πηγή εικόνας:

7 7 NICOLAUS NEUFCHATEL Πορτρέτο του Johannes Neudorfer και του γιου του (1561) M. C. ESCHER Παρατηρεί έργο του M. C. ESCHER - Αστέρια (1948) Πηγή εικόνων: https://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit6/unit6.html

8 8 ΙΣΤΟΡΙΚΟ 1. ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ Κανονικά πολύεδρα ή Πλατωνικά πολύεδρα είναι τα παρακάτω 5 κυρτά πολύεδρα: 1. Κανονικό Τετράεδρο (πυραμίδα) 2. Κανονικό Εξάεδρο (κύβος) 3. Κανονικό Οκτάεδρο 4. Κανονικό Δωδεκάεδρο 5. Κανονικό Εικοσάεδρο. Τα στερεά αυτά μελετώνται στο ιγ βιβλίο των «Στοιχείων» του Ευκλείδη ( π.χ.) (βλ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΣΤΑΜΑΤΗ «Ευκλείδου Στερεομετρία», Τόμος IV, σελ , Οργανισμός Εκδόσεων Σχολικών Βιβλίων, Αθήνα 1957), από τα οποία, το τετράεδρο, ο κύβος και το δωδεκάεδρο ήταν ήδη γνωστά στους Πυθαγορείους (6ος αιώνας π.χ.) Η κατασκευή του οκταέδρου και του εικοσαέδρου οφείλεται κατά τους μελετητές στον Θεαίτητο (περίπου π.χ.), μαθητή του Πλάτωνα, ο οποίος φαίνεται ότι έδωσε τα ονόματα στα δύο συγκεκριμένα κανονικά πολύεδρα. Στο λεξικό του 10 ου αιώνα μ.χ. «Σούδα» αναφέρεται ότι ο Θεαίτητος είναι ο πρώτος που έγραψε για το σύνολο των κανονικών πολυέδρων. Σχετικά με τα ονόματα «Κύβος» και «Πυραμίδα» αναφέρουμε τα εξής: 1. Κατά το λεξικό «Μπαμπινιώτη» η ετυμολογία της λέξης Κύβος παραπέμπει σε αρχαία λέξη αγνώστου ετύμου, πιθανώς δάνειο Λυδικής προέλευσης, όπως και το αντίστοιχο Λατινικό Cubus. 2. Στο εγκυκλοπαιδικό λεξικό του «Ηλίου», στον τόμο 7 «Ελλάς» και στη σελίδα 769, διατυπώνεται η άποψη ότι και οι δύο λέξεις Κύβος και Πυραμίδα είναι Ελληνικής προέλευσης. Ιδιαίτερα η λέξη Πυραμίδα σημαίνει «πλακούντας» που προσφέρεται στους νεκρούς, ο οποίος απεικονίζεται σε αττική υδρία του 6ου π.χ. αιώνα, η οποία βρίσκεται στο μουσείο του Βερολίνου. 3. Αντίθετα με την προηγούμενη θεώρηση, η ετυμολογία της λέξης Πυραμίδα, κατά το λεξικό «Μπαμπινιώτη», είναι, όπως και του «κύβου», αγνώστου ετύμου. 4. Ανάλογες θέσεις με το λεξικό «Μπαμπινιώτη» για τη λέξη Πυραμίδα διατυπώνονται στον τόμο 51 της Εγκυκλοπαίδειας «Πάπυρος - Λαρούς - Μπριτάνικα». Στο αντίστοιχο λήμμα, στη σελ. 441, γράφεται συγκεκριμένα:

9 «Η λέξη πυραμίς με τη σημασία «είδος πίτας από σιτάρι και μέλι» (πρβλ. και «πυραμούς») έχει σχηματιστεί από τη λέξη πυρός «σίτος» αναλογικά προς το «σησ-αμίς». Η προέλευση, όμως, της λέξης με τη σημασία του γεωμετρικού σχήματος παραμένει άγνωστη. Η άποψη ότι το γεωμετρικό σχήμα ονομάστηκε έτσι λόγω της ομοιότητάς του προς το σχήμα του γλυκίσματος, καθώς και η θεώρηση της λέξης ως δανείου από το Αιγυπτιακό pr-m-us «ύψος» δεν θεωρούνται πιθανές». Τα κανονικά πολύεδρα ονομάζονται επίσης και Πλατωνικά πολύεδρα διότι περιγράφτηκαν στον Πλατωνικό διάλογο «Τίμαιος». Στο έργο αυτό διατυπώνεται μία αντιστοιχία των τεσσάρων από τα πέντε κανονικά πολύεδρα με τα τέσσερα δομικά στοιχεία του Σύμπαντος, η οποία έχει ήδη εισαχθεί από τον Εμπεδοκλή και υιοθετείται από τον Πλάτωνα ( π.χ.): Τετράεδρο Φωτιά Κύβος Γη Οκτάεδρο Αέρας Εικοσάεδρο Νερό Το σχετικό απόσπασμα από τον «Τίμαιο» στη σελίδα 255 σε μετάφραση Βασίλη Κάλφα από τις εκδόσεις Πόλις 1995, που αναφέρεται στην αντιστοιχία αυτή, έχει ως εξής: «Αλλά ας αφήσουμε καλύτερα αυτό το ζήτημα και ας επιστρέψουμε στα στερεά, που μόλις προέκυψαν από την διήγησή μας. Θα προχωρήσουμε στη διανομή τους στη φωτιά, τη γη, το νερό και τον αέρα. Στη γη ας δώσουμε τη μορφή του κύβου. Γιατί είναι η πιο δυσκίνητη και η πιο εύπλαστη από τα τέσσερα σώματα, άρα πρέπει να πάρει τη μορφή εκείνου του στερεού που έχει τις σταθερότερες βάσεις. Και αν συγκρίνουμε τα αρχικά τρίγωνα, σταθερότερη από τη φύση της είναι εκείνη η βάση που αποτελείται από ισοσκελή παρά από σκαληνά τρίγωνα αν πάλι εξετάσουμε την επίπεδη έδρα που συνθέτουν τα δύο είδη τριγώνων, τότε το τετράγωνο, ως όλο και κατά μέρη, στηρίζεται σταθερότερα από το ισόπλευρο τρίγωνο. Αποδίδοντας λοιπόν τον κύβο στη γη διασώζουμε τον εύλογο χαρακτήρα της διήγησής μας. Αντιστοίχως θα αποδώσουμε στο νερό το πιο δυσκίνητο από τα στερεά που έχουν απομείνει, στη φωτιά το πιο ευκίνητο και στον αέρα το ενδιάμεσο το μικρότερο στη φωτιά, το μεγαλύτερο στο νερό και το ενδιάμεσο στον αέρα το λιγότερο οξύ στο νερό, το περισσότερο οξύ στη φωτιά και το ενδιάμεσο στον αέρα. Από τα τρία στερεά, αυτό που έχει τις λιγότερες έδρες είναι κατ ανάγκην και το πιο ευκίνητο, το πιο κοφτερό και οξύ προς κάθε κατεύθυνση και επιπλέον το πιο ελαφρό, αφού αποτελείται από τον μικρότερο αριθμό ίσων μερών. Σε μικρότερο βαθμό έχει αυτές τις ιδιότητες το δεύτερο στερεό και σε ακόμη μικρότερο το τρίτο. Ο ορθός λοιπόν αλλά και ο εύλογος συλλογισμός μας οδηγεί να αποδώσουμε στο στοιχείο ή σπέρμα της φωτιάς τη στερεά κατασκευή που έχει τη μορφή της πυραμίδας στον αέρα θα αποδώσουμε τη δεύτερη στη σειρά κατασκευή το [οκτάεδρο] και στο νερό την τρίτη το [εικοσάεδρο]». Το πέμπτο από τα κανονικά πολύεδρα, το δωδεκάεδρο, θεωρείται ως περιγεγραμμένο στο,σφαιρικής μορφής, Σύμπαν. Ειδικά η τελευταία αντιστοιχία διατυπώνεται στον «Τίμαιο», στη σελίδα 253, ως εξής: «Έμεινε ακόμη μία κατασκευή, η πέμπτη. Αυτή την κατασκευή ο Θεός την προέβαλε στο σύμπαν, και το διακόσμησε περιχαράσσοντάς το με αυτήν». Τα συγκεκριμένα στερεά περιγράφονται, εγγραφόμενα σε σφαίρα, και από τον Πάππο στην «Μαθηματική Συναγωγή» (βλ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΣΠΑΝΔΑΓΟΥ «Η Μαθηματική Συναγωγή του Πάππου του Αλεξανδρέως», Τόμος Α, σελ ). 9 KEPLER Αντιστοιχία με τα τέσσερα δομικά στοιχεία του Σύμπαντος, Πηγή εικόνας:

10 10 2. ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ Τα ημικανονικά πολύεδρα, έχουν οριστεί από τον Αρχιμήδη ( π.Χ.) και είναι δεκατρία. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Πηγή εικόνας: KEPLER (Πηγή εικόνας:

11 11 Στο σύνολο των 13 ημικανονικών πολυέδρων έχουν προστεθεί στους νεότερους χρόνους από τον Johannis Kepler ( ) δύο επιπλέον, το καθένα από τα οποία περιέχει άπειρα στερεά ( JOHANNIS KEPLER, Harmonices mundi Libri V, Lincii Austriae, MDCIXIX). Στον Kepler επίσης αποδίδονται τα περισσότερα από τα ονόματα των Αρχιμήδειων πολυέδρων, τα οποία, σε μια πρώτη εκτίμηση, προκύπτουν από τον τρόπο κατασκευής των στερεών. JACOPO DE BARBARI Πορτρέτο του Luca Pacioli (1495) Πηγή εικόνας: https://en.wikipedia.org/wiki/luca_pacioli#/media/file:luca_pacioli_(gemaelde).jpeg Ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς (3 ος αιώνας μ.χ.) στο έργο του «Η Μαθηματική Συναγωγή», από το οποίο αντλούμε πληροφορίες για τα ημικανονικά πολύεδρα, διασώζει στοιχεία από τις χαμένες εργασίες του Αρχιμήδη για τα στερεά αυτά, τα οποία ονομάζει ανομοιογενή, αναφέροντας μεταξύ των άλλων τα εξής: «Είναι πράγματι δυνατόν να φανταστούμε έναν μεγάλο αριθμό στερεών σχημάτων που να έχουν κάθε είδους επιφάνειες. Αλλά θα κάνουμε διάκριση αυτών που μοιάζουν κανονικά. Αλλά, αυτά δεν συνίστανται μόνο στα πέντε σχήματα που συναντούμε στο θεϊκό Πλάτωνα, ειδικότερα: το κανονικό τετράεδρο, το κανονικό εξάεδρο, το κανονικό οκτάεδρο, το κανονικό δωδεκάεδρο και πέμπτο το κανονικό εικοσάεδρο, αλλά ακόμα και σε εκείνα τα οποία επινοήθηκαν από τον Αρχιμήδη και είναι δεκατρία στον αριθμό και αποτελούνται από ισόπλευρα και ισογώνια, αλλά όχι όμοια πολύγωνα.». Η απόδοση του προηγουμένου αποσπάσματος στη Νεοελληνική από το αρχαίο κείμενο βρίσκεται στη σελίδα 176 του βιβλίου «Η Μαθηματική Συναγωγή του Πάππου του Αλεξανδρέως»Τόμος Β, των Εκδόσεων Αίθρα 2004 και έγινε από τον Μαθηματικό Ευάγγελο Σπανδάγο. Στην πραγματεία αυτή ο Πάππος περιγράφει τα 13 ημικανονικά πολύεδρα χωρίς όμως να δίνει τις απαραίτητες μεθόδους κατασκευής τους. Επίσης, δεν ονομάζει με ιδιαίτερα ονόματα τα στερεά αυτά, ενώ η διάκρισή τους γίνεται με βάση το πλήθος των εδρών τους, όπως π.χ. «οκτάεδρο», «τεσσαρεσκαιδεκάεδρο» κ.λ.π. Τα πολύεδρα που συμβαίνει να έχουν το ίδιο πλήθος εδρών διαχωρίζονται από τον ίδιο σε πρώτο, δεύτερο ή τρίτο αντίστοιχα. Ανάλογες πληροφορίες σχετικά με τις αναφορές του Πάππου στον Αρχιμήδη παρουσιάζονται στο βιβλίο «Αρχιμήδους Άπαντα» σελ Τόμος Α, σε μετάφραση Ευαγγέλου Σ.Σταμάτη Εκδόσεις Τ.Ε.Ε Μία εργασία σχετικά με τα 13 ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη, που περιέχει και ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεία, είναι του Μαθηματικού Ιωάννου Σ. Παπαδάτου, Αθήνα 1978 με τίτλο «ΑΡΧΙΜΗΔΗ -τα 13 ημικανονικά Πολύεδρα», Αθήναι Στο βιβλίο αυτό γίνεται μνεία και στα «Sholia Vaticana in Pappum», έκδοση Fr. Hultsch. Οι ίδιες αναφορές περιέχονται και στο παραπάνω βιβλίο «Αρχιμήδους Άπαντα» στη σελίδα 126. Ακόμη, στη μελέτη του Παναγιώτη Νικολαΐδη «Πλακοστρώσεις και σχετικές συμμετρικές διατάξεις στο έργο του M. C. ESCHER» Αθήνα Δεκέμβριος 2004, όπως και στο βιβλίο του Εμμανουήλ Γεωργίου Βακαλό «Οπτική Σύνταξη: Λειτουργία και Παραγωγή Μορφών» Αθήνα 1988, εκδ. Νεφέλη, γίνονται αναφορές στα ημικανονικά πολύεδρα, τα οποία συσχετίζουν, μεταξύ άλλων, με την επιφάνεια της περιγεγραμμένης σφαίρας ο πρώτος ή με την πλήρωση του χώρου ο δεύτερος.

12 12 Τέλος, οι Bernulf Weissbach Horst Martini στην πρόσφατη πραγματεία τους «On the Chiral Archimedean Solids» (Contributions to Algebra and Geometry Vol. 43 (2002), No. 1, ), αναφέρονται ιδιαίτερα σε δύο ημικανονικά πολύεδρα, στο 38-εδρο και στο 92-εδρο. Τα πολύεδρα αυτά είναι γνωστά στη διεθνή βιβλιογραφία, είτε με τα ονόματα Cubus simus και Dodekaedron simum αντίστοιχα, είτε ως snub Cube και snub Dodekaedron. Στην εργασία αυτή οι Weissbach - Martini αποδεικνύουν το γνωστό θεώρημα: «Είναι αδύνατον να κατασκευαστεί η ακμή των δύο αυτών στερεών με χάρακα και διαβήτη όταν είναι γνωστή η διάμετρος της περιγεγραμμένης σφαίρας». ΠΛΑΤΩΝ Πηγή εικόνας: ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πηγή εικόνας: otheads.com/pythagoras.ht ml ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Πηγή εικόνας: o/ejemplos/euclides/ Johannes Kepler Πηγή εικόνας: https://en.wikipedia.org/wiki/jo hannes_kepler

13 13 Εξώφυλλο του βιβλίου του Πάππου του Αλεξανδρέως «Μαθηματική Συναγωγή» (έκδοση 1589) KEPLER KEPLER Mοντέλο του σύμπαντος (1596) (πηγές εικόνων: https://commons.wikimedia.org/wiki/file:pappi_alexandrini.png https://bluedragonfly10.files.wordpress.com/2012/04/mysteriumcosmographicum2.jpg)

14 14 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΥΡΤΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1. Επίπεδο κυρτό πολύγωνο είναι το πολύγωνο του οποίου η ευθεία κάθε πλευράς, όταν προεκταθεί, αφήνει ολόκληρο το πολύγωνο προς το ίδιο μέρος του επιπέδου (Κυρτά Πολύεδρα.-Σχ.1). 2. Το τυχαίο κυρτό πολύεδρο αποτελείται από ν κυρτά πολύγωνα, τις έδρες του πολυέδρου, όχι συνεπίπεδα ανά δύο. Στο σχήμα (Κυρτά Πολ.-Σχ.2)δίνουμε ως παράδειγμα ένα κυρτό πολύεδρο, που αποτελείται από εννέα πολύγωνα και εννέα κορυφές, τις Κ,Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η,Θ. Στο στερεό αυτό θα αναφερόμαστε στη συνέχεια προκειμένου να περιγράψουμε τις επόμενες ιδιότητες των κυρτών πολυέδρων. 3. Το επίπεδο κάθε πολυγώνου προεκτεινόμενο αφήνει ολόκληρο το κυρτό πολύεδρο προς το αυτό μέρος του χώρου. Επομένως, εάν π.χ. το επίπεδο του τριγώνου ΚΓΔ προεκταθεί απεριόριστα το στερεό θα βρίσκεται ολόκληρο προς την ίδια πλευρά του χώρου. Αντίθετα, στην περίπτωση που το πολύεδρο είναι μη κυρτό, το επίπεδο μιας τουλάχιστον έδρας προεκτεινόμενο τέμνει το πολύεδρο. 4. Η περιοχή του επιπέδου κάθε κυρτού πολυγώνου του πολυέδρου, που περικλείεται από την περίμετρο του πολυγώνου, λέγεται, όπως ήδη αναφέρθηκε, έδρα του πολυέδρου, ενώ οι πλευρές των πολυγώνων καλούνται ακμές του πολυέδρου. Κορυφές του κυρτού πολυέδρου λέγονται οι κορυφές των πολυγώνων, ενώ διαγώνιος καλείται κάθε ευθύγραμμο τμήμα, που συνδέει δύο κορυφές, οι οποίες όμως δεν είναι στην ίδια έδρα. Διαγώνιος είναι π.χ. το τμήμα ΒΘ. Προφανώς κάθε διαγώνιος βρίσκεται στο εσωτερικό του κυρτού πολυέδρου. 5. Κάθε πλευρά ενός κυρτού πολυγώνου του πολυέδρου είναι και πλευρά ενός μόνο πολυγώνου από τα υπόλοιπα. Π.χ. η πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΚΑΒ είναι ταυτόχρονα πλευρά μόνο του πολυγώνου ΑΒΖΕ. Οι έδρες των πολυέδρων που έχουν κοινή ακμή θα ονομάζονται όμορες έδρες. Επομένως, οι έδρες ΚΑΒ και ΑΒΖΕ είναι όμορες.

15 6. Στο κυρτό πολύεδρο: α. Κάθε κορυφή είναι κορυφή μιας μόνο κυρτής στερεάς γωνίας ή κυρτής πολύεδρης γωνίας με ακμές τις πλευρές των πολυγώνων που έχουν κοινή την κορυφή αυτή. Π.χ. η κυρτή στερεά γωνία με κορυφή Κ έχει ακμές τις ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ. β. Δύο διαδοχικές ακμές ορίζουν γωνία η οποία ονομάζεται εδρική της στερεάς γωνίας. Π.χ. η γωνία ΑΚΔ = φ των διαδοχικών ακμών (ΚΑ, ΚΔ) είναι μία από τις τέσσερεις εδρικές γωνίες της στερεάς γωνίας Κ. γ. Το ίδιο το επίπεδο των ακμών (ΚΑ, ΚΒ) ονομάζεται έδρα της στερεάς γωνίας Κ. δ. Το πλήθος των εδρών χαρακτηρίζει την στερεά γωνία σε τρίεδρη, τετράεδρη κ.λ.π. Η στερεά γωνία Κ είναι προφανώς τετράεδρη. ε. Δίεδρη γωνία στερεάς γωνίας Κ ονομάζεται η γωνία δύο διαδοχικών εδρών, δηλαδή δύο επιπέδων που τέμνονται σε μία ακμή, η οποία δίνει το όνομα στη δίεδρη γωνία. Π.χ., δίεδρη γωνία ΚΑ = ω είναι η γωνία των επιπέδων ΚΑΒ και ΚΑΔ, τα οποία τέμνονται στην ακμή ΚΑ. ζ. Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των εδρικών γωνιών μιας στερεάς γωνίας είναι μικρότερο από 4 ορθές γωνίες, δηλαδή είναι μικρότερο από 360º. 15

16 16 η. Ο Καρτέσιος ονομάζει εξωτερική γωνία στερεάς γωνίας, τη διαφορά του αθροίσματος των εδρικών γωνιών της στερεάς γωνίας από τις 360º ή τις 4 ορθές γωνίες ( βλ. σελ. 26 και [ 6 ] ). θ. Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυέδρου είναι 720º ή 8 ορθές γωνίες. Δηλαδή, αν πολλαπλασιάσουμε τη διαφορά του αθροίσματος των εδρικών γωνιών σε κάθε κορυφή κυρτού πολυέδρου με το πλήθος των κορυφών λαμβάνουμε 8 ορθές γωνίες. Παρατήρηση. Υπενθυμίζουμε από τη Στερεομετρία ορισμένες έννοιες, απολύτως αναγκαίες για την κατανόηση των ορισμών και των ιδιοτήτων που θα ακολουθήσουν : 1. Η επίπεδη γωνία ω, το μέτρο της οποίας δίνει το μέγεθος της δίεδρης γωνίας που ορίζεται από τα τεμνόμενα στην ευθεία ε ημιεπίπεδα σ και τ, βρίσκεται ως εξής (Κυρτά Πολ.-Σχ.3): Φέρνουμε ημιευθεία α, η οποία ανήκει στο επίπεδο σ, κάθετη στην τομή ε σε τυχαίο σημείο Ρ. Ανάλογα φέρνουμε την ημιευθεία β κάθετα στην ε που ανήκει στο ημιεπίπεδο τ. Η γωνία ω είναι η γωνία των ημιευθειών α και β. Προφανώς, το επίπεδο (α, β) είναι κάθετο στην ευθεία ε, έχοντας ως τομές με τα ημιεπίπεδα σ και τ τις ημιευθείες α, β αντίστοιχα. Η επίπεδη γωνία που δημιουργείται ονομάζεται αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης γωνίας. Με βάση τον παραπάνω ορισμό, η δίεδρη γωνία ΚΑ = ω βρίσκεται ως εξής: Από την κορυφή Δ φέρνουμε κάθετη ευθεία ΔΡ α στην ΚΑ. Ακολούθως φέρνουμε την κάθετη ευθεία ΡΤ β, επίσης στην ΚΑ στο σημείο Ρ, επάνω στο επίπεδο ΚΑΒ. Η αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης γωνίας ΚΑ είναι η γωνία ΔΡΤ = ω. Το επίπεδο ΔΡΤ είναι κάθετο στην ακμή ΚΑ. 2. Δύο κυρτές στερεές γωνίες ή κυρτές πολύεδρες γωνίες ονομάζονται ίσες όταν έχουν όλες τις εδρικές γωνίες ίσες και τις δίεδρες επίσης ίσες, μία προς μία και με τον ίδιο προσανατολισμό (ίδια διάταξη). Εάν οι δύο στερεές γωνίες έχουν τις εδρικές και τις δίεδρες γωνίες ίσες, μία προς μία, αλλά με αντίθετο προσανατολισμό (διάταξη) ονομάζονται κατοπτρικές ή αντίρροπα ίσες. Μία τέτοια περίπτωση δύο στερεών γωνιών είναι οι συμμετρικές ως προς την κοινή κορυφή τους. 7. Κανονική στερεά γωνία λέγεται η κυρτή στερεά που έχει όλες τις εδρικές γωνίες ίσες και όλες τις δίεδρες επίσης ίσες. 8. Αποδεικνύεται ότι αν μία τρίεδρη στερεά γωνία έχει τις εδρικές γωνίες ίσες, θα έχει και τις δίεδρες ίσες και αντιστρόφως. Σε αυτή την περίπτωση η τρίεδρη ονομάζεται ισοεδρική. 9. Αν οι εδρικές γωνίες της τρίεδρης είναι ορθές, η στερεά γωνία ονομάζεται τρισορθογώνια και προφανώς, με βάση τα προηγούμενα, θα έχει και τις δίεδρες ορθές. Π.χ., οι στερεές γωνίες κύβου είναι τρισορθογώνιες. 10. Η τομή της επιφάνειας του κυρτού πολυέδρου με επίπεδο (Κυρτά Πολ.-Σχ.4) είναι κυρτό πολύγωνο, όπως είναι το πολύγωνο ΛΜΝΡΤΚ. Οι κορυφές του πολυγώνου τομής βρίσκονται πάντοτε μεταξύ δυο κορυφών του κυρτού πολυέδρου. Π.χ. η κορυφή Ρ βρίσκεται μεταξύ των Ζ και Η. Επομένως, αν μια ακμή του πολυέδρου, όπως ΕΑ, τέμνεται στην προέκτασή της στο σημείο Σ από το επίπεδο τομής, το σημείο αυτό δεν αποτελεί κορυφή της τομής. 11. Το κυρτό πολύεδρο τέμνεται με ευθεία σε δύο το πολύ σημεία (Κυρτά Πολ.-Σχ.5). 12. Ειδικές μορφές κυρτών πολυέδρων αποτελούν τα γνωστά στερεά: α. Πυραμίδα β. Πρίσμα καθώς και τα: γ. Κανονικά Πολύεδρα δ. Ημικανονικά Πολύεδρα Οι δύο τελευταίες μορφές αποτελούν αντικείμενο μελέτης της μονογραφίας αυτής.

17 17

18 Από την Παραστατική Γεωμετρία υπενθυμίζουμε την έννοια του αναπτύγματος: Το ανάπτυγμα της επιφάνειας ενός κυρτού πολυέδρου δημιουργείται από ένα σύνολο διαδοχικών γεωμετρικών πράξεων που ονομάζεται ανάπτυξη. Με τη διαδικασία αυτή, όλες οι έδρες του στερεού μετασχηματίζονται, ώστε να συμπέσουν στο ίδιο επίπεδο και με την ίδια διάταξη που έχουν στο χώρο. Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι επίπεδο σχήμα αποτελούμενο από πολύγωνα, στο οποίο: α. Κάθε πολύγωνο ισούται με μία μόνο έδρα του πολυέδρου. β. Το πλήθος των πολυγώνων του αναπτύγματος ισούται με τον αριθμό των εδρών του πολυέδρου, με συνέπεια το εμβαδόν του σχήματος αυτού να ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας του στερεού. γ. Κάθε έδρα του στερεού στο ανάπτυγμα είναι όμορη με μία τουλάχιστον από τις όμορες σε αυτήν έδρες στο χώρο. Εφαρμόζοντας στο ανάπτυγμα αντίστροφες των προηγουμένων γεωμετρικές πράξεις, οι οποίες θα μπορούσαν να ονομαστούν σύμπτυξη, έχουμε τη δυνατότητα να κατασκευάσουμε από το ανάπτυγμα το ίδιο το στερεό στο χώρο. Στο σχήμα (Κυρτά Πολ.-Σχ.6) είναι σχεδιασμένο το ανάπτυγμα κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, που έχει βάση τετράγωνο ΑΒΓΔ και κορυφή Κ. Το ανάπτυγμα παρουσιάζεται με δύο τρόπους. 14. Για τα κυρτά πολύεδρα ισχύει ο τύπος του L. Eϋler ( ): Κ + Ε = Α + 2 όπου Κ πλήθος κορυφών, Ε πλήθος εδρών και Α πλήθος ακμών. Πράγματι, για το τυχαίο κυρτό πολύεδρο του σχήματος (Κυρτά Πολ.-Σχ.2) ισχύει: 9 κορυφές + 9 έδρες = 16 ακμές + 2

19 19 Δωδεκάεδρο Ετρούσκων 500 π.χ. Πηγή εικόνας: https://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit6/unit6.html

20 20 2. ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΓΕΝΙΚΑ Κανονικά πολύεδρα ή Πλατωνικά πολύεδρα ονομάζονται, όπως ήδη αναφέρθηκε στο ιστορικό, τα εξής 5 κυρτά πολύεδρα (Κανονικά Πολύεδρα -Σχ.1): 1. Κανονικό Τετράεδρο (πυραμίδα) 2. Κανονικό Εξάεδρο (κύβος) 3. Κανονικό Οκτάεδρο 4. Κανονικό Δωδεκάεδρο 5. Κανονικό Εικοσάεδρο Το όνομα του πολυέδρου καθορίζεται προφανώς από το πλήθος των εδρών που το απαρτίζουν ΟΡΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Κανονικά πολύεδρα είναι τα κυρτά πολύεδρα τα οποία, εκτός από τις γενικές ιδιότητες των κυρτών πολυέδρων που έχουν ήδη αναφερθεί στην εισαγωγή, επιπλέον έχουν: 1. Έδρες κανονικά πολύγωνα, ίσα μεταξύ τους. 2. Ίσες δίεδρες γωνίες. 3. Στερεές γωνίες κανονικές (δηλαδή με ίσες εδρικές και ίσες δίεδρες γωνίες) και ίσες. Αποδεικνύεται ότι εξαιτίας των ιδιοτήτων αυτών, τα κανονικά πολύεδρα είναι μόνο πέντε και έχουν: 1. Στερεές γωνίες τρίεδρες, τετράεδρες ή πεντάεδρες, ανάλογα με το στερεό. 2. Έδρες ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα ή κανονικά πεντάγωνα. Ως παράδειγμα αναφέρουμε το κανονικό τετράεδρο(καν.πολ.-σχ.1): α. Οι έδρες του είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. β. Περιέχει ίσες και κανονικές στερεές γωνίες, αφού κάθε εδρική γωνία μιας στερεάς γωνίας είναι 60 0 (λόγω των ισόπλευρων τριγώνων), όπως ίσες είναι και οι δίεδρες γωνίες ω.

21 21

22 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Α. Στην βιβλιογραφία, για τον συμβολισμό των κανονικών πολυέδρων, χρησιμοποιείται συνήθως το σύμβολο Schläfli {p,q}. Στο σύμβολο αυτό: 1. Το p υποδηλώνει τον αριθμό των πλευρών κάθε έδρας του στερεού, δηλαδή το είδος των κανονικών πολυγώνων από τα οποία απαρτίζεται το πολύεδρο. Ο αριθμός αυτός είναι 3 p Το q υποδηλώνει το πλήθος των εδρών σε κάθε στερεά γωνία, δηλαδή το πλήθος των πολυγώνων που δημιουργούν τη στερεά γωνία. Ο αριθμός αυτός είναι επίσης 3 q 5. Με τον συμβολισμό Schläfli κάθε ένα από τα κανονικά πολύεδρα περιγράφεται ως εξής: 1. Κανονικό Τετράεδρο (πυραμίδα) {3,3} 2. Κανονικό Εξάεδρο (κύβος) {4,3} 3. Κανονικό Οκτάεδρο {3,4} 4. Κανονικό Δωδεκάεδρο {5,3} 5. Κανονικό Εικοσάεδρο {3,5} Β. Ακόμη χρησιμοποιείται και ο παρεμφερής συμβολισμός ( Βλ. [5] και [16] ): 1. Κανονικό Τετράεδρο (πυραμίδα) Κανονικό Εξάεδρο (κύβος) Κανονικό Οκτάεδρο Κανονικό Δωδεκάεδρο Κανονικό Εικοσάεδρο Γ. Στη συγκεκριμένη μονογραφία θα χρησιμοποιήσουμε, για λόγους ευκολίας και την παρακάτω αντίστοιχη συντομογραφία για κάθε κανονικό πολύεδρο: 1. Κανονικό Τετράεδρο (πυραμίδα) ΤΕ 2. Κανονικό Εξάεδρο (κύβος) ΚΥ 3. Κανονικό Οκτάεδρο ΟΚ 4. Κανονικό Δωδεκάεδρο ΔΩ 5. Κανονικό Εικοσάεδρο ΕΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ Στον γενικό πίνακα που ακολουθεί δίνονται για κάθε ένα από τα 5 κανονικά πολύεδρα τα εξής στοιχεία: 1. Το όνομα 2. Οι συμβολισμοί 3. Το πλήθος και το είδος των πολυγώνων των εδρών 4. Το πλήθος των κορυφών 5. Το πλήθος των ακμών 6. Το είδος της στερεάς γωνίας 7. Η στήλη «ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ» περιέχει μία αξονομετρική προβολή του αντίστοιχου κανονικού πολυέδρου.

23 ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ ΟΝΟΜΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟI ΕΔΡΕΣ ΚΟΡΥΦΕΣ ΑΚΜΕΣ ΣΤΕΡΕΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ (πυραμίδα) {3,3} ΤΕ 4 τρίγωνα εδρες (3 τρίγωνα) ΕΞΑΕΔΡΟ (κύβος) {4,3} ΚΥ 6 τετράγωνα εδρες (3 τετράγωνα) ΟΚΤΑΕΔΡΟ {3,4} ΟΚ 8 τρίγωνα εδρες (4 τρίγωνα) ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ {5,3} ΔΩ 12 πεντάγωνα εδρες (3 πεντάγωνα) ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ {3,5} ΕΙ 20 τρίγωνα εδρες (5 τρίγωνα)

24 ΓΕΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1. Στο βιβλίο του I.TODHUNTER ( ), καθηγητή στο κολλέγιο St.John του Cambridge: «Spherical Τrigonometry for the use of colleges and schools» αποδεικνύεται ο γενικός τύπος, προσαρμοσμένος εδώ στους προηγούμενους συμβολισμούς Schläfli {p,q}: i p q όπου: π συν i q ημ = 2 π ημ p η αντίστοιχη επίπεδη γωνία δίεδρης γωνίας οποιουδήποτε από τα πέντε κανονικά πολύεδρα και, όπως ήδη αναφέρθηκε: το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου του εκάστοτε κανονικού πολυέδρου ο αριθμός των εδρών σε κάθε κορυφή του στερεού αυτού. Π.χ. για το κανονικό δωδεκάεδρο έχουμε: p = 5 και q = 3, οπότε ο προηγούμενος τύπος γίνεται: π συν i συν60 ημ = 3 = o 2 π ημ ημ36 5 o i 116 0, Από ένα κανονικό πολύεδρο μπορεί να κατασκευαστεί, με κατάλληλες γεωμετρικές πράξεις, οποιοδήποτε από τα άλλα τέσσερα κανονικά πολύεδρα. Π.χ. από τον κύβο μπορεί να κατασκευαστεί απλούστατα ένα κανονικό τετράεδρο (Καν.Πολ.-Σχ.2) ή οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα. Στο βιβλίο [10] της βιβλιογραφίας περιγράφεται σε πίνακα μια δυνατότητα κατασκευής του τυχαίου κανονικού πολυέδρου από οποιοδήποτε άλλο. 3. Κάθε κανονικό πολύεδρο έχει περιγεγραμμένη και εγγεγραμμένη σφαίρα, με κοινό κέντρο ΔΥΪΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ Ονομάζουμε δυϊκά δύο κανονικά πολύεδρα, όταν το ένα έχει ως κορυφές τα κέντρα των εδρών του άλλου (Καν.Πολ.-Σχ.3). Το κανονικό οκτάεδρο π.χ., που έχει κορυφές τα κέντρα των τετραγώνων ενός κύβου, είναι δυϊκό του κύβου αυτού. Αντίστροφα, ο κύβος είναι δυϊκός του κανονικού οκταέδρου, διότι δημιουργείται συνδέοντας κατάλληλα τα κέντρα των ισοπλεύρων τριγώνων του καν. οκταέδρου. Ανάλογα, το καν. δωδεκάεδρο είναι δυϊκό του καν. εικοσαέδρου και αντίστροφα. Το κανονικό τετράεδρο είναι δυϊκό του εαυτού του. Τα δυϊκά πολύεδρα των κανονικών πολυέδρων διαθέτουν εγγεγραμμένη σφαίρα, αλλά όχι περιγεγραμμένη. Είναι προφανές ότι στο κανονικό πολύεδρο Π 2, που είναι δυϊκό ενός αρχικού καν. πολυέδρου Π 1, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα καν. πολύεδρο Π 3, δυϊκό του Π 2, ίδιας μορφής με το Π 1. Π.χ. μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα νέο κύβο Π 3, δυϊκό ενός καν. οκταέδρου Π 2, το οποίο έχει κατασκευαστεί ως δυϊκό ενός αρχικού κύβου Π 1. Ο νέος κύβος Π 3 είναι φυσικά μικρότερος του αρχικού κύβου Π 1 (Καν.Πολ.-Σχ.4).

25 25

26 ΠΟΡΕΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ Για την παρουσίαση των κανονικών πολυέδρων ακολουθούμε την εξής πορεία: 1. Παριστάνουμε κάθε πολύεδρο με μια αξονομετρική προβολή, με την βοήθεια της οποίας περιγράφονται και αναλύονται οι βασικές ιδιότητές του. 2. Παριστάνουμε σε ορθές προβολές (μέθοδος Monge) τα πέντε κανονικά πολύεδρα, τοποθετημένα καταρχάς με απλό και προφανή τρόπο, ως προς τα επίπεδα προβολής (e 1, e 2), για να διευκολυνθεί η σχεδίαση των παραστάσεών τους. Για την ίδιο λόγο, όλα τα θέματα δίνονται με αριθμητικά δεδομένα. 3. Υπολογίζουμε χωριστά την αντίστοιχη επίπεδη γωνία ω της δίεδρης γωνίας κάθε κανονικού πολυέδρου, ανεξάρτητα της ύπαρξης του γενικού τύπου που αναφέρθηκε προηγουμένως (βλ.2.1.6). 4. Σχεδιάζουμε το ανάπτυγμα κάθε στερεού. Παρατήρηση. Σε ολόκληρη την μονογραφία έχει προβλεφθεί ώστε, για την εύκολη ανάγνωση των θεμάτων, κατά την παρουσίαση των σχεδίων, το ανάλογο κείμενο να βρίσκεται σχεδόν πάντοτε στην διπλανή σελίδα ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ Πριν παρουσιάσουμε το περιεχόμενο των επιμέρους συνοπτικών πινάκων των κανονικών πολυέδρων τονίζουμε ότι: 1. Οι σχέσεις διαφόρων στοιχείων των κανονικών πολυέδρων που αναγράφονται στους πίνακες αυτούς (καθώς και στους αντίστοιχους πίνακες των ημικανονικών που ακολουθούν), όταν δεν έχει γίνει σχετική απόδειξη στο κείμενο ή δεν αναφέρεται ρητά διαφορετικά, έχουν ληφθεί κυρίως από τις μονογραφίες [ 5 ] και [ 6 ] της βιβλιογραφίας. 2 Η γραμμή «ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ» αναφέρεται στη διαφορά του αθροίσματος των εδρικών γωνιών στερεάς γωνίας κάθε πολυέδρου από της 360º ή της 4 ορθές γωνίες ( βλ. σελ.16 και [ 6 ] ). Παράδειγμα: Η στερεά γωνία της κανονικού δωδεκαέδρου έχει έδρες 3 γωνίες πενταγώνων, οπότε: 3 108º = 324º η «εξωτερική γωνία» στο κανονικό δωδεκάεδρο είναι 360º - 324º = 36º Ισχύει και εδώ φυσικά η γενική ιδιότητα των κυρτών πολυέδρων: 36º 20 κορυφές = 720º ή ή 2 5 ορθής γωνίας. 2 ορθής γωνίας 20 κορυφές = 8 ορθές γωνίες 5 Στους επιμέρους συνοπτικούς πίνακες που ακολουθούν δίνονται για κάθε ένα από τα 15 συνολικά ημικανονικά πολύεδρα τα εξής στοιχεία: 1. Όνομα 2. Συμβολισμός 3. Πλήθος των εδρών 4. Είδος των εδρών 5. Πλήθος των κορυφών 6. Πλήθος των ακμών 7. Πλήθος των εδρών μιας στερεάς γωνίας και το είδος των πολυγώνων που συντρέχουν στην κορυφή της 8. Το μέγεθος της εξωτερικής γωνίας κάθε στερεάς γωνίας 9. Το μέγεθος της δίεδρης γωνίας 10. Η σχέση της ακμής α i του στερεού με την ακτίνα R i της περιγεγραμμένης σφαίρας του

27 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

28 28

29 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ (ΠΥΡΑΜΙΔΑ) (ΤΕ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΝΟΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ (ΠΥΡΑΜΙΔΑ) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΕ {3,3 } ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 4 ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 4 ΑΚΜΕΣ 6 ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 3 τρίγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ 1 συνω = 3 180º ή 2 ορθές ω 70 0, ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ ατε ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ RΤΕ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α 6 ΤΕ R ΤΕ = 2 2

30 30 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ Α. Να παρασταθεί κανονικό τετράεδρο με βάση ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, που βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e1. Δίνονται: Α (55, 20, 0), Β (15, 20, 0). Η κορυφή Γ έχει yγ > 0. Η κορυφή Κ έχει zk > 0. Β. Εκτός από την πρώτη και δεύτερη προβολή, να σχεδιαστεί τρίτη, τέταρτη και πέμπτη προβολή (πλάγιες όψεις) του καν. τετραέδρου με: 1. y13 y12 2. γωνία (y14, y12) = y25 // Κ Γ. Γ. Να βρεθεί γραφικά μία δίεδρη γωνία ω του στερεού (ΤΕ-Σχ.1). Δ. Να σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του πολυέδρου. Λύση Γενικά 1.Το κανονικό τετράεδρο είναι μία κανονική πυραμίδα με βάση ισόπλευρο τρίγωνο και παράπλευρες έδρες ισόπλευρα τρίγωνα. 2. Αν α = ΑΒ η ακμή του, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΗΜ, όπου Μ το μέσον της ακμής ΑΒ και Η το κέντρο βάρους (και ορθόκεντρο) του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ, έχουμε: (ΚΗ) 2 = (ΚΜ) 2 (ΗΜ) 2 (1) Το ΚΜ = υ είναι το ύψος του ισόπλευρου τριγώνου ΚΑΒ, οπότε : υ = α 4 (2) και 1 ΗΜ = υ 3 (3) Από τις σχέσεις (1), (2), (3) προκύπτει: 1 ΚΗ = α 6 3 (4) 3. Η δίεδρη οξεία γωνία ω του κανονικού τετραέδρου έχει : ΗΜ 1 συνω = = ΚΜ 3 Α. Παράσταση 0 ω 70, α. Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Α Β Γ, με Α Β = ΑΒ = 40. Η Κ είναι το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου, αφού το τετράεδρο είναι κανονικό. β. Αφού α=40, από τη σχέση (4) z K 32, Στο ίδιο σχήμα, στην πρώτη προβολή, δίνουμε και γραφικά την κατασκευή του ύψους z K, ως εξής: Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο Α Κ Κ 0 (στο σχέδιο είναι τονισμένο με ανοιχτό γκρι). Το ορθογώνιο τρίγωνο αυτό είναι κατάκλιση στο e 1 του ορθογωνίου τριγώνου ΑΚΚ 0 του χώρου και έχει α = ΑΚ = Α Κ 0. Προφανώς z Κ = Κ Κ 0. γ. Με τη βοήθεια του z K ορίζουμε το Κ. Β. Τρίτη, τέταρτη και πέμπτη προβολή 1. ΤΡΙΤΗ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Τοποθετούμε τους τρεις άξονες, όπως προβλέπεται από την εκφώνηση. Προβάλλουμε το στερεό στα νέα επίπεδα προβολής.

31 31

32 32 2. ΠΕΜΠΤΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Σχεδιάζουμε τον άξονα y 25 // K Γ.Το σημείο Κ V π.χ. βρίσκεται τοποθετώντας το x Κ, ως προς φορά αυθαίρετη. Είναι: x Κ= ΡΚ V. Ανάλογα τοποθετούμε τα υπόλοιπα σημεία. τον άξονα y 25, με Παρατήρηση. Η αλλαγή του συστήματος με νέο άξονα y 25 δίνει ως πέμπτη προβολή παράσταση, η οποία, εκτός από προβολή της μεθόδου Monge, είναι και ορθή αξονομετρία, προσφέροντας στο θεατή την ανάλογη «τρισδιάστατη» εντύπωση του κανονικού τετραέδρου και μάλιστα «από κάτω», αφού η βάση ΑΒΓ φαίνεται ολόκληρη, σε αντίθεση π.χ. με την κάτοψη (πρώτη προβολή) του θέματος, η οποία καλύπτεται από το αδιαφανές στερεό. Επιπλέον, στη συγκεκριμένη προβολή ( με άξονα y 25 // Κ Γ ), το περίγραμμα του σχήματος είναι τετράγωνο, όπως εύκολα αποδεικνύεται. Εδώ πρέπει να τονιστεί ότι και οι υπόλοιπες προβολές μπορούν να θεωρηθούν, όπως είναι γνωστό, επίσης ως ειδικές ορθές αξονομετρικές προβολές ( βλ. Γ. Ε. ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ «Μέθοδοι Παραστάσεων» σελ. 36 παρατήρηση 3, σελ. 89 ειδικές περιπτώσεις ). Γ. Δίεδρη Γωνία Μία δίεδρη γωνία ω του καν. τετραέδρου είναι και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των όμορων εδρών ΚΑΒ και ΑΒΓ e 1. Το επίπεδο ΚΑΒ είναι πρόσθιο ( κάθετο στο e 2), αφού έχει ως πρώτο ίχνος σ 1 την ΑΒ Α Β, η οποία είναι από την εκφώνηση κάθετη στον y 12.Επομένως, το επίπεδο ΚΑΒ θα έχει δεύτερο ίχνος σ 2 Κ Α. Άρα, η ζητούμενη δίεδρη γωνία ω = Κ Α Γ ˆ. Η μέτρηση της γωνίας ω στο σχέδιο του Η/Υ δίνει: ω 70 0, Το αποτέλεσμα συμπίπτει, αφενός με το ήδη υπολογισμένο, αφετέρου με αυτό που προκύπτει από την εφαρμογή του γενικού τύπου της σελ.24 για τα κανονικά πολύεδρα,με p = 3 και q = 3. Δ. Ανάπτυγμα Το ανάπτυγμα του κανονικού τετραέδρου αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, τοποθετημένα όπως φαίνεται στο σχήμα (ΤΕ-Σχ.2), στο οποίο το ανάπτυγμα είναι σχεδιασμένο σε διπλάσιο μέγεθος.

33 33

34 34

35 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΕΔΡΟ (ΚΥΒΟΣ) (ΚΥ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΝΟΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΕΔΡΟ (ΚΥΒΟΣ) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΚΥ {4,3} ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 6 ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 8 ΑΚΜΕΣ 12 ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 3 τετράγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 90º ή 1 ορθή ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ ω = 90º ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ ακυ ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ RΚΥ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α 2 KY R KY = 3

36 36 ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΒΟΥ Α. Να παρασταθεί κανονικό εξάεδρο (κύβος) με «κάτω» βάση τετράγωνο ΑΒΓΔ, που βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e1. «Επάνω» βάση του κύβου είναι το τετράγωνο ΕΖΗΘ αντίστοιχα. Δίνονται (ΚΥ-Σχ.1): Α (45, 20, 0), Β (15, 20, 0). Η κορυφή Γ έχει yγ > 0. Η κορυφή Ε έχει zε > 0. Β. Εκτός από την πρώτη και δεύτερη προβολή, να σχεδιαστεί τρίτη και τέταρτη προβολή (πλάγιες όψεις) του κύβου με: 1. γωνία ( y13, y12 ) = γωνία (y34, y13) = Γ. Να σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του πολυέδρου. Παρατήρηση. Οι χαρακτηρισμοί «κάτω» και «επάνω», για τις δύο από τις έξι τετραγωνικές έδρες, είναι συμβατικοί και αναφέρονται στην τοποθέτηση του θέματος, ως προς το οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1, η οποία διευκολύνει τη λύση του προβλήματος. Η σύμβαση αυτή θα ισχύει σε όλα τα επόμενα. Λύση Ο κύβος είναι ένα κανονικό πρίσμα με βάση τετράγωνο και παράπλευρες έδρες επίσης τετράγωνα. Α. Παράσταση α. Σχεδιάζουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ, με Α Β = ΑΒ = 30. β. Το περίγραμμα του κύβου στη δεύτερη προβολή είναι επίσης τετράγωνο. Β. Τρίτη και τέταρτη προβολή 1. ΤΡΙΤΗ ΠΡΟΒΟΛΗ α. Τοποθετούμε τον άξονα y 13, όπως προβλέπεται από την εκφώνηση. β. Προβάλλουμε τον κύβο στο νέο επίπεδο προβολής e ΤΕΤΑΡΤΗ ΠΡΟΒΟΛΗ α. Τοποθετούμε τον άξονα y 34. β. Το σημείο Δ IV π.χ. βρίσκεται μετρώντας το υ Δ με αυθαίρετη φορά, ως προς τον άξονα y 34. Είναι: υ Δ= Δ Δ =ΡΔ IV γ. Ανάλογα τοποθετούμε το σημείο Ζ IV και όλα τα υπόλοιπα σημεία. Παρατήρηση. Ισχύει η παρατήρηση του προηγούμενου θέματος του κανονικού τετραέδρου. Επομένως και εδώ, η τέταρτη προβολή του κύβου, εκτός από προβολή της μεθόδου Monge, είναι και ορθή αξονομετρία, προσφέροντας πάλι στο θεατή την ανάλογη «τρισδιάστατη» εντύπωση, που δεν προσφέρουν οι άλλες τρεις προβολές της μεθόδου Monge, λόγω της αρχικής θέσης που έχει ο κύβος ως προς τα επίπεδα προβολής (e 1, e 2, e 3). Στην προβολή αυτή, όπως ακριβώς συνέβη στην αντίστοιχη περίπτωση και στο κανονικό τετράεδρο, η θέαση του κύβου είναι «από κάτω». Δίνεται επομένως η δυνατότητα στον παρατηρητή να δει την «κάτω» βάση ΑΒΓΔ, ενώ αντιθέτως αποκρύπτεται από αυτόν η «επάνω» βάση ΕΖΗΘ, που ο ίδιος βλέπει στην κάτοψη (πρώτη προβολή).

37 37

38 38 Γ. Ανάπτυγμα Το ανάπτυγμα του κύβου αποτελείται από έξι τετράγωνα, τοποθετημένα όπως φαίνεται στο σχήμα (ΚΥ-Σχ.2).

39 39

40 40

41 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΟΚΤΑΕΔΡΟ (ΟΚ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΝΟΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΟΚ {3,4} ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 8 ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 6 ΑΚΜΕΣ 12 ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 4-ΕΔΡΗ ( 4 τρίγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ αοκ ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ RΟΚ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ ω εφ = º ή 4 3 ορθής ω 109 0, α 2 ΟΚ R ΟΚ = 2

42 42 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΟΚΤΑΕΔΡΟΥ Α. Να παρασταθεί κανονικό οκτάεδρο με κορυφές Κ1, Κ2, Α, Β, Γ, Δ. Το τετράγωνο ΑΒΓΔ βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο με θετικό υψόμετρο, ενώ η κορυφή Κ1 στο e1. Δίνονται: A (51, -18, -), Β (15, -18, -). Η κορυφή Γ έχει yγ > 0. Β. Εκτός από την πρώτη και δεύτερη προβολή, να σχεδιαστεί τρίτη και τέταρτη προβολή (πλάγιες όψεις) του καν. οκταέδρου με: 1. γωνία ( y13, y12) = γωνία (y13, y34) = 55 0 Γ. Να βρεθεί γραφικά μία δίεδρη γωνία ω όμορων εδρών του στερεού (ΟΚ-Σχ.1) Δ. Να σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του πολυέδρου.. Λύση Γενικά 1. Τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και Κ 2ΓΚ 1Α, με κοινό κέντρο Λ, είναι ίσα μεταξύ τους, λόγω της κανονικότητας του στερεού. Επομένως Κ 1Κ 2 = ΑΓ = διαγώνιος τετραγώνου. Αν ΑΒ = α Κ 1Κ 2 = α 2 (1). 2. Από το ορθογώνιο τρίγωνο Κ 2ΛΜ, όπου Μ το μέσον της ακμής ΑΒ και Λ το κέντρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ, έχουμε: ω Κ2Λ εφ = = 2 ω 109 0, ΛΜ Α. Παράσταση α. Σχεδιάζουμε το τετράγωνο Α Β Γ Δ, με Α Β =ΑΒ=36. Είναι Κ 1 Κ 2 Λ, εφόσον το οκτάεδρο είναι κανονικό. β. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η κορυφή Κ 1 βρίσκεται στον y 12. γ. Αφού α=36, από τη σχέση (1) z K2 50, δ. Από τη σχέση (1) μπορούμε να τοποθετήσουμε γραφικά, χωρίς υπολογισμό, τα Κ 1 και Κ 2, γνωρίζοντας ότι Κ 1 Κ 2 =Α Γ = διαγώνιος τετραγώνου. ε. Το κέντρο Λ του στερεού έχει Λ στο μέσον του τμήματος Κ 1 Κ 2. Από το σημείο αυτό περνάει το δεύτερο ίχνος του οριζόντιου επιπέδου στο οποίο ανήκουν οι κορυφές Α, Β, Γ, Δ. Β. Τρίτη και τέταρτη προβολή α. Τοποθετούμε τους δύο άξονες, όπως προβλέπεται από την εκφώνηση. β. Προβάλλουμε το στερεό στα νέα επίπεδα προβολής. Παρατήρηση. Γ. Δίεδρη Γωνία Ισχύουν και εδώ οι παρατηρήσεις που διατυπώθηκαν στο κανονικό τετράεδρο και στον κύβο Μία δίεδρη γωνία ω του καν. οκταέδρου είναι και η γωνία των εδρών Κ 1ΑΒ και Κ 2ΑΒ. Επειδή η ΑΒ είναι από την εκφώνηση κάθετη στο e 2 (πρόσθια), τα επίπεδα που την περιέχουν είναι επίσης πρόσθια. Άρα: Δίεδρη γωνία ω= Κ 1 ˆΑ Κ 2. Η μέτρηση της γωνίας ω στο σχέδιο του Η/Υ δίνει: ω 109 0, Το αποτέλεσμα συμπίπτει με το ήδη υπολογισμένο, καθώς και με αυτό που προκύπτει από την εφαρμογή του γενικού τύπου (2) για τα κανονικά πολύεδρα με p = 3 και q = 4.

43 43

44 44 Δ. Ανάπτυγμα Το ανάπτυγμα του κανονικού οκταέδρου αποτελείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα, τοποθετημένα όπως φαίνεται στο σχήμα (ΟΚ-Σχ.2).

45 45

46 46

47 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ (ΔΩ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΝΟΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΔΩ {5,3} ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 12 ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 20 ΑΚΜΕΣ 30 ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 3 πεντάγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ συνω = - 36º ή ορθής ω 116, ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ αδω ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ RΔΩ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α ΔΩ R ΔΩ = 2 2

48 48 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟΥ Α. Να παρασταθεί κανονικό δωδεκάεδρο με κορυφές: 1. Α, Β, Γ, Δ, Ε, που ανήκουν στην κάτω κανονική πενταγωνική βάση του e1 (ΔΩ-Σχ.1). 2. Α3, Β3, Γ3, Δ3, Ε3, που ανήκουν στην επάνω αντίστοιχη πενταγωνική βάση. 3. Α1, Β1, Γ1, Δ1, Ε1 και Α2, Β2, Γ2, Δ2, Ε2, που ανήκουν σε δύο ενδιάμεσα παράλληλα προς τις βάσεις επίπεδα. Δίνονται: Το κέντρο Κ(45, 0, 0) του περιγεγραμμένου κύκλου ακτίνας R=20 στο πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ, που βρίσκεται στο e1.η κορυφή Δ έχει το μικρότερο y από τις δυνατές λύσεις. Β. Εκτός από την πρώτη και δεύτερη προβολή, να σχεδιαστεί τρίτη προβολή (πλάγια όψη) με y13 y12. Γ. Να βρεθεί γραφικά μία δίεδρη γωνία ω όμορων εδρών του στερεού. Δ. Να υπολογιστούν τα υψόμετρα των αντιπροσωπευτικών σημείων Α1, Δ2, Δ3 καθώς και η δίεδρη γωνία ω. Ε. Να σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του πολυέδρου. Παρατήρηση. Για τους χαρακτηρισμούς «κάτω» και «επάνω» ισχύουν ότι και στην περίπτωση του κύβου. Λύση Γενικά 1. Στο σχήμα (ΔΩ-Σχ.1)σημειώνονται, εκτός από τις έδρες, τις κορυφές και τις ακμές του καν. δωδεκαέδρου, τα υψόμετρα των αντιπροσωπευτικών σημείων Ε 1, Δ 2 και Α 3, για τα οποία θα αποδειχθεί στα επόμενα ότι ισχύει: z E1=R, z Δ2=2α 5, z A3=2α 5+R όπου α 5 το απόστημα του κανονικού πενταγώνου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ. 2. Θα αποδειχθεί ότι η αμβλεία δίεδρη γωνία ω = του κανονικού δωδεκαέδρου έχει: ΚΜΔ ˆ 2 συνω = - 3. Για να γίνει αντιληπτή η κατασκευή ενός κανονικού δωδεκαέδρου, εμφανίζουμε το στερεό σε αξονομετρική προβολή (ΔΩ-Σχ.2), χωρισμένο σε δύο ίσα μέρη (Α) και (Β), αποτελούμενο το κάθε ένα από έξι κανονικά πολύγωνα. Είναι προφανές ότι μεταξύ των δυο μερών ισχύουν οι εξής ιδιότητες (ΔΩ-Σχ.1): 5 5 α. Το (Β) μπορεί να προκύψει ως συμμετρικό του (Α), ως προς επίπεδο. Πράγματι, στρέφουμε το (Β) κατά γωνία περί τον άξονα που συνδέει τα δυο κέντρα Κ και Λ των πολυγώνων ΑΒΓΔΕ και 10 Α 3Β 3Γ 3Δ 3Ε 3 (βλ. και ΔΩ-Σχ.1) και στη συνέχεια μετακινούμε το (Β) ώστε η κορυφή Ε 1, θεωρούμενη ότι ανήκει μόνο σε αυτό, να ταυτιστεί με την κορυφή Γ 2, θεωρούμενη ότι ανήκει μόνο στο (Α). Στην θέση αυτή, επίπεδο συμμετρίας είναι το μεσοκάθετο επίπεδο στην τελική θέση του τμήματος ΚΛ. β. Από την προηγούμενη σχέση στο χώρο μεταξύ των δυο μερών, γίνεται φανερό ότι οι κορυφές Α 3 κ.λ.π. προβάλλονται στο επίπεδο προβολής e 1 στα Α 3 κ.λ.π. που βρίσκονται στον ίδιο κύκλο (Κ,ΚΑ) με τις κορυφές ΑΒΓΔΕ και μάλιστα στα μέσα των αντίστοιχων τόξων. Επομένως, η κορυφή π.χ. Α 3 βρίσκεται στο μέσον του τόξου ΔΓ, ενώ είναι ΓΚΑ ˆ 3 = 36 0.

49 49

50 50 4. Αποδεικνύεται ότι όλες οι κορυφές του κανονικού δωδεκαέδρου με δείκτες 1 και 2 προβάλλονται στο e 1 στον ίδιο κύκλο(κ,κε 1 ) (βλ. ΠΑΝ. Δ. ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας», σελ. 108, Εκδόσεις Καραβία, Αθήνα 1976). 5. Για να γίνει περισσότερο κατανοητό το θέμα, στο σχήμα (ΔΩ-Σχ.3) έχει δοθεί η μορφή του αναπτύγματος ενός από τα δυο προηγούμενα μέρη, με κατάκλιση πέντε από τα έξι κανονικά πεντάγωνα στο επίπεδο του έκτου, έχοντας πλέον και τα έξι πεντάγωνα του τμήματος του πολυέδρου στο ίδιο επίπεδο. Α. Παράσταση Υπενθυμίζουμε μία από τις μεθόδους κατασκευής των πλευρών λ 5 και λ 10 κανονικού πενταγώνου και δεκαγώνου αντίστοιχα, εγγεγραμμένων σε κύκλο, όταν γνωρίζουμε την ακτίνα R (ΔΩ-Σχ.4): 1. Στον κύκλο ( O,R ) σχεδιάζουμε δυο τυχαίες κάθετες διαμέτρους ΓΑ και ΒΔ. 2. Γράφουμε κύκλο (Μ, ΜΒ), όπου Μ μέσο του τμήματος ΟΑ, ο οποίος τέμνει την ακτίνα ΟΓ στο Η. Είναι: ΒΗ = λ 5 ΟΗ = λ 10 ΟΒ = R = λ 6 πλευρά κανονικού πενταγώνου πλευρά κανονικού δεκαγώνου πλευρά κανονικού εξαγώνου Προφανώς, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΗ ισχύει: Είναι γνωστό από τη Ευκλείδειο Γεωμετρία ότι σε κύκλο με ακτίνα R έχουμε: α. πλευρά του κανονικού πενταγώνου: R λ 5 = 2 β. απόστημα του κανονικού πενταγώνου: R( 5 + 1) α 5 = 4 R( 5-1) γ. πλευρά κανονικού δεκαγώνου: λ 10 = 2 2 λ 5 = 2 λ λ 10

51 51

52 52 Για να παραστήσουμε σε ορθές προβολές και επομένως να κατασκευάσουμε το κανονικό δωδεκάεδρο, εργαζόμαστε ως εξής: α. Σχεδιάζουμε κανονικό πεντάγωνο Α Β Γ Δ Ε, εγγεγραμμένο στον κύκλο με Κ(45, 40, 0) και R=20.Η κορυφή Δ τοποθετείται όπως στο σχήμα, αφού έχει το μικρότερο y από τις δυνατές λύσεις (ΔΩ-Σχ.5). Θα ορίσουμε στη συνέχεια τις κορυφές Α 1(Α 1,Α 1 ) και Δ 2(Δ 2,Δ 2 ) του κανονικού δωδεκαέδρου και συγκεκριμένα του κανονικού πενταγώνου ΑΒΒ 1Δ 2Α 1 (ΔΩ-Σχ.1), με την βοήθεια των οποίων θα οριστούν και οι υπόλοιπες κορυφές. β. Σχεδιάζουμε δεύτερο κύκλο συμμετρικό του (Κ,R), ως προς την Α Β (ΔΩ-Σχ.5). Εάν κατακλίνουμε το καν. πεντάγωνο ΑΑ 1Δ 2Β 1Β στο e 1 θα προκύψει το νέο καν. πεντ. ΑΑ 10Δ 20Β 10Β εγγεγραμμένο στο δεύτερο κύκλο. Κατασκευάζουμε το πεντάγωνο αυτό. Η πράξη της κατάκλισης έχει σχεδιαστεί και σε αξονομετρική προβολή, για καλύτερη εποπτεία του θέματος στο χώρο (ΔΩ-Σχ.6). γ. Όμοια σχεδιάζουμε τρίτο κύκλο, συμμετρικό του (Κ,R), ως προς την Α Ε. Ανάλογα, εάν κατακλίνουμε το όμορο προς τα δυο προηγούμενα καν. πεντάγωνο ΑΑ 1Γ 2Ε 1Ε στο e 1, θα προκύψει επίσης νέο καν. πεντ., το Α Α* 10Γ 20Ε 10Ε, εγγεγραμμένο στον τρίτο κύκλο (ΔΩ-Σχ.5). δ. Τα επίπεδα των εδρών ΑΑ 1Δ 2Β 1Β και ΑΑ 1Γ 2Ε 1Ε προφανώς ισοκλίνουν ως προς το επίπεδο ΑΒΓΔΕ e 1. Είναι γνωστό (βλ. Γ.Ε.ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ «Μέθοδοι Παραστάσεων» σελ.231, σχήμα 455) ότι στην περίπτωση αυτή η τομή ΑΑ 1 των επιπέδων προβάλλεται ως διχοτόμος της γωνίας των ιχνών στο επίπεδο προβολής. Επομένως, η ε, που είναι φορέας της άγνωστης ακόμη Α Α 1, θα είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας της Ε Α Β (βλ. ΔΩ- Σχ.5 και Σχ.6). ε. Είναι επίσης γνωστό ότι όταν ένα επίπεδο κατακλίνεται στο e 1, η πρώτη προβολή Α σημείου Α του επιπέδου αυτού και η αντίστοιχη κατάκλιση Α 0 συνδέονται με ευθεία κάθετη στο πρώτο ίχνος σ 1 (βλ. Γ.Ε.ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ «Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας» σελ. 94,96, σχήματα 169,171 και 171α). Επομένως, η κατάκλιση Α 10 και η ζητούμενη πρώτη προβολή Α 1 του σημείου Α 1 συνδέονται με ευθεία κάθετη στο πρώτο ίχνος σ 1 Α Β του επιπέδου του κανονικού πενταγώνου ΑΑ 1Δ 2Β 1Β. Φέρνουμε λοιπόν την κάθετη ευθεία Α 10Ρ στην Α Β, η οποία τέμνει την ε στην κορυφή Α 1 (ΔΩ-Σχ.5 και Σχ.6). ζ. Το επίπεδο που περιέχει το πεντάγωνο ΑΑ 1Δ 2Β 1Β είναι πρόσθιο, αφού έχει πρώτο ίχνος το σ 1 Α Β y12 (ΔΩ-Σχ.5). Βρίσκουμε το δεύτερο ίχνος σ 2 του επιπέδου αυτού και ταυτόχρονα ορίζουμε το ζητούμενο Α 1 ως εξής : Ανακλίνουμε το σημείο Α 1. Φέρνουμε δηλαδή από το σημείο Α 10 κάθετη ευθεία στον y 12, ορίζοντας το Η. Γράφουμε τόξο κύκλου (Σ 12,Σ 12Η),με φορά αντίθετη της κατάκλισης, που τέμνει την κάθετη ευθεία από το Α 1 στον y 12 (ενωτική γραμμή του Α 1)στο Α 1.Είναι Σ 12Α 1 σ 2. η. Με τον ίδιο τρόπο ανακλίνουμε το Δ 20 βρίσκοντας το Δ 2 επάνω στο σ 2. Στη συνέχεια ορίζουμε το Δ 2. θ. Ανάλογα βρίσκουμε το Β 1 (Β 1, Β 1 ). Είναι Α 1 Β 1. ι. Σχεδιάζουμε την πρώτη προβολή Α Α 1 Δ 2 Β 1 Β του πρώτου από τα πέντε πεντάγωνα και συγκεκριμένα εκείνου που έχει κοινή πλευρά Α Β με τη βάση Α Β Γ ΔΕ του κανονικού δωδεκαέδρου. κ. Ορίζουμε τα δεύτερα ίχνη κ 2, λ 2 και μ 2 των οριζόντιων επιπέδων που είναι φορείς των πολυγώνων Α 1Β 1Γ 1Δ 1Ε 1, Α 2Β 2Γ 2Δ 2Ε 2 και Α 3Β 3Γ 3Δ 3Ε 3 αντίστοιχα. Από τα ίχνη αυτά, το κ 2 διέρχεται από το Α 1, ενώ το λ 2 από το Δ 2. Προφανώς το ίχνος μ 2 του τρίτου επιπέδου, που περιέχει το άγνωστο ακόμη Δ 3, απέχει από το ίχνος λ 2 όσο το κ 2 από τον y 12. Αρκεί πλέον να προσδιοριστούν οι πρώτες προβολές των υπόλοιπων κορυφών του θέματος, αφού οι δεύτερες προβολές βρίσκονται στο ανάλογο ίχνος. λ. Η κορυφή Δ 3 βρίσκεται στον κύκλο (Κ, 20) και σε ευθεία παράλληλη στον y 12 από το Δ 2, ενώ η Δ 3 στο μ 2. μ. Στον ίδιο αυτόν κύκλο (Κ, 20) βρίσκονται σε πρώτη προβολή και οι υπόλοιπες κορυφές με δείκτη 3. ν. Γράφουμε κύκλο (Κ, Κ Δ 2 ) στον οποίο βρίσκονται σε πρώτη προβολή όλες οι κορυφές με δείκτες 1 και 2 εναλλάξ (ΔΩ- Σχ.5), όπως έχει αναφερθεί ήδη παραπάνω (Γενικά Κανονικού Δωδεκαέδρου, Ιδιότητα 5). Β. Τρίτη προβολή α. Τοποθετούμε τον νέο άξονα y 13, όπως προβλέπεται από την εκφώνηση, κάθετα στον y 12. β. Προβάλλουμε το στερεό στο νέο επίπεδο προβολής.

53 53

54 54 Γ. Δίεδρη Γωνία Μία δίεδρη γωνία ω του καν. δωδεκαέδρου είναι και η γωνία των εδρών ΑΒΓΔΕ e 1 και ΑΒΒ 1Δ 2Α 1 (ΔΩ-Σχ.1 και Σχ.5). Επειδή η ΑΒ είναι από την εκφώνηση κάθετη στο y 12, το επίπεδο που την περιέχει είναι πρόσθιο. Άρα, δίεδρη γωνία ω =. Δ Α Α ˆ 1 Η μέτρηση της δίεδρης γωνίας ω στο σχέδιο του Η/Υ δίνει: ω 116 0, Το αποτέλεσμα συμπίπτει με το ήδη υπολογισμένο, καθώς και με αυτό που προκύπτει από την εφαρμογή του γενικού τύπου (2) για τα κανονικά πολύεδρα με p = 5 και q = 3. Δ. Υπολογισμοί Θα υπολογίσουμε μία δίεδρη γωνία ω καθώς και τα υψόμετρα των αντιπροσωπευτικών κορυφών Α 1, Δ 2, Δ 3 του κανονικού εικοσαέδρου. 1. ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ ω Είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία ότι: ημ18 = ημ36 = συν18 = συν36 = 4 Το σχήμα που ακολουθεί (ΔΩ-Σχ.7) αποτελεί λεπτομέρεια σε μεγέθυνση τμήματος της πρώτης προβολής του κανονικού δωδεκαέδρου και συγκεκριμένα του τριγώνου Α ΡΑ 10. Στην διπλανή σελίδα επαναλαμβάνουμε το (ΔΩ-Σχ.5) για να διευκολυνθούμε στην παρακολούθηση των υπολογισμών του θέματος. Προφανώς, εξαιτίας του κανονικού πενταγώνου, είναι Ε Α Β ˆ = Β Α Α ˆ ˆ 10 = Α * 10 Α Ε = ˆΑ Ν = Επομένως Α 10 Ήδη αναφέρθηκε στα αμέσως προηγούμενα ότι η ευθεία ΑΆ 1 ε είναι διχοτόμος της Α * ˆ 10 Α Α 10. Επομένως, Α ˆ 1 Α Α 10 = Επειδή όμως η εξωτερική Β Α Α ˆ 10 στο ορθογώνιο τρίγωνο Α ΡΑ 10 είναι Β Α Α ˆ 10 = 108 0, έπεται Α Αˆ Ρ = Ως συνέπεια των προηγουμένων σχέσεων έχουμε: Α Α Ρ = 36 και ΝΑ Ρ ˆ = Από τη δεύτερη προβολή του κανονικού δωδεκαέδρου (ΔΩ-Σχ.5) έχουμε: ω + φ = συνω = -συνφ Από το τρίγωνο Α ΗΑ 1 είναι: z Α1 = (Α Α 1 ) ημφ (1) Ακόμη είναι: Α Α 1 = Α Θ = ΡΑ 10 (2) Από το ορθογώνιο τρίγωνο Α ΡΑ 10 (ΔΩ-Σχ.7) έχουμε: R 5 ΡΑ = λ συν18 = (3) 2 Από τις (1), (2), (3) προκύπτει: R 5 z A1 = ημφ (4) 2 Στην πρώτη προβολή του κανονικού δωδεκαέδρου (ΔΩ-Σχ.5) και σε συνδυασμό με το σχήμα (ΔΩ-Σχ.7) διαπιστώνουμε ότι: Αφού η Α ˆ 1 Α Α 10 είναι 18 0, το τόξο Α 10Α 1 είναι 2 18 = 36 0, οπότε: Α 1 Α 10 = λ 10 (5) Από το σχήμα (ΔΩ-Σχ.7) και τις σχέσεις (3) και (5) έχουμε: R 5 R 5-1 R ΡΑ1 = ΡΑ10 - Α1 Α 10 = - = ˆ 1 (6)

55 55

56 56 Στη δεύτερη προβολή του κανονικού δωδεκαέδρου (ΔΩ-Σχ.5) και στο τρίγωνο Α ΗΑ 1, σε συνδυασμό με τις σχέσεις (2), (3), (6) έχουμε: R Α Η ΡΑ 2 5 Α Α1 Α Α1 R συνφ = = = = συνω = ω 116, (7) 2. ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΚΟΡΥΦΩΝ Από την σχέση (7) 2 5 ημω = ημφ = 5 (8) Από (1), (2), (3), (8) έχουμε: Για την αμβλεία γωνία ω ισχύει επίσης: z R R A1 εφω = -εφφ = - = - = - Α Η ΡΑ1 R 2 z Α1 = R (9) εφω = -2 (10) Στη δεύτερη προβολή του κανονικού δωδεκαέδρου (ΔΩ-Σχ.5) και στο τρίγωνο Α ΙΔ 2 έχουμε: z Δ2 = Α Ι εφφ = ΜΔ 2 εφφ = α5εφφ z Δ2 = 2α 5 (11) Επίσης είναι: z Δ3 = z Δ2 + R z Δ3 = 2α 5 + R (12) Δ. Ανάπτυγμα Το ανάπτυγμα του κανονικού δωδεκαέδρου αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα, τοποθετημένα όπως φαίνεται στο (ΔΩ-Σχ.8).

57 57

58 58

59 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ (ΕΙ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΝΟΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΙ {3,5} ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 20 ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 12 ΑΚΜΕΣ 30 ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 5-ΕΔΡΗ ( 5 τρίγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ 60º ή 2 3 ορθής 5 συνω = - ω 138 0, ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ αει ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ RΕΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α ΕΙ R ΕΙ = 2 2

60 60 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟΥ ΓΕΝΙΚΑ 1. Στο σχήμα (ΕΙ-Σχ.1) σημειώνονται, εκτός από τις έδρες, τις κορυφές και τις ακμές του καν. εικοσαέδρου, τα υψόμετρα των αντιπροσωπευτικών σημείων Α, Β 1 και Κ, για τα οποία θα αποδειχθεί παρακάτω ότι ισχύει: R( 5-1) z Α = = λ 10 z Β1= R+λ 10 z K= R+2λ Θα αποδειχθεί επίσης ότι η αμβλεία δίεδρος γωνία ω = ΚΜΑ του κανονικού εικοσαέδρου έχει: 3. Οι κορυφές των δύο κανονικών πενταγώνων ΑΒΓΔΕ και Α 1Β 1Γ 1Δ 1Ε 1 έχουν τις εξής ιδιότητες: 5 συνω = - 3 α. Βρίσκονται σε δύο οριζόντια επίπεδα με κατάλληλο υψόμετρο αντίστοιχα. β. Προβάλλονται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 ως δύο κανονικά πεντάγωνα, εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο με κέντρο Λ Κ, με τέτοιο τρόπο ώστε οι κορυφές του ενός πενταγώνου να προβάλλονται στα μέσα των τόξων του κύκλου, που ορίζονται από τις κορυφές του άλλου, δημιουργώντας ένα κανονικό δεκάγωνο. Η κορυφή Β 1 π.χ. προβάλλεται στο Β 1, μέσο του τόξου Δ Ε.. Σημείωση Στο προηγούμενο θέμα του καν. δωδεκαέδρου δόθηκε η ακτίνα R των κύκλων που περιγράφονται στα κανονικά πεντάγωνα, των οποίων οι πλευρές λ 5 είναι οι ακμές του πολυέδρου. Στο συγκεκριμένο θέμα του κανονικού εικοσαέδρου δίνεται το μήκος της ακμής του πολυέδρου, αντί του R, και επομένως δίνεται ουσιαστικά η πλευρά λ 5 του εγγεγραμμένου κανονικού πενταγώνου στον κύκλο και ζητείται η ακτίνα R. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να προηγηθεί η κατασκευή του R, η οποία γίνεται με τον τρόπο που περιγράφουμε στο επόμενο σχήμα (ΕΙ-Σχ.2): Πρόβλημα Να βρεθεί η ακτίνα R κύκλου, που περιγράφεται σε κανονικό πεντάγωνο γνωστής πλευράς λ 5 = 35. Λύση α. Γράφουμε τυχαίο κύκλο (Ο, R ). Στο συγκεκριμένο σχήμα έχουμε αυθαίρετη ακτίνα ΟΆ = R = 25. β. Σχεδιάζουμε τυχαίες κάθετες διαμέτρους ΓΑ και ΒΔ. γ. Με κέντρο το μέσο Μ της ακτίνας ΟΆ γράφουμε τόξο κύκλου (Μ, ΜΒ), το οποίο τέμνει την ακτίνα Ο Γ στο Η. Όπως γνωρίζουμε είναι: ΒΗ = λ 5 (βλ. σχετικά ΔΩ-Σχ.4). δ. Επειδή τα κανονικά πεντάγωνα είναι όμοια, τοποθετούμε στην ευθεία ΒΗ το δεδομένο τμήμα ΒΗ = λ 5 = 35. ε. Φέρνουμε ΗΟ // ΗΌ, που τέμνει την ΒΔ στο Ο. Είναι ΟΒ=R (λόγω των ομοίων τριγώνων ΒΗΟ και ΒΗ Ο ).

61 61

62 62 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟΥ Α. Να παρασταθεί σε πρώτη και δεύτερη προβολή κανονικό εικοσάεδρο με κορυφές: 1. Κ και Λ, με την κορυφή Λ να ανήκει στο συγκεκριμένο θέμα στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e1. 2. Α, Β, Γ, Δ, Ε, που ανήκουν σε κατάλληλο οριζόντιο επίπεδο, ορίζοντας κανονικό πεντάγωνο. 3. Α1, Β1, Γ1, Δ1, Ε1, που σχηματίζουν επίσης κανονικό πεντάγωνο και βρίσκονται σε κατάλληλο οριζόντιο επίπεδο. Δίνονται: Κορυφή Λ (50, 0, 0) και μήκος ακμής κανονικού εικοσαέδρου 35. Η κορυφή Α έχει το μεγαλύτερο y από τις δυνατές λύσεις. Β. Να σχεδιαστεί τρίτη προβολή (πλάγια όψη) του καν. εικοσαέδρου με y13 y12. Γ. Να βρεθεί γραφικά μία δίεδρη γωνία ω όμορων εδρών του στερεού. Δ.Να υπολογιστούν τα υψόμετρα των αντιπροσωπευτικών σημείων Α, Δ1, Κ καθώς και η δίεδρη γωνία ω. Ε. Να σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του πολυέδρου. Λύση Α. Παράσταση Για να παραστήσουμε σε ορθές προβολές και επομένως να κατασκευάσουμε το κανονικό εικοσάεδρο, εργαζόμαστε ως εξής (ΕΙ-Σχ.3): α. Γράφουμε κύκλο με κέντρο Λ (50, 0, 0) και ακτίνα R, που βρέθηκε με την προηγούμενη κατασκευή (ΕΙ-Σχ.2), στον οποίο θα μπορεί πλέον να εγγραφεί κανονικό πεντάγωνο με πλευρά λ 5 = 35. Εγγράφουμε στον κύκλο αυτόν το κανονικό πεντάγωνο Α Β Γ Δ Ε με άνοιγμα διαβήτη λ 5 = 35. Η πρώτη κορυφή Α τοποθετείται όπως στο σχήμα, αφού έχει το μεγαλύτερο y από τις δυνατές λύσεις. Η διαδοχική τοποθέτηση των πλευρών λ 5 = 35 με τον διαβήτη πρέπει να οδηγήσει σε κορυφή η οποία θα συμπέσει με την αρχική κορυφή Α. Η ακρίβεια της σχεδίασης του θέματος ελέγχεται από το μέγεθος του πιθανού σφάλματος, το οποίο πρέπει να μηδενιστεί, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία με κατάλληλα διαφοροποιημένο άνοιγμα διαβήτη. Προφανώς, εάν η σχεδιάζουμε σε Η/Υ, η κατασκευή του πενταγώνου προκύπτει με την κατάλληλη εντολή του προγράμματος και δεν απαιτούνται διορθώσεις. β. Η ακμή ΛΑ έχει ΛΆ // y 12, οπότε είναι μετωπική (ΛΑ // e 2). Επομένως Λ Α = λ 5. Γράφουμε λοιπόν κύκλο (Λ,λ 5), ο οποίος τέμνει την ενωτική γραμμή του Α στο ζητούμενο Α. γ. Σχεδιάζουμε το δεύτερο ίχνος κ 2 του οριζόντιου επιπέδου που περιέχει το Α. Η δεύτερες προβολές των υπόλοιπων σημείων Β, Γ, Δ, Ε βρίσκονται στο ίχνος αυτό. Λόγω της τοποθέτησης του θέματος είναι: Β Ε και Γ Δ. δ. Οι κορυφές Α 1, Β 1, Γ 1, Δ 1, Ε 1, όπως ήδη αναφέρθηκε στα γενικά του κανονικού εικοσαέδρου, βρίσκονται στα μέσα των δημιουργημένων τόξων. Για λόγους αντιστοιχίας και επομένως ευκολίας, ονομάζουμε Α 1 το αντιδιαμετρικό του Α. ε. Φέρνουμε άξονα y 14 // Α Δ 1. Με την αλλαγή αυτή, η ακμή ΑΔ 1 = λ 5 προβάλλεται σε αληθινό μέγεθος. Επομένως, Α Δ 1 = λ 5. ζ. Βρίσκουμε το Α, χρησιμοποιώντας το υψόμετρο z A που έχουμε στη δεύτερη προβολή. Γράφουμε κύκλο (Α, λ 5), που τέμνει την κάθετη από το Δ 1 στον y 14 στο ζητούμενο Δ 1. Προφανώς ΗΔ 1 = z Δ1. η. Τοποθετούμε στη δεύτερη προβολή z Δ1 = ΘΔ 1, ορίζοντας το ζητούμενο Δ 1. θ. Σχεδιάζουμε το δεύτερο ίχνος λ 2 του οριζόντιου επιπέδου από το Δ 1, που περιέχει τις δεύτερες προβολές των υπόλοιπων ζητούμενων σημείων Α 1, Β 1, Γ 1, Ε 1. Προφανώς είναι Β 1 Ε 1 και Γ 1 Δ 1. ι. Λόγω συμμετρίας του θέματος, το Κ απέχει από το λ 2 όσο το κ 2 από τον y 12. Παρατήρηση. Από το ορθογώνιο τρίγωνο Α ΡΔ1 προκύπτει ότι: Αφού Α Ρ = Α Δ1 = λ10 και Α Γεωμετρία). Επομένως, η υψομετρική διαφορά των σημείων Α και Δ1, δηλαδή των οριζόντιων επιπέδων με ίχνη κ2 και λ2, είναι R

63 63

64 64 Β. Τρίτη προβολή α. Τοποθετούμε τον νέο άξονα y 13, όπως προβλέπεται από την εκφώνηση, κάθετα στον y 12. β. Προβάλλουμε το στερεό στο νέο επίπεδο προβολής e 3. Γ. Δίεδρη Γωνία Μία δίεδρη γωνία ω του καν. εικοσαέδρου είναι και η γωνία των εδρών ΚΓ 1Δ 1 και ΑΓ 1Δ 1 (ΕΙ-Σχ.1 και Σχ.3). Επειδή η Γ 1Δ 1 είναι από την εκφώνηση κάθετη στον y 12, τα επίπεδα που την περιέχουν είναι πρόσθια (κάθετα στο e 2). Άρα, δίεδρη γωνία ω =. Κ Γˆ Α 1 Η μέτρηση της δίεδρης γωνίας ω στο σχέδιο του Η/Υ δίνει: ω 138 0, Το αποτέλεσμα συμπίπτει με το ήδη υπολογισμένο, καθώς και με αυτό που προκύπτει από την εφαρμογή του γενικού τύπου (2) για τα κανονικά πολύεδρα με p = 3 και q = 5. Δ. Υπολογισμοί Θα υπολογίσουμε τα υψόμετρα των αντιπροσωπευτικών κορυφών Α, Δ 1, Κ του κανονικού εικοσαέδρου καθώς και μία δίεδρη γωνία ω. 1. ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΚΟΡΥΦΩΝ Τα ορθογώνια τρίγωνα Α ΡΔ 1 και Λ ΙΑ είναι ίσα διότι έχουν : α. Υποτείνουσες Α Δ 1 = Λ Α = λ 5 β. Κάθετες πλευρές ΡΔ 1 = Λ Ι = Λ Α = R R( 5-1) Επομένως ΡΑ = ΙΑ = z Α = λ 10 z A = λ 10 = 2 Προφανώς z Δ1 = R+λ 10 (2) Ανάλογα z Κ = R+2λ 10 (3) 2. ΔΙΕΔΡΗ ΓΩΝΙΑ ω Το μέτρο της δίεδρης γωνίας ω βρίσκεται ως εξής (ΕΙ-Σχ.1): ΚΜ = ΜΑ είναι ύψη ισόπλευρων τριγώνων με πλευρά λ 5 = ακμή κανονικού εικαοσαέδρου λ 5 KM = (4) 4 Επομένως: Από το τρίγωνο ΚΜΑ έχουμε: (ΚΑ) 2 = (ΚΜ) 2 + (ΜΑ) 2 2 (ΚΜ) (ΜΑ) συνω ( 5) 2 2 (1) ΚΑ συνω = 1- (6) 2 ΚΜ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΣΑ, όπου Σ το κέντρο του καν. πενταγώνου ΑΒΓΔΕ έχουμε: (ΚΑ) 2 = (ΚΣ) 2 + (ΣΑ) 2 (7) όπου (βλ. και ΕΙ-Σχ.3) (ΚΣ) = λ 10 + R και (ΣΑ) = R (8) Από τις (4), (7), (8), η (6) γίνεται: 5 συνω = - 3 ω 138 0,189685

65 65

66 66 Δ. Ανάπτυγμα Το ανάπτυγμα του κανονικού εικοσαέδρου αποτελείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα, τοποθετημένα όπως φαίνεται στο σχήμα (ΕΙ-Σχ.4). Πηγή εικόνας:

67 67 3. ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

68 ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΓΕΝΙΚΑ Τα 13 ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ή Αρχιμήδεια πολύεδρα είναι τα εξής κυρτά στερεά (Ημικανονικα Πολυέδρα-Σχ.1). A1. Κολοβό ή Κόλουρο τετράεδρο A2. Κυβοκτάεδρο A3. Κολοβό ή Κόλουρο οκτάεδρο A4. Κολοβός ή Κόλουρος κύβος A5. Μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο ή ρομβικό κυβοκτάεδρο A6. Μεγάλο ρομβοκυβοκτάεδρο ή Κολοβό (ή Κόλουρο) κυβοκτάεδρο A7. Εικοσιδωδεκάεδρο A8. Κολοβό ή Κόλουρο εικοσάεδρο A9. Κολοβό ή Κόλουρο δωδεκάεδρο A10. Αμβλύς ή Στρεβλός κύβος A11. Μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο ή ρομβικό εικοσιδωδεκάεδρο A12. Μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο ή Κολοβό (ή Κόλουρο) εικοσιδωδεκάεδρο A13. Αμβλύ ή Στρεβλό δωδεκάεδρο

69 69 A1 A2 A3 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 Α12 A4 A13 ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ Σχ.1 (ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ)

70 70 Τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη συνδέονται με τα κανονικά πολύεδρα, αφού τα πρώτα μπορούν να προκύψουν από τα δεύτερα, με μία ή περισσότερες αποτμήσεις (αποκοπές) κατάλληλων τμημάτων από τις στερεές γωνίες των κανονικών πολυέδρων ή με άλλου είδους διαδοχικές γεωμετρικές πράξεις. Εξαιτίας της γεωμετρικής αυτής σχέσης, στη μονογραφία αυτή θα ονομάζουμε τα κανονικά πολύεδρα μητρικά πολύεδρα των ημικανονικών πολυέδρων. Ως παράδειγμα αναφέρουμε την δημιουργία του ημικανονικού πολυέδρου που ονομάζεται κολοβό εικοσάεδρο και έχει τη μορφή μπάλας ποδοσφαίρου σε πολυεδρική μορφή (Ημικαν.Πολ.-Σχ.2). Το στερεό αυτό προέρχεται από την απότμηση κατάλληλων πυραμίδων από τις στερεές γωνίες κανονικού εικοσαέδρου. Υπάρχουν έξι τρόποι για να κατασκευάσουμε Αρχιμήδεια πολύεδρα από κανονικά πολύεδρα. Κάθε κανονικό πολύεδρο είναι μητρικό μερικών από τα ημικανονικά πολύεδρα, ενώ κάθε ημικανονικό πολύεδρο μπορεί να παραχθεί συνήθως από δύο κανονικά πολύεδρα και μερικά από τρία. Ενδεικτικά αναφέρουμε το κυβοκτάεδρο, το οποίο μπορεί να δημιουργηθεί είτε από τον κύβο είτε από το οκτάεδρο (Ημικαν.Πολ.-Σχ.3). Επίσης, ένα ημικανονικό πολύεδρο μπορεί να έχει ως μητρικό όχι μόνο κανονικό αλλά και άλλο ημικανονικό πολύεδρο ( Βλ. [16], [10], [12], [11] ) ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Τρείς βασικές ιδιότητες διαφοροποιούν τα Πλατωνικά (κανονικά) από τα Αρχιμήδεια (ημικανονικά) πολύεδρα: 1.Τα κανονικά πολύεδρα αποτελούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα ενός μόνο είδους. Π.χ. το κανονικό τετράεδρο αποτελείται μόνο από ίσα ισόπλευρα τρίγωνα ή το κανονικό δωδεκάεδρο μόνο από ίσα κανονικά πεντάγωνα. Αυτό έχει ως συνέπεια οι στερεές γωνίες να είναι όλες ίσες, καθώς επίσης ίσες είναι και οι δίεδρες γωνίες τους, δηλαδή διαθέτουν ένα σύνολο ίσων στερεών γωνιών και ένα σύνολο ίσων δίεδρων γωνιών. Αντίθετα, 3 από τα 13 ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη αποτελούνται από τρία είδη ίσων κανονικών πολυγώνων, ενώ 10 από δύο είδη. Συνέπεια της διαφοράς αυτής είναι, εκτός των άλλων, ότι ενώ οι στερεές γωνίες στο ίδιο ημικανονικό πολύεδρο είναι όλες ίσες, δηλαδή το κάθε στερεό διαθέτει ένα μόνο σύνολο ίσων στερεών γωνιών, υπάρχουν σε κάθε ένα από αυτά περισσότερα του ενός σύνολα ίσων δίεδρων γωνιών, διότι δεν είναι όλες οι δίεδρες γωνίες των όμορων εδρών του ίσες. 2.Τα κανονικά πολύεδρα έχουν κανονικές και ίσες στερεές γωνίες, ενώ τα ημικανονικά έχουν ίσες αλλά όχι κανονικές (βλ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - Ορισμοί - γενικές ιδιότητες κυρτών πολυέδρων, περίπτωση 7). 3.Στα κανονικά πολύεδρα υπάρχουν εγγεγραμμένη και περιγεγραμμένη σφαίρα με ίδιο κέντρο. Αντίθετα, στα ημικανονικά πολύεδρα υπάρχει μόνο περιγεγραμμένη σφαίρα. Τη δεύτερη από τις τρεις ιδιότητες διευκρινίζουμε με το σχήμα (Ημικαν.Πολ.-Σχ.4) στο οποίο παριστάνεται σε αξονομετρική προβολή ένα ημικανονικό πολύεδρο, που ονομάζεται κόλουρος ή κολοβός κύβος. Το στερεό αυτό έχει ως μητρικό πολύεδρο τον κύβο και δημιουργείται με την απότμηση κατάλληλων πυραμίδων από τις στερεές γωνίες των κορυφών του. Παρατηρούμε ότι οι στερεές γωνίες του κόλουρου κύβου που προκύπτει με την απότμηση αυτή είναι όλες ίσες μεταξύ τους, αλλά όχι κανονικές, αφού οι εδρικές γωνίες είναι γωνίες κανονικών εξαγώνων και ισόπλευρου τριγώνου. Δίνουμε έμφαση στην δεύτερη ιδιότητα, διότι συνήθως τονίζεται μόνο η πρώτη - της συνύπαρξης δηλαδή διαφορετικού είδους κανονικών πολυγώνων στο ίδιο κυρτό πολύεδρο ως αυτή μόνο να είναι αρκετή για να καθορίσει αν ένα πολύεδρο είναι ημικανονικό ή όχι. Θα δώσουμε ένα παράδειγμα για το αντίθετο: Κατασκευάζουμε κανονική πυραμίδα με βάση τετράγωνο ΑΒΓΔ και κορυφή Κ (Ημικαν.Πολ.-Σχ.5), της οποίας τα τρίγωνα της παράπλευρης επιφάνειας είναι ισόπλευρα. Το πολύεδρο αυτό θα ήταν ημικανονικό αν αρκούσε η ισχύ μόνο της πρώτης ιδιότητας, αφού αποτελείται από τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα και ένα τετράγωνο. Όμως, είναι προφανές ότι δεν είναι ημικανονικό, αφού σε αυτό δεν ισχύει και η δεύτερη ιδιότητα, εφόσον δεν έχει και τις 5 στερεές γωνίες του ίσες.

71 71

72 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Α. Στην διεθνή βιβλιογραφία, για τον συμβολισμό των ημικανονικών πολυέδρων, χρησιμοποιείται συνήθως ανάλογος συμβολισμός με τον συμβολισμό (Β) των κανονικών πολυέδρων (βλ. Συμβολισμοί κανονικών πολυέδρων). Π.χ. για το πρώτο από τα ημικανονικά πολύεδρα, το Κολοβό ή Κόλουρο τετράεδρο, χρησιμοποιείται σύμβολο της μορφής: Στο σύμβολο αυτό, ο αριθμός 3 υποδηλώνει το μοναδικό τρίγωνο του οποίου μία γωνία αποτελεί έδρα της στερεάς γωνίας σε μία κορυφή, ενώ το σύμβολο 6 6 υποδηλώνει την ύπαρξη δύο εξαγώνων στην ίδια κορυφή και με την ίδια διάταξη. Ανάλογα ισχύουν π.χ. για το σύμβολο του Μικρού ρομβο-κυβοκταέδρου, στο οποίο, σε μία κορυφή υπάρχουν διαδοχικά ως έδρες ένα τρίγωνο και τρία τετράγωνα. Β. Με τα στοιχεία Α 1 έως Α 13 θα συμβολίσουμε στη συγκεκριμένη μονογραφία, για λόγους εύκολης ανάγνωσης, τα δεκατρία ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη. Στο συμβολισμό αυτόν, το γράμμα Α σημαίνει Αρχιμήδης, ενώ ο αριθμός υποδεικνύει τη θέση του πολυέδρου στον γενικό πίνακα που ακολουθεί. Ακολουθεί η ανάλυση δύο πινάκων που αναφέρονται στα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ Στον γενικό πίνακα που ακολουθεί στιε σελίδες 74 και 75 αναγράφονται για κάθε ημικανονικό πολύεδρο τα εξής στοιχεία: 1. Το πλήθος των εδρών 2. Το πλήθος των πολυέδρων, που έχουν τον ίδιο αριθμό εδρών. Π.χ. υπάρχουν τρία διαφορετικά δεκατετράεδρα. 3 O συμβολισμός 4. Το όνομα 5. Το πλήθος των πολυγώνων των εδρών ανά είδος πολυγώνου, π.χ. οκτώ τρίγωνα, έξι τετράγωνα. 6. Το πλήθος των κορυφών 7. Το πλήθος των ακμών 8. Το πλήθος των εδρών κάθε στερεάς γωνίας, καθώς και το είδος και το πλήθος των πολυγώνων που βρίσκονται στις έδρες της. π.χ.στη περίπτωση του οκταέδρου, η στερεά γωνία είναι τρίεδρη και περιέχει ένα τρίγωνο και δύο εξάγωνα. 9. Η στήλη «ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ» του πίνακα περιέχει μία αξονομετρική προβολή του αντίστοιχου ημικανονικού πολυέδρου, η οποία «προσφέρει» μια σαφή εντύπωση του πολυέδρου στο χώρο. Παρατήρηση. Στον συγκεκριμένο πίνακα παρουσιάζονται ταυτόχρονα - εκτός από τα 13 Αρχιμήδεια πολύεδρα - και τα 2 ημικανονικά του Johannes Kepler. Με τον τρόπο αυτό, στον ίδιο πίνακα συνυπάρχει το σύνολο των ημικανονικών πολυέδρων και δίνεται η δυνατότητα σύγκρισης των στοιχείων τους. Το περιεχόμενο των δύο τελευταίων δεδομένων του πίνακα, που αναφέρονται στα ημικανονικά του J. Kepler, καθώς και η μελέτη των πολυέδρων αυτών, αναλύεται στην παράγραφο 3.3 στη σελ.248 στο τέλος της μονογραφίας.

73 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ Στους συνοπτικούς επιμέρους πίνακες που θα ακολουθήσουν δίνονται για κάθε ένα από τα 13 Αρχιμήδεια πολύεδρα τα εξής στοιχεία: 1. Το όνομα 2. Ο συμβολισμός 3. Το πλήθος των εδρών 4. Το είδος των εδρών 5. Το πλήθος των κορυφών 6. Το πλήθος των ακμών 7. Το μητρικό πολύεδρο από το οποίο παράγεται στη συγκεκριμένη μελέτη το ημικανονικό πολύεδρο 8. Το πλήθος των εδρών μιας στερεάς γωνίας και το είδος των πολυγώνων που συντρέχουν στην κορυφή της 9. Το μέγεθος της εξωτερικής γωνίας κάθε στερεάς γωνίας 10. Το μέγεθος των δίεδρων γωνιών 11. Η σχέση της ακμής α i (όπου i = 1 έως 13) του στερεού με την ακμή του συγκεκριμένου μητρικού του 12. Η σχέση της ακμής α i του στερεού με την ακτίνα R i της περιγεγραμμένης σφαίρας του 13. Τύπος που δίνει τον όγκο του πολυέδρου 14. Τύπος που δίνει την επιφάνεια του πολυέδρου ΠΟΡΕΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ 1. Στα επόμενα θα παρουσιάσουμε σε αξονομετρική προβολή και στη συνέχεια θα κατασκευάσουμε με τη βοήθεια των ορθών προβολών της Μεθόδου Monge (κάτοψη-όψη) : α. Τα 13 ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη. β. Δύο από τα άπειρα ημικανονικά πολύεδρα του Kepler και συγκεκριμένα το ν-γωνικό πρίσμα Κ Π6 και το ν-γωνικό αντιπρίσμα Κ Α6, δηλαδή εκείνα που έχουν βάσεις κανονικά εξάγωνα. 2. Στη συγκεκριμένη μελέτη κάθε Αρχιμήδειο πολύεδρο θα δημιουργηθεί από ένα επιλεγμένο μητρικό κανονικό πολύεδρο στο οποίο θα εφαρμοστούν κατάλληλες γεωμετρικές πράξεις. 3. Για να διευκολυνθεί η σχεδίαση, όλα τα θέματα δίνονται με αριθμητικά δεδομένα ή σχεδιάζονται με βάση το μητρικό πολύεδρο, το οποίο ήδη έχει σχεδιαστεί στο κεφάλαιο των κανονικών πολυέδρων. 4. Σε ορισμένα στερεά, για λόγους καθαρότητας και ευκρίνειας του σχεδίου και εξαιτίας των πολλών κορυφών που υπάρχουν σε αυτά, ο συμβολισμός των κορυφών τους γίνεται με αριθμούς, αντί, όπως συνήθως, με γράμματα. Επιπλέον, στις περιπτώσεις αυτές οι αριθμοί εμφανίζονται στις διάφορες προβολές χωρίς τους γνωστούς τόνους της Παραστατικής Γεωμετρίας (Μέθοδος Monge). 5. Σε ορισμένα από τα ημικανονικά πολύεδρα, για λόγους ευκολίας, κατασκευάζουμε καταρχήν το μισό του αναπτύγματος και στη συνέχεια ολόκληρο το ανάπτυγμα του στερεού.

74 ΠΙΝΑΚΑΣ ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ ΗΜΙΚΑΝ. ΠΟΛ. ΠΛΗΘ. ΠΟΛ. ΣΥΜΒΟΛ. ΟΝΟΜΑ ΕΔΡΕΣ ΚΟΡ. ΑΚΜΕΣ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 8-ΕΔΡΟ 1 Α Κολοβό ή Κόλουρο τετράεδρο 4 τρίγωνα 4 εξάγωνα ΕΔΡΗ 1 τρίγωνο 2 εξάγωνα Α Κυβοκτάεδρο 8 τρίγωνα 6 τετράγωνα ΕΔΡΗ 2 τρίγωνα 2 τετράγωνα 14-ΕΔΡO 3 Α Κολοβό ή Κόλουρο οκτάεδρο 6 τετράγωνα 8 εξάγωνα ΕΔΡΗ 1 τετράγωνο 2 εξάγωνα Α Κολοβός ή Κόλουρος κύβος 8 τρίγωνα 6 οκτάγωνα ΕΔΡΗ 1 τρίγωνο 2 οκτάγωνα Α Μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο ή Ρομβικό κυβοκτάεδρο 8 τρίγωνα 18 τετράγωνα ΕΔΡΗ 1 τρίγωνο 3 τετράγωνα 26-ΕΔΡO 2 Α Μεγάλο ρομβοκυβοκτάεδρο ή Κολοβό ( ή κόλουρο) κυβοκτάεδρο 12 τετράγωνα 8 εξάγωνα 6 οκτάγωνα ΕΔΡΗ 1 τετράγωνο 1 εξάγωνο 1 οκτάγωνο Α Εικοσιδωδεκάεδρο 20 τρίγωνα 12 πεντάγωνα ΕΔΡΗ 2 τρίγωνα 2 πεντάγωνα 32-ΕΔΡO 3 Α Κολοβό ή Κόλουρο εικοσάεδρο 12 πεντάγωνα 20 εξάγωνα ΕΔΡΗ 1 πεντάγωνο 2 εξάγωνα Α 9 Κολοβό ή Κόλουρο 20 τρίγωνα 12 δεκάγωνα ΕΔΡΗ

75 δωδεκαεδρο 1 τρίγωνο 2 δεκάγωνα ΗΜΙΚΑΝ. ΠΟΛ. ΠΛΗΘ. ΠΟΛ. ΣΥΜΒΟΛ. ΟΝΟΜΑ ΕΔΡΕΣ ΚΟΡ. ΑΚΜΕΣ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 38-ΕΔΡΟ 1 Α Αμβλύς ή Στρεβλός κύβος 32 τρίγωνα 6 τετράγωνα ΕΔΡΗ 4 τρίγωνα 1 τετράγωνο Α Μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο ή Ρομβικό εικοσιδωδεκάεδρο 20 τρίγωνα 30 τετράγωνα 12 πεντάγωνα ΕΔΡΗ 1 τρίγωνο 2 τετράγωνα 1 πεντάγωνο 62-ΕΔΡO 2 Α Μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο ή Κολοβό (ή κόλουρο) εικοσιδωδεκάεδρο 30 τετράγωνα 20 εξάγωνα 12 δεκάγωνα ΕΔΡΗ 1 τετράγωνο 1 εξάγωνο 1 δεκάγωνο 92-ΕΔΡΟ 1 Α Αμβλύ ή Στρεβλό δωδεκάεδρο 80 τρίγωνα 12 πεντάγωνα ΕΔΡΗ 4 τρίγωνα 1 πεντάγωνο KEPLER (ν+2)- ΕΔΡΟ KΠV 4 4 ν ν-γωνικό Πρίσμα ν 3 2 ν-γωνα ν τετράγωνα 2ν 3ν 3-ΕΔΡΗ 2 τετράγωνα 1 ν-γωνο KEPLER (2ν+2)- ΕΔΡΟ ΚAV ν ν-γωνικό Αντιπρίσμα ν 3 2 ν-γωνα 2ν τρίγωνα 2ν 4ν 4-ΕΔΡΗ 3 τρίγωνα 1 ν-γωνο

76 76

77 ΜΕΛΕΤΗ ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ

78 78

79 ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ Α1 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α1 ΟΝΟΜΑ ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α1 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 8 ( οκτάεδρο μοναδικό) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 4 ΤΡΙΓΩΝΑ 4 ΕΞΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 12 ΑΚΜΕΣ 18 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 1 τρίγωνο 2 εξάγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 60º ή 2 3 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω1 70 0,52 ω ,47 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α1 ΤΟΥ Α1 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α1 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R1 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ 1 α 1 = α 3 α 22 1 R 1 = 2 2 ΟΓΚΟΣ Ο1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε1 Ο = α Ε 1 = α 1 7 3

80 80 ΓΕΝΙΚΑ Το πρώτο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται κολοβό ή κόλουρο τετράεδρο, συμβολίζεται Α 1 και έχει το μικρότερο αριθμό εδρών στον κατάλογο των ημικανονικών πολυέδρων, ενώ είναι το μοναδικό 8-εδρο. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 8 (4 τρίγωνα και 4 εξάγωνα). Κορυφές: 12 Ακμές: 18 Το κανονικό τετράεδρο είναι μητρικό πολύεδρο του 8-έδρου, δηλαδή το δεύτερο μπορεί να δημιουργηθεί από το πρώτο με κατάλληλες τομές, ως εξής (Α 1-Σχ.1): Από κάθε στερεά γωνία του κανονικού τετραέδρου αποτέμνουμε κανονική πυραμίδα, με τη βοήθεια ενός επιπέδου, το οποίο ονομάζεται αποτέμνον επίπεδο. Το αποτέμνον επίπεδο π.χ. που αντιστοιχεί στην κορυφή Α του τετραέδρου, ορίζεται από τα σημεία 1, 2, 3, κάθε ένα από τα οποία βρίσκεται στο 1 3 της αντίστοιχης ακμής του τετραέδρου. Η πυραμίδα που αποτέμνεται έχει ως κορυφή την αντίστοιχη κορυφή Α του τετραέδρου και βάση το ισόπλευρο τρίγωνο 1, 2, 3. Τα σημεία 1, 2, 3, καθώς και όλα τα ανάλογα, είναι πλέον κορυφές του κολοβού τετραέδρου που προκύπτει. Αν ονομάσουμε α 1 την ακμή του συγκεκριμένου ημικανονικού πολυέδρου, είναι: 1 α 1 = AB 3, όπου ΑΒ = α μία ακμή του μητρικού τετραέδρου Σε κάθε κορυφή του κολοβού τετραέδρου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες ενός τριγώνου και δύο εξαγώνων. Σχετικά με το πλήθος των εδρών του Α 1 παρατηρούμε ότι εφόσον οι κορυφές του κανονικού τετραέδρου είναι τέσσερεις, τα εξάγωνα που δημιουργούνται είναι τέσσερα, ένα σε κάθε έδρα, ενώ ομοίως και τα τρίγωνα είναι τέσσερα. Η τελική μορφή του κολοβού τετραέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των τεσσάρων πυραμίδων, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 1-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

81 81

82 82 Α. Παράσταση Το κολοβό τετράεδρο έχει σχεδιαστεί στο σχήμα (Α 1-Σχ.3) σε τρεις ορθές προβολές. Ως μητρικό τετράεδρο χρησιμοποιήθηκε τετράεδρο με πλευρά 80 και ακμή ΑΓ κάθετη στον y 12. Λύση Η σχεδίαση στο σχήμα (Α 1-Σχ.3) γίνεται ως εξής : α. Διαιρούμε κάθε ακμή του κανονικού μητρικού τετραέδρου σε τρία ίσα μέρη. Τα σημεία διαίρεσης θα αποτελέσουν κορυφές του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου. β. Συνδέουμε κατάλληλα τα σημεία αυτά, στις τρεις ορθές προβολές εμφανίζοντας τις τέσσερεις τριγωνικές τομές του μητρικού κανονικού τετραέδρου, καθώς και τις δημιουργούμενες, ως υπόλοιπα, τέσσερεις εξαγωνικές έδρες. Στο ίδιο σχήμα είναι τονισμένο ιδιαίτερα το οριζόντιο αποτέμνον επίπεδο με δεύτερο ίχνος σ 2, το οποίο δίνει ως τομή το ισόπλευρο τρίγωνο που αντιστοιχεί στην κορυφή Δ. Η μορφή του θέματος έχει συμπληρωθεί με την κατάλληλη διάκριση, σε ορατές και καλυμμένες, των πλευρών των ισοπλεύρων τριγώνων και των εξαγώνων του ημικανονικού αυτού πολυέδρου και στις τρεις προβολές.

83 83

84 84 Στο σχήμα (Α 1-Σχ.4) δίνεται η τελική παράσταση του κολοβού τετραέδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 1- Σχ.3), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του.

85 85

86 86 Β. Δίεδρες γωνίες 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων εξαγώνου εξαγώνου Έστω ω 1 τη δίεδρη γωνία μεταξύ δύο όμορων εξαγωνικών εδρών (Α 1-Σχ.1). Είναι φανερό ότι ω 1 = ω, όπου ω 70 0, η γωνία των εδρών του κανονικού τετραέδρου. 2. Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τριγώνου εξαγώνου Έστω ω 2 τη δίεδρη γωνία μεταξύ δύο όμορων εδρών, ενός τριγώνου και ενός εξαγώνου. Προφανώς, αφού το επίπεδο του τριγώνου 4,5,6 είναι παράλληλο στο επίπεδο ΑΓΔ του κανονικού τετραέδρου, η ζητούμενη δίεδρη γωνία ω 2 είναι παραπληρωματική της ω του κανονικού τετραέδρου. Είναι : ω , , Η μέτρηση της γωνίας ω 2 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος. Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 1-Σχ.5) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Κόλουρου Τετραέδρου.

87 87

88 88

89 ΚΥΒΟΚΤΑΕΔΡΟ Α2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α2 ΟΝΟΜΑ ΚΥΒΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α2 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 14 ( δεκατετράεδρο πρώτο από τρία) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 8 ΤΡΙΓΩΝΑ 6 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 12 ΑΚΜΕΣ 24 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΚΥΒΟ ή ΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 4-ΕΔΡΗ ( 2 τρίγωνα 2 τετράγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 60º ή 2 3 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω 125 0,26 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α2 ΤΟΥ Α2 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α2 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ ΟΓΚΟΣ Ο2 1 α 2 = α 2 2 R 2 =α 2 O =α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε2 2 Ε 2 = α 2 2(3 + 3)

90 90 ΓΕΝΙΚΑ Το δεύτερο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται κυβοκτάεδρο, συμβολίζεται Α 2 και είναι το πρώτο από τα τρία υπάρχοντα 14-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 14 (8 τρίγωνα και 6 τετράγωνα). Κορυφές: 12 Ακμές: 24 Το κυβοκτάεδρο έχει ως μητρικό πολύεδρο τον κύβο ή το οκτάεδρο, δηλαδή μπορεί να δημιουργηθεί από αυτά με κατάλληλες τομές. Στη λύση που ακολουθεί θα χρησιμοποιηθεί ως μητρικό ο κύβος, από τον οποίο θα προκύψει το κυβοκτάεδρο, ως εξής (Α 2-Σχ.1): Από κάθε στερεά γωνία του κύβου αποτέμνουμε κανονική πυραμίδα, με τη βοήθεια του κατάλληλου αποτέμνοντος επιπέδου. Το αποτέμνον επίπεδο π.χ. που αντιστοιχεί στην κορυφή Α του κύβου, ορίζεται από τα σημεία 1, 2, 3, κάθε ένα από τα οποία βρίσκεται στο μέσον της αντίστοιχης ακμής του κύβου που περνάει από την Α. Η πυραμίδα που αποτέμνεται από τον κύβο έχει ως κορυφή την αντίστοιχη κορυφή Α και βάση το ισόπλευρο τρίγωνο 1, 2, 3. Τα σημεία 1, 2, 3, καθώς και όλα τα ανάλογα, είναι πλέον κορυφές του κυβοκταέδρου. Αν ονομάσουμε α 2 την ακμή του συγκεκριμένου ημικανονικού πολυέδρου, είναι: 1 α 2 = ΑΒ 2, όπου ΑΒ = α ακμή του μητρικού κύβου 2 Σε κάθε κορυφή του κυβοκταέδρου δημιουργείται 4-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες δύο τριγώνων και δύο τετραγώνων, εναλλάξ τοποθετημένων. Σχετικά με το πλήθος των εδρών του Α 2 παρατηρούμε ότι εφόσον οι κορυφές του κύβου είναι οκτώ, τα τρίγωνα που δημιουργούνται είναι οκτώ, ενώ τα τετράγωνα είναι έξι, ένα σε κάθε έδρα. Η τελική μορφή του κυβοκταέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των οκτώ πυραμίδων, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 2-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

91 91

92 92 Α. Παράσταση Το κυβοκτάεδρο έχει σχεδιαστεί στο σχήμα (Α 2-Σχ.3) σε τέσσερεις ορθές προβολές, με μητρικό πολύεδρο τον κύβο πλευράς 40, ως εξής : Λύση α. Διαιρούμε κάθε ακμή του κύβου σε δύο ίσα μέρη. Τα σημεία διαίρεσης θα αποτελέσουν κορυφές του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου. β. Συνδέουμε κατάλληλα τα σημεία αυτά, στις τέσσερεις ορθές προβολές, με τη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα (Α 2-Σχ.1), εμφανίζοντας τις οκτώ τριγωνικές τομές του μητρικού κύβου, καθώς και τις δημιουργούμενες, ως υπόλοιπα, έξι τετραγωνικές έδρες. Η μορφή του θέματος έχει συμπληρωθεί με την κατάλληλη διάκριση, σε ορατές και καλυμμένες, των πλευρών των ισοπλεύρων τριγώνων και των τετραγώνων του ημικανονικού αυτού πολυέδρου και στις τέσσερεις προβολές.

93 93

94 94 Στο σχήμα (Α 2-Σχ.4) δίνεται η τελική παράσταση του κυβοκτάεδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 2-Σχ.3), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του.

95 95

96 96 Β. Δίεδρη γωνία ω επιπέδων τετραγώνου - τριγώνου Έστω ω η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ δύο όμορων εδρών, π.χ. του τετραγώνου 1,2,6,4 (που βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1) και του τριγώνου 1,4,5 (Α 2-Σχ.1): Είναι : α εφφ = 2 α 2 = 2 4 φ 54 0, ω 125 0, Η μέτρηση της γωνίας ω στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος και έγινε ως εξής (Α 2-Σχ.5): Θεωρούμε τρίτη προβολή με y 13 κάθετο στο ίχνος 1 4 του επιπέδου 1,4,5. Στην προβολή αυτή, το επίπεδο 1,4,5 εμφανίζεται ως πρόσθιο, οπότε η γωνία ω = 125 0, ˆ Α 1 5

97 97

98 98 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 2-Σχ.6) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Κυβοκταέδρου. Παρατηρούμε ότι το ανάπτυγμα του πολυέδρου αποτελείται από: 1. Δύο ανεξάρτητα σχήματα, που περιέχουν ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο το κάθε ένα, επαναλαμβανόμενα τρεις φορές (είναι τα τονισμένα με ανοιχτό γκρι). 2. Ένα ανεξάρτητο τρίγωνο (ανοιχτό γκρι). 3. Ένα ανεξάρτητο τρίγωνο (σκούρο γκρι).

99 99

100 100

101 ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΟΚΤΑΕΔΡΟ Α3 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α3 ΟΝΟΜΑ ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α3 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 14 ( δεκατετράεδρο δεύτερο από τρία) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 6 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 8 ΕΞΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 24 ΑΚΜΕΣ 36 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ (1 τετράγωνο 2 εξάγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω1 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α3 ΤΟΥ Α3 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α3 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R3 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ 30 0 ή 1 3 ορθής 125 0,26 ω2 1 α = α 3 3 α 2 3 R 3 = ,47 ΟΓΚΟΣ Ο3 3 Ο 3 = α38 2 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε3 Ε 2 3 = α

102 102 ΓΕΝΙΚΑ Το τρίτο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται κολοβό ή κόλουρο οκτάεδρο, συμβολίζεται Α 3 και είναι το δεύτερο από τα τρία υπάρχοντα 14-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 14 (6 τετράγωνα και 8 εξάγωνα). Κορυφές: 24 Ακμές: 36 Για την κατασκευή του κολοβού οκταέδρου έχει χρησιμοποιηθεί ως μητρικό πολύεδρο το κανονικό οκτάεδρο, δηλαδή δημιουργήθηκε από αυτό με κατάλληλες τομές, ως εξής (Α 3-Σχ.1): Από κάθε στερεά γωνία του μητρικού πολυέδρου αποτέμνουμε κανονική πυραμίδα, με τη βοήθεια του κατάλληλου αποτέμνοντος επιπέδου. Το αποτέμνον επίπεδο π.χ. που αντιστοιχεί στην κορυφή Κ 2 του κανονικού οκταέδρου, ορίζεται από τα σημεία 1, 2, 3, 4, κάθε ένα από τα οποία βρίσκεται στο 1 3 της αντίστοιχης ακμής που περνάει από την Κ 2. Η πυραμίδα που αποτέμνεται από το κανονικό οκτάεδρο έχει ως κορυφή την αντίστοιχη κορυφή Κ 2 και βάση το τετράγωνο 1, 2, 3,4. Τα σημεία 1, 2, 3,4, καθώς και όλα τα ανάλογα, είναι πλέον κορυφές του ζητούμενου κολοβού οκταέδρου. Αν ονομάσουμε α 3 την ακμή του συγκεκριμένου ημικανονικού πολυέδρου Α 3, είναι: 1 α 3= Κ2Α, όπου Κ 2Α = α ακμή του μητρικού οκταέδρου. 3 Σε κάθε κορυφή του κολοβού οκτάεδρου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες ενός τετραγώνου και δύο εξαγώνων. Σχετικά με το πλήθος των εδρών του Α 3 παρατηρούμε ότι εφόσον οι κορυφές του μητρικού οκτάεδρου είναι έξι, τα τετράγωνα που δημιουργούνται είναι έξι, ενώ τα κανονικά εξάγωνα είναι οκτώ, ένα σε κάθε έδρα. Η τελική μορφή του κολοβού οκταέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των έξι πυραμίδων, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 3-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

103 103

104 104 Α. Παράσταση Το κολοβό οκτάεδρο έχει σχεδιαστεί στο σχήμα (Α 3-Σχ.3) σε τέσσερεις ορθές προβολές, με μητρικό πολύεδρο το κανονικό οκτάεδρο πλευράς 36, ως εξής : Λύση α. Διαιρούμε κάθε ακμή του μητρικού σε τρία ίσα μέρη. Τα σημεία διαίρεσης θα αποτελέσουν κορυφές του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου. β. Συνδέουμε κατάλληλα τα σημεία αυτά, στις τέσσερεις ορθές προβολές, με τη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα (Α 3-Σχ.1), εμφανίζοντας τις έξι τετραγωνικές τομές του μητρικού κανονικού οκταέδρου, καθώς και τις δημιουργούμενες, ως υπόλοιπα, οκτώ εξαγωνικές έδρες. Η μορφή του θέματος έχει συμπληρωθεί με την κατάλληλη διάκριση, σε ορατές και καλυμμένες, των πλευρών των τετραγώνων και εξαγώνων του ημικανονικού αυτού πολυέδρου και στις τέσσερεις προβολές.

105 105

106 106 Στο σχήμα (Α 3-Σχ.4) δίνεται η τελική παράσταση του κολοβού οκταέδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 3- Σχ.3), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του Παρατήρηση. Στο θέμα αυτό ιδιαιτέρως έχει σχεδιαστεί μία τέταρτη προβολή με τυχαίο άξονα y 34. Με τη βοήθεια της προβολής αυτής, το αποτέλεσμα που προκύπτει, ως προς την παρουσίαση του κολοβού οκταέδρου, δίνει την εντύπωση μιας αξονομετρικής προβολής του (και μάλιστα προερχόμενη από ορθή αξονομετρία). Είναι φανερό ότι η μέθοδος αυτή, κατά την παράσταση ενός στερεού, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε όλα τα θέματα, αντικαθιστώντας τις μεθόδους της αξονομετρίας, αφού η μέθοδος Monge, στο ίδιο σχέδιο δίνει και μία πολύ καλή αξονομετρική προβολή των αντικειμένων.

107 107

108 108 Β. Δίεδρες γωνίες 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων τετραγώνου εξαγώνου Έστω ω 1 τη δίεδρη γωνία μεταξύ δύο όμορων εδρών, ενός τετραγώνου και ενός εξαγώνου. Προφανώς, αφού το επίπεδο π.χ. του τετραγώνου 1,2,3,4 είναι παράλληλο προς το οριζόντιο επίπεδο e 1, ενώ το επίπεδο του εξαγώνου 1,5,6,7,8,4 είναι πρόσθιο, η ζητούμενη δίεδρη γωνία ω 1 είναι η εμφανιζόμενη (Α 3-Σχ.3) στην δεύτερη προβολή. Είναι γνωστό από το κανονικό οκτάεδρο ότι η γωνία ω μεταξύ δύο εδρών του είναι ω 109 0, Επομένως, η ζητούμενη γωνία ω 1 = ω , Η μέτρηση της γωνίας ω 1 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος. 2. Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων εξαγώνου εξαγώνου Έστω ω 2 τη δίεδρη γωνία μεταξύ δύο όμορων εξαγωνικών εδρών. Π.χ. γωνία ω 2 είναι η γωνία μεταξύ των εξαγώνων 1,5,6,7,8,4 και 7,6,9,10,11,12, τα οποία στο σχήμα (Α 3-Σχ.3) είναι πρόσθια. Η γωνία αυτή προφανώς συμπίπτει με την γωνία ω των εδρών του κανονικού οκταέδρου και επομένως : ω 2 = ω 109 0, Η μέτρηση της γωνίας ω 2 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος. Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 3-Σχ.5) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Κόλουρου Οκταέδρου.

109 109

110 110

111 ΚΟΛΟΒΟΣ ή ΚΟΛΟΥΡΟΣ ΚΥΒΟΣ Α4 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α4 ΟΝΟΜΑ ΚΟΛΟΒΟΣ ή ΚΟΛΟΥΡΟΣ ΚΥΒΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α4 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 14 ( δεκατετράεδρο τρίτο από τρία) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 8 ΤΡΙΓΩΝΑ 6 ΟΚΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 24 ΑΚΜΕΣ 36 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΚΥΒΟΣ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 1 τρίγωνο 2 οκτάγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 30 0 ή 1 3 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω1 = 90 0 ω ,26 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α4 ΤΟΥ Α4 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α4 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R4 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α4 = α( 2-1) α 2 4 R 4 = ΟΓΚΟΣ 3 7 Ο4 V 4 = α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε4 Ε 2 4 = α

112 112 ΓΕΝΙΚΑ Το τέταρτο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται κολοβός ή κόλουρος κύβος, συμβολίζεται Α 4 και είναι το τρίτο από τα τρία υπάρχοντα 14-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 14 (8 τρίγωνα και 6 οκτάγωνα). Κορυφές: 24 Ακμές: 36 Στην περίπτωση του κολοβού κύβου χρησιμοποιήθηκε φυσικά ο κύβος ως μητρικό πολύεδρο, από τον οποίο δημιουργήθηκε το ημικανονικό πολύεδρο με κατάλληλες τομές, ως εξής (Α 4-Σχ.1): Από κάθε στερεά γωνία του κύβου με πλευρά ΑΒ αποτέμνουμε κανονική πυραμίδα, με τη βοήθεια του κατάλληλου αποτέμνοντος επιπέδου. Το αποτέμνον επίπεδο π.χ. που αντιστοιχεί στην κορυφή Α του κύβου, ορίζεται από τα σημεία 1, 2, 3 (κορυφές του κολοβού κύβου που σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο) κάθε ένα από τα οποία βρίσκεται σε κατάλληλο σημείο της αντίστοιχης ακμής που περνάει από την Α. Το σημείο 1 π.χ. που βρίσκεται στην ακμή ΑΒ του κύβου αποδεικνύεται ότι απέχει από την κορυφή Α : (Α1) = α (2-2) =x (1) Ανάλογα ισχύει: (Α1) = (Α2) = (Α3)=x 2 Επίσης, εάν ονομάσουμε α 4 την πλευρά του κολοβού κύβου, αποδεικνύεται ότι: α 4 = α( 2-1) Απόδειξη: (2) Είναι προφανώς α 4 = (43) = ( 31) = (12) = (23) (3) Έστω (Β4) = (3Α) = (Α1) = x (4) Από το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο 3, Α, 1 και από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε το σύστημα: που έχει ως λύσεις τις (1) και (2) x =α 4 2x+α 4 =α με 0 x α Για τα μήκη (Α1) =x και α 4 με απλές πράξεις προκύπτει επιπλέον η σχέση: ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ x 2 = α 2 4 (5) Είναι εύκολο να ορίσουμε γραφικά τις κορυφές του κολοβού κύβου, διαιρώντας με κατάλληλο τρόπο τις πλευρές του μητρικού κύβου, ως εξής: Από την κορυφή Θ π.χ. της πλευράς ΘΔ του κύβου φέρνουμε οποιαδήποτε ευθεία ε στο χώρο και τοποθετούμε διαδοχικά τμήματα: (ΘΚ) = 1 τυχαία μονάδα μ, (ΚΑ) = 2 μ, (ΛΜ) = 1μ. Φέρνουμε ΜΔ // Λ5 // Κ6, ορίζοντας τις ζητούμενες κορυφές 5, 6 του ημικανονικού πολυέδρου επάνω στην ακμή ΘΔ του κύβου. Πράγματι: (ΘΚ) 2 x = = (ΚΛ) 2 α 4, δηλαδή επαληθεύεται η (5) Σε κάθε κορυφή του κολοβού κύβου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες ενός τριγώνου και δύο οκταγώνων. Σχετικά με το πλήθος των εδρών του Α 4 παρατηρούμε ότι εφόσον οι κορυφές του μητρικού κύβου είναι οκτώ, τα τρίγωνα που δημιουργούνται είναι οκτώ, ενώ τα κανονικά οκτάγωνα είναι έξι, ένα σε κάθε έδρα. Η τελική μορφή του κολοβού κύβου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των οκτώ πυραμίδων, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 4-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

113 113

114 114 Α. Παράσταση Ο κολοβός κύβος έχει σχεδιαστεί στο σχήμα (Α 4-Σχ.3) σε τέσσερεις ορθές προβολές, με μητρικό πολύεδρο τον κύβο πλευράς 40, ως εξής : Λύση α. Διαιρούμε κάθε ακμή του μητρικού κύβου όπως περιγράψαμε προηγουμένως στη γραφική λύση. Τα σημεία διαίρεσης είναι κορυφές του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου. Βέβαια, μπορούμε να ορίσουμε τις κορυφές αυτές υπολογίζοντας και τοποθετώντας τα μήκη x και α 4 από τους προηγούμενους τύπους (1) και (2). β. Συνδέουμε κατάλληλα τα σημεία αυτά, στις τέσσερεις ορθές προβολές, με τη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα (Α 4-Σχ.1), εμφανίζοντας τις οκτώ τριγωνικές τομές του μητρικού κύβου, καθώς και τις δημιουργούμενες, ως υπόλοιπα, έξι οκταγωνικές έδρες. Η μορφή του θέματος έχει συμπληρωθεί με την κατάλληλη διάκριση, σε ορατές και καλυμμένες, των πλευρών των τριγώνων και των οκταγώνων του ημικανονικού αυτού πολυέδρου.

115 115

116 116 Στο σχήμα (Α 4-Σχ.4) δίνεται η τελική παράσταση του κολοβού οκταέδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 4- Σχ.3), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του. Παρατήρηση. Στο σχήμα (Α 4-Σχ.4) υπάρχει επιπλέον μία τρίτη προβολή, που προσδιορίζεται από τον άξονα y 13. Η προβολή αυτή στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση μιας δίεδρης γωνίας του πολυέδρου. Β. Δίεδρες γωνίες 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων οκταγώνου οκταγώνου Προφανώς η γωνία αυτή είναι 90 0, αφού τα επίπεδα του ημικανονικού πολυέδρου συμπίπτουν με όμορες έδρες του κύβου. 2. Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τριγώνου οκταγώνου Έστω ω 2 η δίεδρη γωνία μεταξύ δύο όμορων εδρών,έστω π.χ. του οκταγώνου που βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 και του τριγώνου 1,2,3. Η γωνία αυτή βρίσκεται ως εξής (Α 4-Σχ.1): Είναι: ω 2=180 ο -φ με (2Α) 2 2 εφ φ= (ΑΣ) 2 (1) όπου (2Α) = α (2-2) 2 (2) Από το ορθογώνιο τρίγωνο 3, Α, Σ, όπου Σ μέσον του τμήματος 31, έχουμε: (ΑΣ) = 2 2 α (3-2 2) 4 (3) Από τις (2) και (3) η (1) γίνεται: 2 εφ φ=2 εφφ= 2 εφω 2 =- 2 ω , Η σχεδίαση της γωνίας ω 2, με τρόπο ώστε να είναι δυνατή η μέτρησή της γραφικά, έγινε στο σχήμα (Α 4-Σχ.4), ως εξής: α. Φέρνουμε άξονα y 13 κάθετο στην 1 3, που είναι πρώτο ίχνος του επιπέδου του τριγώνου 1, 2, 3. Μ ε την αλλαγή αυτή το επίπεδο 123 γίνεται πρόσθιο, δίνοντας τη δυνατότητα να μετρηθεί το μέγεθός της γωνίας ω 2. β. Με το υψόμετρο του z 2 προσδιορίζουμε την τρίτη προβολή 2 του σημείου 2 και επομένως το σ 3 του επιπέδου 123. γ. Η ζητούμενη γωνία ω 2 φαίνεται σχεδιασμένη στην προβολή αυτή. Η μέτρηση της γωνίας ω 2 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος.

117 117

118 118 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 4-Σχ.5) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Κόλουρου Κύβου. Παρατηρούμε ότι το ανάπτυγμα του πολυέδρου αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα οκτάγωνο και δύο τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο τέσσερεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα οκτάγωνα (ανοιχτό γκρι).

119 119

120 120

121 ΜΙΚΡΟ ΡΟΜΒΟ - ΚΥΒΟΚΤΑΕΔΡΟ Α5 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α5 ΟΝΟΜΑ ΜΙΚΡΟ ΡΟΜΒΟ - ΚΥΒΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α5 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 26 ( εικοσιεξάεδρο πρώτο από δύο) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 8 ΤΡΙΓΩΝΑ 18 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 24 ΑΚΜΕΣ 48 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΚΥΒΟΣ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 4-ΕΔΡΗ (1 τρίγωνο 3 τετράγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 30 0 ή 1 3 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω1 = ω ,73 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α5 ΤΟΥ Α5 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α5 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R5 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α5 = α( 2-1) α 2 5 R 5 = ΟΓΚΟΣ Ο5 Ο 5 = α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε5 Ε 2 5 = α

122 122 ΓΕΝΙΚΑ Το πέμπτο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται μικρό ρομβο-κυβοκτάεδρο, συμβολίζεται Α 5 και είναι το πρώτο από τα δύο υπάρχοντα 26-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 26 (8 τρίγωνα και 18 τετράγωνα). Κορυφές: 24 Ακμές: 48 Το μικρό ρομβο-κυβοκτάεδρο έχει και αυτό ως μητρικό πολύεδρο τον κύβο και δημιουργείται από αυτόν ως εξής (Α 5-Σχ.1): Στη πλευρά ΣΤ του κύβου καθορίζουμε σημεία C,D με γραφική και υπολογιστική λύση, τα οποία θα βοηθήσουν στον προσδιορισμό των κορυφών του ζητούμενου ημικανονικού πολυέδρου. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ Θα προσδιορίσουμε υπολογιστικά τη θέση των σημείων C, D στην πλευρά ΣΤ του κύβου. Συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε ότι αν ο κύβος έχει πλευρά α και το μικρό ρομβο-κυβοκτάεδρο που δημιουργείται από αυτόν πλευρά α 5, τότε: x = (CD) = α 5 = α( 2-1) (1) και y = α(2-2) =(ΣC) = (DT) 2 (2) Απόδειξη Θέτουμε : (α - x) α 5 = (ΒΓ) = (CD) = x και (ΣC) = (DT) = 2 = y (3) Επίσης είναι : α 5 = (ΓΗ) =// (DH ) = x (4) Από το ορθογώνιο τρίγωνο DTH έχουμε : (DH ) 2 = 2 (DT) 2 (5) Από τις σχέσεις (3)και (4), η (5) γίνεται : 2 2 (α - x) x = x=α( 2-1) = α 5 = (CD) 2 (6) Επιπλέον, από τη σχέση (6), η (3) δίνει: y = α(2-2) =(ΣC) = (DT) 2 α(2-2) Έχοντας τα μήκη x=α 5 και y = από τους τύπους (1) και (2), προσδιορίζουμε τις θέσεις των C, D στην 2 πλευρά ΣΤ του κύβου. Όπως φαίνεται στο σχήμα (Α 5-Σχ.1), οι παράλληλες ευθείες προς τις αντίστοιχες ακμές του κύβου από τα σημεία αυτά τέμνονται, ορίζοντας τις κορυφές του 26-έδρου. Από το σύνολο των κορυφών που δημιουργούνται έχουμε ονομάσει στο συγκεκριμένο σχήμα μόνο μερικές, όσες θα διευκολύνουν τη μελέτη και την παράσταση του θέματος. ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε γραφικά τα σημεία C,D επάνω στη ΣΤ, όπως και στο προηγούμενο ημικανονικό πολύεδρο Α 4, ως εξής: Από την κορυφή Σ (Α 5-Σχ.1) φέρνουμε οποιαδήποτε ευθεία ε στο χώρο και τοποθετούμε διαδοχικά τα τμήματα: (Σ1) = 1 τυχαία μονάδα μ, (1,2) = 2 μ, (2,3) = 1μ. Φέρνουμε 3Τ // 2D // 1C, ορίζοντας τα σημεία C, D. Με απλές πράξεις αποδεικνύεται εύκολα ότι: (CD) = α( 2-1) = α 5 Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε ανάλογα σημεία στις υπόλοιπες ακμές του κύβου. (7)

123 123

124 124 Σε κάθε κορυφή του μικρού ρομβο-κυβοκτάεδρου δημιουργείται 4-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες ενός τριγώνου και τριών τετραγώνων. Σχετικά με το πλήθος των εδρών του Α 5 παρατηρούμε ότι εφόσον οι κορυφές του μητρικού κύβου είναι οκτώ, τα τρίγωνα που δημιουργούνται είναι επίσης οκτώ, ενώ τα τετράγωνα δεκαοκτώ. Η τελική μορφή του μικρού ρομβο-κυβοκταέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των κατάλληλων τμημάτων του κύβου, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 5-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

125 125

126 126 Α. Παράσταση Στο σχήμα (Α 5-Σχ.3) παριστάνεται σε τρεις ορθές προβολές ημικανονικό 26-εδρο, του οποίου μητρικό κανονικό πολύεδρο είναι κύβος πλευράς 40. Μία έδρα του κύβου βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 και έχει πλευρά // y 12. Λύση Η σχεδίαση των ορθών προβολών του ημικανονικού πολυέδρου στο σχήμα (Α 5-Σχ.3) έχει γίνει με απλή μεταφορά στις προβολές αυτές των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων του αξονομετρικού (Α 5-Σχ.1), διαιρώντας δηλαδή γραφικά με τον ίδιο τρόπο τις ορθές προβολές των ακμών του κύβου και φέρνοντας στη συνέχεια τις αντίστοιχες προς τις ακμές του κύβου παράλληλες ευθείες. Ο τρόπος διαίρεσης στη δεύτερη προβολή (και επομένως και στην πρώτη) μιας ακμής του μητρικού κύβου φαίνεται στο σχήμα (Α 5-Σχ.3). Β. Δίεδρες γωνίες Όπως φαίνεται στο σχήμα (Α 5-Σχ.1) το μικρό ρομβο-κυβοκτάεδρο έχει δύο μεγέθη δίεδρων γωνιών, που σχηματίζονται είτε μεταξύ των επιπέδων ενός ισόπλευρου τριγώνου και ενός όμορου τετραγώνου, είτε μεταξύ δύο όμορων τετραγώνων. 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων τετραγώνου τετραγώνου Αφού Ζ Η (Α 5-Σχ.3), η ακμή ΖΗ είναι πρόσθια (κάθετη στο e 2), με συνέπεια, πρόσθια να είναι και τα επίπεδα των τετραγωνικών εδρών ΖΗΘΕ και ΖΗΓΔ του ημικανονικού πολυέδρου, όπως φαίνεται και στο σχήμα (Α 5-Σχ.1). Επομένως, η γωνία ω 1 που έχει σημειωθεί στο σχήμα ισούται με τη δίεδρη γωνία των επιπέδων αυτών και είναι : ω 1 = Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων ισόπλευρου τριγώνου τετραγώνου Η ακμή ΜΕ του στερεού είναι οριζόντια, αφού Μ Ε //y 12. Φέρνουμε άξονα y 13 κάθετο στην Μ Ε, οπότε η ακμή ΜΕ γίνεται κάθετη στο νέο επίπεδο προβολής e 3 και σχεδιάζουμε την τρίτη προβολή του ημικανονικού πολυέδρου. Ανάλογα με την προηγούμενη περίπτωση, η δίεδρη γωνία ω 2 των επιπέδων, αφενός της τριγωνικής έδρας ΝΜΕ και αφετέρου της τετραγωνικής ΜΕΖΙ (Α 5-Σχ.1), ισούται με την ω 2 = Ζ Μ Ν ˆ στην τρίτη προβολή του θέματος (Α 5- Σχ.3). Θα δείξουμε ότι: 2 εφω 2 = - 2 Απόδειξη Στην τρίτη προβολή του ημικανονικού πολυέδρου του σχήματος (Α 5-Σχ.3) έχουμε: ω 2 = Ζ Μ Ν ˆ = φ Είναι γνωστό ότι: εφω 2 = εφ(90+φ) = Από το ορθογώνιο τρίγωνο Ν FΜ έχουμε : α5 Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο Ε Ν Μ έχει υποτείνουσα εφφ (FM ) y εφφ = = (FN ) (FN ) (1) (2) =(ΙΈ )=(Ν Σ)=(FN ) (3) α(2-2) Γνωρίζουμε όμως ότι: y = και α 5 = α( 2-1) (4) 2 y οπότε η (2), από τις (3) και (4), γίνεται εφφ = = 2 (FN ) 2 Από την (1) εφω 2 = - ω , Η μέτρηση της γωνίας ω 2 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος.

127 127

128 128 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 5-Σχ.4) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Μικρού Ρομβο-κυβοκταέδρου. Παρατηρούμε ότι το ανάπτυγμα του πολυέδρου αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει τέσσερα τετράγωνα και δύο τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο τέσσερεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα τετράγωνα (ανοιχτό γκρι).

129 129

130 130

131 ΜΕΓΑΛΟ ΡΟΜΒΟ - ΚΥΒΟΚΤΑΕΔΡΟ Α6 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α6 ΟΝΟΜΑ ΜΕΓΑΛΟ ΡΟΜΒΟ - ΚΥΒΟΚΤΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α6 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 26 ( εικοσιεξάεδρο δεύτερο από δύο) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 12 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 8 ΕΞΑΓΩΝΑ 6 ΟΚΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 48 ΑΚΜΕΣ 72 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΚΥΒΟΣ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 1 τετράγωνο 1 εξάγωνο 1 οκτάγωνο ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α6 ΤΟΥ Α6 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α6 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R6 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ ω , ή ω2 1 6 ορθής 144 0,73 ω3 = α6 = α α 2 6 R 6 = ΟΓΚΟΣ Ο6 Ο 3 6 = α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε6 Ε 2 6 = α

132 132 ΓΕΝΙΚΑ Το έκτο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται μεγάλο ρομβο-κυβοκτάεδρο, συμβολίζεται Α 6 και είναι το δεύτερο από τα δύο υπάρχοντα 26-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 26 (12 τετράγωνα, 8 εξάγωνα και 6 οκτάγωνα). Κορυφές: 48 Ακμές: 72 Το μεγάλο ρομβο-κυβοκτάεδρο έχει και αυτό, όπως και το προηγούμενο μικρό, ως μητρικό πολύεδρο τον κύβο και δημιουργείται από αυτόν ως εξής (Α 6-Σχ.1): Στη πλευρά ΘΗ του κύβου καθορίζουμε σημεία C,D,F,I με γραφική και υπολογιστική λύση, τα οποία θα βοηθήσουν στον προσδιορισμό των κορυφών του ζητούμενου ημικανονικού πολυέδρου Α 6, όπως ακριβώς έγινε και στα δύο προηγούμενα ημικανονικά πολύεδρα Α 4, Α 5. ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Από την κορυφή Θ (Α 6-Σχ.1) φέρνουμε οποιαδήποτε ευθεία ε στο χώρο και τοποθετούμε διαδοχικά τα τμήματα: (ΘΚ) = 1 τυχαία μονάδα μ, (ΚΛ) = 1μ, (ΛΜ) = 2 μ, (ΜΝ) = 1μ, (ΝΣ) = 1μ. Φέρνουμε ΣΗ // ΝI // MF // ΛD // ΚC, ορίζοντας τα σημεία C, D, F, I. Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε ανάλογα σημεία στις υπόλοιπες ακμές του κύβου. Στα σχήματα (Α 6-Σχ.2 και 3) εμφανίζονται σε διαδοχικά σχήματα οι πράξεις που απαιτούνται, ώστε από τον μητρικό κύβο να δημιουργηθεί το ημικανονικό πολύεδρο Α 6.

133 133

134 134 Όπως φαίνεται στα σχήματα (Α 6-Σχ.1 και 2,3,4), οι παράλληλες ευθείες προς τις αντίστοιχες ακμές του κύβου από τα σημεία αυτά, τέμνονται, ορίζοντας τις κορυφές του 26-έδρου. Το ζητούμενο ημικανονικό πολύεδρο Α 6 εμφανίζεται στο τελικό αξονομετρικό σχήμα (Α 6-Σχ5). Θα αποδείξουμε υπολογιστικά ότι η παραπάνω γραφική λύση οδηγεί στην κατασκευή του μεγάλου ρομβοκυβοκτάεδρου. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ Θα προσδιορίσουμε καταρχήν υπολογιστικά τη θέση των σημείων C, D,F,I στην πλευρά (ΘΗ) = α του κύβου (Α 6- Σχ.2). Συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε ότι: (DF) = x = α(2 2-1) 7 (1) και y = (ΙΗ) = α(4-2) 14 (2) Απόδειξη Από το σχήμα (Α 6-Σχ.2) έχουμε Όμοια y α = y = (DF) α = α(4-2) 14 (DF) = x = α(2 2-1) 7 Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι τα τετράγωνα και τα κανονικά οκτάγωνα που δημιουργούνται με την προηγούμενη γραφική κατασκευή έχουν ίσες πλευρές. Πράγματι, από τις (2), (3) και από το ορθογώνιο τρίγωνο ΙΗΥ έχουμε: (IY) = (DF) (ΙΥ) = (LS) = (DF) = (ΡT) Αποδείξαμε λοιπόν ότι το ημικανονικό πολύεδρο που δημιουργείται αποτελείται από τετράγωνα και οκτάγωνα με ίσες πλευρές. Προφανώς, ίσες πλευρές με τα προηγούμενα κανονικά πολύγωνα έχουν και τα εξάγωνα που ορίζονται από αυτά. Το μήκος των πλευρών όλων αυτών των πολυγώνων είναι: (DF) = x = α 6 = α(2 2-1) 7 Σε κάθε κορυφή του μεγάλου ρομβο-κυβοκτάεδρου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες από μία γωνία ενός τετραγώνου, ενός εξαγώνου και ενός οκταγώνου. Σχετικά με το πλήθος των εδρών του Α 6 παρατηρούμε ότι εφόσον οι κορυφές του μητρικού κύβου είναι οκτώ, τα εξάγωνα που αντιστοιχούν είναι επίσης οκτώ, ενώ τα έξι οκτάγωνα βρίσκονται στις έξι έδρες του κύβου. Η τελική μορφή του μεγάλου ρομβο-κυβοκταέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των κατάλληλων τμημάτων του κύβου, παρουσιάζεται στα σχήματα (Α 6-Σχ.4 και 5), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες και τις ακμές που δεν φαίνονται(α 6-Σχ.4), είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής (Α 6-Σχ.5). (3)

135 135

136 136 Α. Παράσταση Η πορεία λύσης καθώς και η σχεδίαση στις τρεις ορθές προβολές του μεγάλου ρομβο-κυβοκτάεδρου είναι παρόμοια με εκείνη του προηγούμενου μικρού. Χρησιμοποιείται και πάλι ως μητρικό κανονικό πολύεδρο κύβος με πλευρά 40, του οποίου μία έδρα βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 και έχει πλευρά // y 12. Λύση Η σχεδίαση των ορθών προβολών του ημικανονικού πολυέδρου στο σχήμα (Α 6-Σχ.6) έχει γίνει με απλή μεταφορά στις προβολές αυτές των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων του αξονομετρικού (Α 6-Σχ.1), διαιρώντας δηλαδή γραφικά με τον ίδιο τρόπο τις ορθές προβολές των ακμών του κύβου και φέρνοντας στη συνέχεια τις αντίστοιχες προς τις ακμές του κύβου παράλληλες ευθείες. Ο τρόπος διαίρεσης μιας ακμής του μητρικού κύβου φαίνεται στο σχήμα (Α 6-Σχ.6).

137 Στο σχήμα (Α 6-Σχ.7) δίνεται η τελική παράσταση του μεγάλου ρομβο-κυβοκτάεδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 6-Σχ.6), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του. Επιπλέον, έχει προστεθεί μία τέταρτη προβολή με άξονα y 14, με τη βοήθεια της οποίας το στερεό παρουσιάζεται με πολύ σαφέστερο τρόπο. 137

138 138 Β. Δίεδρες γωνίες Στο σχήμα (Α 6-Σχ.4) γίνεται φανερό ότι το μεγάλο ρομβο-κυβοκτάεδρο έχει τρία μεγέθη δίεδρων γωνιών, που σχηματίζονται μεταξύ των επιπέδων των όμορων πολυγώνων, δηλαδή μεταξύ εξαγώνου οκταγώνου, εξαγώνου τετραγώνου και τετραγώνου οκταγώνου. 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων εξαγώνου οκταγώνου Όπως φαίνεται στο αξονομετρικό (Α 6-Σχ.4) του ημικανονικού πολυέδρου Α 6, η ζητούμενη γωνία ω 1 δημιουργείται μεταξύ των επιπέδων του εξαγώνου 1,2,3,4,5,6 και του οκταγώνου που βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο ΑΒΓΔ και έχει κοινή πλευρά με το εξάγωνο την 12. Με μία αλλαγή (Α 6-Σχ.8), με άξονα y 13 κάθετο στην 1 2, η ακμή 12 γίνεται πρόσθια στο επίπεδο προβολής e 3. Η ζητούμενη αμβλεία γωνία ω 1 ορίζεται από τον y 13 και από το τρίτο ίχνος σ Θα υπολογίσουμε την συμπληρωματική γωνία φ: (P3 ) Z3 y y εφφ= = = = (1 P) (1 P) (1 P) (1 Σ) Επειδή η 6 3, λόγω της συμμετρίας του σχήματος, είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας στο 6, το τρίγωνο 1 Σ6 είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με υποτείνουσα (1 6 ) = y. Άρα: Από τις (1) και (2) έχουμε: εφφ= 2 (1) (1 Σ) = (1 6 ) ημ45 0 = y ημ45 0 (2) φ 54 0, ω 1 Η μέτρηση της γωνίας ω 1 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το ίδιο μέγεθος. 2. Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων εξαγώνου τετραγώνου 125 0, Θα υπολογίσουμε την αμβλεία γωνία ω 2 μεταξύ των επιπέδων του εξαγώνου 1,2,3,4,5,6 και του τετραγώνου 4,5,7,8 (Α 6-Σχ.4). Όπως φαίνεται από το σχήμα αυτό, αλλά και από την παράσταση του τετραγώνου στην πρώτη προβολή του στερεού (Α 6-Σχ.8), το επίπεδο του τετραγώνου είναι κατακόρυφο και επομένως: ω 2 = φ = ω 1 ω , Η μέτρηση της γωνίας ω 1 στο σχέδιο του Η/Υ δίνει το ίδιο μέγεθος. 3. Δίεδρη γωνία ω3 επιπέδων τετραγώνου οκταγώνου Η ζητούμενη γωνία ω 3 δημιουργείται από το επίπεδο ενός τετραγώνου και από το επίπεδο του όμορου δεκαγώνου (Α 6-Σχ.3). Όπως φαίνεται στο σχήμα (Α 6-Σχ.8) η γωνία ω 3 είναι: ω 3 = 135 0

139 139

140 140 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 6-Σχ.9) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Μεγάλου Ρομβο-κυβοκταέδρου με δύο τρόπους: ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 6. Το ανάπτυγμα (Α) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι το μισό του αναπτύγματος του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Α) αποτελείται από: 1. Ένα εξάγωνο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα οκτάγωνο, ένα εξάγωνο και δύο τετράγωνα, επαναλαμβανόμενο τρεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). Προφανώς δύο αναπτύγματα της μορφής αυτής, κατάλληλα προσαρμοσμένα, ορίζουν το σύνολο του στερεού. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 6. Το ανάπτυγμα (Β) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι ολόκληρο το ανάπτυγμα του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Β) αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα οκτάγωνο, δύο εξάγωνα και τρία τετράγωνα, επαναλαμβανόμενο τέσσερεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα εξάγωνα (ανοιχτό γκρι).

141 141

142 142

143 ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ Α7 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α7 ΟΝΟΜΑ ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α7 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 32 ( τριανταδίεδρο πρώτο από τρία) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 20 ΤΡΙΓΩΝΑ 12 ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 30 ΑΚΜΕΣ 60 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 4-ΕΔΡΗ ( 2 τρίγωνα 2 πεντάγωνα) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 24 0 ή 4 15 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω 142 0,62 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α7 ΤΟΥ Α7 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α7 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R7 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ ΟΓΚΟΣ Ο7 α7 = 1 α α R 7 = Ο = α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε7 Ε 2 7 = α

144 144 ΓΕΝΙΚΑ Το έβδομο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται εικοσιδωδεκάεδρο, συμβολίζεται Α 7 και είναι το πρώτο από τα τρία υπάρχοντα 32-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 32 (20 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα). Κορυφές: 30 Ακμές: 60 Για την κατασκευή του εικοσιδωδεκαέδρου έχει χρησιμοποιηθεί ως μητρικό πολύεδρο το κανονικό εικοσάεδρο και δημιουργήθηκε από αυτό ως εξής (Α 7-Σχ.1): Θεωρούμε τα μέσα των ακμών του κανονικού εικοσαέδρου, τα οποία αποτελούν κορυφές του νέου ημικανονικού πολυέδρου. Π.χ. το μέσον 1 της ακμής ΚΑ είναι μία κορυφή του στερεού αυτού. Εφόσον το κανονικό εικοσάεδρο έχει 30 ακμές, το Α 7 που προκύπτει από αυτό θα έχει 30 κορυφές. Από κάθε κορυφή Κ του εικοσαέδρου αποτέμνεται πυραμίδα με κορυφή το Κ και βάση κανονικό πεντάγωνο 1,2,3,4,5. Επειδή το εικοσάεδρο έχει 12 κορυφές, δημιουργούνται 12 πεντάγωνα, έδρες του Α 7. Τέλος, ενώνοντας τα μέσα των πλευρών κάθε μιας από τις 20 τριγωνικές έδρες του εικοσαέδρου, ορίζουμε τα 20 τρίγωνα του ημικανονικού, που βρίσκονται στις έδρες αυτές. Είναι προφανές ότι για την ακμή α 7 του ημικανονικού πολυέδρου ισχύει : α 7 = 1 α 2, όπου α η ακμή του μητρικού κανονικού εικοσαέδρου. Σε κάθε κορυφή του εικοσιδωδεκαέδρου δημιουργείται 4-εδρη στερεά γωνία, δύο έδρες της οποίας περιέχουν τις γωνίες τριγώνων και δύο έδρες τις γωνίες κανονικών πενταγώνων. Η τελική μορφή του εικοσιδωδεκαέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των πυραμίδων του εικοσαέδρου, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 7-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

145 145

146 146 Α. Παράσταση Η πορεία λύσης καθώς και η σχεδίαση στις τρεις ορθές προβολές του εικοσιδωδεκαέδρου εμφανίζεται στο σχήμα (Α 7- Σχ.3) Χρησιμοποιείται ως μητρικό κανονικό πολύεδρο κανονικό εικοσάεδρο, του οποίου μία κορυφή Λ ( Λ, Λ ) βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1. Το κανονικό πεντάγωνο Α, Β, Γ, Δ, Ε, με την βοήθεια του οποίου κατασκευάζεται το κανονικό εικοσάεδρο, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα R=40. Λύση Η σχεδίαση των ορθών προβολών του ημικανονικού πολυέδρου στο σχήμα (Α 7-Σχ.3) έχει γίνει με απλή μεταφορά στις προβολές αυτές των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων του αξονομετρικού (Α 7-Σχ.1). Οι κορυφές του ημικανονικού πολυέδρου Α 7 ονομάζονται με αριθμούς από το 1 έως το 30 και είναι τα μέσα όλων των ακμών του κανονικού εικοσαέδρου και στις τρεις ορθές προβολές. Παρατήρηση. Η ονομασία των κορυφών στο συγκεκριμένο πολύεδρο γίνεται με αριθμούς και όχι με γράμματα, εξαιτίας του μεγάλου πλήθους τους. Επιπλέον, σε όλες τις προβολές, για λόγους ευκολίας και καθαρότητας του σχεδίου, χρησιμοποιούνται οι αριθμοί αυτοί χωρίς τους ανάλογους τόνους. Οι προβολές π.χ. της κορυφής 1 εμφανίζονται παντού επίσης ως 1, αντί του σωστού 1, 1,1. Τον ίδιο συμβολισμό θα ακολουθήσουμε και στα υπόλοιπα πολύεδρα, όταν αυτό είναι αναγκαίο.

147 147

148 148 Στο σχήμα (Α 7-Σχ.4) δίνεται η τελική παράσταση του εικοσιδωδεκαέδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 7- Σχ.3), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του. Στο τελικό αυτό σχήμα έχει γίνει μεταφορά του στερεού, έτσι ώστε το επίπεδο της πενταγωνικής έδρας 6, 7, 8, 9, 10 του κατασκευασμένου ημικανονικού πολυέδρου να ταυτιστεί με το οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1. Β. Δίεδρη γωνία ω Μία δίεδρη γωνία ω του ημικανονικού πολυέδρου Α 7 είναι και η γωνία που δημιουργείται μεταξύ των εδρών του κανονικού πενταγώνου 1, 2, 3, 4, 5 και του όμορου ισόπλευρου τριγώνου 3, 4, 11, όπως φαίνεται στο αξονομετρικό σχέδιο (Α 7-Σχ.1). Στις προβολές, επειδή η ακμή 4, 3 είναι - από την αρχική τοποθέτηση του θέματος - κάθετη στον y 12 (Α 7-Σχ.3), τα επίπεδα που την περιέχουν είναι πρόσθια (κάθετα στο e 2). Άρα: ˆ ω = Η μέτρηση της δίεδρης γωνίας ω στο σχέδιο του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω 142 0, Παρατήρηση. Είναι προφανές ότι εφόσον η έδρα 1, 2, 3, 4, 5 είναι οριζόντια, η ζητούμενη δίεδρη γωνία ω ισούται και με την αμβλεία γωνία που σχηματίζει το επίπεδο του ισόπλευρου ΚΔ 1Γ 1 με το οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 (Α 7-Σχ.1). ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ Η γωνία ω ισούται με την γωνία ω 2 που δημιουργείται στο επόμενο ημικανονικό πολύεδρο Α 8, μεταξύ δύο εδρών, ενός πενταγώνου και ενός εξαγώνου. Στο πολύεδρο αυτό βρίσκεται υπολογιστικά ότι: εφω = 5-3 ω ,

149 149

150 150 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 7-Σχ.5) έχει σχεδιαστεί σε σμίκρυνση το ανάπτυγμα του Εικοσιδωδεκαέδρου. Το σχέδιο είναι μικρότερο του πραγματικού, για να γίνει δυνατή η τοποθέτησή του στις διαστάσεις του χαρτιού. Παρατηρούμε ότι το ανάπτυγμα του πολυέδρου αυτού αποτελείται από: 1. Ένα πεντάγωνο στο κέντρο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει δύο πεντάγωνα και τέσσερα τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές ( είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 3. Ένα ανεξάρτητο πεντάγωνο (σκούρο γκρι).

151 151

152 152

153 ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ Α8 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α8 ΟΝΟΜΑ ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α8 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 32 ( τριανταδίεδρο δεύτερο από τρία) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 20 ΕΞΑΓΩΝΑ 12 ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 60 ΑΚΜΕΣ 90 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 1 πεντάγωνο 2 εξάγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 12 0 ή 2 15 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω ,18 ω ,62 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α8 ΤΟΥ Α8 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α8 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R8 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α8 = 1 α 3 α R 8 = 2 2 ΟΓΚΟΣ Ο8 Ο = α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε8 Ε 2 8 = α

154 154 ΓΕΝΙΚΑ Το όγδοο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται κολοβό ή κόλουρο εικοσάεδρο, συμβολίζεται Α 8 και είναι το δεύτερο από τα τρία υπάρχοντα 32-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 32 (20 εξάγωνα και 12 πεντάγωνα). Κορυφές: 60 Ακμές: 90 Το κολοβό εικοσάεδρο έχει, όπως και το προηγούμενο Α 7, ως μητρικό πολύεδρο το κανονικό εικοσάεδρο, του οποίου οι ακμές, για την περίπτωση του Α 8, διαιρούνται σε τρία ίσα τμήματ στην περίπτωση του Α 7 σε δύο. Το σύνολο των 60 σημείων που δημιουργούνται είναι κορυφές του νέου στερεού, όπως π.χ. οι κορυφές Κ 1, Κ 2 και Κ 3, για τις οποίες ισχύει: 1 1 ΚΚ 1 = K1K 3 = Κ3Γ 1 = K1K 2 = α 8 = ΚΓ 1 = α όπου ΚΓ 1 = α η ακμή του μητρικού κανονικού εικοσαέδρου. 3 3 Προφανώς κάθε τρίγωνο της μορφής ΚΚ 1Κ 2 είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Σε κάθε κορυφή του κολοβού εικοσαέδρου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, δύο έδρες της οποίας περιέχουν τις γωνίες εξαγώνων και μία τη γωνία πενταγώνου. Επειδή οι κορυφές του κανονικού εικοσαέδρου είναι δώδεκα, τα πεντάγωνα είναι επίσης δώδεκα, ενώ τα εξάγωνα είναι είκοσι, αφού το κάθε ένα ανήκει σε μία μόνο από τις είκοσι έδρες του κανονικού εικοσαέδρου. Το στερεό που προκύπτει με την απότμηση των δώδεκα πυραμίδων από το μητρικό κανονικό εικοσάεδρο, έχει την μορφή που παρουσιάστηκε ήδη σε αξονομετρική προβολή και, όπως αναφέρθηκε ήδη στη σελίδα 68, αποτελεί την βάση για την δημιουργία της μπάλας ποδοσφαίρου.

155 155

156 156 Α. Παράσταση Το κολοβό εικοσάεδρο παριστάνεται σε τρεις ορθές προβολές στο σχήμα (Α 8-Σχ.3), το οποίο προέκυψε από το σχήμα (ΕΙ-Σχ.3), όπου φαίνεται η κατασκευή ενός κανονικού εικοσαέδρου. Λύση Η σχεδίαση στο σχήμα (Α 8-Σχ.3) γίνεται ως εξής: α. Διαιρούμε κάθε ακμή του κανονικού εικοσαέδρου που παριστάνεται (ΕΙ-Σχ.3), σε τρία ίσα μέρη. Τα σημεία διαίρεσης θα αποτελέσουν κορυφές του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου. β. Συνδέουμε κατάλληλα τα σημεία αυτά, με τη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα (Α 8-Σχ.1), εμφανίζοντας τις δώδεκα πενταγωνικές τομές του μητρικού κανονικού εικοσαέδρου, καθώς και τις δημιουργούμενες, ως υπόλοιπα, είκοσι εξαγωνικές έδρες, στις τρεις ορθές προβολές. Στο σχήμα (Α 8-Σχ.3) είναι τονισμένο ιδιαίτερα το οριζόντιο αποτέμνον επίπεδο με δεύτερο ίχνος σ 2, το οποίο δίνει ως τομή το κανονικό πεντάγωνο που αντιστοιχεί στην κορυφή Κ. Όπως είναι προφανές από τα στοιχεία κατασκευής του μητρικού Κανονικού Εικοσαέδρου, η υψομετρική διαφορά του αποτέμνοντος επιπέδου από την αντίστοιχη κορυφή Κ είναι : 1 Κ Σ = λ 3 10.

157 157

158 158 Η τελική μορφή του θέματος (Α 8-Σχ.4) έχει συμπληρωθεί με την κατάλληλη διάκριση, σε ορατές και καλυμμένες, των πλευρών των κανονικών πενταγώνων και εξαγώνων του ημικανονικού αυτού πολυέδρου και στις τρεις προβολές. Στο σχήμα αυτό το ημικανονικό πολύεδρο Α 8 έχει μεταφερθεί, όπως ακριβώς και το προηγούμενο Α 7, έτσι ώστε το επίπεδο της οριζόντιας πενταγωνικής έδρας του με το μικρότερο υψόμετρο να ταυτιστεί με το οριζόντιο επίπεδο προβολής. Β. Δίεδρες γωνίες Στο κολοβό εικοσάεδρο δημιουργούνται άνισες δίεδρες γωνίες με μέγεθος ω 1 και ω 2 αντίστοιχα. 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων εξαγώνου εξαγώνου Η δίεδρη γωνία ω 1 είναι αποτέλεσμα της τομής των επιπέδων των εξαγωνικών εδρών του ημικανονικού πολυέδρου, άρα, στη συγκεκριμένη περίπτωση, και των επιπέδων των εδρών του μητρικού κανονικού εικοσαέδρου από το οποίο προέρχεται, αφού συμπίπτουν με αυτές. Στο σχήμα (Α 8-Σχ.3) η πρόσθια (κάθετη στο e 2) ακμή ΗΘ είναι τομή δύο επιπέδων της μορφής αυτής, έχοντας ως συνέπεια το πραγματικό μέγεθος της γωνίας ω 1 να εμφανίζεται στη δεύτερη προβολή. Είναι γνωστό από το κανονικό εικοσάεδρο ότι : 5 συνω 1 = - ω , Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων πενταγώνου εξαγώνου Η δίεδρη γωνία ω 2 είναι αποτέλεσμα της τομής των επιπέδων μιας εξαγωνικής και μιας πενταγωνικής έδρας. Όπως και στην προηγούμενη δίεδρη ω 1, παρατηρούμε στο σχήμα (Α 8-Σχ.3) ότι η ακμή ΜΝ είναι πρόσθια, αφού Μ Ν, ορίζοντας την τομή δύο επιπέδων της μορφής αυτής. Επομένως, το πραγματικό μέγεθος της γωνίας ω 2, διαφορετικού μεγέθους από την ω 1, εμφανίζεται ομοίως στη δεύτερη προβολή ως ω 2 = Θα δείξουμε: εφω 2 = 5-3 Απόδειξη ˆ Σ Μ Η Από το ορθογώνιο τρίγωνο Κ ΡΗ στη δεύτερη προβολή του (Α 8-Σχ.3) έχουμε: Είναι: εφφ = εφω 2 = -εφφ (1) Κ Ρ ΡΗ (2) Είναι ακόμη: R( 5-1) (Κ Ρ) = λ 10 = 2 και R( 5 + 1) (ΡΗ ) = (Κ Τ) = α 5 = 4 Από τις σχέσεις (1) έως (4) προκύπτει η ζητούμενη: εφω 2 = 5-3 ω , (3) (4)

159 159

160 160 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 8-Σχ.5) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Κολοβού Εικοσαέδρου με δύο τρόπους: ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 8. Το ανάπτυγμα (Α) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι το μισό του αναπτύγματος του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Α) αποτελείται από: 1. Ένα εξάγωνο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει τρία εξάγωνα και δύο πεντάγωνα, επαναλαμβανόμενο τρεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). Προφανώς δύο αναπτύγματα της μορφής αυτής, κατάλληλα προσαρμοσμένα, ορίζουν το σύνολο του στερεού. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 6. Το ανάπτυγμα (Β) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι ολόκληρο το ανάπτυγμα του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Β) αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει τέσσερα εξάγωνα και δύο πεντάγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα πεντάγωνα (ανοιχτό γκρι).

161 161

162 162

163 ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ Α9 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α9 ΟΝΟΜΑ ΚΟΛΟΒΟ ή ΚΟΛΟΥΡΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α9 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 32 ( τριανταδίεδρο τρίτο από τρία ) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 20 ΤΡΙΓΩΝΑ 12 ΔΕΚΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 60 ΑΚΜΕΣ 90 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 1 τρίγωνο 2 δεκάγωνα ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 12 0 ή 2 15 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω ,56 ω ,62 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α9 ΤΟΥ Α9 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α9 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R9 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α9 = 5 α 5 α R 9 = ΟΓΚΟΣ Ο9 3 Ο = α 9 9 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε9 Ε 2 9 = α

164 164 ΓΕΝΙΚΑ Το ένατο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται κολοβό ή κόλουρο δωδεκάεδρο, συμβολίζεται Α 9 και είναι το τρίτο από τα τρία υπάρχοντα 32-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 32 (20 τρίγωνα και 12 δεκάγωνα). Κορυφές: 60 Ακμές: 90 Στο συγκεκριμένο πολύεδρο οι κορυφές θα ονομάζονται με αριθμούς, όπως και στο Α 7, από το 1 έως το 60. Για την κατασκευή του κολοβού δωδεκαέδρου έχει χρησιμοποιηθεί προφανώς ως μητρικό πολύεδρο το κανονικό δωδεκάεδρο. Οι κορυφές του ημικανονικού πολυέδρου Α 9 ορίζονται ως σημεία στις ακμές του μητρικού, οι οποίες διαιρούνται κατάλληλα σε τρία τμήματα, ως εξής (Α 9-Σχ.1): Από μία κορυφή του κανονικού δωδεκαέδρου, έστω την Α 3, φέρνουμε τυχαία ευθεία ε στο χώρο, επί της οποίας τοποθετούμε διαδοχικά τμήματα Α 3Η = 1μονάδα, ΗΘ = στην ακμή Α 3Ε 3 από τις ευθείες ΙΕ 3 // Θ59 // Η48. Από την παραπάνω κατασκευή προκύπτει η αναλογία: οπότε, η πλευρά α 9 του ημικανονικού πολυέδρου Α 9 είναι: α μ, ΘΙ = 1μ. Οι κορυφές 48 και 59 προκύπτουν επάνω α = α 9 = α 5 5, όπου α η πλευρά του μητρικού κανονικού δωδεκαέδρου. Το ημικανονικό πολύεδρο Α 9 δημιουργείται με απότμηση είκοσι πυραμίδων, κάθε μία από τις οποίες έχει κορυφή μία από τις κορυφές του κανονικού δωδεκαέδρου. Σε κάθε κορυφή του κολοβού δωδεκαέδρου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, δύο έδρες της οποίας περιέχουν τις γωνίες δεκαγώνου και μία τη γωνία ισοπλεύρου τριγώνου. Τα δεκάγωνα είναι δώδεκα, διότι το κάθε ένα ανήκει σε μία μόνο από τις δώδεκα έδρες του κανονικού δωδεκαέδρου, ενώ τα τρίγωνα είκοσι, αφού το καθένα είναι βάση της πυραμίδας που αποτέμνεται από τις είκοσι κορυφές του δωδεκαέδρου. Η τελική μορφή του κολοβού δωδεκαέδρου σε αξονομετρική προβολή, όπως προκύπτει μετά την αφαίρεση των πυραμίδων του δωδεκαέδρου, παρουσιάζεται στο σχήμα (Α 9-Σχ.2), είτε εμφανίζοντας με διακεκομμένες τις ακμές που δεν φαίνονται, είτε παρουσιάζοντας μόνο τις ακμές εκείνες που βλέπει ο παρατηρητής, κατά την διεύθυνση της συγκεκριμένης αξονομετρικής προβολής.

165 165

166 166 Α. Παράσταση Το κολοβό δωδεκάεδρο έχει σχεδιαστεί σε δύο ορθές προβολές στο σχήμα (Α 9-Σχ.3), το οποίο προέκυψε από το σχήμα (ΔΩ-Σχ.5), όπου φαίνεται η κατασκευή ενός κανονικού δωδεκαέδρου. Λύση Η σχεδίαση στο σχήμα (Α 9-Σχ.3) γίνεται ως εξής : α. Διαιρούμε κάθε ακμή του κανονικού δωδεκαέδρου που παριστάνεται στο σχήμα (ΔΩ-Σχ.5), όπως περιγράψαμε στην παραπάνω γραφική λύση. Τα σημεία διαίρεσης θα αποτελέσουν κορυφές του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου. β. Συνδέουμε κατάλληλα τα σημεία αυτά εμφανίζοντας τις είκοσι τριγωνικές τομές του μητρικού κανονικού δωδεκαέδρου, καθώς και τις δημιουργούμενες, ως υπόλοιπα, δώδεκα δεκαγωνικές έδρες, στις τρεις ορθές προβολές.

167 167

168 168 Στα επόμενα δύο σχήματα έχει παρασταθεί το ίδιο θέμα σε άλλη κλίμακα. Στο σχήμα (Α 9-Σχ.4) παρουσιάζονται τρεις προβολές του πολυέδρου, με πλήρη διάκριση των ακμών του σε ορατές και καλυμμένες, χωρίς όμως την ταυτόχρονη παράσταση του μητρικού δωδεκαέδρου.

169 Στο σχήμα (Α 9-Σχ.5) παριστάνεται το πολύεδρο στις ίδιες τρεις προβολές, στις οποίες όμως τώρα εμφανίζεται μόνο με τις ορατές ακμές του. Β. Δίεδρες γωνίες Στο κολοβό δωδεκαέδρο δημιουργούνται άνισες δίεδρες γωνίες με μέγεθος ω 1 και ω 2 αντίστοιχα. 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων δεκαγώνου δεκαγώνου Προφανώς, η γωνία ω 1 μεταξύ δύο όμορων δεκαγωνικών εδρών ισούται με την γωνία που σχηματίζουν τα επίπεδα του κανονικού δωδεκαέδρου, από το οποίο προέρχεται. Επομένως: συνω 1 = ω , Στο σχήμα (Α 9-Σχ.5) η πρόσθια (κάθετη στο e 2) ακμή των κορυφών 47 και 50 είναι τομή δύο όμορων δεκαγωνικών εδρών, έχοντας ως συνέπεια το πραγματικό μέγεθος της γωνίας ω 1 να δίνεται στη δεύτερη προβολή. Η μέτρηση της γωνίας ω 1 με τον Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση το παραπάνω μέγεθος. 2. Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τριγώνου δεκαγώνου Έστω ω 2 η δίεδρη γωνία μεταξύ δύο όμορων εδρών, του δεκαγώνου που βρίσκεται στο επάνω οριζόντιο επίπεδο του πολυέδρου και του τριγώνου με κορυφές 55, 56, 57. Τα δύο πολύγωνα έχουν κοινή πλευρά την 56, 57, η οποία είναι πρόσθια, με συνέπεια το πραγματικό μέγεθος της γωνίας ω 1 να δίνεται στη δεύτερη προβολή. Η μέτρηση της γωνίας ω 2 με τον Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω , Παρατηρούμε ότι η γωνία αυτή ισούται αφενός με την γωνία ω του ημικανονικού πολυέδρου Α 7 και αφετέρου με την ω 2 του ημικανονικού πολυέδρου Α

170 170 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 9-Σχ.6) έχει σχεδιαστεί στην περίπτωση (Α) το μισό του αναπτύγματος του Κολοβού Δωδεκαέδρου, ενώ στην περίπτωση (Β) ολόκληρο. Το σχέδιο είναι μικρότερο του πραγματικού, για να γίνει δυνατή η τοποθέτησή του στις διαστάσεις του χαρτιού.

171 171

172 172

173 ΑΜΒΛΥΣ ή ΣΤΡΕΒΛΟΣ ΚΥΒΟΣ Α10 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α10 ΟΝΟΜΑ ΑΜΒΛΥΣ ή ΣΤΡΕΒΛΟΣ ΚΥΒΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α10 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 38 ( τριανταοκτάεδρο) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 32 ΤΡΙΓΩΝΑ 6 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 24 ΑΚΜΕΣ 60 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΚΥΒΟΣ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 5-ΕΔΡΗ ( 4 τρίγωνα 1 τετράγωνο ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 30 0 ή 1 3 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω ,98 ω ,23 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α10 ΤΟΥ Α10 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α10 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R10 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α10 0, α α10 2 α10 R 10 = 2, x 2 όπου x= ή προσεγγιστικά x 0, Το x είναι μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης : 3 2 7x + x - 3x - 1 = 0 Βλέπε [5], [16]

174 174 ΓΕΝΙΚΑ Το δέκατο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται αμβλύς ή στρεβλός κύβος, συμβολίζεται Α 10 και είναι το μοναδικό 38-εδρο (Α 10-Σχ.1). Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 38 (32 τρίγωνα και 6 τετράγωνα). Κορυφές: 24 Ακμές: 60 Στο συγκεκριμένο πολύεδρο, στο οποίο έχει χρησιμοποιηθεί ως μητρικό ο κύβος, οι εικοσιτέσσερεις κορυφές ονομάζονται με αριθμούς, όπως και στα ημικανονικά Α 7, Α 9, από το 1 έως το 24. Στο σχήμα (Α 10-Σχ.2) εμφανίζεται σε αξονομετρική προβολή το στερεό με αριθμημένες όλες τις κορυφές του και κατάλληλα συνδεδεμένες ώστε να δημιουργηθούν οι 60 ακμές του.

175 175

176 176 Κάθε μία από τις έξι τετραγωνικές έδρες του στρεβλού κύβου βρίσκεται αντίστοιχα σε μία έδρα του μητρικού κύβου. Π.χ. η τετραγωνική έδρα 1, 2, 3, 4 του ημικανονικού πολυέδρου βρίσκεται στο επίπεδο του τετραγώνου ΑΒΓΔ του κύβου (Α 10-Σχ.3). Αποδεικνύεται ότι η τοποθέτηση αυτή στο επίπεδο της έδρας ΑΒΓΔ κύβου με πλευρά α= 60 γίνεται ως εξής(α 10- Σχ.4): 1. Γράφουμε κύκλο (Κ, ρ), όπου Κ το κέντρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ και ρ 0, R. R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στην συγκεκριμένη περίπτωση ρ 18, Είναι: 2. Φέρνουμε παράλληλη ευθεία ε στην διαγώνιο ΑΓ του τετραγώνου ΑΒΓΔ σε απόσταση: β Στη συγκεκριμένη περίπτωση β 17, , R 60 R = 2 2 Η ευθεία αυτή τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία 3 και 3, διότι β < ρ, δίνοντας δύο λύσεις στο πρόβλημα. Υπάρχουν δύο λύσεις και για την ευθεία ε, που είναι προφανώς συμμετρικές ως προς την ΑΓ. Εδώ έχει σχεδιαστεί μόνο η μία. 3. Με κορυφή, έστω την 3, κατασκευάζουμε τετράγωνο 1234, επάνω στην έδρα του κύβου ΑΒΓΔ. 4. Με ανάλογο τρόπο ορίζουμε τα υπόλοιπα πέντε τετράγωνα του στρεβλού κύβου, επί των αντίστοιχων εδρών του μητρικού κύβου. Π.χ. στο επίπεδο του όμορου τετραγώνου ΒΖΗΓ, που έχει κοινή ακμή με το ΑΒΓΔ τη ΒΓ, κατασκευάζουμε με τον ίδιο τρόπο το τετράγωνο 13, 14, 15, 16 (Α 10-Σχ.5). Επειδή υπάρχουν και στην περίπτωση αυτή δύο λύσεις, θα πρέπει η τοποθέτηση του δεύτερου τετραγώνου 13, 14, 15, 16 επάνω στην έδρα ΒΖΗΓ, σε σχέση με το πρώτο τετράγωνο 1, 2, 3, 4, να γίνει με συγκεκριμένο τρόπο, ως εξής: Προεκτείνουμε την πλευρά 3, 4, η οποία τέμνει την ακμή ΑΒ του κύβου στο Λ. Ανάλογα, η προέκταση της πλευράς 14,15 τέμνει τη ΒΓ στο Ν. Πρέπει: ΒΛ = ΒΝ. Όμοια, η πλευρά 2, 3 τέμνει σε προέκταση την ΒΓ στο Σ, ενώ η πλευρά 16, 13 επίσης τη ΒΓ στο Τ. Είναι ΒΣ = ΓΤ. Τέλος, η πλευρά 1, 4 δίνει στη ΒΓ το σημείο Ρ. Είναι ΒΝ = ΓΡ. Παρατήρηση 1.Η δεύτερη λύση 3 (Α 10-Σχ.4) οδηγεί σε δεύτερο τετράγωνο και επομένως σε δεύτερο 38-εδρο, το οποίο διαφέρει από το πρώτο μόνο ως προς την τοποθέτησή του στο χώρο, σε σχέση με τον κύβο. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια το κατασκευαζόμενο δεύτερο 38-εδρο να μην θεωρείται ως δεύτερη διακεκριμένη λύση. Τα δύο ημικανονικά πολύεδρα που συσχετίζονται με τον τρόπο αυτό, όπως και άλλα ανάλογα σχήματα, ονομάζονται εναντιόμορφα πολύεδρα. Επίσης, όπως ήδη αναφέρθηκε, η ευθεία ε έχει και δεύτερη λύση, συμμετρική ως προς την ΑΓ. Η λύση αυτή όμως δίνει προφανώς, στη συνέχεια της κατασκευής, τα ίδια δύο τετράγωνα με τα προηγούμενα, αφού μία κορυφή τους θα είναι το σημείο 1 ή το 1 αντίστοιχα, που είναι ήδη κορυφές των τετραγώνων που δημιουργήθηκαν από την πρώτη λύση της ευθείας ε.

177 177

178 178 Παρατήρηση 2.Η παραπάνω περιγραφή του συσχετισμού των δύο τετραγώνων 1, 2, 3, 4 και 13, 14, 15, 16 προσφέρει προφανώς έναν δεύτερο τρόπο κατασκευής των υπολοίπων πέντε τετραγώνων, κατάλληλα συσχετισμένων το ένα προς το άλλο. Δηλαδή, αντί να σχεδιάζουμε κάθε φορά έναν κύκλο, μέσα στον οποίο θα εγγράψουμε κατάλληλα το τετράγωνο, έδρα του ζητούμενου ημικανονικού πολυγώνου, βρίσκουμε στις ακμές του μητρικού κύβου σημεία ανάλογα προς τα Ν, Σ, Τ, Ρ. Τα τετράγωνα προκύπτουν με κατάλληλη σύνδεσή τους που περιγράφεται στο επόμενο σχήμα (Α 10-Σχ.6). Παρατήρηση 3. Αποδεικνύεται ότι οι προεκτάσεις των πλευρών των ζητούμενων τετραγώνων τέμνουν τις αντίστοιχες ακμές του μητρικού κύβου πλευράς α σε τρία τμήματα μήκους κατά σειρά (Α 10-Σχ.6): 0, α 0, α 0, α. Η γνώση των μηκών αυτών δίνει την δυνατότητα πλέον μιας εύκολης κατασκευής του εκάστοτε τετραγώνου του ημικανονικού πολυέδρου στην αντίστοιχη έδρα του κύβου και ταυτόχρονα δίνει έναν εύκολο κανόνα για την σχετική τοποθέτηση των πέντε τετραγώνων που υπολείπονται και ανήκουν στο ίδιο ημικανονικό πολύεδρο και όχι στο εναντιόμορφο, μετά την κατασκευή του πρώτου τετραγώνου. Πράγματι, όπως προέκυψε από την περιγραφή της κατασκευής του πρώτου ζητούμενου τετραγώνου, η διαίρεση των πλευρών του τετραγώνου του μητρικού στερεού σε τρία τμήματα με τα παραπάνω μεγέθη γίνεται πάντοτε με την ίδια σειρά. Δηλαδή, εάν σε μία πλευρά το πρώτο τμήμα έχει μήκος 0, α, στην αμέσως επόμενη πλευρά του ίδιου τετραγώνου το πρώτο τμήμα θα έχει το ίδιο μήκος. Το τμήμα μήκους 0, α είναι πάντοτε τοποθετημένο μεταξύ των δύο άλλων τμημάτων, σε κάθε πλευρά του τετραγώνου του μητρικού κύβου. Παρατηρούμε ακόμη ότι κάθε πλευρά οποιουδήποτε ζητούμενου τετραγώνου - π.χ. η 2,3 του 1,2,3,4 - βρίσκεται πάντοτε σε ευθεία που συνδέει σημεία Κ και Σ των απέναντι παράλληλων ακμών ΑΔ και ΒΓ, όπου ΑΚ ΒΣ. Παρατήρηση 4. Όλες οι κατασκευές αυτές έγιναν, όπως άλλωστε και όλα τα υπόλοιπα σχέδια, με τη χρήση Η/Υ, επιτυγχάνοντας αποτελέσματα εξαιρετικής ακρίβειας. Σε κάθε κορυφή του στρεβλού κύβου δημιουργείται 5-εδρη στερεά γωνία (Α 10-Σχ.7), τέσσερεις έδρες της οποίας περιέχουν τις γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου και μία τη γωνία τετραγώνου. Στο σχήμα (Α 10-Σχ.7) δίνεται μία αξονομετρική προβολή του πολυέδρου αυτού, στην οποία είναι σχεδιασμένες μόνο οι ακμές που φαίνονται.

179 179

180 180 Α. Παράσταση Στο σχήμα (Α 10-Σχ.8) παριστάνεται σε τρεις ορθές προβολές ημικανονικό 38-εδρο, του οποίου μητρικό κανονικό πολύεδρο είναι ο κύβος πλευράς 60. Μία έδρα του κύβου βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 και έχει πλευρά // y 12. Λύση Η σχεδίαση στο σχήμα (Α 10-Σχ.8) των ορθών προβολών του ημικανονικού πολυέδρου και του μητρικού κύβου έχει γίνει με απλή μεταφορά στις προβολές αυτές των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων των αξονομετρικών (Α 10-Σχ.5 και 6), ως εξής: Ι. Σχεδίαση τετραγώνων Σχεδιάστηκαν σε ορθές προβολές τα έξι τετράγωνα του ημικανονικού πολυέδρου, όπως περιγράψαμε παραπάνω και συγκεκριμένα: 1. Το τετράγωνο 9, 10, 11, 12 σχεδιάστηκε στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1, ενώ το τετράγωνο 13, 14, 15, 16 τοποθετήθηκε στην άνω οριζόντια έδρα του κύβου. Τα τετράγωνα αυτά εμφανίζονται σε πραγματικό μέγεθος και θέση στην πρώτη προβολή του πολυέδρου και ο ορισμός τους έγινε με τη βοήθεια του κύκλου και της ευθείας ε που περιγράψαμε προηγουμένως. Παρατηρούμε στην πρώτη προβολή ότι οι κορυφές 10 και 15 είναι οι δύο λύσεις που δίνει η ευθεία ε επάνω στον κύκλο. Πρέπει να σημειώσουμε ότι εάν θεωρήσουμε ως πρώτη κορυφή του σχεδιαζόμενου ημικανονικού πολυέδρου την κορυφή 10, η κορυφή 15 στην πρώτη προβολή ανήκει στο ίδιο ημικανονικό πολύεδρο και μάλιστα στην παράλληλη έδρα του και όχι στο εναντιόμορφο, το οποίο θα είχε ως πρώτη κορυφή το 15 και θα ήταν η δεύτερη λύση. 2. Τα τετράγωνα 1, 2, 3, 4 και 5, 6, 7, 8 τοποθετήθηκαν με τον ίδιο τρόπο στις μετωπικές έδρες του κύβου, σχεδιάζοντας τα πραγματικά μεγέθη και θέση τους στην δεύτερη προβολή του πολυέδρου. 3. Τέλος, τα δύο τελευταία τετράγωνα 17, 18, 19, 20 και 21, 22, 23, 24 βρίσκονται στις δύο εγκάρσιες έδρες του κύβου, παρουσιάζοντας τα πραγματικά μεγέθη και τη θέση τους στην τρίτη προβολή. ΙΙ. Σχεδίαση ισόπλευρων τριγώνων Συνδέουμε τις 24 κορυφές του ημικανονικού πολυέδρου (Α 10-Σχ.8) σε τρεις προβολές, με τον τρόπο που έχει γίνει στο αξονομετρικό του (Α 10-Σχ.2), δημιουργώντας το σύνολο των ακμών του στρεβλού κύβου και ταυτόχρονα ορίζοντας τα υπόλοιπα 32 ισόπλευρα τρίγωνα του στερεού αυτού.

181 181

182 182 Στο σχήμα (Α 10-Σχ.9) παρουσιάζονται οι ορθές προβολές μόνο του στρεβλού κύβου, χωρίς τον μητρικό κύβο και τις γεωμετρικές κατασκευές με τις οποίες δημιουργήθηκε.

183 Β. Δίεδρες γωνίες Στο Στρεβλό κύβο δημιουργούνται άνισες δίεδρες γωνίες οι αντίστοιχες επίπεδες των οποίων έχουν μέγεθος ω 1 και ω 2, τις οποίες θα βρούμε γραφικά εφαρμόζοντας μεθόδους Παραστατικής Γεωμετρίας (Monge). 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων τετραγώνου τριγώνου Θα βρούμε με αλλαγή, μετρώντας στο σχέδιο, το μέγεθος της αντίστοιχης επίπεδης γωνίας ω 1 των εδρών, αφενός του τετραγώνου 9, 10, 11, 12 και αφετέρου του τριγώνου 1, 9, 12 ως εξής (Α 10-Σχ.10): α. Επειδή η κοινή ακμή 9,12 ανήκει στο οριζόντιο επίπεδο e 1, τα δυο επίπεδα των εδρών μπορούν να γίνουν με μια αλλαγή πρόσθια σε νέο επίπεδο προβολής. Φέρνουμε λοιπόν άξονα y 13 κάθετο στην ακμή 9,12 και ορίζουμε με τα υψόμετρά τους τα σημεία 9 12 και 1. β. Η γωνία ω 1 είναι η σημειωμένη στο σχήμα. Η μέτρηση της γωνίας ω 1 με το πρόγραμμα του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω ,

184 Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τριγώνου τριγώνου Έστω ω 2 η αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης γωνίας μεταξύ δύο όμορων εδρών, του τριγώνου με κορυφές 3,13,14 και του τριγώνου 3,13,4. Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή πλευρά την 3,13, η οποία όμως, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, είναι τυχαία, με συνέπεια να απαιτούνται δυο αλλαγές ώστε τα δυο επίπεδα των εδρών να μπορούν να γίνουν πρόσθια σε νέο επίπεδο προβολής. Εργαζόμαστε λοιπόν ως εξής(α 10-Σχ.11): α. Φέρνουμε πρώτον άξονα y 13 παράλληλο στην ακμή 3,13 και ορίζουμε με τα υψόμετρά τους τα σημεία 3,13 6 και 14. Σχεδιάζουμε τα τρίγωνα 3,13,4 και 3,13,14. β. Φέρνουμε δεύτερο άξονα y 34 κάθετο στην ακμή 3,13 και με τα +υ βρίσκουμε τα 3 13 και 4, 14. γ. Η γωνία ω 2 είναι η σημειωμένη στο σχήμα. Η μέτρηση της γωνίας ω 2 με το πρόγραμμα του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω ,

185 185 Β. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 10-Σχ.12) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Στρεβλού κύβου με δύο τρόπους. Το σχέδιο έχει μέγεθος 1 2 του πραγματικού, για να γίνει δυνατή η τοποθέτησή του στις διαστάσεις του χαρτιού. ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 10. Το ανάπτυγμα (Α) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι το μισό του αναπτύγματος του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Α) αποτελείται από: 1. Ένα τετράγωνο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει τέσσερα τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο τέσσερεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 3. Δυο ανεξάρτητα τετράγωνα (ανοιχτό γκρι). Προφανώς δύο αναπτύγματα της μορφής αυτής, κατάλληλα προσαρμοσμένα, ορίζουν το σύνολο του στερεού. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 10. Το ανάπτυγμα (Β) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι ολόκληρο το ανάπτυγμα του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Β) αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα τετράγωνο, έξι τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο τέσσερεις φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα σχήματα, αποτελούμενα από ένα τετράγωνο και τέσσερα τρίγωνα (ανοιχτό γκρι).

186 186

187 ΜΙΚΡΟ ΡΟΜΒΟ ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ή ΡΟΜΒΙΚΟ ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ Α11 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α11 ΟΝΟΜΑ ΜΙΚΡΟ ΡΟΜΒΟ - ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α11 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 62 ( εξηνταδίεδρο πρώτο από δύο) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 20 ΤΡΙΓΩΝΑ 30 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 12 ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 60 ΑΚΜΕΣ 120 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 4-ΕΔΡΗ (1 τρίγωνο 2 τετράγωνα 1 πεντάγωνο) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 12 0 ή 2 15 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω ,07 ω ,28 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α11 ΤΟΥ Α11 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α11 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R11 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α 11 = α α R 11 = ΟΓΚΟΣ Ο11 Ο 11 = α11 3 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε11 Ε 11 = α

188 188 ΓΕΝΙΚΑ Το ενδέκατο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται Μικρό ρομβο-εικοσιδωδεκάεδρο, συμβολίζεται Α 11 και είναι το πρώτο από τα δύο υπάρχοντα 62-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 62 (20 τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 πεντάγωνα). Κορυφές: 60 Ακμές: 120 Στο πρώτο από τα σχήματα (Α 11-Σχ.1 και 2)δίνεται η μορφή του στερεού όπως φαίνεται σε μία αξονομετρική προβολή του, στην οποία έχουν σχεδιαστεί μόνο οι ορατές ακμές, ενώ στο δεύτερο, έχουν σχεδιαστεί επιπλέον με διακεκομμένες γραμμές οι ακμές του πολυέδρου που δεν φαίνονται.

189 Στο Μικρό ρομβο-εικοσιδωδεκάεδρο έχει χρησιμοποιηθεί ως μητρικό πολύεδρο το κανονικό δωδεκάεδρο και δημιουργείται από αυτό ως εξής (Α 11-Σχ.3): Έστω μία από τις δώδεκα πενταγωνικές έδρες του κανονικού δωδεκαέδρου, η Α 3Β 3Γ 3Δ 3Ε 3. Διαιρούμε σε τρία ίσα μέρη κάθε μία από τις πέντε πλευρές της και συνδέουμε τα σημεία διαίρεσης όπως στο σχήμα, δημιουργώντας ένα νέο κανονικό πεντάγωνο, που είναι μία από τις δώδεκα πενταγωνικές έδρες του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου Α 11. Ομοίως ορίζονται οι υπόλοιπες έντεκα πενταγωνικές έδρες, κάθε μία από τις οποίες βρίσκεται σε μία έδρα του μητρικού κανονικού δωδεκαέδρου. Οι υπόλοιπες έδρες, 30 τετράγωνα και 20 ισόπλευρα τρίγωνα, δημιουργούνται με τον προφανή τρόπο του σχήματος (Α 11-Σχ.4), στο οποίο φαίνεται το σύνολο της κατασκευής του Α 11 σε σχέση με το μητρικό του κανονικό δωδεκάεδρο. Από την κατασκευή των δώδεκα πενταγωνικών εδρών του Α 11 προκύπτει ότι οι κορυφές του είναι 60,αριθμημένες από το 1 εως το 60(Α 11-Σχ.5). Σε κάθε κορυφή του μικρού ρομβο-εικοσιδωδεκαέδρου δημιουργείται 4-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες ενός τριγώνου, δύο τετραγώνων και ενός πενταγώνου (Α 11-Σχ.5). 189

190 190 Α. Παράσταση Στα σχήματα (Α 11-Σχ.6 και 7) παριστάνεται σε τρεις ορθές προβολές το μικρό ρομβο-εικοσιδωδεκαέδρο, του οποίου μητρικό κανονικό πολύεδρο είναι το δωδεκάεδρο του σχήματος (ΔΩ-Σχ.5). Λύση Στο σχήμα (Α 11-Σχ.6) έχουν σχεδιαστεί σε ορθές προβολές τα δώδεκα πεντάγωνα του Α 11. Κάθε ένα από αυτά έχει κατασκευαστεί με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω. Στο συγκεκριμένο σχήμα φαίνεται ιδιαίτερα η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου 56, 57, 58, 59, 60 που βρίσκεται στην επάνω οριζόντια έδρα του μητρικού δωδεκαέδρου. Η σχεδίαση του πενταγώνου αυτού έχει γίνει με απλή μεταφορά στις προβολές αυτές των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων του αξονομετρικού (Α 11-Σχ.3), διαιρώντας δηλαδή γραφικά σε τρία ίσα μέρη τις ορθές προβολές των ακμών του δωδεκαέδρου και φέρνοντας στη συνέχεια τις αντίστοιχες προς τις ακμές του δωδεκαέδρου παράλληλες ευθείες.

191 Στο επόμενο σχήμα (Α 11-Σχ.7) έχουν ονομαστεί οι 60 κορυφές με αριθμούς από το 1 έως το 60 και στις τρεις προβολές. 191

192 192 Στο σχήμα (Α 11-Σχ.8) δίνεται η τελική παράσταση του μικρού ρομβο-δωδεκαέδρου, που έγινε στο προηγούμενο (Α 11-Σχ.7), συμπληρωμένη με το σύνολο των εδρών του, δηλαδή με το σύνολο τριγώνων, τετραγώνων και πενταγώνων, χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του, ούτε η αρίθμηση των κορυφών του. Τέλος, στο σχήμα (Α 11-Σχ.9) έχει σχεδιαστεί το ημικανονικό πολύεδρο σε τρεις προβολές μαζί με την αρίθμηση των κορυφών του, σε μεγαλύτερη κλίμακα, για ευκρινέστερη παρουσίαση του θέματος. Β. Δίεδρες γωνίες Στο μικρό ρομβο-εικοσιδωδεκάεδρο δημιουργούνται άνισες δίεδρες γωνίες οι αντίστοιχες επίπεδες των οποίων έχουν μέγεθος ω 1 και ω 2, τις οποίες θα βρούμε γραφικά εφαρμόζοντας μεθόδους Παραστατικής Γεωμετρίας (Monge). 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων τετραγώνου τριγώνου Θα βρούμε με αλλαγή, μετρώντας στο σχέδιο, το μέγεθος της αντίστοιχης επίπεδης γωνίας ω 1 των εδρών, αφενός του τετραγώνου 32, 33, 38, 37και αφετέρου του τριγώνου 33, 38, 57 ως εξής (Α 11-Σχ.9): Αφού (Α 11-Σχ.7), η ακμή 33, 38 είναι πρόσθια, με συνέπεια, πρόσθια να είναι και τα επίπεδα του τριγώνου και του τετραγώνου. Επομένως, η γωνία ω 1 που έχει σημειωθεί στο σχήμα, ισούται με τη δίεδρη γωνία των επιπέδων αυτών.

193 193 Η μέτρηση της γωνίας ω 1 με το πρόγραμμα του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω , Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τετραγώνου πενταγώνου Έστω ω 2 η αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης γωνίας μεταξύ δύο όμορων εδρών, του τετραγώνου 48, 49, 60, 59 και του πενταγώνου 56, 57, 58, 59, 60. Αφού (Α 11-Σχ.9), η ακμή 59, 60 είναι πρόσθια, με συνέπεια, όπως και προηγουμένως, πρόσθια να είναι και τα επίπεδα του τετραγώνου και του πενταγώνου. Επομένως, η γωνία ω 2 που έχει σημειωθεί και αυτή στο σχήμα, ισούται με τη δίεδρη γωνία των επιπέδων αυτών. Η μέτρηση της γωνίας ω 1 με το πρόγραμμα του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω ,

194 194 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 11-Σχ.10) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του μικρού ρομβο-εικοσιδωδεκαέδρου με δύο τρόπους: ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 11. Το ανάπτυγμα (Α) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι το μισό του αναπτύγματος του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Α) αποτελείται από: 1. Ένα πεντάγωνο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα πεντάγωνο, τρία τετράγωνα και δύο τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). Προφανώς δύο αναπτύγματα της μορφής αυτής, κατάλληλα προσαρμοσμένα, ορίζουν το σύνολο του στερεού. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 11. Το ανάπτυγμα (Β) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι ολόκληρο το ανάπτυγμα του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Β) αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει δύο πεντάγωνα, έξι τετράγωνα και τέσσερα τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα πεντάγωνα (ανοιχτό γκρι).

195 195

196 196

197 ΜΕΓΑΛΟ ΡΟΜΒΟ ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ή ΚΟΛΟΒΟ ( ή ΚΟΛΟΥΡΟ) ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ Α12 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α12 ΟΝΟΜΑ ΜΕΓΑΛΟ ΡΟΜΒΟ - ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α12 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 62 ( εξηνταδίεδρο δεύτερο από δύο) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 30 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 20 ΕΞΑΓΩΝΑ 12 ΔΕΚΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 120 ΑΚΜΕΣ 180 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ (1 τετράγωνο 1 εξάγωνο 1 δεκάγωνο) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω1 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α12 ΤΟΥ Α12 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α12 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R12 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ 6 0 ή 159 0,09 ω α 12 = α 10 α 2 ορθής 148 0,28 ω R 12 = ΟΓΚΟΣ Ο12 Ο 3 12 = α ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε12 Ε 2 12 = α ,62

198 198 ΓΕΝΙΚΑ Το δωδέκατο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται μεγάλο ρομβο-εικοσιδωδεκάεδρο, συμβολίζεται Α 12 και είναι το δεύτερο από τα δύο υπάρχοντα 62-εδρα. Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 62 (30 τετράγωνα, 20 εξάγωνα, 12 δεκάγωνα). Κορυφές: 120 Ακμές: 180 Στο σχήμα (Α 12-Σχ.1)δίνεται η μορφή του στερεού, όπως φαίνεται σε μία αξονομετρική προβολή του, στην οποία έχουν σχεδιαστεί μόνο οι ορατές ακμές. Για την κατασκευή του Mεγάλου ρομβο-εικοσιδωδεκαέδρου έχει χρησιμοποιηθεί, όπως και στο προηγούμενο Μικρό, ως μητρικό πολύεδρο το κανονικό δωδεκάεδρο και δημιουργείται από αυτό ως εξής (Α 12-Σχ.2): Έστω μία από τις δώδεκα πενταγωνικές έδρες του κανονικού δωδεκαέδρου, η ΑΒΓΔΕ. Διαιρούμε σε πέντε ίσα μέρη κάθε μία από τις πέντε πλευρές της και συνδέουμε τα σημεία διαίρεσης όπως στο σχήμα, δημιουργώντας ένα κανονικό δεκάγωνο, που είναι μία από τις δώδεκα δεκαγωνικές έδρες του δημιουργούμενου ημικανονικού πολυέδρου Α 12. Συγκεκριμένα, όπως φαίνεται στο ίδιο σχήμα, αν ενώσουμε τα σημεία 1 και 1 δημιουργείται ο φορέας μιας πλευράς του ζητούμενου δεκαγώνου, η οποία είναι παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ του αρχικού πενταγώνου, θεωρούμενη ως πρώτη. Για να βρούμε την απέναντι προς αυτήν παράλληλη πλευρά του δεκαγώνου, συνδέουμε τα σημεία 3 και 3 που βρίσκονται σε πλευρές με κοινή κορυφή Δ, απέναντι της πλευράς ΑΒ. Επαναλαμβάνοντας τη γεωμετρική αυτή πράξη για κάθε μία από τις πέντε πλευρές του πενταγώνου, ορίζουμε τους δέκα φορείς των πλευρών του δεκαγώνου και επομένως τις δέκα κορυφές του.

199 Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται οι υπόλοιπες έντεκα δεκαγωνικές έδρες του ημικανονικού πολυέδρου, κάθε μία από τις οποίες βρίσκεται σε μία έδρα του μητρικού κανονικού δωδεκαέδρου (Α 12-Σχ.3). Από την κατασκευή των δώδεκα δεκαγωνικών εδρών του Α 12 προκύπτει ότι οι κορυφές του είναι 120. Οι υπόλοιπες έδρες, δημιουργούνται με τον προφανή τρόπο του σχήματος (Α 12-Σχ.4), συνδέοντας κατάλληλα τις 120 κορυφές των δώδεκα δεκαγώνων, ορίζοντας άλλοτε τα 30 τετράγωνα και άλλοτε τα 20 εξάγωνα του στερεού. 199

200 200 Όλες οι κορυφές του στερεού, ορατές και μη, αριθμημένες από το 1 έως το 120, φαίνονται στο σχήμα (Α 12-Σχ.5). Σε κάθε κορυφή του Μεγάλου ρομβο-εικοσιδωδεκαέδρου δημιουργείται 3-εδρη στερεά γωνία, που περιέχει ως έδρες τις γωνίες ενός τετραγώνου, ενός εξαγώνου και ενός δεκαγώνου.

201 Α. Παράσταση Στα σχήματα (Α 12-Σχ.6 έως 9) παριστάνεται σε δύο ή τρεις ορθές προβολές το Μεγάλο ρομβο-εικοσιδωδεκαέδρο, του οποίου μητρικό κανονικό πολύεδρο είναι το δωδεκάεδρο του σχήματος (ΔΩ-Σχ.5). Λύση Στο σχήμα (Α 12-Σχ.6) έχει σχεδιαστεί σε δύο ορθές προβολές ένα από τα δώδεκα δεκάγωνα του Α 12, με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω. Συγκεκριμένα: Στο σχήμα φαίνεται η κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου με κορυφές 101 έως 110 που βρίσκεται σε μία έδρα του μητρικού δωδεκαέδρου. Η σχεδίαση του δεκαγώνου αυτού έχει γίνει με απλή μεταφορά στις προβολές αυτές των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων του αξονομετρικού (Α 12-Σχ.2), διαιρώντας δηλαδή γραφικά σε πέντε ίσα μέρη τις ορθές προβολές των ακμών του δωδεκαέδρου και φέρνοντας κατάλληλα στη συνέχεια τις αντίστοιχες προς τις ακμές του δωδεκαέδρου παράλληλες ευθείες. 201

202 202 Στο επόμενο σχήμα (Α 12-Σχ.7) έχουν σχεδιαστεί σε τρεις προβολές και οι δώδεκα δεκαγωνικές έδρες του Α 12 - και μόνο αυτές- επάνω στις δώδεκα έδρες του μητρικού του.

203 Στο σχήμα (Α 12-Σχ.8) δίνεται και στις τρεις προβολές η τελική παράσταση του μεγάλου ρομβο-δωδεκαέδρου, που έγινε στο προηγούμενο σχήμα (Α 12-Σχ.7), χωρίς να εμφανίζεται η διαδικασία κατασκευής του πολυέδρου. Η παράσταση του στερεού είναι συμπληρωμένη με το σύνολο των εδρών του, δηλαδή με το σύνολο τετραγώνων, εξαγώνων και δεκαγώνων. Επίσης παρουσιάζεται το σύνολο των κορυφών του, αριθμημένων από το 1 έως

204 204 Τέλος, στο σχήμα (Α 12-Σχ.9) έχει σχεδιαστεί το ημικανονικό πολύεδρο σε τρεις προβολές -σε μικρότερη κλίμακακαι μόνο οι ορατές ακμές του.

205 205 Β. Δίεδρες γωνίες Όπως φαίνεται στο σχήμα (Α 12-Σχ.1) το Μεγάλο ρομβο-δωδεκάεδρο έχει τρία μεγέθη δίεδρων γωνιών, που σχηματίζονται είτε μεταξύ των επιπέδων ενός τετραγώνου και ενός όμορου εξαγώνου, είτε μεταξύ ενός τετραγώνου και ενός όμορου δεκαγώνου, είτε τέλος μεταξύ ενός εξαγώνου και ενός όμορου δεκαγώνου. Στο σχήμα (Α 12-Σχ.10) βρίσκονται και οι τρεις ζητούμενες γωνίες με πολύ απλό τρόπο, με μεθόδους Παραστατικής Γεωμετρίας, και απευθείας μέτρηση με το πρόγραμμα του Η/Υ ως εξής: 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων τετραγώνου εξαγώνου Αφού 65 74, η ακμή 65,74 είναι πρόσθια, με συνέπεια, πρόσθια να είναι και τα επίπεδα του τετραγώνου 65, 74, 73, 64 και του εξαγώνου 65, 74, 75, 114, 113, 66. Επομένως, η γωνία ω 1 που έχει σημειωθεί στο σχήμα στη δεύτερη προβολή, ισούται με τη δίεδρη γωνία των επιπέδων αυτών και είναι : ω 1 2. Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τετραγώνου δεκαγώνου 159 0, Ανάλογα, αφού , η ακμή 118,119 είναι πρόσθια, με συνέπεια, όπως και προηγουμένως, πρόσθια να είναι και τα επίπεδα του τετραγώνου 118, 119, 96, 97, και του δεκαγώνου 118, 119, 120, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117,. Επομένως, η γωνία ω 2 που έχει σημειωθεί και αυτή στο σχήμα, ισούται με τη δίεδρη γωνία των επιπέδων αυτών και είναι : 3. Δίεδρη γωνία ω3 επιπέδων εξαγώνου δεκαγώνου ω , Αφού , η ακμή 113,114 είναι πρόσθια, με συνέπεια, όπως και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις, πρόσθια να είναι και τα επίπεδα του εξαγώνου 113, 114, 75, 74, 65, 66 και του δεκαγώνου 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 111, 112. Επομένως, η γωνία ω 3 ισούται με τη δίεδρη γωνία των επιπέδων αυτών και είναι : ω ,

206 206 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 12-Σχ.11) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Μεγάλου Ρομβο-κυβοκταέδρου με δύο τρόπους. Το σχέδιο έχει μέγεθος μικρότερο του πραγματικού, για να γίνει δυνατή η τοποθέτησή του στις διαστάσεις του χαρτιού. ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 12. Το ανάπτυγμα (Α) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι το μισό του αναπτύγματος του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Α) αποτελείται από: 1. Ένα δεκάγωνο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα δεκάγωνο, δύο εξάγωνα και τρία τετράγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). Προφανώς δύο αναπτύγματα της μορφής αυτής, κατάλληλα προσαρμοσμένα, ορίζουν το σύνολο του στερεού. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 6. Το ανάπτυγμα (Β) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι ολόκληρο το ανάπτυγμα του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Β) αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει δύο δεκάγωνα, τέσσερα εξάγωνα και έξι τετράγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα δεκάγωνα (ανοιχτό γκρι).

207 207

208 208

209 ΑΜΒΛΥ ή ΣΤΡΕΒΛΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ Α13 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α13 ΟΝΟΜΑ ΑΜΒΛΥ ή ΣΤΡΕΒΛΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Α13 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 92 ( ενενηνταδίεδρο) ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 80 ΤΡΙΓΩΝΑ 12 ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 60 ΑΚΜΕΣ 150 ΜΗΤΡΙΚΟ ΠΟΛΥΕΔΡΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 5-ΕΔΡΗ ( 4 τρίγωνα 1 πεντάγωνο) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 12 0 ή 2 15 ορθής ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω ,92 ω ,17 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α13 ΤΟΥ Α13 ΜΕ ΑΚΜΗ α ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ α13 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ R13 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ α13 = 0, α α13 2 α13 R 13 = x 2 όπου x μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης : x x x = 0 προσεγγιστικά x 0, Βλέπε [5], [16]

210 210 ΓΕΝΙΚΑ Το δέκατοτρίτο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Αρχιμήδη ονομάζεται αμβλύ ή στρεβλό δωδεκάεδρο, συμβολίζεται Α 13 και είναι το μοναδικό 92-εδρο (Α 13-Σχ.1). Το στερεό αυτό έχει: Έδρες: 92 (80 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα). Κορυφές: 60 Ακμές: 150 Στο πολύεδρο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί, όπως και στα δύο προηγούμενα, ως μητρικό το κανονικό δωδεκάεδρο και οι εξήντα κορυφές του ονομάζονται με αριθμούς από το 1 έως το 60. Στο σχήμα (Α 13-Σχ.2) εμφανίζεται σε αξονομετρική προβολή το στερεό με αριθμημένες όλες τις κορυφές και κατάλληλα συνδεδεμένες ώστε να δημιουργηθούν οι 150 ακμές του, ορατές και μη κατά την προβολή αυτή. Κάθε μία από τις δώδεκα πενταγωνικές έδρες του στρεβλού δωδεκαέδρου βρίσκεται αντίστοιχα σε μία έδρα του μητρικού δωδεκαέδρου κατάλληλα τοποθετημένη. Στο σχήμα (Α 13-Σχ.3) φαίνονται σε αξονομετρική προβολή δύο από τις δώδεκα έδρες του Α 13, τοποθετημένες στις αντίστοιχες έδρες του μητρικού δωδεκαέδρου. Σε κάθε κορυφή του στρεβλού δωδεκαέδρου δημιουργείται 5-εδρη στερεά γωνία (Α 13-Σχ.1), τέσσερεις έδρες της οποίας περιέχουν τις γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου και μία τη γωνία πενταγώνου. Η μέθοδος τοποθέτησης της πενταγωνικής έδρας του ημικανονικού πολυέδρου σε μία έδρα του μητρικού του δωδεκαέδρου είναι ανάλογη με τη μέθοδο τοποθέτησης της τετραγωνικής έδρας του ημικανονικού πολυέδρου Α 10 σε μία τετραγωνική έδρα του μητρικού του κύβου.

211 211

212 212 Αποδεικνύεται ότι η τοποθέτηση του κανονικού πενταγώνου που βρίσκεται στο επίπεδο της έδρας ΑΒΓΔΕ δωδεκαέδρου με πλευρά α = 40 γίνεται ως εξής (Α 13-Σχ.4): 1. Γράφουμε κύκλο (Κ, ρ), όπου Κ το κέντρο του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ και ρ 0, R (1) όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ. Είναι γνωστό από την Ευκλείδειο Γεωμετρία ότι αν λ 5 είναι η πλευρά του κανονικού πενταγώνου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου τότε: R λ 5 = (2) 2 Αν λ 5 = α = 40, από τον προηγούμενο τύπο (2) έχουμε: R = 34, (3) Από (1) και (3) προκύπτει: ρ 19, Φέρνουμε κάθετη ευθεία ε στην ακτίνα ΚΑ του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ σε απόσταση: β 0, R Στη συγκεκριμένη περίπτωση β 18, Η ευθεία ε τέμνει το κύκλο σε δύο σημεία 1 και 1 αφού β < ρ. 3. Με κορυφή, έστω την 1, κατασκευάζουμε κανονικό πεντάγωνο 12345, επάνω στην έδρα ΑΒΓΔΕ του δωδεκαέδρου. Παρατήρηση. Η δεύτερη λύση 1 (Α 13-Σχ.4) οδηγεί σε δεύτερο πεντάγωνο και επομένως σε δεύτερο 92-εδρο, το οποίο διαφέρει από το πρώτο μόνο ως προς την τοποθέτησή του στο χώρο, σε σχέση με το δωδεκάεδρο, όπως ακριβώς συνέβη και στο 38-εδρο σε σχέση με το μητρικό του κύβο. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια το κατασκευαζόμενο δεύτερο 92-εδρο να μην θεωρείται ως δεύτερη διακεκριμένη λύση. Επομένως δημιουργούνται και εδώ δύο εναντιόμορφα πολύεδρα. Επίσης, η ευθεία ε ως προς την τοποθέτηση της, κάθετα δηλαδή στην ΚΑ, έχει άλλες τέσσερεις λύσεις, αφού μπορεί να τοποθετηθεί κάθετα και στις υπόλοιπες τέσσερεις ανάλογες ευθείες. Οι λύσεις αυτές όμως δίνουν, στη συνέχεια της κατασκευής, τα ίδια δύο πεντάγωνα με τα προηγούμενα. Αποδεικνύεται ότι οι προεκτάσεις των πλευρών των ζητούμενων πενταγώνων, όπως συνέβη και στο Α 10 με τις προεκτάσεις των πλευρών των τετραγώνων, τέμνουν τις αντίστοιχες ακμές του μητρικού δωδεκαέδρου πλευράς α σε τρία τμήματα μήκους κατά σειρά (Α 13-Σχ.4): (ΑΗ) 0, α, (ΗΘ) 0, α και (ΘΒ) 0, α. Η γνώση των μηκών αυτών δίνει την δυνατότητα πλέον μιας εύκολης κατασκευής του εκάστοτε πενταγώνου του ημικανονικού πολυέδρου στην αντίστοιχη έδρα του δωδεκαέδρου, όπως ακριβώς για το τετράγωνο του Α 10 και ταυτόχρονα δίνει έναν εύκολο κανόνα για την σχετική τοποθέτηση των έντεκα πενταγώνων που υπολείπονται και ανήκουν στο ίδιο ημικανονικό πολύεδρο και όχι στο εναντιόμορφο, μετά την κατασκευή του πρώτου πενταγώνου. Πράγματι, όπως προέκυψε από την περιγραφή της κατασκευής του πρώτου ζητούμενου πενταγώνου, η διαίρεση των πλευρών του πενταγώνου του μητρικού στερεού σε τρία τμήματα με τα παραπάνω μεγέθη γίνεται πάντοτε με την ίδια σειρά. Δηλαδή, εάν σε μία πλευρά το πρώτο τμήμα έχει μήκος 0, α, στην αμέσως επόμενη πλευρά του ίδιου πενταγώνου το πρώτο τμήμα θα έχει το ίδιο μήκος. Το τμήμα μήκους 0, α είναι σε όλες τις περιπτώσεις τοποθετημένο μεταξύ των δύο άλλων τμημάτων σε κάθε πλευρά του πενταγώνου του μητρικού δωδεκαέδρου. Παρατηρούμε ακόμη ότι κάθε πλευρά οποιουδήποτε ζητούμενου πενταγώνου - π.χ. η 1,5 του 1,2,3,4,5 - βρίσκεται σε ευθεία που συνδέει σημεία Λ και Σ ακμών Δ 3Ε 3 και Β 3Γ 3 όπου Δ 3Λ Γ 3Σ. Με ανάλογο τρόπο θα ορίσουμε τα υπόλοιπα έντεκα πεντάγωνα του στρεβλού δωδεκαέδρου επί των αντίστοιχων εδρών του μητρικού δωδεκαέδρου.

213 213 Παρατήρηση 1. Αντί να σχεδιάσουμε κάθε φορά έναν κύκλο, σε κάθε έδρα του μητρικού δωδεκαέδρου, μέσα στον οποίο θα εγγράψουμε κατάλληλα το πεντάγωνο, έδρα του ζητούμενου ημικανονικού πολυέδρου Α 13, μπορούμε να βρούμε στις ακμές του μητρικού δωδεκαέδρου σημεία ανάλογα προς τα Λ, Σ κ.λ.π. Τα πεντάγωνα δημιουργούνται με κατάλληλη σύνδεσή των σημείων αυτών. Π.χ. η κατασκευή του δεύτερου κανονικού πενταγώνου στην έδρα Δ 1Α 2Α 3Β 3Β 2, η οποία είναι όμορη με την έδρα που ήδη περιέχει το πρώτο ζητούμενο πεντάγωνο, φαίνεται στο σχήμα (Α 13-Σχ.3). Στο σχήμα αυτό γίνεται φανερή και η συσχέτιση των δύο πενταγώνων του ζητούμενου ημικανονικού πολυέδρου. Παρατήρηση 2. Όλες οι κατασκευές αυτές έγιναν, όπως άλλωστε και όλα τα υπόλοιπα σχέδια, με τη χρήση Η/Υ, επιτυγχάνοντας αποτελέσματα εξαιρετικής ακρίβειας.

214 214 Α. Παράσταση Ι. Σχεδίαση κανονικών πενταγώνων Στο σχήμα (Α 13-Σχ.5) παριστάνονται σε δύο προβολές μόνο δύο από τα δώδεκα ζητούμενα πεντάγωνα του ημικανονικού 92-έδρου, για λόγους ευκολίας, κατάλληλα τοποθετημένα στα αντίστοιχα πεντάγωνα του μητρικού δωδεκαέδρου πλευράς 40. Ανάλογο δωδεκάεδρο με αυτό έχει παρασταθεί και μελετηθεί στο σχήμα (ΔΩ-Σχ.5). Η σχεδίαση των δύο αυτών πενταγώνων έχει γίνει με απλή μεταφορά στην πρώτη προβολή των αντίστοιχων γεωμετρικών πράξεων του αξονομετρικού του (Α 13-Σχ.3), από την οποία προέκυψαν τα δύο ζητούμενα τονισμένα με γκρι πεντάγωνα. Από αυτά, το πρώτο βρίσκεται στην επάνω οριζόντια έδρα του δωδεκαέδρου, ενώ το δεύτερο σε πρόσθιο επίπεδο, αφού η κοινή ακμή τους είναι η πρόσθια Α 3Β 3. Επομένως, η δεύτερη προβολή των πενταγώνων αυτών είναι ευθύγραμμα τμήματα.

215 215 Στο επόμενο σχήμα (Α 13-Σχ.6) έχουν σχεδιαστεί σε δύο προβολές, αφενός το ίδιο προηγούμενο επάνω οριζόντιο πεντάγωνο του ζητούμενου ημικανονικού πολυέδρου, αφετέρου το πεντάγωνο που βρίσκεται σε τυχαία όμορη έδρα (όχι πρόσθια). Σε ότι αφορά στις πρώτες προβολές, η κατασκευή γίνεται με τη γνωστή διαδικασία της διαίρεσης των πλευρών του πενταγώνου του μητρικού δωδεκαέδρου. Η δεύτερη προβολή όμως μπορεί να γίνει, είτε με τη διαίρεση των πλευρών, είτε, όπως εδώ, με απλή εύρεση των αντίστοιχων σημείων από την πρώτη προβολή. Είναι φανερό ότι επαναλαμβάνοντας τις πράξεις αυτές στο σύνολο των δώδεκα εδρών του μητρικού δωδεκαέδρου, είτε είναι ορατές είτε όχι, δημιουργούνται τα δώδεκα κανονικά πεντάγωνα του ζητούμενου Α 13.

216 216 ΙΙ. Σχεδίαση ισόπλευρων τριγώνων Στα επόμενα δύο σχήματα (Α 13-Σχ.7 και 8) παριστάνεται σε δύο προβολές μόνο το στρεβλό δωδεκάεδρο, χωρίς την παράσταση του μητρικού δωδεκαέδρου και συγκεκριμένα: 1. Έχουν σχεδιαστεί τα δώδεκα κανονικά πεντάγωνα στις αντίστοιχες έδρες του μητρικού δωδεκαέδρου. 2. Έχουν αριθμηθεί από το 1 έως το 60 οι κορυφές του Α Έχουν δημιουργηθεί με σύνδεση των κορυφών αυτών οι 150 ακμές του και τα 80 τρίγωνα της επιφάνειας του. Στο σχήμα (Α 13-Σχ.7) ιδιαίτερα εμφανίζεται το σύνολο των 60 κορυφών, 150 ακμών και 92 εδρών του ημικανονικού πολυέδρου, είτε τα στοιχεία αυτά είναι ορατά είτε όχι.

217 Στο σχήμα (Α 13-Σχ.8) παρουσιάζονται από τα προηγούμενα στοιχεία μόνο τα ορατά. 217

218 218 Β. Δίεδρες γωνίες Στο Στρεβλό δωδεκάεδρο δημιουργούνται άνισες δίεδρες γωνίες οι αντίστοιχες επίπεδες των οποίων έχουν μέγεθος ω 1 και ω 2, τις οποίες θα βρούμε γραφικά, όπως και σε προηγούμενα ημικανονικά πολύεδρα, εφαρμόζοντας μεθόδους Παραστατικής Γεωμετρίας (Monge). 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων πενταγώνου τριγώνου Θα βρούμε με αλλαγή, μετρώντας στο σχέδιο, το μέγεθος της αντίστοιχης επίπεδης γωνίας ω 1 των εδρών, αφενός του πενταγώνου 56, 57, 58, 59, 60 που βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής e 1 και αφετέρου του τριγώνου 56, 60, 52 ως εξής (Α 13-Σχ.9): α. Επειδή η κοινή ακμή 56, 60 ανήκει στο e 1, το επίπεδο του τριγώνου μπορεί να γίνει με μια αλλαγή πρόσθιο σε νέο επίπεδο προβολής. Φέρνουμε λοιπόν άξονα y 13 κάθετο στην ακμή 56, 60 και ορίζουμε με τα υψόμετρά τους τα σημεία και 52. β. Η γωνία ω 1 είναι η σημειωμένη στο σχήμα. Η μέτρηση της γωνίας ω 1 με το πρόγραμμα του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω ,

219 219

220 Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τριγώνου τριγώνου Έστω ω 2 η αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης γωνίας μεταξύ δύο όμορων εδρών, του τριγώνου με κορυφές 21, 30, 26 και του τριγώνου 21, 30, 17 (Α 13-Σχ.10). Το σχέδιο έχει μέγεθος 80% του πραγματικού, για να γίνει δυνατή η τοποθέτησή του στις διαστάσεις του χαρτιού. Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή πλευρά την 21, 30, η οποία όμως, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, είναι τυχαία, με συνέπεια να απαιτούνται δυο αλλαγές ώστε τα δυο επίπεδα των εδρών να μπορούν να γίνουν πρόσθια σε νέο επίπεδο προβολής. Εργαζόμαστε λοιπόν ως εξής: α. Φέρνουμε πρώτον άξονα y 13 παράλληλο στην ακμή 21, 30 και ορίζουμε με τα υψόμετρά τους τα σημεία 21,30 26 και 17. Σχεδιάζουμε τα τρίγωνα 21,30,26 και 21,30,17. β. Φέρνουμε δεύτερο άξονα y 34 κάθετο στην ακμή 21,30 και με τα +υ βρίσκουμε τα και 26, 17. γ. Η γωνία ω 2 είναι η σημειωμένη στο σχήμα. Η μέτρηση της γωνίας ω 2 με το πρόγραμμα του Η/Υ δίνει κατά προσέγγιση: ω ,

221 221

222 222 Γ. Ανάπτυγμα Στο σχήμα (Α 13-Σχ.11) έχει σχεδιαστεί το ανάπτυγμα του Στρεβλού δωδεκαέδρου με δύο τρόπους. Το σχέδιο έχει μέγεθος μικρότερο του πραγματικού, για να γίνει δυνατή η τοποθέτησή του στις διαστάσεις του χαρτιού. ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 13. Το ανάπτυγμα (Α) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι το μισό του αναπτύγματος του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Α) αποτελείται από: 1. Ένα πεντάγωνο (σκούρο γκρι). 2. Ένα σχήμα, που περιέχει ένα πεντάγωνο και οκτώ τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (είναι το τονισμένο με ανοιχτό γκρι). Προφανώς δύο αναπτύγματα της μορφής αυτής, κατάλληλα προσαρμοσμένα, ορίζουν το σύνολο του στερεού. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Α 13. Το ανάπτυγμα (Β) που προκύπτει με τον τρόπο αυτόν είναι ολόκληρο το ανάπτυγμα του ημικανονικού πολυέδρου Παρατηρούμε ότι το (Β) αποτελείται από: 1. Ένα σχήμα, που περιέχει δύο πεντάγωνα και δεκαέξι τρίγωνα, επαναλαμβανόμενο πέντε φορές (ανοιχτό γκρι). 2. Δύο ανεξάρτητα πεντάγωνα (ανοιχτό γκρι).

223 223

224 ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ J. KEPLER ΓΕΝΙΚΑ Εκτός από τα 13 Αρχιμήδεια πολύεδρα, υπάρχουν και 2 ημικανονικά πολύεδρα του Johannes Kepler, τα οποία είναι γνωστά με τα ονόματα ν-γωνικό πρίσμα και ν- γωνικό αντιπρίσμα και είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. γενικό πίνακα ημικανονικών πολυέδρων σελίδα 75). Κάθε ένα από τα πολύεδρα αυτά έχει βάση κανονικό πολύγωνο με ν κορυφές και ν πλευρές, ενώ οι παράπλευρες έδρες τους είναι πάντοτε τετράγωνα ή ισόπλευρα τρίγωνα αντίστοιχα. Στη συγκεκριμένη μονογραφία τα δύο ημικανονικά πολύεδρα του J. Kepler συμβολίζονται με Κ Πν και Κ Αν. Στο συμβολισμό αυτόν, το γράμμα Κ σημαίνει Kepler, το Π πρίσμα και το Α αντιπρίσμα, ενώ ο δείκτης ν αναφέρεται κάθε φορά στο αντίστοιχο πολύγωνο της βάσης του στερεού. Με Κ Α6, π.χ., συμβολίζεται το 6-γωνικό αντιπρίσμα που έχει βάση κανονικό εξάγωνο, ενώ με Κ Π10 το 10-γωνικό πρίσμα με βάση κανονικό δεκάγωνο. Στο γενικό πίνακα των ημικανονικών πολυέδρων έχουν χρησιμοποιηθεί για τα δύο ημικανονικά πολύεδρα του Kepler οι συνήθεις συμβολισμοί: 1. ν-γωνικό Πρίσμα 4 4 ν Αν ν=4 => => κύβος 2. ν-γωνικό Αντιπρίσμα ν Αν ν=3 => => κανονικό οκτάεδρο Με το πρώτο σύμβολο 4 4 ν υποδηλώνεται η ύπαρξη σε κάθε στερεά γωνία του ν-γωνικού πρίσματος Kepler δύο όμορων τετραγώνων και του ν-γώνου της αντίστοιχης βάσης του. Ανάλογα ισχύουν για το σύμβολο ν, που υποδηλώνει ότι στην ίδια κορυφή του ν-γωνικού αντιπρίσματος Kepler υπάρχουν τρία ισόπλευρα τρίγωνα και μία από τις δύο ν-γωνικές βάσεις του, με την ίδια διάταξη στο χώρο την οποία δίνει ο συμβολισμός ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Προφανώς, από τα ημικανονικά πολύεδρα του Kepler κατασκευάζονται γεωμετρικά (με χάρακα και διαβήτη) μόνο εκείνα για τα οποία είναι δυνατή η γεωμετρική κατασκευή των κανονικών πολυγώνων των βάσεών τους, όπως το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνο κ.λ.π. Όμως, μπορούν να κατασκευαστούν προσεγγιστικά, είτε γραφικά, είτε με τη βοήθεια Η/Υ. 2. Όπως αναφέρθηκε στη προηγούμενη παράγραφο 3.3.1, δύο από τα ημικανονικά πολύεδρα του Kepler και συγκεκριμένα τα Κ Π4 (πρίσμα με βάση τετράγωνο) και Κ Α3 (αντιπρίσμα με βάση ισόπλευρο τρίγωνο) ταυτίζονται με δύο από τα κανονικά πολύεδρα και συγκεκριμένα τον κύβο και το κανονικό οκτάεδρο αντίστοιχα. 3. Από τους πίνακες των κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων και σε συνδυασμό με την προηγούμενη παρατήρηση 2, προκύπτει ότι υπάρχουν συνολικά 18 κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα και κατανέμονται ως εξής:

225 13 Ημικανονικά Πολύεδρα του Αρχιμήδη 2 Ημικανονικά Πολύεδρα του Kepler Οι άπειρες λύσεις περιλαμβάνουν ως ειδική περίπτωση δύο κανονικά πολύεδρα: α. Κανονικό 6-εδρο (κύβος) β. Κανονικό 8-εδρο 3 Κανονικά Πολύεδρα Περιλαμβάνουν: 4-εδρο, 20-εδρο, 12-εδρο Ο κύβος και το 8-εδρο, έχουν ήδη συμπεριληφθεί προηγουμένως στα ημικανονικά του Kepler. (Σχετικά με την απόδειξη της ύπαρξης 18 μόνο λύσεων στο πρόβλημα κατασκευής κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων βλέπε: [ 5 ] ) Σε κάθε ημικανονικό πολύεδρο αντιστοιχεί, όπως και στα κανονικά, ένα δυϊκό πολύεδρο. Γνωρίζουμε ήδη ότι το δυϊκό ενός κανονικού πολυέδρου είναι επίσης κανονικό πολύεδρο. Αντιθέτως, όπως προκύπτει από τον ορισμό του δυϊκού ενός ημικανονικού πολυέδρου, το πολύεδρο αυτό είναι ένα νέο πολύεδρο, όχι ημικανονικό, διότι οι έδρες που προκύπτουν από την κατασκευή του δεν είναι κανονικά πολύγωνα. 5. Όπως έχει αναφερθεί ήδη, τα ημικανονικά πολύεδρα έχουν περιγεγραμμένη σφαίρα, αλλά όχι εγγεγραμμένη. Αντίθετα, τα δυϊκά τους έχουν εγγεγραμμένη σφαίρα. 6. Μερικά από τα δυϊκά των ημικανονικών πολυέδρων έχουν οριστεί από τον Kepler, ενώ στο σύνολό τους από τον Eugene Catalan( ), καθηγητή Ανάλυσης στο Πανεπιστήμιο της Λιέγης και διευθυντή του περιοδικού Nouvelle Correspondance Mathematique. 7. Οι σχέσεις οι οποίες συνδέουν τις ακμές α Πν και α Αν ενός πρίσματος και ενός αντιπρίσματος αντίστοιχα, με τις ακτίνες R Πν και R Αν είναι ( βλ. [5] ): α R Πν = 2 Πν 2π 3-συν ν α Αν και R Αν = 2π 2 1-συν ν π 3-2συν ν π 2-2συν ν Η μελέτη των ημικανονικών πολυέδρων συμπληρώνεται με δύο αντιπροσωπευτικά παραδείγματα των άπειρων ημικανονικών πολυέδρων του Kepler., δίνονται αρκετά από τα βασικά στοιχεία των στερεών αυτών. Στους συνοπτικούς επιμέρους πίνακες που έχουν προσαρτηθεί,δίνονται για κάθε ένα από τα 2 ημικανονικά πολύεδρα Kepler τα εξής στοιχεία: 1. Το όνομα 2. Ο συμβολισμός 3. Το πλήθος των εδρών 4. Το είδος των εδρών 5. Το πλήθος των κορυφών 6. Το πλήθος των ακμών 7. Το πλήθος των εδρών μιας στερεάς γωνίας και το είδος των πολυγώνων που συντρέχουν στην κορυφή της 9. Το μέγεθος της εξωτερικής γωνίας κάθε στερεάς γωνίας 10. Η σχέση της ακμής α i του στερεού με την ακτίνα R i της περιγεγραμμένης σφαίρας του

226 226

227 ΓΩΝΙΚΟ ΠΡΙΣΜΑ ΚΠ6 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΠ6 ΟΝΟΜΑ 6-ΓΩΝΙΚΟ ΠΡΙΣΜΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΚΠ6 ή ΠΛΗΘΟΣ ΕΔΡΩΝ 8 ΕΙΔΟΣ ΕΔΡΩΝ 2 ΕΞΑΓΩΝΑ 6 ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΟΡΥΦΕΣ 12 ΑΚΜΕΣ 18 ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 3-ΕΔΡΗ ( 2 τετράγωνα 1 εξάγωνο ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ 120º ή 4 3 ορθής 0 0 ΔΙΕΔΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ω 1 = 90 ω =120 2 ΣΧΕΣΗ ΑΚΜΗΣ απ6 ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ RΠ6 ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ R Π6 = 10 5

228 228 Στο σχήμα (6-γωνικό Πρίσμα Κ Π6 - Σχ.1) παριστάνουμε σε αξονομετρική προβολή το 6-γωνικό πρίσμα Κ Π6, το οποίο είναι ένα ημικανονικό πολύεδρο του Kepler. Το στερεό αυτό είναι ορθό πρίσμα που έχει: Έδρες: 8 (2 κανονικά εξάγωνα ως βάσεις και 6 τετράγωνα στην παράπλευρη επιφάνεια). Κορυφές: 12 Ακμές: 18 Κάθε στερεά γωνία του πολυέδρου είναι τρίεδρη, οι έδρες της οποίας είναι φορείς εξαγώνου ή τετραγώνου. Α. Παράσταση Δίνονται: Κέντρο περιγεγραμμένου στο εξάγωνο κύκλου Κ(30, 0, 0). Ακτίνα R=20. Η κάτω βάση ΑΒΓΔΕΖ ανήκει στο e1, ενώ αντίστοιχη επάνω βάση είναι η Α1Β1Γ1Δ1Ε1Ζ1. Λύση Η παράσταση του ορθού αυτού πρίσματος είναι προφανής (6-γωνικό Πρίσμα Κ Π6 - Σχ.2). Β. Δίεδρες γωνίες Στο 6-γωνικό πρίσμα Κ Π6 δημιουργούνται δύο σύνολα δίεδρων γωνιών με μέγεθος ω 1 ή ω 2 (6-γωνικό Πρίσμα Κ Π6 Σχ.1). 1. Δίεδρη γωνία ω1 επιπέδων εξαγώνου - τετραγώνου ω 1 = Κ1ˆ ΜΝ = Δίεδρη γωνία ω2 επιπέδων τετραγώνου - τετραγώνου ˆ 0 ω = ΖΑΒ = όπου Μ,Ν μέσα των ακμών Β 1Γ 1 και ΒΓ αντίστοιχα.

229 229

230 230

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 0/6/0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke

Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke ΙΣΤΟΡΙΚΟ Το θεώρημα διατυπώθηκε το 1853 και δημοσιεύτηκε το 1860 στο βιβλίο του Κarl Pohlke «Darstellende Geometrie» χωρίς απόδειξη. Η απόδειξη έγινε πρώτα το 1863 από τον Hermann Amandus Schwarz (1843-1922)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ. ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α =

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.

1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα