MATEMATIKA 7. razred osnovne škole
|
|
|
- ĒΓαβριήλ Ταμτάκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika 7. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 7. razred osnovne škole KOORDINATNI SUSTAV 1. Koordinatni sustav na pravcu Koordinatni sustav na pravcu, ishodište, jedinična dužina koordinata točke. Pridruživanje točaka pravca racionalnim brojevima uz razgovor i demonstraciju. Ishodište, koordinatna os, koordinata točke, koordinatni sustav na pravcu. x - os, T(x) Znati racionalnim brojevima pridružiti točke brojevnoga pravca. 2. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini Uređeni par, koordinatne osi, pravokutni koordinatni sustav u ravnini, koordinate točke. Pridruživanje točaka koordinatne ravnine uređenim parovima racionalnih brojeva, uz razgovor, prozirnicu ili uz pomoć računala. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini, ishodište, os apscisa, os ordinata, uređeni par, kvadranti, apscisa, ordinata. x -os, y-os, T(x,y) Znati odrediti točku koordinatne ravnine ako su joj zadane koordinate i obratno: očitati koordinate zadane točke. PROPORCIONALNOST I OBRNUTA PROPORCIONALNOST 3. Omjer i proporcija (razmjernost) Omjer, proporcija (razmjernost). Uz razgovor i suradnju s učenicima usvojiti pojam omjera uz uporabu prozirnica. Omjer, proporcija (razmjernost), vanjski članovi proporcije, unutarnji članovi proporcije. a:b = c:d svodi se na ad = bc Znati odrediti bilo koji nepoznati član proporcije koristeći osnovno svojstvo proporcije. 4. Proporcionalne veličine Proporcionalnost (razmjernost), koeficijent proporcionalnosti. U razgovoru s učenicima na konkretnim primjerima objasniti proporcionalne veličine. Proporcionalnost (razmjernost), koeficijent proporcionalnosti. y = kx. Znati prepoznati proporcionalne veličine u rješavanju praktičnih problema. 5. Primjena proporcionalnosti na rješavanje praktičnih problema Proporcionalnost (razmjernost). Uz razgovor i suradnju rješavati praktične probleme. Moguća je primjena individualnoga i grupnoga rada. y = kx. Znati primjeniti matematički postupak na konkretne zadatke iz svakodnevnog života. Rješavati jednostavne problemske zadatke. 6. Grafički prikaz proporcionalnosti Proporcionalnost, grafički prikaz proporcionalnosti. Metoda demonstracije. Grafički prikaz proporcionalnosti uz pomoć geometrijskog pribora, prozirnica ili računala. Pravac kao grafički prikaz proporcionalnosti, nagib pravca. Znati grafički prikazati proporcionalnost. Znati iz zadanog grafa očitati vrijednosti, tj. koordinate točke. 7. Obrnuta proporcionalnost Obrnuto proporcionalne veličine. Uz razgovor uočiti iz svakodnevnoga života obrnutu proporcionalnost. Razgovor, prozirnice, projektor, grupni rad, džepno računalo. Obrnuta proporcionalnost, koeficijent obrnute proporcionalnosti. xy = k. Znati prepoznati obrnuto proporcionalne veličine iz svakodnevnoga života. Odrediti razmjerom i formulom nepoznate veličine u zadacima iz svakodnevnoga života. 8. Postotak. Računanje s postocima Postotak.
2 Matematika 7. razred osnovne škole 2 Heurističkim razgovorom uvesti pojam postotka, njegov zapis u obliku razlomka i decimalnoga broja, računanje s postocima. Postotak, osnovna vrijednost, postotni iznos. y = p x, oznaka p%. Računanje s postocima te primjena na zadatke iz svakodnevnoga života i drugim znanostima. Znati naći treću veličinu y, p ili x, ako su preostale dvije poznate. 9. Jednostavni kamatni račun Kamate, kamatna stopa, glavnica. Uz heuristički razgovor s učenicima uvesti pojam kamata. Jednostavni kamatni račun, kamatna stopa, glavnica. k = sgv (k je kamatni iznos, s kamatna stopa, g glavnica, v vrijeme). Znati odrediti kamate i primijeniti na zadatke iz svakodnevnoga života. 10. Prikazivanje i analiza podataka Obilježje skupa objekata, frekvencija i relativna frekvencija, tabelarni prikaz, stupčasti dijagram i histogram. Kroz konkretne primjere i zadatke uvesti elementarne statističke pojmove i postupke. Timski rad, rad u parovima, individualni rad. Frekvencija, relativna frekvencija, aritmetička sredina, stupčasti dijagram, histogram. Oznaka za aritmetičku sredinu x Znati prepoznati obilježje skupa objekata, odrediti vrijednosti tog obilježja i prikazati prikupljene podatke o tom obilježju pomoću tablice frekvencija i relativnih frekvencija, te grafički pomoću stupčastoga dijagrama i histograma. Znati izračunati aritmetičku sredinu, tj. srednju vrijednost danoga skupa podataka, te interpretirati dobivene podatke. 11. Vjerojatnost slučajnoga događaja Slučajni događaj, elementarni događaj, relativna frekvencija događaja, vjerojatnost događaja. Kroz konkretne primjere i zadatke (npr. Bacanje novčića ili kocke, izvlačenje kuglice iz kutije i sl.) uvesti pojam slučajnoga događaja. Problemu određivanja vjerojatnosti događaja pristupiti pomoću relativne frekvencije događaja. Timski rad, rad u parovima, individualni rad. Vjerojatnost slučajnog događaja. P(A) (vjerojatnost događaja A). Znati navesti elementarne događaje, prepoznati koji su elementarni događaji povoljni za zadani događaj, znati izračunati vjerojatnost događaja. SLIČNOST TROKUTA 12. Dijeljenje dužine na jednake dijelove i u zadanom omjeru Omjer dviju dužina. Demonstracijom i razgovorom naučiti dijeliti dužinu pomoću geometrijskoga pribora ili računala. Omjer dužina, proporcionalne dužine, Talesov poučak o proporcionalnim dužinama. Znati podijeliti dužinu u zadanom omjeru. 13. Sličnost trokuta i primjena Slični trokuti, koeficijent sličnosti. Razgovorom uvesti pojam sličnih trokuta te objasniti poučke sličnosti demonstracijom sličnih trokuta. Grafoskop, računalo i projektor. Slični trokuti, koeficijent sličnosti;. ~ Usvojiti pojam sličnosti trokuta, znati poučke o sličnosti trokuta, znati izračunati duljine stranica sličnih trokuta. Opseg i površina sličnih trokuta. MNOGOKUTI 14. Osnovno o mnogokutu Mnogokut (n-terokut), stranice, vrhovi i kutovi mnogokuta. Razgovorom uvesti pojam mnogokuta uz prozirnice ili računala. Mnogokut ili n-terokut, stranice mnogokuta, vrhovi mnogokuta i kutovi mnogokuta. Usvojiti pojam mnogokuta i znati nacrtati mnogokut. 15. Dijagonale mnogokuta i kutovi mnogokuta Dijagonala mnogokuta, unutarnji kut mnogokuta.
3 Matematika 7. razred osnovne škole 3 Heurističkim razgovorom uvesti izraze za broj dijagonala iz jednog vrha, ukupan broj dijagonala, zbroj n-terokuta. Dijagonala mnogokuta. Znati odrediti ukupni broj dijagonala n-terokuta, znati odrediti zbroj kutova n-terokuta. 16. Pravilni mnogokuti Pravilni mnogokut. Karakteristični trokut. Heurističkim razgovorom i demonstracijom uvesti pojam pravilnoga mnogokuta uz prozirnice ili računalo. Pravilni mnogokut, karakteristični trokut. Znati istaknuti karakteristični trokut u pravilnom mnogokutu. 17. Crtanje i konstrukcije pravilnih mnogokuta Pravilni mnogokut, konstrukcija pravilnoga mnogokuta. Metodom demonstracije objasniti konstrukcije pravilnoga (jednakostraničnoga) trokuta, kvadrata, pravilnoga šesterokuta, pravilnoga osmerokuta, pravilnoga dvanaesterokuta. Pravilni šesterokut, pravilni osmerokut, pravilni dvanaesterokut. Znati konstruirati pravilne mnogokute sa 6, 8 i 12 stranica. Znati nacrtati pravilni peterokut pomoću karakterističnoga trokuta služeći se kutomjerom. 18. Opseg i površina mnogokuta Mnogokut, opseg mnogokuta, površina mnogokuta. Razgovorom uvesti pojam opsega i površine mnogokuta uz prozirnice. Opseg i površina mnogokuta. Opseg mnogokuta je zbroj duljina svih stranica. Znati odrediti opseg i površinu mnogokuta. KRUG I KRUŽNICA 19. Osnovno o krugu i kružnici Kružnica, središte, polumjer i promjer kružnice, krug. Primjena grafoskopa, računala, projektora. Kolinearne i nekolinearne točke. r (polumjer kružnice), d (promjer kružnice), S (središte kružnice), k(s,r) (kružnica polumjera r sa središtem u S) Znati razlikovati pojmove kružnice i kruga. Znati da je kružnica određena s tri nekolinearne točke. 20. Međusobni položaj dviju kružnica Kružnica. Razgovorom i demonstracijom opisati međusobne položaje dviju kružnica. Koncentrične kružnice, kružni vijenac. Znati odrediti u kojem su položaju dvije kružnice. 21. Odnos središnjega i obodnoga kuta Kružnica, središnji kut, obodni kut. Heurističkim razgovorom i demonstracijom naći vezu obodnoga i središnjega kuta. Obodni kut i središnji kut. Znati da je obodni kut jednak polovini pripadnoga središnjeg kuta. 22. Talesov poučak Talesov poučak. Demonstrirati nekoliko obodnih kutova nad promjerom kružnice i mjerenjem ispitati veličine tih kutova. Obodni kut nad promjerom kružnice. Talesov poučak. Usvojiti činjenicu da je svaki obodni kut nad promjerom kružnice pravi kut. 23. Pravac i kružnica Tangenta kružnice, diralište tangente, sekanta. Razgovorom i demonstracijom uočiti međusobni položaj pravca i kružnice. Tangenta kružnice, diralište tangente, sekanta. Usvojiti da pravac i kružnica mogu imati dvije zajedničke točke, jednu zajedničku točku ili da nemaju nijednu zajedničku točku. Konstrukcija tangente kružnice u njenoj točki. 24. Opseg kruga
4 Matematika 7. razred osnovne škole 4 Krug, kružnica, opseg kruga, broj π. Uvesti pojam broja π s crticama iz povijesti i pojam opsega kruga. Broj π, opseg kruga. π, π 3.14, o = 2rπ (opseg kruga) Znati izračunati opseg kruga i primijeniti znanje. 25. Kružni luk Kružni luk, duljina kružnog luka. Razgovorom i demonstracijom uvesti izraz za duljinu kružnoga luka. Kružni luk i duljina kružnog luka. l : 2rπ = α : 360 Znati izračunati duljinu kružnoga luka. 26. Površina kruga Površina kruga, jedinica za površinu. Površina kruga i kružnog isječka. p = r 2 π (površina kruga) Znati odrediti površinu kruga i primjeniti na zadatke iz svakodnevnoga života, površina kružnog isječka. DVIJE LINEARNE JEDNADŽBE S DVIJE NEPOZNANICE 27. Sustav linearnih jednadžbi Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama, rješenje sustava. Na konkretnim problemskim primjerima uvesti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Uočiti važnost provjere rješenja. Ekvivalentni sustavi jednadžbi, jedinstveno rješenje. Provjeriti je li zadani uređeni par rješenje sustava. 28. Metoda supstitucije Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama, supstitucija ili zamjena. Primjenu metode supstitucije u rješavanju sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama opisati na primjerima iz svakodnevnog života. Supstitucija ili zamjena. Usvojiti postupak metode supstitucije. Naći najjednostavniji postupak u primjeni metode supstitucije. Načiniti provjeru nakon primjene metode supstitucije. 29. Metoda suprotnih koeficijenata Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama, metoda suprotnih koeficijenata. Primjenu metode suprotnih koeficijenata u rješavanju sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama opisati na primjerima iz svakodnevnog života. Usvojiti postupak metode suprotnih koeficijenata. Naći najjednostavniji postupak u primjeni ove metode pri rješavanju sustava. Načiniti provjeru primjenom metode supstitucije. U zadanim primjerima samostalno odrediti koja od dvije metode dovodi do jednostavnijega načina rješavanja. 30. Primjena sustava linearnih jednadžbi Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Putem razgovora i demonstracije usvojiti svođenje problemskih zadataka riječima na simbolički zapis sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Svođenje problemskih zadataka na rješavanje sustava dviju jednadžbi. Riješiti dobiveni sustav linearnih jednadžbi prikladno odabranom metodom. Izreći, zapisati i provjeriti rješenje te ga po potrebi prodiskutirati. LINEARNA FUNKCIJA I JEDNADŽBA PRAVCA 31. Linearna funkcija Linearna funkcija, vrijednost funkcije. Učenik na praktičnim primjerima usvaja i zatim i sam izražava i izračunava vrijednost funkcije y = ax + b, uočava kako se promjenom x mijenja vrijednost y. Linearna funkcija, vrijednost funkcije. y = ax + b Usvojiti način zapisivanja funkcije. Izračunavanje vrijednosti funkcije za određene vrijednosti od x. Primijeniti na praktične zadatke.
5 Matematika 7. razred osnovne škole Graf linearne funkcije, jednadžba pravca Linearna funkcija. Graf linearne funkcije, eksplicitni oblik jednadžbe pravca. Uočiti da je graf linearne funkcije pravac. Zaključiti da uređeni par (x,y) zadovoljava jednadžbu pravca y = ax + b ako točka T(x,y) pripada tom pravcu. Uspostaviti na intuitivnom nivou vezu između linearne funkcije i grafa. Graf linearne funkcije, eksplicitni oblik jednadžbe pravca, koeficijent smjera ili nagib pravca, odsječak na y osi. Crtati graf linearne funkcije i iz nacrtanoga grafa iščitavati vrijednosti funkcije. Procijeniti i provjeriti (računski i grafički) pripada li zadana točka zadanom grafu. Znati opisati ovisnost dviju varijabli a) pomoću tablice b) pomoću grafa 33. Tok linearne funkcije Nultočka, nagib pravca, rastuća funkcija ili padajuća funkcija. Ispitivanje rastućih i padajućih funkcija metodom razgovora. Dio teme obraditi individualnim radom, radom uz uporabu džepnog računala. Uporaba prozirnica, grafoskopa, računala. Tok linearne funkcije, nultočka, rastuća funkcija, padajuća funkcija. Određivanje nultočke zadane linearne funkcije računski i grafički. Usvojiti značenje nagiba pravca i odsječka na y osi i njihovu geometrijsku interpretaciju. Ispitivanje rasta ili pada linearne funkcije prema nagibu pravca. 34. Usporedni pravci Pravac, usporednost. Crtajući usporedne pravce i uspoređujući njihove jednadžbe doći do uvjeta usporednosti dvaju pravaca. Iskazati uvjet usporednosti dvaju pravaca. Iz jednadžbi pravaca odrediti jesu li pravci usporedni, poklapaju li se ili se sijeku. 35. Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi Presjek pravaca, sjecište, koordinate sjecišta, usporednost pravaca. Uočiti vezu između linearne jednadžbe te jednadžbe, odnosno grafa linearne funkcije. Riješiti sustav linearnih jednadžbi grafički i računskim putem provjeriti rješenje. Odrediti grafičkom metodom ima li sustav dviju linearnih jednadžbi jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rješenja.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
MATEMATIKA 6. razred osnovne škole
Matematika 6. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 6. razred osnovne škole OPERACIJE S RAZLOMCIMA 1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik Zajednički nazivnik dvaju razlomaka. Provesti heuristički razgovor
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
5. RAZRED NASTAVNA CJELINA: PRIRODNI BROJEVI
NASTAVNA CJELINA: PRIRODNI BROJEVI 5. RAZRED - čitati i pisati prirodne brojeve - razlikovati parne i neparne brojeve - navesti elemente skupa N i N 0 - uspoređivati prirodne brojeve - zbrajati i oduzimati
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Matematika. dijelovi ispitnoga kataloga
Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja Matematika dijelovi ispitnoga kataloga Označeni su sadržaji i obrazovni ishodi više razine koji nisu dio osnovne razine na državnoj maturi u škol. god.
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Konstruktivne metode u geometriji. prema predavanjima prof. Vladimira Voleneca
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima prof. Vladimira Voleneca 1 Euklidske konstrukcije 1.1 Povijest Ravnalo i šestar su najstariji geometrijski instrumenti. Ne zna se gdje su i kada izumljeni,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 2008.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab
Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija
Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem
Priprema za popravni ispit. Matematika 7. razred
Matematika 7. razred Priprema za popravni ispit 1/8 Pažljivo pročitaj ovaj tekst: 1. Ovo su zadaci koji predstavljaju ono najosnovnije što treba znati na kraju 7. razreda. Nije dovoljno riješiti samo njih,
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Analitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
2 Mature i državni ispiti iz matematike u europskim zemljama ( a) 4,zaa = 2 i. 27b. b = 3. 2 x sin. 2 +x. 1. Mature u Sloveniji
Ljetni rok, 995. godine Osnovna razina Zadatak. Ako od broja b oduzmemo dvokratnik broja a, dobije se 2. Ako se peterokratnik broja a umanji za (b + ), dobije se 6. Izračunajte brojeve a i b. Rješenje:
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
NASTAVNI PREDMET: MATEMATIKA 3
GIMNZIJ I STRUKOVN ŠKOL JURJ DORILE PZIN NSTVNI PREDMET: MTEMTIK nalitiča geometrija u ravnini. GORTN ROERT..00 Nastavno pismo NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU TLI SDRŽJ. NLITIČK GEOMETRIJ
ZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Konstruktivne metode. U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. metoda afinosti, metoda kolineacije.
Iz rječnika metodike Konstruktivne metode Zdravko Kurnik, Zagreb U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji niz razvijenih metoda rješavanja konstruktivnih zadataka, tako da se dobar dio tih zadataka
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Priručnik za nastavnike
XV c b d r a a Matematika između realnog i virtualnog b c d Rata Glavnica Kamata Iznos rate 0 1.08, 1,58.97,91.08, 05,6.88,97.08, 197,6.80,0.08, 187,76.71,09 5.08, 178,8.6,15 6.08, 169,88.5,1 7.08, 160,9.,7
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
I. dio. Zadaci za ponavljanje
I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Geometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
ZBIRKA - TESTOVA 1. dio
**** IVANA SRAGA **** 03. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE ZBIRKA - TESTOVA. dio. polugodište α Autori: IVANA SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga Ivana Sraga
mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Matematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Još neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike
PITANJA ZA MATURALNI ISPIT Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike. Dokazati da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu 80 0,a spoljnjih 60 0.. Dokazati da je spoljnji kut trokuta jednak zbroju dva nesusjedna
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU
DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU Izrada: Dalila Ljevo Lektorisala: Ivana Mostarac Tehnička obrada: Edin Tabak Sadržaj CIJELI BROJEVI...4 Svojstva zbrajanja
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO
4. razred-osnovna škola 1. Umjesto zvjezdica upiši odgovarajuće znamenke i obrazloži. * * 8 5 * * 5 5 * 0 + 4 * * 5 * * * * * 2. U jednoj auto-radionici u jednom mjesecu popravljena su 44 vozila i to motocikli
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens