Otkriće prirodne radioaktivnosti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Otkriće prirodne radioaktivnosti"

Transcript

1 Otkriće prirodne radioaktivnosti Kruksove cevi Rentgen [Wilhem Konrad Rontgen, ] Sir Wiliam Crookes Iz Kruksovih cevi se emituje prodorno zračenje Otkriće Xzraka X-zraka Prva Nobelova nagrada za fiziku 1901 Anri Bekerel [Henri Antoine Becquerel, ] fosforescencija f i X-zračenje č Uranijum spontano emituje zračenje koje izaziva zacrnjenje fotoploče Marija Kiri [Marie i Curie, (Manya Skodlowska), ] Izolovanje radioaktivnih potomaka uranijuma 1898 Polonijum Radijum A.Bekerel, M.Kiri, P.Kiri Nobelova nagrada za fiziku 1903

2 Od radioaktivnosti do strukture atoma Pitanja nakon otkrića radioaktivnosti Priroda zračenja? Koje supstancije (elementi) emituju? Ima ih puno, ali ne svi. Zašto? Koji proces dovodi do emisije? Pjer Kiri: 1 gram Ra oslobađa oko 140 cal/h ( puta više od sagorevanja vodonika) Perpetum mobile? Ne, E=mc 2 (1906, Ajnštajn)

3 Kakva je struktura atoma? Šta je bilo poznato? 1. Atom je neutralan 2. U atomu postoje elektroni Raderford, 1907 [Ernest Rutherford, 1 st Baron Rutherford of Nelson, ] Rasejanje alfa čestica na foliji zlata Nobelova nagrada za hemiju (?!) Teorija rasejanja i eksperimentalna potvrda Celokupna masa atoma je koncentrisana u malom pozitivno naelektrisanom jezgru

4 Bor Šredinger Gamov Model jezgra Jezgro (protoni + elektron, uz višak protona) Omotač elektroni (Bor, Šredinger,..) Model uzima u obzir sve do tada poznate čestice i napravljen je u skladu sa činjenicom j da atom mora da bude neutralan, a da pri tom jezgro mora da bude pozitivno naelektrisano. Glupavo? Možda, ali je Gamov god. na osnovu takvog modela (tj. pogrešna struktura jezgra i pogrešna struktura alfa čestice) objasnio alfa raspad jezgra koji sa manjim modikacijama važi i danas. Raderford (oko 1920) trebalo bi da postoji čestica mase protona i nultog naelektrisanja?!

5 Otkriće neutrona Ozračivanje meta lakih metala snopom alfa čestica prouzrokuje pojavu prodornog zračenja Be+ 2α = 6C + γ??? Vitrina koja komemorira Čedvikovo otkriće neutrona (slika autora i aparatura; Kembridž) Čedvik (1932) [Sir James Chadwick, ] Be + 2 α = 6 C + n U reakciji se izbacuju čestice koje ne jonizuju (neutroni), ali iz parafina izbacuju čestice slične mase koje jonizuju (protoni iz parafina) Raderford (oko god): U jezgru bi trebalo da postoji čestica koja je čvrsta asocijacija elektrona i protona (nulto naelektrisanje i masa slična protonu) i koja bi bila bolji gradivni element jezgra nege razdvojeni protoni i elektroni Nobelova nagrada za fiziku, ik 1935 Sastav jezgra: protoni i neutroni koji u jezgru zadržavaju svoje osobine Sastav materije: protoni, neutroni i elektroni. Da li je to sve?

6 Novi učesnici Pozitron (elektron pozitivnog naelektrisanja) Dirak [Pul Adrien Maurice Dirac, ] Relativistička kvantna mehanika (1930) Stanja negativne energije elektrona (anti-materija) i kreiranje para e - e + P.A.M.Dirak i E.Šredinger Nobelova nagrada za fiziku Otkriće pozitrona Fotografija traga čestice u Vilsonovoj komori u magnetnom polju normalnom na ravan slike pozitron Anderson [Carl David Anderson, ] Čestica koju kosmičko zračenje indukuje ima sve osobine elektrona, ali je naelektrisanje suprotnog znaka C.D.Anderson i V.M.Hes Nobelova nagrada za fiziku Irena i Frederik Žolio-Kiri Veštačka radioaktivnost Pozitronski beta raspad Kosmičko zračenje Nobelova nagrada za hemiju

7 Novi učesnici neutrino ( neutronče ) Wolfgang Pauli [ ] Pismo upućeno učesnicima konferencije o radioaktivnosti: Sin profesora fizičke hemije na Univerzitetu u Beču Dragi radioaktivni Proces beta raspada pri kome beta čestica (elektron) nosi proizvoljnu energiju (kontinualni spektar energija) se ne slaže sa kvantiranjem energijskih prelaza.u procesu beta raspada mora da učestvuje i jedna mala nutralna čestica koja nosi deo energije raspada kako bi se dopunila energija kvantnog prelaza. Nobelova nagrada za fiziku Neutrino je detektovan 20-ak godina nakon Paulijeve tvrdnje, ali su autoritet Paulija i zdrava logika učinili da u međuvremenu bude prihvaćen i bez eksperimentale potvrde.

8 Radioaktivni raspadi i struktura jezgra Lista učesnika Jezgro atoma kao izvor (protoni, neutroni i.) Emitovane čestice: Alfa (2p+2n), Beta (elektron ili pozitron), Gama (e.m. zračenje), neutrini (neutralne čestice, masa?) Osnovno pitanje: Da li se čestice koje se emituju u radioaktivnom raspadu prethodno nalaze u jezgru? Odgovor: 1. Alfa čestice (2p+2n) 2n) postoje u jezgru i emisija alfa čestica se može smatrati kao izbacivanje viška 2. Elektroni, pozitroni i neutrina ne postoje u jezgru i kreiraju se u toku transformacija jezgra u stabilnije stanje 3. Gama čestice nalaze se u jezgru, ali ne kao posebne čestice nego kao višak energije koji se emituje u toku transformacije

9 Stabilnost protona Postulat: t radioaktivnost t jezgara je posledica debalansa u sastavu jezgra, a ne inherentne nestabilnosti konstituenata (protoni i neutroni) Pitanje: Postulat je OK, ako pretpostavimo p da se vezani neutron nekako stabilizuje unutar jezgra u interakciji sa protonima. A šta ako je i proton nestabilan ( radioaktivan ) tj. kako je moguće da dve nestabilne čestice obrazuju stabilno jezgro? Da li je proton stabilan i kako se to može dokazati? Mogući raspad slobodnog protona p + e + + γ Raspad je u skladu sa osnovnim zakonima održanja (naelektrisanje i impuls), ali nije u skladu sa održavanjem barionskog broja (fizika elementarnih čestica kaže da se barioni ne mogu pretvarati u fermione). OK, ali barionski broj je nemerljiva osobina. Ekperimentalni dokazi o stabilnosti ili makar izuzetnoj dugovečnosti protona: 1. Zdravorazumski letalna doza jonizujućeg zračenja od protona u ljudskom telu bi se postigla ako bi se proton raspadao sa t 1/2 od oko godina (starost svemira 5x10 10 god.) 2. Supekamiokande rudnik u Japanu napunjen sa puno vode i detektora zračenja Raspad protona nije registrovan ako se i raspada t 1/2 >10 33 godina Opšti zaključak: za sve svakodnevne potrebe proton se može smatrati kao stabilna čestica i radioaktivnost kao posledica debalansa u sastavu jezgra, a ne kao inherentno svojstvo materije. Pitanje stabilnosti protona je više filozofsko, nego radiohemijsko.

10 Sile koje drže neutrone i protone na okupu u jezgru -sastav jezgra i nuklearne sile- Isključivanje elektrona iz jezgra je definitivno isključilo mogućnost da elektrostatičke sile drže na okupu sastavne delove jezgra (ustvari su smetnja stabilnosti jezgra). Pitanje: Da li bi jezgro sastavljeno od neutrona bilo stabilnije od jezgra sastavljenog od protona i neutrona? Odgovor: Da, jer bi se izbegao negativan uticaj elektrostatičkog odbijanja protona po stabilnost, ali to onda ne bi moglo da bude jezgro atoma. Zašto? Nedostak naelektrisanja u jezgru = nema privlačenja č elektrona Atom mora imati i elektrone inače nije atom i onda nema mogućnosti stvaranja kompleksnih struktura Rezultat odsustva protona = kolaps materije = neutronske zvezde

11 Sile koje drže neutrone i protone na okupu u jezgru -poreklo nuklearnih sila- defekt mase Pitanje: Da li rana pretpostavka o poreklu energije za radioaktivni raspad (pretvaranje mase u energiju, E = mc 2 ) može da objasni i činjenicu da jezgra uopšte postoje unatoč elektrostatičkom odbijanju protona? Ogovor: Da, a pri tom postoji i eksperimentalni dokaz: Masa protona 1, Masa neutrona 1, Masa jezgra deuterijuma (proton + neutron) 2, Razlika 0, Energija osobođena pri ukupnoj transformaciji protona ili neutrona u energiju Atomska jedinica mase 1 a.j.m. = 931 MeV 1g U (fisija) = puno tona uglja Nuklearna E = mc 2 energija Hemija

12 Struktura jezgra sile koje drže neutrone i protone na okupu Jukava [Hideki Yukawa, ] Analogija sa H 2+ - jedan elektron drži na okupu dva protona Nuklearne sile se ostvaruju preko razmene neke čestice između protona i neutrona (1935. god.) Nobelova nagrada za fiziku Procena mase Čestica deluje na nukleone unutar jezgra domet sila oko r = 1,2 fm Ne može da se kreće brže od svetlosti neodređenost vremena t = r/c 2 h E = mc = = 6,5 10 MeVs / s 150 MeV t Masa je između protona i elektrona = mezoni Jukavina čestica (π mezon, masa ) je nađena 1947 u kosmičkom zračenju na velikim visinama Mala zamka: π mezoni u kosmickom su realni, a Jukavini virtuelni, odnosno intermedijarni bozoni (vidi elementarne čestice)

13 Modeli jezgra Šta je merljivo? Masa, veličina, sastav Stabilnost Spin magnetni momenat Koje se još osobine se moraju uzeti u obzir? Periodičnost nuklearnih osobina Osnovno i pobuđeno stanje nuklearne reakcije Literatura Arnikar Osnovi nuklearne hemije Macura i Radić-Perić Atomistika

14 Osobine nukleona i jezgara Poluprečnik jezgra -Raspodela materije -Raspodela naelektrisanja -Domet nuklearnih sila Gustina materije u jezgru je konstantna ρ A 4 π R 3 3 A=maseni broj, R=poluprečnik jezgra r o =jedinični poluprečnik jezgra 1 R = r A 3 0 Poluprečnik jezgra (R) rastojanje od centra gde je ρ = 0,5 ρ o Površina jezgra oblast između ρ = 0,9ρ o i ρ = 0,1 ρ o

15 Osobine nukleona i jezgara Određivanje r o : 1. Metode koje (prevashodno) zavise od kulonskih interakcija, npr. rasejavanje visokoenergetskih elektrona i ispitivanje ugaone raspodele: r o =1,28 F za A manje od 50 r o =1,21 121F za A veće ć od d50 2. Metode koje zavise i od nuklearnih sila -rasejavanje visokoenergetskih protona i α čestica -rasejavanje brzih neutrona r o =1,33 1,48 A

16 Osobine jezgra spin Proton i neutron imaju spin ½ što se može zaključiti iz merenja magnetnog momenta Magnetni momenti neutrona i protona su u suprotnom smeru u magnetnom polju Problem: Kako je moguće da neutron ima magnetni momenat, ako magnetni momenat potiče od rotiranja naelektrisane čestice oko sopstvene ose (spin)? Pokušaj objašnjenja magnetnog momenta neutrona u duhu Jukavine teorije gde je neutron shvaćen kao jezgro od protona okruženo oblakom negativnih mezona Naravoučenije: Spin (i pripadajući magnetni momenat) je osobina svake elementarne čestice (kao što su i masa i naelektrisanje) i nema nikakve veze sa kretanjem u prostoru. Objašnjenje spina nukleona kvark struktura nukleona Proton uud Neutron - udd naelektrisanje spin u 2/3 1/2 d -1/3-1/2 Spin jezgra je zbir spinova nukleona uz poštovanje Paulijevog principa isključenja i kvark struktura nukleona nije bitna kod modela jezgra

17 Sastav jezgra i nuklearne sile Energija veze po nukleonu Energija veze po nukleonu Β σρ = B/A Ključna tema i test svih modela jezgra: Zašto kriva izgleda ovako i kako objasniti periodične diskontinuitete?

18 Periodičnost č ost nuklearnih osobina Magični brojevi - nuklearne osobine se periodično menjaju i svaki period se završava kada je broj protona ili neutrona jednak 2,8,20,50,82,126. (nešto nalik na periodni sistem elemenata?) Eksperimentalno određene nuklearne osobine 1. Sparivanje nukleona i stabilnost jezgara a) Jezgra sa parnim Z i parnim N su najobilnija među stabilnim izotopima u prirodi (165 od 274). b) Elementi parnog Z imaju tri izotopa, a elementi neparnog Z samo jedan (pravilo važi do 35 Cl) c) Najteži stabilni nuklid u prirodi je 209 Bi (126 neutrona) d) Stabilni proizvod svih prirodnih nizova je Pb (82 protona), a svih veštačkih 209 Bi (126 neutrona).

19 Eksperimentalno određene nuklearne osobine u okolini magičnih brojeva 2. Energija veze po nukleonu Funkcija B/A vs. A ima maksimume kod magičnih vrednosti Z ili N, koji su naročito izraženi kod dvostruko magičnih nuklida: 4 2 He O Ca 20 He T D

20 Eksperimentalno određene nuklearne osobine u okolini magičnih brojeva (3) Prirodna obilnost Najobilniji nuklidi u prirodi (zemaljsko ili kosmičko poreklo) su oni sa magičnim ili dvostruko magičnim brojem: O8 Sr50, Ba82,, Pb Odstupanja za nuklide A< 19 F (prestelarna faza nukleosinteze) (4) Broj stabilnih izotopa nuklida u okolini magičnih brojeva Oblast oko magičnog Z Magični broj -1 Magični broj Magični broj +1 Kalcijum (20) 19K: 2 20Ca: 6 21Sc: 1 (5) Alfa - raspad Geiger-Nuttal-ovo pravilo ( Eα 1 t 1 2 ) Kalaj (50) 49In: 2 50Sn: 10 51Sb: 2 Olovo (82) 81Tl: 2 82Pb: 4 83Bi: 1 Jezgra čiji α - raspad proizvodi potomka koji ima magični broj nukleona (N ili Z) je favorizovan (kraće t 1/2 ) u odnosu na raspad koji potomka udaljuje od magičnog broja Po Po At At α α α α Pb Pb Bi Bi ; t ; t ; t ; t = 46 s = 138,4 d = 0,11μs = 7,2 h E = 8,78MeV E = 5,32MeV E = 9,08MV MeV E = 5,87MeV

21 Eksperimentalno određene nuklearne osobine u okolini magičnih brojeva (6) Beta - raspad Energija gj β - čestica je visoka, a t 1/2 kratko kod raspada čiji jpotomak ima N ili Z jednak jednom od magičnih brojeva ( analogija sa Geieger Nutall-ovim pravilom) (7) Efikasni presek za apsorpciju neutrona (skolonst jezgra da primi dodatni neutron) N = magični broj -1 visoko σ 87 Sr N = magični broj nisko σ (8) Energija odvajanja neutrona iz jezgra Sr Xe 82 5, Xe81 2,65 10 Energija odvajanja (uklanjanja) neutrona iz jezgra preko (γ,n) reakcije (jedan od najboljih načina da se odredi energija veze neutrona u jezgru) Pb126 Prag reakcije = 7,38 MeV za (dvostruko magični i nuklid) Pb Prag reakcije = 3,78 MeV za (N = magični broj + 1) 127

22 Modeli jezgra Sve prethodno navedene osobine ukazuju na mogućnost da se jezgro može modelirati slično atomu, ali jezgra imaju i nezgodnu naviku da se spontano raspadnu (i u nuklearnim reakcijama), što se nikad ne događa sa atomima.

23 Model ljuske model zatvorenih ljuski ili model nezavisnih čestica Osnovni motiv za razvoj modela je pokušaj objašnjavanja priodičnosti nuklearnih osobina po analogiji sa periodnim sistemom i osobinama atoma. Maria Goeppert-Mayer i J.H.D. Jensen Nobelova nagrada za fiziku Nezavisno n-n i p-p sparivanje Kapacitet ljuske je određen kvantno mehaničkim pravilima i Paulijevim principom p isključenja j Kvantni brojevi nukleona Glavni i radijalni kvantni brojevi (n i ν) mala uloga jer polje nije ni kulonsko ni centralno Orbitalni momenat impulsa (l) l = 0, 1, 2, 3,... Spinski moment impulsa (s) s = 1/2 Ukupni moment impulsa (j) j = l +(-) s Magnetni broj m j Sprezanja momenata: LS nezavisno sparivanje l-ova i i s-ova Spin-orbitno ili j-j Ukupni spin jezgra I = 0 parno-parna I = 1/2 3/2 5/2... neparno A I = 1, 2, 3... neparno-neparna

24 Model ljuski (1) Nuklearni potencijal Orbitala nukleona je određena nuklearnim potencijalom koji potiče od usrednjene interakcije ij svih nukelona. Oblici nuklearnog potencijala način promene potencijala u zavisnosti od rastojanja od centra jezgra: (a) Potencijal pravougle jame V ( r) = V ( r R) V ( r) = 0( r R) R poluprečnik jezgra i zavisi od raspodele naelektrisanja (b) Potencijal harmonijskog oscilatora M r E = ( N + V ( r) = V ω n 3 2) hω 2 (c) Potencijal Yukawa-e V ( r ) (d) Potencijal Woods-Saxona = V 0 e μ r μ r V ( r ) = ( r 1+ e 0 V ( R) a

25 Model ljuske Energetski nivoi u nuklearnoj potencijalnoj jami i popunjavanja p j orbitala Eksperimantalno određena dubina potencijalne jame je MeV za neutrone, a za protone je za oko 5 MeV manja (kulonsko odbijanje). Energija potrebna za izbacivanje n ili p iz jezgra (npr. fotonuklearne reakcije) ne prelazi 8 MeV. Pravougaona potencijalna jama - Energetski nivoi su na nejednakom rastojanju, koje se sužava na višim energijama. - Popunjeni nivo sa 2(2l+1) nukleona je zatvorena ljuska (2, 8, 18, 20, 34, 40, 58, 68, 90, 92, 106, 132, 138). Harmonijski oscilator -Ravnomerno rastojanje između energetskih nivoa Ravnomerno rastojanje između energetskih nivoa broj nukleona u zatvorenim ljuskama je 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168.

26 Model ljuske Energetski nivoi u nuklearnoj potencijalnoj jami i popunjavanja pp j orbitala Spin-orbitalno sprezanje - Spin-orbitalno sprezanje uključuje necentralnu komponentu sile koja zavisi od relativne orijentacije j orbitnog i spinskog momenta. - Svaki nivo se cepa na dva podnivoa j = l ± 1/2 i relativni energetski procep raste sa porastom l. - Dolazi do preklapanja (ukrštanja) nivoa za visoke vredosti l. - Ljuske se zatvaraju na magičnim brojevima. Ljuska Nivo Ukupni kapacitet nivoa Energetski nivo neutrona (MeV) Energetski nivo protona (MeV) I 1s 1/2 Z = 2 (He) 41,63 32,72 II III 1p 3/2 6 (C) 38,80 29,53 1p 1/2 8 (O) 37,44 29,02 1d 5/2 14 (Si) 33,29 25,42 1s 5/2 16 (S) 32,40 24,22 1d 3/2 20 (Ca) 31,18 22,36 1f 7/2 28 (Ni) 28,20 20,62 2p 3/2 32 (Ge) 26,52 18,43 IV 1f 5/2 38 (Sr) 25,05 16,36 2p 1/2 40 (Zr) 24,31 15,47 1g 5/2 50 (Sn) 22,62 13,23

27 Tipovi jezgara na osnovu modela ljuski (1) jezgra sa zatvorenim ljuskama He2 8O8, 20Ca20,, Pb (2) jednočestična jezgra dvostruko magična jezgra analogna nultoj grupi periodnog sistema elemenata jezgra kod kojih je broj n ili p magičan, a broj drugih 3 Li2, 9F8, 20Ca21 za jedan veći od magičnog analogno alkalnim metalima (3) jezgra sa jediničnom šupljinom O7 7N8, 19K20,, Ca Prednosti modela ljuski (1) Objašnjavanje periodičnosti nuklearnih osobina 19 jezgra kod kojih nedostaje jedan nukleon do zatvorene (magične) ljuske - analogno halogenim elementima (2) Predviđanje ukupnog momenta impulsa (spina), parnosti i magnetnog momenta jezgra - Spin i parnost jezgara sa neparnim A su određene vrednostima j nesparenog nukelona i određuju ponašanje jezgra u celini (laka jezgra) - Odstupanja od pravila kod teških jezgara (predviđeni spin od 13/2) se mogu objasniti ukrštanjem (hibridizacijom idi ij nivoa) (3) Objašnjenje nuklearne izomerije - Dug život izomera je posledica zabrane prelaza kada se nivoi razlikuju po spinu

28 (4) Električni kvadrupolni moment jezgra - Popunjene ljuske Q= 0 - Manjak nukleona u odnosu na popunjenu ljusku Q<0 - Višak nukelona u odnosu na popunjenu ljusku Q>0

29 Model tečne kapi Razvijen da bi se objasnile nuklearne reakcije (prevashodno fisija termalnim neutronima) N. Bohr i J.A.Wheeler Analogije osobina jezgra sa osobinama kapi tečnosti: č ti (1) Veliki broj čestica (model važi za teška jezgra) (2) Nestišljivost i homogenost gustina, naelektrisanje i ostale osobine su konstantne unutar kapi (jezgra), a zapremina je proporcionalna masi (broju nukleona): R=r 0 A 1/3 (3) Sila između čestica ne zavisi od njihove prirode (idealni rastvor) f n-n = f n-p = f p-p (4) Sile interakcije su kratkog dometa i imaju karakter zasićenja Energija interakcije (5) Površinski napon A, a ne A(A-1) (6) Statistička raspodela energije ekscitacije (upadna čestica) i deekscitacije (proizvodi reakcije) Formiranje složenog jezgra (upadna čestica + jezgro), brza raspodela energije na sve čestice j g j g ( p j g ), p gj (nukleone), vreme trajanja = s. Deekscitacija: emisija γ zračenja (kod kapi tečnosti se emituje toplota), emisija jednog ili više nukleona (isparavanje čestica), fisija (raspad kapi na dve ili više).

30 Prednosti modela tečne kapi - objašnjava ponašanje jezgara u pobuđenom stanju - objašnjava mehanizam niskoenergetskih nuklearnih reakcija i fisije - daje osnovu za izračunavanje energije veze nukelona u jezgru Poluempirijska jednačina mase jezgra Weizsacker-ova jednačina: B ukupna = B v(zapreminska) +B s(površinska) +B c(kulonska) +B a(asimetrije) +B p(sparivanja) (1) Zapreminska energija Najznačajniji pozitivni član koji potiče od međusobnog privlačenja nukleona. Ima karaktrer zasićenja i zavisi od zapremine jezgra: B v = a v A a v = 14,1 ± 0,2 MeV (2) Površinska energija Analogno sa površinskim naponom, zavisi od površine jezgra, tj. od odnosa broja nukleona na površini i u odnosu na broj u unutrašnjosti: ti B s = -a s A 2/3 a s = 13,0 ± 0,1 MeV (3) Kulonska energija Negativni doprinos ukupnoj energiji usled odbijanja protona: 2 3 Z(Z 1)e 1 3 = a 1 3 cz(z 5 r0a Bc 1)A = a c = 0,595 ± 0,02 MeV

31 (4) Energija asimetrije ili energija viška neutrona Negativni doprinos zbog asimetrije kod jezgara sa A > 40, tj. kod jezgara kod kojih je N > Z. Energija veze je maksimalna kada je N = Z = A/2, a sa porastom asimetrije (N - Z) opada energija veze. (5) Energija sparivanja B = = a a a (N Z) A a a (A 2Z) A a a = 19,0 ± 0,9 MeV Doprinos može biti pozitivan kod kompletnog n - n i p - p sparivanja ili negativan ako su p i n nespareni: 1 + parno Z,parno A Bp = ± a pa a neparno Z, neparno A p = 135 Mev B p = 0 za neparno A Ukupna energija gj veze B = a v A - a s A 2/3 -a c Z(Z - 1) A -1/3 -a a (A -2Z) 2 A -1 ±a p A-1 Energija veze po nukleonu B _ = B A

32 Primena poluempirijske jednačine mase (1) Izračunavanje konstante poluprečnika jezgra Ogledalska jezgra P S15 B = B (Z,N) - B(N,Z) = a c A 1/3 (N 2 -Z 2 ) = a c A 2/3 a =3/5(e =3/5(e c 2 /r 0 ) r 0 2 / B) A 2/3 jedna p - p veza zamenjena n - n vezom (2) Predviđanje stabilnog nuklida u izobarskim serijama β - emitera U izobarskoj seriji A = const. B A= const. db dz 141 A = K 2 Z A (0,6A ) + 80 Z 2 Z 40 A s 2 3 = (0,6 A + 80) + 80 = 0 teme parabole bl Z s = 2 3 A 0,6A + 80 Cs Ba La Ce 59Pr Nd Pm 62Sm β stabilan β + i ili EZ 141 Ba 141 La + β + ν ΔB = 2,9 MeV Eksperiment 2,8 MeV

33 Modeli jezgra i fisija Fisija po modelu tečne kapi Zašto 235 U podleže fisiji termalnim neutronima (fisibilni izotop), a 238 U ne? Upotreba semi-empirijske jednačine Energija potrebna za fisiju (energija aktivacije) za jezgra Z>90 je nešto veća od 6 MeV Jezgro 233 U 235 U 238 U 239 Pu Energija oslobođena vezivanjem termalnog neutrona (MeV) 7,02 6,78 5,39 6,93 Κοd 238 U nedostaje oko 1MeV, tako da je moguća fisija samo sa brzim neutronima (prag fisije od oko 1 MeV) Razlika u energiji je od sparivanja (ili silaska na nižu ljusku)

34 Modeli jezgra i fisija Model kapi predviđa simetričnu podelu fragmenata fisije U realnosti se to ne dešava kod fisije termalnim neutronima, ali se prinos fragmenata približava simetričnoj fisiji sa povećanjem energije upadnog neutrona Objašnjenje nije moguće u okviru modela tečne kapi, ali je moguće u kombinaciji sa modelom ljuske. Pri niskoj energiji eksitacije fragmenti teže da budu u blizini magičnih brojeva o - fisija 235 U sa termalnim neutronima Δ - fisija 235 U sa 1 MeV neutronima

35 Naravoučenije Mi nemamo model jezgra koji bi istovremeno i podjednako egzaktno opisao sve osobine jezgra, ali i ovi koje imamo su dovoljno dobri za npr. -Pravljenje bombi i reaktora -Objašnjenje j j funkcionisanja zvezda -Ostale sitnije potrebe (proizvodnja izotopa za medicinu)

Atomska jezgra. Atomska jezgra. Materija. Kristal. Atom. Elektron. Jezgra. Nukleon. Kvark. Stanica

Atomska jezgra. Atomska jezgra. Materija. Kristal. Atom. Elektron. Jezgra. Nukleon. Kvark. Stanica Atomska jezgra Materija Kristal Atom Elektron Jezgra Nukleon Stanica Kvark Razvoj nuklearne fizike 1896. rođenje nuklearne fizike Becquerel otkrio radioaktivnost 1899. Rutherford pokazao da postoje različite

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

STRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926)

STRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926) Dalton (803) Tomson (904) Raderford (9) Bor (93) Šredinger (96) OTKRIĆA OSNOVNIH SASTOJAKA ATOMA Do početka XX veka važila je Daltonova atomska teorija o nedeljivosti atoma. Karjem XIX i početkom XX veka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne karakteristike atomskog jezgra

Osnovne karakteristike atomskog jezgra Osnovne karakteristike atomskog jezgra Otkriće atomskog jezgra (Raderford, 1911., rasejanje α-čestica) - skoro celokupna masa atoma je skoncentrisana u prostoru dimenzija 10 15 m. Jezgro sadrži protone

Διαβάστε περισσότερα

STRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926)

STRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926) Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926) TALASNO MEHANIČKI MODEL ATOMA Hipoteza de Brolja Elektroni i fotoni imaju dvojnu prirodu: talasnu i korpuskularnu. E = hν E = mc

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

To je ujedno 1/12 mase atoma ugljika koja je određena eksperimentom i koja iznosi kg. Dakle mase nukleona:

To je ujedno 1/12 mase atoma ugljika koja je određena eksperimentom i koja iznosi kg. Dakle mase nukleona: Nuklearna fizika_intro Osnovne sile u prirodi, građa atomske jezgre, nukleoni i izotopi, energija vezanja jezgre, radioaktivnost, osnovne vrste radioaktivnog zračenja i njihova svojstva, zakon radioaktivnog

Διαβάστε περισσότερα

Fizika atomskog jezgra Sadržaj

Fizika atomskog jezgra Sadržaj Osnovne karakteristike atomskog jezgra 30 Defekt mase jezgra i energija veze 303 Stabilnost atomskog jezgra 305 Radioaktivni raspad 308 akon radioaktivnog raspada 309 Vrste radioaktivnog raspada 30 α-radioaktivni

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Elektron u magnetskom polju

Elektron u magnetskom polju Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice. "Ništa nije jednostavnije od elementarne čestice. Ova definicija je tolikosavršenadase kaoi sveidealnestvariuopštenekoristi".

Elementarne čestice. Ništa nije jednostavnije od elementarne čestice. Ova definicija je tolikosavršenadase kaoi sveidealnestvariuopštenekoristi. Radiohemija i nklearna hemija Elementarne čestice Šta je elementarna (fndamentalna) čestica? Fndamentalna čestica je najjednostavniji i nedeljivi delić materije, bez oblika i ntrašnje strktre odnosno entitet

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

NUKLEARNI ALFA-RASPAD

NUKLEARNI ALFA-RASPAD NUKLEARNI ALFA-RASPAD U lakim jezgrama energija separacije α-čestice usporediva je s energijom separacije nukleona: 8-10 MeV. Tek za teške jezgre A>150 energija separacije može biti negativna i energetski

Διαβάστε περισσότερα

NUKLEARNA FIZIKA. Osnove fizike 4

NUKLEARNA FIZIKA. Osnove fizike 4 NUKLEARNA FIZIKA Osnove fizike 4 Atom= jezgra + elektroni jezgra = protoni + neutroni (nukleoni) POVIJEST NUKLEARNE FIZIKE 1896. Becquerel otkriće radioaktivnosti 1898. Pierre & Marie Curie separacija

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ NUKLEARNE FIZIKE I RADIOAKTIVNOSTI

PITANJA IZ NUKLEARNE FIZIKE I RADIOAKTIVNOSTI PITANJA IZ NUKLEARNE FIZIKE I RADIOAKTIVNOSTI. Od kojih se čestica sastoji atomska jezgra i koja su osnovna svojstva tih čestica?. Zašto elektroni ne mogu nalaziti u jezgri? 3. Kolika je veličina atoma,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

SASTAV MATERIJE STRUKTURA ATOMA I PERODNI SISTEM ELEMENATA

SASTAV MATERIJE STRUKTURA ATOMA I PERODNI SISTEM ELEMENATA SASTAV MATERIJE STRUKTURA ATOMA I PERODNI SISTEM ELEMENATA Atomi su veoma sitne čestice Još niko nije uspeo da vidi atom Još nije konstruisan takav mikroskop koji će omogućiti da se vidi atom Najbolji

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Akceleratori. Podela akceleratora. Akceleratori su mašine u kojima se naelektrisane čestice (e -, p +, etc.) ubrzavaju dejstvom elektromagnetnih polja

Akceleratori. Podela akceleratora. Akceleratori su mašine u kojima se naelektrisane čestice (e -, p +, etc.) ubrzavaju dejstvom elektromagnetnih polja Akceleratori Akceleratori su mašine u kojima se naelektrisane čestice (e -, p +, etc.) ubrzavaju dejstvom elektromagnetnih polja Podela akceleratora Trajektorija čestica Linearni - konačna energija ubrzane

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Skulptura mamuta, dužine samo 3.7cm koja je isklesana od mamutove kljove, delo je umetnika koji je živeo u severozapadnoj Nemačkoj pre godina.

Skulptura mamuta, dužine samo 3.7cm koja je isklesana od mamutove kljove, delo je umetnika koji je živeo u severozapadnoj Nemačkoj pre godina. NUKLEARNA FIZIKA Skulptura mamuta, dužine samo 3.7cm koja je isklesana od mamutove kljove, delo je umetnika koji je živeo u severozapadnoj Nemačkoj pre 35000 godina. Koji fizički principi omogućavaju vremensko

Διαβάστε περισσότερα

Atomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži

Atomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Ionizirajuće zračenje u biosferi

Ionizirajuće zračenje u biosferi Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Ionizirajuće zračenje u biosferi Mile Dželalija Split, 2006. M. Dželalija, Ionizirajuće zračenje u biosferi (interna skripta), Sveučilište u Splitu, Kemijsko-tehnološki

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

RADIOHEMIJA.

RADIOHEMIJA. RADIOHEMIJA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 ATOM I ATOMSKO JEZGRO Karakteristike elementarnih čestica: elektrona, protona i neutrona Redni i maseni broj hemijskog elementa Izotopi, izobari,

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

DALTONOV ATOMSKI MODEL Nastao je čitavih 2300 godina posle DEMOKRITA!

DALTONOV ATOMSKI MODEL Nastao je čitavih 2300 godina posle DEMOKRITA! DALTONOV ATOMSKI MODEL Nastao je čitavih 2300 godina posle DEMOKRITA! Polazna znanja zakoni o: Održanju mase Stalnom (utvrdjenom) sastavu Umnoženim odnosima Zakon o održanju mase masa supstance ne menja

Διαβάστε περισσότερα

Izdavač. UNIVERZITET U BEOGRADU Fakultet za fizičku hemiju Beograd, Studentski trg Recenzenti. Urednik... Štampa...

Izdavač. UNIVERZITET U BEOGRADU Fakultet za fizičku hemiju Beograd, Studentski trg Recenzenti. Urednik... Štampa... Izdavač UNIVERZITET U BEOGRADU Fakultet za fizičku hemiju Beograd, Studentski trg 12-16 Recenzenti Urednik... Štampa... Univerzitet u Beogradu-Fakultet za fizičku hemiju 2008. Sva prava zadržana. Nijedan

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Relativistička kvantna mehanika

Relativistička kvantna mehanika Relativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori Lorencove grupe S µν = i 4 [γµ, γ ν ] zadovoljavaju Lorencovu algebru:

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Doc. dr Milena Đukanović

Doc. dr Milena Đukanović Doc. dr Milena Đukanović milenadj@ac.me ATOMSKA STRUKTURA MATERIJE: 500 g.p.n.e. Empedokle svijet se sastoji od četiri osnovna elementa: zemlja, vazduh, vatra i voda. 400 g.p.n.e. Demokrit svijet je sagrađen

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz nuklearne fizike

Vježbe iz nuklearne fizike Vježbe iz nuklearne fizike Matko Milin i Ivica Friščić Fizički odsjek Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu verzija: 31. listopada 2010. 3 Struktura nukleona 3.1 Kvarkovi i leptoni Kvarkovi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα