Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ"

Transcript

1 Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

2 Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα. ηλαδή εκφράζου τη κατά µέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω. Τα πιο συηθισµέα µέτρα που χρησιµοποιούται µόο για ποσοτικές µεταβλητές είαι ο αριθµητικός µέσος ή µέση τιµή και η διάµεσος. Α Μέση Τιµή σε διακριτή µεταβλητή Έστω η µεταβλητή Χ µε παρατηρήσεις τις t, t,..., t και τιµές Ορίζουµε σα µέση τιµή αυτώ το πηλίκο Ας προσέξουµε και x,x,..., xκ, κ µε απόλυτες συχότητες τις,,..., κ t + t t x = = t = και σχετικές συχότητες τις = = t Σt = Σt = f,f,..., fκ τη πιο κάτω χρήσιµη έκφραση µε τη βοήθεια τω τιµώ και τω συχοτήτω τους. x κ κ κ x + x xκκ = Είαι x = = = x = x = κ = = = x f, κ

3 Παρουσίαση 3 Έας καθηγητής για α συγκρίει δύο διαφορετικά τµήµατα Α και Β της ίδιας τάξης, ως προς τη επίδοσή τους σε έα µάθηµα, πήρε τυχαία µαθητές από κάθε τµήµα. Η βαθµολογία τους στο µάθηµα αυτό ήτα: Τµήµα Α : Τµήµα Β : Η µέση τιµή τω βαθµώ στο τµήµα Α µε βαθµούς: 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, είαι x A = = 4, Μπορούµε και µε το τύπο x A = = 4, 8 Η µέση τιµή τω βαθµώ στο τµήµα Β µε βαθµούς: 8,,,, 4, 6, 0, 0, 0, είαι x Β = = 4, Μπορούµε και µε το τύπο x Β = = 4, 8 Παρατηρούµε ότι η βαθµολογία και τω δύο τµηµάτω είαι συγκετρωµέη γύρω από στο 5 και το δεύτερο τµήµα παρουσιάζει µεγαλύτερη διασπορά βαθµώ από το πρώτο. ηλαδή οι βαθµοί του Β τµήµατος είαι περισσότερο διασκορπισµέοι γύρω από µια κετρική τιµή, σε σχέση µε τους βαθµούς του Α τµήµατος. Η µέση τιµή από µόη της δε δίει και σηµατικές πληροφορίες αφού δύο δείγµατα µε το ίδιο µέσο όρο, µπορεί α συµπεριφέροται διαφορετικά. Έστω ο διπλαός πίακας συχοτήτω που δίει τη καταοµή του χρόου t (σε sec) 40 µαθητώ που χρειάστηκα για α τρέξου µια δεδοµέη απόσταση. Να αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω παρατηρήσεω είαι 7, 5 x

4 Παρουσίαση 4 Β Σταθµικός µέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα ή έµφαση στις τιµές x ατί της µέσης τιµής, x,..., x χρησιµοποιούµε το σταθµισµέο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο. Α σε κάθε τιµή x, x,..., x, δώσουµε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται µε τους λεγόµεους συτελεστές βαρύτητας w τότε ο σταθµικός µέσος x w + x w βρίσκεται από το τύπο x = w + w x w w = = = x w w, w,..., w Έστω ο υποψήφιος µαθητής του πιο κάτω παραδείγµατος. Γεικός Βαθµ ός πρόσβασης 8, 8, x 8 = 45,6 Μαθηµ ατικά Κατεύθυσης ο Μάθηµ α αυξηµ έης βαρύτητας 7 7 x,3 =, Μαθηµ ατικά Γεικής παιδείας ο Μάθηµ α αυξηµ έης βαρύτητας 8 8 x 0,7 =,6 Τελικός Μ έσος όρος 45,6 +, +,6 = 80,3 80,3 x 0 = Είαι x = 8, και w = 8, οπότε w 45, 6 x = x = 7 και w =, 3, οπότε w, x = x 3 = 8 και w 3 = 0, 7, οπότε w, 6 x 3 3 = x w + xw + x3w3 45,6+,+,6 80,3 Ο σταθµικός µέσος είαι x = = = = 8, 03 w + w + w 8 +,3+ 0,7 3 Να βρείτε το σταθµικό µέσο εός µαθητή µε βαθµό πρόσβασης 8 πρώτο µάθηµα βαρύτητας, βαθµού8 και δεύτερο µάθηµα βαρύτητας, βαθµού 0

5 Παρουσίαση 5 Γ Μέση Τιµή σε συεχή µεταβλητή Για α βρούµε τη µέση τιµή σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα, χρησιµοποιούµε σα τιµές, τις κετρικές τιµές. Έστω ο παρακάτω πίακας που δείχει το ύψος σε cm µιας οµάδας παιδιώ Η µέση τιµή τω πιο πάω παρατηρήσεω t + t + t t είαι x = = = = 0, Για ευκολότερο όµως υπολογισµό οµαδοποιούµε τα δεδοµέα για παράδειγµα σε 4 ισοπλατείς κλάσεις όπως φαίεται πιο κάτω. Κλάσεις [ - ) Κετρικές τιµ ές x Συχότητα [ 0, ) [, 0) [ 0, 30) [ 30, 40) x Η µέση τιµή θα είαι x x = = = = cm Παρατηρούµε ότι οι δύο µέσες τιµές που βρήκαµε διαφέρου µεταξύ τους. Η διαφορά αυτή οφείλεται στο γεγοός ότι κατά τη οµαδοποίηση, υποθέσαµε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι οµοιόµορφα καταεµηµέες και ότι οι τιµές σε κάθε κλάση εκπροσωπούται από τη ατίστοιχη κετρική τιµή x Αυτό φυσικά σηµαίει απώλεια πληροφοριώ, αλλά απλούστευση διαδικασιώ. Να βρείτε το µέσο όρο τω βαθµώ εός τµήµατος µε επιδόσεις 9, 7,,, 3,, 6,,, 3,,, 6,, 3, 3,, 7,, 8 α οµαδοποιήσουµε τα δεδοµέα στις κλάσεις [ 0,) και [,0) Να παρατηρήσουµε ότι πιο πάω, θα ήτα καλύτερα α οµαδοποιήσουµε στις κλάσεις ( 0,] και (,0],α θέλαµε οπωσδήποτε αυτά τα άκρα στη οµαδοποίηση γιατί το 0 δε αποτελεί βαθµό, αφού τότε το 0, δε θα υπήρχε στη 0 -βάθµια κλίµακα.

6 Παρουσίαση 6 ιάµεσος σε διακριτή µεταβλητή Η διάµεσος, είαι έα ακόµα µέτρο θέσης, το οποίο µας δείχει µία «µέση τιµή» του «κέτρου τω παρατηρήσεω» και είαι αεξάρτητη από τα άκρα. ιάµεσο εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθµός ή το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθµός. Έστω οι 3 παρατηρήσεις: Αυτές σε αύξουσα σειρά είαι: Η διάµεσος είαι η έβδοµη παρατήρηση (µεσαία παρατήρηση), δηλαδή το δ = 4 Να τοίσουµε ότι η µεσαία παρατήρηση σε δείγµα περιττού µεγέθους είαι η t + και µάλιστα η διάµεσος είαι τιµή του δείγµατος. Έστω οι παρατηρήσεις:,, 3, 4,, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 3,,, Να βρείτε τη διάµεσο παρατήρηση. Έστω οι 4 παρατηρήσεις: Αυτές σε αύξουσα σειρά είαι: Οπότε η διάµεσος είαι το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω δηλαδή της έβδοµης και όγδοης παρατήρησης, δηλαδή είαι η δ = = 4, 5 Να τοίσουµε ότι η µεσαίες παρατηρήσεις σε δείγµα άρτιου µεγέθους είαι οι: t, t, αλλά όµως η διάµεσος δε είαι πάτα τιµή του δείγµατος. + Έστω οι παρατηρήσεις:,, 3, 4,, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 3,,,, Να βρείτε τη διάµεσο παρατήρηση. Η διάµεσος, είαι η τιµή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σχεδό σε δύο ίσα µέρη, ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού µε σειρά τάξης µεγέθους. Συγκεκριµέα, η διάµεσος είαι εκείος ο αριθµός για το οποίο το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες από αυτό και το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από αυτό. Η διάµεσος δε επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις, α οι παρατηρήσεις αυτές είαι προφαώς περισσότερες από

7 Παρουσίαση 7 Ε ιάµεσος σε συεχή µεταβλητή Για βρούµε τη διάµεσο σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα από το σηµείο εκείο του άξοα Ο y τω εκατοστιαίω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω που είαι το 50% τω παρατηρήσεω φέρουµε τη κάθετη σ αυτό µέχρι α τµήσουµε το πολύγωο συχοτήτω και από κει, τη κάθετη στο άξοα Ο x και βρίσκουµε τελικά το διάµεσο αριθµό δ % F 50% O δ x Να παρατηρήσουµε ότι και εδώ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες ή ίσες από αυτή και το 50% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες ή ίσες από τη τιµή αυτή. Θεωρούµε ξαά τα δεδοµέα του ύψους τω µαθητώ στο πιο κάτω πίακα. Κλάσεις [ - ) [0, ) [, 0) [0, 30) [30, 40) Κετρικές τιµές x Συχότητες Σχετικές Συχότητες f 0, 0,3 0,5 0, Σχετικές Συχότητες f % Αθροιστικές Σχετικές Συχότητες F % Ακολουθώτας τη προηγούµεη διαδικασία βρίσκουµε ότι η διάµεσος δ είαι αάµεσα στο διάστηµα [ 0,30) Περίπου θα λέγαµε ότι είαι δ 3 F % x δ Αργότερα, µε τη βοήθεια τω ααλογιώ θα ετοπίσουµε ακριβέστερα αυτή. Α στο παραπάω πίακα καταοµής, από λάθος το όργαο µέτρησης έδειχε cm λιγότερο, α βρείτε τη πραγµατική διάµεσο.

8 Παρουσίαση 8 α Μέση τιµή σε διακριτές µεταβλητές Εδώ γίεται απλή εφαρµογή τύπω. Ας δούµε τα πιο κάτω θέµατα. Θέµα Α η µέση τιµή 0 παρατηρήσεω t < t < t 3 <... < t 0 είαι, 5 και η µέση τιµή τω 30 µικρότερω παρατηρήσεω είαι 8 α αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω υπολοίπω είαι 3 Απάτηση 0 t Από x 0 =, 5, είαι = =, 5 ή t = 50 0 = 30 0 t 30 = και από x 30 = 8, είαι = 8 ή t = = 0 0 t t t = 3 = = Οπότε x 70 = = = = Θέµα 30 Έστω x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5 οι τιµές µιας µεταβλητής X σε έα δείγµα µεγέθους v µε µέση τιµή τη x = 3 Οι συχότητες,, 3, 4 τω x, x, x 3, x 4 είαι ίσες µε v =, =,,3, 4 Θα βρούµε τη συχότητα 5 Απάτηση Επειδή =, = 4, 3 = 6 και 4 = 8, είαι = 0+ 5 Επειδή x _ = 3 = x + x + 3x3 + 4x4 + 5x είαι = 3 ή 5 = ή = 3(0 + 5 ) ή = ή 5 = 0 Να τοίσουµε ότι βολεύου οι τύποι µε τις τιµές 5 x και όχι µε τις παρατηρήσεις t

9 Παρουσίαση 9 Θέµα 3 Έστω x =, x =, x 3 = 3 οι τιµές µιας µεταβλητής X σε έα δείγµα. Α ξέρουµε ότι f % = 0% και f % = 40%, θα βρούµε τη µέση τιµή αυτώ. Απάτηση Είαι f % = 0% ή f = 0, και f % = 40% ή f = 0, 4 Συεπώς για τη σχετική συχότητα f 3 είαι f 3 = 0, 0,4 = 0, 4 Οπότε Θέµα 4 3 x = x f = f + x f + x f = 0, + 0, ,4 =, = x 3 3 Σε µια κάλπη υπάρχου Άσπρες, Μαύρες, Κόκκιες και Πράσιες σφαίρες σε ααλογία %, 0 %, 30 % και 40 % ατίστοιχα. Το βάρος κάθε Άσπρης είαι gr κάθε Μαύρης gr, κάθε Κόκκιης gr και κάθε Πράσιης 3 gr Θα βρούµε τη µέση τιµή του βάρους όλω τω σφαιρώ α στη κάλπη υπάρχου α) σφαίρες β) δε γωρίζουµε το αριθµό τους. Απάτηση α) Άσπρες: = 0 0 Mαύρες: = 0 30 Κόκκιες: = Πράσιες: = Είαι x = = gr β) Άσπρες: 0,x Μαύρες: 0,x Κόκκιες: 0,3x Πράσιες: 0,4x Έστω x ο αριθµός τω σφαιρώ. 0, x + 0, x + 0,3 x + 0,4 x 3 x (+,+ 3,6+ 5,) Είαι x = = = gr x x Ο x είαι πολλαπλάσιο του, γιατί οι συχότητες είαι φυσικοί αριθµοί.

10 Παρουσίαση Ασκήσεις α. Στις παρατηρήσεις: 0, 0, 0,, 0, 0, 0, η µέση τιµή είαι η τιµή α. Η βαθµολογία µαθητώ σε Τεστ ήτα: 7,,, 3, 5, 3,,, 4, 4 Να υπολογίσετε τη µέση τιµή τους. α.3 Να βρείτε τη µέση τιµή τω παρατηρήσεω, α.4 Από 5 παρατηρήσεις, η µέση τιµή τω 4 εξ αυτώ είαι, 5 Α η α, 3, 3, 3 + α,, 0 η 5 παρατήρηση είαι 5, α βρείτε τη µέση τιµή και τω 5 παρατηρήσεω. α.5 Η µέση ηλικία 8 αγοριώ και κοριτσιώ µιας τάξης είαι 5, 4 χρόια. Α η µέση ηλικία τω αγοριώ είαι 5, 8 χρόια, α βρείτε τη µέση ηλικία τω κοριτσιώ. α.6 Οι θερµοκρασίες σε βαθµούς Κελσίου C 5 ηµερώ µιας πόλης το µήα Ιαουάριο ήτα,, α, 8 και β Α η µέση τιµή τους είαι και η διαφορά του β από το α είαι C α αποδείξετε ότι α = και β = 9 α.7 Έστω οι παρακάτω καταοµές συχοτήτω. Α Β x f x f % Γ 0, , , x x Να βρείτε τη µέση τιµή. α.8 Στους παρακάτω πίακες α βρείτε τις συχότητες που λείπου. Α x α 0 8 Β x f 0, 0 α 30 0, 40 β α για τη πρώτη καταοµή Α γωρίζουµε ότι η µέση τιµή της είαι 0, 5 α για τη δεύτερη καταοµή Β γωρίζουµε ότι η µέση τιµή της είαι 30

11 Παρουσίαση α.9 Το µέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστώ µιας οµάδας είαι 05 cm α) Α για α ψηλώσει ο προποητής τη οµάδα «πάρει» έα ακόµη παίκτη µε ύψος 6 cm, α βρείτε το µέσο ύψος της οµάδας τώρα. β) Α ήθελε α ψηλώσει τη οµάδα στα 08 cm, πόσο ύψος έπρεπε α έχει ο καλαθοσφαιριστής που πήρε; α. Σε έα δοχείο υπάρχου Άσπρες, Μαύρες και Γκρι σφαίρες. Το % είαι Άσπρες, το 40 % είαι Μαύρες και οι υπόλοιπες είαι Γκρι. Το βάρος κάθε Άσπρης σφαίρας είαι gr, κάθε Μαύρης σφαίρας είαι 40 gr Α το µέσο βάρος όλω τω σφαιρώ είαι 67 gr, δείξτε ότι κάθε Γκρι σφαίρα ζυγίζει 0 gr α. Οι τιµές µιας µεταβλητής X σε έα δείγµα είαι: x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4 και x 5 = 5, ώστε για τις σχετικές συχότητες αυτώ α είαι: 5f =, 5f =, 5f 3 =, 5f 4 = 4, 3f 5 = α) Να βρείτε τη µέση τιµή x β) Α ισχύει η σχέση = 5 x v = 55, α βρείτε τις v, v, v 3, v 4 και v 5 α. Έστω το δείγµα µεγέθους 0 και µε µέση τιµή τω παρατηρήσεω x ώστε x ( x) = Να αποδείξετε πρώτα ότι x (0,) και [,5] Α τώρα ο πάρει τη µεγαλύτερη τιµή του, α αποδείξετε ότι x = 5 α.3 Το διαγώισµα της Στατιστικής που έβαλε στη Τρίτη τάξη ο καθηγητής τω Μαθηµατικώ σε 0 µαθητές, παρουσίασε µέση βαθµολογία 7 Επειδή όµως καέας δε έγραψε πάω από 8, για α «βοηθήσει» τους µαθητές του έκαε δύο σκέψεις. Να προσθέσει µοάδες στο βαθµό κάθε γραπτού. Να αυξήσει τη βαθµολογία κάθε γραπτού κατά 0% Με ποια από τις δύο παραπάω σκέψεις, ο καθηγητής θα «βοηθήσει» πιο πολύ τους µαθητές του ;

12 Παρουσίαση α.4 Η επίδοση εός µαθητή σε πέτε µαθήµατα είαι:,, 6, 8, 4 α) Να βρείτε τη µέση επίδοση του µαθητή. β) Α τα µαθήµατα είχα συτελεστές στάθµισης, 3,, και 3 ποια θα ήτα η µέση επίδοση του; α.5 Οι 60 µαθητές της Γ τάξης εός σχολείου έγραψα δύο διαγωίσµατα. Στο πρώτο διαγώισµα, η µέση βαθµολογία ήτα 3 Στο δεύτερο διαγώισµα, 40 µαθητές έγραψα κατά 4 µοάδες καλύτερα µαθητές κατά µοάδα χειρότερα και οι υπόλοιποι πήρα το ίδιο βαθµό. Να βρείτε τη µέση βαθµολογία στο δεύτερο διαγώισµα. α.6 Θεωρούµε δείγµα µεγέθους µε παρατηρήσεις τις t, t,..., t λ Ορίζουµε τη συάρτηση f(x) = (t x) + (t x) (t λ x) α) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο στη θέση της µέσης τιµής. β) Α τώρα η τιµή του ελαχίστου ισούται µε 0, τότε t = t =... = t x λ = α.7 Έστω οι παρατηρήσεις t, =,,..., 0 εός δείγµατος µίας µεταβλητής X ώστε t < t < t3 <... < t0, οι οποίες έχου µέση τιµή x = Α 40 = 0 t = t, αποδείξτε ότι η µέση τιµή τω t < t <... < t40 είαι ίση µε, 5 = 4 α.8 Θεωρούµε δείγµα µεγέθους µε παρατηρήσεις τις t t... t α ) Να αποδείξετε ότι x [t, t ] Πότε είαι x = t ή x = t ; α ) Α οι παρατηρήσεις είαι φυσικοί αριθµοί, αποδείξτε ότι Για κάθε τιµή κ 3 κ κ κ = x Q x της µεταβλητής X είαι x 3x + x 0 β ) Να αποδείξετε ότι αυτές οι τιµές είαι µόο 3 και α τις βρείτε. β ) Να αποδείξετε ότι για τη µέση τιµή τους x είαι (3 + )x x

13 Παρουσίαση 3 β Μέση τιµή σε συεχείς µεταβλητές Στη ουσία εδώ, βρίσκουµε τις κετρικές τιµές και ααγόµαστε στη εύρεση µέσης τιµής σε διακριτή µεταβλητή. Θέµα Ο διπλαός πίακας δείχει το µήκος σε cm µιας οµάδας ατικειµέω όπου λείπει η συχότητα 4 της τέταρτης κλάσης Α η µέση τιµή είαι, θα προσδιορίσουµε τη 4 Κλάσεις [ - ) Κετρική τιµή x Συχότητα x [0,) x = 5 = 5 5 [,0) x = 5 = 5 5 [0,30) x 3 = 5 3 = 5 65 [30,40) x 4 = Απάτηση Από = x x = =, τελικά βρίσκουµε 4 = 5 cm Θέµα Ο διπλαός πίακας δίει το βαθµό στα µαθηµατικά τω µαθητώ µίας τάξης της. Θα υπολογίσουµε τη µέση τιµή τους. Απάτηση Βαθµός Κέτρο Κλάσης f x f [ 0,4) 0,0 0,40 [ 4,8) 6 0,30,80 [ 8,) 0,5,50 [,6) 4 0,5, [ 6,0) 8 0,,80 Βαθµός [ 0,4) [ 4,8) [ 8,) [,6) [ 6,0) f 0,0 0,30 0,5 0,5 0, Σύολο,00 Με βάση τιµές τις κετρικές τιµές, η µέση τιµή υπολογίζεται απλά και είαι ίση 5 µε x = x f = xf + xf + x3f3 + x4f4 + x5f5 = 0,40+,80+,50+,+,80 = 8, = 6

14 Παρουσίαση 4 Ασκήσεις β. Έστω οι πιο κάτω βαθµοί 0 µαθητώ.,, 5,, 0, 0,,5,5,5,5, 8, 9,, 5,,5,7,4, 0 Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάω δεδοµέα σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους τις ( 0,5], ( 5,], (,5] και ( 5,0] Να βρείτε τη µέση βαθµολογία µε βάση τη οµαδοποίηση. β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή στη διπλαές οµαδοποιηµέες καταοµές. Βαθµός β.3 Η βαθµολογία 50 φοιτητώ στις εξετάσεις εός µαθήµατος είαι: Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάω δεδοµέα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, ώστε η κετρική τιµή της πρώτης κλάσης α ισούται µε Να βρείτε τη µέση βαθµολογία µε βάση τη οµαδοποίηση. β.4 Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή µεγέθους 0 Γωρίζουµε ότι η ευθεία ( ε) : x = 6 χωρίζει το χωρίο που σχηµατίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το άξοα x ' x σε δύο ισεµβαδικά χωρία. α) Να αποδείξετε ότι = 0 και 4 = 30 β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή. β.5 Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή. Γωρίζουµε ότι το µέγεθος είαι = 0 και η µέση τιµή είαι x = 50 α) Να αποδείξετε ότι α = 40 και β = 30 β) Α θέλουµε η µέση τιµή α γίει x = 00 α βρείτε πόσες παρατηρήσεις πρέπει α αφαιρέσουµε από τη κλάση [ 350,450) Α [,5) [ 5,9) [ 9,3) Βαθµός [ 0,4) [ 4,8) [ 8,) [,6) Βαθµός Βαθµός f % [ 0,5) [ 5,) [,5) [50,50) [50,50) [ 50,350) [ 350,450) α β Β

15 Παρουσίαση 5 β.6 Έστω ο διπλαός πίακας. Να συµπληρώστε το πίακα και α υπολογίσετε τη µέση τιµή τω παρατηρήσεω. Κλάσεις [, ) x f 3-5 0, 5-7 0, 7-9 0,3 9- Σύολο β.7 Σε µια οµαδοποιηµέη καταοµή µε κλάσεις ίσου πλάτους το πολύγωο τω εκατοστιαίω σχετικώ συχοτήτω f % έχει διαδοχικές κορυφές, τις Α( 3,0), B (3,), Γ (9,0), (5,y ), E (,40) και (7,0) Η µέση τιµή της καταοµής είαι x = 5 α) Να αποδείξετε ότι οι κλάσεις της καταοµής είαι οι [ 0,6), [ 6,), [,8) και [ 8,4) β) Να βρείτε τη τεταγµέη του β.8 Η βαθµολογία 50 µαθητώ στη Ιστορία κυµαίεται από µέχρι 0 και καέας δε είαι «κάτω» από τη βάση. 5 µαθητές έχου βαθµό κάτω από, 5 µαθητές κάτω από 4, 5 µαθητές µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και 5 µαθητές µεγαλύτερο ή ίσο του 6 Να υπολογίσετε τη µέση βαθµολογία. β.9 Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για το ύψος τω µαθητώ αλλά τα δεδοµέα «χάθηκα» και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Να βρείτε το µέσο ύψος τω µαθητώ. Ν x

16 Παρουσίαση 6 γ ιάµεσος σε διακριτές µεταβλητές Να προσέχουµε α διατάσουµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά. Θέµα Έστω η γήσια φθίουσα και περιττή στο R συάρτηση f Θα προσδιορίσουµε τη διάµεσο τω f( 3), f( ), f( ), f (0), f (), f (), f (3) Απάτηση Επειδή η f είαι γήσια φθίουσα, από 3 < < < 0 < < < 3 είαι και f( 3) > f( ) > f( ) > f (0) > f () > f () > f (3) ή f (3) < f () < f () < f (0) < f( ) < f( ) < f( 3) Οπότε αφού έχουµε 7 παρατηρήσεις, η διάµεσος είαι δ = f(0) = 0 Να θυµηθούµε ότι για κάθε περιττή στο R συάρτηση f είαι f(0)=0, αφού από f(-x)=-f(x) Θέµα και για x=0, προκύπτει f(0)=-f(0) ή f(0)=0 Θα βρούµε το διάµεσο αριθµό, τω αριθµώ 4,8,,6,...,6, 0 Απάτηση Ας δούµε πρώτα ποιο είαι το πλήθος τω αριθµώ. Πρόκειται για διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε α = 4 και ω = 4 Από = α + ( ) ω είαι 0 = 4 + ( ) 4 ή 6 = 4( ) ή = 30 α Οπότε πρόκειται για άρτιο πλήθος παρατηρήσεω α + α6 (α + 4ω) + (α + 5ω) (4 + 56) + (4 + 66) ηλαδή δ = = = = = Θέµα Σε µια κάλπη υπάρχου Άσπρες, Μαύρες, Κόκκιες και Πράσιες σφαίρες σε ααλογία %, 0 %, 30 % και 40 % ατίστοιχα. Το βάρος κάθε Άσπρης είαι gr, κάθε Μαύρης gr,κάθε Κόκκιης gr και κάθε Πράσιης είαι 3 gr Θα βρούµε το διάµεσο βάρος όλω τω σφαιρώ. Απάτηση Έστω x = α ο αριθµός τω σφαιρώ, προφαώς πολλαπλάσιο του Είαι: Άσπρες: 0,x = α Μαύρες: 0,x = α Κόκκιες: 0,3x = 3α Πράσιες: 0,4x = 4α Το Πλήθος είαι ίσο µε x και είαι α α,,...,,,,...,, α α,,...,, 3,3,... 3 Οι δύο µεσαίες παρατηρήσεις είαι αυτές µε αριθµό 5α και 5α +, δηλαδή δ =

17 Παρουσίαση 7 Ασκήσεις γ. Στις παρατηρήσεις: 0,,, 3, 4, 5, 6 η διάµεσος είαι η τιµή 3 γ. Σε έα δείγµα η διάµεσος είαι µία τιµή της µεταβλητής. Τότε είαι βέβαιο ότι αποκλείεται α έχουµε 00 παρατηρήσεις. γ.3 Α σε µία διακριτή µεταβλητή, όλες οι παρατηρήσεις είαι διαφορετικές τότε η διάµεσος δε είαι βέβαιο ότι ισούται µε µία παρατήρηση. γ.4 Η διάµεσος δ εός δείγµατος 0 διαφορετικώ παρατηρήσεω σε µία ποσοτική διακριτή µεταβλητή, είαι η τιµή που το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή µεγαλύτερες από αυτή είαι ακριβώς το 50% τω παρατηρήσεω. γ.5 Η διάµεσος πέτε αριθµώ µε άθροισµα 5 είαι 5 Α οι τρεις από αυτούς είαι οι αριθµοί, 7,, α βρείτε τους άλλους δύο. γ.6 Μία καταοµή συχοτήτω παίρει τρεις τιµές, τις, 3, 5 και οι συχότητες τω τιµώ και 3 είαι 3 και 3 ατίστοιχα. Α η διάµεσος τω παρατηρήσεω είαι 4, τότε η συχότητα της τιµής 5 είαι ίση µε Α: B: 33 Γ: 44 : Τίποτα από τα προηγούµεα. γ.7 Έστω έα δείγµα στο οποίο εξετάζουµε τα µήκη εξαρτηµάτω. Α η διάµεσος είαι δ = cm, η διάµεσος τω τετραγώω θα είαι δ = cm γ.8 Να βρείτε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω, στις πιο κάτω περιπτώσεις.,,, 5, 3,, 5, 5,,, 5, 3,, 5, 5, 0 γ.9 Να βρείτε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω στους παρακάτω πίακες. x x γ. Να βρείτε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω, στις πιο κάτω περιπτώσεις. 3, 6, 9,,..., 300 3, 6, 9,,..., 300, 303

18 Παρουσίαση 8 γ. Να βρείτε τις τιµές του κ {,,0 } ώστε η διάµεσος τω αριθµώ: κ, κ, 3 κ, γ. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος τω αριθµώ κ, 4 κ, 3 4 κ α είαι θετική. α, α, 0, α, α α +, 0. 5 µε * α Ν είαι σταθερή. γ.3 Στο διπλαό πίακα, δίοται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις ατίστοιχες σχετικές συχότητες. Α η διάµεσος είαι, 5, α βρείτε τη τιµή του λ Τιµές Συχότητες 5 3 λ 4 0 γ.4 Οι παρατηρήσεις σε µία δειγµατοληψία είαι: x + ω,x + ω, x + 3ω, x + 4ω, x + 5ω, µε ω > 0 Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ταυτίζεται µε τη µέση τιµή. γ.5 Έστω 8 διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι. Α αυτοί οι αριθµοί έχου µέση τιµή 64, α βρείτε τη διάµεσο τους. γ.6 Έστω η συάρτηση f(x) = e + x, x R α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f είαι γήσια αύξουσα στο R x β) Να βρείτε τη διάµεσο τω αριθµώ f( x ), f( x ), f (0), f (), f(x + ) γ.7 Έστω η µεταβλητή Χ, µε παρατηρήσεις τις: t < < t < t 3 <... t και τιµές x =, x = 4, x 3 = 6 και x 4 = 8 µε συχότητες,, 3, 4 Ξέρουµε ότι η διάµεσος είαι περιττός αριθµός. α) Να αποδείξετε ότι ο φυσικός αριθµός είαι άρτιος. 3 β) Να αποδείξετε ότι δ 5δ + 7δ 5 = 0 γ) Α + >, αποδείξτε ότι δ = 3, όπως επίσης και = γ.8 Σε έα πίακα παρουσιάζοται τα ποσοστά τω απατήσεω σχετικά µε το πόσες εφηµερίδες διαβάζου 00 άτοµα τη εβδοµάδα. εδοµέου ότι όλοι διαβάζου τουλάχιστο εφηµερίδα, καέας δε διαβάζει πάω από 3 εφηµερίδες, το 50% τω ατόµω διαβάζει ή εφηµερίδες και το 70% τω ατόµω διαβάζει ή 3 εφηµερίδες, α υπολογίσετε τη διάµεσο.

19 Παρουσίαση 9 δ ιάµεσος σε συεχείς µεταβλητές Για το προσδιορισµό της διαµέσου σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα συήθως κατασκευάζουµε το πολύγωο εκ. αθροιστικώ σχ. συχοτήτω. Όµως ας προσέξουµε καλύτερα το πιο κάτω θέµα. Θέµα Ο παρακάτω πίακας δείχει το ύψος σε cm µιας οµάδας παιδιώ. Κλάσεις [ - ) Κετρικές τιµές x Συχότητα Σχετική Συχότητα f Εκ. Σχετική Συχότητα % f Εκ. Αθροιστικές συχότητες % F [0,) 5 5 0, [,0) 5 5 0, [0,30) 5 5 0, [30,40) , 0 Σύολο 50 0 Θα βρούµε τη διάµεσο του ύψους τω παιδιώ. Απάτηση Κατασκευάζουµε το πολύγωο εκατοστιαίω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Από το σηµείο εκείο του άξοα Ο y τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω που είαι το 50 % τω παρατηρήσεω φέρουµε τη κάθετη σ αυτό, µέχρι α τµήσουµε το πολύγωο συχοτήτω. Από κει φέρουµε τη κάθετη στο άξοα Ο x Συγκρίουµε τα όµοια τρίγωα ΑΓ και ΑΒΕ ΑΓ Γ Είαι = = = ΒΕ = ΑΒ ΒΕ ΒΕ0 ΒΕ Οπότε ΚΛ = και συεπώς η διάµεσος δ ισούται µε δ = 0 + = % F Γ Β Α Κ Λ x δ Ε Θα µπορούσαµε όµως, α προσδιορίσουµε τη διάµεσο και από το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω, όπου από το σηµείο του Ο y, επααλαµβάουµε µε τα προηγούµεα.

20 Παρουσίαση 0 Να θυµηθούµε ότι είχαµε ξααβρεί τη ίδια διάµεσο προηγούµεα στη θεωρία µε βάση τα σχήµα. Να παρατηρήσουµε ότι τα πιο πάω είαι προσεγγιστικά και έχου όηµα θεωρώτας τις παρατηρήσεις οµοιόµορφα καταεµηµέες µέσα στις κλάσεις. Η θεωρία τω βέβαιω ψηφιώ απουσιάζει από τη έοια τω προσεγγίσεω και δε έχει όηµα η «ακρίβεια» του αποτελέσµατος. Θέµα Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για το ύψος τω µαθητώ αλλά τα δεδοµέα χάθηκα και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Αφού κατασκευάσουµε το πίακα συχοτήτω µετά θα αποδείξουµε ότι για τη διάµεσο δ είαι 75 < δ < 85 Απάτηση Χρόια Κέτρο Κλάσης x N F % Είαι προφαής ο πίακας καταοµώ. [45-55) 50 [55-65) [65-75) [75-85) [85-95) [95-05) [05-5) 0 0 Σύολο 0 % F Είαι προφαές ότι η διάµεσος δ είαι αριθµός της κλάσης [ 75,85) δ

21 Παρουσίαση Ασκήσεις δ. Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος της ισούται µε δ = 6, 875 Βαθµός [ 0, 5) [ 5, ) [, 5) [ 5,0) δ. Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή. α) Να αποδείξετε ότι x = 0, Βαθµός [ 5,5) [ 5,5) [ 5,35) [ 35,45) f x x x 5 x β) Να αποδείξετε ότι η διάµεσος δ τω παρατηρήσεω, ισούται µε δ = 35 δ.3 Έστω οι πιο κάτω παρατηρήσεις α) Να οµαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις του πίακα σε 4 ισοπλατείς κλάσεις έτσι ώστε το άω όριο της ης κλάσης α είαι 5 και το κάτω όριο της 4 ης κλάσης α είαι 5 β) Μετά α αποδείξετε ότι η διάµεσος της καταοµής ισούται µε δ = 5, 45 δ.4 Οι πιο κάτω αριθµοί δίου σε cm τα ααστήµατα 40 µαθητώ εός σχολείου α) Να οµαδοποιήσετε τα ααστήµατα σε κλάσεις πλάτους cm β) Να υπολογίσετε τη διάµεσο τω αριθµώ. δ.5 Α το πολύγωο τω εκατοστιαίω σχετικώ συχοτήτω µιας οµαδοποιηµέης καταοµής έχει κορυφές τα σηµεία Α (3,0), B (9,) Γ (5,0), (,5), E (7,55) και Ζ (36,0), α βρείτε τη διάµεσο της καταοµής.

22 Παρουσίαση δ.6 Εξετάζουµε το βάρος τω µαθητώ της Γ ' τάξης εός λυκείου. ιαπιστώσαµε ότι τα βάρη αυτώ κυµαίοται από 60 µέχρι 80 κιλά Μετά ήρθα στη τάξη και δύο ακόµα µαθητές µε βάρη 55 και 85 κιλά. Να εξετάσετε α µεταβλήθηκε η διάµεσος. δ.7 Έστω ο διπλαός πίακας. Να συµπληρώστε το πίακα και α υπολογίσετε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω. Κλάσεις [, ) x f 3-5 0, 5-7 0, 7-9 0,3 9- Σύολο δ.8 Οι µισθοί τω υπαλλήλω µιας εταιρίας φαίοται στο διπλαό πίακα. Μισθοί σε εκατοτάδες uro α) Να βρείτε τη διάµεσο της καταοµής. β) Α απολυθού 0 υπάλληλοι µε µισθό κάτω από 800 uro α βρείτε τη έα διάµεσο της καταοµής. γ) Να βρείτε τη εκατοστιαία µεταβολή της διαµέσου. [ 4,8) 50 [ 8,) 30 [,6) 5 [ 6,0) 5 Σύολο 0 δ.9 Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για το ύψος τω µαθητώ αλλά τα δεδοµέα «χάθηκα» και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Να υπολογίσετε τη διάµεσο. Ν x δ. Ο παρακάτω πίακας δείχει τους βαθµούς τω 9 µαθητώ µιας τάξης στα Μαθηµατικά, σε ακέραια κλίµακα. Βαθµός Πλήθος µαθητώ? 0 3 5? 4 Επιλέγουµε τυχαία έα µαθητή της τάξης. Α η συχότητα της διαµέσου της βαθµολογίας είαι 8, α βρείτε τη µέση τιµή.

23 Παρουσίαση 3 Εργασία Το άθροισµα άρτιω παρατηρήσεω µε µέση τιµή το αριθµό 005 µπορεί α είαι περιττός αριθµός. Τα µέτρα θέσης που είδαµε ορίζοται µόο για ποσοτικές µεταβλητές. 3 Η διάµεσος τω παρατηρήσεω 5, 0,,,, 3, 3, 3, 4 είαι το 4 Α σε έα δείγµα έχουµε τιµές µόο τις και 4, τότε η µέση τιµή είαι 3 5 Α η διάµεσος είαι µία τιµή της µεταβλητής, τότε έχουµε περιττό αριθµό παρατηρήσεω και α δε είαι τιµή της µεταβλητής, τότε έχουµε άρτιο αριθµό παρατηρήσεω. 6 Α η µέση τιµή 0 παρατηρήσεω είαι 0 και η µέση τιµή 50 από αυτώ είαι 5, α βρείτε τη µέση τιµή τω υπολοίπω. 7 Σε έα διαγώισµα Μαθηµατικώ, η µέση βαθµολογία τω 36 αγοριώ ήτα και η µέση βαθµολογία τω 4 κοριτσιώ ήτα 7 Να βρείτε τη µέση βαθµολογία όλω τω µαθητώ µαζί. 8 Έστω η συάρτηση 3 f(x) = x + x + α, µε α R α) Να αποδείξετε ότι η f είαι γήσια αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι δε υπάρχει αριθµός α ώστε η µέση τιµή τω f (), f (), f (3), f (4), f (5) α ισούται µε τη διάµεσο. 9 Η οµάδα µπάσκετ αγοριώ, εός σχολείου αποτελείται από παίκτες. Αυτή έχει µέσο ύψος 9 cm. Σε κάποιο αγώα, έλειπε έας παίκτης µε ύψος 98 cm και ατικαταστάθηκε από άλλο που είχε ύψος 88 cm Να βρείτε το µέσο ύψος που είχε η οµάδα στο αγώα αυτό. Στο διπλαό πίακα, δίοται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις ατίστοιχες σχετικές συχότητες. Α η διάµεσος είαι 5, α βρείτε τη τιµή του λ Τιµές Συχότητες 0 λ

24 Παρουσίαση 4 Οι θερµοκρασίες τω 0 πρώτω ηµερώ του µήα Απριλίου σε βαθµούς Κελσίου C φαίοται στο διπλαό πίακα. Η µέση θερµοκρασία τω παραπάω ηµερώ είαι 4,4 C α ) Να συµπληρώσετε το πίακα. α ) Να βρείτε τη διάµεση θερµοκρασία. β) Από κάποιο όµως λάθος διαπιστώθηκε ότι το θερµόµετρο έδειχε έα βαθµό περισσότερο από το καοικό. Να βρείτε τη έα πραγµατική µέση θερµοκρασία. γ) Τώρα µετά τη αλλαγή τω θερµοκρασιώ, α οµαδοποιήσετε τα δεδοµέα σε 3 κλάσεις ίσου πλάτους και α βρείτε τη έα µέση τιµή. Η βαθµολογία 50 µαθητώ στη Ιστορία κυµαίεται από µέχρι 0 και καέας δε είαι «κάτω» από τη βάση. Γωρίζουµε επίσης ότι 3 µαθητές έχου βαθµό «κάτω» από 4 µαθητές «πάω» από 5 και 3 µαθητές έχου βαθµούς 3,3 και 4 Να υπολογίσετε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω. x Στη µία τάξη της Γ Λυκείου 8 τα αποτελέσµατα 6 7 σε έα διαγώισµα Μαθηµατικώ 4 φαίοται στο διπλαό ιστόγραµµα. 0 α) Να βρείτε το πλήθος τω µαθητώ. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω x γ) Να αποδείξετε ότι η διάµεσος βαθµολογία δ βρίσκεται στο διάστηµα [,6) 4 Έστω το δείγµα µεγέθους Έστω και οι παρατηρήσεις: t, t,..., µε µέση τιµή x t Θεωρούµε τώρα και µία ακόµη παρατήρηση, τη t + Έστω και x η µέση τιµή τω παρατηρήσεω t, t,..., t, t + x + t + α) Να αποδείξετε ότι x = + β) Έστω το δείγµα µεγέθους =, µε µέση τιµή τω παρατηρήσεω τη x = 5 η Προσθέτουµε και παρατήρηση και η έα µέση τιµή όλω µαζί γίεται x = 6 Να βρείτε τη τιµή της ης παρατήρησης.

25 Παρουσίαση 5 5 Έστω η συάρτηση f(x) = e x x α) Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιµή της f είαι ίση µε f(in) = In4 β) Η µεταβλητή εός δείγµατος A µεγέθους v N έχει τιµές t, t, t 3,..., t v και η µεταβλητή εός άλλου δείγµατος B µεγέθους v N t t έχει τιµές τις e t,e t, e t 3,..., e t v Να αποδείξετε ότι για τις µέσες τιµές τω δύο δειγµάτω είαι t 3 t v x < x A B 6 Σε µία παρέα, η µέση ηλικία τω ατόµω αυτής ήτα 5 έτη. Κάποια στιγµή ήρθα στη παρέα άλλοι δύο, µε ηλικίες 7 και 3 α) Να αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω ηλικιώ δε µεταβλήθηκε. β) Στη συέχεια ήρθε και έα ακόµη άτοµο ηλικίας 64 ετώ και η µέση τιµή τω ηλικιώ αυξήθηκε κατά 3 Να αποδείξετε ότι η αρχική παρέα είχε άτοµα. 7 Α η διάµεσος τω πρώτω φυσικώ αριθµώ,,3,..., είαι δ =, 5 α αποδείξετε ότι = 0 8 Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για τους βαθµούς τω µαθητώ σε κλίµακα από 0 µέχρι 0 Τα δεδοµέα «χάθηκα» και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος είαι ίση µε 5 Ν Έστω η πιο κάτω οµαδοποιηµέη καταοµή σε 4 ισοπλατείς κλάσεις. Κλάσεις x 5 [0, ) 5 Σύολο 50 5 f f % F % 0, α αποδείξετε ότι η για τη διάµεσο δ και τη µέση τιµή µ είαι δ µ =

26 Παρουσίαση 6 Απατήσεις τω ασκήσεω

27 Παρουσίαση 7.4 Μέτρα θέσης α Μέση τιµή σε διακριτές µεταβλητές α. Λ α. α α ,6 α.5 x κ = = 4. 8 α.6 α.7 Α) x = 3, 3 Β) x = 4, 5 Γ) x = 4 ) x =, 4 α.8 Α) α = 6 Β) α = 0, β = 0, 5 α.9 α) x = 06, cm β) 35 cm α. α. α) 55 x = 5 β) v = 5, v =, v =, v 3 = 3, v 4 = 4, v 5 = 5 β α. v = 5 x = = = 5 α α.3 Άρα η πρώτη επιλογή θα τους «βοηθήσει» α.4 α) x = 4 β) x = 3 α.5 x = 5, 5 α.6 α) β) α.7 α.8 α ) α ) β ) 0,, β ) β Μέση τιµή σε συεχείς µεταβλητές β. x =, 5 [, ) x [ 3) [ 5 ) [ 7) [ 9 ) [ ) x Σύολο 50 30

28 Παρουσίαση 8 β. Α) x = 7 Β) x = 7, 75 β.3 x = 6, 4 β.4 α) β) x = 7, β.5 α) β) 5 β.6 x = 8 β.7 α) β) 30 [, ) x [ 5 ) [ 7) [ 9) [ ) f x f 3 4 0, 0, ,, 7 8 0, 3, 4 9 0, 4 4 Σύολο 8 β.8 x = 5 β.9 x = 79 cm γ ιάµεσος σε διακριτές µεταβλητές γ. Σ γ. Λ γ.3 Σ γ.4 Λ γ.5 t =, t 3 = 5 γ.6 Γ γ.7 Σ γ.8 δ = 5, δ = 5 γ.9 δ =, 5, δ = 3 γ. δ = 5, 5, δ = 53 γ. κ =, δ = 3 γ. γ.3 λ = 5 γ.4 γ.5 δ = 64 γ.6 α) β) δ = f(0) = 0 γ.7 α) β) γ) γ.8 δ =, 5 Εφηµερίδες

29 Παρουσίαση 9 δ ιάµεσος σε συεχείς µεταβλητές δ. δ. α) β) δ.3 α) β) δ.4 α) δ = 70 β) δ.5 δ 4, 54 δ.6 Η διάµεσος δε θα µεταβληθεί. δ.7 Κλάσεις [ 5, 5) 5 [ 5, 5) 8 [ 5,5) 8 [ 5,5) 4 Κλάσεις [ 50,60) [ 60,70) [ 70,80) [ 80,90) x Κλάσεις [ 3,5 ) [ 5,7) [ 7,9 ) [ 9,) x f 0,5 0,5 0,5 0,5 Σύολο 40 f 0, 0, 0,3 0,4 Σύολο F 0,5 0,50 0,75,00 F 0, 0,3 0,6 δ.8 α) δ = 8 β) δ 9, 33 γ) 6,63% δ.9 δ 78, 3 δ. x = 5, 8 Εργασία Λ Σ 3 Λ 4 Λ 5 Λ 6 x = 5 7 x = 4 8 α) β) 9 x = 9 λ = 5 x α ) α ) δ = 4 β) x = 3, 4 γ) x = 3, 9 δ = 4 F,00 0,70 0,40 0, α) = 5 β) γ) 4 α) β) t = 6 5 α) β) 6 α) β) 7 8 9

30 Παρουσίαση 30

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 2. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα των. x i. ν i Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η.

Στατιστική. 2. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα των. x i. ν i Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η. Στατιστική 1. Σε µια εταιρεία εργάζονται 10 εργάτες, 30 διοικητικοί υπάλληλοι και 60 επιστήµονες. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, επί % πίνακα σχετικών συχνοτήτων, ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Στατιστική Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 7 / 5 / 2 0 1 6 Γενικής κεφάλαιο 2 154 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ-1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα