Εύρωστοι Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι Robust algorithms in Computational Geometry

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εύωστοι Γεωμετικοί Αλγόιθμοι Roust lgorithms in Computtionl Geometr Ζαχάου Θεοδοσία ΑΜ : 9 Επιβλέπων Καθηγητής : Αλεβίζος Παναγιώτης

2 Ευχαιστώ τον κ.αλεβίζο, Για τη σημαντική βοήθεια που μου ποσέφεε κατά τη διάκεια εκπόνησης της διπλωματικής μου εγασίας, αλλά κυίως τον ευχαιστώ, για την άψογη συνεγασία και την κατανόησή του, απέναντι στις δυσκολίες που αντιμετώπισα στο διάστημα αυτό.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΕΧΝΙΚΕΣ PERTURBING ΕΙΣΑΓΩΓΗ DATA NORMALIZATION ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ TOPOLOGICAL INDING NUMBER ACCOMMODATION ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΟΡΥΦΗΣ (VERTE SHIFTING) ΔΙΑΣΠΑΣΗ ΑΚΜΗΣ (EDGE CRACKING) ΌΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΈΝΩΣΗ ΔΥΟ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ DATA NORMALIZATION.... ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΡΥΜΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ..... ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ N ΕΥΘΕΙΩΝ..... ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ..... ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ -ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ..... TILED HIGHAS ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΣΕ TILED HIGHAS ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ (PERTURBATIONS) ΣΤΗΝ ΕΙΣΟΔΟ Η ΠΟΣΟΤΗΤΑ Ε ΚΑΙ ΟΙ ΠΙΘΑΝΕΣ ΑΣΑΦΕΙΕΣ (DEGENERACIES) ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΥΧΑΙΑ ΛΟΓΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ....5 PERTURBING THE ORLD.... ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΥΚΛΩΝ.... ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΌΡΙΑ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ.... ΤΥΠΟΙ ΑΣΑΦΕΙΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΥΚΛΩΝ..... ΑΣΑΦΕΙΑ ΤΥΠΟΥ..... ΑΣΑΦΕΙΑ ΤΥΠΟΥ ΑΣΑΦΕΙΑ ΤΥΠΟΥ ΑΣΑΦΕΙΑ ΤΥΠΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Δ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΕΧΝΙΚΕΣ NON-PERTURBING ΒΑΘΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.. ΈΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΈΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΈΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΑ ΈΛΕΓΧΟΣ ΘΕΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΥΚΛΟ SEEP LINE ALGORITHMS ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ (SEEP LINE ALGORITHM) ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΜΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΟΜΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΥΝΟΛΩΝ ΜΗ ΤΕΜΝΟΜΕΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΓΓΥΤΗΤΑΣ (PROIMIT QUERIES)... 57

4 6. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ VORONOI EPLICIT D ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ VORONOI IMPLICIT D ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ VORONOI ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ (CHAIN METHOD) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΜΕ EPLICIT VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ IMPLICIT VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ BRIDGED CHAIN METHOD ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ BRIDGED CHAIN METHOD ΜΕ EPLICIT VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ IMPLICIT VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ PERSISTENT SEARCH TREE METHOD ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ PERSISTENT SEARCH TREE METHOD ΜΕ EPLICIT VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ IMPLICIT VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ EPLICIT D VORONOI DIAGRAM IMPLICIT D VORONOI DIAGRAM ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ (SEPARATING SURFACE METHOD) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕ EPLICIT D VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ IMPLICIT D VORONOI ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ VORONOI EPLICIT VORONOI DIAGRAM IMPLICIT D VORONOI DIAGRAM ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 9

5 . Εισαγωγή Η Υπολογιστική Γεωμετία έχει υιοθετήσει το μοντέλο της ακιβής αιθμητικής σε παγματικούς αιθμούς. Αυτή η ποσέγγιση όμως έχει μειονεκτήματα κατά την επίλυση των αλγοίθμων στις υπολογιστικές μηχανές μιας και αυτές λειτουγούν με πεπεασμένη ακίβεια, κάτι που επηεάζει όχι μόνο τα αποτελέσματα των αλγοίθμων αλλά την οθότητα του ποβλήματος, εξαιτίας των στογγυλοποιήσεων που παγματοποιούνται κατά τη διάκεια εκτέλεσης του αλγοίθμου. Το πόβλημα της επίλυσης γεωμετικών αλγοίθμων με μοντέλο rel-ram αποτυγχάνει επειδή δεν μποούν να γίνουν με ακίβεια ή έστω μέσα σε συγκεκιμένο σφάλμα όλοι οι υπολογισμοί. Ποσπαθώντας να επιλυθεί το πόβλημα αυτό έχει εισαχθεί η έννοια των εύωστων γεωμετικών αλγόιθμων, δηλαδή αλγοίθμων οι οποίοι δίνουν αποδεκτά αποτελέσματα για όλες τις νόμιμες εισόδους του ποβλήματος. Ποκειμένου να επιλυθεί το πόβλημα που ανακύπτει κατά την μεταφοά του αλγοίθμου σε ια υπολογιστική μηχανή, έχουν ποταθεί δύο διαφοετικές ποσεγγίσεις η καθεμία από τις οποίες ακολουθεί διαφοετική μεθοδολογία. Η μία ομάδα τεχνικών ονομάζεται perturing και πειλαμβάνει μεθόδους οι οποίες μετατέπουν το πόβλημα έτσι ώστε να αποφευχθούν οι ασάφειες και τα λάθη. Η άλλη ομάδα ονομάζεται non perturing και πειλαμβάνει μεθόδους που αντιμετωπίζουν το πόβλημα με ακιβή αιθμητική. Στην πώτη κατηγοία ανήκουν αλγόιθμοι σύμφωνα με τους οποίους μετατέπεται η γεωμετική δομή έτσι ώστε όλοι οι υπολογισμοί πεπεασμένης ακίβειας να δίνουν σωστές απαντήσεις. Στην ίδια κατηγοία ανήκουν επίσης αλγόιθμοι οι οποίοι μετατέπουν τη γεωμετική δομή έτσι ώστε να ανήκουν σε μια πειοχή μη πεπεασμένης ακίβειας, χωίς στην παγματικότητα να αναπαιστούν αντικείμενα μη πεπεασμένης ακίβειας. Οι δυσκολίες που ποκύπτουν χησιμοποιώντας τις μεθόδους αυτής της κατηγοίας είναι ότι η λύση είναι ουσιαστικά η λύση ενός ελαφώς διαφοοποιημένου ποβλήματος σε σχέση με το αχικό. Επομένως τελικά, μποεί να είναι δύσκολο να αντιστοιχίσουμε το διαφοοποιημένο πόβλημα στο αχικό, έπειτα από τις αλλαγές που έχουν γίνει. Στη δεύτεη κατηγοία εισάγεται η έννοια του βαθμού ενός αλγοίθμου δηλαδή, του πλήθους των its που απαιτούνται για να υπάξει ακίβεια στους υπολογισμούς. Σε αυτά τα ποβλήματα οι αιθμητικοί υπολογισμοί είναι δύο τύπων : tests, που αναφέονται στις αποφάσεις διακλάδωσης και onstrutions που παάγουν τα δεδομένα εξόδου. Η ακιβής αιθμητική απαιτεί ακίβεια στον υπολογισμό των tests. 5

6 . Τεχνικές Perturing. Εισαγωγή Ο όος egener οίζεται ως η κατάσταση ενός αλγοίθμου, η οποία είναι ασαφής και σε οισμένες πειπτώσεις μη οισμένη. Ποκειμένου να αντιμετωπιστεί μια τέτοια κατάσταση έχουν δημιουγηθεί μια σειά αλγοίθμων οι οποίοι ποσπαθούν να αποκλείσουν την ύπαξη μιας ασάφειας κατά τη διάκεια της εφαμογής τους. Η τεχνική που χησιμοποιούν τέτοιου είδους αλγόιθμοι βασίζεται στη χήση ακιβής αιθμητικής και ποκειμένου να λύσουν ένα πόβλημα διαφοοποιούν ελαφώς το αχικό. Συνήθως η διαφοοποίηση είναι συμβολική, και πειλαμβάνει τη μεταβολή κατά ένα ποσό ε, το οποίο βοηθάει να επιλυθεί το πόβλημα ενώ τελικά κατά την ολοκλήωση της διαδικασίας υπολογίζεται το όιο καθώς το ε τείνει στο μηδέν. Με τις συγκεκιμένες τεχνικές ποκύπτουν και κάποιες δυσκολίες. Η λύση που δίνουν είναι στη παγματικότητα η λύση ενός ελαφώς διαφοοποιημένου ποβλήματος και όχι η λύση του κανονικού ποβλήματος. Αυτό έχει ως συνέπεια σε κάποιες πειπτώσεις να μην μποεί να γίνει η αντιστοίχηση της λύσης στο αχικό πόβλημα. Επίσης, η ίδια η φύση των υπολογισμών με τις μικές διαφοοποιήσεις μποεί σε ακετές πειπτώσεις να είναι δύσκολη, όπως για παάδειγμα συμβαίνει στις τεχνικές που χειίζονται ανάλογες πειπτώσεις του μη γαμμικού χώου, όπου μποεί να γίνουν πολύ πολύπλοκες στον τόπο υπολογισμού τους.. Dt Normlition.. Κανονικοποίηση Η μέθοδος Dt Normlition εφαμόζεται στο πόβλημα της μοντελοποίησης πολυγωνικών πειοχών στο επίπεδο (Hoffmn C., 989, []). Η ποσέγγιση αυτή χησιμοποιεί ένα σύνολο από κανόνες, τους οποίους θα πέπει να ικανοποιεί και οι κανόνες αυτοί παάγουν κανονικοποιημένα αντικείμενα. Οι τύποι δεδομένων που μποούν να υπάξουν σε ένα τέτοιο σύστημα είναι οι κουφές, δηλαδή ταξινομημένα ζεύγη τιμών πεπεασμένης ακίβειας που αναπαιστούν σημεία στο επίπεδο και οι ακμές, δηλαδή ταξινομημένα ζεύγη κουφών που αναπαιστούν ποσανατολισμένα ευθύγαμμα τμήματα. Για να καθοιστεί το σύστημα, πέπει να επιλέξουμε μία τιμή για το όιο σφάλματος ε, έτσι ώστε η απόσταση ανάμεσα σε ένα σημείο και ένα άλλο σημείο και η απόσταση ανάμεσα σε ένα σημείο και ένα ευθύγαμμο τμήμα να μποεί να υπολογιστεί με ακίβεια της τιμής του ε, οι πέντε κανόνες κανονικοποίησης είναι : ε. Δοθείσας 0 6

7 . Δεν υπάχουν δύο κουφές που να είναι πιο κοντά από ε.. Καμία κουφή δεν είναι πιο κοντά από ε σε μία ακμή, της οποίας δεν αποτελεί άκο.. Δύο ακμές δεν τέμνονται παά μόνο στα άκα τους.. Για κάθε κουφή, η ταξινομημένη λίστα ως πος τη γωνία των ακμών που πειέχουν αυτή την κουφή, διαφοοποιείται ανάμεσα σε εισεχόμενες και εξεχόμενες ακμές. 5. Για κάθε σημείο στο επίπεδο, το topologil wining numer είναι είτε 0 είτε ή μη καθοισμένο. Κάθε κανόνας ισχύει αν ισχύουν οι ποηγούμενοι... Topologil wining numer Η τιμή του topologil wining numer καθοίζει το εξωτεικό, το εσωτεικό και το όιο μιας πολυγωνικής πειοχής. Έστω ΑΒ, CD οι πλευές ενός πολυγώνου Ρ και p ένα σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σχήμα. Ο topologil wining numer του σημείου p, οίζεται σε αναφοά με ένα πολύγωνο P ως εξής : αν το p βίσκεται πάνω σε μία ακμή του P, ο wining numer δεν οίζεται. διαφοετικά έστω L η οιζόντια ευθεία που πενάει από το p και έστω R η επέκτασή της στα δεξιά του p (Σχήμα.). Μια ακμή διασχίζει την R θετικά αν το Α είναι κάτω από την L και το Β είναι πάνω στην L ή από πάνω από την L και το ΑΒ τέμνει την L στα δεξιά του p. Η ΑΒ διασχίζει ανητικά την R αν η ΒΑ τη διασχίζει θετικά. Ο αιθμός των θετικών διασχίσεων μείον τον αιθμό των ανητικών διασχίσεων είναι ο wining numer του p. Στην πείπτωση της πεπεασμένης ακίβειας, ο wining numer μποεί να υπολογιστεί αν το p δεν είναι πιο κοντά από ε, σε οποιαδήποτε κουφή ή ακμή του Ρ... Aommotion Κάποιες από τις βασικές πάξεις σε πολυγωνικές πειοχές μποεί να οδηγήσουν σε πααβίαση των κανόνων () και (). Τα πολύγωνα τότε πέπει να αλλαχθούν ποκειμένου να μποούν να συμπειλάβουν νέες ή αλλαγμένες τοποθεσίες κουφών που μποεί να 7

8 βίσκονται το πολύ σε απόσταση ε από τις υπάχουσες κουφές και ακμές του πολυγώνου. Μια βασική πάξη που ονομάζεται ommotion αλλάζει ένα πολύγωνο ώστε να μποεί να συμπειλάβει μια νέα κουφή, χησιμοποιώντας δύο ακόμη πάξεις τη «μετατόπιση κουφής» (verte shifting) και τη «διάσπαση ακμής» (ege rking). Η εφαμογή ommotion σε ένα πολύγωνο για κάθε κουφή που πααβιάζει τους κανόνες () και (), οδηγεί σε κανονικοποίηση του πολυγώνου... Μετατόπιση κουφής (Verte shifting) Θεωούμε ένα πολύγωνο P και μια κουφή v η οποία δεν ανήκει στο P. Μετακινούμε κάθε κουφή του P που βίσκεται σε απόσταση μέχι ε από τη v έτσι ώστε να συμπέσει με τη θέση του v και εξαφανίζουμε οποιεσδήποτε διπλές ακμές που εισάγονται από αυτή τη μετακίνηση, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Σχήμα. Σε αυτή τη φάση το πολύγωνο ικανοποιεί τον κανόνα (). Το πολύγωνο μποεί να αποτύχει να ικανοποιήσει τον κανόνα () επειδή η νέα κουφή (και επομένως οι μετακινούμενες κουφές), μποεί να είναι σε απόσταση μικότεη από ε από μια ακμή, είτε οι ακμές με άκο μια μετακινούμενη κουφή, μποεί να μετακινηθούν σε απόσταση μικότεη από ε από μια κουφή. Οι δύο πααπάνω λόγοι είναι αμοιβαίως αποκλυόμενοι. Μια ακμή είτε θα έχει μετακινούμενη κουφή ως άκο είτε όχι. Αν δεν έχει, δεν έχει αλλάξει και επομένως μόνο ο πώτος τύπος πααβίασης μποεί να ισχύει. Αν η ακμή έχει μετακινούμενη κουφή ως άκο τότε μετά τη μετακίνηση έχει το v ως άκο...5 Διάσπαση ακμής (Ege rking) Κάθε ακμή που πενάει σε απόσταση το πολύ ε από μια κουφή πααβιάζει τον κανόνα () των κανόνων κανονικοποίησης (Σχήμα.). Η διαδικασία διάσπασης ακμής αλλάζει την ακμή ακολουθώντας τα παακάτω βήματα: 8

9 . Επιλέγονται όλες οι κουφές που βίσκονται σε απόσταση μικότεη του ε από την ακμή ΑΒ που θα διασπαστεί.. Ταξινομούνται οι κουφές ανάλογα με την θέση των ποβολών τους στο ΑΒ. Έστω η ταξινομημένη λίστα V, V, V k.. Αντικαθίστανται η ΑΒ με τις ακμές ΑV, V V, V k Β και εξαφανίζεται οποιαδήποτε διπλή ακμή που ποκύπτει. Από τη στιγμή που η διάσπαση της ακμής δεν μετακινεί κουφές, δεν εισάγει πααβιάσεις του κανόνα (). Η διάσπαση μιας ακμής μποεί να εισάγει πεισσότεες ακμές για να διασπαστούν αλλά όταν ο αλγόιθμος τεματιστεί, το τελικό αντικείμενο πέπει να ικανοποιεί τον κανόνα (). K L K L S P N S P N D A T Q O M B D A T Q O M B C Σχήμα. C Η επιλογή της επόμενης ακμής που θα διασπαστεί είναι τυχαία. Υπάχει ένας τόπος ταξινόμησης των επιλογών έτσι ώστε να βεβαιωθεί ο τεματισμός των διασπάσεων. Αχικά γίνεται διάσπαση σε εκείνες τις ακμές που θα οδηγήσουν σε αύξηση της πειοχής του πολυγώνου, ενώ στη συνέχεια γίνεται διάσπαση στις ακμές που θα μειώσουν την πειοχή του πολυγώνου...6 Όια σφάλματος Το μέτο του λάθους είναι η πειοχή που διαφέει το αχικό πολύγωνο από την νέα κανονικοποιημένη πειοχή. Η μετατόπιση κουφής εισάγει ένα μικό μέγεθος λάθους. Μποεί να αποδειχθεί ότι η πειοχή που διαφέουν οι δύο μοφές του πολυγώνου είναι το πολύ εp, όπου p το μήκος της πειμέτου. Η διάσπαση ακμής μποεί να εισάγει ένα σχετικά μεγάλο μέγεθος λάθους. Η χειότεη πείπτωση είναι της τάξεως nεp, όπου n είναι το πλήθος των κουφών στο αντικείμενο. Η χειότεη πείπτωση συμβαίνει όταν κάθε κουφή είναι πιο κοντά από ε σε κάποια άλλη κουφή και επομένως μια απλή μετατόπιση κουφής μποεί να 9

10 οδηγήσει σε μια σειά από διασπάσεις ακμών. Αν οι κουφές χωίζονται αχικά με τουλάχιστον ε, η πειοχή που διαφέουν είναι το πολύ εp όπως και στην πείπτωση της μετατόπισης κουφής...7 Ένωση δύο πολυγώνων Έστω πολυγωνικές πειοχές P και Q. Θέλουμε να δημιουγήσουμε την πειοχή που αναπαιστά το σύνολο των σημείων που βίσκονται είτε στο P είτε στο Q. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής :. Εφαμογή της πάξης ommotion του Q για όλες τις κουφές του P, δηλαδή έλεγχος για το αν ισχύουν οι συνθήκες -5 για τις κουφές του πολυγώνου P.. Εφαμογή της πάξης ommotion του P για όλες τις κουφές του Q, δηλαδή έλεγχος για το αν ισχύουν οι συνθήκες -5 για τις κουφές του πολυγώνου Q.. Έλεγχος αν τα δύο πολύγωνα τέμνονται σε ένα σημείο Ι.. Εύεση της τιμής του topologil wining numer για τα μέσα των ακμών. Έτσι καθοίζεται ποιες ακμές είναι στο όιο του P ή του Q και ποιες βίσκονται έξω από το όιο του P ή του Q...8 Παάδειγμα Έστω τα πολύγωνα P(KLMNOSTUV) και Q(ABCDEF) τα οποία τέμνονται. Για να βεθεί η ένωση των δύο πολυγώνων ακολουθούμε τον πααπάνω αλγόιθμο. Σχήμα. 0

11 Εφαμόζοντας τα δύο πώτα βήματα στο παάδειγμα του σχήματος. παατηούμε ότι : οι κουφές Α και L βίσκονται σε απόσταση μικότεη από ε, επομένως πέπει να εφαμοστεί μετατόπιση κουφής ποκειμένου να συμπέσουν οι δύο κουφές. Οι κουφές U και S του πολυγώνου Ρ βίσκονται σε απόσταση μικότεη από ε από την ακμή FE του πολυγώνου Q. Συνεπώς πέπει να εφαμοστεί διάσπαση της ακμής FE και να αντικατασταθεί από τις ακμές FU, US, SE. Με την εφαμογή των πααπάνω πάξεων ποκύπτει το διαφοοποιημένο σχήμα.5 στο οποίο φαίνονται οι αντίστοιχες αλλαγές. Σχήμα.5 Το σημείο τομής I των ακμών ΜΝ και DE οδηγεί σε αντικατάσταση των ακμών DE με τις DΙ, ΙE και ΜΝ με τις ΜΙ, ΙΝ. Για τη νέα κουφή Ι θα πέπει να γίνει έλεγχος αν ισχύει η πάξη ommotion και για τα δύο πολύγωνα. Η κουφή Ι πληοί τις συνθήκες άα ενσωματώνεται στα δύο πολύγωνα. Υπολογίζοντας τους topologil wining numers για τα μέσα των ακμών, μποούν τελικά να καθοιστούν τα όια της ένωσής τους. Έστω οίζεται ως θετική φοά, η φοά των δεικτών του ολογιού και για τα δύο πολύγωνα, έτσι ώστε να καθοιστεί αν μία ακμή διασχίζει θετικά ή ανητικά τις οιζόντιες ευθείες που διέχονται από τα μέσα των ακμών.

12 Σχήμα.6 Έστω το μέσο της ακμής MI (του Ρ). Η ευθεία R είναι οιζόντια και τέμνεται με την ακμή ΙD (του Q) άα ο topologil wining numer της ΜΙ είναι ίσος με, συνεπώς η συγκεκιμένη ακμή θα βίσκεται εσωτεικά στην ένωση. Όμοια έστω το μέσο της ακμής KL (του Ρ). Η ευθεία R είναι οιζόντια και τέμνει τις AF και η ΙD (του Q). Η φοά των δύο ακμών είναι αντίθετη άα ο topologil wining numer είναι ίσος με 0, συνεπώς η KL θα αποτελεί όιο της ένωσης. Με παόμοιο τόπο ποκύπτουν για το πολύγωνο Q ότι οι ακμές AB, BC, CD, DΙ έχουν topologil wining numer ίσο με 0, επομένως θα αποτελούν όιο της ένωσης, ενώ για τις ακμές AF, FE, EI η τιμή είναι επομένως βίσκονται εσωτεικά στην ένωση των πολυγώνων. Για το πολύγωνο P, οι ακμές LK, KV, VU, UT, TS, SO, ON, NI έχουν topologil wining numer ίσο με 0, επομένως θα αποτελούν όιο της ένωσης, ενώ για τις ακμές LΜ, ΜΙ η τιμή είναι επομένως βίσκονται εσωτεικά στην ένωση των πολυγώνων...9 Μειονεκτήματα της μεθόδου Dt Normlition Η μέθοδος Dt Normlition είναι μία μέθοδος που μποεί να εφαμοστεί σωστά στους γεωμετικούς αλγοίθμους πεπεασμένης ακίβειας. Δυστυχώς, πολλές ιδιότητες της πειοχής της μη πεπεασμένης ακίβειας χάνονται από την κανονικοποίηση. Τα αντικείμενα που ποκύπτουν είναι πάγματι επίπεδα και πολύγωνα, αλλά κάθε κανονικοποίηση εισάγει ένα συγκεκιμένο μέγεθος σφάλματος, το οποίο μποεί να μετηθεί ως η πειοχή διαφοάς

13 ανάμεσα στις κανονικοποιημένες και μη κανονικοποιημένες πειοχές. Το συνολικό σφάλμα, σε μια σειά πάξεων μεγαλώνει, με τον αιθμό των κανονικοποιήσεων και μποεί να είναι πολύ μεγάλο στη χειότεη πείπτωση.. Μέθοδος κυμμένων μεταβλητών.. Τοπολογική διάταξη n ευθειών Η μέθοδος «κυμμένων μεταβλητών» (Hien vrile), είναι μία μέθοδος η οποία εφαμόζεται στο πόβλημα του καθοισμού της τοπολογικής διάταξης n ευθειών που αναπαίσταται από τις εξισώσεις τους (Hoffmn C., 989, []). Η είσοδος του αλγοίθμου είναι ένα σύνολο από εξισώσεις ευθειών L που εκφάζονται με πεπεασμένη ακίβεια. Η έξοδος του αλγοίθμου είναι ένα σύνολο από θέσεις κουφών καθώς και μία δομή δεδομένων που αναπαιστά την τοπολογία της διάταξη. Η έξοδος δηλαδή, πειλαμβάνει ένα σύνολο κουφών V, ένα σύνολο ακμών Ε και κάποια συμβολική αναπαάσταση T της τοπολογικής διάταξης των κουφών και ακμών. Κάθε κουφή έχει μια αιθμητική τοποθεσία <,>. Κάθε ακμή σχετίζεται με ένα υποσύνολο ευθειών, το οποίο πειλαμβάνει τις ευθείες που πειέχουν την ακμή. Οι κουφές άκα της ακμής πέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις ων ευθειών με σφάλμα όχι μεγαλύτεο από ε. Η διάταξη πειοίζεται από ένα «οιοθετημένο κουτί» (ouning o), το οποίο αναπαιστά τις μέγιστες επιτεπτές μεγεθύνσεις των και συντεταγμένων... Μονοτονία Η ιδιότητα v-μονοτονία, όπου v είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα κατεύθυνσης στο επίπεδο, οίζεται για διατεταγμένο σύνολο σημείων όπως οι καμπύλες και οι ακολουθίες. Πιο συγκεκιμένα, έστω γ(t) μια καμπύλη στο επίπεδο. Η καμπύλη γ είναι v-μονότονη αν το εσωτεικό ποϊόν των v και γ(t) είναι είτε μειούμενο ή μη αυξανόμενο με το χόνο t. Μια καμπύλη μποεί να είναι μονότονη σε σχέση με πεισσότεες από μία κατευθύνσεις. Για παάδειγμα, αν μια καμπύλη είναι μονότονη ως πος την κατεύθυνση του άξονα και του άξονα, τότε ονομάζεται μονότονη. Αν μια καμπύλη είναι v-μονότονη σε σχέση με όλες τις κατευθύνσεις των διανυσμάτων v, τότε απλά λέγεται μονότονη. Οι ευθείες είναι οι μοναδικές μονότονες καμπύλες. Μία καμπύλη είναι ποσεγγιστικά μονότονη, αν δεν οπισθοδομεί πεισσότεο από ε, σε σχέση με οποιαδήποτε κατεύθυνση.

14 .. Μοντελοποίηση -μονότονων καμπύλων Το σύστημα που πειγάφεται συμπειφέεται στις ευθείες εισόδου ως -μονότονες καμπύλες. Οι κυμμένες μεταβλητές του ποβλήματος είναι οι -μονότονες καμπύλες οι οποίες ποσεγγίζουν τις ευθείες εισόδου. Το σύστημα παάγει τις θέσεις των κουφών και μια τοπολογική δομή τέτοια ώστε οι κυμμένες καμπύλες να πενούν από τις πααγόμενες κουφές σύμφωνα με την ποκύπτουσα τοπολογία. Για να δημιουγηθεί μια διάταξη από μονότονες καμπύλες πέπει να ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες : Οι ακμές που πειέχονται σε μία ευθεία δημιουγούν μια αλυσίδα από το ένα όιο του οιοθετημένου κουτιού στο άλλο. Οι κουφές σε κάθε αλυσίδα πέπει να αποτελούν μια μονότονη ακολουθία σημείων. Κάθε ακμή αντιστοιχίζεται σε μια -μονότονη καμπύλη, η οποία έχει ίδια άκα όπως η ακμή. Η καμπύλη που ανήκει σε αυτή την ακμή δεν παεκκλίνει πεισσότεο από ε από οποιαδήποτε ευθεία του υποσυνόλου και δεν τέμνει άλλη καμπύλη παά μόνο στα άκα της. Μιας και κάθε ευθεία πειέχει μια αλυσίδα ακμών, οι καμπύλες αυτών των ακμών μποούν να ενωθούν και να δημιουγήσουν μια μακιά μονότονη καμπύλη, με τα ίδια άκα στο οιοθετημένο κουτί, όπως η ευθεία. Η καμπύλη αυτή πέπει να πααμένει μέσα στο ε ΧΥΜ της ευθείας, δηλαδή το όιο σφάλματός της. Ο αλγόιθμος που χησιμοποιείται για την μοντελοποίηση των -μονότονων καμπύλων ονομάζεται line resolution. Η κατάσταση του αλγοίθμου αποθηκεύεται σε μία δομή που πειλαμβάνει δύο στοιχεία : μια κουφή και μία ακμή η οποία εκφάζεται ως SIDE(V,L). Για κάθε κουφή V και γαμμή L, το SIDE(V,L) επιστέφει μια εγγαφή που πειέχει ένα πεδίο με it με πιθανές τιμές : άγνωστο, αιστεά, δεξιά, οn (δεξιά και αιστεά). Ανάλογα με το αποτέλεσμα που δίνει η SIDE(V,L) καθοίζονται οι τιμές των παακάτω συνατήσεων : LEFT(V,L) : είναι αληθής αν SIDE(V,L) είναι αιστεά ή οn. RIGHT(V,L) : είναι αληθής αν SIDE(V,L) είναι δεξιά ή οn. ΟΝ(V,L) : είναι αληθής αν SIDE(V,L) είναι οn. Επίσης υπάχει συγκεκιμένη οολογία για τις σχέσεις διάταξης που μποεί να υπάχουν ανάμεσα σε σημεία στο επίπεδο. Οι σχέσεις αυτές είναι οι εξής : n : σημαίνει «είναι βόεια από» και ισχύει, n, αν και μόνο αν s : σημαίνει «είναι νότια από» και ισχύει, s, αν και μόνο αν

15 e : σημαίνει «είναι ανατολικά από» και ισχύει, e, αν και μόνο αν w : σημαίνει «είναι δυτικά από» και ισχύει, w, αν και μόνο αν Σχήμα.7 Στο σχήμα.7 θεωούμε δύο ευθείες L και L και δύο κουφές V και V στο επίπεδο. Οι δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ τους και το σημείο τομής εισάγεται ως νέα κουφή στην τοπολογία. Για να βεθεί η τομή ακολουθείται η εξής διαδικασία :. Ελέγχεται αν ισχύουν οι συνατήσεις LEFT(V, L ), RIGHT(V,L ), LEFT(V, L ), RIGHT(V,L ). Αν ισχύουν οι συνατήσεις τότε συνεπάγεται ότι οι ευθείες τέμνονται, όπως φαίνεται και στο σχήμα.. Έστω Ι κουφή τέτοια ώστε IneV, δηλαδή I και I και IswV δηλαδή I και I. Αν ισχύουν και οι συνατήσεις ON(Ι, L ) και ON(Ι, L ) τότε το σημείο Ι είναι το σημείο τομής των ευθειών L, L.. Η κουφή Ι εισέχεται στον αλγόιθμο. Οι ευθείες L, L πέπει να τέμνονται μέσα στο οθογώνιο που σχηματίζεται με διαγώνια σημεία τις κουφές V και V, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Αν οι L και L αντικατασταθούν από -μονότονες καμπύλες, θα πέπει οι καμπύλες να τέμνονται επίσης μέσα στο ίδιο οθογώνιο. Η τομή ευθειών χησιμοποιώντας αιθμητική πεπεασμένης ακίβειας συνήθως καταλήγει σε αποτέλεσμα που ισχύει. Στην σπάνια πείπτωση που το υπολογιζόμενο σημείο τομής IC βίσκεται έξω από το οθογώνιο μια μική κατακόυφη ή οιζόντια μετατόπιση όπως φαίνεται στο σχήμα.8, θα το μεταφέει στο σημείο IR στο όιο του οθογωνίου. 5

16 Σχήμα.8 Όταν ολοκληωθεί ο αλγόιθμος Line resolution σε ένα σύνολο ευθειών, οι τιμές του SIDE(V,L) οίζουν μια τοπολογία. Για αυτή την τοπολογία υπάχουν -μονότονες καμπύλες που αντικαθιστούν τις ευθείες και οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες που απαιτούνται ποκειμένου να δημιουγηθεί μια διάταξη από μονότονες καμπύλες (Σχήμα.9). Σχήμα.9 Το αποτέλεσμα που ποκύπτει είναι μη ικανοποιητικό επειδή η μοφή τέτοιων καμπύλων, ποικίλει ανάλογα με τον ποσανατολισμό. Υπάχουν πειπτώσεις όπου οι καμπύλες τέμνονται πεισσότεο από μία φοά, οπότε αυτή την πείπτωση οι -μονότονες καμπύλες διαφέουν σημαντικά από τις ευθείες που υποτίθεται ότι μοντελοποιούν... Tile Highws Χησιμοποιώντας το σύστημα μοντελοποίησης των -μονότονων καμπύλων η συγκεκιμένη ποσέγγιση λύνει ένα διαφοοποιημένο πόβλημα (Hoffmn C., 989, []). 6

17 Κάθε ευθεία αντικαθίσταται από ένα ζεύγος παάλληλων ευθειών, η καθεμία από τις οποίες απέχει απόσταση ε ΑΜ από την αχική (Σχήμα.0). Σχήμα.0 Η τιμή ε ΑΜ είναι τουλάχιστον φοές το σφάλμα ε ΧΥΜ του συστήματος μοντελοποίησης - μονότονων καμπύλων. Η διάταξη που ποκύπτει είναι ένα σύνολο tile highws, ένας όος που ποέκυψε από την παατήηση ότι κάθε γαμμή έχει αντικατασταθεί από μια λωίδα η οποία κόβεται από άλλες λωίδες και επομένως δημιουγούνται στη λωίδα αυτή μικά πολύγωνα, τα οποία μοιάζουν με πλακάκια. Κάθε «πλακάκι» (tile) αναπαιστά μια πειοχή μέσα σε απόσταση ε ΑΜ από συγκεκιμένο υποσύνολο του L και επομένως η ύπαξη μιας κοινής πειοχής στις λωίδες των γαμμών L, L,, L k σημαίνει ότι υπάχει κουφή σε απόσταση μικότεη από ε ΑΜ από αυτές τις ευθείες. Για τις πειοχές-πλακάκια που υπάχουν στην ίδια λωίδα μιας ευθείας L μποεί να οιστεί μια μεική ταξινόμηση ως εξής : Έστω Α και Β οι δύο πειοχές και v το μοναδιαίο διάνυσμα παάλληλο στην ευθεία L. Αν κάθε κουφή του Β έχει μεγαλύτεο v από οποιαδήποτε διάνυσμα του Α τότε Β>Α..5 Μονοπάτια σε Tile Highws Για κάθε λωίδα μποεί να δημιουγηθεί ένα μονοπάτι που θα πηγαίνει από το ένα άκο στο άλλο. Το μονοπάτι αυτό είναι συμβολικό μιας και οι κουφές δεν έχουν καθοισμένη αιθμητική τοποθεσία. Ποκείμενου να δημιουγηθούν τέτοια μονοπάτια χησιμοποιούνται οι ακόλουθες πάξεις : Αχικά διαχωίζεται μια εσωτεική ακμή της λωίδας από μία νέα κουφή και στη συνέχεια ποστίθεται μια ακμή που ενώνει δύο τέτοιες κουφές που βίσκονται στο όιο ενός κοινού πλακιδίου. 7

18 Σχήμα. Τα μονοπάτια στις λωίδες πέπει να ικανοποιούν κάποιους κανόνες :. Ένα μονοπάτι δεν βγαίνει εκτός της λωίδας και διασχίζει το πλακίδιο Α πιν το πλακίδιο B αν και μόνο αν Α Β, σύμφωνα με την μεική ταξινόμηση που αναφέθηκε πααπάνω.. Το μονοπάτι δε διασχίζει κάποια κουφή πεισσότεο από μία φοά.. Το μονοπάτι δε διασχίζει τον εαυτό του. Τα μονοπάτια ανταποκίνονται στις ποσεγγίσεις των μονότονων καμπύλων και τα σημεία στα οποία τα μονοπάτια διασταυώνονται είναι οι κουφές της τοπολογίας. Όλες οι άλλες κουφές του tile highw αγνοούνται. Οι ακμές της τοπολογίας ενώνουν συνεχόμενες κουφές στα μονοπάτια...6 Συμπέασμα Μποούν να απαιθμηθούν ένα σύνολο από μονοπάτια που οδηγούν σε μοντέλα ποσεγγιστικών μονότονων καμπύλων. Όλα έχουν επίπεδη τοπολογία και ανάμεσα σε αυτά μποούν να επιλεγούν εκείνα που ικανοποιούν τη συνθήκη ότι δύο μονοπάτια δεν τέμνονται πεισσότεο από μία φοά όπως συμβαίνει και στις ευθείες, που δεν τέμνονται σε πεισσότεα από δύο σημεία. Ο συνδυασμός των δύο σταδίων της μεθόδου κυμμένων μεταβλητών μποεί να παάγει μια τοπολογική διάταξη που ικανοποιεί ένα σύνολο από χήσιμες γεωμετικές ιδιότητες και ελαχιστοποιεί την τοπολογική πολυπλοκότητα. 8

19 . Εφαμογή μετατοπίσεων (perturtions) στην είσοδο.. Η ποσότητα ε και οι πιθανές ασάφειες (egeneries) Στόχος της συγκεκιμένης μεθόδου είναι να αυξηθεί η δύναμη ενός τυχαίου αλγοίθμου που έχει σχεδιασθεί για είσοδο απαλλαγμένη από ασάφειες, έτσι ώστε να μποεί να εφαμοστεί για όλες τις εισόδους (Mehlhorn K. et l., 006, [7], Seiel R., 998, []).Ο τόπος για να επιτευχθεί αυτό είναι η διαφοοποίηση των τιμών εισόδου ποσθέτοντας σε αυτές μικές ποσότητες τέτοιες ώστε να απομακύνονται οι ασάφειες. Η ποσότητα ε θεωείται πολύ μική για ένα σύνολο R αν η επέκταση R(ε) ταξινομείται έτσι ώστε το ε να είναι θετικό αλλά μικότεο από κάθε θετικό στοιχείο του R. Το πόσημο κάθε πολυωνύμου του ε είναι το πόσημο του μη ανητικού όου με τον χαμηλότεο βαθμό. Οι ασάφειες σε ένα πόβλημα μποεί αν είναι δύο τύπων : εκ φύσεως και ποκληθείσες. Οι πώτες ποκύπτουν από τα στιγμιότυπα εισόδου στα οποία δεν αντιστοιχίζεται μια λύση. Σε αυτές τις πειπτώσεις κατά τη διάκεια εκτέλεσης του αλγοίθμου σε κάποια φάση η συνάτηση διακλάδωσης δεν οίζεται ή είναι μηδέν ενώ ο αλγόιθμος δεν παάγει καμία λύση για την πείπτωση αυτή. Η δεύτεη κατηγοία πειλαμβάνει όλες εκείνες τις ασάφειες οι οποίες δεν ανήκουν στην πώτη κατηγοία και στην παγματικότητα εισάγονται κατά τη διάκεια εκτέλεσης του αλγοίθμου. Όταν το στιγμιότυπο εισόδου δεν ανήκει σε κάποια τέτοια κατηγοία τότε βίσκεται σε γενική κατάσταση. Όπως είναι φυσικό το πεδίο οισμού του αλγοίθμου είναι το σύνολο όλων των εισόδων γενικής μοφής οι οποίες αποκλείουν τις ασάφειες... Οισμός του ποβλήματος Έστω ένα τυχαίο στιγμιότυπο εισόδου α(α,α,,α Ν ). Το νέο στιγμιότυπο α(ε) (α (ε),α (ε),,α Ν (ε)), οίζεται ποσθέτοντας σε κάθε α i ένα πολυώνυμο του ε. Μια έγκυη διαφοοποίηση του α, οίζει ένα νέο στιγμιότυπο α(ε), το οποίο βίσκεται σε γενική κατάσταση, τείνει στο α όσο το ε ποσεγγίζει το μηδέν και ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες : Αν το α είναι σε γενική κατάσταση, ο αλγόιθμος παάγει την ίδια έξοδο είτε τέχει στο α, είτε στο α(ε) και στο τέλος το ε τίθεται ίσο με μηδέν. Αν α είναι μια ποκληθείσα ασάφεια, τότε ο αλγόιθμος στο α(ε) επιστέφει μία έξοδο που είτε παάγει την ακιβή λύση θέτοντας ε0, ή τείνει στην ακιβή λύση καθώς ε τείνει στο μηδέν. Αν το α είναι ασαφές και κάποια υπόθεση από τις πααπάνω δεν ισχύει, τότε ο αλγόιθμος παάγει μια σωστή λύση για α(ε). 9

20 .. Διακλάδωση με βάση οίζουσα Οι αλγόιθμοι που εμφανίζονται σε αυτή τη μέθοδο παγματοποιούν τη διακλάδωση βασιζόμενοι αποκλειστικά στο πόσημο μιας οίζουσας των μεταβλητών εισόδου. Έστω ότι οι τιμές εισόδου αναπαιστούν n αντικείμενα εισόδου p, p,, p N και το καθένα οίζεται από πααμέτους. Έστω ότι κάθε p i (p i,, p i,,,p i, ) είναι ένα σημείο στο R. Αλλάζουμε εκ των ποτέων κάθε παάμετο p i,j για να πααχθεί η p i,j (ε), όπου το ε είναι μια μική συμβολική μεταβλητή. Ένα πόβλημα που μποεί να επιλυθεί με τον τόπο αυτό είναι ο έλεγχος της σχετικής θέσης σημείου ως πος υπεεπίπεδο, όπου το πόσημο μιας οίζουσας καθοίζει σε ποια πλευά του υπεεπιπέδου που καθοίζεται από σημεία βίσκεται ένα σημείο. Ο πίνακας για τον οποίον θα υπολογίσουμε την οίζουσα είναι : p p... p p p... p p p... p i, i, i, i, i, i, Λ i, i, i, Η οίζουσα του πίνακα χάνεται αν και μόνο αν το σημείο βίσκεται πάνω στο υπεεπίπεδο. Για να επιλυθεί αυτή η ασάφεια οίζεται ο νέος πίνακας Λ (ε), ο οποίος ποκύπτει αντικαθιστώντας στον πααπάνω πίνακα τις πααμέτους p i,j με τις αντίστοιχες διαφοοποιημένες p i,j (ε)p i,j ε(i j ). Υπολογίζοντας την οίζουσα του διαφοοποιημένου πίνακα ποκύπτει η θέση του σημείου ως πος το υπεεπίπεδο... Διακλάδωση με βάση τυχαία λογική συνάτηση Έστω f μια τυχαία λογική συνάτηση, της οποίας το πόσημο καθοίζει την κατεύθυνση που ακολουθείται σε μια διακλάδωση και εκφάζεται ως p/ όπου p, πολυώνυμα των μεταβλητών εισόδου. Έστω α(α, α,,α n ) ένα συγκεκιμένο στιγμιότυπο εισόδου. Το αντίστοιχο διαφοοποιημένο στιγμιότυπο είναι το α(ε)(α (ε),α (ε),,α n (ε)), όπου α i (ε)α i εr i, όπου ε μια πολύ μική συμβολική ποσότητα και r i ένας τυχαίος ακέαιος. Κάθε r i επιλέγεται από ένα εύος τιμών έτσι ώστε τα πολυώνυμα διακλάδωσης να μην χάνονται. Σε πείπτωση που η συγκεκιμένη επιλογή για το r i εξακολουθεί να ποκαλεί κάποιο πολυώνυμο διακλάδωσης να χάνεται, τότε η διαφοοποίηση έχει αποτύχει και επομένως ο αλγόιθμος πέπει να ξεκινήσει πάλι από την αχή επιλέγοντας άλλη τιμή από το ίδιο εύος τιμών. 0

21 ..5 Συμπέασμα Οι διαφοοποιήσεις ενός αλγοίθμου που παγματοποιούνται στα δεδομένα εισόδου, γίνονται με την υπόθεση ότι ένας αλγόιθμος που έχει σχεδιασθεί για να αποφεύγονται ασάφειες μποεί να εφαμοστεί σε όλες τις εισόδους. Μια έγκυη διαφοοποίηση που ικανοποιεί τις αντίστοιχες συνθήκες, εγγυάται τη σχετικότητα της εισόδου σε ότι αφοά το αχικό πόβλημα..5 Perturing the worl Για να είναι ένας γεωμετικός αλγόιθμος roust, μεγάλη ποσπάθεια πέπει να γίνει είτε για τον καθοισμό και τον έλεγχο για σωστή συμπειφοά σε ασαφείς πειπτώσεις, είτε για να εξαφανιστούν οι ασάφειες (Allie P. et l.,99, []). Ο συγκεκιμένος αλγόιθμος ακολουθεί συγκεκιμένες ενέγειες ποκειμένου να αποφύγει τέτοιου είδους ποβλήματα. Αχικά διαφοοποιείται το πόβλημα, δηλαδή αντί να επιλυθεί το αχικό πόβλημα σε μια ασαφή πείπτωση, αντιμετωπίζεται ένα στενά συσχετιζόμενο πόβλημα. Στη συνέχεια διαφοοποιείται ο κόσμος, δηλαδή επιλέγεται μια διαφοοποίηση της εισόδου και αποδεικνύεται ότι επιλύει όλες τις ασαφείς πειπτώσεις. Τέλος διαφοοποιείται ο κώδικας, δηλαδή εφαμόζονται έλεγχοι που χειίζονται ασαφείς πειπτώσεις σε σχέση με την διαφοοποίηση. Εφαμογή της συγκεκιμένης μεθόδου συναντάμε στην πείπτωση της δισδιάστατης Τιγωνοποίησης Delun. Στο πώτο βήμα ποκειμένου να απομακυνθούν ασάφειες από σημεία τα οποία δεν είναι συνευθειακά, μποεί να μετατοπιστούν οι συντεταγμένες με αποτέλεσμα αντί για κύκλο πειγεγαμμένο σε τία σημεία να υπάχει μία έλλειψη. Σε δεύτεη φάση αλλάζουν τα σημεία (p,p ) σε p (p εp, p ε p ε (p p )). Με την αλλαγή του p σε p για κάθε σημείο, απομακύνονται όλες οι ασάφειες για τον υπολογισμό της τιγωνοποίησης. Έστω για παάδειγμα ο έλεγχος συνευθειακότητας για τία σημεία p,, r. Η διαφοοποίηση ποκύπτει αλλάζοντας τα σημεία σε p,, r. Κάνοντας την αντικατάσταση των συντεταγμένων ποκύπτει ο υπολογισμός της εξής οίζουσας ( ) p p p p p p p p r r r r r r r r D ε ε ε Αν τα p,, r δεν είναι συνευθειακά το πόσημο της D δίνεται από το πόσημο της πώτης οίζουσας όσο ε0. Αν τα p,, r είναι συνευθειακά, η πώτη οίζουσα είναι μηδέν. Θα πέπει να μην είναι ταυτόχονα και οι άλλες δύο μηδέν. Πάγματι αν ανεβάσουμε τα τία σημεία στο πααβολοειδές για παάδειγμα p * (p, p, p p ), τότε τα p *, *, r * οίζουν ένα

22 επίπεδο στον τισδιάστατο χώο. Αν η πώτη οίζουσα είναι μηδέν το επίπεδο είναι κατακόυφο. Αν η δεύτεη οίζουσα είναι μηδέν το επίπεδο είναι παάλληλο πος τον άξονα και αν η τίτη είναι μηδέν τότε είναι παάλληλο πος τον άξονα. Επειδή όμως δεν μποούν να είναι ταυτόχονα συνευθειακά πος όλους τους άξονες, η οίζουσα δεν είναι μηδέν εκτός αν δύο σημεία είναι ίδια.

23 . Διατάξεις κύκλων. Εισαγωγή Έστω ένα σύνολο C από κύκλους στο επίπεδο. Στόχος είναι η διάταξη των κύκλων χησιμοποιώντας αιθμητική κινητής υποδιαστολής (Hlperin D. et l, 00, []). Χησιμοποιώντας ελεγχόμενη μετατόπιση μποούμε να μετακινήσουμε ελαφώς τα κέντα των κύκλων και να ποκύψει το σύνολο C, έτσι ώστε όλα τα κατηγοήματα που εμφανίζονται κατά την τοποθέτηση των κύκλων Α(C) να υπολογίζονται με ακίβεια και η Α(C ) που ποκύπτει να μην έχει ασάφειες. Η είσοδος βίσκεται σε γενική θέση κατά την τοποθέτηση κύκλων στο επίπεδο όταν δεν υπάχει εσωτεική ή εξωτεική εφαπτομένη κοινή ανάμεσα σε δύο κύκλους και όταν δεν υπάχουν τεις κύκλοι που τέμνονται στο ίδιο σημείο. Σχήμα. Η κατασκευή του αλγοίθμου πειλαμβάνει τη διαδοχική εισαγωγή κύκλων στο μέχι στιγμής υπάχον σύνολο κύκλων. Κατά την εισαγωγή ενός νέου κύκλου, ελέγχεται αν είναι πιθανό να παουσιάσει μια ασάφεια. Σε αυτή την πείπτωση μετακινείται το κέντο του κύκλου έτσι ώστε να αποφευχθεί η εμφάνιση ασαφειών. Ο βασικός στόχος είναι η μετακίνηση του κύκλου να είναι τέτοια ώστε να αποφευχθούν ασάφειες, αλλά να μη διαφοοποιηθεί το πόβλημα.. Όια στους υπολογισμούς Μια ασάφεια μποεί να συμβεί όταν ένα κατηγόημα εκτιμάται σε τιμή μηδέν. Ο στόχος της μετατόπισης είναι να γίνουν όλες οι τιμές των κατηγοημάτων διάφοες του μηδενός έτσι ώστε να μποεί να καθοιστεί αν είναι θετικές ή ανητικές. Αναζητούμε μια

24 απόσταση ε τέτοια ώστε όταν μετακινηθεί ο ένας κύκλος σε σχέση με τον άλλο, να μποούμε με ασφάλεια να καθοίσουμε το πόσημο του κατηγοήματος. Η τιμή ε ονομάζεται resolution oun και αντιστοιχεί στο όιο της ελάχιστης απαιτούμενης απόστασης διαχωισμού. Αν η απόσταση διαχωισμού είναι μικότεη από ε τότε υπάχει πιθανότητα να υπάξει ασάφεια. Η απόσταση αυτή δηλαδή είναι η ελάχιστη που χειάζεται για να χωίζονται δύο κύκλοι ή ένας κύκλος και η τομή δύο άλλων ή τα κέντα δύο κύκλων. Έστω ότι ποστίθεται ο κύκλος C i, στο σύνολο C i- των κύκλων που υπάχουν μέχι στιγμής. Η εισαγωγή αυτή μποεί να ποκαλέσει πολλές ασάφειες στους κύκλους του συνόλου. Η μετατόπιση του κύκλου κατά ε μακιά από μία ασάφεια μποεί να το οδηγήσει πιο κοντά σε άλλες ασάφειες. Για αυτό χησιμοποιείται και άλλο ένα όιο δ. Το δ ονομάζεται όιο μετατόπισης και εξατάται από το ε, τη μέγιστη ακτίνα του κύκλου του συνόλου C και από μία παάμετο πυκνότητας k της εισόδου, η οποία θέτει όιο στον αιθμό των κύκλων που βίσκονται στην γειτονιά οποιουδήποτε κύκλου και μποεί να τον επηεάσουν κατά τη διάκεια της διαδικασίας.. Τύποι ασαφειών για διάταξη κύκλων Υπάχουν τέσσεις τύποι ασαφειών:. Μια κοινή εξωτεική εφαπτομένη ανάμεσα σε δύο κύκλους. Μία κοινή εσωτεική εφαπτομένη ανάμεσα σε δύο κύκλους. Τομή τιών κύκλων στο ίδιο σημείο. Η απόσταση μεταξύ των κέντων δύο τεμνόμενων κύκλων είναι πολύ μική. Οι τέσσεις τύποι ασαφειών οίζουν μία απαγοευμένη πειοχή για το κέντο του νεοεισεχόμενου κύκλου, στην οποία δεν μποεί να τοποθετηθεί γιατί θα ποκληθεί ασάφεια. Έστω F, F, F, F οι απαγοευμένες πειοχές που ποκύπτουν αντίστοιχα από τις ασάφειες τύπου,,,. Επίσης θεωούμε ως ij την απόσταση ανάμεσα στα κέντα των C i και C j... Ασάφεια τύπου Η πειοχή F αποτελείται από τοποθετήσεις του κέντου του κύκλου C i τέτοιες ώστε μια εξωτεική εφαπτομένη του C i να είναι κοινή με την εφαπτομένη ενός άλλου κύκλου. Έστω ο κύκλος C j όπως φαίνεται στο σχήμα.. Η ασάφεια εισάγεται αν το κέντο του κύκλου C i εισαχθεί σε απόσταση ακιβώς R i R j από το κέντο του κύκλου C j επομένως R ij j R i 0. Ποκειμένου να αποφευχθεί η ασάφεια η τοποθέτηση του κέντου του C i πέπει να είναι τέτοια ώστε να βίσκεται εκτός του οίου ε ij R i R j ε, δηλαδή σε

25 Σχήμα. οποιοδήποτε σημείο εκτός του δακτυλίου με κέντο, το κέντο του C j και ακτίνες R i R j -ε, R i R j ε. Η απαγοευμένη πειοχή F ποκύπτει ότι είναι π [( R R ε ) ( R R ε ) ] π ( R R ) ε i j i j i j.. Ασάφεια τύπου Η πειοχή F αποτελείται από τοποθετήσεις του κέντου του κύκλου C i τέτοιες ώστε μια εσωτεική εφαπτομένη του C i να είναι κοινή με την εφαπτομένη ενός άλλου κύκλου. Σχήμα. 5

26 Έστω ο κύκλος C j όπως φαίνεται στο σχήμα.. Η ασάφεια εισάγεται αν το κέντο του κύκλου C i εισαχθεί σε απόσταση ακιβώς R j -R i από το κέντο του κύκλου C j επομένως R ij j R i 0. Για να αποφευχθεί η ασάφεια, η τοποθέτηση του κέντου του C i πέπει να είναι τέτοια ώστε να βίσκεται εκτός του ε ij R R ε δηλαδή σε οποιοδήποτε j i σημείο του δακτυλίου με κέντο, το κέντο του C j και ακτίνες R i -R j -ε, R i -R j ε. Η πειοχή F [ R ] π ( R R ) ε ποκύπτει ότι είναι π ( R ε ) ( R R ε ) j i j i j i.. Ασάφεια τύπου Η πειοχή F αποτελείται από τοποθετήσεις του κέντου του κύκλου C i στους δακτυλίους που δημιουγούνται με κέντο τα σημεία τομής των κύκλων C j και C k και ακτίνες R i -ε και R i ε. Σχήμα. Στο σχήμα. φαίνεται η απαγοευμένη πειοχή η οποία είναι [( R ε ) ( R ε ) ] r( C C ) π R ε r( C C ) π i i j k i j k 6

27 .. Ασάφεια τύπου Η πειοχή F αποτελείται από τοποθετήσεις του κέντου του κύκλου C i τέτοιες ώστε τα δύο κέντα να απέχουν απόσταση το πολύ ε. Η πειοχή είναι ένας κύκλος με κέντο το κέντο του C j και ακτίνα ε, δηλαδή πε. Σχήμα.5. Υπολογισμός του οίου δ Έστω ένα σύνολο C από n κύκλους, m Ri και έστω k δηλώνει την παάμετο n R i πυκνότητας του C. Υπάχουν το πολύ k κύκλοι που οίζουν την πειοχή των F και F, k σημεία που οίζουν την πειοχή F και k σημεία που οίζουν την πειοχή F. Μεγιστοποιώντας τις απαγοευμένες πειοχές F,, F θέτουμε όπου R i R j R. Έτσι ποκύπτει V ( F F ) k ( π ( R R) ε π ( R 0) ε ) k π R ε για την k k R 8 R k R για την πειοχή των F και F, ( ) π ε π ε π ε πειοχή F και ( ) πειοχής είναι VF V F k π ε V F για την πειοχή F. Επομένως το όιο της απαγοευμένης ( F ) π k R ε π k R ε k π ε π k ε ( R k R ε ) U i i Αν ο C i έπεπε να μετακινηθεί τότε το δ θα όιζε ένα δίσκο D δ στον οποίο το κέντο μποεί να μετακινηθεί. Θέλουμε η πειοχή αυτού του δίσκου να είναι τουλάχιστον διπλάσια 7

28 της απαγοευμένης πειοχής. Επομένως με πιθανότητα / ένα σημείο μποεί να επιλεγεί τυχαία μέσα στο D δ που αποτελεί μια έγκυη μετατόπιση για το C i. Άα απαιτούμε να ισχύει ( R k R ε ) δ > k ε ( R k R ε ) π δ VF π δ π k ε.5 Αλγόιθμος Έστω ένα σύνολο C από n κύκλους C,, C n. Ο αλγόιθμος για την μετατόπιση ακολουθεί τα παακάτω βήματα :. Υπολογισμός ε, δ και του συνόλου C {C }. Για όλα τα C i, i, n. θέσε C i C i.. έλεγξε τον C i σε σχέση με όλους τους ποηγούμενους κύκλους που έχουν εισαχθεί καθώς και τα σημεία τομής τους. Αν δεν ποκύπτει ασάφεια πήγαινε στο βήμα θέσε C i C i. ( αποκατάσταση της αχικής θέσης) 6. μετακίνησε το κέντο του κύκλου C i τυχαία, κατά μία απόσταση δ και πήγαινε στο βήμα ' 7. C ' { } C ' i C i i 8. ανέφεε τους κύκλους στο C n. Η εφαμογή του αλγοίθμου γίνεται χησιμοποιώντας δυαδικά δέντα και k-δέντο. Το k-δέντο πειέχει τους κύκλους που έχουν ήδη εισαχθεί στη διάταξη. Το δέντο αυτό κατασκευάζεται από τις συντεταγμένες των κέντων των κύκλων που βίσκονται στο σύνολο C i-. Όταν ποσθέτουμε τον κύκλο C i ελέγχουμε για ασάφειες σε σχέση με τους κύκλους του k-δέντου των οποίων τα κέντα είναι στο εύος R i Rm i m R και i Rm i, όπου R m m(r j,j,..i). Οι κύκλοι που έχουν κέντα έξω από αυτό το εύος δεν μποούν να βεθούν στην ασαφή κατάσταση σε σχέση με το C i. Έστω C j ένας κύκλος της διάταξης, Pi_j τα σημεία τομής του κύκλου με γειτονικούς του κύκλους και Τ οι τέσσεις πειοχές που χωίζεται ο κύκλος, όπως φαίνεται στο σχήμα.6 που ακολουθεί. m 8

29 Σχήμα.6 Για κάθε μία από τις τέσσεις πειοχές (T upper, T right, T lower, T left ) κατασκευάζεται ένα δυαδικό δέντο με τα σημεία τομής που υπάχουν στο συγκεκιμένο τόξο. Δηλαδή για το upper δυαδικό δέντο τα σημεία τομής που πειλαμβάνονται σε αυτό, είναι όσα έχουν R j R j j Pk _ j j και Pk _ j > j. Η συντεταγμένη χησιμοποιείται ως κλειδί για το δυαδικό δέντο. Αντίστοιχα κατασκευάζονται τα lower, left, right δυαδικά δέντα. Όταν εισάγουμε ένα νέο κύκλο C i ελέγχουμε με ποιους από τους υπάχοντες κύκλους τέμνεται. Έστω ένα σημείο P το οποίο αποτελεί σημείο τομής των C i και C j, θέλουμε να το εισάγουμε στα κατάλληλα δέντα των δύο κύκλων. Ελέγχουμε σε ποιο από τα τέσσεα δέντα του κάθε κύκλου πέπει να μπει και έπειτα ελέγχουμε για ασάφεια τύπου, δηλαδή αν υπάχουν τεις κύκλοι που τέμνονται στο ίδιο σημείο. Ο έλεγχος αυτός γίνεται συγκίνοντας το Ρ με τα γειτονικά του σημεία. Αν το Ρ αποτελεί αιστεότεο / δεξιότεο φύλλο ενός δέντου, το ελέγχουμε με το δεξιότεο / αιστεότεο φύλλο του γειτονικού δέντου του Τ που γειτνιάζει με το Ρ. Αν ένα σημείο Ρ είναι επακώς μακιά από τους γείτονές του, τότε είναι μακιά και από όλα τα άλλα σημεία τομής που ανήκουν στο δέντο που ανήκει το Ρ. 9

30 .6 Παάδειγμα Έστω μια διάταξη 7 κύκλων όπως φαίνεται στο σχήμα.7 Σχήμα.7 Για κάθε ένα από τους κύκλους σημειώνονται οι τέσσεις πειοχές στις οποίες χωίζεται καθώς επίσης και η σειά με την οποία έχει εισέθει στη διάταξη (σχήμα.8) 0

31 C C7 C5 C6 C C C C C C7 C6 C5 C9 C C C0 C8 Σχήμα.8 Θα σχηματίσουμε αχικά το k-δέντο το οποίο πειλαμβάνει τα κέντα των κύκλων. Θεωούμε για χάιν ευκολίας ότι το κέντο κάθε κύκλου C i είναι ένα σημείο με ονομασία C i. Για τα σημεία που υπάχουν τη δεδομένη στιγμή στη διάταξη θα ταξινομήσουμε αχικά ως πος, οπότε ποκύπτει η εξής σειά : { C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C C } , Στη συνέχεια ταξινομούμε τα σημεία ως πος { C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, C C } , Βίσκουμε ως πος το μεσαίο σημείο που είναι το C, επομένως φέουμε μια ευθεία // που διέχεται από το σημείο C. Τα σημεία διαιούνται σε δύο ημιεπίπεδα και ζητάμε την επιμέους ταξινόμηση ως πος για τα δύο αυτά υποσύνολα. Για το αιστεό ημιεπίπεδο ποκύπτει { C, C, C, C, C, C, C C } και για το δεξί {, C, C, C, C, C, C C } , C , Το μεσαίο ως πος για τα δύο υποσύνολα είναι το C 5 και C αντίστοιχα, επομένως φέουμε ευθείες // στα σημεία αυτά. Για τα υποσύνολα που ποκύπτουν η ταξινόμηση ως πος είναι : { C, C, C C }, { C, C, C C }, { C, C C } και { C, C C }, 7 5 6, 7 6, 0 9 8, 5. Τα μεσαία ως πος για τα τέσσεα σύνολα είναι τα C, C, C 6 και C 8 αντίστοιχα, επομένως φέουμε ευθείες // στα σημεία αυτά. Από τον επιμέους χωισμό των υποσυνόλων ποκύπτουν

32 σύνολα ενός στοιχείου, δηλαδή τα σύνολα C, C 5, C 7, C 0, C 9, C, στα οποία φέουμε ευθείες // και τα σύνολα { C,C 7 } και { C,C 6 } όπου τα μεσαία στοιχεία είναι τα C και C για τα οποία λειτουγούμε ανάλογα, δηλαδή με ευθείες //. Τέλος στα σημεία C 7 και C 6 φέουμε ευθείες //. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο σχήμα.9. Σχήμα.9 Για τα κέντα των κύκλων το k-δέντο που ποκύπτει είναι το εξής : Για κάθε έναν από τους κύκλους κατασκευάζουμε τέσσεα δυαδικά δέντα που πειέχουν τις τομές τους με τους άλλους κύκλους. Κάθε φοά που εισάγεται ένας κύκλος και

33 βίσκονται οι τομές, τα σημεία τομής εισέχονται στα κατάλληλα δένδα των δύο κύκλων. Ας πάουμε ως παάδειγμα την πείπτωση εισαγωγής του κύκλου C ο οποίος τέμνει μεταξύ άλλων και τους κύκλους C και C 9. Στο σχήμα.0 φαίνονται σε μεγέθυνση τα σημεία τομής. C P5_ C P_P_ C C7 C6 C C5 C C9 C P_ P_ P_9 P_P6_ P_9P5_ P_9 C C0 C8 C9 P_ P_9P_ P_ P6_9 P5_9 Σχήμα.0 Το T right δέντο του κύκλου C 9 πειλαμβάνει μόνο ένα σημείο το Ρ_9, μέχι την εισαγωγή του κύκλου C.Μετά την εισαγωγή βίσκεται το νέο σημείο τομής οπότε αλλάζει το συγκεκιμένο δέντο καθώς εισάγεται ένας επιπλέον κόμβος. Με κάθε εισαγωγή κύκλου αναποσαμόζονται τα δέντα των κύκλων που πειέχουν νέα σημεία τομής. Όταν έχουν εισαχθεί και οι 7 κύκλοι για κάθε έναν από αυτούς έχουν δημιουγηθεί με ανάλογο τόπο όλα τα δένδα τους. Επίσης μέχι στιγμής δεν έχουν παατηηθεί ασάφειες. Στο σχήμα. γίνεται η εισαγωγή του κύκλου C 8.

34 Σχήμα. Κατά την εισαγωγή παατηούμε ότι εμφανίζεται ασάφεια τύπου, δηλαδή τεις κύκλοι (C, C 7, C 8 ) έχουν κοινό σημείο τομής. Θα πέπει λοιπόν να μετακινηθεί το κέντο του νέου κύκλου έτσι ώστε να αποφευχθεί η ασάφεια. Ανατέχοντας στην αντίστοιχη ενότητα, διαπιστώνουμε ότι η απαγοευμένη πειοχή για το κέντο του κύκλου είναι ο δακτύλιος που δημιουγείται με κέντο το σημεία τομής των κύκλων (C, C 7, C 8 ) και ακτίνες R 8 -ε και R 8 ε. Το κάτω όιο του ε ποκύπτει μέσα από την απαγοευμένη πειοχή και επομένως θεωείται δεδομένο. Η επιλογή της νέας θέσης του κέντου του κύκλου είναι τυχαία και ο μόνος πειοισμός είναι να μη βίσκεται μέσα στο συγκεκιμένο δακτύλιο αλλά και να μην απέχει απόσταση μεγαλύτεη από δ (όιο μετατόπισης) από την αχική του θέση.

35 Σχήμα. Εστιάζοντας στους κύκλους που συμμετέχουν στην ασάφεια παατηούμε στο σχήμα. ότι με μπλε χώμα αναπαίσταται ο κύκλος C 8 που ποκαλεί την ασάφεια ενώ με κόκκινο χώμα ο μετατοπισμένος κύκλος C 8. Ο δακτύλιος F είναι η απαγοευμένη πειοχή για το κέντο του κύκλου και σχηματίζεται έχοντας ως κέντο το σημείο τομής των τιών κύκλων. Μεταφέοντας το κέντο του κύκλου έξω από την πειοχή F ουσιαστικά αποφεύχθηκε η ασάφεια, αφού οι τεις κύκλοι δεν τέμνονται πλέον. 5

36 . Τεχνικές non-perturing. Βαθμός αλγοίθμου Οι αιθμητικοί υπολογισμοί ενός αλγοίθμου είναι δύο τύπων : tests (preites) και onstrutions (Boissonnt J. et l., 997, []). Τα tests σχετίζονται με αποφάσεις διακλάδωσης που καθοίζουν την οή ελέγχου ενώ οι onstrutions χησιμεύουν για να παάγουν τα δεδομένα εξόδου του αλγοίθμου. Οι ποσεγγίσεις στην πείπτωση των onstrutions θεωούνται αποδεκτές ενώ στην πείπτωση των tests μποεί να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα. Επομένως οι γεωμετικοί αλγόιθμοι πέπει να χαακτηιστούν με βάση την πολυπλοκότητα των υπολογισμών των tests. Κάθε τέτοιος υπολογισμός αντιστοιχεί στην εκτίμηση του ποσήμου μιας αλγεβικής έκφασης των μεταβλητών εισόδου, η οποία κατασκευάζεται χησιμοποιώντας ένα σύνολο τελεστών όπως οι, -,,, Ως primitive vrile θεωούμε κάθε μεταβλητή εισόδου για κάποιον αλγόιθμο και θεωούμε ότι έχει αιθμητικό βαθμό. Ο αιθμητικός βαθμός μιας πολυωνυμικής έκφασης είναι ο κοινός αιθμητικός βαθμός των μονωνύμων της. Ο αιθμητικός βαθμός ενός μονωνύμου είναι το άθοισμα των αιθμητικών βαθμών των μεταβλητών του. Ένας αλγόιθμος έχει βαθμό, αν οι υπολογισμοί των test συμπειλαμβάνουν την εκτίμηση πολυωνύμων πολλών μεταβλητών με αιθμητικό βαθμό το πολύ. Ένα πόβλημα έχει βαθμό αν υπάχει κάποιος αλγόιθμος που το λύνει με βαθμό.. Κανόνες Μία απλή τυποποίηση η οποία μας επιτέπει να εκτιμήσουμε γήγοα το βαθμό ενός πολυωνύμου πολλών μεταβλητών και η οποία μοναδικά καθοίζει το πόσημο της αχικής αλγεβικής έκφασης γίνεται με τη βοήθεια των Rewriting rules. Οι όοι που χησιμοποιούνται στους κανόνες αυτούς είναι δύο τύπων : generi και speifi. Οι generi όοι έχουν τη μοφή α s και αναπαιστούν ένα πολυώνυμο πολλών μεταβλητών, βαθμού s επί των primitive μεταβλητών. Οι speifi όοι έχουν τη μοφή j, για κάποιον ακέαιο δείκτη j και αναπαιστούν μία έκφαση που πειλαμβάνει τους τελεστές {, -,,, }. Σύμφωνα με τους Rewriting rules, η μοφή των οποίων είναι A B, το πόσημο του Α καθοίζεται μοναδικά από το πόσημο του Β. Υπάχουν επτά κανόνες :. Γενίκευση : ένας speifi term j που είναι γνωστό ότι αποτελεί πολυώνυμο βαθμού s με primitive vriles μποεί να γαφεί j. Κανόνας γινομένου : το γινόμενο δύο πολυωνύμων δίνει πολυώνυμο με βαθμό, το άθοισμα των βαθμών των δύο πολυωνύμων s s r s r 6

37 . Κανόνας αθοίσματος : το άθοισμα πολυωνύμων ίδιου βαθμού μας δίνει πολυώνυμο ίδιου βαθμού s s s s s. Κανόνας ποσήμου : το γινόμενο πολυωνύμου με - δεν επηεάζει το βαθμό j h j ± h 5. ± Ο μέγιστος βαθμός της έκφασης ποκύπτει όταν ο παανομαστής i i i είναι ελάχιστος ( Δεδομένο : βαθμός αιθμητή βαθμός παανομαστή), επομένως ± j i h ±, άα ο βαθμός καθοίζεται από το δεύτεο σκέλος. i k i k j j h j k ± h i ± h Ο μέγιστος βαθμός της έκφασης ποκύπτει όταν ο παανομαστής είναι ελάχιστος ( Δεδομένο : βαθμός αιθμητή βαθμός παανομαστή), επομένως σκέλος. ± j k h i ± i j i j i k ±, άα ο βαθμός καθοίζεται από το δεύτεο j k h i Αν 0 i j i j i j Αν 0 i j i j i j Για να ποσδιοίσουμε το πόσημο του αιστεού μέλους ακεί να ποσδιοίσουμε το πόσημο του δεξιού.. Γεωμετικά ποβλήματα Με τη βοήθεια της τυποποίησης που δόθηκε ποηγουμένως μποούμε να αναλύσουμε το βαθμό κάποιων γεωμετικών ελέγχων που απαντούν σε βασικές εωτήσεις εγγύτητας... Έλεγχος απόστασης σημείου από ευθείες Καθοίζει αν ένα σημείο είναι πιο κοντά στην ευθεία ε ή στην ευθεία ε 7

38 Έστω οι εξισώσεις των ευθειών ε : 0 ε : 0 Οι αποστάσεις του σημείου από τις ευθείες είναι (, ε ) (, ε ) Ακεί να ποσδιοίσουμε αν ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) Όμοια για την ευθεία ε. Άα (, ) (, ), >,,, > 0 (6) (7) ε ε Επομένως ο έλεγχος αν ένα σημείο είναι πιο κοντά στην ευθεία ε ή στην ε είναι βαθμού 6... Έλεγχος απόστασης σημείου από σημείο και ευθεία Καθοίζει αν ένα σημείο είναι πιο κοντά στην ευθεία r ή στο σημείο p. Έστω η εξίσωση της ευθείας r: 0 Οι αποστάσεις του σημείου από την ευθεία και το σημείο είναι (, ) r (, ) ( p) ( p) p Ακεί να ποσδιοίσουμε αν ( r) ( p) ( r) ( p), >,,, > 0 8

39 (, r) (, p) (,) (5) (7) Επομένως ο έλεγχος αν ένα σημείο είναι πιο κοντά στην ευθεία ε ή στο σημείο p είναι βαθμού... Έλεγχος απόστασης σημείου από σημεία Καθοίζει αν ένα σημείο r είναι πιο κοντά στο σημείο p ή στο. Οι αποστάσεις του σημείου r από τα σημεία είναι (, ) ( r p) ( r p) r p (, ) ( r ) ( r ) r Ακεί να ποσδιοίσουμε αν ( r p) ( r ) ( r p) ( r ) (, ) (, ), >,,, > 0 (7) r p r Επομένως ο έλεγχος αν ένα σημείο είναι πιο κοντά στο σημείο p ή στο σημείο είναι βαθμού... Έλεγχος θέσης σημείου ως πος κύκλο Καθοίζει αν ένα σημείο (, ) βίσκεται στο εσωτεικό ενός κύκλου στην πείμετο του οποίου ανήκουν τα σημεία p, p, p. 9

40 D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α Επομένως ο έλεγχος αν ένα σημείο βίσκεται στο εσωτεικό ή στο εξωτεικό ενός κύκλου που καθοίζεται από τα σημεία p, p, p είναι βαθμού. 0

41 5. Sweep line lgorithms 5. Κατηγοήματα Θεωούμε κάθε δεδομένο εισόδου ως μία μεταβλητή. Ένα πωτεύον κατηγόημα (elementr preite) είναι το πόσημο -, 0 ή ενός ομογενούς πολυωνύμου πολλών μεταβλητών του οποίου τα rguments είναι ένα υποσύνολο των μεταβλητών εισόδου. Ένα κατηγόημα είναι μια λογική συνάτηση από πωτεύοντα κατηγοήματα. Ο βαθμός του είναι ο μέγιστος των βαθμών αυτών (Boissonnt J. et l., 997, []). Έστω Ρ είναι ένα κατηγόημα (πολυώνυμο) βαθμού. Αγνοούμε το μέγεθος των συντελεστών του Ρ επειδή είναι τυπικά μικές σταθεές. Αν τα δεδομένα εισόδου είναι -it ακέαιοι το μέγεθος κάθε μονώνυμου έχει άνω όιο το. Στα κατηγοήματα που αναλύονται στη συνέχεια ως Α i θεωούμε το άκο ενός ευθύγαμμου τμήματος, [Α i A j ] το ευθύγαμμο τμήμα που έχει άκα τα Α i, A j και (Α i A j ) την ευθεία που πειέχει το ευθύγαμμο τμήμα [Α i A j ]. Κατηγόημα : Ελέγχει τις τετμημένες δύο σημείων ποκειμένου να ταξινομήσει τα σημεία σύμφωνα με την -συντεταγμένη τους. A A 0< 0 < 0 < 0 ου βαθμού Κατηγόημα : Ελέγχει τη θέση ενός σημείου σε σχέση με μια ευθεία, αν βίσκεται δηλαδή πάνω ή κάτω από την ευθεία. 0 A0 < ( AA ) orient( A0AA ) 0 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ου βαθμού Κατηγόημα : Συγκίνει την τετμημένη ενός σημείου με την τετμημένη ενός σημείου τομής δύο ευθυγάμμων τμημάτων. [ ] [ ] A < AA AA 0 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) orient A A A I AA AA A A A Orient A A A A ( ) ( ) ( ) orient A A A < A0 A A A Orient A A A A