Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος"

Transcript

1 Μί γείκευση της Αιθμητικής κι της Γεμετικής πόδυ - Ο Στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Δ. Πγιώτης Λ. Θεδόπυς Σχικός Σύμυς κάδυ ΠΕ0 Πείηψη Στη εγσί υτή μεετάτι η ειδική κτηγί τ κυθιώ όπυ κάθε ός εκτός πό τ πώτ πκύπτει πό τ πηγύμεό τυ υτός ππσισθεί με έ στθεό ιθμό κι στη συέχει στ γιόμε πυ πκύπτει πστεθεί ές επίσης στθεός ιθμός. Οι κυθίες υτές πτεύ γείκευση της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Έ σημτικό πτέεσμ της έευς υτής είι η άδειξη της γεικότητς τυ στθμικύ μέσυ. Έτσι ιπό κι ι τεις μέσι πυ σχετίζτι με τις πόδυς δηδή ιθμητικός γεμετικός κι μικός είι στθμικί μέσι όπυ ι συτεεστές ύτητς ίζτι με συγκεκιμέ τόπ. Εισγγή Η ιί διδσκί στ σχεί πυσιάζει μί ιδιίτεη δυμική διότι στη διάκειά της τάσστι πόψεις κι γεικά συτεείτι η μάθηση. Γι υτό ιπό τ κίμ της τάξης πέπει είι θετικό κι η μφή της διδσκίς τέτι ώστε εξσφίζετι υσιστική ηεπίδση τόσ μετξύ τυ εκπιδευτικύ κι τ μθητώ όσ κι μετξύ τ μθητώ. Οι μθητές θ πέπει μπύ εκφάζυ εεύθε τις πίες κι τις πόψεις τυς. Κτά τ σχικό έτς στ μάθημ της Άγες στη Β Λυκείυ κι συγκεκιμέ στη. η πί φέετι στη έι της κυθίς ύσμε στ μάθημ μί άσκηση η πί ζητύσε τη εύεση τύ δμικύ τύπυ της κυθίς πυ είι τύπς. Στη συέχει ότ έκ εισγγή στη ιθμητική πόδ πάη με τ ισμό της ιθμητικής πόδυ έδσ κι τ ισμό της γεμετικής γι σύγκιση κι συσχέτιση ώστε ι μθητές πμημεύσυ κύτε τυς δύ ισμύς σύμφ με τη «Θεί Επεξεγσίς Πηφιώ». Τότε ές μθητής της τάξης πεμίτς μυ είπε: «Κύιε η κυθί με τύπ: πυ ήκμε στη άσκηση πυ ύσμε πι είι μικτή πόδς;» Τυ πάτησ δε ς εξής: «Από ότι γίζ τέτιες κυθίες δε έχυ μεετηθεί ειδικά κι επμές είι ικτό τ θέμ γι εξεεύηση». Πότει μάιστ στυς μθητές όπις θέει σχηθεί με τ θέμ υτό φυσικά κι με τη δική μυ κθδήγηση. Βέι κές δε σχήθηκε διότι δύσκ ές μθητής κτπιάετι με έ θέμ πυ φήετι στη πιετική τυ επιγή. Εμέ όμς με πημάτισε η ιδέ κι η πτήηση τυ μθητή κι ότ ήκ χό σχήθηκ με τη εξεεύηση τυ ππά θέμτς τ πτεέσμτ της πίς πυσιάζτι στη πύσ εγσί. Γι τη πόδση της έις τ κυθιώ υτώ πτεί κι χησιμπιώ τ ό «γεική

2 πόδς» κτ γί πς τη ιθμητική κι γεμετική πόδ. Είι φεό ότι η γεική πόδς πτεεί τη γείκευση της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Απέφυγ τ ό «γεική πόδς» διότι δε πτεεί γείκευση της μικής πόδυ κι όπς πδεικύετι στιχεί της συτάει κείς κι στη μική πόδ! Οισμός: Μι κυθί IN θ τη έμε γεική πόδ υπάχυ πγμτικί ιθμί κι με 0 τέτιι ώστε γι κάθε IN ισχύει:. Τ ιθμό θ τo έμε συτεεστή της πόδυ κι τ στθεό ό της πόδυ. Ειδικότε 0 κι 0 τότε η πόδς έγετι γεμετική κι ιθμός όγς της πόδυ εώ τότε η πόδς έγετι ιθμητική κι διφά της πόδυ. Ο γεικός ός μις γεικής πόδυ συτήσει τ κι Με τ δμικό τύπ μις γεικής πόδυ μπύμε με διδχικά ήμτ ίσκυμε πιδήπτε ό της. Μπύμε όμς υπγίσυμε τ ιστό ό της πόδυ υτής κι συτήσει τ ιθμώ κι. Σύμφ ιπό με τ ισμό της γεικής πόδυ έχυμε:.. Α τότε πσθέττς κτά μέη τις ισότητες υτές πκύπτει τύπς της ιθμητικής πόδυ: Α τότε πσθέττς στ μέη τ ππά ιστήτ τ ό πίυμε:

3 .. Εκτεώτς στη συέχει τις πάξεις στ δεύτε μέη τ ππά ιστήτ πη της πώτης πκύπτυ ι πκάτ ισότητες:... Τές ππσιάζτς κτά μέη τις ισότητες υτές πίυμε: - Ά ιστός ός μις γεικής πόδυ με πώτ ό τ συτεεστή κι στθεό ό είι:

4 - πυ είι γ- Πτηύμε ότι γι 0 κι πίυμε στός τύπς της γεμετικής πόδυ. Ισχύει η πκάτ πότση. Πότση: Κάθε κυθί με τύπ γεική πόδς. IN με 0 κι είι Απόδειξη Έχυμε: Ά η κυθί -. είι γεική πόδς με συτεεστή κι Άθισμ διδχικώ ό γεικής πόδυ Θ υπγίσυμε τώ τ άθισμ τ πώτ ό μις γεικής πόδυ. Σύμφ με τ ισμό της γεικής πόδυ έχυμε:.. Α τότε ς γστό ισχύει: S [ ] Α τότε πσθέττς κτά μέη τις ππά ισότητες πίυμε: S S

5 5 Ατικθιστώτς στη τεευτί ισότητ τ S με S έχυμε: S S S S S S S S Ά τ άθισμ τ πώτ ό μις γεικής πόδυ είι: S [ ] Γι 0 κι πίυμε S πυ είι τύπς πυ μς δίει τ άθισμ τ πώτ ό γεμετικής πόδυ με πώτ ό τ κι όγ. Πι πχήσυμε στη μεέτη τυ γεικύ μέσυ πυ πυσιάζει κι τ μεγύτε εδιφέ ς δύμε έ πάδειγμ εφμγής τ ππά σε μί άσκηση. Η άσκηση πυ κυθεί είι μί τππίηση της άσκησης της σείδς 08 τυ σχικύ ιίυ της άγες της Β Λυκείυ. Εφμγή: Τ ψυγεί εός φτηγύ πειέχει 0 l εό. Αδειάζυμε 5 l εό κι τ τικθιστύμε με l τιπηκτικό κι l εό. Ύστε δειάζυμε πάι 5 l τυ μείγμτς κι τ τικθιστύμε με l τιπηκτικό κι l εό κ..κ. Α D η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί φύ εφμστεί η διδικσί φές είτε τ δμικό τύπ της κυθίς D κι στη συέχει εκφάσετε τ ιστό ό της κυθίς υτής συτήσει τυ.

6 Λύση Έστ D η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί τυ φτηγύ φύ εφμστεί η διδικσί φές. Κτά τη επόμεη φά εφμγής της διδικσίς είι πφές ότι η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί θ είι: 7 D D 8 Πτηύμε ιπό ότι η κυθί D είι γεική πόδς με 7 D κι. 8 Επμές σύμφ με τ τύπ ιστός ός της συτήσει τυ είι: D D Ο γεικός μέσς Αφήσμε τη μεέτη τυ γεικύ μέσυ γι τ τές όγ της σπυδιότητς πυ πυσιάζει η έι υτή. Έστ γ τεις διδχικί όι μις γεικής πόδυ. Έχυμε: a γ & Α φιέσυμε τ μέη της πό τ μέη της πίυμε: γ γ γ γ Τώ Α - τότε είι γ κι Α - τότε

7 7 γ Ατίστφ. Έστ κι γ τεις ιθμί. Έχυμε τις πειπτώσεις:. Α γ κι τότε πδεικύετι ότι ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ με - κι.. Α γ τότε πφώς ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Στη πείπτση υτή ι ιθμί κι δε ίζτι μσήμτ.. Α κι υπάχει πγμτικός ιθμός IR { 0} τέτις ώστε ισχύει: γ τότε ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Πάγμτι πό τη σχέση φύ πκύπτει ότι γ 5. Θέττς πίυμε: γ 5 γ κι έχυμε: γ γ γ γ γ γ γ γ Ά ι ιθμί συτεεστή κι στθεό ό κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ. Οισμός: Έστ κι γ δύ πγμτικί ιθμί κι ές θετικός πγμτικός ιθμός. Ο ιθμός γ θ έγετι γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή. Πτήηση: Εμηεύτς τ γεικό μέσ δύ ιθμώ κι γ με συτεεστή ότ γ φέυμε τ εξής:

8 8. Ότ φεόμστε στ γεικό μέσ δύ ιθμώ η σειά με τη πί θ φέυμε τυς δύ ιθμύς δε μπεί είι τυχί διότι άς είι γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή κι άς τ ιθμώ γ κι. γ. Ο γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ είι άμεσ στυς ιθμύς κι γ κι τυτίζετι με τ στθμικό μέσ υτώ με συτεεστές - ύτητς κι τίστιχ. γ. Α γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή τότε ιθμός διφέει πό τ όσ πό τ γ Πάδειγμ: Γι τυς ιθμύς 5 κι 9 ισχύει:. Ά ι ιθμί υτί είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ κι 5 8 Γι επήθευση έχυμε: 5 κι 9 Τ είι γεικός μέσς τ ιθμώ 5 κι 9 με συτεεστή δηδή τ διπάσι τυ 5 0 διφέει πό τ όσ διφέει τ διπάσι τυ πό τ 9. Α 5 τότε ιστός ός της πόδυ υτής σύμφ με τ τύπ είι: 5. Αιθμητικός γεμετικός κι μικός μέσς ς γεικί μέσι Ο ιθμητικός μέσς δύ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με. Αυτό είι μεόμε φύ μί ιθμητική πόδς είι κι γεική με. Τ ίδι ισχύει κι γι τ γεμετικό μέσ δηδή γεμετικός μέσς δύ θετικώ ιθμώ κι πυ είι ιθμός είι γεικός μέσς τ ιθμώ υτώ με συτεεστή: φύ ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεμετικής πόδυ πυ είι κι γεική πόδς. Πάγμτι έχυμε:

9 9 Μετά πό υτά γειέτι τ εώτημ: Μήπς ισχύει τ ίδι κι γι τ μικό μέσ δύ μόσημ ιθμώ κι ; Ως γστό μικός μέσς τ ιθμώ υτώ είι ιθμός: Εύκ η ππά πάστση μπεί γφτεί ς εξής: Πτηύμε ιπό ότι κι μικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με συτεεστή. Σημείση: Υπάχυ κι άι μέσι με ιδιίτεη μσί όπς π. χ. τιμικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι πυ είι ιθμός. Απ- δεικύετι εύκ ότι κι τιμικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με συτεεστή. Αξίζει κόμη φεθεί ότι δύ θετικώ ιθμώ κι γεμετικός μέσς είι επίσης στθμικός μέσς υτώ με συτεεστές ύτητς κι μικός με κι κι τιμικός με κι τίστιχ. Αγεική πόδς κι μική πόδς Στη συέχει τ εώτημ πυ τίθετι είι: Μήπς μί μική πόδς είι κι γεική; Θ πσπθήσυμε πτήσυμε σ υτό τ εώτημ μέσ πό έ πάδειγμ. Έστ η κυθί:

10 0 8 0 Είι πφές ότι η κυθί υτή πτεεί μική πόδ. Έτσι τ είι μικός μέσς τ ιθμώ κι Σύμφ με τ ππά τ. θ είι γεικός μέσς τ ιθμώ κι με συτεεστή: πυ εύκ επηθεύετι ότι ισχύει δηδή: Ά ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ 8 κι Γι επήθευση έχυμε: κι Όμς Ά η κυθί: δε είι γεική πόδς. Κάθε τιάδ διδχικώ ό της όμς όπς είδμε είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Η τιμή τυ είι διφετική γι κάθε τιάδ κι γι υτό μί μική πόδς δε είι γεική. Γεικά κι γ είι διδχικί όι μις

11 μικής πόδυ τότε ι ιθμί υτί πτεύ διδχικύς όυς μις γεικής πόδυ με. Εδιφέ πυσιάζει η πότση πυ κυθεί η γ πί πτεεί τίστφη πότση της ππά. Πότση: Έστ μί κυθί κάθε ΙΝ ι όι κι ΙΝ με 0 γι κάθε ΙΝ. Α γι πτεύ διδχικύς όυς μις γε- ικής πόδυ με τότε η κυθί ΙΝ είι μική πόδς. Απόδειξη Ακεί πδείξυμε ότι η κυθί ΙΝ είι ιθμητική πόδς. Έχυμε: Αφύ ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ με έπετι ότι διότι τότε φύ ι ιθμί δη- κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ θ ήτ δή θ είχμε άτπ. Επμές είι: πό όπυ πίυμε: Επειδή η τεευτί ισότητ ισχύει γι κάθε ΙΝ έπετι ότι η διφά δύ διδχικώ ό της κυθίς ΙΝ είι στθεή. Ά η κυθί υτή είι ιθμητική πόδς πότε η κυθί ΙΝ είι μική πόδς.

12 Ο στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Είδμε πι πά ότι τόσ γεμετικός μέσς όσ κι μικός δύ θετικώ ιθμώ είι ι στθμικί μέσι τ ιθμώ υτώ με άγυς συτεεστές ύτητς. Τ εώτημ πυ τίθετι τώ είι μήπς υτό μπεί γεικευθεί κι γι με > θετικύς ιθμύς; Η πάτηση δίετι στ επόμε θεώημ. Θεώημ I: Έστ με θετικί πγμτικί ιθμί. Υπάχυ θετικί ιθμί κι τέτιι ώστε γεμετικός μέσς G κι μικός μέσς Η τ ιθμώ εκφάζτι ς ε- ξής: G κι H Απόδειξη Α θέσυμε: τότε εύκ πδεικύετι ππσιάζτς χιστί ότι ισχύει: γεμετικός μέσς. G Επίσης θέσυμε: έχυμε:

13 H μικόςμέσς. Από τ ππά θεώημ πκύπτει ότι στθμικός μέσς είι γεικός μέσς. Επμές ιθμητικός γεμετικός κι μικός μέσς ιθμώ είι ειδικές πειπτώσεις υτύ. Αξίζει σημειθεί κόμη πς η έι τυ στθμικύ μέσυ είι σύμφη με τη έι της μέσης τιμής στη Θεί Πιθτήτ κι γεικά με τη έι της μέσης τιμής. Πτηύμε τώ ότι με είι πγμτικί ιθμί ό- πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς κι τότε ισχύει: θετικί πγμτικί ιθμί min < < ma δηδή είι ιθμί πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς τότε στθμικός μέσς υτώ με τίστιχ άη είι ές ιθμός άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς. Σύμφ με τ επόμε θεώημ ισχύει κι τ τίστφ τυ ππά συμπεάσμτς δηδή έχυμε πγμτικύς ιθμύς πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς τότε πισδήπτε ιθμός πυ είι άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς μπεί πτεέσει στθμικό μέσ υτώ με κάπι τίστιχ άη. Έχυμε ιπό τ θεώημ: ΘεώημII: Έστ με πγμτικί ιθμί με. Α < τότε γι κάθε o IR με < o < υπάχυ θετικί πγμτικί ιθμί τέτιι ώστε: o Απόδειξη Θέτυμε κι

14 Θ εκφάσυμε τ συτεεστή συτήσει τ i i κι τ j j 0 ώστε ισχύει η ισότητ τυ συμπεάσμτς. Έχυμε: Ατικθιστώτς στη τεευτί ισότητ τυς ιθμύς i i πίυμε: Πφώς ισχύει:.. Συεπώς < < Επίσης είι κι 0 < πότε πό τη πίυμε: > Είι πφές τώ ότι ι ιθμί επηθεύυ τη ισότητ τυ συμπεάσμτς κι υτό κηώει τη πόδειξη τυ θεήμτς. Πάδειγμ: Έστ ι ιθμί κι 0. Θ ύμε συτεεστές κι ώστε τ 9 είι στθμικός μέσς τ ιθμώ υτώ με συτεεστές ύτητς τυς ιθμύς κι τίστιχ. Πάγμτι θέσυμε κι τότε σύμφ με τ πηγύμε θεώημ θ είι:

15 Εύκ επηθεύετι στη συέχει ότι ισχύει ισχυισμός μς δηδή: Ά στθμικός μέσς τ ιθμώ κι 0 με συτεεστές ύτητς κι 8 τίστιχ είι τ 9. Σχόι: Τ θεώημ ΙΙ είι γεικότε τυ θεήμτς Ι διότι κι γεμετικός μέσς θετικώ ιθμώ πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς ά κι μικός μέσς υτώ είι άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς τυς - ιθμύς. Επμές τ θεώημ Ι μπεί θεηθεί ς πόισμ τυ θεήμτς ΙΙ. Επειδή όμς τ θεώημ Ι φέετι σε δύ πύ γστύς μέσυς χκτήισ τη πότση υτή ς θεώημ. Ακόμη πό τις πδείξεις τ ππά θεημάτ πκύπτει ότι ι συτεεστές ύτητς τ ιθμώ γι κάθε στθμικό μέσ υτώ δε είι μδικί. 5 Ε π ί γ ς Επειδή μεικά πό τ πτεέσμτ της εγσίς υτής μπύ τ πάγυ κι ι ίδιι ι μθητές με τη κθδήγησή μς θ μπύσε δθεί η μεέτη εός μέυς τυ ππά θέμτς ς δημιυγική εευητική εγσί σε μθητές της Β Λυκείυ. Μπύ πχθύ κι ίες σκήσεις τίστιχες τ σκήσε της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Ακόμη η εγσί υτή μπεί πτεέσει κι πάδειγμ γι άες δημιυγικές εευητικές εγσίες όπυ φμή γι τη εκπόησή τυς ίσς πτεέσυ πτηήσεις ή άθη μθητώ. Κό είι δίυμε τη ευκιί στυς μθητές γι εξεεύηση κι πειμτισμό. Με τ υστηό κι φμιστικό τόπ διδσκίς πυσιάζετι τ τεικό πϊό εώ η πεί της σκέψης πυ δηγεί στ πτέεσμ πκύπτετι. Ατίθετ η εξεεύηση κι πειμτισμός ηθύ τυς μθητές γίσυ τη μφιά κι τη γητεί της έευς κι της επιστημικής κάυψης! Αάγ πτέεσμ μπύμε έχυμε κι ότ γώυμε τη διδσκί μς με τη μφή της κθδηγύμεης κάυψης. Ας μη ξεχάμε ότι ι μθητές δε είι κεά δχεί πυ πέπει τ γεμίσυμε με γώσεις. Είι πσπικότητες με κάπι υπόθ γώσε στ πί στηιχθύ μπύ πάγυ πές φές τη έ γώση. Τές με τη εγσί υτή ι μθητές θ δυ τ τόπ κι τ ό της γείκευσης μις έις εός τύπυ ή εός θεήμτς. Έτσι θ κτήσυ κύτε τη γεική μφή εξίσσης ευθείς τη γείκευση τυ Πυθγείυ Θεήμτς κθώς

16 κι τ όμ τ συημιτό πυ πτεεί τη ειί διτύπση τυ Πυθγείυ θεήμτς κι τ θεημάτ ξείς κι μείς γίς. Επίσης κό είι στη Γεμετί της Β Λυκείυ ύυμε κι τη άσκηση της σείδς 0 πυ είι τ θεώημ Stewart κι κθδηγύμε κτάη τυς μθητές ώστε συμπείυ ότι τ θεώημ υτό πτεεί γείκευση τυ υ θεήμτς τ διμέσ.

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

Βόμβα στην Καρδιά της Ελληνικής Οικονομίας

Βόμβα στην Καρδιά της Ελληνικής Οικονομίας Restart Λθεμπό Κπύ: Βόμβ τη Κδ της Εηής Ομίς Γης Αθδης Δευθυτής Χημ/ώ & Τεωεώ Θεμτω Νέμβς 2015, Θείη Ο δς τω πώ τη εηή μί Κθ έδ ττύ πϋπγμύ (2014)* 47 δ. Ευώ 100% 6δ πό Εδό Φό Κτωης (ΕΦΚ) ΦΠΑ πό Κπ Πϊότ

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967 ΒΙΟΛΟΓΙΑ είς δ ι ςπ ή κ ι Γε Υ Ο Ι ΚΕ Υ Λ Γ είς Πιδ τς Γ ής Γεικ ς ί γ ς ιολο θτή. όσ τ β Β µ ς τ τ οµ ριλ ύλς οσιτό στ λήρ κ ίο πε ς λ β ι έ στ πρ π Το β εξετ ε τρόπο ού στ ς τ ί µ κοπ. θεωρ γρµµέ ου

Διαβάστε περισσότερα

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores)

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores) INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ Α ΚΤΥΟ Date: 2015.08.04 15:53:37 EEST Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΩΛ0Π465Θ1Ω-ΣΓΛ Ε Η Η Η Α Α ΓΕ Ε ΓΑ Α,

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Η Ε Β ΕΘΕ 20 α υα ί υ 2014 Ε ΗΓΗ Η «Ε Γ Ω ΧΕ Ω : πα χ μ π π π αμ χ α α απ υ α π χ α μα ;» Φ : μ Β.. ΕΘΕ, φ α μ υ Θ α ία, π μ α ί α, f.alexakos@yahoo.gr Γ μα α : π π ΓΕΩ ΕΕ. Ε, μ Β μ α ΕΕ/.Β. Θ α ία, goumas.kostas@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Απόφα η α έ π ωτέ α/ο έ ζιθθί/φ ζθζ/γί-7-2015 «Μ Η Τ Ω Α

Απόφα η α έ π ωτέ α/ο έ ζιθθί/φ ζθζ/γί-7-2015 «Μ Η Τ Ω Α Η Η ΗΜ ΑΤ Α Γ ΜΩ Μ ΤΑΦ Ω Τ Τ Ω 2 0 1 5 α α α Μητ ω ο ηπτ ατα ευα τ Με ετητ Απόφα η α έ π ωτέ α/ο έ ζιθθί/φ ζθζ/γί-7-2015 Χ Γ Α Α Χ Μ «Μ Η Τ Ω Α Τ Τ Ω Τ Χ Ω Γ Ω» Χ ΓΑ Α Χ Μ Μ Η Τ Ω Α Τ Τ Ω Τ Χ Ω Γ Ω Ά ο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη του προγράμματος EU Kids Online: Τελική Έκθεση

Σύνοψη του προγράμματος EU Kids Online: Τελική Έκθεση Σύψη τυ πγάμμτς EU Kids Online: Τεική Έκθεση Sonia Livingstone and Leslie Haddon Συτιστής, EU Kids Online London School of Economics and Political Science ύις 2009 www.eukidsonline.net Εισγωγή Κθώς τ 75%

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΩΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 4ο (Λ, - Μ, - Ν, - Ξ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 4ο (Λ, - Μ, -

Διαβάστε περισσότερα

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ Ο

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ Ο ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ Ο ΟΡΙΣΜΟΣ : Mι υθί έετι ριθµητιή πρόδς, άθε όρς της πρύπτει πό τ πρηύµε τυ µε πρόσθεση τυ ίδιυ πάττε ριθµύ. Ο ριθµός υτός συµίζετι µε ι έετι διφρά της πρόδυ. + Εύρεση όρυ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ ΤΕΧΝ Οη ΟΓ ΙΚ Ο Ε Κ ΠΟ ΙΔ ΕΥ ΤΙ ΚΟ ΙΔΡΥΜΟ ΚΟΒΟΠΑΕ ΕΧΟΠΗ ΔΙϋΙ ΚΗ ΕΗ Σ ΚΑΙ Ο Ι ΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ηο ΓΙ ΣΤ ΙΚ ΗΣ ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - Καθηγητή ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ

Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ H π ι κ ρ ή α λ ή θ ε ι α ε ί ν α ι ό τ ι κ α ι σ τ ο π α ρ ε λ θ ό ν κ α ι σ τ ο π α ρ ό ν κ α ι σ τ ο μ έ λ λ ο ν π ο λ ύ λ ί γ ο ι α ν α κ ά λ υ ψ α ν, α ν α

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β 17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά

Διαβάστε περισσότερα

«Αυτοεκτίμηση και Αυτοαντίληψη σε Έλληνες και αλλοδαπούς μαθητές της Ε Δημοτικού και βαθμός ανταπόκρισης στις προσδοκίες των γονέων τους»

«Αυτοεκτίμηση και Αυτοαντίληψη σε Έλληνες και αλλοδαπούς μαθητές της Ε Δημοτικού και βαθμός ανταπόκρισης στις προσδοκίες των γονέων τους» Πεπιστήμιο Πτρ Σχοή Αθρπιστικ κι Κοιικ Επιστημ Πιδγγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Θέμ πτυχικής εργσίς : «Αυτοεκτίμηση κι Αυτοτίηψη σε Έηες κι οδπούς μθητές της Ε Δημοτικού κι βθμός τπόκρισης στις προσδοκίες

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

υφ υ., Β ί,. υ, Βί φ υ α π ί αμ υ Γ α - α ί υ. α. πί. V ( α μ μ μ α, α α π ία μ ί α πα μ υπ ) π αμ α 8 α, α φ μα α υ α ί υ α Βαφ π. α ί α, π ( α ί), φ

υφ υ., Β ί,. υ, Βί φ υ α π ί αμ υ Γ α - α ί υ. α. πί. V ( α μ μ μ α, α α π ία μ ί α πα μ υπ ) π αμ α 8 α, α φ μα α υ α ί υ α Βαφ π. α ί α, π ( α ί), φ Φ Γ Θ ΓΓ Γ ON Β Γ Θ Γ Ω Γ φ α α (..) Θ α ία ί α α ί α (φ μα α Ο αμ υ π φα α ) π υ α α α μ αφ απ υ υ υ υ υ (φ μα υ α α α αμ υ α υ Ο υ φυ υ). Β α ί α ί α υ α ί α α α Θ α ία, α α ία μ μ α ί π GR 16 α GR 17.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R Κυκλική κίνηση Ονμάζετι η κίνηση η πί πρμτπιείτι σε κυκλική τρχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης S Ως νστόν πό τη εμετρί ισχύσει : S S Η τχύτητ η πί εκφράζει τ πόσ ρήρ διράφει η επιβτική κτίν τη νί νμάζετι

Διαβάστε περισσότερα

έκκεντρα mechanical science και στρόφαλοι κτίσε ένα ιπτάμενο αετό κτίσε ένα γερανό

έκκεντρα mechanical science και στρόφαλοι κτίσε ένα ιπτάμενο αετό κτίσε ένα γερανό κτίσε ιτάμε ετό education Η Engino Education χει τύξει μι σειά Μηχικής Ειστήμης, ειδικά γι ιδιά υ ωτιύτι γι τ άτ γύω τυς κι θλυ κάυ κάτι γι υτό! Η σειά σχλείτι με 8 κύι θμτ της Μηχικής: Μχλύς, Σύδεσμι

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς 9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συνέχειας Πράξεις µε συνεχείς συναρτήσεις Συνέχεια συνάρτησης σε διάστηµα Θεωρία Ασκήσεις. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε σηµεί όταν f () = f ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ

Διαβάστε περισσότερα

34 34 1.641 357 1.373

34 34 1.641 357 1.373 Α -- Ο Η Α Α-Η Η Α -- Α Α 5 Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α Α..... Ο Α 599 Α & Α Α Α Α Α Α Α Α Α 21 21 1.495 343 1.351 601 Α & Α Α / Α Α Α Α 24 24 1.418 313 1.053 661 Α Α Α Α Α Α Α Α Α

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ

Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 1 9 η Ο κ τ ω β ρ ί ο υ 1 9 9 6 Π ρ ό λ ο γ ο ς Τ ο π ρ ώ τ ο α ι ρ ε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

14 Ἰουνίου. Προφήτου Ἐλισσαίου. Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα

14 Ἰουνίου. Προφήτου Ἐλισσαίου. Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα Nε ε δο ο ο ξα Πα α τρι ι ι ι και Υι υι ω και Α γι ι ω Πνε ευ µα α α τι Προ φη τα κη η η ρυ υξ Χρι ι ι στου του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο. 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω ΜΕ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο. 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω ΜΕ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙ 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΣ ω ΜΕ o ω 18 o 1. Πώς οίζονται οι τιγωνομετικοί αιθμοί μίας οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο; ΠΝΤΗΣΗ Γ β α γ Το ημίτονο της οξείας γωνίας σε οθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. άθροισµα του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή περιττό δηλαδή ( 1) = ( + ), στο στοιχείο α 32 είναι ( 1)

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. άθροισµα του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή περιττό δηλαδή ( 1) = ( + ), στο στοιχείο α 32 είναι ( 1) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΈΝΝΟΙ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΣ Γι ένν ν ν τετρωνικό πίνκ, έµε ορίζουσ του πίνκ κι ράφουµε deta A, τον πρµτικό ριθµό που προκύπτει πό µί συκεκριµένη διδικσί υποοισµού ν ο είνι πίνκς η ορίζουσά του υποοίζετι

Διαβάστε περισσότερα

/ % / Α. Α 6 6 14.958 14,90 31,40 9.863 10,00 17,70 121 Α Α % / Α. Α 17 17 17.595 17,80 34,90 17.222 17,40 33,20

/ % / Α. Α 6 6 14.958 14,90 31,40 9.863 10,00 17,70 121 Α Α % / Α. Α 17 17 17.595 17,80 34,90 17.222 17,40 33,20 Α -- Ο Η %, Α -- Α Α 5 Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α... Α..Α...... Ο Α... Α..Α...... 127 Α Α Α Α Α Α Α % / Α. Α 8 8 19.884 16,72 29,20 19.161 16,53 31,30 129 Α Α Α Α Α Α % / Α. Α 6 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου 6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι

Διαβάστε περισσότερα

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. --------------

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. -------------- ΕΚΘΕΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι ΚΗΤ Ι ΚΟ Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ Ο Σ Τ ΗΝ Τ Α ΚΤ Ι ΚΗ Γ ΕΝ Ι ΚΗ ΣΥ Ν ΕΛ ΕΥ ΣΗ Τ Ω Ν Μ ΕΤ Ο Χ Ω Ν Kύριοι Μ έ τ οχοι, Σ ύµ φ ω ν α µ ε τ ο Ν όµ ο κ α ι τ ο Κα τ α σ τ α τ ικ ό τ ης ε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

παιδιά! ΜΙΚΡΟΥΛΗΣ! Σελίδες Magazine Βρεφανάπτυξη μεγαλώσει! Κινούμαι, κινείσαι, ΚΙΝΕΙΤΑΙ! Τα καλύτερα παιχνίδια για ευτυχισμένα ittle

παιδιά! ΜΙΚΡΟΥΛΗΣ! Σελίδες Magazine Βρεφανάπτυξη μεγαλώσει! Κινούμαι, κινείσαι, ΚΙΝΕΙΤΑΙ! Τα καλύτερα παιχνίδια για ευτυχισμένα ittle ittle Magazine Τ ύτ πχίδ γ υτυχσ πδ! Σίδ Κτγ γ πδ 0-6 τώ Φθόπ-Χώ 2009 Τύχ: 02 Τή: 0,00 σ πό τη ζή! ΕΙΝΑΙ ΥΠΕΡΟΧΟ ΝΑ ΕΙΣΑΙ ΜΙΚΡΟΥΛΗΣ! Η συσθητή δύη τυ πχδύ! ΦτσόΚσ Πχίδ γ Πδ πό 3 τώ Βφπτυξη πό τ 0- γώσ!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

POWER SERVICE ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ 9.000 14.000 BTU (PREMIUM) Power Service σε "τιμή πακέτου"!

POWER SERVICE ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ 9.000 14.000 BTU (PREMIUM) Power Service σε τιμή πακέτου! Τ θ έ έ ς ύ ό ς24ω ( ά ω ) Ε ύ ά ς2έ Σ ω ώ ς& ωδ ί ω ό ή ς Ε ί δ ξ 35 Δω άπ δ ή άβ Π ή& ά ω ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ 9.000 14.000 BTU (PREMIUM) Χός άς Μής ωώω ωδίως Ύψς ξωής άδς Τύ έ ίχ, ά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΒΡΕΦΩΝ-ΝΗΠΙΩΝ ΚΑΙ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΕΝΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΒΡΕΦΩΝ-ΝΗΠΙΩΝ ΚΑΙ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΕΝΣΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Χαλάνδρι, 0 Σεπτεμβρίου 06 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Αρμόδια : Σούτη Φωτεινή Δ/νση : Οιδίποδος 8 & Πρωτέως 0, Πάτημα Χαλανδρίου Ταχ. Κωδ. : 8 Τηλέφωνα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Έστω λ είναι ιδιοτιµή του ν ν πίνακα, αλγεβικής πολλαπλότητας ν > Ένα διάνυσµα τάξης x, διάφοο του µηδέν, ονοµάζεται γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα,,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς.

Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς. 4ο Ε Α α ο σίο Α' ίο 4-2015 ρε νη ική ρ ασία Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς. 4η Ο ά α 1ο Τ τ ά η ο Y ο ώτη α: ι ές α ές άσ ησης ια ο ς φήβο ς. Γενικές αρχές άσκησης: Εί η Άσ ησης Ια ι ός

Διαβάστε περισσότερα

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε.

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Ψφά Δέ Μτά τ πίπτωσ όπ πύ έ (ό) σύ στχώ τ πί ί ί σβόω πό έ ππσέ φάβτ Έ στχί άφτ ω, όπ ά. Μπύ χσπήσ τ ππάω πάστσ πύσ τ στχί σ έ -ό έ : Έ σωτό όβ έχ ί ξχό ή ά σύβ Tries Έ trie (πό retrieval) ί έ ψφό έ όπ

Διαβάστε περισσότερα

11:30-12:00 ιά ι α 12:00-14:00 ία: Α αιο ο ία αι α ς Α έ ος. ο ισ ς: ά ο ιο. οβο ή βί α ι έ ο ή ο Αθ αίω, Α φιθέα ο «Α ώ ς ί σ ς» Α α ίας

11:30-12:00 ιά ι α 12:00-14:00 ία: Α αιο ο ία αι α ς Α έ ος. ο ισ ς: ά ο ιο. οβο ή βί α ι έ ο ή ο Αθ αίω, Α φιθέα ο «Α ώ ς ί σ ς» Α α ίας Α ΧΑ Α 9- α ο α ίο ι «Α αιο ο ι οί ιά ο οι» ί αι έ ας έος θ σ ός, έ ας ια ής ι ι ός αι α ασ ο ασ ι ός ιά ο ος ια ις α αιό ς αι α αιο ο ία σ σ ι ή οι ία. βασι ή ο ο φή ί αι έ α ήσιο, α οι ό σ έ ιο / ή σ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο Α) Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω ερωτήσεις ως σωστές (Σ) ή άθος (Λ): I) Αν ( γ) //γ, τότε ( γ) // II) Αν γ, τότε γ III) Το συµµετρικό του σηµείου Μ (,5) ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

POWER SERVICE ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ. Power Service σε "τιμή πακέτου"!

POWER SERVICE ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ. Power Service σε τιμή πακέτου! Κ θ φί ω& ω ώ Α ί χ ηδ & π ω ηψ ύ ύ Έ χ φά ά δ Κ θ ω & ξ ω ά δ Δω ά άβ η ί χ ώ ζ ώ η Α ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ Τηφω πωί η πίψη ί ηη χώ Κθ φίω & ωώ Αίχη δ & πωη ψύ ύ Έχ φά άδ Κθ ω & ξω άδ Δωά

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

1κΝΓΕΝΙΚΟΝΛΤΚΕΙΟΝΚΙΛΚΙ

1κΝΓΕΝΙΚΟΝΛΤΚΕΙΟΝΚΙΛΚΙ 1κΝΓΕΝΙΚΟΝΛΤΚΕΙΟΝΚΙΛΚΙ ά η: Α - Α Ε Ε Ό ο α έσος α/α Ε ώ ο Ό ο α Πα έ α Ό ος 1 Α Α Α 20 2 Α Α Α Α Ω Α 19,8 3 Α Α Α Α 19,3 4 Α Ω Α Ω Α Α Α Α Α 19,2 5 Α Α Ω Α Α 19,2 6 Α Α ΩΑ 19,2 7 Α Α Α Ω Α 19,2 8 ΩΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ. τ... μαθητ... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος

ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ. τ... μαθητ... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ τ... μαθητ...... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Γραφής Α Δημοτικού Β ΤΕΥΧΟΣ Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

Τα μαθήματα. της. Μαρίας Κιουρί. Έκθεση-Εργαστήριο

Τα μαθήματα. της. Μαρίας Κιουρί. Έκθεση-Εργαστήριο Έκθεσ-Εγστήο Τ θήτ τς Μίς Κουί www.maison-des-sciences.ac-versailles.fr La Maison des Sciences 2011 Μ έκθεσ-εγστήο που ογνώθκε στο La Maison des Sciences et le CNRS (laboratoire MSC) σε συνεγσί ε το Μουσείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5 ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εισαωή Η αυξημέη αησυχία τω σύχοω κοιωιώ ια τις καταστοφικές επιπτώσεις στη ποιότητα του πειβάλλοτος από τη ααία και άαχη αάπτυξη, που παατηείται τα τελευταία χόια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό εγχειρίδιο. Χαλύβδινος λέβητας βιομάζας σειρά BMT

Τεχνικό εγχειρίδιο. Χαλύβδινος λέβητας βιομάζας σειρά BMT THERM LEV Τεχνικό εγχειρίδι Χαλύβδινς λέβητας βιμάζας σειρά BMT ΨΣας ευχαριστύμε για την επιστσύνη πυ δείχνετε στα πριόντα μας. ΨΓια την απτελεσματική χρήση τυ λέβητα βιμάζας σειράς ΒΜΤ σας συνιστύμε να

Διαβάστε περισσότερα