HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 H Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Από την προηγούμενη διάλεξη Στην ανάλυση πλεγμάτων, εφαρμόζουμε τον νόμο τάσης του Kirchhoff σε όλα τα πλέγματα του κυκλώματος. Τα ρεύμα σε ένα συγκεκριμένο πλέγμα εκφράζεται χρησιμοποιώντας τη συνολική πτώση τάσεως. Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ Green Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 6 Ι W 6 Ι 3 Ι Ι 5 W ( ) ( ) W 3 W ( ) ( ) 5 W 3 ( ) ( ) ( ) ( ) W Θέματα της διάλεξης Διάλεξη 6 Τεχνικές ανάλυσης κυκλωμάτων 3 Το ανοικτό και βραχυ Επαλληλία (uperposition) Θεώρημα του Thevenin Θεώρημα του orton Το ανοικτό (open circuit) και το βραχυ(short circuit) /G G Έχουμε επικεντρωθεί σε κυκλώματα που περιέχουν γραμμικές αντιστάσεις. Υποθέτουμε ότι οι αντιστάσεις αυτές είναι θετικές, πράγμα που σημαίνει ότι η ελάχιστη τιμή είναι μηδέν και η μέγιστη είναι άπειρη. Αυτές οι δύο περιπτώσεις συχνά θεωρούνται ως ειδικά στοιχεία, και ονομάζονται βραχυ και ανοικτό αντίστοιχα. Σε ραδιοσυχνότητες και μικροκυματικές συχνότητες, η αντιστάσεις 7 και είναι επίσης πάρα πολλά σημαντικές. 3

2 Το βραχυ(short circuit /C) Η τάση στους ακροδέκτες του βραχυκυκλώματος είναι μηδέν. / C Το βραχυ έχει μηδενική αντίσταση, και στη θέση του συμβόλου αντιστάτη μπορούμε απλά να χρησιμοποιήσετε μια ευθεία γραμμή (όπως και για όλα τα ιδανικά καλώδια που συνδέουν τα διαφορά στοιχεία στα διαγράμματα που είδαμε). (G ) Το ανοικτό (open circuit O/C) /C /C short circuit Το ανοιχτό έχει άπειρη αντίσταση. Όταν αποσυνδέουμε δύο ακροδέκτες, τότε λέμε ότι υπάρχει ένα ανοιχτό μεταξύ τους. Το σύμβολο απλά είναι μια «απουσία». (G ) O/C O/C open circuit 5 Το ρεύμα που περνά από ανοικτό είναι μηδέν. Έστω μια πραγματική πηγή τάσης με φορτίο. Ι Βραχυ Ι.. Ανοικτό.. / C, C O / C, / 6 Μία παρόμοια ανάλυση μπορεί να πραγματοποιηθεί για μια πραγματική πηγή ρεύματος. (Και πάλι αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα της δυαδικότητας.) G G Ανοικτό G G. G G G G.. G G G G G G G G G G Βραχυ G. G G G G G, O / C / C, / C G 7? Το ανοικτό και βραχυ είναι χρήσιμα στοιχεία για το σκοπό των μετρήσεων. Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια πραγματική πηγή τάσης, αλλά δεν γνωρίζουμε ποιες είναι οι τιμές των εσωτερικών στοιχείων.? Το βολτόμετρο έχει άπειρη αντίσταση. Μετράμε μια τάση?? / C Συγκρίνοντας με τις προηγούμενες εξισώσεις βρίσκουμε /, / C Το αμπερόμετρο έχει μηδενική αντίσταση. Μετράμε ένα ρεύμα 8

3 Χαρακτηριστικά για γενική αντίσταση, βραχυ και ανοικτό Χαρακτηριστικά Σύγκριση με ιδανικές ανεξάρτητες πηγές Βραχυ G Ι Κλίση G Ι Ιδανική πηγή ρεύματος G Αντιστάτης Ανοικτό G Ανοικτό G for all Όταν απενεργοποιούμε μια πηγή ρεύματος, σημαινει ότι μετατοπίζεται το χαρακτηριστικό της ετσι ώστε να συμπιπτει με το χαρακτηριστικό του ανοικτού κυκλώματος. Η εσωτερική αντίσταση της ιδανικής πηγής ρεύματος είναι άπειρη. 9 Άρα όταν «σβήνουμε» μια πηγή ρεύματος, την αντικαθιστούμε με ανοικτό. Χαρακτηριστικά Σύγκριση με ιδανικές ανεξάρτητες πηγές Βραχυ G Ι Ιδανική πηγή τάσης G Επαλληλία (uperposition) Η αρχή της επαλληλίας: για όλα τα γραμμικά συστήματα, η συνολική απόκριση (σε ένα δεδομένο τόπο και μια χρονική στιγμή) που προκαλείται από δύο ή περισσότερες διεγέρσεις είναι το άθροισμα των αποκρίσεων που θα έχουν προκληθεί από κάθε διέγερση ξεχωριστά. Παράδειγμα: Εάν ένα σήμα εισόδου Α οδηγεί σε μία απόκριση εξόδου Χ και ένα σήμα εισόδου Β παράγει μια απόκριση εξόδου Υ, τότε ένα σήμα εισόδου (Α Β) παράγει μία απόκριση εξόδου (Χ Υ). σύστημα σύστημα Όταν απενεργοποιούμε μια πηγη τασης, σημαινει ότι μετατοπίζεται το χαρακτηριστικό της ετσι ώστε να συμπιπτει με το χαρακτηριστικό του βραχυκυκλώματος. Η εσωτερική αντίσταση της ιδανικής πηγής τάσης είναι μηδέν. σύστημα Άρα όταν «σβήνουμε» μια πηγή τάσης, την αντικαθιστούμε με βραχυ.

4 Οι ιδιότητες της ομοιογένειας (homogeneity) και της προσθετικότητας (additivity) μαζί ονομάζονται η αρχή της επαλληλίας. Μια γραμμική συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες της επαλληλίας. Έστω μια γραμμική συνάρτηση f ( x) Τα πιο πάνω γραμμικά συστήματα είναι O (single input single output). Δηλαδή, έχουν μια μοναδική είσοδο και μία έξοδο. Υπάρχουν, επίσης, γραμμικά συστήματα που είναι O (multiple input multiple output), όπως το πιο κάτω. k x Σ Προσθετικότητα Ομοιογένεια f ( k x k ) ( x x x ) f ( x ) f ( x )... f ( ) f... ( kx) k f ( x) n x n f k βαθμωτό (scalar) x k x Σ f ( kx ) f ( k x ) 3 Ι Χ Ι Υ Ι Ζ Β, δύο τάσεις «εισόδου»,, τρία ρεύματα «εξόδου» k x k x Αν απομονώσουμε ένα σήμα εξόδου, και εξετάσουμε την εξάρτησή του από τα δύο σήματα εισόδου, έχουμε Ας υποθέσουμε ένα αυθαίρετο ωμικό που συνδέεται με ένα αριθμό ανεξάρτητων πηγών. Υπάρχει μια θύρα εξόδου, η οποία ενώνεται με φορτίο. k x k x k x x f ( k x k x ) f ( k x ) f ( k ) f ( ) x k x Άρα μπορούμε να βρούμε τη συνολική απόκριση του συστήματος ως εξής.. Απενεργοποιούμε το δευτερο σημα εισοδου, και μετρουμε την αποκριση f ( k x ) Αυθαίρετο δίκτυο αντίστασης (χωρίς πηγές) θύρα εξόδου x k x f ( ) k x. Απενεργοποιούμε το πρώτο σήμα εισόδου, και μετρούμε την απόκριση 3. Η συνολική απόκριση είναι το άθροισμα f k x f k ( ) ( ) x f ( k x ) Για να βρούμε τη συνολική «απόκριση» του κυκλώματος (δηλαδή την τάση και ρεύμα στο φορτίο), εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας. Δηλαδή ενεργοποιούμε καθεμία από τις πηγές με τη σειρά της, διατηρώντας όλες τις άλλες πηγές σβησμένες. Η τεχνική αυτή είναι απλά μια εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας. Όταν απενεργοποιούμε μια πηγή τάσης, γίνεται βραχυ. 5 Όταν απενεργοποιούμε μια πηγή ρεύματος, γίνεται ανοικτό. 6

5 Το θεώρημα της επαλληλίας για ηλεκτρικά κυκλώματα Η απόκριση (τάση ή ρεύμα) σε οποιοδήποτε κλάδος ενός γραμμικού κυκλώματος που έχει περισσότερα από μία ανεξάρτητη πηγή ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των αποκρίσεων που προκαλούνται από κάθε ανεξάρτητη πηγή χωριστά, ενώ όλες οι άλλες ανεξάρτητες πηγές αντικαθίστανται από την εσωτερική τους αντίσταση. Για να εξακριβωθεί η συνεισφορά κάθε επιμέρους πηγή, όλες οι άλλες πηγές πρέπει πρώτα να απενεργοποιηθούν (μηδενίζονται) από: Αντικατάσταση όλων των άλλων ανεξάρτητων πηγών τάσης με βραχυκυκλώματα Αντικατάσταση όλων των άλλων ανεξάρτητων πηγών ρεύματος με ανοιχτά κυκλώματα 3 Αυτή η διαδικασία ακολουθείται για κάθε πηγή με τη σειρά. Η προκύπτουσες αποκρίσεις προστίθενται για να βρει την πραγματική λειτουργία του κυκλώματος. Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή της επαλληλίας για να βρούμε τη συνολική ηλεκτρική ισχύς. Γιατί; 7 8 Παράδειγμα Επαλληλία Να βρεθεί η τάση με τις τεχνικές τις (i) Κομβικής ανάλυσης (ii) Επαλληλίας Β. Η πηγή ρεύματος απενεργοποιείται (αντικαθιστάται με ανοικτό ). Διαίρεση τάσης Κομβική ανάλυση Χ Β. Η πηγή τάσης απενεργοποιείται (αντικαθιστάται με βραχυ). Διαίρεση ρεύματος G G G G G G G G Β 9 3. Η πλήρης λύση είναι

6 Παράδειγμα Κύκλωμα με εξαρτώμενες πήγες Όταν έχουμε εξαρτώμενες πήγες, πρέπει να παραμένουν ενεργοποιημένες 6 Ω Ω Α 6 Ω Ω 6 Ω Ω Α Ισοδύναμα Κυκλώματα Thevenin και orton Κάτι που συμβαίνει συχνά είναι το εξής Για ένα γραμμικό, μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά του στη θύρα εξόδου για διαφορετικά φορτία, π.χ. Αν επιστρέψουμε στο αυθαίρετο μας, και το ενσωματώσουμε μαζί με τις πηγές σε ένα μαύρο κουτί.. Μαύρο κουτί Αυθαίρετο γραμμικό ωμικό θύρα μέτρησης 3 3 Είναι μεγάλη ταλαιπωρία να αναλύουμε το κάθε φορά που αλλάζουμε το φορτίο, ειδικά αν το είναι πολύπλοκο. το ερώτημα είναι, υπάρχει ένα απλό μοντέλο κυκλώματος (ισοδύναμο ); 3

7 Θεώρημα του Thevenin Η ιδέα εδώ είναι ότι οποιαδήποτε δίκτυα με δύο τελικά άκρα που περιέχουν πηγές τάσης και ρεύματος, μαζί με αντιστάσεις, έχουν ακριβώς τα ίδια ηλεκτρικά χαρακτηριστικά με ένα ισοδύναμο που αποτελείται από μια ενιαία πηγή τάσης TH σε σειρά με μια ενιαία αντίσταση TH. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι το θεώρημα του Thevenin είναι συνέπεια της αρχής της επαλληλίας TH TH 5 Η τάση Thevenin TH είναι ίση µε την τάση του ανοικτού κυκλώµατος όπως την βλέπουµε στα άκρα του γραµµικού κυκλώµατος: TH TH Αν τοποθετήσουμε ένα βραχυ στα άκρα ΑΒ, έχουμε / C TH TH / C TH / C TH / C TH TH 6 Ένας άλλος τρόπος να εκφράσουµε την αντίσταση Thevenin, που χρησιµοποιείται συχνά στην πράξη, είναι να θεωρηθεί ότι η TH είναι ίση µε την αντίσταση όπως φαίνεται στα άκρα της εξόδου µε όλες τις πηγές τάσης βραχυκυκλωµένες και τις πηγές ρεύµατος ανοικτές. Κύκλωμα Με όλες τις πηγές απενεργοποιημένες TH TH βραχυκυκλωµένο Αντίσταση εισόδου TH Θεώρημα του orton Oποιαδήποτε δίκτυα με δύο τελικά άκρα που περιέχουν πηγές τάσης και ρεύματος, μαζί με αντιστάσεις, έχουν ακριβώς τα ίδια ηλεκτρικά χαρακτηριστικά με ένα ισοδύναμο που αποτελείται από μια ενιαία πηγή ρεύματος Ι Ν παράλληλα με μια ενιαία αντίσταση Ν. 7 8

8 Το ρεύμα orton είναι ίσο με το ρεύμα βραχυκύκλωσης όπως το βλέπουµε στα άκρα του γραµµικού κυκλώµατος: Ένας άλλος τρόπος να εκφράσουµε την αντίσταση orton είναι να θεωρηθεί ότι η είναι ίση µε την αντίσταση όπως φαίνεται στα άκρα της εξόδου µε όλες τις πηγές τάσης βραχυκυκλωµένες και τις πηγές ρεύµατος ανοικτές. Ι / C / C Αν τοποθετήσουμε ένα ανοικτό στα άκρα ΑΒ, έχουμε Ι / C Κύκλωμα Με όλες τις πηγές απενεργοποιημένες ανοικτοκυκλωµένο Αντίσταση εισόδου Ν / C 9 3 Μπορούμε να εφαρμόσουμε μετασχηματισμό πηγής για να βρούμε το ισοδύναμο orton από το Thevenin (η το αντίθετο). TH Παράδειγμα 3 Βρείτε το ισοδύναμο Thevenin του ακόλουθο κυκλώματος. 5 Ω 3 Ω TH G Βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης Ω TH TH G 5Ω Ω Ω 5Ω Ω Ω Ανοικτό στη θέση της πηγής ρεύματος Ω Ω 8 Ω TH 8Ω 3 3

9 Λόγου του ανοικτού κυκλώματος, δεν ρέει ρεύμα στην αντίσταση Ω, άρα Ω 5 Ω 3 5 Ω 3 Ω Εφαρμόζοντας την μέθοδο της κομβικής ανάλυσης, 5 Ω Ω 3 5 5, TH TH 3 3 Ισοδύναμο Thevenin 3 8 Ω µετασχηµατισµό πηγής 3 8Ω 8 Ω Ισοδύναμο orton 33 3