Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος"

Transcript

1 Μί γείκευση της Αιθμητικής κι της Γεμετικής πόδυ - Ο Στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Δ. Πγιώτης Λ. Θεδόπυς Σχικός Σύμυς κάδυ ΠΕ0 Πείηψη Στη εγσί υτή μεετάτι η ειδική κτηγί τ κυθιώ όπυ κάθε ός εκτός πό τ πώτ πκύπτει πό τ πηγύμεό τυ υτός ππσισθεί με έ στθεό ιθμό κι στη συέχει στ γιόμε πυ πκύπτει πστεθεί ές επίσης στθεός ιθμός. Οι κυθίες υτές πτεύ γείκευση της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Έ σημτικό πτέεσμ της έευς υτής είι η άδειξη της γεικότητς τυ στθμικύ μέσυ. Έτσι ιπό κι ι τεις μέσι πυ σχετίζτι με τις πόδυς δηδή ιθμητικός γεμετικός κι μικός είι στθμικί μέσι όπυ ι συτεεστές ύτητς ίζτι με συγκεκιμέ τόπ. Εισγγή Η ιί διδσκί στ σχεί πυσιάζει μί ιδιίτεη δυμική διότι στη διάκειά της τάσστι πόψεις κι γεικά συτεείτι η μάθηση. Γι υτό ιπό τ κίμ της τάξης πέπει είι θετικό κι η μφή της διδσκίς τέτι ώστε εξσφίζετι υσιστική ηεπίδση τόσ μετξύ τυ εκπιδευτικύ κι τ μθητώ όσ κι μετξύ τ μθητώ. Οι μθητές θ πέπει μπύ εκφάζυ εεύθε τις πίες κι τις πόψεις τυς. Κτά τ σχικό έτς στ μάθημ της Άγες στη Β Λυκείυ κι συγκεκιμέ στη. η πί φέετι στη έι της κυθίς ύσμε στ μάθημ μί άσκηση η πί ζητύσε τη εύεση τύ δμικύ τύπυ της κυθίς πυ είι τύπς. Στη συέχει ότ έκ εισγγή στη ιθμητική πόδ πάη με τ ισμό της ιθμητικής πόδυ έδσ κι τ ισμό της γεμετικής γι σύγκιση κι συσχέτιση ώστε ι μθητές πμημεύσυ κύτε τυς δύ ισμύς σύμφ με τη «Θεί Επεξεγσίς Πηφιώ». Τότε ές μθητής της τάξης πεμίτς μυ είπε: «Κύιε η κυθί με τύπ: πυ ήκμε στη άσκηση πυ ύσμε πι είι μικτή πόδς;» Τυ πάτησ δε ς εξής: «Από ότι γίζ τέτιες κυθίες δε έχυ μεετηθεί ειδικά κι επμές είι ικτό τ θέμ γι εξεεύηση». Πότει μάιστ στυς μθητές όπις θέει σχηθεί με τ θέμ υτό φυσικά κι με τη δική μυ κθδήγηση. Βέι κές δε σχήθηκε διότι δύσκ ές μθητής κτπιάετι με έ θέμ πυ φήετι στη πιετική τυ επιγή. Εμέ όμς με πημάτισε η ιδέ κι η πτήηση τυ μθητή κι ότ ήκ χό σχήθηκ με τη εξεεύηση τυ ππά θέμτς τ πτεέσμτ της πίς πυσιάζτι στη πύσ εγσί. Γι τη πόδση της έις τ κυθιώ υτώ πτεί κι χησιμπιώ τ ό «γεική

2 πόδς» κτ γί πς τη ιθμητική κι γεμετική πόδ. Είι φεό ότι η γεική πόδς πτεεί τη γείκευση της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Απέφυγ τ ό «γεική πόδς» διότι δε πτεεί γείκευση της μικής πόδυ κι όπς πδεικύετι στιχεί της συτάει κείς κι στη μική πόδ! Οισμός: Μι κυθί IN θ τη έμε γεική πόδ υπάχυ πγμτικί ιθμί κι με 0 τέτιι ώστε γι κάθε IN ισχύει:. Τ ιθμό θ τo έμε συτεεστή της πόδυ κι τ στθεό ό της πόδυ. Ειδικότε 0 κι 0 τότε η πόδς έγετι γεμετική κι ιθμός όγς της πόδυ εώ τότε η πόδς έγετι ιθμητική κι διφά της πόδυ. Ο γεικός ός μις γεικής πόδυ συτήσει τ κι Με τ δμικό τύπ μις γεικής πόδυ μπύμε με διδχικά ήμτ ίσκυμε πιδήπτε ό της. Μπύμε όμς υπγίσυμε τ ιστό ό της πόδυ υτής κι συτήσει τ ιθμώ κι. Σύμφ ιπό με τ ισμό της γεικής πόδυ έχυμε:.. Α τότε πσθέττς κτά μέη τις ισότητες υτές πκύπτει τύπς της ιθμητικής πόδυ: Α τότε πσθέττς στ μέη τ ππά ιστήτ τ ό πίυμε:

3 .. Εκτεώτς στη συέχει τις πάξεις στ δεύτε μέη τ ππά ιστήτ πη της πώτης πκύπτυ ι πκάτ ισότητες:... Τές ππσιάζτς κτά μέη τις ισότητες υτές πίυμε: - Ά ιστός ός μις γεικής πόδυ με πώτ ό τ συτεεστή κι στθεό ό είι:

4 - πυ είι γ- Πτηύμε ότι γι 0 κι πίυμε στός τύπς της γεμετικής πόδυ. Ισχύει η πκάτ πότση. Πότση: Κάθε κυθί με τύπ γεική πόδς. IN με 0 κι είι Απόδειξη Έχυμε: Ά η κυθί -. είι γεική πόδς με συτεεστή κι Άθισμ διδχικώ ό γεικής πόδυ Θ υπγίσυμε τώ τ άθισμ τ πώτ ό μις γεικής πόδυ. Σύμφ με τ ισμό της γεικής πόδυ έχυμε:.. Α τότε ς γστό ισχύει: S [ ] Α τότε πσθέττς κτά μέη τις ππά ισότητες πίυμε: S S

5 5 Ατικθιστώτς στη τεευτί ισότητ τ S με S έχυμε: S S S S S S S S Ά τ άθισμ τ πώτ ό μις γεικής πόδυ είι: S [ ] Γι 0 κι πίυμε S πυ είι τύπς πυ μς δίει τ άθισμ τ πώτ ό γεμετικής πόδυ με πώτ ό τ κι όγ. Πι πχήσυμε στη μεέτη τυ γεικύ μέσυ πυ πυσιάζει κι τ μεγύτε εδιφέ ς δύμε έ πάδειγμ εφμγής τ ππά σε μί άσκηση. Η άσκηση πυ κυθεί είι μί τππίηση της άσκησης της σείδς 08 τυ σχικύ ιίυ της άγες της Β Λυκείυ. Εφμγή: Τ ψυγεί εός φτηγύ πειέχει 0 l εό. Αδειάζυμε 5 l εό κι τ τικθιστύμε με l τιπηκτικό κι l εό. Ύστε δειάζυμε πάι 5 l τυ μείγμτς κι τ τικθιστύμε με l τιπηκτικό κι l εό κ..κ. Α D η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί φύ εφμστεί η διδικσί φές είτε τ δμικό τύπ της κυθίς D κι στη συέχει εκφάσετε τ ιστό ό της κυθίς υτής συτήσει τυ.

6 Λύση Έστ D η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί τυ φτηγύ φύ εφμστεί η διδικσί φές. Κτά τη επόμεη φά εφμγής της διδικσίς είι πφές ότι η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί θ είι: 7 D D 8 Πτηύμε ιπό ότι η κυθί D είι γεική πόδς με 7 D κι. 8 Επμές σύμφ με τ τύπ ιστός ός της συτήσει τυ είι: D D Ο γεικός μέσς Αφήσμε τη μεέτη τυ γεικύ μέσυ γι τ τές όγ της σπυδιότητς πυ πυσιάζει η έι υτή. Έστ γ τεις διδχικί όι μις γεικής πόδυ. Έχυμε: a γ & Α φιέσυμε τ μέη της πό τ μέη της πίυμε: γ γ γ γ Τώ Α - τότε είι γ κι Α - τότε

7 7 γ Ατίστφ. Έστ κι γ τεις ιθμί. Έχυμε τις πειπτώσεις:. Α γ κι τότε πδεικύετι ότι ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ με - κι.. Α γ τότε πφώς ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Στη πείπτση υτή ι ιθμί κι δε ίζτι μσήμτ.. Α κι υπάχει πγμτικός ιθμός IR { 0} τέτις ώστε ισχύει: γ τότε ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Πάγμτι πό τη σχέση φύ πκύπτει ότι γ 5. Θέττς πίυμε: γ 5 γ κι έχυμε: γ γ γ γ γ γ γ γ Ά ι ιθμί συτεεστή κι στθεό ό κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ. Οισμός: Έστ κι γ δύ πγμτικί ιθμί κι ές θετικός πγμτικός ιθμός. Ο ιθμός γ θ έγετι γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή. Πτήηση: Εμηεύτς τ γεικό μέσ δύ ιθμώ κι γ με συτεεστή ότ γ φέυμε τ εξής:

8 8. Ότ φεόμστε στ γεικό μέσ δύ ιθμώ η σειά με τη πί θ φέυμε τυς δύ ιθμύς δε μπεί είι τυχί διότι άς είι γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή κι άς τ ιθμώ γ κι. γ. Ο γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ είι άμεσ στυς ιθμύς κι γ κι τυτίζετι με τ στθμικό μέσ υτώ με συτεεστές - ύτητς κι τίστιχ. γ. Α γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή τότε ιθμός διφέει πό τ όσ πό τ γ Πάδειγμ: Γι τυς ιθμύς 5 κι 9 ισχύει:. Ά ι ιθμί υτί είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ κι 5 8 Γι επήθευση έχυμε: 5 κι 9 Τ είι γεικός μέσς τ ιθμώ 5 κι 9 με συτεεστή δηδή τ διπάσι τυ 5 0 διφέει πό τ όσ διφέει τ διπάσι τυ πό τ 9. Α 5 τότε ιστός ός της πόδυ υτής σύμφ με τ τύπ είι: 5. Αιθμητικός γεμετικός κι μικός μέσς ς γεικί μέσι Ο ιθμητικός μέσς δύ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με. Αυτό είι μεόμε φύ μί ιθμητική πόδς είι κι γεική με. Τ ίδι ισχύει κι γι τ γεμετικό μέσ δηδή γεμετικός μέσς δύ θετικώ ιθμώ κι πυ είι ιθμός είι γεικός μέσς τ ιθμώ υτώ με συτεεστή: φύ ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεμετικής πόδυ πυ είι κι γεική πόδς. Πάγμτι έχυμε:

9 9 Μετά πό υτά γειέτι τ εώτημ: Μήπς ισχύει τ ίδι κι γι τ μικό μέσ δύ μόσημ ιθμώ κι ; Ως γστό μικός μέσς τ ιθμώ υτώ είι ιθμός: Εύκ η ππά πάστση μπεί γφτεί ς εξής: Πτηύμε ιπό ότι κι μικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με συτεεστή. Σημείση: Υπάχυ κι άι μέσι με ιδιίτεη μσί όπς π. χ. τιμικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι πυ είι ιθμός. Απ- δεικύετι εύκ ότι κι τιμικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με συτεεστή. Αξίζει κόμη φεθεί ότι δύ θετικώ ιθμώ κι γεμετικός μέσς είι επίσης στθμικός μέσς υτώ με συτεεστές ύτητς κι μικός με κι κι τιμικός με κι τίστιχ. Αγεική πόδς κι μική πόδς Στη συέχει τ εώτημ πυ τίθετι είι: Μήπς μί μική πόδς είι κι γεική; Θ πσπθήσυμε πτήσυμε σ υτό τ εώτημ μέσ πό έ πάδειγμ. Έστ η κυθί:

10 0 8 0 Είι πφές ότι η κυθί υτή πτεεί μική πόδ. Έτσι τ είι μικός μέσς τ ιθμώ κι Σύμφ με τ ππά τ. θ είι γεικός μέσς τ ιθμώ κι με συτεεστή: πυ εύκ επηθεύετι ότι ισχύει δηδή: Ά ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ 8 κι Γι επήθευση έχυμε: κι Όμς Ά η κυθί: δε είι γεική πόδς. Κάθε τιάδ διδχικώ ό της όμς όπς είδμε είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Η τιμή τυ είι διφετική γι κάθε τιάδ κι γι υτό μί μική πόδς δε είι γεική. Γεικά κι γ είι διδχικί όι μις

11 μικής πόδυ τότε ι ιθμί υτί πτεύ διδχικύς όυς μις γεικής πόδυ με. Εδιφέ πυσιάζει η πότση πυ κυθεί η γ πί πτεεί τίστφη πότση της ππά. Πότση: Έστ μί κυθί κάθε ΙΝ ι όι κι ΙΝ με 0 γι κάθε ΙΝ. Α γι πτεύ διδχικύς όυς μις γε- ικής πόδυ με τότε η κυθί ΙΝ είι μική πόδς. Απόδειξη Ακεί πδείξυμε ότι η κυθί ΙΝ είι ιθμητική πόδς. Έχυμε: Αφύ ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ με έπετι ότι διότι τότε φύ ι ιθμί δη- κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ θ ήτ δή θ είχμε άτπ. Επμές είι: πό όπυ πίυμε: Επειδή η τεευτί ισότητ ισχύει γι κάθε ΙΝ έπετι ότι η διφά δύ διδχικώ ό της κυθίς ΙΝ είι στθεή. Ά η κυθί υτή είι ιθμητική πόδς πότε η κυθί ΙΝ είι μική πόδς.

12 Ο στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Είδμε πι πά ότι τόσ γεμετικός μέσς όσ κι μικός δύ θετικώ ιθμώ είι ι στθμικί μέσι τ ιθμώ υτώ με άγυς συτεεστές ύτητς. Τ εώτημ πυ τίθετι τώ είι μήπς υτό μπεί γεικευθεί κι γι με > θετικύς ιθμύς; Η πάτηση δίετι στ επόμε θεώημ. Θεώημ I: Έστ με θετικί πγμτικί ιθμί. Υπάχυ θετικί ιθμί κι τέτιι ώστε γεμετικός μέσς G κι μικός μέσς Η τ ιθμώ εκφάζτι ς ε- ξής: G κι H Απόδειξη Α θέσυμε: τότε εύκ πδεικύετι ππσιάζτς χιστί ότι ισχύει: γεμετικός μέσς. G Επίσης θέσυμε: έχυμε:

13 H μικόςμέσς. Από τ ππά θεώημ πκύπτει ότι στθμικός μέσς είι γεικός μέσς. Επμές ιθμητικός γεμετικός κι μικός μέσς ιθμώ είι ειδικές πειπτώσεις υτύ. Αξίζει σημειθεί κόμη πς η έι τυ στθμικύ μέσυ είι σύμφη με τη έι της μέσης τιμής στη Θεί Πιθτήτ κι γεικά με τη έι της μέσης τιμής. Πτηύμε τώ ότι με είι πγμτικί ιθμί ό- πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς κι τότε ισχύει: θετικί πγμτικί ιθμί min < < ma δηδή είι ιθμί πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς τότε στθμικός μέσς υτώ με τίστιχ άη είι ές ιθμός άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς. Σύμφ με τ επόμε θεώημ ισχύει κι τ τίστφ τυ ππά συμπεάσμτς δηδή έχυμε πγμτικύς ιθμύς πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς τότε πισδήπτε ιθμός πυ είι άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς μπεί πτεέσει στθμικό μέσ υτώ με κάπι τίστιχ άη. Έχυμε ιπό τ θεώημ: ΘεώημII: Έστ με πγμτικί ιθμί με. Α < τότε γι κάθε o IR με < o < υπάχυ θετικί πγμτικί ιθμί τέτιι ώστε: o Απόδειξη Θέτυμε κι

14 Θ εκφάσυμε τ συτεεστή συτήσει τ i i κι τ j j 0 ώστε ισχύει η ισότητ τυ συμπεάσμτς. Έχυμε: Ατικθιστώτς στη τεευτί ισότητ τυς ιθμύς i i πίυμε: Πφώς ισχύει:.. Συεπώς < < Επίσης είι κι 0 < πότε πό τη πίυμε: > Είι πφές τώ ότι ι ιθμί επηθεύυ τη ισότητ τυ συμπεάσμτς κι υτό κηώει τη πόδειξη τυ θεήμτς. Πάδειγμ: Έστ ι ιθμί κι 0. Θ ύμε συτεεστές κι ώστε τ 9 είι στθμικός μέσς τ ιθμώ υτώ με συτεεστές ύτητς τυς ιθμύς κι τίστιχ. Πάγμτι θέσυμε κι τότε σύμφ με τ πηγύμε θεώημ θ είι:

15 Εύκ επηθεύετι στη συέχει ότι ισχύει ισχυισμός μς δηδή: Ά στθμικός μέσς τ ιθμώ κι 0 με συτεεστές ύτητς κι 8 τίστιχ είι τ 9. Σχόι: Τ θεώημ ΙΙ είι γεικότε τυ θεήμτς Ι διότι κι γεμετικός μέσς θετικώ ιθμώ πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς ά κι μικός μέσς υτώ είι άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς τυς - ιθμύς. Επμές τ θεώημ Ι μπεί θεηθεί ς πόισμ τυ θεήμτς ΙΙ. Επειδή όμς τ θεώημ Ι φέετι σε δύ πύ γστύς μέσυς χκτήισ τη πότση υτή ς θεώημ. Ακόμη πό τις πδείξεις τ ππά θεημάτ πκύπτει ότι ι συτεεστές ύτητς τ ιθμώ γι κάθε στθμικό μέσ υτώ δε είι μδικί. 5 Ε π ί γ ς Επειδή μεικά πό τ πτεέσμτ της εγσίς υτής μπύ τ πάγυ κι ι ίδιι ι μθητές με τη κθδήγησή μς θ μπύσε δθεί η μεέτη εός μέυς τυ ππά θέμτς ς δημιυγική εευητική εγσί σε μθητές της Β Λυκείυ. Μπύ πχθύ κι ίες σκήσεις τίστιχες τ σκήσε της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Ακόμη η εγσί υτή μπεί πτεέσει κι πάδειγμ γι άες δημιυγικές εευητικές εγσίες όπυ φμή γι τη εκπόησή τυς ίσς πτεέσυ πτηήσεις ή άθη μθητώ. Κό είι δίυμε τη ευκιί στυς μθητές γι εξεεύηση κι πειμτισμό. Με τ υστηό κι φμιστικό τόπ διδσκίς πυσιάζετι τ τεικό πϊό εώ η πεί της σκέψης πυ δηγεί στ πτέεσμ πκύπτετι. Ατίθετ η εξεεύηση κι πειμτισμός ηθύ τυς μθητές γίσυ τη μφιά κι τη γητεί της έευς κι της επιστημικής κάυψης! Αάγ πτέεσμ μπύμε έχυμε κι ότ γώυμε τη διδσκί μς με τη μφή της κθδηγύμεης κάυψης. Ας μη ξεχάμε ότι ι μθητές δε είι κεά δχεί πυ πέπει τ γεμίσυμε με γώσεις. Είι πσπικότητες με κάπι υπόθ γώσε στ πί στηιχθύ μπύ πάγυ πές φές τη έ γώση. Τές με τη εγσί υτή ι μθητές θ δυ τ τόπ κι τ ό της γείκευσης μις έις εός τύπυ ή εός θεήμτς. Έτσι θ κτήσυ κύτε τη γεική μφή εξίσσης ευθείς τη γείκευση τυ Πυθγείυ Θεήμτς κθώς

16 κι τ όμ τ συημιτό πυ πτεεί τη ειί διτύπση τυ Πυθγείυ θεήμτς κι τ θεημάτ ξείς κι μείς γίς. Επίσης κό είι στη Γεμετί της Β Λυκείυ ύυμε κι τη άσκηση της σείδς 0 πυ είι τ θεώημ Stewart κι κθδηγύμε κτάη τυς μθητές ώστε συμπείυ ότι τ θεώημ υτό πτεεί γείκευση τυ υ θεήμτς τ διμέσ.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αή

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 11ς (Π, (-ά) ) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 11ς (Π, (-ά) ) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αή

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Βόμβα στην Καρδιά της Ελληνικής Οικονομίας

Βόμβα στην Καρδιά της Ελληνικής Οικονομίας Restart Λθεμπό Κπύ: Βόμβ τη Κδ της Εηής Ομίς Γης Αθδης Δευθυτής Χημ/ώ & Τεωεώ Θεμτω Νέμβς 2015, Θείη Ο δς τω πώ τη εηή μί Κθ έδ ττύ πϋπγμύ (2014)* 47 δ. Ευώ 100% 6δ πό Εδό Φό Κτωης (ΕΦΚ) ΦΠΑ πό Κπ Πϊότ

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967 ΒΙΟΛΟΓΙΑ είς δ ι ςπ ή κ ι Γε Υ Ο Ι ΚΕ Υ Λ Γ είς Πιδ τς Γ ής Γεικ ς ί γ ς ιολο θτή. όσ τ β Β µ ς τ τ οµ ριλ ύλς οσιτό στ λήρ κ ίο πε ς λ β ι έ στ πρ π Το β εξετ ε τρόπο ού στ ς τ ί µ κοπ. θεωρ γρµµέ ου

Διαβάστε περισσότερα

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores)

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores) INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ Α ΚΤΥΟ Date: 2015.08.04 15:53:37 EEST Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΩΛ0Π465Θ1Ω-ΣΓΛ Ε Η Η Η Α Α ΓΕ Ε ΓΑ Α,

Διαβάστε περισσότερα

Η Ε Β ΕΘΕ 20 α υα ί υ 2014 Ε ΗΓΗ Η «Ε Γ Ω ΧΕ Ω : πα χ μ π π π αμ χ α α απ υ α π χ α μα ;» Φ : μ Β.. ΕΘΕ, φ α μ υ Θ α ία, π μ α ί α, f.alexakos@yahoo.gr Γ μα α : π π ΓΕΩ ΕΕ. Ε, μ Β μ α ΕΕ/.Β. Θ α ία, goumas.kostas@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

5 3 (iii) Όταν έχει εστίες τα σηµεία Ε ( 5, 0), Ε( 5, 0) και διέρχεται από το 5 = = 144, C : β = α = 5 3 α =.6 64 = 1. y = α β. ( γ 2 (5.

5 3 (iii) Όταν έχει εστίες τα σηµεία Ε ( 5, 0), Ε( 5, 0) και διέρχεται από το 5 = = 144, C : β = α = 5 3 α =.6 64 = 1. y = α β. ( γ 2 (5. . Ασκήσεις σχοικού ιίου σείδς A Οµάδς. Ν είτε την εξίσωση της υπεοής σε κθεµιά πό τις πκάτω πειπτώσεις : (i) Ότν έχει εστίες τ σηµεί Ε (, 0), Ε(, 0) κι κουφές τ σηµεί Α(5, 0) κι Α ( 5, 0). (ii) Ότν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αγγή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εγέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 17ς (Χ, (ό) Ω,) Εγέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 17ς (Χ, (ό)

Διαβάστε περισσότερα

Απόφα η α έ π ωτέ α/ο έ ζιθθί/φ ζθζ/γί-7-2015 «Μ Η Τ Ω Α

Απόφα η α έ π ωτέ α/ο έ ζιθθί/φ ζθζ/γί-7-2015 «Μ Η Τ Ω Α Η Η ΗΜ ΑΤ Α Γ ΜΩ Μ ΤΑΦ Ω Τ Τ Ω 2 0 1 5 α α α Μητ ω ο ηπτ ατα ευα τ Με ετητ Απόφα η α έ π ωτέ α/ο έ ζιθθί/φ ζθζ/γί-7-2015 Χ Γ Α Α Χ Μ «Μ Η Τ Ω Α Τ Τ Ω Τ Χ Ω Γ Ω» Χ ΓΑ Α Χ Μ Μ Η Τ Ω Α Τ Τ Ω Τ Χ Ω Γ Ω Ά ο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη του προγράμματος EU Kids Online: Τελική Έκθεση

Σύνοψη του προγράμματος EU Kids Online: Τελική Έκθεση Σύψη τυ πγάμμτς EU Kids Online: Τεική Έκθεση Sonia Livingstone and Leslie Haddon Συτιστής, EU Kids Online London School of Economics and Political Science ύις 2009 www.eukidsonline.net Εισγωγή Κθώς τ 75%

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΩΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 4ο (Λ, - Μ, - Ν, - Ξ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 4ο (Λ, - Μ, -

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ T Α Ξ Η Β Θετική-Τενική κτεύθυνση Ε Ν Ο Τ Η Τ Α η: Πρσέιση σικών θεµάτων Θέµ : Πές φρές συνντάµε θέµτ πυ έυν ν κάνυν µε την ευθεί κ ν τέµνει κωνικές τµές κύκ-πρή-έειη-υπερή στ σηµεί

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 2ς (Α,α (αααώ-)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 2ς (Α,α (αααώ-)) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 10ς (Ξ, Ο,) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 10ς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ ΤΕΧΝ Οη ΟΓ ΙΚ Ο Ε Κ ΠΟ ΙΔ ΕΥ ΤΙ ΚΟ ΙΔΡΥΜΟ ΚΟΒΟΠΑΕ ΕΧΟΠΗ ΔΙϋΙ ΚΗ ΕΗ Σ ΚΑΙ Ο Ι ΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ηο ΓΙ ΣΤ ΙΚ ΗΣ ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - Καθηγητή ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 Μθηµτικά Ι Σείδ πό 7 Μάθηµ ο ΠΙΝΑΚΕΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρί : Γρµµική Άγερ : εδάφι κι, σε -7 Τ πρδείγµτ που τιστοιχού στη ύη έχου διδχθεί Ασκήσεις :, σε 3 ; 3, 4, 5, 6, 7, 8, σε 7 κι, σε 8 Λυµέες Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ

Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ H π ι κ ρ ή α λ ή θ ε ι α ε ί ν α ι ό τ ι κ α ι σ τ ο π α ρ ε λ θ ό ν κ α ι σ τ ο π α ρ ό ν κ α ι σ τ ο μ έ λ λ ο ν π ο λ ύ λ ί γ ο ι α ν α κ ά λ υ ψ α ν, α ν α

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x Πγόσμι χωριό γνώσης ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 ΜΑΘΗΜΑ 2.9. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.9.. Έννι τυ ρίυ Θεωρύμε τη συνάρτηση: x+, x 2 f ( x ) = x 2, x > 2 / [,4] () Έστω x 2. Η τιμή υτή πυ περιέχετι στ πεδί ρισμύ της συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1)

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Εισωή Η ημιοί τω μιικώ ιθμώ οφείλετι στη ποσπάθει επίλσης τω εξισώσεω ο θμού Α στη ax x x θέσομε x y κι a εκτελέσομε τις πάξεις τότε ποκύπτει μι εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ Ο

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ Ο ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ Ο ΟΡΙΣΜΟΣ : Mι υθί έετι ριθµητιή πρόδς, άθε όρς της πρύπτει πό τ πρηύµε τυ µε πρόσθεση τυ ίδιυ πάττε ριθµύ. Ο ριθµός υτός συµίζετι µε ι έετι διφρά της πρόδυ. + Εύρεση όρυ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 8ς (Λ, - Μ, (-ήα)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 8ς (Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 4ς (Δ, Ε, (-αί)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 4ς (Δ, Ε, (-αί)) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 7ς (Κ, (έα-)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 7ς (Κ, (έα-))

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 1ης ΙΟΥΛΙΟΥ 1994 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 1ης ΙΟΥΛΙΟΥ 1994 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II Ν. 55()/94 ΠΑΑΤΑ ΠΩΤ ΤΣ ΕΠΣΣ ΕΕΔΑΣ ΤΣ ΔΚΑΤΑΣ Α. 2889 της 1ης ΥΛΥ 1994 ΝΘΕΣΑ ΕΣ II πεί Συμπλημτκύ Πϋπλγμύ Νόμς (Α. 19) τυ 1994 εκδίδετ με δημίευη τη Επίημη Εφημείδ της Κυπκής Δημκτίς ύμφ με τ Άθ 52 τυ Συτάγμτς.

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R Κυκλική κίνηση Ονμάζετι η κίνηση η πί πρμτπιείτι σε κυκλική τρχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης S Ως νστόν πό τη εμετρί ισχύσει : S S Η τχύτητ η πί εκφράζει τ πόσ ρήρ διράφει η επιβτική κτίν τη νί νμάζετι

Διαβάστε περισσότερα

των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09

των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑ ΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙ ΩΩΝ ΤΣΙ ΜΕ ΝΤO ΛΙ ΘΩΩΝ, ΤΣΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β 17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά

Διαβάστε περισσότερα

«Αυτοεκτίμηση και Αυτοαντίληψη σε Έλληνες και αλλοδαπούς μαθητές της Ε Δημοτικού και βαθμός ανταπόκρισης στις προσδοκίες των γονέων τους»

«Αυτοεκτίμηση και Αυτοαντίληψη σε Έλληνες και αλλοδαπούς μαθητές της Ε Δημοτικού και βαθμός ανταπόκρισης στις προσδοκίες των γονέων τους» Πεπιστήμιο Πτρ Σχοή Αθρπιστικ κι Κοιικ Επιστημ Πιδγγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Θέμ πτυχικής εργσίς : «Αυτοεκτίμηση κι Αυτοτίηψη σε Έηες κι οδπούς μθητές της Ε Δημοτικού κι βθμός τπόκρισης στις προσδοκίες

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συνέχειας Πράξεις µε συνεχείς συναρτήσεις Συνέχεια συνάρτησης σε διάστηµα Θεωρία Ασκήσεις. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε σηµεί όταν f () = f ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ

Διαβάστε περισσότερα

34 34 1.641 357 1.373

34 34 1.641 357 1.373 Α -- Ο Η Α Α-Η Η Α -- Α Α 5 Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α Α..... Ο Α 599 Α & Α Α Α Α Α Α Α Α Α 21 21 1.495 343 1.351 601 Α & Α Α / Α Α Α Α 24 24 1.418 313 1.053 661 Α Α Α Α Α Α Α Α Α

Διαβάστε περισσότερα

οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A

οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A δ ` 3kς 3qz 3{9 ` ]l 3 # ~-?1 [ve 3 3*~ /[ [ ` ο `` ο ~ ο ```` ξα ~ ``` Πα```` α ` τρι ```ι ``` ι ` ι ~ και ``αι [D # ` 4K / [ [D`3k δδ 13` 4K[ \v~-?3[ve

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

έκκεντρα mechanical science και στρόφαλοι κτίσε ένα ιπτάμενο αετό κτίσε ένα γερανό

έκκεντρα mechanical science και στρόφαλοι κτίσε ένα ιπτάμενο αετό κτίσε ένα γερανό κτίσε ιτάμε ετό education Η Engino Education χει τύξει μι σειά Μηχικής Ειστήμης, ειδικά γι ιδιά υ ωτιύτι γι τ άτ γύω τυς κι θλυ κάυ κάτι γι υτό! Η σειά σχλείτι με 8 κύι θμτ της Μηχικής: Μχλύς, Σύδεσμι

Διαβάστε περισσότερα

υφ υ., Β ί,. υ, Βί φ υ α π ί αμ υ Γ α - α ί υ. α. πί. V ( α μ μ μ α, α α π ία μ ί α πα μ υπ ) π αμ α 8 α, α φ μα α υ α ί υ α Βαφ π. α ί α, π ( α ί), φ

υφ υ., Β ί,. υ, Βί φ υ α π ί αμ υ Γ α - α ί υ. α. πί. V ( α μ μ μ α, α α π ία μ ί α πα μ υπ ) π αμ α 8 α, α φ μα α υ α ί υ α Βαφ π. α ί α, π ( α ί), φ Φ Γ Θ ΓΓ Γ ON Β Γ Θ Γ Ω Γ φ α α (..) Θ α ία ί α α ί α (φ μα α Ο αμ υ π φα α ) π υ α α α μ αφ απ υ υ υ υ υ (φ μα υ α α α αμ υ α υ Ο υ φυ υ). Β α ί α ί α υ α ί α α α Θ α ία, α α ία μ μ α ί π GR 16 α GR 17.

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 37 38 Ερωτήσεις Κτόησης. Υπάρχου κοικά πολύγω τω οποίω οι εξωτερικές γωίες είι βλείες ; Απάτηση Νι. Είι το ισόπλευρο τρίγωο. Ποιο είι το πόστη κοικού πολυγώου περιγεγρέου

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ

Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 1 9 η Ο κ τ ω β ρ ί ο υ 1 9 9 6 Π ρ ό λ ο γ ο ς Τ ο π ρ ώ τ ο α ι ρ ε

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς 9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΤΑ ΤΗ 18 ΑΪ Υ 2016 ΑΤΕΥΘΥ ΣΗΣ ( Α Α ΣΥΣΤΗ Α) ,β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΤΑ ΤΗ 18 ΑΪ Υ 2016 ΑΤΕΥΘΥ ΣΗΣ ( Α Α ΣΥΣΤΗ Α) ,β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΑ Α ΑΕΑΔΕΣ ΕΕΤΑΣΕΣ Γ ΤΑΗΣ ΗΕΗΣΥ ΓΕΥ ΥΕΥ Α ΕΑ (ΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΤΗ 8 ΑΪΥ 6 ΕΕΤΑΖΕ ΑΘΗΑ: ΑΘΗΑΤΑ ΣΑΑΤΣΥ (Ε ΣΥΣΤΗΑ) ΑΤΕΥΘΥΣΗΣ (ΑΑ ΣΥΣΤΗΑ) ΣΥ ΣΕΔΩ: ΤΕΣ (3) A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

Λύσειςάμεσηςψύξηςracks γιαservers υψηλήςπυκνότητας. ΣειράLogiCool. ΣειράΨυκτώνLogiCool 20kW / 40kW

Λύσειςάμεσηςψύξηςracks γιαservers υψηλήςπυκνότητας. ΣειράLogiCool. ΣειράΨυκτώνLogiCool 20kW / 40kW ΣάΨυώ 20kW / 40kW Σά Λύσάμσψύracks servers υψπυό Επάσμψύύωύώυμfreecooling πβάit σσμr410a ΤυπΕφμ > Δωμάυπσώdata centers >Τπω > Πβάσμωφμώ >ΣθμΜω > Κθάωμά >Βμψύ > Ιώσ >Εφμάσ 6p p Χ σ ά : Ηύσ άμσψύ Rack Οψύ

Διαβάστε περισσότερα

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι 4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

/ % / Α. Α 6 6 14.958 14,90 31,40 9.863 10,00 17,70 121 Α Α % / Α. Α 17 17 17.595 17,80 34,90 17.222 17,40 33,20

/ % / Α. Α 6 6 14.958 14,90 31,40 9.863 10,00 17,70 121 Α Α % / Α. Α 17 17 17.595 17,80 34,90 17.222 17,40 33,20 Α -- Ο Η %, Α -- Α Α 5 Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α... Α..Α...... Ο Α... Α..Α...... 127 Α Α Α Α Α Α Α % / Α. Α 8 8 19.884 16,72 29,20 19.161 16,53 31,30 129 Α Α Α Α Α Α % / Α. Α 6 6

Διαβάστε περισσότερα

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ ι ε α τ Τ εγνα α α ετ κ λε τ υργικ ο τημα Η οτ ρ α τ υ αρ Γ ζε τ τη Φ λα δ α απ τ α φ ιτητ τ υ Πα ετ τημ υ τ υ λ νκ ξεκ νη ε αν μ α τ ρ τ Θε α να δημ υργηθε ακαλ τερ Ενα τ υ αμτ ρε ααντατ κρ ετα καλ τερα

Διαβάστε περισσότερα