ΟΗ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΗ ΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΟΗ ΣΔΥΝΔ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΗ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΗ ΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΟΗ ΣΔΥΝΔ"

Transcript

1 ΟΗ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΗ ΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΟΗ ΣΔΥΝΔ

2 ΘΔΜΑ ΔΡΔΤΝΖΣΗΚΖ ΔΡΓΑΗΑ ΟΗ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΗ ΚΑΗ ΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΣΖ ΛΟΓΟΣΔΥΝΗΑ, ΣΟΝ ΚΗΝΖΜΑΣΟΓΡΑΦΟ, ΣΖΝ ΠΟΗΖΖ, ΣΖΝ ΜΟΤΗΚΖ ΚΑΗ ΣΗ ΣΔΥΝΔ Ζ ΗΣΟΡΗΑ ΚΑΗ Ζ ΦΗΛΟΟΦΗΑ ΣΟΤ 1 Ο ΓΔΝΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΡΟΓΟΤ ΒΔΝΔΣΟΚΛΔΗΟ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ ΣΑΞΖ Β ΛΤΚΔΗΟΤ ΤΠΔΤΘΤΝΟΗ ΚΑΘΖΓΖΣΔ ΚΧΣΑ ΜΑΛΛΗΑΚΑ - ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟ ΜΑΡΣΖ ΜΑΡΣΑΚΖ - ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟ

3 ΟΜΑΓΑ : ΘΑΛΖ ΘΔΜΑ ΔΝΟΣΖΣΑ ΒΗΟΓΡΑΦΗΔ ΠΟΤΓΑΗΧΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ ΚΑΗ ΑΞΗΟΖΜΔΗΧΣΔ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΔ ΓΗΑ ΚΟΡΤΦΑΗΟΤ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΤ ΚΑΗ ΚΡΤΦΔ ΠΣΤΥΔ ΣΟΤ ΥΑΡΑΚΣΖΡΑ ΣΟΤ. ΜΔΛΖ ΟΜΑΓΑ ΜΔΓΑΛΟΤΓΖ ΚΑΣΔΡΗΝΑ ΜΠΑΚΗΡΖ ΓΖΜΖΣΡΖ ΣΕΟΒΑΡΑ ΝΗΚΖ ΣΑΛΟΤΠΖ ΞΑΝΘΖ

4 Αο μεθηλήζνπκε ην ηαμίδη καο ζην ρξόλν θαη ζηηο δσέο ησλ ζπνπδαίσλ απηώλ καζεκαηηθώλ από ηελ αξραία Διιάδα, κεηέξα όισλ ησλ επηζηεκώλ.

5 ΘΑΛΖ Ο ΜΗΛΖΗΟ (630/ π. Υ.) Ο Θαιήο ήηαλ αξραίνο Έιιελαο, ν πξώηνο ησλ επηά ζνθώλ ηεο αξραηόηεηαο, καζεκαηηθόο, θπζηθόο, αζηξνλόκνο θαη Μεραληθόο θαη ηδξπηήο ηεο ρνιήο Φπζηθήο Φηινζνθίαο ζηε Μίιεην. Έγηλε γλσζηόο ζηνπο Αηγππηίνπο θαη αλά ηνλ θόζκν ράξε ζηε κέηξεζε ηνπ ύςνπο ησλ ππξακίδσλ θαη γηα ην πεξίθεκν Θεώξεκα ηνπ.

6 ΤΠΑΣΗΑ ( π.Υ) Ζ Τπαηία ήηαλ Διιελίδα λενπιαησληθή θηιόζνθνο, αζηξνλόκνο θαη καζεκαηηθόο, θόξε ηνπ καζεκαηηθνύ θαη αζηξνλόκνπ Θέσλα πνπ έδεζε θαη δίδαμε ζηελ Αιεμάλδξεηα. Γνινθνλήζεθε από όριν πνπ απνηεινύληαλ από θαλαηηθνύο ρξηζηηαλνύο, απνθαιώληαο ηελ εηδσινιαηξηθή κάγηζζα θαη κεηά ηελ έθαςαλ. Πηζηεύεηαη όηη ηελ επνρή πνπ πέζαλε ήηαλ ε θαιύηεξε καζεκαηηθόο ηνπ Διιελνξσκατθνύ Κόζκνπ κε ζεκαληηθέο κειέηεο ζηηο θσληθέο ηνκέο.

7 ΑΡΥΗΜΖΓΖ ( π.Υ) Ο Αξρηκήδεο ήηαλ έλαο από ηνπο κεγαιύηεξνπο καζεκαηηθνύο, θπζηθνύο θαη κεραληθνύο ηεο αξραηόηεηαο. Γελλήζεθε, έδεζε θαη πέζαλε ζηηο πξαθνύζεο, ηε κεγάιε ειιεληθή απνηθία ηεο ηθειίαο. πλέδεζε ην όλνκά ηνπ κε ηε γέλεζε ηεο κεραληθήο ζηελ αξραία Διιάδα, ηε ιύζε πεξίθεκσλ καζεκαηηθώλ πξνβιεκάησλ, θαζώο θαη κε ηηο ακπληηθέο εθεπξέζεηο ηνπ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ όηαλ νη Ρσκαίνη πνιηνξθνύζαλ ηελ παηξίδα ηνπ. θνηώζεθε θαηά ηελ εηζβνιή Ρσκαίσλ ζηηο πξαθνύζεο.

8 Αο ζπλερίζνπκε κε ηελ παξάζεζε ησλ βηνγξαθηώλ κε ρξνλνινγηθή ζεηξά.

9 ΛΔΟΝΑΡΝΣΟ ΠΗΕΑΝΟ ( ) (ΦΗΜΠΟΝΑΣΗ) Γελλήζεθε θαη πέζαλε ζηε Πίδα. Tν πην γλσζηό από ηα επηηεύγκαηά ηνπ είλαη αλακθηζβήηεηα ε αθνινπζία Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ζηελ νπνία θάζε αξηζκόο είλαη άζξνηζκα ησλ δύν πξνεγνύκελσλ θαη είλαη κηα βάζε γηα ηε Γεσκεηξία ησλ Fractals. Δπηπιένλ, ν ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ αξηζκώλ ηεο αθνινπζίαο απηήο ηείλεη πξνο ηελ Υξπζή Σνκή, ή Υξπζό Αξηζκό Φ =

10 ΚΡΗΣΗΑΝ ΓΚΟΛΝΣΜΠΑΥ ( ) Ο Κξίζηηαλ Γθόιληκπαρ ήηαλ Γεξκαλόο καζεκαηηθόο, ν νπνίνο ζπνύδαζε επίζεο λνκηθά. Δίλαη γλσζηόο γηα ηελ εηθαζία ηνπ ε νπνία παξακέλεη αθόκε δπζπξόζηηε θαη ύκθσλα κε απηή, «θάζε άξηηνο κεηά ην 2 κπνξεί λα γξαθεί σο άζξνηζκα δύν πξώησλ αξηζκώλ». Ζ δεύηεξε εηθαζία ηνπ, ιέεη όηη «θάζε πεξηηηόο αξηζκόο κεγαιύηεξνο ηνπ 6 είλαη ην άζξνηζκα ηξηώλ πξώησλ αξηζκώλ».

11 Marie-Sophie Germain ( ) Γελλήζεθε ζην Παξίζη. πγθηλήζεθε από ηελ ηζηνξία ηνπ Αξρηκήδε θαη απνθάζηζε όηη πξέπεη λα γίλεη καζεκαηηθόο. Καζ όιε ηε δηάξθεηα ηεο πνξείαο ηεο σο καζεκαηηθόο αληάιιαζε επηζηνιέο κε ζπνπδαίνπο καζεκαηηθνύο ηεο επνρήο ηεο ρξεζηκνπνηώληαο ην ςεπδώλπκν Μ. LeBlanc γηα λα απνθξύςεη ηε γπλαηθεία θύζε ηεο.

12 Γθεόξγθ Φξίληξηρ Μπέξλαξλη Ρίκαλ ( ) Ήηαλ Γεξκαλόο καζεκαηηθόο πνπ πξόζθεξε ζεκαληηθά ζηε Μαζεκαηηθή Αλάιπζε, ηελ Σνπνινγία, ηελ Αλαιπηηθή Θεσξία αξηζκώλ θαη ηε Γηαθνξηθή Γεσκεηξία. Ήηαλ ην δεύηεξν από 6 παηδηά, ληξνπαιόο θαη κε λεπξηθέο θαηαξξεύζεηο, αιιά από κηθξόο έδεημε αζπλήζηζηεο καζεκαηηθέο ηθαλόηεηεο, όπσο αθάληαζηε ηαρύηεηα ζηνπο ππνινγηζκνύο. Τπέθεξε από δεηιία θαη θόβν λα κηιά δεκόζηα. Ο Ρίκαλ πέζαλε από θπκαηίσζε ην 1866.

13 ΚΑΡΛ ΦΡΗΝΣΡΗΥ ΓΚΑΟΤ ( ) Ο Γθάνπο ήηαλ Γεξκαλόο καζεκαηηθόο κε ζεκαληηθή ζπλεηζθνξά ζηε Θεσξία Αξηζκώλ, ηε ηαηηζηηθή, ηε Μαζεκαηηθή Αλάιπζε θαη ηε Γηαθνξηθή Γεσκεηξία. Απνθιήζεθε ν Πξίγθεπαο ησλ Μαζεκαηηθώλ Βπζίζζεθε ζε θαηάζιηςε ιόγσ ηνπ πξόσξνπ ζαλάηνπ ηεο πξώηεο ηνπ ζπδύγνπ θαη ελόο παηδηνύ ηνπ. Γελ επηζπκνύζε ηα παηδηά ηνπ λα αζρνιεζνύλ κε ηα καζεκαηηθά ή ηηο επηζηήκεο, θνβνύκελνο κε ιεξώζνπλ ηελ θαιή θήκε πνπ δεκηνύξγεζε ν ίδηνο ζηνπο ηνκείο απηνύο. Απεβίσζε ζε ειηθία 78 εηώλ. Ο εγθέθαινο ηνπ ζπληεξήζεθε μερσξηζηά θαη κειεηήζεθε.

14 ΔΒΑΡΗΣ ΓΚΑΛΟΤΑ ( ) ηα 21 ρξόληα ηνπ ήηαλ έλαο από ηνπο ηδηνθπέζηεξνπο καζεκαηηθνύο σο ζήκεξα. Γλσξίδεη κηα γπλαίθα, ηελ εξσηεύεηαη ηξειά (εθείλε ηνλ απνξξίπηεη), επηκέλεη πεξηζζόηεξν θαη ηειηθά εκθαλίδνληαη δύν άληξεο πνπ ηνλ θαινύλ ζε κνλνκαρία κε απνηέιεζκα ήηαλ λα ρηππεζεί κε ζθαίξα. Με ηελ ςπρή ζην ζηόκα γηα λα πξνιάβεη ηελ απγή ηεο ηειεπηαίαο εκέξαο ηεο δσήο ηνπ, έγξαςε ηελ ηειεπηαία ηνπ εξγαζία ζηα Μαζεκαηηθά, απνθαιύπηνληαο ζηνπο κεηαγελεζηέξνπο ηηο εθπιεθηηθέο δπλαηόηεηεο ηνπ.

15 ΡΗΝΗΒΑΑ ΡΑΜΑΝΟΤΣΕΑΝ ( ) Γελλήζεθε ζηελ Ηλδία. Σα καζεκαηηθά ήηαλ ε κεγάιε ηνπ αγάπε θαη ην 1913 έζηεηιε επηζηνιή ζηνλ γλσζηό Βξεηαλό καζεκαηηθό Σδ. Υάξληη πνπ ηνλ εληππσζίαζε θαη απνθάζηζε λα ηνλ θαιέζεη ζην Κέηκπξηηδ. H δσή ηνπ εθεί ήηαλ δύζθνιε. Ο θαηξόο, ε δηαθνξεηηθή θνπιηνύξα, ε κνλαμηά θαη ην θαγεηό επεξέαζαλ ζεκαληηθά ηελ πγεία ηνπ. Αξξώζηεζε θαη επέζηξεςε ζηελ Ηλδία όπνπ θαη πέζαλε. Αγαπνύζε ηνπο αξηζκνύο θαη γλώξηδε ην άπεηξν. Πνιιά από ηα ζπκπεξάζκαηα ηνπ ήηαλ πξσηόηππα θαη αληηζπκβαηηθά ηαπηόρξνλα. Πξόζθαηα βξήθαλ εθαξκνγή ζηελ θξπζηαιινγξαθία θαη ηε ζεσξία ησλ ρνξδώλ.

16 ΟΗ ΥΔΔΗ ΣΖΝ ΔΛΗΣ ΣΧΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ ΥΑΡΝΣΗ-ΡΑΜΑΝΟΤΣΕΑΝ ΚΑΗ ΥΑΡΝΣΗ-ΛΗΣΛΓΟΤΝΣ. ε ζπλέληεπμε ηνπ ν Υάξληπ (1940) ζα εμνκνινγεζεί όηη πέξα από θάζε ακθηβνιία ε ζρέζε ηνπ κε ηνλ Ρακαλνπηδάλ ήηαλ ηδηαίηεξε. Πξηλ βέβαηα Υάξληπ θαη Ρακαλνπηδάλ μεθηλήζνπλ ηελ θνηλή πνξεία ηνπο, ν πξώηνο κπήθε ζηνπο «Απόζηνινπο ηνπ Κέηκπξηηδ», κία νκάδα αληξώλ πνπ ραξαθηεξίδνληαλ γηα ηνλ ειηηηζκό ηνπο, ηηο πςειέο δηαλνεηηθέο ηνπο ηθαλόηεηεο θαη πάληα ππήξρε κηα κνξθή απόθξπθνπ ζηηο ζπλαληήζεηο ηνπο. Έλαο εμ απηώλ θαη ν ζπνπδαίνο καζεκαηηθόο Λίηιγνπλη, κε ηνλ νπνίν ήηαλ αρώξηζηνη, ώζπνπ έξρεηαη ζηε δσή ηνπ ν Ρακαλνπηδάλ, ην πλεπκαηηθό ηνπ ηδεώδεο.

17 NEWTON ΔΝΑΝΣΗΟΝ LEIBNIZ (Ζ ΓΗΑΜΑΥΖ) Δπί δεθαπέληε ρξόληα ν Leibniz ζεσξνύληαλ σο ν κόλνο πλεπκαηηθόο παηέξαο ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ, ελώ ε αιιεινγξαθία ηνπ κε ηνλ Newton πάλσ ζην ζέκα παξέκελε ζηελ αθάλεηα. Σν 1712 όηαλ ε δηακάρε είρε απνθηήζεη αξθεηή νξκή, νξίζηεθε κία επηηξνπή κε αληηθείκελν ηελ εμέηαζε ησλ επηζηνιώλ θαη ησλ ρεηξνγξάθσλ πνπ ζρεηίδνληαλ κε ην δήηεκα. Ζ επηηξνπή ηάζεθε ππέξ ηνπ Newton θαη θαηαδίθαζε ην Leibniz. Απηή ε έξηδα είρε ζεκαληηθά απνηειέζκαηα, θπξίσο όζνλ αθνξά ηελ εμέιημε ησλ επηζηεκώλ κε βάζε ηε ζεσξία απηή θαη ηελ έξηδα κεηαμύ ησλ καζεκαηηθώλ.

18 ΟΜΑΓΑ: ΓΗΟΦΑΝΣΟ ΘΔΜΑ ΔΝΟΣΖΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΛΟΓΟΣΔΥΝΗΑ ΜΔΛΖ ΟΜΑΓΑ Καδνπιιάθεο Άγγεινο Κνληνγηάλλεο Γηώξγνο Πηπίλνπ Φσηεηλή Πνδεκαηά Φαλή

19 Σν ζεώξεκα ηνπ παπαγάινπ πγγξαθέαο: Νηέλη Γθεηδ Μεηάθξαζε ζηα Διιεληθά: Σεύθξνο Μηραειίδεο

20 Πεξίιεςε Ση ζρέζε κπνξεί λα έρεη έλαο παπαγάινο κε ηα καζεκαηηθά; Πώο κπνξνύλ λα ζπλεξγαζηνύλ ν παπαγάινο, έλαο ειηθησκέλνο πξώελ βηβιηνπώιεο, έλα θνπθό αγόξη θαη ηα εηεξνζαιή δίδπκα αδέξθηα ηνπ, δηάλνηεο ζηα καζεκαηηθά, ζηε δηαιεύθαλζε ελόο θόλνπ πνπ ζπλέβε ρηιηάδεο ρηιηόκεηξα καθξηά ηνπο; Πνηα ζεσξήκαηα πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζεηο γηα λα επηιύζεηο ηηο αλεμηρλίαζηεο ππνζέζεηο ηεο θαζεκεξηλήο δσήο; Πόζε ινγνηερλία κπνξεί λα ρσξέζεη ζε κηα εμίζσζε;

21 Μαζεκαηηθά ηνηρεία Θαιήο (6 νο αη. π.υ) : ρέζε κεηαμύ ηξηγώλσλ θαη θύθισλ Μέηξεζε ηεο ππξακίδαο ηνπ Υένπνο Θεώξεκα ηνπ Θαιή

22 Πεξίνδνη ησλ καζεκαηηθώλ Ππζαγόξαο: ε ζρνιή ηνπ Ππζαγόξεηνη Δπθιείδεο: Σα ζηνηρεία Κσληθέο: Μέλαηρλνο, Απνιιώληνο Αρκέο: πάππξνο Ρηλη Ο ηεηξαγσληζκόο ηνπ θύθινπ Ο δηπιαζηαζκόο ηνπ θύβνπ Ο Αι- Κβαξίζκη, ν πξώηνο Άξαβαο καζεκαηηθόο Σαξηάιηα, εμηζώζεηο 3 νπ βαζκνύ Καξληάλν

23 Ζ θαηαγσγή ησλ καζεκαηηθώλ Ζ ξίδα ηνπ -1 Δμηζώζεηο Φεξκά (ζεσξία αξηζκώλ, πηζαλόηεηεο, δηαθνξηθόο ινγηζκόο, αλαιπηηθή γεσκεηξία, εηθαζία ) Λένληαξλη ηιεξ Δηθαζία ηνπ Γθόιληκπαρ Ο δηπιόο δηακεξηζκόο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ Αξρηκήδεο

24 Logicomix Απόζηνινο Γνμηάδεο (Μαζεκαηηθά) Υξίζηνπ Υ. Παπαδεκεηξίνπ (Πιεξνθνξηθή) Αιέθνπ Παπαδάθνπ θαη Annie Di Donna (ρέδην)

25 Πεξίιεςε Γαλείδνληαο ην ξόιν ηνπ παξακπζά ζην θηιόζνθν Μπέξηξαλη Ράζει, κηα παξέα θίισλ ζηε ζύγρξνλε Αζήλα πξνζπαζεί ηαπηόρξνλα λα αθεγεζεί θαη λα θαηαιάβεη ηε κεγάιε πεξηπέηεηα ηεο Λνγηθήο ζηηο αξρέο ηνπ 20νύ αηώλα. Δίλαη άξαγε, όπσο ιέεη έλαο από απηνύο, κηα ηζηνξία ηξαγηθή, κεγέζνπο κάιηζηα αξραίαο ηξαγσδίαο; Ή, όπσο πηζηεύεη έλαο άιινο, κηα εληειώο αηζηόδνμε πεξίπησζε; ην Logicomix νη απνζηάζεηο θαηαξγνύληαη: από ηα κπζηηθά πνπ θξύβεη ε ζνθίηα ελόο παιηνύ εγγιέδηθνπ αξρνληηθνύ κέρξη ηε ζθνηεηλή όςε ηεο πην βαζηάο θηινζνθηθήο αιήζεηαο, θη από εθεί σο ηελ θαξδηά ελόο ζύγρξνλνπ θνκπηνύηεξ, ίζσο λα κελ είλαη παξά κεξηθά, ειάρηζηα βήκαηα...

26 Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Αμίσκα ησλ παξαιιήισλ Οξηζκόο ηνπ απείξνπ Αιγόξηζκνο Απόδεημε Gottfried Wilhelm Leibniz Θεκειίσζε ησλ καζεκαηηθώλ Θεσξία ζπλόισλ Λνγηθή Με πιεξόηεηα Παξάδνμν ηνπ Ράζει

27 Ο ΘΔΗΟ ΠΔΣΡΟ ΚΑΗ Ζ ΔΗΚΑΗΑ ΣΟΤ ΓΚΟΛΝΣΜΠΑΥ πγγξαθέαο: Απόζηνινο Γνμηάδεο

28 ΤΝΣΟΜΖ ΠΔΡΗΛΖΦΖ ΣΖ ΠΛΟΚΖ Σν βηβιίν ηνπ Απόζηνινπ Γνμηάδε αλαθέξεηαη ζην θαληαζηηθό ζείν ηνπ, Πέηξν Παπαρξήζηνπ θαη ζηελ ελαζρόιεζε ηνπ δεπηέξνπ κε ηελ εηθαζία ηνπ Γθόιληκπαρ : «Κάθε άρηιος θεηικός ακέραιος αριθμός μεγαλύηερος ηοσ 2 μπορεί να γραθεί ως άθροιζμα δσο πρώηων». ια απηά εθηπιίζζνληαη ζηελ Κεληξηθή Δπξώπε. Ο Πέηξνο, κεηά από κηα καθξνρξόληα αιιά θαη αηειέζθνξε πξνζπάζεηα λα ιύζεη ην νκώλπκν πξόβιεκα, γύξλα ζηελ παηξίδα ηνπ ηελ Διιάδα, όπνπ θαη πεζαίλεη.

29 Κύξηεο καζεκαηηθέο αλαθνξέο ζην βηβιίν. Δλώ ν ζείνο Πέηξνο απνηειεί θαληαζηηθό πξόζσπν, έλα πιήζνο παζίγλσζησλ καζεκαηηθώλ εκθαλίδνληαη ζην βηβιίν (Υάξληπ, Λίηγνπλη, Γθέληει, ν Έιιελαο Κσλζηαληίλνο Καξαζενδσξή, Ρακάλνπηδαλ ) θαζώο θαη έλα πιήζνο από γλσζηά καζεκαηηθά πξνβιήκαηα, άιπηα θαη κε (Θεώξεκα κε πιεξόηεηαο, Δηθαζία ηνπ Ρήκαλ, Πνπαλθαξέ ) Γεληθόηεξα, ζε όιν ην βηβιίν ππάξρνπλ ζπλερώο καζεκαηηθέο Αλαθνξέο (θαζώο είλαη έλα καζεκαηηθό κπζηζηόξεκα) ρσξίο όκσο απηό λα ην θαζηζηά δύζθνιν ζηελ θαηαλόεζε ηνπ.

30 ΟΜΑΓΑ: Ζ ΜΔΛΧΓΗΑ ΣΧΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ ΘΔΜΑ ΔΝΟΣΖΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΣΖΝ ΠΟΗΖΖ -ΦΗΛΟΟΦΗΑ-ΜΟΤΗΚΖ ΜΔΛΖ ΟΜΑΓΑ Αιεμίνπ Βαζίιεο Βξνπιάθνο Ηζαάθ Καξπδάθε Πειαγία Σακβαθά Μαξηέηηα

31 1. ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΣΖΝ ΠΟΗΖΖ Μαζεκαηηθά επηζηήκε πνπ κειεηά ζέκαηα πνπ αθνξνύλ: ηελ πνζόηεηα (αξηζκεηηθή) Σελ κεηαβνιή (κνπζηθή) ηε δνκή (γεσκεηξία) ην δηάζηεκα (αζηξνλνκία), Πνίεζε ε έθθξαζε ηνπ σξαίνπ δηακέζνπ ιέμεσλ πεξίηερλα πθαζκέλσλ κεηαμύ ηνπο.

32 ΠΟΗΖΣΔ ΠΟΤ ΥΡΖΗΜΟΠΟΗΟΤΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΣΖΝ ΠΟΗΖΖ ΣΟΤ Οδπζζέαο Διύηεο Γεώξγηνο Βαθόπνπινο Έθησξ Καθλαβάηνο Γηάλλεο Τθαληήο Γηάλλεο Ρίηζνο Κ.Π Καβάθεο Κ. Κύξνπ

33 ΟΓΤΔΑ ΔΛΤΣΖ ( ) ηνηρεία καζεκαηηθώλ σο πξνο Σελ Δνκή Σν Πεξηερόκελν

34 Γνκή ν αξηζκόο 6 θαη ηα πνιιαπιάζηά ηνπ εληνπίδνληαη πνιύ ζπρλά ζηνπο ηίηινπο ζηηο ελόηεηεο θαη ζηα πνηήκαηά ηνπ. Γηα παξάδεηγκα ε ζπιινγή «Προζαναηολιζμοί» έρεη έμη ζπιιαβέο. Ο αξηζκόο 7 θαη ηα πνιιαπιάζηά ηνπ Σα πνηήκαηα ηνπ απνηεινύληαη από 7 ζηξνθέο. Π.ρ. Δπηά κέξεο γηα ηελ Αησληόηεηα, Δπηά Νπρηεξηλά Δπηάζηηρα ζην νπνίν ζπκβαίλεη θαη θάζε ζηξνθή λα έρεη 7 ζηίρνπο.

35 Μέζνδνο ηνπ άξα Πεξηερόκελν (Απνζπάζκαηα πνηεκάησλ) οι κολεγιόπαιδες λύνοσν εκπληκηικές εμηζώζεηο με μιαν εσκολία ποσ είναι ν απορείς: ζπλ, πιελ, δηά, επί άξα Άξιον εςτί Καη όπνηνο ληώζεη γιώζζα βιέπεη ηη κπνξεί λα είλαη ην άπεηξν. Ωο αξρή ζηνλ άμνλα νξίδεηαη έλα ζεκείν πνπ αληηζηνηρίδεηαη κε ην κεδέλ όπνπ επσδηάδεη απ αξρήο έλα πνπιί. Ο μικρόσ ναυτίλοσ Από ην ειάρηζην θηάλεηο πην ζύληνκα νπνπδήπνηε κόλν πνπ είλαη πην δύζθνιν.

36 ΓΔΧΡΓΗΟ ΒΑΦΟΠΟΤΛΟ ( ): Ο κεγάινο θώλνο O άλζξσπνο ηνπ νηδηπόδεηνπ αηλίγκαηνο μεθηλά ηελ απγή, πάλσ ζη' αρλάξηα ηεο γξακκήο, κε ηα ηέζζεξα πόδηα. ηα κηζά ηνπ δξόκνπ ζηπιώλεηαη ζηα δπν ηνπ, γηα λα ηδεί θαηάκαηα ηνλ ήιην ηνπ ιακπξνύ κεζεκεξηνύ. Καη ην βξάδπ θζάλεη ζηελ θνξθή ηνπ θώλνπ, ζέξλνληαο ηώξα ην ηξίην ηνπ πνδάξη, έηνηκνο λα αληηθξίζεη ηε κεγάιε δύζε. αιιά έκεηλε αηειήο ηνπ αηλίγκαηνο ε ιύζε Tν 'ρσ ήδε πεη: Tεο αξηζκεηηθήο κνπ ε κόλε πξάμε πνπ έκεηλε είλαη ε πξόζζεζε. Φαίλεηαη πσο ζηελ αξκνλία ηνπ ύκπαληνο ε πξόζζεζε ηαπηίδεηαη κε ηελ αιήζεηα...

37 ΓΔΧΡΓΗΟ ΚΟΝΣΟΓΗΧΡΓΖ ( ) (ΔΚΣΧΡ ΚΑΚΝΑΒΑ) Υανηηθά O δξόκνο έθεξλε ην πνδνβνιεηό ηνλ ρνπγηαρηό ηεο θιείλαηε παξάζπξα θαηέβαηλαλ ξνιά. ηδεξνληπκέλε έκπαηλε πηα ζηελ πόιε ε εμίζσζε» (Άιγεβξα) Άθεγγε πάιη απόςε ε ειήλε θάζηζε ζην βπζό επσάδνληαο ηα έκκελά ηεο. Πέξαλ ηνπ απείξνπ, ν νξίδνληαο ηξηθιίδεη θνξησκέλνο ηξεηο άγξηεο γεσκεηξίεο

38 ΓΗΑΝΝΖ ΡΗΣΟ( ) Mνλόρνξδα Πξηλ κεηξήζσ ζηα δάρηπια σο ην 10 λύρησζε. Mείλακε ρσξίο όλεηξα. ρσξίο ςσκί. η' άδεην μσθιήζη ηνπ βνπλνύ ηα ρειηδόληα κόλα ιεηηνπξγνύλε: Ειιάδα ζε ιέλε

39 ΚΧΝΣΑΝΣΗΝΟ ΚΑΒΑΦΖ ( ) H δηνξία ηνπ Nέξσλνο Δελ αλεζύρεζελ ν Νέξσλ όηαλ άθνπζε ηνπ Δειθηθνύ Μαληείνπ ηνλ ρξεζκό. «Σα εβδνκήληα ηξία ρξόληα λα θνβάηαη.» Είρε θαηξόλ αθόκε λα ραξεί. Σξηάληα ρξνλώ είλαη. Πνιύ αξθεηή είλ ε δηνξία πνπ ν ζεόο ηνλ δίδεη γηα λα θξνληίζεη γηα ηνπο κέιινληαο θηλδύλνπο. Πξόζζεζηο Aλ επηπρήο ή δπζηπρήο είκαη δελ εμεηάδσ. Πιελ έλα πξάγκα κε ραξάλ ζηνλ λνπ κνπ πάληα βάδσ πνπ ζηελ κεγάιε πξόζζεζη (ηελ πξόζζεζί ησλ πνπ κηζώ) πνπ έρεη ηόζνπο αξηζκνύο, δελ είκ εγώ εθεί απ ηεο πνιιέο κνλάδεο κηα. Μεο ζη νιηθό πνζό δελ αξηζκήζεθα. Κη απηή ε ραξά κ αξθεί

40 2. ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΦΗΛΟΟΦΗΑ Φηινζνθία ε επηζηήκε πνπ αζρνιείηαη κε εξσηήκαηα, πξνβιήκαηα ή απνξίεο πνπ κπνξνύκε λα απνθαιέζνπκε οριακά, θεμελιώδη, ή έζταηα, όπσο απηά ηεο ύπαξμεο, γλώζεο, αμίαο, αηηίαο, γιώζζαο θαη ηνπ λνπ.

41 Αληηιήςεηο δηάθνξσλ θηινζνθηθώλ ξεπκάησλ ζρεηηθά κε ηα καζεκαηηθά ΦΙΛΟΟΦΙΚΑ ΡΕΤΜΑΣΑ Ππζαγόξεηνη Αξηζηνηειηζηέο Φνξκαιηζηέο Πιαησληζηέο Λνγηθηζηέο

42 Ππζαγόξεηνη Υαξαθηεξηζηηθό ζηνηρείν ηεο θηινζνθίαο ηνπο Αληηιήςεηο: νη αξηζκνί Ο θόζκνο είλαη απνηέιεζκα ησλ αξηζκώλ. Ο Ππζαγόξαο «ζπλέιαβε» ηνπο αξηζκνύο ζηελ πξνζπάζεηά ηνπ λα βξεη ην ιόγν γηα ηνλ νπνίν ππάξρνπλ ηα όληα. Οη αξηζκνί είλαη απηνί πνπ απνηεινύλ ηε γελεζηνπξγό δύλακε ηνπ θόζκνπ θαη ζηε ζρέζε αλάκεζά ηνπο βξίζθεηαη ε ύπαξμε ησλ όλησλ. Οη αξηζκνί ζεσξνύληαη «ηεξνί».

43 Φνξκαιηζκόο 1.ζεκειηώζεθε από ην Μαζεκαηηθό David Hilbert ζηηο αξρέο ηνπ 20νύ αηώλα 2.«Έβιεπε» ηα Μαζεκαηηθά ζαλ έλαλ ηππνπνηεκέλν ζρεκαηηζκό ζπκβόισλ πνπ ππαθνύλ ζε νξηζκέλνπο θαλόλεο. 3.Σα ζύκβνια κπνξνύλ λα εθαξκόδνληαη όρη κόλν ζηα καζεκαηηθά, αιιά θαη ζηα θπζηθά πξνβιήκαηα. 4.Η ηδέα ηνπ Υίικπεξη παξ όηη είρε άδνμν ηέινο, έζεζε λέεο βάζεηο γηα ηελ πεξαηηέξσ εμέιημε ησλ Μαζεκαηηθώλ.

44 Λνγηθηζκόο Σα Μαζεκαηηθά είλαη κέξνο ηεο επηζηήκεο ηεο Λνγηθήο. ην Λνγηθηζκό ελαληηώζεθαλ δηάθνξνη λεώηεξνη θηιόζνθνη ππνζηεξίδνληαο όηη «νη ινγηθέο ηδέεο θαη αμίεο δελ είλαη ηίπνηε άιιν παξά λνήκαηα πνπ όκσο δελ κπνξνύλ λα πθίζηαληαη έμσ από ην ρώξν ησλ λννύλησλ ππνθεηκέλσλ».

45 Πιαησληθέο αληηιήςεηο 1. ζεσξεί σο κόλε πξαγκαηηθόηεηα, ε νπνία δελ αιινηώλεηαη απηή «ησλ Ιδεώλ», νη νπνίεο είλαη αηώληεο θαη ζηαζεξέο νληόηεηεο. 2. ζεσξεί πσο κόλν νη Ιδέεο κπνξνύλ λα απνηειέζνπλ αληηθείκελν «επηζηήκεο», δειαδή βέβαηεο γλώζεο, ελώ γηα ηα αηζζεηά κόλν γλώκεο κπνξνύλ λα ππάξμνπλ Ο ΠΛΑΣΧΝ 3. Θεσξεί πσο ε κάζεζε είλαη έκθπηε θαη ζπκβαίλεη θαηά ηελ αλάκλεζε ησλ Ιδεώλ 4. θαηαηάζζεη ηα καζεκαηηθά θαη ηελ γεσκεηξία ζηηο άθζαξηεο θαη αλαιινίσηεο Ιδέεο ηηο νπνίεο ν άλζξσπνο μεηπιίγνληαο ηεο ζπλείδεζή ηνπ κπνξεί λα θαηαιάβεη κόλνο ηνπ.

46 Πιαησληθή ηδέα γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ θόζκνπ 1.ππνζηεξίδεη όηη ην ηξίγσλν είλαη έλα πιηθό πνπ πάλσ ηνπ είλαη θαηαζθεπαζκέλν ην ζύκπαλ. 2.Θεσξεί πσο ην ζύκπαλ δεκηνπξγήζεθε γηα λα κνηάδεη ζε κηα γεσκεηξηθή αθνινπζία 3. ηα ηξίγσλα δεκηνπξγνύλ 5 ζηεξεά, ηα πιαησληθά ζηεξεά 4.ν θόζκνο ζηεξίδεηαη πάλσ ζε 5 βαζηθά ζηνηρεία: ηε θσηηά, ηνλ αέξα, ην λεξό, ηε Γε θαη ην ζύκπαλ. ε θάζε έλα από απηά ηα ζηνηρεία αληηζηνηρεί θαη έλα ζηεξεό

47 Πιαησληθά ζηεξεά ηεηξάεδξν θύβνο νθηάεδξν δσδεθάεδξν εηθνζάεδξν πκβνιίδεη ηε θωηιά πκβνιίδεη ηε Γη πκβνιίδεη ηνλ αέρα πκβνιίδεη ην ύμπαν πκβνιίδεη ην νερό

48 Φηινζνθηθή αληίιεςε ηνπ Αξηζηνηέιε πεξηέρεη ζηνηρεία εκπεηξηζκνύ απνξξίπηεη ηνλ μερσξηζηό θόζκν ησλ Μνξθώλ (Ιδεώλ) ν καζεκαηηθόο κειεηά πξαγκαηηθέο ηδηόηεηεο θπζηθώλ αληηθεηκέλσλ, δελ ππάξρνπλ δύν θόζκνη ν θπζηθόο θαη ν καζεκαηηθόο. ηόληδε ηδηαίηεξα ηελ δπλακηθή γιώζζα ηεο γεσκεηξίαο

49 3. ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΜΟΤΗΚΖ Ζ ηδέα ηεο ζύλδεζεο ησλ καζεκαηηθώλ θαη ηεο κνπζηθήο γελλήζεθε από ηνλ Ππζαγόξα (2600 ρξόληα πξηλ). Οη καζεηέο ηνπ θαη ν ίδηνο θαίλεηαη όηη εληξύθεζαλ ζηε ζρέζε ηεο κνπζηθήο θαη ησλ αξηζκώλ κειεηώληαο ην αξραίν όξγαλν κνλόρνξδν.

50 Μνλόρνξδν αξραίν κνπζηθό θαη επηζηεκνληθό όξγαλν, ην νπνίν ζπλδέζεθε άξξεθηα κε ην έξγν ηνπ αξραίνπ θηινζόθνπ θαη ζεσξεηηθνύ ηεο κνπζηθήο Ππζαγόξα. ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηνλ θαζνξηζκό ησλ καζεκαηηθώλ ζρέζεσλ ησλ κνπζηθώλ ήρσλ κόλν νη αθξηβείο καζεκαηηθέο ζρέζεηο έδηλαλ αξκνληθνύο ήρνπο ζην κνλόρνξδν. ΜΟΝΟΥΟΡΔΟ

51 Αξκνλία ησλ νπξάλησλ ζθαηξώλ ήταν πάνω από όλα μαθηματικά Οη πιαλήηεο θαζώο πεξηζηξέθνληαη παξάγνπλ δηάθνξνπο κνπζηθνύο ήρνπο Η κνπζηθή ζύκθσλα κε ηνπο Ππζαγόξεηνπο Η νπζία ηεο ήηαλ νη αξηζκνί, ε νκνξθηά ηεο ε έθθξαζε ησλ αξκνληθώλ ζρέζεσλ ηνπο ήηαλ ε εηθόλα ηεο νπξάληαο αξκνλίαο. Οη αξκνληθέο ζρέζεηο ησλ αξηζκώλ κεηαθέξνληαλ ζηνπο πιαλήηεο.

52 Ήρνη Πιαλεηώλ Ήρνο Γεο Ήρνο Γία Ήρνο Πνζεηδώλα Ήρνο Πινύησλα Ήρνο Κξόλνπ Ήρνο Οπξαλνύ

53 πκπεξαζκαηηθά ζα ιέγακε όηη ηα καζεκαηηθά είλαη κηα επξύηεξε έλλνηα πνπ κπνξεί λα ζπλδεζεί κε άιιεο επηζηήκεο αθόκα θαη αλ απηέο θαίλνληαη ηόζν δηαθνξεηηθέο από ηα ίδηα.

54 ΟΜΑΓΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΟΓΡΑΦΟ ΘΔΜΑ ΔΝΟΣΖΣΑ Μαζεκαηηθά θαη Κηλεκαηνγξάθνο Σαηλίεο πνπ ζρεηίδνληαη κε καζεκαηηθά Τπόζεζε θαη πιεξνθνξίεο ηαηλίαο Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο Μέιε νκάδαο Γεξνζηάζε Ναηάζζα Γεσξγά Άζπα Γηθαζηόπνπινο Γηάλλεο Λαγθάλεο Αιέμαλδξνο Μαζηξνγεσξγίνπ Μπξηαιιήο

55 ΔΗΑΓΧΓΖ Μαζεκαηηθά επηζηήκε πνπ κειεηά ζέκαηα πνπ αθνξνύλ ηελ πνζόηεηα, ηε δνκή, ην δηάζηεκα, ηε κεηαβνιή, ζρέζεηο ησλ κεηξήζηκσλ αληηθεηκέλσλ ηεο πξαγκαηηθόηεηαο θαη ηεο θαληαζίαο καο Κηλεκαηνγξάθνο έβδνκε ηέρλε Φαηλνκεληθά, ινηπόλ, πξόθεηηαη γηα κηα επηζηήκε θαη κία ηέρλε πνπ δελ έρνπλ άκεζε ζρέζε κεηαμύ ηνπο.κσο είζηε ζίγνπξνη ;;; ην εξώηεκα απηό πξνζπαζήζακε λα απαληήζνπκε!!! Αο δνύκε ινηπόλ καδί!!!

56 Λίζηα Σαηληώλ Agora A beautiful Mind Κώδηθαο Νηα Βίληζη Κσδηθόο Αίληγκα Ο Ξερσξηζηόο Γνπίι Υάληηλγθ Fermat s room Proof 21 π The Number 23 Cube Α Serious Man

57 1. Agora Τπόζεζε : Ζ δσή θαη ην έξγν ηεο ζπνπδαίαο καζεκαηηθνύ, θηινζόθνπ θαη αζηξνλόκνπ, Τπαηίαο. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Ο Αζηξνιάβνο Ζιηνθεληξηθό θαη γεσθεληξηθό ζύζηεκα Ο Αζηξνλνκηθόο Καλώλ Ο Νενπιαησληζκόο Οη Απνιιώληνη θώλνη ρνιηαζκόο Γηόθαληνπ

58 2. A beautiful mind Τπόζεζε : Ζ αιεζηλή ηζηνξία ηνπ Σδνλ Φνξκπο Ναο, ηδηνθπνύο καζεκαηηθνύ πνπ βξαβεύηεθε κε Νόκπει, αιιά πξνεγνπκέλσο πάιεςε πάλσ από 30 ρξόληα κε ηηο ζρηδνθξεληθέο ηάζεηο ηνπ. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Θεσξία ησλ παηγλίσλ Οηθνλνκηθή ζεσξία ηνπ Άληακ κηζ Γηέπνπζα δπλακηθή Με γξακκηθέο εμηζώζεηο Κξππηνινγία θαη θώδηθεο

59 3. Κώδηθαο Νηα Βίληζη Τπόζεζε :Έλαο θαιόγεξνο κέινο ηνπ Opus Dei, ν ίιαο, δνινθνλεί ηνλ Έθνξν ηνπ Λνύβξνπ νληέξ. Σν ζύκα αθήλεη θάπνην θξππηνγξαθεκέλν κήλπκα γηα ηελ εγγνλή ηνπ νθί θαη ηνλ ακεξηθάλν θαζεγεηή Θξεζθεπηηθήο Δηθνλνινγίαο ηνπ Υάξβαξλη, Λάλγθληνλ, ν νπνίνο αλαιακβάλεη λα δώζεη εμεγήζεηο. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Άλζξσπνο ηνπ Βηηξνύβηνπ Αθνινπζία Φηκπνλάηζη Πεληάιθα

60 4. Κσδηθόο Αίληγκα Τπόζεζε : Σνλ Μάξηην ηνπ 1943 ν Γεξκαληθόο ζηξαηόο αιιάδεη μαθληθά ηνλ θώδηθα επηθνηλσλίαο κεηαμύ ησλ ππνβξπρίσλ θαη ηνπ ζηξαηεγείνπ, ρξεζηκνπνηώληαο ηηο θξππηνγξαθηθέο κεραλέο ENIGMA. Οη αγγιηθέο αξρέο ζα ζηξαηνινγήζνπλ έλαλ ραξηζκαηηθό καζεκαηηθό, ηνλ Tom Jericho, ηνλ νπνίν ζπλνδεύεη έλα πξνζσπηθό κπζηήξην.

61 Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Μεράλεκα θσδηθνπνίεζεο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαλ θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ Γεύηεξνπ Παγθνζκίνπ Πνιέκνπ, ην νπνίν νλνκαδόηαλ «Αίληγκα». Το μθχάνθμα αυτό χρθςιμοποιοφςαν οι Ναηί ωσ αςφαλζσ μζςο επικοινωνίασ για να γνωςτοποιοφν τθν πολιτικι που ζπρεπε να ακολουκθκεί. Η μθχανι αυτι μετζτρεπε ξεκάκαρα μθνφματα ςε μθνφματα που δεν ιταν κατανοθτά από τουσ εχκροφσ, ςε ακαταλαβίςτικα.μετά αυτά μεταδίδονταν ςε Μορσ.Ο παραλιπτθσ είχε δικό του μθχάνθμα, το οποίο αποκωδικοποιοφςε το μινυμα

62 5. Ο Ξερσξηζηόο Γνπίι Υάληηλγθ Τπόζεζε : Ο Will Hunting είλαη έλαο εμαηξεηηθά επθπήο λένο πνπ αληηκεησπίδεη πξνβιήκαηα θνηλσληθήο επαλέληαμεο. Δίλαη αιιόθνηνο θαη αλίθαλνο λα ζπλδεζεί θαη λα αθνινπζήζεη ηνπο θαλόλεο ηεο κηθξήο θνηλσλίαο ζηελ νπνία αλήθεη. Γλσξίδεη όκσο έλαλ ςπρνιόγν κε ηνλ νπνίν ζα αλαπηύμεη κηα ζρέζε από θαξδηάο. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Θεώξεκα Φνπξηέ Θεσξία ηνπ ράνπο Πξνρσξεκέλνη αιγόξηζκνη θαη δηάθνξεο κέζνδνη απνθσδηθνπνίεζεο

63 6. FERMAT S ROOM Τπόζεζε : Σξείο καζεκαηηθνί θαη έλαο εθεπξέηεο έρνπλ ιάβεη κηα πξόζθιεζε κε έλα αίληγκα: λα βξνπλ ηελ αθνινπζία ησλ αξηζκώλ Δπεηδή θαηάθεξαλ λα ιύζνπλ απηό ην αίληγκα έρνπλ πξνζθιεζεί από θάπνηνλ Fermat ζε έλα ζπίηη πξνθεηκέλνπ λα ιύζνπλ έλα αθόκα κεγάιν αίληγκα. ηαλ θηάλνπλ ζην ζπίηη παγηδεύνληαη ζε έλα δσκάηην. Γε ζα αξγήζνπλ λα θαηαιάβνπλ όηη όιν απηό είλαη παγίδα θαη όηη πξόθεηηαη γηα εθδίθεζε. Γηα λα μεθύγνπλ από ην δσκάηην, ηνπ νπνίνπ νη ηνίρνη ζπξξηθλώλνληαη ζπλερώο, πξέπεη λα ιύζνπλ όια ηα αηλίγκαηα. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία Πξώηνη Αξηζκνί

64 7. Proof Τπόζεζε : Ζ Κάζξηλ είρε αθηεξώζεη ηε δσή ηεο ζηε θξνληίδα ηνπ Ρόκπεξη, ηνπ παηέξα ηεο, πνπ θάπνηε ήηαλ καζεκαηηθή δηάλνηα θαη έπαζρε από ζρηδνθξέλεηα. ηαλ, ηειηθά, ν Ρόκπεξη πεζαίλεη, ε Κάζξηλ πέθηεη ζε θαηάζιηςε θαζώο πηζηεύεη πσο έρεη θιεξνλνκήζεη ηελ παξάλνηα ηνπ παηέξα ηεο. Σειηθά ε θνπέια έξρεηαη ζε ζύγθξνπζε κε ηελ αδεξθή ηεο, Κιέξ. Παξάιιεια, ν Υαι, πξώελ καζεηήο ηνπ Ρόκπεξη, επηζθέπηεηαη ηελ Κάζξηλ θαη ηεο εθκπζηεξεύεηαη πσο αλαδεηά ζηα ρεηξόγξαθα ηνπ παηέξα ηεο ηελ επίιπζε ελόο εμαηξεηηθά πεξίπινθνπ Μαζεκαηηθνύ πξνβιήκαηνο. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο Αιγεβξηθή Γεσκεηξία Θεσξία παηγλίσλ

65 8. 21 Τπόζεζε : Ο Ben, θνηηεηήο ηνπ ΜΗΣ, κόιηο έγηλε 21, δηαζέηεη θνθηεξό κπαιό θαη νλεηξεύεηαη ηελ ηαηξηθή ζρνιή ηνπ Harvard. Σν πξόβιεκα είλαη πσο ρσξίο ηελ ππνηξνθία ιόγσ πεξηνξηζκέλσλ νηθνλνκηθώλ δελ κπνξεί λα πξαγκαηνπνηήζεη ην όλεηξό ηνπ. Κάπνηα ζηηγκή όκσο ζα δερζεί κία αλέιπηζηε πξόηαζε από ηνλ θαζεγεηή Micky Rosa γηα ζπκκεηνρή ζε κπζηηθή νκάδα λεαξώλ θνηηεηώλ κε αξρεγό ηνλ ίδην Θα επηρεηξήζνπλ λα ζηήζνπλ κία εκη-παξάλνκε 'επηρείξεζε' ραξηνπαημίαο. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο ύζηεκα Fibonacci Πξόβιεκα ηνπ Monty Hal Ζ κέζνδνο Newton- Raphson

66 9. Π Τπόζεζε : Ο Μαμ Κνέλ είλαη έλαο επθπήο καζεκαηηθόο, ν νπνίνο αθξνβαηεί αλάκεζα ζηελ επθπΐα θαη ζηελ ηξέια. Σα ηειεπηαία δέθα ρξόληα θιεηζκέλνο ζην δηακέξηζκα ηνπ ζηε Νέα Τόξθε, πξνζπαζεί λα μεθιεηδώζεη ηνλ θώδηθα πνπ δηέπεη ην πιηθό θαη άπιν ζύκπαλ θαη λα θηάζεη ζηε ιύζε ηνπ κπζηεξίνπ πνπ θξύβεηαη πίζσ από ηνλ αξηζκό π. Καζώο πιεζηάδεη ζηε ιύζε πξνζπαζεί λα κε καζεπηεί θαη παξάιιεια αγγίδεη ηα όξηα ηεο ηξέιαο. Καηαδηώθεηαη από κηα ρξεκαηηζηεξηαθή εηαηξία ηεο Wall Street θαη κηα παξαζξεζθεπηηθή νκάδα νη νπνίνη ζέινπλ λα ρξεζηκνπνηήζνπλ ηηο γλώζεηο ηνπ Μαμ πξνο όθεινο ηνπο. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο Ο αξηζκόο π Σν παηρλίδη GO Υξπζή ζπείξα Θεσξία Υάνπο.

67 10. The number 23 Τπόζεζε : Ο Γνπόιηεξ είλαη έλαο νηθνγελεηάξρεο πνπ δεη ζε έλα δηακέξηζκα πιάη ζηε γπλαίθα ηνπ. ια ζα αιιάμνπλ όκσο όηαλ απνθηήζεη έλα βηβιίν κε ηίηιν «No 23», θαζώο νη ζειίδεο ηνπ ζα ηνλ νδεγήζνπλ ζε έλαλ θόζκν παξάλνηαο θαη εκκνλώλ. Ο αξηζκόο 23 θαηαιήγεη λα ηνλ «ζηνηρεηώζεη», ηελ ώξα πνπ αλαθαιύπηεη πσο ν ήξσαο ηνπ κπζηζηνξήκαηνο δελ είλαη άιινο από ηνλ ίδην ηνπ ηνλ εαπηό θαη πσο ζύληνκα ζα γίλεη κάξηπξαο ελόο θόλνπ. Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο Αξηζκνινγία ζε ζρέζε κε ηνλ αξηζκό 23 (ζήκεξα ε αξηζκνινγία ζπλδέεηαη ζπρλά κε ην παξαθπζηθό θαη ακθηζβεηείηαη)

68 11. Cube Τπόζεζε : Δπηά ηειείσο μέλα κεηαμύ ηνπ άηνκα κε δηαθνξεηηθέο πξνζσπηθόηεηεο κπαίλνπλ ρσξίο ηε ζέιεζή ηνπο ζε έλα αηέιεησην επηθίλδπλν ιαβύξηλζν γεκάην κε ζαλαηεθόξεο παγίδεο! Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο Καξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

69 12. A serious Man Τπόζεζε : Ζ ηαηλία αθνινπζεί ηελ δσή ηνπ Larry Gopnik, ελόο Δβξαίνπ θαζεγεηή θαη νηθνγελεηάξρε. Αθειήο θαη θαιόβνινο ν Larry ζα αξρίζεη λα αγρώλεηαη ππεξβνιηθά όηαλ ε γπλαίθα ηνπ ζα ηνπ δεηήζεη δηαδύγην, αθνύ έρεη βξεη ήδε αληηθαηαζηάηε, ηνλ αληηπαζεηηθό Sy Ableman. Έπεηηα, ν Larry ζα βξεζεί κπξνζηά ζε κηα ζεηξά θαθόηπρσλ θαη Υαδώλ πεξηζηαηηθώλ. Ο ηέιεηνο θόζκνο πνπ ν Larry λόκηδε όηη είρε ρηίζεη θαίλεηαη λακελ ππάξρεη παξά κόλν ζηε θαληαζία ηνπ... Μαζεκαηηθά ζηνηρεία ηαηλίαο Παξάδνμν ηνπ Schrödinger

70 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΣΔΥΝΖ

71 ΟΜΑΓΑ: ΠΤΘΑΓΟΡΔΗΟΗ ΑΡΥΗΣΔΚΣΟΝΔ ΘΔΜΑ ΔΝΟΣΖΣΑ ΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΣΗ ΣΔΥΝΔ ΜΔΛΖ ΟΜΑΓΑ ΓΔΡΟΛΤΜΟΤ ΚΑΣΔΡΗΝΑ ΘΤΡΗΑΚΖ ΜΑΡΗΛΔΝΑ ΚΑΠΝΟΤΛΛΑ ΓΔΧΡΓΗΑ ΜΖΣΟΤ ΔΤΑΓΓΔΛΗΑ

72 Σα καζεκαηηθά θαη ε ηέρλε θαηλνκεληθά ηνπιάρηζηνλ, απνηεινύλ δύν μερσξηζηά δηαθξηηά πεδία ηεο αλζξώπηλεο δξαζηεξηόηεηαο, εληνύηνηο είλαη δπλαηόλ λα ζπλδπαζηνύλ θαη λα δώζνπλ δεκηνπξγίεο νη νπνίεο απνηεινύλ αμηνζαύκαζην κείγκα εληππσζηαθήο πνιππινθόηεηαο θαη εθπιεθηηθήο νκνξθηάο.

73 Ηζηνξηθά, ηα καζεκαηηθά, κνινλόηη ζεσξνύληαη θπξίσο ινγηθή αλαιπηηθή επηζηήκε, έρνπλ παίμεη ζεκαληηθό ξόιν ζηελ εμέιημε ηεο ηέρλεο, ε νπνία απεπζύλεηαη θπξίσο ζην ζπλαίζζεκα. όιεο ηηο επνρέο αλαδείρζεθαλ εμέρνπζεο κνξθέο ηεο ηέρλεο, νη νπνίεο ρξεζηκνπνίεζαλ ηα καζεκαηηθά σο ην βαζηθό ζπζηαηηθό ηεο ηέρλεο ηνπο.

74 ΛΔΟΝΑΡΝΣΟ ΝΣΑ ΒΗΝΣΗ Γελλήζεθε ζηελ πόιε Αληζηάλν, θνληά ζην Βίληζη ηεο Ηηαιίαο ζηηο 15 Απξηιίνπ ηνπ έηνπο 1452 κ. Υ. Ήηαλ Ηηαιόο αξρηηέθηνλαο, δσγξάθνο, γιύπηεο, κνπζηθόο, εθεπξέηεο, κεραληθόο, αλαηόκνο, γεσκέηξεο θαη επηζηήκνλαο πνπ έδεζε ηελ πεξίνδν ηεο Αλαγέλλεζεο.

75 ΜΔΡΗΚΑ ΑΠΟ ΣΑ ΔΡΓΑ ΣΟΤ

76 ΠΑΝΑΓΗΑ ΣΧΝ ΒΡΑΥΧΝ

77 Ο ΜΤΣΗΚΟ ΓΔΗΠΝΟ

78 ΜΟΝΑ ΛΗΕΑ

79 Ζ ΠΡΟΚΤΝΖΖ ΣΧΝ ΜΑΓΧΝ

80 ΑΝΘΡΧΠΟ ΣΟΤ ΒΗΣΡΟΤΒΗΟΤ

81 MAXH TOY ANGHIARI

82 ΚΤΒΗΜΟ Καιιηηερληθό ξεύκα ηεο δσγξαθηθήο θαη ηεο γιππηηθήο ζηελ Δπξώπε ηνπ 20 νύ αηώλα. Ο όξνο «θπβηζκόο» ρξεζηκνπνηήζεθε γηα πξώηε θνξά από ηνλ Γάιιν θξηηηθό ηέρλεο Λνπί Βσζέι (Louis Vauxcelles) ην 1908, κε θπξηόηεξνπο εθπξνζώπνπο ηνλ Π. Πηθάζν, Σδ. Μπξαθ (George Braque), Υ. Γθξηο θαη Φ. Λεδέ.

83 Ο ΑΝΑΛΤΣΗΚΟ ΚΤΒΗΜΟ ( ) Πξώηε θάζε ηνπ Κπβηζκνύ αλαιύεη, ζρεδόλ δηαιύεη ηε θόξκα, ην αληηθείκελν, έλα πξόζσπν, έλα πνξηξέην, κηα λεθξή θύζε μαλαθηηάρλεη έλα θαηλνύξην, κηα λέα εηθόλα, λνεηή παξά νξαηή. Ο ίδηνο ν Πηθάζν είπε θάπνηε: «Εσγξαθίδσ ηα αληηθείκελα όπσο ηα ζθέθηνκαη, όρη όπσο ηα βιέπσ». Σα ρξώκαηα είλαη πνιύ πεξηνξηζκέλα, θπξίσο θαθεηηά, κπεδ, γθξίδα, κνπληά.

84 Ο ΤΝΘΔΣΗΚΟ ΚΤΒΗΜΟ ( θαη κεηά) Ο θαιιηηέρλεο ζπλζέηεη ζηε δσγξαθηθή επηθάλεηα δηάθνξα ζηνηρεία ηo ρξώκα επαλεκθαλίδεηαη απιά ζρήκαηα ρξήζε δηάθνξσλ πιηθώλ, εθηόο από ηελ παξαδνζηαθή κπνγηά

85 Ζ θπβηζηηθή δσγξαθηθή θαη ε θπβηζηηθή γιππηηθή ππήξμαλ επαλαζηαηηθέο. Ζ κεηαρείξηζε ηνπ όγθνπ είλαη ηδηάδνπζα, αθνύ παίξλεη θαηλνύξηα κνξθή κε επί κέξνπο πριζμαηικούς όγκοσς θαη γεωμεηρικές αιτμηρές επιθάνειες θαη επίπεδα ηεματιζμού πνπ δεκηνπξγνύλ βαζηά βαζνπιώκαηα θαη ζθηέο, όπσο ζην έξγν «Άλδξαο κε Μαληνιίλν» (1917) ηνπ Γάιινπ γιύπηε Εαθ Λίςηηο ( ).

86 ΠΑΜΠΛΟ ΠΗΚΑΟ Ήηαλ θαη είλαη έλαο από ηνπο θπξηόηεξνπο Ηζπαλνύο εθπξνζώπνπο ηεο ηέρλεο ηνπ 20νπ αηώλα Έδεζε από 25 Οθησβξίνπ ηνπ 1881 έσο 8 Απξηιίνπ ηνπ Γελλήζεθε ζηε Μάιαγα ηεο Ηζπαλίαο όπνπ πέξαζε θαη ηα δέθα πξώηα ρξόληα ηεο δσήο ηνπ. εκαληηθή ζπλεηζθνξά ζηε δηακόξθσζε θαη εμέιημε ηεο κνληέξλαο θαη ζύγρξνλεο ηέρλεο.

87 ΜΔΡΗΚΑ ΑΠΟ ΣΑ ΔΡΓΑ ΣΟΤ

88 ΓΚΟΤΔΡΝΗΚΑ

89 Σν έξγν «Οη Γεζπνηλίδεο ηεο Αβηληόλ» (1907) ηνπ κεγάινπ θαιιηηέρλε ηνπ 20νύ αηώλα Πάκπιν Πηθάζν ( ) ζεσξείηαη έλα νξόζεκν ζηελ ηζηνξία ηεο ηέρλεο γηαηί εηζάγεη έλαλ θαηλνύξην ηξόπν δσγξαθηθήο, ηνλ Κπβηζκό πνπ θαηαξγεί ηελ σο ηώξα θξαηνύζα κέζνδν αλαπαξάζηαζεο ηνπ αληηθεηκέλνπ κε ςεπδαηζζεηηθή ηερληθή.

90 THE VERRE ET PICHET

91 THE TETE DE CHEVAL

92 WEEPING WOMAN WITH HANDKERCHIEF

93 THREE DANCERS

94 STILL LIFE WITH STEERS SKULL

95

96

97

98

99

100

101 ΒΑΗΛΗ ΚΑΝΣΗΚΗ Γελλήζεθε ζηε Μόζρα ην1866, κνλαδηθό παηδί εύπνξεο νηθνγέλεηαο. Πέζαλε ην πνύδαζε λνκηθή θαη νηθνλνκηθά. Οξγάλσζε νκαδηθέο εθζέζεηο ζην Μνλαρό θαη θαηνξζώλνληαο λα πξνζειθύζεη ζε απηέο ζεκαληηθνύο θαιιηηέρλεο, όπσο ν Εσξδ Μπξαθ θαη ν Πάκπιν Πηθάζν.

102 ΜΔΡΗΚΑ ΑΠΟ ΣΑ ΔΡΓΑ ΣΟΤ

103

104

105

106 ESCHER MAURITS CORNELIS Γελλήζεθε ζην Leeuwarden, ηεο Οιιαλδίαο ζηηο 17 Ηνπλίνπ Καηάθεξε λα ζπλδέζεη ηα Μαζεκαηηθά κε ηε Εσγξαθηθή. Ήηαλ αξηζηεξόρεηξαο θη εθηόο από πίλαθεο, ζηε κεγάιε ηνπ θαξηέξα, έθηηαμε ιηζνγξαθίεο, ηνηρνγξαθίεο, μπινηππίεο, εηθνλνγξάθεζε βηβιία, γξακκαηόζεκα, ηάπεηεο θη έγξαςε βηβιία γηα ηελ ηέρλε.

107 Παξαθνινπζεί 5 ρξόληα ζην 'Αξλεκ ηε ζηνηρεηώδε θαη κέζε εθπαίδεπζε, θη όηαλ απνηπγράλεη ζηηο ηειηθέο εμεηάζεηο ηνπ γπκλαζίνπ, γξάθεηαη ζηε ρνιή Αξρηηεθηνληθήο & Γηαθόζκεζεο. ηαλ ηειεηώλεη ηε ζρνιή Γξαθηθώλ Σερλώλ εγθαηαιείπνληαο ηελ Αξρηηεθηνληθή, μεθηλά γηα ηελ Ηηαιία. Σν 1968 δεκηνπξγεί ην «Ίδξπκα Έζεξ». Ζ ηέρλε ηνπ ζαπκάδεηαη από εθαηνκκύξηα αλζξώπνπο ζε νιόθιεξν ηνλ θόζκν θαη ραξαθηεξίδεηαη από: απξνζδόθεηεο δνκέο πινύζηα γόληκε θαληαζία

108 ΜΔΡΗΚΑ ΑΠΟ ΣΑ ΔΡΓΑ ΣΟΤ

109

110

111

112 ΚΤΚΛΟ ΜΔ ΦΗΓΗΑ

113 ΑΤΣΟΠΡΟΧΠΟΓΡΑΦΗΑ ΑΠΟ ΑΝΑΚΛΑΖ Δ ΓΤΑΛΗΝΖ ΦΑΗΡΑ

114

115

116

117

118

119

120 ΓΔΜΟ ΔΝΧΖ - ΛΗΘΟΓΡΑΦΗΑ 1956

121

122

123 ΟΗ ΠΛΑΚΟΣΡΧΔΗ

124

125

126

127

128

129

130

131 Η Π Π Δ Η

132 ΟΡΗΟ ΚΤΚΛΟΤ ΗΗΗ

133 Σν Ζκέξα θαη Νύρηα κία μπινγξαθία πνπ ρξεζηκνπνηεί ηε ζπκκεηξία ζε άμνλα ζηε ζπζηεκαηηθή δηαίξεζε ηνπ επηπέδνπ. ηαδηαθά ε απζηεξή γεσκεηξία ππνρσξεί ζε έλα αθαλόληζην κσζατθό θαη ην ηνπίν ράλεηαη ζην βάζνο ηνπ νξίδνληα.

134 Σα Δξπεηά Μία πνιύ όκνξθε θαη ρηνπκνξηζηηθή ιηζνγξαθία κε θαλνληθή εμαγσληθή πιαθόζηξσζε καο δείρλεη κηα παηρληδηάξηθε κεηάβαζε ελόο πξάγκαηνο από κία δηάζηαζε ζε άιιε. Από ην κνλνδηάζηαην επίπεδν ζην ηξηζδηάζηαην πξαγκαηηθό αληηθείκελν.

135 Σν έξγν Μεηακόξθσζε II είλαη έλαο πίλαθαο πνπ ρξεζηκνπνηεί ζηελόκαθξεο ισξίδεο αιιά ιόγσ ηεο ζπκκεηξίαο ησλ δύν άθξσλ ηνπ καο δίλεη ηελ αίζζεζε ελόο θύθινπ. Έλα ζηαπξόιεμν πνπ κεηαηξέπεηαη ζε ζθαθηέξα, ζε εξπεηό, ζε θπςέιε, ζε κειίζζη, ζε πνπιηά, ζε ςάξηα, ζε πόιε, ζε ζθαθηέξα θαη θαηαιήγεη πάιη ζε ζηαπξόιεμν, κε θύξηα ηερληθή ηε ζπζηεκαηηθή δηαίξεζε ηνπ επηπέδνπ.

136 H κέζνδνο ηεο πεξηζηξνθήο ζην επόκελν έξγν ηνπ Escher. Έλα πιαθόζηξσην πνπ απνηειείηαη νπζηαζηηθά από εμαγσληθά πιαθίδηα ζηα νπνία θπξηαξρεί ε πεξηζηξνθή θαη ε ζπκκεηξία.

137 Μεηάζεζε αμόλσλ, ζπκκεηξία θαη αληαλαθιαζηηθή νιίζζεζε ζην έξγν ηνπ Escher Καλνληθή Γηαίξεζε ηνπ Δπηπέδνπ III.

138 Angels & Devils ε κεηαθπζηθή δηάζηαζε ηεο δπηθόηεηαο

139 ΣΑΞΗΓΗ ΣΟ ΑΠΔΗΡΟ

140 ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΔ ΣΑ ΠΛΑΗΗΑ ΣΖ ΔΡΔΤΝΖΣΗΚΖ ΔΡΓΑΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΖ ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΧΝ ΥΖΜΑΣΧΝ ΣΟΤ ΣΟΗΥΟΤ ΣΖ ΥΟΛΗΚΖ ΑΗΘΟΤΑ ΤΝΔΝΣΔΤΞΖ ΑΠΟ ΣΟΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟ ΚΑΗ ΤΓΓΡΑΦΔΑ ΣΔΤΚΡΟ ΜΗΥΑΖΛΗΓΖ

141 ΕΧΓΡΑΦΗΚΖ ΣΟΤ ΣΟΗΥΟΤ ΣΖ ΑΗΘΟΤΑ ΜΑ ρέδηα από A. GARNERI, Disegno Geometrico, Parte 1

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167 πλέληεπμε από Σεύθξν Μηραειίδε Μαζεκαηηθό, πγγξαθέα θαη Μεηαθξαζηή 24 Μαξηίνπ 2013

168 Κύξηα ζεκεία ηεο ζπλέληεπμεο Ζ δνπιεηά ηνπ καζεκαηηθνύ θαη ηνπ ζπγγξαθέα γηα απηόλ δελ παξνπζηάδνπλ δηαθνξέο Απνθάζηζε λα γίλεη καζεκαηηθόο ζηα 15 ηαλ θπθινθόξεζε ηνλ πξώην ηνπ βηβιίν είρε πνιύ άγρνο Οη αληηδξάζεηο ησλ αλαγλσζηώλ κπξνζηά ζην ζπλδπαζκό καζεκαηηθώλ θαη ινγνηερλίαο πνηθίινπλ

169

170

171

172

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12 ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Οδηγίες για ηη διδαζκαλία ηων θιλολογικών μαθημάηων ζηο Ενιαίο Λύκειο (απόζπαζμα) Αθήνα 2001 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α. Τν πεξηερόκελν ηεο πεξίιεςεο (0-12

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Δημήτρης Χασάπης ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΗΝ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗΕΚΠΑΙΔΕΤΗ Οη γεσκεηξηθέο ζρέζεηο κεηξηθή ζεώξεζε ηνπ ρώξνπ - Απόζηαζε αλάκεζα ζε δύν ζεκεία / κήθνο - Επηθάλεηα / επίπεδα ζρήκαηα /

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ 14 Σεπηεκβξίνπ Ση γηνξηάδνπκε ηελ εκέξα ηεο ύςσζεο ηνπ Σηκίνπ ηαπξνύ (1/6) Τν έηνο 326 ε Αγία Ειέλε πήγε ζηελ Ιεξνπζαιήκ γηα λα πξνζθπλήζεη ηνπο Αγίνπο Τόπνπο θαη λα επραξηζηήζεη

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

3. Τα ΑΒΓΓ θαη ΔΒΕΖ είλαη ηεηξάγσλα, ΑΔ=2cm θαη ΔΒ=5cm. Τν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ζρήκαηνο είλαη: είλαη: (Γ) 10

3. Τα ΑΒΓΓ θαη ΔΒΕΖ είλαη ηεηξάγσλα, ΑΔ=2cm θαη ΔΒ=5cm. Τν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ζρήκαηνο είλαη: είλαη: (Γ) 10 Α, υμναςίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 0. Πνηνο από ηνπο πην θάησ αξηζκνύο είλαη ν κεγαιύηεξνο; (Α) 0 0 () 00 () ( 0) ( 0) () 0 0 () ( 0) ( 0). Σην πην θάησ ζρήκα νη επζείεο ε θαη ε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Το αγόρι στο θεωρείο Αγγελική Δαρλάση ΜΕΛΙΝΑ ΣΟΥΣΟΥΝΗ

Το αγόρι στο θεωρείο Αγγελική Δαρλάση ΜΕΛΙΝΑ ΣΟΥΣΟΥΝΗ Το αγόρι στο θεωρείο Αγγελική Δαρλάση ΜΕΛΙΝΑ ΣΟΥΣΟΥΝΗ Η θεραπεία μέσω της τέχνης Τέρλε είλαη ε δεκηνπξγηθή έθθξαζε ηεο ςπρηθήο θαηάζηαζεο, ησλ ζπλαηζζεκάησλ θαη ησλ ηδεώλ ηνπ θαιιηηέρλε. Η ηέρλε έρεη ςπρνζεξαπεπηηθέο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΟΤ ΘΑΛΗ

Η ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΟΤ ΘΑΛΗ Η ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΟΤ ΘΑΛΗ Ο Θαιήο ν Μηιήζηνο, ν νπνίνο γελλήζεθε από αξηζηνθξαηηθή νηθνγέλεηα ην 624π.Υ θαη πέζαλε ην 543π.Υ, ήηαλ αξραίνο Έιιελαο, έλαο από ηνπο 7 ζνθνύο ηεο αξραηόηεηαο θαη ζεσξείηαη παηέξαο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ Α.Να γξάςεηε ηα ηππηθά ζηάδηα ηεο αλαγλώξηζεο ζηελ Οδύζζεηα. Το θέμα της αναγνώρισης είναι συχνό, ιδιαίτερα στις τελευταίες ραψωδίες του έπους, δηλαδή από τότε που ο Οδυσσέας

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ.

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΓΑΘΡΙΑ Π. 1,2, ΓΑΘΡΙΑΠ Θ. 1, ΚΖΡΠΗΝ- ΓΑΘΡΙΑ Γ. 1,3,4, ΘΑΡΠΗΑΟΓΑΛΖΠ Ι. 1,5, Α ΛΑΠΡΑΠΗΝ Α. 1,4,6, ΛΗΘΝΙΑΝΠ ΠΘΔΛΡΔΟΖΠ 6. 1. Δ Ρ Α Η Ο Δ Η Α Φ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

Δπώλπκν Όλνκα Ψεπδώλπκν/ Καιιηηερληθό όλνκα Σόπνο γελλήζεωο Ζκεξνκελία γελλήζεωο Ζκεξνκελία ζαλάηνπ Βηνγξαθηθά ζηνηρεία Πξνζωπνγξαθίεο Μόληκε

Δπώλπκν  Όλνκα  Ψεπδώλπκν/ Καιιηηερληθό όλνκα Σόπνο γελλήζεωο  Ζκεξνκελία γελλήζεωο Ζκεξνκελία ζαλάηνπ Βηνγξαθηθά ζηνηρεία Πξνζωπνγξαθίεο Μόληκε A.K. 0279 Δπώλπκν Υαξίδεκνο Όλνκα Γηώξγνο Ψεπδώλπκν/ Καιιηηερληθό όλνκα Υαξίηνο Σόπνο γελλήζεωο Κεθηζηά Ζκεξνκελία γελλήζεωο 1924 Ζκεξνκελία ζαλάηνπ 11 Απξηιίνπ 1996 Βηνγξαθηθά ζηνηρεία Ήηαλ ν πξωηόηνθνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,

Διαβάστε περισσότερα

Μεηαπηπρηαθή δηαηξηβή

Μεηαπηπρηαθή δηαηξηβή ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΟ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΚΤΠΡΟΤ ΥΟΛΖ ΚΑΛΧΝ ΚΑΗ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΧΝ ΣΔΥΝΧΝ Μεηαπηπρηαθή δηαηξηβή ΣΑ TABLETS Χ ΔΚΠΑΗΓΔΤΣΗΚΟ ΔΡΓΑΛΔΗΟ ΣΟ ΝΖΠΗΑΓΧΓΔΗΟ ΓΗΑ ΣΖΝ ΔΝΗΥΤΖ ΤΝΔΡΓΑΣΗΚΧΝ ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΧΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ Έιελα Κσλζηαληίλνπ

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Πνιιαπιάζηα ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη αξηζκνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ α κε όινπο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Κατανόηση γραπτού λόγου

Κατανόηση γραπτού λόγου Α1 Επίπεδο Α1 (25 μονάδες) Διάρκεια: 30 λεπτά Ερώτημα 1 (7 μονάδες) Έλαο θίινο ζαο ζάο πξνζθαιεί ζηε βάθηηζε ηεο θόξεο ηνπ. Γηαβάζηε ην πξνζθιεηήξην θαη ζεκεηώζηε ( ) θάησ από ην ΩΣΟ γηα ηηο πξνηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα. Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ 1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

Παλαιοσλαβική Γλώσσα. Ενότητα 11: Μορφολογία Τα Ονόματα/Αντωνυμίες. Αλεξάνδρα Ιωαννίδου. Τμήμα Σλαβικών Σπουδών

Παλαιοσλαβική Γλώσσα. Ενότητα 11: Μορφολογία Τα Ονόματα/Αντωνυμίες. Αλεξάνδρα Ιωαννίδου. Τμήμα Σλαβικών Σπουδών Παλαιοσλαβική Γλώσσα Ενότητα 11: Μορφολογία Τα Ονόματα/Αντωνυμίες Αλεξάνδρα Ιωαννίδου Τμήμα Σλαβικών Σπουδών Γ1.2. ΟΗ ΑΝΣΧΝΤΜΗΔ ηελ παιαηά εθθιεζηαζηηθή ζιαβηθή, νη αλησλπκίεο δηαθξίλνληαλ ζε δπν κεγάιεο

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

EL Eνωμένη στην πολυμορυία EL A8-0046/319. Τροπολογία

EL Eνωμένη στην πολυμορυία EL A8-0046/319. Τροπολογία 8.3.2016 A8-0046/319 319 Άρθρο 34 παράγραθος 1 ζηοιχείο δ (δ) 14 έηε γηα θηεληαηξηθά θάξκαθα πνπ πξννξίδνληαη γηα άιια είδε δώωλ από απηά πνπ αλαθέξνληαη ζηελ παξάγξαθν 1 ζηνηρεία α) θαη γ). (δ) 10 έηε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

Παλαιοσλαβική Γλώσσα. Ενότητα 9: Το σύστημα των συμφώνων. Αλεξάνδρα Ιωαννίδου. Τμήμα Σλαβικών Σπουδών

Παλαιοσλαβική Γλώσσα. Ενότητα 9: Το σύστημα των συμφώνων. Αλεξάνδρα Ιωαννίδου. Τμήμα Σλαβικών Σπουδών Παλαιοσλαβική Γλώσσα Ενότητα 9: Το σύστημα των συμφώνων Αλεξάνδρα Ιωαννίδου Τμήμα Σλαβικών Σπουδών (11) Σνλ 9ν-10ν αηώλα κ.υ. ηα πγξά θαη είραλ ζαθή ζπιιαβνπνηεηηθή ιεηηνπξγία ζαλ θη απηή πνπ εκθαλίδεηαη

Διαβάστε περισσότερα