Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)"

Transcript

1 Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος, κύβος, κ.λ.π.) ίναι το αντικίμνο της γωμτρίας του χώρου. Ο χώρος αποτλίται από σημία. Οι υθίς και τα πίπδα ίναι σχηματισμοί σημίων και αποτλούν μαζί μ τα σημία πρωταρχικές έννοις, οι οποίς δν ορίζονται από άλλς.. ΑΞΙΩΜΑΤΑ (πέραν των αξιωμάτων της γωμτρίας του πιπέδου). Τρία σημία που δν ίναι συνυθιακά ορίζουν ένα μοναδικό πίπδο.. Σ κάθ πίπδο υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημία μη συνυθιακά 3. Υπάρχι τουλάχιστον ένα σημία που δν ανήκι σ ένα δδομένο πίπδο.. Δύο σημία νός πιπέδου ορίζουν υθία τα σημία της οποίας ανήκουν στο πίπδο. 5. Κάθ πίπδο χωρίζι τα σημία του χώρου, που δν ανήκουν σ αυτό, σ δύο πριοχές ξένς μταξύ τους. 6. Αν δύο διακκριμένα πίπδα έχουν ένα κοινό σημίο, τότ τέμνονται σ μία υθία, που πριέχι το σημίο. Συνέπις:. Μία υθία και ένα σημίο Α που δν ανήκι στην υθία ορίζουν ένα πίπδο π=(,α) στο οποίο ανήκουν η υθία και το σημίο (σχ. ).. Δύο τμνόμνς υθίς ορίζουν ένα πίπδο π= (, ) στο οποίο ανήκουν (σχ. ). 3. Δύο παράλληλς υθίς ορίζουν ένα πίπδο π=(, ) στο οποίο ανήκουν (σχ. 3). Σχ. Σχ. Σχ. 3. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Μία υθία ανήκι στο πίπδο αν έχι δύο κοινά σημία μ αυτό (αφού, από το αξίωμα, όλα τα σημία της θα ανήκουν τότ στο πίπδο) ( σχ.).. Η υθία που ορίζται από δύο σημία Β,Γ κατέρωθν νός πιπέδου (αξίωμα 5) τέμνι το πίπδο σ ένα μόνο σημίο Α (συνέπια του αξιώματος ) μταξύ των Β και Γ. Το σημίο αυτό λέγται σημίο τομής της υθία και του πιπέδου ή ίχνος της υθίας μ το πίπδο (σχ. ). Ορισμός.: Μία υθία λέγται παράλληλη σ ένα πίπδο, αν η υθία και το πίπδο δν έχουν κοινό σημίο (σχ.3). Σχ. Σχ. Σχ. 3. Αν μια υθία τέμνι ένα πίπδο π, τότ δν υπάρχι υθία του π παράλληλη στη.. Αν μια υθία ίναι παράλληλη σ μια υθία νός πιπέδου π και δν ανήκι σ αυτό τότ ίναι παράλληλη στο π. 3. Αν πίπδο π τέμνι υθία τότ θα τέμνι κάθ υθία παράλληλη στην.. Αν δύο τμνόμνς υθίς ίναι παράλληλς σ ένα πίπδο π τότ και το πίπδο (, ) ίναι παράλληλο στο π. Συνέπις:. Από σημίο κτός πιπέδου άγται μοναδικό πίπδο παράλληλο σ αυτό.. Δύο πίπδα παράλληλα προς τρίτο ίναι και μταξύ τους παράλληλα. 3. Αν π και π ίναι δύο παράλληλα πίπδα, τότ κάθ πίπδο τ που τέμνι το ένα τέμνι και το άλλο και οι υθίς τομής ίναι παράλληλς μταξύ τους

2 3. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Θώρημα 3.: Αν μια υθία ανήκι σ ένα πίπδο π υθία τέμνι το π σ ένα σημίο Α κτός της, τότ δν υπάρχι πίπδο που να πριέχι τις. Ορισμός 3.: Δύο υθίς λέγονται ασύμβατς, αν δν υπάρχι πίπδο που να πριέχι και τις δύο (πομένως δν έχουν κοινό σημίο και δν ίναι παράλληλς). Άρα δύο διαφορτικές υθίς του χώρου μπορί να ίναι:. παράλληλς ή τμνόμνς (οπότ ανήκουν στο ίδιο πίπδο), ή. ασύμβατς. Πόρισμα 3.3: Αν τρις υθίς τέμνονται ανά δύο τότ ανήκουν στο ίδιο πίπδο ή διέρχονται από το ίδιο σημίο.. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ. Τα πίπδα ταυτίζονται (έχουν τουλάχιστον τρία μη συνυθιακά κοινά σημία).. Τα πίπδα τέμνονται κατά μία υθία. 3. Τα πίπδα δν έχουν κοινά σημία (ίναι παράλληλα). Πόρισμα.: Αν τρία πίπδα τέμνονται ανά δύο, τότ οι τομές τους διέρχονται από το ίδιο σημίο ή ίναι παράλληλς. 5. ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Ορισμός 5.: Μια υθία λέγται κάθτη σ ένα πίπδο π, αν ίναι κάθτη σ κάθ υθία του πιπέδου που διέρχται από το ίχνος της (γράφουμ π ). Αν η υθία δν ίναι κάθτη, λέγται πλάγια. Θώρημα 5.. Αν μία υθία ίναι κάθτη σ δυο τμνόμνς υθίς νός πιπέδου στο κοινό τους σημίο, τότ ίναι κάθτη σ όλς τις υθίς του πιπέδου που διέρχονται από το ίχνος της (και άρα ίναι κάθτη στο πίπδο π) (σχ. ). Γωνία δύο υθιών : Αν και ζ ίναι δυο υθίς του χώρου τότ: Ι) Αν οι υθίς ίναι συνπίπδς η γωνία τους ορίζται κατά τα γνωστά. ΙΙ) Αν οι υθίς ίναι ασύμβατς, από τυχαίο σημίο Α της υθίας κατασκυάζουμ υθία παράλληλη στην ζ. Οι υθίς τέμνονται στο σημίο Α, άρα ίναι συνπίπδς. Η γωνία που σχηματίζουν οι υθίς λέγται γωνία των δύο ασύμβατων υθιών και ζ (η γωνία αυτή δν ξαρτάται από το σημίο Α) (σχ. 3). Αν οι γωνία των και ζ ίναι ορθή τότ οι ασύμβατς λέγονται ορθογώνις ή ασυμβάτως κάθτς. Θώρημα 5.3. Μία υθία ορθογώνια σ δύο τμνόμνς υθίς ίναι κάθτη στο πίπδο που αυτές ορίζουν. Θώρημα 5.. Υπάρχι μοναδικό πίπδο, που διέρχται από σημίο Ο ίναι κάθτο σ υθία (δηλαδή από ένα σημίο Ο κτός υθίας άγται ένα και μόνο πίπδο κάθτο στην υθία). Πρόταση 5.5. Ο γωμτρικός τόπος των υθιών που ίναι κάθτς σ μια υθία σ ένα σημίο Α ίναι ένα πίπδο κάθτο στην στο Α. (σχ. ) Πόρισμα 5.6: Δύο πίπδα κάθτα στην ίδια υθία ίναι παράλληλα μταξύ τους. Πόρισμα 5.7: Δύο υθίς κάθτς στο ίδιο πίπδο ίναι παράλληλς. Σχ. Σχ.

3 Θώρημα 5.8:(τριών καθέτων): Έστω υθία που τέμνι ένα πίπδο π στο Β και ένα σημίο Α της. Αν ζ ίναι μια υθία του π η οποία δν διέρχται από το Β και έστω Γ ένα σημίο της ζ, τότ ισχύουν: (Σχ. ). Αν AB π και BΓ ζ, τότ AΓ ζ.. Αν AB π και AΓ ζ, τότ BΓ ζ. 3. Αν AΓ ζ και BΓ ζ, AB BΓ, τότ AB π. Πόρισμα 5.9: Από ένα σημίο του χώρου διέρχται ακριβώς μια υθία κάθτη σ ένα δδομένο πίπδο. Σχ. 6. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ. Αν Α ίναι ένα σημίο κτός νός πιπέδου π, ορίζουμ ως προβολή του Α στο πίπδο π το σημίο τομής Α του π μ την κάθτη υθία από το Α στο π. Η προβολή νός σχήματος του χώρου στο π ίναι το σύνολο των προβολών των σημίων του σχήματος στο π. Αποδικνύται ότι η προβολή μιας υθίας σ ένα πίπδο, που δν ίναι κάθτη σ αυτό, ίναι υθία. Αν η υθία ίναι κάθτη στο πίπδο τότ η προβολή της σ αυτό ίναι ένα σημίο, το ίχνος της. Απόσταση του σημίου Α από το πίπδο π λέγται το μήκος του υθυγράμμου τμήματος ΑΑ, όπου Α η προβολή του Α στο πίπδο π. Απόσταση δύο παράλληλων πιπέδων λέγται η απόσταση νός σημίου του νός από το άλλο. Απόσταση δύο ασύμβατων υθιών λέγται το μήκος του τμήματος της κοινής καθέτου που πριλαμβάνται μταξύ τους. Πόρισμα 6.: Ο γωμτρικός τόπος των σημίων του χώρου που ισαπέχουν από δύο σημία Α και Β ίναι το πίπδο π που ίναι κάθτο στο ΑΒ στο μέσο του (μσοκάθτο πίπδο). Πόρισμα 6.: Ο γωμτρικός τόπος των σημίων του χώρου που ισαπέχουν από τις κορυφές νός τριγώνου ίναι η κάθτη υθία στο πίπδο του τριγώνου που διέρχται οπό το σημίο τομής των μσοκαθέτων των πλυρών του. 7. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Πρόταση 7. : Αν ένα πίπδο τέμνι μια από δύο παράλληλς υθίς, τότ τέμνι και την άλλη (σχ. ). Πρόταση 7.: Αν δύο διαφορτικές υθίς ίναι κάθτς σ ένα πίπδο, τότ ίναι παράλληλς. (σχ. (βλέπ και πόρισμα 5.7). Πρόταση 7.3: Αν μια υθία διέρχται από ένα σημίο που δν ανήκι σ ένα πίπδο ίναι παράλληλη προς μια υθία του πιπέδου, τότ ίναι παράλληλη προς το πίπδο αυτό (σχ. 3). Πρόταση 7.: Αν μια υθία ίναι παράλληλη προς ένα πίπδο, τότ κάθ υθία που διέρχται από ένα σημίο του πιπέδου ίναι παράλληλη προς την πριέχται στο πίπδο (σχ. ). Πρόταση 7.5: Αν μια υθία ίναι παράλληλη προς δύο τμνόμνα πίπδα τότ ίναι παράλληλη προς την τομή τους (σχ. 5). Σχ. Σχ. Σχ. 3 Σχ. Σχ. 5

4 Πορισμα 7.6:. Από κάθ σημίο του χώρου, που δν ανήκι σ καμιά από τις δύο ασύμβατς υθίς διέρχται ένα μόνο πίπδο παράλληλο προς αυτές.. Δίνονται δύο ασύμβατς υθίς. Από καθμιά διέρχται μόνο ένα μόνο πίπδο παράλληλο προς την άλλη. 8. ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Πρόταση 8.: Δυο πίπδα κάθτα στην ίδια υθία σ διαφορτικά σημία της ίναι παράλληλα (βλέπ και πόρισμα 5.6). Πρόταση 8.: Αν μια υθία τέμνι ένα πίπδο τότ τέμνι και κάθ άλλο πίπδο ρ παράλληλο προς το π. Πρόταση 8.3: Αν δύο τμνόμνς υθίς ίναι παράλληλς προς ένα πίπδο π, τότ και το πίπδο που ορίζουν ίναι παράλληλο προς το π. Α). Γωνία δύο υθιών : (Βλέπ Παράγραφο 5) 9. ΓΩΝΙΕΣ Β). Γωνία υθίας πιπέδου: Είναι η γωνία που σχηματίζται από την υθία και την προβολή της στο πίπδο, αν η υθία δν ίναι κάθτη στο πίπδο. Αν η υθία ίναι κάθτη στο πίπδο ως γωνία ορίζται η ορθή Θώρημα 9.: Αν μια υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο τότ ίναι ορθογώνια προς κάθ υθία του πιπέδου (σχ. ). Θώρημα 9.: Η γωνία που σχηματίζι μια υθία, η οποία τέμνι ένα πίπδο π, μ την προβολή της, ίναι η μικρότρη από τις γωνίς που σχηματίζι μ κάθ άλλη υθία του πιπέδου, που την τέμνι. Γ). Γωνία δυο πιπέδων. Θωρούμ δύο ημιπίπδα π και ρ που τέμνονται κατά την υθία. Το σχήμα λέγται δίδρη γωνία μ ακμή και συμβολίζται μ (π,ρ) (σχ. 3). Τα πίπδα λέγονται έδρς της δίδρης γωνίας και η αρχική υθία λέγται ακμή της δίδρης γωνίας. Η δίδρη γωνία χωρίζι το χώρο σ κυρτό (κυρτή δίδρη γωνία) και μη κυρτό μέρος (μη κυρτή δίδρη γωνία) (για λπτομέρις βλέπ στο σχολικό βιβλίο). Θωρούμ ένα πίπδο δ κάθτο στην ακμή και τις τομές του δ μ τα π και ρ. Οι ημιυθίς ορίζουν στο πίπδο δ μια κυρτή και μια μη κυρτή γωνία, οι οποίς ονομάζονται αντίστοιχς πίπδς γωνίς της κυρτής και μη κυρτής δίδρης γωνίας. Το μέτρο της αντίστοιχης πίπδης γωνίας λέγται μέτρο της δίδρης γωνίας. Συνήθως ως «δίδρη γωνία» θωρούμ την κυρτή. Δίδρη γωνία δύο τμνομένων πιπέδων λέγται η μικρότρη ή ίση της ορθής δίδρη γωνία που σχηματίζουν τα δύο πίπδα. Γωνία δύο πιπέδων λέγται η αντίστοιχη πίπδη της δίδρης των δύο πιπέδων. Σχ. 3 Αν η γωνία δύο πιπέδων ίναι ορθή τα πίπδα λέγονται κάθτα. Θώρημα 9.: Αν μία υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο π, τότ κάθ πίπδο που πριέχι την ίναι κάθτο στο π. Θώρημα 9.: Αν δύο πίπδα ίναι κάθτα, κάθ υθέα του νός που ίναι κάθτη στην τομή τους ίναι κάθτη στο άλλο.

5 Ασκήσις:. Κοινή κάθτη ασύμβατων υθιών Έστω δύο ασύμβατς υθίς. Να αποδιχθί ότι: a. Υπάρχουν δύο πίπδα, ένα που πριέχι την και ένα που πριέχι την, τα οποία ίναι παράλληλα. b. Υπάρχι ακριβώς μία υθία που ίναι κάθτη στις (κοινή κάθτη) και το τμήμα της κοινής κάθτης μταξύ των ίναι το μικρότρο από κάθ άλλο τμήμα μ άκρα στις υθίς αυτές. Απόδιξη: a. Από τυχόν σημίο Α (σχ. ) της φέρουμ την υθία 3 παράλληλη προς την. Αν π (, 3) π//. Μ όμοια κατασκυή φέρουμ από σημίο Β της υθίας μια υθία // και έστωπ (, ) π //. πίπδο που πριέχι την π, =, τότ =. Τότ ίναι παράλληλο στην. Τα πίπδα π ίναι παράλληλα και ανξάρτητα των τυχαίων σημίων Α και Β που πιλέχθηκαν. b. Έστω π = (, 3) το πίπδο (σχ. ) που πριέχι την ίναι παράλληλο προς την όπως πριν. Από τυχόν σημίο Β της φέρουμ υθία κάθτη στο π. Έστω Γ το ίχνος της. Από το σημίο Γ φέρουμ υθία παράλληλη προς την υθία 3 που τέμνι την στο σημίο Κ. Από το σημίο Κ φέρουμ παράλληλη προς την που τέμνι την στο σημίο Λ. Αποδικνύται ότι τα σημία Κ και Λ ίναι μοναδικά καθορισμένα και ανξάρτητα από την τυχαία πιλογή των σημίων Α και Β και ότι το υθύγραμμο τμήμα ΚΛ ίναι κάθτο στα πίπδα π, π (άρα στις ) και άρα έχι το μικρότρο μήκος από όλα τα άλλα υθύγραμμα τμήματα μ άκρα στις.. Να κατασκυασθί υθία που να τέμνι δύο ασύμβατς υθίς και να διέρχται από δδομένο σημίο Ο. Λύση: Έστω π =(,Ο) και π =(,Ο). Τότ τα π καιπ τέμνονται κατά μία υθία (Αξίωμα 6). Αν υπάρχι η ζητούμνη υθία τότ αυτή πριέχι το Ο και σημίο της, άρα ανήκι στο π. Όμοια ανήκι στο π. Άρα θα ίναι η τομή των π και π. Αν // ή //, τότ το πρόβλημα δν έχι λύση. 3. Αν μια υθία τέμνι πλάγια πίπδο π στο σημίο Α, να αποδιχθί ότι υπάρχι ακριβώς μια υθία του π που διέρχται οπό το Α ίναι κάθτη στην. Λύση: Αν υπάρχι τέτοια υθία, αυτή θα ίναι μοναδική διότι αν υπήρχαν δύο, από το θώρημα 5., θα ήταν κάθτη στο π. Αν Β σημίο της που δν ανήκι στο π και ΒΓ ίναι η κάθτη από το Β στο π, τότ η ζητούμνη υθία ίναι η υθία του π που διέρχται από το Α ίναι κάθτη στην ΑΓ (Θώρημα τριών καθέτων).

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο

Διαβάστε περισσότερα

φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο

φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο 1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ.

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Θεώρηµα ( ) x x. f (x) Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ 1 1-2 ΣΥΜΜΕΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΞΝ ΞΝΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΘΕΩΡΙ Συµµτρικό σηµίου ως προς υθία Όταν το ν βρίσκται πάνω στην νοµάζουµ συµµτρικό του ως προς την υθία το σηµίο µ το οποίο συµπίπτι το όταν ιπλώσουµ το σχήµα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1)

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) Εξίσση γραµµής C του πιπέδου: Είναι µια ξίσση µ δύο αγνώστους x, που έχι τις ιδιότητς i) Oι συντταγµένς κάθ σηµίου της γραµµής C παληθύουν την ξίσση και

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΚΕΦΛΙ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΤΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΣ ΝΘΠΥΛΣ, ΕΠΙΚΥΡΣ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΔΙΙΚΗΣΗΣ ΚΙ ΔΙΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΡΙΣΣ Θέμα 16 ο : αρμονική σωτρική ρική διαίρση υθύγραμμου τμήματος σ λόγο

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146) Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία.

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. ΜΑΘΗΜΑ 2 Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. Κυρτή γωνία ή απλά γωνία λέγεται το σχήμα που συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκια Εξέτασης: ώρς ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ευθείες και επίπεδα Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου είναι: το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο.

4.1 ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ευθείες και επίπεδα Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου είναι: το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 367 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ευθείες και επίπεδα Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου είναι: το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. α Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων Οι δυνατές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1

Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1 Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 1 ΚΥΚΛΟ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος (.τ.) των σημίων του πιπέδου που πέχουν στθή πόστση, ( > ), πό έν συκκιμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Το οµοιόθετο γωνίας : Είναι γωνία ίση µε την αρχική

1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Το οµοιόθετο γωνίας : Είναι γωνία ίση µε την αρχική 1 1.4 ΜΙΘΣΙ ΘΩΡΙ 1. Το οµοιόθετο ευθυγράµµου τµήµατος ίναι ευθύγραµµο τµήµα // AB και τέτοιο ώστε = λ, όπου λ ο λόγος οµοιοθεσίας (το κέντρο οµοιοθεσίας να µην ανήκει στν ευθεία ). Το οµοιόθετο γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα