Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος Άσκηση 2, Καθηγητής Σ. Τσαγγάρης ΑΣΚΗΣΗ 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος Άσκηση 2, Καθηγητής Σ. Τσαγγάρης ΑΣΚΗΣΗ 2"

Ἡλί Μαρκόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος 3-4- Άσκηση, Πεδίο ταχυτήτων : u=, v=6x ΑΣΚΗΣΗ ) Ενα στοιχείο του ρευστού, κινούµενο στο πεδίο ταχυτήτων µεταφέρεται, περιστρέφεται και παραµορφώνεται συγχρόνως. Η παραµόρφωση µπορεί να είναι γραµµική (όταν αλλάζουν τα µήκη των πλευρών του στοιχείου) ή γωνιακή (όταν αλλάζουν οι γωνίες του στοιχείου). Η παραµόρφωση εκφράζεται µε τον πίνακα D (εξίσωση 3.7 του βιβλίου), ενώ η περιστροφή ) µε τον πίνακα R (εξίσωση 3.7 του βιβλίου). Οι τανυστές αυτοί είναι : u v u u w D= v + u v v + w ( uz + wx) ( vz + wy) wz ( + ) ( + ) x x y z x ( x y) y ( z y) ( vx uy) ( uz wx) ωz ωy R = ( vx uy) ( wy vz) = ωz ωx y x ω ω ( uz wx) ( wy vz) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στοιχείου, που έχει συνιστώσες (ωχ, ω y, ω z ). Τα στοιχεία της πρώτης διαγωνίου του πίνακα παραµόρφωσης (u x, v y, w z ) δίνουν τη γραµµική παραµόρφωση, ενώ τα άλλα δίνουν τη γωνιακή παραµόρφωση. Στο δεδοµένο πεδίο ταχυτήτων προκύπτει : u = u = u = v = 6 v = v = x y z x y z 3 D= 3 Αρα τα στοιχεία του ρευστού υφίστανται γωνιακή µόνο παραµόρφωση.

2 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος 3-4- Άσκηση, Ο πίνακας περιστροφής προκύπτει : 3 R = 3 Αρα τα στοιχεία του ω,, ω =,,3 γύρω από ρευστού περιστρέφονται µε γωνιακή ταχύτητα ( ) ( ) άξονα περιστροφής παράλληλο στον άξονα z. Σύµφωνα µε τη σχέση (3.37) του βιβλίου, αστρόβιλο καλείται το πεδίο που έχει ω=, άλλως καλείται στροβιλό. Συνεπώς το πεδίο µας είναι στροβιλό. z 3) Σε στροβιλά πεδία δεν εισάγεται η έννοια του δυναµικού. 4) Σε ασυµπίεστο ρευστό είναι : div υ = (παραγρ του βιβλίου). Προκύπτει : div υ= u + v + w =. Αρα οι δεδοµένες σχέσεις µπορούν να συνιστούν πεδίο x y z ροής ασυµπίεστου ρευστού. Το πεδίο ταχυτήτων είναι διδιάστατο. Σύµφωνα µε της εξίσωση (4.α) του βιβλίου η ροϊκή συνάρτηση Ψ ορίζεται από τις σχέσεις : Ψ u = v= Ψ y x. Αφού δίδεται u=, προκύπτει : Ψ Ψ df = Ψ = y+ f(x) =. y x dx Είναι όµως Ψ df = v = 6x = 6x f(x) = 3x + c. x dx Αρα Ψ= y 3x + c. Κάθε γραµµή ροής χαρακτηρίζεται από µία τιµή της Ψ. Μπορεί συνεπώς η σταθερά c να ενσωµατωθεί µε την τιµή της Ψ, ώστε να έχουµε την απλούστερη µορφή Ψ= y 3x. Τη χρονική στιγµή = οι γραµµές ροής εκφράζονται µε τη ροϊκή συνάρτηση Ψ = y 3x. Σε κάθε τιµή της Ψ αντιστοιχεί µία γραµµή ροής (Πρόταση Κεφ. 4..4). Για να περνάει κάποια Γ.Ρ. από το σηµείο (, 3) θα πρέπει οι συντεταγµένες του να ικανοποιούν τη σχέση αυτή. Αντικαθιστώντας στην Ψ = y 3x τις συντεταγµένες (x=, y=3) προκύπτει Ψ=. Αρα η ζητούµενη γραµµή ροής έχει εξίσωση = y 3x.

3 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος 3-4- Άσκηση, 3 y x 4) Σύµφωνα µε την εξίσωση 4.8 του βιβλίου, ορίζεται η παροχή µέσω µιας επιφάνειας Ε. Στην περίπτωσή µας, λόγω του διδιάστατου πεδίου, η επιφάνεια Ε είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε πλευρές αφ ενός την ευθεία που συνδέει τα σηµεία Κ(, 3) και Μ(, 6) και αφ ετέρου (κάθετα στο επίπεδο του σχήµατος) τη µονάδα µήκους. Σύµφωνα µε την Πρόταση του Κεφ. 4..4, η ζητούµενη παροχή είναι : ( ) Ψ ( M ) = 6 3 = 6. Αρα προκύπτει Ψ K = 3 3 =. Είναι όµως και V& =Ψ( K) Ψ ( M) = ( 6) = 6. b Σηµειώνεται ότι οι µονάδες της παροχής προκύπτουν από τις µονάδες ταχύτητας και µήκους. 3

4 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος 3-4- Άσκηση, 5) Β(, ) Γ(, ) Α(, ) (, ) Η ολοκληρωµατική διατύπωση της εξίσωσης διατήρησης της µάζας στη γενική της µορφή έχει τη µορφή της εξ. (4.6) του βιβλίου. Στην περίπτωσή µας όµως που το πεδίο είναι ασυµπίεστο, θα χρησιµοποιηθεί η µορφή υ v nde v = () E του Πίνακα του Κεφ Ως επιφάνεια Ε έχουµε το τετράγωνο ΑΒΓ βάθους. Το διάνυσµα n v είναι το µοναδιαίο κάθετα στις πλευρές, το δε v v γινόµενο υ n είναι η κάθετη στην εκάστοτε πλευρά συνιστώσα της ταχύτητας. Η () αναλύεται ως εξής: v v v v v v v v v v υ nde = υ nde + υ nde + υ nde + υ nde = E AB BΓ Γ Α Η απλουστευτική και πλέον παραστατική µέθοδος είναι να σηµειώνουµε σε κάθε πλευρά τις κάθετες συνιστώσες της ταχύτητας, οι οποίες συµβάλλουν στην αύξηση ή µείωση της παροχής. Ετσι στην ΑΒ η κάθετη ταχύτητα είναι η u που έχει σταθερή τιµή και είναι εισερχόµενη στον όγκο ΑΒΓ. Στην πλευρά Γ η κάθετη ταχύτητα είναι επίσης η u= αλλά είναι εξερχόµενη. Οι δύο πλευρές είναι ίσες, συνεπώς η εισερχόµενη παροχή είναι ίση µε την v v v v εξερχόµενη,δηλαδή υ nde + υ nde =. Στην Α η κάθετη ταχύτητα AB Γ είναι η v(=6x), που είναι ανεξάρτητη του y και είναι εισερχόµενη στον όγκο ΑΒΓ. Στην απέναντι πλευρά ΒΓ η κάθετη ταχύτητα είναι επίσης η v(=6x), 4

5 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος 3-4- Άσκηση, αλλά είναι εξερχόµενη. Οι δύο πλευρές είναι ίσες, συνεπώς η εισερχόµενη v v v v παροχή είναι ίση µε την εξερχόµενη, δηλαδή υ nde + υ nde =. v v v v v v v v Προκύπτει τελικά υ nde + υ nde + υ nde + υ nde =. AB BΓ Γ Α Αυστηρά µαθηµατικά η λύση εκφράζεται ως εξής: A BΓ υ v nde v = υ v nde v + υ v nde v + υ v nde v + υ v nde v = E AB BΓ Γ Α y= x= y= x= ( ) ( ) u bdy vbdx ubdy v bdx = y= x= y= x= x= x= y= y= by + 6xbdx + by 6xbdx = y= y= x= x= 5

Σχετικά έγγραφα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται